专题63 构造圆与隐形圆在二次函数中的综合问题(原卷版)
二次函数与圆的综合题(中考数学必考压轴题)
二次函数与圆的综合题（中考数学压轴题必考）例1.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在左边），抛物线经过点D以AB为直径画⊙P，试判定点D与⊙P的位置关系，并证明．练习1.如图，二次函数y＝ax2﹣（a+1）x（a为常数，且0＜a＜1）的图象过原点O并与x轴交于点P；过点A（1，﹣1）的直线l垂直y轴于点B，并与二次函数的图象交于点Q，以OA为直径的⊙C交x轴于点D，连接DQ．（1）点B与⊙C的位置关系是；（2）点A是否在二次函数的图象上；（填“是”或“否”）（3）若DQ恰好为⊙C的切线，①猜想：四边形OAQD的形状是，证明你的猜想；②求二次函数的表达式．例2.如图示已知点M的坐标为（4，0），以M为圆心，以2为半径的圆交x轴于A、B，抛物线过A、B两点且与y轴交于点C．过C点作⊙M 的切线CE，求直线OE的解析式．练习2.平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴，设平行于x轴的直线交抛物线y＝﹣x2﹣x+2于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y 轴交于点C（0，2）．以AB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式．练习4.如图，抛物线y＝﹣x2+x+2．经过A、B、C三点，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C，M为抛物线的顶点，试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．练习5.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．以AB为直径作⊙M．（1）求出M的坐标并证明点C在⊙M上；（2）若P为抛物线上一动点，求出当CP与⊙M相切时P的坐标；练习6.在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C，过点C作圆的切线交x轴于点D．（1）求点C的坐标和过A，B，C三点的抛物线的析式；（2）求点D的坐标：（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．练习7.如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝n，OC＝m，⊙M与y轴相切于点C，与x轴交于A，B两点，∠ACD＝90°，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，B，C三点．（1）求证：∠OCA＝∠OBC；（2）若A（x1，0），B（x2，0），且x1，x2满足x1+x2＝5，x1•x2＝4，求点C 的坐标和抛物线的解析式；（3）若△ACD≌△ABD，在四边形ABDC内有一点P，且点P到四边形四个顶点的距离之和P A+PB+PC+PD最小，求此时距离之和的最小值及P点的坐标（用含n的式子表示）．练习8.已知二次函数y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）（1）求证：它的图象与x轴必有两个交点；（2）这条抛物线与x轴交于两点A、B（A在B左），与y轴交于点C，顶点为D，sin∠ABD＝，⊙M过A、B、C三点，求⊙M的面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使P A是⊙M的切线？若存在，求出P点的坐标，若不存在，说明理由．例3.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．练习9.已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+1的图象关于y轴对称，且抛物线过点（2，2），点P为抛物线上的动点，以点P为圆心的⊙P与x轴相切，当点P运动对，⊙P始终经过y轴上的一个定点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当⊙P的半径为时，⊙P与y轴交于M、N两点，求MN的长；（3）求定点E到直线y＝kx﹣8k的距离的最大值．练习10.已知：直线y＝﹣x﹣4分别交x、y轴于A、C两点，抛物线y＝ax2+bx （a＞0）经过A、O两点，且顶点B的纵坐标为﹣2（1）判断点B是否在直线AC上，并求该抛物线的函数关系式；（2）以点B关于x轴的对称点D为圆心，以OD为半径作⊙D，试判断直线AC与⊙D的位置关系，并说明理由；（3）若E为⊙D的优弧AO上一动点（不与A、O重合），连接AE、OE，问在抛物线上是否存在点P，使∠POA：∠AEO＝2：3？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．练习11.已知A是x轴正半轴上一个动点，以线段OA为直径作⊙B，圆心为点B，直径OA＝m，线段EF是⊙B的一条弦，EF∥x轴，点C为劣弧EF的中点，过点E作DE垂直于EF，交抛物线C1：y＝ax2+bx（a＞0）于点G，抛物线经过点O和点A．（1）求证：DG＝m；（2）拖动点A，如果抛物线C1与⊙B除点O和点A外有且只有一个交点，求b的值；（3）拖动点A，抛物线C1交⊙B于点O、E、F、A，①求证：DE＝m﹣；②直接写出FC2的值（用a，m的代数式表示）练习13.如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A．B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．（1）求∠ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3），求出抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D点，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．例4.如图1，抛物线y＝ax2+3ax（a为常数，a＜0）与x轴交于O，A两点，点B 为抛物线的顶点，点D是线段OA上的一个动点，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C，过点C作⊙P的切线交x轴于点E．（1）①求点A的坐标；②求证：CE＝DE；（2）如图2，连接AB，AC，BE，BO，当，∠CAE＝∠OBE时，①求证：AB2＝AC•BE；②求的值．练习14.如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E 四点，B为OD中点．（1）求过A，B，C三点的抛物线解析式；（2）如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2＝MN•MB时，求M点的坐标；（3）如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由．练习15.如图，二次函数与x轴的一个交点A的坐标为（﹣3，0），以点A为圆心作圆A，与该二次函数的图象相交于点B，C，点B，C的横坐标分别为﹣2，﹣5，连接AB，AC，并且满足AB⊥AC．过点B作BM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N．（1）求该二次函数的关系式；（2）经过点B作直线BD，在A点右侧与x轴交于点D，与二次函数的图象交于点E，使得∠ADB＝∠ABM，连接AE，求证：AE＝AD；（3）若直线y＝kx+1与圆A相切，请求出k的值．例5.已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）经过A（5，0），B（6，1）两点，且与y 轴交于点C．（1）求抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）的函数关系式；（2）如图1，连接AC，E为线段AC上一点且横坐标为1，⊙P是△OAE外接圆，求圆心P点的坐标；（3）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F；①点E在运动过程中四边形OEAF的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；②求出当△AEF的面积取得最大值时，点E的坐标．练习16.如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（1，0），B（﹣5，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求b，c的值．（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？求出点P的坐标及△PBC的面积最大值．若不存在，请说明理由．（3）如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O 三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．练习17.如图1，抛物线y＝+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为G，P为半圆上一动点，连接DP，点Q为PD的中点．①判断点C、D与⊙G的位置关系，并说明原因；②当点P沿半圆从点B运动到点A时，求线段AQ的最小值．练习18.如图1，二次函数y＝ax2﹣3ax+b（a、b为参数，其中a＜0）的图象与x 轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D．（1）若b＝﹣10a，求tan∠CBA的值（结果用含a的式子表示）；（2）若△ABC是等腰三角形，直线AD与y轴交于点P，且AP：DP＝2：3．求抛物线的解析式；（3）如图2，已知b＝﹣4a，E、F分别是CA和CB上的动点，且EF＝AB，若以EF为直径的圆经过点C，并交x轴于M、N两点，求MN的最大值．课后练习1.抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是介于B、C之间的抛物线上的动点（包括B、C两点），点E是△ABP 的外接圆圆心．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当P为抛物线的顶点时，求圆心E的坐标；（3）如图2，作PH⊥x轴于点H，延长PH交⊙E于点Q，当P从C点出发，沿该抛物线运动到B点，求点Q在这个运动过程中的路径长．2.如图，在正方形OABC中，AB＝4，点E是线段OA（不含端点）边上一动点，作△ABE的外接圆交AC于点D．抛物线y＝ax2﹣x+c过点O，E．（1）求证：∠BDE＝90°；（2）如图1，若抛物线恰好经过点B，求此时点D的坐标；（3）如图2，AC与BE交于点F．①请问点E在运动的过程中，CF•AD是定值吗？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由；②若，求点E坐标及a的值．。
二次函数与圆的综合完整版
二次函数与圆的综合Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】二次函数与圆的综合5．（2012?济南）如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）如答图1所示，由△AOC为等腰直角三角形，确定∠CAB=45°，从而求出其三角函数值；由圆周角定理，确定△BO1C为等腰直角三角形，从而求出半径的长度；（3）如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标，进而求出点M的坐标和线段BM的长度；点B、P、C的坐标已知，求出线段BP、BC、PC的长度；然后利用△BMN∽△BPC相似三角形比例线段关系，求出线段BN和MN的长度；最后利用两点间的距离公式，列出方程组，求出点N的坐标．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），∴，解得a=1，b=4，∴抛物线的解析式为：y=x2+4x+3．（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x2+4x+3，∵令x=0，得y=3，∴C（0，3），∴OC=OA=3，则△AOC为等腰直角三角形，∴∠CAB=45°，∴cos∠CAB=．在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC==．如答图1所示，连接O1B、O1C，由圆周角定理得：∠BO1C=2∠BAC=90°，∴△BO1C为等腰直角三角形，∴⊙O1的半径O1B=BC=．（3）抛物线y=x2+4x+3=（x+2）2﹣1，∴顶点P坐标为（﹣2，﹣1），对称轴为x=﹣2．又∵A（﹣3，0），B（﹣1，0），可知点A、B关于对称轴x=﹣2对称．如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称，∴D（﹣4，3）．又∵点M为BD中点，B（﹣1，0），∴M（，），∴BM==；在△BPC中，B（﹣1，0），P（﹣2，﹣1），C（0，3），由两点间的距离公式得：BP=，BC=，PC=．∵△BMN∽△BPC，∴，即，解得：BN=，MN=．设N（x，y），由两点间的距离公式可得：，解之得，，，∴点N的坐标为（，）或（，）．点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、圆的性质、相似三角形、勾股定理、两点间的距离公式等重要知识点，涉及的考点较多，试题难度较大．难点在于第（3）问，需要认真分析题意，确定符合条件的点N有两个，并画出草图；然后寻找线段之间的数量关系，最终正确求得点N的坐标．6．（2011?遵义）已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据A（3，0），B（4，1）两点利用待定系数法求二次函数解析式；（2）从当△PAB是以AB为直角边的直角三角形，且∠PAB=90°与当△PAB是以AB 为直角边的直角三角形，且∠PBA=90°，分别求出符合要求的答案；（3）根据当OE∥AB时，△FEO面积最小，得出OM=ME，求出即可．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，∴，解得：，∴y=x2﹣x+3；∴点C的坐标为：（0，3）；（2）假设存在，分两种情况：①当△PAB是以AB为直角边的直角三角形，且∠PAB=90°，如图1，过点B作BM⊥x轴于点M，∵A（3，0），B（4，1），∴∠BAM=45°，∴∠DAO=45°，∴AO=DO，∵A点坐标为（3，0），∴D点的坐标为：（0，3），∴直线AD解析式为：y=kx+b，将A，D分别代入得：∴0=3k+b，b=3，∴k=﹣1，∴y=﹣x+3，∴y=x2﹣x+3=﹣x+3，∴x 2﹣3x=0，解得：x=0或3，∴y=3，y=0（不合题意舍去），∴P点坐标为（0，3），∴点P、C、D重合，②当△PAB是以AB为直角边的直角三角形，且∠PBA=90°，如图2，过点B作BF⊥y轴于点F，由（1）得，FB=4，∠FBA=45°，∴∠DBF=45°，∴DF=4，∴D点坐标为：（0，5），B点坐标为：（4，1），∴直线BD解析式为：y=kx+b，将B，D分别代入得：∴1=4k+b，b=5，∴k=﹣1，∴y=﹣x+5，∴y=x2﹣x+3=﹣x+5，∴x2﹣3x﹣4=0，解得：x1=﹣1，x2=4（舍），∴y=6，∴P点坐标为（﹣1，6），∴点P的坐标为：（﹣1，6），（0，3）；（3）如图3：作EM⊥AO于M，∵直线AB的解析式为：y=x﹣3，∴tan∠OAC=1，∴∠OAC=45°，∴∠OAC=∠OAF=45°，∴AC⊥AF，∵S△FEO=OE×OF，OE最小时S△FEO最小，∵OE⊥AC时OE最小，∵AC⊥AF∴OE∥AF∴∠EOM=45°，∴MO=EM，∵E在直线CA上，∴E点坐标为（x，﹣x+3），解得：x=，∴E点坐标为（，）．点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求函数解析式，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．7．（2011?襄阳）如图，在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的⊙O'与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是⊙O'的切线，AD丄CD于点D，tan∠CAD=，抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点．（1）求证：∠CAD=∠CAB；（2）①求抛物线的解析式；②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）连接O′C，由CD是⊙O的切线，可得O′C⊥CD，则可证得O′C∥AD，又由O′A=O′C，则可证得∠CAD=∠CAB；（2）①首先证得△CAO∽△BCO，根据相似三角形的对应边成比例，可得OC2=OA?OB，又由tan∠CAO=tan∠CAD=，则可求得CO，AO，BO的长，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；②首先证得△FO′C∽△FAD，由相似三角形的对应边成比例，即可得到F的坐标，求得直线DC的解析式，然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案；（3）根据题意分别从PA∥BC与PB∥AC去分析求解即可求得答案，小心不要漏解．解答：（1）证明：连接O′C，∵CD是⊙O的切线，∴O′C⊥CD，∵AD⊥CD，∴O′C∥AD，∴∠O′CA=∠CAD，∵O′A=O′C，∴∠CAB=∠O′CA，∴∠CAD=∠CAB；（2）解：①∵AB是⊙O′的直径，∴∠ACB=90°，∵OC⊥AB，∴∠CAB=∠OCB，∴△CAO∽△BCO，∴，即OC2=OA?OB，∵tan∠CAO=tan∠CAD=，∴AO=2CO，又∵AB=10，∴OC2=2CO（10﹣2CO），∵CO＞0，∴CO=4，AO=8，BO=2，∴A（﹣8，0），B（2，0），C（0，4），∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，C三点，∴c=4，由题意得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣x+4；②设直线DC交x轴于点F，∴△AOC≌△ADC，∴AD=AO=8，∵O′C∥AD，∴△FO′C∽△FAD，∴，∴8（BF+5）=5（BF+10），∴BF=，F（，0）；设直线DC的解析式为y=kx+m，则，解得：，∴直线DC的解析式为y=﹣x+4，由y=﹣x2﹣x+4=﹣（x+3）2+得顶点E的坐标为（﹣3，），将E（﹣3，）代入直线DC的解析式y=﹣x+4中，右边=﹣×（﹣3）+4==左边，∴抛物线顶点E在直线CD上；（3）存在，P1（﹣10，﹣6），P2（10，﹣36）．①∵A（﹣8，0），C（0，4），∴过A、C两点的直线解析式为y=x+4，设过点B且与直线AC平行的直线解析式为：y=x+b，把B（2，0）代入得b=﹣1，∴直线PB的解析式为y=x﹣1，∴，解得，（舍去），∴P1（﹣10，﹣6）．②求P2的方法应为过点A作与BC平行的直线，可求出BC解析式，进而求出与之平行的直线的解析式，与求P1同法，可求出x1=﹣8，y1=0（舍去）；x2=10，y2=﹣36．∴P2的坐标（10，﹣36）．点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质，点与函数的关系，直角梯形等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．8．（2011?潍坊）如图，y关于x的二次函数y=﹣（x+m）（x﹣3m）图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点．以AB为直径作圆，圆心为C．定点E的坐标为（﹣3，0），连接ED．（m＞0）（1）写出A、B、D三点的坐标；（2）当m为何值时M点在直线ED上判定此时直线与圆的位置关系；（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；分类讨论．分析：（1）根据x轴，y轴上点的坐标特征代入即可求出A、B、D三点的坐标；（2）待定系数法先求出直线ED的解析式，再根据切线的判定得出直线与圆的位置关系；（3）分当0＜m＜3时，当m＞3时两种情况讨论求得关于m的函数．解答：解：（1）令y=0，则﹣（x+m）（x﹣3m）=0，解得x1=﹣m，x2=3m；令x=0，则y=﹣（0+m）（0﹣3m）=m．故A（﹣m，0），B（3m，0），D（0，m）．（2）设直线ED的解析式为y=kx+b，将E（﹣3，0），D（0，m）代入得：解得，k=，b=m．∴直线ED的解析式为y=mx+m．将y=﹣（x+m）（x﹣3m）化为顶点式：y=﹣（x﹣m）2+m．∴顶点M的坐标为（m，m）．代入y=mx+m得：m2=m∵m＞0，∴m=1．所以，当m=1时，M点在直线DE上．连接CD，C为AB中点，C点坐标为C（m，0）．∵OD=，OC=1，∴CD=2，D点在圆上又∵OE=3，DE2=OD2+OE2=12，EC2=16，CD2=4，∴CD2+DE2=EC2．∴∠EDC=90°∴直线ED与⊙C相切．（3）当0＜m＜3时，S△AED=AE．OD=m（3﹣m）S=﹣m2+m．当m＞3时，S△AED=AE．OD=m（m﹣3）．即S=m2_ m．S关于m的函数图象的示意图如右：点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有x轴，y轴上点的坐标特征，抛物线解析式的确定，抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．注意分析题意分情况讨论结果．9．（2011?邵阳）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A（﹣，0），点C（0，3），点B是x轴上一点（位于点A的右侧），以AB为直径的圆恰好经过点C．（1）求∠ACB的度数；（2）已知抛物线y=ax2+bx+3经过A、B两点，求抛物线的解析式；（3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形若存在，则求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角可以得到∠ACB的度数．（2）利用三角形相似求出点B的坐标，然后把A，B两点的坐标代入抛物线求出抛物线的解析式．（3）分别以OB为底边和腰求出等腰三角形中点D的坐标．解答：解：（1）∵以AB为直径的圆恰好经过点C，∴∠ACB=90°．（2）∵△AOC∽△COB，∴OC2=AO?OB，∵A（﹣，0），点C（0，3），∴，OC=3，又∵CO2=AO?OB，∴，∴OB=4，∴B（4，0）把 A、B、C三点坐标代入得．（3）①OD=DB，如图：D在OB 的中垂线上，过D作DH⊥OB，垂足是H，则H是OB中点．DH=，，∴D，②BD=BO，如图：过D作DG⊥OB，垂足是G，∴==，∵OB=4，CB=5，∴CD=BC﹣BD=BC﹣OB=5﹣4=1，∴=，∴=，=，∴OG=，DG=，∴D（，）．点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）根据圆周角的性质求出角的度数．（2）用待定系数法求出抛物线的解析式．（3）根据等腰三角形的性质确定点D的坐标．。
专题63 构造圆与隐形圆在二次函数中的综合问题(解析版)
专题63 构造圆与隐形圆在二次函数中的综合问题1、如图，在直角坐标系中，直线y=﹣13x ﹣1与x 轴，y 轴的交点分别为A 、B ，以x=﹣1为对称轴的抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴分别交于点A 、C ，直线x=﹣1与x 轴交于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）在线段AB 上是否存在一点P ，使以A ，D ，P 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）若点Q 在第三象限内，且tan△AQD=2，线段CQ 是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x 2+2x ﹣3；（2）存在；点P 坐标为（﹣1，−23）或（-65，-35）； （3）存在，CQ 最小值为√37−√52. 【解析】（1）△直线y=﹣13x ﹣1与x 轴交于A 点，△点A 坐标为（﹣3，0），又△直线x=﹣1为对称轴，△点C 坐标为（1，0），△抛物线解析式为：y=（x+3）（x ﹣1）=x 2+2x ﹣3；（2）存在；由已知，点D 坐标为（﹣1，0），点B 坐标为（0，﹣1），设点P 的坐标为（a ，﹣13a ﹣1），△当△AOB△△ADP 时，AD AO =DP OB ，即23=13a+11，解得：a=﹣1；点P 坐标为（﹣1，−23）；△当△AOB△△APD 时，过点P 作PE△x 轴于点E ，则△APE△△PED ，△PE 2=AE•ED ，△（﹣13a ﹣1）2=（a+3）（﹣a ﹣1），解得a 1=﹣3（舍去），a 2=﹣65，△点P 坐标为（﹣65，﹣35）；（3）存在，CQ 最小值为√37−√52；如图，取点F （﹣1，﹣1），过点ADF 作圆，则点E （﹣2，﹣12）为圆心，△tan△AFD=2，△弧AFD （A 、D 除外）上的点都是满足条件的Q 点，则连CE 交△E 于点Q ，则CQ 为满足条件的最小值，此时CE=√(12)2+32=√372， △△E 半径为√52，△CQ 最小值为√37−√52. 2、如图，直线y=﹣34x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．抛物线y=﹣38x 2+bx+c 经过A 、B 两点，与x 轴的另一个交点为C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是第一象限抛物线上的点，连接OP 交直线AB 于点Q ．设点P 的横坐标为m ，PQ 与OQ 的比值为y ，求y 与m 的关系式，并求出PQ 与OQ 的比值的最大值；（3）点D 是抛物线对称轴上的一动点，连接OD 、CD ，设△ODC 外接圆的圆心为M ，当sin△ODC 的值最大时，求点M 的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣38x 2+34x+3；（2）y=﹣18m 2+12m ，PQ 与OQ 的比值的最大值为12；（3）点M 的坐标为（﹣1，√3）或（﹣1，﹣√3）．【解析】（1）在y=﹣34x+3中，令y=0得x=4，令x=0得y=3，△点A （4，0）、B （0，3），把A （4，0）、B （0，3）代入y=﹣38x2+bx+c ，得：{−38×42+4b +c =0c =3，解得：{b =34c =3 ，△抛物线解析式为y=﹣38x 2+34x+3；（2）如图1，过点P 作y 轴的平行线交AB 于点E ，则△PEQ△△OBQ ，△PQ OQ =PE OB ，△PQ OQ =y 、OB=3，△y=13PE ，△P （m ，﹣38m 2+34m+3）、E （m ，﹣34m+3），则PE=（﹣38m 2+34m+3）﹣（﹣34m+3）=﹣38m 2+32m ，△y=13（﹣38m 2+32m ）=﹣18m 2+12m=﹣18（m ﹣2）2+12，△0＜m ＜3，△当m=2时，y 最大值=12，△PQ 与OQ 的比值的最大值为12；（3）如图，由抛物线y=﹣38x 2+34x+3易求C （﹣2，0），对称轴为直线x=1，△△ODC 的外心为点M ，△点M 在CO 的垂直平分线上，设CO 的垂直平分线与CO 交于点N ，连接OM 、CM 、DM ，则△ODC=12△CMO=△OMN 、MC=MO=MD ，△sin△ODC=sin△OMN=NO MO =1MO ，又MO=MD ，△当MD 取最小值时，sin△ODC 最大，此时△M 与直线x=1相切，MD=2，MN=√OM 2−ON 2=√3，△点M （﹣1，﹣√3），根据对称性，另一点（﹣1，√3）也符合题意；综上所述，点M 的坐标为（﹣1，√3）或（﹣1，﹣√3）．3、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21yax bx a与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上． （1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴； （3）已知点11(,)2P a-，(2,2)Q ．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围． 【答案】（1）点B 的坐标为1(2,)a -；（2）对称轴为直线1x =;（3）当12a ≤-时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点.