数据结构课件第5章_图

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例如：一个有向网 其邻接矩阵 其邻接矩阵? 例如：一个有向网N,其邻接矩阵
v2 4 7 8 9 6 1 v5 v4 5
21
5 v1 2 v6
v3 5
图7.7
无向图数组表示法特点： 无向图数组表示法特点：
§ 5.2
图的存储结构
1）无向图邻接矩阵是对称矩阵，同一条边表示了两次； 2）顶点vi的度：等于二维数组i行（或列）中1的个数； 3）判断两顶点v、u是否为邻接点：只需判二维数组对应分量是否为1； 4）顶点不变，在图中增加、删除边：只需对二维数组对应分量赋值1或清0；
例
V0 V2 V3 V4 V1
下标 编号 link
0 1 2 3 4 m-1
V0 V1 V2 V3 V4
1 0 1
0
1
3 2 3 2 2
4 4
24
图的邻接表类型定义(p163) 图的邻接表类型定义(p163)
§ 5.2
图的存储结构
const MAX_VERTEX_NUM = 20; // 弧结点的结构 typedef struct ArcNode { // 该弧所指向的顶点的位置 int adjvex; // 指向下一条弧的指针 struct ArcNode *nextarc; // 与弧相关的权值，无权则为0 与弧相关的权值，无权则为0 VRType weight; // 指向该弧相关信息的指针 InfoType *info; } ; typedef struct VNode { VertexType data; ArcNode *firstarc; } AdjList[MAX_VERTEX_NUM]; typedef struct { AdjList vertices; int vexnum, arcnum; GraphKind kind; } ALGraph; // 顶点结点的结构 // 顶点信息 // 指向第一条依附该顶点的弧
V0 V2 V3
V1
V4
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0
V0
V1
V2
V3
0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
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§ 5.2
图的存储结构
二 邻接表 该结点表示边 邻接表是图的链式存储结构 Vj） 其中的1 （Vi Vj）,其中的1是Vj 1 无向图的邻接表 在一维数组中的位置 顶点：通常按编号顺序将顶点数据存储在一维数组中； 顶点：通常按编号顺序将顶点数据存储在一维数组中； 关联同一顶点的边： 关联同 V4
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连通图 G1
四
图的基本操作
P156
15
第五 章
5.2 一 二 三 四
图
图的存储结构 邻接矩阵 邻接表 十字链表 邻接多重表
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§ 5.2
图的存储结构
V0 V2 V3
V1
V0
V1
V4
V2
V3
图的存储结构至少要保存两类信息： 图的存储结构至少要保存两类信息： 1)顶点的数据 1)顶点的数据 2)顶点间的关系 2)顶点间的关系
V1
V0
V1
非 强 连 通 图
10
5
子图 设有两个图G=（V，E）、G1=（V1，E1），若V1⊆ E1关联的顶点都在V1中，则称 G1是G的子图； V，E1 ⊆ E，
例 (b)、(c) 是 (a) 的子图 、 V0 V2 V3 V4 V3 V1 V0 V2 V4 V3 (c)
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V1
V0 V2
V1
1
第五章
图
5.1 图的基本概念 5.2 图的存储结构 5.3 图的遍历 5.4 连通图与生成树 5.5 有向无环图及应用 5.6 最短路径
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第五 章 5.1 一 二 三 四
图
图的概念 图的概念 图的应用 图的基本术语 图的基本操作
3
§5.1 图的基本概念
一 图的概念 图的定义： 图G由两个集合V,E构成，记作G=<V,E> 其中V是顶点的非空有限集合，E是边的有限集合（边是顶点的无序 对或有序对集合）。
例
在图1中，V0,V1,V2,V3 是V0到V3的路径； V0,V1,V2,V3,V0是回 路；在图2中，V0,V2,V3 是V0到V3的路径； V0,V2,V3,V0是回 路； V0 V1 V0 V1 有向图 V2
无向图
V3
V4
V2
V3
8
3 简单路径和简单回路 在一条路径中,若除起点和终点外,所有顶点各不相同,则称 该路径为简单路径； 由简单路径组成的回路称为简单回路；
例
G1=<V1,E1> V1={v0 v1,v2,v3} E1={<v0,v1 > , <v0,v2 >, <v2,v3 >,<v3,v0 >} 有序对<vi,vj> ： 用以vi为起点、vj为终点 的有向线段表示，称为有向 边或弧；
V0
V1
V2
V3 G1 图示
4
§5.1 图的基本概念
