2013数三完整版本题目+答案
2013考研数三真题及解析
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x →时，用()o x 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A ）23()()x o x o x ⋅= （B ）23()()()o x o x o x ⋅= （C ）222()()()o x o x o x += （D ）22()()()o x o x o x +=（2）函数||1()(1)ln ||x x f x x x x -=+的可去间断点的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（3）设k D 是圆域22{(,)|1}D x y x y =+≤位于第k 象限的部分，记()kk D I y x dxdy =-⎰⎰()1,2,3,4k =，则（ ） （A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I >（4）设{}n a 为正项数列，下列选项正确的是（ ） （A ）若111,(1)n n n n n a a a ∞-+=>-∑则收敛（B ）11(1)n n n a ∞-=-∑若收敛，则1n n a a +>精选（C ）1nn a∞=∑若收敛，则存在常数1P >,使lim Pn n n a →∞存在（D ）若存在常数1P >，使lim Pn n n a →∞存在，则1nn a∞=∑收敛（5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（6）矩阵1a 1a b a 1a 1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=（7）设123X X X ，，是随机变量，且22123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ，X 0,2），X ,{22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则（ ）（A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >>（8）设随机变量X 和Y 相互独立，则X 和Y 的概率分布分别为，则{2}P X Y +== ( )（A ）112 （B ）18（C ）16（D ）12二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设曲线)(x f y =和x x y -=2在点)1,0(处有公共的切线，则=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim n n nf n ________。
2013年考研(数学三)真题试卷(题后含答案及解析)
2013年考研（数学三）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．当x→0时，用“o(x)”表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是A．x.o(x2)=o(x3)B．o(x2).o(x)=o(x3)C．o(x2)+o(x2)=o(x2)D．o(x)+o(x2)=o(x2)正确答案：D解析：2．函数的可去间断点的个数为A．0B．1C．2D．3正确答案：B解析：3．设Dk是圆域D={(x,y)｜x2+y2≤1}在地k象限的部分，记Ik=（k=1,2,3,4）,则A．I1＞0B．I2＞0C．I3＞0D．I4＞0正确答案：B解析：故选B。
4．设{an}为正项数列，下列选项正确的是A．若an＞an+1,则（-1）n-1an收敛B．若（-1）n-1an收敛，则an＞an+1C．若an收敛，则存在常数p＞1，使得npan存在D．若存在常数p＞1，使npan存在，则an收敛正确答案：D解析：5．设A，B，C均为n阶矩阵，若AB=C，且曰可逆，则A．矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B．矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C．矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D．矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价正确答案：B解析：矩阵C的列向量组γ1，γ2，…，γn可由矩阵A的列向量组α1，α2，…，αn线性表出．又矩阵曰可逆，从而A=CB-1那么矩阵A的列向量组也可由矩阵C的列向量组线性表出．由向量组等价的定义可知，应选(B)．或者，可逆矩阵可表示成若干个初等矩阵的乘积，于是A经过有限次初等列变换化为C，而初等列变换保持矩阵列向量组的等价关系．故选(B)．6．矩阵相似的充分必要条件为A．a=0，b=2B．a=0，b为任意常数C．a=2，b=0D．a=2，b为任意常数正确答案：B解析：7．设X1,X2,X3是随机变量，且X1—N(0,1),X2—N(0,22)，X3—N(5,32),Pi=P｜-2≤Xi≤2｜(i=1,2,3),则A．P1＞P2＞P3B．P2＞P1＞P3C．P3＞P1＞P2D．P1＞P3＞P2正确答案：A解析：8．设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率分布分别为P{X+Y=2}= A．1/12B．1/8C．1/6D．1/2正确答案：C解析：填空题9．设曲线y=f(x)与y=x2-x在点(1，0)处有公共切线，则=_________.正确答案：-2解析：10．设函数z=z(x，y)由方程(z+y)x=xy确定，则=_______.正确答案：2-2ln2解析：把点（1,2）代入方程(z+y)x=xy得z（1,2）=0在(z+y)x=xy 两边同时对x求偏导数，得11．=_______.正确答案：ln2解析：12．微分方程y”-y’+ 1/4 y=0的通解为y=______.正确答案：e1/2(c1+c2x)解析：二阶齐次方程的特征方程为λ2-λ+1/4=0,解得λ1=λ2=1/2所以y=e1/2(c1+c2x)13．设A=(aij)是3阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则｜A｜=__________．正确答案：-1解析：14．设随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，则E(Xe2x)=_______．正确答案：2e2解析：解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2013年考研数三真题与答案解析(完整版)
2013 年考研数三真题及答案解析一、选择题1 —8 小题．每小题4 分，共 32 分．、１．当 x0 时，用 o(x) 表示比 x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）（ A ） x o ( x 2 ) o(x 3 )（ B ） o( x) o(x 2 ) o( x 3 )（ C ） o( x 2 ) o( x 2 )o( x 2 )（ D ） o(x) o( x 2 ) o( x 2 )【详解】由高阶无穷小的定义可知（ A ）（ B ）（ C ）都是正确的，对于（ D ）可找出反例，例如当 x 0时 f (x)x 2x 3 o( x), g( x)x 3o(x 2 ) ，但 f (x)g(x)o( x) 而不是o( x 2 ) 故应该选（ D ）．xx2．函数 f ( x)1的可去间断点的个数为（）x( x1) ln x（A ）0（ B ）1（ C ）2（D ）3【详解】当 x ln xx1e xln x1 ~ x ln x ，0 时， xxx ln xlim f ( x) limx1lim 1 ，所以 x 0是函数 f ( x) 的可去间断点．x 0x 0x( x 1) ln xx 0x ln xxx ln xlim f ( x) limx1lim 1，所以 x1 是函数 f ( x) 的可去间断点．x 1x 1x( x 1) ln xx 02 x ln x2xxxln xlim f ( x)lim1lim，所以所以 x1不是函数 f (x) 的(x 1) ln xx1x1x(x 1) ln xx 1可去间断点．故应该选（ C ）．３．设 D k 是圆域 D( x, y) | x 2y 2 1 的第 k 象限的部分， 记 I k( y x)dxdy ，则D k（）（ A ） I 1B I 2 0C 3 0D I 4 0（ ）（ ） I（ ）【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知k 2121I k( yx)dxdy( k 1) d(sincos )rdrD k321kcos |k 2sin132所以 I 1I 30,I 22 , I 4 2 ，应该选（ B ）．3 3４．设 a n 为正项数列，则下列选择项正确的是（）（A ）若 a na n 1 ，则( 1) n 1 a n 收敛；n 1k2 (sinsin ) dk 1 2（B ）若( 1)n 1 a n 收敛，则 a n a n 1 ；n 1（C ）若a n 收敛．则存在常数 P 1，使 lim n p a n 存在；n 1n（D ）若存在常数 P 1，使 lim n p a n 存在，则a n 收敛．nn 1【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（ D ）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（ A ）（ B ）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（ A ），但少一条件 lim a n0 ，显然错误． 而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，n选项（ B ）也不正确，反例自己去构造．５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为 n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（ A ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价． （ B ）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价． （ C ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价．（ D ）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价．【详解】 把矩阵 A ，C 列分块如下： A 1, 2,, n , C 1 , 2 , , n ，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知i b i1 1 b i 2 2b in n (i 1,2, , n) ，得到矩阵 C 的列向量组可用矩阵 A 的列向量组线性表示．同时由于B 可逆，即 A CB 1 ，同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示，所以矩阵C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．应该选（B ）．1 a 12 06．矩阵 a b a与矩阵0 b 0 相似的充分必要条件是1 a 10 0（ ） a0,b2（ ） a 0， b 为任意常数AB（ C ） a 2,b 0（D ） a 2 ， b 为任意常数2 01 a 12 0 0 【详解】注意矩阵 0 b0 是对角矩阵，所以矩阵 A= a ba 与矩阵0 b 0 相 0 01 a 10 0似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．1a 1 E Aa b a ( 2(b 2)2b 2a 2 )1a1从而可知 2b 2a 2 2b ，即 a 0 ， b 为任意常数，故选择（ B ）．7 ． 设 X 1,X 2,X 3是随机变量，且X 1~ N (0,1), X 2 ~ N(0,22), X 3 ~ N(5,32) ，P iP 2 X i2 ，则（A ） P 1 P 2 P 3（B ） P 2 P 1 P 3（C ） P 3P 2 P 1（D ） P 1P 3P 2【详解】若 X ~ N(, 2)，则 X~ N(0,1)P 1 2 (2) 1， P 2P2X 22PX 2 12 (1) 1，12P 3 P2X 32 P2 5 X3 52 5 7 7333( 1)1)33，P 3P 217 3 (1) 0．3(1)23故选择（ A ）．8．设随机变量 X 和 Y 相互独立，且X 和 Y 的概率分布分别为X0 1 2P1/21/41/8Y -1 0 P1/31/3则PXY2 （）（A ）1（B ）1（C ）1（D ） 128 63P 1/8 1 1/312【详解】PXY2PX1,Y1PX2,Y0PX1111 3,Y12424612，故选择（ C）．二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4分，满分 24分 .把答案填在题中横线上）9．设曲线y f (x) 和 y x 2x 在点1,0处有切线，则lim nf n．n n2【详解】由条件可知 f 10, f ' (1)1．所以f12 n n f (1)lim nf lim2 2 f '(1)2n22n 2n nn22n10．设函数z z x, y 是由方程z y x xy 确定，则z|(1,2 )．x【详解】设 F x, y, z F x x, y, z( z y) x l z y)当 x 1, y 2 时，z0 ，所以11．ln x2 d x．(1x)1(z y x xy，则)y, F z (x,ny, z) x(z y) x 1，(z|(1, 2 )2 2 ln 2 ．