数学选修4-1教案第二讲

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人教A版数学【选修4-1】ppt课件：2-2第二讲-直线与圆的位置关系

任意平行四边形的四个顶点在同一个圆上
平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上，因为
它的对角相等，但不一定互补．当互补时，共圆．思考探究2 在我们学过的特殊四边形中，有哪些四边形
的四个顶点共圆？提示有矩形、正方形、等腰梯形，因为它们的四个内角
中相对的两个内角互补.Fra bibliotek名师点拨 1.判定四点共圆的方法 (1)如果四个点与一定点的距离相等，那么这四个点共圆．
【证明】 O.
由A，B，D三点可以确定一个圆，设该圆为⊙
(1)如果点C在⊙O的外部(如图①)，连接BC，与圆相交于点E. ∵∠1＝∠AEB，∠1＝∠2， ∴∠2＝∠AEB. 而∠AEB>∠2，矛盾，故点C不可能在圆外．
(2)如果点C在⊙O的内部(如图②)．延长BC与圆相交于点E，连接AE，则∠1＝∠AEB，而∠1＝∠2， ∴∠2＝∠AEB，与∠2>∠AEB矛盾． ∴点C不可能在圆内．由(1)、(2)知，点C只能在圆上． ∴A，B，C，D四点共圆．
规律技巧
本例的证明应用了分类讨论的思想和反证法．
变式2
已知：如图，在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点 F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于点G，求证： (1)D，E，F，G四点共圆； (2)G，B，C，F四点共圆．
证明 GEF＝90° .
(1)连接GF，由DF⊥AB，EG⊥AC，知∠GDF＝∠
规律技巧
本题除了运用圆内接四边形的性质定理，还运
用了垂径定理及圆周角定理的推论2解决问题．
变式1
如图所示，已知⊙O的内接四边形ABCD，AB和DC的延长线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q.如果∠A＝50° ，∠P＝ 30° ，求∠Q的度数．

人教版数学高二A版选修4-1教材梳理第二讲四弦切角的性质

庖丁巧解牛知识·巧学一、弦切角1.定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.2.弦切角的特点：(1)顶点在圆周上；(2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切.误区警示弦切角定义中的三个条件缺一不可.图2-4-2各图中的角都不是弦切角.图(1)中，缺少“顶点在圆上”的条件；图(2)中，缺少“一边和圆相交”的条件；图(3)中，缺少“一边和圆相切”的条件；图(4)中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件.图2-4-23.如图2-4-3所示，弦切角可分为三类：(1)圆心在角的外部；(2)圆心在角的一边上；(3)圆心在角的内部.图2-4-3二、弦切角定理1.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.2.定理的证明：由于弦切角可分为三类，即图2-4-3所示的情况，所以在证明定理时分三种情况加以讨论：当弦切角一边通过圆心时〔图2-4-4（1）〕，显然弦切角与其所夹弧所对的圆周角都是直角；当圆心O在∠CAB外时〔图2-4-4（2）〕，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC=∠BAQ-∠1=∠APQ-∠2=∠APC；当圆心O在∠CAB内时〔图2-4-4（3）〕，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC=∠QAB+∠1=∠QPA+∠2=∠APC.图2-4-43.在证明弦切角定理的过程中，我们从特殊情况入手，通过猜想、分析、证明和归纳，从而证明了弦切角定理.通过弦切角定理的证明过程，要学会用运动变化的观点观察问题，进而理解从一般到特殊，从特殊到一般的认识规律.知识拓展由弦切角定理，可以直接得出一个结论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等，我们把这一结论称为弦切角定理的推论，它也是角的变换的依据.弦切角定理也可以表述为弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.这就建立了弦切角与弧的数量之间的关系，它为直接依据弧进行角的转换确立了基础.问题·探究问题到目前为止，对于圆中有关的角我们已学过圆心角、圆周角、弦切角，它们各自有定义、定理及和它所对的弧的度数关系，这三种角在证明题和计算题中经常用到，它们是几何综合题中不可缺少的知识点.它们相互之间有哪些联系和区别？如何把握这些联系和区别？思路:从理解圆心角、圆周角、弦切角的定义、定理及与所对、所夹的弧的关系入手思考.探究:圆心角、圆周角、弦切角是圆中三类重要的角，准确理解它们的定义、定理及与所对、所夹的弧的关系，对于我们在圆中的计算、证明，起着举足轻重的作用，将这些知识总结对比列表如下，你可以在比较中把握其异同点，从而快速、准确地应用于解决问题.名称圆心角圆周角弦切角定义顶点在圆心的角顶点在圆上；两边和圆相交顶点在圆上；一边和圆相交；另一边和圆相切图形有关定理①圆心角的度数等于它所对的弧的度数②在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半弦切角等于它所夹弧所对的圆周角有关推论四者关系定理的推论圆周角定理推论①、②、③弦切角定理的推论角与弧的关系∠AOB的度数=的度数∠ACB的度数=21的度∠ACB的度数=21的度典题·热题例1如图2-4-5，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C作AD的垂线，垂足为B，CB 与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB，且AE=2，求△ABC各边的长.J图2-4-5思路分析：∠BAE为弦切角，于是∠BAE=∠C，再由AE平分∠CAB和△ABC是直角三角形可得∠C的度数，进而解直角三角形即可.解：∵AD为⊙O的切线，∴∠BAE=∠C.∵AE平分∠CAB，∴∠BAC=2∠BAE.又∵∠C+∠BAC=90°，∴∠BAE=∠C=30°.2.则有BE=1，AB=3，BC=3，AC=3深化升华本题应用弦切角、解直角三角形的知识,为基础题型，求解此类题时，要注意弦切角在角的转换中的作用，本题正是由于这一条件，沟通了角之间的数量关系.例2如图2-4-6，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F.求证：EF∥BC.图2-4-6思路分析：连结DF，构造弦切角，于是∠FDC=∠DAC，根据AD是△ABC中∠BAC的平分线,得∠BAD=∠DAC，而∠BAD与∠EFD对着同一段弧，所以相等，由此建立∠EFD与∠FDC的相等关系，根据内错角相等，可以断定两直线平行.证明：连结DF.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠DAC.∵∠EFD=∠BAD，∴∠EFD=∠DAC.∵⊙O切BC于D，∴∠FDC=∠DAC.∴∠EFD=∠FDC.∴EF∥BC.方法归纳证明两条直线平行的方法有：（1）内错角相等，两直线平行；（2）同位角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行等.证题时可以根据图形与已知合理选择.本题由于有切线，所以考虑弦切角和它所对的圆周角.例3如图2-4-7，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC、BD相交于点E.图2-4-7（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB=6 cm，BC=4 cm，求AE的长.思路分析：第（1）问中的全等已经具备了AB=AC，再利用弦切角定理与圆周角定理可以得角的相等关系；对于（2），则利用△BCE∽△ACB建立比例式，解方程获得AE的长.（1）证明：∵XY 是⊙O 的切线，∴∠1=∠2. ∵BD ∥XY ，∴∠1=∠3.∴∠2=∠3. ∵∠3=∠4，∴∠2=∠4.∵∠ABD=∠ACD ，又∵AB=AC ，∴△ABE ≌△ACD.（2）解：∵∠3=∠2，∠BCE=∠ACB ，∴△BCE ∽△ACB. ∴CBCEAC BC. ∴AC·CE=BC 2，即AC·(AC-AE)=BC 2. ∵AB=AC=6，BC=4，∴6(6-AE)=16. ∴AE=310（cm ）. 深化升华本题利用平行线、弦切角、圆周角等进行了角的转换，利用相似建立方程求线段的长度，综合应用时，必须非常熟悉图形中的各个量，盯准要求的数值，向图形和已知索取条件.。