【解析】解：（1）△抛物线与y 轴交于点A ，△令0x =，得1=-y a， △点A 的坐标为1(0,)a-，△点A 向右平移两个单位长度，得到点B ， △点B 的坐标为1(2,)a-； （2）△抛物线过点1(0,)A a -和点1(2,)B a-，由对称性可得，抛物线对称轴为 直线0212x +==，故对称轴为直线1x = （3）△对称轴x=1，△b -2a ，212∴=--y ax ax a ， △a ＞0时，当x=2时，12=-<y a ，当1=-y ax=0或x=2， △函数与AB 无交点；△a ＜0时，当y=2时，2122--=ax ax a， |1|++=a a x a 或|1|-+=a a x a 当|1|2++a a a 时，12-a ； △当12-a 时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点； （3）△当0a >时，则10a-<，思路引导图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A 和点P ；也不可能同时经过点B 和点Q ，所以，此时线段PQ 与抛物线没有交点.△当0a <时，则10a->. 思路引导图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A 和点P ；但当点Q 在点B 上方或与点B 重合时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，此时12,a -≤即 12a ≤- 综上所述，当12a ≤-时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点. 4、如图，抛物线y ＝ax 2+bx+6与x 轴交于点A （6，0），B （﹣1，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM 最小时，求点M 的坐标．（3）抛物线上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？若存在，有几个？并请在图中画出所有符合条件的点P ，（保留作图痕迹）；若不存在，说明理由．【答案】（1）y ＝﹣x 2+5x+6；（2）M （52，72）；（3）存在5个满足条件的P 点，尺规作图见解析【解析】解：（1）将A （6，0），B （﹣1，0）代入y ＝ax 2+bx+6，可得a ＝﹣1，b ＝5，△y ＝﹣x 2+5x+6；（2）作点C 关于对称轴x ＝52的对称点C'，连接BC'与对称轴交于点M ，根据两点之间线段最短，则CM+BM ＝C'M+BM ＝C'B 最小，△C （0，6），△C'（5，6），设直线BC'的解析式为y=kx ＋b将B （﹣1，0）和C'（5，6）代入解析式，得065k bk b =-+⎧⎨=+⎩解得：11k b =⎧⎨=⎩△直线BC'的解析式为y ＝x+1，将x ＝52代入，解得y=72△M （52，72）；（3）存在5个满足条件的P点；尺规作图如下：△若CB=CP时，以C为原点，BC的长为半径作圆，交抛物线与点P，如图1所示，此时点P有两种情况；△若BC=BP时，以B为原点，BC的长为半径作圆，交抛物线与点P，如图2所示，此时点P即为所求；△若BP=CP，则点P在BC的中垂线上，作BC的中垂线，交抛物线与点P，如图3所示，此时点P有两种情况；故存在5个满足条件的P点．5、在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣8的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝kx+53（k≠0）经过点A，与抛物线交于另一点R，已知OC＝2OA，OB＝3OA．（1）求抛物线与直线的解析式；（2）如图1，若点P是x轴下方抛物线上一点，过点P做PH△AR于点H，过点P做PQ△x轴交抛物线于点Q，过点P做PH′△x轴于点H′，K为直线PH′上一点，且PK＝2√3PQ，点I为第四象限内一点，且在直线PQ上方，连接IP、IQ、IK，记l＝132PH−14PQ，m＝IP+IQ+IK，当l取得最大值时，求出点P的坐标，并求出此时m的最小值．（3）如图2，将点A沿直线AR方向平移13个长度单位到点M，过点M做MN△x轴，交抛物线于点N，动点D为x轴上一点，连接MD、DN，再将△MDN沿直线MD翻折为△MDN′（点M、N、D、N′在同一平面内），连接AN、AN′、NN′，当△ANN′为等腰三角形时，请直接写出点D的坐标．【答案】（1）y ＝16x 2﹣43x ﹣8，y ＝512x+53；（2）P （5，−212），m 的最小值为2√19；（3）D1（31−5√132，0），D2（﹣4，0），D3（343，0），D4（31+5√132，0）． 【解析】解（1）△y ＝ax 2+bx ﹣8与y 轴的交点为C ，令x ＝0，y ＝﹣8， △点C （0，﹣8），△OC ＝8，△OC ＝2OA ，OB ＝3OA ，△OA ＝4，OB ＝12，△A （﹣4，0）B （12，0），将点A 代入直线解析式可得0＝﹣4k+53，解得k ＝512， △y ＝512x+53，将点A 和点B 代入抛物线中，{0=16a −4b −80=144a +12b −8，解得a ＝16，b ＝﹣43，△y ＝16x 2﹣43x ﹣8；（2）设点P 的坐标为（p ，16p 2﹣43p ﹣8），﹣2a b ＝4，△抛物线的对称轴为直线x ＝4，△点Q （8﹣p ，16p 2﹣43p ﹣8），△PQ ＝2p ﹣8，△PK ＝2√3PQ ，△PK ＝4√3p ﹣16√3，如图1所示，延长PK 交直线AR 于点M ，则M （p ，512P+53），△PM ＝512P+53﹣（16p 2﹣43p ﹣8）＝﹣16p 2﹣2112p+293，△△PHM ＝△MH′A ，△HMP ＝△AMH′，△△HPM ＝△MAH′，△直线解析式为y ＝512x+53，，令x ＝0，y ＝53，△OE ＝53，△OA ＝4，根据勾股定理得△AE ＝133，△cos△EAO ＝OA AE ＝1213,△cos△HPM ＝PH PM ＝PH ﹣16P 2﹣2112p+293＝1213，△PH ＝﹣213p 2+2113p+11613，△I ＝132PH -14PQ ，△I ＝132（﹣213p 2+2113p+11613）﹣14（2p ﹣8）＝﹣（p ﹣5）2+85，△当p ＝5时，I 取最大值此时点P （5，﹣212），△PQ ＝2，PK ＝4√3，如图2所示，连接QK ，以PQ 为边向下做等边三角形PQD ，连接KD ，在KD 取I ，使△PID ＝60°，以PI 为边做等边三角形IPF ，连接IQ ，△IP ＝PF ，PQ ＝PD ，△IPQ ＝△FPD ，△△IPQ△△FPD（SAS），△DF＝IQ，△IP+IQ+IK＝IF+FD+IK＝DK，此时m最小，过点D作DN垂直于KP，△△KPD＝△KPQ+△QPD＝150°，△△PDN＝30°，△DP＝PQ＝2，△DN＝1，根据勾股定理得PN＝√3，在△KDN中，KN＝5√3，DN＝1，根据勾股定理得KD＝2√19，△m的最小值为2√19；（3）设NM与x轴交于点J，△AM＝13，cos△MAJ＝12，13△AJ＝12，根据勾股定理得MJ＝5，△OA＝4，△OJ＝8，△M（8，5），当x＝8时，代入抛物线中，可得y＝﹣8，△N（8，﹣8），MN＝13，在△AJN中，根据勾股定理得AN＝4√13，△点D为x轴上的动点，根据翻折，MN′＝13，所以点N′在以M为圆心，13个单位长度为半径的圆上运动，如图3所示，△当N′落在AN 的垂直平分线上时，tan△MNA ＝128＝32，△tan△MGJ ＝32，△MJ ＝5，△JG ＝103，根据勾股定理得MG ＝5√133，△MD1为△GMJ 的角平分线，△MG MJ =GD DJ ，△D1J ＝5√13﹣152，△D1（31−5√132，0），△MD4也为角平分线，△△D1MD4＝90°，根据射影定理得MJ2＝JD1•JD4，△JD4＝5√13+152， △D4（31+5√132，0）； △当AN ＝AN′时，D2与点A 重合，△D2（﹣4，0），△MD3为角平分线，△MJ MN′=JD 3D 3N′，△JD3＝103， △D3（343，0），综上所述D1（31−5√132，0），D2（﹣4，0），D3（343，0），D4（31+5√132，0）． 6、如图，在平面直角坐标系xOy 中，经过C （1，1）的抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）顶点为M ，与x 轴正半轴交于A ，B 两点．（1）如图1，连接OC ，将线段OC 绕点O 逆时针旋转使得C 落在y 轴的正半轴上，求线段OC 过的面积； （2）如图2，延长线段OC 至N ，使得ON ＝2OC ，若△ONA ＝△OBN 且tan△BAM ＝172，求抛物线的解析式； （3）如图3，已知以直线x ＝52为对称轴的抛物线y ＝ax 2+bx +c 交y 轴于（0，5），交直线l ：y ＝kx +m （k ＞0）于C ，D 两点，若在x 轴上有且仅有一点P ，使△CPD ＝90°，求k 的值．【答案】（1）4π；（2）y ＝2x 2﹣9x +8；（3）k ． 【思路引导】（1）线段OC 过的面积＝45360︒︒×π×）2＝4π； （2）△ONA △△OBN ，则OA •OB ＝ON 2＝4，即mn ＝4…△，则抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣m ）（x ﹣n ），MH ＝|y M |＝﹣a （2m n +﹣m ）（2m n +﹣n ）＝2()4a m n -，AH ═2m n +﹣m ，tan△BAM ＝MH AH ＝12a （n﹣m ）＝2，化简得：a （n ﹣m ，将（1，1）代入y ＝a （x ﹣m ）（x ﹣n ）并化简得：a （5﹣m ﹣n ）＝1…△，联立△△△即可求解；（3）抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣5x +5；设点D （m ，n ），n ＝m 2﹣5m +5，而点C （1，1），则k ＝25511m m m -+--＝m ﹣4，若在x 轴上有且仅有一点P ，使△CPD ＝90°，则过CD 中点的圆R 与x 轴相切，即可求解．【解析】（1）线段OC 过的面积＝45360︒︒×π×）2＝4π；（2）ON OC ＝4，设点A 、B 的坐标分别为：（m ，0）、（n ，0），△ONA ＝△OBN ，则△ONA △△OBN ，则OA •OB ＝ON 2＝4，即mn ＝4…△，则抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣m ）（x ﹣n ），过点M 作MH △AB 交AB 于点H ，函数的对称轴为：x ＝12（m +n ），则MH ＝|y M |＝﹣a （2m n +﹣m ）（2m n +﹣n ）＝2()4a m n -，AH ＝x M ﹣x A ＝2m n+﹣mtan△BAM ＝MHAH ＝12a （n ﹣m，化简得：a （n ﹣m…△，将（1，1）代入y ＝a （x ﹣m ）（x ﹣n ）并化简得：a （5﹣m ﹣n ）＝1…△，联立△△△并解得：m，na ＝2，则抛物线的表达式为y ＝a （x ﹣m ）（x ﹣n ）＝a （x 2﹣mx ﹣nx +mn ）＝2x 2﹣9x +8；（3）由题意得：15225a b c b x a c ++=⎧⎪⎪=-=⎨⎪=⎪⎩，解得：155a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣5x +5；设点D （m ，n ），n ＝m 2﹣5m +5，而点C （1，1），则k ＝25511m m m -+--＝m ﹣4，若在x 轴上有且仅有一点P ，使△CPD ＝90°，则过CD 中点的圆R 与x 轴相切，设切点为P ，则点H （12+m ，12n +），则HP ＝HC ， 即（12+m ﹣1）2+（12n +﹣1）2＝（12n +）2， 化简得：3m 2﹣18m +19＝0，解得：m ＝（不合题意的值已舍去），k ＝m ﹣4＝33． 【方法总结】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、解直角三角形、三角形相似等，综合性很强，数据处理技巧多，难度大．7、如图1，抛物线21333=++y x x 与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 左边），O 为坐标原点．点D 是直线BC 上方抛物线上的一个动点，过点D 作DE △x 轴交直线BC 于点E ．点P 为△CAB 角平分线上的一动点，过点P 作PQ △BC 于点H ，交x 轴于点Q ；点F 是直线BC 上的一个动点． （1）当线段DE 的长度最大时，求DF +FQ +12PQ 的最小值． （2）如图2，将△BOC 沿BC 边所在直线翻折，得到△BOC ′，点M 为直线BO ′上一动点，将△AOC 绕点O 顺时针旋转α度（0°＜α＜180°）得到△A ′OC ′，当直线A ′C ′，直线BO ′，直线OM 围成的图形是等腰直角三角形时，直接写出该等腰直角三角形的面积．【答案】（1；（2）围成的三角形面积为：12391711828，，===S S S 4998=S 【解析】（1）如图1，当x ＝0时，y ＝3．当y ＝0时，12x x ==△(A ，B ，(0,3)C△AC △BC ，且△ABC ＝30°，AC ＝BC y 3=+设D （a ，2133a -++），则E 2212,33a a --++）△DE ＝a ﹣222333a a a a ⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭△当a=⎝⎭时，DE 最大．此时D154） △AP 平分△CAB ，△△P AB ＝12△CAB ＝30°， △PQ △BC ，△△PQB ＝60°，△△P ＝△PQB ﹣△P AB ＝60°﹣30°＝30°＝△P AB ，△PQ △BC ，△PQB ＝60°，△AQ ＝PQ ， △min 12DF FQ PQ ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝min12DF FQ AQ ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 将射线AB 绕A 顺时针旋转30°得到直线AM ，过点D 作AM 的垂线于点M ，交x 轴于点Q ′，则12AQ Q M ''=． 当Q 运动到Q ′时，有min12DF FQ AQ ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝DM ， 过D 作DN △x 轴于点N ，可得△AQ ′M 与△DQ ′N 相似，DN ＝D y ＝154，AN△Q ′N，DQ ′，AQ ′＝AN ﹣Q ′N△Q ′M＝128AQ '=△DM ＝DQ ′+Q ′Mmin 12DF FQ AQ ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝DM（2）第一种情况：如图2，NH ＝r ＝32，QHOQ ＝2r ＝3，QN ＝QH ﹣NH32，QB ＝3+QP92=+PN ＝PQ ﹣QN ＝6，S 1＝18．第二种情况，如图3，QH=HN ＝r ＝32，QB ＝，QP 92=+PN ＝PQ ﹣QH ﹣HN ＝3，292S =；第三种情况，如图4，ON 92=，OM =，MQ ＝OM ﹣r 32-，23117128S MQ ==-第四种情况，如图5，OB ＝OM 92=，ON =MN ＝OM ﹣0N ＝92，2419928S MN ==．第五种情况，如图6，MN ＝BN ＝OB sin15°＝4ON ＝OB cos15°OM ＝ON +MN ＝2，HM ＝OM ﹣r ＝322-，25312S HM S ==；第六种情况，如图7，OM 92=，ON =MN ＝OM ﹣ON ＝92-26412S MN S ==；综上所述，围成的三角形面积为：123917118;;284S S S ===-；4998=-S 8、如图，抛物线y ＝﹣12x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B （A 左B 右），与y 轴交于C ，直线y ＝﹣x+5经过点B 、C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为第二象限抛物线上一点，设点P 横坐标为m ，点P 到直线BC 的距离为d ，求d 与m 的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若△PCB+△POB ＝180°，求d 的值．【答案】（1）y ＝﹣12x2+32x+5（2）d ＝√24m2﹣5√24m （﹣2＜m ＜0）（3）3√22 【解析】（1）△直线y ＝﹣x+5经过点B 、C ，△B （5，0），C （0，5），把B 、C 坐标代入y ＝﹣12x2+bx+c 得到：{c =5−252+5b +c =0， 解得{b =32c =5， △二次函数的解析式为y ＝﹣12x2+32x+5；（2）如图1中，作PE△BC 于E ，作PF△AB 交BC 于F ．△P （m ，﹣12m2+32m+5），△PF△AB ，△点F 的纵坐标为﹣12m2+32m+5，则有﹣12m2+32m+5＝﹣x+5，△x ＝12m2﹣32m ，△PF ＝12m2﹣32m ﹣m ＝12m2﹣52m ，△OB ＝OC ，△BOC ＝90°，△△EFP ＝△OBC ＝45°，△PE△EF ，△△PEF 是等腰直角三角形，△d ＝PE ＝√22PF ＝√24m2﹣5√24m （﹣2＜m ＜0）；（3）如图2中，取BC 的中点H ，连接PH ．△△PCB+△POB ＝180°，△O 、B 、C 、P 四点共圆，△△CPB ＝△COB ＝90°，△PH ＝12BC ＝5√22， △P （m ，﹣12m2+32m+5），H （52，52），△（m ﹣52）2+（﹣12m2+32m+5﹣52）2＝252， 整理得：m （m ﹣5）（m2﹣m ﹣2）＝0，解得m ＝0或5或﹣1或2，△P 在第二象限，△m ＝﹣1，△d ＝√24m2﹣5√24m ＝3√22． 9、在平面直角坐标系xOy 中，对“隔离直线”给出如下定义：点(,)P x m 是图形1G 上的任意一点，点(,)Q x n 是图形2G 上的任意一点，若存在直线l ：(0)y kx b k =+≠满足m kx b ≤+且n kx b ≥+，则称直线l ：(0)y kx b k =+≠是图形1G 与2G 的“隔离直线”，如图1，直线l ：2y x =--是函数4(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的一条“隔离直线”.（1）在直线△11y x =--，△231y x =+，△34y x =-+，△42y x =-中，是图1函数4(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的“隔离直线”的为 . （2）如图2，第一象限的等腰直角三角形EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D 的坐标是(2,1)，△OEDF ∆与△O 的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式：若不存在，请说明理由；（3）正方形1111D C B A 的一边在y 轴上，其它三边都在y 轴的左侧，点(1,)M t -是此正方形的中心，若存在直线2y x b =-+是函数223(40)y x x x =+--≤≤的图像与正方形1111D C B A 的“隔离直线”，请直接写出t 的取值范围.【答案】(1)△△;(2)25y x =-+;(3)2t ≥或8t ≤-【解析】(1)根据的“隔离直线”的定义可知42y x =-，是图1函数4(0)y x x =<的图象与正方形OABC 的“隔离直线”；直线11y x =--也是图1函数4(0)y x x=<的图象与正方形OABC 的“隔离直线”；而231y x =+与34y x =-+不满足图1函数4(0)y x x =<的图象与正方形OABC 的“隔离直线”的条件； 故答案为：△△；(2)存在，理由如下：连接OD ，过点D 作DG x ⊥轴于点G ，如图，在Rt△DGO 中，OD ==△△O△点D 在△O 上．过点D 作DH△OD 交y 轴于点H ，△直线DH 是△O 的切线，也是△EDF 与△O 的“隔离直线”．设直线OD 的解析式为y kx =，将点D(2，1)的坐标代入得12k =， 解得：12k =，△DH△OD ，△设直线DH 的解析式为2y x n =-+，将点D(2，1)的坐标代入得122n =-⨯+，解得：5n =，△直线DH 的解析式为25y x =-+，△“隔离直线”的表达式为25y x =-+；(3)如图：由题意点F 的坐标为(45-，)，当直线2y x b =-+经过点F 时，()524b =-⨯-+，△3b =-，△直线23y x =--，即图中直线EF ，△正方形A 1B 1C 1D 1的中心M(1，t)，过点1M 作1M G △y 轴于点G ，△点1M 是正方形的中心，且11M G =，△B 1C 1122M G ==，11B G =，△正方形A 1B 1C 1D 1的边长为2，当2x =-时，()232231y x =--=-⨯--=，△点C 1的坐标是(21-，)，此时直线EF 是函数223(40y x x x =+--≤≤)的图象与正方形A 1B 1C 1D 1的“隔离直线”，△点1M 的坐标是(-1，2)，此时2t =；当直线2y x b =-+与223y x x =+-只有一个交点时， 2223y x b y x x =-+⎧⎨=+-⎩，消去y 得到2430x x b +--=， 由0=，可得()24430b ---=， 解得：7b =-，同理，此时点M 的坐标为：(18-，)，△8t =-，根据图象可知:当2t ≥或8t ≤-时，直线2y x b =-+是函数223(04y x x x =+-≤≤)的图象与正方形A 1B 1C 1D 1的“隔离直线”．10、如图，已知直角坐标平面上的△ABC ，AC =CB ，∠ACB =90∘，且A(−1, 0)，B(m, n)，C(3, 0)．若抛物线y =ax 2+bx −3经过A 、C 两点．(1)求a、b的值；(2)将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点B，求新抛物线的解析式；(3)设(2)中的新抛物的顶点P点，Q为新抛物线上P点至B点之间的一点，以点Q为圆心画图，当⊙Q与x轴和直线BC都相切时，联结PQ、BQ，求四边形ABQP的面积．【答案】（1）{a=1b=−2；（2）新抛物线的解析式为y=x2−2x+1;(3)5【解析】(1)△抛物线y=ax2+bx−3经过A(−1, 0)、C(3, 0)，△{a−b−3=09a+3b−3=0，解得：{a=1b=−2；(2)设抛物线向上平移k个单位后得到的新抛物线恰好经过点B，则新抛物线的解析式为y=x2−2x−3+k，△A(−1, 0)、C(3, 0)，△CB=AC=3−(−1)=4，△∠ACB=90∘，△点B的坐标为(3, 4)．△点B(3, 4)在抛物线y=x2−2x−3+k上，△9−6−3+k=4，解得：k=4，△新抛物线的解析式为y=x2−2x+1；(3)设⊙Q与x轴相切于点D，与直线BC相切于点E，连接QD、QE，如图所示，则有QD⊥OC，QE⊥BC，QD=QE，△∠QDC=∠DCE=∠QEC=90∘，△四边形QECD是矩形．△QD=QE，△矩形QECD是正方形，△QD=DC．设点Q的横坐标为t，则有OD=t，QD=DC=OC−OD=3−t，△点Q的坐标为(t, 3−t)．△点Q在抛物线y=x2−2x+1上，△t2−2t+1=3−t，解得：t1=2，t2=−1．△Q为抛物线y=x2−2x+1上P点至B点之间的一点，△t=2，点Q的坐标为(2, 1)，△OD=2，QD=CD=1．由y=x2−2x+1=(x−1)2得顶点P的坐标为(1, 0)，△OP=1，PD=OD−OP=2−1=1，△S四边形ABQP =S△ACB−S△PDQ−S梯形DQBC=12AC⋅BC−12PD⋅QD−12(QD+BC)⋅DC=1×4×4−1×1×1−1×(1+4)×1=5，△四边形ABQP的面积为5．。
2020年中考数学二次函数压轴题核心考点突破02隐形圆
P
B
C
【分析】∵∠PBC+∠PBA=90°， ∴∠PAB+∠PBA=90°， ∴∠APB=90°， ∴P点轨迹是以AB为直径的圆弧．
∠PBC=∠PAB， A O
A
E
H
F
D
G
B
C
【分析】根据条件可知：∠DAG=∠DCG=∠ABE，易证 AG⊥BE，即∠AHB=90°，
A
E
F
α
D
H G
A
E
F
α
D
α
α
H G
B
C
所以 H 点轨迹是以 AB 为直径的圆弧
O
α
α
B
C
当 D、H、O 共线时，DH 取到最小值，勾股定理可求．
A
D
H
O
B
C
【2016 安徽中考】如图，Rt△ABC 中，AB ⊥BC，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动 点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段 CP 长的最小值是_________．
A
P F
C
E
B
【分析】考虑到将△FCE 沿 EF 翻折得到△FPE，可得 P 点轨迹是以 F 点为圆心，FC 为半径的圆弧． A
P F
C
E
B
过 F 点作 FH ⊥AB，与圆的交点即为所求 P 点，此时点 P 到 AB 的距离最小．由相似先求 FH ，再减去 FP， 即可得到 PH ．
A
H P
F
C
B
A
D
O
P
F
B
E
C
连接 OC，与圆的交点即为 P 点，再通过勾股定理即可求出 PC 长度． 思路概述：分析动点形 成原理，通常“ 非直即圆” （不是直线就 是圆），接下来可以 寻找与动 点相关有无定直线与定 角．
方法必备09几何综合题的三类折叠问题(原卷版)