x【详解】1ln x2 dx1ln xd1ln x |111dx ln x|1 ln 2 (1 x) 1 x1x x(1 x)x112．微分方程y y 1 y0 的通解为．411【详解】方程的特征方程为r0，两个特征根分别为412，所以方程通2x解为 y (C1 C 2 x) e2，其中 C1 ,C2为任意常数．13．设A aij是三阶非零矩阵， A 为其行列式，A ij为元素 a ij的代数余子式，且满足Aij aij0(i , j1,2,3) ，则A=．【详解】由条件 Aijaij0(i, j 1,2,3) 可知 AA* T 0 ，其中 A * 为 A 的伴随矩阵，从而可知A* A *T3 1A ，所以 A 可能为1或 0．An,r (A)n但由结论 r ( A * )1, r ( A) n 1 可知， A A * T 0 可知 r ( A)r ( A*) , 伴随矩阵的秩只0, r ( A) n1能为 3，所以 A 1.14．设随机变量 X 服从标准正分布 X ~ N ( 0,1) ，则 E Xe 2X．【详解】E Xe 2 X1 x 2x(x 2)2e 2(x 2) 2xe2xe 2dxe2dx( x 22)e 2dx222 2e 2t 2t 2te 2 dt 2e 2 dte 2 E( X ) 2e 2 2e 2 ．2所以为 2e 2 ．三、解答题15．（本题满分 10 分）当 x0时，1 cosx cos2x cos3x 与 ax n 是等价无穷小，求常数a, n ．【分析】主要是考查 x 0 时常见函数的马克劳林展开式．【详 解 】当 x 0时，122 )，c x o 1 s xo( x1(2x) 22cos2 x1 o(x2 ) 1 2 x 2 o(x 2 )，2cos3x11(3x)2o( x 2 ) 1 9 x 2 o( x 2 ) ，2 2所以1 cosx cos2xcos3x1 (1 1 x2 o( x 2 ))(12x 2 o(x 2 ))(1 9 x 2o( x 2 )) 7x 2o( x 2 )22，由于 1cosx cos2 x cos3x 与 ax n 是等价无穷小，所以 a7, n 2 ．16．（本题满分10 分）设 D 是由曲线 y3x ，直线 x a (a 0) 及 x 轴所转成的平面图形，V x ,V y 分别是 D 绕 x轴和 y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若10V x V y ，求 a 的值．【详解】由微元法可知a252 dxa3a 3V xy x 3 dx；5aa 47x 3dx6a 3V y2 xf ( x) dx 2；0 7由条件 10V x V y ，知 a 7 7 ．17．（本题满分 10 分）设平面区域 D 是由曲线 x3 y, y3x, x y 8 所围成，求x 2 dxdy ．D【详解】x 2dxdyx 2dxdyx 2dxdy2x 2dx x dyx 2dx x dy416 ．3 x6 8 xDD 1D 20 32 3318．（本题满分 10 分）设生产某产品的固定成本为6000 元，可变成本为20 元 / 件，价格函数为 P60Q,（P1000是单价，单位：元， Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（ 1）该的边际利润． （ 2）当 P=50 时的边际利润，并解释其经济意义．（ 3）使得利润最大的定价 P ．【详解】（1）设利润为Q 2 y ，则 y PQ (6000 20Q ) 40Q6000 ，1000边际利润为 y'40Q .500（ 2）当 P=50 时， Q=10000，边际利润为 20．经济意义为：当 P=50 时，销量每增加一个，利润增加20．（3）令 y'0，得Q20000 , P20000 40.601000019．（本题满分 10 分）设函数 f x 在 [0,) 上可导， f0 0 ，且 lim f (x)2 ，证明x（1）存在 a 0 ，使得 f a1;（2）对（ 1）中的 a，存在(0, a) ，使得 f ' ( 1 ．)a【详解】证明（ 1）由于lim()2，所以存在X0，当 x X 时，有3，f x5x22又由于 f x在 [0,) 上连续，且 f 00 ，由介值定理，存在a0 ，使得 f a 1;（2）函数f x 在 [0,a] 上可导，由拉格朗日中值定理，存在(0, a) ，使得 f ' ()f (a) f (0)1．a a20．（本题满分 11 分）1a, B 01，问当 a, b 为何值时，存在矩阵C，使得AC CA B ，并求出设 A01b1所有矩阵 C．【详解】显然由 AC CA B 可知，如果C存在，则必须是x1x22 阶的方阵．设C，x3x4则 AC CA B 变形为x2ax3ax1x2ax40 1，x1x3x4x2ax3 1 bx2ax30即得到线性方程组ax1x2ax41，要使 C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方x1x3x41x2ax3b程组的增广矩阵进行初等行变换如下01a0010111a10a101a00 A |b011100001，1a01a0b0000b所以，当 a1, b0 时，线性方程组有解，即存在矩阵C，使得AC CA B ．10111此时， A | b011000000，00000x1111所以方程组的通解为x x20C11C2，也就是满足 AC CA B 的矩阵x3010x4001C为C1C1C2C1，其中 C1 , C2为任意常数．C1C221．（本题满分 11 分）设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2(a1 x1 a2 x2 a3 x3 ) 2(b1 x1 b2 x2 b3 x3 )2．记a1b1a2,b2．a3b3（1）证明二次型 f 对应的矩阵为 2T T ；（2）若,正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2 y12y22．【详解】证明：（1）f ( x1, x2 , x3 ) 2(a1 x1 a2 x2a3 x3 ) 2(b1 x1b2 x2b3 x3 ) 2a1x1b12 x1, x2 , x3 a2a1 ,a2 , a3 x2x1 , x2 , x3 b2 b1, b2 ,b3a3x3b3x1x1x1, x2 , x3 2T x2x1, x2 , x3T x2x3x3x1x1, x2 , x3 2T T x2x3所以二次型 f 对应的矩阵为2T T ．证明（ 2）设A2T T ，由于1, T0则 A2T T22T2，所以为矩阵对应特征值向量；A2T T2T2，所以为矩阵对应特征值量；x1x2x31 2 的特征21的特征向而矩阵 A 的秩r ( A) r ( 2T T )r (2T ) r (T) 2，所以30 也是矩阵的一个特征值．故 f 在正交变换下的标准形为 2 y12y22．22．（本题满分11 分）设 X,Y是二维随机变量， X 的边缘概率密度为f X( x)3x2 ,0x 1，在给定0,其他X x(0x1) 的条件下，Y的条件概率密度为f Y( y / x)3y 2,0y x,x 3．X0,其他（1）求X ,Y的联合概率密度 f x, y ；（2） Y 的的边缘概率密度f Y ( y) ．【详解】（ 1）X , Y的联合概率密度 f x, y：f x, y f Y ( y / x) f X ( x)9 y 2,0 x1,0y x xX0,其他（2） Y 的的边缘概率密度f Y ( y) ：f Y ( y) f (x, y)dx 1 9 y29 y2ln y,0 y 1dxy x0,其他23．（本题满分11 分）2设总体X 的概率密度为 f (x; )x 3e x , x 00,，其中为为未知参数且大于零，其他X1X 2,X n为来自总体 X 的简单随机样本．（1）求的矩估计量；（2）求的极大似然估计量．【详解】（ 1）先求出总体的数学期望E（ X）2E(X)xf (x)dx2e x dx，x令 E(X)1nX X i，得的矩估计量n n 1（2）当x i0(i1,2, n) 时，似然函数为1 nX i．Xn i1n22nn 1xx iL ( )3 ei3ei 1n，i1x ix ii 1取对数， ln L() 2nlnn1 3nln x i ，x ii 1i 1令 d ln L( )0 ，得2nn10 ，di 1 xi解得 的极大似然估计量为 ．。
2013数学三解析
2013年数学（三）真题解析一、选择题（1） 【答案】（D ）.【解】 由 lim * °^2）= lim=0,得（A ）正确；HfOX "° X,O （J7 ） • O （J7 2 ） .. O （H ） O （g2） c A 由 lim ----------:--------= lim -------- •———=0,得（E ）正确；h —o x H —o x x 由 lim O2）二。
2）=lim 匹孚 + lim 匕^=0,得（C ）正确；x-*0 X工~0XH —0X2 I 3取 J ： 2 —o （JC ） 9 X 3 =O {x 2 ），因为 lim ----2 =1工0,所以。
（工）+o （工2 ） =0 （工2 ）不对 9工-*0 X 事实上 O （2）+ O （J ：2 ） = O （J7）,应选（D ）・（2） 【答案】（C ）.【解】 显然一1,0,1为 2）的所有间断点.（一"一1 严小一1 r Jn （—工）_ r 1由塑工（工+l ）ln （r ）= J^iHCz+l ）ln （—工）—’四心（工+1）111（—工）一工巴y +1一 ，得工=—1是无穷间断点，不是可去间断点.. x 1 — 1 e jlnj — 1由凹+ l)ln 工=凹工(工+ l)ln 工lim-L 1 X x\n jc(•z + l)ln 3C，得工=1为可去间断点.jc In jc =!忙(工+1山工T ， x In (— x ) _乂 Cz+l)ln (— H ) x-^o~ z (攵 + l)ln( oc ) x -»o - 2 (z + l)ln( jc )而f(0)无定义，故工=0,2 = 1为可去间断点，应选(C).(3)【答案】(B).由lim •r f ()+X X — 1 ].-- ----―――-----= lim X (j? + l)ln re zfo+(一"一1limx-^Olim x-*0x (a ： + l)ln h严F 一 1I9得 lim/Cz) = 1.X —0严 ]【解】 由对称性得1| =0, 13 =0.12 = jj Ly +(— z )]dcr>0 (因为 jy + (— 2)>0),°2i 4 ~JJLy +(一2)]册<0 (因为夕 + (— x ) vo),应选(B ).°4(4)【答案】(D).【解】 方法一令lim/a ” = lim 牛=A $ 0.当 A = 0 时，取 £0 =1，存在 N 〉0,当 zz 〉N 时，| -y — 0 | < 1，从而 0 W a ” <C —,因为s 1收敛，所以由比较审敛法的基本形式得工s 收敛;” =1 九 n = 18 OO = OO当A>0时，由比较审敛法的极限形式得级数与敛散性相同，因为工*收n = 1 n = 1 九 n = l 兀敛，所以收敛，应选(D).n = 1I -I 00方法二 取a ” =-------，显然a ” > a 卄1 ,因为lima ” =1 # 0,所以工(一1)"一。
2013全国考研数三真题及解析.doc
12013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x →时，用()o x 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A ）23()()x o x o x ⋅= （B ）23()()()o x o x o x ⋅= （C ）222()()()o x o x o x += （D ）22()()()o x o x o x +=（2）函数||1()(1)ln ||x x f x x x x -=+的可去间断点的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（3）设k D 是圆域22{(,)|1}D x y x y =+≤位于第k 象限的部分，记()kk D I y x dxdy =-⎰⎰()1,2,3,4k =，则（ ） （A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I >（4）设{}n a 为正项数列，下列选项正确的是（ ） （A ）若111,(1)n n n n n a a a ∞-+=>-∑则收敛（B ）11(1)n n n a ∞-=-∑若收敛，则1n n a a +>2（C ）1nn a∞=∑若收敛，则存在常数1P >,使lim Pn n n a →∞存在（D ）若存在常数1P >，使lim Pn n n a →∞存在，则1nn a∞=∑收敛（5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（6）矩阵1a 1a b a 1a 1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=（7）设123X X X ，，是随机变量，且22123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ，X 0,2），X ,{22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则（ ）（A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >>（8）设随机变量X 和Y 相互独立，则X 和Y 的概率分布分别为，则{2}P X Y +== ( )3（A ）112 （B ）18（C ）16（D ）12二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设曲线)(x f y =和x x y -=2在点)1,0(处有公共的切线，则=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim n n nf n ________。
2013考研数学三真题及答案解析
解析： lim | x |x 1 lim
e x ln| x|
lim x ln | x | 1.