高中数学人教A版选修4-1学案第2讲 4 弦切角的性质 Word版含解析

四弦切角的性质
．掌握弦切角定理，并能利用它解决有关问题．(重点)
．体会分类思想，运动变化思想和化归思想．(难点)
[基础·初探]
教材整理弦切角定理
阅读教材～，完成下列问题．
．弦切角
顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．．弦切角定理
()文字语言叙述：
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
()图形语言叙述：
如图--，与⊙切于点，则∠＝∠.
图--
．在⊙外，切⊙于，交⊙于，，则( )
．∠＝∠．∠＝∠
．∠＝∠．∠＝∠
【解析】由弦切角定理知∠＝∠.
【答案】
．如图--所示，与⊙相切于点，和是⊙上两点，∠＝°，则∠等于( )
图--
．°．°
．°．°
【解析】根据弦切角定理：∠＝∠＝°.
【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
[小组合作型]
如图--，是半圆的直径，是圆周上一点(异于，)，过作圆的切线，过作直线的垂线，垂足为，交半圆于点，求证：＝.。

人教A版高中数学选修4-1 第二讲四弦切角的性质课件(共25张PPT)

重点
掌握弦切角的定理，并在几何中应用.
难点
弦切角定理的探究过程及其在几何中应用.
探究
D
A
C
B
E
∠BCE= ∠A
D （C） E
A B
∠BCE = ∠A
如图，已知△ABC是圆O的内接三角形， CE是圆O的切线，
求证：∠BCE= ∠A.
分析: 我们可以从特殊到一般的方法进行分析：
先分析△ABC为直角三角形时的情形，再将一般的锐角和钝角三角形转化为直角三角形的情形.
D
D （C）
E
A
C
B
E
A B
是否可以归纳为特殊的内接四边形呢？
探究
假如直线L是圆O的切线，L A为切点，连接OA，判断OA 与直线L的关系？
AM
. O
观察上图，OA、OM、OB与直线L得关系？
教学目标
知识与能力
理解和掌握弦切角的性质定理，并能够用应用性质定理解决和证明相关的几何问题.
过程与方法
解析 ∵∠TBC+ ∠TBA=1800, 又∵ ∠ATC+ ∠TBA=1800 (弦切角定理和内接四边形定理) . A ∴ ∠TBC= ∠ATC.
T · O
BC
2.已知: 如图,∠1=∠2, EF切圆于点D. 求证: BC∥EF
分析: 直线BC和直线EF被直线
A
AD所截,因此可以通过同位角
12
相等、内错角相等或同旁内角 B G
C
互补来证明BC∥EF.
ED F
证明: 由弦切角定理,得 ∠ADF=ABC+∠2.
又因为 ∠AGC=∠ABC+∠1 ∠1=∠2,
所以 ∠ADF=∠AGC

2019-2020学年高中数学北师大版选修4-1同步配套教学案：第二章 §1 & §2 截面欣赏直线与球、平面与

§对应学生用书P33][自主学习]1．直线与球的位置关系有相离、相切、相交．2．从球外一点作球的切线，它们的切线长相等，所有的切点组成一个圆．3．平面与球的位置关系有相离、相切、相交．4．一个平面与球面相交，所得的交线是一个圆，且圆心与球心的连线垂直于这一平面．[合作探究]1．用一平面去截正方体时，其截面可能是几边形？提示：三角形(锐角三角形、等腰三角形、等边三角形)四边形(长方形、正方形、梯形)五边形、六边形2．直线与球的位置关系的判定与直线与圆的位置关系判定一样吗？提示：一样．都是利用点到直线的距离与半径r的关系去判定．3．平面与球的位置关系如何判定？提示：平面α，球O，球心O到α的距离为OH，球半径为R.若OH>R，则相离；若OH＝R，则相切；若OH<R，则相交．对应学生用书P33]截面问题[例1]从一个底面半径和高都是R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体，如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积(阴影部分)．[思路点拨]本题主要考查截面问题，解题时根据题意画出轴截面可直观求解．[精解详析]轴截面如图所示：被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径O 1C ＝R ，圆锥的截面圆的半径O 1D 设为x .∵OA ＝AB ＝R ，∴△OAB 是等腰直角三角形．又CD ∥OA ，则CD ＝BC ，故x ＝l . ∴截面面积S ＝πR 2－πl 2＝π(R 2－l 2)．解决这类问题的关键是准确分析出组合体的结构特征，发挥自己的空间想象能力，正确作出几何体的轴截面等，把立体图和截面图对照分析，找出几何体中的数量关系．把空间几何问题转化在同一平面内利用平面几何的知识解决，即用空间问题平面化的解题策略．1.一长方体木料，沿如图所示平面EFGH 截长方体，若AB ⊥CD ，那么下列四个图形中是截面的是( )解析：选A 因为AB ，MN 两条交线所在平面(侧面)互相平行，故AB ，MN 无公共点；又AB ，MN 在平面EFGH 内，故AB ∥MN .同理易知，AN ∥BM .又AB ⊥CD ，所以截面必为矩形．[2]有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．[思路点拨] 本题主要考查平面、直线与球的位置关系的应用．解此题时分别作出三种情况的截面图，可求解．[精解详析] 设正方体的棱长为a .(1)正方形的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面正方形的中心，经过四个切点及球心作截面如图①，所以有2r 1＝a ，r 1＝a2，所以S 1＝4πr 21＝πa 2.(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图②，2r 2＝2a ，r 2＝22a, 所以S 2＝4πr 2＝2πa 2.(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图③，所以有2r 3＝3a ，r 3＝32a ，所以S 3＝4πr 23＝3πa 2.综上可得S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3.与球有关的截面问题，为了增加图形的直观性，解题时常常画一个截面圆起衬托作用．2．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是( )A ．22B ．32C ．2D ．3解析：选C 由题意结合图形分析知：截面过球心，且交AB 于E 点，则E 为AB 的中点，即可得△ECD 为等腰三角形，又CD ＝2，CE ＝DE ＝3，可求得S △ECD ＝2. [例3] 如图，球O 的半径为2，圆O 1是一小圆，O 1O ＝2，A ，B 是圆O 1上两点．若∠AO 1B ＝π2，则A ，B 两点间的球面距离为．[精解详析] 如图，OB ＝OA ＝2，O 1O ＝2， ∴O 1A ＝2，∴AB ＝2，∴△OAB 为正三角形， ∴∠AOB ＝π3.∴A ，B 两点间的球面距离为π3×2＝2π3.[答案] 2π3若一平面与球面相交所得交线是一个圆，且圆心与球心的连线垂直于这一平面，该圆心与球心距离为d ，圆半径为r ，球半径为R ，则d 2＋r 2＝R 2.本例条件变为“如图，球O 的半径为2，圆O 1是一小圆，O 1O ＝2，A ，B 是圆O 1上两点．若A ，B 两点间的球面距离为2π3”，则∠AO 1B ＝ .解析：由A ，B 间的球面距离为2π3知∠AOB ＝π3，所以△AOB 为等边三角形，AB ＝2；又由球O 的半径为2，O 1O ＝2知O 1A ＝O 1B ＝2，所以△AO 1B 为等腰直角三角形，∠AO 1B ＝π2.答案：π2本课时常考查截面问题，是每年命题的热点内容之一．属中档题．[考题印证]平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A ．6πB ．43πC ．46πD ．63π[命题立意]本题主要通过截面问题考查球的性质及球的体积公式．[自主尝试] 设球的半径为R ，由球的截面性质得R ＝错误!＝错误!，所以球的体积V ＝错误!πR 3＝4错误!π.[答案] B对应学生用书P35]一、选择题1．在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为( )A ．1∶3B ．1∶9C ．1∶33D ．1∶(33－1)解析：选D 由面积比等于边长比的平方，体积比为边长比的立方可求得D 正确．2．过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是( )A ．πB ．2πC ．3πD ．23π解析：选A 设截面的圆心为O ′，由题意得：∠OAO ′＝60°，O ′A ＝1，S ＝π·12＝π.3．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点，若截面△BC 1D 是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为( )A ．43B ．33C ．83D ．63解析：选C 由题意，设AB ＝a ，AA 1＝b ，再由12BD ·DC 1＝6可得a 2＋b24＝12.又由BC 2＋CC 21＝BC 21得a 2＋b 2＝24，可得a ＝22，b ＝4，∴V ＝34×(22)2×4＝83.4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，B 1C 1的中点，则正方体的过P ，Q ，R 的截面图形是( )A ．矩形B ．正五边形C ．正六边形D ．菱形解析：选C 如图，利用空间图形的公理作出截面，可知截面为正六边形．二、填空题5．已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M .若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于．解析：记球O 的半径为R ，圆M 的半径为r ，则依题意得r 2＝3，R 2＝r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22，故R 2＝4，球O 的表面积等于4πR 2＝16π.答案：16π6．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝120°，则此球的表面积等于．解析：在△ABC 中AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，可得BC ＝23，由正弦定理，可得△ABC 外接圆半径r ＝2，设此圆圆心为O ′，球心为O ，在Rt △OO ′B 中，易得球半径R ＝5，故此球的表面积为4πR 2＝20π.答案：20π7．已知点A ，B ，C 在球心为O 的球面上，△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2－bc ，a ＝3，球心O 到截面ABC 的距离为2，则该球的表面积为．解析：由a 2＝b 2＋c 2－bc 可得A ＝π3，再由正弦定理可得球的小圆半径为r ＝1，进而可得球的半径为R＝3，该球的表面积为12π. 答案：12π8．在2π3的二面角内，放一个半径为5的球切两半平面于A ，B 两点，那么这两个切点在球面上最短距离是．解析：两切点对球心的张角为π3，∴球面距为5π3.答案：5π3三、解答题9．已知棱长为a 的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M ，N 分别是CD ，AD 的中点，求证：MNA ′C ′是梯形．证明：如图，连接AC .∵M ，N 分别为CD ，AD 的中点， ∴MN 綊12AC .由正方体性质可知AC 綊A ′C ′， ∴MN 綊12A ′C ′，∴四边形MNA ′C ′是梯形．10．在北纬45°的纬度圈上有A ，B 两点，它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上，设地球半径为R ，求A ，B 两点间的球面距离．解：如图，设北纬45°圈的圆心为O 1，地球中心为O ，则∠AO 1B ＝160°－70°＝90°，∠OBO 1＝45°，OB ＝R ， ∴O 1B ＝O 1A ＝22R ，AB ＝R .连接AO ，AB ，则AO ＝BO ＝AB ＝R ， ∴∠AOB ＝60°＝16·2πR ＝13πR .故A ，B 两点间的球面距离为13πR . 11．如图所示，三棱锥V －ABC 中，VA ⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°.(1)求证：V ，A ，B ，C 四点在同一球面上．(2)过球心作一平面与底面内直线AB 垂直．求证：此平面截三棱锥所得的截面是矩形．证明：(1)取VC的中点M.∵VA⊥底面ABC，∠ABC＝90°，∴BC⊥VB.在Rt△VBC中，M为斜边VC的中点，∴MB＝MC＝MV.同理，在Rt△VAC中，MA＝MV＝MC.∴MV＝MC＝MA＝MB，∴V，A，B，C四点在同一球面上，M是球心．(2)取AC，AB，VB的中点分别为N，P，Q，连接NP，PQ，QM，MN.则MNPQ就是垂直于AB的三棱锥V－ABC的截面，易证PQMN是平行四边形，又VA⊥BC，PQ∥VA，NP∥BC，∴QP⊥PN，故截面MNPQ是矩形．。

