复数复习(公式及例题)
复数的四则运算及几何意义习题课
题型四：求复数式中的实参数值
练习已知复数z满足|z|＝1，且
(z - m ) = 2m (m < 0) ,求m的值.
2
m = 1-
2
题型五：证明复数的有关性质
例10 已知复数z满足|z|＝1，求证： 1 z+ R. z
题型五：证明复数的有关性质 例12 求证：复数z为纯虚数的充要 条件是z2＜0.
复数的概念与运算典型题型分析
题型一：复数的混合运算
3 - 4i 15 8 例1 计算： + i - (1 + i ) 1 + 2i
－17－3i 3 2z + (4z + 6)i 练习设复数z＝1－i，求
的值.
- 3z
1 －i
求
1 例3 已知复数z满足 z + - i = 0 ， 2 z z - z + 1
.
1 x
变式1：若复数z满足|z+1|+|z-1|=4，则复数z所对应的 点表示什么图形？ 以(1,0),(-1,0)为焦点，长轴长为4的椭圆 变式2：若复数z满足|z+1|-|z-1|=1，则复数z所对应的 点表示什么图形？ 以(1,0),(-1,0)为焦点，实轴长为1的双曲线的右支
变式3：你能给出下列方程所表示的图形的复数 表达形式吗？
解：由条件|z-4i|=|z+2|知复数z 对应的点到点A（0，4）与点 B（-2，0）的距离相等,所以复数 z对应的点的集合是线段AB的垂直 平分线.由平面解析几何知识得x,y 满足x+2y=3,所以由均值不等式得
2 x 4 y 2 2 x 4 y 2 2 x2 y 4 2
y 4
2、思考题： （1）你能写出线段Z1Z2的垂直平分线的复数表达形式吗？ （2）你能写出抛物线y2=2px(p>0)的复数表达形式吗？
复变函数总复习资料
性质: (1) Ln(z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 ,
(2) Ln z1 z2
（3）Lnzn
Lnz1 nLnz
Lnz2 Ln n
, z
1
Lnz
n
(4) 在除去负实轴(包括原点)的复平面内, 主值支和其它各分支
处处连续, 处处可导, 且 (ln z) 1 , (Lnz) 1 .
z
z 15
3.乘幂与幂函数：ab、zb
乘幂 ab ebLna.
由于 Lna ln a i(arg a 2k ) 是多值的, 因而ab 也是多值的.
(1) b 为整数:
a e e e e b
bLna
b[ln a i(arga2k )]
b(ln a iarga)2kbi
ez的性质：
1. f (z) ez 0
2. ez ez 处处解析
3. 满足加法定理：ez1ez2 ez1z2
4. 周期性：周期为 2k i
14
2.对数函数：Ln z ln z iArg z ln z i arg z i2k
多值！
主值： ln z ln z i arg z arg z 分支： Ln z ln z 2k i k 1, 2
3、 复数运算
z1 x1 iy1 z2 x2 iy2
加法、减法： z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
乘法: 除法:
z1z2 (x1 i y1)(x2 i y2ห้องสมุดไป่ตู้)
(x1x2 y1y2 ) i(x1y2 x2 y1)
z
各分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的: (zb ) bzb1.
复变函数_期末基础知识复习_和_模拟试题
第一、二章
一、 复数的表示方法 （代数、三角、指数表示法） 及其运算公式。
二、函数可导和解析的充分必要条件，函数可导和
解析的充分条件。C-R方程。
三、初等函数（指数函数、三角函数、对数函数、
幂函数）的定义与性质。
华侨大学厦门工学院 09电子3班
虚轴
复数的模：
z x2 y 2 r
C C
华侨大学厦门工学院 09电子3班
x x(t ) 1 :光滑曲线C 的实参数方程为 ,t : , y y(t )
f ( z )dz
C
{u[ x(t ), y(t )] iv[ x(t ), y(t )]} {x(t ) iy(t )}dt
注：过z1与z2两点的直线的参数方程为: z z1 ( z2 z1 )t， t .
连接z1 x1 iy1与z2 x2 iy2的直线段的参数方程为:
z z1 t ( z2 z1 ),0 t 1
华侨大学厦门工学院 09电子3班
通过两点( x1 , y1 )与( x2 , y2 )的直线方程为
留数定理
C
k 1 华侨大学厦门工学院 09电子3班
f ( z )dz 2 i Re s[ f ( z ), zk ].
n
第八、九章 一、傅氏变换、拉氏变换及它们的逆变换的定义。 二、记住 函数的几个重要性质。 三、记住几个重要函数的积分变换。 四、记住积分变换的性质（线性、位移、相似、 微分、积分性质）。 五、会用二、三、四中的结论求某些函数的积分 变换或逆变换。 六、会求解简单的微分方程。
f ( z ) Cn ( z z0 )n ,
《复数的概念》考点讲解复习与同步训练
《7.1 复数的概念》考点讲解【思维导图】【常见考法】考法一 实部虚部的辨析【例1】（1）已知i 是虚数单位，复数12z i =-的虚部为（ ）A ．2-B ．2C ．2i -D ．1（2）．已知,x y R ∈，且32x i yi +=+，则,x y 的值分别为（ ）A ．21,3B ．3,1C ．2,13D ．1,3（3）3-的平方根是________.【一隅三反】1． 1-的平方根为______．2．复数2（i 是虚数单位）的实部为（ ）A ．2B ．C ．22-D ．03．若复数1(1)2z i =-+，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A ．12i - B ．12i C ．12- D ．124．以2i -2+的实部为虚部的复数是（ ）A ．2i +B ．22i + CD ．45i -考法二 复数的分类 【例2】已知复数()2262153m m z m m i m --=+--+（i 是虚数单位） （1）复数z 是实数，求实数m 的值；（2）复数z 是虚数，求实数m 的取值范围；（3）复数z 是纯虚数，求实数m 的值.【一隅三反】1．已知复数()()223183,z m m m m i m R =+-+-∈，其中i 为虚数单位.（1）若复数z 是实数，求实数m 的值；（2）若复数z 是纯虚数，求实数m 的值.2．复数()()()2152615z i m i m i =++-+-． （1）实数m 取什么数时，z 是实数；（2）实数m 取什么数时，z 是纯虚数；（3）实数m 取什么数时，z 对应的点在直线70x y ++=上．考法三 复数的几何意义--复平面【例3】（1）已知复数34z i =-+(i 虚单位)，则复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 （2）在复平面内，若复数()()2246z m m m m i =-+--所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,3B ．(),2-∞-C ．()2,0-D ．()3,4 【一隅三反】1．在复平面内，复数1i +的共轭复数所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．设复数2z i =+，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若()()11z m m i =++-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,1-D ．()1,-+∞考法四 复数的几何意义--模长【例4】（1）设i 虚数单位，复数12z i =+，则||z =（ ）A B ．5 C ．1 D ．2（2）已知(26)12i x yi +=+，其中x ､y 是实数，则||x yi +=（ ）A ．12B ．32C ．2D ．2（3）设复数z 满足2z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则（ ）A ．()2214x y ++=B ．()2212x y ++= C ．()2214x y -+=D ．()2214x y +-=【一隅三反】1．已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足()3x i i y i +=-，则x yi +=（ ）A ．10 BC ．3D ．12．复数12z i =-(其中i 为虚数单位)，则3z i +=（ ）A ．5 BC ．2 D3．已知复数z 满足|2|1-+=z i ，则||z 的最小值为（ ）A1 B1 C1 D14．已知复数z 满足条件1z =，那么z i ++的最大值为______．《7.1 复数的概念（精讲）》考点讲解答案解析考法一 实部虚部的辨析【例1】（1）已知i 是虚数单位，复数12z i =-的虚部为（ ）B ．2- B ．2C ．2i -D ．1（2）．已知,x y R ∈，且32x i yi +=+，则,x y 的值分别为（ ）A ．21,3B ．3,1C ．2,13D ．1,3（3）3-的平方根是________.【答案】（1）A （2）C （3）【解析】（1）复数12z i =-的虚部为2-.故选：A.（2）由题意知，321x y =⎧⎨=⎩，解得231x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故选: C. （3）由()23=-得解.【一隅三反】1．1-的平方根为______．【答案】i ±【解析】()21i ±=-，因此，1-的平方根为i ±.故答案为i ±.2．复数2（i 是虚数单位）的实部为（ ）A ．2B ．C ．2-D ．0【答案】A【解析】根据复数的基本概念，可得复数22-的实部为2．故选：A ． 3．若复数1(1)2z i =-+，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A ．12i -B ．12iC ．12-D ．12 【答案】D 【解析】因为复数111(1)222z i i =-+=--，所以z 的共轭复数1122z i =-+，虚部是12，故选：D ．4．以2i -2+的实部为虚部的复数是（ ）A ．2i +B ．22i +CD ．45i - 【答案】B【解析】22i i =的虚部为222+=+的实部为2，则复数为22z i =+故选：B.考法二 复数的分类【例2】已知复数()2262153m m z m m i m --=+--+（i 是虚数单位） （1）复数z 是实数，求实数m 的值；（2）复数z 是虚数，求实数m 的取值范围；（3）复数z 是纯虚数，求实数m 的值.【答案】（1）5m =；（2）5m ≠且3m ≠-；（3）3m =或2.【解析】（1）复数z 是实数，则2215030m m m ⎧--=⎨+≠⎩，解得5m =； （2）复数z 是虚数，则221503m m m ⎧--≠⎨≠-⎩，解得5m ≠且3m ≠-；（3）复数是纯虚数，则226032150m m m m m ⎧--=⎪≠-⎨⎪--≠⎩，解得3m =或2．【一隅三反】1．已知复数()()223183,z m m m m i m R =+-+-∈，其中i 为虚数单位.（1）若复数z 是实数，求实数m 的值；（2）若复数z 是纯虚数，求实数m 的值.【答案】（1）0或3；（2）6-.【解析】（1）若复数z 是实数，则230m m -=所以0m =或3m =. （2）若复数z 是纯虚数，则22303180m m m m ⎧-≠⎨+-=⎩所以6m =-. 2．复数()()()2152615z i m i m i =++-+-． （1）实数m 取什么数时，z 是实数；（2）实数m 取什么数时，z 是纯虚数；（3）实数m 取什么数时，z 对应的点在直线70x y ++=上．【答案】（1）5m =或3-；（2）2m =-；（3）12m =或2- 【解析】复数222(1)(52)(615)(56)(215)z i m i m i m m m m i =++-+-=+++--．（1）由22150m m --=，解得5m =或3-．5m ∴=或3-时，复数z 为实数．（2）由225602150m m m m ⎧++=⎨--≠⎩，解得2m =-．2m ∴=-时，复数z 为纯虚数．（3）由22(56)(215)70m m m m +++--+=．化为：22320m m +-=， 解得12m =或2-．12m ∴=或2-，z 对应点在直线70x y ++=上．考法三 复数的几何意义--复平面【例3】（1）已知复数34z i =-+(i 虚单位)，则复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 （2）在复平面内，若复数()()2246z m m m m i =-+--所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,3B ．(),2-∞-C ．()2,0-D ．()3,4【答案】（1）B （2）D【解析】（1）由复数的几何意义知，复数34z i =-+在复平面内对应的点为()3,4-，即在第二象限，故选：B（2）∵在复平面内，若复数()()2246z m m m m i =-+--所对应的点在第二象限， ∴224060m m m m ⎧-<⎨-->⎩解得34x <<∴实数m 的取值范围是()3,4故选：D. 