x1 x(x 1) ln | x | x0 x(x 1) ln | x | x0 x(x 1) ln | x |
lim f(x)= lim x ln | x | 1
x1
x1 x(x 1) ln | x | 2
Dk
则（ ）
（A） I1 0 （B） I2 0 （C） I3 0 （D） I4 0 答案：（B）
解析：
Ik＝ （y x)dxdy
Dk
k /2 d
(k 1) /2
1
(r
sin
r
cos )rdr
1
k /2
(sin cos )d
0
3 (k 1) /2
1
3
k /2 (sin
(k 1) /2
边际利润 L(P) 2000P 80000
（2）当 P=50 时的边际利润为 L(50) 2000 50 80000 2000 ，其经济意义为在 P=50 时，价格 每提高 1 元，总利润减少 2000 元。
（3）由于
L(P)
2000P
80000
0, 0,
P P
40 40
，
L(P)
（7）设 X1，X2，X3 是随机变量，且 X1~N(0,1)，X2 ~N(0,22），X3 ~ N (5, 32 ) , Pj P{2 X j 2}( j 1, 2,3), 则（ ） （A） P1 P2 P3 （B） P2 P1 P3 （C） P3 P1 P2 （D） P1 P3 P2 答案：（A）
（C） 若 n 1
an
收敛，则存在常数
2013年考研数三真题及答案解析(完整版)
倚窗远眺，眼光眼光尽处必有一座山，那隐隐约约的黛绿色的影，是春季的颜色。
周遭流岚升腾，没露出那真切的面貌。
面对那流转的薄雾，我会想象，那里有一个世外桃源。
在天阶夜色凉如水的夏夜，我会静静地，静静地，等候一场流星雨的到临许下一个梦想，不恳求去实现，起码，以前，有那么一刻，我那还未枯败的，青春的，诗意的心，在我最美的年光里，同星空做了一次灵魂的沟通秋天里，阳光其实不刺目，天空是一碧如洗的蓝，点缀着俊逸的流云。
有时，一片飞舞的落叶，会飘到我的窗前。
斑驳的印迹里，携刻着暮秋的颜色。
在一个落雪的晨，这纷繁扬扬的雪，飘落着一如千年前的洁白。
窗外，是未被污染的银白色世界。
我会去迎接，此人间的圣洁。
在这流转的光阴里，有着流转的四时，还有一颗流转的心，亘古不变的心。
2013 年考研数三真题及答案分析一、选择题 1 —8 小题．每题 4 分，共 32 分．、１．当 x 0 时，用 o(x) 表示比x高阶的无量小，则以下式子中错误的选项是（）（ A）( 2 ) ( 3 ) 2 3（ B）o( x)o(x ) o(x )x o x o x（ C）( 2) ( 2 ) ( 2 )（ D） 2 2o x o x o x o(x) o( x ) o( x )【详解】由高阶无量小的定义可知（A）（ B）（ C）都是正确的，关于（D）可找出反例，例如当 x 0 时f (x)x2x3( ), ( )x3( 2 ) ，但f (x) g( x) o( x)而不是o x g x o xo( x2 ) 故应当选（D）．x x2．函数 f ( x)1 的可去中断点的个数为（）x( x 1) ln x（A ）0（ B ）1 （ C ）2（D ）3【详解】当 x ln x0 时， x x 1e xln x1 ~ x ln x ，xx ln xlim f ( x) limx1lim 1 ，因此 x0是函数 f ( x) 的可去中断点．x 0x 0x( x 1) ln xx 0x ln xxx ln xlim f ( x) limx1lim 1，因此 x 1是函数 f ( x) 的可去中断点．x 1x 1x( x 1) ln xx 02xln x2xxxln xlim f ( x)1lim，因此因此 x1不是函数 f (x) 的lim(x 1) ln xx1x1x( x 1) ln xx1可去中断点．故应当选（ C ）．３．设 D k 是圆域 D( x, y) | x 2 y 21 的第 k 象限的部分， 记 I k( y x) dxdy ，则D k（ ）（ A ） I 1B I 2 0（ C ） I 3 0D I 4（ ）（ ）【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知k11k222I k( y x) dxdyd(sincosdrsin ) d( k 1))r 3 k 1 (sinD k221 kcos|k 2sin132因此 I 1 I 30,I 22 , I 4 2 ，应当选（ B ）．3 3４．设 a n 为正项数列，则以下选择项正确的选项是（）（A ）若 a na n 1 ，则( 1) n 1 a n 收敛；n 1（B ）若( 1) n 1 a n 收敛，则 a n a n 1 ；n 1（C ）若a n 收敛．则存在常数 P 1，使 lim n p a n 存在；n 1n（D ）若存在常数 P 1，使 lim n p a n 存在，则a n 收敛．nn 1【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（ D ）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（ A ）（ B ）选项想考察的交织级数收敛的莱布尼兹条件，关于选项（ A ），但少一 条件 lim a n0 ，明显错误． 而莱布尼兹条件不过交织级数收敛的充足条件，不是必需条件，n选项（ B ）也不正确，反例自己去结构． ５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（ A ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价． （ B ）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价． （ C ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价．（ D ）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价．【详解】 把矩阵 A ，C 列分块以下： A 1, 2,, n , C 1 , 2 , , n ，因为ＡＢ＝Ｃ，则可知i b i1 1 b i 2 2b in n (i 1,2, , n) ，获得矩阵 C 的列向量组可用矩阵 A 的列向量组线性表示．同时因为B 可逆，即 A CB 1 ，同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示，因此矩阵C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．应当选（B ）．1 a 12 0 06．矩阵 a b a 与矩阵0 b 0 相像的充足必需条件是 1 a 10 0（ A ） a 0,b 2（B ） a 0 ， b 为随意常数（ C ） a2,b 0 （D ） a2 ， b 为随意常数2 00 1 a 12 0 0 【详解】注意矩阵 0 b0 是对角矩阵，因此矩阵A= a b a 与矩阵0 b 0 相0 0 01 a 10 0似的充足必需条件是两个矩阵的特点值对应相等．1a 1E Aaba( 2 (b 2) 2b 2a 2 )1a1进而可知 2b 2a 2 2b ，即 a 0 ， b 为随意常数，应选择（ B ）．7 ． 设 X 1,X 2,X 3是随机变量，且 X 1~N(0,1),X 2~ N(0,22), X 3 ~ N(5,32) ，P i P 2 X i 2 ，则（A）P1 P2 P3 （B）P2 P1 P3 （C）P3 P2 P1 （D）P1 P3 P2【详解】若 X ~ N( , 2)，则X~ N (0,1)P1 2 (2) 1，P2 P 2 X 2 2 P 1 X 21 2 (1) 1，2P3 P2X3 2 P 2 5 X 3 5 2 5( 1)7 71) 3 3 3 3 3，P3 P2 1 73 (1) 2 3 (1) 0 ．3应选择（ A）．8．设随机变量 X 和 Y 互相独立，且X 和 Y 的概率散布分别为X 0 1 2 3PP 1/2 1/4 1/8 1/8Y -1 0 1P 1/3 1/3 1/3则 P X Y 2 （）（A）1（B）1（C）1（D）1 12 8 6 2【详解】P X Y 2 P X 1,Y 1 P X 2, Y 0 P X 3,Y1 1 1 1 124 24 6，应选择（ C）．12二、填空题（此题共 6 小题，每题 4 分，满分 24 分 . 把答案填在题中横线上）9．设曲线y f (x) 和y x2 x 在点1,0处有切线，则lim nf n ．n n 2【详解】由条件可知 f 1 0, f ' (1)1．因此f 12nnf (1)lim nflim22 f ' (1)2n22n 2nnn 22n10．设函数 zz x, y 是由方程 zyxxy 确立，则z|(1,2 ) ．x【详解】设F x y zz y x xy，则, , ()F x x, y, z ( z y) x l zy) y, F z ( x,ny, z) x(z y) x 1 ，(当 x 1, y 2 时， z0 ，因此z|(1,2 ) 2 2 ln 2 ．x11．ln x2 d x．(1 x)1【详解】1ln x 2 dx 1ln xd 1 ln x |1 11 dx ln x |1 ln 2(1 x)1 x1x x(1 x) x 112．微分方程 yy 1 0 的通解为．y4【详解】方程的特点方程为rx10 ，两个特点根分别为1412，因此方程通2解为 y(C 1 C 2 x)e 2 ，此中 C 1 ,C 2 为随意常数．13．设 Aaij是三阶非零矩阵，A 为其队列式， A ij 为元素 a ij 的代数余子式，且知足A ij aij0(i , j 1,2,3) ，则 A =．【详解】由条件 A aij0(i, j 1,2,3) 可知 A A * T 0 ，此中 A* 为 A 的陪伴矩阵，从ij而可知A *A *T31A ，因此 A 可能为 1或 0．An, r ( A) n但由结论 r ( A * )1, r ( A) n 1可知， A A * T 0 可知 r ( A) r ( A*) , 陪伴矩阵的秩只0,r ( A) n 1能为 3，因此A 1.14．设随机变量 X 听从标准正散布X ~ N (0,1) ，则 E Xe 2 X．【详解】E Xe 2 Xxe 2 x 1x2x(x 2)2e 2(x 2)2e 2dxe2( x 22)e 2 dx2dx222e 2 t2t2te 2 dt 2e 2 dte 2 E( X ) 2e 22e 2 ．2因此为 2e 2 ．三、解答题15．（此题满分 10 分）当 x0时，1cos x cos 2xcos3x 与 ax n 是等价无量小，求常数 a, n ．【剖析】主假如考察 x 0 经常有函数的马克劳林睁开式．【详解】当 x0时，12o(x 2)，c x o 1 s x12cos2 x 1 (2x)2 o( x 2 ) 1 2x 2 o(x 2 )，2cos3x 11(3x) 2 o( x 2 ) 1 9 x 2 o( x 2 ) ，22所以1 cos x cos 2xcos3x1 (1 1 x 2o( x 2 ))(1 2x 2o(x 2 ))(1 9 x 2 o(x 2 )) 7x2o(x 2 )22，因为 1 cos x cos2 x cos3x 与 ax n是等价无量小，因此 a 7,n 2．16．（此题满分 10 分）设 D 是由曲线 y3a ( a0) 及 x 轴所转成的平面图形， V x ,V y 分别是 D 绕x x ，直线 x轴和 y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若 10V x V y ，求 a 的值．【详解】由微元法可知aa 252 dxx 3 dx3a 3V xy0 ；0 5a47 V y 2a6a 3xf ( x)dx 2x 3 dx；0 0 7由条件 10V x V y ，知 a7 7 ．17．（此题满分 10 分）设平面地区 D 是由曲线 x3 y, y 3x, xy 8 所围成，求x 2dxdy ．D【详解】x2dxdyx 2dxdy23 x62dx 8 x416x 2 dxdyx 2 dx x dyxx dy．3233DD 1D 218．（此题满分 10 分）设生产某产品的固定成本为6000 元，可变为本为 20 元 / 件，价钱函数为 PQ , 60（ P1000是单价，单位：元， Q 是销量，单位：件），已知产销均衡，求：（ 1）该的边沿收益．（ 2）当 P=50 时的边沿收益，并解说其经济意义．（ 3）使得收益最大的订价 P ． 【详解】Q 2 （1）设收益为 y ，则 y PQ (6000 20Q ) 40Q 6000 ，1000边沿收益为 y' 40Q .500（ 2）当 P=50 时， Q=10000，边沿收益为 20．经济意义为：当 P=50 时，销量每增添一个，收益增添20．（3）令 y'0，得 Q20000 , P 6020000 40.1000019．（此题满分 10 分）设函数 f x 在 [0,) 上可导， f 0 0 ，且 lim f ( x) 2 ，证明x（1）存在 a0 ，使得 f a 1;（2）对（ 1）中的 a ，存在(0, a) ，使得 f ' (1 ．)a【详解】证明（ 1）因为 lim f ( x) 2 ，因此存在 X0 ，当 xX 时，有3f (x)5 ，x2 2又因为 f x 在 [0,) 上连续，且 f 0 0 ，由介值定理，存在 a 0 ，使得 f a 1;（2）函数 f x 在 [0,a] 上可导，由拉格朗日中值定理， 存在(0, a) ，使得 f (a) f (0)1f ' ( )．