数学：二教案(新人教A版选修4-1)

平行线分线段成比例定理教学目的：1．使学生理解平行线分线段成比例定理及其初步证明；2．使学生初步熟悉平行线分线段成比例定理的用途、用法；3．通过定理的教学，培养学生的联想能力、概括能力。

教学重点：取得“猜想”的认识过程，以及论证思路的寻求过程。

教学难点：成比例的线段中，对应线段的确认。

教学用具：圆规、三角板、投影仪及投影胶片。

教学过程：（一）旧知识的复习利用投影仪提出下列各题使学生解答。

1．求出下列各式中的x ：y 。

（1）3x =5y ；（2）x=y 32；（3）3：2=γ：χ；（4）3：χ=5：γ。

2．已知γχχγχ+=求,27。

3．已知zy x z y x z -+++==32,432求γχ。

其中第1题以学生分别口答、共同核对的方式进行；第2、3题以学生各自解答，指定2人板演，而后共同核对板演所述，并追问理论根据的方式进行。

（二）新知识的教学1．提出问题，使学生思考。

在已学过的定理中，有没有包含两条线段的比是1：1的？而后使学生试答，如果答出定理——过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边，那么追问理由，如果答不出，那么利用图1（若E 是AB 中点，EF//BC ，交AC 于F 点，则AF=FC ）使学生观察，并予以分析而得出11==FC AF EB AE ，并指出此定理也可谓：如果E 是△ABC 的AB 边上一点，且11=EB AE ，EF//BC 交AC 于F 点，那么11==FC AE EB AE 。

2．引导学生探索与讨论。

就着上述结论提出，在△ABC 中，EF//BC 这个条件不变，但EB AE 不等于11，譬如EB AE =32时，FCAF 应等于“几比几”？并使学生各自画图、进行度量，得出“猜想”——配合着黑板上画出的相应图观察、明确。

而后使学生试证，如能证明，则让学生进行证明，并明确论证的理论根据，如果学生不会证明，那么以“可否类比着平行线等分线段定理的证法？”引导，而后指定学生进行证明。

人教A版数学【选修4-1】ppt课件：2-4第二讲-直线与圆的位置关系

(2)图形语言叙述：如图，AB与⊙O切于点A，则∠BAC＝________.
答 1.相交
圆相切 ∠D
案 2.所夹的弧
思考探究1 提示
弦切角与圆周角有什么异同点？
相同点：两者顶点都在圆上．
不同点：弦切角的一边与圆相交，另一边与圆相切，而圆周角的两边都与圆相交．思考探究2 提示两个一条弦和一条切线可形成几个弦切角？
(2)证明直线平行弦切角定理构建了角与角的相等关系，而直线的平行是以角的关系为基本条件的，因而在圆中我们可以利用弦切角定理来推理论证直线的平行．如图，若CD切圆于点M，弦AM与弦 BM相等，则由∠CMA＝∠B，∠A＝∠B得到∠CMA＝∠A，从而CD∥AB.
(3)证明线段相等借助于弦切角定理和圆的其他性质(如等弧所对的弦相等) 以及三角形有关知识我们可以得到特殊三角形或全等三角形，从而证得线段相等．
第二讲
直线与圆的位置关系
四
弦切角的性质
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识夯实基础
学习目标 1.理解弦切角的概念．会判断弦切角． 2．掌握弦切角定理的内容，并能利用它解决相关的几何问题.
课前预习 1.弦切角顶点在圆上，一边和圆________，另一边和________的角叫做弦切角． 2．弦切角定理 (1)文字语言叙述：弦切角等于它________所对的圆周角．
变式1
如图，在两个以O为圆心的同心圆中，大圆的弦
AB，AC和小圆相切于D，E，直线MN切大圆于A. 求证：(1)MN∥BC； 1 (2)DE＝ BC. 2
分析对于(1)利用弦切角定理可得结果．对于(2)要证明出点D，E分别为线段AB，AC的中点．
证明 (1)∵AB，AC切小圆于D，E，连接OD，OE， ∴OD＝OE，OD⊥AB，OE⊥AC. 在大圆中，AB＝AC，∠B＝∠C. 又∵MN切大圆于A， ∴∠NAC＝∠B.∴∠NAC＝∠C. ∴MN∥BC.

