江苏省南京市2019-2020学年高二数学期中试卷分析
【数学解析】南师附中2019~2020学年度高二第一学期期中调研测试试卷
4.若双曲线 x2 y2 1 的一条渐近线的斜率是 2 ，则实数 k 的值为（ ） k
A.4
B. 1
C. 4
D. 1
4
4
【答案】 A
【解析】渐近线斜率为 -2 ，所以 - b = - k = -2,k = 4 a1
5.已知空间三点坐标分别为 A(1,1,1), B(0,3,0),C(2, 1, 4) ，点 P(3, x,3) 在平面 ABC 内，则实数 x 的值
南京师大附中 2019-2020 学年度第 一 学期
高二年级期中考试数学试卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分.
在第 1 题至第 10 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
r
r
1.设 u (2, 2,t),v (6,4,5) 分别是平面, 的法向量，若 ，则实数 t 的值是（ ）
3 cos
r uuuur n，EC1
6 357 119
所以，直线
EC1
与平面
FA1D1 所成角的正弦值为
6 357 119
.
19.（本小题满分 10 分）
若椭圆 C
： x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 经过点 (1, 3) 2
，离心率为
1 2
，过椭圆 C
的左焦点 F
的直线 l
交椭圆于
A、B 两点.
所以，直线 AB 的方程为 y 3 x 1
2 20.（本小题满分 12 分） 将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使得平面 ABD 平面 CBD . 又 AE 平面 ABD .
-6-
（1）若 AE 2 ，求证； DE BC
江苏省南京市2019-2020学年高二下学期期中数学试卷(理科)(I)卷
江苏省南京市2019-2020学年高二下学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）若复数，其中是虚数单位，则复数的模为（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二下·佛山期中) 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（）A .B .C .D .3. （2分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A . 方程+ax+b=0没有实根B . 方程+ax+b=0至多有一个实根C . 方程+ax+b=0至多有两个实根D . 方程+ax+b=0恰好有两个实根4. （2分）从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为（）A .B .C .D .5. （2分） (2015高二下·登封期中) 由直线y=0，x=e，y=2x及曲线所围成的封闭的图形的面积为（）A . 3+2ln2B . 3C . 2e2﹣3D . e6. （2分）如图，长方形ABCD的长AD=2x，宽AB=x（x≥1），线段MN的长度为1，端点M、N在长方形ABCD 的四边上滑动，当M、N沿长方形的四边滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G的周长与G围成的面积数值的差为y，则函数y=f（x）的图象大致为（）A .B .C .D .7. （2分）(2020·海南模拟) 圆周率是无理数，小数部分无限不循环，毫无规律，但数学家们发现可以用一列有规律的数相加得到： .若将上式看作数列的各项求和，则的通项公式可以是（）A .B .C .D .8. （2分）若函数f（x）=x3+x2﹣在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（）A . [﹣5，0）B . （﹣5，0）C . [﹣3，0）D . （﹣3，0）9. （2分）(2012·四川理) 函数y=ax﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二下·威海期末) 已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2 ，在（1，2）内任取两个实数x1 ，x2（x1≠x2），若不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围为（）A . （28，+∞）B . [15，+∞）C . [28，+∞）D . （15，+∞）二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2017高二下·长春期末) 若z＝4＋3i，则＝________.12. （1分）已知函数，则f'（1）=________．13. （1分）已知函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中正确的是________．f（）＞﹣1； f（）＞；f（）＜； f（）＜f（）14. （1分）(2017·榆林模拟) 若图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）n（n＞1，n∈N*）个点，相应的图案中总的点数记为an ，则 + + +…+ =________．15. （1分）“因为指数函数y=ax是增函数（大前提），而y=（）x是指数函数（小前提），所以函数y=（）x是增函数（结论）”，上面推理的错误在于________ 错误导致结论错．三、解答题 (共6题；共50分)16. （10分）(2019·永州模拟) 已知函数（其中，为自然对数的底数，）.（1）若，求函数的单调区间；（2）证明：当时，函数有两个零点，且 .17. （10分）(2018·山东模拟) 已知函数．（1）曲线在点处的切线垂直于直线：，求的值；（2）若函数有两个不同的零点，求的范围．18. （10分）对于数列{an}，若（1）求a2，a2，a4，并猜想{an}的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．19. （5分）某家具厂生产一种儿童用组合床柜的固定成本为20000元，每生产一组该组合床柜需要增加投入100元，已知总收益满足函数：，其中x是组合床柜的月产量．（1）将利润y元表示为月产量x组的函数；（2）当月产量为何值时，该厂所获得利润最大？最大利润是多少？（总收益=总成本+利润）20. （10分） (2018高一上·湖南月考) 小萌大学毕业后，家里给了她10万元，她想办一个“萌萌”加工厂，根据市场调研，她得出了一组毛利润（单位：万元）与投入成本（单位：万元）的数据如下：投入成本0.5123456毛利润 1.06 1.252 3.2557.259.98为了预测不同投入成本情况下的利润，她想在两个模型，中选一个进行预测.（1）根据投入成本2万元和4万元的两组数据分别求出两个模型的函数解析式，请你根据给定数据选出一个较好的函数模型进行预测（不必说明理由），并预测她投入8万元时的毛利润；（2）若小萌准备最少投入2万元开办加工厂，请预测加工厂毛利润率的最大值，并说明理由.（）21. （5分） (2019高二下·宁德期末) 已知曲线在处的切线方程为 .（Ⅰ）求值.（Ⅱ）若函数有两个零点，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共50分)16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、。
2019-2020江苏南京市高二上学期期中考试数学试卷及答案
x1
1 30
(2
0.25
3
0.35
8
0.45
12
0.55
5
0.65)
0.5
；
该家庭使用了节水龙头后 30 天日用水量的平均数为
x2
1 30
(2 0.15 5 0.25 11 0.35
6 0.45
6 0.55)
0.38
；
x1 x2 0.5 0.38 0.12 . 因此，使用节水龙头后，平均每天能节省的水量估计为 0.12m3 . 19、证明：（1）在四棱锥 P ABCD 中， 因为 PAB PDC 90 ，所以 AB PA, DC PD . 又因为四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，所以 AB / /DC ， 所以 AB PD . 因为 PA PD P, PA, PD 平面 PAD ，所以 AB 平面 PAD . （2）如图，取 AD 的中点 G ，连 EG, GF .
8
7．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过点 P 1, 2 ，且被圆 O ： x2 y2 9 截得的弦
长为 4 2 ，则直线 l 的方程为（ ） A． 3x 4 y 5 0
B． 3x 4y 11 0
C． x 1 或 3x 4 y 5 0
D． x 1 或 3x 4y 11 0
12．在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 到两个定点 F1(1, 0) 和 F2 (1, 0) 的距离之积等
第2页共5页
于 8，记点 P 的轨迹为曲线 E ，则（ A．曲线 E 经过坐标原点 C．曲线 E 关于 y 轴对称
）
B．曲线 E 关于 x 轴对称
D．若点 x, y 在曲线 E 上，则 3 ≤ x ≤ 3
2019-2020年江苏省南京市南师附中高二下学期数学期中考试
3i n南京师大附中 2019-2020 学年度第 2 学期高二年级期中考试数学试卷2020.05注意事项：1．本试卷共 4 页，包括单选题（第 1 题~第 8 题）、多选题（第 9 题~第 12 题）、填空题（第 13 题~第题 18题）、解答题（第 19 题~第 23 题）四部分，本试卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟.2． 答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内，试题的答案写在答题纸上相应题目的答题区内，考试结束后，交回答题纸.一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若 A 2= 20 ，则n 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 52. 函数 f ( x ) = sin 2 x 的导数是（ ） A. 2 c o s 2 xB. -2 cos 2 xC. 2 sin 2 xD. - 2 sin 2 x3. 若i 为虚数单位，复数z 满足 z (1 + i ) =| 3 + 4i | ，则 z 的虚部为（ ）A.5i B. 5C. - 5iD. - 522 2 24. 已知等差数列{a } ，若a ， a 是函数 f ( x ) = 1 x 3 - x 2+ mx + 1的极值点，则 a 的值为（ ）n 2 403832020A. 1B. - 1C. ± 1D. 05. 已知复数z 满足 z -1 - = 1，则 z 的最大值为（ ）A. 1 B .2 C . 3 D . 46. 若 ke x - x -1 ≥ 0 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A .(-∞,1]B .(0,1]C .(0, +∞)D .[1, +∞)7. 某班联欢会原定的 3 个节目已排成节目单，开演前又增加了 2 个新节目，如果将这 2 个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（ ）A. 1 2B. 20C. .36D . 1208. 定义在 R 上的可导函数 f (x ) 满足 f '(x ) < 1，若 f (m ) - f (1 - 2m ) ≥ 3m -1，则m 的取值范围是（ ）A.(-∞, -1]B.(-∞, 1 ]3 C .[-1, +∞) D.[1,3+∞)二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得0 分.9.若复数z 满足(z+2)i=3+4i（i 为虚数单位），则下列结论正确的有（）A.z 的虚部为3B. | z |=C. z 的共轭复数为2 + 3iD. z 是第三象限的点10.有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（）A.如果四名男生必须连排在一起，那么有720 种不同排法B.如果三名女生必须连排在一起，那么有576 种不同排法C.如果女生不能站在两端，那么有1440 种不同排法D.如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440 种不同排法11.已知函数f (x) 定义域为[-1, 5] ，部分对应值如表，f (x) 的导函数f '(x) 的图像如图所示.x - 10245f (x) 12021下列关于函数f (x) 的结论正确的有（）A.函数f (x) 的极大值点有2 个；B.函数在f (x) 上[0, 2] 是减函数；C.若x ∈[-1,t]D . 当1 <a < 2时，f (x) 的最大值是2，则t 的最大值为4；时，函数y =f (x) -a 有4 个零点；12.若函数f (x) 的图像上存在两个不同的点A, B ，使得曲线y =f (x) 在这两点处的切线重合，称函数f (x) 具有T 性质.下列函数中具有T 性质的有（）A. y =e x -xB. y =x 4 -x 2 C . y =x3D.y =x + sin x三、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共30 分.13.已知复数z 满足z +3= 0 ，则| z |=. z14.已知函数f (x)= xx2 + 3，则f '(0)的值为.15.六个人从左至右排成一行，最右端只能排成甲或乙，最左端不能排甲，则不同的排法共有种（请用数字作答）.1316. 直线y = m 与直线 y = 2x + 3 和曲线 y = ln 2x 分别相交于 A , B 两点，则 AB 的最小值为 .17. 已知函数 f ( x ) = e x ( x - 1) ，则它的极小值为 ；若函数g (x ) = mx 总存在x 2 ∈ [-1, 2]，使得 f (x 1 ) > g (x 2 ) ，则实数 m 的取值范围是 .，对于任意的 x 1 ∈ [-2, 2] ， 18. 已知定义域为 R 的奇函数 f (x ) 满足 f (-x ) = f (x + 2) ，且当0 ≤ x ≤ 1时， f ( x ) = x 3 + x .若函数h (x ) = f (x ) - t在[-4, 0) Y (0, 4] 上有 4 个不同的零点，则实数t 的取值范围是.x四、解答题：本大题共 5 小题，共 60 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．19. （12 分）设复数 z 1 = 2 - ai (a ∈ R ), z 2 = 4 - 3i . （1）若 z 1 + z 2 是实数，求 z 1 ⋅ z 2 ；z 1 （2）若 2是纯虚数，求 z 1 的共轭复数.20. （12 分）已知函数 f (x ) = 1 x 3 - 1(a + 6)x 2+ 6ax + b (a , b ∈ R ) .3 2（1）若函数 f (x ) 的图像过原点，且在原点处的切线斜率为 -2 （2）若在区间 (2, 3) 上，函数 f (x ) 不单调，求a 的取值范围.，求 a ,b 的值； z21. （12 分）为提高学生学习的数学的兴趣，南京港师范大学附属中学拟开设《数学史》、《微积分先修课程》、《数学探究》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的.（1）求三位同学选择的课程互不相同的概率；（2）求甲、乙两位同学不能选择同一门课程，求三人共有多少种不同的选课种数；（3）若至少有两位同学选择《数学史》，求三人共有多少种不同的选课种数.22. （12 分）如图，某景区内有两条道路AB , AP ,现计划在AP 上选择一点C ，新建道路 B C ，并把ςABC 所在的区域改造成绿化区域. 已知∠BAC =π，AB = 2 km ，AP = 2 3km . 若绿化区域ςABC 改造6成本为10万元/ km2 ，新建道路 B C 成本为10万元/ km .（1）①设∠A B C=θ，写出该计划所需总费用F (θ)的表达式，并写出θ的范围；②设AC =x ，写出该计划所需总费用 F (x )的表达式，并写出x的范围；（2）从上面两个函数关系中任选一个，求点C 在何处时改造计划的总费用最小.23.（12 分）设函数f (x) = ln x -ax(a ∈R), g(x) =xf (x) .（1）若f (x) ≤ 0恒成立，求a的取值范围；（2）①若 a =1，试讨论g(x) 的单调性；2e2②若g(x) =有两个不同的零点，求2a的取值范围，并说明理由.nn 南京师大附中2019-2020 学年度第2 学期高二年级期中考试数学试卷2020.05注意事项：1．本试卷共4 页，包括单选题（第1 题~第8 题）、多选题（第9 题~第12 题）、填空题（第13 题~第题18 题）、解答题（第19 题~第23 题）四部分，本试卷满分为150 分，考试时间为120 分钟.2．答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内，试题的答案写在答题纸上相应题目的答题区内，考试结束后，交回答题纸.一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若A2 = 20 ，则n 的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】A2 =n (n -1)= 20 解的n = 5【点评】考查排列组合的运算。
南京市2019-2020 学年第一学期高二期中统考试卷(含答案)
EF / / 面 PAB
20.（1） 2 （2）
3
6
21.（1）
x2 45
y2 20
1
（2）
x
4 2 5
y
2 5
2
169 5
22.（1） y2 2x （2）① y 2 x 2 ② 8,
3
-6 -
求证： EF // 平面 PAB .
