最优化方法练习题答案修改建议版本--删减版

练习题一1、建立优化模型应考虑哪些要素? 答：决策变量、目标函数和约束条件。

2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停止准则。

答：针对一般优化模型()()min ()..0,1,2, 0,1,,i j f x s t g x i m h x j p≥===，讨论解的可行域D ，若存在一点*X D ∈，对于X D ∀∈ 均有*()()f X f X ≤则称*X 为优化模型最优解，最优解存在；迭代算法的收敛性是指迭代所得到的序列(1)(2)(),,,K X X X ，满足(1)()()()K K f X f X +≤，则迭代法收敛；收敛的停止准则有(1)()k k x x ε+-<，(1)()()k k k x x x ε+-<，()()(1)()k k f x f x ε+-<，()()()(1)()()k k k f x f x f x ε+-<，()()k f x ε∇<等等。

练习题二1、某公司看中了例2.1中厂家所拥有的3种资源R 1、R2、和R 3，欲出价收购（可能用于生产附加值更高的产品）。

如果你是该公司的决策者，对这3种资源的收购报价是多少？（该问题称为例2.1的对偶问题）。

解：确定决策变量 对3种资源报价123,,y y y 作为本问题的决策变量。

确定目标函数 问题的目标很清楚——“收购价最小”。

确定约束条件 资源的报价至少应该高于原生产产品的利润，这样原厂家才可能卖。

因此有如下线性规划问题：123min 170100150w y y y =++1231231235210..23518,,0y y y s t y y y y y y ++≥⎧⎪++≥⎨⎪≥⎩ *2、研究线性规划的对偶理论和方法（包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法）。

答：略。

3、用单纯形法求解下列线性规划问题：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤++≤-++-=0,,43222..min32131321321321x x x x x x x x x x x t s x x x z ； （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=+-=+-+-=)5,,2,1(052222..4min53243232132 i x x x x x x x x x x t s x x z i解：（1）引入松弛变量x 4，x 5，x 6123456min 0*0*0*z x x x x x x =-++++12341232 =22 5 =3..13 6=41,2,3,4,5,60x x x x x x x x s t x x x x x x x x x +-+⎧⎪+++⎪⎨-++⎪⎪≥⎩因检验数σ2<0，故确定x 2为换入非基变量，以x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x 4作为换出的基变量。

因检验数σ3<0，故确定x 3为换入非基变量，以x 3的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x 5作为换出的基变量。

因检验数σj >0，表明已求得最优解：*(0,8/3,1/3,0,0,11/3)X =，去除添加的松弛变量，原问题的最优解为：*(0,8/3,1/3)X =。

（2）根据题意选取x 1，x 4，x 5，为基变量：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=+-=+-+-=)5,,2,1(052222..4min53243232132 i x x x x x x x x x x t s x x z i因检验数σ2<0最小，故确定x 2为换入非基变量，以x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x 4作为换出的基变量。

因检验数σ3<0最小，故确定x 3为换入非基变量，以x 1的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x 5作为换出的基变量。

因检验数σj >0，表明已求得最优解：*(9,4,1,0,0)X =。

8、某地区有A 、B 、C 三个化肥厂，供应本地甲、乙、丙、丁四个产粮区。

已知各化肥厂可供应化肥的数量和各产粮区对化肥的需要量，以及各厂到各区每吨化肥的运价如表2-28所示。

试制定一个使总运费最少的化肥调拨方案。

表2- 28解：设A 、B 、C 三个化肥厂为A 1、A 2、A 3，甲、乙、丙、丁四个产粮区为B 1、B 2、B 3、B 4；c ij为由A i 运化肥至B j 的运价，单位是元/吨；x ij 为由A i 运往B j 的化肥数量（i=1,2,3;j=1,2,3,4）单位是吨；z 表示总运费，单位为元，依题意问题的数学模型为：3411min ij ij i j z c x ===∑∑112131122232132333142434111213142122232431323334663..3787x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎪⎪++=⎪++=⎨⎪+++=⎪⎪+++=⎪+++=⎩ 该题可以用单纯形法或matlab 自带工具箱命令（linprog ）求解。

*9、求解下列不平衡运输问题（各数据表中，方框的数字为单位价格ij c ，框外右侧的一列数为各发点的供应量i a ，框底下一行数是各收点的需求量j b ）：（1） 5 1 7 10 要求收点3的需求必须正好满足。