人教A版数学【选修4-1】ppt课件：《第二讲-直线与圆的位置关系》小结

(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF. 类似可证，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF. 又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF· BF，所以EF2＝AD· BC.
【解】 P运动2 s时，PC＝2×2＝4 cm，AC＝8 cm. ∴P是AC的中点，由勾股定理知， BC＝6 cm，BP＝2 13 cm. 连接OD，∵D为切点，∴OD⊥AC. DP PC 4 2 ∴OD∥BC，∴ ＝＝＝ . OD BC 6 3 设半径OD为3x，则DP＝2x(x>0)．由勾股定理可求出OP＝ 3x2＋2x2＝ 13x，
【分析】
如下图所示．
轮船是否有触礁的危险，在于轮船航行所在的直线与以A为圆心，15海里为半径的圆的位置关系，此题应从直线与圆A相切这一特殊关系入手，转化为三角函数求解．
【解】 (1)过B作⊙A的切线，切点为D，连接DA，则AD⊥ BD. 在Rt△BDA中，AB＝45，AD＝15， AD 1 ∴sin∠DBA＝ AB ＝3，∴∠DBA≈20° . (2)过C作⊙A的切线，切点为E，连接AE，则AE⊥CE，在Rt△ACE中， AC＝45－15＝30，AE＝15.
︵
【分析2】如图②，欲证∠CAE＝∠ACD，连接OC，AC，得到∠CAO＝∠OCA，因此只需证∠EAO＝∠OCD. ∵CD⊥AB，C为A E 的中点，∴OC⊥AE. ∴∠EAO＋∠COA＝∠OCD＋∠COA. ∴∠EAO＝∠OCD. ︵
【分析3】如图③，欲证∠CAE＝∠ACD，︵︵ ∵ CE ＝ AC ，∴∠CAE＝∠ABC，故只需证明∠ACD＝∠ ABC，这由∠ACB＝90° ，CD⊥AB可得．证明略．

高中数学选修4 1教案

高中数学选修4 1教案在高中数学的教学过程中，编写一份优质的教案对于指导学生理解和掌握知识点至关重要。

今天，我们就来探讨如何编写一份高中数学选修4-1的教案范本。

## 教学目标在编写教案之前，首先要明确教学目标。

这些目标应当包括知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度。

例如，对于选修4-1的内容，教学目标可以是：- 理解并掌握相关数学概念和定理。

- 能够运用所学知识解决实际问题。

- 培养学生的逻辑推理能力和数学思维。

- 激发学生对数学学科的兴趣和热爱。

## 教学内容接下来，要根据教学大纲和教材内容，确定本节课的教学内容。

例如，如果本节是关于“函数的概念与性质”，那么教学内容应包括：- 函数的定义- 函数的表示方法- 函数的性质（如单调性、周期性等）## 教学方法选择合适的教学方法对于提高教学效果至关重要。

可以采用以下几种方法：- 讲授法：用于讲解基本概念和定理。

- 探究法：引导学生通过问题解决学习新知识。

- 合作学习：鼓励学生小组讨论，共同解决问题。

## 教学过程教学过程是教案的核心部分，需要详细规划。

一般包括以下几个环节：1. 导入新课：可以通过提出问题、回顾旧知识或展示实际应用案例来引入新课内容。

2. 新课讲解：根据教学内容，系统地讲解新知识点。

3. 学生练习：设计适当的练习题，让学生巩固和应用所学知识。

4. 小结反馈：总结课堂重点，解答学生疑问，并进行形成性评价。

## 教学评价教学评价是检验教学效果的重要环节。

可以通过以下方式进行：- 随堂测验：通过小测试了解学生对知识点的掌握情况。

- 作业布置：布置适量作业，既能够巩固课堂所学，又能够检验学生的学习效果。

- 自我反思：教师应对自己的教学过程进行反思，以便不断改进教学方法和策略。

## 教学资源最后，不要忘记准备必要的教学资源，如多媒体课件、实物模型、数学工具软件等，这些都能有效辅助教学，提高学生的学习兴趣。

总之，一份好的教案应该是结构清晰、内容丰富、符合学生实际水平的。

人教A版高中数学选修4-1课件高二：2.1圆周角定理

还要想到它所对的圆周角,得到直角三角形,这样有关直角三角形的性质便可应用了.如图(1),以 CD 为直径的☉O 交△ACD 的两边于 B,E,连接 BE,求证:ADcos A=AB.
此题必须先证 AD,AB 所在△ABD 为直角三角形,此时连接 BD,可由直径所对的圆周角为 90°,这样就得到了所需的条件.
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随堂练习
UITANG LIANXI
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1.如图所示,在☉O 中,∠BAC=25°,则∠BOC 等于( )
A.25°
B.50°
C.30°
D.12.5°
解析:根据圆周角定理,得∠BOC=2∠BAC=50°.
点都可得到相等的圆周角∠C=∠D=∠E.也可以由角找弧,再由弧找角,如
图(2),AD 平分∠BAC,得∠1=∠2,∠1 对��,∠2 对��,∠3 也对��,故∠1=
∠2=∠3.如果要证△DBE∽△DAB,无疑两个相等的角为此提供了条件.
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图(1)
图(2)
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温馨提示(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等,但并
不是“圆心角等于它所对的弧”; (2)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”; (3)由弦相等推出弧相等时,这里的弧要求同是优弧或同是劣弧,一般选
��所对的圆心角为 2×75°=150°.又�� 和 ��所对圆心角的和是周角 360°, ∴��所对圆心角是 360°-150°=210°,

北师版数学选修4-1讲义; 第1章 §2 2.4 切割线定理

2.4 切割线定理1.掌握切割线定理及其推论.2.会用切割线定理及推论解决问题.[基础·初探]教材整理1切割线定理(1)文字叙述过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项.(2)图形表示如图1-2-76，⊙O的切线P A，切点为A，割线PBC，则有P A2＝PB·PC.图1-2-761.P A为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于B，PB＝4，PO＝8.5，则P A ＝________.【解析】∵PB＝4，PO＝8.5，∴OB＝4.5.由切割线定理知，P A2＝4×13＝52，∴P A＝213.【答案】213教材整理2切割线定理的推论(1)文字叙述过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积.(2)图形表示如图1-2-77，P AB与PCD是⊙O的两条割线，则有P A·PB＝PC·PD.图1-2-772.P AB为过圆心O的割线，且P A＝OA＝4，PCD为⊙O的另一条割线，且PC＝CD，则PC长为()A.4B. 6C.24D.2 6【解析】由题意知P A·PB＝PC·PD，设PC＝x，则PD＝2x，∴2x·x＝4×12，∴x＝26，即PC＝2 6.【答案】 D教材整理3切割线定理的逆定理(1)文字叙述给定⊙O外一点P，若割线P AB交⊙O于A，B两点，点T在⊙O上，且PT2＝P A·PB，则PT是⊙O的切线.(2)图形表示如图1-2-78，P AB是⊙O的割线，点T在⊙O上，若PT2＝P A·PB，则PT是⊙O的切线.。