方法必备09几何综合题的三类折叠问题题型一：翻折与几何基本图形题型二：翻折与隐形圆题型三：翻折与二次函数题型一：翻折与几何基本图形1．（2024·山东泰安·一模）如图，把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠，点C 落在点C '处，BC '与AD 相交于点E ．求证：EB ED =2．（2023·江苏泰州·二模）如图1，将()Rt 90ABC A ∠=︒ 纸片按照下列图示方式折叠：①将ABD △沿BD 折叠，使得点A 落在BC 边上的点M 处，折痕为BD ；②将BEF △沿EF 折叠，使得点B 与点D 重合，折痕为EF ；③将DEF 沿DF 折叠，点E 落在点'E 处，展开后如图2，BD 、PF 、DF 、DP 为图1折叠过程中产生的折痕．(1)求证：DP BC ∥；(2)若'DE 落在DM 的右侧，求C ∠的范围；(3)是否存在C ∠使得DE 与MDC ∠的角平分线重合，如存在，请求C ∠的大小；若不存在，请说明理由．3．（2023·吉林松原·三模）如图①，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，点E 为射线CA 上一点，将ADE V 沿DE 折叠，点A 的对应点为点F ．(1)若AB a =，直接写出CD 的长（用含a 的代数式表示）；(2)若点E 与点C 重合，连接BF ，如图②，判断四边形DBFC 的形状，并说明理由；(3)若DF AB ⊥，直接写出CDE ∠的度数．4．（2023·广东茂名·二模）如图，正方形ABCD 中，E 是边BC 的中点，将ABE 沿AE 折叠，得到AFE ，延长EF 交边CD 于点P ．(1)求证：DP FP =；(2)若6AB =，求CP 的长．5．（2023·广西贵港·二模）综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师准备了若干张正方形纸片ABCD ，组织同学们进行折纸探究活动．【初步尝试】把正方形对折，折痕为EF ，然后展开，沿过点A 与点E 所在的直线折叠，点B 落在点B '处，连接 B C '，如图1，请直接写出AEB '∠与ECB '∠的数量关系．【能力提升】把正方形对折，折痕为EF ，然后展开，沿过点A 与BE 上的点G 所在的直线折叠，使点B 落在EF 上的点P 处，连接PD ，如图2，猜想APD ∠的度数，并说明理由．【拓展延伸】在图2的条件下，作点A 关于直线CP 的对称点A '，连接PA '，BA '，AC ，如图3，求PA B '∠的度数．6．（2023·吉林长春·模拟预测）如图1，平面上，四边形ABCD 中，4AB =，6CD =，11BC =3DA =，90A ∠=︒，点M 在AD 边上，且1DM =．点P 沿折线AB BC -以1个单位速度向终点C 运动，点A '是点A 关于直线MP 的对称点，连接A P '，设点P 在该折线上运动的时间为()0t t >．(1)直接写出线段BP 的长；(2)如图2，连接BD ．①求CBD ∠的度数，并直接写出当A '、M 、A 共线时t 的值；②若点P 到BD 的距离为1，求tan A MP '∠的值；(3)当04t <≤时，请直接写出点A '到直线AD 的距离（用含t 的式子表示）．7．（2023·河南周口·模拟预测）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展实践活动．(1)操作判断操作一：如图（1），正方形纸片ABCD，点E是BC边上（点E不与点B，C重合）任意一点，沿AE折叠ABE到△，如图（2）所示；AFE操作二：将图（2）沿过点F的直线折叠，使点E的对称点G落在AE上，得到折痕MN，点C的对称点记为H，如图（3）所示；操作三：将纸片展平，连接BM，如图（4）所示．根据以上操作，回答下列问题：①B，M，N三点（填“在”或“不在”)一条直线上；②AE和BN的位置关系是，数量关系是；∠．③如图（5），连接AN，改变点E在BC上的位置，（填“存在”或“不存在”)点E，使AN平分DAE(2)迁移探究BC=，按照（1）中的方式操作，得到图（6）或图（7）．请苏钰同学将正方形纸片换成矩形纸片ABCD，4AB=，6完成下列探究：①当点N在CD上时，如图（6），BE和CN有何数量关系？并说明理由；②当DN的长为1时，请直接写出BE的长．8．（2023·山东枣庄·中考真题）问题情境：如图1，在ABC 中，1730AB AC BC ===，，AD 是BC 边上的中线．如图2，将ABC 的两个顶点B ，C 分别沿,EF GH 折叠后均与点D 重合，折痕分别交,,AB AC BC 于点E ，G ，F ，H ．猜想证明：(1)如图2，试判断四边形AEDG 的形状，并说明理由．问题解决；(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN 折叠，使得顶点B 与点H 重合，折痕分别交,AB BC 于点M ，N ，BM 的对应线段交DG 于点K ，求四边形MKGA 的面积．9．（2023·内蒙古通辽·中考真题）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：操作一：对折正方形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；操作二：在AD 上选一点P ，沿BP 折叠，使点A 落在正方形内部点M 处，把纸片展平，连接PM 、BM ，延长PM 交CD 于点Q ，连接BQ ．(1)如图1，当点M 在EF 上时，EMB ∠=___________度；(2)改变点P 在AD 上的位置（点P 不与点A ，D 重合）如图2，判断MBQ ∠与CBQ ∠的数量关系，并说明理由．10．（2023·辽宁大连·中考真题）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．已知,90AB AC A =∠>︒，点E 为AC 上一动点，将ABE 以BE 为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点D 落在BC 上时，2EDC ACB ∠=∠．”小红：“若点E 为AC 中点，给出AC 与DC 的长，就可求出BE 的长．”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：问题1：在等腰ABC 中，,90,AB AC A BDE =∠>︒△由ABE 翻折得到．（1）如图1，当点D 落在BC 上时，求证：2EDC ACB ∠=∠；（2）如图2，若点E 为AC 中点，43AC CD ==,，求BE 的长．问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成90A ∠<︒的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．问题2：如图3，在等腰ABC 中，90,4,2A AB AC BD D ABD ∠<===∠=∠︒．若1CD =，则求BC 的长．11．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为4的菱形，60A ∠=︒，点Q 为CD 的中点，P 为线段AB 上的动点，现将四边形PBCQ 沿PQ 翻折得到四边形PB C Q ''．(1)当45QPB ∠=︒时，求四边形BB C C ''的面积；(2)当点P 在线段AB 上移动时，设BP x =，四边形BB C C ''的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式．12．（2023·重庆·中考真题）在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，=60B ∠︒，点D 为线段AB 上一动点，连接CD ．(1)如图1，若9AC =，3BD =，求线段AD 的长．(2)如图2，以CD 为边在CD 上方作等边CDE ，点F 是DE 的中点，连接BF 并延长，交CD 的延长线于点G ．若G BCE ∠=∠，求证：GF BF BE =+．(3)在CD 取得最小值的条件下，以CD 为边在CD 右侧作等边CDE ．点M 为CD 所在直线上一点，将BEM 沿BM 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到BNM ．连接AN ，点P 为AN 的中点，连接CP ，当CP 取最大值时，连接BP ，将BCP 沿BC 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到BCQ ，请直接写出此时NQ CP的值．题型二：翻折与隐形圆一、单选题1．（湖北鄂州·中考真题）如图，菱形ABCD 的边AB =8，∠B =60°，P 是AB 上一点，BP =3，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点A ′．当CA ′的长度最小时，CQ 的长为（）A ．5B ．7C ．8D ．1322．如图，菱形ABCD 边长为4，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 的最小值是（）A ．3B 3C ．72D ．33．（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是正方形ABCD 内的动点，点P 是BC 边上的动点，且EAB EBC ∠=∠．连结AE ，BE ，PD ，PE ，则PD PE +的最小值为（）A ．2132-B ．452C ．432D ．2152二、填空题4．（2022·广东汕头·一模）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，D 是AC 上一点，且CD ＝3，E 是BC 边上一点，将△DCE 沿DE 折叠，使点C 落在点F 处，连接BF ，则BF 的最小值为．5．△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，D 是BC 的中点，E 为AB 上一动点，点B 关于DE 的对称点B '在△ABC 内（不含△ABC 的边上），则BE 长的范围为．6．如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =6，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 上的动点，将ΔEBF 沿EF 所在直线折叠得到ΔEB 'F ，连接B 'D ，则B 'D 的最小值是．7．（22-23九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，矩形ABCD ，4AB =，8BC =，E 为AB 中点，F 为直线BC 上动点，B 、G 关于EF 对称，连接AG ，点P 为平面上的动点，满足12APB AGB ∠=∠，则DP 的最小值．三、解答题8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，且∠AFE ＝90°（1）证明：△ABF ∽△FCE ；（2）当DE 取何值时，∠AED 最大．9．（2022·天津河东·二模）已知，平面直角坐标系中有一个边长为6的正方形OABC ，M 为线段OC 上的动点，将AOM 沿直线AM 对折，使O 点落在O '处．(1)如图①，当30OAM ∠=︒时，求点O '的坐标；(2)如图②，连接'CO ，当CO AM '∥时．①求点M 的坐标；②连接OB ，求AO M '△与AOB 重叠部分的面积；(3)当点M 在线段OC （不包括端点）上运动时，请直接写出线段O C '的取值范围．10．（2022·重庆·三模）在ABC 中，90ACB ∠=︒，CA ＝2CB ．将线段CA 绕点C 旋转得到线段CD ．(1)如图1，当点D 落在AB 的延长线上时，过点D 作DE AD ⊥交AC 的延长线于点E ，若BC ＝2，求DE 的长；(2)如图2，当点D 落在CB 的延长线上时，连接AD ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，延长CF 交AD 于点E ，连接BE ，求证：AB CE BE =+；(3)如图3，在（2）的条件下，将ACF △沿AC 翻折得到ACF '△，M 为直线AD 上一个动点．连接BM ，将BDM 沿BM 翻折得到BMD '△．当D F ''最小时，直接写出F D FF '''的值．题型三：翻折与二次函数1．（21-22九年级下·湖南株洲·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax ax c =-+经过()2,0A -，()0,4C 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是第一象限抛物线上一动点，连接CP ，CP 的延长线与x 轴交于点Q ，过点P 作PE y ⊥轴于点E ，以PE 为轴，翻折直线CP ，与抛物线相交于另一点R ．设P 点横坐标为t ，R 点横坐标为s ，求出s 与t 的函数关系式；（不要求写出自变量t 的取值范围）；(3)在（2）的条件下，连接RC ，点G 在RP 上，且RG RC =，连接CG ，若45OCG ∠=︒，求点Q 坐标．2．（2023·天津河西·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线214y x bx c =++与x 轴交于()30A -,，()4,0B 两点，在y 轴正半轴上有一点C ，OC OB =．点D ，E 分别是线段AC ，AB 上的动点，且均不与端点重合．(1)求此抛物线的解析式；(2)如图①，连接BD ，将BCD △沿x 轴翻折得到BFG ，当点G 在抛物线上时，求点G 的坐标；(3)如图②，连接CE ，当CD AE =时，求BD CE +的最小值．3．（2023·广西贵港·三模）抛物线21322y x x c =-++与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，点()32D ，为抛物线上一点，且直线CD x ∥轴，点M 是抛物线上的一动点．(1)求抛物线的解析式与A 、B 两点的坐标．(2)若点E 的纵坐标为0，且以A E D M ，，，为顶点的四边形是平行四边形，求此时点M 的坐标．(3)过点M 作直线CD 的垂线，垂足为N ，若将CMN 沿CM 翻折，点N 的对应点为N '，则是否存在点M ，使点N '则恰好落在x 轴上？若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，说明段理由．4．（2023·安徽·模拟预测）如图，已知抛物线2y x bx c =-++交x 轴于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求,b c 的值以及拋物线的顶点D 的坐标；(2)已知P 为抛物线2y x bx c =-++上一点（不与点B 重合），若点P 关于x 轴对称的点P '恰好在直线BC 上，求点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，平移抛物线2y x bx c =-++，使其顶点始终在直线y x =上，且与PP '相交于点Q ，求QBP '△面积的最小值．5．（2023·贵州·中考真题）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C 处，对称轴OC 与水平线OA 垂直，9OC =，点A 在抛物线上，且点A 到对称轴的距离3OA =，点B 在抛物线上，点B 到对称轴的距离是1．(1)求抛物线的表达式；(2)如图②，为更加稳固，小星想在OC 上找一点P ，加装拉杆,PA PB ，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P 的位置并求出坐标；(3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为221(0)y x bx b b =-++->，当46x ≤≤时，函数y 的值总大于等于9．求b 的取值范围．。
中考数学二次函数与圆的综合及几何图形问题专题（六）
中考数学二次函数与圆的综合及几何图形问题专题（六）
一、圆的有关概念：
1.平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
定点叫圆心，定长叫半径。
圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径确定。
2.连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径，圆上任意两点间的部分叫做弧。
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一弧都叫做半圆。
弧包括优弧和劣弧，大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做
劣弧。
3.顶点在圆心的角叫做圆心角,顶点在圆上并且两边分别与圆还有一个交点的角叫做圆周角。
二、圆的基本性质：
圆的基本性质（1）
圆的基本性质（2）
圆的基本性质（3）
三、在圆中常做的辅助线：
1、有弦时，过圆心做弦的垂线段、过弦的一个端点作半径，这样由“弦的一半、表示弦心距的垂线段、圆的半径”构成了直角三角形；
2、有直径时，作出这条直径所对的圆周角，这个圆周角是直角；如果有圆周角是直角，做出它所对的弦，这条弦就是直径。
四、在圆中有关圆周角、圆的内接四边形的问题：
题目中或图形中，有圆周角、圆内接四边形时，往往利用圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角、同弧所对的圆周角相等，转移角，或利用圆内接四边形的对角互补，同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求角的度数。
五、典型例题：
例题1图（3）
例题1图（4）
解答过程：
解:
（1）x = 1/2 ;
例题1解答过程(5) 例题1解答过程(6) 例题1解答过程(7)。
二次函数背景下的与圆有关的问题(原卷版)
备战2020年中考数学压轴题之二次函数专题10 二次函数背景下的与圆有关的问题【方法综述】圆和二次函数都是初中数学重点知识，是压轴题中的常见题目。
而二次函数与圆的结合则常常是高难度的压轴题。
以二次函数为背景的问题中，圆的知识常常以圆的基本知识、与圆有关的位置关系、构造圆和隐形圆为考察内容。
解答要点是结合相关知识，对于已知条件进行数形结合。
【典例示范】类型一圆的基本性质应用例1：如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+m的图象经过点P（4，5），与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且S△P AB＝10．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点Q使得△P AQ和△PBQ的面积相等？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过A、P、C三点的圆与抛物线交于另一点D，求出D点坐标及四边形P ACD的周长．针对训练1．如图，一次函数y=2x与反比例函数y=kx(k＞0)的图象交于A、B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆上，Q是AP的中点（1）若k的值；（2）若OQ长的最大值为32，求k的值；（3）若过点C的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件：①a+b+c=0；②当a≤x≤a+1时，函数y的最大值为4a，求二次项系数a的值．2．对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q和图形G，给出如下定义：点P，Q都在图形G上，且将点P的横坐标与纵坐标互换后得到点Q，则称点P，Q是图形G的一对“关联点”．例如，点P（1，2）和点Q（2，1）是直线y＝﹣x+3的一对关联点．（1）请写出反比例函数y＝6的图象上的一对关联点的坐标：；x（2）抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C（0，﹣1）．点A，B是抛物线y＝x2+bx+c 的一对关联点，直线AB与x轴交于点D（1，0）．求A，B两点坐标．（3）⊙T的半径为3，点M，N是⊙T的一对关联点，且点M的坐标为（1，m）（m＞1），请直接写出m的取值范围．3．已知：直线y=-x-4分别交x、y轴于A、C两点，点B为线段AC的中点，抛物线y=ax2+bx经过A、B 两点，（1）求该抛物线的函数关系式；（2）以点B关于x轴的对称点D为圆心，以OD为半径作⊙D，连结AD、CD，问在抛物线上是否存在点P，使S△ACP=2S△ACD？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若E为⊙D上一动点(不与A、O重合)，连结AE、OE，问在x轴上是否存在点Q，使∠ACQ：∠AEO=2：3？若存在，请求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知抛物线y ＝x 2+mx ﹣2m ﹣4（m ＞0）． （1）证明：该抛物线与x 轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与x 轴的两个交点分别为A ，B （点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ，A ，B ，C 三点都在⊙P 上．①试判断：不论m 取任何正数，⊙P 是否经过y 轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；②若点C 关于直线x =−m2的对称点为点E ，点D （0，1），连接BE ，BD ，DE ，△BDE 的周长记为l ，⊙P的半径记为r ，求lr的值．5．如图①，已知抛物线2139424y x x =-+的顶点为点P ，与y 轴交于点B ．点A 坐标为（3，2）．点M 为抛物线上一动点，以点M 为圆心，MA 为半径的圆交x 轴于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧）．（1）如图②，当点M 与点B 重合时，求CD 的长；（2）当点M 在抛物线上运动时，CD 的长度是否发生变化？若变化，求出CD 关于点M 横坐标x 的函数关系式；若不发生变化，求出CD 的长；（3）当△ACP 与△ADP 相似时，求出点C 的坐标． 6．已知抛物线 C 1：y ＝ax 2 过点（2，2）(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图，△ABC 的三个顶点都在抛物线C1上，且边AC 所在的直线解析式为y＝x+b，若AC 边上的中线BD 平行于y 轴，求AC2的值；BD(3)如图，点P 的坐标为（0，2），点Q 为抛物线上C1上一动点，以PQ 为直径作⊙M，直线y＝t 与⊙M 相交于H、K 两点是否存在实数t，使得HK 的长度为定值？若存在，求出HK 的长度；若不存在，请说明理由．7．（浙江省湖州市南浔区2017-2018学年九年级上学期期末）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原x+c过点，如图1，直角三角板△MON中，OM=ON=√3，OQ=1，直线l过点N和点N，抛物线y=ax2+2√33点Q和点N．（1）求出该抛物线的解析式；x+c上的一个动点．（2）已知点P是抛物线y=ax2+2√33①初步尝试若点P在y轴右侧的该抛物线上，如图2，过点P作PA⊥y轴于点A，问：是否存在点P，使得以N、P、A为顶点的三角形与△ONQ相似．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；②深入探究若点P在第一象限的该抛物线上，如图3，连结PQ，与直线MN交于点G，以QG为直径的圆交QN于点H，交x轴于点R，连结HR，求线段HR的最小值．8．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A点坐标为(−8, 0)，B点坐标为(2, 0)，以AB为直径的圆P与y轴的负半轴交于点C．（1）求图象经过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）设M点为所求抛物线的顶点，试判断直线MC与⊙P的关系，并说明理由．9．已知抛物线y=ax2+bx过点A（1，4）、B（﹣3，0），过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，在x轴上有一点D（4，0），连接CD．（1）求抛物线的表达式；（2）若在抛物线上存在点Q，使得CD平分∠ACQ，请求出点Q的坐标；（3）在直线CD的下方的抛物线上取一点N，过点N作NG∥y轴交CD于点G，以NG为直径画圆在直线CD上截得弦GH，问弦GH的最大值是多少？（4）一动点P从C点出发，以每秒1个单位长度的速度沿C﹣A﹣D运动，在线段CD上还有一动点M，问是否存在某一时刻使PM+AM=4？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，点A(10, 0)，以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB 并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．(1)∠OBA=________°．(2)求抛物线的函数表达式．(3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？类型二与圆有关的位置关系例2．如图1，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；（2）若以AD为直径的圆经过点C．①求抛物线的函数关系式；②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF＝1：2，求点M、N的坐标；③点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，如图3，求点Q的坐标．针对训练1．抛物线y＝﹣23x2+73x﹣1与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y＝t(t＜2524)上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．(1)点A，B，D的坐标分别为，，；(2)如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处．当点E在△ABC内(含边界)时，求t的取值范围；(3)如图②，当t＝0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图1，抛物线y ＝ax 2+bx+c 的顶点（0，5），且过点（﹣3，114），先求抛物线的解析式，再解决下列问题：（应用）问题1，如图2，线段AB ＝d （定值），将其弯折成互相垂直的两段AC 、CB 后，设A 、B 两点的距离为x ，由A 、B 、C 三点组成图形面积为S ，且S 与x 的函数关系如图所示（抛物线y ＝ax 2+bx+c 上MN 之间的部分，M 在x 轴上）：（1）填空：线段AB 的长度d ＝ ；弯折后A 、B 两点的距离x 的取值范围是 ；若S ＝3，则是否存在点C ，将AB 分成两段（填“能”或“不能”） ；若面积S ＝1.5时，点C 将线段AB 分成两段的长分别是 ；（2）填空：在如图1中，以原点O 为圆心，A 、B 两点的距离x 为半径的⊙O ；画出点C 分AB 所得两段AC 与CB 的函数图象（线段）；设圆心O 到该函数图象的距离为h ，则h ＝ ，该函数图象与⊙O 的位置关系是 ．（提升）问题2，一个直角三角形斜边长为c （定值），设其面积为S ，周长为x ，证明S 是x 的二次函数，求该函数关系式，并求x 的取值范围和相应S 的取值范围．【答案】抛物线的解析式为：y ＝﹣14x 2+5；（1）＜x ＜；（2，相离或相切或相交；（3）相应S 的取值范围为S ＞14c 2．3．如图，已知抛物线()2y ax bx 2a 0=+-≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且()D 2,3，()B 4,0-． （1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C ，求BMC 面积的最大值； （3）在（2）中BMC 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图1，对于平面内的点P 和两条曲线L 1、L 2给出如下定义：若从点P 任意引出一条射线分别与L 1、L 2交于Q 1、Q 2，总有PQ 1PQ 2是定值，我们称曲线L 1与L 2“曲似”，定值PQ 1PQ 2为“曲似比”，点P 为“曲心”．例如：如图2，以点O ′为圆心，半径分别为r 1、r 2(都是常数)的两个同心圆C 1、C 2，从点O ′任意引出一条射线分别与两圆交于点M 、N ，因为总有O ′MO ′N =r 1r 是定值，所以同心圆C 1与C 2曲似，曲似比为r1r 2，“曲心”为O ′．(1)在平面直角坐标系xOy 中，直线y =kx 与抛物线y =x 2、y =12x 2分别交于点A 、B ，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；(2)在(1)的条件下，以O 为圆心，OA 为半径作圆，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，是否存在k 值，使⊙O 与直线BC 相切？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；(3)在(1)、(2)的条件下，若将“y =12x 2”改为“y =1m x 2”，其他条件不变，当存在⊙O 与直线BC 相切时，直接写出m 的取值范围及k 与m 之间的关系式．5．已知二次函数图象的顶点在原点O ，对称轴为y 轴．一次函数1y kx =+的图象与二次函数的图象交于A B ，两点（A 在B 的左侧），且A 点坐标为()44-，．平行于x 轴的直线l 过()01-，点．（1）求一次函数与二次函数的解析式；（2）判断以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系，并给出证明；（3）把二次函数的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 t 个单位（t ＞0），二次函数的图象与x 轴交于 M ，N 两点，一次函数图象交y 轴于 F 点．当 t 为何值时，过 F ，M ，N 三点的圆的面积最小？最小面积是多少？6．如图，在平面角坐标系中，抛物线C 1：y=ax 2+bx ﹣1经过点A （﹣2，1）和点B （﹣1，﹣1），抛物线C 2：y=2x 2+x+1，动直线x=t 与抛物线C 1交于点N ，与抛物线C 2交于点M ． （1）求抛物线C 1的表达式；（2）直接用含t 的代数式表示线段MN 的长；（3）当△AMN 是以MN 为直角边的等腰直角三角形时，求t 的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C 1与y 轴交于点P ，点M 在y 轴右侧的抛物线C 2上，连接AM 交y 轴于点k ，连接KN ，在平面内有一点Q ，连接KQ 和QN ，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP 时，请直接写出点Q 的坐标．7．如图，直线2y x =+与抛物线222y x mx m m =-++交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，抛物线的对称轴与直线AB 交于点M ．（1）当四边形CODM 是菱形时，求点D 的坐标； （2）若点P 为直线OD 上一动点，求APB ∆的面积；（3）作点B 关于直线MD 的对称点B '，以点M 为圆心，MD 为半径作M ，点Q 是M 上一动点，求QB '的最小值． 8．如图，已知以E(3，0)为圆心，5为半径的☉E 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)经过A ，B ，C 三点，顶点为F. (1)求A ，B ，C 三点的坐标；(2)求抛物线的解析式及顶点F 的坐标；(3)已知M 为抛物线上的一动点(不与C 点重合)，试探究：①若以A ，B ，M 为顶点的三角形面积与△ABC 的面积相等，求所有符合条件的点M 的坐标；②若探究①中的M点位于第四象限，连接M点与抛物线顶点F，试判断直线MF与☉E的位置关系，并说明理由.9．若抛物线L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，abc≠0）与直线l都经过y轴上的同一点，且抛物线L的顶点在直线l上，则称次抛物线L与直线l具有“一带一路”关系，并且将直线l叫做抛物线L的“路线”，抛物线L叫做直线l的“带线”．（1）若“路线”l的表达式为y=2x﹣4，它的“带线”L的顶点的横坐标为﹣1，求“带线”L的表达式；（2）如果抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1与直线y=nx+1具有“一带一路”关系，求m，n的值；（3）设（2）中的“带线”L与它的“路线”l在y轴上的交点为A．已知点P为“带线”L上的点，当以点P为圆心的圆与“路线”l相切于点A时，求出点P的坐标．