《三角形三边之间的关系》课件[1]
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三角形三边关系ppt课件
高层建筑 高层建筑的结构设计中，经常采用三角形支撑结 构，利用三角形三边关系来增强建筑的稳定性和 抗风能力。
建筑设计软件 现代建筑设计软件中集成了三角形三边关系的计 算功能，帮助建筑师快速准确地完成设计。
地理测量中距离计算
三角测量法
01
在地理测量中，利用三角形三边关系和已知的两个角度或两条
边长，可以计算出未知的距离或角度。
04
与三角形三边关系相关的数学定理
勾股定理及其逆定理
01
02
03
勾股定理
在直角三角形中，直角边 的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边满足勾 股定理，则这个三角形是 直角三角形。
应用举例
通过勾股定理可以判断一 个三角形是否为直角三角 形，以及求解直角三角形 的未知边长。
余弦定理及其推论
特殊情况下的三边关系
等边三角形
三边长度相等，任意两边之和等 于两倍的第三边，任意两边之差
等于0。
等腰三角形
有两边长度相等，这两边之和大于 第三边，同时这两边之差等于0。
直角三角形
满足勾股定理，即直角边的平方和 等于斜边的平方。同时也满足任意 两边之和大于第三边和任意两边之 差小于第三边的条件。
03
三角形三边关系应用举例
判断三条线段能否构成三角形
定理应用：任意两边之和大于第三边，任 意两边之差小于第三边。
实例分析：如线段a=3cm, b=4cm, c=5cm，因为a+b>c, a+c>b, b+c>a， 所以能构成三角形。
2. 验证是否满足定理条件。
判断步骤 1. 测量或计算三条线段的长度。
余弦定理
在任意三角形中，任意一 边的平方等于其他两边平 方和减去这两边与它们夹 角的余弦的积的两倍。
建筑设计软件 现代建筑设计软件中集成了三角形三边关系的计 算功能，帮助建筑师快速准确地完成设计。
地理测量中距离计算
三角测量法
01
在地理测量中，利用三角形三边关系和已知的两个角度或两条
边长，可以计算出未知的距离或角度。
04
与三角形三边关系相关的数学定理
勾股定理及其逆定理
01
02
03
勾股定理
在直角三角形中，直角边 的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边满足勾 股定理，则这个三角形是 直角三角形。
应用举例
通过勾股定理可以判断一 个三角形是否为直角三角 形，以及求解直角三角形 的未知边长。
余弦定理及其推论
特殊情况下的三边关系
等边三角形
三边长度相等，任意两边之和等 于两倍的第三边，任意两边之差
等于0。
等腰三角形
有两边长度相等，这两边之和大于 第三边，同时这两边之差等于0。
直角三角形
满足勾股定理，即直角边的平方和 等于斜边的平方。同时也满足任意 两边之和大于第三边和任意两边之 差小于第三边的条件。
03
三角形三边关系应用举例
判断三条线段能否构成三角形
定理应用：任意两边之和大于第三边，任 意两边之差小于第三边。
实例分析：如线段a=3cm, b=4cm, c=5cm，因为a+b>c, a+c>b, b+c>a， 所以能构成三角形。
2. 验证是否满足定理条件。
判断步骤 1. 测量或计算三条线段的长度。
余弦定理
在任意三角形中，任意一 边的平方等于其他两边平 方和减去这两边与它们夹 角的余弦的积的两倍。
三角形初步认识-PPT课件
9
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
10
4、如图AD=BC，要判定
△ABC≌△CDA，还需要的条件是
.
ＡＢ＝ＣＤ或∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＡ
D C
A
B
11
四、线段中垂线与角平分线的性质 １、 线段垂直平分线的性质： 线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
l
C
几何表述：
AO
B
l l ∵ 是线段AB的中垂线，点C在 上
∴CA=CB
12
２、角平分线的性质:
角平分线上点到角两边距离相等.
几何表述：
C
∵点P是∠BAC的平分线上的
P
一点且PB⊥AB,PC ⊥AC,
∴PB=PC的理由.