人教版高中数学选修4-1：1.2《平行线分线段成比例定理》教案【2】

平行线分线段成比例定理一、教学目标：㈠知识与技能：1．掌握平行线分线段成比例定理的推论。

2．用推论进行有关计算和证明。

㈡教学思考：通过探究平行线分线段成比例定理的推论，培养学生数学思维能力。

㈢解决问题：学生经历观察、操作、探究、交流、归纳、总结过程获得结论，体验解决问题的多样性，感悟比例中间量的作用。

㈣情感态度：1．通过探究活动，给学生创造表现自我的机会，让学生体验成功的喜悦。

2．培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质。

3．将学生置于教师平等地位、营造和谐的师生气氛。

二、教学重点：推论及应用三、教学难点：推论的应用四、教学方法：引导、探究五、教学媒体：投影、胶片六、教学过程：【活动一】引入新课问题1 上节我们学习了什么内容？本节将研究什么？学生共同手工拼图，通过思考探究得出结论。

在本次活动中，教师应重点关注：1．操作过程中学生是否把被截得两直线交点放在相应位置。

2．学生是否有探究本节所学内容的兴趣和欲望。

设计意图：使学生通过动手操作、观察、直观得出初步结论。

【活动二】探究推论问题2．被截直线的交点若落在第一条或第二条平行线上，平行线分线段成比例定理是否还成立？问题3．若上述问题成立，可得什么特殊结论？321123教师提问，引导学生猜想，并在拼好的图上测量、计算、证明。