-4 -
20.（本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB AC 2,BAC 120, AA1 3 .
(1) 点 D 在棱 AA1 上，且 BD A1C ，求 AD 的长；
(2) 求二面角 C A1B1 B 的大小.
南京市 2019-2020 学年度第一学期期中调研测试
高二数学
2019.11
一、选择题：本小题共 12 题，每小题 4 分，共计 48 分，其中第 1 至第 10 题为单选题，第 11、12 题为多选题. 1.若直线 ax 2y 1 0 与直线 x 2y 2 0 互相垂直，则实数 a 的值是
2 的偶数可以表示为两个质数的和，如14 3 11，在不超过15 的质数中，随机选取 2 个不同的数，
其和不等于16 的概率是_______.
16. 已 知 四 棱 柱 ABCD A1B1C1D1 的 底 面 ABCD 是 矩 形 ， 底 面 边 长 和 侧 棱 均 为 2 ，
A1AB A1AD 600 ，则对角线 AC1 的长为________. 一、解答题：本小题共 6 小题，共计 82 分， 17.（本小题满分 12 分）
【20套试卷合集】江苏省南京市2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题：(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．1与3两数的等差中项是( )A ．1B ．3C ．2D ．3±2．已知条件2:=x p ，条件0)3)(2(:=--x x q ，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．命题：若整系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有有理数根，那么c b a ,,中至少有一个是偶数．用反证法证明该命题时，应反设的是( )A ．假设c b a ,,都是偶数B ．假设c b a ,,都不是偶数C ．假设c b a ,,至多有一个偶数D ．假设c b a ,,至多有两个偶数4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31710a a +=，则=19S ( )A ．55B ．100C ．95D ．不能确定5．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x x R ，则( )A ．1sin ,:≥∈∃⌝x x p RB ．1sin ,:≥∈∀⌝x x p RC ．1sin ,:>∈∃⌝x x p RD ．1sin ,:>∈∀⌝x x p R 6．对于任意实数d c b a ,,,，命题：①bc ac c b a >≠>则若,0,；②22,bc ac b a >>则若 ③b a bc ac >>则若,22； ④b a b a 11,<>则若； ⑤bd ac d c b a >>>>则若,,0．其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 7．边长为5,7,8的三角形的最大角的余弦是( )．A ．71-B ．71C ．1411D ．141 8．下列各式中，最小值等于2的是( )A ．x y y x +B ．4522++x x C ．1tan tan θθ+ D ．22x x -+9．若实数x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥.022,0,0y x y x y 则11+-=x y t 的取值范围是( ) A ．［－1，31］ B ．［31,21-］ C ．［21-，＋∞) D ．［21-，1) 10．锐角ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，A B 2=，则a b 的取值范围是( ) A ．)2,2(- B ．)2,0( C ．)2,2( D ．()3,2( 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)11．函数12()3(0)f x x x x=+>的最小值为_____________． 12．命题“若三角形的两条边相等，则此三角形对应的两个角相等”的否命题是_____________．13．等比数列}{n a 中0>n a ，且243879236a a a a a a ++=，则38a a +＝______________．14．已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是正数，在以下四个命题中：①q p ∨⌝)( ②q p ∧③)()(q p ⌝∧⌝ ④)()(q p ⌝∨⌝，所有真命题的序号是___________．15．若)0,0(01>>=-+y x y x ，则11++x y 的取值范围是___________． 三、解答题(本大题共6小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(8分)已知{}n a 是等差数列，其中1425,16a a ==．(1)数列{}n a 从哪一项开始小于0？(2)求13519a a a a ++++值．17．(8分)在ABC ∆中，53cos ,135cos =-=B A ． (1)求C sin 的值；(2)设5=BC ，求ABC ∆的面积．18(8分)已知命题02:2≤--x x p ，命题0:22≤---m m x x q ．(1)若p ⌝为真，求x 的取值范围；(2)若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求m 的取值范围．19．(8分)若函数)8(62++-=k kx kx y 对一切x 恒有意义，求实数k 的取值范围．20．(9分)随着我国国民经济的迅速发展，人们的经济收入明显提高，生活状况越来越好，汽车等商品逐渐成为大众化消费．某种汽车，购车费是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费等约为0.9万元，年维修费第一年0.2万元，以后每年比上一年递增0.2万元．试问这种汽车使用多少年时，年平均费用最少？21．(9分)设关于x 的一元二次方程n a -2x 1n a +)(01N n x ∈=+有两根a 和β，且满足3626=+-βαβα．(1)试用n a 表示1+n a ；(2)求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-32n a 是等比数列；(3)当671=a 时，求数列{}n na 的前n 项和n S2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号涂写在答题卡上(每小题5分，共60分)1．已知命题p ：x R ∀∈，210x x +-<，则命题p ⌝是( )A ．x R ∀∈，012≥-+x xB ．R x ∈∃，012≥-+x xC ．x R ∀∈，012>-+x xD ．R x ∈∃，012<-+x x2．已知等差数列：5,3,1,1,---．则下列不是该数列的项的是( )A ．11B ．25C ．37D ．523．已知0,0a b b +><，那么,,,a b a b --的大小关系是( )A ．a b b a >>->-B ．a b a b >->->C ．a b b a >->>-D ．a b a b >>->-4．已知1,22++=+=b a s b a t ，则t 和s 的大小关系正确的是( )A ．t ＞sB ．s t ≥C ．t ＜sD ．s t ≤5．若{}n a 是等比数列, ，若11=a ==4364a S S ，则( )A ．0B ．1C ．2D ．36．已知等差数列{}n a 中，93a a =，公差d ＜0，则使前n 项和n S 取最大值的正整数n 是A ．5B ．5或6C ．6D ．8或97．设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．已知4>x ，则414)(2-+-=x x x x f 有( )A ．最大值－6B ．最小值6C ．最大值－2D ．最小值29．如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(0, ＋∞)B ．(0, 2)C ．(1, ＋∞)D ．(0, 1)10．关于x 的方程0)2()122=-+-+a x a x （的一个根比1大，另一根比1小，则有( )A ．－2＜a ＜1B ．a ＜－2或a ＞1C ．－1＜a ＜1D ．a ＜－1或a ＞211．两个等差数列{}n a 和}{n b 的前n 项和分别为n A 和n B ,且3457++=n n B A n n ,则使得n n b a 为整数的正整数n 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．512．在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则( )A ．11a -<<B ．02a <<C ．1322a -<<D ．3122a -<< 二、填空题：(本大题共4小题，每题5分，共20分)13．在等比数列{}n a 中，若 4119=⋅a a 则数列｛n a 21log ｝前19项之和为_____14．椭圆2214x y m +=焦距为2，则实数m ＝_________ 15．设2z y x =-，式中x y 、满足下列条件2132231x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z 的最大值为_____16．若函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x ＞0，y ＞0都有f (xy )＝f (x )＋f (y )，则不等式f (x＋6)＋f (x )＜2f (4)的解集为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数R a a x ax x f ∈-+=,)(2(1)当2=a 时，解不等式1)(>x f(2)若函数)(x f 有最大值817，求实数a 的值；18．已知p ：12123x --≤-≤；q ：22210x x m -+-≤(0)m >．若“q ”是“p ”的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知x ，y 都是正数．(1)若3x ＋2y ＝12，求xy 的最大值；(2)若1164=+yx ，求x ＋y 的最小值．20．已知函数mx x x f +=2)(的图像经过点)8,4(． (1)求该函数的解析式；(2)数列{}n a 中，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足()(2)n n a f S n =≥，证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；21．若S n 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列．(1)求等比数列124,,S S S 的公比；(2)若24S =，求{}n a 的通项公式；设13+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m22．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；(3)在(2)的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一.选择题：(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题5分，共60分）.1.命题:p 2,11x x ∀∈+≥R ,则p ⌝是（ ）A ．2,11x x ∀∈+<RB ．2,11x x ∃∈+≤RC ．2,11x x ∃∈+<RD ．2,11x x ∃∈+≥R 2.已知数列{n a }的通项公式是n a ＝252+n n (n ∈*N )，则数列的第5项为（ ） A.110B.16C.15D.12 3. 已知y x 35+=2（x ＞0，y ＞0），则xy 的最小值是（ ） A.12 B.14 C.15 D.184．等差数列{}n a 的公差0d <，且22111a a =，则数列{}n a 的前n 项和n S 取最大值时n =( )A.6B.5C.5或6D.6或7 5.已知命题:p x R ∀∈，23x x <；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是（ ）A.p q ∧B.p q ⌝∧C.p q ∧⌝D.p q ⌝∧⌝ 6.不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >-D ．1x > 7．已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为( )A.12B.11C.3D.－１8．下列命题错误．．的是 （ ） A ．命题“若p 则q”与命题“若p q ⌝⌝则,”互为逆否命题B ．命题“0,2>-∈∃x x R x ”的否定是“0,2≤-∈∀x x R x ”C ．“0a b ⋅=”是“0a =或0b =”的必要不充分条件D ．“若b a bm am <<则,22”的逆命题为真9.已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n n A B 和，且7413n n A n B n +=+，则使得n n a b 为整数的正整数n 的个数是( ）A ．2B ．3C ．4D ．510.已知函数6(3)3,7,(),7.x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩若数列{}n a 满足()n a f n =*()n ∈N ，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）A. 9[,3)4B. 9(,3)4 C. (2,3) D. (1,3) 11．定义⎩⎨⎧<≥=b a b b a a b a ),max(，已知x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥+2002y x y x }24,3max{y x y x z --=，则z 的取值范围是 （ ）A.[-10, 8]B.[2, 8]C.[-10, 6]D.[-16, 6]12．若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是（ ）A. B.3 C.2D.二.填空题：请把答案填在答题卡的横线上（每小题5分，共20分）.13．等比数列{n a }中，2a ＝9，5a ＝243，则{n a }的前4项和为14. 若a ＞0，b ＞0，且1=+b a 则b a 91+的最小值为 。
江苏省南京市高二上学期期中考试数学含答案
南京市2019－2020学年度第一学期期中调研测试高 二 数 学 2019.11注意事项：1．本试卷共4页，包括选择题（第1题~第12题）、填空题(第13题～第16题)、解答题(第17题～第22题)三部分。
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置。