A
B
13
５、如图，△ABC中,DE垂直平分ＡＣ，AE=３ cm, △ABC的周长是9cm,则△ABC的周长１是５cm
5、已知一个三角形的三条高的交点不在这个三角 形的内部，则这个三角形（ ）D A. 必定是钝角三角形 B. 必定是直角三角形 C. 必定是锐角三角形 D. 不可能是锐角三角形18来自 6、下列说法正确的是（ B）
Ａ、有一个外角是钝角的三角形必定是锐角三角形 Ｂ、三条线段a，b，c，若满足a>b>c，且a<b+c，则 这三条线段必能组成一个三角形 Ｃ、有两个角和一条边彼此相等的两个三角形全等 Ｄ、有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
4
二、三角形分类
三角形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三个角都是 锐角
有一个角是 直角
有一个角是 钝角
请问：一个三角形最多有几个钝角？几个直角？几个锐 角？
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
10
4、如图AD=BC，要判定
△ABC≌△CDA，还需要的条件是
.
ＡＢ＝ＣＤ或∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＡ
D C
A
B
11
四、线段中垂线与角平分线的性质 １、 线段垂直平分线的性质： 线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
l
C
几何表述：
AO
B
l l ∵ 是线段AB的中垂线，点C在 上
∴CA=CB
12
２、角平分线的性质:
角平分线上点到角两边距离相等.
几何表述：
C
∵点P是∠BAC的平分线上的
P
一点且PB⊥AB,PC ⊥AC,
∴PB=PC的理由.
A
B
13
５、如图，△ABC中,DE垂直平分ＡＣ，AE=３ cm, △ABC的周长是9cm,则△ABC的周长１是５cm
5、已知一个三角形的三条高的交点不在这个三角 形的内部，则这个三角形（ ）D A. 必定是钝角三角形 B. 必定是直角三角形 C. 必定是锐角三角形 D. 不可能是锐角三角形18来自 6、下列说法正确的是（ B）
Ａ、有一个外角是钝角的三角形必定是锐角三角形 Ｂ、三条线段a，b，c，若满足a>b>c，且a<b+c，则 这三条线段必能组成一个三角形 Ｃ、有两个角和一条边彼此相等的两个三角形全等 Ｄ、有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
4
二、三角形分类
三角形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三个角都是 锐角
有一个角是 直角
有一个角是 钝角
请问：一个三角形最多有几个钝角？几个直角？几个锐 角？
《三角形三边之间的关系》课件(2024)
根据三角形的边长和角度特征，三角形可分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形和钝角三角形等。
三角形的分类
4
2024/1/30
三角形的边
三角形内两条边所夹的角，分别记为∠A、∠B、∠C。
三角形的角
三角形的顶点
三角形三个内角的交点，分别记为A、B、C。
组成三角形的三条线段。
5
2024/1/30
验证测量的准确性
ห้องสมุดไป่ตู้20
2024/1/30
构造特定形状的三角形
在几何图形构造问题中，有时需要构造具有特定形状的三角形，如等边三角形、等腰三角形等。此时，可以利用三角形三边关系来确定所需边长，从而构造出满足条件的三角形。
判断三角形的形状
通过已知的三边长度，可以判断三角形的形状。例如，如果三边长度满足勾股定理，则三角形为直角三角形。
18
2024/1/30
05
CHAPTER
解决实际问题中的应用举例
19
2024/1/30
在实际测量中，有时由于条件限制，无法直接测量三角形的某一边。此时，可以通过测量其他两边，并利用三角形三边关系来间接求得第三边的长度。
无法直接测量的两边求第三边
在进行测量时，可以通过三角形三边关系来验证所测数据的准确性。如果三边长度不满足三角形三边关系，则说明测量数据存在误差。
《三角形三边之间的关系》课件
1
2024/1/30
目录
三角形基本概念回顾三角形三边关系探讨三角形不等式定理深入解析特殊类型三角形三边关系分析解决实际问题中的应用举例总结回顾与拓展思考
2
2024/1/30
01
CHAPTER
三角形基本概念回顾
3
三角形的分类
4
2024/1/30
三角形的边
三角形内两条边所夹的角，分别记为∠A、∠B、∠C。
