高二数学3月月考答卷文
广东省佛山市顺德区2022-2023学年重点中学高二(下)月考数学试卷(3月份)及参考答案
2022-2023学年广东省佛山市顺德区重点中学高二（下）月考数学试卷（3月份）及参考答案第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知数列{}n a 中，452+-=n n a n ，则数列{}n a 的最小项是()A.第1项B.第3项、第4项C.第4项D.第2项、第3项2.在数列{}n a 中，4211+==+n n a a a ，，若2022=n a ，则=n ()A.508B.507C.506D.5053.等差数列{}n a 的前11项和4411=S ，则=++873a a a ()A.9B.10C.11D.124.在等比数列{}n a 中．已知487531=+=+a a a a ，，则=+++1513119a a a a ()A.11B.6C.3D.185.已知数列{}n a 是递增的等比数列，1+2+3=14，123=64，则公比=()A.12B.1C.2D.46.若数列{}n a 对任意正整数都有1+22+33+…+B =2−1，则22+55=()A.17B.18C.34D.847.已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为()A.25B.24C.20D.198.已知等差数列{}n a 的前项和为，若7+8>0，7+9<0，则取最大值时的值为()A.8B.5C.6D.7二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
在每小题有多项符合题目要求）9.正项等比数列{}n a的前项和为，已知3=2+101，4=3.下列说法正确的是()A.1=9B.{}是递增数列C.{+118}为等比数列D.{log3}是等比数列10.记为公差不为0的等差数列{}n a的前项和，则()A.3，6−3，9−6成等差数列B.33,66,99成等差数列C.9=26−3D.9=3(6−3)11.已知数列{}n a中，1=2，+1+1=1，∈+，则()A.2022=1B.1+2+3+…+2002=1011C.123…2022==1011D.12+23+34+…+20222023=−101112.如图所示，图1是边长为1的正方形，以正方形的一边为斜边作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两个直角边为边分别作正方形得到图2，重复以上作图，得到图3，…….记图1中正方形的个数为1，图2中正方形的个数为2，图3中正方形的个数为3，……，图中正方形的个数为，下列说法正确的有()A.5=63B.图5中最小正方形的边长为14C.1+2+3+……+10=2036D.若=255，则图中所有正方形的面积之和为8第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共24.0分）13.设数列{}n a满足1=2=2+2K1，则3=．14.《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百錢．欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？“意思是：“有大夫、不更、簪裹、上造、公士(爵位依次变低)5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成等差数列，这5个人各出多少钱？“在这个问题中，若大夫出6钱，则上造出的钱数为．15.数列{}n a中，=−12+1−32(≥2,∈∗)，且1=1，则数列的通项公式为=．16.已知数列{}n a满足1=1，且+1=++1，则=，数列{1}的前项和=．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。
河北省沧州市吴桥县吴桥中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题(含答案解析)
河北省沧州市吴桥县吴桥中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若()()()()()201923201901232019122222x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-的值为（）A ．-2B ．-1C ．0D ．12．某单位计划从5人中选4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安排两人，则安排方法数为（）A ．30B ．60C ．120D ．1803．二项式821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为（）A ．70-B ．70C ．358-D ．3584．重庆，我国四大直辖市之一，在四大直辖市中，5A 级旅游点最多，资源最为丰富，不仅有山水自然风光，还有人文历史景观．现有甲、乙两位游客慕名来到重庆旅游，分别准备从武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5个国家5A 级旅游景区中随机选择其中一个景区游玩．记事件A ：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件B ：甲和乙选择的景区不同，则条件概率()P B A =（）A ．56B ．67C ．78D ．895．文字的雏形是图形，远古人类常常通过创设一些简单的图形符号，借助不同的排列方式，表达不同的信息，如图.如果有两个“ ”，两个“⨯”和两个“ ”.把它们从上到下摆成一列来传递一些信息，其中第一个位置确定为“ ”，同一种图形不相邻，那么可以传递的信息数量有（）A ．8个B ．10个C ．12个D ．14个6．某班团支部换届选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、副书记和组织委员，并且规定：上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职结果有（）.A ．15B ．11C ．14D ．237．已知()0.6P A =，()0.3P AB =，()|0.5P B A =，下列选项正确的是（）A ．()0.4P B =B ．()06|.P A B =C ．()|0.5P A B =D ．()()()P AB P A P B ≠8．1234202220222022202220222022C 2C 3C 4C 2022C ++++⋅⋅⋅+=（）A ．202321-B ．202421-C ．202110112⨯D ．202210112⨯二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．已知2251818C C x x +-=，则x 可能取值为6B ．已知2251818C C x x +-=，则x 可能取值为7C ．在921x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数和为0D ．在921x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数和为2910．身高各不相同的六位同学A B C D E F 、、、、、站成一排照相，则说法正确的是（）A ．A 、C 、D 三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法B ．A 与C 同学不相邻，共有5424A A ⋅种站法C ．A 、C 、D 三位同学必须站在一起，且A 只能在C 与D 的中间，共有144种站法D ．A 不在排头，B 不在排尾，共有504种站法11．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（）A ．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数B ．123356781C C C C +++=C ．第2020行的第1010个数最大D ．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为2:11三、填空题12．22x x +n 的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大，则n 的值为.13．若()()()()72701271222x a a x a x a x +=+++++++ ，则4a =.14．已知甲同学从学校的2个科技类社团、4个艺术类社团、3个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在有一个是艺术类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率为.四、解答题15．某食品生产厂生产某种市场需求量很大的食品，这种食品有A 、B 两类关键元素含量指标需要检测，设两元素含量指标达标与否互不影响．若A 元素指标达标的概率为34，B 元素指标达标的概率为89，按质量检验规定：两元素含量指标都达标的食品才为合格品．(1)一个食品经过检测，AB 两类元素至少一类元素含量指标达标的概率；(2)任意依次抽取该种食品4个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ分布列及()E ξ．16．为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的6道，试求：(1)抽到他能答对题目数X 的分布列；(2)求X 的期望和方差17．三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占40%，机器乙生产的占25%，机器丙生产的占35%.已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有3%、5%和1%不合格.三部机器生产的零件混合堆放在一起，现从中随机地抽取一个零件.(1)求取到的是不合格品的概率；(2)经检验发现取到的产品为不合格品，它是由哪一部机器生产出来的可能性大？请说明理由.18．一种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是12，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为13、23；若前次出现绿球，则下一次出现红球，绿球的概率分别为35、25，记第()N,1n n n ∈≥次按下按钮后出现红的概率为n P ．(1)求2P 的值；(2)当,N 2n n ∈≥，求用1n P -表示n P 的表达式；(3)求n P 关于n 的表达式．19．2024年高三数学适应性考试中选择题有单选和多选两种题型组成．单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得3分，有错误选择或不选择得0分．(1)已知某同学对其中4道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立，记该同学在这4道单选题中答对的题数为随机变量X ．（i ）求()3P X =；（ii ）求使得()P X k =取最大值时的整数k ；(2)若该同学在解答最后一道多选题时，除确定B ，D 选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项作答．已知此题正确答案是两选项与三选项的概率均为12，求该同学在答题过程中使得分期望最大的答题方式，并写出得分的最大期望．参考答案：1．B【分析】令1x =，即可求01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-出的值.【详解】解：在所给等式中，令1x =，可得等式为()20190123201912a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅-，即012320191a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-.故选：B.【点睛】本题考查二项式定理的展开使用及灵活变求值，特别是解决二项式的系数问题，常采用赋值法，属于中档题.2．B【分析】根据分步乘法计数原理结合捆绑法分析求解.【详解】先从5人中选出4人值班，再从4人中选出2人值第三天，剩余2人分别值第一、二天，所以安排方法数为422542C C A 60⋅⋅=.故选：B.3．D【分析】由82181C 2kk kk T x-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令820k -=得出k 后代入计算即可得.【详解】88218811C C ,0,1,2,,822k kk kk kk T x x k x --+⎛⎫⎛⎫=-=-=⋯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令820k -=，即4k =，故445817035C 2168T ⎛⎫=-==⎪⎝⎭，即展开式的常数项为358.故选：D.4．D【分析】求出事件A 发生的个数和事件,A B 同时发生的个数，根据条件概率的计算公式，即得答案.【详解】由题意可知事件A 发生的情况为甲乙两人只有有一人选择巫山小三峡或两人都选选择巫山小三峡，个数为1124C C 19+=,事件,A B 同时发生的情况为一人选巫山小三峡，另一人选其他景区，个数为1124C C 8=，故()()8()9P AB P B A P A ==,故选：D 5．B【分析】列出所有的基本事件即可..【详解】列举得：,,,,,⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ，,,,⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ，共10种，故选：B.6．B【分析】利用正难则反的方法，求出总的方法数，利用分类讨论的方法，分一、二、三个职位连任，可得答案.【详解】四人中选出三人分别任职三个不同的岗位，其方法数为34A 43224=⨯⨯=，三个职位中有一位连任，假设上届任职的甲、乙、丙三人分别担任书记、副书记和组织委员，假设甲连任书记，副书记可选的人选分别为丙和丁，当丁担任了副书记，则组织委员只能选乙；当丙担任了副书记，则组织委员只能选乙和丁，故其方法数为()13C 129+=；三个职位中有两位连任，其方法数为23C 13⨯=；三个职位中三位都连任，其方法数为1.故符合题意的方法数为2493111---=.故选：B.7．B【分析】根据条件概率的概率公式计算可得.【详解】因为()|0.5P B A =，即()()()()()0.51P BA P B P BA P A P A -==-，又()0.6P A =，()0.3P AB =，所以()0.5P B =，故A 错误；又()()()0.3|0.60.5P AB P A B P B ===，故B 正确；()()()P AB P A P B =，故D 错误；()()()()()()0.50.3|0.40.5P AB P B P BA P A B P B P B --====，故C 错误.故选：B 8．D【分析】结合导数以及二项式展开式的知识求得正确答案.【详解】()01221C C C C nn nn n n n x x x x +=++++ ，两边求导得()11211C 2C C n n n n n n n x x x n x--+=+++ ，令1x =得1122C 2C C n nn n n n n -⋅=+++ ，再令2022n =得：123420222021202220222022202220222022C 2C 3C 4C 2022C 2022210112++++⋅⋅⋅+=⨯=⨯.故选：D 9．BC【分析】对于选项A 和选项B ，根据组合数公式2251818C C x x +-=，计算求解即可判断；对于选项C 和选项D ，根据赋值法求解即可判断．【详解】根据组合数公式2251818C C x x +-=，则225x x +=-或22518x x -=++，解得7x =，经检验符合题意；故A 错B 对；令1x =，则921x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数和为0，故C 对D 错.故选：BC.10．ABD【分析】根据全排列和定序即可判断A ；利用插空法即可判断B ；利用捆绑法即可判断C ；利用间接法即可判断D.【详解】对于A ，6个人全排列有66A 种方法，A 、C 、D 全排列有33A 种方法，则A 、C 、D 从左到右按高到矮的排列有6633A 120A =种方法，A 正确；对于B ，先排列除A 与C 外的4个人，有44A 种方法，4个人排列共有5个空，利用插空法将A 和C 插入5个空，有25A 种方法，则共有44A 25A 种方法，B 正确；对于C ，A 、C 、D 必须排在一起且A 在C 、D 中间的排法有2种，将这3人捆绑在一起，与其余3人全排列，有44A 种方法，则共有442A 48=种方法，C 错误；对于D ，6个人全排列有66A 种方法，当A 在排头时，有55A 种方法，当B 在排尾时，有55A 种方法，当A 在排头且B 在排尾时，有44A 种方法，则A 不在排头，B 不在排尾的情况共有6546544A 2A A 50-+=种，D 正确.故选：ABD 11．ABD【分析】根据杨辉三角读出数据即可判断A ，利用组合数公式判断B ，分析各行数据的特征，即可判断C ，求出第12行中从左到右第2个数与第3个数，即可判断D.【详解】对于A ：第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：1，7，28，其和为172836++=；而第9行第8个数字就是36，故A 正确；对于B ：因为123567611C C 6576515523C 21⨯⨯⨯=+++⨯+=⨯⨯++，38876C 56321⨯⨯==⨯⨯，所以123356781C C C C +++=，故B 正确；对于C ：由图可知：第n 行有1n +个数字，如果n 是偶数，则第12n+（最中间的）个数字最大；如果n 是奇数，则第12n +和第112n ++个数字最大，并且这两个数字一样大，所以第2020行的第1011个数最大，故C 错误；对于D ：依题意：第12行从左到右第2个数为112C 12=，第12行从左到右第3个数为212C 66=，所以第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为12:662:11=，故D 正确；故答案为：ABD.12．5【分析】根据二项式定理求解.【详解】因为22nx ⎫⎪⎭的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大，所以23C C n n =，解得n=5；故答案为：5.13．35-【分析】所求4a 为()42x +的系数，因为()77(1)21x x +=+-⎡⎤⎣⎦，利用其展开式通项公式，求得()43347(1)2T C x =-+，即可得答案.【详解】()77(1)21x x +=+-⎡⎤⎣⎦展开式的通项公式为()7172(1)kkk k T C x -+=+-，令74k -=，则k =3，则()43347(1)2T C x =-+，所以3347(1)35a C =-=-.故答案为：-3514．613【分析】根据题意，结合组合的知识分别求得事件A 与事件AB 的概率，从而利用条件概率公式即可得解.【详解】依题意，设事件A 为“所报的两个社团中有一个是艺术类”，事件B 为“所报的两个社团中有一个是体育类”，则11211454432299C C C C C 2612(),()C 36C 36P A P AB +====，所以12()636()26()1336P AB P B A P A ===∣.故答案为：613.15．(1)3536；(2)分布列见解析，期望值为83.【分析】（1）根据给定条件，利用对立事件、相互独立事件的概率公式计算即得.（2）求出合格品的概率，利用二项分布的概率求出分布列和数学期望.【详解】（1）令M 为一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的事件，则M 是A ，B 都不达标的事件，因此1135()1()14936P M P M =-=-⋅=，所以一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的概率为3536.（2）依题意，A ，B 两类元素含量指标都达标的概率为382493⨯=，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，显然2(4,)3ξB ，因此411(0)()381P ξ===，134218(1)C ()3381P ξ⋅⋅===，2224218(2)C (()3327P ξ===，3342132(3)C ()3381P ξ⋅===，4216(4)()381P ξ===，所以ξ的概率分布为：ξ01234P18188182732811681数学期望18832168()0123481812781813E ξ=++⨯+⨯+⨯+⨯=.16．(1)分布列见解析(2)期望()95E X =；方差()1425D X =【分析】（1）列举出X 所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；（2）根据期望和方差的计算公式直接求解即可.【详解】（1）由题意知：X 所有可能的取值为0,1,2,3，()34310C 410C 12030P X ====；()2146310C C 3631C 12010P X ====；()1246310C C 6012C 1202P X ====；()36310C 2013C 1206P X ====；X ∴的分布列为：X0123P 1303101216（2）期望()1311901233010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；又()213111901493010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，∴方差()()()2219811452525D XE X E X =-=⎡⎤⎣⎦.17．(1)0.028(2)它是机器乙生产的概率最大【分析】（1）根据全概率公式求得正确答案.（2）根据贝叶斯公式求得正确答案.【详解】（1）取到的是不合格品的概率为：0.40.030.250.050.350.010.028⨯+⨯+⨯=.（2）取到的产品为不合格品，它是机器甲生产的概率为0.40.031230.028287⨯==，它是机器乙生产的概率为0.250.05125250.02828056⨯==，它是机器甲生产的概率为0.350.013570.02828056⨯==，所以它是机器乙生产的概率最大.18．(1)2715P =(2)143155n n P P -=-+(3)()1149N,1381519n n P n n -⎛⎫=-+∈≥ ⎪⎝⎭【分析】（1）分两种情况讨论：①第一次和第二次均出现红球；②第一次出现绿球第二次出现红球，根据互斥事件概率法则可求得2P ．（2）第n 1-次按下按钮后出现红球的概率为()1N,2n P n n -∈≥，则出现绿球的概率为11n P --，根据互斥事件概率法则可用1n P -表示n P ；（3）根据143155n n P P -=-+，将其变形为1949191519n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭构造等比数列，从而可求得n P ．【详解】（1）若按钮第一次、第二次按下后均出现红球，则其概率为111236⨯=，若按钮第一次、第二次按下后依次出现绿球、红球，则其概率为1332510⨯=，故所求概率为213761015P =+=.（2）由题意可得第n 1-次按下按钮后出现红球的概率为()1N,2n P n n -∈≥，则出现绿球的概率为11n P --，若第n 1-次、第n 次按下按钮后均出现红球，则其概率为113n P -⨯，若第n 1-次、第n 次按下按钮后依次出现绿球、红球，则其概率为()1315n P --⨯，所以()1111343135155n n n n P P P P ---=+-⨯=-+（其中,N 2n n ∈≥）.（3）由（2）得1949191519n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭（其中,N 2n n ∈≥），又191911921938P -=-=，所以919n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭构成首项为138，公比为415-的等比数列，所以()1149N,1381519n n P n n -⎛⎫=-+∈≥ ⎪⎝⎭.19．(1)（i ）()3364P X ==；（ii ）1k =(2)该同学选择单选A 或单选C 的得分期望最大，最大值为125分【分析】（1）（i ）易知X 服从二项分布，据此计算()3P X =；（ii ）令()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=+⎪⎨=≥=-⎪⎩，结合二项分布的概率公式得到不等式组，解得k 的取值范围，再由k 为整数确定取值；（2）算出单选、双选和三选条件下的数学期望，比较大小即可.【详解】（1）（i ）因为14,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()3341333C 4464P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭．（ii ）因为()4413C ,0,1,,444k k k P X k k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．依题意()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=+⎪⎨=≥=-⎪⎩，即4131444151441313C C 44441313C C 4444k k k k k k k k k k k k -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，解得1544k ≤≤，又k 为整数，所以1k =，即1k =时()P X k =取最大值.（2）由题知，B,D 选项不能同时选择，故该同学可以选择单选、双选和三选．正确答案是两选项的可能情况为AB,AC,BC,AD,CD ，每种情况出现的概率均为1112510⨯=．正确答案是三选项的可能情况为ABC,ACD ，每种情况出现的概率为111224⨯=．若该同学做出的决策是单选，则得分的期望如下：()()1112A C 33231045E E ==⨯⨯+⨯⨯=（分），()()1127B D 321310420E E ==⨯⨯+⨯⨯=（分），若该同学做出的决策是双选，则得分的期望如下：()()()()1127AB AD BC CD 6310420E E E E ====⨯+⨯=（分），()1121AC 62310410E =⨯+⨯⨯=（分）．若该同学做出的决策是三选，则得分的期望如下：()()13ABC ACD 642E E ==⨯=（分）．经比较，该同学选择单选A 或单选C 的得分期望最大，最大值为125分.【点睛】方法点睛：根据正确答案的所有可能结果，对答题情况进行分类讨论，计算每种答题情况的得分期望值，选择最优方案.。
南京市第二十九中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题(解析版)
【解析】
【分析】对于选项 A：利用分步计数原理求解判断；对于选项 B：按 1，1，2 分组求解判断；
对于选项 C：根据每家企业至少分派 1 名医生，且医生甲必须到 A 企业，分 A 企业分 2 人和
1 人两类求解判断；对于选项 D：分 C 企业没有派医生去和派 1 名医生两类求解判断.
【详解】对于选项 A：所有不同分派方案共有 34 种，故错误；
【详解】2 至 8 这 7 个数中质数有 4 个，从 7 个数中取 2 个，共有 C72 21个结果，
取出
2
个数都为质数，有 C24
6
个结果，所以所求概率
P
6 21
2 7
．
故选：B
4. 已知 m 0 ，且152022 m 恰能被 14 整除，则 m 的取值可以是（ ）
A. 1
B. 12
C. 7
2023x1
C 1 1 2022 2023
2022x1
2022
2023x
2023
2022x
0
，
所以，1 x4 1 2x5 1 2023x 2022 1 2022x 2023 的展开式中含 x 的项为 6x，其系
数q 6．
依题意得 m n p C62 C36 C64 15 20 15 50 ，
3
2
2 3
6
2
2 3
3.
故选：C
2.
设
P(A|B)＝P(B|A)＝
1 2
，P(A)＝ 1 3
，则 P(B)等于（
）
A. 1
2
【答案】B 【解析】
1
B.
3
1
C.
4
1
D.
湖北省天门市2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题含答案
湖北省天门2023-2024学年度高二下学期三月月考数学试题（答案在最后）考试内容：选修一第一章——选修三第六章6.1考试时间：2024年3月31日出题人：审题人：一、单选题（共40分）1.某圆锥的侧面积为16π，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为（）A.2B.4C. D.【答案】C 【解析】【分析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，由题意得到2ππr l =求解.【详解】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，即侧面展开图的半径为l ，侧面展开图的弧长为πl .又圆锥的底面周长为2πr ，所以2ππr l =，即圆锥的母线长2l r =.所以圆锥的侧面积为2π2π16πrl r ==，解得r =故选：C.2.若直线1l ：2(1)40x m y +++=与直线2l ：320mx y +-=平行，则m 的值为（）A.2B.3- C.2或3- D.2-或3-【答案】C 【解析】【分析】依题意可得23(1)0m m ⨯-+=，求出m 的值，再检验即可.【详解】直线1l ：2(1)40x m y +++=与直线2l ：320mx y +-=平行，则23(1)0m m ⨯-+=，解得3m =-或2m =，当3m =-时，此时直线1l ：2240x y -+=与直线2l ：3320x y -+-=平行，当2m =时，此时直线1l ：2340x y ++=与直线2l ：2320x y +-=平行，故3m =-或 2.m =故选：C3.等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a ++⋅⋅⋅+=（）A.12B.10C.5D.32log 5【答案】B 【解析】【分析】利用等比数列的性质，结合对数的运算法则即可得解.【详解】因为{}n a 是各项均为正数的等比数列，564718a a a a +=，所以564756218a a a a a a +==，即569a a =，则11029569a a a a a a ==== 记3132310log log log S a a a =++⋅⋅⋅+，则3103931log log log S a a a =+⋅+⋅⋅+，两式相加得()()()3110329310132log log log 10log 920S a a a a a a =++⋅⋅⋅+=⨯=，所以10S =，即3132310log log log 10a a a ++⋅⋅⋅+=.故选：B.4.已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则()f x 的单调递增区间为（）A.()2,3 B.()3,4 C.(),3-∞ D.()3,+∞【答案】A 【解析】【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间．【详解】由2040x x ->⎧⎨->⎩得：24x <<，即()f x 的定义域为()2,4；()()()()23112424x f x x x x x -'=-=---- ，∴当()2,3x ∈时，()0f x ¢>；当()3,4x ∈时，()0f x '<；()f x \的单调递增区间为()2,3．故选：A ．5.已知函数()2xf x =，则函数()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程为（）A.10x y --=B.10x y -+=C.ln 210x y ⋅--=D.ln 210x y ⋅-+=【答案】D【分析】求出函数()f x 的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.【详解】函数()2xf x =，求导得()2ln 2x fx '=，则(0)ln 2f '=，而(0)1f =，所以所求切线方程为1ln 2(0)y x -=⋅-，即ln 210x y ⋅-+=.故选：D6.在平面直角坐标系xOy 中，点()()1,0,2,3A B -，向量OC mOA nOB =+，且40m n --=.若P 为椭圆2217y x +=上一点，则PC 的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出点C 的轨迹，再借助三角代换及点到直线距离公式求出最小值.【详解】设点(,)C x y ，由()()1,0,2,3A B -及OC mOA nOB =+，得(,)(2,3)x y m n n =-+，即23x m ny n=-+⎧⎨=⎩，而40m n --=，消去,m n 得：3120x y -+=，设椭圆2217y x +=上的点(cos ),R P θθθ∈，则点P 到直线3120x y -+=的距离d =，其中锐角ϕ由tanϕ=确定，当sin()1θϕ+=时，min d =PC d ≥ ，所以PC 的故选：A【点睛】思路点睛：求出椭圆上的点与其相离的直线上点的距离最小值，可转化为求椭圆上的点到直线距离有最小值解决.7.5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为（）A.120B.324C.720D.1280【分析】利用分步乘法计数原理计算即可.【详解】第一天可以排5个人中的任意一个，有5种排法；第二天可以排另外4个人中任意一个，有4种排法；第三天同上，有4种排法；第四天同上，有4种排法；第五天同上，有4种排法．根据分步乘法计数原理得所有的排法总数为544441280⨯⨯⨯⨯=．故选:D ．8.函数32()(1)f x x a x x b =+--+为R 上的奇函数，过点1,12P ⎛⎫- ⎪⎝⎭作曲线()y f x =的切线，可作切线条数为（）A.1B.2C.3D.不确定【答案】A 【解析】【分析】根据奇函数确定3()f x x x =-，求导得到导函数，设出切点，根据切线方程公式计算01x =-，计算切线得到答案.【详解】()3232()(1)(1)f x x a x x b f x x a x x b -=-+-+=-=--++--，故1a =，0b =，3()f x x x =-，2()31x f x '=-，设切点为()00,Mxy ，则2000012()311y f x x x '-=+=-，且30000()f x x x y -==，整理得到()()20001410x x x +-+=，解得01x =-，(1)2f '-=，故切线方程为22y x =+，故选：A二、多选题（共18分）9.公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有（）A.0d < B.70a > C.{}n S 中5S 最大D.49a a <【分析】利用等差数列性质结合给定条件可得60a >，670a a +<，再逐项分析判断作答.【详解】由()111116111102a a S a +==>，得60a >，又()()112126712602a a S a a +==+<，得，670a a +<，所以60a >，70a <，数列{}n a 是递减数列，其前6项为正，从第7项起均为负数，等差数列{}n a ，公差0d <，A 选项正确；70a <，B 选项错误；前6项和最大，C 选项错误；由40a >，90a <，有4949670a a a a a a -=+=+<，则49a a <，D 选项正确.故选：AD.10.已知函数()()322R x x a a f x x =-++∈的图像为曲线C ，下列说法正确的有（）A.R a ∀∈，()f x 都有两个极值点B.R a ∀∈，()f x 都有零点C.R a ∀∈，曲线C 都有对称中心D.R a ∃∈，使得曲线C 有对称轴【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数极值的定义、零点的定义，结合函数的对称性的性质逐一判断即可.【详解】A ：()()()()3222341311x x x a f x x x x x f x '=-++⇒=-+=--，当1x >时，()()0,f x f x '>单调递增，当113x <<时，()()0,f x f x '<单调递减，当13x <时，()()0,f x f x '>单调递增，因此13x =是函数的极大值点，1x =是函数的极小值点，因此本选项正确；B ：当x →+∞时，()f x →+∞，当x →-∞时，()f x →-∞，而函数()f x 是连续不断的曲线，所以一定存在0R x ∈，使得()0f x =，因此本选项正确；C ：假设曲线C 的对称中心为(),b c ，则有()()()()()()32322222,f b x f b x c b x b x b x a b x b x b x a c ++-=⇒+-+++++---+-+=化简，得()232322b x c a b b b -=---+，因为x ∈R ，所以有322320320227b b c a b b b c a ⎧=⎪-=⎧⎪⇒⎨⎨---+=⎩⎪-=⎪⎩，因此给定a 一个实数，一定存在唯一的一个实数c 与之对应，因此假设成立，所以本选项说法正确；D ：由上可知当x →+∞时，()f x →+∞，当x →-∞时，()f x →-∞，所以该函数不可能是关于直线对称，因此本选项说法不正确，故选：ABC11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，下列四个结论中正确的是（）A.直线1B C 与直线1AD 所成的角为90B.直线1B C 与平面1ACD 所成角的余弦值为33C.1B D ⊥平面1ACD D.点1B 到平面1ACD 的距离为32【答案】ABC 【解析】【分析】如图建立空间直角坐标系，求出1B C 和1AD uuu r的坐标，由110AD B C ⋅= 可判断A ；证明10AC B D ⋅= ，110AD B D ⋅=，再由线面垂直的判定定理可判断C ；计算11cos ,B D B C 的值可得线面角的正弦值，再求出夹角的余弦值可判断B ；利用向量求出点A 到平面11D B C 的距离可判断D.【详解】如图以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,1,1B ，对于A ：()11,0,1B C =-- ，()11,0,1AD =-，因为()()()111100110B C AD ⋅=-⨯-+⨯+-⨯= ，所以11AD B C ⊥ ，即11B C AD ⊥，直线1B C 与直线1AD 所成的角为90 ，故选项A 正确；对于C ：因为()1,1,0AC =- ，()11,0,1AD =- ，()11,1,1B D =---，所以11100AC B D ⋅=-+= ，111010AD B D ⋅=+-= ，所以1AC B D ⊥ ，11AD B D ⊥uuur uuu r ，因为1AC AD A =I ，1,AC AD ⊂平面A 1，所以1B D ⊥平面1ACD ，故选项C 正确；对于B ：由选项C 知：1B D ⊥平面1ACD ，所以平面1ACD 的一个法向量()11,1,1B D =---，因为()11,0,1B C =-- ，所以111111cos ,B D B C B D B C B D B C⋅=== 即直线1B C 与平面1ACD 所成，所以直线1B C 与平面1ACD33=，故选项B 正确；对于D ：因为()11,0,1B C =-- ，平面1ACD 的一个法向量()11,1,1B D =---，所以点1B 到平面1ACD的距离为1113B D B C d B D⋅=== ，故选项D 不正确.故选：ABC.三、填空题（共15分）12.若抛物线22y px =-过点()1,2-，则该抛物线的焦点为________．【答案】()1,0-【解析】【分析】根据题意，代入求得2p =，结合抛物线的几何性质，即可求解.【详解】解：将()1,2-代入抛物线方程22y px =-，可得2p =，即24y x =-，所以抛物线24y x =-的焦点为()1,0-．故答案为：()1,0-.13.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则实数λ的值是_____．【答案】-2【解析】【分析】由已知推得1q ≠，继而结合等比数列的前n 项和的特点及已知即可求解.【详解】等比数列{}n a 中，由122n n S λ+=+可得122n n S λ=+，则11122a S λ==+，若公比1q =，则2211224,02S a λλλ=+==+∴=，则13323S a =≠，故1q ≠，则等比数列的前n 项和()1111111n nn a q a S qa q a a--=⋅--=-，（1q ≠），故令112λ=-，即2λ=-，故答案为：2-14.若e e e e ()cos 22x x x xf x x x ---+=+，则不等式(sin )(cos )0f x f x +>的解集是________．【答案】π3π|2π2π,44x k x k k ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z 【解析】【分析】根据奇偶性的定义和导数分析可知()f x 在[]1,1-内单调递增，且为奇函数，进而可得sin cos x x >-，利用辅助角公式结合正弦函数运算求解.