2009年湖北高考文科数学试题
2009年全国高考文科数学试题及答案-全国1卷
2009年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷1至2页，第卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k k n kn n P k C P P k n -=-=，，， 一、选择题（1）o585sin 的值为(A) (C)- (D) (2)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U A B =，则集合()U AB ð中的元素共有(A) 3个 （B ） 4个 （C ）5个 （D ）6个（3）不等式111<-+x x 的解集为 （A ）{}}{011x x x x 〈〈〉 （B ）{}01x x 〈〈（C ） }{10x x -〈〈 （D ）}{0x x 〈 （4）已知tan a =4,cot β=13,则tan(a+β)= (A)711 (B)711- (C) 713 (D) 713-（5）设双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的渐近线与抛物线21y ＝x ＋相切，则该双曲线的离心率等于（A （B ）2 （C （D （6）已知函数()f x 的反函数为()()10g x x ＝＋2lgx ＞，则=+)1()1(g f（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4（7）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 （D ）345种 （8）设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,（A ）150° （B ）120° （C ）60° （D ）30°（9）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为(A)4 (B) 4 (C) 4(D) 34(10) 如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么φ的最小值为 (A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π（11）已知二面角l αβ--为600 ，动点P 、Q 分别在面,αβ内，P 到βQ到α的距离为P 、Q 两点之间距离的最小值为（12）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F,右准线l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B 。
2009年高考湖北数学(文)试题及参考答案
城关镇救灾工作应急预案我镇是自然灾害发生较为频繁的地区，洪涝、干旱、泥石流、风雹、低温冷冻、山体滑坡等突发性自然灾害的发生, 对国家和人民群众的生命财产造成了损失。
为规范救灾工作，提高救灾工作应急反应能力，保障救灾工作高效、有序进行，最大限度地减轻灾害造成的损失，确保人民群众生命财产安全，维护灾区社会稳定，特制定本预案。
一、总则（一) 预案的工作原则统一领导分级负责的原则。
本预案指导全镇辖区内自然灾害的应对工作。
并有效与上级政府和有关部门的应急预案对接。
部门分工综合协调的原则。
预案要确定政府各部门救灾职能，做到相互配合和衔接，共同完成应急任务。
一是坚持以人为本的原则。
二是坚持预防为主的原则。
三是坚持依法规范的原则。
四是坚持统一领导的原则。
五是坚持协同处置的原则。
六是坚持资源整合的原则。
七是坚持科学应对的原则。
( 二) 预案的适应范围救灾预案适用于洪涝、干旱、泥石流、风雹、低温冷冻、山体滑坡等突发性自然灾害发生后的应急反应。
二、灾害预警和灾情报告( 一) 灾害预警自然灾害发生后，应在3小时以内向上级人民政府和有关部门报告初步灾情( 即快报)，并迅速组织有关部门调查核实灾情。
发生特大灾害的，可以越级向上级人民政府或主管部门报告。
灾情内容主要包括: 灾害种类、发生时间、地点、范围、受灾程度、灾害后果、采取的措施, 生产、生活方面需要解决的问题等。
三、预案启动的条件及方式( 一) 预案启动的条件发生大灾、中灾时,乡镇救灾预案启动。
( 二) 预案启动的方式镇预案由镇政府颁布实施。
四、救灾准备( 一) 救援人员的组成紧急救援队伍主要由受灾地区的干部和群众组成。
遇重大灾害时，由镇武装部协调民兵应急分队参加抢险救灾。
( 二) 救援物资的准备紧急救援物包括抢险物资和救助物资两大部分。
抢险物资主要包括抢修水利设施、抢修道路、抢修电力、抢修通讯所需要的设备和材料。
抢救伤员的药品及其它紧急抢险所需的物资。
救助物资包括粮食、衣被、饮用水和其他生存性救助所需物资等。
2009年全国高考数学试题——全国卷2（文科）含答案
2009年普通高等学校招生全国统一考试试卷题文科数学第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率次的概率其中R 表示球的半径表示球的半径()(1)(01,2)k kn k n n P k C P P k n -=-= ，，， 有志者事竟成有志者事竟成 加油加油 同学们同学们一．选择题一．选择题（1）已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则C u ( M N )= (A) {5，7} （B ） {2，4} （C ）{2.4.8} （D ）{1，3，5，6，7} （2）函数y=x -(x £0)的反函数是的反函数是（A ）2y x =（x ³0） （B ）2y x =-（x ³0）（B ）2y x =（x £0） （D ）2y x =-（x £0） （3） 函数y=22log2xy x -=+的图像的图像（A ） 关于原点对称关于原点对称 （B ）关于主线y x =-对称对称（C ） 关于y 轴对称轴对称 （D ）关于直线y x =对称对称（4）已知△ABC 中，12cot 5A =-，则c o s A =(A) 1213(B) 513(C) 513- (D) 1213-（5） 已知正四棱柱1111C A B CDD A B C D -中，1A A =2A B ，E 为1A A 重点，则异面直线B E 与1C D 所形成角的余弦值为所形成角的余弦值为（A ）1010(B) 15(C) 31010(D) 35（6） 已知向量a = (2,1)， a ·b = 10 = 10，︱，︱a + b ︱= 52，则︱b ︱=（（A ）5 （B ）10 （C ）5 （D ）25 （7）设2lg ,(lg ),lg ,a e b e c e ===则（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >> （8）双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r= （A ）3 （B ）2 （C ）3 （D ）6 （9）若将函数)0)(4tan(>+=w p w x y 的图像向右平移6p 个单位长度后，与函数)6tan(p w +=x y 的图像重合，则w 的最小值为的最小值为 (A)61 (B)41 (C)31 (D)21（10）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有门相同的选法有 （A ）6种 （B ）12种 （C ）24种 （D ）30种（11）已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C:x y 82=相交A 、B 两点，F 为C 的焦点。
2009年湖北高考数学文科试卷带详解
，即 （步骤2）
下同解法1.
【参考答案】
【试题解析】易得 .
14.过原点 作圆 的两条切线，设切点分别为 ，则线段 的长为.
【测量目标】直线与圆的位置关系，切线的性质.
【考查方式】给出圆的一般式方程求其切线与其交点 又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得 .
15.下图是样本容量为200的频率分布直方图.
【考查方式】给出空间几何体的图像通过图像性质证明直线关系以及求未知量.
【试题解析】(Ⅰ)证法1：连接 ，由底面是正方形可得 .
， 是 在平面 上的摄影（步骤1），
由三垂线定理得 .（步骤2）
(II)解法1： ， ， .
又底面 是正方形， （步骤1），又 ， .（步骤2）
过点 在平面 内做 于 ，连接 ，则 ，
（步骤3）
由（I）的结论，得
即 ，得证.（步骤4）
21.（本小题满分14分）
已知关于 的函数 ,其导函数为 .令 ,记函数 在区间 上的最大值为 .
(Ⅰ)如果函数 在 处有极值- ，试确定 的值：
（Ⅱ）若 ,证明对任意的 ,都有 :
(Ⅲ)若 对任意的 恒成立，试求 的最大值.
【测量目标】函数的导函数性质及函数最值问题的掌握.
【考查方式】给出含有未知数的函数，先求其一阶导数再求极值.
【试题解析】（I）解： ，由 在 处有极值
可得 ，解得 或 （步骤1）
若 ，则 ，此时 没有极值；
若 ，则 （步骤2）
当 变化时， ， 的变化情况如下表： 当 时， 有极大值 ，故 ， 即为所求.（步骤3）
（Ⅱ）证法1：
当 时，函数 的对称轴 位于区间 之外.（步骤4）
【考查方式】给出一系列含有某种规律的数字，再合理推出未知项.
2009年湖北省高考数学试题答案(文数)(word版 8K纸)
俯视图侧视图正视图3342009年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(文科)本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第I 卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合33{|0},{|||},""""122x P x Q x x m P m Q x =≤=-≤∈∈-那么是的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.公差不为0的等差数列{}n a 中,2200520072009330a a a -+=,数列{}n b 是等比数列，且20072007b a =,则20062008b b =（ ）A ．4B ．8C ．16D ．363. 若纯虚数z 满足2(2i)4(1i)z b -=-+（其中i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ）A ．2-B ．2C ．-4D ．4 4．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）A. 123B. 363C. 273D. 65．已知直线0=++C By Ax （其中0,222≠=+C C B A ）与圆422=+y x 交于N M ,，O 是坐标原点，则OM ·ON =（ ） A ．- 1 B ．- 1 C ． - 2 D ．2 6．设0(sin cos )a x x dx π=+⎰，则二项式61()a x x-，展开式中含2x 项的系数是（ ） A. 192- B. 192 C. -6 D. 6 7．已知对数函数()log a f x x =是增函数,则函数(||1)f x +的图象大致是（ ）8．关于x 的方程2(1)10(0,)x a x a b a a b +++++=≠∈R 、的两实根为12,x x ，若12012x x <<<<，则ba的取值范围是（ ） A ．4(2,)5--B ．34(,)25--C ．52(,)43--D ．51(,)42--第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9—12题）9. 右图是2008年北京奥运会上，七位评委为某奥运项目打出 的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为 ；方差为 .10.已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则4()3f 的值为_______．11. 在如下程序框图中，已知：0()x f x xe =，则输出的是_________ _.12. 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，且120PF PF ⋅= ，123tan 3PF F ∠=，则该椭圆的离心率为 ．（二）选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）13.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，从极点O 作直线与另一直线:cos 4l ρθ=相交于点M ，在OM 上取一点P ，使12OM OP ⋅=.设R 为l 上任意一点，则RP 的最小值 ．14. （不等式选讲选做题）若关于x 的不等式1x x a +-<(a ∈R )的解集为∅，则a 的取值范围是 ．15. （几何证明选讲选做题）如图，⊙O 1与⊙O 2交于M 、N 两点，直线AE 与这两个圆及MN 依次交于A 、B 、C 、D 、E ．且AD ＝19，BE ＝16，BC ＝4，则AE ＝ ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知在ABC V 中，A B C ∠∠∠﹑﹑所对的边分别为a ﹑b﹑c ，若cos cos A bB a= 且sin cos C A = (Ⅰ)求角A 、B 、C 的大小；A B C D7 98 4 4 6 4 7 9 3否 是开始 输入f 0 (x ) 0=i )()(1'x f x f i i -= 结束1+=i i i =2009输出 f i (x )(Ⅱ)设函数()()sin cos 222C f x x x A ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，求函数()f x 的单调递增．．区间，并指出它相邻两对称轴间的距离.17. （本小题满分13分）在2008年北京奥运会某项目的选拔比赛中, A 、B 两个代表队进行对抗赛, 每队三名队员, A 队队员是123,A A A 、、B 队队员是123,B B B 、、按以往多次比赛的统计, 对阵队员之间胜负概率如下表, 现按表中对阵方式出场进行三场比赛, 每场胜队得1分, 负队得0分, 设A 队、B 队最后所得总分分别为ξ、η, 且3ξη+=.（Ⅰ）求A 队得分为1分的概率；（Ⅱ）求ξ的分布列;并用统计学的知识说明哪个队实力较强.18. （本小题满分13分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左右顶点分别为A C 、，上顶点为B ，过CB F ,,三点作圆P ，其中圆心P 的坐标为()n m ,.(Ⅰ)当0m n +≤时，椭圆的离心率的取值范围. (Ⅱ)直线AB 能否和圆P 相切？证明你的结论.19. （本小题满分13分）在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE:EB ＝CF:FA ＝CP:PB ＝1:2（如图1）.将△AEF 沿EF 折起到EF A 1∆的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P （如图2）（Ⅰ）求证：A 1E ⊥平面BEP ；（Ⅱ）求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小； （III ）求二面角B －A 1P －F 的余弦值. 20. （本小题满分14分）已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠），且数列{}()n f a 是首项为4，公差为2的等差数列.(Ⅰ)求证：数列{}n a 是等比数列；(Ⅱ) 若()n n n b a f a =⋅，当2k =时，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（III ）若lg n n n c a a =，问是否存在实数k ，使得{}n c 中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由．21. （本小题满分14分）已知函数F (x )=|2x －t |－x 3+x +1（x ∈R ，t 为常数，t ∈R ）. (Ⅰ)写出此函数F (x )在R 上的单调区间；(Ⅱ)若方程F (x )－k =0恰有两解，求实数k 的值．【答案及详细解析】一、选择题：本大题理科共8小题，每小题5分，共40分. 文科共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2009年全国高考文科数学试题及答案-全国1卷
2009年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷1至2页，第卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k k n kn n P k C P P k n -=-=，，， 一、选择题（1）o585sin 的值为(A) (C)- (D) (2)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U A B =，则集合()U AB ð中的元素共有(A) 3个 （B ） 4个 （C ）5个 （D ）6个（3）不等式111<-+x x 的解集为 （A ）{}}{011x x x x 〈〈〉 （B ）{}01x x 〈〈（C ） }{10x x -〈〈 （D ）}{0x x 〈 （4）已知tan a =4,cot β=13,则tan(a+β)= (A)711 (B)711- (C) 713 (D) 713-（5）设双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的渐近线与抛物线21y ＝x ＋相切，则该双曲线的离心率等于（A （B ）2 （C （D （6）已知函数()f x 的反函数为()()10g x x ＝＋2lgx ＞，则=+)1()1(g f（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4（7）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 （D ）345种 （8）设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,（A ）150° （B ）120° （C ）60° （D ）30°（9）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为(A)4 (B) 4 (C) 4(D) 34(10) 如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么φ的最小值为 (A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π（11）已知二面角l αβ--为600 ，动点P 、Q 分别在面,αβ内，P 到βQ到α的距离为P 、Q 两点之间距离的最小值为（12）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F,右准线l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B 。