推论：投影出示。

在本次活动中，教师应重点关注： 1．学生是否认真、仔细的测量和计算。

2．学生能否用定理证明所得推论。

设计意图：培养学生大胆猜测，从实践中得出结论。

【活动三】问题4 看图说比例式 A BCD3()2() A B DE1() DE BC学生结对子，师生结对子说出比例式。

在本次活动中，教师应重点关注：1．学生能否顺利回答对方所提出的比例式。

2．学生是否与同伴交流中达到互帮互学。

3．学生能否体会由平行得出多个比例式。

设计意图：给学生表现机会，让学生体验成功的喜悦，调动学生积极性。

2020学年高中数学第二讲直线与圆的位置关系知识归纳与达标验收创新应用教学案新人教A版选修4_1

第二讲直线与圆的位置关系[对应学生用书P35]近两年高考中，主要考查圆的切线定理，切割线定理，相交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目难度不大，以容易题为主．对于与圆有关的比例线段问题通常要考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查题型，常见的证明方法有：①到某定点的距离都相等；②如果某两点在一条线段的同侧时，可证明这两点对该线段的张角相等；③证明凸四边形的内对角互补(或外角等于它的内对角)等．1．(湖南高考)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．解析：设AO ，BC 的交点为D ，由已知可得D 为BC 的中点，则在直角三角形ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝1，设圆的半径为r ，延长AO 交圆O 于点E ，由圆的相交弦定理可知BD ·CD ＝AD ·DE ，即(2)2＝2r－1，解得r ＝32. 答案：322.(新课标全国卷Ⅱ)如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC ＝2PA ，D 为PC 的中点，AD的延长线交⊙O 于点E .证明：(1)BE ＝EC ；(2)AD ·DE ＝2PB 2.证明：(1)连接AB ，AC .由题设知PA ＝PD ，故∠PAD ＝∠PDA .因为∠PDA ＝∠DAC ＋∠DCA ，∠PAD ＝∠BAD ＋∠PAB ，∠DCA ＝∠PAB ，所以∠DAC ＝∠BAD ，从而BE ＝EC .因此BE ＝EC .(2)由切割线定理得PA 2＝PB ·PC .因为PA ＝PD ＝DC ，所以DC ＝2PB ，BD ＝PB .由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ，所以AD ·DE ＝2PB 2.3．(新课标全国卷Ⅱ)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值. 解：(1)证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC FA ＝DC EA，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EFA .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EFA ＝∠CFE ＝90°.所以∠CBA ＝ 90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)连接CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE .由BD ＝BE ，有CE ＝DC .又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12. [对应学生用书P35]圆内接四边形的判定与性质接四边形的判定和性质．[例1] 已知四边形ABCD 为平行四边形，过点A 和点B 的圆与AD 、BC 分别交于E 、F .求证：C 、D 、E 、F 四点共圆．[证明] 连接EF ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以∠B ＋∠C ＝180°.因为四边形ABFE 内接于圆，所以∠B ＋∠AEF ＝180°.所以∠AEF ＝∠C .所以C 、D 、E 、F 四点共圆．[例2] 如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，延长BC 到E ，已知∠BCD ∶∠ECD ＝3∶2，那么∠BOD 等于( )A ．120°B ．136°C ．144°D ．150°[解析] 由圆内接四边形性质知∠A ＝∠DCE ，而∠BCD ∶∠ECD ＝3∶2，且∠BCD ＋∠ECD ＝180°，∠ECD ＝72°.又由圆周角定理知∠BOD ＝2∠A ＝144°.[答案] C 直线与圆相切要，结合此知识点所设计的有关切线的判定与性质、弦切角的性质等问题是高考选做题热点之一，解题时要特别注意．[例3] 如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ABC ＝90°，点P 是圆外一点，PA 切⊙O 于点A ，且PA ＝PB .(1)求证：PB 是⊙O 的切线；(2)已知PA ＝3，BC ＝1，求⊙O 的半径．[解] (1)证明：如图，连接OB .∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA .∵PA ＝PB ，∴∠PAB ＝∠PBA .∴∠OAB ＋∠PAB ＝∠OBA ＋∠PBA ，即∠PAO ＝∠PBO .又∵PA 是⊙O 的切线，∴∠PAO ＝90°.∴∠PBO ＝90°.∴OB ⊥PB .又OB 是⊙O 半径，∴PB 是⊙O 的切线．(2)连接OP ，交AB 于点D .如图．∵PA ＝PB ，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上． ∵OA ＝OB ，∴点O 在线段AB 的垂直平分线上．∴OP 垂直平分线段AB . ∴∠PAO ＝∠PDA ＝90°.又∵∠APO ＝∠OPA ，∴△APO ∽△DPA .∴AP DP ＝PO PA .∴AP 2＝PO ·DP .又∵OD ＝12BC ＝12，∴PO (PO －OD )＝AP 2.即PO 2－12PO ＝(3)2，解得PO ＝2.在Rt △APO 中，OA ＝PO 2－PA 2＝1，即⊙O 的半径为1.与圆有关的比例线段圆的切线、到一些比例式、乘积式，在解题中，多联系这些知识，能够计算或证明角、线段的有关结论．[例4] 如图，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，求DE的长．[解] 设CB＝AD＝x，则由割线定理得：CA·CD＝CB·CE，即4(4＋x)＝x(x＋10)，化简得x2＋6x－16＝0，解得x＝2或x＝－8(舍去)，即CD＝6，CE＝12.连接AB，因为CA为小圆的直径，所以∠CBA＝90°，即∠ABE＝90°，则由圆的内接四边形对角互补，得∠D＝90°，则CD2＋DE2＝CE2，所以62＋DE2＝122，所以DE＝6 3.[例5] △ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆，交BC于D，O是圆心，DM是⊙O的切线交AC于M(如图)．求证：DC2＝AC·CM.[证明] 连接AD、OD.∵AB是直径，∴AD⊥BC.∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA.又AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD.则∠CAD＝∠ODA，OD∥AC.∵DM是⊙O切线，∴OD⊥DM.则DM⊥AC，DC2＝AC·CM.[对应学生用书P43](时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．圆内接四边形的4个角中，如果没有直角，那么一定有( )A ．2个锐角和2个钝角B ．1个锐角和3个钝角C ．1个钝角和3个锐角D ．都是锐角或都是钝角解析：由于圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的4个角中若没有直角，则必有2个锐角和2个钝角．答案：A2.如图，在⊙O 中，弦AB 长等于半径，E 为BA 延长线上一点，∠DAE＝80°，则∠ACD 的度数是( )A ．60°B ．50°C ．45°D ．30° 解析：∠BCD ＝∠DAE ＝80°，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12AC ， ∴∠ACB ＝30°.∴∠ACD ＝80°－30°＝50°.答案：B3．如图所示，在半径为2 cm 的⊙O 内有长为2 3 cm 的弦AB .则此弦所对的圆心角∠AOB 为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 解析：作OC ⊥AB 于C ，则BC ＝3，在Rt △BOC 中cos ∠B ＝BO OB ＝32. ∴∠B ＝30°.∴∠BOC ＝60°.∴∠AOB ＝120°.答案：C4.如图，已知⊙O 的半径为5，两弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ，且AB ＝8，CE ∶ED ＝4∶9，则圆心到弦CD 的距离为( ) A.2143B.289C.273D.809 解析：过O 作OH ⊥CD ，连接OD ，则DH ＝12CD ，由相交弦定理知，AE ·BE ＝CE ·DE .设CE ＝4x ，则DE ＝9x ，∴4×4＝4x ×9x ，解得x ＝23， ∴OH ＝OD 2－DH 2＝52－1332＝2143. 答案：A5.如图，PA 切⊙O 于A ，PBC 是⊙O 的割线，且PB ＝BC ，PA ＝32，那么BC 的长为( ) A. 3B ．2 3C ．3D ．3 3解析：根据切割线定理PA 2＝PB ·PC ，所以(32)2＝2PB 2.所以PB ＝3＝BC .答案：C6．两个同心圆的半径分别为3 cm 和6 cm ，作大圆的弦MN ＝6 3 cm ，则MN 与小圆的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：作OA ⊥MN 于A .连接OM .则MA ＝12MN ＝3 3. 在Rt △OMA 中， OA ＝OM 2－AM 2＝3(cm)．∴MN 与小圆相切．答案：A7.如图，PAB ，PDC 是⊙O 的割线，连接AD ，BC ，若PD ∶PB ＝1∶4，AD ＝2，则BC 的长是( )A ．4B ．5C ．6D ．8解析：由四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形可得∠PAD ＝∠C ，∠PDA ＝∠B .∴△PAD ∽△PCB .∴PD PB ＝AD CB ＝14. 又AD ＝2，∴BC ＝8.答案：D8．已知⊙O 的两条弦AB ，CD 交于点P ，若PA ＝8 cm ，PB ＝18 cm ，则CD 的长的最小值为( )A ．25 cmB ．24 cmC ．20 cmD ．12 cm解析：设CD ＝a cm ，CD 被P 分成的两段中一段长x cm ，另一段长为(a －x ) cm.则x (a －x )＝8×18，即8×18≤(x ＋a －x 2)2＝14a 2. 所以a 2≥576＝242，即a ≥24.当且仅当x ＝a －x ，即x ＝12a ＝12时等号成立．所以CD 的长的最小值为24 cm.答案：B9．如图，点C 在以AB 为直径的半圆上，连接AC 、BC ，AB ＝10，tan∠BAC ＝34，则阴影部分的面积为( ) A.252π B.252π－24 C ．24D.252π＋24 解析：∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∵tan ∠BAC ＝34， ∴sin ∠BAC ＝35. 又∵sin ∠BAC ＝BC AB，AB ＝10，∴BC ＝35×10＝6. AC ＝43×BC ＝43×6＝8，∴S 阴影＝S 半圆－S △ABC ＝12×π×52－12×8×6 ＝252π－24. 答案：B10．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以A 为圆心、AC 为半径的圆交AB 于F ，交BA 的延长线于E ，CD ⊥AB 于D ，给出四个等式：①BC 2＝BF ·BA ；②CD 2＝AD ·AB ；③CD 2＝DF ·DE ；④BF ·BE ＝BD ·BA .其中能够成立的有( )A ．0个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①②不正确，由相交弦定理知③正确，又由BC 2＝BE ·BF ，BC 2＝BD ·BA ，得BE ·BF ＝BD ·BA ，故④正确．答案：B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把正确答案填写在题中的横线上)11．四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD ＝120°，OB ＝1，则∠BAD ＝________，∠BCD ＝________，BCD 的长＝________.解析：∠BAD ＝∠12BOD ＝60°， ∠BCD ＝180°－∠BAD ＝120°，由圆的半径OB ＝1，∠BOD ＝2π3， ∴BCD 的长为2π3. 答案：60° 120° 2π3 12．(陕西高考)如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝________.解析：由相交弦定理可知ED 2＝AE ·EB ＝1×5＝5，又易知△EBD 与△FED 相似，得DF ·DB ＝ED 2＝5.答案：513.如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，AC ，BC ，AB 分别与⊙O 切于点D ，E ，F ，∠C ＝90°，AD ＝3，⊙O 的半径为2，则BC ＝________.解析：如图所示，分别连接OD ，OE ，OF .∵OE ＝OD ，CD ＝CE ，OE ⊥BC ，OD ⊥AC ，∴四边形OECD 是正方形．设BF ＝x ，则BE ＝x .∵AD ＝AF ＝3，CD ＝CE ＝2，∴(2＋x )2＋25＝(x ＋3)2，解得x ＝10，∴BC＝12.答案：1214．如图，AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交AB的延长线于E，若EA＝1，ED＝2，则BC＝________.解析：∵CE为⊙O的切线，D为切点，∴ED2＝EA·EB.又∵EA＝1，ED＝2，得EB＝4，又∵CB、CD均为⊙O的切线，∴CD＝CB.在Rt△EBC中，设BC＝x，则EC＝x＋2.由勾股定理得EB2＋BC2＝EC2.∴42＋x2＝(x＋2)2，得x＝3，∴BC＝3.答案：3三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC＝PD，求证：(1)l是⊙O的切线；(2)PB平分∠ABD.证明：(1)连接OP，因为AC⊥l，BD⊥l，所以AC∥BD.又OA＝OB，PC＝PD，所以OP∥BD，从而OP⊥l.因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．(2)连接AP，因为l是⊙O的切线，所以∠BPD＝∠BAP.又∠BPD＋∠PBD＝90°，∠BAP＋∠PBA＝90°，所以∠PBA＝∠PBD，即PB平分∠ABD.16．(本小题满分12分)(2012·辽宁高考)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E.证明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.证明：(1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ，同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝AB BD ，即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ，又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD .从而AE AB ＝AD BD，即AE ·BD ＝AD ·AB .结合(1)的结论，AC ＝AE .17.(本小题满分12分)如图，AB 为圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为E ，弦BM 与CD 交于点F .(1)证明：A ，E ，F ，M 四点共圆；(2)证明：AC 2＋BF ·BM ＝AB 2.证明：(1)连接AM ，则∠AMB ＝90°.∵AB ⊥CD ，∴∠AEF ＝90°.∴∠AMB ＋∠AEF ＝180°，即A ，E ，F ，M 四点共圆．(2)连接CB ，由A ，E ，F ，M 四点共圆，得BF ·BM ＝BE ·BA .在Rt △ACB 中，BC 2＝BE ·BA ，AC 2＋CB 2＝AB 2，∴AC 2＋BF ·BM ＝AB 2.18．(辽宁高考)(本小题满分14分)如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径；(2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD .由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA ，又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA ，所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ，从而∠BDA ＝∠PFA .由于AF ⊥EP ，所以∠PFA ＝90°，于是∠BDA ＝90°.故AB 是直径．文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。