3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：线性回归方程 y ∧＝bx ＋a ；回归系数b ＝∑ni ＝1x i y i －n －x －y∑n i ＝1x i 2－n －x2，a ＝－y －b －x ；球的表面积S ＝4πR 2，其中R 为球的半径．一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共计48分．其中第1至第10题为单选题，第11、12题为多选题．1．若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋2y －2＝0互相垂直，则实数a 的值是A ．1B ．－1C ．4D ．－42．已知向量a ＝(0，1，1)，b ＝(1，－2，1)．若向量a ＋b 与向量c ＝(－2，m ，－4)平行，则实数m 的值是A ．2B ．－2C ．10D ．－10 3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 22＝1的渐近线方程是 A ．y ＝±2x B ．y ＝±22x C ．y ＝±3x D ．y ＝±33x 4．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x （万元） 8.3 8.5 10 11.2 12 支出y （万元）67.588.510根据上表可得－x ＝10，－y ＝8，线性回归方程y ∧＝0.76x ＋a ．据此估计，该社区一户年收入为20万元家庭年支出为A ．15.2万元B ．15.6万元C ．16万元D ．16.2万元 5．如图，已知一个圆柱的底面半径为3，高为2，若它的两个底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为A ．32π3 B ．16πC ．8πD ．4π6．如图，在四面体ABCD 中，点M 是棱BC 上的点，且BM ＝2MC ，点N 是棱AD 的中点．若MN →＝x AB →＋y AC →＋zAD →，其中x ，y ，z 为实数，则xyz 的值是A ．－19B ．－18C ．19D ． 187．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点P (1，2)，且被圆O ：x 2＋y 2＝9截得的弦长为42，则直线l 的方程为A ．3x －4y ＋5＝0B ．3x ＋4y －11＝0C ．x ＝1或3x －4y ＋5＝0D ．x ＝1或3x ＋4y －11＝0 8．已知cos(α＋π4)＝1010，则sin2α的值是A ．－45B ．－25C ．25D ．459．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，交抛物线于A ，B 两点，且线段AB 中点的横坐标为3，则线段AB 的长为A ．6B ．7C ．8D ．1010．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (4，0)，点A ，B 在双曲线C ：x 24－y 2＝1上，且AP →＝3PB →，则直线AB 的斜率为A ．±32B ．±52C ．±1D ．±32注：以下两题为多选题，每小题有多个选项符合题意．全部选对得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的得0分．11．已知两条直线l ，m 及三个平面α，β，γ，下列条件中能推出α⊥β的是 A . l ⊂α，l ⊥β B ．l ⊥α，m ⊥β，l ⊥mC ．α⊥γ，β∥γD ．l ⊂α，m ⊂β，l ⊥m（第5题图）（第6题图）ABMN12．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两个定点F 1(－1，0)和F 2(1，0)的距离之积等于8，记点P 的轨迹为曲线E ，则A ．曲线E 经过坐标原点B ．曲线E 关于x 轴对称C ．曲线E 关于y 轴对称D ．若点(x ，y )在曲线E 上，则－3≤x ≤3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 23－y 2＝1的焦距为 ▲ ．若双曲线C 的右焦点与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆E 的离心率是 ▲ ．15．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是：每个大于2的偶数可以表示为两个质数的和，如14＝3＋11．在不超过15的质数中，随机选取2个不同的数，其和不等于16的概率是 ▲ ．16．已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，底面边长和侧棱长均为2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，则对角线AC 1的长为 ▲ ．三、解答题：本题共6小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知12(a cos C ＋c cos A )＝13b cos B ． （1）求cos B ；（2）若a ＋c ＝15，且△ABC 的面积为5，求b 的值． 18．（本小题满分12分）某家庭记录了未使用节水龙头30天的日用水量数据（单位：m 3）和使用了节水龙头30天的日用水量数据，得到频数分布表如下：（一）未使用节水龙头30天的日用水量频数分布表日用水量 [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6) [0.6，0.7] 频数238125（二）使用了节水龙头30天的日用水量频数分布表日用水量 [0.1，0.2) [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6] 频数251166（1）估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于0.4 m 3的概率；（2）估计该家庭使用节水龙头后，平均每天能节省多少水？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）19．（本小题满分14分）如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，且∠P AB ＝∠PDC ＝90°． （1）求证：AB ⊥平面P AD ；（2）若点E ，F 分别是棱PD ，BC 的中点，求证：EF ∥平面P AB ．20．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，AA 1＝3． （1）点D 在棱AA 1上，且BD ⊥A 1C ，求AD 的长； （2）求二面角C －A 1B 1－B 的大小．21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率e ＝53．过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为125． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点A 位于第一象限，且AF 1⊥AF 2，求△ABF 2的外接圆的方程．22．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，点A (－2，0)，过动点P 作直线x ＝－4的垂线，垂足为M ，且AM →·AP →＝－4．记动点P 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；ABDE F P（第19题图）（第20题图）ACBDA 1C 1B 1（2）过点A 的直线l 交曲线E 于不同的两点B ，C ． ① 若B 为线段AC 的中点，求直线l 的方程；② 设B 关于x 轴的对称点为D ，求△ACD 面积S 的取值范围．南京市2019－2020学年度第一学期期中调研测试高二数学参考答案 2019.11一、选择题：1．D 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．D 9．C 10．B 11．ABC 12．BCD 二、填空题： 13．4；4 14．22 15．131516．2 5 三、解答题：17．（本小题满分12分）解：（1）因为12(a cos C ＋c cos A )＝13b cos B ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C得12(sin A cos C ＋sin C cos A )＝13sin B cos B ，……… 2分 因此12sin(A ＋C )＝13sin B cos B ． ……………………………… 4分 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以12sin(π－B )＝13sin B cos B ， 于是12sin B ＝13sin B cos B ，因为B ∈(0，π)，所以sin B ＞0，所以cos B ＝1213． ……………………………… 6分（2）由（1）知cos B ＝1213，sin B ＞0，所以sin B ＝1－cos 2B ＝513． ……………… 8分因为△ABC 的面积为5，即S △ABC ＝12ac sin B ＝5，所以526ac ＝5，即ac ＝26． ………………………………… 10分又因为a ＋c ＝15，所以 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2413ac ＝(a ＋c )2－5013ac ＝152－5013×26＝125，因此b ＝55． ………………………………… 12分 18．（本小题满分12分）解：（1）根据表格（二），估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于0.4m 3的频数为2＋5＋11＝18， ………………………… 2分所以所求的概率约为1830＝0.6， 即该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.4m 3的概率的估计值为0.6． ………… 5分 （2）该家庭未使用节水龙头30天日用水量的平均数为—x 1＝130(2×0.25＋3×0.35＋8×0.45＋12×0.55＋5×0.65)＝0.5； ……………… 8分 该家庭使用了节水龙头后30天日用水量的平均数为 —x 2＝130(2×0.15＋5×0.25＋11×0.35＋6×0.45＋6×0.55)＝0.38； …………… 10分 —x 1－—x 2＝0.5－0.38＝0.12．因此，使用节水龙头后，平均每天能节省的水量估计为0.12 m 3． ………… 12分 19．（本小题满分14分）证明：（1）在四棱锥P －ABCD 中，因为∠P AB ＝∠PDC ＝90°，所以AB ⊥P A ，DC ⊥PD ． …………………… 2分 又因为四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，所以AB ∥DC ，所以AB ⊥PD ． …………………………… 4分 因为P A ∩PD ＝P ，P A ，PD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ． …………… 6分 （2）如图，取AD 的中点G ，连EG ，GF ．在△P AD 中，因为E 是棱PD 的中点，所以EG ∥P A ．又EG ⊄平面P AB ，PA ⊂平面P AB ， 所以EG ∥平面P AB ．…………… 8分在平行四边形ABCD 中，G ，F 分别是棱AD ，BC 的中点， 所以AG ＝BF ＝12BC ，AG ∥BF ，所以四边形ABFG 是平行四边形，所以 FG ∥BA ．又FG ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，所以FG ∥平面P AB ． …………… 11分 因为EG ∩FG ＝G ，EG ，FG ⊂平面EFG ，所以平面EFG ∥平面P AB ． 又EF ⊂平面EFG ，所以EF ∥平面P AB ． ………………… 14分 20．（本小题满分14分）解：（1）如图，在△ABC 中，过A 作AB 的垂线交BC 于E ．在直三棱锥ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，ABCD E FP（第19题图）GC所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AE ．分别以AE ，AB ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系A —xyz ． …………………… 2分 因为AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，AA 1＝3，所以C (3，－1，0)，B (0，2，0)，A 1(0，0，3) ……………………… 4分因为点D 在棱AA 1上，设D (0，0，a )，则BD →＝(0，－2，a )，A 1C →＝(3，－1，－3)．因为BD ⊥A 1C ，所以2－3a ＝0，解得a ＝23．所以AD ＝23． ………………………… 6分（2）平面ABB 1A 1的一个法向量为n 1＝(1，0，0)．又B 1(0，2，3)，所以 CA 1→＝(－3，1，3)，CB 1→＝(－3，3，3)．设平面A 1B 1C 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )，由n 2⊥CA 1→，n 2⊥CB 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＋3z ＝0，－3x ＋3y ＋3z ＝0，所以y ＝0．取x ＝3，则z ＝1，所以平面A 1B 1C 的一个法向量为n 2＝(3，0，1)． ……………… 10分| n 1|＝1，| n 2|＝2，n 1·n 2＝3，所以cos ＜n 1，n 2＞＝n 1·n 2| n 1|| n 2|＝32， …………………… 12分又＜n 1，n 2＞∈[0，π]，从而＜n 1，n 2＞＝π6．根据图形可知，二面角C －A 1B 1－B 大小的为π6． ………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝53，所以c a ＝53． ①又△ABF 2的周长为125，所以4a ＝125． ② 联立①②，解得a ＝35，c ＝5， 从而b 2＝a 2－c 2＝20，因此椭圆C 的方程为x 245＋y 220＝1． ……………………………… 4分（2）因为点A 位于第一象限，故设A (x 1，y 1)，其中x 1＞0，y 1＞0．因为AF 1⊥AF 2，所以AF 1→·AF 2→＝0，又点A 在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1245＋y 1220＝1，x 12＋y 12＝25，解得x 12＝9，从而x 1＝3，y 1＝4． ……………………… 7分由（1）知，椭圆C 的左焦点为F 1(－5，0)，所以直线l 的方程为y ＝12(x ＋5)．由⎩⎨⎧y ＝12(x ＋5)，x 245＋y 220＝1，得5x 2＋18x －99＝0，解得x ＝3或－335．所以B (－335，－45)． ……………………………… 11分因为∠F 1AF 2＝90°，所以△ABF 2的外接圆就是以BF 2为直径的圆． 又椭圆C 的右焦点为F 2(5，0)，所以线段BF 2的中点M 的坐标为(－45，－25)，此时MF 2＝135，故△ABF 2的外接圆的方程为(x ＋45)2＋(y ＋25)2＝1695． ………………………… 14分22．（本小题满分16分）解：（1）设P (x ，y )，则M (－4，y )．因为A (－2，0)，所以AM →＝(－2，y )，AP →＝(x ＋2，y )， 因为AM →·AP →＝－4，所以－2x －4＋y 2＝－4，即y 2＝2x ．所以曲线E 的方程为y 2＝2x ． ………………………………… 3分 （2）① 若直线l 的斜率不存在，则l 与曲线E 无公共点，因此l 的斜率存在；若l 的斜率为0，则l 与曲线E 只有一个公共点，因此l 的斜率不为0． 设l ：y ＝k (x ＋2)，k ≠0，由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝2x ，得y 2－2k y ＋4＝0，于是∆＝4k 2－16＞0，解得－12＜k ＜12且k ≠0．设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝4． …………………… 7分因为B 为线段AC 的中点，所以y 2＝2y 1． 又y 1＋y 2＝2k ，所以y 1＝23k ，y 2＝43k，因此y 1y 2＝89k 2＝4，所以k ＝±23，符合－12＜k ＜12且k ≠0，于是k ＝±23，此时直线l 的方程为y ＝±23(x ＋2)． …………………… 9分 ② 因为点B ，D 关于x 轴对称，所以D (x 1，－y 1)，于是点D 到直线l 的距离为d ＝|kx 1＋y 1＋2k |1＋k 2．因为y 1＝k (x 1＋2)，所以d ＝2|y 1|1＋k 2． ………………………… 11分又AC ＝1＋k 2|x 2＋2|，所以S ＝121＋k 2|x 2＋2|×2|y 1|1＋k 2＝|(x 2＋2)y 1|＝|(y 222＋2)y 1|．因为y 1y 2＝4，y 1＋y 2＝2k ，所以S ＝|2y 2＋2y 1|＝4|k |． ……………………… 14分又因为－12＜k ＜12且k ≠0，因此S ＞8，即△ACD 面积S 的取值范围为(8，＋∞)． ………………………… 16分。