aa20．（此题满分 11 分）设 A1 a 0 1 C ，使得 AC CAB ，并求出1 0, B，问当 a, b 为什么值时，存在矩阵1 b全部矩阵 C ．【详解】明显由 ACCA B 可知，假如 C 存在，则一定是x 1 x 2 2 阶的方阵．设 C ，x 3 x 4则AC CAB 变形为x 2 ax 3ax 1 x 2 ax 40 1x 4x 2 ax 3，x 1 x 31 bx 2 ax 3 0ax 1 x 2 ax 41即获得线性方程组x 4，要使 C 存在，此线性方程组一定有解，于是对方x 1 x 3 1x 2 ax 3b程组的增广矩阵进行初等行变换以下0 1 a 0 0 1 0 1 1 1a 1 0 a 1 0 1 a 0 0A |b0 1 1 1 0 0 0 0 1 ，1 a 01a0 b0 0b因此，当 a1,b 0 时，线性方程组有解，即存在矩阵 C ，使得 ACCA B ．1 0 1 1 1 此时， A | b0 1 1 0 0 0 0 0 0 ，0 0 0x 1 1 11因此方程组的通解为 xx 2 0 C 11 C 20 ，也就是知足 AC CA B 的矩阵x 3 0 1 0x 41C 为1 C 1 C 2C 1 C 1 ,C 2 为随意常数．CC 1，此中C 221．（此题满分 11 分）设二次型f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 2( a 1 x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 ) 2 (b 1 x 1 b 2 x 2 b 3 x 3 )2 ． 记a 1b 1 a 2 ,b 2 ． a 3b 3（1）证明二次型 f 对应的矩阵为 2 TT ；（2）若 ,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为2 y 12y 22 ．【详解】证明：（ 1）f ( x 1, x 2 , x 3 ) 2(a 1x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 ) 2 (b 1x 1 b 2 x 2 b 3 x 3 ) 2a 1 x 1b 1 x 12 x 1 , x 2 , x3 a 2 a 1 ,a 2 , a 3 x 2 x 1 , x 2 , x 3 b 2 b 1 , b 2 ,b 3 x 2a 3x 3b 3x 3x 1x 1 x 1, x 2 , x 3 2Tx 2 x 1 , x 2 , x 3T x 2x 3x 3x 1x 1, x 2 , x 3 2 TTx 2x 3因此二次型 f 对应的矩阵为 2TT．证明（ 2）设 A 2TT，因为1, T则 A 2 TT2 2T2 ，因此 为矩阵对应特点值2 的特点1向量；A2TT2 T2，因此为矩阵对应特点值21 的特点向量；而矩阵 A 的秩( )(2 TT)(2T) (T) 2，因此也是矩阵的r A rrr3一个特点值．故 f 在正交变换下的标准形为 2 y12 y22．22．（此题满分11 分）设 X,Y 是二维随机变量， X 的边缘概率密度为f X( x) 3x2 ,0 x 1，在给定0, 其余X x(0 x 1) 的条件下，Y的条件概率密度为f Y ( y / x) 3y 2 ,0 y x, x3 ．X0, 其余（1）求X ,Y 的结合概率密度 f x, y ；（2） Y 的的边沿概率密度f Y (y) ．【详解】（ 1）X , Y的结合概率密度 f x, y ：9 y 2,0 x 1,0 y xf x, y f Y ( y / x) f X ( x) xX0, 其余（2） Y 的的边沿概率密度f Y ( y) ：1 9 y2 9 y 2 ln y,0 y 1f Y ( y) f (x, y)dx dxy x0, 其余23．（此题满分11 分）2设整体 X 的概率密度为 f (x; ) x3 e x , x 0，此中为为未知参数且大于零，0, 其余X1X2, X n为来自整体X的简单随机样本．（1）求的矩预计量；（2）求的极大似然预计量．【详解】（ 1）先求出整体的数学希望E（ X）2E(X) xf (x) dx0 x 2e x dx ，令 E(X)1nXX i ，得的矩预计量n n 1（2）当 x i0(i1,2, n) 时，似然函数为n2L ( )i 1x i 3exi1 nXX i ．n i 12 nn1x i3ei 1，nx ii 1n 1 n取对数， ln L( ) 2n lnx i3 ln x i ，i 1i 1令 d ln L ( )0 ，得2nd解得 的极大似然预计量为 n10 ，i 1 xi．。
(完整word版)考研数学三真题精选及答案解析
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试卷一、选择题：1~8小题,每小题4分，共32分,下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）档0→x 时,用)(x o 表示比x 的高阶无穷小,则下列式子中错误的是（ ）A 、)()(32x o x o x =⋅B 、)()()(32x o x o x o =⋅C 、)()()(222x o x o x o =+D 、)()()(22x o x o x o =+（2）设函数xx x x x f xln )1(1)(+-=的可去间断点个数为（ )A 。
0 B.1 C 。
2 D.3（3）设k D 是圆域{}1),(22≤+=y x y x D 位于第K 象限的部分，记),4,3,2,1()(=-=⎰⎰k dxdy x y I KD k 则（ )A 。
01>IB 。
02>I C.03>I D. 04>I（4）设{}n a 为正项数列，下列选项正确的是( )A.若1+>n n a a ,则n n n a ∑∞=--11)1(收敛 B.若n n n a ∑∞=--11)1(收敛,则1+>n n a aC.若∑∞=1n n a 收敛,则存在常数1>P ,使n p n a n ∞→lim 存在D.若存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在，则∑∞=1n n a 收敛（5）设矩阵A 。
B 。
C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，则B 可逆，则( ）A.矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 B 。
矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 C.矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 D.矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价（6）若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 和⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件为（ ） A.2,0==b a B.b a ,0=为任意数C 。
2013年考研数三真题及答案解析(完整版)
2013年考研数三真题及答案解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．、１．当0→x 时，用)(x o 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）（A ）)()(32x o x o x =⋅ （B ）)()()(32x o x o x o = （C ）)()()(222x o x o x o =+ （D ）)()()(22x o x o x o =+【详解】由高阶无穷小的定义可知（A ）（B ）（C ）都是正确的，对于（D ）可找出反例，例如当0→x 时)()(),()(2332x o x x g x o x x x f ===+=，但)()()(x o x g x f =+而不是)(2x o 故应该选（D ）．2．函数xx x x x f xln )1(1)(+-=的可去间断点的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】当0ln →x x 时，x x ex xx xln ~11ln -=-，1ln ln limln )1(1lim)(lim 0==+-=→→→x x x x x x x x x f x xx x ，所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点．21ln 2ln limln )1(1lim)(lim 011==+-=→→→xx xx xx x x x f x xx x ，所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点． ∞=+-=+-=-→-→-→xx x x xx x x x f x x x x ln )1(ln limln )1(1lim)(lim 111，所以所以1-=x 不是函数)(x f 的可去间断点．故应该选（C ）．３．设k D 是圆域{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记⎰⎰-=kD k dxdy x y I )(，则（ ）（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知 所以ππ32,32,04231-====I I I I ，应该选（B ）． ４．设{}n a 为正项数列，则下列选择项正确的是（ ）（A ）若1+>n n a a ，则∑∞=--11)1(n n n a 收敛；（B ）若∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则1+>n n a a ；（C ）若∑∞=1n na收敛．则存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在；（D ）若存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在，则∑∞=1n na收敛．【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D ）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（A ）（B ）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A ），但少一条件0lim =∞→n n a ，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，选项（B ）也不正确，反例自己去构造．５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价． （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价． （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价． （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价．【详解】把矩阵A ，C 列分块如下：()()n n C A γγγααα,,,,,,,2121 ==，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知),,2,1(2211n i b b b n in i i i =+++=αααγ，得到矩阵C 的列向量组可用矩阵A 的列向量组线性表示．同时由于B 可逆，即1-=CB A ，同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示，所以矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价．应该选（B ）．6．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是（A ）2,0==b a （B ）0=a ，b 为任意常数 （C ）0,2==b a （D ）2=a ，b 为任意常数【详解】注意矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 是对角矩阵，所以矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．从而可知b a b 2222=-，即0=a ，b 为任意常数，故选择（B ）．7．设321,,X X X 是随机变量，且)3,5(~),2,0(~),1,0(~23221N X N X N X ，{}22≤≤-=i i X P P ，则（A ）321P P P >> （B ）312P P P >> （C ）123P P P >> （D ）231P P P >> 【详解】若),(~2σμN X ，则)1,0(~N X σμ-1)2(21-Φ=P ，{}1)1(212122222-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤≤-=X P X P P ， {}())13737)1(3523535222333Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ--Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤--=≤≤-=X P X P P ，=-23P P 0)1(32)1(3371<Φ-<Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ+．