【一隅三反】1．在复平面内，复数1i +的共轭复数所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D 【解析】复数1i +的共轭复数为1i -，∴其对应的点()1,1-位于第四象限.故选：D.2．设复数2z i =+，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】复数2z i =+的共轭复数2z i =-，则对应点的坐标为()2,1-，该点位于第四象限，故选：D.3．若()()11z m m i =++-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,1-D ．()1,-+∞【答案】C 【解析】()()11z m m i =++-对应的点为()1,1m m +-，因为对应的点位于第四象限，得1010m m +>⎧⎨-<⎩，解得11m -<<.故选：C.考法四 复数的几何意义--模长【例4】（1）（设i 虚数单位，复数12z i =+，则||z =（ ）A B ．5 C ．1 D ．2（2）已知(26)12i x yi +=+，其中x ､y 是实数，则||x yi +=（ ）A ．12B ．32C ．2D ．2（3）设复数z 满足2z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则（ ）A ．()2214x y ++=B ．()2212x y ++=C ．()2214x y -+=D ．()2214x y +-= 【答案】（1）A （2）C （3）D【解析】（1）||z == A（2）因为2612x xi yi +=+，所以21x =，62x y =，解得12x =，332y x ==，所以x yi +==，故选：C. （3）z 在复平面内对应的点为(),x y ，则复数()=,z x yi x y R +∈, 则()=12z i x y i -=+-，由复数的模长公式可得()22+1=4x y -，故选：D 【一隅三反】1．已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足()3x i i y i +=-，则x yi +=（ ）A ．10BC ．3D ．1【答案】B【解析】由(3)x i i y i +=-，得3xi y i -+=-，1x ∴=-，3y =-．则||x yi +故选：B ．2．复数12z i =-(其中i 为虚数单位)，则3z i +=（ ）A ．5B C ．2 D 【答案】B【解析】因为12z i =-，所以31231z i i i i +=-+=+所以3z i +==故选：B .3．已知复数z 满足|2|1-+=z i ，则||z 的最小值为（ ）A 1B 1C 1D 1 【答案】A【解析】设z a bi =+，则()2211a bi i a b i +-+=-++==， 由()()22211x y -++=，表示为以()2,1-为圆心，1为半径的圆，1，因为z =1，故选:A.4．已知复数z 满足条件1z =，那么z i ++的最大值为______．【答案】4【解析】因为1z =，所以复数z 对应的点在单位圆上，z i +表示复数z 对应的点与复数i -对应的点()1M --之间的距离，而3OM ==．所以z i +的最大值为14OM r OM +=+=.故答案为：4《7.1 复数的概念（精练）》同步练习【题组一 实部虚部辨析】1．若(2)x i i y i +=+，其中,x y R ∈，i 为虚数单位，则复数z x yi =+的虚部为（ ）A ．1B ．iC ．2-D ．2i -2．设i 为虚数单位，则复数55z i =-的实部为（ ）A ．5-B ．5i -C ．5D ．5i3．复数3z i =-的虚部是（ ）A ．1B ．iC ．-1D ．i -4．数24i z =--的虚部是（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．45．已知复数1z i =-，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部为（ ）A ．iB ．i -C ．1-D ．1【题组二 复数的分类】1．已知复数()()1i 1i z m =--+是纯虚数，则实数m =（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．1 2． i 为虚数单位，已知复数21(1)a a i -+-是纯虚数，则a 等于（ ）A ．±1B ．1C ．1-D ．03．设复数i z a b =+(其中a b R ∈、，i 为虚数单位)，则“0a =”是“z 为纯虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4．已知a 为实数，若复数()24(2)z a a i =-++为纯虚数，则复数z 的虚部为（ ）A ．2B ．4iC ．2±D ．4 5．已知i 为虚数单位，a R ∈，复数()242a a i -+-是纯虚数，则a =（ ）A ．2B ．-2C ．4D ．-2或26．若复数(1)(2)z m m i =++-（m ∈R ）是纯虚数，则m =______ 7．已知复数223(3)z m m m i =--+-为纯虚数，则实数m =_____________8．实数m 取怎样的值时，复数()22153m m z i m --=-+是： （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？9．已知复数()()11z m m i m R =++-∈. （1）m 取什么值时，z 为实数； （2）m 取什么值时，z 为纯虚数.10．已知m 为实数，i 为虚数单位，设复数()()2256253z m m m m i =++++-. （1）当复数z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z 对应的复点在直线70x y -+=的右下方，求m 的取值范围.【题组三 复数的几何意义--复平面】1．在复平面内，复数1i -+所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若,a b ∈R ，则复数()()224526a a b b i -++-+-表示的点在（ ） A ．在第一象限 B ．在第二象限 C ．在第三象限D ．在第四象限3．复数()()2lg 2221()x xz x i x R -=-+-+-∈在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且12z i =+，则2z =（ ） A ．2i +B ．2i -+C ．2i -D ．2i --5．已知()()214Z m m i =++-在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是____.6．已知复数()()22lg 223z m m m m i =-++-若复数z 是实数，则实数m =_____；若复数z 对应的点位于复平面的第二象限，则实数的取值范围为________.7.在复平面内，复数()()222z m m m i =++--对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围是________．【题组四 复数的几何意义--模长】1．已知a R ∈，若有a i -=i 为虚数单位），则a =（ ） A ．1B ．2-C ．2±D ．±12．设复数z 满足1z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y 则x ，y 满足的关系式为______.3．已知a ，b R ∈，()123ai b a i +=++，则a =______，3a bi +=______. 4．知i 是虚数单位，若1z i =+，则22z z -=________. 5．若z C ∈且342z i ++≤，则z 的取值范围为__________． 【题组五 复数综合应用】1．（多选）已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）A ．复数z 的虚部为iB ．z =C ．复数z 的共轭复数1z i =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限2．若复数12z i =+（i 为虚数单位），则下列命题正确的是（ ）A ．z 是纯虚数B ．z 的实部为2C ．z 的共轭复数为12i -+D ．z 3．已知复数z 在复平面上对应的点为()1,1-，则（ ） A ．z i +是实数（i 为虚数单位） B ．z i +是纯虚数（i 为虚数单位） C ．1z +是实数 D ．1z +是纯虚数4．关于复数3－4i 的说法正确的是（ ）①实部和虚部分别为3和-4；②复数模为5③在复平面内对应的点在第四象限；④共轭复数为3+4i A ．①③ B ．①②④C ．①②③④D ．①③④《7.1 复数的概念（精练）》同步练习答案解析【题组一 实部虚部辨析】1．若(2)x i i y i +=+，其中,x y R ∈，i 为虚数单位，则复数z x yi =+的虚部为（ ） A ．1 B ．iC ．2-D ．2i -【答案】C【解析】由于(2)x i i y i +=+，则1x=且2y =-，所以12z x yi i =+=-，所以复数z 的虚部为2-.故选：C.2．设i 为虚数单位，则复数55z i =-的实部为（ ） A ．5- B ．5i -C ．5D ．5i【答案】C【解析】复数55z i =-的实部为5.故选：C. 3．复数3z i =-的虚部是（ ） A ．1 B ．iC ．-1D ．i -【答案】C【解析】由复数虚部的定义得复数3z i =-的虚部是1-.故选：C 4．复数24i z =--的虚部是（ ） A ．2- B ．2C ．4-D ．4【答案】C【解析】因为24i z =--，所以由复数定义可知虚部是4-，故选：C. 5．已知复数1z i =-，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．i B ．i -C ．1-D ．1【答案】C【解析】因为1z i =-，则虚部为1-.故选：C.【题组二 复数的分类】1．已知复数()()1i 1i z m =--+是纯虚数，则实数m =（ ） A ．-2 B ．-1C ．0D ．1【答案】D【解析】()()()1i 1i 11i z m m m =--+=--+，因为z 为纯虚数且m 为实数，故1010m m -=⎧⎨+≠⎩，故1m =， 故选：D2． i 为虚数单位，已知复数21(1)a a i -+-是纯虚数，则a 等于（ ） A ．±1 B ．1C ．1-D ．0【答案】C【解析】复数21(1)a a i -+-是纯虚数，所以21010a a ⎧-=⎨-≠⎩，得1a =-.故选：C.3．设复数i z a b =+(其中a b R ∈、，i 为虚数单位)，则“0a =”是“z 为纯虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若复数i z a b =+是纯虚数，则0a =，0b ≠， 则0a =不能证得z 为纯虚数，z 为纯虚数可以证得0a =， 故“0a =”是“z 为纯虚数”的必要非充分条件， 故选：B.4．已知a 为实数，若复数()24(2)z a a i =-++为纯虚数，则复数z 的虚部为（ ） A ．2 B ．4iC ．2±D ．4【答案】D【解析】2(4)(2)z a a i =-++为纯虚数，∴24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，即2a =．∴复数z 的虚部为4．故选：D ．5．已知i 为虚数单位，a R ∈，复数()242a a i -+-是纯虚数，则a =（ ）A ．2B ．-2C ．4D ．-2或2【答案】B【解析】因为复数()242a a i -+-是纯虚数，所以240,202a a a -=-≠∴=-故选：B6．若复数(1)(2)z m m i =++-（m ∈R ）是纯虚数，则m =______ 【答案】-1【解析】复数(1)(2)z m m i =++-（m ∈R ）是纯虚数，则1020m m +=⎧⎨-≠⎩，所以1m =-. 故答案为：-17．已知复数223(3)z m m m i =--+-为纯虚数，则实数m =_____________【答案】1-【解析】由题意，复数223(3)z m m m i =--+-为纯虚数，则满足223030m m m ⎧--=⎨-≠⎩，解得1m =-，即实数m 的值为1-.故答案为：1-.8．实数m 取怎样的值时，复数()22153m m z i m --=-+是： （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？【答案】（1）5m =或3m =-；（2）5m ≠且3m ≠-；（3）3m =. 【解析】（1）若22150m m --=，则z 为实数，此时3m =-或者5m =. （2）若22150m m --≠，则z 为虚数，此时3m ≠-且5m ≠.（3）若2302150m m m -=⎧⎨--≠⎩ ，则z 为纯虚数，此时3m =.9．已知复数()()11z m m i m R =++-∈.