2019-2020学年江苏省南京市高二上学期期中考试数学试题
江苏省南京市2019-2020学年高二上学期期中考试注意事项：1．本试卷共4页，包括选择题（第1题~第12题）、填空题(第13题～第16题)、解答题(第17题～第22题)三部分。
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置。
3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：线性回归方程y ∧＝bx ＋a ；回归系数b ＝∑ni ＝1x i y i －n －x －y∑ni ＝1x i 2－n －x 2，a ＝－y －b －x ；球的表面积S ＝4πR 2，其中R 为球的半径．一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共计48分．其中第1至第10题为单选题，第11、12题为多选题．1．若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋2y －2＝0互相垂直，则实数a 的值是()A ．1B ．－1C ．4D ．－42．已知向量a ＝(0，1，1)，b ＝(1，－2，1)．若向量a ＋b 与向量c ＝(－2，m ，－4)平行，则实数m 的值是()A ．2B ．－2C ．10D ．－10 3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 22＝1的渐近线方程是()A ．y ＝±2xB ．y ＝±22xC ．y ＝±3xD ．y ＝±33x4．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x （万元） 8.3 8.5 10 11.2 12支出y （万元）67.588.510根据上表可得－x ＝10，－y ＝8，线性回归方程y ∧＝0.76x ＋a ．据此估计，该社区一户年收入为20万元家庭年支出为()A ．15.2万元B ．15.6万元C ．16万元D ．16.2万元 5．如图，已知一个圆柱的底面半径为3，高为2，若它的两个底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为() A ．32π3 B ．16πC ．8πD ．4π6．如图，在四面体ABCD 中，点M 是棱BC 上的点，且BM ＝2MC ，点N 是棱AD 的中点．若MN →＝x AB →＋y AC →＋zAD →，其中x ，y ，z 为实数，则xyz 的值是()A ．－19B ．－18C ．19D ．187．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点P (1，2)，且被圆O ：x 2＋y 2＝9截得的弦长为42，则直线l 的方程为()A ．3x －4y ＋5＝0B ．3x ＋4y －11＝0C ．x ＝1或3x －4y ＋5＝0D ．x ＝1或3x ＋4y －11＝0 8．已知cos(α＋π4)＝1010，则sin2α的值是()A ．－45B ．－25C ．25D ．459．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，交抛物线于A ，B 两点，且线段AB 中点的横坐标为3，则线段AB 的长为()A ．6B ．7 C．8 D ．1010．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (4，0)，点A ，B 在双曲线C ：x 24－y 2＝1上，且（第5题图）OAP →＝3PB →，则直线AB 的斜率为()A ．±32B ．±52C ．±1D ．±32注：以下两题为多选题，每小题有多个选项符合题意．全部选对得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的得0分．11．已知两条直线l ，m 及三个平面α，β，γ，下列条件中能推出α⊥β的是() A. l ⊥α，l ⊥β B ．l ⊥α，m ⊥β，l ⊥mC ．α⊥γ，β∥γD ．l ⊥α，m ⊥β，l ⊥m12．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两个定点F 1(－1，0)和F 2(1，0)的距离之积等于8，记点P 的轨迹为曲线E ，则A ．曲线E 经过坐标原点B ．曲线E 关于x 轴对称C ．曲线E 关于y 轴对称D ．若点(x ，y )在曲线E 上，则－3≤x ≤3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 23－y 2＝1的焦距为 ▲ ．若双曲线C 的右焦点与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆E 的离心率是 ▲ ．15．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是：每个大于2的偶数可以表示为两个质数的和，如14＝3＋11．在不超过15的质数中，随机选取2个不同的数，其和不等于16的概率是 ▲ ．16．已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，底面边长和侧棱长均为2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，则对角线AC 1的长为 ▲ ．三、解答题：本题共6小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知12(a cos C ＋c cos A )＝13b cos B ． （1）求cos B ；（2）若a ＋c ＝15，且△ABC 的面积为5，求b 的值． 18．（本小题满分12分）某家庭记录了未使用节水龙头30天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头30天的日用水量数据，得到频数分布表如下：（一）未使用节水龙头30天的日用水量频数分布表日用水量，，，，，0.7] 频数 2 3 8 12 5（二）使用了节水龙头30天的日用水量频数分布表日用水量，，，，，0.6] 频数 2 5 11 6 6（1）估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于0.4 m3的概率；（2）估计该家庭使用节水龙头后，平均每天能节省多少水？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）19．（本小题满分14分）如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，且∠P AB＝∠PDC＝90°．（1）求证：AB⊥平面P AD；（2）若点E，F分别是棱PD，BC的中点，求证：EF∥平面P AB．20．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，AA1＝3．（1）点D 在棱AA 1上，且BD ⊥A 1C ，求AD 的长； （2）求二面角C －A 1B 1－B 的大小．21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率e ＝53．过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为125． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点A 位于第一象限，且AF 1⊥AF 2，求△ABF 2的外接圆的方程．22．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，点A (－2，0)，过动点P 作直线x ＝－4的垂线，垂足为M ，且AM →·AP →＝－4．记动点P 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）过点A 的直线l 交曲线E 于不同的两点B ，C ． ①若B 为线段AC 的中点，求直线l 的方程；②设B 关于x 轴的对称点为D ，求△ACD 面积S 的取值范围．参考答案一、选择题：1．D 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．D 9．C 10．B11．ABC 12．BCD 二、填空题： 13．4；4 14．2215．131516．2 5 三、解答题：17．（本小题满分12分）解：（1）因为12(a cos C ＋c cos A )＝13b cos B ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 得12(sin A cos C ＋sin C cos A )＝13sin B cos B ，……… 2分因此12sin(A ＋C )＝13sin B cos B ．……………………………… 4分 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以12sin(π－B )＝13sin B cos B ， 于是12sin B ＝13sin B cos B ，因为B ∈(0，π)，所以sin B ＞0，所以cos B ＝1213．……………………………… 6分（2）由（1）知cos B ＝1213，sin B ＞0，所以sin B ＝1－cos 2B ＝513．……………… 8分因为△ABC 的面积为5，即S △ABC ＝12ac sin B ＝5，所以526ac ＝5，即ac ＝26．………………………………… 10分又因为a ＋c ＝15，所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2413ac ＝(a ＋c )2－5013ac ＝152－5013×26＝125，因此b ＝55． ………………………………… 12分 18．（本小题满分12分）解：（1）根据表格（二），估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于0.4m 3的频数为2＋5＋11＝18， ………………………… 2分 所以所求的概率约为1830＝0.6，即该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.4m 3的概率的估计值为0.6．………… 5分 （2）该家庭未使用节水龙头30天日用水量的平均数为—x 1＝130(2×0.25＋3×0.35＋8×0.45＋12×0.55＋5×0.65)＝0.5； ……………… 8分 该家庭使用了节水龙头后30天日用水量的平均数为 —x 2＝130(2×0.15＋5×0.25＋11×0.35＋6×0.45＋6×0.55)＝0.38；…………… 10分—x 1－—x 2＝0.5－0.38＝0.12．因此，使用节水龙头后，平均每天能节省的水量估计为0.12 m 3．………… 12分 19．（本小题满分14分）证明：（1）在四棱锥P －ABCD 中，因为∠P AB ＝∠PDC ＝90°，所以AB ⊥P A ，DC ⊥PD ． …………………… 2分 又因为四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，所以AB ∥DC ，所以AB ⊥PD ． …………………………… 4分 因为P A ∩PD ＝P ，P A ，PD 平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ． …………… 6分 （2）如图，取AD 的中点G ，连EG ，GF ．在△P AD 中，因为E 是棱PD 的中点， 所以EG ∥P A ．又EG 平面P AB ，PA 平面P AB ， 所以EG ∥平面P AB ．…………… 8分在平行四边形ABCD 中，G ，F 分别是棱AD ，BC 的中点， 所以AG ＝BF ＝12BC ，AG ∥BF ，所以四边形ABFG 是平行四边形，所以FG ∥BA ．又FG ⊥平面P AB ，AB ⊥平面P AB ，所以FG ∥平面P AB ．…………… 11分 因为EG ∩FG ＝G ，EG ，FG ⊥平面EFG ，所以平面EFG ∥平面P AB ． 又EF ⊥平面EFG ，所以EF ∥平面P AB ． ………………… 14分 20．（本小题满分14分）解：（1）如图，在△ABC 中，过A 作AB 的垂线交BC 于E ．在直三棱锥ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ， 所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AE ．分别以AE ，AB ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系A —xyz ． …………………… 2分 因为AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，AA 1＝3，所以C (3，－1，0)，B (0，2，0)，A 1(0，0，3) ……………………… 4分 因为点D 在棱AA 1上，设D (0，0，a )，则BD →＝(0，－2，a )，A 1C →＝(3，－1，－3)． 因为BD ⊥A 1C ，所以2－3a ＝0，解得a ＝23．所以AD ＝23． ………………………… 6分（2）平面ABB 1A 1的一个法向量为n 1＝(1，0，0)．又B 1(0，2，3)，所以CA 1→＝(－3，1，3)，CB 1→＝(－3，3，3)． 设平面A 1B 1C 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )，由n 2⊥CA 1→，n 2⊥CB 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＋3z ＝0，－3x ＋3y ＋3z ＝0，所以y ＝0．取x ＝3，则z ＝1，所以平面A 1B 1C 的一个法向量为n 2＝(3，0，1)． ……………… 10分 | n 1|＝1，| n 2|＝2，n 1·n 2＝3，所以cos ＜n 1，n 2＞＝n 1·n 2| n 1|| n 2|＝32， …………………… 12分又＜n 1，n 2＞∈[0，π]，从而＜n 1，n 2＞＝π6．根据图形可知，二面角C －A 1B 1－B 大小的为π6． ………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝53，所以c a ＝53．①又△ABF 2的周长为125，所以4a ＝125．②联立①②，解得a ＝35，c ＝5，从而b 2＝a 2－c 2＝20，因此椭圆C 的方程为x 245＋y 220＝1．……………………………… 4分（2）因为点A 位于第一象限，故设A (x 1，y 1)，其中x 1＞0，y 1＞0．因为AF 1⊥AF 2，所以AF 1→·AF 2→＝0，又点A 在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1245＋y 1220＝1，x 12＋y 12＝25，解得x 12＝9，从而x 1＝3，y 1＝4．……………………… 7分由（1）知，椭圆C 的左焦点为F 1(－5，0)，所以直线l 的方程为y ＝12(x ＋5)．由⎩⎨⎧y ＝12(x ＋5)，x 245＋y 220＝1，得5x 2＋18x －99＝0，解得x ＝3或－335．所以B (－335，－45)． ……………………………… 11分因为∠F 1AF 2＝90°，所以△ABF 2的外接圆就是以BF 2为直径的圆． 又椭圆C 的右焦点为F 2(5，0)，所以线段BF 2的中点M 的坐标为(－45，－25)，此时MF 2＝135，故△ABF 2的外接圆的方程为(x ＋45)2＋(y ＋25)2＝1695． ………………………… 14分22．（本小题满分16分）解：（1）设P (x ，y )，则M (－4，y )．因为A (－2，0)，所以AM →＝(－2，y )，AP →＝(x ＋2，y )， 因为AM →·AP →＝－4，所以－2x －4＋y 2＝－4，即y 2＝2x ．所以曲线E 的方程为y 2＝2x ． ………………………………… 3分 （2）①若直线l 的斜率不存在，则l 与曲线E 无公共点，因此l 的斜率存在；若l 的斜率为0，则l 与曲线E 只有一个公共点，因此l 的斜率不为0． 设l ：y ＝k (x ＋2)，k ≠0，由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝2x ，得y 2－2k y ＋4＝0，于是∆＝4k 2－16＞0，解得－12＜k ＜12且k ≠0．设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝4．…………………… 7分因为B 为线段AC 的中点，所以y 2＝2y 1． 又y 1＋y 2＝2k ，所以y 1＝23k ，y 2＝43k，因此y 1y 2＝89k 2＝4，所以k ＝±23，符合－12＜k ＜12且k ≠0，于是k ＝±23，此时直线l 的方程为y ＝±23(x ＋2)． …………………… 9分②因为点B ，D 关于x 轴对称，所以D (x 1，－y 1)，于是点D 到直线l 的距离为d ＝|kx 1＋y 1＋2k |1＋k 2．因为y 1＝k (x 1＋2)，所以d ＝2|y 1|1＋k 2． ………………………… 11分又AC ＝1＋k 2|x 2＋2|，所以S ＝121＋k 2|x 2＋2|×2|y 1|1＋k 2＝|(x 2＋2)y 1|＝|(y 222＋2)y 1|．因为y 1y 2＝4，y 1＋y 2＝2k ，所以S ＝|2y 2＋2y 1|＝4|k |． ……………………… 14分又因为－12＜k ＜12且k ≠0，因此S ＞8，即△ACD 面积S 的取值范围为(8，＋∞)． ………………………… 16分。