2014-2015学年高中数学(人教版选修4-1)配套课件第二讲 2.2 圆内接四边形的性质与判定定理

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证明：四边形 ABCD 为矩形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝DB， ∴OA＝OB＝OC＝OD. ∵点 A、B、C、D 到 O 点的距离相等， ∴A、B、C、D 这四个点在以点 O 为圆心，OA 为半径的同一个圆上．目
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题型1
性质定理的应用
例1 在圆内接四边形 ABCD 中，已知∠A、∠B、∠C 的度数比为
4∶3∶5，求四边形各角的度数．
解析：设∠A、∠B、∠C 的度数分别为 4x、3x、5x，则由∠A ＋∠C＝180° ，可得 4x＋5x＝180° ，∴x＝20° . ∴∠A＝4×20° ＝80° ，∠B＝3×20° ＝60° ， ∠C＝5×20° ＝100° ，∠D＝180° －∠B＝120° .
∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴∠B＋∠C＝180° . ∵四边形 ABFE 内接于圆， ∴∠B＋∠AEF＝180° ， ∴∠AEF＝∠C， ∴点 C、D、E、F 四点共圆．
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点评：要证明四点共圆，先把它们连接成一个四边形，关键是抓住对角间或外角与内角间关系．
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1．圆内接多边形的定义．如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边形叫做
圆内接多边形外接圆． ____________，这个圆叫做多边形的________ 互补． 2．圆内接四边形的性质定理 1：圆内接四边形的对角________
圆内接四边形的性质定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角栏
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1．当题目中出现圆内接四边形时，首先利用圆内接四边形性质定理，再结合其他条件进行推理证明． 2．判定四点共圆的方法： (1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆． (2)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共目圆． (3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．

重庆市大学城第一中学校高中数学选修4-1教案：2.5.1与

学做思二
问题2.下图中有哪些三角形相似？线段PA、PB、PC、PD之间有什么关系？
问题3.下图中有哪些三角形相似？问题2中的结论还成立吗？
学做思三
技能提炼
*1.如图，在⊙O中，P是弦AB的中点，过点P作半径OA的垂线分别交⊙O于C、D两点，垂足是点E.
求证：PC·PD＝AE·AO.
* 2.(2013·高考重庆卷)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________．
反思总结
1.知识建构
2.能力提高
3.课堂体验
课后练习
同步练习金考卷
*2．(2012·高考天津卷)如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为________．
*3．已知P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A，B为切点，BC是直径．求证：AC∥OP.
章节：1.2
课时：6备课人杜强；二次备课人吴非
课题名称
第二讲与圆有关的比例线段（第1课时）
三维目标
1.理解相交弦定理、割线定理、及其证明；
2会应用定理解决相关的几何问题；
3.体会数学中的运动变化思想方法；
重点目标
难点目标
导入示标
目标三导
学做思一：
学习目标
自学探究
问题1.证明两个三角形相似的方法有哪些？
*3.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的切线与过A、B两点的切线分别交于点E、F，AF与BE交于点P.求证：∠EPC＝∠EBF.

数学人教A版选修4-1学案课堂导学第二讲第四节弦切角的性质 Word版含解析

课堂导学三点剖析一、弦切角定理【例】如图、切⊙于、,∠°,则∠等于()图°°°°思路分析：连结,∠与∠分别处于两个三角形,它们之间的联系途径就是弦切角. 解:连结.∵是弦、切圆于、,∴∠∠,∠∠.∴∠∠.在△中,∠(°∠)°,∴∠∠°.答案二、弦切角定理综合运用【例】如图切⊙于是⊙的割线,在上截取,求证:∠∠.图证明：∵,∴∠∠.∵∠∠∠,∠∠∠,∴∠∠∠∠.又∵切⊙于为弦,∴∠∠.∴∠∠.三、本节数学思想选讲【例】如图,已知为⊙直径为延长线上一动点,过点作⊙的切线,设切点为.()请你连结,作∠的平分线,交于点,测量∠的度数.()当在延长线上运动时,∠的度数作何变化?请你猜想,并证明.图解析:()作图,并测量,∠°.()∠不随在延长线上的位置变化而变化,即∠°是一个定值.证明:连结交于,∵∠是△的外角,∴∠∠∠.同理,∠∠∠.但∠∠.又∵是弦与⊙切于,∴∠∠.∴∠∠.∴.∵是直径,∴∠°.∴△是等腰直角三角形.∴∠°.各个击破类题演练如图,△为⊙的内接三角形为直径为延长线上一点切⊙于点,∠°,则∠等于()图°°°°解析:∵是直径,∴∠°.∴∠∠°,∠∠°.∵是切线为弦,∴∠∠.∴∠∠°.答案类题演练如图⊥直径为⊙切线为切点,求证:∠∠.图证明:连结,∵是直径,∴∠°.∴∠∠°.∵⊥,∴∠°.∴∠∠°.∴∠∠.又∵切⊙于是弦,∴∠∠.∴∠∠.类题演练在△中,∠的平分线与△的外接圆相交于,过作圆的切线.求证∥.。

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一、圆周角定理一、教学目标：1.知识与技能使学生理解和掌握圆周角定理以及两个相关的推论，并能够用这个定理和推论解决有关的几何问题 2. 过程与方法学习并领会圆周角定理的证明推导过程，应用圆周角定理解决几何问题过程，使学生体会和掌握“分类”和“转化”这两种数学思想在几何证明中的作用，培养学生的发散思维和严谨的逻辑思维。

3.情感与价值观提高学生学习数学的积极性，培养他们勤于思考，敢于探索的思维习惯使学生体会到数学的逻辑严谨的特征。

二、教学方法（1）教学方法：合作探究、启发引导、互动讨论、反馈评价（2）学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结（3）教学手段：采用多媒体辅助教学三、教学过程：（一）、提出问题，铺垫导入1、介绍弧的度数的概念：1º的圆心角所对的弧称为1º的弧，即弧的度数等于它所对的圆心角的度数。

问题：已知：如图AC 是⊙O 的直径，B 是⊙O 上异于A ，C 的一点，那么，∠BAC 与∠BOC 有什么关系？∠BAC 的度数与弧BC 的度数呢？【设计意图】由问题引发思考，由此引出新课中的圆周角定理（由学生回答），激发学生的学习兴趣，为进一步的学习作好铺垫。

（二）、合作学习，探索新知圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半探究思考：如何证明前面提出的问题？若AC ，BC 都不是直径时，又如何证明该问题？【设计意图】根据学生的回答，给出圆周角定理以及两个推论的文字叙述，并通过证明提出的问题，引导学生思考另外两种情境的证明，让学生体会几何证明中的分类思想推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90º的圆周角所对的弧是半圆三、指导应用课堂跟踪练习：（1）如图1，已知OA ，OB ，OC 都是⊙O 的半径，∠AOB=2∠BOC ，求证：∠ACB=2∠BACB CAO C OBA图1（2）如图2，在⊙O 中，∠BAC=α，则∠OBC=【设计意图】跟踪练习的设计目的在于及时掌握基础知识，对学生的完成情况给予评价，使学生体验到成功或得到鼓励例题讲练（圆周角定理及其推论的应用）已知：如图4，AB 是⊙O 的一条弦，∠ACB 的平分线交AB 于点E ，交⊙O 于点 D.求证：CBDCCE AC 分析：由于AC 和CE 在△ACE 中，DC 和CB 在△DCB 中，要证明线段成比例，只要证明ACE 和△DCB 相似，这样，就把线段成比例问题“转化”为三角形相似问题，也就是要找对应角相等【设计意图】例题的讲练设计主要是对圆周角定理及其推论的应用，可以与学生共同分析和探讨证明思路，既锻炼了他们的数学表达能力，更培养了他们严谨的几何证明思维，也让学生体会到几何证明中的“转化”思想巩固练习：（1）已知：如图，△ABC 内接与⊙O ，AE ⊥BC ，垂足为E,AD 是⊙O 的直径。