【详解】取()f x 的定义域为[]1,1-，关于原点对称，且()()()e e e e e e e e ()cos cos sin 2222x x x x x x x xf x x x x x f x -----+-+-=-+-=--=-，所以()f x 为定义在[]1,1-上的奇函数，因为()e e e e e e e e ()cos sin sin cos e e cos 2222x x x x x x x xx x f x x x x x x ------+-+'=-++=+，若[]1,1x ∈-，则e 0,e cos 00,x x x ->>>，可得()()e e cos 0x xf x x -'=+>，可知()f x 在[]1,1-内单调递增，对于不等式(sin )(cos )0f x f x +>，则(sin )(cos )(cos )f x f x f x >-=-，且[][]sin 1,1,cos 1,1x x ∈--∈-，可得sin cos x x >-，整理得πsin cos 04x x x ⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭，令π2π2ππ,4k x k k <+<+∈Z ，解得π3π2π2π,44k x k k -<<+∈Z ，所以不等式(sin )(cos )0f x f x +>的解集是π3π|2π2π,44x k x k k ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z .故答案为：π3π|2π2π,44x k x k k ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z .四、解答题（共77分）15.已知函数()ln 1f x x ax =++.（1）当1a =-时，求()f x 的最大值.（2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】（1）0（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用导数求解函数最值即可.（2）含参讨论函数单调性即可.【小问1详解】当1a =-时，()ln 1f x x x =-+，由0x >，所以()111x f x x x-=-='，当01x <<时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,1上单调递增；当1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()1,∞+上单调递减；故()()max 1ln1110f x f ==-+=；【小问2详解】定义域为(0,)+∞，()1f x a x'=+，当0a ≥时，()10f x a x+'=>，()f x 在(0,)+∞上递增；当a<0时，令()10f x a x +'=>，解得10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，令()10f x a x +'=<，解得1,x a ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭.于是()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增；在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.16.如图，在底面为菱形的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12π,23BAD AA AB ∠===，,,E F G 分别是111,,BB CC DD 的中点．（1）求证：1A E GC ∥；（2）求平面1A EF 与平面ABCD 所成夹角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）π6【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解，（2）根据法向量的夹角即可求解.【小问1详解】取BC 中点H ，连接AH因为底面ABCD 为菱形，2π3BAD ∠=，所以AH AD ⊥以A 为原点，1,,AH AD AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()10,0,2,3,1,1,0,2,1A E G -，()()3,1,0,3,1,1C F ))13,1,1,3,1,1A E GC =--=-- 1A E GC∴ ∥1A E GC∴∥【小问2详解】设平面1A EF 的法向量为(),,n x y z =又()0,2,0EF = 所以100n A E n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即3020y z y --==⎪⎩取1x =，则0,3y z ==(3n = ()10,0,2AA = 为平面ABCD 的法向量，设平面1A EF 与平面ABCD 的夹角为θ，则11233cos 222AA n AA nθ⋅===⨯ π6θ∴=∴平面1A EF 与平面ABCD 的夹角为π617.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()1122n n S n +=-+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列12·1n n a n ++⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】（1）2nn a n =⨯（2）()2124n n T n +=+⨯-【解析】【分析】（1）由已知结合数列的和与项的递推关系即可求解；（2）先求数列121n n a n ++⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式，然后利用错位相减求和即可求解．【小问1详解】当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，由()1122n n S n +=-+，得()1222n n S n -=-+，则()()1112222n n n n n n a S S n n n +-=-=---=⨯，因为11212a ==⨯，所以2n n a n =⨯；【小问2详解】由（1）可知，()112·221n n n a n n +++=+⨯+，则()234132425222n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋯++⨯，则()3452232425222n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋯++⨯，则()234123222222n n n T n ++-=⨯+++⋯+-+⨯()()12812122212n n n -+-=+-+⨯-()22122822n n n ++=+--+⨯()2412n n +=-+⨯，所以()2124n n T n +=+⨯-．18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>过点(2,1)P，且离心率2e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求PAB 的面积的最大值．【答案】（1）22182x y +=（2）2【解析】【分析】（1）利用222c e a =，可得22234a b a -=，再将点P 坐标代入方程，解方程组求得,a b 从而可得椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为1,2y x m =+，代入椭圆方程中整理得222240x mx m ++-=，借助根的判别式可得||2m <，结合根与系数的关系可得AB ==直线的距离公式可求出点P 到直线的距离d ，再利用三角形面积公式1||2PAB S d AB =⋅ 和基本不等式进行求解，即可解决问题.【小问1详解】因为22222234c a b e a a -===，所以224a b =，①因为椭圆C 过点(2,1)P ，所以22411a b +=，②由①②解得228,2a b ==，所以椭圆的方程为22182x y +=．【小问2详解】设直线l 的方程为()()11221,,,,2y x m A x y B x y =+，联立2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222240x mx m ++-=，所以212122,24x x m x x m +=-=-，又直线l 与椭圆相交，所以2248160m m =-+> ，解得||2m <，则AB ==P 到直线l的距离d ==，所以221142222PAB m m S d AB +-=⋅==≤= ，当且仅当22m =，即m =时，PAB 的面积取得最大值为2．19.已知函数()2e e x x f x a x =-+，其中0a >.（1）当1a =时，求函数()f x 在0x =处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的极值点的个数；（3）若对任意的0a >，关于x 的方程()f x m =仅有一个实数根，求实数m 的取值范围.【答案】（1）20x y -=（2）见解析（3）3ln 2,2⎡⎫-++∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求导得斜率，再利用点斜式求直线方程；（2）求导，讨论判别式与0的关系得单调性即可求解极值点个数；（3）构造新函数()2ee x x g x a x m =-+-，判单调性，得到()()120,ln 2,ln 2,x x ∞∈∈+，结合()10g x <或()20g x >即可求解.【小问1详解】当1a =时，()()22e e ,2e e 1x x x x f x x f x '=-+=-+，()02f '=，()00f =，所以函数()f x 在0x =处的切线方程为()020y x -=-，即20x y -=.【小问2详解】()22e e 1x x f x a '=-+，令()0,e x f x t ='=，得2210at t -+=，则18a ∆=-.当18a ≥时，0∆≤，此时()0f x '≥，故函数()f x 在(),∞∞-+上单调递增，没有极值点；当108a <<时，0∆>，令()0f x '=，则1e 4x a =，则1211ln ln 44x x a a-+==，则当()1,x x ∞∈-时，()0f x '>，当()12,x x x ∈时，()0f x '<，当()2,x x ∞∈+时，()0f x '>，则()f x 在()()12,,,x x ∞∞-+单调递增，在()12,x x 单调递减，此时函数()f x 有两个极值点.综上所述，当18a ≥时，函数()f x 没有极值点；当108a <<时，函数()f x 有两个极值点.【小问3详解】依题意，2e e x x a x m -+=，记()2e e x x g x a x m =-+-，()()g x f x '='.（i ）由（2）知当18a ≥时，()0g x '≥，则函数()g x 在(),∞∞-+上单调递增；可知当x →-∞时，()g x ∞→-，当x →+∞时，()g x ∞→+，故当18a ≥时，函数()g x 恰有一个零点，方程()f x m =仅有一个实数根，此时R m ∈.（ii ）当108a <<时，()g x 在()1,x ∞-上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x ∞+单调递增，()()112222122e e 12e e 10x x x x g x a g x a ''=-+==-+=，则121222e 1e 12e 2ex x x x a --==，所以()()1112111e 1ee 22x x x g x g x a x m x m ==-+-=-+--极大值，()()2222222e 1e e 22x x x g x g x a x m x m ==-+-=-+--极小值，因为当(),x g x ∞∞→-→-，当(),x g x ∞∞→+→+，故只需()10g x <或()20g x >，令()e 122x h x x =-+-，则()e 12xh x '=-+，故当(),ln 2x ∞∈-时，()0h x '>，当()ln 2,x ∞∈+时，()0h x '<，则()h x 在(),ln 2∞-单调递增，在()ln 2,∞+单调递减；又121ln ln ln4x x a -===又108a <<，故()0,1，则()()120,ln 2,ln 2,x x ∞∈∈+，所以()()12331,ln 2,,ln 222h x h x ∞⎛⎫⎛⎫∈--+∈--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3ln 22m ≥-+.综上所述，实数m 的取值范围为3ln 2,2∞⎡⎫-++⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查函数极值点及零点个数问题，解决问题关键是利用第二问单调性解决第三问零点问题，并利用构造函数法求函数值域。
江西师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题参考答案
第一次月考一、单选题1. 等差数列{}n a 中，1239a a a ++=，4516a a +=，则6a =（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】C【解析】因为1231339a a a a d ++=+=，4512716+=+=a a a d ， 所以可解得1a 1,d 2，所以61511011a a d =+=+=，故选：C2．在正项等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若1010S =，2030S =，则30S 的值为（ ） A ．50 B ．70 C ．90 D ．110【答案】B【解析】由等比数列的片段和性质得10S ，1200S S −，3020S S −成等比数列 所以()()22010103020S S S S S −=− 所以()()23030101030S −=−， 解得3070S =. 故选：B.3．用数学归纳法证明“1111112331n n n n ++++>++++”时，假设n k =时命题成立，则当1n k =+时，左端增加的项为（ ） A ．134k + B ．11341k k −++ C ．111323334k k k +++++ D ．11232343(1)k k k +−+++ 131k +++111+31323k k k ++++111+31331111233123k k k k k k k ⎫++−⎪+++⎭⎫+++⎪++++⎭故选：D4．已知数列{}n a 为等差数列，首项10a >，若101210131a a <−，则使得0n S >的n 的最大值为（ ） A ．2022 B ．2023C ．2024D ．20255. 已知数列{}n a 为正项递增等比数列，123212a a a ++=，12311176a a a ++=，则该等比数列的公比q =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】由题意10,1a q >>， 由123212a a a ++=，1312321231322111716a a a a a a a a a a a a +++++==+=， 得2221726a =，所以23a =（23a =−舍去），所以132********q a a q =−=++=， 整理得22520q q −+=，解得2q （12q =舍去）， 所以2q.故选：A.6．近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平.某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装､人工等费用24万元，从第二年起，包括人工､维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.则引进该生产线后总盈利的最大值为（ ） A ．204万元 B ．220万元C ．304万元D ．320万元7. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12cos 3n n n a a a ++++=，11a =，则2023S =（ ） A. 0 B.12C. lD. 32【答案】C【解析】解：()()()20231234567202120222023S a a a a a a a a a a =++++++++++2π5π1coscos 33=++++2018π2021πcoscos33+ 2π5π1337cos cos 133⎛⎫=+⨯+= ⎪⎝⎭．故选:C ．8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且111,1,1n n n n a S n a b a +=+==+，则使得n T M <恒成立的实数M 的最小值为（ ）A ．1B ．32C ．76D ．2【答案】C【解析】数列{}n a 中，11a =，1n n a S n +=+，当2n ≥时，11n n a S n −=+−，两式相减得11n n n a a a +−=+，二、多选题9．在等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则（ ） A ．{}1n n a a +的公比为9 B ．{}31log n a +的前20项和为210C ．{}n a 的前20项积为2003D ．()111()231nn k k k a a −+=+=−∑2020++=，n a 的前201919033⨯⨯=，因为()1313n n a −++}1n n a a ++的前)13213n −=−10．下列命题中正确的是（ ）A ．已知随机变量16,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭，则()3212D X += B ．若随机事件A ，B 满足：()12P A =，()23P B =，()56P A B ⋃=，则事件A 与B 相互独立C ．若事件A 与B 相互独立，且()()01P A P B <<，则()()P A B P A =D ．若残差平方和越大，则回归模型对一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y 的拟合效果越好11. 已知数列1C ：0，2，0，2，0，现在对该数列进行一种变换，规则f ：每个0都变为“2，0，2”，每个2都变为“0，2，0”，得到一个新数列，记数列()1k k C f C +=，1,2,3,k =，且n C 的所有项的和为n S ，则以下判断正确的是（ ）A. n C 的项数为153n −⋅B. 4136S =C. 5C 中0的个数为203D. 1531n n S −=⋅−【答案】ABC【解析】设数列{}n C 的项数为一个数列{}n a ，因为1C 中有5项，即15a =， 根据题意：在f 作用下，每个0都变为“2,0,2”，每个2都变为“0,2,0”， 所以有()13Nn n a a n *+=∈，由此可知数列{}n a 为首相15a =，公比3q =的等比数列， 所以n C 的项数为153n n a −=⋅，故A 正确；根据变换规则，若数列的各项中，2与0的个数相同， 则与之相邻的下一个数列中2与0的个数也相同；若2比0多n 个，则与之相邻的下一个数列中2比0的个数少n 个， 若2比0少n 个，则与之相邻的下一个数列中2比0的个数多n 个，因为1C 中有5项，其中2个2，3个0，2比0少1个， 所以2C 的15项中，2比0的个数多1个，以此类推，若n 为奇数，则数列的各项中2比0少1个， 若n 为偶数，则数列的各项中2比0多1个，4C 中4n =，项数为353135⋅=个，n 为偶数，所以2的个数为1351682+=， 所以4682136S =⨯=，所以B 正确；5C 中共有453405⋅=项，其中5n =为奇数，所以数列中有40512032+=个0，所以C 正确； D 选项，n S 的值与n 的奇偶有关()()11531531n n n n S n −−⎧⋅−⎪=⎨⋅+⎪⎩为奇数为偶数，所以D 错误. 故选：ABC.【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则 (公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是数列求通项或求和. 三、填空题12．已知等差数列{}n a 中，24a =，616a =，若在数列{}n a 每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第41项为___． 【答案】31【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则62123624a a d −===−， 在数列{}n a 每相邻两项之间插入三个数，则新的等差数列{}n b 的公差为344d =， 故新数列的首项为431−=，故通项公式为()33111444n b n n =+−=+， 故4131413144b =⨯+=. 故答案为：3113．箱子中装有5个大小相同的小球，其中3个红球、2个白球.从中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为 ．14．已知n S 是各项均为正实数的数列{}n a 的前n 项和，221111,60n n n n a a a a a ++=−−=，若*,2270n n n n S a ma ∀∈−+≥N ，则实数m 的取值范围是 ．(2)记n n n b a c ⋅=，n T 为n c 的前n 项和，求n T .【解】（1）解：由已知可得32112127a b a b d q d q =++=++=+①， ()()22231122212a b a d b q d q −=+−=+−=②，联立①②，得()()26320q q q q +−=+−=，解得3q =−或2q，2q，代入①式可得在曲线()y f x =上(1)3f '⇒−=，21a a ++−(1n ⋅++=，)1+；()(1nn −−⋅，)()(1212233445212222k k k k k ⎡+++⋅⋅−⋅+⋅−⋅++−⋅−⋅+⎣[]12224222k +⋅−⋅−⋅−−⋅()()222224221k k k k k k k k =+−+++=+−+=，即T 2n =n 2.18．已知数列{}n a 的前 n 项和为n S ，()*∈−=N n S a n n 2.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）是否存在实数λ ,使数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧++n n n S 2λλ为等差数列？若存在， 求出λ的值； 若不存在，请说明理由； （3）已知数列{}n b ，()()1121++=+−n n nn a a b ，其前 n 项和为n T ，求使得442m T m n<<−对所有*N n ∈都成立的自然数m 的值.的一动点，PAB 面积的最大值为C 交于,D 两点，记ODE 的面积为,DN EN 的斜率分别为12,k k .联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 可得()234m y +所以()()222Δ3636341441m m m =++=+且12122269,3434m y y y y m m +=−=−++， ODES=1,t t =≥2631t t =+试卷第11页，共11页。
2021-2022学年四川省巴中市通江县通江中学高二年级下册学期3月月考数学(文)试题【含答案】
2021-2022学年四川省巴中市通江县通江中学高二下学期3月月考数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则2{|20}A x x x =--≤{|128,}x B x x Z =≤≤∈A B =A ．B ．C ．D ．[1,3]-{0,1}[0,2]{0,1,2}D【分析】解一元二次不等式求得A ，解指数不等式求得B ，再根据两个集合的交集的定义求得.A B 【详解】因为集合，{}{}2|20|12A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}{}|128,|03,0,1,2,3x B x x Z x x x Z =≤≤∈=≤≤∈=所以，{}0,1,2A B = 故选D.该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2．“直线与圆相切”是“”的（ ）430x y m ++=2220x y x +-=1m =A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B【分析】先表示出圆心和半径，利用圆心到直线的距离等于半径，结合充分必要条件的判断即可求解.【详解】，圆心，半径为1，由直线与圆()2211x y -+=()1,0430x y m ++=，解得或，故“直线与圆2220x y x +-=11m =9-430x y m ++=相切”是“”的必要不充分条件.2220x y x +-=1m =故选：B.3．某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：本科研究生合计35岁以下40307035-50岁27134050岁以上8210现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是（ ）A ．该教职工具有本科学历的概率低于60％B ．该教职工具有研究生学历的概率超过50％C ．该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10％D ．该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10％D【分析】根据表中数据，用频率代替概率求解.【详解】A.该教职工具有本科学历的概率，故错误；75562.5601208p %>%===B.该教职工具有研究生学历的概率，故错误；45337.5501208p %<%===C.该教职工的年龄在50岁以上的概率，故错误；1018.31012012p %<%==≈D.该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率，故正确.15112.5101208p %>%===本题主要考查概率的求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.4．函数的图象大致为（ ）()21x f x x-=A ．B ．C ．D ．A【分析】先由函数的奇偶性排除部分选项，再利用函数的单调性判断.【详解】函数的定义域为，且，()21x f x x-={}|0x x ≠()()()2211x x f x f x xx----===-所以是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除BC ，()f x 当时，，在上递增，排除D ，0x >()211x f x x x x -==-()0,∞+故选：A5．若点（）是抛物线（）上一点，且点P 到该抛物线()P m 0m ≠22ypx =0p >焦点的距离为3，则（ ）p =A ．1B ．2C ．3D ．6B【分析】首先根据点在曲线上得到，再根据抛物线的焦半径公式得到m p =，联立两个方程即可求出答案.32pPF m =+=【详解】因为（）是抛物线（）上一点，所以()P m 0m ≠22ypx =0p >即，222m pm =m p =设抛物线的焦点为F ，由抛物线的焦半径公式可得：，解得.322p p pPF x m =+=+=2p =故选：B.6．若函数的极小值点是，则的极大值为（ ）()2()1xf x x ax e =--1x =()f x A ．B ．C ．D ．e -22e -25e-2-C求得函数的导数，根据，求得，进而得出2()(2)1x f x e x a x a '⎡⎤=+---⎣⎦()01f '=1a =函数的单调性，结合极值的概念，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，()2()1xf x x ax e =--2()(2)1x f x e x a x a '⎡⎤=+---⎣⎦所以，解得，故，(1)(22)0f a e '=-=1a =()2()1xf x x x e =--可得，()())1(2x f x e x x '=+-则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，()f x (,2)-∞-()2,1-(1,)+∞所以的极大值为．()f x 2(2)5f e --=故选：C.7．某程序框图如图所示，若，则输出的（ ）2021N =S =A ．B ．2019202020202021C ．D ．2021202220222023C【分析】按照程序框图执行算法，可知输出的为S ，结合裂项求和法可求得结果.111112233420212022S =++++⨯⨯⨯⨯ 【详解】根据算法框图执行程序如下：第次循环，不成立，，；112021k =>112S =⨯112k =+=第次循环，不成立，，；222021k =>111223S =+⨯⨯213k =+=第次循环，不成立，，；332021k =>111122334S =++⨯⨯⨯314k =+=以此类推，执行最后一次循环，，111112233420212022S =++++⨯⨯⨯⨯ ；202112022k =+=成立，跳出循环体，输出20222021k =>111112233420212022S =++++⨯⨯⨯⨯ .11111112021122334202120222022=-+-+-++-=故选：C.结论点睛：常见的裂项公式：（1）；()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭（2）；()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭（3）；()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦（4.(1k =8．已知为等比数列，若，且与的等差中项为，则的{}n a 231a a a ⋅=4a 72a 581234a a a a ⋅⋅⋅值为（ ）．A ．5B ．512C ．1024D ．64D【分析】设等比数列的公比为q ，根据已知求出，求出即得解.{}n a 1,a q n a 【详解】解：设等比数列的公比为q ，{}n a 因为，所以，解得，231a a a ⋅=223111a a a q a q a =⋅=3141a q a ==因为与的等差中项为，则有，4a 72a 58475228a a +=⨯即，解得，3445228a a q +⋅=⨯12q =所以，故，4138a a q ==141822n nn a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭则，，，，18a =24a =32a =41a =所以．1234842164a a a a ⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=故选：D ．9．已知双曲线C ：的右焦点为F ，过点F 作圆的切()222210,0x y a b a b -=>>222x y b +=线，若两条切线互相垂直，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C ．2D ．3A【分析】根据过点F 作圆求解.222x y b +=c =【详解】如图所示：，所以，c =222b c =即，即，()2222c a c -=222a c =所以，e=ca =故选：A10．已知实数，满足，，则下列正确的结论a b 13220a b +⨯-=()22log 23a c x x =+-+是（ ）A ．B ．a b c >>b a c >>C ．D ．a c b >>c b a>>B【分析】利用指数函数的单调性判断，的关系，利用对数函数性质判断，的关a b a c 系，从而得到结果.【详解】，112322032222123a b a b a b a b +-⨯-=⇒⨯=⨯⇒<=<⇒<，()()22222log log 12322log 1a c x c a x c cx c ⎡⎤-++=+⇒>⎣=+=+-≥+⎦故.b a c >>故选：B.11．已知是相互垂直的单位向量，与共面的向量满足则的模为,a b ,a b c 2,a c b c ⋅⋅ ＝＝c（ ）A ．BC ．D ．12D【分析】根据是相互垂直的单位向量，利用坐标法以及数量积的坐标表示，建立方,a b程进行求解即可.【详解】是相互垂直的单位向量，,a b不妨设，，()1,0a =()0,1b =设，由 (),c x y = 2,a c b c ⋅⋅ ＝＝可得，即，2x y ==()2,2c =则.c ==故选：D12．已知圆锥的轴截面是边长为要求圆柱的一个底面要放在圆锥的底面内，则能放置圆柱的最大体积为（ ）A ．B ．C ．D ．43π2π73π3πA【分析】由已知条件求出圆锥的底面半径和高，画出轴截面，设圆柱的底面半径为，x 则利用三角函数可表示出圆柱的高，从而可表示出圆柱的体积，进而可求出其最大值【详解】因为圆锥的轴截面是边长为，3=要使圆柱的体积最大，就要使圆柱与圆锥相切，则组合体和轴截面如图所示，则，3OB OC AO ===3C π=设圆柱的底面半径为（，则，，x 0x <<OD OE x ==CEx =-所以，)tan)3EF x x π==所以圆柱的体积为，（），2223))V OE EF x x x ππ=⋅⋅=⋅-=-0x <<则，23)3)V x x x '=-=令，得（舍去）或，0V '=0x =x =当时，，0x <<0V '>x <0V '<所以在上递增，在上递减，23)V x =-⎛ ⎝所以当时，取得最大值，x=23)V x =-2343π⎤⎥-=⎥⎣⎦所以圆柱的最大体积为，43π故选：A 二、填空题13．写出中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点P (1，-4)的等轴双曲线的标准方程：____________.2211515y x -=【分析】由等轴双曲线知，分焦点位置讨论，再代入点P (1，-4)即可.a b =【详解】当焦点在轴上时，设双曲线方程为：，则，无解；当x 22221x y a a -=221161a a -=焦点在轴上时，设双曲线方程为：，则，解得；故双y 22221y x m m -=221611m m -=215m =曲线方程为.2211515y x -=故答案为.2211515y x -=14．若曲线在点处的切线斜率为2，则______．()()10af x a x =-≠()()1,1f --=a 2-【分析】先求导，利用导数的几何意义得到，从而求出的值.()12f '-=a 【详解】∵，∴，解得:．()2a f x x '=-()()2121af '-=-=-2a =-故．2-15．2020年春节期间，因新冠肺炎疫情防控工作需要，某高中学校需要安排男教师名，女教师名做义工，和需满足条件，则该校安排教师最多为x y x y 2526x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩__________人13【分析】作出不等式组所表示的可行域，可知目标函数为，结合图形找出使得z x y =+取得最大值时对应的最优解，代入目标函数计算即可.z x y =+()(),,x y x N y N ∈∈【详解】由于和需满足约束条件，画出可行域为：x y 2526x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩对于需要求该校招聘的教师人数最多，设目标函数为，得，z x y =+y x z =-+则题意转化为：在可行域内任意取、且为整数，使得目标函数的斜率为定值，x y 1-截距最大时的直线为过 的交点A，此时取最大值，即6250x x y =⎧⎨--=⎩()6,7z.max 6713z =+=故答案为.13本题考查线性规划问题，考查线性规划中的整数解的问题，考查数形结合思想的应用，属于中档题.16．已知函数是R 上的减函数，､是其图象上的两点，那么不等式()f x (0,2)A -(3,2)B -的解集为___________.()e 22x f ->(ln 2,)+∞【分析】不等式取绝对值符号得或，再根据题()e 22x f ->()e 22x f ->()e 22x f -<-意可得或，解之即可得解.e 23x -<-e 20x->【详解】解：因为，()e 22x f ->所以或，()e 22x f ->()e 22x f -<-又因为，，且函数是R 上的减函数，()02f =-()32f -=()f x 所以或，e 23x -<-e 20x->所以，ln 2x >所以不等式的解集为.()e 22x f ->(ln 2,)+∞故答案为.(ln 2,)+∞三、解答题17．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，设圆的半径为，圆心xOy O ()0,3A C 1在直线上.(),C a b :24=-l y x (1)若圆心也在直线上，求圆的方程；C 5y x =-+C (2)在上述的条件下，过点作圆的切线，求切线的方程；A C (1)；()()22321x y -+-=(2)或.3y =34120x y +-=【分析】（1）通过求两直线的交点得到圆心坐标，从而可求出圆的方程；（2）设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径可求出切线的斜率，从而求切线方程.【详解】(1)由，得圆心，245y x y x =-⎧⎨=-+⎩()3,2C 又因为圆的半径为，C 1所以圆的方程为C ()()2232 1.x y -+-=(2)由题意知，切线的斜率一定存在，所以设所求切线方程为，3y kx =+即，得或，30kx y -+=0k =34k =-所以所求切线方程为或，即或3y =334y x =-+3y =34120x y +-=18．已知在等差数列中，，．{}n a 35a=1763a a =（1）求数列的通项公式：{}n a （2）设，求数列的前n 项和．2(3)n n b n a =+{}n b n S （1）；（2）.21n a n =-1nn +（1）设等差数列的公差为，根据，列出和的方程组，进而求出{}n a d 317653a a a =⎧⎨=⎩1a d 和，即可求出的通项公式；1a d {}n a （2）由（1）可知，根据裂项相消法即可求出结果.111n b n n =-+【详解】设等差数列的公差为，{}n a d 由，可得317653a a a =⎧⎨=⎩()111251635a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩解得，1a 1,d 2==所以等差数列的通项公式可得;{}n a 21n a n =-（2） 由（1）可得，211(3)22(1)1n n b n a n n n n ===-+++所以.111111...22311n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭本题主要考查了等差数列通项公式的求法，以及裂项相消法在数列求和中的应用，属于基础题.19．已知函数最大值为，对称中心与对称轴间的最短()sin (,0)6f x A x A πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭2距离为．4π（1）求函数的单调递增区间；()y f x =（2）已知的内角，，所对的边分别为，，，，为的ABC A B C a b c ()1f B =D BC 中点，且，求的值．AD b =sin sin BACC ∠（1），；（2）.,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z 23【分析】（1）由最大值得，由周期得，得函数解析式，然后结合正弦函数的增区A ω间求解．（2）由（1）求得，由正弦定理关键是求得，取中点，由等腰三角形性3B π=ac CD E 质易得结论．【详解】（1）由题知，，则2A =12444T ππω=⨯=2ω=故．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由，，解得，222262k x k πππππ-≤+≤+k ∈Z 36k x k ππππ-≤≤+k ∈Z所以的单调递增区间为，．()y f x =,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z （2）．1()1sin 262f B B π⎛⎫=⇒+=⎪⎝⎭．13(0,)2,666B B ππππ⎛⎫∈⇒+∈ ⎪⎝⎭ ，，5266B ππ∴+=3B π=作线段的中点，因为，故．CD E AD AC =AE CD ⊥因为， 即．cos 3BE AB π=312423aa c c =⇒=由正弦定理知．sin 2sin 3BAC a C c ∠==思路点睛：本题考查由三角函数性质求函数解析式，函数的单调性，正弦定理的应用．在求三角形内角正弦之比时常常利用正弦定理化角为边，然后只要求得边的比值即可得．20．已知过圆C 1：x 2+y 2＝1上一点的切线，交坐标轴于A 、B两点，且1(2E A 、B 恰好分别为椭圆C 2：（a ＞b ＞0）的上顶点和右顶点．22221x y a b +=（1）求椭圆C 2的方程；（2）已知P 为椭圆的左顶点，过点P 作直线PM 、PN 分别交椭圆于M 、N 两点，若直线MN 过定点Q （﹣1，0），求证：PM ⊥PN ．（1）；（2）证明见解析.221443x y +=【分析】（1）设切线方程为yk （x ﹣），由圆心到直线的距离等于半径，建立12方程，解出k ＝A （0，和B （2，0），直接写出椭圆的方程；（2）由（1）可知p （﹣2，0），设直线MN 方程为：x ＝my ﹣1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）用设而不求法表示出，整理化简可得，即可证明PM PN0PM PN = PM⊥PN ．【详解】（1）设过点的切线方程为yk （x ﹣），即12E ⎛ ⎝12kx ﹣y ＝0，12k 因为圆心到直线的距离等于半径，，解得k ＝所以切线方程为，0x y -=令x ＝0，得y A （0，令y ＝0，得x ＝2，B （2，0）．所以b a ＝2，所以椭圆C 2方程为：．221443x y +=（2）由（1）可知p （﹣2，0），设直线MN 方程为：x ＝my ﹣1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）联立直线与椭圆的方程得：（m 2+3）y 2﹣2my ﹣3＝0，y 1+y 2＝，y 1y 2＝，223m m +233m -+x 1+x 2＝（my 1﹣1）+（my 2﹣1）＝m （y 1+y 2）﹣2，x 1x 2＝（my 1﹣1）（my 2﹣1）＝m 2y 1y 2﹣m （y 1+y 2）+1，＝（x 1+2，y 1）•（x 2+2，y 2）＝（x 1+2）（x 2+2）+y 1y 2PM PN＝x 1x 2+2（x 1+x 2）+4+y 1y 2，＝m 2y 1y 2﹣m （y 1+y 2）+1+2[m （y 1+y 2）﹣2]+4+y 1y 2，＝（m 2+1）y 1y 2+m （y 1+y 2）+1，＝（m 2+1）（）+m （）+1，233m -+223mm +＝＝0，222233233m m m m --++++所以PM ⊥PN ．21．已知函数，（为自然对数的底数）．()2f x x x=-()e 1x g x ax =--e （1）讨论函数的单调性；()g x （2）当时，恒成立，求实数的取值范围．0x >()()f x g x ≤a （1），在上单调递增；0a ≤()g x (),-∞+∞，当时， 单调递减；时， 单调递增.0a >(],ln x a ∈-∞()g x ()ln ,x a ∈+∞()g x （2）(],e 1a ∈-∞-【分析】（1）对求导，然后对分成两类，讨论函数的单调性.（2）当()g x a 0,0a a ≤>时，将分离常数，变为，利用导数求得右边表达式0x >()()f x g x ≤a e 11x a x x x ≤--+的最小值，由此求得的取值范围.a 【详解】（1）.()e x g x a '=-①若，则，在上单调递增；0a ≤()0g x '>()g x (),-∞+∞②若，当时，，单调递减；0a >(],ln x a ∈-∞()0g x '<()g x 当时，，单调递增.()ln ,x a ∈+∞()0g x '>()g x （2）当时，，即.0x >2e 1xx x ax -≤--e 11x a x x x ≤--+令，则.()e 11(0)x h x x x x x =--+>()()22e 11x x x h x x '--+=令，则.()()2e 11(0)x x x x x ϕ=--+>()()e 2x x x ϕ'=-当时，，单调递减；()0,ln2x ∈()0x ϕ'<()x ϕ当时，，单调递增.()ln2,x ∈+∞()0x ϕ'>()x ϕ又，，()00ϕ=()10ϕ=所以，当时，，即，所以单调递减；()0,1x ∈()0x ϕ<()0h x '<()h x 当时，，即，所以单调递增，()1,x ∈+∞()()()1e 10x x x x ϕ=--->()0h x '>()h x 所以，所以.()()min 1e 1h x h ==-(],e 1a ∈-∞-本小题主要考查利用导数求解含有参数的函数的单调性问题，考查利用导数求解不等式恒成立问题的解法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题.对于导函数含有参数的题目，往往要对参数进行分类讨论，制定分类讨论的标准关键点是根据参数对导函数零点分布的影响情况来分类.22．已知函数，，其中.()ln af x x x =+()sin xg x e x =+a ∈R (1)试讨论函数的单调性；()f x(2)若，证明.1a =()()g x f x x<(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）先求出函数的定义域，然后求导，再根据导数的正负求出函数的单调区间，（2）要证，只要证，由于时，()()g x f x x <sin ln 10x e x x x +-->(0,1)x ∈，当时，令，再利用导sin ln 1110x e x x x +-->-=[1,)x ∈+∞()sin ln 1xg x e x x x =+--数求出其最小值大于零即可【详解】(1)的定义域为()ln af x x x =+(0,)+∞221()a x af x x x x-'=-= 当时，，在上单调递增；0a ≤()0f x '>()f x (0,)+∞当时，令，解得；令，解得；0a >()0f x '>x a >()0f x '<0x a <<综上所述：当时，在上单调递增，无减区间；0a ≤()f x (0,)+∞当时，在上单调递减，在上单调递增；0a >()f x (0,)a (,)a +∞(2)，，即证：1a = 1()ln f x x x ∴=+1sin ln x e x x x x ++<，即证：0x >sin ln 10xe x x x +-->当时，，，(0,1)x ∈e 1x>sin 0x >ln 0x x <sin ln 1110x e x x x ∴+-->-=当时，令，则[1,)x ∈+∞()sin ln 1xg x e x x x =+--()e cos ln 1x g x x x '=+--1()sin 110x g x e x e x''=--≥-->在上单调递增()cos ln 1x g x e x x '∴=+--[1,)+∞()(1)cos1010g x g e ''∴≥=+-->在上单调递增()sin ln 1x g x e x x x ∴=+--[1,)+∞()(1)sin1010g x g e ∴≥=+-->综上所述：，即sin ()x e x f x x +<()()g x f x x <。