南京市2019-2020学年度第一学期期中调研测试卷高二数学(含解析)
南京市2019－2020学年度第一学期期中调研测试高 二 数 学注意事项：1．本试卷共4页，包括选择题（第1题~第12题）、填空题(第13题～第16题)、解答题(第17题～第22题)三部分。
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置。
3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：线性回归方程 y ∧＝bx ＋a ；回归系数b ＝∑ni ＝1x i y i －n －x －y∑n i ＝1x i 2－n －x2，a ＝－y －b －x ；球的表面积S ＝4πR 2，其中R 为球的半径．一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共计48分．其中第1至第10题为单选题，第11、12题为多选题．1．若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋2y －2＝0互相垂直，则实数a 的值是A ．1B ．－1C ．4D ．－42．已知向量a ＝(0，1，1)，b ＝(1，－2，1)．若向量a ＋b 与向量c ＝(－2，m ，－4)平行，则实数m 的值是A ．2B ．－2C ．10D ．－10 3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 22＝1的渐近线方程是 A ．y ＝±2x B ．y ＝±22x C ．y ＝±3x D ．y ＝±33x4．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得－x ＝10，－y ＝8，线性回归方程y ∧＝0.76x ＋a ．据此估计，该社区一户年收入为20万元家庭年支出为A ．15.2万元B ．15.6万元C ．16万元D ．16.2万元5．如图，已知一个圆柱的底面半径为3，高为2，若它的两个底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为A ．32π3 B ．16πC ．8πD ．4π6．如图，在四面体ABCD 中，点M 是棱BC 上的点，且BM ＝2MC ，点N 是棱AD 的中点．若MN →＝x AB →＋y AC →＋zAD →，其中x ，y ，z 为实数，则xyz 的值是 A ．－19B ．－18 C ．19D ．187．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点P (1，2)，且被圆O ：x 2＋y 2＝9截得的弦长为42，则直线l 的方程为A ．3x －4y ＋5＝0B ．3x ＋4y －11＝0C ．x ＝1或3x －4y ＋5＝0D ．x ＝1或3x ＋4y －11＝0 8．已知cos(α＋π4)＝1010，则sin2α的值是A ．－45B ．－25C ．25D ．459．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，交抛物线于A ，B 两点，且线段AB 中点的横坐标为3，则线段AB 的长为 A ．6 B ．7 C ．8D ．1010．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (4，0)，点A ，B 在双曲线C ：x 24－y 2＝1上，且AP →＝3PB →，则直线AB 的斜率为A ．±32B ．±52C ．±1D ．±32注：以下两题为多选题，每小题有多个选项符合题意．全部选对得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的得0分．11．已知两条直线l ，m 及三个平面α，β，γ，下列条件中能推出α⊥β的是 A .l ⊂α，l ⊥βB ．l ⊥α，m ⊥β，l ⊥mC ．α⊥γ，β∥γD ．l ⊂α，m ⊂β，l ⊥m12．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两个定点F 1(－1，0)和F 2(1，0)的距离之积等于8，记点P 的轨迹为曲线E ，则A ．曲线E 经过坐标原点B ．曲线E 关于x 轴对称（第5题图） （第6题图）AB CDMNC ．曲线E 关于y 轴对称D ．若点(x ，y )在曲线E 上，则－3≤x ≤3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 23－y 2＝1的焦距为 ▲．若双曲线C 的右焦点与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点重合，则实数p 的值为 ▲．14．在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆E 的离心率是 ▲．15．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是：每个大于2的偶数可以表示为两个质数的和，如14＝3＋11．在不超过15的质数中，随机选取2个不同的数，其和不等于16的概率是 ▲．16．已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，底面边长和侧棱长均为2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，则对角线AC 1的长为 ▲．三、解答题：本题共6小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知12(a cos C ＋c cos A )＝13b cos B ． （1）求cos B ；（2）若a ＋c ＝15，且△ABC 的面积为5，求b 的值． 18．（本小题满分12分）某家庭记录了未使用节水龙头30天的日用水量数据（单位：m 3）和使用了节水龙头30天的日用水量数据，得到频数分布表如下：（一）未使用节水龙头30天的日用水量频数分布表（二）使用了节水龙头30天的日用水量频数分布表（1）估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于0.4m 3的概率；（2）估计该家庭使用节水龙头后，平均每天能节省多少水？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）19．（本小题满分14分）如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，且∠P AB ＝∠PDC ＝90°． （1）求证：AB ⊥平面P AD ；（2）若点E ，F 分别是棱PD ，BC 的中点，求证：EF ∥平面P AB ．20．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，AA 1＝3． （1）点D 在棱AA 1上，且BD ⊥A 1C ，求AD 的长； （2）求二面角C －A 1B 1－B 的大小． 21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a _x001F_2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率e ＝53．过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为125．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点A 位于第一象限，且AF 1⊥AF 2，求△ABF 2的外接圆的方程． 22．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，点A (－2，0)，过动点P 作直线x ＝－4的垂线，垂足为M ，且AM →·AP →＝－4．记动点P 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）过点A 的直线l 交曲线E 于不同的两点B ，C ． ①若B 为线段AC 的中点，求直线l 的方程；②设B 关于x 轴的对称点为D ，求△ACD 面积S 的取值范围．南京市2019－2020学年度第一学期期中调研测试高二数学参考答案一、选择题：1．D 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．D 9．C 10．B 11．ABC 12．BCD 二、填空题：ABCDE F P（第19题图） （第20题图）A CB DA 1C 1B 113．4；414．2215．131516．25 三、解答题：17．（本小题满分12分）解：（1）因为12(a cos C ＋c cos A )＝13b cos B ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C得12(sin A cos C ＋sin C cos A )＝13sin B cos B ，……… 2分因此12sin(A ＋C )＝13sin B cos B ．……………………………… 4分 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以12sin(π－B )＝13sin B cos B ， 于是12sin B ＝13sin B cos B ，因为B ∈(0，π)，所以sin B ＞0，所以cos B ＝1213．……………………………… 6分（2）由（1）知cos B ＝1213，sin B ＞0，所以sin B ＝1－cos 2B ＝513． ……………… 8分因为△ABC 的面积为5，即S △ABC ＝12ac sin B ＝5，所以526ac ＝5，即ac ＝26． ………………………………… 10分又因为a ＋c ＝15，所以 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2413ac ＝(a ＋c )2－5013ac ＝152－5013×26＝125，因此b ＝55．………………………………… 12分 18．（本小题满分12分）解：（1）根据表格（二），估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于0.4m 3的频数为2＋5＋11＝18， ………………………… 2分 所以所求的概率约为1830＝0.6，即该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.4m 3的概率的估计值为0.6．………… 5分 （2）该家庭未使用节水龙头30天日用水量的平均数为—x 1＝130(2×0.25＋3×0.35＋8×0.45＋12×0.55＋5×0.65)＝0.5； ……………… 8分该家庭使用了节水龙头后30天日用水量的平均数为—x 2＝130(2×0.15＋5×0.25＋11×0.35＋6×0.45＋6×0.55)＝0.38； …………… 10分—x 1－—x 2＝0.5－0.38＝0.12．因此，使用节水龙头后，平均每天能节省的水量估计为0.12m 3． ………… 12分19．（本小题满分14分）证明：（1）在四棱锥P －ABCD 中，因为∠P AB ＝∠PDC ＝90°，所以AB ⊥P A ，DC ⊥PD ． …………………… 2分 又因为四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，所以AB ∥DC ， 所以AB ⊥PD ． …………………………… 4分因为P A ∩PD ＝P ，P A ，PD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ． …………… 6分 （2）如图，取AD 的中点G ，连EG ，GF ．在△P AD 中，因为E 是棱PD 的中点， 所以EG ∥P A ．又EG ⊄平面PAB ，P A ⊂平面P AB ， 所以EG ∥平面P AB ．…………… 8分在平行四边形ABCD 中，G ，F 分别是棱AD ，BC 的中点， 所以AG ＝BF ＝12BC ，AG ∥BF ，所以四边形ABFG 是平行四边形，所以 FG ∥BA ．又FG ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，所以FG ∥平面P AB ． …………… 11分 因为EG ∩FG ＝G ，EG ，FG ⊂平面EFG ，所以平面EFG ∥平面P AB ． 又EF ⊂平面EFG ，所以EF ∥平面P AB ． ………………… 14分 20．（本小题满分14分）解：（1）如图，在△ABC 中，过A 作AB 的垂线交BC 于E ．在直三棱锥ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ， 所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AE ．分别以AE ，AB ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系A —xyz ． …………………… 2分 因为AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，AA 1＝3，所以C (3，－1，0)，B (0，2，0)，A 1(0，0，3) ……………………… 4分因为点D 在棱AA 1上，设D (0，0，a )，则BD →＝(0，－2，a )，A 1C →＝(3，－1，－3)． 因为BD ⊥A 1C ，所以2－3a ＝0，解得a ＝23．所以AD ＝23． ………………………… 6分AB CD E F P（第19题图） Gxyz （第20题图）AC BD A 1C 1B 1E（2）平面ABB 1A 1的一个法向量为n 1＝(1，0，0)．又B 1(0，2，3)，所以CA 1→＝(－3，1，3)，CB 1→＝(－3，3，3)． 设平面A 1B 1C 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )，由n 2⊥CA 1→，n 2⊥CB 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＋3z ＝0，－3x ＋3y ＋3z ＝0，所以y ＝0．