三角形的角
三角形的顶点
三角形三个内角的交点，分别记为A、B、C。
组成三角形的三条线段。
5
2024/1/30
验证测量的准确性
ห้องสมุดไป่ตู้20
2024/1/30
构造特定形状的三角形
在几何图形构造问题中，有时需要构造具有特定形状的三角形，如等边三角形、等腰三角形等。此时，可以利用三角形三边关系来确定所需边长，从而构造出满足条件的三角形。
判断三角形的形状
通过已知的三边长度，可以判断三角形的形状。例如，如果三边长度满足勾股定理，则三角形为直角三角形。
18
2024/1/30
05
CHAPTER
解决实际问题中的应用举例
19
2024/1/30
在实际测量中，有时由于条件限制，无法直接测量三角形的某一边。此时，可以通过测量其他两边，并利用三角形三边关系来间接求得第三边的长度。
无法直接测量的两边求第三边
在进行测量时，可以通过三角形三边关系来验证所测数据的准确性。如果三边长度不满足三角形三边关系，则说明测量数据存在误差。
《三角形三边之间的关系》课件
1
2024/1/30
目录
三角形基本概念回顾三角形三边关系探讨三角形不等式定理深入解析特殊类型三角形三边关系分析解决实际问题中的应用举例总结回顾与拓展思考
2
2024/1/30
01
CHAPTER
三角形基本概念回顾
3
《三角形三边之间的关系》优质课件
特殊三角形性质
等腰三角形性质
两腰相等，两底角相等； 三线合一（底边上的中线、 高线和顶角的平分线互相
重合）。
等边三角形性质
三边相等，三个内角都等 于60°；三线合一（任意一 边上的中线、高线和这边
所对角的平分线互相重 合）。
直角三角形性质
有一个角为90°的三角形； 勾股定理（直角三角形的 两条直角边的平方和等于
特殊性质
等腰三角形具有轴对称性，即关于底边上的高（也是中线）对称。
直角三角形三边关系
直角三角形的定义
有一个角为90度的三角形。
三边关系
在直角三角形中，最长的边称为斜边，其余两边称为直角边。斜边 的平方等于两直角边的平方和，即勾股定理。
特殊性质
直角三角形具有多种特殊性质和定理，如射影定理、正弦定理、余弦 定理等，这些性质和定理在解决三角形问题中具有重要的应用价值。
01
任意两边之差小于第三边。
几何意义
02
确保三条线段不仅可以围成一个封闭的图形，而且是一个合理
的三角形，避免出现过于扁平或拉长的形状。
验证方法
03
同样通过测量或计算三角形的三条边长，验证是否满足两边之
差小于第三边的条件。
等腰三角形三边关系
等腰三角形的定义
有两条边长度相等的三角形。
三边关系
在等腰三角形中，两条相等的边称为腰，第三条边称为底。腰与腰 之间的夹，两个内角相等。相对于等边 三角形，等腰三角形的稳定性稍差，但在一定范围内仍能 保持其形状和尺寸稳定。
不等边三角形 不等边三角形的三边长度均不相等，三个内角也不相等。 相对于等边三角形和等腰三角形，不等边三角形的稳定性 最差，容易受到外力作用而发生改变。
实际应用举例
数学《三角形三边之间的关系》
结词：三角形三边关系定理在数学和实际生活中有广泛的应用。
• 详细描述：在数学中，三角形三边关系定理常用于解决与三角形相关的问题，如三角形分类、三角形全等的判定等。在 实际生活中，三角形三边关系定理可用于解决各种实际问题，如建筑学中的结构设计、地理学中的地貌分析等。例如， 在建筑学中，工程师可以利用三角形三边关系定理来验证结构的稳定性和安全性。在地理学中，地貌分析师可以利用三 角形三边关系定理来分析地形的特征和形成过程。此外，三角形三边关系定理还可以用于数学竞赛和智力游戏等领域， 如几何证明题、数论问题和最优化问题等。
周长公式
周长 = 边长1 + 边长2 + 边长3。
边长确定
边长的确定依赖于三角形 的类型和已知条件。
面积与周长的关系
无直接关系
面积和周长是两个不同的数学量，它 们之间没有直接的关系，不能通过一 个推导出另一个。
相关因素
在某些特定条件下，如等腰三角形或 直角三角形，可以通过特定的数学关 系将面积和周长联系起来，但这并不 适用于所有三角形。
要点二
等腰三角形两边相等
等腰三角形有两边长度相等，这两边对应的角也相等。
三角形中的不等式的应用
判断能否构成三角形
利用三角形的基本不等式，可以判断 给定的三条线段能否构成一个三角形 。
确定三角形的形状
利用特殊不等式，可以确定三角形的 形状，如直角三角形、等腰三角形等 。
04
三角形的面积与周长
三角形的面积计算
三角形的分类
总结词
三角形可以根据其特性进行分类。
详细描述
根据三角形的角的大小，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。锐角三角形的所有角都小于90 度，直角三角形有一个90度的角，钝角三角形有一个角大于90度。此外，三角形还可以根据边的长度关系进行分 类，如等边三角形、等腰三角形和不等边三角形。