2023-2024学年山西省晋中市平遥县高二下册3月月考数学试题(含解析)
2023-2024学年山西省晋中市平遥县高二下册3月月考数学试题一、单选题1．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（）A ．48种B ．36种C ．24种D ．12种【正确答案】B利用分步计数原理，分3步即可求出【详解】解：由题意可知，分三步完成：第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法；第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，根据分步计数原理，共有23636⨯⨯=不同的选取方法，故选：B2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若532a a =,则95S S =（）A ．910B ．1518C ．95D ．185【正确答案】D【分析】根据等差数列的前n 项和21(21)n n S n a -=-，将95S S 转化为5a 和3a 的算式即可得到所求．【详解】解：依题意，数列{}n a 为等差数列，所以19951553992552a a S a a a S a +⨯⨯==+⨯⨯，又因为532a a =，所以955399182555S a S a ⨯===⨯，故选D.等差数列的性质，等差数列的前n 项和，考查分析解决问题的能力和运算能力，属于基础题．3．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（）A ．8B ．10C ．12D ．14【正确答案】A【分析】分为三人组中包含小明和小李和不包含小明和小李两类，分别计算方案种数即可得结果.【详解】由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组，当三人组中包含小明和小李时，安装方案有12326C A =种；当三人组中不包含小明和小李时，安装方案有222A =种，共计有628+=种，故选：A.4．设F 为抛物线C ：24y x =的焦点，点M 在C 上，点N 在准线l 上且MN 平行于x 轴，若NF MN =，则MF =（）A ．3B ．1C ．3D ．4【正确答案】D【分析】由抛物线方程可知焦点坐标及准线方程，设准线l 与x 轴交点为E ，画出图象，由抛物线定义及NF MN =可知MNF 是正三角形，结合平行关系可判断60EFN ∠=︒，利用直角三角形性质即可求解.【详解】由题可知，2p =，抛物线焦点F 为()1,0，准线l 为=1x -，设准线l 与x 轴的交点为E ，如图所示，由题知MN l ⊥，由抛物线的定义可知MN MF =，因为NF MN =，所以MNF 是正三角形，则在Rt NEF 中，因为MN EF ∥，所以60EFN MNF ∠=∠=︒，所以224MF NF EF p ====．故选：D5．三棱锥A BCD -中，AC ⊥平面BCD ，BD CD ⊥．若3AB =，1BD =，则该三棱锥体积的最大值为（）A ．2B ．43C ．1D ．23【正确答案】D【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理依次证得BD ⊥平面ACD 、BD AD ⊥与AC CD ⊥，从而利用基本不等式求得2ACDS≤，进而得到23A BCDB ACD V V --=≤，由此得解.【详解】因为AC ⊥平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，所以AC BD ⊥，又BD CD ⊥，AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以BD ⊥平面ACD ，因为AD ⊂平面ACD ，所以BD AD ⊥，在Rt △ABD 中，3AB =，1BD =，则AD ==，因为AC ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以AC CD ⊥，在Rt ACD △中，不妨设(),0,0AC a CD b a b ==>>，则由222AC CD AD +=得228a b +=，所以()221111222244ACDSAC CD ab ab a b =⋅==⨯≤+=，当且仅当a b =且228a b +=，即2a b ==时，等号成立，所以11221333A BCDB ACD ACDV V SBD --==⋅≤⨯⨯=，所以该三棱锥体积的最大值为23.故选：D..6．()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -项的系数为160，则=a （）A ．2B ．4C ．2-D ．-【正确答案】C先求得()61ay +展开式中3y 的系数，可得()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -的系数，从而得答案.【详解】二项式()61ay +展开式的通项为()6166C 1C rr rr r r r T ay a y -+=⨯=，令3r =可得二项式()61ay +展开式中3y 的系数为336C a ，∴()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -的系数为()3361C 160a -=，可得38a =-，解得2a =-，故选：C ．7．甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．据此推测5人的名次排列情况共有（）种A ．5B ．8C ．14D ．21【正确答案】C【分析】按乙排第五和不是第五分类讨论．【详解】乙排在第五的情况有：33A ，乙不在第五的方法有112222C C A ，共有3112322214A C C A +=，故选：C ．关键点点睛：本题考查排列组合的综合应用，解题关键是确定完成事件的方法：是先分类还是先分步：分类后每一类再分步．然后结合计数原理求解．8．设函数()f x ，()g x 在R 上的导函数存在，且()()f x g x ''<，则当(),x a b ∈时（）A ．()()f x g x <B ．()()f xg x >C ．()()()()f x g a g x f a +<+D ．()()()()f xg b g x f b +<+【正确答案】C【分析】对于AB ，利用特殊函数法，举反例即可排除；对于CD ，构造函数()()()h x f x g x =-，利用导数与函数单调性的关系证得()h x 在R 上单调递减，从而得以判断.【详解】对于AB ，不妨设()2f x x =-，()1g x =，则()2f x '=-，()0g x '=，满足题意，若()1,x a b =-∈，则()()21f x g x =>=，故A 错误，若()0,x a b =∈，则()()01f x g x =<=，故B 错误；对于CD ，因为()f x ，()g x 在R 上的导函数存在，且()()f x g x ''<，令()()()h x f x g x =-，则()()()0h x f x g x ''-'=<，所以()h x 在R 上单调递减，因为(),x a b ∈，即a x b <<，所以()()()h b h x h a <<，由()()h x h a <得()()()()f x g x f a g a -<-，则()()()()f x g a g x f a +<+，故C 正确；由()()h b h x <得()()()()f b g b f x g x -<-，则()()()()f x g b g x f b +>+，故D 错误.故选：C.二、多选题9．有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，则下列说法正确的是（）A ．共有66A 种不同的排法B ．男生不在两端共有2424A A 种排法C ．男生甲、乙相邻共有2525A A 种排法D ．三位女生不相邻共有3333A A 种排法【正确答案】AC【分析】根据给定条件，利用无限制条件的排列判断A ；利用有位置条件的排列判断B ；利用相邻、不相邻问题的排列判断C ，D 作答.【详解】有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，共有66A 种不同的排法，A 正确；男生不在两端，从3位女生中取2人站两端，再排余下4人，共有2434A A 种排法，B 不正确；男生甲、乙相邻，视甲乙为1人与其余4人全排列，再排甲乙，共有2525A A 种排法，C 正确；三位女生不相邻，先排3位男生，再在2个间隙及两端4个位置中插入3位女生，共有3334A A种排法，D 不正确.故选：AC 10．()20232202301220231ax a a x a x a x +=++++ ，若16069a =-，则下列结论正确的有（）A ．3a =B ．202301220232a a a a ++++=- C ．202312220231333a a a +++=- D ．()20231ax +的展开式中第1012项的系数最大【正确答案】BC【分析】利用二项式展开式的通项公式求解含x 项的系数，从而求解a ，即可判断选项A ，赋值法即可求解系数和问题，从而判断选项B 、C ，利用展开式系数符合规律判断选项D 【详解】对于A ，112023C 20236069a a a =⋅==-，可得3a =-，故A 错误；对于B ，因为()2023201213x a a x a x -=++20232023a x ++ ，令1x =，则()202320230122023132a a a a ++++=-=- ，故B 正确；对于C ，令0x =，则01a =，令13x =，则2023202312002202311313333a a a a a ⎛⎫+++=-⨯-=-=- ⎪⎝⎭ ，故C 正确；对于D ，由展开式知，20n a >，210n a -<，故第1012项的系数10110a <，不会是展开式中系数最大的项，故D 错误.故选：BC11．对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数()()3211R 32f x x x x b b =-++∈，则（）A ．()f x 一定有两个极值点B ．函数()y f x =在R 上单调递增C ．过点()0,b 可以作曲线()y f x =的2条切线D ．当712b =时，123202220222023202320232023f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【正确答案】BCD【分析】对()f x 求导，得出()0f x ¢>，没有极值点，可判断A ，B ；由导数的几何意义求过点()0,b 的切线方程条数可判断C ；求出三次函数()f x 的对称中心，由于函数的对称中心为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，可得()()12f x f x +-=，由倒序相加法求出所给的式子的值，可判断D.【详解】由题意知()21f x x x '=-+，1430∆=-=-<，()0f x ¢>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，没有极值点，A 错误，B 正确；设切点为3211,32m m m m b ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则()21k f m m m '==-+，切线方程为()()32211132y m m m b m m x m ⎛⎫--++=-+- ⎪⎝⎭，代入点()0,b 得32321132m m m m m m -+-=-+-，即322132m m =，解得0m =或34m =，所以切线方程为y x b =+或1316y x b =+，C 正确；易知()21f x x ''=-，令()0f x ''=，则12x =．当712b =时，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭''，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以点1,12⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，所以有11222f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x +-=．令123202320232023S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 20222023⎛⎫ ⎪⎝⎭，又20222021202012023202320232023S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以12022220232023S f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22021202212022240442023202320232023f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=⨯= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ，所以2022S =，D 正确．故选：BCD.12．已知椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，直线l ：()0y kx k =≠与椭圆C 交于M ，N 两点，12F MF ∠的角平分线与x 轴相交于点E ，与y 轴相交于点()0,G m ，则（）A ．四边形12MF NF 的周长为8B ．1114MF NF +的最小值为9C ．直线BM ，BN 的斜率之积为34-D ．当12m =-时，12:2:1F E F E =【正确答案】AC【分析】对A 选项，由椭圆的定义知，四边形12MF NF 的周长为4a 即可求解；对B 选项，由直线()0y kx k =≠与椭圆相交的对称性知：12NF MF =，11121414MF NF MF MF ∴+=+，借助基本不等式可得1114MF NF +的最小值；对C 选项，设()11,M x y ，则()11,N x y --，由点()11,M x y 在椭圆上，即可化得BM BN k k ⋅的值；对D 选项，设出()()11,0t E t -<<，由条件推出()121MF t =+，()221MF t =-，又在椭圆C 中，由其第二定义1MF e =得()1112212MF x t =+=+，从而得到M ，E ，G 三点坐标，再根据其三点共线，化简求解即可．【详解】对A 选项，由椭圆的定义知，四边形12MF NF 的周长为2248a a a +==，A 正确；对B 选项，1112141414MF NF MF MF +=+=()21121212414191444MF MF MF MF MF MF MF MF ⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当1248,33MF MF ==时等号成立，故B 错误；对C 选项，设()11,M x y ，则()11,N x y --，又(B，所以211121113BM BNy y y k k x x x --⋅=⋅=-．因为点()11,M x y 在椭圆上，所以2211143x y +=，即()222111441333y x y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以2121334BM BNy k k x -⋅==-，C 正确；对D 选项，设()()11,0t E t -<<，则12F E F E 1211MF t t MF +==-，124MF MF +=所以()121MF t =+，()221MF t =-，在椭圆C ：22143x y +=中，由其第二定义1MF e d =（d 指的是椭圆上的点到相应的准线的距离）得221111()()22M a a MF de x e x e x c c ==+⋅=+⋅=+，12MF ∴=+()11212x t =+，所以14x t =，故()14,M t y ，(),0E t ，10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭G ，因为三点共线，所以1123y t t =，解得132y =，则29164143t +=，解得14t =±，当14t =时，1211541314F E F E +==-，当14t =-时，1211341514F E F E -==+，故D 错误．故选：AC方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习加以强化.三、填空题....道上有编号1，2，.3，....10的十盏路灯，为节省用电又能看清路面，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，满足条件的关灯方法有__________种.【正确答案】20【分析】采用插空法即可求解.【详解】10只灯关掉3只，实际上还亮7只灯，而又要求不关掉两端的灯和相邻的灯，此题可以转化为在7只亮着的路灯之间的6个空挡中放入3只熄灭的灯，有36C 20=种方法，故答案为.2014．我国古代《九章算术》将底面为矩形的棱台称为刍童.若一刍童为正棱台，其上、下底1，则该刍童的外接球的表面积为______.【正确答案】20π【分析】根据题意，作出图形，设该刍童外接球的球心为O ，半径为R ，分两种情况讨论，分别根据条件列出方程组，即可求出外接球半径，代入球的表面积公式计算即可求解．【详解】设该刍童外接球的球心为O ，半径为R ，上底面中心为1O ，下底面中心为2O ，则由题意，121O O =，22AO =，111A O =，1R OA OA ==．如图，当O 在12O O 的延长线上时，设2OO h =，则在2AOO 中，22R 4h =+①，在11A OO 中，()22R 11h =++②，联立①②得1h =，2R 5=，所以刍童外接球的表面积为20π，同理，当O 在线段12O O 上时，设1OO h =，则有22R 1h =+，()22R 14h =-+，解得2h =，不满足题意，舍去．综上所述，该刍童外接球的表面积为20π．故20π．15．两名学生一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，你们俩同时被招聘进来的概率是170．”若每个参加面试的人被招聘的可能性相同，则根据这位负责人的话，可以推断出参加面试的人数为______．【正确答案】21【分析】利用古典概型的概率公式求解.【详解】设参加面试的人数为n ，依题意有()()()()2122362C C 61C 12170n nn n n n n n --===---，即()()242020210n n n n --=+-=，解得21n =或20n -（舍去）．16．南宋数学家杨辉善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题，在他的专著《详解九章算法·商功》中给出了著名的三角垛公式()()()()()1112123123126n n n n ++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=++，则数列{}22n n +的前n 项和为____________．【正确答案】()()1121226n n n n ++++-【分析】由三角垛公式可知数列()12n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()()1126n n n ++，根据()212222n n n n n n ++=⨯-+，采用分组求和法，结合等差、等比求和公式可求得结果.【详解】()11232n n n ++++⋅⋅⋅+=，∴数列()12n n +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为()()1126n n n ++，()212222n n n n n n ++=⨯-+ ，∴数列{}22n n +的前n 项和()()()1211223212222222n n n n S n +⎛⎫⨯⨯=⨯++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭()()()()()()121211211122232126n n n n n n n n n n +-+++=++-+=+--.故答案为.()()1121226n n n n ++++-关键点点睛：本题考查数列中的分组求和法的应用，解题关键是能够将所求数列的通项进行变型，从而与已知的三角垛公式联系起来，利用所给的三角垛公式来进行求和.四、解答题17．现有一些小球和盒子，完成下面的问题．(1)4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中（允许有空盒子），一共有多少种不同的放法？(2)4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有多少种？【正确答案】(1)256；【分析】（1）根据题意分析将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，每个小球有4种放法，由分步计数原理计算即可得出答案；（2）根据题意，分两步进行，①将4个小球分为3组，②在4个盒子中任选3个，放入三组小球，根据分步计数原理计算即可得出答案；【详解】（1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，每个小球有4种放法，则4个小球有4444256⨯⨯⨯=种不同的放法；（2）①将4个小球分为3组，有24C 6=种分组方法，②在4个盒子中任选3个，放入三组小球，有3343C A 24=种情况，则624144⨯=种不同的放法．18．如图，四边形ABCD 是圆柱底面的内接四边形，AC 是圆柱的底面直径，PC 是圆柱的母线，E 是AC 与BD 的交点，AB AD =，60BAD ∠=︒．(1)记圆柱的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V ，求12V V ；(2)设点F 在线段AP 上，4,4PA PF PC CE ==，求二面角F CD P --的余弦值．【正确答案】【分析】（1）利用平面几何的知识推得AC BD ⊥，进而得到BD =与4AC EC =，从而利用柱体与锥体的体积公式求得12,V V 关于,EC PC 的表达式，由此得解；（2）根据题意建立空间直角坐标系，设1CE = ，结合（1）中结论与（2）中所给条件得到所需向量的坐标表示，从而求得平面FCD 与平面PCD 的法向量n 与m ，由此利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【详解】（1）因为ABD ∠与ACD ∠是底面圆弧AD 所对的圆周角，所以ABD ACD ∠=∠，因为AB AD =，所以在等腰ABD △中，ABD ADE ∠=∠，所以ADE ACD ∠=∠，因为AC 是圆柱的底面直径，所以90ADC ∠=︒，则90CAD ACD ∠+∠=︒，所以90CAD ADE ∠+∠=︒，则90AED ∠=︒，即AC BD ⊥，所以在等腰ABD △，BE DE =，AC 平分BAD ∠，则1302CAD BAD ∠=∠=︒，所以60ADE ∠=︒，则30∠=︒CDE ，故在Rt CED 中，2CD EC =，DE ，则2BD DE ==，在Rt ACD △中，24AC CD EC ==，因为PC 是圆柱的母线，所以PC ⊥面ABCD ，所以()22211ππ24π2V AC CP EC PC EC PC ⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，2211143263V AC BD PC EC PC EC PC =⨯⋅⋅=⨯⨯⋅=⋅，所以12V V =．（2）以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，不妨设1CE = ，则44AC EC ==，DE =44PC CE ==，则()()()()0,0,0,4,0,0,1,,0,0,4C A D P ，所以()CD = ，()0,0,4CP = ，()4,0,4PA =- ，因为4PA PF =，所以()11,0,14PF PA ==- ，则()()01,0,1(1,0,3,0,4)CF CP PF ==+=-+ ，设平面FCD 的法向量(,,)n x y z = ，则00n CF n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即300x z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令3x =-，则1y z ==，故(n =- ，设平面PCD 的法向量(,,)m p q r = ，则00m CP m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即400r p =⎧⎪⎨=⎪⎩，令3p =-，则0q r ==，故(m =- ，设二面角F CD P --的平面角为θ，易知π02θ<<，所以cos cos ,13||||n m n m n m θ⋅====⋅ ，因此二面角F CD P --19．记数列{}n a 的前n 项和为n T ，且111,(2)n n a a T n -==≥．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设m 为整数，且对任意*n ∈N ，1212nn m a a a ≥+++ ，求m 的最小值．【正确答案】(1)21,1,2, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩(2)7【分析】（1）由数列n a 与n T 的关系可得()122n n a a n +=≥，再结合等比数列的通项可得解；（2）利用错位相减法求出1212nn a a a +++ ，结合范围即可得解.【详解】（1）因为111,(2)n n a a T n -==≥，所以211a a ==，当2n ≥时，112n n n n n a T T a a +-+===，故()222222n n n a a n --==⋅≥，且11a =不满足上式，故数列{}n a 的通项公式为21,1,2, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩（2）设1212n nn S a a a =+++ ，则11S =，当2n ≥时，102122322n n S n --=+⋅++⋅+⋅ ，故112112232222n n S n ---=+⋅+⋅+⋅+ ，于是()122115222222n n n S n ----=++++-⋅ ()121121252212n n n -----=+-⋅-．整理可得27(2)2n n S n -=-+，所以7n S <，又54968S =>，所以符合题设条件的m 的最小值为7．20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>过点A ，且焦距为10．(1)求C 的方程；(2)已知点3),B D -，E 为线段AB 上一点，且直线DE 交C 于G ，H 两点．证明：||||||||GD HD GE HE =．【正确答案】(1)221169x y -=(2)证明见解析【分析】（1）根据题意列方程组求出,a b ，即可得出C 的方程；（2）根据,,,D E H G 四点共线，要证||||||||GD HD GE HE =即证HE GE G H D D ⋅=⋅，设出直线:DE y x =-，()()1122,,,G x y H x y，)E t ，联立直线方程与椭圆方程得出1212,x x x x +，将其代入G G HE E DH D ⋅-⋅ ，计算结果为零，即证出．【详解】（1）由题意可得2232910a b-==，故4,3a b ==，所以C 的方程为221169x y -=．（2）设)E t ，()()1122,,,G x y H x y ，当x =2321169y -=，解得3=±y ，则||3t <， 双曲线的渐近线方程为34y x =±，故当直线DE 与渐近线平行时，此时和双曲线仅有一个交点，此时直线DE方程为(34y x =±-，令x =y =||t ≠则直线:DE y x =-．由221169y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得()222292161440t x x t -+--=，所以212229x x t +=-，21221614429t x x t +=-．()()()()11221122,,,G HE GE DH x y x t x D y t y x y ⋅-⋅=--⋅----⋅-)()121212122232x x y y x x t y y =+-+-++()2221212243244t x x t x x t ⎛⎛⎫=+-++++ ⎪⎝⎭⎝()()()222222248943244322929t t t t t t t +++=-++--0=．所以HE GE G H D D ⋅=⋅ ，所以cos0cos0HE G G E D DH = 即||||||||GD HD GE HE =．关键点睛：本题第二问不能直接计算长度，否则计算量过大，而是转化为证明向量数量积之间的关系，采取设)E t ，从而得到直线DE 方程，再使用经典的联立法，得到韦达定理式，然后证明0HE GE G D D H ⋅-⋅= 即可.21．设()()21031x Q x x ax b -=-++，其中()Q x 是关于x 的多项式，a ，b ∈R ．（1）求a ，b 的值；（2）若28ax b +=，求103x -除以81的余数．【正确答案】（1）10a =，12b =-；（2）28.【分析】（1）利用二项式定理及已知即求；（2）由题可知x 的值，然后利用二项式定理可求.【详解】（1）由已知等式，得()()()1021131x Q x x ax b -+-=-++⎡⎤⎣⎦，∴()()()()10920189101010101010C 1C 1C 1C 1C 3x x x x -+-+⋅⋅⋅+-+-+-()()21Q x x ax b =-++，∴()()()()()8722018101010C 1C 1C 110121x x x x Q x x ax b ⎡⎤-+-+⋅⋅⋅+-+-=-++⎣⎦，∴1012x ax b -=+，∴10a =，12b =-．（2）∵28ax b +=，即101228x -=，∴4x =，∴103x -1043=-()10313=+-0101991010101010C 3C 3C 3C 3=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+-()406156441010103C 3C 3C 4035328=⨯⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯+⨯+()0615610101081C 3C 3C 4528=⨯⨯+⨯+⋅⋅⋅+++，∴所求的余数为28．22．已知函数()()1e 6x f x k x ⎡⎤=--⎣⎦（其中e 为自然对数的底数）．(1)若1k =，求函数()f x 的单调区间；(2)若12k ≤≤，求证：[]0,x k ∀∈，()2f x x <．【正确答案】(1)单调递增区间为[)0,∞+，单调递减区间为(),0∞-；(2)见解析.【分析】（1）求导，当()0f x '≥时，0x ≥，当()0f x '<时，0x <，即可解决；（2）由()211e 60x x x k ⎡⎤---<⎣⎦令新函数()21()1e 6x g x x x k=---，求导，由()()1e 6k g k k k =---，再令新函数()()()1e 6k h k g k k k ==---，证明()0h k <在12k ≤≤上恒成立，即可得证.【详解】（1）由题知()()1e 6x f x k x ⎡⎤=--⎣⎦，所以()()e 1e e x x x f x k x kx '⎡⎤=+-=⎣⎦，当1k =时，()e x f x x '=，当()0f x '≥时，0x ≥，当()0f x '<时，0x <，所以()f x 的单调递增区间为[)0,∞+，单调递减区间为(),0∞-，（2）由题知12k ≤≤，[]0,x k ∀∈，()2f x x <，所以()21e 60x k x x ⎡⎤---<⎣⎦，因为12k ≤≤，所以()211e 60x x x k ⎡⎤---<⎣⎦令()21()1e 6x g x x x k=---即证()21()1e 60x g x x x k =---<在[]0,x k ∈上恒成立，因为22()e (e )x x g x x x x k k'=-=-当()0g x '=时，2ln x k=，当()0g x '≥时，2lnx k ≥，即()g x 在2ln ,k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当()0g x '≤时，2ln x k ≤，即()g x 在20,ln k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因为(0)70g =-<，()()1e 6k g k k k =---，令()()()1e 6k h k g k k k ==---，所以()e 1k h k k '=-，因为12k ≤≤，所以()e 10k h k k '=->，所以()h k 在[]1,2上单调递增，所以2max ()(2)e 80h k h ==-<，所以()0g k <恒成立，因为(0)0,()0g g k <<，所以()21()1e 60x g x x x k =---<在[]0,x k ∈上恒成立，即得证.。
2023-2024学年宁夏回族自治区石嘴山市高二下册3月月考数学(理)模拟试题(含解析)