10．如图①已知抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴的交点为E．（1）抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为_____，点A的坐标为_____；（2）若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切，试求出抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，如图②Q（m，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．在图②中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．类型三 构造圆与隐形圆例3：如图，在平面直角坐标系xOy 中，经过C （1，1）的抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）顶点为M ，与x 轴正半轴交于A ，B 两点．（1）如图1，连接OC ，将线段OC 绕点O 逆时针旋转使得C 落在y 轴的正半轴上，求线段OC 过的面积；（2）如图2，延长线段OC 至N ，使得ON OC ，若∠ONA ＝∠OBN 且tan ∠BAM ＝2，求抛物线的解析式；（3）如图3，已知以直线x ＝52为对称轴的抛物线y ＝ax 2+bx +c 交y 轴于（0，5），交直线l ：y ＝kx +m （k ＞0）于C ，D 两点，若在x 轴上有且仅有一点P ，使∠CPD ＝90°，求k 的值．针对训练1．如图1，抛物线21333=++y x x 与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 左边），O 为坐标原点．点D 是直线BC 上方抛物线上的一个动点，过点D 作DE ∥x 轴交直线BC 于点E ．点P 为∠CAB 角平分线上的一动点，过点P 作PQ ⊥BC 于点H ，交x 轴于点Q ；点F 是直线BC 上的一个动点． （1）当线段DE 的长度最大时，求DF +FQ +12PQ 的最小值． （2）如图2，将△BOC 沿BC 边所在直线翻折，得到△BOC ′，点M 为直线BO ′上一动点，将△AOC 绕点O 顺时针旋转α度（0°＜α＜180°）得到△A ′OC ′，当直线A ′C ′，直线BO ′，直线OM 围成的图形是等腰直角三角形时，直接写出该等腰直角三角形的面积．2．如图，抛物线y ＝﹣12x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B （A 左B 右），与y 轴交于C ，直线y ＝﹣x+5经过点B 、C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为第二象限抛物线上一点，设点P 横坐标为m ，点P 到直线BC 的距离为d ，求d 与m 的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若∠PCB+∠POB ＝180°，求d 的值．3．在平面直角坐标系xOy 中，对“隔离直线”给出如下定义：点(,)P x m 是图形1G 上的任意一点，点(,)Q x n 是图形2G 上的任意一点，若存在直线l ：(0)y kx b k =+≠满足m kx b ≤+且n kx b ≥+，则称直线l ：(0)y kx b k =+≠是图形1G 与2G 的“隔离直线”，如图1，直线l ：2y x =--是函数4(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的一条“隔离直线”.（1）在直线①11y x =--，②231y x =+，③34y x =-+，④42y x =-中，是图1函数4(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的“隔离直线”的为 . （2）如图2，第一象限的等腰直角三角形EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D 的坐标是(2,1)，⊙O EDF ∆与⊙O 的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式：若不存在，请说明理由；（3）正方形1111D C B A 的一边在y 轴上，其它三边都在y 轴的左侧，点(1,)M t -是此正方形的中心，若存在直线2y x b =-+是函数223(40)y x x x =+--≤≤的图像与正方形1111D C B A 的“隔离直线”，请直接写出t 的取值范围.4．如图，已知直角坐标平面上的△ABC ，AC =CB ，∠ACB =90∘，且A(−1, 0)，B(m, n)，C(3, 0)．若抛物线y =ax 2+bx −3经过A 、C 两点．(1)求a 、b 的值；(2)将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点B ，求新抛物线的解析式；(3)设(2)中的新抛物的顶点P 点，Q 为新抛物线上P 点至B 点之间的一点，以点Q 为圆心画图，当⊙Q 与x 轴和直线BC 都相切时，联结PQ 、BQ ，求四边形ABQP 的面积．5．如图，在直角坐标系中，直线y=﹣13x ﹣1与x 轴，y 轴的交点分别为A 、B ，以x=﹣1为对称轴的抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴分别交于点A 、C ，直线x=﹣1与x 轴交于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）在线段AB 上是否存在一点P ，使以A ，D ，P 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）若点Q 在第三象限内，且tan ∠AQD=2，线段CQ 是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．6．如图，直线y=﹣34x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．抛物线y=﹣38x 2+bx+c 经过A 、B 两点，与x 轴的另一个交点为C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是第一象限抛物线上的点，连接OP 交直线AB 于点Q ．设点P 的横坐标为m ，PQ 与OQ 的比值为y ，求y 与m 的关系式，并求出PQ 与OQ 的比值的最大值；（3）点D 是抛物线对称轴上的一动点，连接OD 、CD ，设△ODC 外接圆的圆心为M ，当sin ∠ODC 的值最大时，求点M 的坐标．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax bx a与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点11(,)2Pa，(2,2)Q．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．（3）抛物线上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，有几个？并请在图中画出所有符合条件的点P，（保留作图痕迹）；若不存在，说明理由．9．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣8的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝kx+53（k≠0）经过点A，与抛物线交于另一点R，已知OC＝2OA，OB＝3OA．（1）求抛物线与直线的解析式；（2）如图1，若点P是x轴下方抛物线上一点，过点P做PH⊥AR于点H，过点P做PQ∥x轴交抛物线于点Q，过点P做PH′⊥x轴于点H′，K为直线PH′上一点，且PK＝2√3PQ，点I为第四象限内一点，且在直线PQ上方，连接IP、IQ、IK，记l＝132PH−14PQ，m＝IP+IQ+IK，当l取得最大值时，求出点P的坐标，并求出此时m的最小值．（3）如图2，将点A沿直线AR方向平移13个长度单位到点M，过点M做MN⊥x轴，交抛物线于点N，动点D为x轴上一点，连接MD、DN，再将△MDN沿直线MD翻折为△MDN′（点M、N、D、N′在同一平面内），连接AN、AN′、NN′，当△ANN′为等腰三角形时，请直接写出点D的坐标．。
(完整版)二次函数与圆的综合题
二次函数与圆的综合题1．已知：如图，抛物线2y x =x 轴分别交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，⊙M 经过原点O 及点A C ，，点D 是劣弧OA 上一动点（D 点与A O ，不重合）．（1）求抛物线的顶点E 的坐标；（2）求⊙M 的面积；（3）连CD 交AO 于点F ，延长CD 至G ，使2FG =，试探究当点D 运动到何处时，直线GA 与⊙M 相切，并请说明理由．2.如图，已知二次函数2(3)3y mx m x =+-- (m ＞0) (1) 求证：它的图象与x 轴必有两个不同的交点,(2) 这条抛物线与x 轴交于两点12(,0),(,0)A x B x （1x ＜2x ），与y 轴交于点C ，且AB=4，⊙M 过A ，B ，C 三点，求扇形MAC 的面积S 。
(3) 在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，PD ⊥x 轴于D,使△PBD 被直线BC 分成面积比为1：2的两部分?若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。
O x yN C D EF B MA (0, )3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A B C D 、、、四点．抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点D ，与直线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连结DE ，并延长DE 交圆O 于F ，求EF 的长． （3）过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ，判断点P 是否在抛物线上，说明理由．4..如图，已知抛物线y = ax 2 + bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，经过A 、B 、C 三点的圆的圆心M （1，m ）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M 的半径为5．设⊙M 与y轴交于D ，抛物线的顶点为E ．（1）求m 的值及抛物线的解析式；（2）判断△OBD 与△CEB 是否相似,并说明理由；（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，请指出点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．A B C xO yl P P 1 Q Q 1 5.如图，在平面直角坐标系中，以点C(0，4)为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ，AB 是⊙C 的切线．动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t (秒)．(1)当t ＝1时，得到P 1、Q 1两点，求经过A 、P 1、Q 1三点的抛物线解析式及对称轴l ； (2)当t 为何值时，直线PQ 与⊙C 相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标；(3)在(2)的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使NP ＋NQ 最小，求出点N 的坐标并说明理由．6.在直角坐标系中，⊙A 的半径为4，圆心A 的坐标为（2，0），⊙A 与x 轴交于E 、F 两点，与y 轴交于C 、D 两点，过点C 作⊙A 的切线BC ，交x 轴于点B ． （1）求直线CB 的解析式；（2）若抛物线y =ax 2+b x +c 的顶点在直线BC 上，与x 轴的交点恰为点E 、F ，求该抛物线的解析式；（3）试判断点C 是否在抛物线上？（4） 在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与△AOC 相似？直接写出两组这样的点．(23)a -，，对称轴是直线1x =，顶点是M ．（1） 求抛物线对应的函数表达式；（2） 经过C,M 两点作直线与x 轴交于点N ，在抛物线上是否存在这样的点P ，使以点P A C N ，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3） 设直线3y x =-+与y 轴的交点是D ，在线段BD 上任取一点E （不与B D ，重合），经过A B E ，，三点的圆交直线BC 于点F ，试判断AEF △的形状，并说明理由；（4） 当E 是直线3y x =-+上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．8.如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为45。
中考数学专题《隐形圆解析》
D
E O
C
B
取 CB 中点 M，所以 E 点轨迹是以 M 为圆心、CB 为直径的圆弧．
A
D
E O
CM
B
连接 AM，与圆弧交点即为所求 E 点，此时 AE 值最小， AE AM EM 102 22 2 2 26 2 ．
A
E
C
M
B
【2019 园区一模】如图，正方形 ABCD 的边长为 4，动点 E、F 分别从点 A、C 同时出发，
C
M
E
A
O
B
【寻找定边与直角】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB =90°，BC=4，AC=10，点 D 是 AC 上的 一个动点，以 CD 为直径作圆 O，连接 BD 交圆 O 于点 E，则 AE 的最小值为_________．
A
D
O
E
C
B
【分析】连接 CE ，由于 CD 为直径，故∠CED=90°，考虑到 CD 是动线段，故可以将此 题看成定线段 CB 对直角∠CEB ．
A
D
O
P
F
B
E
C
连接 OC，与圆的交点即为 P 点，再通过勾股定理即可求出 PC 长度． 思路概述：分析动点形 成原理，通常“ 非直即圆” （不是直线就 是圆），接下来可以 寻找与动 点相关有无定直线与定 角．
【2013 武汉中考】如图，E 、F 是正方形 ABCD 的边 AD 上的两个动点，满足 AE =DF，连 接 CF 交 BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H，若正方形边长为 2，则线段 DH 长度的最小 值是________．
A
O
B
【辅助圆+相切】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB =90°，∠B=30°，AB =4，D 是 BC 上一动点， CE ⊥AD 于 E ，EF⊥AB 交 BC 于点 F，则 CF 的最大值是_________．
专题63 构造圆与隐形圆在二次函数中的综合问题(解析版)
专题63 构造圆与隐形圆在二次函数中的综合问题
1、如图，在直角坐标系中，直线y=﹣13x ﹣1与x 轴，y 轴的交点分别为A 、B ，以x=﹣1为对称轴的抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴分别交于点A 、C ，直线x=﹣1与x 轴交于点D ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在线段AB 上是否存在一点P ，使以A ，D ，P 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）若点Q 在第三象限内，且tan△AQD=2，线段CQ 是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x 2+2x ﹣3；（2）存在；点P 坐标为（﹣1，−23）或（-65，-35）； （3）存在，CQ 最小值为√37−√52
. 【解析】（1）△直线y=﹣13x ﹣1与x 轴交于A 点，
△点A 坐标为（﹣3，0），
又△直线x=﹣1为对称轴，
△点C 坐标为（1，0），
△抛物线解析式为：y=（x+3）（x ﹣1）=x 2+2x ﹣3；
（2）存在；。
二次函数背景下的与圆有关的问题(解析版)
备战2020年中考数学压轴题之二次函数专题10 二次函数背景下的与圆有关的问题【方法综述】圆和二次函数都是初中数学重点知识，是压轴题中的常见题目。
而二次函数与圆的结合则常常是高难度的压轴题。
以二次函数为背景的问题中，圆的知识常常以圆的基本知识、与圆有关的位置关系、构造圆和隐形圆为考察内容。
解答要点是结合相关知识，对于已知条件进行数形结合。
【典例示范】类型一 圆的基本性质应用例1：如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +m 的图象经过点P （4，5），与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，且S △P AB ＝10．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点Q 使得△P AQ 和△PBQ 的面积相等？若存在，求出Q 点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过A 、P 、C 三点的圆与抛物线交于另一点D ，求出D 点坐标及四边形P ACD 的周长．【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）点Q 的坐标为：（﹣2，5）或（﹣13，﹣209）；（3）． 【思路引导】（1）因为抛物线y ＝ax 2﹣2ax +m ，函数的对称轴为：x ＝1，S △P AB ＝10＝12×AB ×y P ＝12AB ×5，解得AB=4，即可求解；（2）分A 、B 在点Q （Q′）的同侧；点A 、B 在点Q 的两侧两种情况，分别求解即可；（3）过点P 作PO′⊥x 轴于点O′，则点O′（4，0），则AO′＝PO′＝5，而CO′＝5，故圆O′是过A 、P 、C 三点的圆，即可求解．【详解】解：（1）y＝ax2﹣2ax+m，函数的对称轴为：x＝1，S△P AB＝10＝12×AB×y P＝12AB×5，解得：AB＝4，故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点P的坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）①当A、B在点Q（Q′）的同侧时，如图1，△P AQ′和△PBQ′的面积相等，则点P、Q′关于对称轴对称，故点Q′（﹣2，5）；②当A、B在点Q的两侧时，如图1，设PQ交x轴于点E，分别过点A、B作PQ的垂线交于点M、N，△P AQ和△PBQ的面积相等，则AM＝BN，而∠BEN＝∠AEM，∠AME＝∠BNE＝90°，∴△AME≌△BNE（AAS），∴AE＝BE，即点E是AB的中点，则点E（1，0），将点P、E的坐标代入一次函数表达式并解得：直线PQ的表达式为：y＝53x﹣53…②，联立①②并解得：x＝﹣13或4（舍去4），故点Q（﹣13，﹣209），综上，点Q的坐标为：（﹣2，5）或（﹣13，﹣209）；（3）过点P作PO′⊥x轴于点O′，则点O′（4，0），则AO′＝PO′＝5，而CO′＝5，故圆O′是过A、P、C三点的圆，设点D（m，m2﹣2m﹣3），点O′（4，0），则DO′＝5，即（m﹣4）2+（m2﹣2m﹣3）2＝25，化简得：m（m+1）（m﹣1）（m﹣4）＝0，解得：m＝0或﹣1或1或4（舍去0，﹣1，4），故：m＝1，故点D（1，﹣4）；四边形P ACD的周长＝P A+AC+CD+PD＝【方法总结】本题考查了二次函数与三角形面积、三点共圆、四边形的周长、长度公式，综合性较强，灵活运用二次函数的知识是解题的关键.针对训练1．如图，一次函数y=2x与反比例函数y=kx(k＞0)的图象交于A、B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆上，Q是AP的中点（1）若k的值；（2）若OQ长的最大值为32，求k的值；（3）若过点C的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件：①a+b+c=0；②当a≤x≤a+1时，函数y的最大值为4a，求二次项系数a的值．【答案】（1）2；（2）3225；（3）a的值为-3或2或-4或1．【解析】（1）设A(m，n)，∵∴m2+n2=5，∵一次函数y=2x的图象经过A点，∴n=2m，∴m2+(2m)2=5，解得m=±1，∵A在第一象限，∴m=1，∴A(1，2)，∵点A在反比例函数y=kx(k＞0)的图象上，∴k=1×2=2；（2）如图，连接BP，由对称性得：OA=OB，∵Q是AP的中点，∴OQ=12 BP，∵OQ长的最大值为32，∴BP长的最大值为32×2=3，如图2，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，∵CP=1，∴BC=2，∵B在直线y=2x上，设B(t，2t)，则CD=t-(-2)=t+2，BD=-2t，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2，∴22=(t+2)2+(-2t)2，t=0(舍)或-45，∴B(-45，-85)，∵点B在反比例函数y=kx(k＞0)的图象上，∴k=-45×(-85)=3225；（3）∵抛物线经过点C(-2，0)，∴4a-2b+c=0，又∵a+b+c=0，∴b=a，c=-2a，∴y=ax2+ax-2a=a(x+12)2-94a，∵-12＜a≤x≤a+1或a≤x≤a+1＜-12，当x=a时，取得最大值4a，则a•a2+a•a-2a=4a，解得a=-3或2，当x=a+1时，取得最大值4a，则a(a+1)2+a(a+1)-2a=4a，解得a=-4或1，综上所述所求a的值为-3或2或-4或1．2．对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q和图形G，给出如下定义：点P，Q都在图形G上，且将点P的横坐标与纵坐标互换后得到点Q，则称点P，Q是图形G的一对“关联点”．例如，点P（1，2）和点Q（2，1）是直线y＝﹣x+3的一对关联点．（1）请写出反比例函数y＝6的图象上的一对关联点的坐标：；x（2）抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C（0，﹣1）．点A，B是抛物线y＝x2+bx+c 的一对关联点，直线AB与x轴交于点D（1，0）．求A，B两点坐标．（3）⊙T的半径为3，点M，N是⊙T的一对关联点，且点M的坐标为（1，m）（m＞1），请直接写出m的取值范围．【答案】（1）（2，3），（3，2）．（2）A，B两点坐标为（﹣1，2）和（2，﹣1）．（3）1＜m≤1+3√2．【解析】解：（1）∵2×3＝3×2＝6，∴点（2，3），（3，2）是反比例函数y＝6的图象上的一对关联点．x故答案为：（2，3），（3，2）．（2）∵抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，＝1，∴﹣b2解得：b＝﹣2．∵抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点C（0，﹣1），∴c＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1．由关联点定义，可知：点A，B关于直线y＝x对称．又∵直线AB与x轴交于点D（1，0），∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x ＋1．联立直线AB 及抛物线解析式成方程组，得：{y ＝﹣x ＋1y ＝x 2﹣2x ﹣1， 解得：{x 1=−1y 1=2 ，{x 2=−1y 2=2， ∴A ，B 两点坐标为（﹣1，2）和（2，﹣1）．（3）由关联点定义，可知：点M ，N 关于直线y ＝x 对称，∴⊙T 的圆心在直线y ＝x 上．∵⊙T 的半径为3，∴M 1M 2＝√22×2×3＝3√2，∴m 的取值范围为1＜m≤1＋3√2． .3．已知：直线y=-x -4分别交x 、y 轴于A 、C 两点，点B 为线段AC 的中点，抛物线y=ax 2+bx 经过A 、B 两点，（1）求该抛物线的函数关系式；（2）以点B 关于x 轴的对称点D 为圆心，以OD 为半径作⊙D ，连结AD 、CD ，问在抛物线上是否存在点P ，使S △ACP =2S △ACD ？若存在，请求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若E 为⊙D 上一动点(不与A 、O 重合)，连结AE 、OE ，问在x 轴上是否存在点Q ，使∠ACQ ：∠AEO=2：3？若存在，请求出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=12x2+2x；（2）P坐标为(-3)或(-3+，7)；（3）Q坐标为8，0)、(--8，0)、(4，0)．【解析】解：（1）∵直线y=-x-4中，y=0时，x=-4；x=0时，y=-4，∴A(-4，0)，C(0，-4)，∵点B为AC中点，∴B(-2，-2)，∵抛物线y=ax2+bx经过A、B两点，∴1640 422a ba b-=⎧⎨-=-⎩，解得：122ab⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的函数关系式为y=12x2+2x．（2）在抛物线上存在点P使S△ACP=2S△ACD．如图1，连接AD并延长交y轴于点F，∵y=12x2+2x=12(x-2)2-2，∴点B为抛物线的顶点，∵点D为点B关于x轴的对称点，∴D(-2，2)在抛物线的对称轴上，∴DA=DO，∠DAO=∠DOA=45°，∵OA=OC=4，∠AOC=90°，∴∠OAC=45°，∴∠DAC=∠DAO+∠OAC=90°，∴S △ACD =12AC•AD ， ∵∠AOF=90°，∴AF 为⊙D 直径，即点F 在⊙D 上，∴AF=2AD ，OF=OA=4即F(0，4)，∵S △ACP =2S △ACD =2•12AC•AD=12AC•2AD=12AC•AF ， ∴点P 在过点F 且平行于直线y=-x -4的直线上，∴直线PF 解析式为y=-x+4， ∵24122y x y x x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：1137x y ⎧=--⎪⎨=+⎪⎩；2237x y ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩∴点P 坐标为(-3)或(-7；（3）在x 轴上存在点Q 使∠ACQ ：∠AEO=2：3． ∵∠OAD=∠ODA=45°，∴∠ADO=90°，∵点E 在⊙D 上且不与A 、O 重合，∠ACQ ：∠AEO=2：3． ①如图2，当点E 在优弧AO 上时，∠AEO=12∠ADO=45°， ∴∠ACQ=23∠AEO=30°，过点Q作QG垂直直线AC于点G，设QG=t，∴Rt△CQG中，CQ=2QG=2t，．∴∠GAQ=∠OAC=45°，∴Rt△AGQ中，AG=QG=t，t．i)若点Q在线段AO上时，如图2：则，解得：-，∴(4=，∴x Q=-8；ii)若点Q在线段OA延长上时，如图3：则AC=CG-t-t=4，解得：t=，∴(4=，∴x Q=-4--8，②当点E在劣弧AO上时，∠AEO=12(360°-∠ADO)=135°，∴∠ACQ=23∠AEO=90°．∵∠CAO=45°，△ACO是等腰直角三角形，∴Q点与A点对称，A (-4，0)∴x Q=4．综上所述：满足条件的点Q有三个，坐标分别为8，0)、(--8，0)、(4，0)4．已知抛物线y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；②若点C关于直线x=−m的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P2的值．的半径记为r，求lr【答案】（1）证明见解析；（2）①定点F的坐标为（0，1）；②10+6√5．5【解析】（1）令y＝0，则x2+mx﹣2m﹣4＝0，∴△＝m2﹣4[﹣2m﹣4]＝m2+8m+16，∵m＞0，∴△＞0，∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）令y＝0，则x2+mx﹣2m﹣4＝0，∴（x﹣2）[x+（m+2）]＝0，∴x＝2或x＝﹣（m+2），∴A（2，0），B（﹣（m+2），0），∴OA＝2，OB＝m+2，令x＝0，则y＝﹣2（m+2），∴C（0，﹣2（m+2）），∴OC＝2（m+2），①通过定点（0，1）理由：如图，∵点A，B，C在⊙P上，∴∠OCB＝∠OAF，在Rt△BOC中，tan∠OCB=OBOC =m+22（m+2）=12，在Rt△AOF中，tan∠OAF=OFOA =OF2=12，∴OF＝1，∴点F的坐标为（0，1）；②如图1，由①知，点F（0，1）．