最优化方法练习题答案修改建议版本--删减版

练习题一

1、建立优化模型应考虑哪些要素? 答：决策变量、目标函数和约束条件。

2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停止准则。

答：针对一般优化模型()()min ()

..

0,1,2, 0,1,

,i j f x s t g x i m h x j p

≥===，讨论解的可行域D ，若存在一点*X D ∈，对于X D ∀∈ 均有*()()f X f X ≤则称*X 为优化模型最优解，最优解存在；迭代算法的收敛性是指迭代所得到的序列(1)(2)()

,,

,K X X X ，满足(1)()()()K K f X f X +≤，则迭代法收敛；收敛的停止准则有

(1)()k k x x ε+-<，(1)()

()

k k k x x x ε+-<，()()(1)()k k f x f x ε+-<，

()()()

(1)()()k k k f x f x f x ε+-<，()()k f x ε∇<等

等。

练习题二

1、某公司看中了例2.1中厂家所拥有的3种资源R 1、R

2、和R 3，欲出价收购（可能用于生产附加值更高的产品）。如果你是该公司的决策者，对这3种资源的收购报价是多少？（该问题称为例2.1的对偶问题）。

解：确定决策变量 对3种资源报价123,,y y y 作为本问题的决策变量。

确定目标函数 问题的目标很清楚——“收购价最小”。

确定约束条件 资源的报价至少应该高于原生产产品的利润，这样原厂家才可能卖。 因此有如下线性规划问题：123min 170100150w y y y =++

123123123

5210

..23518,,0y y y s t y y y y y y ++≥⎧⎪++≥⎨⎪≥⎩ *2、研究线性规划的对偶理论和方法（包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法）。 答：略。

3、用单纯形法求解下列线性规划问题：

（1）⎪⎪

⎩⎪⎪⎨

⎧≥≤+-≤++≤-++-=0,,4322

2..min

321313213213

21x x x x x x x x x x x t s x x x z ； （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=+-=+-+-=)

5,,2,1(052222..4min

5324323213

2 i x x x x x x x x x x t s x x z i

解：（1）引入松弛变量x 4，x 5，x 6

123456min 0*0*0*z x x x x x x =-++++

1234123

2 =2

2 5 =3..1

3 6=41,2,3,4,5,60

x x x x x x x x s t x x x x x x x x x +-+⎧⎪+++⎪

⎨-++⎪⎪≥⎩

因检验数σ2<0，故确定x 2为换入非基变量，以x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x 4作为换出的基变量。

因检验数σ3<0，故确定x 3为换入非基变量，以x 3的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x 5作为换出的基变量。

因检验数σj >0，表明已求得最优解：*(0,8/3,1/3,0,0,11/3)X =，去除添加的松弛变量，原问题的最优解为：*(0,8/3,1/3)X =。

（2）根据题意选取x 1，x 4，x 5，为基变量：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=≥=++=+-=+-+

-=)

5,,2,1(052222..4min

5324323

213

2 i x x x x x x x x x x t s x x z i

因检验数σ2<0最小，故确定x 2为换入非基变量，以x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x 4作为换出的基变量。

因检验数σ3<0最小，故确定x 3为换入非基变量，以x 1的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x 5作为换出的基变量。

因检验数σj >0，表明已求得最优解：*(9,4,1,0,0)X =。

8、某地区有A 、B 、C 三个化肥厂，供应本地甲、乙、丙、丁四个产粮区。已知各化肥厂可供应化肥的数量和各产粮区对化肥的需要量，以及各厂到各区每吨化肥的运价如表2-28所示。试制定一个使总运费最少的化肥调拨方案。

表2- 28

解：设A 、B 、C 三个化肥厂为A 1、A 2、A 3，甲、乙、丙、丁四个产粮区为B 1、B 2、B 3、B 4；c ij

为由A i 运化肥至B j 的运价，单位是元/吨；x ij 为由A i 运往B j 的化肥数量（i=1,2,3;j=1,2,3,4）单位是吨；z 表示总运费，单位为元，依题意问题的数学模型为：

3

4

11min ij ij i j z c x ===∑∑

112131122232

13233314243411121314

2122232431323334663..3

787

x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎪⎪++=⎪

++=⎨⎪+++=⎪⎪+++=⎪

+++=⎩ 该题可以用单纯形法或matlab 自带工具箱命令（linprog ）求解。

*9、求解下列不平衡运输问题（各数据表中，方框的数字为单位价格ij c ，框外右侧的一列数为各发点的供应量i a ，框底下一行数是各收点的需求量j b ）：

（1） 5 1 7 10 要求收点3的需求必须正好满足。 6 4 6 80