（1）m 取什么值时，z 为实数； （2）m 取什么值时，z 为纯虚数. 【答案】（1）1m =（2）1m =-【解析】（1）复数()()11z m m i m R =++-∈，若z 为实数，则10m -=，即1m =（2）若z 为纯虚数，则1010m m +=⎧⎨-≠⎩，解得1m =-10．已知m 为实数，i 为虚数单位，设复数()()2256253z m m m m i =++++-. （1）当复数z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z 对应的复点在直线70x y -+=的右下方，求m 的取值范围. 【答案】（1）2-；（2）(4,4)-.【解析】（1）由题意得：225602530m m m m ⎧++=⎨+-≠⎩，解得2m =-；（2）复数z 对应的点的坐标为22(56,253)m m m m +++-， 直线70x y -+=的右下方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+>， 所以22(56)(253)70m m m m ++-+-+>， 解得44m -<<，所以m 的取值范围为(4,4)-. 【题组三 复数的几何意义--复平面】1．在复平面内，复数1i -+所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【解析】由题,1i -+在复平面内对应的点为()1,1-,在第二象限,故选:B 2．若,a b ∈R ，则复数()()224526a a b b i -++-+-表示的点在（ ） A ．在第一象限 B ．在第二象限 C ．在第三象限 D ．在第四象限【答案】D【解析】因为()2245210a a a -+=-+>，()2226150b b b -+-=---<， 所以由复数的几何意义知该复数表示的点在第四象限.故选：D3．复数()()2lg 2221()x xz x i x R -=-+-+-∈在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】复数()()2lg 2221()x xz x i x R -=-+-+-∈的实部()2lg 2a x -=+、虚部()221x x b -=-+-.因为()22221lg 20x x +≥>⇒+>,所以0a <. 因为21122202x x x x --≥-+⇒≥>+,所以0b <. 所以复数z 在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C4．设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且12z i =+，则2z =（ ） A ．2i + B ．2i -+C ．2i -D ．2i --【答案】B 【解析】12z i =+，1z ∴在复平面内对应点的坐标为(2,1)，由复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，可知2z 在复平面内对应的点的坐标为(2,1)-，22z i ∴=-+，故选：B ．5．已知()()214Z m m i =++-在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是____.【答案】(),2-∞-【解析】()()214Z m m i =++-在复平面内对应的点()21,4m m +-在第二象限，所以21040m m +<⎧⎨->⎩，解得2m <-，即实数m 的取值范围是(),2-∞-.故答案为：(),2-∞-6．已知复数()()22lg 223z m m m m i =-++-若复数z 是实数，则实数m =________；若复数z 对应的点位于复平面的第二象限，则实数的取值范围为________.【答案】3- 21m <<【解析】z 为实数，则2230m m +-=，解得1m =或3-，又220m m ->，所以3m =-．z对应点在第二象限，则22lg(2)0230m m m m ⎧-<⎨+->⎩，解得21m <<+．故答案为：3-；21m <<．7.在复平面内，复数()()222z m m m i =++--对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围是________．【答案】()()2,12,--+∞【解析】根据题意得出22020m m m +>⎧⎨-->⎩，解得21m -<<-或>2m ，所以实数m 的取值范围是()()2,12,--+∞．故答案为：()()2,12,--+∞．【题组四 复数的几何意义--模长】1．已知a R ∈，若有a i -=i 为虚数单位），则a =（ ） A ．1 B ．2-C ．2±D ．±1【答案】C【解析】因为a R ∈所以a i -==，即215a +=，解得2a =±，故选：C2．设复数z 满足1z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y 则x ，y 满足的关系式为______.【答案】22(1)1y x +-=【解析】由题意，设复数(,)z x yi x y R =+∈，因为1z i -=1=，整理得22(1)1y x +-=，即复数z 在复平面内对应的点为(),x y 则,x y 满足的关系式为22(1)1y x +-=.故答案为：22(1)1y x +-=.3．已知a ，b R ∈，()123ai b a i +=++，则a =______，3a bi +=______.【答案】3-【解析】∵()123ai b a i +=++∴123ba a =⎧⎨=+⎩，解得31a b =-⎧⎨=⎩，则333a bi i +=-+===故答案为：（1）3-；（2）4．已知i 是虚数单位，若1z i =+，则22z z -=________. 【答案】2【解析】根据复数模的计算公式得：22212+222z z i i i -=+--=.故答案为：2 5．若z C ∈且342z i ++≤，则z 的取值范围为__________． 【答案】[]3,7【解析】342z i ++≤的几何意义为复平面内动点Z 到定点()3,4A --的距离小于等于2的点的集合，z 表示复平面内动点Z 到原点的距离，∵||5OA ==，5252z ∴-≤≤+.∴z 的取值范围为[]3,7． 故答案为：[]3,7． 【题组五 复数综合应用】1．（多选）已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）A ．复数z 的虚部为iB ．z =C ．复数z 的共轭复数1z i =- D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限【答案】BCD【解析】因为复数1z i =+， 所以其虚部为1，即A 错误；z ==B 正确；复数z 的共轭复数1z i =-，故C 正确；复数z 在复平面内对应的点为()1,1，显然位于第一象限，故D 正确. 故选：BCD.2．若复数12z i =+（i 为虚数单位），则下列命题正确的是（ ）A ．z 是纯虚数B ．z 的实部为2C ．z 的共轭复数为12i -+D ．z 【答案】D【解析】复数12z i =+（i 为虚数单位）显然不是纯虚数，12z i =+的实部是1，z 的共轭复数为12i -，z =D 正确，故选：D.3．已知复数z 在复平面上对应的点为()1,1-，则（ ） A ．z i +是实数（i 为虚数单位） B ．z i +是纯虚数（i 为虚数单位） C ．1z +是实数 D ．1z +是纯虚数 【答案】D【解析】由题意可得，1z i =-+，则1z i +=为纯虚数，12z i i +=-+是虚数，但不是纯虚数，故选：D ．4．关于复数3－4i 的说法正确的是（ ） ①实部和虚部分别为3和-4；②复数模为5③在复平面内对应的点在第四象限；④共轭复数为3+4i A ．①③ B ．①②④C ．①②③④D ．①③④【答案】C【解析】复数3－4i 的实部和虚部分别为3和-4，①正确；复数模为5，②正确； 在复平面内对应的点为(3,4)-在第四象限，③正确；复数3－4i 的共轭复数为3+4i ，④正确.故选：C.。
复数讲义(含知识点和例题及解析)
数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部。
若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数。
(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )。
(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )。
(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。
x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。
(5)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2。
2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )。
(2)复数z ＝a ＋b i ――→一一对应平面向量OZ →(a ，b ∈R )。
3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )则： ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i 。
②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i 。
③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 。
④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0)。
(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)。
复数(基础+复习+习题+练习)
课题：复数考纲要求：(Ⅰ)复数的概念：①理解复数的基本概念；②理解复数相等的充要条件；③了解复数的代数表示法及其几何意义；（Ⅱ）)复数的四则运算：①会进行复数的代数形式的四则运算；②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.教材复习 1.虚数单位i :()1它的平方等于1-，即 21i =-;()2实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2.i 与－1的关系: i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -.3.i 的周期性：41n i i +=, 421n i +=-, 43n i i +=-, 41n i =.4.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示5.复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a bi+的形式，叫做复数的代数形式.6.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当0b =时，复数(,)a bi a b R +∈是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数07.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 苘苘8.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果a ，b ，c ，d R ∈，那么a bi c di +=+⇔a c =,b d = 9. 复平面、实轴、虚轴：复数(,)z a bi a b R =+∈与有序实数对(),a b 是一一对应关系.建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a纵坐标是b ，复数(,)z a bi a b R =+∈可用点(),Z a b 表示，这个 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()是000z i =+=表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.10.复数1z 与2z 的和的定义：12z z +=()()a bi c di +++=()()a c b d i +++11.复数1z 与2z 的差的定义：12z z -=()()a bi c di +-+=()()a c b d i -+- 12.复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+13.复数的加法运算满足结合律: 123123()()z z z z z z ++=++ 14.乘法运算规则：设1z a bi =+，2z c di =+(a 、b 、c 、d R ∈)是任意两个复数，那么它们的积()()()()12z z a bi c di ac bd bc ad i =++=-++其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.15.