∵D（0，1），∴点D在⊙P上，∵点E是点C关于抛物线的对称轴的对称点，∴∠DCE＝90°，∴DE是⊙P的直径，∴∠DBE＝90°，∵∠BED ＝∠OCB ，∴tan ∠BED =12， 设BD ＝n ，在Rt △BDE 中，tan ∠BED =BD BE =n BE =12， ∴BE ＝2n ，根据勾股定理得：DE =√BD 2+BE 2=√5n ，∴l ＝BD+BE+DE ＝（3+√5）n ，r =12DE =√52n ， ∴l r =√5）√52n =10+6√55． 5．．如图①，已知抛物线2139424y x x =-+的顶点为点P ，与y 轴交于点B ．点A 坐标为（3，2）．点M 为抛物线上一动点，以点M 为圆心，MA 为半径的圆交x 轴于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧）．（1）如图②，当点M 与点B 重合时，求CD 的长；（2）当点M 在抛物线上运动时，CD 的长度是否发生变化？若变化，求出CD 关于点M 横坐标x 的函数关系式；若不发生变化，求出CD 的长；（3）当△ACP 与△ADP 相似时，求出点C 的坐标．【答案】（1） CD=4；（2）不发生变化，CD=4；（3）点C 坐标为：（1,0），()1-，()1+ 【解析】（1）如图：连结BC ，BD ，由题意得：904B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，（3，2），∴AB =∴2OC ==，∴CD=2OC=4；（2）如图：作MH ⊥x 轴，连结MA ，MC ，设()M x y ，，则半径AM =∴CH ====2=， ∵MH ⊥CD ，∴CD=2CH=4，（3）①当△APC ∽△APD ，即全等时，∴PC=PD ，P 与M 重合，∵P （3，0），CD=4，∴C （1，0）②如图，点M 在点P 的左侧，△APC ∽△DPA ，2PA PD PC =⨯，设PC=x ，x （x -4）=4，解得2x =±，∴()1C -， ③如图，点M 在点P 的右侧△APC ∽△DPA ，2PA PD PC =⨯，设PC=x ，x （x+4）=4，解得2x =-±，∴()C ，综上所述，点C 坐标为：C （1，0）；()1C -；()C ； 6．已知抛物线 C 1：y ＝ax 2 过点（2，2）(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图，△ABC 的三个顶点都在抛物线C 1 上，且边 AC 所在的直线解析式为y ＝x +b ，若 AC 边上的中线 BD 平行于 y 轴，求AC 2BD 的值；(3)如图，点 P 的坐标为（0，2），点 Q 为抛物线上C 1 上一动点，以 PQ 为直径作⊙M ，直线 y ＝t 与⊙M 相交于 H 、K 两点是否存在实数 t ，使得 HK 的长度为定值？若存在，求出 HK 的长度；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=12x 2 ;(2)16;(3)见解析.【解析】（1）把点（2，2）坐标代入y ＝ax2，解得：a ＝12，∴抛物线的解析式为y ＝x2；（2）把y ＝x+b 和y ＝12x2得：x2﹣2x ﹣2b ＝0，设A 、C 两点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则：x1+x2＝2，x1•x2＝﹣2b ，点D 坐标为（x 1+x 22，y 1+y 22），即D （1，﹣b ），B 坐标为（1，12）， AC2＝[√2（x2﹣x1）]2＝16b+8，BD ＝12+b ， ∴AC 2BD ＝16；(3)设点Q 坐标为（a ，12a2），点P 的坐标为（0，2），由 P 、Q 坐标得点M 的坐标为（a 2，14a2+1）， 设圆的半径为 r ，由P （0，2）、M 两点坐标可得r2＝a 24+（14a2﹣1）2＝116a4﹣14a2+1，设点M 到直线y ＝t 的距离为d ，则d2＝（a2+1﹣t ）＝116a4+12a2+1+t2﹣2t ﹣12a2t ，则 HK ＝2√r 2−d 2＝2√(12t −34)a 2+2t −t 2，当12t −34＝0 时，HK 为常数，t ＝32， HK ＝√3．7．（浙江省湖州市南浔区2017-2018学年九年级上学期期末）已知在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，如图1，直角三角板△MON 中，OM=ON=√3，OQ=1，直线l 过点N 和点N ，抛物线y=ax 2+2√33x+c 过点Q 和点N ．（1）求出该抛物线的解析式；（2）已知点P 是抛物线y=ax 2+2√33x+c 上的一个动点．①初步尝试若点P 在y 轴右侧的该抛物线上，如图2，过点P 作PA ⊥y 轴于点A ，问：是否存在点P ，使得以N 、P 、A 为顶点的三角形与△ONQ 相似．若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；②深入探究若点P 在第一象限的该抛物线上，如图3，连结PQ ，与直线MN 交于点G ，以QG 为直径的圆交QN 于点H ，交x 轴于点R ，连结HR ，求线段HR 的最小值．【答案】（1）y=﹣√33x2+2√33x+√3（2）①（1，4√33）、（3，0）、（5，﹣4√3）②3√2+64【解析】 （1）由题意可知，Q （﹣1，0），N （0，√3），∴c=√3，即y=ax2+2√33x+√3， 将Q （﹣1，0）代入解析式得0=a ﹣2√33+√3，解得a=﹣√33， ∴抛物线解析式是y=﹣√33x2+2√33x+√3； （2）①分三种情况，如图2，情况一：点P 在第一象限时，△APN ∽△ONQ ，设AN=m ，则AP=√3m ，则P 的坐标（√3m ，m+√3），而点P 在抛物线上，代入可得m+√3=﹣√33（√3m ）2++2√33（√3m ）+√3， 解得m=√33，∴P1（1，4√33）； 情况二：点P 恰好在x 轴上，P2（3，0），情况三：P 在第四象限内，同情况一方法可解得P3（5，﹣4√3），②连结CH 和CR ，如图3，∵∠NQ0=60°，∴∠HCR=120°，∵CH=CR ，∴HR=√3CH ，∴HR 最小时，只需要半径最小，即直径最小即可，∴过Q作NM的垂线，垂直时，QG最小，∴用面积法求出，QG=√6+√22，HR最小值=3√2+64．8．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A点坐标为(−8, 0)，B点坐标为(2, 0)，以AB为直径的圆P与y轴的负半轴交于点C．（1）求图象经过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）设M点为所求抛物线的顶点，试判断直线MC与⊙P的关系，并说明理由．【答案】（1）14x2+32x−4；（2）直线MC与⊙P相切，理由见解析【解析】解：（1）连接AC、BC；∵AB是⊙P的直径，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，∵∠BCO+∠CBO=90°，∴∠CBO=∠ACO，∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB，∴AOOC =OC OB，∴OC2=OA·OB=16，∴OC=4，故C(0，﹣4)，设抛物线的解析式为：y=a(x+8)(x ﹣2)，代入C 点坐标得：a(0+8)(0﹣2)=﹣4，a=14，故抛物线的解析式为：y=14(x+8)(x ﹣2)=14x 2+32x ﹣4；(2)由(1)知：y=14x 2+32x ﹣4=14(x +3)2﹣254；则M(﹣3，﹣254)， 又∵C(0， ﹣4)，P(﹣3， 0)，∴MP=254，PC=5，MC=154，∴MP 2=MC 2+PC 2，即△MPC 是直角三角形，且∠PCM=90°，故直线MC 与⊙P 相切．9．已知抛物线y=ax 2+bx 过点A （1，4）、B （﹣3，0），过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，在x 轴上有一点D （4，0），连接CD ．（1）求抛物线的表达式；（2）若在抛物线上存在点Q ，使得CD 平分∠ACQ ，请求出点Q 的坐标；（3）在直线CD 的下方的抛物线上取一点N ，过点N 作NG ∥y 轴交CD 于点G ，以NG 为直径画圆在直线CD 上截得弦GH ，问弦GH 的最大值是多少？（4）一动点P 从C 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿C ﹣A ﹣D 运动，在线段CD 上还有一动点M ，问是否存在某一时刻使PM+AM=4？若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）直线CE 的表达式为y=﹣43x ﹣43；（2）点Q 的坐标为（﹣13，﹣89）；（3）弦GH 的最大值81√580；（4）存在，t 的值为3或7【解析】解：（1）∵抛物线y=a x 2+bx 过点A （1，4）、B （﹣3，0），∴{a +b ＝49a −3b ＝0，解得：a=1,b=3, ∴抛物线的表达式为y=x 2+3x ．（2）当y=4时，有x 2+3x=4，解得：x 1=﹣4，x 2=1，∴点C 的坐标为（﹣4，4），∴AC=1﹣（﹣4）=5．∵A （1，4），D （4，0），∴AD=5．取点E （﹣1，0），连接CE 交抛物线于点Q ，如图1所示．∵AC=5，DE=4﹣（﹣1）=5，AC ∥DE ，∴四边形ACED 为平行四边形，∵AC=AD ，∴四边形ACED 为菱形，∴CD 平分∠ACQ ．设直线CE 的表达式为y=mx+n （m≠0），将C （﹣4，4）、E （﹣1，0）代入y=mx+n ，得：{−4m +n ＝4−m +n ＝0 ，解得：{m =−43n =−43， ∴直线CE 的表达式为y=﹣43x ﹣43．联立直线CE 与抛物线表达式成方程组，得：{y =−43x −43y =x 2+3x， 解得：{x 1=−4y 1=4 ,{x 2=−13y 2=−89 ， ∴点Q 的坐标为（﹣13，﹣89）．（3）设直线CD 的表达式为y=kx+c （k≠0），将C （﹣4，4）、D （4，0）代入y=kx+c ，得：{−4k +c ＝44k +c ＝0 ，解得：{k =−12c =2 ， ∴直线CD 的表达式为y=﹣12x+2．设点N 的坐标为（x ，x2+3x ），则点G 的坐标为（x ，﹣12x+2），∴NG=﹣12x+2﹣（x2+3x ）=﹣x2﹣72x+2=﹣（x+74）2+8116，∵﹣1＜0，∴当x=﹣74时，NG 取最大值，最大值为8116． 以NG 为直径画⊙O′，取GH 的中点F ，连接O′F ，则O′F ⊥BC ，如图2所示．∵直线CD 的表达式为y=﹣12x+2，NG ∥y 轴，O′F ⊥BC ， ∴tan ∠GO′F=GF O′F =12， ∴GF O′G =√12+22=√55， ∴GH=2GF=2√55 O′G=√55NG ，∴弦GH 的最大值为√55×8116=81√580．（4）取点E（﹣1，0），连接CE、AE，过点E作EP1⊥AC于点P1，交CD于点M1，过点E作EP2⊥AD 于点P2，交CD于点M2，如图3所示．∵四边形ACED为菱形，∴点A、E关于CD对称，∴AM=EM．∵AC∥x轴，点A的坐标为（1，4），∴EP1=4．由菱形的对称性可知EP2=4．∵点E的坐标为（﹣1，0），∴点P1的坐标为（﹣1，4），∴CP1=DP2=﹣1﹣（﹣4）=3，又∵AC=AD=5，∴t的值为3或7．10．如图，在平面直角坐标系中，点A(10, 0)，以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB 并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．(1)∠OBA=________°．(2)求抛物线的函数表达式．(3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？【答案】(1)90;(2)y=−18x2+54x;(3) 以P、O、A、E为顶点的四边形面积S等于16时，相应的点P有且只有3个．【解析】解：(1)90；(2)连接OC，如图1所示，∵由(1)知OB⊥AC，又AB=BC，∴OB是AC的垂直平分线，∴OC=OA=10，在Rt△OCD中，OC=10，CD=8，∴OD=6，∴C(6, 8)，B(8, 4)∴OB所在直线的函数关系为y=12x，又∵E点的横坐标为6，∴E点纵坐标为3，即E(6, 3)，抛物线过O(0, 0)，E(6, 3)，A(10, 0)，∴设此抛物线的函数关系式为y=ax(x−10)，把E点坐标代入得：3=6a(6−10)，解得a=−18．∴此抛物线的函数关系式为y=−18x(x−10)，即y=−18x2+54x；(3)设点P(p, −18p2+54p)，①若点P在CD的左侧，延长OP交CD于Q，如右图2，OP 所在直线函数关系式为：y =(−18p +54)x∴当x =6时，y =−34p +152，即Q 点纵坐标为−34p +152， ∴QE =−34p +152−3=−34p +92，S 四边形POAE =S △OAE +S △OPE =S △OAE +S △OQE −S △PQE =12⋅OA ⋅DE +12QE ⋅OD −12⋅QE ⋅P x •=12×10×3+12×(−34p +92)×6−12•(−34p +92)⋅(6−p )， =−38p 2+94p +15， ②若点P 在CD 的右侧，延长AP 交CD 于Q ，如右图3，P(p, −18p 2+54p)，A(10, 0) ∴设AP 所在直线方程为：y =kx +b ，把P 和A 坐标代入得，{10k +b =0pk +b =−18p 2+54p， 解得{k =−18p b =54p． ∴AP 所在直线方程为：y =−18px +54p ，∴当x =6时，y =−18p ⋅6+54p =12P ，即Q 点纵坐标为12P ，∴QE =12P −3，∴S 四边形POAE=S △OAE +S △APE =S △OAE +S △AQE −S △PQE =12⋅OA ⋅DE +12⋅QE ⋅DA −12⋅QE •(P x −6)=12×10×3+12⋅QE •(DA −P x +6)=15+12•(12p −3)⋅(10−p) =−14p 2+4p =−14(p −8)2+16，∴当P 在CD 右侧时，四边形POAE 的面积最大值为16，此时点P 的位置就一个，令−38p 2+94p +15=16，解得，p =3±√573， ∴当P 在CD 左侧时，四边形POAE 的面积等于16的对应P 的位置有两个，综上所知，以P 、O 、A 、E 为顶点的四边形面积S 等于16时，相应的点P 有且只有3个．类型二 与圆有关的位置关系例2．如图1，二次函数y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ＜0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ．（1）求顶点D 的坐标（用含a 的代数式表示）；（2）若以AD 为直径的圆经过点C ．①求抛物线的函数关系式；②如图2，点E 是y 轴负半轴上一点，连接BE ，将△OBE 绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN （点P 、M 、N 分别和点O 、B 、E 对应），并且点M 、N 都在抛物线上，作MF ⊥x 轴于点F ，若线段MF ：BF ＝1：2，求点M 、N 的坐标；③点Q 在抛物线的对称轴上，以Q 为圆心的圆过A 、B 两点，并且和直线CD 相切，如图3，求点Q 的坐标．【答案】（1）（1，﹣4a ）；（2）①y=﹣x 2+2x+3；②M （52，74）、N （32，154）；③点Q 的坐标为（1，﹣）或（1，﹣4﹣）．【思路引导】 （1）将二次函数的解析式进行配方即可得到顶点D 的坐标．（2）①以AD为直径的圆经过点C，即点C在以AD为直径的圆的圆周上，依据圆周角定理不难得出△ACD 是个直角三角形，且∠ACD＝90°，A点坐标可得，而C、D的坐标可由a表达出来，在得出AC、CD、AD 的长度表达式后，依据勾股定理列等式即可求出a的值．②将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，说明了PM正好和x轴平行，且PM＝OB＝1，所以求M、N的坐标关键是求出点M的坐标；首先根据①的函数解析式设出M点的坐标，然后根据题干条件：BF＝2MF作为等量关系进行解答即可．③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，由C、D两点的坐标不难判断出∠CDQ＝45°，那么△QGD为等腰直角三角形，即QD ²＝2QG ²＝2QB ²，设出点Q的坐标，然后用Q点纵坐标表达出QD、QB的长，根据上面的等式列方程即可求出点Q的坐标．【解析】（1）∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣1）2﹣4a，∴D（1，﹣4a）．（2）①∵以AD为直径的圆经过点C，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°；由y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣3）（x+1）知，A（3，0）、B（﹣1，0）、C（0，﹣3a），则：AC2=9a2+9、CD2=a2+1、AD2=16a2+4由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，即：9a2+9+a2+1=16a2+4，化简，得：a2=1，由a＜0，得：a=﹣1，②∵a=﹣1，∴抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+3，D（1，4）．∵将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，∴PM∥x轴，且PM=OB=1；设M（x，﹣x2+2x+3），则OF=x，MF=﹣x2+2x+3，BF=OF+OB=x+1；∵BF=2MF，∴x+1=2（﹣x2+2x+3），化简，得：2x2﹣3x﹣5=0解得：x1=﹣1（舍去）、x2=5 2 .∴M（52，74）、N（32，154）．③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，过C作CH⊥QD于H，如下图：∵C （0，3）、D （1，4），∴CH =DH =1，即△CHD 是等腰直角三角形，∴△QGD 也是等腰直角三角形，即：QD 2=2QG 2；设Q （1，b ），则QD =4﹣b ，QG 2=QB 2=b 2+4；得：（4﹣b ）2=2（b 2+4），化简，得：b 2+8b ﹣8=0，解得：b =﹣；即点Q 的坐标为（1，4-+）或（1，4--．【方法总结】此题主要考查了二次函数解析式的确定、旋转图形的性质、圆周角定理以及直线和圆的位置关系等重要知识点；后两个小题较难，最后一题中，通过构建等腰直角三角形找出QD 和⊙Q 半径间的数量关系是解题题目的关键．针对训练1．抛物线y ＝﹣23x 2+73x ﹣1与x 轴交于点A ，B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为D ．将抛物线位于直线l ：y ＝t (t ＜2524)上方的部分沿直线l 向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M ”形的新图象．(1)点A ，B ，D 的坐标分别为 ， ， ；(2)如图①，抛物线翻折后，点D 落在点E 处．当点E 在△ABC 内(含边界)时，求t 的取值范围；(3)如图②，当t ＝0时，若Q 是“M ”形新图象上一动点，是否存在以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A （12，0）；B （3，0）；D （74，2524）；（2）1548≤t≤2548；（3）存在以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ，点P的坐标为（75-0）、（311，0）、（1，0）或（75+，0）． 【解析】解：（1）当y=0时，﹣23x 2+73x ﹣1=0， 解得x 1=12,x 2=3, ∴点A 的坐标为（12，0），点B 的坐标为（3,0）， ∵y=﹣23x 2+73x ﹣1=﹣23（x -74）2+2524, ∴点D 的坐标为（74，2524）； （2）∵点E 、点D 关于直线y=t 对称，∴点E 的坐标为（74，2t ﹣2524）． 当x=0时，y=﹣23x 2+73x ﹣1=﹣1， ∴点C 的坐标为（0，﹣1）．设线段BC 所在直线的解析式为y=kx+b ，将B （3，0）、C （0，﹣1）代入y=kx+b ，301k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：131k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴线段BC 所在直线的解析式为y=13x ﹣1． ∵点E 在△ABC 内（含边界），∴2520242517212434tt⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥⨯-⎪⎩，解得：1548≤t≤2548．（3）当x＜12或x＞3时，y=﹣23x2+73x﹣1；当12≤x≤3时，y=﹣23x2+73x﹣1．假设存在，设点P的坐标为（12m，0），则点Q的横坐标为m．①当m＜12或m＞3时，点Q的坐标为（m，﹣23x2+73x﹣1）（如图1），∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，∴CP⊥PQ，∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（﹣23m2+73m）2=14m2+1+14m2+（﹣23m2+73m﹣1）2，整理，得：m1，m2，∴点P 0，0）； ②当12≤m≤3时，点Q 的坐标为（m,23x 2-73x +1）（如图2）， ∵以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ， ∴CP ⊥PQ ，∴CQ 2=CP 2+PQ 2，即m 2+（23m 2﹣73m+2）2=14m 2+1+14m 2+（23m 2﹣73m+1）2， 整理，得：11m 2﹣28m+12=0，解得：m 3=611，m 4=2， ∴点P 的坐标为（311，0）或（1，0）．综上所述：存在以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ，点P 0）、（311，0）、（1，0）或（75+，0）． 2．如图1，抛物线y ＝ax 2+bx+c 的顶点（0，5），且过点（﹣3，114），先求抛物线的解析式，再解决下列问题：（应用）问题1，如图2，线段AB ＝d （定值），将其弯折成互相垂直的两段AC 、CB 后，设A 、B 两点的距离为x ，由A 、B 、C 三点组成图形面积为S ，且S 与x 的函数关系如图所示（抛物线y ＝ax 2+bx+c 上MN 之间的部分，M 在x 轴上）：（1）填空：线段AB 的长度d ＝ ；弯折后A 、B 两点的距离x 的取值范围是 ；若S ＝3，则是否存在点C ，将AB 分成两段（填“能”或“不能”） ；若面积S ＝1.5时，点C 将线段AB 分成两段的长分别是 ；（2）填空：在如图1中，以原点O 为圆心，A 、B 两点的距离x 为半径的⊙O ；画出点C 分AB 所得两段AC 与CB 的函数图象（线段）；设圆心O 到该函数图象的距离为h ，则h ＝ ，该函数图象与⊙O 的位置关系是 ．（提升）问题2，一个直角三角形斜边长为c （定值），设其面积为S ，周长为x ，证明S 是x 的二次函数，求该函数关系式，并求x 的取值范围和相应S 的取值范围．【答案】抛物线的解析式为：y ＝﹣14x 2+5；（1）＜x ＜；（2，相离或相切或相交；（3）相应S 的取值范围为S ＞14c 2．【解析】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx+c 的顶点（0，5）， ∴y ＝ax 2+5， 将点（﹣3，114）代入， 得114＝a×（﹣3）2+5， ∴a ＝14﹣ ， ∴抛物线的解析式为：y ＝2154x +﹣ ；（1）∵S 与x 的函数关系如图所示（抛物线y ＝ax 2+bx+c 上MN 之间的部分，M 在x 轴上），在y ＝2154x +﹣，当y ＝0时，x 1＝x 2＝﹣∴M （0），即当x ＝S ＝0，∴d 的值为∴弯折后A 、B 两点的距离x 的取值范围是0＜x ＜当S ＝3 时，设AC ＝a ，则BC ＝a ，∴12a （a ）＝3，整理，得a 2﹣＝0， ∵△＝b 2﹣4ac ＝﹣4＜0， ∴方程无实数根；当S ＝1.5时，设AC ＝a ，则BC ＝a ，∴12a （a ）＝1.5，整理，得a 2﹣＝0，解得1a 2a∴当a +a当a a +∴若面积S ＝1.5时，点C 将线段AB +故答案为：0＜x ＜+（2）设AC ＝y ，CB ＝x ，则y ＝﹣1所示的线段PM ，则P （0，，M （0）， ∴△OPM 为等腰直角三角形，∴PM OP ＝， 过点O 作OH ⊥PM 于点H ，则OH ＝12PM ，∴当0＜x 时，AC 与CB 的函数图象（线段PM ）与⊙O 相离；当x 时，AC 与CB 的函数图象（线段PM ）与⊙O 相切；＜x ＜AC 与CB 的函数图象（线段PM ）与⊙O 相交；，相离或相切或相交； （3）设直角三角形的两直角边长分别为a ，b ， 则222-a b c a b x c ++＝，＝ ， ∵（a+b ）2＝a 2+b 2+2ab ， ∴（x ﹣c ）2＝c 2+2ab ，∴2111242ab x cx =-， 即S ＝()22211114244x cx x c c -=-+，∴x 的取值范围为：x ＞c ， 则相应S 的取值范围为S ＞214c ．3．如图，已知抛物线()2y ax bx 2a 0=+-≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且()D 2,3，()B 4,0-． （1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C ，求BMC 面积的最大值； （3）在（2）中BMC 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）213y x x 222=+-；（2）4；（3）存在，Q 的坐标为()2,4-或()2,1-- 【解析】解：()1将()D 2,3、()B 4,0-的坐标代入抛物线表达式得：422316420a b a b +-=⎧⎨--=⎩，解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则抛物线的解析式为：213y x x 222=+-； ()2过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点K ，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y k'x b'=+得：04'''2k b b =-+⎧⎨=-⎩，解得：1'2'2k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，则直线BC 的表达式为：1y x 22=--， 设点M 的坐标为213x,x x 222⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则点1K x,x 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 22BMC1113SMK OB 2x 2x x 2x 4x 2222⎛⎫=⋅⋅=----+=-- ⎪⎝⎭， a 10=-<，BMC S∴有最大值，当bx 22a=-=-时， BMCS最大值为4，点M 的坐标为()2,3--；()3如图所示，存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆，切点为N ，过点M 作直线平行于y 轴，交直线AC 于点H ，点M 坐标为()2,3--，设：点Q 坐标为()2,m -， 点A 、C 的坐标为()1,0、()0,2-，OA 1tan OCA OC 2∠==， QH //y 轴，QHN OCA ∠∠∴=，1tan QHN2∠∴=，则sin QHN ∠=，将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式：y mx n =+得：02m n n +=⎧⎨=-⎩，则直线AC 的表达式为：y 2x 2=-， 则点()H 2,6--，在Rt QNH 中，QH m 6=+，QN OQ ===QN sin QHNQHm 6∠===+， 解得：m 4=或1-，即点Q 的坐标为()2,4-或()2,1--．4．如图1，对于平面内的点P 和两条曲线L 1、L 2给出如下定义：若从点P 任意引出一条射线分别与L 1、L 2交于Q 1、Q 2，总有PQ 1PQ 2是定值，我们称曲线L 1与L 2“曲似”，定值PQ1PQ 2为“曲似比”，点P 为“曲心”．例如：如图2，以点O ′为圆心，半径分别为r 1、r 2(都是常数)的两个同心圆C 1、C 2，从点O ′任意引出一条射线分别与两圆交于点M 、N ，因为总有O ′MO ′N =r 1r 是定值，所以同心圆C 1与C 2曲似，曲似比为r1r 2，“曲心”为O ′．(1)在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx与抛物线y=x2、y=12x2分别交于点A、B，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；(2)在(1)的条件下，以O为圆心，OA为半径作圆，过点B作x轴的垂线，垂足为C，是否存在k值，使⊙O 与直线BC相切？