取x ＝3，则z ＝1，所以平面A 1B 1C 的一个法向量为n 2＝(3，0，1)． ……………… 10分 | n 1|＝1，| n 2|＝2，n 1·n 2＝3，所以cos ＜n 1，n 2＞＝n 1·n 2| n 1|| n 2|＝32， …………………… 12分又＜n 1，n 2＞∈[0，π]，从而＜n 1，n 2＞＝π6．根据图形可知，二面角C －A 1B 1－B 大小的为π6． ………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）因为椭圆C ：x 2a _x001F_2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝53， 所以c a ＝53． ①又△ABF 2的周长为125，所以4a ＝125． ② 联立①②，解得a ＝35，c ＝5， 从而b 2＝a 2－c 2＝20，因此椭圆C 的方程为x 245＋y 220＝1． ……………………………… 4分（2）因为点A 位于第一象限，故设A (x 1，y 1)，其中x 1＞0，y 1＞0．因为AF 1⊥AF 2，所以AF 1→·AF 2→＝0，又点A 在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1245＋y 1220＝1，x 12＋y 12＝25，解得x 12＝9，从而x 1＝3，y 1＝4．……………………… 7分由（1）知，椭圆C 的左焦点为F 1(－5，0)，所以直线l 的方程为y ＝12(x ＋5)．由⎩⎨⎧y ＝12(x ＋5)，x 245＋y 220＝1，得5x 2＋18x －99＝0，解得x ＝3或－335．所以B (－335，－45)． ……………………………… 11分因为∠F 1AF 2＝90°，所以△ABF 2的外接圆就是以BF 2为直径的圆．又椭圆C 的右焦点为F 2(5，0)，所以线段BF 2的中点M 的坐标为(－45，－25)，此时MF 2＝135，故△ABF 2的外接圆的方程为(x ＋45)2＋(y ＋25)2＝1695． ………………………… 14分22．（本小题满分16分）解：（1）设P (x ，y )，则M (－4，y )．因为A (－2，0)，所以AM →＝(－2，y )，AP →＝(x ＋2，y )， 因为AM →·AP →＝－4，所以－2x －4＋y 2＝－4，即y 2＝2x ．所以曲线E 的方程为y 2＝2x ． ………………………………… 3分 （2）①若直线l 的斜率不存在，则l 与曲线E 无公共点，因此l 的斜率存在；若l 的斜率为0，则l 与曲线E 只有一个公共点，因此l 的斜率不为0． 设l ：y ＝k (x ＋2)，k ≠0，由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝2x ，得y 2－2k y ＋4＝0，于是∆＝4k 2－16＞0，解得－12＜k ＜12且k ≠0．设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝4． …………………… 7分因为B 为线段AC 的中点，所以y 2＝2y 1． 又y 1＋y 2＝2k ，所以y 1＝23k ，y 2＝43k，因此y 1y 2＝89k 2＝4，所以k ＝±23，符合－12＜k ＜12且k ≠0，于是k ＝±23，此时直线l 的方程为y ＝±23(x ＋2)． …………………… 9分 ②因为点B ，D 关于x 轴对称，所以D (x 1，－y 1)，于是点D 到直线l 的距离为d ＝|kx 1＋y 1＋2k |1＋k 2．因为y 1＝k (x 1＋2)，所以d ＝2|y 1|1＋k 2． ………………………… 11分又AC ＝1＋k 2|x 2＋2|，所以S ＝121＋k 2|x 2＋2|×2|y 1|1＋k 2＝|(x 2＋2)y 1|＝|(y 222＋2)y 1|．因为y 1y 2＝4，y 1＋y 2＝2k ，所以S ＝|2y 2＋2y 1|＝4|k |． ……………………… 14分又因为－12＜k ＜12且k ≠0，因此S ＞8，即△ACD 面积S 的取值范围为(8，＋∞)． ………………………… 16分。
(苏科版)南京市鼓楼区2019-2020学年高二数学下期中考试文科试题(附答案)(精校版)
高二下期中考试数学试题(文科)参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差：s 2=1n∑i =1n(x i－x-)2 ，其中x -＝1n ∑i =1nx i .一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．．．．．．．．． 1．已知复数z ＝1＋2i ，则复数 1z在复平面内对应的点位于第 象限．2．某班有52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知编号分别为6，32，45的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的编号是 ．3．交通部门对某段公路上汽车的速度实施监控，并从速度在50~90 km/h 的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70 km/h 以下的汽车有 辆．4场比赛中得分的茎叶图，那么该组数据的方差为 ．5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ．6．某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30％、50％、10％和10％，则全班学生的平均分为 分．7．某人射击1次，命中8～10环的概率如下表所示：环的概率为 ．8．在区间[－1，2]上随机取一个实数x ，则x ∈[0，1]的概率为 ．(第5题)(第4题)S ←0For I From 1 To 7 step 2 S ←S + I End For Print S507090速度(km/h)0.010.020.030.04124 7 7 90 19．执行如图所示的伪代码，当输入a ，b 的值分别为1，3时，最后输出的a 的值为 ．10．为了计算2×4×6×8×10(菱形框)中的内容看不清了，那么判断框中的内容可以是 ．11．根据如图所示的流程图，若输入值x ∈[0，3]，则输出值y 的取值范围是 ．12．已知函数f 0(x )= cos x ，f 1(x )=f 0′(x )，f 2(x )=f 1′(x )，…，f n +1(x )=f n ′(x )，…，其中n ∈N ，则f 19(π3)= .13．对于非零实数a ，b ，c ，以下四个命题都成立：①(a ＋b )2＝a 2＋2a •b ＋b 2； ②若a •b ＝a •c ，则b ＝c ； ③(a +b )•c =a •c + b •c ； ④(a •b )•c =a •(b •c )；那么类比于此，对于非零向量→a ，→b ，→c ，相应命题仍然成立的所有序号是 ． 14．设函数f (x ) =12x + 2，类比课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－2015)+ f (－2014)+ f (－2013)+…+ f (2014)+f (2015)+ f (2016)的值为 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知复数z 1满足z 1·i ＝1＋i (i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2．(1)求z 1；(2)复数z 1z 2是纯虚数时，比较｜z 1｜与｜z 2｜的大小．16．某高校从参加自主招生考试的学生中随机抽取容量为100的学生成绩样本，得到频率分布表如下：（第11题）（第10题）(2)为了更多了解第三组、第四组、第五组的学生情况，该高校决定在这三个组中用分 层抽样法抽取6名学生进行考察，这三个组参加考核的人数分别是多少？ 17. (本题满分14分)(1)不透明的袋子中装有除颜色外其它都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率；(2)已知关于x 的一元二次方程x 2－2bx ＋c 2＝0，其中b 是从0、1、2、3四个数中随机取出的一个数，c 是从0、1、2三个数中随机取出的一个数，求这个方程没有实根的概率． 18．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1·a n －2·a n ＋1＝0 (n ∈N *).(1)求1a 2－1 ，1a 3－1 ，1a 4－1的值； (2)求{a n }的通项公式．19．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，且过点A (0，1)，(1)求椭圆的方程；(2)过点A 作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于点M ，N (M ，N 不与点A 重合) ．直线MN 是否过定点？若过定点，则求出定点坐标；若不过定点，则请说明理由． 20．已知函数f (x )=ln xx． (1)当e ≤x ≤e 2时，求函数f (x )的最小值；(2)已知函数g (x )＝2x －ax (x －1)ln x，且f (x )g (x )≤0恒成立，求实数a 的值；(3)某同学发现：存在正实数m 、n (m ＜n )，使m n =n m ，试问：他的发现是否正确?若不正确，则请说明理由；若正确，则请直接写出m 的取值范围，而不需要解答过程．高二数学(文科)参考答案和评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．四 2．19 3．75 4．325 5．16 6．2 7．0.3 8．139．5 10．I≤10或I<11或I≤11或I<12或I<10.5，等 11．[1，7] 12．3213．①③ 14．1008 2二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(1)1－i ；……………………………………………………………………………………6分(2) z 2＝－2＋i ，…………………………………………………………………………10分 ｜z 1｜＝2，｜z 2｜＝22，……………………………………………………………………………12分 ｜z 1｜＜｜z 2｜．…………………………………………………………………………14分 16．(1)100－(16＋24＋20＋10)＝30或100×0.3=30，………………………………………3分1－(0.24＋0.3＋0.20＋0.10)＝0.16或16÷100=0.16；…………………………………6分 (没有任何过程，最多得4分)(2)660 ＝0.1，………………………………………………………………………………8分 30×0.1＝3，所以第三组参加考核的人数是3；………………………………………10分 类似地，第四组，第五组参加考核的人数分别是2，1．……………………………14分 17．(1)设事件A 为“这2只球颜色不同”； -----……………………-----------------1分基本事件共6个：(白,红)，(白,黄1)，(白,黄2)，(红,黄1)，(红,黄2)，(黄1, 黄2)， 事件A 包含5个基本事件(白,红)，(白,黄1)，(白,黄2)，(红,黄1)，(红,黄2)，----4分 因为每个基本事件发生的可能性都相同， ----------------------5分 所以，事件A 发生的概率P (A )＝56． ----------------------7分(2)设事件B 为“方程x 2－2bx ＋c 2＝0无实根”； ------------------……………---8分 当Δ＝4b 2－4c 2＝4(b 2－c 2)＜0，即b ＜c 时，方程x 2－2bx ＋c 2＝0无实根．基本事件共12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示b 的取值，第二个数表示c 的取值．--…………--4分事件B 包含3个基本事件(0,1)，(0,2)，(1,2)，--…………………………………---11分 因为每个基本事件发生的可能性都相同， ----------------------12分 所以事件B 发生的概率P (A )＝312＝14． ----------------------14分(第(1)小题，有一点过程且结果正确，得7分；第(2)小题，至少交待清楚三个数据12，3和14的由来才能得7分)18．(1)由a n ＋1a n ＝2·a n －1得a n ＋1＝2－1a n，…………………………………………………2分代入a 1＝3，n 依次取值2,3,4，得1a 2－1＝32，1a 3－1＝52，1a 4－1＝72，………………………………………………………6分 (2)猜想：{1a n －1}是等差数列．证明：由a n ＋1·a n ＝2·a n －1变形，得 (a n ＋1－1)·(a n －1)＝－(a n ＋1－1)＋(a n －1)， 即1a n ＋1－1－1a n －1＝1在n ∈N *时恒成立，所以{1a n －1}是等差数列．………………………………………………………………12分由1a 1－1＝12，所以1a n －1＝12＋n －1， 变形得a n －1＝22n －1，…………………………………………………………………14分所以a n ＝2n ＋12n －1为数列{a n }的一个通项公式．…………………………………………16分19．(1) x 23＋y ²＝1；……………………………………………………………………………4分(2)解法一因为M ，N 不与点B 重合，所以直线AM 的斜率存在，且不为零．………………5分 设AM 的斜率为k ，则AN 的斜率为－直线AM 方程：y =kx +1，7分 9分12分15分 16分解法二设直线MN 方程为y =kx + m ， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 可得m =－12．20．(1) f (x )定义域为(0，+∞)，f ′ (x )＝1－ln xx 2． 令f ' (x )＝1－ln xx 2＝0，则x =e ． 列表如下：当e ≤x ≤e 2时，函数f (x )单调减，所以，函数f (x )的最小值为f (e 2) =2e －2．…4分 (2)f (x ) g (x )≤0恒成立，即2ln x －ax ＋a ≤0在x >0时恒成立． 令h (x ) = f (x ) g (x )，则h ′(x )＝2－axx，x >0. 若a ≤0，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 若a >0，当x ∈(0，2a)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(2a ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减. ………………………………………6分所以，若a ≤0，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝0，故f (x )≤0不恒成立. ……………………………………………………………………………………………8分 若a >2，则当x ∈(2a ，1)时，f (x )单调递减，f (x )>f (1)＝0，不合题意，………………10分若0<a <2，则当x ∈(1，2a )时，f (x )单调递增，f (x )>f (1)＝0，不合题意，……………12分若a ＝2，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (1)＝0符合题意. 故a ＝2．…………………………………………………………………………………14分 (3)正确，m 的取值范围是1＜m ＜e ．…………………………………………16分 理由如下，研究函数图像，f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，+∞)上单调递减． 又∵当x →+∞时，f (x )→0．∴总存在正实数m ，n 且1＜m ＜e ＜n ，使得f (m )=f (n )，即ln m m = ln nn，即m n =n m ． 【…、￥。