故选择（A ）．8．设随机变量X 和Y 相互独立，且X 和Y 的概率分布分别为X 0 1 2 3P P 1/21/41/81/8 Y -1 0 1 P1/31/31/3则{}==+2Y X P （ ） （A ）121（B ）81 （C ）61 （D ）21【详解】{}{}{}{}612412411211,30,21,12=++=-==+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P ，故选择（C ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设曲线)(x f y =和x x y -=2在点()0,1处有切线，则=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim n n nf n ． 【详解】由条件可知()1)1(',01==f f ．所以10．设函数()y x z z ,=是由方程()xy y z x=+确定，则=∂∂)2,1(|xz． 【详解】 设()xyy z z y x F x -+=)(,,，则()1)(),,(,)l n ()(,,-+=-++=x z x x y z x z y x F y y z y z z y x F ，当2,1==y x 时，0=z ，所以2ln 22|)2,1(-=∂∂xz． 11．=+⎰∞+x d x x12)1(ln ．【详解】12．微分方程041=+'-''y y y 的通解为 ． 【详解】方程的特征方程为041=+-λλr，两个特征根分别为2121==λλ，所以方程通解为221)(xe x C C y +=，其中21,C C 为任意常数．13．设()ij a A =是三阶非零矩阵，A 为其行列式，ij A 为元素ij a 的代数余子式，且满足)3,2,1,(0==+j i a A ij ij ，则A = ．【详解】由条件)3,2,1,(0==+j i a A ij ij 可知0*=+TA A ，其中*A 为A 的伴随矩阵，从而可知A AA A T -===-13**，所以A 可能为1-或0．但由结论⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,)(*n A r n A r n A r n A r 可知，0*=+TA A 可知*)()(A r A r =,伴随矩阵的秩只能为3，所以.1-=A14．设随机变量X 服从标准正分布)1,0(~N X ，则()=XXeE 2 ． 【详解】22222222)(2222e e X E e dt e dt te e t t =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰∞+∞--∞+∞--π． 所以为22e ．三、解答题15．（本题满分10分）当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，求常数n a ,． 【分析】主要是考查0→x 时常见函数的马克劳林展开式． 【详解】当→x 时，)(211co s 22x o x x +-=，)(21)()2(2112cos 2222x o x x o x x +-=+-=，)(291)()3(2113cos 2222x o x x o x x +-=+-=，所以)(7))(291))((21))((211(13cos 2cos cos 122222222x o x x o x x o x x o x x x x +=+-+-+--=-，由于x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，所以2,7==n a ． 16．（本题满分10分） 设D 是由曲线3x y =，直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V =10，求a 的值． 【详解】由微元法可知πππ35320253a dx x dx y V a ax ===⎰⎰；πππ37340762)(2a dx x dx x xf V a ay ===⎰⎰；由条件y x V V =10，知77=a ． 17．（本题满分10分）设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成，求⎰⎰Ddxdy x 2． 【详解】341683622332222221=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-xx xx D D Ddy dx x dy dx x dxdy x dxdy x dxdy x ． 18．（本题满分10分）设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为,100060QP -=（P 是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该的边际利润．（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义． （3）使得利润最大的定价P ． 【详解】（1）设利润为y ，则6000100040)206000(2--=+-=Q Q Q PQ y ， 边际利润为.50040'Q y -= （2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20． （3）令0'=y ，得.40100002000060,20000=-==P Q19．（本题满分10分）设函数()x f 在),0[+∞上可导，()00=f ，且2)(lim =+∞→x f x ，证明（1）存在0>a ，使得();1=a f（2）对（1）中的a ，存在),0(a ∈ξ，使得af 1)('=ξ． 【详解】证明（1）由于2)(lim =+∞→x f x ，所以存在0>X ，当X x >时，有25)(23<<x f ， 又由于()x f 在),0[+∞上连续，且()00=f ，由介值定理，存在0>a ，使得();1=a f （2）函数()x f 在],0[a 上可导，由拉格朗日中值定理， 存在),0(a ∈ξ，使得aa f a f f 1)0()()('=-=ξ．20．（本题满分11分） 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b B a A 110,011，问当b a ,为何值时，存在矩阵C ，使得B CA AC =-，并求出所有矩阵C ．【详解】显然由B CA AC =-可知，如果C 存在，则必须是2阶的方阵．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321x xx x C ， 则B CA AC =-变形为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++-+-b ax x x x x ax x ax ax x 1103243142132，即得到线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=++-=+-bax x x x x ax x ax ax x 3243142132110，要使C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=b a a b a aa ab A 000010000001011101010111011010010|， 所以，当0,1=-=b a 时，线性方程组有解，即存在矩阵C ，使得B CA AC =-．此时，()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→00000000000011011101|b A ， 所以方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100101110001214321C C x x x x x ，也就是满足B CA AC =-的矩阵C 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=211211C C C C C C ，其中21,C C 为任意常数． 21．（本题满分11分） 设二次型23322112332211321)()(2),,(x b x b x b x a x a x a x x x f +++++=．记⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,b b b a a a βα．（1）证明二次型f 对应的矩阵为 TTββαα+2；（2）若βα,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为 22212y y +． 【详解】证明：（1）所以二次型f 对应的矩阵为 T Tββαα+2．证明（2）设=A TTββαα+2，由于0,1==αβαT则()ααββαααββααα2222=+=+=T TT A ，所以α为矩阵对应特征值21=λ的特征向量；()ββββααβββααβ=+=+=222T T T A ，所以β为矩阵对应特征值12=λ的特征向量；而矩阵A 的秩2)()2()2()(=+≤+=TTTTr r r A r ββααββαα，所以03=λ也是矩阵的一个特征值．故f 在正交变换下的标准形为 22212y y +． 22．（本题满分11分）设()Y X ,是二维随机变量，X 的边缘概率密度为⎩⎨⎧<<=其他,010,3)(2x x x f X ，在给定)10(<<=x x X 的条件下，Y 的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,0,0,3)/(32x y x y x y f XY ． （1）求()Y X ,的联合概率密度()y x f ,； （2）Y 的的边缘概率密度)(y f Y ．【详解】（1）()Y X ,的联合概率密度()y x f ,： （2）Y 的的边缘概率密度)(y f Y ： 23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,);(32x e x x f x θθθ，其中θ为为未知参数且大于零，n X X X ,21为来自总体X 的简单随机样本．（1）求θ的矩估计量； （2）求θ的极大似然估计量．【详解】（1）先求出总体的数学期望E （X ）θθθ===⎰⎰∞+-∞+∞-022)()(dx e xdx x xf X E x ，令∑===n n i X n X X E 11)(，得θ的矩估计量∑=∧==ni i X n X 11θ．（2）当),2,1(0n i x i =>时，似然函数为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==-∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∏∏n i i ix n i i nni xi e x e x L 11312132)(θθθθθ，取对数，∑∑==-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ni i n i i x xn L 11ln 31ln 2)(ln θθθ， 令0)(ln =θθd L d ，得0121=-∑=n i ix n θ，解得的极大似然估计量为．。
2013年考研数三真题及答案解析(完整版)