2023-2024学年宁夏回族自治区石嘴山市高二下册3月月考数学（理）模拟试题一、单选题1．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能为A ．B ．C ．D．【正确答案】D【分析】通过原函数的单调性可确定导函数的正负，结合图象即可选出答案.【详解】由函数()f x 的图象可知，当(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递减，所以(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，符合条件的只有D 选项，故选D.本题主要考查了函数的单调性与导函数的符号之间的对应关系，属于中档题.2．211e x dx x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰（）A ．2e ln 2-B ．2e e ln 2--C ．2e e ln 2++D ．2e e ln 2-+【正确答案】D【分析】根据定积分的运算法则进行求解即可.【详解】()()()2222111e e ln e ln 2e ln1e e ln 2x x dx x x ⎛⎫+=+=+-+=-+ ⎪⎝⎭⎰.故选：D.3．已知随机变量X 的概率分布为()()()1,2,3,41aP X n n n n ===+，其中a 是常数，则1522P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭（）A ．12B ．23C ．13D ．56【正确答案】D【分析】根据概率和为1，求得参数a ，再求()()1,2P X P X ==，则问题得解.【详解】因为()()()()12341261220a a a a P X P X P X P X =+=+=+==+++=，解得54a =.故()()555128246P X P X =+==+=.故选：D本题考查根据分布列求参数值，属基础题.4．把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子只放一个小球，则1号球和2号球都不放入1号盒子的方法共有（）A ．18种B ．12种C ．9种D ．6种【正确答案】B【分析】先确定1号盒子的选择情况，再确定剩下盒子的选择情况，进而根据分布计数原理求得答案.【详解】由于1号盒子不能放1号和2号球，则1号盒子有3号球、4号球2种方法，则剩下3个盒子各放一个球有33A 种方法，一共有332=12A ⨯种方法.故选：B.5．小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为0.4，在第二个路口遇到红灯的概率为0.5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2.某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.5【正确答案】D根据条件概率，即可求得在第一个路口遇到红灯，在第二个路口也遇到红灯的概率．【详解】记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件A ，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件B “小明在第一个路口遇到了红灯，在第二个路口也遇到红灯”为事件C 则()0.4P A =，()0.5P B =，()0.2P AB =()0.2(|)0.5()0.4P AB P B A P A ===故选D.本题考查了条件概率的简单应用，属于基础题．6．若4m A ＝183m C ，则m 等于（）A ．9B ．8C ．7D ．6【正确答案】D【详解】由A ＝m (m －1)(m －2)(m －3)＝18·，得m －3＝3，m ＝6.7．函数()ln 25y x x =+的导数为（）A ．()ln 2525x x x+-+B ．()ln 25225x x x +++C ．()2ln 25x x +D ．25x x +【正确答案】B【分析】根据复合函数的求导法则以及导数的乘法运算法则求解出原函数的导数.【详解】解析：因为()()()()ln 25ln 25y x x x x '''=⋅++⋅+，所以()()1ln 252525y x x x x ''=++⋅⋅++，所以()2ln 2525x y x x '=+++，故选：B.8．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（）．A ．420B ．180C ．64D ．25【正确答案】B【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，讨论A ，D 同色和异色，根据乘法原理可得结论．【详解】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，A ，D 不同色，D 有3种，C 有2种涂法，有5432120⨯⨯⨯=种，A ，D 同色，D 有1种涂法，C 有3种涂法，有54360⨯⨯=种，共有180种不同的涂色方案．故选：B ．本题考查计数原理的应用，解题关键是分步和分类的方法选取，属于中等题.9．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线:40l x y +-=距离的最小值为（）A．2BC．D．【正确答案】C【分析】由题知过点P 作曲线2ln y x x =-的切线，当切线与直线:40l x y +-=平行时，点P 到直线:40l x y +-=距离的最小，再根据导数的几何意义求解即可.【详解】解：过点P 作曲线2ln y x x =-的切线，当切线与直线:40l x y +-=平行时，点P 到直线:40l x y +-=距离的最小.设切点为000(,)(0)P x y x >，12'=-y x x，所以，切线斜率为0012k x x =-，由题知00121x x -=-得01x =或0 12x =-（舍），所以，(1,1)P -，此时点P 到直线:40l x y +-=距离d ==.故选：C10．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【正确答案】A【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．11．如图，已知电路中有5个开关，开关5S 闭合的概率为13，其它开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为（）A ．78B ．1516C ．2324D ．45【正确答案】A【分析】设开关i S 闭合为事件i A ，{1,2,3,4,5}i ∈，由所设事件表示事件灯不亮，利用概率乘法公式求其概率，再利用对立事件概率公式求事件灯亮的概率.【详解】设开关i S 闭合为事件i A ，{1,2,3,4,5}i ∈，则事件灯不亮可表示为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅，由已知12341()()()()2P A P A P A P A ====，51()3P A =，∴1234511121()(1)42238P A A A A A ⋅⋅⋅⋅=-⨯⨯⨯=，∴事件灯亮的概率78P =，故选：A.12．某制药公司生产某种胶囊，其中胶囊中间部分为圆柱，且圆柱高为l ，左右两端均为半球形，其半径为r ，若其表面积为S ，则胶囊的体积V 取最大值时r =()A 4S πB 2S πC SπD 6S π【正确答案】A【分析】由圆柱和球的表面积公式将l 用r 和S 表示出来，再代入圆柱体积和球体积公式，表示出胶囊的体积V ，利用求导求出V 的最大值及此时r 的值.【详解】依题意，224422S r r rl S l rππππ-+=⇒=，故32342()323Sr V r r r l r πππ=+=-2()22S V r r π'=-，当4Sr π=()0V r '=，V 取最大值．故选：A二、填空题13．由曲线1x =-，0x =，e x y =以及x 轴所围成的面积为______．【正确答案】11e-【分析】根据定积分的几何意义即可求解区域面积.【详解】曲线1x =-，0x =，e x y =以及x 轴所围成的面积可表示：x 在()1,0-上的定积分，被积函数为e x y =，所以0001111e ee e 1ex xdx ---==-=-⎰.故答案为.11e-14．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )等于________．【正确答案】65【详解】分析：由题意知，X ～B （5，3m+3），由EX=5×3m+3=3，知X ～B （5，35），由此能求出D （X ）．详解：由题意知，X ～B （5，3m+3），∴EX=5×3m+3=3，解得m=2，∴X ～B （5，35），∴D （X ）=5×35×（1-35）=65．点晴：二项分布X ～B （n ，p ）则EX=np ．DX=np(1-p)15．已知在()()22nx y x y -+的展开式中含有24x y 项，则求24x y 的系数是______．【正确答案】70-【分析】由二项式定理展开项的特点即性质求解即可.【详解】()2nx y +展开式的通项为：()1C 2C 2n rr r r n rn r r r n n T x y x y ---+=⋅=⨯⋅⋅则()()22nx y x y -+的展开式含11C 22C 2C 22C 2r n r n r r r n r n r r r n r n r r r n rn r r n n n n x x y y x y x y x y -----+---+⨯⋅⋅-⨯⋅⋅=⨯⋅⋅-⨯⋅⋅，若其展开式中含有24x y 项，则1246n +=+=，故5n =，所以24x y 的系数为413255C 22C 2108070⨯-⨯=-=-.故答案为.70-16．若函数()()232e xf x mx x x =+-+在R 上单调递增，则实数m 的取值范围是______.【正确答案】[e,)+∞【分析】求出函数的导数，结合题意可知()()21e 0xf x m x x '=+--≥在R 上恒成立，即()21e x m x x -≤--在R 上恒成立，从而构造函数，将问题转化为求函数的最值问题即可.【详解】因为函数()()232e xf x mx x x =+-+在R 上单调递增，故()()21e 0xf x m x x '=+--≥在R 上恒成立，即()21e xm x x -≤--在R 上恒成立，设()2()1e x g x x x =--，则()2()2e xg x x x '=+-，当<2x -或1x >时，()0g x '>，当2<<1x -时，()0g x '<，由220x x +-=，得121122x x ==，当x <x ()0g x >x <()0g x <，作出函数()2()1e xg x x x =--的大致图象如图：故1x =为函数极小值点，此时函数也取得最小值，最小值为(1)e g =-，故e,e m m -≤-∴≥，经验证，当e m =时，()()21e 0xf x m x x '=+--≥在R 上恒成立,仅在1x =时取等号，适合题意，故实数m 的取值范围是[e,)+∞，故[e,)+∞三、解答题17．现有6本不同的书，如果满足下列要求，分别求分法种数．(1)分成三组，一组3本，一组2本，一组1本；(2)分给三个人，一人3本，一人2本，一人1本；(3)平均分成三个组每组两本．【正确答案】(1)60；(2)360；(3)15.【分析】（1）根据题意，由分步计数原理直接计算可得答案；（2）根据题意，先将6本书分为1、2、3的三组，再将分好的三组分给3人，由分步计数原理计算可得答案；（3）根据题意，由平均分组公式计算可得答案．【详解】（1）根据题意，第一组3本有36C 种分法，第二组2本有23C 种分法，第三组1本有1种分法，所以共有3263C C 160⨯=种分法.（2）根据题意，先将6本书分为1、2、3的三组，有3263C C 160⨯=种分法，再将分好的三组分给3人，有33A =6种情况，所以共有606360⨯=种分法.（3）根据题意，将6本书平均分为3组，有22264233C C C A =15种不同的分法．18．某学校组织一项益智游戏，要求参加该益智游戏的同学从8道题目中随机抽取3道回答，至少答对2道可以晋级.已知甲同学能答对其中的5道题.(1)设甲同学答对题目的数量为X ，求X 的分布列，(2)求甲同学能晋级的概率.【正确答案】(1)分布列见解析(2)57【分析】（1）由题意可知甲同学答对题目的数量X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，从而可求出X 的分布列，（2）甲同学能晋级的概率(2)(3)P P X P X ==+=，从而可求得结果【详解】（1）由题意可知甲同学答对题目的数量X 的可能取值为0，1，2，3，则33381(0)56C P X C ===，12533815(1)56C C P X C ===，21533815(2)28C C P X C ===，35385(3)28C P X C ===，所以X 的分布列为X0123P15615561528528（2）由题意可得甲同学能晋级的概率为1555(2)(3)28287P P X P X ==+==+=19．已知(2n x +展开式中第3项和第7项的二项式系数相等（1）求展开式中含2x 的项的系数；（2）系数最大的项是第几项？【正确答案】(1)1120；(2)第3项或第4项.【分析】(1)利用二项式系数的性质求出n 值，再求出二项展开式的通项即可求出指定项的系数；(2)利用(1)的信息根据系数最大列出不等式组即可作答.【详解】（1）依题意，26n n C C =，由组合数的性质得8n =，于是得8(2x展开式的通项88213888(2)2,,8rrr r rr r T C x C x r N r --+-=∈⋅⋅=≤，由3822r -=得4r =，则8844167012120C -⋅=⋅=，所以展开式中含2x 的项的系数为1120；（2）令Tr ＋1项的系数最大，由(1)得89188871882222r r rr r r rr C CC C-----+⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，即8!8!2(8)!!(9)!(1)!8!8!2(8)!!(7)!(1)!r r r r r r r r ⎧≥⋅⎪---⎪⎨⎪⋅≥⎪--+⎩，整理得1292181r rr r ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，解得23r ≤≤，而,8r N r ∈≤，从而得2r =或3r =，所以展开式中系数最大项是第3项或第4项.20．已知函数()()221ln f x ax a x x =+--．(1)当12a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)讨论函数()f x 单调性．【正确答案】(1)()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；函数()f x 的极小值()1f 12=，无极大值(2)答案见解析【分析】（1）利用导数与函数的单调性、极值的关系求解，注意函数的定义域，即可得到答案；（2）利用导数与函数的单调性的关系求解，注意对a 的取值范围进行分类讨论，求解即可．【详解】（1）当12a =时，()21ln ,02f x x x x =->，则()()()111x x f x x x x+-'=-=，当01x <<时，()0f x '<，则()f x 单调递减，当1x >时，()0f x '>，则()f x 单调递增，所以()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，当1x =时，函数()f x 取得极小值()1f 12=，无极大值．（2）()()221ln ,0f x ax a x x x =+-->，则()22(21)1(1)(21)ax a x x ax f x x x+--+-='=，当0a ≤时，()0f x '<，则()f x 单调递减；当0a >时，当102x a <<时，()0f x '<，则函数()f x 单调递减，当12x a>时，()0f x '>，则函数()f x 单调递增．综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．21．2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行、第二次世界大战后首次由从未进过世界杯的国家举办的世界杯足球赛.小胡、小陈两位同学参加学校组织的世界杯知识答题拿积分比赛游戏，规则如下：小胡同学先答2道题，至少答对一道题后，小陈同学才存机会答题，同样也是两次答题机会，每答对一道题获得5积分，答错不得分.小胡同学每道题答对的概率均为34，小陈同学每道题答对的概率均为23，每道题是否答对互不影响.(1)求小陈同学有机会答题的概率；(2)记X 为小胡和小陈同学一共拿到的积分，求X 的分布列和数学期望.【正确答案】(1)1516(2)分布列见解析，55()4E X =【分析】（1）利用对立事件及独立事件的概率乘法公式计算即可；（2）先求出变量取值的概率，然后列出随机变量的分布列，利用期望公式求解即可【详解】（1）记“小陈同学有机会答题”为事件A ，所以()()331511114416P A P A ⎛⎫⎛⎫=-=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以小陈同学有机会答题的概率是1516.（2）X 的所有可能取值为0，5，10，15，20，所以()3310114416P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21233215C 1144324P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2211223322321110C 1C 1144334348P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()221122332322515C 1C 144343312P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2232120434P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为：X05101520P 116124114851214所以11115155()051015201624481244E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.22．已知函数()x f x e ax =-有两个零点1x ，()212x x x <.（1）求实数a 的取值范围；（2）证明.21122x x x -<-【正确答案】（1）(),e +∞；（2）证明见解析.【分析】（1）求导，对参数分类讨论，通过导数研究函数的零点情况，求得参数取值范围；（2）方法一：由题意得1212x x e ax e ax ⎧=⎨=⎩，令210t x x =->，两式相除得11t t x e =-，欲证21122x x x -<-，即证()212t e t t-<-，即证2222t t t e ++<，记()()2220t t t h t t e ++=>，通过导数研究函数的最值情况，即可证得不等式；方法二：令211x t x =>，代入化简得1ln 1t x t =-，2ln 1t t x t =-，将不等式转化为()21ln 2ln t t t -<-，即证()2ln 2ln 220t t t +-+<.记()()()2ln 2ln 221g t t t t t =+-+>，通过求导，并对导数中的部分函数求导研究原函数的最值情况，证得不等式.【详解】（1）解：()f x 的定义域为R ，()'x f x e a =-.①当0a ≤时，()'0x f x e >≥，所以()f x 在R 上单调递增，故()f x 至多有一个零点，不符合题意；②当0a >时，令()'0f x <，得ln x a <；令()'0f x >，得ln x a >，故()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()1,na +∞上单调递增，所以()()()min ln ln 1ln f x f a a a a a a ==-=-（i ）若0a e <≤，则()()min 1ln 0f x a a =-≥，故()f x 至多有一个零点，不符合题意；（ii ）若a e >，则ln 1a >，()()min 1ln 0f x a a =-<，由（i ）知0x e ex -≥，∴ln ln ln 0a e e a a a -=-≥，∴2ln ln 0a a a e a ->-，()()22ln 2ln 2ln 0f a a a a a a a =-=->.又∵()010f =>，0ln 2ln a a <<，故()f x 存在两个零点，分别在()0,ln a ，()ln ,2ln a a 内.综上，实数a 的取值范围为(),e +∞.（2）证明：方法1：由题意得1212x x e ax e ax ⎧=⎨=⎩，令210t x x =->，两式相除得212111x x t x x t e e x x -+===，变形得11t t x e =-.欲证21122x x x -<-，即证()212t e t t-<-，即证2222t t t e ++<.记()()2220t t t h t t e ++=>，()()()2222'220t t t t t e t t e t h t e e+-++==-<，故()h t 在()0,∞+上单调递减，从而()()02h t h <=，即2222t t t e ++<，所以21122x x x -<-得证.方法2：由题意得：1212x x e ax e ax ⎧=⎨=⎩由（1）可知1x ，20x >，令211x t x =>，则21x tx =，则1111x tx e ax e atx ⎧=⎨=⎩，两式相除得()11t x e t -=，1ln 1t x t =-，2ln 1t t x t =-，欲证21122x x x -<-，即证()21ln 2ln t t t -<-，即证()2ln 2ln 220t t t +-+<.记()()()2ln 2ln 221g t t t t t =+-+>，()()2ln 112'2ln 2t t g t t t t t-+=⋅+-=，令()()ln 11h t t t t =-+>，()11'10t h t t t-=-=<，故()h t 在()1,+∞上单调递减，则()()10h t h <=，即()'0g t <，∴()g t 在()1,+∞上单调递减，从面()()10g t g <=，∴()2ln 2ln 220t t +-+<得证，即21122x x x -<-得证.方法点睛：通过导数研究函数零点问题，带参需要分类讨论；对于双变量问题，一般选择另一个变量对双变量进行代换，如本题中令210t x x =->或211x t x =>，然后构造新函数，通过导数研究函数的最值情况.。
2023-2024学年河南省南阳市高二下册3月月考数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年河南省南阳市高二下册3月月考数学模拟试题第I卷（选择题，共60分）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．在等比数列{a n}中，若a1＝27，，则a3＝（）A．3或﹣3B．3C．﹣9或9D．92．在等差数列{a n}中，已知a10＝13，a3+a4+a9+a16＝28，则{a n}的前17项和为（）A．166B．172C．168D．1703．若数列{}是等差数列，a1＝l，a3＝﹣，则a5＝（）A．﹣B．C．D．﹣4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝310，S20＝930，则S30＝（）A．1240B．1550C．1860D．21705．在等差数列{a n}中，a1+a3＝8，a2a4＝40，则公差为（）A．1B．2C．3D．46．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S8≥S7≥S9，则公差d的取值范围是（）A．B．C．D．7．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若＝，则＝（）A．B．43C．D．418．已知等差数列{a n}的首项a1＝2，公差d＝8，在{a n}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{b n}，则b2023＝（）A．4044B．4046C．4048D．40509．等差数列{a n}的前n项和是S n，且满足S5＝S10，若S n存在最大值，则下列说法正确的是（）A．a1+a16＞0B．a2+a15＜0C．a1+a14＜0D．a2+a14＞010．已知等比数列{a n}满足：a2+a4+a6+a8＝20，a2⋅a8＝8，则的值为（）A．20B．10C．5D．11．已知数列{a n}满足a n＝2n+kn，若{a n}为递增数列，则k的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，2）12．设等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若，则＝（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．等差数列{a n}的前n项和是S n，若S n＝3（n+1）2﹣n﹣a，则实数a＝．14．若等比数列{a n}的各项均为正数，且，则lna1+lna2+⋯+lna7＝．15．在等比数列{a n}中，a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，记数列{a n}的前n项和、前n项积分别为S n，T n，则的最大值是．16．首项为正数，公差不为0的等差数列{a n}，其前n项和为S n，现有下列4个命题：①若S8＜S9，则S9＜S10；②若S11＝0，则a2+a10＝0；③若S13＞0，S14＜0，则{S n}中S7最大；④若S2＝S10，则S n＞0的n的最大值为11．使其中所有真命题的序号是．三．解答题（共6小题，满分70分）17．已知等差数列{a n}满足a4＝6，a6＝10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}各项均为正数，其前n项和T n，若b3＝a3，b5＝a9，求T n．18．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a5﹣a1＝90，S4＝90．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}中，满足b n＝a n+log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列的前n项和，求T n．20．已知数列{a n}中，a2＝，a n＝a n+1+2a n a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令{}的前n项和为T n，求证：T n＜．21．在等差数列{a n}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．22．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足a1＝1，a n+1＝2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n＝，设数列{b n}的前n项和为T n，若∀n∈N*，不等式T n﹣na＜0恒成立，求实数a的取值范围．答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．解：因为a3是a1和a5的等比中项，则，解得a3＝±3，由等比数列的符号特征知a3＝3．故选：B．2．解：在等差数列{a n}中，∵a3+a4+a9+a16＝4a8＝28，∴a8＝7，又a10＝13，∴S17＝．故选：D．3．解：数列{}是等差数列，设其公差为d，则2d＝，∴，可得，即a5＝．故选：D．4．解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，∴S10，S20﹣S10，S30﹣S20构成等差数列，∴2（S20﹣S10）＝S10+S30﹣S20，即2×（930﹣310）＝310+S30﹣930，∴S30＝1860．故选：C．5．解：等差数列{a n}中，a1+a3＝8，a2a4＝40，∴，解得a1＝1，d＝3．故选：C．6．解：∵{a n}为等差数列，a1＝2，∴，∴．故选：A．7．解：设S3＝x，则S6＝7x，由＝，可得q≠1，因为{a n}为等比数列，所以S3，S6﹣S3，S9﹣S6仍成等比数列．因为＝＝6，所以S9﹣S6＝36x，所以S9＝43x，故＝．故选：A．8．解：设数列{b n}的公差为d1，由题意可知，b1＝a1，b5＝a2，b5﹣b1＝a2﹣a1＝8＝4d1，故d1＝2，故b n＝2n，则b2023＝2023×2＝4046，故选：B．9．解：因为等差数列S n存在最大项，故等差数列的公差d＜0，又S5＝S10，即a6+a7+a8+a9+a10＝0，即a8＝0，则a1+a16＜a1+a15＝0，故选项A错误；a2+a15＜a1+a15＝0，故选项B正确；a1+a14＞a1+a15＝0，故选项C错误；而a2+a14＝a1+a15＝0，故选项D错误．故选：B．10．解：在等比数列{a n}中，由等比数列的性质可得：a4⋅a6＝a2⋅a8＝8．所以．故选：D．11．解：若{a n}为递增数列，则a n+1﹣a n＞0，则有2n+1+k（n+1）﹣（2n+kn）＝2n+1﹣2n+k＝2n+k＞0，对于n∈N+恒成立．∴k＞﹣2n，对于n∈N+恒成立，∴k＞﹣2．故选：A．12．解：根据条件：＝．故选：A．二．填空题（共4小题）13．解：因为，当n≥2时，，因为{a n}是等差数列，所以当n＝1时，a1＝11﹣a也符合上式，故a＝3．故3．14．解：∵{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a2a6＝a42，又a42+a2a6＝2e6，∴2a42＝2e6，又a4＞0，∴a4＝e3，∴lna1+lna2+•••+lna7＝ln（a1a2•••a7）＝lna47＝7lne3＝21．故21．15．解：等比数列{a n}中，a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，所以q＝＝2，a1＝＝＝1，所以数列{a n}的前n项和为S n＝＝2n﹣1，前n项积为T n＝1×2×22×...×2n﹣1＝2...+...+（n﹣1）＝，所以＝＝，当n＝2或n＝3时，＝3，所以的最大值是23＝8．故8．16．解：对于①，S8＜S9，则a9＞0，无法推得a10是否大于0，即S9＜S10无法确定，故①错误；对于②，∵S11＝0，∴＝，即a2+a10＝0，故②正确；对于③，S13＞0，S14＜0，则，即a7＞0，，即a7+a8＜0，故a7＞0，a8＜0，公差d＜0，首项为正数，故{S n}中S7最大，故③正确；对于④，若S2＝S10，则a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10＝0，即4（a3+a10）＝0，故a3+a10＝2a1+11d＝0，即，∵a1＞0，∴d＜0，∴＝＝，令S n＞0，则0＜n＜12，n∈N*，故S n＞0的n的最大值为11，故④正确．故②③④．三．解答题（共6小题）17．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a4＝6，a6＝10，∴，解得，故数列{a n}的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣2；（2）设各项均为正数的等比数列{b n}的公比为q（q＞0），∵a n＝2n﹣2，则a3＝4，a9＝16，∵a3＝b3，a9＝b5，∴b3＝4，b5＝16，即，解得2或﹣2（舍去），∴．18．解：（1）记等比数列{a n}的公比为q，由a5﹣a1≠0可知q≠1，，，解得a1＝6，q＝2，所以数列{a n}的通项公式为．（2）∵，∴＝3×++n•log23＝3×2n+1++n•log23﹣6．19．解：（1）设公差为d，则∵S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列∴4a1+6d＝14，（a1+2d）2＝a1（a1+6d）∵d≠0，∴d＝1，a1＝2，∴a n＝n+1（2）＝∴T n＝﹣+﹣+…+＝＝．20．解：（1）由a2＝，a n＝a n+1+2a n a n+1，可得a1＝a2+2a1a2＝+a1，解得a1＝1，又对a n＝a n+1+2a n a n+1两边取倒数，可得﹣＝2，则{}是首项为1，公差为2的等差数列，可得＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，所以a n＝；（2）证明：由（1）可得＝＝（﹣），所以T n＝（1﹣+﹣+﹣......+﹣+﹣）＝[﹣]，因为n∈N*，所以＞0，则T n＜×＝．21．解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项，可得a22＝a1a4，即（a1+2）2＝a1（a1+6），解得a1＝2，则a n＝a1+（n﹣1）d＝2+2（n﹣1）＝2n；（Ⅱ）数列{b n}满足：，可得a1＝，即b1＝8；n≥2时，a n﹣1＝++…+，与，相减可得2＝，即有b n＝2（3n+1），上式对n＝1也成立，可得b n＝2（3n+1），n∈N*；（Ⅲ）＝n（3n+1），则前n项和T n＝（1•3+2•32+…+n•3n）+（1+2+…+n），设S n＝1•3+2•32+…+n•3n，3S n＝1•32+2•33+…+n•3n+1，相减可得﹣2S n＝3+32+…+3n﹣n•3n+1＝﹣n•3n+1，化简可得S n＝，则T n＝+n（n+1）．22．解：（Ⅰ）由得，故，∵an＞0，∴S n＞0，∴＝+1，（2分）∴数列是首项为，公差为1的等差数列．（3分）∴，∴，…（4分）当n≥2时，，a1＝1，…（5分）又a1＝1适合上式，∴a n＝2n﹣1．…（6分）（Ⅱ）将a n＝2n﹣1代入，…（7分）∴…（9分）∵T n﹣na＜0，∴，∵n∈N+，∴…（10分）∴，∵2n+1≥3，，，∴．（12分）。
2023-2024学年江苏省南京市高二下册3月月考数学模拟试题1(含解析)
2023-2024学年江苏省南京市高二下册3月月考数学模拟试题一、单选题1．已知数列{}n a 的前n 项和21n n S a =-，则满足2na n≤的正整数n 的集合为（）A ．{}1,2B ．{}1,2,3,4C ．{}1,2,3D ．{}1,2,4【正确答案】B【分析】已知n S 求n a 分情况讨论，得到数列通项公式，再通过代入n 值验证不等式即可.【详解】根据21n n S a =-可得，当1n =时，1121S a =-，即11a =；当2n ≥时，()112121n n n n n a S S a a --=-=---，即()122n n a a n -=≥，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，则()11122n n n a n N --*=⨯=∈，故不等式2na n≤，即22n n -≤，验证可得1,2,3,4n =.故选：B.2．袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，取出后不放回，直到取到有两种不同颜色的球时即终止，用X 表示终止取球时所需的取球次数，则随机变量X 的数学期望()E X 是（）A ．115B ．125C ．135D ．145【正确答案】A【分析】本题需要“取到有两种不同颜色的球”，则既有可能是取三次（2白1其他颜色或者2黑1其他颜色），也有可能是取两次（1白1其他颜色或1黑1其他颜色或1红1其他颜色），通过上述计算出它们的概率，再算出它们的期望．【详解】袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，取后不放回，直到取到有两种不同颜色的球时即终止，用X 表示终止取球时所需的取球次数，则X 的可能取值为23、，()21211354545P X ==⨯+⨯=，()()42135P X P X ==-==，所以()411123555E X =⨯+⨯=，所以随机变量X 的数字期望()E X 是115，故选A本题考查的是概率以及期望，计算概率时首先要明白题目所给的限制条件，再根据条件得出满足条件的几种可能，再依次计算出概率．3．81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（）A ．70B ．70-C ．56D ．56-【正确答案】A【分析】根据展开式的通项公式即得.【详解】根据题意，81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()8821881C 1C r r rr r r r T x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令820r -=，解可得4r =，则有()44581C 70T =-=；即81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为70.故选：A.4．设袋子中有10个同样大小的球，其中有4个红球，6个白球，今从中任取5个球，令X =“任取的5个球中红球的个数”，则()2P X ==（）A ．821B ．623C ．1021D ．1331【正确答案】C【分析】根据超几何分布概率公式直接求解即可.【详解】()2346510C C 102C 21P X ===.故选：C.5．已知随机变量服从正态分布N (3，4)，则()21E ξ+与()21D ξ+的值分别为（）A ．13，4B ．13，8C ．7，8D ．7，16【正确答案】D【分析】由期望和方差的性质公式可得答案.【详解】由已知得()3E ξ=，()4D ξ=故()()21217E E ξξ+=+=，()()21416D D ξξ+==.故选：D6．计划将排球、篮球、乒乓球3个项目的比赛安排在4个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有A ．60种B ．42种C ．36种D ．24种【正确答案】A【详解】试题分析：根据题意，分分2种情况讨论：①、若3个项目分别安排在不同的场馆，②、若有两个项目安排在同一个场馆，另一个安排在其他场馆，由组合数公式可得每种情况下的安排方案数目，由分类计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2种情况讨论：①、若3个项目分别安排在不同的场馆，则安排方案共有A 43=24种，②、若有两个项目安排在同一个场馆，另一个安排在其他场馆，则安排方案共有C 32A 42=36种；所以在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有24+36=60种；故选A ．计数原理的应用．7．在三棱锥-P ABC 中，三条棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且2PA PB PC ===，若点P ，A ，B ，C 均在球O 的球面上，则O 到平面ABC 的距离为（）A B C D 【正确答案】B【分析】由条件可将三棱锥补成一个正方体，三棱锥-P ABC 的外接球的球心即为正方体的中心，由正方体性质求O 到平面ABC 的距离.【详解】因为三棱锥-P ABC 中，三条棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且2PA PB PC ===，故可将三棱锥补成一个边长为2的正方体，如图：因为点P ，A ，B ，C 均在球O 的球面上，所以O 为三棱锥-P ABC 的外接球的球心，又三棱锥-P ABC 的外接球的球心即为正方体的外接球的球心，即正方体的中心，所以O 为正方体的中心，所以222222223OP =++=3OP ，连接DP ，交平面ABC 与点H ，因为AB PE ⊥，AB PC ⊥，PE PC P = ，,PE PC ⊂平面PEC ，所以AB ⊥平面PEC ，PD ⊂平面PEC ，所以AB PD ⊥，同理可证AC PD ⊥，又AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC ，所以PD ⊥平面ABC ，所以PH ⊥平面ABC ，所以13P ABC ABCV SPH -=，又13P ABC C ABP ABPV V SCP --==，所以ABCABPSPH SCP =，又23ABCS=2ABP S =△，2CP =，所以322PH =⨯，所以233PH =，又3OP =所以33OH =，所以O 到平面ABC 的距离为33.故选：B.8．在正项等比数列{}n a 中，24a =，416a =，满足21231m m a a a a a += ，则m =（）A ．4B ．3C ．5D ．8【正确答案】A根据等比数列的公比为正数，利用24,a a 的关系求得公比q 的值，进而得到通项公式，然后代入已知等式123m a a a a =21m a +，得到关于m 的指数方程，求解即得.【详解】由题意得公比2q ==，首项21422a a q ===，∴111222n n nn a a q --==⨯=，由21231m m a a a a a += ，()(1)12212331 (2)2222222m m m mm++++++=== 可得(1)2(1)222m m m ++=，解得4m =,故选：A.本题考查等比数列的通项公式的运用，求得通项公式是关键，将通项公式代入已知等式，对左边各项的积按照同底数的幂的乘法运算，结合等差数列的求和公式化简，是解决此题的一个小难点.二、多选题9．已知事件A ，B ，C ，且()0.5P A =，()0.3P B =，则下列结论正确的是（）A ．如果()1P ABC = ，那么()0.2P C =B ．如果A 与B 互斥，那么()0.8P A B = ，()0P AB =C ．如果B A ⊆，那么()0.5P A B = ，()0.6P B A =D ．如果A 与B 相互独立，那么()0.65P A B = ，()0.35P A B ⋅=【正确答案】BCD【分析】通过举例说明选项A 错误，通过计算说明选项BCD 正确.【详解】A.设一个盒子里有标号为1到10的小球，从中摸出一个小球，记下球的编号，设A =球的编号是偶数，B =球的编号是1,2,3，C =球的编号是奇数，满足()1P A B C = ，但是()0.5P C =，所以该选项错误；B.如果A 与B 互斥，那么()()()0.8P A B P A P B =+= ，()0P AB =，所以该选项正确；C.如果B A ⊆，那么()()0.5P A B P A == ，()P B A =()0.30.6()0.5P AB P A ==，所以该选项正确；D.如果A 与B 相互独立，那么()()()()0.50.30.50.3P A B P A P B P AB =+-=+-⨯ 0.65=，()P A B ⋅(()0.50.70.35P A P B ==⨯=.所以该选项正确.故选：BCD10．（多选）已知()0nx a⎛> ⎝的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（）A ．展开式中各偶数项的二项式系数和为512B ．展开式中第5项和第6项的系数最大C ．展开式中存在常数项D ．展开式中含4x 的项的系数为210【正确答案】AD【分析】根据二项式系数公式可求得n ，令x ＝1可求得a ，再根据二项展开式的通项公式逐个选项分析即可.【详解】由题意知28C C n n =，∴n ＝10，∴10n x x⎛⎛= ⎝⎝，令x ＝1，则()1010121024a +==，∴a ＝1.对于A ，展开式中各偶数项的二项式系数和为10125122⨯=，故A 正确；对于B ，∵n ＝10，∴展开式中共有11项，中间项为第6项，该项的二项式系数最大，该项的系数也是其二项式系数，故B 错误；对于C ，展开式的通项为()310102211010C C 010,rr r rr r T xxxr r ---+=⋅≤≤⋅⋅=∈N ，令31002r -=，得203r =∉Z ，故展开式中不存在常数项，故C 错误；对于D ，令31042r -=，得r ＝4，故展开式中含4x 的项的系数为410C 210=，故D 正确.