• 详细描述：在数学中，三角形三边关系定理常用于解决与三角形相关的问题，如三角形分类、三角形全等的判定等。在 实际生活中，三角形三边关系定理可用于解决各种实际问题，如建筑学中的结构设计、地理学中的地貌分析等。例如， 在建筑学中，工程师可以利用三角形三边关系定理来验证结构的稳定性和安全性。在地理学中，地貌分析师可以利用三 角形三边关系定理来分析地形的特征和形成过程。此外，三角形三边关系定理还可以用于数学竞赛和智力游戏等领域， 如几何证明题、数论问题和最优化问题等。
周长公式
周长 = 边长1 + 边长2 + 边长3。
边长确定
边长的确定依赖于三角形 的类型和已知条件。
面积与周长的关系
无直接关系
面积和周长是两个不同的数学量，它 们之间没有直接的关系，不能通过一 个推导出另一个。
相关因素
在某些特定条件下，如等腰三角形或 直角三角形，可以通过特定的数学关 系将面积和周长联系起来，但这并不 适用于所有三角形。
要点二
等腰三角形两边相等
等腰三角形有两边长度相等，这两边对应的角也相等。
三角形中的不等式的应用
判断能否构成三角形
利用三角形的基本不等式，可以判断 给定的三条线段能否构成一个三角形 。
确定三角形的形状
利用特殊不等式，可以确定三角形的 形状，如直角三角形、等腰三角形等 。
04
三角形的面积与周长
三角形的面积计算
三角形的分类
总结词
三角形可以根据其特性进行分类。
详细描述
根据三角形的角的大小，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。锐角三角形的所有角都小于90 度，直角三角形有一个90度的角，钝角三角形有一个角大于90度。此外，三角形还可以根据边的长度关系进行分 类，如等边三角形、等腰三角形和不等边三角形。
直角三角形的边角关系课件1
精选教课课件设计| Excellent teaching plan直角三角形的边角关系讲义第 1 节从梯子的倾斜程度谈起本节内容：正切的定义坡度的定义及表示（难点）正弦、余弦的定义三角函数的定义（要点）1、正切的定义在确立，那么 A 的对边与邻边的比便随之确立，这个比叫做∠ A 的正切，记作tanA 。
A 的对边 a即 tanA=A的邻边 b例 1 如图，△ ABC是等腰直角三角形，求tanC.例2 如图，已知在 Rt △ ABC中，∠ C=90°， CD⊥ AB，AD=8， BD=4，求 tanA 的值。
BDC A精选教课课件设计| Excellent teaching plan2、坡度的定义及表示（难点我们往常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比）。
坡度常用字母i 表示。
斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：h tan al注意：（ 1）坡度一般写成 1： m的形式（比率的前项为1，后项能够是小数）；（ 2）若坡角为 a，坡度为htana，坡度越大，则a角越大，坡面越陡。
il例 3 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽 BC 为 6m，坝高为 3.2m，为了提升水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m，而且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD? 的坡度不变，但是背水坡的坡度由本来的i ＝ 1： 2 变为 i ′＝ 1： 2.5，（相关数据在图上已注明）．?求加高后的坝底 HD 的长为多少？3、正弦、余弦的定义在 Rt 中，锐角∠ A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦，记作sinA 。
A 的对边 a即 sinA=斜边 c∠ A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的余弦，记作cosA。
A 的邻边 b即 cosA=斜边 c例4在△ ABC中，∠ C=90°， BC=1， AC=2，求 sinA 、 sinB 、cosA、 cosB 的值。
经过计算你有什么发现？请加以证明。
精选教课课件设计| Excellent teaching plan4、三角函数的定义（要点）锐角 A 的正弦、余弦和正切都是∠ A 的三角函数。
三角形三边关系课件
三角形分类
根据三角形的边长和角度，可以 将三角形分为等边三角形、等腰 三角形、直角三角形、锐角三角 形和钝角三角形等。