江苏省南京市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷(word版附答案)
江苏省南京市2019-2020学年高二上学期期中考试注意事项：1．本试卷共4页，包括选择题（第1题~第12题）、填空题(第13题～第16题)、解答题(第17题～第22题)三部分。
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置。
3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：线性回归方程 y ∧＝bx ＋a ；回归系数b ＝∑ni ＝1x i y i －n －x －y∑n i ＝1x i 2－n －x2，a ＝－y －b －x ；球的表面积S ＝4πR 2，其中R 为球的半径．一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共计48分．其中第1至第10题为单选题，第11、12题为多选题．1．若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋2y －2＝0互相垂直，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1C ．4D ．－42．已知向量a ＝(0，1，1)，b ＝(1，－2，1)．若向量a ＋b 与向量c ＝(－2，m ，－4)平行，则实数m 的值是( )A ．2B ．－2C ．10D ．－10 3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 22＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±22x C ．y ＝±3x D ．y ＝±33x4．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得－x ＝10，－y ＝8，线性回归方程y ∧＝0.76x ＋a ．据此估计，该社区一户年收入为20万元家庭年支出为( )A ．15.2万元B ．15.6万元C ．16万元D ．16.2万元 5．如图，已知一个圆柱的底面半径为3，高为2，若它的两个底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．32π3 B ．16πC ．8πD ．4π6．如图，在四面体ABCD 中，点M 是棱BC 上的点，且BM ＝2MC ，点N 是棱AD 的中点．若MN →＝x AB →＋y AC →＋zAD →，其中x ，y ，z 为实数，则xyz 的值是( )A ．－19B ．－18C ．19D ． 187．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点P (1，2)，且被圆O ：x 2＋y 2＝9截得的弦长为42，则直线l 的方程为( )A ．3x －4y ＋5＝0B ．3x ＋4y －11＝0C ．x ＝1或3x －4y ＋5＝0D ．x ＝1或3x ＋4y －11＝0 8．已知cos(α＋π4)＝1010，则sin2α的值是( )A ．－45B ．－25C ．25D ．459．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，交抛物线于A ，B 两点，且线段AB 中点的横坐标为3，则线段AB 的长为( )A ．6B ．7C ．8D ．1010．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (4，0)，点A ，B 在双曲线C ：x 24－y 2＝1上，且AP →＝3PB →，则直线AB 的斜率为( )A ．±32B ．±52C ．±1D ．±32（第5题图）O注：以下两题为多选题，每小题有多个选项符合题意．全部选对得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的得0分．11．已知两条直线l ，m 及三个平面α，β，γ，下列条件中能推出α⊥β的是( ) A. l ⊥α，l ⊥β B ．l ⊥α，m ⊥β，l ⊥mC ．α⊥γ，β∥γD ．l ⊥α，m ⊥β，l ⊥m12．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两个定点F 1(－1，0)和F 2(1，0)的距离之积等于8，记点P 的轨迹为曲线E ，则A ．曲线E 经过坐标原点B ．曲线E 关于x 轴对称C ．曲线E 关于y 轴对称D ．若点(x ，y )在曲线E 上，则－3≤x ≤3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 23－y 2＝1的焦距为 ▲ ．若双曲线C 的右焦点与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆E 的离心率是 ▲ ．15．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是：每个大于2的偶数可以表示为两个质数的和，如14＝3＋11．在不超过15的质数中，随机选取2个不同的数，其和不等于16的概率是 ▲ ．16．已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，底面边长和侧棱长均为2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，则对角线AC 1的长为 ▲ ．三、解答题：本题共6小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知12(a cos C ＋c cos A )＝13b cos B ． （1）求cos B ；（2）若a ＋c ＝15，且△ABC 的面积为5，求b 的值． 18．（本小题满分12分）某家庭记录了未使用节水龙头30天的日用水量数据（单位：m 3）和使用了节水龙头30天的日用水量数据，得到频数分布表如下：（一）未使用节水龙头30天的日用水量频数分布表日用水量0.2，0.30.3，0.40.4，0.50.5，0.60.6，0.7] 频数 2 3 8 12 5（二）使用了节水龙头30天的日用水量频数分布表日用水量0.1，0.20.2，0.30.3，0.40.4，0.50.5，0.6] 频数 2 5 11 6 6 （1）估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于0.4 m3的概率；（2）估计该家庭使用节水龙头后，平均每天能节省多少水？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）19．（本小题满分14分）如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，且∠P AB＝∠PDC＝90°．（1）求证：AB⊥平面P AD；（2）若点E，F分别是棱PD，BC的中点，求证：EF∥平面P AB．20．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，AA1＝3．（1）点D 在棱AA 1上，且BD ⊥A 1C ，求AD 的长； （2）求二面角C －A 1B 1－B 的大小．21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a _x001F_2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率e ＝53．过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为125． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点A 位于第一象限，且AF 1⊥AF 2，求△ABF 2的外接圆的方程．22．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，点A (－2，0)，过动点P 作直线x ＝－4的垂线，垂足为M ，且AM →·AP →＝－4．记动点P 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）过点A 的直线l 交曲线E 于不同的两点B ，C ． ① 若B 为线段AC 的中点，求直线l 的方程；② 设B 关于x 轴的对称点为D ，求△ACD 面积S 的取值范围．参考答案一、选择题：1．D 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．D 9．C 10．B 11．ABC 12．BCD二、填空题： 13．4；4 14．22 15．131516．2 5 三、解答题：17．（本小题满分12分）解：（1）因为12(a cos C ＋c cos A )＝13b cos B ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C得12(sin A cos C ＋sin C cos A )＝13sin B cos B ，……… 2分 因此12sin(A ＋C )＝13sin B cos B ． ……………………………… 4分 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以12sin(π－B )＝13sin B cos B ， 于是12sin B ＝13sin B cos B ，因为B ∈(0，π)，所以sin B ＞0，所以cos B ＝1213． ……………………………… 6分（2）由（1）知cos B ＝1213，sin B ＞0，所以sin B ＝1－cos 2B ＝513． ……………… 8分因为△ABC 的面积为5，即S △ABC ＝12ac sin B ＝5，所以526ac ＝5，即ac ＝26． ………………………………… 10分又因为a ＋c ＝15，所以 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2413ac ＝(a ＋c )2－5013ac ＝152－5013×26＝125，因此b ＝55． ………………………………… 12分 18．（本小题满分12分）解：（1）根据表格（二），估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于0.4m 3的频数为2＋5＋11＝18， ………………………… 2分 所以所求的概率约为1830＝0.6， 即该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.4m 3的概率的估计值为0.6． ………… 5分 （2）该家庭未使用节水龙头30天日用水量的平均数为—x 1＝130(2×0.25＋3×0.35＋8×0.45＋12×0.55＋5×0.65)＝0.5； ……………… 8分 该家庭使用了节水龙头后30天日用水量的平均数为 —x 2＝130(2×0.15＋5×0.25＋11×0.35＋6×0.45＋6×0.55)＝0.38； …………… 10分 —x 1－—x 2＝0.5－0.38＝0.12．因此，使用节水龙头后，平均每天能节省的水量估计为0.12 m 3． ………… 12分 19．（本小题满分14分）证明：（1）在四棱锥P －ABCD 中，因为∠P AB ＝∠PDC ＝90°，所以AB ⊥P A ，DC ⊥PD ． …………………… 2分 又因为四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，所以AB ∥DC ，所以AB ⊥PD ． …………………………… 4分 因为P A ∩PD ＝P ，P A ，PD 平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ． …………… 6分 （2）如图，取AD 的中点G ，连EG ，GF ．在△P AD 中，因为E 是棱PD 的中点， 所以EG ∥P A ．又EG 平面P AB ，PA 平面P AB ， 所以EG ∥平面P AB ．…………… 8分在平行四边形ABCD 中，G ，F 分别是棱AD ，BC 的中点， 所以AG ＝BF ＝12BC ，AG ∥BF ，所以四边形ABFG 是平行四边形，所以 FG ∥BA ．又FG ⊥平面P AB ，AB ⊥平面P AB ，所以FG ∥平面P AB ． …………… 11分 因为EG ∩FG ＝G ，EG ，FG ⊥平面EFG ，所以平面EFG ∥平面P AB ． 又EF ⊥平面EFG ，所以EF ∥平面P AB ． ………………… 14分 20．（本小题满分14分）解：（1）如图，在△ABC 中，过A 作AB 的垂线交BC 于E ．在直三棱锥ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ， 所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AE ．分别以AE ，AB ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系A —xyz ． …………………… 2分 因为AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，AA 1＝3，所以C (3，－1，0)，B (0，2，0)，A 1(0，0，3) ……………………… 4分因为点D 在棱AA 1上，设D (0，0，a )，则BD →＝(0，－2，a )，A 1C →＝(3，－1，－3)．因为BD ⊥A 1C ，所以2－3a ＝0，解得a ＝23．所以AD ＝23． ………………………… 6分（2）平面ABB 1A 1的一个法向量为n 1＝(1，0，0)．又B 1(0，2，3)，所以 CA 1→＝(－3，1，3)，CB 1→＝(－3，3，3)．设平面A 1B 1C 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )，由n 2⊥CA 1→，n 2⊥CB 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＋3z ＝0，－3x ＋3y ＋3z ＝0，所以y ＝0．取x ＝3，则z ＝1，所以平面A 1B 1C 的一个法向量为n 2＝(3，0，1)． ……………… 10分| n 1|＝1，| n 2|＝2，n 1·n 2＝3，所以cos ＜n 1，n 2＞＝n 1·n 2| n 1|| n 2|＝32， …………………… 12分又＜n 1，n 2＞∈[0，π]，从而＜n 1，n 2＞＝π6．根据图形可知，二面角C －A 1B 1－B 大小的为π6． ………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）因为椭圆C ：x 2a _x001F_2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝53，所以c a ＝53． ①又△ABF 2的周长为125，所以4a ＝125． ② 联立①②，解得a ＝35，c ＝5， 从而b 2＝a 2－c 2＝20，因此椭圆C 的方程为x 245＋y 220＝1． ……………………………… 4分（2）因为点A 位于第一象限，故设A (x 1，y 1)，其中x 1＞0，y 1＞0．因为AF 1⊥AF 2，所以AF 1→·AF 2→＝0，又点A 在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1245＋y 1220＝1，x 12＋y 12＝25，解得x 12＝9，从而x 1＝3，y 1＝4． ……………………… 7分由（1）知，椭圆C 的左焦点为F 1(－5，0)，所以直线l 的方程为y ＝12(x ＋5)．由⎩⎨⎧y ＝12(x ＋5)，x 245＋y 220＝1，得5x 2＋18x －99＝0，解得x ＝3或－335．所以B (－335，－45)． ……………………………… 11分因为∠F 1AF 2＝90°，所以△ABF 2的外接圆就是以BF 2为直径的圆． 又椭圆C 的右焦点为F 2(5，0)，所以线段BF 2的中点M 的坐标为(－45，－25)，此时MF 2＝135，故△ABF 2的外接圆的方程为(x ＋45)2＋(y ＋25)2＝1695． ………………………… 14分22．（本小题满分16分）解：（1）设P (x ，y )，则M (－4，y )．因为A (－2，0)，所以AM →＝(－2，y )，AP →＝(x ＋2，y )， 因为AM →·AP →＝－4，所以－2x －4＋y 2＝－4，即y 2＝2x ．所以曲线E 的方程为y 2＝2x ． ………………………………… 3分 （2）① 若直线l 的斜率不存在，则l 与曲线E 无公共点，因此l 的斜率存在；若l 的斜率为0，则l 与曲线E 只有一个公共点，因此l 的斜率不为0． 设l ：y ＝k (x ＋2)，k ≠0，由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝2x ，得y 2－2k y ＋4＝0，于是∆＝4k 2－16＞0，解得－12＜k ＜12且k ≠0．设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝4． …………………… 7分因为B 为线段AC 的中点，所以y 2＝2y 1． 又y 1＋y 2＝2k ，所以y 1＝23k ，y 2＝43k，因此y 1y 2＝89k 2＝4，所以k ＝±23，符合－12＜k ＜12且k ≠0，于是k ＝±23，此时直线l 的方程为y ＝±23(x ＋2)． …………………… 9分② 因为点B ，D 关于x 轴对称，所以D (x 1，－y 1)，于是点D 到直线l 的距离为d ＝|kx 1＋y 1＋2k |1＋k 2．因为y 1＝k (x 1＋2)，所以d ＝2|y 1|1＋k 2． ………………………… 11分又AC ＝1＋k 2|x 2＋2|，所以S ＝121＋k 2|x 2＋2|×2|y 1|1＋k 2＝|(x 2＋2)y 1|＝|(y 222＋2)y 1|．因为y 1y 2＝4，y 1＋y 2＝2k ，所以S ＝|2y 2＋2y 1|＝4|k |． ……………………… 14分又因为－12＜k ＜12且k ≠0，因此S ＞8，即△ACD 面积S 的取值范围为(8，＋∞)． ………………………… 16分。