故选：AD.11．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，且,,,,22ED AD ED CD FB AB FB BC AB ED FB ⊥⊥⊥⊥===，则（）A ．三棱锥F ABC -的体积为23B ．EM ⊥平面AFC C ．三棱锥F ACE -的体积为2D ．EF ⊥平面AFC【正确答案】ABC【分析】根据题意建立如图空间直角坐标系，利用三棱锥的体积公式直接计算即可判断A ；利用空间向量证明空间中的位置关系即可判断BD ；利用空间向量法求出平面ACE 的法向量，进而求出点F 到平面ACE 的距离，结合三棱锥的体积公式计算即可判断C.【详解】由,,,BF AB BF BC AB BC B ABBC ⊥⊥=⊂ 、平面ABC ，得BF ⊥平面ABC ，由题意知，,,DA DC DA DE DC DE ⊥⊥⊥，建立如图空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,1),(1,1,0)D A C E F M ，得(2,2,0),(2,0,2),(0,2,1),(1,1,2)AC AE AF EM =-=-==- ，(2,2,1),(2,0,1)EF FC =-=--，对A ：11122213323F ABC ABC V S BF -=⋅=⨯⨯⨯⨯=，故A 正确；对B ：由0,0EM AF EM FC ⋅=⋅=，得,EM AF EM FC ⊥⊥，又,AF FC F AF FC =⊂ 、平面AFC ，所以EM ⊥平面AFC ，故B 正确；对C：由AC AE CE ===1602ACES︒=⨯=.设平面ACE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则220220n AC x y n AE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得1,1y z ==，所以(1,1,1)n = ，故点F 到平面ACE 的距离为AF n d n⋅=所以11233F ACE ACE V S d -=⋅=，故C 正确；对D ：由3,0,3EF AF EF AC EF FC ⋅=⋅=⋅=-，得EF ⊥平面AFC 不成立，故D 错误.故选：ABC.12．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n 次，以n P 表示没有出现连续3次正面向上的概率，则下列结论正确的是（）A ．378P =B ．41516P =C ．当2n ≥时，1n n P P +<D ．()1231114248n n n n P P P P n ---=++≥【正确答案】ACD【分析】对于A ，利用对立事件和相互独立事件概率乘法公式能求出3P ；对于B ，利用列举法能求出4P ；对于D ，分第n 次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n 1-次不出现连续三次正面是相同的，和第n 次出现正面，第n 1-次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前2n -次不出现连续三次正面是相同的，及第n 次出现正面，第n 1-次出现正面，第2n -次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前3n -次不出现连续三次正面是相同的，由此能求出(4)n P n ；对于C ，由4n 时，{}n P 单调递减，1234P P P P =>>，得到当2n时，1n n P P +<．【详解】当3n =时，3317128P ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，A 正确；当4n =时，又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正或正正正反或反正正正，431311616P ∴=-=，B 错误；要求n P ，即抛掷n 次没有出现连续3次正面的概率，分类进行讨论；如果第n 次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n 1-次不出现连续三次正面是相同的，∴这个时候不出现连续三次正面的概率是112n P -⨯；如果第n 次出现正面，第n 1-次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前2n -次不出现连续三次正面是相同的，∴这个时候不出现连续三次正面的概率是214n P -⨯；如果第n 次出现正面，第n 1-次出现正面，第2n -次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前3n -次不出现连续三次正面是相同的，∴这时候不出现三次连续正面的概率是318n P -⨯，综上，123111(4)248n n n n P P P P n ---=⨯+⨯+⨯ ，D 正确；由上式可得112111248n n n n P P P P +--=++，则1121231111111122482248n n n n n n n n P P P P P P P +-----⎛⎫⎛⎫-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭311216n n P P -=-，易知0n P >，所以131016n n n P P P +--=-<，()4n ≥，故当4n ≥时，1n n P P +<．又121P P ==，378P =，41316P =，满足当2n ≥时，1n n P P +<，C 正确．故选：ACD ．三、填空题13．化简：()()()1231223312131n n n n nnn n n C p p C p p C p p nC p ----+-+-++= ______.【正确答案】np由11=k k n n kC nC --将原式转化为()()()1232311110121111n n n n nn n n n nC p p nC p p nC p p nC p ---------+-+-++ ，再由二项式定理可得答案.【详解】()()()()111!1!!=!()!1!()!1!()!kk n n nk n n n kn kC nC k n k k k n k k n k ----===----- ，∴()()()1231223312131n n n n nnn n n C p p C p p C p p nC p ----+-+-++ ()()()123212311111=111n n n n nn n n n nC p p nC p p nC p p nC p---------+-+-++ ()()11211111=11n n n n n n n np C p C p C p p -------+⎦+⎡⎤-+-⎣ 1[(1)]n np p p -=-+11n np -=⋅np=故np本题考查组合数公式和二项式定理的应用，考查转化思想，属于中档题.14．已知圆锥的顶点为S ，母线,SA SB 夹角的余弦值为4，SA 与圆锥底面所成角为60 ，若SAB △的面积为2，则该圆锥的体积为___________.【正确答案】π3【分析】利用2SABS =可求得母线长，进而确定圆锥底面圆半径和高，代入圆锥体积公式即可.【详解】由题意知：cos 4ASB ∠=，1sin 4ASB ∴∠=，211sin 228SABSSA SB ASB SA ∴=⋅∠==，解得：4SA =，1cos60422OA SA ∴==⨯= ，sin 604SO SA ===∴圆锥体积211ππ433V OA SO =⋅⋅=⨯⨯.故答案为15．2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心.八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.山东某医院的甲、乙、丙、丁、戊5名医生到湖北的A ，B ，C 三个城市支援，若要求每个城市至少安排1名医生，则A 城市恰好只有医生甲去支援的概率为______.【正确答案】775【分析】由排列组合的知识可确定四名医生分配到三个城市，每个城市至少一名医生和城市A 恰好只有医生甲去支援的情况种数，由古典概型概率公式可求得结果.【详解】分两步，第一步，把5名医生分成三组，有1，1，3和1，2，2两种分法，当分成1，1，3时，有3510C =种情况，当分成1，2，2时，有12541152C C =种情况；第二步，把这三组分到三个城市.则共有3325150A =种情况.A 城市恰好只有医生甲去支援，即将剩下的4名医生分配到2个城市.则共有3224421142C C A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（种），因此所求概率14715075P ==.故775四、双空题16．已知一个质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动，每隔一秒等可能地向数轴正方向或向负方向移动一个单位.若移动n 次，则当n ＝6时，质子位于原点的概率为___________；当n ＝___________时，质子位于5对应点处的概率最大.【正确答案】516##0.或25【分析】根据独立重复试验的概率公式求n ＝6时质子位于原点的概率，再求质子位于5对应点处的概率表达式并求其最值.【详解】设第n 次移动时向左移动的概率为12，事件n ＝6时质子位于原点等价于事件前6次移动中有且只有3次向左移动，所以事件n ＝6时质子位于原点的概率为3336115C 12216P ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎝⎭,事件第25m +次移动后质子位于5对应点处等价于事件质子在25m +次移动中向右移了5m +次，所以第25m +次移动后质子位于5对应点处的概率25251C2m m m P ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，设()25251C2m m m f m ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()()()()()()()()()()()2512725!1!6!16C 4441C !5!27!2627m m m m f m m m m m m f m m m m m m ++++++++==⋅=+++++，令()()11f m f m >+可得()()()()16412627m m m m ++>++，化简可得224282442642m m m m ++>++，所以9m >，N m *∈，所以()()()1011f f f m >>⋅⋅⋅>>⋅⋅⋅令()()11f m f m <+可得9m <，N m *∈，所以(9)(8)(1)f f f >>⋅⋅⋅>，又(9)10154=1(10)2425f f ⨯=⨯，所以m=9或m =10，即23n =或25n =时，质子位于5对应点处的概率最大.故516；23或25.五、解答题17．已知集合411A xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，集合{}22220,B x x x a a a R =+-+<∈.()1a <（1）求集合A ；（2）若x B ∈是x A ∈的必要条件，求实数a 的取值范围.【正确答案】（1）{}13A x x =-<<；（2）3a ≤-.【分析】（1）解分式不等式411x >+即可得到答案.（2）首先解不等式得到{}2B x a x a =-<<-，根据题意得到A B ⊆，从而得到1321a a a <⎧⎪-≥⎨⎪-≤-⎩，再解不等式组即可.【详解】（1）因为411x >+，所以431011x x x --=>++，所以()()130x x +-<，所以13x -<<，故{}13A x x =-<<；（2）由22220x x a a +-+<得()()20x a x a +-+<，因为1a <，所以{}2B x a x a =-<<-.由x B ∈是x A ∈的必要条件，知A B ⊆.所以1321a a a <⎧⎪-≥⎨⎪-≤-⎩，解得3a ≤-.18．一盒子中有8个大小完全相同的小球，其中3个红球，4个白球，1个黑球.(1)若不放回地从盒中连续取两次球，每次取一个，求在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率；(2)若从盒中有放回的取球3次，求取出的3个球中白球个数X 的分布列和数学期望.【正确答案】(1)27；(2)分布列见解析，数学期望为32.【分析】（1）设事件A =“第一次取到红球”，事件B =“第二次取到红球”，求出()P A ，()P AB ，再根据条件概率的概率公式计算可得；（2）依题意X 服从二项分布，X 的可能取值为0、1、2、3，求出所对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可.【详解】（1）设事件A =“第一次取到红球”，事件B =“第二次取到红球”，由于是不放回地从盒中连续取两次球，每次取一个，所以第一次取球有8种方法，第二次取球是7种方法，一共的基本事件数是56，由于第一次取到红球有3种方法，第二次取球是7种方法，()37215656P A ⨯∴==，一次取到红球有3种方法，第二次取到红球有2种方法，()656P AB ∴=，()()()27P BA P B A P A ∴==∣;（2）由题可知白球个数13,2XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且有()()331311130,1C 2828P X P X ⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()33233313112C ,3C 2828P X P X ⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故X 的分布列为：X0123P18383818所以X 的数学期望为.()13313012388882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=19．四棱锥P ABCD -底面为平行四边形，且60ABC ∠= ，2AB =，3AD =，PA ⊥平面ABCD ，13BM BC =．(1)点N 在棱PD 上，且13PN ND =，求证：PB 平面AMN ；(2)若异面直线AB 与PD 所成角的余弦值为4，求平面PAM 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析；【分析】（1）作出点N ，并连接AN ，MN ，AM ，BD ，且BD 交AM 于点O ，连接ON ，可知OBMODA △△，得到13BO OD =，进而得到ON PB ∥，即可证明；（2）ABM 中，由余弦定理和勾股定理可得AM AD ⊥，再以A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式表达出异面直线AB 与PD 所成角的余弦值，进而求出点P 的坐标，再利用空间向量解决二面角问题即可.【详解】（1）作出点N ，并连接AN ，MN ，AM ，BD ，且BD 交AM 于点O ，连接ON ，在平行四边形ABCD 中，BC AD ∥，则13BO BM OD AD ==，又因为13PN ND =，所以PN BOND OD=，则有ON PB ∥，ON ⊂平面AMN ，PB ⊄平面AMN ，所以PB平面AMN ．（2）在ABM 中，2AB =，1BM =，60ABM ∠= ，则AM ==有2224BM AM AB +==，于是得90AMB ∠= ，即AM BC ⊥，AM AD ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，则以点A 为原点，直线AM ，AD ，AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0A ，)1,0B-，()0,3,0D ，设()0,0,P a ，0a >，有)1,0AB =- ，()0,3,DP a =-，因异面直线AB 与PDcos,4AB DP〈=〉=，解得a=(0,DP=-，)1,0DC AB==-，设平面PCD的法向量(),,n x y z=r，则·30·0n DP yn DC y⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩，令1x=，得()n= ，取平面PAM的法向量()0,1,0m=，设平面PAM与平面PCD所成锐二面角为θ，则cos cos,13m nm nm nθ⋅=〈〉==，所以平面PAM与平面PCD13．20．某市宣传部门开展了线上新冠肺炎世界防控现状及防控知识竞赛，现从全市的参与者中随机抽取了1000名幸运者的成绩进行分析，把他们的得分（满分100分）分成以下7组：[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，统计得各组的频率之比为1∶6：8：10：9：4：2．同一组数据用该区间中点值代替．(1)求这1000名幸运者成绩的第75百分位数和平均值μ（结果保留整数）﹔(2)若此次知识竞赛得分()2~,14X Nμ，为感谢市民的积极参与，对参与者制定如下奖励方案：得分不超过79分的可获得1次抽奖机会，得分超过79分不超过93分的可获得2次抽奖机会，超过93分的有3次抽奖机会，试估计任意一名幸运者获得抽奖次数的数学期望．参考数据：()0.6827P Xμσμσ-≤≤+≈，()220.9545P Xμσμσ-≤≤+≈，()33P Xμσμσ-+≈≤≤0.9973．【正确答案】(1)第75百分位数约为76分，平均值为65分(2)数学期望为1.1814次．【分析】（1）根据百分位数和平均数的计算即可求解，（2）根据正态分布的对称性可求概率，进而得分布列.【详解】（1）这1000名幸运者成绩的第75百分位数为x，则所以()701681090.75401040x -++++⨯=，解得76x ≈（分），352545150552006525075225851009550651000μ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分）．所以这1000名幸运者成绩的第75百分位数约为76分，平均值为65分；（2）设随机变量Y 表示任意一名幸运者的抽奖次数，则Y 的可能取值为1，2，3，由已知及（1）得，()2~65,14X N ，()()()10.68271790.8413522P Y P X P X μσ===+≈+=≤≤，()()()0.95450.68272799320.13592P Y P X P X μσμσ-==<=+<+≈=≤≤，()()()393210.841350.13590.02275P Y P X P X μσ==>=>+≈--=，其分布列为Y 123P0.841350.13590.02275所以()10.8413520.135930.02275 1.1814E Y =⨯+⨯+⨯=．所以可以估计任意一名幸运者获得抽奖次数的数学期望为1.1814次．21．如图，在三棱台111ABC A B C -中，1AC A B ⊥，O 是BC 的中点，1A O ⊥平面ABC .（1）求证：AC BC ⊥；（2）若1111,2AO AC BC A B ====，求二面角1B BC A --的大小.【正确答案】（1）证明见解析；（2）56π.【分析】（1）先证1A O AC ⊥再结合1AC A B ⊥，即可证明AC ⊥平面1A BO ，则可证AC BC⊥（2）以O 为坐标原点建立如所示的空间直角坐标系，分别求解平面11BB C C 和ABC 的法向量，利用夹角向量公式即可求解．【详解】解：（1）因为1A O ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1A O AC ⊥.又因为1AC A B ⊥，111A B AO A ⋂=，1A B ⊂平面1A BO ，1A O ⊂平面1A BO ，所以AC ⊥平面1A BO ，又因为BC ⊂平面1A BO ，所以AC BC ⊥；（2）以O 为坐标原点，与CA 平行的直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，1OA 所在直线为z 轴，建立如所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,0)O，1,0)A -，(0,1,0)B ，1(0,0,1)A .所以(0,1,0)OB =，(AB =-uu u r，1(0,0,1)OA = ，于是4AB =.由111ABC A B C -是三棱台，所以11//AB A B .又因为112A B =所以111(2A B AB ==.所以1111(OB OA A B =+=.设平面11BB C C 的法向量(,,)n x y z =，由100n OB n OB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0y y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩取1x =，则0y =，z =n =.因为1OA ⊥平面ABC ，所以平面ABC 的法向量为1(0,0,1)OA =.所以111cos,2||⋅<>==⋅n OAn OAn OA，因为二面角1B BC A--为钝二面角，所以二面角1B BC A--的大小是56π．方法点睛：求二面角常用方法：(1)几何法：二面角的大小常用它的平面来度量；(2)空间向量法:分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角．22．已知正四面体ABCD的棱长为3cm.(1)已知点E是CD的中点，点P在ABC的内部及边界上运动，且满足//EP平面ABD，试求点P的轨迹；(2)有一个小虫从点A开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，当它爬了12cm之后，求恰好回到A点的概率.【正确答案】(1)点P的轨迹为线段QM(2)727【分析】（1）取BC中点M，连接EM，并取AC的中点Q，连QE，QM，根据面面平行判定定理证明平面QEM∥平面ABD，即可得出点P的轨迹；（2）先求出所有等可能基本事件总数4381=，共走了四条棱，分别算出第一条棱有几种选择，第二条棱有几种选择，第三条棱有几种选择，再根据分步计数原理即可求解.【详解】（1）取BC中点M，连接EM，并取AC的中点Q，连QE，QM，所以EQ∥AD，EQ⊄平面ABD，AD⊂平面ABD，所以EQ∥平面AB D.同理可得：MQ∥平面AB D.因为EQ，MQ为平面QEM内的两条相交直线，所以平面QEM∥平面ABD，所以得到点P的轨迹为线段QM.（2）由题意可得：小虫爬了12cm，并且恰好回到A点，所以小虫共走过了4条棱，因为每次走某条棱均有3种选择，所以所有等可能基本事件总数为4381=.当小虫走第1条棱时，有3种选择，即AB，AC，AD，不妨设小虫走了AB，然后小虫走第2条棱为BA或BC或BD，若第2条棱走的为BA，则第3条棱可以选择走AB，AC，AD，计3种可能；若第2条棱走的为BC，则第3条棱可以选择走CB，CD，计2种可能；同理第2条棱走BD时，第3棱的走法亦有2种选择.所以小虫走12cm后仍回到A点的选择有3×（3+2+2）=21种可能.所以所求的概率为217 8127=.方法点睛：（1）证明面面平行时，先证明两条相交线平行同一个平面是关键，线面平行的证明常用的方法有：中位线，平行四边形性质等；（2）古典概型的概率，求出基本事件是关键，再逐个分析所有符合条件要求的情况，分类还是分步要充分考虑清楚，要做到不重不漏.。
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨高二下册3月月考数学模拟试题A卷(含解析)
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨高二下册3月月考数学模拟试题A 卷一、单选题1．54886599A A A A +=-（）A ．58B ．527C ．49D ．12【正确答案】B【分析】用排列数公式展开，约分化简即可求解．【详解】54886599A A 876548765415A A 9876549876594927+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+===-⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯-.故选：B.2．若将9名会员分成三组讨论问题，每组3人，则不同的分组方法种数有（）A ．3396C C B ．3396A A C ．33396333C C C AD ．333963A A A 【正确答案】C【分析】利用组合数平均分组法即可.【详解】解析：由于三组之间没有区别，且是平均分组，故共有33396333C C C A 种分组方法，故选：C ．3．楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为A ．10B ．15C ．20D ．24【正确答案】A将问题等价转化为将3盏关着的灯插入6盏亮着的灯所形成的除最左端和最右端的空挡以外的5个空档之内，进而求得结果.【详解】问题等价于将3盏关着的灯插入6盏亮着的灯所形成的除最左端和最右端的空挡以外的5个空档之内∴关灯方案共有：3510C =种故选：A本题考查组合数的应用，关键是能够将问题进行等价转化为符合插空法的形式.4．若随机变量()2~2,X N σ，且()50.7P X ≤=，那么()1P X ≤-=（）A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8【正确答案】B【分析】由题意可得()5P X >，根据()()15P X P X ≤-=>即可求得．【详解】由()50.7P X ≤=，得()50.3P X >=，由题意，正态曲线关于2x =对称，所以()()150.3P X P X ≤-=>=，故选：B ．5．已知随机变量X 的分布列如下表，若1()3E X =，则()D X =（）X1-01Pab12A ．13B ．23C ．59D ．79【正确答案】C【分析】由期望公式可得16a =，结合分布列的性质有13b =，再应用方差公式求()D X .【详解】由题设，11()23E X a =-+=，即16a =，则11123b a =--=，而2222111()(1)0162323E X =⨯-+⨯+⨯=，所以322211215()[()]()[()]3399i i D X X E X E X E X ==-=-=-=∑.故选：C6．若一个四位数的各位数字之和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”．试问用数字0，1，2，3，4，5，6，7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”的个数为（）A ．55B ．59C ．66D ．71【正确答案】D【分析】根据和为10的无重复的四个数字的可能情况进行分类讨论，由此求得不同的方法总数.【详解】记千位为首位，百位为第二位，十位为第三位，由题设中提供的信息可知，和为10的无重复的四个数字有(0，1，2，7)，(0，1，3，6)，(0，1，4，5)，(0，2，3，5)，(1，2，3，4)，共五组．其中第一组(0，1，2，7)中，7排在首位有33A ＝6(种)情形，2排在首位，1或7排在第二位上时，有222A ＝4(种)情形，2排在首位，0排在第二位，7排在第三位有1种情形，共有6＋4＋1＝11(种)情形符合题设；第二组中3，6分别排在首位共有233A ＝12(种)情形；第三组中4，5分别排在首位共有233A ＝12(种)情形；第四组中2，3，5分别排在首位共有333A ＝18(种)情形；第五组中2，3，4分别排在首位共有333A ＝18(种)情形．依据分类计数原理可知符合题设条件的“完美四位数”共有11＋12＋12＋18＋18＝71(个).故选：D7．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出()*16,n n n N ≤≤∈个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为ξ个，则随着()*16,n n n N ≤≤∈的增加，下列说法正确的是（）A ．E ξ增加，D ξ增加B ．E ξ增加，D ξ减小C ．E ξ减小，D ξ增加D ．E ξ减小，D ξ减小【正确答案】C【分析】由题意可知，从乙盒子里随机取出n 个球，含有红球个数X 服从超几何分布，即()6,3,XH n ，可得出2nEX =，再从甲盒子里随机取一球，则ξ服从两点分布，所以()111222E P n ξξ===++，()1111222D P n ξξ=-==-+，从而可判断出E ξ和D ξ的增减性.【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出n 个球，含有红球个数X 服从超几何分布，即()6,3,XH n ，其中()336k n k n C C P X k C -==，其中Nk ∈，3k ≤且k n ≤，362n nEX ==.故从甲盒中取球，相当于从含有12n+个红球的1n +个球中取一球，取到红球个数为ξ.故()111211222n P n n ξ+===+++，随机变量ξ服从两点分布，所以()111211222n E P n n ξξ+====+++，随着n 的增大，E ξ减小；()()()211111422D P P n ξξξ⎡⎤=-===-⎣⎦+，随着n 的增大，D ξ增大.故选：C.本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题.8．现准备将8本相同的书全部分配给5个不同的班级，其中甲、乙两个班级每个班级至少2本，其它班级允许1本也没有，则不同的分配方案共有（）A ．60种B ．70种C ．82种D ．92种【正确答案】B【分析】根据题意，可将8本相同的书看成是相同的元素首先要满足甲、乙两个班至少2本书，可以先分给甲、乙两个班各2本书，余下的4本书任意分给五个班，分4种情况讨论分配方案，①4本书都给一个班，②4本书按1、3分成两份或按2、2分成两份给2个班，③4本书按1、1、2分成三份分给三个班，④4本书按1、1、1、1分成4份分给4个班，分别求出其分配方案数目，将其相加即可得答案【详解】根据题意，8本相同的书是相同的元素，首先要满足甲、乙两个班至少2本书，可以先分给甲、乙两个班各2本书，余下的4本书任意分给五个班，分4种情况讨论：①、当4本书都给一个班时，有5种结果，②、4本书按1、3分成两份或按2、2分成两份给2个班，有225530A C +=种结果，③、当4本书按1、1、2分成三份时分给三个班时，有1254C C 30=种结果，④、4本书按1、1、1、1分成4份分给4个班，有455C =种结果所以不同的分配方案有5+30+30+5=70种结果故选：B本题考查分类计数原理，注意分类时做到不重不漏，其次注意相同的书是相同的元素,属于中档题.二、多选题9．已知双曲线的方程为2216416y x -=，则（）A ．渐近线方程为12y x=±B．焦距为CD ．焦点到渐近线的距离为8【正确答案】BC【分析】A 选项，先判断出双曲线焦点在y 轴上，利用公式求出渐近线方程；B选项，求出c =，得到焦距；C 选项，根据离心率公式求出答案；D 选项，利用点到直线距离公式进行求解.【详解】2216416y x -=焦点在y 轴上，故渐近线方程为2a y x x b =±=±，A 错误；2641680c =+=，故c =，故焦距为B 正确；离心率为c a ==C 正确；焦点坐标为(0,±，故焦点到渐近线2y x =±4=，D 错误.故选：BC10．已知数列{}n a 是等比数列，公比为q ，前n 项和为n S ，则（）A ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列B ．{}n a 也可能为等差数列C ．若1q >，则{}n a 为递增数列D ．若13n n S r -=+，则13r =-【正确答案】ABD 【分析】由已知可得1n na q a +=，利用等比数列的定义可判断A ；当1q =时可判断B ；当10a <时{}n a 为递减数列可判断C ；分别求出1a ，2a ，3a 再由2213a a a =求出r 的值可判断D ，进而可得正确选项.【详解】因为数列{}n a 是等比数列，公比为q ，所以1n na q a +=，对与A ：令1n n b a =，则111111n n n n n nb a a b a q a +++===是常数，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，故选项A 正确；对于B ：若1q =，则{}n a 各项都相等，所以{}n a 是公差为0的等差数列，所以选项B 正确；对于C ：数列{}n a 是等比数列，公比为q ，则11n n a a q -=⋅，若1q >，10a <，则{}n a 为递减数列，故选项C 不正确；对于D ：若13n n S r -=+，则111a S r ==+，2213(1)2a S S r r =-=+-+=，()332936a S S r r =-=+-+=；由{}n a 是等比数列，得2213a a a =，即()461r =+，解得13r =-，故选项D 正确；故选：ABD ．11．函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，以下命题正确的是（）A ．函数()y f x =在4x =-处取得最小值B ．0x =是函数()y f x =的极值点C ．()y f x =在区间(4,1)-上单调递增D ．()y f x =在1x =处切线的斜率大于零【正确答案】ACD【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．【详解】根据导函数图象可知当(,4)x ∈-∞-时，()0f x '<，在(4,)x ∈-+∞时，()0f x '≥，∴函数()y f x =在(,4)-∞-上单调递减，在(4,)-+∞上单调递增，且故C 正确；易知函数()y f x =在4x =-处取得最小值，故A 正确；在(4,)-+∞上单调递增，故0x =不是函数()y f x =的极值点，故B 不正确； 函数()y f x =在1x =处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D 正确.故选：ACD ．12．对于189x ⎛- ⎝展开式，下面结论正确的是（）A ．第9，10项的二项式系数最大B ．常数项为1218C C ．展开式中所有项系数之和为18263⎛⎫⎪⎝⎭D ．展开式中有理项的二项式系数和为172【正确答案】BCD【分析】对于A ：运用二项式系数的性质可求得结果；对于B ，写出二项式展开式通项，令x 上方的指数幂为0，即可求得常数项；对于C ，令1x =即可；对于D ，先求出展开式中的所有有理项，再将相应的二项式系数加起来即可.【详解】二项式189x ⎛⎝展开式的第1r +项()31818182118181C 99C 3r rr rrr r r T x x---+⎛⎛⎫==⨯-⨯ ⎪ ⎝⎭⎝对于A ：由二项式系数的性质可知：对二项式系数18C r中，当9r =时，取得最大值，此时第10项对应的二项式系数最大，所以A 错误；对于B ：令31802r -=，则12r =，所以常数项为：12181********181********C 9C C 33-⎛⎫⨯-⨯=⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C ：在原式中令1x =，则展开式中所有项系数之和是1818126933⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；对于D ：由018318Z 2Nr r r ≤≤⎧⎪⎪-∈⎨⎪∈⎪⎩，可知r 可取0，2，4，6，8，10，12，14，16，18，因此相应有理项的二项式系数和为：024*******18181818C C C C 22-+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+==，所以D 正确．故选：BCD ．三、填空题13．某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.15．邻居记得浇水的概率为0.9．则该人回来植物没有枯萎的概率为______．【正确答案】0.785【分析】根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解.【详解】记A 为事件“植物没有枯萎”，W 为事件“邻居记得给植物浇水”，则根据题意，知()0.9P W =，()0.1P W =，()0.2P A W =，()0.85P A W =，因此()()()()()0.850.90.20.10.785P A P A W P W P A W P W =+=⨯+⨯=．故0.785．14．已知事件A ，B 满足()()P A P A =，()0.3P B =，()0.4P B A =，则()|P B A =______.【正确答案】0.2##15【分析】根据全概率公式计算可得.【详解】因为A A 、互为对立事件且()()P A P A =，所以()()0.5P A P A ==，()()()()()()0.5|||0.50.30.4P B P B A P B P B A P A P A A =⨯⨯=++=，所以()|0.2P B A =.故答案为.0.215．已知随机变量X 的分布列为X 1234P0.20.3α0.1则()27D X +=______．【正确答案】3.36【分析】利用分布列的性质求出α，然后求解期望与方差即可．【详解】解：由题意可得0.20.30.11α+++=，解得0.4α=，∴()10.220.330.440.1 2.4E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，∴()()()()()22221 2.40.22 2.40.33 2.40.44 2.40.10.84D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，∴()()227240.84 3.36D X D X +=⋅=⨯=．故3.36．16．用六种不同的颜色给如图所示的几何体的各个顶点染色，要求每条棱的两个端点不同色，则不同的染色方法种数为______．【正确答案】8520【分析】分用6种、5种、4种、3种颜色三种情况讨论，先染A ，B ，C 再染D ，E ，F ，由分步乘法计算原理求每一种情况的染色方法数，再求和即可求解.【详解】第一类：若6种颜色都用上，共66A 720=种；第二类：若用其中5种颜色，首先选出5种颜色，方法有56C 种．先染A ，B ，C ，方法有35A 种，再染D ，E ，F 中的两个点，方法有23A 种，最后剩余的一个点只有2种染法，故此时染色方法共有532653C A A 24320⨯⨯⨯=种；第三类：若用其中4种颜色，首先选出4种颜色，方法有46C 种．先染A ，B ，C ，方法有34A 种，再染D ，E ，F 中的一个点，方法有3种，最后剩余的两个点只有3种染法，故此时染色方法共有4364C A 333240⨯⨯⨯=种；第四类：若用其中3种颜色，首先选出3种颜色，方法有36C 种．先染A ，B ，C ，方法有33A 种，再染D ，E ，F 方法有2种，故此时染色方法共有3363C A 2240⨯⨯=种；综上可知：不同的染色方法共有720432032402408520+++=种，故答案为.8520四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足332n n S a n =+-.（1）求证：数列{}1n a -是等比数列；（2）若()()()31323log 1log 1...log 1n n b a a a =-+-++-，1=n nc b .求数列{}n c 的前n 项和n T .【正确答案】（1）证明见解析；（2）21n nT n =+【分析】（1）由已知条件可得132n n a a -=-，给等式两边同时减1得，()1311n n a a -=--，从而可证得数列{}1n a -是以3为公比，3为首项的等比数列；（2）由（1）可求得13nn a -=，从而可求出(1)2n n n b +=，所以()211211n c n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，然后利用裂项求和的方法可求得n T .【详解】解：（1）当1n =时，1113132S a a ==+-，得14a =，当2n ≥时，()113132n n S a n --=+--，则1133122n n n n n a S S a a --=-=-+，即132n n a a -=-，∴()1311n n a a -=--，∴数列{}1n a -是以113a -=为首项，公比为3的等比数列.（2）由（Ⅰ）得13nn a -=，∴()()()()313231log 1log 1...log 1123 (2)n n n n b a a a n +=-+-++-=++++=，∴()1211211n n c b n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭，∴111111221 (22334)11n n T n n ⎛⎫=-+-+-++-=⎪++⎝⎭.此题考查了由递推式证明等比数列，裂项求和的方法，属于中档题.18．已知n⎝⎭的展开式中，第七项与第五项的二项式系数相等．（Ⅰ）求该展开式中所有有理项的项数；（Ⅱ）求该展开式中系数最大的项．【正确答案】（Ⅰ）6（Ⅱ）252815360T x-=【分析】(Ⅰ)由条件有64n n C C =可得10n =，再由展开式的通项公式()10221102010,r r r r r T C x x r r N --+=≤≤∈可得答案.（Ⅱ）设第1r T +项的系数最大,则1110101110102222r r r r r r r r C C C C --++⎧≥⎨≥⎩,解出7r =，得出答案.【详解】(Ⅰ)由题意，n ⎝⎭的展开式中第七项与第五项的二项式系数相等.所以64n n C C =，解得：10n =所以()10221102010,rr r r r T C x x r r N --+=≤≤∈.