三角形元素介绍
பைடு நூலகம்顶点
角
三角形的三个角所在的点称为三角形 的顶点。
三角形中相邻两边所夹的角称为三角 形的角。
边
组成三角形的三条线段称为三角形的 边。
三角形性质概述
三角形两边之和大于第三 边，两边之差小于第三边 。
在几何证明中的应用
利用三角形三边关系及其不等式形式，可以在几 何证明中方便地证明一些与边长相关的结论。
3
在实际问题中的应用
三角形三边关系及其不等式形式在实际问题中也 有广泛的应用，如建筑设计、测量等领域。
05 三角形三边关系实验探究 与发现
通过实验验证三角形三边关系原理
准备实验材料
长度不同的小棒、直尺、笔和纸等。
在实际问题中求解最值问题
在建筑、工程等实际问题中， 利用三角形三边关系求解最短 路径、最小成本等问题。
通过构建数学模型，将实际问 题转化为三角形三边关系问题， 进而求解最优解。
结合不等式性质与三角形三边 关系，解决一类具有约束条件 的最值问题。
在其他数学领域应用
在解析几何中，利用三角形三边 关系判断点的位置、直线的交点
平或拉长。
实例解析
例如，在一个直角三角形中，两 条直角边之差一定小于斜边，这 符合三角形两边之差小于第三边
的性质。
三角形三边关系证明方法
01
02
03
代数法
通过三角形的边长代数表 达式进行推导和证明，常 用于解决与边长相关的计 算问题。
几何法
利用几何图形和性质进行 直观证明，常用于解决与 形状、位置相关的几何问 题。
根据三角形的边长和角度，可以 将三角形分为等边三角形、等腰 三角形、直角三角形、锐角三角 形和钝角三角形等。
三角形元素介绍
பைடு நூலகம்顶点
角
三角形的三个角所在的点称为三角形 的顶点。
三角形中相邻两边所夹的角称为三角 形的角。
边
组成三角形的三条线段称为三角形的 边。
三角形性质概述
三角形两边之和大于第三 边，两边之差小于第三边 。
在几何证明中的应用
利用三角形三边关系及其不等式形式，可以在几 何证明中方便地证明一些与边长相关的结论。
3
在实际问题中的应用
三角形三边关系及其不等式形式在实际问题中也 有广泛的应用，如建筑设计、测量等领域。
05 三角形三边关系实验探究 与发现
通过实验验证三角形三边关系原理
准备实验材料
长度不同的小棒、直尺、笔和纸等。
在实际问题中求解最值问题
在建筑、工程等实际问题中， 利用三角形三边关系求解最短 路径、最小成本等问题。
通过构建数学模型，将实际问 题转化为三角形三边关系问题， 进而求解最优解。
结合不等式性质与三角形三边 关系，解决一类具有约束条件 的最值问题。
在其他数学领域应用
在解析几何中，利用三角形三边 关系判断点的位置、直线的交点
平或拉长。
实例解析
例如，在一个直角三角形中，两 条直角边之差一定小于斜边，这 符合三角形两边之差小于第三边
的性质。
三角形三边关系证明方法
01
02
03
代数法
通过三角形的边长代数表 达式进行推导和证明，常 用于解决与边长相关的计 算问题。
几何法
利用几何图形和性质进行 直观证明，常用于解决与 形状、位置相关的几何问 题。
2022秋八年级数学上册第2章三角形2.1三角形1三角形三边的关系授课课件新版湘教版
感悟新知
知1－练
1．如图，以CD为公共边的三角形是__△__C_D__F_与__△__B_C__D__； ∠EFB是__△__B_E_F__的内角；在△BCE中，BE所对的角 是_∠__B__C_E__，∠CBE所对的边是____C_E___；以∠A为公 共角的三角形有__△__A_B_D__，__△__A_C__E_和__△__A_B__C__.
知2－导
感悟新知
知2－讲
1.等腰三角形：两条边相等的三角形叫作等腰三角形，在等腰 三角形中，相等的两边叫作腰，另外一边叫作底边，两腰的 夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.
2.等边三角形三边都相等的三角形叫作等边三角形(或正三角形)， 等边三角形是特殊的等腰三角形。
3.易错警示：(1)等腰三角形中有关边角的名称与三角形的摆放 位置无关；(2)等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角， 而底角只能是锐角.
n＋8，3n，则满足条件的n的值有( D ) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
感悟新知
知3－练
3. 已知三角形的两边长分别为5 cm和8 cm，则此三角形的 第三边的长x的取值范围是___3_c_m__<_x_<_1_3__c_m__． 解析：根据三角形三边关系可知，第三条边的长x应 大于已知两边之差且小于已知两边之和，所 以3 cm<x<13 cm.
