第二章Part1

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2.3.1 三角形式的傅立叶级数
使用幅度和相位的表达形式：
令:
a n cos nω0t + bn sin nω0t = cn cos ( nω0t + Φ n ) ; c0 = a0 , Φ 0 = 0
∞
则有: f ( t ) = ∑ cn cos ( nω0t + φn )
i =1
周期信号展开为许多不同幅度、频率和相位的正弦信号之和, 这些信号称作 f ( t ) 的谐波.
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当官的学问在哪里？ 当官的学问在哪里？
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2.2.1
周期信号
定义:若 f ( t ) = f ( t + T ) 对于任何t值成立,其中T为任一常数,则称 f ( t ) 为 周期信号,T为其周期. 性质: (1) 若T是 f ( t ) 的周期,则nT也是 f ( t ) 的周期.其中n为任意整数.即:
则 f ( t ) 可表示为: f ( t ) =
1 Fn = T
n =−∞
∑
T 2
∞
Fn e jnω0t
( −∞ < t < ∞ )
其中:
∫
T 2
f ( t )e jnω0t dt
−
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2.3.2 指数形式的傅立叶级数
Fn = 1 T
T 2
∫
T 2
f ( t )e jnω0t dt
−
一般情况下, Fn , F− n 是复数, 若 f ( t ) 是实函数,则 Fn 和 F− n 是一对共轭复数,即: Fn = F− n* 此时有: Fn = F− N =
n
∞
jnω0t
( −∞ < t < ∞ )
ω0 =
2π T
其中: 则:
1 Fn = T
T 2
∫ F ( t )e
T 2
− jnω0t
dt
−
T 2 ∞ 1 1 F ( t ) = ∑ ∫ F ( t )e − jnω0t dt e jnω0t = 2π n =−∞ T T −2
2
1 若 f ( t ) 的平均功率 lim T1
∫
T1 2 T − 1 2
f 2 ( t ) dt > 0 ,但<∞,则称 f ( t ) 为功率信号.
不难看出周期信号是功率信号.非周期不限时信号也可能是功率信号, 例如,随机噪声的样函数(实现)等.
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如何化繁为简？ 如何化繁为简？ 力的分解 直流分量与交流分量 脉冲信号分解 阶跃信号分解
∞
1 f (t ) = 2π
−∞
∫
F (ω )e jωt d ω 称作 f ( t ) 的傅立叶反变换.
两式称为 f ( t ) 的傅立叶变换对, 表示为:
f ( t ) ⇔ F (ω )
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2.5 傅立叶变换性质
课本附录A 课本附录A
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28
29
2.6
单位冲击函数及其傅立叶变换
通常单位冲击函数以 δ ( t ) 表示,其定义如下:
∞ jωt − jωt ∫ −∞ f ( t ) e dt e dω ∫ −∞
∞
令: 则:
F (ω ) =
∞
−∞
∫
f ( t )e − jωt dt
∞
1 f (t ) = 2π
−∞
∫
F (ω )e jωt d ω
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2.4 信号的傅立叶变换
F (ω ) =
∞ −∞
∫
f ( t )e − jωt dt 称 为 f ( t ) 的 傅 立 叶 变 换 , 又 称 作 频 谱 密 度 .