2009年湖北高考文科数学试题(完整版)
2009年湖北高考文科数学试题(完整版)2009年湖北高考文科数学试题(完整版)一、选择题1. 已知集合A={x|-2≤x≤2}，B={y|0≤y≤9}，则集合A×B=（）。
A. {(x,y)|-2≤x≤2, 0≤y≤9}B. {(x,y)|-2≤x≤2, 0<y<9}C. {(x,y)|-2<x<2, 0<y<9}D. {(x,y)|-2<x<2,0≤y≤9}2. 若对于任意实数x有f(x+4)=f(x)-5，则对于任意实数y，f(y)的最大值为（）。
A. 4B. -5C. 0D. 53. 在坐标平面上，点P(a,b)关于原点的对称点记为P'(-a,-b)，如果点A(5,8)关于点B(3,-4)对称，则点A'关于点B'对称，A'的坐标为（）。
A. (-1,4)B. (-7,12)C. (-7,-1)D. (-1,-7)4. 若函数f(x)在区间[1,4]上连续，且f(x)>0，则函数g(x)=f(x)+f(5-x)在区间[1,4]上的零点个数为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知二次函数f(x)的图像经过点(2,-3)，且对称轴为直线x=1，则函数f(x)的解析式为（）。
A. f(x)=-2(x-1)^2-5B. f(x)=-2(x+1)^2-5C. f(x)=2(x-1)^2-5D.f(x)=2(x+1)^2-5二、填空题1. 若已知sin(A-120°)=0.5，则三角函数cosA的值为（）。
解：sin(A-120°)=0.5，根据三角函数的周期性，sin(A+240°)=0.5，因此sinA=0.5，cosA的值为0.866。
2. 若函数f(x)=(k+1)x^2-kx-2的图像在x轴上有两个不同的零点，则实数k的取值范围是（）。
解：函数f(x)在x轴上有两个不同的零点，说明函数f(x)的图像与x轴有两个交点，即f(x)的图像经过x轴。
2009年湖北省高考数学试题答案(文数)
2009年湖北高考数学卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1. 全集}1,4,2{2+-=a a U 集合}2,1{+=a A ，若}7{=A C U ，则实数=a ★ ．2. 已知数列}{n a 的等差数列，若3,244113==+a a a ，则数列}{n a 的公差等于 ★ ．3. 若不等式a x <-|1|成立的充分条件是40<<x ，则实数a 的取值范围是 ★ ．4. 已知)2,2(,-∈y x ，且复数yi x z +=，则满足1≥z 的概率是★ ．5. 如图，要测量河对岸A 、B 两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB 的距离是 ★ ． 6. 下列给出了x 与x 10的七组近似值：组号一 二 三 四 五 六 七 x 0.30103 0.47711 0.69897 0.77815 0.90309 1.00000 1.07918 10x235681012假设在上表的各组对应值中，有且仅有一组是错误的，它是第 ★ 组.7. 设全集},|),{(R y R x y x U ∈∈=，}⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-->-+=06208201243|),{(y x y x y x y x P ，}|),{(222r yx y x Q ≤+=，其中0>r ，若P C Q U ⊆恒成立，则实数r 的最大值为★ ．8. 设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ=,若OP AB PA PB ⋅≥⋅,则实数λ的取值范围是 ★ ．9. 设两个平面α，β，直线l ，下列条件：（1）l ⊥α，（2）//l β，（3）αβ⊥，若以其中两个为前提，另一个为结论，则构成三个命题，这三个命题中正确的命题个数为___★___10. 已知(4,0)A 、(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反向后再射到直线O B 上，最后经直线O B 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是 ★ . 11. 若R kx x x =>}2|{，则k 的取值范围是 ★ ．12. 如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 1点的最短路线长为 ★ .13. 已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实数根，下列命题：①方程[()]f f x x =也一定没有实数根；②若0a >，则不等式[()]f f x x >对一切实数x 都成立； ③若0a <，则必存在实数0x ，使00[()]f f x x >④若0a b c ++=，则不等式[()]f f x x <对一切实数x 都成立．中，正确命题的序号是 ★ ．(把你认为正确的命题的所有序号都填上) 14. 如图是从事网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4(从左至右)出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；依此类推．则第99行从左至右算第67个数字为 ★ ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分） 15. （本小题满分14分） 已知函数2()2sin ()3cos 21,4f x x x x R π=+--∈。
2009年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷Ⅱ)解析版
2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅱ）解析版参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知全集{1U =，2，3，4，5，6，7，8}，{1M =，3，5，7}，{5N =，6，7}，则()(U MN =ð )A ．{5，7}B ．{2，4}C ．{2，4，8}D ．{1，3，5，6，7}【考点】1H ：交、并、补集的混合运算 【专题】11：计算题 【分析】先求集合MN ，后求它的补集即可，注意全集的范围．【解答】解：{1M =，3，5，7}，{5N =，6，7}， {1MN ∴=，3，5，6，7}，{1U =，2，3，4，5，6，7，8}， (){2U MN ∴=ð，4，8}故选：C ．【点评】本题考查集合运算能力，本题是比较常规的集合题，属于基础题．2．（5分）函数0)y x =…的反函数是( )A ．2(0)y x x =…B ．2(0)y x x =-…C ．2(0)y x x =…D ．2(0)y x x =-…【考点】4R ：反函数 【专题】11：计算题【分析】直接利用反函数的定义，求出函数的反函数，注意函数的定义域和函数的值域． 【解答】解：由原函数定义域0x …可知A 、C 错， 原函数的值域0y …可知D 错， 故选：B ．【点评】本题考查反函数的求法，反函数概念，考查逻辑推理能力，是基础题． 3．（5分）函数22log 2xy x-=+的图象( )A ．关于直线y x =-对称B ．关于原点对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y x =对称【考点】3K ：函数奇偶性的性质与判断；3M ：奇偶函数图象的对称性 【专题】31：数形结合【分析】先看函数的定义域，再看()f x -与()f x 的关系，判断出此函数是个奇函数，所以，图象关于原点对称．【解答】解：由于定义域为(2,2)-关于原点对称， 又222222()loglog()x x x x f x f x +--+-==-=-，故函数为奇函数，图象关于原点对称， 故选：B ．【点评】本题考查函数奇偶性的判断以及利用函数的奇偶性判断函数图象的对称性． 4．（5分）已知ABC ∆中，12cot 5A =-，则cos (A = ) A ．1213B ．513C ．513-D ．1213-【考点】GG ：同角三角函数间的基本关系 【专题】11：计算题【分析】利用同角三角函数的基本关系cos A 转化成正弦和余弦，求得sin A 和cos A 的关系式，进而与22sin cos 1A A +=联立方程求得cos A 的值． 【解答】解：12cot 5A =-A ∴为钝角，cos 0A <排除A 和B ，再由cos 12cot sin 5A A A ==-，和22sin cos 1A A +=求得12cos 13A =-， 故选：D ．【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用．主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商数关系．5．（5分）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( )A B ．15C D ．35【考点】LM ：异面直线及其所成的角【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G ：空间角【分析】由11//BA CD ，知1AB E ∠是异面直线BE 与1CD 所形成角，由此能求出异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值．【解答】解：正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点， 11//BA CD ∴，1A BE ∴∠是异面直线BE 与1CD 所形成角，设122AA AB ==，则11A E =，BE =，1A B ==2221111cos 2A B BE A E A BE A B BE +-∴∠===．∴异面直线BE 与1CD ． 故选：C ．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（5分）已知向量(2,1)a =，10a b =，||52a b +=，则||(b = )AB C ．5D ．25【考点】91：向量的概念与向量的模；9O ：平面向量数量积的性质及其运算 【专题】5A ：平面向量及应用【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对||a b +=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可． 【解答】解：||52a b +=，||5a =222()250a b a b a b ∴+=++=， 得||5b = 故选：C ．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．7．（5分）设a lge =，2()b lge =，c =，则( ) A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>【考点】4M ：对数值大小的比较；4O ：对数函数的单调性与特殊点【分析】因为101>，所以y lgx =单调递增，又因为110e <<，所以01lge <<，即可得到答案．【解答】解：13e <<< 01lge ∴<<，21()2lge lge lge ∴>>．a cb ∴>>．故选：C ．【点评】本题主要考查对数的单调性．即底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减．8．（5分）双曲线22163x y -=的渐近线与圆222(3)(0)x y r r -+=>相切，则(r = )A B ．2C ．3D ．6【考点】IT ：点到直线的距离公式；KC ：双曲线的性质 【专题】11：计算题【分析】求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出r ．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y =，即0x ±=，圆心(3,0)到直线的距离d ==r ∴=故选：A ．【点评】本题考查双曲线的性质、点到直线的距离公式． 9．（5分）若将函数tan()(0)4y x πωω=+>的图象向右平移6π个单位长度后，与函数tan()6y x πω=+的图象重合，则ω的最小值为( )A ．16B ．14 C ．13D ．12【考点】HJ ：函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换 【专题】11：计算题【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数tan()6y x πω=+的图象重合，比较系数，求出16()2k k Z ω=+∈，然后求出ω的最小值．【解答】解：tan()4y x πω=+，向右平移6π个单位可得：tan[()]tan()646y x x πππωω=-+=+∴466k πππωπ-+=1()2k k Z ω∴=+∈，又0ω> 12min ω∴=． 故选：D ．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是常考题．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( ) A ．6种B ．12种C ．24种D ．30种【考点】5D ：组合及组合数公式 【专题】11：计算题【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2门的种数224436C C =， ②两人所选两门都相同的有为246C =种，都不同的种数为246C =， 故选：C ．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法． 11．（5分）已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则(k = )A ．13B C ．23D 【考点】8K ：抛物线的性质 【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A 、B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，根据||2||FA FB =，推断出||2||AM BN =，点B 为AP 的中点、连接OB ，进而可知1||||2OB AF =，进而推断出||||OB BF =，进而求得点B 的横坐标，则点B 的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率． 【解答】解：设抛物线2:8C y x =的准线为:2l x =- 直线(2)(0)y k x k =+>恒过定点(2,0)P -如图过A 、B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ， 由||2||FA FB =，则||2||AM BN =， 点B 为AP 的中点、连接OB ， 则1||||2OB AF =， ||||OB BF ∴=，点B 的横坐标为1，故点B 的坐标为k ∴==故选：D ．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用． 12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位( )A ．南B ．北C ．西D ．下【考点】LC ：空间几何体的直观图 【专题】16：压轴题【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定． 【解答】解：如图所示．故选：B ．【点评】本题主要考查多面体的展开图的复原，属于基本知识基本能力的考查． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若11a =，634S S =，则4a = 3 ．【考点】87：等比数列的性质；89：等比数列的前n 项和 【专题】11：计算题【分析】根据634S S =可求得3q ，进而根据等比数列的通项公式，得到答案． 【解答】解：设等比数列的公比为q ，则由634S S =知1q ≠， 63614(1)11q q S q q--∴==--． 33q ∴=．313a q ∴=． 故答案为：3【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题．属基础题．14．（5分）4(-的展开式中33x y 的系数为 6 ． 【考点】DA ：二项式定理【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第1r +项，令x ，y 的指数都为1求出33x y 的系数【解答】解：4224(x y =，只需求4展开式中的含xy 项的系数．4的展开式的通项为414(rr r r T C -+= 令422r r -=⎧⎨=⎩得2r =∴展开式中33x y 的系数为246C = 故答案为6．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具． 15．（5分）已知圆22:5O x y +=和点(1,2)A ，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积=254． 【考点】7J ：圆的切线方程 【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】判断点A 在圆上，用点斜式写出切线方程，求出切线在坐标轴上的截距，从而求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积．【解答】解：由题意知，点A 在圆上，切线斜率为111221OA K --==-， 用点斜式可直接求出切线方程为：12(1)2y x -=--，即250x y +-=，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和52， 所以，所求面积为15255224⨯⨯=．【点评】本题考查求圆的切线方程的方法，以及求直线与坐标轴围成的三角形的面积． 16．（5分）设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45︒角的平面截球O 的表面得到圆C ．若圆C 的面积等于74π，则球O 的表面积等于 8π ． 【考点】LG ：球的体积和表面积 【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案． 