感悟新知
知1－讲
例 1 如图都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是 ( C)
导引：按三角形的定义进行判断.观察每一个选项中的 图形，A，B，D中的三条线段都没有首尾顺次相接
感悟新知
总结
知1－讲
判断三角形的条件：①三条线段，②不在同一条直线 上，③首尾顺次连接三者必须同时满足，否则不是三角形.
三角形的三边关系(课件）
两边之差<第三边<两边之和
新知讲解
如果一根木棒能与原来的两根木棒摆成三角形，那么它的长度取值范
围是什么？
C
b
a
已知△ABC的两边为a,b（a>b), 第三边设为x,则x的取值范围为:
A
x
B
a-b<x<a+b
课堂练习
1.现有两根木棒,它们的长度分别为20cm和30cm,若不改变木棒的 长度, 要钉成一个三角形木架,应在下列四根木棒中选取 ( B )
三角形任意两边之和大于第三边.
新知讲解
【做一做】 分别量出下面三个三角形的三边长度，并填入空格内。
a
ba
b
a b
c a= b= c=
c
c
， a=
， a=
，
， b=
， b=
，
。形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什 么结论？小组交流。
三角形任意两边之差小于第三边.
新知讲解
【总结归纳】
判断三条线段能否组成三角形，只需看较短两边的和是否大于第三边 即可．因为只要较短两边的和大于第三边，则任意两边的和都大于第 三边，所以用此方法可以很快地判断出三条线段能否构成三角形．
新知讲解
如果一根木棒能与原来的两根木棒摆成三角形，那么它的长度取值范 围是什么？ 三角形任意两边之和大于第三边. 三角形任意两边之差小于第三边.
作业布置
课本 习题4.2
新知讲解
有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能 摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒呢？
取长度为2cm的木棒时，由于 2＋5＝7＜8，出现了两边之和小于 第三边的情况，所以它们不能摆成三角形. 取长度为13 cm的木棒时，由于5＋8＝13，出现了两边之和等于 第三边的情况，所以它们也不能 摆成三角形.
新知讲解
如果一根木棒能与原来的两根木棒摆成三角形，那么它的长度取值范
围是什么？
C
b
a
已知△ABC的两边为a,b（a>b), 第三边设为x,则x的取值范围为:
A
x
B
a-b<x<a+b
课堂练习
1.现有两根木棒,它们的长度分别为20cm和30cm,若不改变木棒的 长度, 要钉成一个三角形木架,应在下列四根木棒中选取 ( B )
三角形任意两边之和大于第三边.
新知讲解
【做一做】 分别量出下面三个三角形的三边长度，并填入空格内。
a
ba
b
a b
c a= b= c=
c
c
， a=
， a=
，
， b=
， b=
，
。形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什 么结论？小组交流。
三角形任意两边之差小于第三边.
新知讲解
【总结归纳】
判断三条线段能否组成三角形，只需看较短两边的和是否大于第三边 即可．因为只要较短两边的和大于第三边，则任意两边的和都大于第 三边，所以用此方法可以很快地判断出三条线段能否构成三角形．
新知讲解
如果一根木棒能与原来的两根木棒摆成三角形，那么它的长度取值范 围是什么？ 三角形任意两边之和大于第三边. 三角形任意两边之差小于第三边.
作业布置
课本 习题4.2
新知讲解
有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能 摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒呢？
取长度为2cm的木棒时，由于 2＋5＝7＜8，出现了两边之和小于 第三边的情况，所以它们不能摆成三角形. 取长度为13 cm的木棒时，由于5＋8＝13，出现了两边之和等于 第三边的情况，所以它们也不能 摆成三角形.
三角形中三边的关系 ppt课件
• （2）能围成有一边的长为4厘米的等腰 三角形吗？为什么？
PPT课件
19
• 解：设底边长为X厘米，则腰长为2X厘米
X+2X+2X=18 解得：X=3.6 所以三边长分别为3.6厘米，7.2厘米，7.2厘米。
PPT课件
20
解：因为长为4厘米的边可能是腰，也可能是底边， 所以需要分情况讨论。
（1）如果4厘米长为底边，设腰长为X厘米则 4+2X=18解得X=7.