乘法运算律：(1)()()123123z z z z z z = ()2123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅()3()1231213z z z z z z z +=+3.复数除法定义：满足()()()c di x yi a bi ++=+的复数x yi +(x 、y R ∈)叫复数a bi +除以复数c di +的商，记为：()()a bi c di +÷+或者dic bia ++ 16.除法运算规则：①设复数a bi + (a 、b R ∈)，除以c di + (c ，d R ∈)，其商为x yi +（x 、y R ∈)，即()()a bi c di x yi +÷+=+∵()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++ ∴()()cx dy dx cy i a bi -++=+由复数相等定义可知⎩⎨⎧=+=-.,b cy dx a dy cx 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=.,2222d c ad bc y d c bd ac x于是有: ()()a bi c di +÷+2222ac bd bc adi c d c d +-=+++②利用()()22c di c di c d +-=+于是将dic bia ++的分母有理化得：原式22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad ic di c di c di cd ++-+⋅-+-===++-+ 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc adi c d c d c d ++-+-==++++.∴(()()a bi c di +÷+=i dc adbc d c bd ac 2222+-+++ 点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c di +与复数c di -，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而()()22c di c di c d +-=+是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法.17.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
复变函数复习资料
(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. ①两个复数相等，当且仅当它们的实部与虚部分别相等。
②一个复数等于零，当且仅当它的实部与虚部同时等于零。
③称复数x+iy 和x-iy 互为共轭复数。
2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于[)π2,0中的幅角。
（()Arg z 有无穷个值，()arg z 是复数z 的辐角的主值()Arg z =()arg z +2k π3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下： 当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：)sin (cos z θθi r +=，其中)(r z g A =θ；注：中间一定是“+”号。
（r=|z|）5）指数表示：θi re =z ，其中)(r z g A =θ。
(二) 复数的运算 1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±··2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
高中数学第七章复数经典大题例题(带答案)
高中数学第七章复数经典大题例题单选题1、已知z =2+i ，则z−i 1+i =（ ）A ．1−2iB ．2+2iC ．2iD ．−2i答案：D分析：根据共轭复数的定义及复数的除法法则即可求解.由z =2+i ，得z =2−i ，所以z−i 1+i =2−i−i 1+i =2(1−i )×(1−i )(1+i )×(1−i )=2×(1−2i+i 2)2=−2i .故选：D.2、设(−1+2i)x =y −1−6i ，x,y ∈R ，则|x −yi|=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3答案：B分析：根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得{x =−3y =4，进而求模长即可. 因为(−1+2i )x =y −1−6i ，所以{2x =−6−x =y −1，解得{x =−3y =4， 所以|x −yi |=|−3−4i|=√(−3)2+(−4)2=5.故选：B.3、已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z =z .则其中正确命题的个数为A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案：C解析：运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.对于①中复数z 1和z 2的模相等,例如z 1=1+i ,z 2=√2i ,则z 1和z 2是共轭复数是错误的;对于②z 1和z 2都是复数,若z 1+z 2是虚数,则其实部互为相反数,则z 1不是z 2的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z =a ,则z =a 所以z =z ,反之当z =z 时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z =z 是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C小提示：本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.4、在复平面内，复数z =1+i 1−i +1−i 2对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：由复数的运算求出z ，则可得其对应的点的坐标，从而得出结论．z =(1+i)2(1−i)(1+i)+1−i 2=2i 2+1−i 2=12+12i ， 则z 在复平面内对应的点为(12，12)，在第一象限，故选：A .5、z 1、z 2是复数，则下列结论中正确的是（ ）A ．若z 12+z 22>0，则z 12>−z 22B ．|z 1−z 2|=√(z 1+z 2)2−4z 1⋅z 2C ．z 12+z 22=0⇔z 1=z 2=0D ．|z 12|=|z 1|2答案：D解析：举反例z 1=2+i ，z 2=2−i 可判断选项A 、B ，举反例，z 2=i 可判断选项C ，设z 1=a +bi ，(a,b ∈R )，分别计算|z 12|、|z 1|2即可判断选项D ，进而可得正确选项.对于选项A ：取z 1=2+i ，z 2=2−i ，z 12=(2+i )2=3+2i ，z 22=(2−i )2=3−2i ，满足z 12+z 22=6>0，但z 12与z 22是两个复数，不能比较大小，故选项A 不正确；对于选项B ：取z 1=2+i ，z 2=2−i ，|z 1−z 2|=|2i |=2，而√(z 1+z 2)2−4z 1⋅z 2=√42−4(2+i )(2−i )=√16−20无意义，故选项B 不正确；对于选项C ：取，z 2=i ，则z 12+z 22=0，但是z 1≠0，z 2≠0，故选项C 不正确；对于选项D ：设z 1=a +bi ，(a,b ∈R )，则z 12=(a +bi )2=a 2−b 2+2abi11z =11z =|z 12|=√(a 2−b 2)2+4a 2b 2=√(a 2+b 2)2=a 2+b 2，z 1=a −bi ，|z 1|=√a 2+b 2，所以|z 1|2=a 2+b 2，所以|z 12|=|z 1|2，故选项D 正确.故选：D.6、已知i 为虚数单位，则i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=（ ）A ．iB ．−iC ．1D ．-1答案：A分析：根据虚数的运算性质，得到i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=0，得到i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=i 2021，即可求解.根据虚数的性质知i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=1+i −1−i =0，所以i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=505×0+i 2021=i .故选：A.7、已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．−2D ．−1答案：D分析：选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.记|BP⃗⃗⃗⃗⃗ |=x ，x ∈[0,4] 因为AP⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 2−2x =(x −1)2−1≥−1. 故选：D8、已知关于x 的方程（x 2＋mx ）＋2x i ＝－2－2i （m ∈R ）有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于（ ）A ．3＋iB ．3－iC．－3－iD．－3＋i答案：B分析：根据复数相等得出m,n的值，进而得出复数z. 由题意知（n2＋mn）＋2n i＝－2－2i，即{n 2+mn+2=02n+2=0，解得{m=3,n=−1，∴z=3−i故选：B多选题9、已知复数z=21+i，则正确的是（）A．z的实部为﹣1B．z在复平面内对应的点位于第四象限C．z的虚部为﹣iD．z的共轭复数为1+i答案：BD分析：根据复数代数形式的乘除运算化简，结合复数的实部和虚部的概念、共轭复数的概念求解即可.因为z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，所以z的实部为1，虚部为-1，在复平面内对应的点为(1，-1)，在第四象限，共轭复数为z=1+i，故AC错误，BD正确.故选：BD10、复数z=1−i，则（）A．z在复平面内对应的点的坐标为(1,−1)B．z在复平面内对应的点的坐标为(1,1)C．|z|=2D．|z|=√2答案：AD分析：利用复数的几何意义，求出复数对应的点坐标为(1,−1)，即可得答案；z=1−i在复平面内对应的点的坐标为(1,−1)，|z|=√2．故选：AD.11、已知复数z满足(1+i3)z=2，则下列说法中正确的有（）A．z的虚部是iB．|z|=√2C．z⋅z=2D．z2=2答案：BC分析：根据复数的除法运算求出z，结合相关概念以及复数乘法运算即可得结果.z=21+i3=21−i=1+i，其虚部为1，|z|=√2，z⋅z=(1+i)(1−i)=2，z2=(1+i)2=2i≠2．故选：BC.12、已知复数z1=−2+i（i为虚数单位），复数z2满足|z2−1+2i|=2，z2在复平面内对应的点为，则（）A．复数z1在复平面内对应的点位于第二象限B．1z1=−25−15iC．(x+1)2+(y−2)2=4D．|z2−z1|的最大值为3√2+2答案：ABD分析：利用复数的几何意义可判断A选项；利用复数的除法运算可判断B选项；利用复数的模长公式可判断C选项；利用复数模长的三角不等式可判断D选项.对于A选项，复数z1在复平面内对应的点的坐标为(−2,1)，该点位于第二象限，A对；对于B选项，1z1=1−2+i=−2−i(−2+i)(−2−i)=−25−15i，B对；对于C选项，由题意可得z2−1+2i=(x−1)+(y+2)i，因为|z2−1+2i|=2，则(x−1)2+(y+2)2=4，C错；对于D选项，z1−1+2i=−3+3i，则|z1−1+2i|=√(−3)2+32=3√2，所以，|z2−z1|=|(z2−1+2i)−(z1−1+2i)|≤|z2−1+2i|+|z1−1+2i|=2+3√2，D对.(), M x y故选：ABD.13、若复数z 满足：z (z +2i )=8+6i ，则（ ）A ．z 的实部为3B ．z 的虚部为1C ．zz =√10D ．z 在复平面上对应的点位于第一象限答案：ABD分析：根据待定系数法，将z =a +bi (a,b ∈R )代入条件即可求解a =3，b =1，进而即可根据选项逐一求解. 设z =a +bi (a,b ∈R )，因为z (z +2i )=8+6i ，所以zz +2iz =8+6i ，所以(a 2+b 2−2b )+2ai =8+6i ，所以a 2+b 2−2b =8，2a =6，所以a =3，b =1，所以z =3+i ，所以z 的实部为3，虚部为1，故A ，B 正确；zz =|z |2=10，故C 不正确；z 在复平面上对应的点(3,1)位于第一象限，故D 正确．