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；(3)在(1)、(2)的条件下，若将“y=12x2”改为“y=1mx2”，其他条件不变，当存在⊙O与直线BC相切时，直接写出m的取值范围及k与m之间的关系式．【答案】（1）两抛物线曲似，理由详见解析；（2）存在k值，使⊙O与直线BC相切，k=±√3；（3）m>1，k2=m2−1．【解析】(1)是，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、C，依题意可得A(k,k2)、B(2k,2k2)，因此D(k,0)、C(2k,0)，∵AD ⊥x 轴、BC ⊥x 轴， ∴AD//BC ， ∴OA OB=OD OC=k 2k=12，∴两抛物线曲似，曲似比为12；(2)假设存在k 值，使⊙O 与直线BC 相切， 则OA =OC =2k ，又∵OD =k 、AD =k 2，并且OD 2+AD 2=OA 2， ∴k 2+(k 2)2=(2k)2， 解得：k =√3(负值舍去)， 由对称性可取k =−√3， 综上，k =±√3；(3)根据题意得A(k,k 2)、B(mk,mk 2)， 因此D(k,0)、C(mk,0)， ∵⊙O 与直线BC 相切， ∴OA =OC =mk ， 由OA >OD 可得mk >k ， 则m >1，由OD =k 、AD =k 2，并且OD 2+AD 2=OA 2， ∴k 2+(k 2)2=(mk)2， 整理，得：k 2=m 2−1．5．已知二次函数图象的顶点在原点O ，对称轴为y 轴．一次函数1y kx =+的图象与二次函数的图象交于A B ，两点（A 在B 的左侧），且A 点坐标为()44-，．平行于x 轴的直线l 过()01-，点．（1）求一次函数与二次函数的解析式；（2）判断以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系，并给出证明；（3）把二次函数的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 t 个单位（t ＞0），二次函数的图象与x 轴交于 M ，N 两点，一次函数图象交y 轴于 F 点．当 t 为何值时，过 F ，M ，N 三点的圆的面积最小？最小面积是多少？【答案】（1）一次函数的解析式为314y x =-+；二次函数解析式为214y x =． （2）相切，证明见解析（3）当3t =时，过F M N ，，三点的圆面积最小，最小面积为4π． 【解析】()1把()4,4A -代入1y kx =+得34k =-∴一次函数的解析式为314y x =-+ ∴二次函数图象的顶点在原点,对称轴为y 轴，∴二次函数的解析式为2y ax =,将()4,4A -代入解析式得14a =-∴二次函数的解析式为214y x =-()2由231414y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得44x y =-⎧⎨=⎩或114x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，11,4B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，取,A B 的中点317,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 过P 作直线l 的垂线,垂足为N ,则3,12N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭1725188PN ∴=+=，而直径254AB ∴==12PN AB ∴=，即圓心到直线l 的距离等于半径， 以AB 为直径的圆与直线l 相切.()3平移后二次函数的解析式为()2124y x t =--,令0,y =得()212120,224x t x x --==-=过,,F M N 三点的國的圆心C 一定在平移后抛物线的对称轴.上,要使圓面积最小,圆半径应等于点F 到直线2x =2的距离,点C 坐标为()2,1. 此时,半径为2,面积为4π设圆心为,C MN 的中点为E ,连接,CE CM ,则1CE =，在三角形CEM 中，ME =MN ∴=2134MN x x t =-=∴= ∴当3t 4=时，过,,F M N 三点的圓面积最小,最小面积为4π. 6．如图，在平面角坐标系中，抛物线C 1：y=ax 2+bx ﹣1经过点A （﹣2，1）和点B （﹣1，﹣1），抛物线C 2：y=2x 2+x+1，动直线x=t 与抛物线C 1交于点N ，与抛物线C 2交于点M ． （1）求抛物线C 1的表达式；（2）直接用含t 的代数式表示线段MN 的长；（3）当△AMN 是以MN 为直角边的等腰直角三角形时，求t 的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C 1与y 轴交于点P ，点M 在y 轴右侧的抛物线C 2上，连接AM 交y 轴于点k ，连接KN ，在平面内有一点Q ，连接KQ 和QN ，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP 时，请直接写出点Q 的坐标．【答案】（1）抛物线C1：解析式为y=x 2+x ﹣1；（2）MN=t 2+2；（3）t 的值为1或0；（4）满足条件的Q 点坐标为：（0，2）、（﹣1，3）、（35，195）、（45，125）【解析】（1）∵抛物线C1：y=ax 2+bx ﹣1经过点A （﹣2，1）和点B （﹣1，﹣1），∴{1=4a −2b −1−1=a −b −1，解得：{a =1b =1 ， ∴抛物线C1：解析式为y=x 2+x ﹣1；（2）∵动直线x=t 与抛物线C1交于点N ，与抛物线C2交于点M ，∴点N 的纵坐标为t 2+t ﹣1，点M 的纵坐标为2t 2+t+1，∴MN=（2t 2+t+1）﹣（t 2+t ﹣1）=t 2+2；（3）共分两种情况①当∠ANM=90°，AN=MN 时，由已知N （t ，t 2+t ﹣1），A （﹣2，1），∴AN=t ﹣（﹣2）=t+2，∵MN=t 2+2，∴t 2+2=t+2，∴t1=0（舍去），t2=1，∴t=1；②当∠AMN=90°，AN=MN 时，由已知M （t ，2t 2+t+1），A （﹣2，1），∴AM=t ﹣（﹣2）=t+2，∵MN=t 2+2，∴t 2+2=t+2，∴t 1=0，t 2=1（舍去），∴t=0，故t 的值为1或0；（4）由（3）可知t=1时M 位于y 轴右侧，根据题意画出示意图如图：易得K （0，3），B 、O 、N 三点共线，∵A （﹣2，1），N （1，1），P （0，﹣1），∴点K 、P 关于直线AN 对称，设⊙K 与y 轴下方交点为Q2，则其坐标为（0，2），∴Q2与点O 关于直线AN 对称，∴Q2是满足条件∠KNQ=∠BNP ，则NQ2延长线与⊙K 交点Q1，Q1、Q2关于KN 的对称点Q3、Q4也满足∠KNQ=∠BNP ，由图形易得Q1（﹣1，3），设点Q3坐标为（a ，b ），由对称性可知Q3N=NQ1=BN=2√2，由∵⊙K 半径为1，∴{(a −1)2+(b −1)2=(2√2)2a 2+(b −3)2=12，解得：{a 1=35b 1=195 ，{a 2=−1b 2=3 ， 同理，设点Q4坐标为（a ，b ），由对称性可知Q4N=NQ2=NO=√2，∴{(a −1)2+(b −1)2=(√2)2a 2+(b −3)2=12 ，解得：{a 3=45b 3=125 ，{a 4=0b 4=2 ， ∴满足条件的Q 点坐标为：（0，2）、（﹣1，3）、（35，195）、（45，125）.7．如图，直线2y x =+与抛物线222y x mx m m =-++交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，抛物线的对称轴与直线AB 交于点M ．（1）当四边形CODM 是菱形时，求点D 的坐标；（2）若点P 为直线OD 上一动点，求APB ∆的面积；（3）作点B 关于直线MD 的对称点B '，以点M 为圆心，MD 为半径作M ，点Q 是M上一动点，求2QB '+的最小值． 【答案】（1）；（2）3；（3【解析】(1) (,)D m m，OD =， 菱形CODM2OD OC ∴===m ∴= (2)①2y x =+与抛物线222y x mx m m =-++交于,A B 两点，∴联立，222y x mx m m =-++，2y x =+解得1111x m y m =-⎧⎨=+⎩，2224x m y m =+⎧⎨=+⎩ ∵点A 在点B 的左侧(1,1)A m m ∴-+，(2,4)B m m ++AB ∴==∴直线OD 的解析式为y x =，直线AB 的解析式为2y x =+//AB OD ∴，两直线,AB OD 之间距离22h =⨯=11322APBS AB h ∴=⋅=⨯=(3) (1,1)A m m -+，(2,4)B m m ++1AM ∴==2BM ==由M 点坐标(,2)m m +，D 点坐标(,)m m 可知以MD 为半径的圆的半径为(2)2m m +-=取MB 的中点N ，连接,,QB QN QB '，则12MN BM ==⨯=MN QMMN QM QM BM ==QMN BMQ ∠=∠， ~MNQ MQB ∴，2QN MN OB OM ∴==，QN ∴=由三角形三边关系，当,,Q N B '三点共线时QB '+最小， ∵直线AB 的解析式为2y x =+，∴直线AB 与对称轴夹角为45°，∵点,B B '关于对称轴对称， 90BMB '︒∴∠=，由勾股定理得，2QB '+最小值===.8．如图，已知以E(3，0)为圆心，5为半径的☉E 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)经过A ，B ，C 三点，顶点为F.(1)求A ，B ，C 三点的坐标；(2)求抛物线的解析式及顶点F 的坐标；(3)已知M 为抛物线上的一动点(不与C 点重合)，试探究：①若以A ，B ，M 为顶点的三角形面积与△ABC 的面积相等，求所有符合条件的点M 的坐标；②若探究①中的M 点位于第四象限，连接M 点与抛物线顶点F ，试判断直线MF 与☉E 的位置关系，并说明理由.【答案】（1）A(-2，0)，B(8，0)，C(0，-4)；（2）抛物线的解析式为y=14x 2-32x -4，F (3，−254)；(3)①所点M 的坐标为(6，-4)，(√41+3，4)，(-√41+3，4)；②若M 点位于第四象限，则M 点即为M1点，此时直线MF 和☉E 相切，理由见解析.【解析】(1)由题图可得点A 的横坐标为3-5=-2，点B 的横坐标为3+5=8，连接CE ，则CE=5，又OE=3，。
最新中考数学专题训练 隐形圆问题大全
中考数学复习隐形圆问题大全一定点+定长1.依据：到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆。
2.应用：（1）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD=2，BC=1，AB∥CD，求BD的长。
简析：因AB=AC=AD=2，知B、C、D在以A为圆2为半径的圆上，由AB∥CD 得DE=BC=1，易求BD=15。
（2）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC 边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是.简析：E为定点，EB′为定长，B′点路径为以E为圆心EB′为半径的圆，作穿心线DE得最小值为210。
（3）ΔABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在ΔABC外作正方形BCDE，BD、CE 交于点O，则线段AO的最大值为.简析：先确定A、B点的位置，因AC=2，所以C点在以A为圆心，2为半径的圆上；因点O是点C以点B为中心顺时针旋转45度并1：√2缩小而得，所以把圆A旋转45度再1：2缩小即得O点路径。
如下图，转化为求定点A到定圆F的最长路径，即AF+FO=32。
二定线+定角1.依据：与一条定线的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦，定角为圆周角的弧。
2.应用：（1）矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是CD上的动点，当∠APB=90°时求DP的长.简析：AB为定线，∠APB为定角（90°），P点路径为以AB为弦（直径）的弧，如下图，易得DP为2或8。
（2）如图，∠XOY = 45°，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，AB = 2，那么OC的最大值为.简析：AB为定线，∠XOY为定角，O点路径为以AB为弦所含圆周角为45°的弧，如下图，转化为求定点C到定圆M的最长路径，即CM+MO=3+1+2。
（3）已知A（2，0），B（4，0）是x轴上的两点，点C是y轴上的动点，当∠ACB最大时，则点C的坐标为_____．简析：作ΔABC的处接圆M，当∠ACB最大时，圆心角∠AMB最大，当圆M 半径最小时∠AMB最大，即当圆M与y轴相切时∠ACB最大。
二次函数综合题中的隐形圆
二次函数综合题中的隐形圆二次函数综合题中的隐形圆刘旭亮其实，该题还含有隐形中垂线（恰为二、四象限夹角平分线）。
延伸阅读：淡定心态从容应考（1）——中高考前的提醒和建议刘旭亮又一次中高考就要到了，如何做好应考，是每一位同学必须要思考的问题。
这里我从三个方面提一些建议，供同学们参考。
人的一生要经历无数次的各种各样的考试。
上学时的考试仅仅是一个小插曲而已，更何况是一次中高考。
既然不能回避，我们就要认真地研究考试，正确地对待考试，掌握科学的应考方法。
一、考前充分准备（一）心理准备学会自我减压。
不要考虑考试的结果，不要对自己提过高的要求。
考试是一种促进学习的手段，不是目的。
我们要通过一次次的考试，不断反思学习的过程，提高学习效率。
同时，要有万一考不好的心理准备。
像运动员先做准备运动、演员提前酝酿感情一样，考生也应提前进入“角色”，把最佳竞技状态带进考场。
1.停止训练常言道，静能生慧。
经过紧张的复习和强化训练之后，让大脑放松是记忆恢复的最佳状态。
许多发明创造都是在“闹风暴”之后的冷却期出现的。
所以，强化训练最迟应在考前一周停止，留下一段自由支配的时间让考生进入相对静息状态。
2.调整作息在考前的静息时间里，积极进行生物钟的调整，增加睡眠时间，保持作息时间与考试时间完全同步，促使临场思维自动进入工作高潮。
（二）物质准备1.注意适量锻炼身体，科学膳食。
2.若考场不在本校，考生一定要亲临考场，熟悉情况。
如来回路线和用时，甚至卫生间的位置等等。
3.提前列出清单，贴在醒目位置。
考前当天晚上，一定要带齐考试所需要的一切学习用具。
尤其是理科，比方说数学，考试时少不了橡皮、一副三角板、量角器、圆规和专用计算器等。
4.考试当天，一定按学校要求提前到达考区，尽快稳定情绪，对学科内容从从容容“过过电影”，让大脑进入预热状态。
（三）知识准备1.在静息状态下，要按老师的要求，并结合自己的学习实际，采取适合于不同学科的复习方法，回想学科整体结构，梳理知识，查漏补缺。
九年级中考复习二次函数与圆的提高类综合练习(含答案解析)
二次函数与圆的综合习题种类一圆的基天性质应用例 1：如图，在直角坐标系中，抛物线y=a（x-）2+与⊙M交于A，B，C，D四点，点 A， B 在 x 轴上，点 C 坐标为（ 0，-2）．（1）求 a 值及 A， B 两点坐标；（2）点 P（m， n）是抛物线上的动点，当∠ CPD 为锐角时，恳求出 m 的取值范围；（3）点 E 是抛物线的极点，⊙M 沿 CD 所在直线平移，点 C，D 的对应点分别为点C′，D′，按序连结A， C′，D′，E 四点，四边形AC′D′E（只需考虑凸四边形）的周长能否存在最小值？若存在，恳求出此时圆心M ′的坐标；若不存在，请说明原因．【答案】（ 1）A（ 1，0），B（ 4，0）．（ 2）m＜ 0 或 1＜ m＜ 4 或 m＞5．（ 3）存在．M（′，-2）【分析】解：（ 1）∵抛物线y=a（x- ）2+ 经过点 C（ 0， -2），∴-2=a（ 0- ）2+ ，∴a=- ，∴y=- （ x- ）2+ ，当 y=0 时， - （x- ）2+ =0，∴x1 =4， x2=1，∵A 、 B 在 x 轴上，∴A（ 1，0），B（4， 0）．（2）由（ 1）可知抛物线分析式为 y=- （ x- ）2+ ，∴C、 D 对于对称轴 x= 对称，∵C（ 0，-2），∴D（ 5，-2），如图 1 中，连结 AD 、 AC 、 CD，则 CD=5 ，∵A （ 1，0），C（0， -2），D（5，-2），∴AC=，AD=2，∴AC 2+AD 2=CD 2，∴∠ CAD=90°，∴CD 为⊙ M 的直径，∴当点 P 在圆外面的抛物线上运动时，∠CPD 为锐角，∴m＜ 0 或 1＜m＜4 或 m＞ 5．（3）存在．如图 2 中，将线段C′A平移至 D′F，则 AF=C′D′=CD=5，∵A （ 1，0），∴F（6，0），作点 E 对于直线 CD 的对称点 E′，连结 EE′正好经过点 M ，交 x 轴于点 N，∵抛物线极点（，），直线 CD 为 y=-2，∴E′（，-），连结 E′F交直线 CD 于 H，∵AE ， C′D′是定值，∴AC′+ED′最小时，四边形AC′D′E的周长最小，∵AC′+D′E=FD′+D′E=FD′+E′D′≥， E′F则当点 D′与点 H 重合时，四边形 AC′D′E的周长最小，设直线 E′F的分析式为 y=kx+b ，∵E′（，-），F（6，0），∴可得 y= x-，当 y=-2 时， x=，∴H（，-2），∵ M（，-2），∴DD′=5- =，∵- = ，∴M′（，-2）针对训练1．已知二次函数 y＝ax2－ 2ax＋c(a＜ 0)的图像与 x 轴的负半轴和正半轴分别交于A、 B 两点，与 y 轴交于点 C，直线 BC 与它的对称轴交于点 F，且 CF： FB＝1： 3．(1) 求 A 、 B 两点的坐标；(2) 若△COB 的心里 I 在对称轴上，求这个二次函数的关系式；(3) 在(2)的条件下， Q(m，0)是 x 轴上一点，过点 Q 作 y 轴的平行线，与直线 BC 交于点M ，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN 沿直线CN 翻折， M 的对应点为M′，能否存在点Q，使得M′恰巧落在y 轴上？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】 (1)B(4 ， 0)， A( －2，0)；(2)y=x2+ x+3 ；(3)存在， Q( ， 0)或 Q(，0) 【分析】（1）以下图：对称轴为：直线，∴OE=1 ，∵OC∥EF，∴，∴E B=3 ，由对称性得： BE=AE=3 ，∴A( - 2,0),B(4,0) ；(2)如图，是△的内切圆，过点I 作于点D，∴设，则在 Rt△OCB 中， OB=4 ，即解得∴C(0,3) ，∴c=3，把 A( - 2,0), C(0,3)代入抛物线 y=ax2-2ax+c 中得：解得：∴抛物线的分析式为：y=x2+ x+3；(3)如图 ,由题意∠ M′ CN=∠ NCB ，∵MN ∥ OM′，∴∠ M′CN=∠ CNM,∴∠ CNM = ∠NCB，∴MN=CM ，∵直线 BC 分析式为，∴,∵，∴，∴，，作 ME ⊥OC 于 E，①当 N 在直线解得： m= 或∴Q( ，0)，②当 N 在直线BC 上方时 ,0(舍弃 )，BC 下方时 ,，，解得 m=或0(舍弃)，∴Q(，0)综上所述：点 Q 坐标为( ，0)或 Q( ，0).2．对于平面直角坐标系xOy 中的点 P，Q 和图形 G，给出以下定义：点P，Q 都在图形G上，且将点P的横坐标与纵坐标交换后获得点Q，则称点P，Q是图形G “的一对关联点”．比如，点 P（1，2）和点 Q（2， 1）是直线 y＝﹣ x+3 的一对关系点．（1）请写出反比率函数y＝的图象上的一对关系点的坐标：；（2）抛物线 y＝ x2+bx+c 的对称轴为直线 x＝ 1，与 y 轴交于点 C（ 0，﹣ 1）．点 A，B 是抛物线 y＝x2 +bx+c 的一对关系点，直线 AB 与 x 轴交于点 D（1，0）．求 A，B 两点坐标．（3）⊙ T 的半径为 3，点 M ，N 是⊙ T 的一对关系点，且点 M 的坐标为（ 1，m）（m＞ 1），请直接写出m 的取值范围．【答案】（ 1）（2，3），（3，2）．（ 2） A，B 两点坐标为（﹣ 1，2）和（ 2，﹣1）．（3）1＜m≤1+3 ．【分析】解：（ 1）∵ 2×3＝3×2＝ 6，∴点（ 2， 3），（3， 2）是反比率函数y＝的图象上的一对关系点．故答案为：（2，3），（ 3， 2）．（2）∵抛物线 y＝ x2＋ bx＋ c 的对称轴为直线 x＝1，∴﹣＝1，解得： b＝﹣ 2．∵抛物线 y＝ x2＋ bx＋c 与 y 轴交于点 C（ 0，﹣ 1），∴c＝﹣ 1，∴抛物线的分析式为y＝ x2﹣ 2x﹣1．由关系点定义，可知：点 A ， B 对于直线 y＝ x 对称．又∵直线 AB 与 x 轴交于点 D（1，0），∴直线 AB 的分析式为y＝﹣ x＋ 1．联立直线AB 及抛物线分析式成方程组，得：＝﹣＋＝﹣﹣，解得：∴A，B，两点坐标为（﹣，1， 2）和（2，﹣ 1）．（3）由关系点定义，可知：点M ， N 对于直线y＝ x 对称，∴⊙ T 的圆心在直线y＝ x 上．∵⊙ T 的半径为 3，∴M1M2 ＝×2×3＝3，∴m 的取值范围为1＜ m≤1＋ 3．.种类二与圆相关的地点关系例 2．如图，已知点A（2，0），以A为圆心作⊙A与y轴切于原点，与x轴的另一个交点为 B，过 B 作⊙ A 的切线 l ．（1）以直线 l 为对称轴的抛物线过点 A ，抛物线与 x 轴的另一个交点为点 C，抛物线的极点为点 E，假如 CO=2BE ，求此抛物线的分析式；（2）过点 C 作⊙ A 的切线 CD，D 为切点，求此切线长；（3）点 F 是切线 CD 上的一个动点，当△BFC 与△CAD 相像时，求出 BF 的长．【答案】（ 1） y= （ x-2）（x-6）；（2）CD=2；（3）BF的长为或．【分析】（1）∵ A （ 2， 0），⊙ A 与 y 轴切于原点，∴⊙ A 的半径为 2．∴点 B 的坐标为为（ 4，0）．∵点 A 、C 对于 x=4 对称，∴C（ 6，0）．又 CO=2BE ，∴E（4，-3）设抛物线的分析式为 y=a（ x-2）（x-6），（a≠0）；∵抛物线经过点 E（ 4， -3）∴-3=a（ 4-2）（ 4-6），解得： a= ．∴抛物线的分析式为y= （x-2 ）（ x-6）；（2）如图 1 所示：连结AD ，∵AD 是⊙ A 的切线，∴∠ ADC=90°，AD=2 ，由（ 1）知， C（6，0）．∵A （ 2，0），∴AC=4 ，在 Rt△ACD 中， CD2=AC2-AD2=42-22=12 ，∴CD=2 ．（3）如图 2 所示：当 FB⊥AD 时，连结 AD ．∵∠ FBC= ∠ ADC=90°，∠ FCB= ∠ ACD ，∴△ FBC∽△ ADC ，∴=，即=．解得： CF=．如图 3 所示：当 BF⊥ CD 时，连结 AD 、过点 B 作 BF ⊥CD，垂足为 F．∵AD ⊥CD，∴BF∥AD ，∴△ BFC∽△ ADC ，∴=，即=．∴C F= ．综上所述， BF 的长为或．针对训练1．如图，抛物线 y=x 2﹣ 4x﹣ 1 极点为 D，与 x 轴订交于 A 、B 两点，与 y 轴订交于点C．（1）求这条抛物线的极点 D 的坐标；（2）经过点（ 0，4）且与x 轴平行的直线与抛物线y=x 2﹣ 4x﹣ 1 订交于M 、N 两点（ M 在 N 的左边），以 MN 为直径作⊙ P，过点 D 作⊙ P 的切线，切点为 E，求点 DE 的长；（3）上下平移（ 2）中的直线 MN ，以 MN 为直径的⊙ P 可否与 x 轴相切？假如能够，求出⊙P 的半径；假如不可以，请说明原因．【答案】（ 1）点 D 的坐标为（ 2， -5）；（2）DE=6；（3）能够相切，原因看法析. 【分析】（1）∵ y=x2-4x-1=x2-4x+4-5= （ x-2 ）2-5，∴点 D 的坐标为（ 2，-5）；（2）∵当 y=4 时， x2-4x-1=4 ，解得 x=-1 或 x=5 ，∴M 坐标为（ -1，4），点 N 坐标为（ 5， 4），∴MN=6 ．P 的半径为 3，点 P 的坐标为（ 2，4），连结 PE，则 PE⊥ DE，∵PD=9，PE=3，依据勾股定理得 DE=6 ；（3）能够相切．原因：设⊙ P 的半径为 r，依据抛物线的对称性，抛物线过点（2+r，r ）或（ 2+r， -r），代入抛物线分析式得：（ 2+r） 2-4（ 2+r） -1=r，解得 r= 或 r= （舍去），把（ 2+r， -r）代入抛物线得：（ 2+r）2-4（2+r ）-1=-r ，解得： r= ，或 r= （舍去）．2．如图，⊙ P 的圆心 P（ m，n）在抛物线 y＝上．（1）写出 m 与 n 之间的关系式；（2）当⊙ P 与两坐标轴都相切时，求出⊙ P 的半径；（3）若⊙ P 的半径是 8，且它在 x 轴上截得的弦 MN ，知足0≤MN≤2时，求出 m、n的范围．1 n P23 ；7≤ ≤8．【答案】（）＝ m2 2）⊙的半径为）≤ m≤4或﹣4≤ m≤﹣；（；（【分析】解：（ 1）∵点 P（ m， n）在抛物线 y＝上，∴n＝ m2；（2）当点 P（ m，m2）在第一象限时，由⊙ P 与两坐标轴都相切知m＝ m2，解得： m＝0（舍）或 m＝2，∴⊙ P 的半径为 2；当点 P（ m， m2）在第三象限时，由⊙ P 与两坐标轴都相切知﹣m＝ m2，解得： m＝0 或 m＝﹣ 2，∴⊙ P 的半径为 2；（3）如图，作PK⊥MN 于点 K ，连结 PM，当 MN＝2 时，MK＝ MN＝，∵PM＝8，则 PK＝＝＝ 7，当 MN ＝0 时， PK＝8，∴7≤PK≤8，即7≤≤8，∵n＝ m2，∴7≤ m2≤8，解得：≤ m≤4或﹣ 4≤ m≤﹣．种类三结构圆与隐形圆例 3：已知：如图1，抛物线与 x 轴交于，两点，与 y 轴交于点 C，点 D 为极点．求抛物线分析式及点 D 的坐标；若直线 l 过点 D，P 为直线 l 上的动点，当以A、B、P 为极点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的分析式；如图 2，E 为 OB 的中点，将线段OE 绕点O 顺时针旋转获得，旋转角为，连结、，当获得最小值时，求直线与抛物线的交点坐标．1 2）或3 ）.【答案】（）；（；（【分析】抛物线与 x 轴交于，两点，．，抛物线的极点坐标为．过点 A 、B 分别作 x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 老是有交点的，即2个点 Q．以 AB 为直径的假如与直线 l 订交，那么就有 2 个点 Q；假如圆与直线l 相切，就只有 1个点 Q了．以下图：以 AB 为直径作，作QD与相切，则，过 Q作．，．．，又，．，，．点设 l Q 的坐标为的分析式为．，则，解得：，，直线 l 的分析式为由图形的对称性可知：当直线则，解得：，l 经过点，．时，直线l 与相切，直线 l 的分析式为综上所述，直线l 的分析式为．或．以下图：取M 使，连结．，，，，．又，△∽ △，．．，当 M 、、 B 在一条直线上时，有最小值，的最小值．针对训练1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点A（﹣ 1，0），B（0，﹣）， C（2， 0），其对称轴与x 轴交于点 D（1）求二次函数的表达式及其极点坐标；（2）若 P 为 y 轴上的一个动点，连结PD，求 PB+PD 的最小值；（3） M （ x， t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以 A ，B， M ， N 为极点的四边形为菱形，则这样的点N 共有个；②连结 MA ，MB ，若∠ AMB 不小于 60°，求 t 的取值范围．【答案】（ 1）抛物线分析式为 y= x2﹣x﹣，极点坐标（，﹣）；（ 2） PB+PD 的最小值为；（ 3）① 5;②取值范围是【分析】（1）方法一：设二次函数的表达式为，B（0，- ）代入解得∴∴极点坐标为方法二：也能够用三点式设代入三点或许极点式设代入两点求得。
2021中考专题隐形圆在二次函数中的综合问题