【解答】解：设球半径为R ，圆C 的半径为r ， 2277,44r r ππ==由得．因为22R OC R ==． 由222217)84R r R =+=+得22R = 故球O 的表面积等于8π 故答案为：8π，【点评】本题考查学生对空间想象能力，以及球的面积体积公式的利用，是基础题． 三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知等差数列{}n a 中，3716a a =-，460a a +=，求{}n a 前n 项和n s ． 【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n 项和 【专题】34：方程思想【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于1a ，d 的方程组，求出1a 、d ，进而代入等差数列的前n 项和公式求解即可．【解答】解：设{}n a 的公差为d ，则1111(2)(6)16350a d a d a d a d ++=-⎧⎨+++=⎩，即22111812164a da d a d ⎧++=-⎪⎨=-⎪⎩，解得118822a a d d =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或， 因此8(1)(9)n S n n n n n =-+-=-，或8(1)(9)n S n n n n n =--=--．【点评】本题考查等差数列的通项公式及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解． 18．（12分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，3cos()cos 2A CB -+=，2b ac =，求B ．【考点】GG ：同角三角函数间的基本关系；HP ：正弦定理 【专题】11：计算题【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sin B （负值舍掉），从而求出答案． 【解答】解：由3cos()cos 2A CB -+=及()B AC π=-+得 3cos()cos()2A C A C --+=， 3cos cos sin sin (cos cos sin sin )2A C A C A C A C ∴+--=， 3sin sin 4A C ∴=． 又由2b ac =及正弦定理得2sin sin sin B A C =， 故23sin 4B =，∴sin B =sin B =， 于是3B π=或23B π=．又由2b ac = 知b a …或b c … 所以3B π=．【点评】三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．19．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点，DE ⊥平面1BCC ．（Ⅰ）证明：AB AC =；（Ⅱ）设二面角A BD C --为60︒，求1B C 与平面BCD 所成的角的大小．【考点】LQ ：平面与平面之间的位置关系 【专题】11：计算题；14：证明题【分析】（1）连接BE ，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD DC =，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB AC =；（2）求1B C 与平面BCD 所成的线面角，只需求点1B 到面BDC 的距离即可，作AG BD ⊥于G ，连GC ，AGC ∠为二面角A BD C --的平面角，在三角形AGC 中求出GC 即可．【解答】解：如图 ()I 连接BE ，111ABC A B C -为直三棱柱，190B BC ∴∠=︒，E 为1B C 的中点，BE EC ∴=．又DE ⊥平面1BCC ，BD DC ∴=（射影相等的两条斜线段相等）而DA ⊥平面ABC ，AB AC ∴=（相等的斜线段的射影相等）． ()II 求1B C 与平面BCD 所成的线面角，只需求点1B 到面BDC 的距离即可．作AG BD ⊥于G ，连GC ， AB AC ⊥，GC BD ∴⊥，AGC ∠为二面角A BD C --的平面角，60AGC ∠=︒不妨设AC =2AG =，4GC =在RT ABD ∆中，由AD AB BD AG =，易得AD =设点1B 到面BDC 的距离为h ，1B C 与平面BCD 所成的角为α． 利用11133B BCBCD SDE Sh ∆=，可求得h =1112h B C B C α===，30α∴=︒． 即1B C 与平面BCD 所成的角为30︒．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核．（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率； （3）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．【考点】3B ：分层抽样方法；6C ：等可能事件和等可能事件的概率 【专题】11：计算题【分析】（1）根据分层抽样原理，要从甲、乙两组各10人中共抽取4名工人，则从每组各抽取2名工人．（2）从甲组抽取2人的结果有210C 种，恰有1名女工人的结果有1146C C 种，代入等可能事件的概率公式即可（3）从甲乙各10人虫各抽2人的结果有221010C C 种，而4名工人中恰有2名男工人的情况分①两名男工都来自甲，有2266C C ②甲乙各抽1名男工11116446C C C C ③两名男工都来自乙有2244C C 种结果【解答】解：（1）由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人．（2）记A 表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则11462108()15C C P A C ==（3）i A 表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i 名男工人，0i =，1，2 Bj 表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j 名男工人，0j =，1，2B 表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人．i A 与j B 独立，i ，0j =，1，2，且021120B A B A B A B =++故P （B ）021*********()()()()()()()P A B A B A B P A P B P A P B P A P B =++=++22111122666464442210103175C C C C C C C C c C ++== 【点评】本题考查概率统计知识，要求有正确理解分层抽样的方法及利用分类原理处理事件概率的能力，第一问直接利用分层统计原理即可得人数，第二问注意要用组合公式得出概率，第三问关键是理解清楚题意以及恰有2名男工人的具体含义，从而正确分类求概率．21．（12分）设函数321()(1)4243f x x a x ax a =-+++，其中常数1a >，（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若当0x …时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围． 【考点】3R ：函数恒成立问题；6B ：利用导数研究函数的单调性 【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】（1）先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减可确定函数的单调性．（2）先将问题转化为求函数在0x …时的最小值问题，再结合（1）中的单调性可确定()f x 在2x a =或0x =处取得最小值，求出最小值，即可得到a 的范围．【解答】解：（1）2()2(1)4(2)(2)f x x a x a x x a '=-++=-- 由1a >知，当2x <时，()0f x '>， 故()f x 在区间(,2)-∞是增函数； 当22x a <<时，()0f x '<， 故()f x 在区间(2,2)a 是减函数； 当2x a >时，()0f x '>，故()f x 在区间(2,)a +∞是增函数．综上，当1a >时，()f x 在区间(,2)-∞和(2,)a +∞是增函数， 在区间(2,2)a 是减函数．（2）由（1）知，当0x …时，()f x 在2x a =或0x =处取得最小值． 323214(2)(2)(1)(2)422442433f a a a a a a a a a a =-+++=-++，(0)24f a =由假设知1(2)0(0)0a f a f >⎧⎪>⎨⎪>⎩即14(3)(6)03240.a a a a a >⎧⎪⎪-+->⎨⎪>⎪⎩解得16a << 故a 的取值范围是(1,6)【点评】本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l， （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由． 【考点】4K ：椭圆的性质 【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】()I 设(,0)F c ，则直线l 的方程为0x y c --=，由坐标原点O 到l 的距离求得c ，进而根据离心率求得a 和b ．()II 由()I 可得椭圆的方程，设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，:1l x my =+代入椭圆的方程中整理得方程△0>．由韦达定理可求得12y y +和12y y 的表达式，假设存在点P ，使OP OA OB =+成立，则其充要条件为：点P 的坐标为12(x x +，12)y y +，代入椭圆方程；把A ，B 两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c ，进而求得P 点坐标，求出m 的值得出直线l 的方程．【解答】解：()I 设(,0)F c ，直线:0l x y c --=，由坐标原点O 到l=1c =又c e a ==∴a b = ()II 由()I 知椭圆的方程为22:132x y C += 设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y由题意知l 的斜率为一定不为0，故不妨设:1l x my =+代入椭圆的方程中整理得22(23)440m y my ++-=，显然△0>． 由韦达定理有：122423m y y m +=-+，122423y y m =-+，① 假设存在点P ，使OP OA OB =+成立，则其充要条件为： 点P 的坐标为12(x x +，12)y y +，点P 在椭圆上，即221212()()132x x y y +++=．整理得2222112212122323466x y x y x x y y +++++=． 又A 、B 在椭圆上，即2211236x y +=，2222236x y +=、 故12122330x x y y ++=②将212121212(1)(1)()1x x my my m y y m y y =++=+++及①代入②解得212m =∴12y y +=，2122432232m x x m +=-+=+，即3(,2P当3,,,:12m P l x y ⎛==+ ⎝⎭；当3,,:12m P l x y ⎛==+ ⎝⎭【点评】本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点．。
2009年高考文科数学(湖北)卷
面 ABCD 所成的角为 ，若
tan gtan 1 ，求
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，过力根管保据线护生0高不产中仅工资可艺料以高试解中卷决资配吊料置顶试技层卷术配要是置求指不，机规对组范电在高气进中设行资备继料进电试行保卷空护问载高题与中2带2资，负料而荷试且下卷可高总保中体障资配2料3置2试3时各卷，类调需管控要路试在习验最2；3大2对3限2设题度备到内进位来行。确调在保整管机使路组其敷高在设中正过资常程料工1试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且2作5尽5下2可2都2能护可地1以关缩正于小常管故工路障作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保连破护接坏进管范行口围整处，核理或对高者定中对值资某，料些审试异核卷常与弯高校扁中对度资图固料纸定试，盒卷编位工写置况复.进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2009年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷ⅰ)(含解析版)
2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共 12小题，每小题 5分，满分 60分）1．（5分）sin585°的值为（ ）A ．B ．C ．D ．2．（5分）设集合 A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集 U=A ∪B ，则集合∁（A ∩B ）中的元素共有（ ）U A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个3．（5分）不等式 ＜1的解集为（ ）A ．{x |0＜x ＜1}∪{x |x ＞1}C ．{x |﹣1＜x ＜0}B ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |x ＜0}4．（5分）已知 tana=4，cotβ=，则 tan （a +β）=（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣5．（5分）已知双曲线 ﹣ =1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线 y=x +1相2切，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．6．（5分）已知函数 f （x ）的反函数为 g （x ）=1+2lgx （x ＞0），则 f （1）+g （1）=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．47．（5分）甲组有 5名男同学，3名女同学；乙组有 6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出 2名同学，则选出的 4人中恰有 1名女同学的不同选法共有（ ）A ．150种B ．180种C ．300种D ．345种8．（5分）设非零向量、、满足，则=（ ）A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°9．（5分）已知三棱柱 ABC ﹣A B C 的侧棱与底面边长都相等， A 在底面 ABC 1111上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC所成的角的余弦值为（ ）1A．B．C．D．10．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（ ）A．B．C．D．11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）A．112．（5分）已知椭圆C：+y交C于点B，若=3，则||=（ ）A．B．2C．B．2C．D．42=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段 AFD．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）的展开式中，x的系数与 x107y33y7的系数之和等于 ．14．（5分）设等差数列{a}的前n的和为S，若S =72，则a+a+a = ．n n924915．（5分）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于 ．16．（5分）若直线m被两平行线l：x﹣y+1=0与l：x﹣y+3=0所截得的线段的12长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是 （写出所有正确答案的序号）三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等差数列{a}的前n项和为S，公比是正数的等比数列{b}的前n n nn项和为T，已知 a =1，b =3，a+b =17，T﹣S =12，求{a}，{b}的通项公n113333n n式．18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a﹣c =2b 2 2，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．21．（12分）已知函数f（x）=x﹣3x+6．4 2（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求Ⅰ讨论f（x）的单调性；l的方程．22．（12分）如图，已知抛物线E：y =x与圆M：（x﹣4）+y =r（r＞0）相交2 2 2 2于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin585°的值为（ ）A．B．C．D．【考点】GE：诱导公式．【分析】由sin（α+2kπ）=sinα、sin（α+π）=﹣sinα及特殊角三角函数值解之．【解答】解：sin585°=sin（585°﹣360°）=sin225°=sin（45°+180°）=﹣sin45°=﹣，故选：A．【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁（A∩B）中的元素共有（ ）UA．3个B．4个C．5个D．6个【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴∁（A∩B）={3，5，8}故选A．U也可用摩根律：∁（A∩B）=（∁A）∪（∁B）U U U故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．3．（5分）不等式＜1的解集为（ ）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}D．{x|x＜0}B．{x|0＜x＜1} C．{x|﹣1＜x＜0}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x+2x+1＜x﹣2x+1．