G2=<V2,E2> V2={v0 ,v1,v2,v3,v4 } E2={(v0,v1),(v0,v3),(v1,v2),(v1,v4),(v2,v3)(v2,v4)} V0 V1 V2 V3 V4 G2图示 G2图示 无向图：在图G中，若所有边是无向边，则称G为无向图； 有向图：在图G中，若所有边是有向边，则称G为有向图；
1 A i, j] = [ 0
若<vi, vj>或(vi, vj)∈ E 或 ∈ 反之
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在数组表示法中， 一 数组表示法(邻接矩阵表示)
§ 5.2
图的存储结构
用邻接矩阵表示顶点间的关系
邻接矩阵：G的邻接矩阵是满足如下条件的n阶矩阵： 1 若(vi,vi+1)∈E 或 <vi,vi+1>∈E V0 A[i，j]= 0 否则 V0 V2 V3 V4 V1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 V2
如何表示顶点间的关系？
约定: 约定:
E>是图 是图, },设顶点的 G=<V, E>是图, V={v0,v1,v2, … vn-1 },设顶点的 数据为它的编号
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一、 邻接矩阵
图的邻接矩阵表示法（ 图的邻接矩阵表示法（Adjacency Matrix）也称作数组表示 ） 法。采用两个数组来表示图： 采用两个数组来表示图： 一个是用于存储顶点信息的一维数组； 一个是用于存储顶点信息的一维数组 ； 另一个用于存储图 中顶点之间关联关系的二维数组----邻接矩阵。 中顶点之间关联关系的二维数组 邻接矩阵。 邻接矩阵 若图G是一个具有 个顶点的无权图 的邻接矩阵是n× 若图 是一个具有n个顶点的无权图，G的邻接矩阵是 ×n 是一个具有 个顶点的无权图， 的邻接矩阵是 矩阵A： 矩阵 ：
图的所有顶点的度数和 = 2*e （每条边对图的所有顶点的度数和“贡献”2度）
7
e
§5.1 图的基本概念
路径、 3 路径、回路 无向图G=（V，E）中的顶点序列v1,v2,… ,vk,若(vi,vi+1)∈E 无向图 ( i=1,2,…k-1), v =v1, u =vk, 则称该序列是从顶点v到顶点u的 路径；若v=u，则称该序列为回路； 有向图D=（V，E）中的顶点序列v1,v2,… ,vk, 若<vi,vi+1>∈E 有向图 (i=1,2,…k-1), v =v1, u =vk, 则称该序列是从顶点v到顶点u 的路径；若v=u，则称该序列为回路；
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有向图D 有向图 的极大强连通子图称为D 的强连通分量 极大强连通子图意思是：该子图是D强连通子图，将D的任何不 在该子图中的顶点加入，子图不再是强连通的； 强连通分量 V0 V1 V0 V1 V3
V2
V3
V2
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7 生成树 包含无向图G 所有顶点的的极小连通子图称为G 的生成树 极小连通子图意思是：该子图是G 的连通子图，在该子 图中删除任何一条边，子图不再连通， 若T是G 的生成树当且仅当T 满足如下条件 T是G 的连通子图 T包含G 的所有顶点 T中无回路 V0 V2 V3 V4 V3 V1 V0 V2 V4 G1的生成树 G1的生成树 V1 V3 V2
§7.1 图的基本概念
三 图的基本术语 V0 V1 1 邻接顶点及关联边 邻接顶点：边e= (v, u)，则称顶点v、u相邻接 V2 关联边：边e= (v, u), 则称边e关连顶点v、u V3 V4 2 顶点的度、入度、出度 顶点V的度 = 与V相关联的边的数目 在有向图中： V0 V1 顶点V的出度=以V为起点的有向边数 顶点V的入度=以V为终点的有向边数 顶点V的度= V的出度+V的入度 V3 V2 设图G的顶点数为n，边数为e e
V1
V3
0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
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若图G是一个有 个顶点的网 若图 是一个有n个顶点的网，则它的邻接矩阵是具有 是一个有 个顶点的网， 如下性质的n× 矩阵 矩阵A： 如下性质的 ×n矩阵 ：
wij A[i, j] = ∞
若<vi, vj>或(vi, vj)∈E 或 ∈ 反之
V0 V2 V3
V1
V4
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0
数组表示法的空间代价 数组表示法的空间代价 只与图的顶点数有关
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图的基本操作： 图的基本操作：
§ 5.2
图的存储结构
1）求无向图某顶点vi的度(或有向图中vi的出度)。A[I,0]到 A[I,n-1]中的非0个数，即数组A中第i 行的非0 元素的个数； 2）求有向图某顶点vi 的 入度。 A[0,i]到A [n-1,i] 中的非0个数，即数组A中 第i 列的非0 元素的个数； 3）检测图中的总边数。扫描整个数组A，统计出数组中非0元素的个数。无向图 的总边数为非0元素个数的一半，而有向图的总弧数为非0元素个数；