故选:ABD ．填空题14、i 2 021＝________.答案：i分析：利用周期性求得所求表达式的值.i 2021=i 505×4+1=i 1=i所以答案是：i15、设复数z ，满足|z 1|=1，|z 2|=2，z 1+z 2=√3−i ，则|z 1−z 2|=____________．答案：√6解析：根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出|z 1−z 2|的值.设z 1,z 2在复平面中对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，z 1+z 2对应的向量为OZ 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，如下图所示：因为z 1+z 2=√3−i ，所以|z 1+z 2|=√3+1=2，所以cos∠OZ 1Z 3=12+22−221×2×2=14， 又因为∠OZ 1Z 3+∠Z 1OZ 2=180°，所以cos∠Z 1OZ 2=−cos∠OZ 1Z 3=−14，所以|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=OZ 12+OZ 22−2OZ 1⋅OZ 2⋅cos∠Z 1OZ 2=1+4+1=6， 所以|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6，又|z 1−z 2|=|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6，所以答案是：√6.小提示：名师点评复数的几何意义：（1）复数z =a +bi (a,b ∈R )一一对应↔复平面内的点Z (a,b )(a,b ∈R )； （2）复数z =a +bi (a,b ∈R ) 一一对应↔平面向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ . 16、在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,−5).则(1−i)z =___________.答案：−2−8i ##−8i −2分析：根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,−5)，则z =3−5i ，所以(1−i)z =(1−i)(3−5i)=−2−8i .所以答案是：−2−8i解答题17、已知复数z 1＝4－m 2＋（m －2）i ，z 2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i （其中i 是虚数单位，m ，λ，θ∈R ）.(1)若z 1为纯虚数，求实数m 的值；(2)若z 1＝z 2，求实数λ的取值范围.答案：(1)-2；(2)[2，6]分析：（1）z 1为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，解得参数值；（2）由z 1＝z 2，实部、虚部分别相等，求得λ关于θ的函数表达式，根据sinθ的范围求得参数取值范围.(1)由z 1为纯虚数，则{4−m 2=0,m −2≠0,解得m ＝－2. (2)由z 1＝z 2，得{4−m 2=λ+2sinθ,m −2=cosθ−2,∴λ＝4－cos 2θ－2sin θ＝sin 2θ－2sin θ＋3=(sinθ−1)2+2. ∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin ＝2，当sin θ＝－1时，λmax ＝6，∴实数λ的取值范围是[2，6].18、已知m ∈R ，α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．（1）若|α−β|=2√2，求m 的值；（2）用m 表示|α|+|β|．答案：（1）−1或3；（2）|α|+|β|={2√m,m >12,0≤m ≤12√1−m,m <0.分析：（1）由α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．可得α+β=−2，αβ=m ，对α，β分为实数，与一对共轭虚根即可得出．（2）不妨设α⩽β，对m 及其判别式分类讨论，利用根与系数的关系即可得出．解：（1）∵α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．∴α+β=−2，αβ=m ，若α，β为实数，即Δ=4−4m ≥0，解得m ≤1时；则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=√4−4m ，解得m =−1．若α，β为一对共轭复数，即Δ=4−4m <0，解得m >1时；则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=|√4m −4i|，解得m =3．综上可得：m =−1或3．（2）因为x2+2x+m=0，不妨设α⩽β．Δ=4−4m⩾0，即m⩽1时，方程有两个实数根．α+β=−2，αβ=m，0⩽m⩽1时，|α|+|β|=|α+β|=2．m<0时，α与β必然一正一负，则|α|+|β|=−α+β=√(α+β)2−4αβ=2√1−m．Δ=4−4m<0，即m>1时，方程有一对共轭虚根．|α|+|β|=2|α|=2√α2=2√m综上可得：|α|+|β|={2√m,m>1 2,0⩽m⩽12√1−m,m<0．。
复变函数复习资料
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z xx y y z x ππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 当x=0 arg=+-二分之拍4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+” 5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x i y x i y z x i y x x y y y x y x i z x i y x i y x i y x y x y+-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z eθθ+=；()121122i z z e z z θθ-= 3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
《复数》全章习题
《复数》全章习题 学习目标 1.巩固复数的概念和几何意义.2.理解并能进行复数的四则运算，并认识复数加减法的几何意义．知识点一 复数的四则运算若两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i (a 1，b 1，a 2，b 2∈R )．(1)加法：z 1＋z 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ；(2)减法：z 1－z 2＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ；(3)乘法：z 1·z 2＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ；(4)除法：z 1z 2＝a 1a 2＋b 1b 2a 22＋b 22＋a 2b 1－a 1b 2a 22＋b 22i(z 2≠0)； (5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；(6)特殊复数的运算：i n (n 为正整数)的周期性运算；(1±i)2＝±2i ；若ω＝－12±32i ，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0. 知识点二 共轭复数与复数的模(1)若z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i ，z ＋z 为实数，z －z 为纯虚数(b ≠0)．(2)复数z ＝a ＋b i 的模，|z |＝a 2＋b 2，且z ·z ＝|z |2＝a 2＋b 2.知识点三 复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→、OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向Z 1的向量所对应的复数．类型一 复数的四则运算例1 (1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 012＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i； (2)已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模． 解 (1)原式＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 1 006＋(4－8i )2－(4－8i )211－7i＝i ＋(－i)1 006＋0＝－1＋i.(2)z 2－3z ＋6z ＋1＝(1＋i )2－3(1＋i )＋62＋i ＝3－i 2＋i＝1－i ， ∴z 2－3z ＋6z ＋1的模为 2. 反思与感悟 (1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a ＋b i)÷(c ＋d i)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．(2)虚数单位i 的周期性：①i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)；②i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)． 跟踪训练1 计算：1i (2＋2i)5＋(11＋i )4＋(1＋i 1－i)7. 解 1i (2＋2i)5＋(11＋i )4＋(1＋i 1－i)7 ＝－i·(2)5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋[1(1＋i )2]2＋i 7 ＝162(－1＋i)－14－i ＝－(162＋14)＋(162－1)i. 类型二 复数的几何意义例2 设复数z 满足|z |＝1，求|z －(3＋4i)|的最值．解 由复数的几何意义，知|z |＝1表示复数z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，因而|z －(3＋4i)|的几何意义是求此圆上的点到点C (3,4)的距离的最大值与最小值． 如图，易知|z －(3＋4i)|max ＝|AC |＝|OC |＋1＝32＋42＋1＝6，|z －(3＋4i)|min ＝|BC |＝|OC |－1＝4.反思与感悟 复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应的两点Z 1，Z 2之间的距离． 跟踪训练2 已知点集D ＝{z ||z ＋1＋3i|＝1，z ∈C }，试求|z |的最小值和最大值． 解 点集D 的图象为以点C (－1， －3)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P 对应的复数为z ，则|OP →|＝|z |.由图知，当OP 过圆心C (－1，－3)时，与圆交于点A 、B ，则|z |的最小值|OA |＝|OC |－1＝(－1)2＋(－3)2－1＝2－1＝1，即|z |min ＝1；|z |的最大值|OB |＝|OC |＋1＝2＋1＝3，即|z |max ＝3.类型三 复数相等 例3 已知复数z 满足z ＋z ·z ＝1－2i 4，求复数z . 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∵z ＋z ·z ＝1－2i 4， ∴x ＋y i ＋x 2＋y 2＝1－2i 4， 即⎩⎨⎧ x ＋x 2＋y 2＝14，y ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－12.∴z ＝－12i 或z ＝－1－12i.反思与感悟 两个复数相等是解决复数问题的重要工具．“复数相等”可以得到两个实数等式，为应用方程提供了条件，常用于确定系数，解复数方程等问题．跟踪训练3 设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则|z |＝________.答案 5 解析 设z ＝a ＋b i ，∴z 2＝(a 2－b 2)＋2ab i.又∵z 2＝3＋4i ，∴a 2－b 2＝3,2ab ＝4，解得a 2＝4，b 2＝1，∴|z |＝a 2＋b 2＝ 5.1．复数z ＝2＋a i 1＋i(a ∈R )在复平面内对应的点在虚轴上，则a 等于( ) A ．2B ．－1C ．1D ．－2答案 D解析 z ＝2＋a i 1＋i ＝(2＋a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(2＋a )＋(a －2)i 2在复平面内对应的点(2＋a 2，a －22)在虚轴上，所以2＋a ＝0，即a ＝－2. 