2 2x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选：D．【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．4．（5分）已知tana=4，cotβ=，则tan（a+β）=（ ）A．B．﹣C．D．﹣【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】由已知中cotβ=，由同角三角函数的基本关系公式，我们求出β角的正切值，然后代入两角和的正切公式，即可得到答案．【解答】解：∵tana=4，cotβ=，∴tanβ=3∴tan（a+β）=故选：B．==﹣【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正切函数，其中根据已知中 β角的余切值，根据同角三角函数的基本关系公式，求出 β角的正切值是解答本题的关键．5．（5分）已知双曲线 ﹣ =1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线 y=x +1相2切，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．【考点】KC ：双曲线的性质；KH ：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于 0，找到 a 和 b 的关系，从而推断出 a 和 c 的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为 ，代入抛物线方程整理得 ax 2﹣bx +a=0，﹣4a =0，因渐近线与抛物线相切，所以 b 即 ，故选：C ．22【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．6．（5分）已知函数 f （x ）的反函数为 g （x ）=1+2lgx （x ＞0），则 f （1）+g （1）=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【考点】4R ：反函数．【专题】11：计算题．【分析】将 x=1代入即可求得 g （1），欲求 f （1），只须求当 g （x ）=1时 x 的值即可．从而解决问题．【解答】解：由题令 1+2lgx=1得 x=1，即 f （1）=1，又 g （1）=1，所以 f （1）+g （1）=2，故选：C ．【点评】本小题考查反函数，题目虽然简单，却考查了对基础知识的灵活掌握情况，也考查了运用知识的能力．7．（5分）甲组有 5名男同学，3名女同学；乙组有 6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出 2名同学，则选出的 4人中恰有 1名女同学的不同选法共有（ ）A ．150种B ．180种C ．300种D ．345种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．【专题】5O ：排列组合．【分析】选出的 4人中恰有 1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有 C 51•C 32 1 1（2）乙组中选出一名女生有 C 5 •C 6 •C 2 =120种选法．故共有 345种选法．故选：D ．•C 6 =225种选法；1 2【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！8．（5分）设非零向量、、满足，则=（ ）A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，两个向量的模长相等可构成菱形的两条相邻边，三个向量起点处的对角线长等于菱形的边长，这样得到一个含有特殊角的菱形．【解答】解：由向量加法的平行四边形法则，∵两个向量的模长相等∴、可构成菱形的两条相邻边，∵∴、为起点处的对角线长等于菱形的边长，∴两个向量的夹角是120，°故选：B．【点评】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题．向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体．9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A B C的侧棱与底面边长都相等，A在底面 ABC1111上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC所成的角的余弦值为（ ）1A．B．C．D．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先找到异面直线AB与CC所成的角（如∠A AB）；而欲求其余弦值11可考虑余弦定理，则只要表示出 A B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A B C1111的侧棱与底面边长为 1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设 BC 的中点为 D ，连接 A D 、AD 、A B ，易知 θ=∠A AB 即为异面111直线 AB 与 CC 所成的角；1并设三棱柱 ABC ﹣A B C 的侧棱与底面边长为 1，则|AD |= ，|A D |=，|A B |=11111，由余弦定理，得 cosθ=故选：D ．=．【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．10．（5分）如果函数 y=3cos （2x +φ）的图象关于点（ ，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】HB ：余弦函数的对称性．【专题】11：计算题．【分析】先根据函数 y=3cos （2x +φ）的图象关于点 中心对称，令 x=代入函数使其等于 0，求出 φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数 y=3cos （2x +φ）的图象关于点 中心对称．∴ ∴ 由此易得 ．故选：A ．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．11．（5分）已知二面角 α﹣l ﹣β为 60°，动点 P 、Q 分别在面 α、β内，P 到β的距离为，Q 到 α的距离为 ，则 P 、Q 两点之间距离的最小值为（ ）A．1B．2C．D．4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故选：C．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．12．（5分）已知椭圆C：+y =1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段 AF 2交 C 于点 B ，若 =3，则||=（ ）A ．B ．2C ．D ．3【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】过点 B 作 BM ⊥x 轴于 M ，设右准线 l 与 x 轴的交点为 N ，根据椭圆的性质可知 FN=1，进而根据 ，求出 BM ，AN ，进而可得|AF |．【解答】解：过点 B 作 BM ⊥x 轴于 M ，并设右准线 l 与 x 轴的交点为 N ，易知 FN=1．由题意 ，故 FM=，故 B 点的横坐标为，纵坐标为±即 BM=，故 AN=1，∴ ．故选：A ．【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．二、填空题（共 4小题，每小题 5分，满分 20分）13．（5分）（x ﹣y ）的展开式中，x y 的系数与 x y 的系数之和等于 ﹣240 10 7 3 3 7．【考点】DA ：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】首先要了解二项式定理：（ a +b ）n =C n +C n +C n ++C n ++C n a b ，各项的通项公式为：0a n b 01a n ﹣1b 12a n ﹣2b 2r a n ﹣r b r n 0 n a b ．然后根据题目已知求解即可．T =C nr n ﹣r rr +1【解答】解：因为（ x ﹣y ）10的展开式中含 x y 的项为 C 10 x y （﹣1）7 3 3 10﹣3 33=﹣C 10 x y ，3 7 3含 x3y 7的项为 C 107x 10﹣7y 73（﹣1） =﹣C 10 x y ．7 7 3 7由 C 103=C 10 =120知，x 77y 与 x y 的系数之和为﹣240．3 7故答案为﹣240．【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（ a +b ）=C n +C n +C n ++C n ++C n a b ，属于重点考点，同学们需n 0 n n 0n a b 01a n ﹣1b 12a n ﹣2b 2r n ﹣r a b r 要理解记忆．14．（5分）设等差数列{a }的前 n 的和为 S ，若 S =72，则 a +a +a = 24 ．n n 9249【考点】83：等差数列的性质．【分析】先由 S =72用性质求得 a ，而 3（a +4d ）=3a ，从而求得答案．9515【解答】解：∵∴a =85又∵a +a +a =3（a +4d ）=3a =2424915故答案是 24【点评】本题主要考查等差数列的性质及项与项间的内在联系．15．（5分）已知 OA 为球 O 的半径，过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于 16π ．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由题意求出圆M的半径，设出球的半径，二者与OM构成直角三角形，求出球的半径，然后可求球的表面积．【解答】解：∵圆M的面积为3π，∴圆M的半径r=，设球的半径为R，由图可知，R = R+3，∴R =3，∴R =4．2 2 2 2∴S =4πR2=16π．球故答案为：16π【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口，解题重点所在，仔细体会．16．（5分）若直线m被两平行线l：x﹣y+1=0与l：x﹣y+3=0所截得的线段的12长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是 ①或⑤ （写出所有正确答案的序号）【考点】I2：直线的倾斜角；N1：平行截割定理．【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题．【分析】先求两平行线间的距离，结合题意直线m被两平行线l与l所截得的12线段的长为，求出直线m与l的夹角为30°，推出结果．1【解答】解：两平行线间的距离为，由图知直线m与l的夹角为30°，l的倾斜角为45°，11所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°﹣30°=15°．故填写①或⑤故答案为：①或⑤【点评】本题考查直线的斜率、直线的倾斜角，两条平行线间的距离，考查数形结合的思想．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等差数列{a}的前n项和为S，公比是正数的等比数列{b}的前n n nn项和为T，已知 a =1，b =3，a+b =17，T﹣S =12，求{a}，{b}的通项公n113333n n式．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】11：计算题．【分析】设{a}的公差为d，数列{b}的公比为q＞0，由题得n n，由此能得到{a}，{b}的通项公式．n n【解答】解：设{a}的公差为d，数列{b}的公比为q＞0，n n由题得，解得 q=2，d=2∴a =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1，bn=3•2n ﹣1n ．【点评】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前 n 项和，基础题． 18．（12分）在△ABC 中，内角 A 、B 、C 的对边长分别为 a 、b 、c ，已知 a ﹣c =2b 2 2，且 sinAcosC=3cosAsinC ，求 b ．【考点】HR ：余弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理将 sinAcosC=3cosAsinC 化成边的关系，再根据a ﹣c =2b 即可得到答案．2 2【解答】解：法一：在△ABC 中∵sinAcosC=3cosAsinC ，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a 又由已知 a ﹣c =2b ∴4b=b 解得 b=4或 b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a又 a ﹣c =2b ，b ≠0．2﹣c2）=b 2．222．2﹣c 2=b 2﹣2bccosA ．22所以 b=2ccosA +2①又 sinAcosC=3cosAsinC ，∴sinAcosC +cosAsinC=4cosAsinCsin （A +C ）=4cosAsinC ，即 sinB=4cosAsinC 由正弦定理得 ，故 b=4ccosA ②由①，②解得 b=4．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在 RT △MNE 中由 ME =NE +MN ∴3x =x +22 2 2 2 2解得 x=1，从而 ∴M 为侧棱 SC 的中点 M ．（Ⅰ）证法二：分别以 DA 、DC 、DS 为 x 、y 、z 轴如图建立空间直角坐标系 D ﹣xyz，则．设 M （0，a ，b ）（a ＞0，b ＞0），则， ，由题得 ，即解之个方程组得 a=1，b=1即 M （0，1，1）所以 M 是侧棱 SC 的中点．（I ）证法三：设 ，则又故即，，解得 λ=1，所以 M 是侧棱 SC 的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又 ， ，设分别是平面 SAM 、MAB 的法向量，则 且 ，即 且分别令 得 z =1，y =1，y =0，z =2，1122即∴，二面角 S ﹣AM ﹣B 的大小 ．【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值； 20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立．已知前 2局中，甲、乙各胜 1局．（Ⅰ）求再赛 2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】12：应用题．【分析】根据题意，记“第i局甲获胜”为事件A（i=3，4，5），“第j局甲获胜”i为事件B（j=3，4，5），i（1）“再赛2局结束这次比赛”包含“甲连胜3、4局”与“乙连胜3、4局”两个互斥的事件，而每局比赛之间是相互独立的，进而计算可得答案，（2）若“甲获得这次比赛胜利”，即甲在后3局中，甲胜2局，包括3种情况，根据概率的计算方法，计算可得答案．【解答】解：记“第i局甲获胜”为事件A（i=3，4，5），i“第j局甲获胜”为事件B（j=3，4，5）．i（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则A=A •A+B •B，3434由于各局比赛结果相互独立，故P（A）=P（A •A+B •B）=P（A •A）+P（B •B）=P（A）P（A）+P（B）P34343434343（B）=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52．4（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件H，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B=A •A+B •A •A+A •B •A，34345345由于各局比赛结果相互独立，故P（H）=P（A •A+B •A •A+A •B •A）34345345=P（A •A）+P（B •A •A）+P（A •B •A）34345345=P（A）P（A）+P（B）P（A）P（A）+P（A）P（B）P（A）34345345=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648【点评】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，解题之前，要分析明确事件间的关系，一般先按互斥事件分情况，再由相互独立事件的概率公式，进行计算．21．（12分）已知函数f（x）=x﹣3x+6．4 2（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求Ⅰ讨论f（x）的单调性；l的方程．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】16：压轴题．【分析】（1）利用导数求解函数的单调性的方法步骤进行求解．（2）根据已知，只需求出f（x）在点P处的导数，即斜率，就可以求出切线方程．【解答】解：（Ⅰ）令f′（x）＞0得或；令f′（x）＜0得或因此，f（x）在区间和为增函数；在区间和为减函数．（Ⅱ）设点P（x，f（x）），00由l过原点知，l的方程为y=f′（x）x，因此f（x）=f′（x）x，即x04﹣3x02+6﹣x（4x03﹣6x）=0，000002+1）（x0﹣2）=0，解得或．整理得（x2所以的方程为y=2 x或y=﹣2x【点评】本题比较简单，是一道综合题，主要考查函数的单调性、利用导数的几何意义求切线方程等函数基础知识，应熟练掌握．22．（12分）如图，已知抛物线E：y =x与圆M：（x﹣4）+y =r（r＞0）相交2 2 2 2于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y =x与圆M：（x﹣4）+y =r（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充2 2 2 2要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y =x代入圆M：（x﹣4）+y =r（r＞0）的方2 2 2 2程，消去 y2，整理得 x2﹣7x+16﹣r2=0（1）+y抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2=r（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的2 2充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．=则直线AC、BD的方程分别为y﹣=•（x﹣x），y+（x﹣x），1解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x+x =7，x x =16﹣r，12 1 22则∴令，则S =（7+2t）（7﹣2t）下面求S的最大值．2 2 2由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．。