2013年考研数三真题及答案解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．、１．当0→x 时，用)(x o 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）（A ）)()(32x o x o x =⋅ （B ）)()()(32x o x o x o = （C ）)()()(222x o x o x o =+ （D ）)()()(22x o x o x o =+【详解】由高阶无穷小的定义可知（A ）（B ）（C ）都是正确的，对于（D ）可找出反例，例如当0→x 时)()(),()(2332x o x x g x o x x x f ===+=，但)()()(x o x g x f =+而不是)(2x o 故应该选（D ）．2．函数xx x x x f xln )1(1)(+-=的可去间断点的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】当0ln →x x 时，x x ex xx xln ~11ln -=-，1ln ln limln )1(1lim)(lim 0==+-=→→→x x x x x x x x x f x xx x ，所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点．21ln 2ln limln )1(1lim)(lim 011==+-=→→→xx xx xx x x x f x xx x ，所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点． ∞=+-=+-=-→-→-→xx x x xx x x x f x x x x ln )1(ln limln )1(1lim)(lim 111，所以所以1-=x 不是函数)(x f 的可去间断点．故应该选（C ）．３．设k D 是圆域{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记⎰⎰-=kD k dxdy x y I )(，则（ ）（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知()ππππππθθθθθθθθ22122110222)1(|cos sin 31)sin (sin 31)cos (sin )(k k kk k k D k d dr r d dxdy x y I k ---+-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰所以ππ32,32,04231-====I I I I ，应该选（B ）． ４．设{}n a 为正项数列，则下列选择项正确的是（ ） （A ）若1+>n n a a ，则∑∞=--11)1(n n n a 收敛；（B ）若∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则1+>n n a a ； （C ）若∑∞=1n na收敛．则存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在；（D ）若存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在，则∑∞=1n na收敛．【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D ）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（A ）（B ）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A ），但少一条件0lim =∞→n n a ，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，选项（B ）也不正确，反例自己去构造．５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价． （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价． （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价． （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价．【详解】把矩阵A ，C 列分块如下：()()n n C A γγγααα,,,,,,,2121 ==，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知),,2,1(2211n i b b b n in i i i =+++=αααγ，得到矩阵C 的列向量组可用矩阵A 的列向量组线性表示．同时由于B 可逆，即1-=CB A ，同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示，所以矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价．应该选（B ）．6．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是（A ）2,0==b a （B ）0=a ，b 为任意常数 （C ）0,2==b a （D ）2=a ，b 为任意常数【详解】注意矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 是对角矩阵，所以矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．)22)2((111122a b b aa baa A E -++--=---------=-λλλλλλλ从而可知b a b 2222=-，即0=a ，b 为任意常数，故选择（B ）．7．设321,,X X X 是随机变量，且)3,5(~),2,0(~),1,0(~23221N X N X N X ，{}22≤≤-=i i X P P ，则（A ）321P P P >> （B ）312P P P >> （C ）123P P P >> （D ）231P P P >> 【详解】若),(~2σμN X ，则)1,0(~N X σμ-1)2(21-Φ=P ，{}1)1(212122222-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤≤-=X P X P P ， {}())13737)1(3523535222333Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ--Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤--=≤≤-=X P X P P ，=-23P P 0)1(32)1(3371<Φ-<Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ+．故选择（A ）．8．设随机变量X 和Y 相互独立，且X 和Y 的概率分布分别为X 0 1 2 3P P1/21/41/81/8Y -1 0 1 P1/31/31/3则{}==+2Y X P （ ） （A ）121 （B ）81 （C ）61 （D ）21 【详解】{}{}{}{}612412411211,30,21,12=++=-==+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P ，故选择（C ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设曲线)(x f y =和x x y -=2在点()0,1处有切线，则=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim n n nf n ． 【详解】由条件可知()1)1(',01==f f ．所以2)1('22222)1(221lim 2lim -=-=-+⋅+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→f nn n f n f n n nf n n 10．设函数()y x z z ,=是由方程()xy y z x=+确定，则=∂∂)2,1(|xz． 【详解】 设()xyy z z y x F x -+=)(,,，则()1)(),,(,)l n ()(,,-+=-++=x z x x y z x z y x F y y z y z z y x F ，当2,1==y x 时，0=z ，所以2ln 22|)2,1(-=∂∂xz． 11．=+⎰∞+x d x x12)1(ln ．【详解】2ln |1ln )1(1|1ln 11ln )1(ln 111112=+=+++-=+-=+∞+∞+∞+∞+∞+⎰⎰⎰x x dx x x x x x xd x d x x 12．微分方程041=+'-''y y y 的通解为 ． 【详解】方程的特征方程为041=+-λλr，两个特征根分别为2121==λλ，所以方程通解为221)(xex C C y +=，其中21,C C 为任意常数．13．设()ij a A =是三阶非零矩阵，A 为其行列式，ij A 为元素ij a 的代数余子式，且满足)3,2,1,(0==+j i a A ij ij ，则A = ．【详解】由条件)3,2,1,(0==+j i a A ij ij 可知0*=+TA A ，其中*A 为A 的伴随矩阵，从而可知A AA A T -===-13**，所以A 可能为1-或0．但由结论⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,)(*n A r n A r n A r n A r 可知，0*=+TA A 可知*)()(A r A r =,伴随矩阵的秩只能为3，所以.1-=A14．设随机变量X 服从标准正分布)1,0(~N X ，则()=X Xe E 2 ． 【详解】()=X Xe E 2dx ex edx ex dx exe x x x x⎰⎰⎰∞+∞---∞+∞-+--∞+∞--+-==2)2(222)2(22222)22(2221πππ22222222)(2222e e X E e dt e dt te e t t =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰∞+∞--∞+∞--π． 所以为22e ．三、解答题15．（本题满分10分）当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，求常数n a ,．【分析】主要是考查0→x 时常见函数的马克劳林展开式． 【详解】当→x 时，)(211co s 22x o x x +-=，)(21)()2(2112cos 2222x o x x o x x +-=+-=，)(291)()3(2113cos 2222x o x x o x x +-=+-=，所以)(7))(291))((21))((211(13cos 2cos cos 122222222x o x x o x x o x x o x x x x +=+-+-+--=-，由于x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，所以2,7==n a ．16．（本题满分10分） 设D 是由曲线3x y =，直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V =10，求a 的值． 【详解】由微元法可知πππ35320253a dx x dx y V a a x ===⎰⎰；πππ37340762)(2a dx x dx x xf V a ay ===⎰⎰；由条件y x V V =10，知77=a ． 17．（本题满分10分）设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成，求⎰⎰Ddxdy x 2． 【详解】341683622332222221=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-xx xx D D Ddy dx x dy dx x dxdy x dxdy x dxdy x ． 18．（本题满分10分）设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为,100060QP -=（P 是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该的边际利润．（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义． （3）使得利润最大的定价P ． 【详解】（1）设利润为y ，则6000100040)206000(2--=+-=Q Q Q PQ y ， 边际利润为.50040'Q y -= （2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20． （3）令0'=y ，得.40100002000060,20000=-==P Q19．（本题满分10分）设函数()x f 在),0[+∞上可导，()00=f ，且2)(lim =+∞→x f x ，证明（1）存在0>a ，使得();1=a f（2）对（1）中的a ，存在),0(a ∈ξ，使得af 1)('=ξ． 【详解】证明（1）由于2)(lim =+∞→x f x ，所以存在0>X ，当X x >时，有25)(23<<x f ， 又由于()x f 在),0[+∞上连续，且()00=f ，由介值定理，存在0>a ，使得();1=a f （2）函数()x f 在],0[a 上可导，由拉格朗日中值定理， 存在),0(a ∈ξ，使得aa f a f f 1)0()()('=-=ξ．20．（本题满分11分） 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b B a A 110,011，问当b a ,为何值时，存在矩阵C ，使得B CA AC =-，并求出所有矩阵C ．【详解】显然由B CA AC =-可知，如果C 存在，则必须是2阶的方阵．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321x xx x C ， 则B CA AC =-变形为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-b ax x xx x ax x ax ax x 1103243142132， 即得到线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=++-=+-bax x x x x ax x ax ax x 3243142132110，要使C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=b a a b a aa ab A 000010000001011101010111011010010|， 所以，当0,1=-=b a 时，线性方程组有解，即存在矩阵C ，使得B CA AC =-．