要求展开式中的有理项的项，则令1052r Z -∈所以0,2,4,6,8,10r =，所有有理项的项数为6项.(Ⅱ)设第1r T +项的系数最大.则1110101110102222r r r r r r r r C C C C --++⎧≥⎨≥⎩，即211112101r r r r ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩解得：192233r ≤≤，又r N ∈，且7r =.所以展开式中的系数最大的项为25257722810215360T C x x --==.本题考查二项式展开式中的有理项和系数最大值的项，属于中档题.19．某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的.(1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；(2)设甲公司答对题数为随机变量X ，求X 的分布列、数学期望和方差；(3)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？【正确答案】(1)115；(2)分布列见解析，数学期望为2，方差为25；(3)甲公司竞标成功的可能性更大.【分析】（1）将甲乙共答对2道题的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用相互独立事件的概率，结合古典概率求解作答.（2）求出X 的可能值及各个值对应的概率，列出分布列，求出期望和方差作答.（3）求出乙公司答对题数的期望和方差，与甲公司的比对作答.【详解】（1）记“甲、乙两家公司共答对2道题”的事件为A ，它是甲乙各答对1道题的事件、甲答对2题乙没答对题的事件和，它们互斥，则有12211123424233366C C C C 2221()C ()(1)(1)C 33C 315P A =⨯-+⨯-=，所以甲、乙两家公司共答对2道题目的概率是115.（2）设甲公司答对题数为X ，则X 的取值分别为1,2,3，()()()122130424242333666C C C C C C 1311,2,3C 5C 5C 5P X P X P X =========，则X 的分布列为：X123P 153515期望()1311232555E X =⨯+⨯+⨯=，方差()2221312(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=.（3）设乙公司答对题数为Y ，则Y 的取值分别为0,1,2,3，312311212(0)(),(1)C ()327339P Y P Y =====⨯⨯=，223321428(2)C (),(3)()339327P Y P Y ==⨯⨯====，则Y 的分布列为：Y0123P 1272949827期望()124801232279927E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=，方差()222212482(02)(12)(22)(32)2799273D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，显然()()()(),E X E Y D X D Y =<，所以甲公司竞标成功的可能性更大.20．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左､右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2，点G是椭圆上一点，12GF F △的周长为6+（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，且四边形OAGB 为平行四边形，求证：OAGB 的面积为定值.【正确答案】（1）221123x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由抛物线的定义和离心率得出椭圆C 的方程；（2）联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系求出G 点坐标，代入椭圆方程，再由弦长公式，点线距公式结合三角形的面积公式化简计算可得定值．【详解】（1）因为12GF F △的周长为6+所以226a c +=+，即3a c +=+又离心率c e a ==a =3c =，2223b a c =-=.∴椭圆C 的方程为221123x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,G x y ，将y kx m =+代入221123x y +=消去y 并整理得()2221484120k x kmx m +++-=，则122814km x x k +=-+，212241214m x x k -⋅=+，()121222214m y y k x x m k +=++=+，∵四边形OAGB 为平行四边形，∴()1212,OG OA OB x x y y =+=++ ，得2282,1414km m G k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，将G 点坐标代入椭圆C 方程得()223144m k =+，点O 到直线AB 的距离为d =，12AB x =-，∴平行四边形OAGB 的面积为124S d AB m x x m =⋅=-=3=故平行四边形OAGB 的面积为定值为关键点点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点线距公式和弦长公式，解决本题的关键点是借助于平面向量的坐标表示，利用点在曲线上得出方程，代入平行四边形的面积公式，消去参数得出定值，考查学生计算能力，属于中档题．21．已知函数()ln ,a f x x a x=+∈R ．(1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)当1x ≥时，若关于x 的不等式()2f x x a ≤-恒成立，试求a 的取值范围．【正确答案】(1)()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞(2)1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用导数求得()f x 的单调区间.（2）利用分离参数法，结合构造函数法以及导数求得a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()()1ln 0f x x x x =+>，()'22111x f x x x x -=-=，所以()f x 在区间()()()'0,1,0,f x f x <递减；在区间()()()'1,,0,f x f x +∞>递增.所以()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞.（2）1,()2,ln 2a x f x x a x x a x ≥≤-+≤-，2ln 12x x x a x-≤+恒成立.构造函数()()2ln 112x g x x x x x-≥+=，()113g =，()()()2''22ln 11,1912x x g x g x --==+，构造函数()()22ln 11h x x x x =--≥，()()()2'212114140x x x h x x x x x +--=-==>，所以()h x 在[)1,+∞上递增，()110h =>，所以()'0g x >在[)1,+∞上成立，所以()()113g x g ≥=，所以13a ≤，即a 的取值范围是1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.22．2021年新高考数学试卷中对每道多选题的得分规定：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明在做多选题的第11题、第12题时通常有两种策略：策略:A 为避免选错只选出一个最有把握的选项．这种策略每个题耗时约3min ．策略:B 选出自己认为正确的全部选项．这种策略每个题耗时约6min ．某次数学考试临近，小明通过前期大量模拟训练得出了两种策略下第11题和第12题的作答情况如下：第11题：如果采用策略A ，选对的概率为0.8，采用策略B ，部分选对的概率为0.5，全部选对的概率为0.4．第12题：如果采用策略A ，选对的概率为0.7，采用策略B ，部分选对的概率为0.6，全部选对的概率为0.3．如果这两题总用时超过10min ，其他题目会因为时间紧张少得2分．假设小明作答两题的结果互不影响．(1)若小明同学此次考试中决定第11题采用策略B 、第12题采用策略A ，设此次考试他第11题和第12题总得分为X ，求X 的分布列．(2)小明考前设计了以下两种方案：方案1：第11题采用策略B ，第12题采用策略A ；方案2：第11题和第12题均采用策略B ．如果你是小明的指导老师，从整张试卷尽可能得分更高的角度出发，你赞成他的哪种方案？并说明理由．【正确答案】(1)分布列见解析(2)赞成小明的方案1，理由见解析【分析】（1）分析可知随机变量X 的可能取值有0、2、4、5、7，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列；（2）计算出两种方案下得分的期望和所用的时间，结合题意可得出结论.【详解】（1）解：设事件1B 为“第11题得0分”，2B 为“第11题得2分”，3B 为“第11题得5分”，1A 为“第12题得2分”，2A 为“第12题得0分”，所以()10.1P B =，()20.5P B =，()30.4P B =，()10.7P A =，()20.3P A =．由题意可知X 的可能取值为0、2、4、5、7，()()()()121200.03P X P B A P B P A ====，()()()()()()1122112220.22P X P B A B A P B PA PB P A ==+=+=，()()()()212140.35P X P B A P B P A ====，()()()()323250.12P X P B A P B P A ====，()()()()313170.28P X P B A P B P A ====，所以X 的分布列为：X02457P 0.030.220.350.120.28（2）解：设随机变量Y 为第11题采用策略B 的得分，1Z 为第12题采用策略A 的得分，2Z 为第12题采用策略B 的得分．Y 的分布列为Y025P 0.10.50.4E Y=⨯+⨯+⨯=．所以()00.120.550.43Z的分布列为1Z021P0.30.7E Z=⨯+⨯=.所以()100.320.7 1.4Z的分布列为2Z0252P0.10.60.3E Z=⨯+⨯+⨯=.所以()200.120.650.3 2.7+=（分），若采用方案1，两题总得分均值为3 1.4 4.4+=（分），若采用方案2，两题总得分均值为3 2.7 5.7但方案2因时间超过10min，后面的题得分少2分，相当于得分均值为3.7分．>，所以我赞成小明的方案1．因为4.4 3.7。
2021-2022学年广西玉林市第十一中学高二年级下册学期3月月考数学(文)试题【含答案】
2021-2022学年广西玉林市第十一中学高二下学期3月月考数学（文）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}216,{3}A x x B x x =<=>∣∣，则()UA B =（ ）A ．()4,3-B ．[)3,4C ．(]4,3-D ．()3,4【答案】C【分析】先化简集合A ，求得UB ，再去求()U A B ∩即可解决.【详解】因为{}216{44},{3}A x x x x B x x =<=-<<=>∣∣∣， 所以{}3UB x x =∣，则()(]4,3U A B ⋂=-.故选：C.2．设x ∈R ，则“12x -≤<”是“23x -≤”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解不等式23x -≤，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】由23x -≤可得323x -≤-≤，解得15x -≤≤，因为{}12x x -≤< {}15x x -≤≤，因此，“12x -≤<”是“23x -≤”的充分而不必要条件. 故选：A.3．若复数z 满足2i1iz +=+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【分析】先求出z ，再求出共轭复数z ，判断出在第一象限. 【详解】()()()()2i 1i 2i 3i 1i 1i 1i 2z +-+-===++-，则i 32z +=，对应的点31,22⎛⎫⎪⎝⎭在第一象限. 故选：A.4．在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语； 乙是法国人，还会说日语； 丙是英国人，还会说法语； 丁是日本人，还会说汉语； 戊是法国人，还会说德语；则这五位代表的座位顺序应为（ ） A ．甲丙丁戊乙 B ．甲丁丙乙戊 C ．甲丙戊乙丁 D ．甲乙丙丁戊【答案】C【分析】根据只有一人会德语，不能用德语交谈，结合条件进行分析，进而即得. 【详解】由题可知只有一人会德语，不能用德语交谈，故会德语的法国人戊两边只能做法国人乙和会说法语的英国人丙， 日本人丁应坐在法国人乙和中国人甲之间，这样邻座的两人都能互相交谈， 所以这五位代表的座位顺序应为甲丙戊乙丁. 故选：C.5．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下根据上表可得回归方程9.49.1y x =+，则实数a 的值为A ．37.3 B ．38 C ．39 D ．39.5【答案】C【分析】求出(),x y ，代入回归方程，即可得到实数a 的值． 【详解】根据题意可得：23453.54x +++==,26495412944a a y ++++==，根据回归方程过中心点(),x y 可得：1299.4 3.59.14a+=⨯+，解得：39a =； 故答案选C【点睛】本题主要考查线性回归方程中参数的求法，熟练掌握回归方程过中心点(),x y 是关键，属于基础题．6．设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．c<a<b【答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系. 【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<. 故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减； （3）借助于中间值，例如：0或1等. 7．设函数331()f x x x =-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数， 再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数． 又因为函数3y x =在0,上单调递增，在,0上单调递增， 而331y x x-==在0,上单调递减，在,0上单调递减，所以函数()331f x x x=-在0,上单调递增，在,0上单调递增．故选：A ．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S 的结果是（ ）A ．128B ．64C ．16D ．32【答案】C【分析】根据程序框图的循环逻辑写出执行步骤，即可确定输出结果. 【详解】根据流程图的执行逻辑，其执行步骤如下： 1、015S =≤成立，则021S ==； 2、115S =≤成立，则122S ==； 3、215S =≤成立，则224S ==； 4、415S =≤成立，则4216S ==； 5、1615S =≤不成立，输出16S =； 故选：C9．已知命题2:,10p x R x x ∃∈-+≥，命题:q 若a b <，则22a b <，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝【答案】C【分析】分别求出命题p 和命题q 的真假，结合复合命题的真假即可得结果. 【详解】当0x =时，命题p 显然为真；当2,1a b =-=时，命题q 显然为假，q ⌝为真，所以p q ∧⌝为真， 故选：C. 10．函数2ln ||2x y x =+的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由函数为偶函数可排除AC ，再由当()0,1∈x 时，()0f x <，排除D ，即可得解. 【详解】设()2ln ||2x y f x x ==+，则函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称， 又()()()2ln ||2x f x f x x --==-+，所以函数()f x 为偶函数，排除AC ；当()0,1∈x 时，2ln 0,20x x + ，所以()0f x <，排除D.故选：B.11．抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+2，则p =（ ） A ．1 B ．2C ．2D ．4【答案】B【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：012211pd -+==+ 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.12．已知F 是椭圆22:11615x y C +=的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点，点Q 坐标为(4,4)，则||||PQ PF +的最大值为（ ） A ．41 B ．13C ．3D ．5【答案】B【分析】利用椭圆的定义求解. 【详解】如图所示：()42||||||2||2||841413PQ PF PQ a PF a QF ''+=+-≤+=-+，故选：B二、填空题13．已知幂函数()233my m m x =--在()0,∞+上单调递减，则m =___________.【答案】1-【分析】由系数为1解出m 的值，再由单调性确定结论． 【详解】由题意2331m m --=，解得1m =-或4m =， 若4m =，则函数为4y x =，在(0,)+∞上递增，不合题意． 若1m =-，则函数为1y x=，满足题意． 故答案为：1-．14．若已知函数()321f x x x =-+，则函数()y f x =在2x =处的切线方程为______.【答案】10150x y --=【分析】求出()2f 、()2f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】因为()321f x x x =-+，则()232f x x '=-，所以，()25f =，()210f '=，因此，所求切线的方程为()5102y x -=-，即10150x y --=. 故答案为：10150x y --=.15．将正整数排成如表，则在表中第45行第83个数是________.【答案】2019【分析】由数表中每行的最后一个数，得到第n 行的最后一个数是2n ，再由2441936=，进而求得第45行第83个数.【详解】由数表可得每行的最后一个数分别是1,4,9,16,，可归纳出第n 行的最后一个数是2n ，又因为2441936=，所以第45行第83个数为1936+83=2019. 故答案为：2019.【点睛】本题主要考查了数表数列的应用，其中解答中根据数表中的数据，得出数字的排布规律是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 16．已知下面四个命题：①“若20x x -=，则0x =或1x =”的逆否命题为“若0x ≠且1x ≠，则20x x -≠”； ②“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件；③命题P ：存在0x ∈R ，使得2010x x ++<，则p ⌝：任意x ∈R ，都有210x x ++； ④若P 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题． 其中真命题有____________________． 【答案】①②③.【分析】①“或”的否定为“且”； ②2x >时，2x 一320x +>也成立；③含有量词（任意、存在）的命题的否定既要换量词，又要否定结论；④命题p ，q 中只要有一个为假命题，“P 且q ”为假命题．【详解】对于①，交换条件和结论，并同时否定，而且“或”的否定为“且”，故①是真命题； 对于②2x >时，2x 一320x +>也成立，所以“1x <”是“2x 一320x +>”的充分不必要条件，故②是真命题；对于③含有量词（任意、存在）的命题的否定既要换量词，又要否定结论，故③是真命题“； 对于④命题p ，q 中只要有一个为假命题，“P 且q ”为假命题，故④是假命题，故答案为：①②③.三、解答题17．已知0m >，命题:(1)(5)0p x x +-≤，命题:11q m x m -≤≤+.(1)若5m =，若“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)[4-，1)(5-⋃，6] (2)[4，)∞+【分析】（1）将5m =代入，解不等式，可分别求出命题p ，命题q 对应的x 的取值范围，结合已知可得p 与q 一真一假，分p 真q 假时和p 假q 真时，两种情况讨论，综合讨论结果可得答案； （2）根据充要条件判定的集合法，可得[1-，5]是[1m -，1]m +的真子集，根据真子集的定义构造关于m 的不等式组，解不等式组可得答案． 【详解】（1）解：当5m =时，:46q x -，:(1)(5)0p x x +-，即15x -，由“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，可得p 与q 一真一假，p 真q 假时，由154,6x x x -⎧⎨<-<⎩或，此不等式组无解，p 假q 真时，由461,5x x x -⎧⎨<-<⎩或，解得41x -<-，或56x <，∴实数m 的取值范围为[4-，1)(5-⋃，6]；（2）解：p 是q 的充分条件不必要条件，[1∴-，5]是[1m -，1]m +的真子集，∴1115m m --⎧⎨+⎩（等号不同时取） ，解得4m ，∴实数m 的取值范围为[4，)∞+． 18．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：违章驾驶员人数 120 105 100 90 85（1）请利用所给数据求违章人数y 与月份x 之间的回归直线方程y bx a =+； （2）预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.参考公式：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-.参考数据：11415ni i i x y ==∑.【答案】（1）8.5125.5y x =-+；（2）49.【分析】（1）由表中的数据,根据最小二乘法和公式，求得b ，a 的值，得到回归直线方程； （2）令x =9，代入回归直线的方程，即可得到该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数. 【详解】（1）由表中数据知：1234535x ++++==，12010510090851005y ++++==，所以1221141515008.55545ni ii nii x y nx yb xnx==-==---=-∑∑，()1008.53125.5a y bx =-=--⨯=，所以所求回归直线方程为8.5125.5y x =-+. （2）当x =9时，8.59125.549y =-⨯+=（人）.19．2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；（2）（i ）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；（ⅱ）已知该小区年龄在[10，80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．【答案】(1) 平均数37，中位数为35;(2) （ⅰ）93()155P A ==;（ⅱ）该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88＝1760． 【分析】（1）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数；（2）（ⅰ）从6人中任选2人共有15个基本事件，至少有1人年龄不低于60岁的共有9个基本事件，由古典概型概率公式可得结果；（ⅱ）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1－（18－10）×0.015＝0.88．【详解】（1）平均数()150.15250.2350.3450.15550.165750.0537x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯=． 前三组的频率之和为0.15＋0.2＋0.3＝0.65，故中位数落在第3组，设中位数为x ， 则（x －30）×0.03＋0.15＋0.2＝0.5，解得x ＝35，即中位数为35．（2）（ⅰ）样本中，年龄在[50，70）的人共有40×0.15＝6人，其中年龄在[50，60）的有4人，设为a ，b ，c ，d ，年龄在[60，70）的有2人，设为x ，y ．则从中任选2人共有如下15个基本事件：（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，x ），（a ，y ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，x ），（b ，y ），（c ，d ），（c ，x ），（c ，y ），（d ，x ），（d ，y ），（x ，y ）． 至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：（a ，x ），（a ，y ），（b ，x ），（b ，y ），（c ，x ），（c ，y ），（d ，x ），（d ，y ），（x ，y ）． 记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A ， 故所求概率()93155P A ==． （ⅱ）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1－（18－10）×0.015＝0.88， 故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88＝1760．【点睛】本题主要考查直方图以及古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先()11,A B ，()12,A B …. ()1,n A B ，再()21,A B ，()22,A B …..()2,n A B 依次()31,A B ()32,A B ….()3,n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.20．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，【答案】（1）第二种生产方式的效率更高. 理由见解析（2）80（3）能【详解】分析：（1）计算两种生产方式的平均时间即可．（2）计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表．（3）由公式计算出2k，再与6.635比较可得结果．详解：（1）第二种生产方式的效率更高.理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高. （iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.（iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.（2）由茎叶图知7981802m +==. 列联表如下：（3）由于()224015155510 6.63520202020K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.点睛：本题主要考查了茎叶图和独立性检验，考察学生的计算能力和分析问题的能力，贴近生活．21．已知椭圆2222x y C 1a b +=：()0,0a b >>4． （1）求椭圆的标准方程；（2）已知过点P （2,1）作弦且弦被P 平分，则此弦所在的直线方程.【答案】(1) 221164x y += (2) 240x y +-= 【详解】试题分析：（1）根据椭圆的性质列方程组解出a ，b ，c 即可；（2）设直线斜率为k ，把直线方程代入椭圆方程，根据根与系数的关系和中点坐标公式列方程即可得出k 的值，从而求出直线方程．试题解析：（1）c e a ==2b=4，所以a=4，b=2，c=221164x y += （2）设以点()2,1P 为中点的弦与椭圆交于()()1122,,,A x y B x y ，则12124,2x x y y +=+=，分别代入椭圆的方程，两式相减得()()()()1212121240x x x x y y y y +-++-=，所以()()1212480x x y y -+-=，所以121212y y k x x -==--，由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为()1122y x -=--，即240x y +-=． 点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB 所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB 的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k ，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.22．已知函数()2ln f x x x ax =+-．()1当3a =时，求()f x 的单调增区间；()2若()f x 在()0,1上是增函数，求a 得取值范围．【答案】(1) ()10,,1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)a ≤【分析】（1）求单调增区间，先求导，令导函数大于等于0即可；（2）已知()f x 在区间（0，1）上是增函数，即()0f x '≥在区间（0，1）上恒成立，然后用分离参数求最值即可．【详解】（1）当3a =时，()2ln 3f x x x x =+-，所以()21231(21)(1)23x x x x f x x x x x'-+--=+-==， 由0f x 得，102x <<或1x >， 故所求()f x 的单调递增区间为()10,,1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）由()12f x x a x '=+-，∵()f x 在()0,1上是增函数， 所以120x a x +-≥在()0,1上恒成立，即12a x x ≤+恒成立，∵12x x +≥x =，所以a ≤(a ∈-∞.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和对勾函数在定区间上的最值问题，体现了分类讨论和转化的思想方法，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力．。
2023-2024学年云南省大理白族自治州高二下学期3月月考数学试题(含答案)
2023-2024学年云南省大理白族自治州高二下册3月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}|030,1,3,4A x x B =≤≤=，，则A B = （）A ．{}01，B ．{}013，，C ．{}014，，D ．{}034，，【正确答案】B【分析】由集合A 和B 求交集即可.【详解】由集合{}03A x x =≤≤及{}0,1,3,4B =，所以{}0,1,3A B = .故选.B 2．若1i42i 1iz -=+-+，则z =（）A ．5B ．4C ．3D ．2【正确答案】A【分析】复数的基本运算【详解】因为1i42i=1iz -=+-+i 42i 43i -+-=-，所以5z =．故选：A.3．已知直线1310l y -+=，若直线2l 与1l 垂直，则2l 的倾斜角是（）A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒【正确答案】B【分析】由题意得出直线1l 的斜率，由直线2l 与1l 垂直可得121l l k k ⋅=-进而求得2l k 的斜率，就可得到2l 的倾斜角.【详解】∵直线11310,l l y k -+=∴2l 与1l 垂直，121l l k k ∴⋅=-，解得2l k =2l ∴的倾斜角为120︒.故选：B.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若721S =，25a =，则公差为（）A ．-3B ．-1C ．1D ．3【正确答案】B【分析】由前n 项和及等差中项的性质可得747S a =求得43a =，进而求公差即可.【详解】由71274...721S a a a a =+++==，则43a =，∴公差4212a a d -==-.故选：B.5．已知一正方体的棱长为2，则该正方体内切球的表面积为（）A ．πB ．43πC ．4πD ．16π【正确答案】C【分析】根据正方体内切球半径为棱长的一半可得球的半径，代入球的表面积公式即可.【详解】 正方体内切球半径为棱长的一半，即1R =∴所求内切球的表面积244S R ππ==故选：C本题考查正方体内切球表面积的求解，关键是明确正方体内切球半径为棱长的一半，属于基础题.6．已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22(3)16x y -+=相切，则p 的值为A ．12B ．1C ．2D ．4【正确答案】C【详解】抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线方程为x=-2p ，因为抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线与圆（x-3）2+y 2=16相切，所以3+2p=4，p=2；故选C ．7．函数()()2e xf x x x =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】首先求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，即可判断A 、D ，再根据0x <时函数值的特征排除C ，即可判断；【详解】解：因为()()2e xf x x x =-，所以()()21e x f x x x '=+-，令()0f x '=，即210x x +-=，解得112x -=、212x -=，所以当12x -+>或12x -<时()0f x ¢>x <<时()0f x '<，所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎝⎭和⎛-∞ ⎝⎭上单调递增，在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递减，故排除A 、D ；当0x <时e 0x >，()210x x x x -=->，所以()()2e 0x f x x x =->，故排除C ；故选：B8．已知1F ，2F 分别是双曲线22221,(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，1260F PF ∠=︒，12F PF ∠的角平分线PA 交x 轴于点A ，123F A AF =，则双曲线的离心率为（）A ．2B CD ．3【正确答案】B【分析】利用角平分线定理、余弦定理以及离心率公式计算求解.【详解】由角平分线定理知11223PF F A PF AF ==，又122PF PF a -=，所以13PF a =，2PF a =，在12F PF △中，由余弦定理得()()22222212121212||||32cos 223PF PF F F a a c F PF PF PF a a+-+-∠==⨯⨯，又1260F PF ∠=︒，所以222110426a c a -=，整理得2223104a a c =-，即274c a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以c e a ==A ，C ，D 错误.故选：B ．二、多选题9．《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作.其下阙为：“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”.如图所示，假如将墙看做一个平面，墙外的道路､秋千绳､秋千板简单看做是直线.那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中（）A ．秋千绳与墙面始终平行B ．秋千绳与道路始终垂直C ．秋千板与墙面始终垂直D ．秋千板与道路始终垂直【正确答案】ACD【分析】根据图中秋千绳，墙面，道路的位置关系以及相关的线面，线线垂直的判定定理、性质定理等即可判断．【详解】显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，但与道路所成的角在变化.而秋千板始终与墙面垂直，故也与道路始终垂直．故选：ACD.10．下列求导运算正确的是（）A ．()2ln 2121x x '-=⎡⎤⎣⎦-B ．2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭C ．()221e 2e xx x -'=D ．()21e e x xx xx '+⎛⎫=⎪⎝⎭【正确答案】AB【分析】根据导数运算法则依次讨论求解即可；【详解】解：对于A 选项，()()12ln 21212121x x x x ''-=⋅-=⎡⎤⎣⎦--，故正确；对于B 选项，21111x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故正确；对于C 选项，()()222e e 22e x x x x ''=⨯=，故错误；对于D 选项，()()22e e 1e e x x x x x x x x x x '''-⋅-⎛⎫== ⎪⎝⎭，故错误；故选：AB11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，有下列判断，其中正确的是（）A ．异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是π0,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．三棱锥1D APC -的体积不变C ．平面1PB D ⊥平面1ACD D ．若1AB =，则1CP PD +【正确答案】BCD【分析】根据P 为1BC 中点时，异面直线1A P 与1AD 所成角为π2判断A ；根据111111112D APC C D AP B C V V AD D C --==⋅⋅⋅判断B ；证明1B D ⊥平面1ACD 即可判断C ；将平面1BCC 沿1BC 展开使其与平面11ABC D 重合时，再求1D C 的距离即可判断D.【详解】解：对于A 选项，由正方体的性质易知11//AD BC ，11A BC V 为等边三角形，所以，当P 为1BC 中点时，11BC A P ⊥，所以11AD A P ⊥，此时，异面直线1A P 与1AD 所成角为π2，故A 选项错误；对于B 选项，由正方体的性质易知AB ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，侧面11BCC B 为正方形，所以1AB B C ⊥，11B C BC ⊥，由于11,,AB BC B AB BC =⊂ 平面11ABC D ，所以1B C ⊥平面11ABC D 设C 到平面1D AP 的距离为h ，则112h B C =，因为111112D AP S AD D C =⋅⋅ ，所以，三棱锥1D APC -的体积111111111312D APC C D AP D AP B C V V S h AD D C --==⋅=⋅⋅⋅ ，故正确；对于C 选项，由正方体的性质易知11A B ⊥平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，所以11AD DA ⊥，111A B AD ⊥，由于1111A B A D A = ，111,A B A D ⊂平面11A B D ，所以1AD ⊥平面11A B D ，1B D ⊂平面11A B D ，所以11AD B D ⊥，同理证得1AC B D ⊥，由于1AD AC A = ，1,AD AC ⊂平面1AD C ，所以1B D ⊥平面1AD C ，因为1B D ⊂平面1B DP ，所以平面1PB D ⊥平面1ACD ，故C 选项正确；对于D 选项，根据题意，将平面11BCC B 沿1BB 展开使其与平面11BDD B 重合时，如图，因为1AB =，所以111111,2AB BC CC C D AD BC ======1BC CC ⊥，所以21212212222C PD CD P ⎛⎫⎛⎫≥=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭故选：BCD12．已知函数()f x 对x ∀∈R 都有()()()42f x f x f =++，若函数()3y f x =+的图象关于直线3x =-对称，且对1x ∀，[]20,2x ∈，当12x x ≠时，都有()()()()21210x x f x f x -->，则下列结论正确的是（）A ．()20f =B ．()f x 是偶函数C ．()f x 是周期为4的周期函数D ．