6 4 6 803 2 5 1575 20 50（2） 5 1 0 20 要求收点1的需求必须由发点4供应。

3 2 4 10 7 5 2 15 9 6 0 155 10 15 解答略。

练习题三1、用0.618法求解问题12)(min 30+-=≥t t t t ϕ的近似最优解，已知)(t ϕ的单谷区间为]3,0[，要求最后区间精度0.5ε=。

答：t=0.8115；最小值-0.0886.（调用golds.m 函数） 2、求无约束非线性规划问题min ),,(321x x x f =123222124x x x x -++ 的最优解解一：由极值存在的必要条件求出稳定点：1122f x x ∂=-∂，228f x x ∂=∂，332fx x ∂=∂，则由()0f x ∇=得11x =，20x =，30x = 再用充分条件进行检验：2212f x ∂=∂，2228f x ∂=∂，2232f x ∂=∂，2120fx x ∂=∂∂，2130f x x ∂=∂∂，2230f x x ∂=∂∂即2200080002f ⎛⎫ ⎪∇= ⎪ ⎪⎝⎭为正定矩阵得极小点为T *(1,0,0)x =，最优值为-1。

解二：目标函数改写成min ),,(321x x x f =222123(1)41x x x -++- 易知最优解为（1,0,0），最优值为-1。

3、用最速下降法求解无约束非线性规划问题。

2221212122)(m in x x x x x x X f +++-=其中T x x X ),(21=，给定初始点T X )0,0(0=。

解一：目标函数()f x 的梯度112122()()142()122()()f x x x x f x x x f x x ∂⎡⎤⎢⎥∂++⎡⎤⎢⎥∇==⎢⎥-++∂⎢⎥⎣⎦⎢⎥∂⎣⎦(0)1()1f X⎡⎤∇=⎢⎥-⎣⎦令搜索方向(1)(0)1()1d f X -⎡⎤=-∇=⎢⎥⎣⎦再从(0)X 出发，沿(1)d 方向作一维寻优，令步长变量为λ，最优步长为1λ，则有(0)(1)0101X d λλλλ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦故(0)(1)2221()()()2()2()2()f x f X d λλλλλλλλλϕλ=+=--+-+-+=-=令'1()220ϕλλ=-=可得11λ= (1)(0)(1)1011011X X d λ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 求出(1)X 点之后，与上类似地，进行第二次迭代：(1)1()1f X -⎡⎤∇=⎢⎥-⎣⎦ 令(2)(1)1()1d f X ⎡⎤=-∇=⎢⎥⎣⎦令步长变量为λ，最优步长为2λ，则有(1)(2)111111X d λλλλ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 故(1)(2)2222()()(1)(1)2(1)2(1)(1)(1)521()f x f X d λλλλλλλλλϕλ=+=--++-+-+++=--=令'2()1020ϕλλ=-=可得 215λ= (2)(1)(2)2110.8111 1.25X X d λ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(2)0.2()0.2f X⎡⎤∇=⎢⎥-⎣⎦此时所达到的精度(2)()0.2828f X∇≈本题最优解11.5X*-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()1,25f X*=-练习题四1、石油输送管道铺设最优方案的选择问题：考察网络图4-6，设A为出发地，F为目的地，B，C，D，E分别为四个必须建立油泵加压站的地区。

图中的线段表示管道可铺设的位置，线段旁的数字表示铺设这些管线所需的费用。

问如何铺设管道才能使总费用最小？图4- 6解：第五阶段：E1—F 4；E2—F 3；第四阶段：D1—E1 —F 7；D2—E2—F 5；D3—E1—F 5；第三阶段：C1—D1—E1 —F 12；C2—D2—E2—F 10；C3—D2—E2—F 8；C4—D3—E1—F 9；第二阶段：B1—C2—D2—E2—F 13；B2—C3—D2—E2—F 15；第一阶段：A—B1—C2—D2—E2—F 17；最优解：A—B1—C2—D2—E2—F 最优值：172、用动态规划方法求解非线性规划123123123max()27,,0f x x x xx x xx x x=++++=⎧⎨≥⎩解：1239,9,9x x x ===，最优值为9。

3、用动态规划方法求解非线性规划22112121212max 765..21039,0z x x x s t x x x x x x ⎧=++⎪+≤⎪⎨-≤⎪⎪≥⎩解：用顺序算法阶段：分成两个阶段，且阶段1 、2 分别对应12,x x 。

决策变量：12,x x状态变量：,i i v w 分别为第j 阶段第一、第二约束条件可供分配的右段数值。

1111*22211111111100(,)max {76}min{76,76}x v x w f v w x x v v w w ≤≤≤≤=+=++*111min{,}x v w =22*2*2222122220522222222222205(,)max{5(2,3)}max{5min{7(2)6(2),7(3)6(3)}}x x f v w x f v x w x x v x v x w x w x ≤≤≤≤=+-+=+-+-+++由于2210,9v w ==，2**222222222205(,)(10,9)max{min{33292760,68396621}x f v w f x x x x ≤≤==-+++可解的129.6,0.2x x ==，最优值为702.92。