数据结构第7章图(1)

第七章 图
7.1 图的类型定义
7.2 图的存储结构 7.3 图的遍历
7.4 最小生成树
7.5 有向无环图及其应用
7.6 最短路径
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7.1 图的类型定义
图 是由一个顶点集 V 和一个关系集 R构成的数据结构。
Graph = ( V , R )
其中： V = { ei | ei∈ElemSet, i = 1, 2, … , n }
R = { VR } VR = { <v, w> | v, w∈V 且 P(v, w) } 谓词 P(v, w) 定义了 <v, w>之间关系的意义或信息。
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7.2 图的存储表示
一、图的数组(邻接矩阵)存储表示
二、图的邻接表存储表示
三、有向图的十字链表存储表示
四、无向图的邻接多重表存储表示
//{有向图,有向网,无向图,无向网}
typedef struct ArcCell { //存储弧/边的信息，即邻接矩阵 VRType adj; // VRType是顶点关系类型。 //对无权图，用1或0表示相邻否； // 对带权图，则为权值类型。 InfoType *info; // 该弧相关信息的指针 } ArcCell, AdjMatrix[MAX_VERTEX可编_N辑版UM][MAX_VERTEX_NUM9];
data firstarc 数组元素结点
adjvex nextarc info
链表结点
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图的邻接表存储表示
#define MAX_VERTEX_NUM 20 typedef struct ArcNode { //边链表结点
int adjvex; // 该弧所指向的顶点的位置 struct ArcNode *nextarc; // 指向下一条弧的指针 InfoType *info; // 该弧相关信息的指针 } ArcNode;
➢图的数组存储表示
typedef struct { //存储数据元素信息 VertexType vexs[MAX_VERTEX_NUM]; // 存储数据元素信息，即顶点向量 AdjMatrix arcs; // 邻接矩阵 int vexnum, arcnum; // 图的当前顶点数和弧(边)数 GraphKind kind; // 图的种类标志
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有向图邻接矩阵表示法特点：
➢有向图邻接矩阵不一定是对称矩阵；
➢有向图的弧数是矩阵中1的个数。
➢顶点v的出度：等于二维数组对应行中1的个数；
➢顶点v的入度：等于二维数组对应列中1的个数；
➢有向图的总弧数为非0元素个数。
网的邻接矩阵:
A[i][j]=
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wij Vi邻接Vj,权值是Wij （0≤i，j≤n-1）
∞
2
Vi与Vj不邻接 ∞ 5 4 6
4
68
A= 5 ∞ ∞ 8
4 ∞∞ 2
32
4
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6 8 2∞
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➢图的数组存储表示
#define INFINITY INT_MAX // 最大值∞ #define MAX_VERTEX_NUM 20 // 最大顶点个数 typedef enum {DG, DN, AG, AN} GraphKind;
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➢为每个顶点vi的边链表建立一个头结点，存储在一维 数组中(即顶点表)，以便随机访问任一顶点的边链表。 ➢因此，在邻接表中有两种结点：
链表结点 和 顶点结点
➢邻接表是一种顺序+ 链式存储结构。用顺序表存放顶 点，为每个顶点建立一个单链表，单链表中的结点表 示依附于该顶点的边或以该顶点为尾的弧。
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无向图邻接矩阵表示法特点：
➢无向图邻接矩阵是对称矩阵，同一条边表示了两次,无 向图的总边数为非0元素个数的一半；
➢顶点v的度:等于二维数组对应行（或列）中1的个数；
➢判断两顶点v、u是否为邻接点:只需判断二维数组对应 分量是否为1；
➢顶点不变，在图中增加、删除边:只需对二维数组对应 分量赋值1或清0；
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二、邻接表
➢邻接表是图（包括有向图和无向图）的链式存储结 构。
➢对于图中的每个顶点vi，把所有邻接于vi的各个顶点 链成一个单链表，称为边链表。
无向图中顶点vi的边链表中每个结点都对应一个与 vi关联的边；
有向图中顶点vi的边链表中每个结点都对应一个以 vi为始顶点的弧，因此称为出边表。
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一、邻接矩阵
➢ 在存储图的结构时，至少要保存两类信息：
顶点的数据
顶点之间的关系
➢ 数组表示法：使用两个数组，其中一个用来存储顶 点的数据，另一个用来存储顶点之间的关系(弧)， 表示弧的矩阵被称为邻接矩阵（二维数组）。
➢ 具有n个顶点的图G的邻接矩阵是具有如下性质的n
阶矩阵：
A[i][j]= 1 Vi邻接Vj （0≤i，j≤n-1）
➢设图的顶点数为 n ,存储图用一维数组, 数组元素有m
（m>=n)个,则G占用存储空间：m+n2；G占用存储空间
只与它的顶点数有关，与边数无关；适用于边稠密的图；
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无向图的邻接矩阵为对称矩阵。
B A
F
C D
E
010010 100011 000101 001001 110000 011100
0 Vi与Vj不邻接
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V1
V2
V1
V2
V3
V4
V3
V4
V5
v1 v2 v3 v4
v1 0 1 1 0
v2 0 0 0 0 v3 0 0 0 1 v4 1 0 0 0
01010 10 1 0 1 20 1 0 1
1 30 1 0 0
有向图G1 的邻接矩阵
无向图4 G002 1的邻1 接0矩阵
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顶点数据结点（数组元素）由两个域组成：
➢ 数据域（data）: 存储顶点名称或其他信息。 ➢ 链域（firstarc）: 指向链表中第一个结点 (边)。
边链表的每个结点由3个域组成：
➢ 邻接点域（adjvex）：指示与顶点 vi 邻接的顶点 在图中的位置。
➢ 链域（nextarc）: 指示下一条边或弧的结点。 ➢ 数据域（info）: 存储和边或弧相关的信息。
} MGraph;
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邻接矩阵的数据类型定义
#define MaxV 100 //定义最大顶点数 typedef struct{
int vexes[MaxV]; //顶点表 int edges[MaxV][MaxV]; //邻接矩阵 int n,e; //顶点数n和边数e }MGraph;