()()34f f <-【正确答案】ABC【分析】由()3y f x =+的图象关于直线3x =-对称，得到()y f x =关于y 轴对称，赋值后得到()20f =，进而得到()()4f x f x =+，判断出ABC 均正确；根据1x ∀，[]20,2x ∈，当12x x ≠时，都有()()()()21210x x f x f x -->，得到()f x 在[]0,2上单调递增，结合函数的周期及奇偶性得到()()04f f =-，()()()311f f f =-=，判断出()()34f f >-.【详解】()3y f x =+的图象关于直线3x =-对称，故()y f x =关于y 轴对称，()f x 是偶函数，B 正确；()()()42f x f x f =++中，令2x =-得：()()222f f -=，因为()()22f f -=，所以()()222f f =，解得：()20f =，A 正确；故()()4f x f x =+，()f x 是周期为4的周期函数，C 正确；对1x ∀，[]20,2x ∈，当12x x ≠时，都有()()()()21210x x f x f x -->，故()f x 在[]0,2上单调递增，又()f x 是周期为4的周期函数，且()f x 是偶函数，故()()04f f =-，()()()311f f f =-=，因为()()10f f >，所以()()34f f >-，D 错误.故选：ABC 三、填空题13．某班有30名男生，20名女生，其中男生平均身高为170cm ，全班平均身高为168cm ，女生的平均身高为______cm ．【正确答案】165【分析】设全班女生的平均身高为a ，故根据题意得301702016850a⨯+=，解方程即可得答案.【详解】解：设全班女生的平均身高为a ，因为该班有30名男生，20名女生，其中男生平均身高为170cm ，全班平均身高为168cm ，所以301702016850a⨯+=，解得165a =所以女生的平均身高为165cm .故16514．设{}()* N n a n ∈是等比数列，且12a =，312a =，则q =__________．【正确答案】12或12-【分析】利用等比数列的通项公式计算求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，12a = ，312a =，∴2112a q =，∴解得12q =或12q =-，故12或12-15．需要测量某塔的高度，选取与塔底D 在同一个水平面内的两个测量基点A 与B ，现测得75DAB ∠= ，45ABD ∠= ，96AB =米，在点A 处测得塔顶C 的仰角为30 ，则塔高CD 为__________米【正确答案】【分析】根据正弦定理可得AD =，然后利用解直角三角形即得.【详解】因为在BAD 中，75DAB ∠= ，45ABD ∠= ，96AB =米，所以180754560ADB ∠=︒-︒-︒=︒，由正弦定理得sin sin AB ADADB ABD=∠∠22=AD =米)，在Rt ACD △中，30CAD ∠=︒，所以tan30CD AD =︒=CD =米).故答案为.16．已知不等式221e ln ln (0)2x kx x x k k -+≥+>恒成立，则k 的最大值为__________.【正确答案】2e【分析】法一：利用同构得到e x≥，即2e x k x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，构造()e x g x x =，0x >，利用导函数求出其最小值，得到2e k ≤；法二：先代入1x =求出2e k ≤，再构造函数，证明其必要性即可.【详解】法一：221e ln ln (0)2x kx x x k k -+≥+>变形为())22e lne )lnxx +≥+，构造2ln y x x =+，定义域为()0,∞+，则120y x x'=+>在()0,∞+上恒成立，所以2ln y x x =+在()0,∞+单调递增，故e x≥，两边平方后变形得到2e x k x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，构造()e xg x x =，0x >，则()()2e 1x x g x x -'=，当1x >时，()0g x '>，当01x <<时，()0g x '<，故()e xg x x =在1x =处取得极小值，也是最小值，可知min e e x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故2e k ≤，k 的最大值为2e ；法二：221e ln ln (0)2x kx x x k k -+≥+>中令1x =得：21e 1ln 2k k +≥+，解得：2e k ≤，当2e k =时，只要证222e e ln 1x x x x -+≥+，0x >，其中ln 1x x ≥+，0x >显然成立，以下是证明过程：构造()ln 1h x x x =--，0x >，()11h x x'=-，当1x >时，()0h x '>，当01x <<时，()0h x '<，故()ln 1h x x x =--在01x <<上单调递减，在1x >上单调递增，故()()10h x h ≥=，故ln 1x x ≥+，0x >，只要证222e e 0x x -≥，即222e e x x ≥，由于e 0,e 0x x >>，故只要e e x x ≥，构造()e e xk x x =-，0x >，则()e e xk x '=-，当1x >时，()0k x '>，当01x <<时，()0k x '<，故()e e xk x x =-在01x <<上单调递减，在1x >上单调递增，故()()10k x k ≥=，故e e x x ≥，0x >，综上：可得k 的最大值为2e .故2e 数学问题的转化要注意等价性，也就是充分性与必要性兼备，有时在探求参数的取值范围时，为了寻找解题突破口，从满足题意得自变量范围内选择一个数，代入求得参数的取值范围，从而得到使得问题成立的一个必要条件，这个范围可能恰好就是所求范围，也可能比所求的范围大，需要验证其充分性，这就是所谓的必要性探路和充分性证明，对于特殊值的选取策略一般是某个常数，实际上时切线的横坐标，端点值或极值点等.四、解答题17．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1222a a -=，540S =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若1n nb na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】(1)22n a n =+(2)22n T nn =+【分析】（1）由等差数列的通项公式以及等差数列的前n 项和公式展开可求得结果；（2）由裂项相消求和可得结果.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意可得11251040a d a d -=⎧⎨+=⎩解得142a d =⎧⎨=⎩，则()1122n a a n d n =+-=+（2）由（1）可知()11112221n b n n n n ⎛⎫==- ++⎝⎭，则1231111111122231n n n T b b b b b n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++=⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112122n n n ⎛⎫=⨯-= ⎪++⎝⎭18．某学校为了了解学生使用手机的情况，分别在高一和高二两个年级各随机抽取了100名学生进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均使用手机时间的频率分布直方图和频数分布表，将使用手机时间不低于80分钟的学生称为“手机迷”．时间分组频数[0,20)12[20,40)20[40,60)24[60,80)26[80,100)14[100,120)4高二学生日均使用手机时间的频数分布表(1)将频率视为概率，估计哪个年级的学生是“手机迷”的概率大？请说明理由．(2)若高二年级的100名学生中超过100分钟的“手机迷”为两名男生和两名女生，现从这4人中选出2人来进行调查，则选出的2人中至少有一名女生的概率是多少？【正确答案】(1)高一年级的学生是“手机迷”的概率大，理由见解析；(2)56.【分析】（1）根据给定的频率分布直方图和频率分布表分别求出对应的概率，再比较大小作答.（2）给两名男生和两名女生编号，利用列举法求出概率作答.【详解】（1）由频率分布直方图知，高一学生是“手机迷”的概率为：()10.00250.010200.25P =+⨯=，由频数分布表知，高二学生是“手机迷”的概率为21440.18100P +==，因为12P P >，所以高一年级的学生是“手机迷”的概率大.（2）设2人中至少有一名女生为事件A ，2人中没有女生为事件B ，则事件A 和B 为对立事件，设两名男生和两名女生编号依次为1、2、3、4，则4人中选出2人的试验含有的基本事件为()()()()()()1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4，共有6个基本事件，而事件B 含有的基本事件为()1,2，有1个基本事件，则有()16P B =，所以选出的2人中至少有一名女生的概率是()()516P A P B =-=.19．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos a B b A c C +=．(1)求C ；(2)若1c =，求ABC 面积的取值范围．【正确答案】(1)π3C =；(2).【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简作答.（2）由（1）的结论，利用余弦定理结合均值不等式求出三角形面积范围作答.【详解】（1）在ABC 中，由已知及正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即有()sin 2sin cos A B C C +=，即sin 2sin cos C C C =，而0πC <<，sin 0C >，则1cos 2C =，所以π3C =．（2）在ABC 中，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得：221a b ab =+-，因此12ab ab ≥-，即01ab <≤，当且仅当a b =时取等号，又11sin (0,22ABC S ab C ==⨯=∈△，所以ABC 面积的取值范围是．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB CD，且1AB =，2CD =，BC =1PA =，AB BC ⊥，N 为PD 的中点．(1)求证：//AN 平面PBC ；(2)求二面角B PC D --的正弦值．【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）取PC 中点为M ，连接NM ，MB ，进而证明四边形NMBA 为平行四边形即可证明结论；（2）取DC 中点为E ，以A 为空间直角坐标系原点，AE 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可；【详解】（1）证明：取PC 中点为M ，连接NM ，MB ，如图所示，因为M ，N 分别是PC ，PD 的中点，所以NM DC ∥且12NM DC =，又因为AB DC 且12AB DC =，所以NM AB ∥，NM AB =，所以四边形NMBA 为平行四边形，所以AN BM ∥，又因为AN ⊄平面PBC ，BM ⊂平面PBC ，所以//AN 平面PBC ．（2）解：取DC 中点为E ，以A 为空间直角坐标系原点，AE 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0A ，()0,0,1P ，()0,1,0B ，()1,0D -，()C ，设平面PBC 的法向量为(),,m x y z = ，因为()0,1,1BP =-，()BC = ，所以00BP m y z BC m ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1y =，解得01x z =⎧⎨=⎩，即()0,1,1m = ，设平面PDC 的法向量为(),,n a b c = ，因为()1,1PD =-- ，()0,2,0DC = ，所以020PD n b c DC n b ⎧⋅=--=⎪⎨⋅==⎪⎩，令a =04b c =⎧⎨=⎩，即)n = ，记平面PDC 与平面PBC 夹角为θ，π02θ≤≤，则2cos cos ,3m n m n m n θ⋅===⋅，sin 3θ==，所以二面角B PC D --21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率e =222x y +=过椭圆C 的上、下顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 的斜率为12，且直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，点P 关于原点的对称点为E ，点()2,1A -是椭圆C 上一点，若直线AE 与AQ 的斜率分别为AE k ，AQ k ，证明：0AE AQ k k +=．【正确答案】(1)22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据圆经过上、下顶点可求b ，利用离心率和,,a b c 的关系可得答案；（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出AE k ，AQ k ，求和验证即可.【详解】（1）因为圆222x y +=过椭圆C的上、下顶点，所以b =；又因为离心率e =c a =28a =，所以椭圆的方程为22182x y +=.（2）由于直线l 的斜率为12，可设直线l 的方程为12y x t =+；代入椭圆方程2248x y +=，可得222240x tx t ++-=，由于直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，所以2244(24)0,t t ∆=-->整理解得22t -<<,设点()()1122,,,P x y Q x y ，由于点P 与点E 关于原点对称，故()11,E x y --,212122,24x x t x x t +=-=-；因为()2,1A -，所以211221212111(2)(1)(2)(1)22(2)(2)AE AQ y y x y x y k k x x x x ------+++=+=+-++-112211,,22y x t y x t =+=+1221(2)(1)(2)(1)x y x y ---++2112211242()()y y x y x y x x =-++---211212121212()()44x x x x tx tx x x x x t x x =--=--+++--+-2(24)(2)40,t t t =-----=故0AE AQ k k +=，结论得证.22．已知函数()ln (0)f x a x x a =->．（1）当a e =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的零点个数．【正确答案】（1）(e 1)e 0x y ---=；（2）答案见解析.【分析】（1）当a e =时，求得导数e ()1f x x'=-，得到(1),(1)f f '的值，结合点斜式方程，即可曲解；（2）求得导数()a x f x x -'=，得出函数的单调性和极大值()(ln 1)f a a a =-，分0a e <<，a e =和a e >三种情况讨论，结合2()(2ln )f a a a a =-，利用函数()2ln (e)h x x x x =->，，的单调性与极值，即可求解.【详解】（1）当a e =时，函数()ln f x e x x =-，可得e ()1f x x '=-，所以(1)1f =-，(1)1f e '=-，可得切线方程为1(e 1)(1)y x +=--，即(e 1)e 0x y ---=．所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为(e 1)e 0x y ---=.（2）由函数()ln (0)f x a x x a =->的定义域为(0,)+∞，且()1a a x f x x x'-=-=，当0x a <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当x a >时()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以函数()f x 在x a =处取得极大值为()ln (ln 1)f a a a a a a =-=-，当0a e <<时，()0f a <，()0f x <恒成立，函数()f x 无零点；当a e =时，()0f a =，函数()f x 有唯一零点；当a e >时，()ln (ln 1)0f a a a a a a =-=->，因为(1)10f =-<，所以函数()f x 在(0,)a 上有一个零点，易得222()ln (2ln )f a a a a a a a =-=-，令()2ln (e)h x x x x =->，则2()0x h'x x-=<，所以函数()h x 在(,)e +∞上单调递减，则()2ln e e 2e <0h x <-=-，所以2()0f a <，所以函数()f x 在(,)a +∞上有一个零点，所以函数()f x 在(0,)+∞上有两个零点．综上可得，当0a e <<时，函数()f x 无零点；当a e =时，函数()f x 有唯一零点；当a e >时，函数()f x 有两个零点．本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。
浙江省杭州市富阳中学2024_2025学年高二数学下学期3月月考试题
浙江省杭州市富阳中学2024-2025学年高二数学下学期3月月考试题一、选择题: 本大题共10小题, 每小题4分, 共40分. 1．，则共轭复数的虚部为（ ▲ ） A ． B ．C ．D ．2．设，是两个集合，则“”是“”的（▲）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．若＝＝＝1，则a ，b ，c 的大小关系是（▲ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．b ＞c ＞a 4．的值为（ ▲ ） A ．B ．C ．D ．5．若将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，则的一个对称中心为（ ▲ ）A ．B ．C ．D ．6．已知平面，和直线，下列结论正确的是（▲ ）A ．若，且，则B ．若，且，则C ．若，且，则D ．若，且，则7．已知非零向量a,b ，满意b 4a =，且()a 2a b ⊥+，则a 与b 的夹角是（ ▲ ）A ．3π B ．2π C ．23π D ．56π 8．古有苏秦、张仪唇枪舌剑驰聘于乱世之秋，今看我富中学子论天、论地、指引江山，现有高二某班需从甲、乙、丙、丁、戊五位同学中选出四位组成富中“口才秀”中的一个辩论队，依据他们的文化、思维水平，分别担当一辩、二辩、三辩、四辩，其中四辩必需由甲或乙担当，而丙与丁不能担当一辩，则不同组队方式有（ ▲ ）A ．8种B ．16种C ．20种D ．24种9．已知椭圆：的右焦点为，为坐标原点，为轴上一点，点是直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为（ ▲ ）A ．B ．C ．D ．10．设点是棱长为2的正方体的棱的中点，点在面所在的平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点到点的最短距离是（▲）A ．B ．C ．1D ． 二、填空题: 本大题共7小题，11-14每小题6分，15-17每小题4分，共36分.11．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －y －9＝0的两个交点恰好关于y 轴对称，则k ＝________； 此时所截弦长＝________。
2022-2023学年四川省成都市简阳市阳安中学高二年级下册学期3月月考数学(文)试题【含答案】
2022-2023学年四川省成都市简阳市阳安中学高二下学期3月月考数学（文）试题一、单选题1．已知全集，集合，则（ ）{}1,2,3,4,5U ={}{}1,3,2,3A B ==()U A B ⋃=A ．B ．C ．D ．{}5{}4,5{}1,2,3{}1,2,4,5【答案】B【分析】先求出，再由补集运算得出答案.A B ⋃【详解】，则，{}1,2,3A B = (){}4,5U A B ⋃= 故选：B ．2．已知函数，则（ ）()221f x x =+()()22limx f x f x ∆→+∆-=∆A ．3B ．5C ．7D ．8【答案】D【分析】根据导数的定义求解即可.【详解】解：根据题意，，则，()4f x x'=()28f '=又．()()()022lim28x f x f f x ∆→+∆-'==∆故选：D ．3．已知，若，则x 0等于（ ）()ln f x x x=()02f x '=A ．e 2B ．eC ．ln 22D ．ln 2【答案】B【分析】利用乘法求导法则求导，代入即可求解.【详解】由可得：，所以，()ln f x x x=()ln 1f x x ='+()000ln 12ef x x x '=+=⇒=故选：B4．点的直角坐标为，则点的极坐标为（ ）M (-M A ．B ．C ．D ．2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭22,3π⎛⎫⎪⎝⎭1,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭52,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解.【详解】由题意，点的直角坐标为，M (-根据，可得点极坐标为．222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩M 22,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B.5．下列函数中，在内为增函数的是（ ）(0,)+∞A ．B ．C ．D ．sin y x =xy xe =3y x x =-ln y x x=-【答案】B【分析】选项A 根据正弦函数的性质进行判断，选项BCD 通过导数进行判断即可.【详解】A ：因为当时，函数单调递减，故本选项不符合题意；3[,22x ππ∈sin y x =B ：，因为时，，所以函数在内为增函数，故本选'(1)x x y xe y x e =⇒=+0x >'0>y xy xe =(0,)+∞项符合题意；C ：，当时，，此时函数单调递减，故本选项不符3'231y x x y x =-⇒=-x ∈'0<y 3y x x =-合题意；D ：，当时，，此时函数单调递减，故本选项不'11ln 1xy x x y x x -=-⇒=-=1x >'0<y ln y x x =-符合题意，故选：B6．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（ ）2sin 2cos y x x =-π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭10x ay -+=a A ．B ．C ．D ．1-12-2-2【答案】C【分析】由导数的几何意义求解即可.【详解】∵，∴，2sin 2cos y x x =-2cos 2sin y x x '=+∴曲线在点处的切线的斜率，2sin 2cos y x x =-π,22⎛⎫⎪⎝⎭π2ππ2cos 2sin 222x k y ===+='∵切线与直线垂直，∴直线的斜率为，10x ay -+=10x ay -+=112a -=--∴.2a =-7．若，满足约束条件则的最大值为x y 032742,x x y x y ，，≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩2z x y =+A ．-2B ．C ．4D ．572【答案】C【详解】分析：由题意作出其平面区域，当x ，y 都取到最大值时z 有最大值，代入即可．详解：由题意作出其平面区域，由解得A （1，2），32742x y x y +=⎧⎨-=⎩因为z=2x+y ，所以y=-2x+z,所以直线y=-2x+z 经过可行域A 时，纵截距z 最大，z 取得最大值，此时x=1，y=2，z=2x+y 有最大值2×1+2=4，故答案为：C点睛：（1）本题主要考查线性规划，意在考查学生对线性规划等基础知识的掌握能力. (2)解答线性规划时，要理解，不是纵截距最小，z 最小，要看函数的解析式，如：y=2x-z,直线的纵截距为-z,所以纵截距-z 最小时，z 最大.8．已知直线方程的一个参数方程可以是（ ）．3410x y ++=A ．B ．315415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩415315x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩C ．D ．315415x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩415315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩【分析】对各选项消去参数，将参数方程化为普通方程，即可判断.【详解】解：对于A ：消参得；315415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩4310x y +-=对于B ：消参得；415315x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩3470x y --=对于C ：消参得；315415x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩4310x y +-=对于D ：消参得.415315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩3410x y ++=故选：D ．9．“”是“函数是上的单调增函数”的（ ）4a ≤()()e 33x f x a x =---R A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据单调性得到恒成立，计算得到，根据范围的大小关系得到答案.e 3xa +≥3a ≤【详解】函数是上的单调增函数，故恒成立.()()e 33x f x a x =---R ()()e 30x f x a '=--≥即恒成立，，故.e 3x a +≥e 33x+>3a ≤故“”是“函数是上的单调增函数”的必要不充分条件.4a ≤()()e 33x f x a x =---R 故选：B 10．已知函数在处取得极值为10，则（ ）()322f x x ax bx a =+++1x ==a A ．4或－3B ．4或－11C ．4D ．－3【答案】C【分析】根据函数在处有极值10，可知（1）和（1），可322()f x x ax bx a =+++1x =f '0=f 10=求出.a 【详解】由，得，322()f x x ax bx a =+++2()32f x x ax b '=++函数在处取得极值10，322()f x x ax bx a =+++1x =（1），（1），f ∴'0=f 10=，∴2230110a b a a b ++=⎧⎨+++=⎩或，∴411a b =⎧⎨=-⎩33a b =-⎧⎨=⎩当 时，，在处不存在极值；33a b =-⎧⎨=⎩2()3(1)0f x x '=- ∴1x =当时，411a b =⎧⎨=-⎩2()3811(311)(1)f x x x x x '=+-=+-，，，，，符合题意.11(3x ∴∈-1)()0f x '<(1,)x ∈+∞()0f x '>∴故选：C【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．函数的部分图像大致为（ ）()2e xx xf x +=A．B ．C ．D ．【答案】C【分析】利用特殊值及极限思想即可分析得出.【详解】由，故D 错误，1110242f ⎛⎫⎫-=-< ⎪⎪⎝⎭⎭当时，，A ，B 错误．x →+∞()0f x →故选：C.12．设，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）22e a =ln22b =1e c =【答案】D 【分析】构造函数，研究其单调性，进而可以比较a ，b ，c 的大小.ln ()(0)xf x x x =>【详解】令，，ln ()(0)xf x x x =>21ln ()x f x x -'=所以时，，单调递增，()0,e x ∈()0f x '>()f x 时，，单调递减，()e,+x ∈∞()0f x '<()f x ，，，22222ln e (e )e e a f ===ln22ln2ln4(4)2224b f ====⨯1ln ee e c ==因为，所以.2e 4e <<a b c <<故选：D.二、填空题13．曲线在点处的切线方程是__________．e cos xy x =()0,1【答案】10x y -+=【分析】对函数求导，求出斜率，再利用点斜式求解即可.【详解】因为，e cos xy x =所以，e sin e cos x xy x x '=-+所以切线的斜率为：，000|e sin 0e cos 01x y ='=-+=所以曲线在点处的切线方程为：e cos xy x =()0,1，即，()110y x -=⨯-10x y -+=故答案为：.10x y -+=14．直线被曲线（为参数）截得的弦长为的值为20ax y -+=22cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩θa _______【答案】或043-【分析】化圆的参数方程为直角坐标方程，求出圆的圆心坐标和半径，利用直线被圆截得的弦长求出圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式列式可求的值.a【详解】由得，22cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩()()22214x y -+-=所以曲线表示以为圆心，以2为半径的圆，()2,1因为直线被曲线（为参数）截得的弦长为20ax y -+=22cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩θ解得或0a =43a =-15．已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所()3,3-()y f x =()f x '0x ≥()y f x =示，则关于x 的不等式的解集为______.()f x x '>【答案】()()3,10,1-- 【分析】先判断出的单调性，然后求得的解集.()f x ()0f x x '>【详解】依题意是奇函数，图象关于原点对称，()f x 由图象可知，在区间递减，；()f x ()()()3,1,1,3,f x --()'0f x <在区间递增，.()f x ()()()1,0,0,1,f x -()'0f x >所以的解集.()0f x x '>()()3,10,1-- 故答案为：()()3,10,1-- 16．已知偶函数，对任意的都有，且，则不等式()f x x ()()2'6f x xf x +>()12f =的解集为_________．()2231x f x x >-【答案】，或，或{1x x <-0x =}1x >【分析】由已知条件构造函数，求导后可判断出在上单调递增，22()()31g x x f x x =-+()g x (0,)+∞在上单调递减，由，可得，由为偶函数，可判断出为偶(,0)-∞()12f =(1)(1)0g g -==()f x ()g x 函数，而不等式转化为，偶函数的性质可得，从而可求出的范围，()2231x f x x >-()0g x >1x >x 再由可得，进而可求出不等式的解集(0)10g =>0x =【详解】解：令，则，22()()31g x x f x x =-+'2''()2()()6[2()()6]g x xf x x f x x x f x xf x =+-=+-因为对任意的都有，x ()()2'60f x xf x -+>所以当，，当，，0x >'()0g x >0x <'()0g x <所以在上单调递增，在上单调递减，()g x (0,)+∞(,0)-∞因为，所以，()12f =(1)(1)0g g -==因为为偶函数，所以，()f x ()()f x f x -=所以，2222()()()3()1()31()g x x f x x x f x x g x -=----+=-+=所以为偶函数，()g x 所以由，所以，所以，解得或，()0g x >()(1)g x g >1x >1x <-1x >因为，所以，(0)10g =>0x =综上，，或，或，1x <-1x >0x =所以不等式的解集为，或，或.{1x x <-0x =}1x >故答案为：，或，或{1x x <-0x =}1x >三、解答题17．已知函数()2395f x x x =-+.(1)求函数的单调递减区间；()f x (2)求函数的极值.()f x 【答案】(1)3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭(2)的极小值为，无极大值.()f x 74-【分析】（1）求导，由导函数小于0求出单调递减区间；（2）求出函数的递增区间，结合第一问求出极小值，无极大值.【详解】（1），令，解得：，()69f x x '=-()690f x x -'=<32x <故函数的单调递减区间是()f x 3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（2）令得：()0f x ¢>32x >故在单调递减，在单调递增，()f x 3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以在处取得极小值，，()f x 32x =39373952424f ⎛⎫=⨯-⨯+=- ⎪⎝⎭所以的极小值为，无极大值.()fx 74-18．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),,[80,90),[90,100]⋯（1）求频率分布直方图中的值；a （2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.[40,60)[40,50)【答案】（1）0.006；（2）；（3）.0.4110【分析】（1）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为，可求；1a （2）在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为，由频率与概率关系可0.4得该部门评分不低于80的概率的估计值为；0.4（3）受访职工评分在[50，60)的有3人，记为，受访职工评分在[40，50)的有2 人，记为123,,A A A ，列出从这5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率.12,B B所以0.006a =（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为，(0.0220.018)100.4+⨯=所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4（3）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，即为；123,,A A A 受访职工评分在[40，50)的有： 50×0.004×10=2(人)，即为.12,B B 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{}{}{}{}12131112,,,,,,,A A A A A B A B {}{}{}{}{}{}232122313212,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B B B 又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即，{}12,B B 故所求的概率为110P =【点睛】本题考查频率分布直方图､概率与频率关系､古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重､漏的情况.19．在平面直角坐标系中，已知直线：（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，xxOy 12:2x t l y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求的值．(0,2)||||MA MB +【答案】(1)22x y y +-=(2)【详解】（1）由,得.2sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12sin 2ρθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭两边同乘,即.ρ2sin cos ρρθθ=cos ,sin x y ρθρθ==C 22x y y +-=（2）将代入,得,122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩220x y y +-=220t ++=设A,B 对应的参数分别为12,t t则12122t t t t +=-=所以.120,0t t <<由参数的几何意义得t 12||||MA MB t t +=+=20．设函数，其中，为自然对数的底数.()()21ln ,x e f x ax a x g x x e =--=-a R ∈e 2.71828= (1)讨论的单调性；()f x (2)证明：当时，.1x >()0g x >【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【分析】（1）求导数，分和，两种情况讨论，即可求得的单调性；()221ax f x x -'=0a ≤0a >()f x （2）令，利用导数求得单调递增，结合，得到，进而证得()1e -=-x s x x()s x ()10s =1e 0x x -->.()0g x >【详解】（1）由函数，可得，()2ln f x ax a x =--()21212ax f x ax x x -'=-=当时，，在内单调递减；0a ≤()0f x '<()f x (0,)+∞当时，由有0a >()0f x '=x =当时，，单调递减；x ∈()0f x'<()f x 当时，，单调递增.)x ∈+∞()0f x ¢>()f x (2)证明：令，则，()1e -=-x s x x ()1e 1-'=-x s x 当时，，单调递增，1x >()0s x '>()s x 因为，所以，即，()10s =()()10s x s >=1e 0x x -->当时，可得，即1x >()1111e 11e 0e e e x x x x x g x x x x ----=-=-=>()0g x >【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数()()()h x f x g x =-导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.21．已知函数图象上点处的切线方程为.()2ln f x a x bx =+()()1,1P f 230x y --=（1）求函数的解析式;()y f x =（2）函数，若方程在上恰有两解,求实数的取值范围()()ln 4g x f x m =+-()0g x =1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 【答案】（1）；（2）.2()4ln y f x x x ==-242ln 2m <≤-【分析】（1）求函数导函数，根据导数的几何意义和题意可知，，建立关()f x ()()12,11f f '==-于的方程组，求出，从而可得函数的解析式；,a b ,a b ()y f x =（2）求出函数的导函数，根据导数确定函数的单调性与最值，再结合函数的零点个数，列出()g x 不等式组，即可确定实数m 的取值范围．【详解】（1）由题意可知（）()2a f x bx x +'=0x >∵函数图象上点处的切线方程为()2ln f x a x bx =+()()1,1P f 230x y --=∴()()12,11f f '==-∴221a b b +=⎧⎨=-⎩∴，4,1a b ==-∴；()24ln f x x x =-（2）函数（），()()2ln 44ln ln 4g x f x m x x m -=+-=+-0x >则（）()42g x x x '=-0x >∴当时，；当时，；1e x ⎡∈⎢⎣()0g x '>x ⎤∈⎦()0g x '<∴函数在上单调增，在上单调减1e ⎡⎢⎣⎤⎦∵方程在上恰有两解，()0g x =12e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴，∴，解得.()10e 020g g g ⎧⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪>⎨⎪≤⎪⎪⎩214ln 40e 204ln 24ln 40m m m ⎧--+-≤⎪⎪-+>⎨⎪-+-≤⎪⎩242ln 2m <≤-22．已知椭圆与直线有且只有一个交点，点分别为椭圆的上顶()2222:10x y C a b a b +=>>2x b =11,B F 点和右焦点，且．112B F =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线不经过点且与椭圆交于两点，当直线l 1B ,M N 11,B M B N 线过定点．l 【答案】（1）；（2）证明见解析．22142x y +=【分析】（1）根据椭圆的有关概念即可求得椭圆的标准方程；（2）设出直线方程和椭圆方程联立，结合韦达定理代入后得出与参数无关，从而得出定点.t 【详解】（1）由题意，2,2a a b a ⎧=⎪⇒==⎨=⎪⎩所以椭圆方程为22142x y +=（2）当直线的斜率存在时，不妨设的方程为：，联立直线与楠圆的方程(10B l l y kx t =+()222214240k x ktx t +++-=方程组的解为()()1122,,,M x y N x y 由书达定理，2121222244,2121tkt x x x xk k --=+=++1112122(B M B N x x k k k t xx +∴+==+=从而，故直线过定点2k t =(2,-当直线的斜率不存在时，()()1111,,,M x yN x y -11B M B N k k ∴+==从而与椭圆只有一个交点，不合题意2x =-综上直线过定点.(2,-【定点】方法点睛：探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.。