2009文科数学高考真题全国卷Ⅱ试卷答案
2009年普通高等学校招生全国统一考试试卷文科数学2009年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题参考答案和评分参考一． 选择题（1）C （2）B （3）A （4）D （5）C （6）C（7）B （8）A （9）D （10）C （11）D （12）B二．填空题（13）3 （14）6 （15）254（16）8π 三．解答题17． 解：设{}n a 的公差为d ，则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m()()11112616350a d a d a d a d ⎧++=-⎪⎨+++=⎪⎩ 即22111812164a da d a d ⎧++=-⎨=-⎩ 解得118,82,2a a d d =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或 因此()()()()819819n n S n n n n n S n n n n n =-+-=-=--=--，或（18）解：由 cos （A -C ）+cosB=32及B=π-（A+C ）得 cos （A -C ）-cos （A+C ）=32， cosAcosC+sinAsinC -（cosAcosC -sinAsinC ）=32, sinAsinC=34. 又由2b =ac 及正弦定理得2sin sin sin ,B A C =故 23sin 4B =，sin B = 或sin B =（舍去），于是 B=3π 或 B=23π. 又由 2b ac =知a b ≤或c b ≤所以 B=3π （19）解法一：（Ⅰ）取BC 中点F ，连接EF ，则EF121B B ，从而EF DA 。
连接AF ，则ADEF 为平行四边形，从而AF//DE 。
又DE ⊥平面1BCC ，故AF ⊥平面1BCC ，从而AF ⊥BC ，即AF 为BC 的垂直平分线，所以AB=AC 。
（Ⅱ）作AG ⊥BD ，垂足为G ，连接CG 。
由三垂线定理知CG ⊥BD ，故∠AGC 为二面角A-BD-C 的平面角。
由题设知，∠AGC=600..设AC=2，则AG=AB=2，BC=由AB AD AG BD ⋅=⋅得2AD=故AD=AF 。
2009年全国高考文科数学试题及答案-全国1
2009年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷1至2页，第卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k k n kn n P k C P P k n -=-=，，， 一、选择题（1）o585sin 的值为(A) (C) (D) 【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。
解：2245sin )45180sin()225360sin(585sin -=-=+=+=oo o o o o ，故选择A 。
(2)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U A B =，则集合()U AB ð中的元素共有(A) 3个 （B ） 4个 （C ）5个 （D ）6个 【解析】本小题考查集合的运算，基础题。
（同理1） 解：{3,4,5,7,8,9}AB =，{4,7,9}(){3,5,8}U A B AB =∴=ð故选A 。
2009年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷ⅱ)
2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则∁U（M∪N）=（）A．{5，7}B．{2，4}C．{2，4，8}D．{1，3，5，6，7}2．（5分）函数y=（x≤0）的反函数是（）A．y=x2（x≥0）B．y=﹣x2（x≥0）C．y=x2（x≤0）D．y=﹣x2（x≤0）3．（5分）函数y=log2的图象（）A．关于直线y=﹣x对称B．关于原点对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称4．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A．B．C．D．5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B． C．5 D．257．（5分）设a=lge，b=（lge）2，c=lg，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a8．（5分）双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A．B．2 C．3 D．69．（5分）若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（）A．B．C．D．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种 B．12种C．24种D．30种11．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若a1=1，S6=4S3，则a4=．14．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为．15．（5分）已知圆O：x2+y2=5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积=．16．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知等差数列{a n}中，a3a7=﹣16，a4+a6=0，求{a n}前n项和s n．18．（12分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核．（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（3）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．21．（12分）设函数f（x）=x3﹣（1+a）x2+4ax+24a，其中常数a＞1，（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．22．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则∁U（M∪N）=（）A．{5，7}B．{2，4}C．{2，4，8}D．{1，3，5，6，7}【分析】先求集合M∪N，后求它的补集即可，注意全集的范围．【解答】解：∵M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，∴M∪N={1，3，5，6，7}，∵U={1，2，3，4，5，6，7，8}，∴∁U（M∪N）={2，4，8}故选：C．【点评】本题考查集合运算能力，本题是比较常规的集合题，属于基础题．2．（5分）函数y=（x≤0）的反函数是（）A．y=x2（x≥0）B．y=﹣x2（x≥0）C．y=x2（x≤0）D．y=﹣x2（x≤0）【分析】直接利用反函数的定义，求出函数的反函数，注意函数的定义域和函数的值域．【解答】解：由原函数定义域x≤0可知A、C错，原函数的值域y≥0可知D错，故选：B．【点评】本题考查反函数的求法，反函数概念，考查逻辑推理能力，是基础题．3．（5分）函数y=log2的图象（）A．关于直线y=﹣x对称B．关于原点对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称【分析】先看函数的定义域，再看f（﹣x）与f（x）的关系，判断出此函数是个奇函数，所以，图象关于原点对称．【解答】解：由于定义域为（﹣2，2）关于原点对称，又f（﹣x）==﹣=﹣f（x），故函数为奇函数，图象关于原点对称，故选：B．【点评】本题考查函数奇偶性的判断以及利用函数的奇偶性判断函数图象的对称性．4．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A．B．C．D．【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA转化成正弦和余弦，求得sinA和cosA 的关系式，进而与sin2A+cos2A=1联立方程求得cosA的值．【解答】解：∵cotA=∴A为钝角，cosA＜0排除A和B，再由cotA==，和sin2A+cos2A=1求得cosA=，故选：D．【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用．主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商数关系．5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】由BA1∥CD1，知∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，由此能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，∴BA1∥CD1，∴∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，设AA1=2AB=2，则A1E=1，BE==，A1B==，∴cos∠A1BE===．∴异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B． C．5 D．25【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选：C．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．7．（5分）设a=lge，b=（lge）2，c=lg，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a【分析】因为10＞1，所以y=lgx单调递增，又因为1＜e＜10，所以0＜lge＜1，即可得到答案．【解答】解：∵1＜e＜3＜，∴0＜lge＜1，∴lge＞lge＞（lge）2．∴a＞c＞b．故选：C．【点评】本题主要考查对数的单调性．即底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减．8．（5分）双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A．B．2 C．3 D．6【分析】求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出r．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，即x±y=0，圆心（3，0）到直线的距离d==，∴r=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的性质、点到直线的距离公式．9．（5分）若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（）A．B．C．D．【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，比较系数，求出ω=6k+（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωx+），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x﹣）+]=tan （ωx+）∴﹣ω+kπ=∴ω=k+（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin=．故选：D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是常考题．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种 B．12种C．24种D．30种【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42=36，②两人所选两门都相同的有为C42=6种，都不同的种数为C42=6，故选：C．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法．11．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN ⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B 的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为，故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定．【解答】解：如图所示．故选B【点评】本题主要考查多面体的展开图的复原，属于基本知识基本能力的考查．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若a1=1，S6=4S3，则a4=3．【分析】根据S6=4S3可求得q3，进而根据等比数列的通项公式，得到答案．【解答】解：设等比数列的公比为q，则由S6=4S3知q≠1，∴S6==．∴q3=3．∴a1q3=3．故答案为：3【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题．属基础题．14．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为6．【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x，y 的指数都为1求出x3y3的系数【解答】解：，只需求展开式中的含xy项的系数．∵的展开式的通项为令得r=2∴展开式中x3y3的系数为C42=6故答案为6．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．15．（5分）已知圆O：x2+y2=5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积=．【分析】判断点A在圆上，用点斜式写出切线方程，求出切线在坐标轴上的截距，从而求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积．【解答】解：由题意知，点A在圆上，切线斜率为==﹣，用点斜式可直接求出切线方程为：y﹣2=（x﹣1），即x+2y﹣5=0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以，所求面积为．【点评】本题考查求圆的切线方程的方法，以及求直线与坐标轴围成的三角形的面积．16．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于8π．【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案．【解答】解：设球半径为R，圆C的半径为r，．因为．由得R2=2故球O的表面积等于8π故答案为：8π，【点评】本题考查学生对空间想象能力，以及球的面积体积公式的利用，是基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知等差数列{a n}中，a3a7=﹣16，a4+a6=0，求{a n}前n项和s n．【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求出a1、d，进而代入等差数列的前n项和公式求解即可．【解答】解：设{a n}的公差为d，则，即，解得，因此S n=﹣8n+n（n﹣1）=n（n﹣9），或S n=8n﹣n（n﹣1）=﹣n（n﹣9）．【点评】本题考查等差数列的通项公式及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解．18．（12分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=（负值舍掉），从而求出答案．【解答】解：由cos（A﹣C）+cosB=及B=π﹣（A+C）得cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=，∴cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=，∴sinAsinC=．又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，故，∴或（舍去），于是B=或B=．又由b2=ac知b≤a或b≤c所以B=．【点评】三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C 的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．【分析】（1）连接BE，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC；（2）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可，作AG⊥BD于G，连GC，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在三角形AGC中求出GC即可．【解答】解：如图（I）连接BE，∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴∠B1BC=90°，∵E为B1C的中点，∴BE=EC．又DE⊥平面BCC1，∴BD=DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA⊥平面ABC，∴AB=AC（相等的斜线段的射影相等）．（II）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可．作AG⊥BD于G，连GC，∵AB⊥AC，∴GC⊥BD，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，∠AGC=60°不妨设，则AG=2，GC=4在RT△ABD中，由AD•AB=BD•AG，易得设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面BCD所成的角为α．