此时，()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→00000000000011011101|b A ， 所以方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100101110001214321C C x x x x x ，也就是满足B CA AC =-的矩阵C 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=211211C C C C C C ，其中21,C C 为任意常数．21．（本题满分11分） 设二次型23322112332211321)()(2),,(x b x b x b x a x a x a x x x f +++++=．记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,b b b a a a βα．（1）证明二次型f 对应的矩阵为 T T ββαα+2；（2）若βα,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为 22212y y +． 【详解】证明：（1）()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++++=321321321321321321321321321321321321321321233221123322113212,,,,2,,,,,,,,,,2)()(2),,(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x b b b b b b x x x x x x a a a a a a x x x x b x b x b x a x a x a x x x f TT TT ββααββαα所以二次型f 对应的矩阵为 T T ββαα+2．证明（2）设=A T T ββαα+2，由于0,1==αβαT 则()ααββαααββααα2222=+=+=T T TA ，所以α为矩阵对应特征值21=λ的特征向量；()ββββααβββααβ=+=+=222T T T A ，所以β为矩阵对应特征值12=λ的特征向量；而矩阵A 的秩2)()2()2()(=+≤+=T T T T r r r A r ββααββαα，所以03=λ也是矩阵的一个特征值．故f 在正交变换下的标准形为 22212y y +． 22．（本题满分11分）设()Y X ,是二维随机变量，X 的边缘概率密度为⎩⎨⎧<<=其他,010,3)(2x x x f X ，在给定)10(<<=x x X 的条件下，Y 的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,0,0,3)/(32x y x y x y f XY ． （1）求()Y X ,的联合概率密度()y x f ,； （2）Y 的的边缘概率密度)(y f Y ．【详解】（1）()Y X ,的联合概率密度()y x f ,：()⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=⋅=其他,00,10,9)()/(,2x y x xy x f x y f y x f X XY （2）Y 的的边缘概率密度)(y f Y ：⎪⎩⎪⎨⎧<<-===⎰⎰∞+∞-其他,010,ln 99),()(212y y y dx x y dx y x f y f yY 23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,);(32x e x x f x θθθ，其中θ为为未知参数且大于零，n X X X ,21为来自总体X 的简单随机样本．（1）求θ的矩估计量； （2）求θ的极大似然估计量．【详解】（1）先求出总体的数学期望E （X ）θθθ===⎰⎰∞+-∞+∞-022)()(dx e xdx x xf X E x ，令∑===n n i X n X X E 11)(，得θ的矩估计量∑=∧==ni i X n X 11θ．（2）当),2,1(0n i x i =>时，似然函数为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==-∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∏∏ni i ix n i i n ni x iex e x L 11312132)(θθθθθ， 取对数，∑∑==-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ni i n i i x xn L 11ln 31ln 2)(ln θθθ，令0)(ln =θθd L d ，得0121=-∑=n i ix n θ， 解得的极大似然估计量为．。
2013考研数三真题及解析
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x →时，用()o x 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A ）23()()x o x o x ⋅= （B ）23()()()o x o x o x ⋅= （C ）222()()()o x o x o x += （D ）22()()()o x o x o x +=（2）函数||1()(1)ln ||x x f x x x x -=+的可去间断点的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（3）设k D 是圆域22{(,)|1}D x y x y =+≤位于第k 象限的部分，记()kk D I y x dxdy =-⎰⎰()1,2,3,4k =，则（ ） （A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I >（4）设{}n a 为正项数列，下列选项正确的是（ ） （A ）若111,(1)n n n n n a a a ∞-+=>-∑则收敛（B ）11(1)n n n a ∞-=-∑若收敛，则1n n a a +>（C ）1nn a∞=∑若收敛，则存在常数1P >,使lim Pn n n a →∞存在（D ）若存在常数1P >，使lim Pn n n a →∞存在，则1nn a∞=∑收敛（5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（6）矩阵1a 1a b a 1a 1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=（7）设123X X X ，，是随机变量，且22123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ，X 0,2），X ,{22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则（ ）（A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >>（8）设随机变量X 和Y 相互独立，则X 和Y 的概率分布分别为，则{2}P X Y +== ( )（A ）112 （B ）18（C ）16（D ）12二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设曲线)(x f y =和x x y -=2在点)1,0(处有公共的切线，则=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim n n nf n ________。
2013考研数三真题及解析
数学(三)试题 第1页 (共14页)2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x →时,用()o x 表示比x 高阶的无穷小,则下列式子中错误的是（ ） （A ）23()()x o x o x ⋅= （B ）23()()()o x o x o x ⋅= （C ）222()()()o x o x o x += （D ）22()()()o x o x o x +=（2）函数||1()(1)ln ||x x f x x x x -=+的可去间断点的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（3）设k D 是圆域22{(,)|1}D x y x y =+≤位于第k 象限的部分,记()kk D I y x dxdy =-⎰⎰()1,2,3,4k =,则（ ） （A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I >（4）设{}n a 为正项数列,下列选项正确的是（ ） （A ）若111,(1)n n n n n a a a ∞-+=>-∑则收敛（B ）11(1)n n n a ∞-=-∑若收敛,则1n n a a +>（C ）1nn a∞=∑若收敛,则存在常数1P >,使lim Pn n n a →∞存在（D ）若存在常数1P >,使lim Pn n n a →∞存在,则1nn a∞=∑收敛（5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵,若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（6）矩阵1a 1a b a 1a 1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=（7）设123X X X ，，是随机变量,且22123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ，X 0,2），X ,{22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则（ ）（A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >>（8）设随机变量X 和Y 相互独立,则X 和Y 的概率分布分别为,则{2}P X Y +== ( )（A ）112 （B ）18（C ）16数学(三)试题 第3页 (共14页)（D ）12二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设曲线)(x f y =和x x y -=2在点)1,0(处有公共的切线,则=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim n n nf n ________。
2013年考研数三真题与答案解析(完整版)
2013 年考研数三真题及答案解析一、选择题1 —8 小题．每小题4 分，共 32 分．、１．当 x0 时，用 o(x) 表示比 x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）（ A ） x o ( x 2 ) o(x 3 )（ B ） o( x) o(x 2 ) o( x 3 )（ C ） o( x 2 ) o( x 2 )o( x 2 )（ D ） o(x) o( x 2 ) o( x 2 )【详解】由高阶无穷小的定义可知（ A ）（ B ）（ C ）都是正确的，对于（ D ）可找出反例，例如当 x 0时 f (x)x 2x 3 o( x), g( x)x 3o(x 2 ) ，但 f (x)g(x)o( x) 而不是o( x 2 ) 故应该选（ D ）．xx2．函数 f ( x)1的可去间断点的个数为（）x( x1) ln x（A ）0（ B ）1（ C ）2（D ）3【详解】当 x ln xx1e xln x1 ~ x ln x ，0 时， xxx ln xlim f ( x) limx1lim 1 ，所以 x 0是函数 f ( x) 的可去间断点．x 0x 0x( x 1) ln xx 0x ln xxx ln xlim f ( x) limx1lim 1，所以 x1 是函数 f ( x) 的可去间断点．x 1x 1x( x 1) ln xx 02 x ln x2xxxln xlim f ( x)lim1lim，所以所以 x1不是函数 f (x) 的(x 1) ln xx1x1x(x 1) ln xx 1可去间断点．故应该选（ C ）．３．设 D k 是圆域 D( x, y) | x 2y 2 1 的第 k 象限的部分， 记 I k( y x)dxdy ，则D k（）（ A ） I 1B I 2 0C 3 0D I 4 0（ ）（ ） I（ ）【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知k 2121I k( yx)dxdy( k 1) d(sincos )rdrD k321kcos |k 2sin132所以 I 1I 30,I 22 , I 4 2 ，应该选（ B ）．3 3４．