PPT课件
2
记作：
ABC
A
读作：三角形ABC
c
B
a
b C 三角形的边：AB、AC、BC
c ba
三角形的顶点：A、 B、 C
三角形的内角：A、B、C
PPT课件
3
对角：BC边的对角是 ∠A
对边：∠C的对边是BA ，
通常简记为c
PPT课件
4
三角形分类
1.按角的大小
直角三角形 锐角三角形
斜三角形 钝角三角形
PPT课件
16
3、 在△ABC中,已知a=8cm,b=5cm,则c 的取值范围是3cm<c<13c, m
若c取奇数,则c= 5cm，7cm，9cm，11cm.
周长L的取值范围是 16cm<L<26cm .
改:a=4cm,b=6cm. 2cm<c<10cm ,12cm<L<20cm
a=2cm,b=7cm. 5cm<c<9cm ,14cm<L<18cm
• 草原上的四口油井 A
D
，位于如图所示的
A、B、C、D四个
H′ H
位置，现在要建立
一个维修站H，问 H建在何处，才能 B
PPT课件
19
• 解：设底边长为X厘米，则腰长为2X厘米
X+2X+2X=18 解得：X=3.6 所以三边长分别为3.6厘米，7.2厘米，7.2厘米。
PPT课件
20
解：因为长为4厘米的边可能是腰，也可能是底边， 所以需要分情况讨论。
（1）如果4厘米长为底边，设腰长为X厘米则 4+2X=18解得X=7.
PPT课件
2
记作：
ABC
A
读作：三角形ABC
c
B
a
b C 三角形的边：AB、AC、BC
c ba
三角形的顶点：A、 B、 C
三角形的内角：A、B、C
PPT课件
3
对角：BC边的对角是 ∠A
对边：∠C的对边是BA ，
通常简记为c
PPT课件
4
三角形分类
1.按角的大小
直角三角形 锐角三角形
斜三角形 钝角三角形
PPT课件
16
3、 在△ABC中,已知a=8cm,b=5cm,则c 的取值范围是3cm<c<13c, m
若c取奇数,则c= 5cm，7cm，9cm，11cm.
周长L的取值范围是 16cm<L<26cm .
改:a=4cm,b=6cm. 2cm<c<10cm ,12cm<L<20cm
a=2cm,b=7cm. 5cm<c<9cm ,14cm<L<18cm
• 草原上的四口油井 A
D
，位于如图所示的
A、B、C、D四个
H′ H
位置，现在要建立
一个维修站H，问 H建在何处，才能 B
三角形的三边关系课件
本节课知识点总结回顾
三角形的基本概念和性质
01
三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连接所组成的
封闭图形。
三角形三边关系定理
02
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三角形按边的分类
03
根据三角形的边长关系，可以将三角形分为等边三角形、等腰
三角形和一般三角形。
学生自我评价报告展示
交通网络优化
三角形的三边关系还可以应用于交通网络的优化。通过分析交通网络中各个节 点之间的连接关系，可以合理规划道路布局，提高交通网络的通行效率和便捷 性。
其他领域应用举例
机械设计
在机械设计中，三角形的稳定性原理被用于设计各种支撑 结构和连接件。例如，三角形的支架可以用于支撑机械部 件，确保其稳定性和可靠性。
对于多边形，可以将其划分成若 干个三角形，然后利用三角形的 三边关系定理来推断多边形的边 长关系。
实际应用
在建筑、工程等领域中，经常需 要利用三角形的三边关系定理来 解决实际问题，如测量距离、设 计结构等。同时，对于多边形边 长关系的探索也可以为相关领域 的研究提供新的思路和方法。
THANK YOU
02
三角形三边关系定理
三角形两边之和大于第三边
对于任意三角形ABC，有AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB
+ AC > BC。
三角形两边之和大于第三边是三 角形的基本性质之一，也是判断 三条线段能否构成三角形的必要
条件。
若三条线段满足三角形两边之和 大于第三边的条件，则它们可以 构成一个三角形；反之，则不能。
当两点之间直线距离不可达时， 可以通过构造三角形并利用三 边关系找到最短路径。
三角形的三边关系课件ppt课件
在工程学中，三角形三边关系可以用于解决各种实际问题，如建筑设 计、桥梁建设、道路规划等领域中的距离、角度等计算问题。
鼓励学生进行进一步探索和研究
深入研究三角形三边关系的数学性质
鼓励学生进一步探索三角形三边关系的数学性质，如通过不等式变形、函数图像等方法深 入研究三角形三边关系的内在规律。
拓展三角形三边关系在其他学科领域的应用
06
总结与拓展
回顾本次课程重点内容
三角形的基本概念和性质
包括三角形的定义、分类、内角和、外角和等基本概念和 性质。
三角形三边关系定理
详细讲解了三角形三边关系定理的内容和应用，包括三角 形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边等 关键知识点。