2．已知复数z ＝1＋2i 1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 014为( ) A ．1＋iB ．1－iC ．iD ．1答案 C3．△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( )A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心 答案 D 解析 由几何意义知，复数z 对应的点到△ABC 三个顶点距离都相等，z 对应的点是△ABC 的外心．4．若|z －1|＝2，则|z －3i －1|的最小值为________．答案 1解析 因为|z －1|＝2，所以复数z 在复平面内对应的点在以(1,0)为圆心，2为半径的圆上．|z －3i －1|表示复数z 在复平面内对应的点到点(1,3)的距离，因此，距离的最小值1.5．设复数z 和它的共轭复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，求复数z .解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．因为4z ＋2z ＝33＋i ， 所以2z ＋(2z ＋2z )＝33＋i.2z ＋2z ＝2(a ＋b i)＋2(a －b i)＝4a ，整体代入上式，得2z ＋4a ＝33＋i.所以z ＝33－4a 2＋i 2. 根据复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧ a ＝33－4a 2，b ＝12，解得⎩⎨⎧ a ＝32，b ＝12，所以z ＝32＋i 2.1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化．2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现．3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或取值范围)和复数方程等问题． 课时作业 一、选择题1．复数z 对应的点在第二象限，它的模为3，实部是－5，则z 是( )A ．－5＋2iB ．－5－2i C.5＋2iD.5－2i答案 B解析 设复数z 的虚部为b ，则z ＝－5＋b i ，b >0，∵3＝5＋b 2，∴b ＝2，∴z ＝－5＋2i ，则z 的共轭复数是－5－2i ，故选B.2．复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是( ) A.15i B.15 C ．－15i D ．－15答案 B解析 1－2＋i ＋11－2i＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i.故选B. 3．若z ＝1＋2i ，则4i z z －1等于( ) A ．1B ．－1C ．iD ．－i 答案 C解析 z ＝1＋2i ，则4i z z －1＝4i (1＋2i )(1－2i )－1＝4i 5－1＝i. 4．若复数z ＝cosπ12＋isin π12(i 是虚数单位)，复数z 2的实部，虚部分别为a ，b ，则下列结论正确的是( )A ．ab <0B ．a 2＋b 2≠1 C.a b ＝ 3 D.b a ＝ 3 答案 C解析 ∵z ＝cosπ12＋isin π12， ∴z 2＝(cos π12＋isin π12)2 ＝cos 2π12－sin 2π12＋2cos π12sin π12i ＝cos π6＋isin π6＝32＋12i ， 则a ＝32，b ＝12，则a b＝3，故选C. 5．向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则向量Z 1Z 2—→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．－8＋10iD ．8＋(－10i)答案 A解析 向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，可得Z 1(5，－4)；向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，可得Z 2(－5,4)；向量Z 1Z 2—→对应的点是(－10,8)，即向量Z 1Z 2—→对应的复数是－10＋8i.故选A.6．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( )A ．1B ．2 C. 5 D ．3 答案 D 解析 ∵|z |＝2，则复数z 对应的轨迹是以圆心为原点，半径为2的圆，而|z －i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离，∴其最大值为圆上的点(0，－2)到点(0,1)的距离，最大的距离为3.二、填空题7．i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________．答案 1解析 因为(1＋i)z ＝2，所以z ＝21＋i ＝1－i ，所以其实部为1. 8．如果z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i (2＋i )2，则z 1z 2＝________. 答案 4－3i解析 ∵z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i (2＋i )2， ∴z 1z 2＝(－2－3i )(2＋i )23－2i ＝－i (3－2i )(2＋i )23－2i＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i ＝4－3i.9．若复数1＋i 1－i＋b (b ∈R )所对应的点在直线x ＋y ＝1上，则b 的值为________． 答案 0解析 复数1＋i 1－i ＋b ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＋b ＝2i 2＋b ＝b ＋i. ∵所对应的点(b,1)在直线x ＋y ＝1上，∴b ＋1＝1，解得b ＝0.10．如图，在复平面内，点A 对应的复数为z 1，若z 2z 1＝i(i 为虚数单位)，则z 2＝________.答案 －2－i解析 由图可知，z 1＝－1＋2i ，∴由z 2z 1＝i ，得z 2＝z 1i ＝(－1＋2i)i ＝－2－i. 三、解答题11．已知复数z 1＝(1＋b i)(2＋i)，z 2＝3＋(1－a )i (a ，b ∈R ，i 为虚数单位)．(1)若z 1＝z 2，求实数a ，b 的值；(2)若b ＝1，a ＝0，求|z 1＋z 21－2i|. 解 (1)复数z 1＝(1＋b i)(2＋i)＝2－b ＋(2b ＋1)i ，z 2＝3＋(1－a )i ，由z 1＝z 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b ＝3，2b ＋1＝1－a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1， 所以实数a ＝2，b ＝－1.(2)若b ＝1，a ＝0，则z 1＝1＋3i ，z 2＝3＋i.|z 1＋z21－2i |＝|1＋3i ＋3－i||1－2i|＝42＋221＋(－2)2＝2. 12．已知复数z 1满足z 1(1－i)＝2(i 为虚数单位)，若复数z 2满足z 1＋z 2是纯虚数，z 1·z 2是实数，求复数z 2.解 ∵z 1(1－i)＝2，∴z 1＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(1＋i )2＝1＋i. 设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵z 1＋z 2＝1＋a ＋(b ＋1)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋b ≠0， ∴a ＝－1，b ≠－1. ∴z 1·z 2＝(1＋i)(－1＋b i)＝(－1－b )＋(b －1)i ，又z 1·z 2是实数，则b －1＝0，∴b ＝1，∴z 2＝－1＋i.13．求虚数z ，使z ＋9z∈R ，且|z －3|＝3. 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z ＋9z ＝a ＋b i ＋9a ＋b i ＝(a ＋9a a 2＋b 2)＋(b －9b a 2＋b2)i. 由z ＋9z ∈R ，得b －9b a 2＋b 2＝0， 又b ≠0，故a 2＋b 2＝9.① 又由|z －3|＝3，得(a －3)2＋b 2＝3.②由①②，得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝±332，即z ＝32＋332i 或z ＝32－332i. 四、探究与拓展14．若a 是复数z 1＝(1－i)(3＋i)的虚部，b 是复数z 2＝1＋i 2－i 的实部，则ab ＝________. 答案 －25解析 z 1＝(1－i)(3＋i)＝4－2i ，由a 是复数z 1＝(1－i)(3＋i)的虚部，得a ＝－2.z 2＝1＋i 2－i ＝(1＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝1＋3i 5＝15＋35i ， 由b 是复数z 2＝1＋i 2－i的实部，得b ＝15. 则ab ＝－2×15＝－25. 15．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. (1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．解 (1)AB →对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i ，BC →对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i ， AC →对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)知|AB →|＝|1＋i|＝2，|BC →|＝|－3＋i|＝10，|AC →|＝|－2＋2i|＝22，∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.故△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|＝12×2×22＝2.。
《复变函数》复习大纲及例题
《复变函数》复习大纲及例题1.复数的简单加减乘除运算、共轭复数、模2.复数的三角表示式、指数表示式例：1-=；例：23i +=.3.复数的对数或乘幂运算例：对数()1Ln -+的主值为；i i 的主值为.4.幂级数的收敛半径例：幂级数n n ∞=的收敛半径为3.5.复数的幂或方根运算例5-1：求()131i -的值.解：例5-2：求)55i 的值.解：)56556322ieie ππ--⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭=.6—9.灵活运用柯西-古萨基本定理、复合闭路定理、柯西积分公式、高阶求导公式、留数定理、留数的规则I、II、III求积分6.柯西-古萨基本定理例6-1沿指定曲线的正向计算积分：2cos ,:1Czzdz C z =⎰ .解：()2cos f z z z =在复平面内处处解析，由柯西—古萨基本定理可知2cos 0Cz zdz =⎰ .56552cos sin266i i e πππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭3arctan 233cos arctan sin arctan 22i i e⎤⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 5ln 26i π+2eπ-()11136432244cos sin ,0,1,2.3312k k i k i e πππππ-⎡⎤-+-+⎫⎢⎥+=⎪⎢⎥⎪⎭⎢⎥⎣⎦-==7.柯西积分公式（或留数定理、规则）例7-1沿指定曲线的正向计算积分：12,:322C dz C z z z i ⎛⎫+= ⎪+-⎝⎭⎰ .解：1211222262222C C Cdz dz dz i i i z z i z z i πππ⎛⎫+=+=+⋅=⎪+-+-⎝⎭⎰⎰⎰ 例7-2沿指定曲线的正向计算积分：,:212zCe dz C z z -=-⎰.解：法1（柯西积分公式）()22222zz z Ce dz i e e iz ππ==⋅=-⎰法2（留数定理）2z =是函数()2ze f z z =-的一级极点，则()()22Re ,2lim 22z z e s f z z e z →=-=⎡⎤⎣⎦-，由留数定理得()22Re ,222z Ce dz i sf z e i z ππ=⋅=⎡⎤⎣⎦-⎰.8.高阶导数公式（或留数定理、规则）例8-1沿指定曲线的正向计算积分：5,:1zCe dz C z z =⎰ .