(苏科版)南京市鼓楼区2019-2020学年高二数学下期中考试文科试题(附详细答案)
高二下期中考试数学试题(文科)参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差：s 2=1n ∑i =1n(x i －x -)2，其中x -＝1n ∑i =1n x i .一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．．．．．．．．． 1．已知复数z ＝1＋2i ，则复数 1z在复平面内对应的点位于第 象限．2．某班有52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知编号分别为6，32，45的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的编号是 ．3．交通部门对某段公路上汽车的速度实施监控，并从速度在50~90 km/h 的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70 km/h 以下的汽车有 辆．4．已知如图是一位篮球运动员在6场比赛中得分的茎叶图，那么该组数据的方差为 ． 5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ．6．某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30％、50％、10％和10％，则全班学生的平均分为 分．7．某人射击1次，命中8～10环的概率如下表所示：8．在区间[－1，2]上随机取一个实数x ，则x ∈[0，1]的概率为 ．(第5题)(第3题) (第4题) S ←0For I From 1 To 7 step 2 S ←S + I End For Print S0.010.020.030.04124 7 7 90 19．执行如图所示的伪代码，当输入a ，b 的值分别为1，3时，最后输出的a 的值为 ．10．为了计算2×4×6×8×10的值，小明同学设计了一个正确的算法，流程图如图所示，只是判断框(菱形框)中的内容看不清了，那么判断框中的内容可以是 ．11．根据如图所示的流程图，若输入值x ∈[0，3]，则输出值y 的取值范围是 ．12．已知函数f 0(x )= cos x ，f 1(x )=f 0′(x )，f 2(x )=f 1′(x )，…，f n +1(x )=f n ′(x )，…，其中n ∈N ，则f 19(π3)= .13．对于非零实数a ，b ，c ，以下四个命题都成立：①(a ＋b )2＝a 2＋2a •b ＋b 2； ②若a •b ＝a •c ，则b ＝c ； ③(a +b )•c =a •c + b •c ； ④(a •b )•c =a •(b •c )；那么类比于此，对于非零向量→a ，→b ，→c ，相应命题仍然成立的所有序号是 ． 14．设函数f (x ) =12x + 2，类比课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－2015)+ f (－2014)+ f (－2013)+…+ f (2014)+f (2015)+ f (2016)的值为 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知复数z 1满足z 1·i ＝1＋i (i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2．(1)求z 1；(2)复数z 1z 2是纯虚数时，比较｜z 1｜与｜z 2｜的大小．16．某高校从参加自主招生考试的学生中随机抽取容量为100的学生成绩样本，得到频率分布表如下：（第11题）（第10题）（第9题）(2)为了更多了解第三组、第四组、第五组的学生情况，该高校决定在这三个组中用分 层抽样法抽取6名学生进行考察，这三个组参加考核的人数分别是多少？ 17. (本题满分14分)(1)不透明的袋子中装有除颜色外其它都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率；(2)已知关于x 的一元二次方程x 2－2bx ＋c 2＝0，其中b 是从0、1、2、3四个数中随机取出的一个数，c 是从0、1、2三个数中随机取出的一个数，求这个方程没有实根的概率． 18．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1·a n －2·a n ＋1＝0 (n ∈N *).(1)求1a 2－1 ，1a 3－1 ，1a 4－1的值； (2)求{a n }的通项公式．19．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，且过点A (0，1)，(1)求椭圆的方程；(2)过点A 作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于点M ，N (M ，N 不与点A 重合) ．直线MN 是否过定点？若过定点，则求出定点坐标；若不过定点，则请说明理由． 20．已知函数f (x )= ln xx．(1)当e ≤x ≤e 2时，求函数f (x )的最小值； (2)已知函数g (x )＝2x －ax (x －1)ln x，且f (x )g (x )≤0恒成立，求实数a 的值； (3)某同学发现：存在正实数m 、n (m ＜n )，使m n =n m ，试问：他的发现是否正确?若不正确，则请说明理由；若正确，则请直接写出m 的取值范围，而不需要解答过程．高二数学(文科)参考答案和评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．四 2．19 3．75 4．325 5．16 6．2 7．0.3 8．139．510．I≤10或I<11或I≤11或I<12或I<10.5，等 11．[1，7] 12．3213．①③ 14．1008 2二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(1)1－i ；……………………………………………………………………………………6分(2) z 2＝－2＋i ，…………………………………………………………………………10分 ｜z 1｜＝2，｜z 2｜＝22，……………………………………………………………………………12分 ｜z 1｜＜｜z 2｜．…………………………………………………………………………14分 16．(1)100－(16＋24＋20＋10)＝30或100×0.3=30，………………………………………3分1－(0.24＋0.3＋0.20＋0.10)＝0.16或16÷100=0.16；…………………………………6分 (没有任何过程，最多得4分)(2)660 ＝0.1，………………………………………………………………………………8分 30×0.1＝3，所以第三组参加考核的人数是3；………………………………………10分 类似地，第四组，第五组参加考核的人数分别是2，1．……………………………14分 17．(1)设事件A 为“这2只球颜色不同”； -----……………………-----------------1分基本事件共6个：(白,红)，(白,黄1)，(白,黄2)，(红,黄1)，(红,黄2)，(黄1, 黄2)， 事件A 包含5个基本事件(白,红)，(白,黄1)，(白,黄2)，(红,黄1)，(红,黄2)，----4分 因为每个基本事件发生的可能性都相同， ----------------------5分 所以，事件A 发生的概率P (A )＝56． ----------------------7分(2)设事件B 为“方程x 2－2bx ＋c 2＝0无实根”； ------------------……………---8分 当Δ＝4b 2－4c 2＝4(b 2－c 2)＜0，即b ＜c 时，方程x 2－2bx ＋c 2＝0无实根．基本事件共12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示b 的取值，第二个数表示c 的取值．--…………--4分事件B 包含3个基本事件(0,1)，(0,2)，(1,2)，--…………………………………---11分 因为每个基本事件发生的可能性都相同， ----------------------12分所以事件B 发生的概率P (A )＝312＝14． ----------------------14分(第(1)小题，有一点过程且结果正确，得7分；第(2)小题，至少交待清楚三个数据12，3和14的由来才能得7分)18．(1)由a n ＋1a n ＝2·a n －1得a n ＋1＝2－1a n，…………………………………………………2分代入a 1＝3，n 依次取值2,3,4，得1a 2－1＝32，1a 3－1＝52，1a 4－1＝72，………………………………………………………6分 (2)猜想：{1a n －1}是等差数列．证明：由a n ＋1·a n ＝2·a n －1变形，得 (a n ＋1－1)·(a n －1)＝－(a n ＋1－1)＋(a n －1)， 即1a n ＋1－1－1a n －1＝1在n ∈N *时恒成立， 所以{1a n －1}是等差数列．………………………………………………………………12分 由1a 1－1＝12，所以1a n －1＝12＋n －1， 变形得a n －1＝22n －1，…………………………………………………………………14分所以a n ＝2n ＋12n －1为数列{a n }的一个通项公式．…………………………………………16分19．(1) x 23＋y ²＝1；……………………………………………………………………………4分(2)解法一因为M ，N 不与点B 重合，所以直线AM 的斜率存在，且不为零．………………5分 设AM 的斜率为k ，则AN 的斜率为－直线AM 方程：y =kx +1，7分9分12分15分16分解法二设直线MN 方程为y =kx + m ， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 可得m =－12．20．(1) f (x )定义域为(0，+∞)，f ′ (x )＝1－ln xx2． 令f ' (x )＝1－ln xx2＝0，则x =e ． 列表如下：当e ≤x ≤e 2时，函数f (x )单调减，所以，函数f (x )的最小值为f (e 2) =2e －2．…4分 (2)f (x ) g (x )≤0恒成立，即2ln x －ax ＋a ≤0在x >0时恒成立． 令h (x ) = f (x ) g (x )，则h ′(x )＝2－axx，x >0.若a ≤0，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 若a >0，当x ∈(0，2a)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(2a，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减. ………………………………………6分所以，若a ≤0，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝0，故f (x )≤0不恒成立. ……………………………………………………………………………………………8分若a >2，则当x ∈(2a，1)时，f (x )单调递减，f (x )>f (1)＝0，不合题意，………………10分若0<a <2，则当x ∈(1，2a)时，f (x )单调递增，f (x )>f (1)＝0，不合题意，……………12分若a ＝2，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (1)＝0符合题意. 故a ＝2．…………………………………………………………………………………14分 (3)正确，m 的取值范围是1＜m ＜e ．…………………………………………16分 理由如下，研究函数图像，f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，+∞)上单调递减． 又∵当x →+∞时，f (x )→0．∴总存在正实数m ，n 且1＜m ＜e ＜n ，使得f (m )=f (n )，即ln mm=ln nn，即m n =n m ． 【…、￥。
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2019年南京市统考高二数学试卷分析
一、试卷基本结构
科目数学
题量22
总分150
本次试卷结构偏向于全国卷新高考，单选题1-10题，多选题11、12题；13-16题填空题，17-22题为解答题；
二、试卷知识考点&模块分析
1.每题考点分析
题号分值考点分析所属知识模块
14直线的位置关系解析几何
24向量共线定理空间向量
34双曲线的渐近线方程圆锥曲线
44线性回归方程线性回归方程
54圆的表面积几何体的表面积64空间向量线性表示空间向量线性运算74直线与圆位置关系直线与圆位置关系84三角恒等变换三角恒等变换
94抛物线弦长问题圆锥曲线
104圆锥曲线圆锥曲线
114立体几何线面关系立体几何证明
124点的轨迹方程圆锥曲线
135双曲线、抛物线方程圆锥曲线
145椭圆的离心率圆锥曲线
155概率概率与统计
165立体几何立体几何
1712解三角形三角函数
1812频率分布、概率概率与统计
1914立体几何证明立体几何
2014空间向量、二面角空间向量角的计算2114圆锥曲线圆锥曲线
2216点的轨迹方程、圆锥曲线圆锥曲线
2.知识模块分析&分值占比
知识模块2019年考试题号分值占比
三角函数8、1710.67%平面、空间向量2、6、2014.6%
概率与统计4、15、1814%
立体几何11、16、1915.3%
圆锥曲线3、9、10、12、13、14、21、2237.3%
三、试卷综合分析
整张试卷考查的知识点侧重于解析几何、立体几何；试卷结构偏向于全国卷，11-12题第一次出现多选题，学生在后面学习过程中需要更加注意对应题型的练习；整张试卷的难度中等偏上，计算量较大，对于学生的计算能力需要在平时加强练习，试卷中出现的题型与去年试卷结构出现很大差异，这也是符合新高考、新课标的要求；本次市统考期中卷在于改革，但考察的知识点都是平常我们经常
讲解的、练习的题型，对于成绩不理想的学生需要反思，以及调整后续学习的重难点时间的分配！。