利用，可求得h=，又可求得，∴α=30°．即B1C与平面BCD所成的角为30°．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核．（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（3）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．【分析】（1）根据分层抽样原理，要从甲、乙两组各10人中共抽取4名工人，则从每组各抽取2名工人．（2）从甲组抽取2人的结果有C102种，恰有1名女工人的结果有C41C61种，代入等可能事件的概率公式即可（3）从甲乙各10人虫各抽2人的结果有C102C102种，而4名工人中恰有2名男工人的情况分①两名男工都来自甲，有C62C62②甲乙各抽1名男工C61C41C41C61③两名男工都来自乙有C42C42种结果【解答】解：（1）由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人．（2）记A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则（3）A i表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0，1，2Bj表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j名男工人，j=0，1，2B表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人．A i与B j独立，i，j=0，1，2，且B=A0•B2+A1•B1+A2•B0故P（B）=P（A0•B2+A1•B1+A2•B0）=P（A0）•P（B2）+P（A1）•P（B1）+P（A2）•P（B0）==【点评】本题考查概率统计知识，要求有正确理解分层抽样的方法及利用分类原理处理事件概率的能力，第一问直接利用分层统计原理即可得人数，第二问注意要用组合公式得出概率，第三问关键是理解清楚题意以及恰有2名男工人的具体含义，从而正确分类求概率．21．（12分）设函数f（x）=x3﹣（1+a）x2+4ax+24a，其中常数a＞1，（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减可确定函数的单调性．（2）先将问题转化为求函数在x≥0时的最小值问题，再结合（1）中的单调性可确定f（x）在x=2a或x=0处取得最小值，求出最小值，即可得到a的范围．【解答】解：（1）f'（x）=x2﹣2（1+a）x+4a=（x﹣2）（x﹣2a）由a＞1知，当x＜2时，f'（x）＞0，故f（x）在区间（﹣∞，2）是增函数；当2＜x＜2a时，f'（x）＜0，故f（x）在区间（2，2a）是减函数；当x＞2a时，f'（x）＞0，故f（x）在区间（2a，+∞）是增函数．综上，当a＞1时，f（x）在区间（﹣∞，2）和（2a，+∞）是增函数，在区间（2，2a）是减函数．（2）由（1）知，当x≥0时，f（x）在x=2a或x=0处取得最小值．=，f（0）=24a由假设知即解得1＜a＜6故a的取值范围是（1，6）【点评】本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性．22．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．【分析】（I）设F（c，0），则直线l的方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离为则，解得c=1又，∴（II）由（I）知椭圆的方程为设A（x1，y1）、B（x2，y2）由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0．由韦达定理有：，，①假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），点P在椭圆上，即．整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得∴，x1+x2=，即当；当【点评】本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点．。
2009年高考文科数学试题(全国卷1、2卷)
AD P βlαO CB 2009年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修+选修Ⅰ）（全国Ⅰ卷）第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题1．sin 585︒的值为A．2- B．2 C．2- D．22．设集合{}{}4,5,7,9,3,4,7,8,9A B ==，全集U AB =，则集合()UC A B I 中的元素共有A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个3．不等式111x x +<-的解集为A ．{}{}011x x x x <<>B ．{}01x x <<C ． {}10x x -<<D ．{}0x x <4．已知1tan 4,cot 3αβ==，则 tan()αβ+=A ．711B ．711-C ．713D ． 713-5．设双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的渐近线与抛物线21y x ＝＋相切，则该双曲线的离心率等于AB ．2C D6．已知函数()f x 的反函数为()1g x =+2lg (0)x x >，则=+)1()1(g fA ．0B ．1C ．2D ．47．甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有A ．150种B ．180种C ．300种D ．345种 8．设非零向量设a,b,c 满足||||||==a b c ，+=a b c ，则,<>=a bA ．150°B ．120°C ．60°D ．30°9．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为A ．4 B． 4 C．4D ．3410．如果函数3cos(2)y x ϕ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么ϕ的最小值为A ．6π B ． 4π C ．3π D ． 2π 11．已知二面角l αβ--为60o，动点,P Q 分别在面,αβ内，P 到β的距离为Q 到α的距离为则,P Q 两点之间距离的最小值为A ．1B ．2C ．D ．412．已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ．若3FA FB =,则AF =AB ．2CD ． 3第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 13．10()x y -的展开式中，73x y 的系数与37x y 的系数之和等于__________.S A M D B C14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若972S =，则249a a a ++=_______.15．已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于_____________.16．若直线m 被两平行线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，公比是正数的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ． 已知1133331,3,17,12a b a b T S ==+=-=，求{},{}n n a b 的通项公式．18．(本小题满分12分)在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ．已知222a c b -=，且 sin 4cos sin B A C =，求b ．19．(本小题满分12分)如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD，AD 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，60ABM ∠=︒．（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点；（II ）求二面角S AM B --的大小．20．（本小题满分12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率； （Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率． 21．（本小题满分12分） 已知函数42()36f x x x =-+． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设点P 在曲线()y f x =上，若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点，求l 的方程． 22．（本小题满分12分） 如图，已知抛物线E ：2y x =与圆M ：222(4)(0)x y r r -+=>相交于A ，B ，C ，D 四个点．（I ）求r 得取值范围；（II ）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC ，BD 的交点P 坐标．2009年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国Ⅱ卷） 第Ⅰ卷(选择题 共60分)1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{1,3,5,7}M =，{5,6,7}N =，则 U C MN =（） A ．{5,7} B ．{2,4} C ．{2,4,8} D ．{1,3,5,7}2．函数0)y x =≤的反函数是 A ．2(0)y x x =≥ B ．2(0)y x x =-≥ C ．2(0)y x x =≤ D ．2(0)y x x =-≤ 3．函数22log 2xy x-=+的图像 A ．关于原点对称B ．关于直线y x =-对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y x =对称 4．已知ABC ∆中，12cot 5A =-，则 cos A =A ．1213B ．513C ．513-D ．1213-5．已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成角的余弦值为AB ．15 CD ．356．已知向量(2,1)=a ，·10=a b ，||+=a b 则=bABC ．5D ．25 7．2lg ,(lg ),a e b e c ===A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>8．双曲线22163x y -=的渐近线与圆222(3)(0)x y r r -+=>相切，则r =AB ．2C ．3D ．69．若将函数tan()(0)4y x πωω=+＞的图像向右平移6π个单位长度后，与函数 tan()6y x πω=+的图像重合，则ω的最小值为 A ．16 B ． 14 C ．13 D ．1210．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有A ．6种B ．12种C ．30种D ．36种 11．．已知直线(2)(0)y k x k =+＞与抛物线C ：28y x =相交于,A B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则k= A ．13 BC ．23D ．12．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、 东、南、西、北， 现在沿该正方体 的一些棱将正方 体剪开、外面朝 上展平，得到右 侧的平面图形，则标∆“”的面的方位是A ．南B ．北C ．西D ．东第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． (注意：在试题卷上作答无效)13．设等比数列{}n a 的前n 项和为n s .若1631,4a S S ==，则4a = ．14．4(的展开式中33x y 的系数为 ．15．已知圆O ：225x y +=和点(1,2)A ，过点(1,2)A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ． 16．设OA 是球O 的半径,M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45角的平面截球OC C B 1的表面得到圆C .若圆C 的面积等于74π，则球O 的表面积等于 ． 三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)等差数列{}n a 中，3716a a =-，46a a +0=，求数列{}n a 的前n 项和S n ．18．(本小题满分12分) 设ABC ∆中，内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，23cos()cos ,2A CB b ac -+==，求B ．19．本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C - 中，A B A C ⊥，,D E 分别为11,AA B C 的中点，DE ⊥平面1BCC ．（Ⅰ）证明：AB AC =； （Ⅱ）设二面角A BD C --为600，求1B C 与平面BCD 所成角的大小．20．（本小题满分12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．先采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组个抽取的人数； （Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．21.（本小题满分12分）设函数321()(1)4243f x x a x ax a =-+++，其中常数1a >．(Ⅰ)讨论()f x 的单调性；(Ⅱ)若当0x ≥时，()0f x >恒成立，求a的取值范围． 22．（本小题满分12分）已知椭圆C ：()22220x y a b a b >>＋＝1的离心率为3，过右焦点F 的直线l与C相交于,A B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为2． (Ⅰ) 求,a b 的值；(Ⅱ) C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB ＝＋成立？ 若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由．。
2009年高考湖北数学(文)试题及参考答案(估分)-中大网校
2009年高考湖北数学(文)试题及参考答案(估分)
总分：150分及格：90分考试时间：120分
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
答案和解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
(1) :B
(2) :D
(3) :A
(4) :C
(5) :C
(6) :A
(7) :D
(8) :B
(9) :B
(10) :C
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写。
(1) :
40(2) :
(3) :
(4) :
4(5) :
三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤。
(1) :
(2) :
(3) :
(4) :
(5) :
(6) :。
2009年湖北省高考数学试卷（文科）