解：法1（高阶导数公式）()()4050224!4!12z z z C e i i idz e e z πππ=⎡⎤=⋅=⋅=⎢⎥⎣⎦⎰ .法2（留数定理）0z =是函数()5ze f z z =的五级极点，则()()455011Re ,0lim 4!24z z e s f z z z →⎛⎫=⋅=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，由留数定理得()52Re ,012z Ce i dz i sf z z ππ==⎡⎤⎣⎦⎰ .例8-2沿指定曲线的正向计算积分：()3sin ,:21Czdz C z z =-⎰ .解：法1（高阶导数公式）()()()231sin 2sin sin12!1z Czi dz z i z ππ=⎡⎤=⋅=-⎣⎦-⎰法2（留数定理）1z =是函数()()3sin 1zf z z =-的三级极点，则()()()()23311sin 1Re ,1lim 12!21z z s f z z z →⎛⎫=-⋅=-⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎪-⎝⎭，由留数定理得()()3sin 2Re ,1sin11Czdz i s f z i z ππ==-⎡⎤⎣⎦-⎰ .9.复合闭路定理联合柯西积分公式（或留数定理、规则）例9-1沿指定曲线的正向计算积分：21,:32Cz dz C z z z+=-⎰.解：法1()()21121010111222Cz z z z z dz dz dzz zz z z z =-=+++=+---⎰⎰⎰()1102210101121122222z z z z z z z z z z dz dz i i i zz z z πππ===-=++-++⎡⎤⎡⎤=+=⋅+⋅=⎢⎢--⎣⎦⎣⎦⎰⎰.法2（留数定理）()()21122z z f z z z z z ++==--，0z =，2z =均为函数()f z 的一级极点，则()()011Re ,0lim 22z z s f z z z z →+=⋅=-⎡⎤⎣⎦-，()()()213Re ,2lim 222z z s f z z z z →+=-⋅=⎡⎤⎣⎦-，由留数定理得()()212Re ,02Re ,222Cz dz i s f z i s f z i z zπππ+=+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-⎰.例9-2沿指定曲线的正向计算积分：2,:21zCe dz C z z =-⎰.解：()()()()21111101011111zzzCz z e e e dz dz z z z z z +=-==+-+-+-⎰⎰⎰1111111101011221111zzz zz z z z e e e e z z dz dz i i ie ie z z z z ππππ-=-=+=-=⎡⎤⎡⎤-+=+=⋅+⋅=-⎢⎥⎢⎥+--+⎣⎦⎣⎦⎰⎰.（留数定理同样可解）10.参数法求函数积分例10-1计算积分()2Cx iy dz +⎰,其中C 为直线y x =上原点到1i +的直线段.解：设z x iy =+，则积分曲线的参数方程为()01x z x ix ≤≤=+，所以()()()()()()()1211000132211212222Cx x iy dz x ix i dx i i xdx i i i ⎛⎫+=++=++=++=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰例10-2计算积分Czdz ⎰,其中C 点i 到3i +的直线段.解：设z x iy =+，且点i 到3i +所在水平直线参数方程为()03x z x i ≤≤=+，则()()323009322C Cx zdz x i dz x i dx ix i ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰.11.原函数与不定积分例11-1计算积分：32iz ie dz ππ-⎰.解：()()333222112022ii iz z z i ii e dz e d z e ππππππ---===⎰⎰例11-2计算积分：1sin z zdz ⎰.解：()11110000sin cos cos cos sin1cos1z zdz zd z z z zdz ⎡⎤=-=--=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.12.函数可导、解析的充要条件例12-1函数()2iy f x x -=何处可导，何处解析.解：由题得()()2,,,x y x v x y y u ==-，则2,1,0,0xyyxx uvuv∂∂∂∂==-==∂∂∂∂，故当且仅当21x =-时柯西黎曼方程,xy yxuv uv∂∂∂∂==-∂∂∂∂，解得21x -=，所以函数()f x 在直线21x -=上可导，但处处不解析.13.将函数展开成洛朗级数例13-1将函数()13f z z=-在圆环域01z <<内展开成洛朗级数.解：()1113313f z z z ==⋅--，101,0133z z <<∴<<< ，由间接法展开得()100111333313nn n n n z z f z z ∞∞+==⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅==-∑∑.14.复数运算公式证明例13-1证明1212z z z z ⋅=⋅.证：设111222,z x iy z x iy =+=+，则()()()()12121212121122z z x x y y i x y y x x iy x iy ⋅=-++++=，()()1212121212z z x x y y i x y y x ∴⋅--+=.又()()()()11221212121212x iy x iy x x y y i x y y x z z --==--+⋅ ,1212z z z z ∴⋅=⋅，等式得证.。
复变函数与积分变换复习提纲以及5套题
标准实用复变函数复习提纲(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下： 当0,x > arg arctan yz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z xx y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+± 2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()11221111212122222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-= 3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(c o s s i n )nnn in z z n in z e θθθ=+=。
高中数学《复数》基础知识及经典练习题(含答案解析)
高中数学《复数》基础知识及经典练习题（含答案解析）一、基础知识：复数题目通常在高考中有所涉及，题目不难，通常是复数的四则运算1、复数z 的代数形式为(),z a bi a b R =+∈，其中a 称为z 的实部，b 称为z 的虚部（而不是bi )，2、几类特殊的复数：（1）纯虚数：0,0a b =≠ 例如：5i ，i 等（2）实数： 0b =3、复数的运算：设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈（1）21i =−（2）()()12z z a c b d i ±=+++（3）()()()()212z z a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i ⋅=+⋅+=+++=−++ 注：乘法运算可以把i 理解为字母，进行分配率的运算。
只是结果一方面要化成标准形式，另一方面要计算21i =−（4）()()()()()()1222a bi c di ac bd bc ad i z a bi z c di c di c di c d +−++−+===++−+ 注：除法不要死记公式而要理解方法：由于复数的标准形式是(),z a bi a b R =+∈，所以不允许分母带有i ，那么利用平方差公式及21i =的特点分子分母同时乘以2z 的共轭复数即可。
4、共轭复数：z a bi =−， 对于z 而言，实部相同，虚部相反5、复数的模：z = 2z z z =⋅ (22z z ≠) 6、两个复数相等：实部虚部对应相等7、复平面：我们知道实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数(),a bi a b R +∈都与平面直角坐标系上的点(),a b 一一对应，将这个平面称为复平面。
横坐标代表复数的实部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴。
8、处理复数要注意的几点：（1）在处理复数问题时，一定要先把复数化简为标准形式，即(),z a bi a b R =+∈（2）在实数集的一些多项式公式及展开在复数中也同样适用。
(完整版)高三复数总复习知识点、经典例题、习题
复数.基本知识【1】复数的基本概念(1) 形如a + bi 的数叫做复数(其中a ，b R )；复数的单位为i ，它的平 方等于一1，即i 21.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部纯虚数：当a = 0且b(2) 两个复数相等的定义：0时的复数a+ b i 为纯虚数a bi c di a c 且b d (其中，a ， b ，c ,d , R )特别地 a bi 0 a b 0(3) 共轭复数：z a bi 的共轭记作z a bi ; (4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi ，对应点坐标为p a,b ;(象限的复习)实数：当b = 0时复数 a + bi 为实数 虚数：当b 0时的复数a + bi 为虚数;设z 1 a 1bj ，Z 2a 2b 2i(1) 加法： Z 1 Z 2 a 1 a 2 b 1b 2 i ;(2) 减法： Z 1 Z 2 a 1 a 2th b 2 i ;(3) 乘法： Z 1 : Z 2 a ia2t 1b 2a2^ a 1b 2i特别 z z a 2 b 2。
(4) 幕运算:・1i i i 231 i4i i1 i.5 6i i1【3】 复数的化简c zadi( abi ,b 是均不为 0的实数) ;的化简就是通过分母实数化的方法将分母 化为实数：zc di c di a biac bdad bc i a bi a bi a bi2 ab 2对于:c di z a bi-a b 0， 当cab 时z :为实数; 当z 为纯虚数是z 可设为复数的基本运算【2】(5)复数的模：对于复数z bi ，\ a 2 b 2 叫做复数z 的模;二. 例题分析【例11已知z a 1 b 4 i ，求(1) 当a,b 为何值时z 为实数 (2) 当a,b 为何值时z 为纯虚数 (3) 当a,b 为何值时z 为虚数(4)当a,b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限A. 1 B . 0 C 1 D2 2【变式21求实数m 的值，使复数(m 2m 3) (m 3m 4)i 分别是：(1)实数。
(完整版)高三复数总复习知识点、经典例题、习题
复数一．基本知识【1】复数的基本概念（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数（2）两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =叫做复数z 的模；【2】复数的基本运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++；（2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅【3】复数的化简c di z a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+，当c d a b=时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi+==+进一步建立方程求解二． 例题分析【例1】已知()14z a b i =++-，求（1） 当,a b 为何值时z 为实数（2） 当,a b 为何值时z 为纯虚数（3） 当,a b 为何值时z 为虚数（4） 当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。
复数的加、减运算及其几何意义
我们规定，复数的加法法则如下： 设z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d RR ）是两个任意复数， 那么它们的和
（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i
说明:（1）复数的加法运算法则是一种规定.当b=0，d=0时， 与实数加法法则保持一致;
（2）两个复数的和仍然是一个复数,对于复数的加法 可以推广到多个复数相加的情形.
