数据结构课件第七章图

图的应用举例
例1 交通图（公路、铁路） 顶点：地点 边：连接地点的公路
例2 电路图 顶点：元件 边：连接元件之间的线路
例3 各种流程图 如产品的生产流程图 顶点：工序 边：各道工序之间的顺序 关系
ch7
V0
V1
V2
V3
V4
V0
V1
V2
V3
ch7
2．图的相关术语 有向图和无向图
在图中，若用箭头标明了边是有方向性的，则称这样的 图为有向图，否则称为无向图。
1
57
245
32
46
1
G1
3
6
G2
ch7
完全图、稠密图、稀疏图
无向完全图：在一个无向图中，如果任意两顶点都有一条直 接边相连接，则称该图为无向完全图。在一个含有n个顶点 的无向完全图中，有n(n-1)/2条边。
有向完全图：在一个有向图中，如果任意两顶点之间都有方 向互为相反的两条弧相连接，则称该图为有向完全图。在一 个含有n个顶点的有向完全图中，有n(n-1)条弧。
1
57
245
32
46
G1
顶点5的度：3 顶点2的度：4
1
3
6
G2
顶点2入度：1 出度：3 顶点4入度：1 出度：0
1
57
ch7
245
32
46
1
3
6
G1
G2
设图G的顶点数为n，边或弧数为e。则图中
所有顶点的度数和
n
di
= 2*e。（每条边对图的
i 1
所有顶点的度数都“贡献”2度）
在有向图中，所有顶点的入度之和等于出度
（Connected Graph），否则称为非连通图。
无向图中，极大的连通子图为该图的连通分量。显
然，任何连通图的连通分量只有一个，即它本身，而非
连通图有多个连通分量。
G2的两个
V0
V1
连通分量
V0
V1 V4
V2
V3
V4
V3
V2 V5
连通图G1
非连通图G2
强连通图、强连通分量
ch7
对于有向图来说，若图中任意一对顶点vi 和vj（i≠j） 均有从一个顶点vi到另一个顶点vj的路径，也有从vj到vi的路 径，则称该有向图是强连通图。有向图的极大强连通子图称
ch7
1、CreatGraph(&G,V,E)
按V和E的定义构造图G。
2、DestroyGraph(&G)
销毁图G。
3、LocateVex(G, u)
若G中存在顶点u，返回其在图中位置，否则返回-1。
4、GetVex(G, v)
在图中找到顶点v，并返回顶点v的相关信息，否则返回
空。
5、FirstAdjVex(G,v)
在图G1中，V0,V1,V2,V3 是简单路径； V0,V1,V2,V4,V1不是简单路径；在图G2中， V0,V2,V3,V0是简单回路；
V0
V1
V0
V1
V2
V3
V4
V2
V3
无向图G1
有向图G2
子图
ch7
若有两个图G和G'，G=(V, E)， G' =(V', E' )，
满足如下条件： V' V，E' E，即V'为V的子集，
稠密图、稀疏图：若一个图接近完全图，称为稠密图；称边 数很少的图为稀疏图。
2
2
1
3
无向完全图
1
3
有向完全图
ch7
度、入度、出度
在图中，一个顶点依附的边或弧的数目，称为该顶点的 度。在有向图中，以顶点V为起点的有向边数称为顶点V的 出度(Outdegree)，以顶点V为终点的有向边数称为顶点V的 入度(Indegree)，有向图中某个顶点的入度和出度之和称为 该顶点的度。
1 若（i,j）∈E(G)或〈i,j〉∈E(G) A[i][j]= 0 其它情形
若G是带权图，则邻接矩阵定义为： wij 若（i,j）∈E(G)或〈i,j〉∈E(G)
A[i][j]= 0 所在对角线上元素
∞ 其它情形 其中，wij表示边上的权值；∞表示大于所有边上权值的数。
例
V0
V1
ch7
0110
有向图 A=
0000 0001
V2
V3
1000
V0
V1
V2
B= 无向图
V3
V4
01010 10101 01011 10100 01100
V0 5 V3 7
3 6 8 V4
C=
V1 4 V2 9 无向网
0 3 6 5∞ 3 0 4 ∞∞ 6 4 08 9 5∞8 0 7 ∞∞ 9 7 0
ch7
和其它结构一样，图的基本操作也是查找、插入和删除。
但在操作中常常需要指出顶点在图中位置。
从图的逻辑结构的定义来看，图中的顶点之间不存在全
序的关系（即无法将图中顶点排列成一个线性序列），任何