2009年湖北省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2009•湖北）若向量=（1，1），=（﹣1，1），=（4，2），则=（）A．3+B．3﹣C．﹣+3D．+32．（5分）（2009•湖北）函数的反函数是（的反函数是（ ）A．B．C．D．3．（5分）（2009•湖北）“sinα=”是“”的（的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件．既不充分也不必要条件4．（5分）（2009•湖北）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ）共有（A．40种B．60种C．100种D．120种5．（5分）（2009•湖北）湖北）已知双曲线已知双曲线的准线经过椭圆（b＞0）的焦点，则b=（）A．3 B．C．D．6．（5分）（2009•湖北）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，∠ACC1=60°，，则该三棱柱的高等于（ ）∠BCC1=45°，侧棱CC1的长为1，则该三棱柱的高等于（A．B．C．D．7．（5分）（2009•湖北）函数y=cos（2x+）﹣2的图象F按向量平移到Fʹ，Fʹ的函数解可以等于（ ）析式为y=f（x），当y=f（x）为奇函数时，向量a可以等于（A．（，﹣2）B．（，2）C．（，﹣2）D．（，2）{} ]（=．，三人中至少有一人没有达标的概率是，三人中至少有一人没有达标的概率是．B={x|B=．的长为 ．的长为．a=2csinA c=，且的面积为，求19．（13分）（2009•湖北）如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线l作垂线，垂足分别为M1、N1（1）求证：FM1⊥FN1；（2）记△FMM1、△FM1N1，△FNN1的面积分别为S1、S2、S3，试判断S22=4S1S3是否成立，并证明你的结论．立，并证明你的结论．20．（14分）（2009•湖北）已知关于x的函数f（x）=﹣x3+bx2+cx+bc，其导函数为fʹ（x）．令g（x）=|fʹ（x）|，记函数g（x）在区间[﹣1、1]上的最大值为M．的值：（Ⅰ）如果函数f（x）在x=1处有极值﹣，试确定b、c的值：（Ⅱ）若|b|＞1，证明对任意的c，都有M＞2 的最大值．（Ⅲ）若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值．湖北）若向量===，则+3﹣+3+3=λ，由，由 =解：设 λ+=，的反函数是（的反函数是（．．的反函数．的反函数．解：3．（5分）（2009•湖北）“sin α=”是“”的（的（ ）A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件．必要而不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件．既不充分也不必要条件 【考点】二倍角的余弦．【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简cos2α=，得到sin α的值等于两个值，得到“sin α=”是“”的充分不必要条件即可．的充分不必要条件即可．【解答】解：由可得1﹣2sin 2α=，即sin 2α=，∴sin α=±，故是成立的充分不必要条件，成立的充分不必要条件，故选A ．【点评】此题考查学生掌握充分及必要条件的证明方法，灵活意义二倍角的余弦函数公式化简求值，是一道基础题．简求值，是一道基础题． 4．（5分）（2009•湖北）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（共有（ ） A ．40种 B ．60种 C ．100种 D ．120种 【考点】排列、组合的实际应用． 【专题】计算题．计算题．【分析】分2步进行，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，人中抽出两人在星期五参加活动，再从剩下的再从剩下的3人中，人中，抽取抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，分别计算其情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，有C 52种情况，种情况，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有A 32种情况，种情况，则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有C 52A 32=60种，种， 故选B ．【点评】本题考查排列、本题考查排列、组合的综合运用，注意优先分析特殊的元素，组合的综合运用，注意优先分析特殊的元素，组合的综合运用，注意优先分析特殊的元素，同时需要区分排列与同时需要区分排列与组合的意义．组合的意义．5．（5分）（2009•湖北）湖北）已知双曲线已知双曲线的准线经过椭圆（b ＞0）的焦点，则b=（ ）A ．3 B ．C ．D ．【考点】椭圆的标准方程；圆锥曲线的综合． 【专题】计算题．计算题．【分析】先根据双曲线的方程求得双曲线的准线方程，先根据双曲线的方程求得双曲线的准线方程，根据椭圆的方程求得焦点，根据椭圆的方程求得焦点，根据椭圆的方程求得焦点，代入双曲代入双曲线的准线方程求得b ．【解答】解：依题意可得双曲线的准线为，又因为椭圆焦点为所以有．即b 2=3故b=．故选C ．【点评】本题主要考查了椭圆和双曲线的简单性质，本题主要考查了椭圆和双曲线的简单性质，椭圆的标准方程．椭圆的标准方程．椭圆的标准方程．考查了学生对圆锥曲考查了学生对圆锥曲线基础知识的掌握．线基础知识的掌握．6．（5分）（2009•湖北）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，∠ACC 1=60°，∠BCC 1=45°，侧棱CC 1的长为1，则该三棱柱的高等于（，则该三棱柱的高等于（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】棱柱的结构特征． 【专题】计算题；作图题．计算题；作图题．【分析】过C 1作面ACB 、线BC 、AC 的垂线，交点分别为O ，D ，E ，连接OD 、OC 、OE ，推出四边形OECD 为矩形，求出OC ，然后求出该三棱柱的高．，然后求出该三棱柱的高．【解答】解：过C 1作面ACB 、线BC 、AC 的垂线，交点分别为O ，D ，E ，连接OD 、OC 、OE ，可知OE ⊥AC ，OD ⊥BE ，又因为∠ACB=90°，所以四边形OECD 为矩形．为矩形．∠ACC 1=60°，则CE=CC 1=，同理CD= 在直角三角形OCD 中，由勾股定理得中，由勾股定理得 OC=，在直角三角形COC 1中0C 1==故选A ．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查作图和计算能力，是基础题．本题考查棱柱的结构特征，考查作图和计算能力，是基础题．7．（5分）（2009•湖北）函数y=cos（2x+）﹣2的图象F按向量平移到Fʹ，Fʹ的函数解可以等于（ ）析式为y=f（x），当y=f（x）为奇函数时，向量a可以等于（A．（，﹣2）B．（，2）C．（，﹣2）D．（，2）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；余弦函数的奇偶性．计算题．【专题】计算题．【分析】由左加右减上加下减的原则可确定函数y=cos（2x+）﹣2到y=﹣sin2x的路线，进而确定向量．【解答】解：：∵y=cos（2x+）﹣2∴将函数y=cos（2x+）﹣2向左平移个单位，再向上平移2个单位可得到y=cos（2x+）=﹣sin2x ∴=（，2）故选B．【点评】本题是基础题，考查三角函数图象平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意向量的平移的方向．减．注意向量的平移的方向．8．（5分）（2009•湖北）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（ ）花的最少运输费用为（A．2000元B．2200元C．2400元D．2800元【考点】简单线性规划的应用．计算题；压轴题；数形结合．【专题】计算题；压轴题；数形结合．【分析】根据题中的叙述将实际问题转化为不等式中的线性规划问题，利用线性规划确定最值【解答】解：设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，元，根据题意，得线性约束条件求线性目标函数z=400x+300y的最小值．的最小值．解得当时，z min=2200．故选B．【点评】在确定取得最大值、最小值时，应注意实际问题的意义，整数最优解．在确定取得最大值、最小值时，应注意实际问题的意义，整数最优解．9．（5分）（2009•湖北）设x ∈R ，记不超过x 的最大整数为[x ]，令{x}=x ﹣[x ]，则{}，[]，（ ）A ．是等差数列但不是等比数列．是等差数列但不是等比数列B ．是等比数列但不是等差数列．是等比数列但不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列．既不是等差数列也不是等比数列【考点】等差关系的确定；等比关系的确定． 【专题】计算题；压轴题．计算题；压轴题． 【分析】可分别求得，．则等比数列性质易得三者构成等比数列．数列．【解答】解：根据题意可得，．∵×=12，+≠2 ∴{}，[]，为等比数列，不是等差数列为等比数列，不是等差数列故选B ．【点评】本题主要考查了等差关系和等比关系的判定．本题主要考查了等差关系和等比关系的判定．定义法之外，定义法之外，也可利用等差中项和等比中项的性质来判断．比中项的性质来判断． 10．（5分）（2009•湖北）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：湖北）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：，又由40．0.24，三人中至少有一人没有达标的概率是，三人中至少有一人没有达标的概率是0.76．【解答】解：设甲、乙、丙三人达标为依次为事件A 、B 、C ，三个事件相互独立，且则P （A ）=0.8，P （B ）=0.6，P （C ）=0.5，三人均达标，即ABC 同时发生，故其概率为P 1=0.8×0.6×0.5=0.24， 三人中至少有一人没有达标，其对立事件为三人全部达标；三人中至少有一人没有达标，其对立事件为三人全部达标；由互为对立事件的概率性质，可得三人中至少有一人达标为1﹣0.24=0.76； 故答案为0.24；0.76．【点评】本题考查相互独立事件的概率的计算，注意首先认真审题，认清事件之间的关系，出现至少或最多一类的词语时，要运用对立事件进行分析．出现至少或最多一类的词语时，要运用对立事件进行分析．13．（5分）（2009•湖北）设集合A={x|log 2x ＜1}，B={x|＜0}，则A ∩B= {x|0＜x ＜1} ．【考点】交集及其运算；对数函数的定义域． 【专题】集合．集合．【分析】把集合A 中的1变为log 22，然后利用对数函数的定义域和对数函数为增函数即可求出x 的范围即可得到集合A ；由集合B 中的不等式得到x ﹣1与x+2异号，列出不等式求出解集即可得到集合B ，然后求出A 与B 的交集即可．的交集即可． 【解答】解：由已知，集合A 中的不等式log 2x ＜1=log 22，由2＞1得到对数函数为增函数及对数函数的定义域为：x ＞0得到：0＜x ＜2；而集合B 中的不等式＜0可化为或，解得﹣2＜x ＜1，则A={x|0＜x ＜2}，B={x|﹣2＜x ＜1}，所以A ∩B={x|0＜x ＜1}．故答案为：{x|0＜x ＜1}． 【点评】本题考查学生会求对数函数的定义域以及灵活运用对数函数的增减性解决实际问题，理解不等式＜0 与不等式（x ﹣a ）（x ﹣b ）＜0同解，掌握交集的定义并会进行交集的运算．同解，掌握交集的定义并会进行交集的运算．14．（5分）（2009•湖北）过原点O 作圆x 2+y 2﹣6x ﹣8y+20=0的两条切线，设切点分别为P 、Q ，则线段PQ 的长为的长为 4 ．【考点】直线和圆的方程的应用． 【专题】压轴题；数形结合．压轴题；数形结合．【分析】如图：先求出圆心坐标和半径，直角三角形中使用边角关系求出cos α，二倍角公式求出cos ∠PO 1Q ，三角形PO 1Q 中，中， 用余弦定理求出|PQ|．【解答】解：圆x 2+y 2﹣6x ﹣8y+20=0 可化为可化为 （x ﹣3）2+（y ﹣4）2 =5， 圆心（3，4）到原点的距离为5．故cos α=，∴cos ∠PO 1Q=2cos 2α﹣1=﹣， ∴|PQ|2=（）2+（）2+2×（）2×=16．∴|PQ|=4．故答案为：4．，计算频数即得．=a=2csinA c=，且的面积为，求（2）先利用面积公式求得ab 的值，进而利用余弦定理求得a 2+b 2﹣ab ，最后联立变形求得a+b 的值．的值． 【解答】解：（1）由及正弦定理得：，∵sinA ≠0，∴ 在锐角△ABC 中，． （2）∵，，由面积公式得，即ab=6①由余弦定理得，即a 22+b 22﹣ab=7②由②变形得（a+b ）2=25，故a+b=5． 【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．对于这两个定理的基本公式和变形公式应熟练记忆，并能灵活运用．式应熟练记忆，并能灵活运用．17．（12分）（2009•湖北）围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：米）．（1）将修建围墙的总费用y 表示成x 的函数；的函数； （2）当x 为何值时，修建此矩形场地围墙的总费用最小？并求出最小总费用．为何值时，修建此矩形场地围墙的总费用最小？并求出最小总费用．【考点】函数模型的选择与应用． 【专题】应用题．应用题．【分析】（1）设矩形的另一边长为am ，则根据围建的矩形场地的面积为360m 2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，我们即可得到修建围墙的总费用y 表示成x 的函数的解析式；的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x 值．值． 【解答】解：（Ⅰ）设矩形的另一边长为am ， 则y=45x+180（x ﹣2）+180•2a=225x+360a ﹣360． 由已知ax=360，得，所以．（II）因为x＞0，所以，时，等号成立．所以，当且仅当时，等号成立．元．即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．17．（12分）（2009•湖北）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤1）．（1）求证：对任意的λ∈（0，1]，都有AC⊥BE；的值．（2）若二面角C﹣AE﹣D的大小为60°，求λ的值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】计算题；证明题．计算题；证明题．【分析】（1）以D为原点，DA，DC，DS的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立空间直无关即可； 角坐标系，分别求出，的坐标，计算向量的数量积，只要说明数量积与λ无关即可；（2）分别求出平面ADE与平面ACE的一个法向量，利用二面角C﹣AE﹣D的大小为60°的值即可．建立两法向量的关系式，求出λ的值即可．【解答】解：以D为原点，DA，DC，DS的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），E（0，0，λa），（1）证明：∵=（﹣a，a，0），=（﹣a，﹣a，λa），=（a，0，﹣λa），=（0，a，﹣λa）．∴•=（﹣a，a，0）•（﹣a，﹣a，λa）=a2﹣a2+0•λa=0，即对任意的λ∈（0，1]，都有AC⊥BE．（2）=（0，a，0）为平面ADE的一个法向量．的一个法向量．设平面ACE的一个法向量为n=（x，y，z），则n⊥E，n⊥E，∴即取z=1，得n=（λ，λ，1）． ∴cos60°═⇔=2|λ|．由λ∈（0，1]，解得λ=．【点评】本题主要考查了二面角及其度量，本题主要考查了二面角及其度量，以及空间中直线与直线之间的位置关系，以及空间中直线与直线之间的位置关系，以及空间中直线与直线之间的位置关系，属于基属于基础题．础题．18．（12分）（2009•湖北）已知数列{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6=55，a 2+a 7=16 （1）求数列{a n }的通项公式；的通项公式； （2）数列{a n }和数列{b n }满足等式a n =（n ∈N *），求数列{b n }的前n 项和S n ．【考点】等差数列的通项公式；数列的求和． 【专题】计算题．计算题． 【分析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，分别表示出a 2a 6=55，a 2+a 7=16联立方程求得d和a 1进而根据等差数列通项公式求得a n ． （2）令c n =，则有a n =c 1+c 2+…+c n ，a n+1=c 1+c 2+…+c n+1两式相减得c n+1等于常数2，进而可得b n ，进而根据b 1=2a 1求得b 1则数列{b n }通项公式可得，进而根据从第二项开始按等比数列求和公式求和再加上b 1． 【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ， 则依题意可知d ＞0由a 2+a 7=16， 得2a 1+7d=16①由a 3a 6=55，得（a 1+2d ）（a 1+5d ）=55② 由①②联立方程求得联立方程求得 得d=2，a 1=1或d=﹣2，a 1=（排除）（排除）∴a n =1+（n ﹣1）•2=2n ﹣1 （2）令c n =，则有a n =c 1+c 2+…+c na n+1=c 1+c 2+…+c n+1 两式相减得两式相减得a n+1﹣a n =c n+1，由（1）得a 1=1，a n+1﹣a n =2 ∴c n+1=2，即c n =2（n ≥2）， 即当n ≥2时，时，b n =2n+1，又当n=1时，b 1=2a 1=2 ∴b n =于是S n =b 1+b 2+b 3+…+b n =2+23+24+ (2)n+1=2n+2﹣6，n ≥2，．【点评】本题主要考查等差数列的性质和等比数列的性质．考查了对数列问题的综合把握．19．（13分）（2009•湖北）如图，过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F 的直线与抛物线相交于M 、N 两点，自M 、N 向准线l 作垂线，垂足分别为M 1、N 1 （1）求证：FM 1⊥FN 1；（2）记△FMM 1、△FM 1N 1，△FNN 1的面积分别为S 1、S 2、S 3，试判断S 22=4S 1S 3是否成立，并证明你的结论．立，并证明你的结论．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】计算题；证明题；压轴题．计算题；证明题；压轴题． 【分析】（1）由抛物线的定义得|MF|=|MM 1|，|NF|=|NN 1|，所以∠MFM 1=∠MM 1F ，∠NFN 1=∠NN 1F ，由此可知FM 1⊥FN 1．（2）S 22=4S 1S 3成立，证明如下：设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则由抛物线的定义得|MM 1|=|MF|=，|NN 1|=|NF|=，由此入手能够推导出S 22=4S 1S 3成立．成立．【解答】（1）证明：由抛物线的定义得）证明：由抛物线的定义得 |MF|=|MM 1|，|NF|=|NN 1|，∴∠MFM 1=∠MM 1F ，∠NFN 1=∠NN 1F 如图，设准线l 与x 的交点为F 1 ∴MM 1∥NN 1∥FF 1∴∠F1FM1=∠MM1F，∠F1FN1=∠NN1F 而∠F1FM1+∠MFM1+∠F1FN1+∠N1FN=180°即2∠F1FM1+2∠F1FN1=180°∴∠F1FM1+∠F1FN1=90°故FM1⊥FN1．（2）S22=4S1S3成立，证明如下：成立，证明如下：证：设M（x1，y1），N（x2，y2）则由抛物线的定义得则由抛物线的定义得|MM1|=|MF|=，|NN1|=|NF|=，于是于是S1=|MM1||F1M1|=，S2=|M1N2||FF1|=，S3=|NN1||F1N1|=，∵S22=4S1S3⇔•⇔=，将与代入上式，代入上式，得：=[（my1+）（my2+）+（）+]•|﹣p2| 化简可得化简可得p2（m2p2+p2）=p2（m2p2+p2），此式恒成立．，此式恒成立．故S22=4S1S3成立．成立．【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答． 20．（14分）（2009•湖北）已知关于x的函数f（x）=﹣x3+bx2+cx+bc，其导函数为fʹ（x）．令g（x）=|fʹ（x）|，记函数g（x）在区间[﹣1、1]上的最大值为M．（Ⅰ）如果函数f（x）在x=1处有极值﹣，试确定b、c的值：的值：（Ⅱ）若|b|＞1，证明对任意的c，都有M＞2 （Ⅲ）若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值．的最大值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题；压轴题；分类讨论．综合题；压轴题；分类讨论．【分析】（Ⅰ）对函数求导，由题意可得，代入可求b，c，代入验证，找出符合条件的值．符合条件的值．