用MATLAB解方程的三个实例[1]

用MATLAB解方程的三个实例
1、对于多项式p(x)=x3-6x2-72x-27，求多项式p(x)=0的根，可用多项式求根函数roots（p），其中p为多项式系数向量，即
>>p =[1,-6,-72,-27]
p =
1.00 -6.00 -7
2.00 -27.00
p是多项式的MATLAB描述方法，我们可用poly2str(p,'x')函数，来显示多项式的形式:
>>px=poly2str(p,'x')
px =x^3 - 6 x^2 - 72 x - 27
多项式的根解法如下：
>> format rat %以有理数显示
>> r=roots(p)
r =
2170/179
-648/113
-769/1980
2、在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调用格式为：solve(s,v)：求解符号表达
式s的代数方程，求解变量为v。

例如，求方程（x+2）x=2的解,解法如下：
>> x=solve('(x+2)^x=2','x')
x =
.69829942170241042826920133106081
得到符号解，具有缺省精度。

如果需要指定精度的解，则：>> x=vpa(x,3)
x =
.698
3、使用fzero或fsolve函数，可以求解指定位置（如x0）的一个根，格式为：x=fzero(fun,x0)或x=fsolve(fun,x0)。

例如，求方程0.8x+atan(x)- =0在x0=2附近一个根，解法如下：
>> fu=@(x)0.8*x+atan(x)-pi;
>> x=fzero(fu,2)
x =
2.4482
或
>> x=fsolve('0.8*x+atan(x)-pi',2)
x =
2.4482
当然了，对于该方程也可以用第二种方法求解：>> x=solve('0.8*x+atan(x)-pi','x')
x =
2.4482183943587910343011460497668
对于第一个例子，也可以用第三种方法求解：>> F=@(x)x^3-6*x^2-72*x-27
F =
@(x)x^3-6*x^2-72*x-27
>> x=fzero(F,10)
x =
12.1229
对于第二个例子，也可以用第三种方法：
>> FUN=@(x)(x+2)^x-2
FUN =
@(x)(x+2)^x-2
>> x=fzero(FUN,1)
x =
0.6983
最近有多人问如何用matlab解方程组的问题，其实在matlab 中解方程组还是很方便的，例如，对于代数方程组Ax=b(A 为系数矩阵，非奇异)的求解，MATLAB中有两种方法：
(1)x=inv(A)*b —采用求逆运算解方程组；
(2)x=A\b —采用左除运算解方程组。

例:
x1+2x2=8
2x1+3x2=13
>>A=[1,2;2,3];b=[8;13];
>>x=inv(A)*b
x =
2.00
3.00
>>x=A\b
x =
2.00
3.00；
即二元一次方程组的解x1和x2分别是2和3。

对于同学问到的用matlab解多次的方程组，有符号解法，
方法是：先解出符号解,然后用vpa(F,n)求出n位有效数字的数值解.具体步骤如下：
第一步:定义变量syms x y z ...;
第二步:求解[x,y,z,...]=solve('eqn1','eqn2',...,'eqnN','var1','var2',...'varN'); 第三步:求出n位有效数字的数值解x=vpa(x,n);y=vpa(y,n);z=vpa(z,n);...。

如：解二（多）元二（高）次方程组：
x^2+3*y+1=0
y^2+4*x+1=0
解法如下：
>>syms x y;
>>[x,y]=solve('x^2+3*y+1=0','y^2+4*x+1=0');
>>x=vpa(x,4);
>>y=vpa(y,4);
结果是：
x =
1.635+3.029*i
1.635-3.029*i
-.283
-2.987
y =
1.834-3.301*i
1.834+3.301*i
-.3600
-3.307。

二元二次方程组，共4个实数根；
还有的同学问，如何用matlab解高次方程组（非符号方程组）？举个例子好吗？
解答如下：
基本方法是：solve(s1,s2,…,sn,v1,v2,…,vn)，即求表达式s1,s2,…,sn组成的方程组，求解变量分别v1,v2,…,vn。

具体例子如下：
x^2 + x*y + y = 3
x^2 - 4*x + 3 = 0
解法：
>> [x,y] = solve('x^2 + x*y + y = 3','x^2 - 4*x + 3 = 0')
运行结果为
x =
1 3
y =
1 -3/2
即x等于1和3；y等于1和-1.5
或
>>[x,y] = solve('x^2 + x*y + y = 3','x^2 - 4*x + 3= 0','x','y') x =
1 3
y =
1 -3/2
结果一样，二元二方程都是4个实根。

通过这三个例子可以看出，用matlab解各类方程组都是可以的，方法也有多种，只是用到解方程组的函数，注意正确书写参数就可以了，非常方便。

>> A=[2048,64;128,127];b=[0.5;0.5];
x=inv(A)*b
x =
0.0001
0.0038
>> A=[2048,32;64,63];b=[0.5;0.5]; x=inv(A)*b
x =
0.0001
0.0078
>> A=[2048,64;128,127];b=[0.5;1]; x=inv(A)*b
x =
-0.0000
0.0079
>> A=[2048,64;128,127];b=[0.5;1]; x=inv(A)*b
x =
-0.0000
0.0079
>> A=[2048,64;128,127];b=[0.5;1]; x=inv(A)*b
x =
-0.0000
0.0079
>> A=[2048,64;128,127];b=[1;1];
x=inv(A)*b
x =
0.0003
0.0076
>> A=[2048,128;256,255];b=[0.5;0.5]; x=inv(A)*b
x =
0.0001 0.0018。