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2.1 确定信号
确定信号是指可以用确定的时间函数表 示的信号 。 VS 实际载荷信息的信号经常是一个随机 过程，这种信号称作随机信号。随机信 过程，这种信号称作随机信号。 号具有统计规律，用统计的方法描述。 号具有统计规律，用统计的方法描述。
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2.1 确定信号
4
2.2 确定信号的分类
周期信号和非周期信号 能量信号与功率信号 模拟信号与数字信号 基带信号与频带信号
筛选出某一个时刻的函数值
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2.6
单位冲击函数及其傅立叶变换
( 3) δ ( t ) 的傅立叶变换： δ ( t ) ⇔ 1
根据傅立叶变换的定义： F δ ( t − t0 ) = ∫ δ ( t − t0 )dt = e − jωt
−∞ ∞
0
即: 由此有: δ ( t ) ⇔ 1 ,即:
δ ( t ) = lim
k
k →∞
1
−π t 2
τ2
π
Sa ( kt )
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Sa=sint/t sinc=sin(πt)t
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2.6
单位冲击函数及其傅立叶变换
单位冲激函数的主要性质:
0, t < 0 t 1 δ ( t )dt = u ( t ) = , t = 0 ∫ −∞ 2 1, t > 0
∞, t = 0 δ (t ) = 0, t ≠ 0
且:
∫ ε δ ( t )dt = 1 ,对任意 ε > 0
−
ε
对于任意函数 Φ ( t ) ,有:
Φ ( t0 ) , 若a < t0 < b, 且Φ ( t ) 在t = t0连续 Φ ( t ) δ ( t − t0 )dt = ∫ Φ ( t ) δ ( t0 − t )dt = ∫a a 0, 若t0 ∉ ( a, b )
(1)
u ( t ) 称为单位阶跃函数.此式可得:
du ( t ) = δ (t ) dt
( 2 ) 若 Φ ( t ) 在 t = t0 点连续,则:
∞
−∞
∫ Φ ( t )δ ( t − t ) dt = ∫ Φ ( t )δ ( t
0 −∞
∞
0
− t ) dt = Φ ( t0 )
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单位冲击信号的抽样特性
1 2π
∞
δ ( t − t0 ) ↔ e− jωt
e jωt dω = δ ( t ) ∫
0
−∞
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2.6
( 4)
单位冲击函数及其傅立叶变换
e jωt0 ⇔ 2πδ (ω − ω0 ) e − jωt0 ⇔ 2πδ (ω + ω0 )
其证明如下:
1 F 2πδ (ω − ω0 ) = 2π
−1 ∞
−∞
∫
2πδ (ω − ω0 )e jωt d ω = e jω0t
1 F 2πδ (ω + ω0 ) = 2π
−1
∞
−∞
∫
2πδ (ω + ω0 )e jωt d ω = e − jω0t
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2.6
单位冲击函数及其傅立叶变换
( 5) 若 Φ ( t ) 在 t = t0 存在n阶导数,则:
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能量信号与功率信号 2.2.2 能量信号与功率信号
若 f ( t ) 表示在一欧姆电阻上的电压 (V ) ,则电流 i ( t ) = f ( t )( A) ,在电阻上消 耗的能量为:
Ef =
∞ −∞
∫
f 2 (t)dt
若 E f < ∞ ,则称 f ( t ) 为能量信号.一般限时信号的能量有限,为能量信号. 非限时信号也有能量有限的,例如: e− t , e−t 等,因而是能量信号. 周期信号的能量无限大,因此不是能量信号.
n= n =1
∫ f ( t )dt
c 0
c +T
∫ f ( t ) cos nω tdt
c
2 bn = T
c +T
∫ f ( t ) sin nω tdt
0 c
其中:c为常数,其值可任选.
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2.3.1 三角形式的傅立叶级数
通常选c= − ,则有
a0 = 1 T
T 2
T 2
∫ f ( t )dt
因此, cn 和 Φ n 与ω的关系是离散的, 称作离散频谱(也称线频谱).
谱线间隔为 ω0 =
2π T , T 愈大, ω0 愈小,即谱线愈密. 15 T
幅度频谱
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相位频谱
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2.3.2 指数形式的傅立叶级数
欧拉公式： cos x =
1 ix −ix (e + e ) 2 cn jφn jnω0t cn − jφn − jnω0t 据此有: c0 cos ( nω0t + φn ) = e e + e e 2 2 cn jφn cn − jφn 令: Fn = e , F− n = e ,且: φ− n = −φn , 2 2
∞ −∞
Φ ( t )δ ( n ) ( t − t0 ) dt = ( −1) Φ ( n ) ( t0 ) ∫
n
由此式可得:
∞
−∞
Φ ( t )δ 1 ( t − t0 ) dt = −Φ1 ( t0 ) ∫
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2.7 功率信号的傅立叶变换
按照经典数学函数的定义,功率信号的傅立叶变换 是不存在的,但如果扩大函数定义范围,引入广义 函数 δ ( t ) ，则可以求得功率信号的傅立叶变换。
b b
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2.6
单位冲击函数及其傅立叶变换
δ ( t ) 函数可以看作是某种函数的极限,例如:
1 h ,t < 2 h δh (t ) = 0, t > 1 h
不难验证: 又如:
lim δ h ( t ) = δ ( t )
h →∞
δ ( t ) = lim e τ →0 τ