设 a n 为正项数列，则下列选择项正确的是（）（A ）若 a na n 1 ，则( 1) n 1 a n 收敛；n 1k2 (sinsin ) dk 1 2（B ）若( 1)n 1 a n 收敛，则 a n a n 1 ；n 1（C ）若a n 收敛．则存在常数 P 1，使 lim n p a n 存在；n 1n（D ）若存在常数 P 1，使 lim n p a n 存在，则a n 收敛．nn 1【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（ D ）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（ A ）（ B ）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（ A ），但少一条件 lim a n0 ，显然错误． 而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，n选项（ B ）也不正确，反例自己去构造．５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为 n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（ A ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价． （ B ）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价． （ C ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价．（ D ）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价．【详解】 把矩阵 A ，C 列分块如下： A 1, 2,, n , C 1 , 2 , , n ，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知i b i1 1 b i 2 2b in n (i 1,2, , n) ，得到矩阵 C 的列向量组可用矩阵 A 的列向量组线性表示．同时由于B 可逆，即 A CB 1 ，同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示，所以矩阵C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．应该选（B ）．1 a 12 06．矩阵 a b a与矩阵0 b 0 相似的充分必要条件是1 a 10 0（ ） a0,b2（ ） a 0， b 为任意常数AB（ C ） a 2,b 0（D ） a 2 ， b 为任意常数2 01 a 12 0 0 【详解】注意矩阵 0 b0 是对角矩阵，所以矩阵 A= a ba 与矩阵0 b 0 相 0 01 a 10 0似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．1a 1 E Aa b a ( 2(b 2)2b 2a 2 )1a1从而可知 2b 2a 2 2b ，即 a 0 ， b 为任意常数，故选择（ B ）．7 ． 设 X 1,X 2,X 3是随机变量，且X 1~ N (0,1), X 2 ~ N(0,22), X 3 ~ N(5,32) ，P iP 2 X i2 ，则（A ） P 1 P 2 P 3（B ） P 2 P 1 P 3（C ） P 3P 2 P 1（D ） P 1P 3P 2【详解】若 X ~ N(, 2)，则 X~ N(0,1)P 1 2 (2) 1， P 2P2X 22PX 2 12 (1) 1，12P 3 P2X 32 P2 5 X3 52 5 7 7333( 1)1)33，P 3P 217 3 (1) 0．3(1)23故选择（ A ）．8．设随机变量 X 和 Y 相互独立，且X 和 Y 的概率分布分别为X0 1 2P1/21/41/8Y -1 0 P1/31/3则PXY2 （）（A ）1（B ）1（C ）1（D ） 128 63P 1/8 1 1/312【详解】PXY2PX1,Y1PX2,Y0PX1111 3,Y12424612，故选择（ C）．二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4分，满分 24分 .把答案填在题中横线上）9．设曲线y f (x) 和 y x 2x 在点1,0处有切线，则lim nf n．n n2【详解】由条件可知 f 10, f ' (1)1．所以f12 n n f (1)lim nf lim2 2 f '(1)2n22n 2n nn22n10．设函数z z x, y 是由方程z y x xy 确定，则z|(1,2 )．x【详解】设 F x, y, z F x x, y, z( z y) x l z y)当 x 1, y 2 时，z0 ，所以11．ln x2 d x．(1x)1(z y x xy，则)y, F z (x,ny, z) x(z y) x 1，(z|(1, 2 )2 2 ln 2 ．x【详解】1ln x2 dx1ln xd1ln x |111dx ln x|1 ln 2 (1 x) 1 x1x x(1 x)x112．微分方程y y 1 y0 的通解为．411【详解】方程的特征方程为r0，两个特征根分别为412，所以方程通2x解为 y (C1 C 2 x) e2，其中 C1 ,C2为任意常数．13．设A aij是三阶非零矩阵， A 为其行列式，A ij为元素 a ij的代数余子式，且满足Aij aij0(i , j1,2,3) ，则A=．【详解】由条件 Aijaij0(i, j 1,2,3) 可知 AA* T 0 ，其中 A * 为 A 的伴随矩阵，从而可知A* A *T3 1A ，所以 A 可能为1或 0．An,r (A)n但由结论 r ( A * )1, r ( A) n 1 可知， A A * T 0 可知 r ( A)r ( A*) , 伴随矩阵的秩只0, r ( A) n1能为 3，所以 A 1.14．设随机变量 X 服从标准正分布 X ~ N ( 0,1) ，则 E Xe 2X．【详解】E Xe 2 X1 x 2x(x 2)2e 2(x 2) 2xe2xe 2dxe2dx( x 22)e 2dx222 2e 2t 2t 2te 2 dt 2e 2 dte 2 E( X ) 2e 2 2e 2 ．2所以为 2e 2 ．三、解答题15．（本题满分 10 分）当 x0时，1 cosx cos2x cos3x 与 ax n 是等价无穷小，求常数a, n ．【分析】主要是考查 x 0 时常见函数的马克劳林展开式．【详 解 】当 x 0时，122 )，c x o 1 s xo( x1(2x) 22cos2 x1 o(x2 ) 1 2 x 2 o(x 2 )，2cos3x11(3x)2o( x 2 ) 1 9 x 2 o( x 2 ) ，2 2所以1 cosx cos2xcos3x1 (1 1 x2 o( x 2 ))(12x 2 o(x 2 ))(1 9 x 2o( x 2 )) 7x 2o( x 2 )22，由于 1cosx cos2 x cos3x 与 ax n 是等价无穷小，所以 a7, n 2 ．16．（本题满分10 分）设 D 是由曲线 y3x ，直线 x a (a 0) 及 x 轴所转成的平面图形，V x ,V y 分别是 D 绕 x轴和 y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若10V x V y ，求 a 的值．【详解】由微元法可知a252 dxa3a 3V xy x 3 dx；5aa 47x 3dx6a 3V y2 xf ( x) dx 2；0 7由条件 10V x V y ，知 a 7 7 ．17．（本题满分 10 分）设平面区域 D 是由曲线 x3 y, y3x, x y 8 所围成，求x 2 dxdy ．D【详解】x 2dxdyx 2dxdyx 2dxdy2x 2dx x dyx 2dx x dy416 ．3 x6 8 xDD 1D 20 32 3318．（本题满分 10 分）设生产某产品的固定成本为6000 元，可变成本为20 元 / 件，价格函数为 P60Q,（P1000是单价，单位：元， Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（ 1）该的边际利润． （ 2）当 P=50 时的边际利润，并解释其经济意义．（ 3）使得利润最大的定价 P ．【详解】（1）设利润为Q 2 y ，则 y PQ (6000 20Q ) 40Q6000 ，1000边际利润为 y'40Q .500（ 2）当 P=50 时， Q=10000，边际利润为 20．经济意义为：当 P=50 时，销量每增加一个，利润增加20．（3）令 y'0，得Q20000 , P20000 40.601000019．（本题满分 10 分）设函数 f x 在 [0,) 上可导， f0 0 ，且 lim f (x)2 ，证明x（1）存在 a 0 ，使得 f a1;（2）对（ 1）中的 a，存在(0, a) ，使得 f ' ( 1 ．)a【详解】证明（ 1）由于lim()2，所以存在X0，当 x X 时，有3，f x5x f (x)22又由于 f x在 [0,) 上连续，且 f 00 ，由介值定理，存在a0 ，使得 f a 1;（2）函数f x 在 [0,a] 上可导，由拉格朗日中值定理，存在(0, a) ，使得 f ' ()f (a) f (0)1．a a20．（本题满分 11 分）1a, B 01，问当 a, b 为何值时，存在矩阵C，使得AC CA B ，并求出设 A01b1所有矩阵 C．【详解】显然由 AC CA B 可知，如果C存在，则必须是x1x22 阶的方阵．设C，x3x4则 AC CA B 变形为x2ax3ax1x2ax40 1，x1x3x4x2ax3 1 bx2ax30即得到线性方程组ax1x2ax41，要使 C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方x1x3x41x2ax3b程组的增广矩阵进行初等行变换如下01a0010111a10a101a00 A |b011100001，1a01a0b0000b所以，当 a1, b0 时，线性方程组有解，即存在矩阵C，使得AC CA B ．10111此时， A | b011000000，00000x1111所以方程组的通解为x x20C11C2，也就是满足 AC CA B 的矩阵x3010x4001C为C1C1C2C1，其中 C1 , C2为任意常数．C1C221．（本题满分 11 分）设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2(a1 x1 a2 x2 a3 x3 ) 2(b1 x1 b2 x2 b3 x3 )2．记a1b1a2,b2．a3b3（1）证明二次型 f 对应的矩阵为 2T T ；（2）若,正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2 y12y22．【详解】证明：（1）f ( x1, x2 , x3 ) 2(a1 x1 a2 x2a3 x3 ) 2(b1 x1b2 x2b3 x3 ) 2a1x1b12 x1, x2 , x3 a2a1 ,a2 , a3 x2x1 , x2 , x3 b2 b1, b2 ,b3a3x3b3x1x1x1, x2 , x3 2T x2x1, x2 , x3T x2x3x3x1x1, x2 , x3 2T T x2x3所以二次型 f 对应的矩阵为2T T ．证明（ 2）设A2T T ，由于1, T0则 A2T T22T2，所以为矩阵对应特征值向量；A2T T2T2，所以为矩阵对应特征值量；x1x2x31 2 的特征21的特征向而矩阵 A 的秩r ( A) r ( 2T T )r (2T ) r (T) 2，所以30 也是矩阵的一个特征值．故 f 在正交变换下的标准形为 2 y12y22．22．（本题满分11 分）设 X,Y是二维随机变量， X 的边缘概率密度为f X( x)3x2 ,0x 1，在给定0,其他X x(0x1) 的条件下，Y的条件概率密度为f Y( y / x)3y 2,0y x,x 3．X0,其他（1）求X ,Y的联合概率密度 f x, y ；（2） Y 的的边缘概率密度f Y ( y) ．【详解】（ 1）X , Y的联合概率密度 f x, y：f x, y f Y ( y / x) f X ( x)9 y 2,0 x1,0y x xX0,其他（2） Y 的的边缘概率密度f Y ( y) ：f Y ( y) f (x, y)dx 1 9 y29 y2ln y,0 y 1dxy x0,其他23．（本题满分11 分）2设总体X 的概率密度为 f (x; )x 3e x , x 00,，其中为为未知参数且大于零，其他X1X 2,X n为来自总体 X 的简单随机样本．（1）求的矩估计量；（2）求的极大似然估计量．【详解】（ 1）先求出总体的数学期望E（ X）2E(X)xf (x)dx2e x dx，x令 E(X)1nX X i，得的矩估计量n n 1（2）当x i0(i1,2, n) 时，似然函数为1 nX i．Xn i1n22nn 1xx iL ( )3 ei3ei 1n，i1x ix ii 1取对数， ln L() 2nlnn1 3nln x i ，x ii 1i 1令 d ln L( )0 ，得2nn10 ，di 1 xi解得 的极大似然估计量为 ．。