2022-2023学年北京市顺义区高二年级下册学期3月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年北京市顺义区高二下学期3月月考数学试题一、单选题1．在数列中，，且，则等于{}n a 12n n a a +=+11a =4a A ．8B ．6C ．9D ．7【答案】D【分析】根据递推关系得出数列为等差数列，且求得公差，由此计算得的值.4a 【详解】由于，故数列是首项为，公差为的等差数列，故，12n n a a +-=n a 121431327a d a +=+⨯==故选D.【点睛】本小题主要考查等差数列的识别，考查等差数列项的计算，属于基础题.2．函数处的导数等于（ ）()f x =1x =()1f 'A ．B ．C ．1D ．212-12【答案】B 【分析】对求导，将1代入求值即可.()f x ()f x ¢【详解】由.()f x '=()112f '=故选：B3．已知等差数列中，是数列的前项和，则最大值时的值为（ ）{}n a 3105,9,n a a S ==-{}n a n n S n A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】根据解得：然后求得：，3105,9,a a ==-2,112;n d a n =-=-()2210525n S n n n =-+=--+当时取最大值，且；5n =n S ()max 25n S =【详解】因为所以3105,9,a a ==-()3952,3112;7n d a a n d n --==-=+-=-因为，所以112n a n =-()()229112105252n n n n S n n +-==-+=--+所以当时取最大值，且；5n =n S ()max 25n S =故选：B4．降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c ）随开窗通风换气时间（t ）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（ ）A ．B ．C ．D ．[5,10][5,15][5,20][5,35]【答案】C【分析】连接图上的点，利用直线的斜率与平均变化率的定义判断即可；【详解】解：如图分别令、、、、所对应的点为、5t =10t =15t =20t =35t =A 、、、，B C D E 由图可知，0AB AC AE AD k k k k >>>>所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快；[5,20]故选：C5．四位同学返校看望老师，由于时间关系，只见到语文，数学，英语三位老师，于是他们邀请老师一起照相，三位老师坐中间共有多少种排列方式（ ）A ．90B ．120C ．144D ．216【答案】C【分析】根据分步乘法计数原理及排列知识先排老师，再排学生即得．【详解】根据分步乘法计数原理先排老师共种排法，再排学生共种排法，33A 44A 所以共有种排列方式.33A 44A 144=故选：C.6．已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为（ ）1x =()332f x x ax =-+()f x A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】D【分析】由是函数的极小值点，可得，进而可得的解析式，即可得函数1x =1a =(),()f x f x '单调递区间及极大值点为，代入求解即可.()f x =1x -【详解】解：因为()332,R,f x x ax x =-+∈所以，()233f x x a'=-又因为是函数的极小值点，1x =所以，()1330f a =-='解得，1a =所以，，()332f x x x =-+()233f x x ¢=-令，得，()2330f x x '=-=121,1x x =-=所以当时，，单调递增；(,1)x ∈-∞-()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减；(1,1)x ∈-()0f x '<()f x 当时，，单调递增；(1,)x ∈+∞()0f x ¢>()f x 所以在处取极大值，在处取极小值，()f x =1x -1x =所以的取极大值为.()f x ()11324f -=-++=故选：D.7．设无穷等差数列|的前n 项和为，则“对任意，都有”是“数列为递增数列”{}n a n S n *∈N 0n a >{}n S 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用定义法直接判断.【详解】充分性：因为“对任意，都有”，所以，n *∈N 0n a >11,2n n n n S S n S a --=+>≥所以“数列为递增数列”成立.故充分性满足；{}n S 必要性：因为“数列为递增数列”，取数列：-1，1，3，5……符合数列为无穷等差数列|，{}n S {}n a 且为递增数列，但是.故必要性不满足.{}n S 110a =-<故“对任意，都有”是“数列为递增数列”的充分而不必要条件.n *∈N 0n a >{}n S 故选：A 8．已知函数.若函数在上为增函数，则的取值范围（ ）()()ln ,f x x a x a =-∈R()f x ()0,∞+a A ．B ．21,e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．D ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭1,e ⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【分析】函数在上为增函数，即在恒成立，然后参变分离即可．()f x ()0,∞+()0f x '≥()0,∞+【详解】由题意有在恒成立，()ln 0f x ax x x '-=+≥()0,∞+即在恒成立，ln x x x a +≥()0,∞+令，，令得，()ln g x x x x =+()ln 2g x x '=+()0g x '=21e x =当时，，当时，，210e <<x ()0g x '<21e x >()0g x >∴在上单调递减，在上单调递增，()g x 210,e ⎛⎫⎪⎝⎭21,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭∴，()()2222min 1111g 2e e e e x g ⎛⎫==⨯-+=- ⎪⎝⎭∴．21e a ≤-故选：A ．9．已知，，，，成等比数列，且1和4为其中的两项，则的最小值为（ ）1a 2a 3a 4a 5a 5aA ．－64B ．－8C ．D ．16418【答案】B【分析】结合题意，取最小值时为负数，且，利用等比数列的基本量运算即可求解.5a 44a =【详解】由题意，要使最小，则，，都是负数，则和选择1和4，5a 1a 3a 5a 2a 4a 设等比数列的公比为，{}n a (0)q q <当时，，所以，所以，所以；44a =21a =2424a q a ==2q =-544(2)8a a q =⨯=⨯-=-当时，，所以，所以，所以；41a =24a =24214a q a ==12q =-54111()22a a q =⨯=⨯-=-综上，的最小值为－8.5a 故选：B 10．已知函数，给出下列三个命题：①对恒成立；②函数()cos sin f x x x x=-()()0,π,0x f x ∀∈'<在处取得极小值-1；③若对恒成立，则的最大值为.则正确命题()f x π2x =sin x a x <0,2πx ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭a 2π的序号是（ ）A ．①B ．①③C ．②③D ．①③【答案】B【分析】求得，根据三角函数的性质，可判定①成立；②不成立；令，()sin f x x x'=-()sin xg x x =求得，结合单调递减，得到在上单调递减，求()2cos sin x x x g x x -'=()cos sin f x x x x =-()g x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭得，可判定③成立.()2πg x >【详解】由函数，可得，()cos sin f x x x x=-()cos sin cos sin f x x x x x x x-=-'=-当，可得，所以恒成立，所以①成立；②不成立；()0,πx ∀∈sin 0x >()0f x '<令，则，()sin x g x x =()2cos sin x x xg x x -'=由在上单调递减，()cos sin f x x x x=-()0,π当时，，即，所以在上单调递减，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x <()0g x '<()g x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭故，()π2()2πg x g >=因为对于恒成立，所以，即的最大值为，所以③成立.sin x a x <0,2πx ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭2πa ≤a 2π故选：B.二、填空题11．等比数列的前项和为，已知，则=_________________.{}n a n n S 25216a a ==，6S 【答案】63【分析】由可得，再由可求出25216a a ==，11,2a q ==()111nn a q S q-=-663S =【详解】，则，3528a q a ==2q =211a a q ==()661126312S ⨯-∴==-故答案为：63【点睛】等比数列基本量计算问题的思路：主要围绕着通项公式和前项和公式11n n mn m a a q a q --==，在两个公式中共涉及五个量：，已知其中三个量，选用恰当()111=11n n n a q a a q S q q --=--1,,,,n n a a q n S 的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．12．某学校拟邀请5位学生家长中的3位参加一个座谈会，其中甲同学家长必须参加，则不同的邀请方法有___________种.【答案】6【分析】从剩下的四位家长中选2位即可得．【详解】甲同学家长必须参加，则还需从剩下的4位家长中选2位，方法数为．24C 6=故答案为：6．13．已知数列满足：的前项和为，则__________.{}n a {}11,,n n n n n a n b b a a +==n n S 2023S =【答案】20232024【分析】由题意可得，利用裂项相消求解即可得答案.111n b n n =-+【详解】解：因为，n a n =所以，11111(1)1n n n b a a n n n n +===-++所以.20231111112023112232023202420242024S =-+-++-=-=故答案为：2023202414．已知函数的图像与直线相切，则实数__________.()()ln 2f x x a =+2y x ==a 【答案】1【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可.【详解】设函数的图像与直线相切于点，()()ln 2f x x a =+2y x =()00,x y 由，()()()2ln 22f x x a f x x a '=+⇒=+所以有，()00022212f x x a x a '==⇒+=+，()()()0000002ln 2222ln 22y y x x y x a x x y x x a x -=-⇒-+=-⇒=++-于是有，()00000ln 220121x x a x a x a =⎧+-=⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩故答案为：115．如果数列满足不等式（其中），我们就称这个数列为“数列”，{}n a 112n n n a a a -+≥+*,2n n ∈≥N σ对于以下关于“数列”的四个结论：①等差数列均为“数列”；②“数列”一定是递增数列；③“σσσ数列”通项公式可以是；④“数列”中对于任意，都满足σ12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭σ*,N m n ∈.所有正确结论的序号是__________.()()1n m m m a a n m a a +-≤--【答案】①③④【分析】利用等差中项的关系可判断①的正误；再根据等差数列的公差与单调性的关系判断②的正误；将等价转化为，结合可判断③的正误；利用累112n n n a a a -+≥+11n n n n a a a a -+--≥12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭加法的思想可判断④的正误.【详解】对于①，根据等差数列的性质可知，（其中），112n n n a a a -+=+*,2n n ∈≥N 所以等差数列均满足不等式（其中），112n n n a a a -+≥+*,2n n ∈≥N所以等差数列均为“数列”，①正确；σ对于②，由①可知，等差数列均为“数列”，σ当公差小于0时仍然满足“数列”，σ所以“数列”可能是递减数列，②错误；σ对于③，等价于，112n n n a a a -+≥+11n n n n a a a a -+--≥因为，所以，12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭11111222n n nn n a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为函数为减函数，所以，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭11n n n n a a a a -+-->满足不等式（其中），③正确；112n n n a a a -+≥+*,2n n ∈≥N 对于④，当时，满足，m n =()()1n m m m a a n m a a +-≤--由于对称性，不妨设，n m >由③可知，，11n n n n a a a a +--≤-所以，11m m m m a a a a ++-≤-，121m m m m a a a a +++-≤-，即，21132m m m m m m a a a a a a +++++-≤-≤-231m m m m a a a a +++-≤-以此类推，，即，1121n n n m m n a a a a a a ---+-≤≤--≤ 11m n n m a a a a -+--≤所以，()()()()()()1111211m m n n m m m m m m m m a a a a a a a a a a a a ++++++-+-≤--+++-+-- 所以，④正确，()()1n m m m a a n m a a +-≤--故答案为: ①③④.【点睛】关键点点睛：本题的难点在于④的判断，结合题意的不等式可得，11m m m m a a a a ++-≤-，，，，利用累加法的思想即可证121m m m m a a a a +++-≤-231m m m m a a a a +++-≤- 11m n n m a a a a -+--≤明.三、解答题16．已知在等差数列中，.{}n a 253,3a a ==-(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前项和.2nn n b a =+{}n b n n T 【答案】(1)27n a n =-+(2)21622n n T n n +=-+-【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可；（2）根据等差数列和等比数列的前项和公式进行求解即可.n 【详解】（1）设等差数列的公差为，d 由；()()12511323,351227435n a d d a a a n n a d a +==-⎧⎧==-⇒⇒⇒=+-⋅-=-+⎨⎨+=-=⎩⎩（2）()()()()()22215232272537222221257221262 2.n n n n n T n n n n n n +=++++-++=+++-++++-+-=+-=-+- 17．已知函数.()321f x x x x =--+(1)求函数在点处的切线方程；()f x =1x -(2)求函数在的最大值和最小值.()f x []0,4【答案】(1)440x y -+=(2)()()max min 45,0f x f x ==【分析】（1）根据导数的几何意义求出函数在的导数值，即切线斜率，代入直线的点斜()f x =1x -式方程即可；（2）利用导数判断出函数在上的单调性，求出极小值，再分别求出端点处的函数值比()f x []0,4较即可得出其最大值和最小值．【详解】（1）易知，函数的定义域为；()321f x x x x =--+R 所以，则切点为，(1)11110f -=--++=()1,0-又，则在点处的切线斜率，2()321f x x x '=--()f x =1x -(1)4k f '=-=所以切线方程为，整理可得，即，()041y x -=+44y x =+440x y -+=即函数在点处的切线方程为.()f x =1x -440x y -+=（2）由（1）可知，，又，所以令得，2()321f x x x '=--[]0,4x ∈()0f x '=1x =令得，所以在上单调递减，()0f x '<01x ≤<()f x [0,1)令得，所以在上单调递增，()0f x '>14x <≤()f x (1,4]所以函数有极小值为，也是函数的最小值，()f x ()111110f =--+=又，，所以函数的最大值为，()000011f =--+=()464164145f =--+=()f x 45综上可得，函数在上的最大值为，最小值为.()f x []0,445018．已知等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，且，{}n a (1)d d >n n S {}n b q 11a b =，__________.在①；②；③，这三个d q =53225,6a a a b +==23432,3b a a b =+=34529,8S a a b =+=条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题.(1)求数列的通项公式；{}{},n n a b (2)记，求数列的前项和.2nn na cb ={}n c n nT【答案】(1)121,2n n n a n b -=-=(2)2332n nn T +=-【分析】（1）分别选择条件①、②、③，运用等比数列和等差数列通项公式，解方程组求出基本量，从而得到数列的通项公式；{}{},n n a b （2）运用错位相减法求出数列的前项和.{}n c n nT【详解】（1）当选条件①时：由题设可得：，又，解之得：，，1111125256a d a d a d a b d q +=⎧⎪+=⎪⎨=⎪⎪=⎩1d >2d q ==111a b ==，；12(1)21n a n n ∴=+-=-11122n n n b --=⨯=当选条件②时：由题设可得：，解之得：，，12111122531b q a d b q a b d q =⎧⎪+=⎪⎨=⎪⎪=>⎩2d q ==111a b ==，；12(1)21n a n n ∴=+-=-11122n n n b --=⨯=当选条件③时：由题设可得：，解之得：，，111113()92781a d a d b q a b d q +=⎧⎪+=⎪⎨=⎪⎪=>⎩2d q ==111a b ==，；12(1)21n a n n ∴=+-=-11122n n n b --=⨯=（2）由（1）可知，212n n n c -=①，231111113()5()(23)((21)()22222n nn T n n -=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ 则②，2341111111()3()5()(23)((21)()222222n n n T n n +=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ 则①—②：2311111112()(((21)(222222n n n T n +⎡⎤=++++--⨯⎢⎥⎣⎦ ，211111()11222(21)()12212n n n -+⎛⎫⎡⎤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=+⨯--⨯-.()1111212122n nn n T -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+---⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴2332n n +=-【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；{}n n a b {}n a {}n b （3）对于型数列，利用分组求和法；{}n n a b +（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a ()d d ≠019．已知函数.()()2e xf x x =-(1)求函数的单调区间和极值：()f x (2)在坐标系中画出函数的简图（要含有必要的说明和体现必要的图象特征）；()f x (3)若，讨论函数的零点个数.()()g x f x a=-()g x 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值(),1-∞()1,+∞e -(2)图象见解析(3)答案见解析【分析】（1）求导后，根据正负可得单调区间；根据极值点定义可求得极值；()f x '（2）分析可知时，，由此可作出函数图象；2x <()0f x <（3）将问题转化为与的交点个数问题，结合（2）中图象分析可得结果.()f x y a =【详解】（1）定义域为，，又恒成立，()f x R ()()()e 2e 1e x x xf x x x '=+-=-e 0x >当时，；当时，；∴(),1x ∈-∞()0f x '<()1,x ∈+∞()0f x ¢>的单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值.()f x \(),1-∞()1,+∞()1e f =-（2）当时，，，恒成立，2x <20x -<e 0x >()0f x ∴<图象如下：()f x（3）的零点个数等价于与的交点个数；()g x ()f x y a =结合（2）中图象可知：当时，与有且仅有一个交点；0a ≥()f x y a =当时，与有两个不同交点；e 0a -<<()f x y a =当时，与有且仅有一个交点；a e =-()f x y a =当时，与无交点；e a <-()f x y a =综上所述：当时，有唯一零点；当时，有两个不同零点；当[){}0,e a ∈+∞- ()g x ()e,0a ∈-()g x 时，无零点.(),e a ∈-∞-()g x 20．设函数，，，记.()ln 1f x x =+()2g x ax =+a ∈R ()()()F x f x g x =-(1)求曲线在处的切线方程；()y f x =1x =(2)求函数的单调区间；()F x (3)若函数的图象恒在的图象的下方，求实数的取值范围.()ln 1f x x =+()2g x ax =+a 【答案】(1)y x =(2)答案见解析(3)21,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程；()1f '()11f =（2）求导后，分别在和的情况下，根据正负得到单调区间；0a ≤0a >()F x '（3）将问题转化为恒成立的问题，采用参变分离的方式，构造函数，ln 12x ax +<+()ln 1x h x x -=利用导数可求得，由此可得的范围.()maxh x a 【详解】（1），，又，()1f x x '=()11f '∴=()11f =在处的切线方程为，即.()f x \1x =11y x -=-y x =（2）由题意知：，则定义域为，，()ln 1F x x ax =--()F x ()0,∞+()11axF x a x x -'=-=当时，，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；0a ≤10ax ->()0F x '∴>()F x ∴()0,∞+当时，若，则；若，则；0a >10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0F x '>1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0F x '<的单调递增区间为，单调递减区间为；()F x ∴10,a ⎛⎫⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单0a ≤()F x ()0,∞+0a >()F x 调递增区间为，单调递减区间为.10,a ⎛⎫⎪⎝⎭1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（3）由题意知：当时，恒成立，；0x >ln 12x ax +<+ln 1x a x -∴>令，则，()ln 1x h x x -=()22ln x h x x -'=当时，；当时，；∴()20,e x ∈()0h x '>()2e ,x ∈+∞()0h x '<在上单调递增，在上单调递减，()h x ∴()20,e ()2e ,+∞，，即实数的取值范围为.()()22max1e e h x h ∴==21e a ∴>a 21,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭21．已知有穷数列满足．给定正整数m ，若()*12:,,,,3N A a a a N N ∈≥N {}()1,0,11,2,,i a i N ∈-= 存在正整数s ，，使得对任意的，都有，则称数列A 是连()t s t ≠{}0,1,2,,1k m ∈- s k t ka a ++=m -续等项数列．(1)判断数列是否为连续等项数列？是否为连续等项数列？说明理由；:1,1,0,1,0,1,1A --3-4-(2)若项数为N 的任意数列A 都是连续等项数列，求N 的最小值；2-(3)若数列不是连续等项数列，而数列，数列12:,,,N A a a a 4-112:,,,,1N A a a a - 与数列都是连续等项数列，且，求的值．212:,,,,0N A a a a 312:,,,,1N A a a a 4-30a =N a 【答案】(1)数列是连续等项数列，不是连续等项数列，理由见解析；A 3-4-(2)11(3)0【分析】（1）根据新定义直接验证数列，1，0，1，0，1，，可得结论；:1A -1-（2）先根据新定义证明时，数列一定是连续等项数列，再验证时，不是连11N ≥A 2-10n ≤A 2-续等项数列即可；（3）由都是连续等项数列可得，123,A A A 4-21123,,,1i N i N i N i a a a a a a a -+-++====-，再由反证法证得21123,,,0,j N j N j N j a a a a a a a -+-++====21123,,,1k N k N k N k a a a a a a a -+-++====，即可得出的值.{}min ,,1i j k =N a 【详解】（1）数列是连续等项数列，不是连续等项数列，理由如下:A 3-4-因为，所以是连续等项数列.24(0,1,2)k k a a k ++==A 3-因为为；1234,,,a a a a 1,1,0,1-为；2345,,,a a a a 1,0,1,0为;5346,,,a a a a 0,1,0,1为，4567,,,a a a a 1,0,1,1-所以不存在正整数，使得.,()s t s t ≠(0,1,2,3)s k t k a a k ++==所以A 不是连续等项数列.4-（2）设集合，则中的元素个数为.{{}{}} (,)|1,0,1,1,0,1S x y x y =∈-∈-S 23=9因为在数列中，所以.A )}{1,0,1(, 1,2,i a i N ∈-= 1(,)(1,2,,1)i i a a S i N +∈=- 若，则.11N ≥1109N -≥>所以在这个有序数对中，1223341(,),(,),(,),,(,)N N a a a a a a a a - 1N -至少有两个有序数对相同，即存在正整数，使得.,()s t s t ≠11,t s s t a a a a ++==所以当项数时，数列一定是连续等项数列.11N ≥A 2-若，数列不是连续等项数列.3N =0,0,12-若，数列不是连续等项数列.4N =0,0,1,12-若，数列不是连续等项数列.5N =0,0,1,1,02-若，数列不是连续等项数列.6N =0,0,1,1,0,1-2-若，数列不是连续等项数列.7N =0,0,1,1,0,1,1-2-若，数列不是连续等项数列.8N =0,0,1,1,0,1,1,1--2-若，数列不是连续等项数列.9N =0,0,1,1,0,1,1,1,1---2-若,数列不是连续等项数列.10N =0,0,1,1,0,1,1,1,1,0---2-所以的最小值为11.N （3）因为与都是连续等项数列，12,A A 3A 4-所以存在两两不等的正整数,,,(,,2)i j k i j k N <-使得，21123,,,1i N i N i N i a a a a a a a -+-++====-21123,,,0,j N j N j N j a a a a a a a -+-++====21123,,, 1.k N k N k N k a a a a a a a -+-++====下面用反证法证明.{}min ,,1i j k =假设，{}min ,,1i j k >因为，{}1113,,,1,0,1i j k N a a a a ----∈-所以中至少有两个数相等.1113,,,i j k N a a a a ----不妨设，则11i j a a --=111122,,,,i j i j i j i j a a a a a a a a --++++====所以是连续等项数列，与题设矛盾.A 4-所以.{}min ,,1i j k =所以.22230N i j k a a a a a +++=====【点睛】方法点睛：对于新定义问题，一般先要读懂定义内容，第一问一般是给具体的函数或数列验证是否满足所给定义，只需要结合新定义，验证即可，在验证过程中进一步加强对新定义的理解，第二步一般在第一步强化理解的基础上，所给函数或数列更加一般或复杂，进一步利用新定义处理，本题第三问根据与都是连续等项数列得出，12,A A 3A 4-21123,,,1i N i N i N i a a a a a a a -+-++====-，利用反证法求21123,,,0,j N j N j N j a a a a a a a -+-++====21123,,,1k N k N k N k a a a a a a a -+-++====是关键点.{}min ,,1i j k =。
上海市嘉定区2023-2024学年高二年级下学期数学3月月考联考模拟试题(含解析)
上海市嘉定区2023-2024学年高二年级下学期数学3月月考联考模拟试题一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1.若，则______.233n P nP =n =【正确答案】7()23316,72n n n n P nP n n -=⎧⎪=∴⇒=⎨≥⎪⎩ 2.设抛物线的准线方程为______.28y x =【正确答案】2x =-准线方程为2x =-3.方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______.22131x y m m +=--x m 【正确答案】()1,2由题意得31012m m m ->->⇒<<4.某医疗机构有4名新冠疫情防控志愿者，现要从这4人中选3个人去3个不同的社区进行志愿服务．则不同的选择办法共有 ______种.【正确答案】24从4人中选3个人去3个不同的社区进行志愿服务．∴不同的选择办法共有：种3424P =5.已知直线1:310l x ay ++=，2:(2)0l a x y a +++=，当12//l l 时，则直线1l 与2l 之间的距离是______.直线1:310l x ay ++=，2:(2)0l a x y a +++=，12//l l ，∴32(2)31a a a a ≠+⎧⎨+=⨯⎩，解得3a =-，故1:3310l x y -+=，2:30l x y -+-=，即2:3390l x y -+=，故直线1l 与2l=6.直线y x m =+被圆221x y +=，则m =______.【正确答案】1±由于圆221x y +=的半径为1r =，故弦心距d ==．=，求得1m =±7.已知数列的前项和，则______.{}n a n ()3*n S nn N =∈5678a a a a +++=【正确答案】4483356788484448a a a a S S +++=-=-=8.无穷等比数列满足，则首项的取值范围是______.{}n a 12n i i a==∑1a 【正确答案】()()0,22,4 ()()()()111210,01210,22,41n i i a a q q a q q===-<<<<⇒=-∈-∑ 9.空间内7个点，若其中有且只有4点共面，但无3点共线，可组成 个四面体.【正确答案】34根据题意，空间内7个点，从中任选4个，有4735C =种选法，其中有且只有4点共面，且无3点共线，则选出4点不共面的情况有35134-=种，即可以组成34个四面体10.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA ，1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(01)A G λλ=……，则点G 到平面1D EF 的距离为______.以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则111(1,,1),(0,0,1),(1,0,(1,1,)22G D E F λ，所以11(1,0,)2D E =- ，11(1,1,2D F =- ，1(0,,2GE λ=-- ，设平面1D EF 的法向量为(,,)n x y z = ，则11102102n D E x z n D F x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+-=⎪⎩ ，令1x =，则0y =，2z =，所以平面1D EF 的一个法向量(1,0,2)n = ．点G 到平面1D EF的距离为||||GE n n ⋅== ．11.已知抛物线与椭圆有公共焦点，椭圆的另一焦点为是这两曲线24y x =2219x y k +=1F 2,F P 的一个交点，则的面积为______.12PF F ∆因为抛物线的焦点坐标为，所以，解得24y x =()1,091k -=8k =所以椭圆方程为22198x y +=由，得，解得或（舍去）2221984x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩229180x x +-=32x =6x =-所以，即点y =(3,P又因为，所以的面积为122F F =12PF F ∆1212F F y =12.已知点P 是双曲线221169x y -=右支上一点，1F ，2F 分别为双曲线的左、右焦点，I 为12PF F ∠的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+ 成立，则λ的值为______.【正确答案】45设△12PF F 的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得12||||2PF PF a -=，12||2F F c =，111||2IPF S PF r ∆= ，221||2IPF S PF r ∆= ，S I 12122F F c r cr == ，由题意得1211||||22PF r PF r cr λ=+ ，故12||||2PF PF a c c λ-===， 双曲线221169x y -=的4a =，3b =，代入上式得：45λ=二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.给定空间中的直线与平面，则“直线与平面垂直”是“直线垂直于平面内无数条直线l αl αl α的”（ ）条件.A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要【正确答案】A反例：无数条直线在平面内是平行线α故选A14.用数学归纳法证明时，在证明1n =等式成立时，2322(1)*11(1,)1n n a a a aa n N a++-+++⋯+=≠∈-此时等式的左边是( )A ．1B ．1a +C ．231a a a +++D ．2341a a a a ++++【正确答案】D 用数学归纳法证明2322(1)*11(1,)1n n a a a a a n N a++-+++⋯+=≠∈-，在验证1n =时，把当1n =代入，左端2341a a a a =++++．故选：D ．15.等差数列{}n a 的前n 项和为，若当首项1a 和公差d 变化时，5811a a a ++是一个定()*n S n N∈值，则下列选项中为定值的是( )A ．17S B ．16S C ．15S D ．14S 【正确答案】C因为581183a a a a ++=为定值，故8a 为定值，则11515815()152a a S a +==为定值，故选：C ．16.已知动点M 10y --=，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆【正确答案】C10y --=1y =+，表示动点(,)M x y 到点(0,1)F 和直线1y =-的距离相等，所以动点M 的轨迹是以(0,1)F 为焦点的抛物线．故选：C ．三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．每个学生从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“龙”“迎”“春”4张卡片，则额外获得2分．（1）求学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数；（2）求学生乙最终获得7分的不同的抽法种数【正确答案】（1）24；（2）30（1）根据题意，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．则学生甲抽中“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的情况有232224⨯⨯⨯=种，（2）学生乙最终获得7分，有2种情况，①抽中3张“龙”卡和其他任意一张卡片，有166C =种抽法，②抽中“福”“龙”“迎”“春”4张卡片，有24种抽法，则有62430+=种抽法18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）在长方体中（如图），，点是棱的中点.1111ABCD A B C D -11,2AD AA AB ===E AB （1）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.试问四面体是否1D CDE 为鳖臑？并说明理由；（2）求直线与直线所成角的大小.DE 1D C【正确答案】（1）是；（2）（1）在长方体中，，1111ABCD A B C D -11,2AD AA AB ===点是棱的中点，，E AB 2DE EC CD ∴===，222,DE CE DC DE CE ∴+=∴⊥平面平面，1DD ⊥ ,DEC CE ⊂1,DEC DD CE ∴⊥平面，1,DE DD D CE =∴⊥ 1D DE平面，1D E ⊂ 11,D DE CE D E ∴⊥四面体为鳖臑.∴1D CDE （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，D ()()()()()()111110,0,0,1,1,0,0,0,1,0,2,01,1,0,0,2,01cos ,D E D C DE D C DE D C DE D C DE D C==⋅=== ，，直线与直线所成角的大小为.∴DE 1DC 19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知双曲线为双曲线上的任意点22:1,4x C y P -=C （1）求双曲线的两条渐近线方程及渐近线夹角的大小；C （2）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数。