求证：AB •AC=AD •AE（2）（变式练习）如图，圆内接△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 边上的一点，E 是直线AD 和 △ABC 外接圆的交点。

(Ⅰ) 求证：AB 2=AD •AE(Ⅱ) 当D 为BC 延长线上的一点时，第(Ⅰ)题的结论成立吗？若成立请证明；若不成立，请说明理由【设计意图】练习的解决对定理的应用起巩固的作用，同时强调规范的数学证明书写和严谨的数学思维；变式练习在巩固的基础上设计开放型的问题，可以发挥每个学生的才智，培养学生的发散思维，使学生敢于创新，进而提高学生分析问题和解决问题的能力四、归纳小结1．圆周角定理以及两个推论的证明和应用2．几何证明中的“分类”和“转化”数学思想的应用五、作业设计作业：课本P20A 组第4，6题DO CBA图2DE B CA ODBCAE二、圆的内接四边形的性质与判定定理一、教学目标：（一）知识目标（1）了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念；（2）掌握圆内接四边形的概念及其性质定理；（3）熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明．（二）能力目标（1）通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力；（2）通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维；（3）通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力．（三）情感目标（1）充分发挥学生的主体作用，激发学生的探究的热情；（2）渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点．二、教学重点和难点:重点：圆内接四边形的性质定理．难点：定理的灵活运用．三、教学过程设计（一）基本概念如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形ABCD的外接圆．（二）创设研究情境问题：一般的圆内接四边形具有什么性质？研究：圆的特殊内接四边形（矩形、正方形、等腰梯形）1、边的性质：（1）矩形：对边相等，对边平行．（2）正方形：对边相等，对边平行，邻边相等．（3）等腰梯形：两腰相等，有一组对边平行．归纳：圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质． 2、角的关系猜想：圆内接四边形的对角互补．（三）证明猜想教师引导学生证明．（参看思路）思路1：在矩形中，外接圆心即为它的对角线的中点，∠A 与∠B 均为平角∠BOD 的一半，在一般的圆内接四边形中，只要把圆心O 与一组对顶点B 、D分别相连，能得到什么结果呢?思路2：在正方形中，外接圆心即为它的对角线的交点．把圆心与各顶点相连，与各边所成的角均方45°的角．在一般的圆内接四边形中，把圆心与各顶点相连，能得到什么结果呢?（四）性质及应用相邻两内角互补有两组相等的角相对两内角互补矩形是是是正方形是是是等腰梯形不是是是定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角．（对A层学生应知，逆定理成立， 4点共圆）例已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过A的直线与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D．过B的直线与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F．求证：CE∥DF．说明：①连结AB这是一种常见的引辅助线的方法．对于这道例题，连结AB以后，可以构造出两个圆内接四边形，然后利用圆内接四边形的关于角的性质解决．②教师在课堂教学中，善于调动学生对例题、重点习题的剖析，多进行一点一题多变，一题多解的训练，培养学生发散思维，勇于创新．四、弦切角的性质一、教学目标：（1）使学生知道弦切角的定义，会在图形中识别弦切角；（2）会叙述弦切角定理及其推论；（3）能运用弦切角定理及其推论证明有关几何问题；（4）培养学生分类讨论的思想方法和辩证唯物主义的观点。

3、教学的重点和难点：（1）教学重点：探索弦切角定理的证明方法；运用弦切角定理证明有关的几何问题。

（2）教学难点：用分类的思想方法证明弦切角定理。

二、教学方法：学生已经学习了与圆有关的两种角（圆心角和圆周角），并掌握了与圆周角有关的一些定理。

本节课是在此基础上来学习弦切角的定义和弦切角的定理及其推论，学生的学习基础和理解能力一般，而学习水平也参差不齐,所以本节课根据学生的实际情况，创设符合学生特点的问题情境。

为了充分调动学生学习的积极性，让学生变被动的学习为主动、愉快的学习，教学中引导学生观察、探索、交流、总结，在探索中发现问题、解决问题，通过解决问题掌握新的知识。

对弦切角的定义，采用学生观察总结的直观教学方法，引导学生发现弦切角的三个特点；对弦切角定理的证明，采用设立问题情境，教师引导学生进行探索的教学方法，培养学生独立探索问题的能力；对运用弦切角定理解决有关几何问题，采用师生相互交流、合作学习的教学方法，培养学生自主学习的意识。

通过课堂检测，使学生形成新的技能。

三、教学过程：（一）创设情境，以旧探新1、复习：什么样的角是圆周角?2、弦切角的概念：圆周角∠CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A 旋转至与圆相切时，得∠BAE．提问：∠EAC有何特点？21BACPQO图9CDABEO图3弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角. 【设计意图】观察由圆周角到弦切角的运动变化过程，发现弦切角与圆周角的区别与联系。

注意引导学生发现弦切角的三个要点，使学生在形象、直观的学习活动中掌握新的概念。

练习1右面各图中，哪一个角是弦切角？练习2：图3中有几个弦切角？（） A 、2 ；B 、3； C 、 4； D 、5. （二）观察、猜想观察图形，提问: (1)、图7(1)中，∠A 与∠P 有何关系？为什么？(2)、图7(2)中，∠EAC 与∠P有何共同点？分析比较：既然图7(1)中∠A ＝∠P ，那么图7(2)中，∠EAC=∠P 吗？这一结论是否能成立呢？我们不妨从最特殊的情形考虑一下.（1）、圆心O 在弦切角∠BAC 的边AC 上，此时显然有∠BAC=∠P=90°. 由此我们完全有信心提出一个猜想：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.（三）类比联想、论证1、已经证明了最特殊的情形，下面考虑圆心在角内与角外两种情形.（2）、圆心在角外，作⊙O 的直径AQ ，连接PQ （如图9），则∠BAC=∠BAQ-∠1=∠APQ-∠2=∠APC.（3）、圆心在角内，作⊙O 的直径AQ ，连接PQ （如图10），BACOEIA(B)CBAOCOEA(B)PCABPC图7PBACO1221BACPQOBACPQO图10图9则∠BAC=∠BAQ+∠1=∠APQ+∠2=∠APC.2、回顾证明的方法：将情形（2）、（3）都归至情形（1），利用角的合成，对三种情形进行完全归纳，从而证明了上述的猜想，我们把所证得的结果取名为弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.【设计意图】弦切角定理是这节课的重点也是难点，通过创设问题情境，引导学生在解决问题的过程中学习新的知识。

利用问题激发学生探索弦切角定理证明的其他情况。

学生进行思考和探索，锻炼学生的动手能力，激发学生学习的积极性。

在总结弦切角定理量要注意对“所夹”与“所对”两个关键词的理解。

例题分析：已知AB 是O 的直径,AC 是弦,直线CE 和切于点C ，垂足为D 。

求证：AC平分∠BAD. (四)练习巩固1.PQ 是⊙O 的切线，切点为A ，PBC 是⊙O 的割线，则与∠C 相等的角是（） A 、∠P ；B 、∠CAQ ；C 、∠PAB ；D 、以上都不对。

2.如图12，AB 是⊙O 的直径，DE 切⊙O 于点C,若∠ACD=40°，则∠BAC= （） A 、30°；B 、40°；C 、50°；D 、60°。