知识一：复数的加法
探究：
设z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d RR）是两个任意复数， 由于希望加法结合律成立，
z1+z2=（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（bi+di）
由于希望乘法分配律成立，
z1+z2=（a+c）+（bi+di）=（a+c）+（b+d）i
这样就猜想出了复数的加法法则.
说明：（3）复数的加法法则：
（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i 如果将i 看作“变元”，a+bi中的实部和虚部 a，b看作常数，我们就可以将复数看成是 “一次二项式”，很容易发现两个复数相加与 两个一次二项式相加（合并同类项）一致. 这样，得到两个复数相加与两个多项式相加 相类似.
例题2
y
解：复平面内的点Z1(x1,y1)，Z2(x2,y2) 对应的复数分别为z1=x1+y1i，z2=x2+y2i， 所以点Z1，Z2之间的距离为
Z2(x2,y2)
z2
z2-z1
Z1(x1,y1)
高考文科复数复习知识点+例题+练习
复数的概念及运算一． 知识回顾1. 复数的有关概念形如______________的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足_________,a 叫做_________，b 叫做________，复数集记作_______________________。
2. 复数的分类复数),(R b a bi a ∈+是实数的充要条件是_________；是纯虚数的充要条件是__________.3. 复数相等两个复数)(2,1R d c b a di c z bi a z ∈+=+=、、、，若21z z =，则____________。
4. 共轭复数如果两个复数实部________，而虚部___________，则这两个复数互为_____________，即复数bi a z +=的共轭复数为z =_________。
5. 复数的几何意义(1)建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，在复平面内，x 轴叫做 ，y 轴叫做 ，x 轴的单位是1，y 轴的单位是i.显然，实轴上的点都表示 ；除原点以外，虚轴上的点都表示 。
(2)复数z ＝a ＋b i 、有序实数对(a ，b )、点Z (a ，b )是一一对应的．(3)设OZ →＝a ＋b i ，则向量OZ →的长度叫做复数a ＋b i 的 (或 )，记作|a ＋b i|，且|a ＋b i|＝ .(4)复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义．6. 复数的代数运算对于i 有i 4n ＝______，i 4n ＋1＝_____，i 4n ＋2＝_____，i 4n ＋3＝_____(n∈Z)．已知两个复数z1＝a ＋bi ，z2＝c ＋di(a 、b 、c 、d∈R)，则z1±z2＝______________，z1·z2＝_______________ ，z1z2＝a ＋bic ＋di ＝________________．特别地，若z ＝a ＋bi ，则z·z ＝a 2＋b 2.二． 例题讲解已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R)．求实数a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【解答】 (1)当z 为实数时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1或a ＝6，a ≠±1.故当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ≠±1，∴a ≠±1且a≠6.∴当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a2－5a －6≠0，a 2－7a ＋6a 2－1＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ＝6且a ≠±1. ∴不存在实数a 使z 为纯虚数．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )A．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1计算：(1)2－i 31－2i ； (2)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21－i 2011. 【解答】 (1)2－i 31－2i ＝2＋i 1－2i ＝(2＋i)(1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＝2i ＋i1＋2＝i.(2)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21－i 2011＝i(1＋23i)1＋23i ＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21－i 21005·21－i＝i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－2i 1005·21－i ＝i ＋i 1005·21－i＝i ＋i·21－i ＝－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22＋1i.i 是虚数单位，若1＋7i2－i ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则乘积ab 的值是()A ．－15B ．－3C ．3D ．15复数综合练习题一.选择题1.湖南 复数21i=- ( ) A1+i B 1-i C-1+i D-1-i2.全国23()1i i-=+ （ ） A -3-4i B-3+4i C3-4i D3+4i3.陕西 复数Z= 1i i+在复平面内对应的点在 （ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限4.辽宁 设a,b,c R ∈若121i i a bi+=++则 （ ） A a= 32 b= 12 B a=3 b=1 C a=12 b=32 D a=1 b=3 5.江西 已知)()(1,x i i y x y +-=则分别为 （ ）A x=-1 y=1B x=-1 y=2C x=1 y=1D x=1 y=26.安徽 ()21i i =-=已知则 （ ）A i =B i =C i =D i =7.浙江 已知i 为虚数单位则51i i-=+ （ ） 23A i -- B 23i -+ C 23i - D 23i +8.山东 已知2a i b i i+=+ ，a,b R ∈ 则a+b= ( ) A-1 B1 C2 D39.北京在复平面内，复数6+5i 与 -2+3i 对应的点分别为A , B.若C 为AB 的中点，则点C 对应的复数为 （ ）A 4+8iB 8+2iC 2+4iD 4+i10.四川，设i 是虚数单位，计算23i i i ++= （ ）A-1 B1 C-i Di11.天津，复数31i i+=- （ ） A1+2i B2+4i C-1-4i D2-i12.复数a+bi 与c+di 的积是实数的充要条件是 （ ）A ad+bc=0B ac+bd=0C ac=bdD ad=bc13.当213m ﹤﹤时，复数m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点位于（） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限二．计算题1.一直复数Z 与)(228Z i +-都是纯虚数，求Z2.已知i 是虚数单位21mim R i -∈+且是纯虚数,求20112()2mi mi -+3. 设为共轭复数，且 ，求的值。
高中数学知识复习总结(复数)
复数知识复习总结1.虚数单位i 的性质(1)它的平方等于-1，即 21i =-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；（2）i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i ；（3）i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, 4n =1。
2．复数的定义与表示：（1）形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数， a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*（2）复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式。
3 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0 4．复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C[题目3]如果复数2(i)(1i)m m ++是实数，则实数m =____________[题目4]如果复数ibi212+-的实部与虚部互为相反数，那么实数b 等于________ [题目1] 23212123n n n n ii i i --+++++（n Z ∈）的值等于_______________[题目2] 计算2341234()n n i i i i n i --+-++-（*n N ∈）的值。
5．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d 。
这是解决复数问题时进行虚实转化的工具：一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小， 也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。
复变函数总复习
2
3
x
2π π arg z = , arg z = 3 3 在圆环内的点不是内点. 在圆环内的点不是内点.
o
2
3
x
例 函数 w = 1 z将 z平面上的下列曲线变成 w 平 面上的什么曲线？ 面上的什么曲线？
(1) x2 + y2 = 9, (2) x = 2. 2 2 2 解 (1) 因为 x + y = z = 9
c c
复积分的性质 １、 ∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz c c
２、 ３、
∫ kf (z)dz = k∫
c c
c
f (z)dz f (z)dz ± ∫ g(z)dz
c
∫ [ f (z) ± g(z)]dz = ∫
c
４、 ∫c f (z)dz ≤ ∫c f (z) ds ≤ ML 曲线Ｃ的长度为Ｌ，函数在Ｃ上满足 f (z) ≤ M
(3)Ln(3) = ln 3 + iArg(3)
= ln3 + (2k + 1)πi.
(k = 0, ± 1, ± 2,L )
例 解
. 求1 2 和i i 的值
1 2 =e
2Ln1
= e2kπi
2
= cos(2 2kπ) + i sin(2 2kπ) 其中k = 0,±1,±2,L.
i =e
i
= ln 2 + 3i + iArg(2 + 3i)
1 3 = ln13 + i π arctan + 2kπ. 2 2
(k = 0, ± 1, ± 2,L )
(2)Ln(3 3i)
= ln 3 3i + iArg(3 3i)