一个顶点都可被看成是第一个；另一方面，任一顶点的邻接
点之间也不存在次序关系。但为了操作方便，我们需要将图
中顶点按任意的顺序排列起来（这个排列和关系E无关）。
E'为E的子集，称图G'为图G的子图（Subgraph） 。
例： (b) 是 (a) 的子图，(c) 图不是（a）的子图。
V0
V1
V2
V3
V4
V0
V1
V2
V3
V4
V0
V1
V3
(a)
(b)
(c)
ch7
连通图、连通分量
在无向图中，如果从一个顶点vi到另一个顶点vj （i≠j）有路径，则称顶点vi和vj是连通的。若图中任意 两个顶点都是连通的，则称此无向图为连通图
图通常有邻接矩阵、邻接表、邻接多重表和十 字链表等表示方法。
7.2.1 邻接矩阵
ch7
定义：在邻接矩阵表示中，除了用一维数组存放顶点本 身信息外，还用一个矩阵表示各个顶点之间的邻接关系。这 个矩阵称为邻接矩阵。
假设图G＝(V, E)有n个确定的顶点，即V＝{v0,v1,…, vn-1} ，则表示G中各顶点相邻关系为一个n×n的矩阵，矩阵 的元素为 ：
ch7
7.1 图的定义和术语
1．图的定义 定义：图（Graph）是由非空的顶点集合和一个描
述顶点之间关系（边或者弧）的集合组成。
其二元组定义为：
G＝（V，E） V＝{vi| vi∈DataObject} E＝{(vi,vj)| vi, vj ∈V且P(vi, vj)} 其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是 图G中边的集合。 集合E可以是空集，若E为空，则该图只有顶点而 没有边。
在无向图中，一条边（x,y）与（y,x）表示的结果相同， 用圆括号表示。例如：
G1=(V1, E1) 其中：V1={v0, v1, v2, v3, v4 } E1={(v0, v1), (v0, v3), (v1, v2), (v1, v4), (v2, v3), (v2, v4)}
V0
V1
V2
V3
V4
无向图G1
无序对(vi,vj)： 用连接顶点vi、vj的 线段表示，称为无向
边；
ch7
在有向图中，一条边<x,y>与<y,x>表示的结果不相同，
用尖括号表示。<x,y>表示从顶点x出发向顶点y的边，x为始
点，y为终点，有向边也称为弧，x为弧尾，y为弧头,则
<x,y>表示为一条弧,而<y,x>表示y为弧尾，x为弧头的另一条
V0
V1
有序对<vi,vj> ：
V2
V3
有向图G2
用以vi为起点、以vj为 终点的有向线段表示， 称为有向边或弧；
ch7
顶点、边、弧、弧头、弧尾
图中的数据元素vi称为顶点(Vertex )；P(vi, vj)表示在顶
点vi和顶点vj之间有一条直接连线。
如果是在无向图中，则称这条连线为边(edge)；边用顶 点的无序偶对(vi, vj)来表示，称顶点vi和顶点vj互为邻接点，
也是有向的，它是由若干条弧组成。
如图所示的无向图G1中，v0→v3→v2→v4与
v0→v1→v4是从顶点v0 到顶点v4 的两条路径，路径长
度分别为3和2。
V0
V1
wk.baidu.comV2
V3
V4
G1
V1 V0
ch7
回路、简单路径、简单回路 起点和终点相同的路径称为回路或者环（Cycle
）。序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。除 第一个顶点与最后一个顶点之外，其他顶点不重复出 现的回路称为简单回路。
在图G中增添一条从顶点v到顶点w的边或弧。 10、DelArc(&G, v, w)
在图中删除一条从顶点v到顶点w的边或弧。 11、DFS (G, v)
在图G中，从顶点v出发深度优先遍历图。 12、BFS (G,v)
在图G中，从顶点v出发广度优先遍历图。
ch7
7.2 图的存储结构
图是一种结构复杂的数据结构，表现在不仅各 个顶点的度可以千差万别，而且顶点之间的逻辑关 系也错综复杂。从图的定义可知，一个图的信息包 括两部分，即图中顶点的信息以及描述顶点之间的 关系（边或者弧）的信息。因此无论采用什么方法 建立图的存储结构，都要完整、准确地反映这两方 面的信息。
路径、路径长度
ch7