（Ⅱ）（法1）代入整理g（x）=||﹣（x﹣b）2+b2+c|，结合|b|＞1的条件判断函数fʹ（x）的从而求出该函数在[﹣1，1]上的最大值M，则M≥fʹ（1），的位置关系，从而求出该函数在对称轴与区间[﹣1，1]的位置关系，M≥fʹ（﹣1），可证，可证（法2）利用反证法：假设M＜2，由（1）可知M应是g（﹣1）和g（1）中较大的一个，则有，代入课产生矛盾．，代入课产生矛盾．的最小值（Ⅲ）（法1）M≥k恒成立⇔k≤M min，转化为求M的最小值）讨论当|b|＞1，结合（II）讨论|b|≤1两只情况讨论，此时M=max{g（﹣1），g（1），g（b）}，结合条件推理论证．，结合条件推理论证．（法2）仿照法1，利用二次函数在区间[﹣1，1]的图象及性质求出M={g（﹣1），g（1），g 的最小值，（b）}，求出M的最小值，【解答】（Ⅰ）解：∵f'（x）=﹣x2+2bx+c，由f（x）在x=1处有极值可得解得，或）没有极值；若b=1，c=﹣1，则f'（x）=﹣x2+2x﹣1=﹣（x﹣1）2≤0，此时f（x）没有极值；若b=﹣1，c=3，则f'（x）=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+3）（x﹣1）当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表：）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣3）﹣3 （﹣3，1）1（1，+∞）f'（x）﹣0 + 0 ﹣↘f（x）↘极小值﹣12 ↗极大值即为所求．∴当x=1时，f（x）有极大值，故b=﹣1，c=3即为所求．（Ⅱ）证法1：g（x）=|f'（x）|=|﹣（x﹣b）2+b2+c| 之外．当|b|＞1时，函数y=f'（x）的对称轴x=b位于区间[﹣1.1]之外．∴f'（x）在[﹣1，1]上的最值在两端点处取得上的最值在两端点处取得）中较大的一个，故M应是g（﹣1）和g（1）中较大的一个，∴2M≥g（1）+g（﹣1）=|﹣1+2b+c|+|﹣1﹣2b+c|≥|4b|＞4，即M＞2 之外， 证法2（反证法）：因为|b|＞1，所以函数y=f'（x）的对称轴x=b位于区间[﹣1，1]之外，∴f'（x）在[﹣1，1]上的最值在两端点处取得．上的最值在两端点处取得．）中较大的一个故M应是g（﹣1）和g（1）中较大的一个假设M≤2，则M=maxg{（﹣1），g（1），g（b）} 将上述两式相加得：4≥|﹣1﹣2b+c|+|﹣1+2b+c|≥4|b|＞4，导致矛盾，∴M ＞2 （Ⅲ）解法1：g （x ）=|f'（x ）|=|﹣（x ﹣b ）2+b 2+c| （1）当|b|＞1时，由（Ⅱ）可知f'（b ）﹣f'（±1）=b （∓1）2≥0； （2）当|b|≤1时，函数y=f'（x ）的对称轴x=b 位于区间[﹣1，1]内，内， 此时M=max{g （﹣1），g （1），g （b ）} 由f'（1）﹣f'（﹣1）=4b ，有f'（b ）﹣f'（±1）=b （∓1）2≥0 ①若﹣1≤b ≤0，则f'（1）≤f'（﹣1）≤f'（b ），∴g （﹣1）≤max{g （1），g （b ）}， 于是②若0＜b ≤1，则f'（﹣1）≤f'（1）≤f'（b ），∴g （1）≤maxg （﹣1），g （b ） 于是综上，对任意的b 、c 都有而当时，在区间[﹣1，1]上的最小值故M ≥k 对任意的b 、c 恒成立的k 的最大值为． 解法2：g （x ）=|f'（x ）|=|﹣（x ﹣b ）2+b 2+c| （1）当|b|＞1时，由（Ⅱ）可知M ＞2 （2）当|b|≤1 y=f'（x ）时，函数的对称轴x=b 位于区间[﹣1，1]内，内， 此时M=max{g （﹣1），g （1），g （b ）} 4M ≥g （﹣1）+g （1）+2g （b ）=|﹣1﹣2b+c|+|﹣1+2b+c|+2|b 2+c|≥|﹣1﹣2b+c+（﹣1+2b+c ）﹣2（b 2+c ）|=|2b 2+2|≥2，即下同解法1 【点评】本小题主要考查函数、本小题主要考查函数、函数的导数和不等式等基础知识，函数的导数和不等式等基础知识，函数的导数和不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进考查综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类类讨论的思想．行推理论证的能力和分类类讨论的思想．参与本试卷答题和审题的老师有：caoqz；qiss；sllwyn；danbo7801；wsj1012；blue；zhwsd；394782；yhx01248；翔宇老师；minqi5；zlzhan；吕静（排名不分先后）；吕静（排名不分先后）菁优网2016年6月8日考点卡片1．交集及其运算【知识点的认识】【知识点的认识】由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫做A 与B 的交集，记作A ∩B ． 符号语言：A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}．A ∩B 实际理解为：x 是A 且是B 中的相同的所有元素．中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集． 运算形状：运算形状：①A ∩B=B ∩A ．②A ∩∅=∅．③A ∩A=A ．④A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B ．⑤A ∩B=A ⇔A ⊆B ．⑥A ∩B=∅，两个集合没有相同元素．⑦A ∩（CUA ）=∅．⑧CU （A ∩B ）=（CUA ）∪（CUB ）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．的单调性等联合命题．2．对数函数的定义域【知识点归纳】【知识点归纳】 一般地，我们把函数y=log a x （a ＞0，且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R ．3．反函数【知识点归纳】【知识点归纳】【定义】一般地，设函数y=f （x ）（x ∈A ）的值域是C ，根据这个函数中x ，y 的关系，用y 把x 表示出，得到x=g （y ）．若对于y 在中的任何一个值，通过x=g （y ），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=g （y ）就表示y 是自变量，x 是因变量是y 的函数，这样的函数y=g （x ）（x ∈C ）叫做函数y=f （x ）（x ∈A ）的反函数，记作y=f（﹣1）（x ） 反函数y=f （﹣1）（x ）的定义域、值域分别是函数y=f （x ）的值域、定义域．）的值域、定义域．【性质】【性质】反函数其实就是y=f （x ）中，x 和y 互换了角色互换了角色（1）函数f （x ）与他的反函数f ﹣1（x ）图象关于直线y=x 对称；函数及其反函数的图形关于直线y=x 对称对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f （x ），定义域是{0} 且 f （x ）=C （其中C 是常数），则函数f （x ）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y 轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．看实际问题，是学习函数的重要内容．整体特征，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，求出具体的函数表达式，（）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．【典型例题分析】【典型例题分析】典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）A ．y=0.025x B ．y=1.003x C ．y=l+log 7x D ．y=x 2分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x ∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y ≤x •25%，然后一一验证即可．，然后一一验证即可．解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x ∈[10，1000]时，时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y ≤x •25%=x ，A 中，函数y=0.025x ，易知满足①，但当x ＞200时，y ＞5不满足公司要求；不满足公司要求；B 中，函数y=1.003x ，易知满足①，但当x ＞600时，y ＞5不满足公司要求；不满足公司要求；C 中，函数y=l+log 7x ，易知满足①，当x=1000时，y 取最大值l+log 71000=4﹣lg7＜5，且l+log 7x ≤x 恒成立，故满足公司要求；恒成立，故满足公司要求；D 中，函数y=x 2，易知满足①，当x=400时，y ＞5不满足公司要求；不满足公司要求； 故选C 点评：点评：本题以实际问题为载体，本题以实际问题为载体，本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．一一验证．典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x 万件与年促销t 万元之间满足关系式3﹣x=（k 为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：之和，试求： （1）2015年的利润y （万元）关于促销费t （万元）的函数；（万元）的函数；（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润=销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本=固定费用+生产费用）生产费用），x=，y==）因为，即（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点．点．2、极值的性质：、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：）是极大、极小值的方法：若x0满足fʹ（x0）=0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果fʹ（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果fʹ（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．极小值．4、求函数f（x）的极值的步骤：）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数fʹ（x）；（2）求方程fʹ（x）=0的根；的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查fʹ（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．）在这个根处无极值．【解题方法点拨】【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．点也可能是极值点，也可能不是极值点．。
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2009年普通高校招生统一考试（湖北卷）
一、选择题：
1.若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c= A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b
2.函数)2
1
,(2121-≠∈+-=x R x x x y 且的反函数是 A.)2
1,(2121≠∈-+=x R x x x y 且 B.)2
1
,(2121-≠∈+-=x R x x x y 且 C.)1,()
1(21≠∈-+=x R x x x
y 且
D.)1,()
1(21-≠∈+-=
x R x x x
y 且
3.“sin α=
21”是“2
1
2cos =α”的 A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有 A.120种 B.96种 C.60种 D.48种
5.已知双曲线141222
2
222=+=-b y x y x 的准线经过椭圆（b ＞0）的焦点，则b=
A.3
B.5
C.3
D.2
6.如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ACB=900
,∠ACC 1=600
,∠BCC 1=450
,侧棱CC 1的长为1，则该三
棱柱的高等于 A.
2
1
B.22
C.23
D.
3
3 7.函数2)6
2cos(-+=π
x y 的图像F 按向量a 平移到F /，F /的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，
向量a 可以等于 A.)2,6
(-π
B.)2,6
(π
C.)2,6
(--π
D.)2,6
(π-
8.在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2800元
9.设,R x ∈记不超过x 的最大整数为[x ],令{x }=x -[x ]，则{
215+}，[215+],2
1
5+ A.是等差数列但不是等比数列
B.是等比数列但不是等差数列
C.既是等差数列又是等比数列
D.既不是等差数列也不是等比数列
10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。
下列数中及时三角形数又是正方形数的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
请将答案填在答题卡对应题号的位置
上，一题两空的题，其答案按先后次序填写。
11 . 已知（1+ax ）3,=1+10x+bx 3+…+a 3x3,则b= .
12. 甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标
的概率是 ，三人中至少有一人达标的概率是 。
13. 设集合A=(x ∣log 2x<1), B=(X ∣
2
1
+-X X <1), 则A B = . 14. 过原点O 作圆x 2+y 2-
－6x －8y ＋20=0的两条切线，设切点分别为P 、Q ，则线段PQ 的长
为 。
15. 下图是样本容量为200的频率分布直方图。
-
根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在【6，10】内的频数为 ，数据落在（2，10）内的概率约为 。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且A c a sin 23= (Ⅰ)确定角C 的大小：
（Ⅱ）若c ＝7,且△ABC 的面积为
2
33,求a ＋b 的值。
17. （本小题满分12分）
围建一个面积为360m 2
的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。
（Ⅰ）将y 表示为x 的函数：
（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。
18. （本小题满分12分）
如图，四棱锥S ＝ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD,SD ＝AD ＝a,点E 是SD 上的点，且DE ＝λa(0<λ≦1).
(Ⅰ)求证：对任意的λ∈（0、1），都有AC ⊥BE:
(Ⅱ)若二面角C-AE-D 的大小为600
C ，求λ的值。
19.（本小题满分12分）
已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6
＝55, a 2+a 7＝16.
(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式： （Ⅱ）若数列{a n }和数列{b n }满足等式：a n ＝＝
)(2
...222n 33221为正整数n b b b b n +++，求数列{b n }的前n 项和S n
20.（本小题满分13分）
如图，过抛物线y 2
＝2PX(P>0)的焦点F 的直线与抛物线相交于M 、N 两点，自M 、N 向准线L 作垂线，垂足分别为M 1、N 1 (Ⅰ)求证：FM 1⊥FN 1:
(Ⅱ)记△FMM 1、、△FM 1N 1、△FN N 1的面积分别为S 1、、S 2、，S 3
，试
判断S 2
2＝4S 1S 3是否成立，并证明你的结论。
21.（本小题满分14分）
已知关于x 的函数f(x)＝
33
1
x ＋bx 2＋cx ＋bc,其导函数为f +
(x).令g(x)＝∣f +
(x) ∣,记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M.
(Ⅰ)如果函数f(x)在x ＝1处有极值-
3
4
，试确定b 、c 的值：
（Ⅱ）若∣b∣>1,证明对任意的c,都有M>2:
(Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。
2009年普通高校招生统一考试湖北卷
数学（文史类）试题参考答案
则2
y -45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360 由已知xa=360,得a=
x
360
, 所以y=225x+)0(3603602
x x
- (II)108003602252360225,022
=⨯≥+∴x
x x
104403603602252≥-+=∴x
x y .当且仅当225x=x 2
360时，等号成立.
即当x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.
18. 本小题主要考察空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。
（满分12分） （Ⅰ）证发1：连接BD ，由底面是正方形可得AC ⊥BD 。
SD ⊥平面ＡＢＣＤ，∴BD 是BE 在平面ABCD 上的射影， 由三垂线定理得AC ⊥BE.
(II)解法1： SD ⊥平面ABCD ，ＣＤ⊂平面ＡＢＣＤ，∴ SD ⊥CD.
又底面ＡＢＣＤ是正方形，∴ ＣD ⊥ＡD ，又ＳＤ AD=D ，∴CD ⊥平面SAD 。
过点D 在平面SAD 内做DF ⊥AE 于F ，连接CF ，则CF ⊥AE ， 故∠CFD 是二面角C-AE-D 的平面角，即∠CFD=60° 在Rt △ADE 中， AD=a , DE= a λ， AE=a 12+λ 。
于是，DF=
1
2
+=•λλa AE
DE
AD
在Rt △CDF 中，由cot 60°=
1
2
+=λλCD
DF
得
3
3
1
2=
+λλ， 即332+λ=3λ (]
1,0∈λ，
解得λ=
2
2。