隐形圆在二次函数中的综合问题思维导图：类型一：定点定长定圆例1：如图，过抛物线y＝x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2．（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；①连结BD，求BD的最小值；②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．1【答案】（1）（10,5）（2）5﹣5．（3）y＝﹣x+【考点】待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，学会利用辅助圆解决最短问题，属于中考常考题型．【解析】解：（1）由题意A（﹣2，5），对称轴x＝﹣＝4，∵A、B关于对称轴对称，∴B（10，5）．（2）①如图1中，由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，2∴当O、D、B共线时，BD的最小值＝OB﹣OD＝﹣5＝5﹣5．②如图2中，图2当点D在对称轴上时，在Rt△ODE中，OD＝OC＝5，OE＝4，∴DE＝＝＝3，∴点D的坐标为（4，3）．设PC＝PD＝x，在Rt△PDK中，x2＝（4﹣x）2+22，∴x＝，∴P（，5），∴直线PD的解析式为y＝﹣x+．变式训练：1．如图，过抛物线y＝ax2+bx上一点A（4，﹣2）作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，点C在直线AB上，抛物线交x轴正半轴于点D（2，0），点B与点E关于直线CD对称．（1）求抛物线的表达式；3（2）①若点E落在抛物线的对称轴上，且在x轴下方时，求点C的坐标．②AE最小值为．【答案】（1）y＝﹣x2+x；（2）x=1 （3）（，﹣2）， 2﹣2．【考点】二次函数综合题．【解析】解：（1）将点A（4，﹣2）、D（2，0）代入，得：，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x；（2）①如图1，连接BD、DE，作EP⊥AB，并延长交OD于Q，4∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴点A（4，﹣2）关于对称轴对称的点B坐标为（﹣2，﹣2），∴BD＝＝2，设C（m，﹣2），则BC＝CE＝m+2，DE＝BD＝2，∵QD＝1，PQ＝2，∴PE＝QE﹣PQ＝﹣1＝﹣1，∵PC＝1﹣m，∴由PC2+PE2＝CE2可得（1﹣m）2+（﹣1）2＝（m+2）2，解得m＝，∴点C的坐标为（，﹣2）；②如图2，∵DB＝DE＝2，5∴点E在以D为圆心、2长为半径的⊙D上，连接DA，并延长交⊙D于点E′，此时AE′取得最小值，∵DA＝＝2，则AE的最小值为DE﹣DA＝2﹣2，故答案为：2﹣2．类型二：直角圆周角定圆例2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+（k﹣1）x﹣k与直线y＝kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k＝1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y＝x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y＝kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题【解答】解：（1）当k＝1时，抛物线解析式为y＝x2﹣1，直线解析式为y＝x+1．6联立两个解析式，得：x2﹣1＝x+1，解得：x＝﹣1或x＝2，当x＝﹣1时，y＝x+1＝0；当x＝2时，y＝x+1＝3，∴A（﹣1，0），B（2，3）．（2）设P（x，x2﹣1）．如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．∴PF＝y F﹣y P＝（x+1）﹣（x2﹣1）＝﹣x2+x+2．S＝S△PFA+S△PFB＝PF（x F﹣x A）+PF（x B﹣x F）＝PF（x B﹣x A）＝PF△ABP∴S△ABP＝（﹣x2+x+2）＝﹣（x﹣）2+当x＝时，y P＝x2﹣1＝﹣．∴△ABP面积最大值为，此时点P坐标为（，﹣）．（3）设直线AB：y＝kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，则E（﹣，0），F（0，1），OE＝，OF＝1．7在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF＝＝．令y＝x2+（k﹣1）x﹣k＝0，即（x+k）（x﹣1）＝0，解得：x＝﹣k或x＝1．∴C（﹣k，0），OC＝k．Ⅰ、假设存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，如答图3所示，则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC＝90°．设点N为OC中点，连接NQ，则NQ⊥EF，NQ＝CN＝ON＝．∴EN＝OE﹣ON＝﹣．∵∠NEQ＝∠FEO，∠EQN＝∠EOF＝90°，∴△EQN∽△EOF，∴，即：，解得：k＝±，∵k＞0，8∴k＝．∴存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，此时k＝．Ⅱ、若直线AB过点C时，此时直线与圆的交点只有另一点Q点，故亦存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，将C（﹣k，0）代入y＝kx+1中，可得k＝1，k＝﹣1（舍去），故存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，此时k＝1．综上所述，k＝或1时，存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°．变式训练：练习1：如图，在平面直角坐标系xOy中，经过C（1，1）的抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点为M，与x轴正半轴交于A，B两点．（1）如图1，连接OC，将线段OC绕点O逆时针旋转使得C落在y轴的正半轴上，求线段OC过的面积；（2）如图2，延长线段OC至N，使得ONOC，若∠ONA＝∠OBN且tan∠BAM，求抛物线的解析式；（3）如图3，已知以直线x＝52为对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于（0，5），交直线l：y＝kx+m（k＞0）于C，D两点，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，求k的值．910【答案】（1）4π；（2）y ＝2x 2﹣9x +8；（3）k【解析】（1）线段OC 过的面积＝45360︒︒×π×）2＝4π； （2）ONOC ＝4，设点A 、B 的坐标分别为：（m ，0）、（n ，0）， ∠ONA ＝∠OBN ，则△ONA ∽△OBN ，则OA •OB ＝ON 2＝4，即mn ＝4…①， 则抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣m ）（x ﹣n ），过点M 作MH ⊥AB 交AB 于点H ，函数的对称轴为：x ＝12（m +n ）， 则MH ＝|y M |＝﹣a （2m n +﹣m ）（2m n +﹣n ）＝2()4a m n -，AH ＝x M ﹣x A ＝2m n +﹣m tan ∠BAM ＝MH AH ＝12a （n ﹣m， 化简得：a （n ﹣m…②，将（1，1）代入y ＝a （x ﹣m ）（x ﹣n ）并化简得：a （5﹣m ﹣n ）＝1…③，联立①②③并解得：m，na＝2，则抛物线的表达式为y＝a（x﹣m）（x﹣n）＝a（x2﹣mx﹣nx+mn）＝2x2﹣9x+8；（3）由题意得：15225a b cbxac++=⎧⎪⎪=-=⎨⎪=⎪⎩，解得：155abc=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣5x+5；设点D（m，n），n＝m2﹣5m+5，而点C（1，1），则k＝25511m mm-+--＝m﹣4，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，则过CD中点的圆R与x轴相切，设切点为P，则点H（12+m，12n+），则HP＝HC，即（12+m﹣1）2+（12n+﹣1）2＝（12n+）2，化简得：3m2﹣18m+19＝0，解得：m＝3+3（不合题意的值已舍去），11k＝m﹣4练习2：如图，抛物线y＝ax2+bx+3过点A（1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E为抛物线对称轴上的一点，请探索抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P为线段OC上的动点，连接BP，过点C作CN垂直于直线BP，垂足为N，当点P 从点O运动到点C时，求点N运动路径的长．【解析】解：（1）将A（1，0）（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：，解得：，∴y＝x2﹣4x+3．（2）①设F（x，x2﹣4x+3），若E，F在AB的同侧，则EF＝AB＝2，∵点E在抛物线的对称轴上，12∴|x﹣2|＝2，∴x＝0或x＝4，∴F1（0，3），F2（4，3）．②若E，F在AB异侧，则F与抛物线的顶点重合，即F3（2，﹣1），∴存在点F1（0，3），F2（4，3），F3（2，﹣1），使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形．（3）连接BC，∵∠BNC＝90°，∴点N的路径是以BC的中点M为圆心，BC长的一半为半径的，连接OM，∵OB＝OC＝3，∴OM⊥BC，∴∠OMC＝90°，∵BC＝，∴OM＝∴＝．1314类型三：定弦定角（非直角）定圆例2、如图，在直角坐标系中，直线y=﹣13x ﹣1与x 轴，y 轴的交点分别为A 、B ，以x=﹣1为对称轴的抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴分别交于点A 、C ，直线x=﹣1与x 轴交于点D ． （1）求抛物线的解析式；（2）在线段AB 上是否存在一点P ，使以A ，D ，P 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）若点Q 在第三象限内，且tan∠AQD=2，线段CQ 是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x 2+2x ﹣3；（2）存在；点P 坐标为（﹣1，−23）或（-65，-35）； （3）存在，CQ 最小值为√37−√52.【考点】二次函数解析式，三角形相似，隐形圆（定边定角）的构造【解析】（1）∵直线y=﹣13x﹣1与x轴交于A点，∴点A坐标为（﹣3，0），又∵直线x=﹣1为对称轴，∴点C坐标为（1，0），∴抛物线解析式为：y=（x+3）（x﹣1）=x2+2x﹣3；（2）存在；由已知，点D坐标为（﹣1，0），点B坐标为（0，﹣1），设点P的坐标为（a，﹣13a﹣1），①当△AOB∽△ADP时，AD AO =DPOB，即23=13a+11，解得：a=﹣1；点P坐标为（﹣1，−23）；②当△AOB∽△APD时，过点P作PE⊥x轴于点E，则△APE∽△PED，∴PE2=AE•ED，∴（﹣13a﹣1）2=（a+3）（﹣a﹣1），解得a1=﹣3（舍去），a2=﹣65，1516∴点P 坐标为（﹣65，﹣35）； （3）存在，CQ 最小值为√37−√52；如图，取点F （﹣1，﹣1），过点ADF 作圆，则点E （﹣2，﹣12）为圆心， ∵tan∠AFD=2，∴弧AFD （A 、D 除外）上的点都是满足条件的Q 点， 则连CE 交⊙E 于点Q ，则CQ 为满足条件的最小值，此时CE=√(12)2+32=√372，∵⊙E 半径为√52， ∴CQ 最小值为√37−√52. 变式训练：练习1：如图，已知点A （﹣1，0），B （3，0），C （0，1）在抛物线y ＝ax 2+bx +c 上． （1）求抛物线解析式；（2）在直线BC 上方的抛物线上求一点P ，使△PBC 面积为1；（3）在x 轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q ，使∠BQC ＝∠BAC ？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，说明理由．【考点】二次函数综合题【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入得﹣3a＝1，解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+1．（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D．设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：k＝﹣，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+1．设点P（x，﹣x2+x+1），则D（x，﹣x+1）∴PD＝（﹣x2+x+1）﹣（﹣x+1）＝﹣x2+x，∴S△PBC＝OB•DP＝×3×（﹣x2+x）＝﹣x2+x．又∵S△PBC＝1，∴﹣x2+x＝1，整理得：x2﹣3x+2＝0，解得：x＝1或x＝2，∴点P的坐标为（1，）或（2，1）．17（3）存在．∵A（﹣1，0），C（0，1），∴OC＝OA＝1∴∠BAC＝45°．∵∠BQC＝∠BAC＝45°，∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB＝90°．设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，由勾股定理可知CM2+BM2＝BC2，即2x2＝10，解得：x＝（负值已舍去），∵AC的垂直平分线的为直线y＝﹣x，AB的垂直平分线为直线x＝1，∴点M为直线y＝﹣x与x＝1的交点，即M（1，﹣1），∴Q的坐标为（1，﹣1﹣）．类型四：四点共圆类型1819例3．如图，抛物线y ＝﹣12x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B （A 左B 右），与y 轴交于C ，直线y ＝﹣x+5经过点B 、C ． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 为第二象限抛物线上一点，设点P 横坐标为m ，点P 到直线BC 的距离为d ，求d 与m 的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若∠PCB+∠POB ＝180°，求d 的值．【答案】（1）y ＝﹣12x2+32x+5（2）d ＝√24m2﹣5√24m （﹣2＜m ＜0）（3）3√22【解析】（1）∵直线y ＝﹣x+5经过点B 、C ， ∴B （5，0），C （0，5），把B 、C 坐标代入y ＝﹣12x2+bx+c 得到：{c =5−252+5b +c =0，解得{b =32c =5， ∴二次函数的解析式为y ＝﹣12x2+32x+5；（2）如图1中，作PE ⊥BC 于E ，作PF ∥AB 交BC 于F ．20∵P （m ，﹣12m2+32m+5）， ∵PF ∥AB ，∴点F 的纵坐标为﹣12m2+32m+5， 则有﹣12m2+32m+5＝﹣x+5， ∴x ＝12m2﹣32m ，∴PF ＝12m2﹣32m ﹣m ＝12m2﹣52m ， ∵OB ＝OC ，∠BOC ＝90°，∴∠EFP ＝∠OBC ＝45°，∵PE ⊥EF ， ∴△PEF 是等腰直角三角形， ∴d ＝PE ＝√22PF ＝√24m2﹣5√24m （﹣2＜m ＜0）； （3）如图2中，取BC 的中点H ，连接PH ．21∵∠PCB+∠POB ＝180°，∴O 、B 、C 、P 四点共圆，∴∠CPB ＝∠COB ＝90°，∴PH ＝12BC ＝5√22，∵P （m ，﹣12m2+32m+5），H （52，52），∴（m ﹣52）2+（﹣12m2+32m+5﹣52）2＝252，整理得：m （m ﹣5）（m2﹣m ﹣2）＝0，解得m ＝0或5或﹣1或2，∵P 在第二象限，∴m ＝﹣1，∴d ＝√24m2﹣5√24m ＝3√22．类型五：等腰三角形存在性问题，用圆的思想作图8．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+6与x 轴交于点A （6，0），B （﹣1，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；22（2）若点M 为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM 最小时，求点M 的坐标．（3）抛物线上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？若存在，有几个？并请在图中画出所有符合条件的点P ，（保留作图痕迹）；若不存在，说明理由．【答案】（1）y ＝﹣x 2+5x+6；（2）M （52，72）；（3）存在5个满足条件的P 点，尺规作图见解析 【解析】 解：（1）将A （6，0），B （﹣1，0）代入y ＝ax 2+bx+6，可得a ＝﹣1，b ＝5，∴y ＝﹣x 2+5x+6；（2）作点C 关于对称轴x ＝52的对称点C'，连接BC'与对称轴交于点M ， 根据两点之间线段最短，则CM+BM ＝C'M+BM ＝C'B 最小，∵C （0，6），∴C'（5，6），设直线BC'的解析式为y=kx ＋b23将B （﹣1，0）和C'（5，6）代入解析式，得065k b k b =-+⎧⎨=+⎩解得：11k b =⎧⎨=⎩∴直线BC'的解析式为y ＝x+1，将x ＝52代入，解得y=72 ∴M （52，72）； （3）存在5个满足条件的P 点；尺规作图如下：①若CB=CP 时，以C 为原点，BC 的长为半径作圆，交抛物线与点P ，如图1所示，此时点P 有两种情况；②若BC=BP 时，以B 为原点，BC 的长为半径作圆，交抛物线与点P ，如图2所示，此时点P 即为所求； ③若BP=CP ，则点P 在BC 的中垂线上，作BC 的中垂线，交抛物线与点P ，如图3所示，此时点P 有两种情况；故存在5个满足条件的P 点．。
二次函数与圆综合性问题(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-函数
例题精讲【例1】．如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝，OC⊥AB于点C．（1）求抛物线的函数解析式．（2）求证：直线AB与⊙O相切．（3）已知P为抛物线上一动点，线段PO交⊙O于点M．当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长．变式训练【变1-1】．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以C为圆心，1为半径作⊙O，D为⊙O上一动点，求DA+DB的最小值【例2】．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP 的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．变式训练【变2-1】．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图甲，当△ACP是以AC为直角边的直角三角形时，求点P的坐标；（3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D．交OM于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．1．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与坐标轴相切时，圆心P的坐标可以是．2．如图1，抛物线与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB．（1）求∠AOB的度数；（2）如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM，①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标；②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围．3．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；（3）如图2，若第四象限有一动点E，满足BE＝OB，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为（t，0），0＜t＜3，△BEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．4．已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+4m﹣6．（1）试说明对于每一个实数m，抛物线都经过x轴上的一个定点；（2）设抛物线与x轴的两个交点A（x1，0）和B（x2，0）（x1＜x2）分别在原点的两侧，且A、B两点间的距离小于6，求m的取值范围；（3）抛物线的对称轴与x轴交于点C，在（2）的条件下，试判断是否存在m的值，使经过点C及抛物线与x轴的一个交点的⊙M与y轴的正半轴相切于点D，且被x轴截得的劣弧与是等弧？若存在，求出所有满足条件的m的值；若不存在，说明理由．5．已知抛物线y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；②若点C关于直线x＝﹣的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求的值．6．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M （4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；＝8S△QAB，（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形OPMN 且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．（1）求二次函数的表达式；（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．8．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c+1，①当b＝1时，求这个二次函数的对称轴的方程；②若c＝﹣b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，b＞0，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足＝，求二次函数的表达式．9．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）．若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足；当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC 有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO 的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．（1）求圆心M的坐标；（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（3）在（2）的条件下，在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF ＝4时，求点P的坐标．11．如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．12．抛物线y＝﹣x2+x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y＝t（t＜）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．（1）点B，D的坐标分别为，；（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处，当点E在△ABC内（含边界）时，求t的取值范围；（3）如图②，当t＝0时，点Q是“M”形新图象上一动点．①直接写出“M”形图象AB段的函数关系式；②是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．13．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．14．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，1），且与y 轴交于点C，连接AB、AC、BC．（1）求此二次函数的关系式；（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标；（3）若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A1、B1、C1，△A1B1C1的外接圆记为⊙M1，是否存在某个位置，使⊙M1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．15．已知抛物线C1：y＝ax2过点（2，2）（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图，△ABC的三个顶点都在抛物线C1上，且边AC所在的直线解析式为y＝x+b，若AC边上的中线BD平行于y轴，求的值；（3）如图，点P的坐标为（0，2），点Q为抛物线上C1上一动点，以PQ为直径作⊙M，直线y＝t与⊙M相交于H、K两点是否存在实数t，使得HK的长度为定值？若存在，求出HK的长度；若不存在，请说明理由．16．定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．（1）已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由；（2）如图1，已知二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，求△POA 周长的最小值；（3）如图2，已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连结PC，PD．若∠CPD＝120°，求a的值．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx﹣c交x轴于点A，B，点B的坐标为（4，0），与y轴于交于点C（0，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M（如图1），过点B作⊙M的切线交于点P（如图2），设Q为⊙M上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），与x轴交于A（4，0）、O两点，点D（2，﹣2）为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E，交x轴于B、C两点，点M为⊙E上一点．①射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tan∠MBC＝2时，求m的值；②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．19．如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．1°求线段MN的最大值；2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．20．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：x…﹣10123…y…03430…（1）求出这条抛物线的解析式；（2）如图1，直线y＝kx+1（k＜0）与抛物线交于P，Q两点，交抛物线的对称轴于点T，若△QMT的面积是△PMT面积的两倍，求k的值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．21．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴．（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）现有一个以原点O为圆心，长为半径的圆沿y轴正半轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，问几秒后⊙O与直线AC相切？22．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB＝AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或不是）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB＝∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac）．记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式：①＝+；②＝+；③“十字形”ABCD的周长为12．。
二次函数与圆的问题 初中数学二次函数重难点专题 含答案(原卷+解析版)
9．如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）经过点 A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）． （1）求该抛物线的解析式； （2）若以点 A 为圆心的圆与直线 BC 相切于点 M，求切点 M 的坐标； （3）若点 Q 在 x 轴上，点 P 在抛物线上，是否存在以点 B，C，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形？若 存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
当a
3 ，∠CAE＝∠OBE 时，求 1 1 的值
3
OD OE
－４－
3．已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1 分别交 x 轴和 y 轴于点 A3, 0, B 0,3 .