在无向图中，若存在一个顶点序列vp,vi1,vi2,…,vim,vq 使得(vp,vi1),(vi1,vi2),…, (vim,vq)都属于E(G)，则称其 为顶点vp到顶点vq之间的一条路径（Path）。路径上边的 数目称为路径长度（Path length）。在有向图中，路径
边(vi, vj)依附于顶点vi与顶点vj。
在有向图中，用有序偶对<vi, vj>表示从顶点vi出发向顶
点vj的边，vi为始点，vj为终点。有向边也称为弧(arc)，vi
为弧尾(tail)或初始点， vj为弧头(head)或终端点,则<vi, vj>
表示为一条弧,而<vj, vi>表示vj为弧尾、 vi为弧头的另一条
为强连通分量。显然，任何强连通图的强连通分量只有一个，
即它本身，而非强连通图有多个强连通分量。
V1
V0
V1
V0
V1
V0
V2
V3
强连通图G1
V2
V3
非强连通图G2
V2
V3
G2的两个强连 通分量
生成树、生成森林
ch7
所谓连通图G的生成树，是G的包含其全部n 个顶点， 且以最少的边数使其连通的一个极小连通子图。它必定包含
ch7
第七章 图
学习要点 理解图的基本概念及有关术语;熟悉图的各种存储结 构及其构造方法; 熟练掌握图的两种遍历（深度优先搜索和广度优先 搜索）的算法思想、步骤； 掌握构造最小生成树的方法，并理解算法； 理解用Dijkstra方法求解单源最短路径问题； 掌握求活动网络的拓扑排序的方法，并理解算法； 掌握求解关键路径的方法。
弧。 Vj
Vj
Vi 无向图
Vi
有向图
ch7
端点和邻接点
在一个无向图中,若存在一条边(vi,vj),则称vi和vj为此 边的两个端点,并称它们互为邻接点(adjacent).
在一个有向图中,若存在一条弧<vi,vj>,则称vi和vj为此 弧的初始点和终端点,称它们互为邻接点，称vj为vi得出边 邻接点,vi为vj的入边邻接点.
由此，所谓顶点在图中的位置指的是该顶点在这个人为
的随意排列中的位置（或序号）。同理可对某个顶点的所有
邻接点进行排队，在这个排队中自然形成了第1个或第k个邻 接点。若某个顶点的邻接点的个数大于k则称第k＋1个邻接 点为第k个邻接点的下一个邻接点，而最后一个邻接点的下一 个邻接点为“空”。
图的基本操作
且仅包含G的n-1条边。
极小连通子图意思是：该子图是G 的连通子图，在该 子图中删除任何一条边，子图不再连通。
非连通图的生成树则组成一个生成森林。若图中有n个 顶点，m个连通分量，则生成森林中有n-m条边。
V0
V1
V0
V1
V0
V2
V3
V4
V2
V3
V4
V3
V1
V2
V4
连通图 G1
G1的生成树
2 1
45
之和：
n
n
ri ci
i 1
i 1
ri 为入度， ci为出度
ch7
边的权、网
与边有关的数据信息称为权（weight），权可 以代表一个顶点到另一个顶点的距离，耗费等。边
上带权的图称为网（network）。
1
1
3
45
6 2 58 3
2
4
7
(a) 无向网
2
A
B
4
1 35
C
(b)有向网
无向带权图和有向带权图
返回图中顶点v的第一个邻接顶点，若没有，返回空。
6、NextAdjVex(G，v，w)
返回v的相对于w的下一个邻接顶点，若w是v的最后一 个邻接点，则返回空。
ch7
图的基本操作
7、 AddVex(&G, v) 在图G中增添新顶点v。 8、 DelVex(&G, v)
在图G中，删除顶点v及所有和其相关的边或弧。 9、 AddArc(&G, v, w)
弧。
在例图如G：中，G2若=(V所2,有E2边) 都其是中无：向V2边={，v0,则v1称, vG2, 为v3}无向图； 在图G中，E2若={<所v0有, v边1 >都, <是v0有, v2向>边, <v，2,则v3称>,G<v为3,有v0向>}图； 在图G中，既有无向边又有有向边，则称G为混合图；
3 G1
ch7
路径：1，2，3，5，6，3
路径长度：5
简单路径：1，2，3，5
6
回路：1，2，3，5，6，3，1 简单回路：3，5，6，3
1
57
路径：1，2，5，7，6，5，2，3 路径长度：7
简单路径：1，2，5，7，6
32
4
6
回路：1，2，5，7，6，5，2，1 简单回路：1，2，3，1
G2
3、图的运算