(1)如图 1，已知 P 经过点 O ，且与直线 l1 相切于点 B ，求 P 的直径长； (2)如图 2，已知直线 l2 : y 3x 3 分别交 x 轴和 y 轴于点 C 和点 D ，点 Q 是直线 l2 上的一个动点，以 Q 为 圆心， 2 2 为半径画圆. ①当点 Q 与点 C 重合时，求证: 直线 l1 与 Q 相切； ②设 Q 与直线 l1 相交于 M , N 两点， 连结 QM ,QN . 问:是否存在这样的点 Q ，使得 QMN 是等腰直角 三角形，若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
（1）求过 A，B，E 三点的抛物线的解析式； （2）求证：四边形 AMCD 是菱形； （3）请问在抛物线上是否存在一点 P，使得△ABP 的面积等于定值 5？若存在，请求出所有的点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由．
－２－
【针对练习】
1．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．
（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有
2021中考专题隐形圆在二次函数中的综合问题
隐形圆在二次函数中的综合问题思维导图：类型一：定点定长定圆例1：如图，过抛物线y＝x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2．（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；①连结BD，求BD的最小值；②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．1【答案】（1）（10,5）（2）5﹣5．（3）y＝﹣x+【考点】待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，学会利用辅助圆解决最短问题，属于中考常考题型．【解析】解：（1）由题意A（﹣2，5），对称轴x＝﹣＝4，∵A、B关于对称轴对称，∴B（10，5）．（2）①如图1中，由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，2∴当O、D、B共线时，BD的最小值＝OB﹣OD＝﹣5＝5﹣5．②如图2中，图2当点D在对称轴上时，在Rt△ODE中，OD＝OC＝5，OE＝4，∴DE＝＝＝3，∴点D的坐标为（4，3）．设PC＝PD＝x，在Rt△PDK中，x2＝（4﹣x）2+22，∴x＝，∴P（，5），∴直线PD的解析式为y＝﹣x+．变式训练：1．如图，过抛物线y＝ax2+bx上一点A（4，﹣2）作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，点C在直线AB上，抛物线交x轴正半轴于点D（2，0），点B与点E关于直线CD对称．（1）求抛物线的表达式；3（2）①若点E落在抛物线的对称轴上，且在x轴下方时，求点C的坐标．②AE最小值为．【答案】（1）y＝﹣x2+x；（2）x=1 （3）（，﹣2）， 2﹣2．【考点】二次函数综合题．【解析】解：（1）将点A（4，﹣2）、D（2，0）代入，得：，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x；（2）①如图1，连接BD、DE，作EP⊥AB，并延长交OD于Q，4∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴点A（4，﹣2）关于对称轴对称的点B坐标为（﹣2，﹣2），∴BD＝＝2，设C（m，﹣2），则BC＝CE＝m+2，DE＝BD＝2，∵QD＝1，PQ＝2，∴PE＝QE﹣PQ＝﹣1＝﹣1，∵PC＝1﹣m，∴由PC2+PE2＝CE2可得（1﹣m）2+（﹣1）2＝（m+2）2，解得m＝，∴点C的坐标为（，﹣2）；②如图2，∵DB＝DE＝2，5∴点E在以D为圆心、2长为半径的⊙D上，连接DA，并延长交⊙D于点E′，此时AE′取得最小值，∵DA＝＝2，则AE的最小值为DE﹣DA＝2﹣2，故答案为：2﹣2．类型二：直角圆周角定圆例2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+（k﹣1）x﹣k与直线y＝kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k＝1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y＝x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y＝kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题【解答】解：（1）当k＝1时，抛物线解析式为y＝x2﹣1，直线解析式为y＝x+1．6联立两个解析式，得：x2﹣1＝x+1，解得：x＝﹣1或x＝2，当x＝﹣1时，y＝x+1＝0；当x＝2时，y＝x+1＝3，∴A（﹣1，0），B（2，3）．（2）设P（x，x2﹣1）．如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．∴PF＝y F﹣y P＝（x+1）﹣（x2﹣1）＝﹣x2+x+2．S＝S△PFA+S△PFB＝PF（x F﹣x A）+PF（x B﹣x F）＝PF（x B﹣x A）＝PF△ABP∴S△ABP＝（﹣x2+x+2）＝﹣（x﹣）2+当x＝时，y P＝x2﹣1＝﹣．∴△ABP面积最大值为，此时点P坐标为（，﹣）．（3）设直线AB：y＝kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，则E（﹣，0），F（0，1），OE＝，OF＝1．7在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF＝＝．令y＝x2+（k﹣1）x﹣k＝0，即（x+k）（x﹣1）＝0，解得：x＝﹣k或x＝1．∴C（﹣k，0），OC＝k．Ⅰ、假设存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，如答图3所示，则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC＝90°．设点N为OC中点，连接NQ，则NQ⊥EF，NQ＝CN＝ON＝．∴EN＝OE﹣ON＝﹣．∵∠NEQ＝∠FEO，∠EQN＝∠EOF＝90°，∴△EQN∽△EOF，∴，即：，解得：k＝±，∵k＞0，8∴k＝．∴存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，此时k＝．Ⅱ、若直线AB过点C时，此时直线与圆的交点只有另一点Q点，故亦存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，将C（﹣k，0）代入y＝kx+1中，可得k＝1，k＝﹣1（舍去），故存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，此时k＝1．综上所述，k＝或1时，存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°．变式训练：练习1：如图，在平面直角坐标系xOy中，经过C（1，1）的抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点为M，与x轴正半轴交于A，B两点．（1）如图1，连接OC，将线段OC绕点O逆时针旋转使得C落在y轴的正半轴上，求线段OC过的面积；（2）如图2，延长线段OC至N，使得ONOC，若∠ONA＝∠OBN且tan∠BAM，求抛物线的解析式；（3）如图3，已知以直线x＝52为对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于（0，5），交直线l：y＝kx+m（k＞0）于C，D两点，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，求k的值．910【答案】（1）4π；（2）y ＝2x 2﹣9x +8；（3）k【解析】（1）线段OC 过的面积＝45360︒︒×π×）2＝4π； （2）ONOC ＝4，设点A 、B 的坐标分别为：（m ，0）、（n ，0）， ∠ONA ＝∠OBN ，则△ONA ∽△OBN ，则OA •OB ＝ON 2＝4，即mn ＝4…①， 则抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣m ）（x ﹣n ），过点M 作MH ⊥AB 交AB 于点H ，函数的对称轴为：x ＝12（m +n ）， 则MH ＝|y M |＝﹣a （2m n +﹣m ）（2m n +﹣n ）＝2()4a m n -，AH ＝x M ﹣x A ＝2m n +﹣m tan ∠BAM ＝MH AH ＝12a （n ﹣m， 化简得：a （n ﹣m…②，将（1，1）代入y ＝a （x ﹣m ）（x ﹣n ）并化简得：a （5﹣m ﹣n ）＝1…③，联立①②③并解得：m，na＝2，则抛物线的表达式为y＝a（x﹣m）（x﹣n）＝a（x2﹣mx﹣nx+mn）＝2x2﹣9x+8；（3）由题意得：15225a b cbxac++=⎧⎪⎪=-=⎨⎪=⎪⎩，解得：155abc=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣5x+5；设点D（m，n），n＝m2﹣5m+5，而点C（1，1），则k＝25511m mm-+--＝m﹣4，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，则过CD中点的圆R与x轴相切，设切点为P，则点H（12+m，12n+），则HP＝HC，即（12+m﹣1）2+（12n+﹣1）2＝（12n+）2，化简得：3m2﹣18m+19＝0，解得：m＝3+3（不合题意的值已舍去），11k＝m﹣4练习2：如图，抛物线y＝ax2+bx+3过点A（1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E为抛物线对称轴上的一点，请探索抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P为线段OC上的动点，连接BP，过点C作CN垂直于直线BP，垂足为N，当点P 从点O运动到点C时，求点N运动路径的长．【解析】解：（1）将A（1，0）（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：，解得：，∴y＝x2﹣4x+3．（2）①设F（x，x2﹣4x+3），若E，F在AB的同侧，则EF＝AB＝2，∵点E在抛物线的对称轴上，12∴|x﹣2|＝2，∴x＝0或x＝4，∴F1（0，3），F2（4，3）．②若E，F在AB异侧，则F与抛物线的顶点重合，即F3（2，﹣1），∴存在点F1（0，3），F2（4，3），F3（2，﹣1），使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形．（3）连接BC，∵∠BNC＝90°，∴点N的路径是以BC的中点M为圆心，BC长的一半为半径的，连接OM，∵OB＝OC＝3，∴OM⊥BC，∴∠OMC＝90°，∵BC＝，∴OM＝∴＝．1314类型三：定弦定角（非直角）定圆例2、如图，在直角坐标系中，直线y=﹣13x ﹣1与x 轴，y 轴的交点分别为A 、B ，以x=﹣1为对称轴的抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴分别交于点A 、C ，直线x=﹣1与x 轴交于点D ． （1）求抛物线的解析式；（2）在线段AB 上是否存在一点P ，使以A ，D ，P 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）若点Q 在第三象限内，且tan∠AQD=2，线段CQ 是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x 2+2x ﹣3；（2）存在；点P 坐标为（﹣1，−23）或（-65，-35）； （3）存在，CQ 最小值为√37−√52.【考点】二次函数解析式，三角形相似，隐形圆（定边定角）的构造【解析】（1）∵直线y=﹣13x﹣1与x轴交于A点，∴点A坐标为（﹣3，0），又∵直线x=﹣1为对称轴，∴点C坐标为（1，0），∴抛物线解析式为：y=（x+3）（x﹣1）=x2+2x﹣3；（2）存在；由已知，点D坐标为（﹣1，0），点B坐标为（0，﹣1），设点P的坐标为（a，﹣13a﹣1），①当△AOB∽△ADP时，AD AO =DPOB，即23=13a+11，解得：a=﹣1；点P坐标为（﹣1，−23）；②当△AOB∽△APD时，过点P作PE⊥x轴于点E，则△APE∽△PED，∴PE2=AE•ED，∴（﹣13a﹣1）2=（a+3）（﹣a﹣1），解得a1=﹣3（舍去），a2=﹣65，1516∴点P 坐标为（﹣65，﹣35）； （3）存在，CQ 最小值为√37−√52；如图，取点F （﹣1，﹣1），过点ADF 作圆，则点E （﹣2，﹣12）为圆心， ∵tan∠AFD=2，∴弧AFD （A 、D 除外）上的点都是满足条件的Q 点， 则连CE 交⊙E 于点Q ，则CQ 为满足条件的最小值，此时CE=√(12)2+32=√372，∵⊙E 半径为√52， ∴CQ 最小值为√37−√52. 变式训练：练习1：如图，已知点A （﹣1，0），B （3，0），C （0，1）在抛物线y ＝ax 2+bx +c 上． （1）求抛物线解析式；（2）在直线BC 上方的抛物线上求一点P ，使△PBC 面积为1；（3）在x 轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q ，使∠BQC ＝∠BAC ？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，说明理由．【考点】二次函数综合题【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入得﹣3a＝1，解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+1．（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D．设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：k＝﹣，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+1．设点P（x，﹣x2+x+1），则D（x，﹣x+1）∴PD＝（﹣x2+x+1）﹣（﹣x+1）＝﹣x2+x，∴S△PBC＝OB•DP＝×3×（﹣x2+x）＝﹣x2+x．又∵S△PBC＝1，∴﹣x2+x＝1，整理得：x2﹣3x+2＝0，解得：x＝1或x＝2，∴点P的坐标为（1，）或（2，1）．17（3）存在．∵A（﹣1，0），C（0，1），∴OC＝OA＝1∴∠BAC＝45°．∵∠BQC＝∠BAC＝45°，∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB＝90°．设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，由勾股定理可知CM2+BM2＝BC2，即2x2＝10，解得：x＝（负值已舍去），∵AC的垂直平分线的为直线y＝﹣x，AB的垂直平分线为直线x＝1，∴点M为直线y＝﹣x与x＝1的交点，即M（1，﹣1），∴Q的坐标为（1，﹣1﹣）．类型四：四点共圆类型1819例3．如图，抛物线y ＝﹣12x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B （A 左B 右），与y 轴交于C ，直线y ＝﹣x+5经过点B 、C ． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 为第二象限抛物线上一点，设点P 横坐标为m ，点P 到直线BC 的距离为d ，求d 与m 的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若∠PCB+∠POB ＝180°，求d 的值．【答案】（1）y ＝﹣12x2+32x+5（2）d ＝√24m2﹣5√24m （﹣2＜m ＜0）（3）3√22【解析】（1）∵直线y ＝﹣x+5经过点B 、C ， ∴B （5，0），C （0，5），把B 、C 坐标代入y ＝﹣12x2+bx+c 得到：{c =5−252+5b +c =0，解得{b =32c =5， ∴二次函数的解析式为y ＝﹣12x2+32x+5；（2）如图1中，作PE ⊥BC 于E ，作PF ∥AB 交BC 于F ．20∵P （m ，﹣12m2+32m+5）， ∵PF ∥AB ，∴点F 的纵坐标为﹣12m2+32m+5， 则有﹣12m2+32m+5＝﹣x+5， ∴x ＝12m2﹣32m ，∴PF ＝12m2﹣32m ﹣m ＝12m2﹣52m ， ∵OB ＝OC ，∠BOC ＝90°，∴∠EFP ＝∠OBC ＝45°，∵PE ⊥EF ， ∴△PEF 是等腰直角三角形， ∴d ＝PE ＝√22PF ＝√24m2﹣5√24m （﹣2＜m ＜0）； （3）如图2中，取BC 的中点H ，连接PH ．21∵∠PCB+∠POB ＝180°，∴O 、B 、C 、P 四点共圆，∴∠CPB ＝∠COB ＝90°，∴PH ＝12BC ＝5√22，∵P （m ，﹣12m2+32m+5），H （52，52），∴（m ﹣52）2+（﹣12m2+32m+5﹣52）2＝252，整理得：m （m ﹣5）（m2﹣m ﹣2）＝0，解得m ＝0或5或﹣1或2，∵P 在第二象限，∴m ＝﹣1，∴d ＝√24m2﹣5√24m ＝3√22．类型五：等腰三角形存在性问题，用圆的思想作图8．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+6与x 轴交于点A （6，0），B （﹣1，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；22（2）若点M 为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM 最小时，求点M 的坐标．（3）抛物线上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？若存在，有几个？并请在图中画出所有符合条件的点P ，（保留作图痕迹）；若不存在，说明理由．【答案】（1）y ＝﹣x 2+5x+6；（2）M （52，72）；（3）存在5个满足条件的P 点，尺规作图见解析 【解析】 解：（1）将A （6，0），B （﹣1，0）代入y ＝ax 2+bx+6，可得a ＝﹣1，b ＝5，∴y ＝﹣x 2+5x+6；（2）作点C 关于对称轴x ＝52的对称点C'，连接BC'与对称轴交于点M ， 根据两点之间线段最短，则CM+BM ＝C'M+BM ＝C'B 最小，∵C （0，6），∴C'（5，6），设直线BC'的解析式为y=kx ＋b23将B （﹣1，0）和C'（5，6）代入解析式，得065k b k b =-+⎧⎨=+⎩解得：11k b =⎧⎨=⎩∴直线BC'的解析式为y ＝x+1，将x ＝52代入，解得y=72 ∴M （52，72）； （3）存在5个满足条件的P 点；尺规作图如下：①若CB=CP 时，以C 为原点，BC 的长为半径作圆，交抛物线与点P ，如图1所示，此时点P 有两种情况；②若BC=BP 时，以B 为原点，BC 的长为半径作圆，交抛物线与点P ，如图2所示，此时点P 即为所求； ③若BP=CP ，则点P 在BC 的中垂线上，作BC 的中垂线，交抛物线与点P ，如图3所示，此时点P 有两种情况；故存在5个满足条件的P 点．。
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专题63 构造圆与隐形圆在二次函数中的综合问题
1、如图，在直角坐标系中，直线y=﹣13x ﹣1与x 轴，y 轴的交点分别为A 、B ，以x=﹣1为对称轴的抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴分别交于点A 、C ，直线x=﹣1与x 轴交于点D ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在线段AB 上是否存在一点P ，使以A ，D ，P 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）若点Q 在第三象限内，且tan△AQD=2，线段CQ 是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．
2、如图，直线y=﹣34x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．抛物线y=﹣38x 2+bx+c 经过A 、B 两点，与x 轴的另一个交点为C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 是第一象限抛物线上的点，连接OP 交直线AB 于点Q ．设点P 的横坐标为m ，PQ 与OQ 的比值为y ，求y 与m 的关系式，并求出PQ 与OQ 的比值的最大值；
（3）点D 是抛物线对称轴上的一动点，连接OD 、CD ，设△ODC 外接圆的圆心为M ，当sin△ODC 的值最大时，求点M 的坐标．。