三角形三边关系的证明方法
通过多种证明方法（如比较法、分析法等）对三角形三边 关系定理进行了严格的证明，加深了学生对该定理的理解 和掌握。
三角形分类
按边可分为不等边三角形、等腰 三角形和等边三角形；按角可分 为锐角三角形、直角三角形和钝 角三角形。
三角形内角和定理
01
02
03
04
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等于 180°。
推论1
直角三角形的两个锐角互余。
推论2
三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角的和。
推论3
三角形的一个外角大于任何一 个和它不相邻的内角。
三角形外角性质
三角形外角性质
推论1
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和。
三角形的一个外角大于任何一个和它不相 邻的内角。
推论2
三角形的外角和等于360°。
推论3
若三角形三个内角的度数比为x:y:z，则这 个三角形的三个外角的度数之比为(180x):(180-y):(180-z)。
鼓励学生进行进一步探索和研究
深入研究三角形三边关系的数学性质
鼓励学生进一步探索三角形三边关系的数学性质，如通过不等式变形、函数图像等方法深 入研究三角形三边关系的内在规律。
拓展三角形三边关系在其他学科领域的应用
06
总结与拓展
回顾本次课程重点内容
三角形的基本概念和性质
包括三角形的定义、分类、内角和、外角和等基本概念和 性质。
三角形三边关系定理
详细讲解了三角形三边关系定理的内容和应用，包括三角 形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边等 关键知识点。
三角形三边关系的证明方法
通过多种证明方法（如比较法、分析法等）对三角形三边 关系定理进行了严格的证明，加深了学生对该定理的理解 和掌握。
三角形分类
按边可分为不等边三角形、等腰 三角形和等边三角形；按角可分 为锐角三角形、直角三角形和钝 角三角形。
三角形内角和定理
01
02
03
04
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等于 180°。
推论1
直角三角形的两个锐角互余。
推论2
三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角的和。
推论3
三角形的一个外角大于任何一 个和它不相邻的内角。
三角形外角性质
三角形外角性质
推论1
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和。
三角形的一个外角大于任何一个和它不相 邻的内角。
推论2
三角形的外角和等于360°。
推论3
若三角形三个内角的度数比为x:y:z，则这 个三角形的三个外角的度数之比为(180x):(180-y):(180-z)。
三角形的三边关系(1)最终版ppt课件.ppt
执教者：吴月斐
下列哪些图形不是三角形？
由3条线段围成的图形（每相邻两条线 段的端点相连）叫做三角形
Page 3
怎样的三条线段一定能围成ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角形呢？
建议： 从四根小棒（四条线段）中，任选其中的三根围一围，
记录在表格中。
三条线段
能否围成三角形
我发现三角形的三条边有这样的关系：
Page 4
10cm、4cm 、 5cm 三条线段 能否围成三角形？
2.一个等腰三角形的其中两条边长 度为2厘米和6厘米，这个三角形的周 长是多少厘米？
3.要用整厘米数的三条线段围成一 个三角形。其中两条线段分别是8cm 和5cm，那么另外一条的长度最短是 多少厘米？最长是多少厘米？
最短：4厘米 最长：12厘米
10cm ∴不能组成三角形。
Page 5
9cm、4cm 、 5cm 三条线段 能否围成三角形？
4cm 9cm 5cm ∴不能组成三角形。
三角形的三边长度必须 满足怎么样的条件？
三角形: 任意两边之和 大于第三边。
1.下列三条线段能围成三角形的请打√？
（1) 2厘米 4厘米 3厘米 √ （2）8厘米 8厘米 5厘米 √ （3）2厘米 5厘米 7厘米 × （4）6厘米 6厘米 6厘米 √ （5）9厘米 2厘米 3厘米 ×
下列哪些图形不是三角形？
由3条线段围成的图形（每相邻两条线 段的端点相连）叫做三角形
Page 3
怎样的三条线段一定能围成ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角形呢？
建议： 从四根小棒（四条线段）中，任选其中的三根围一围，
记录在表格中。
三条线段
能否围成三角形
我发现三角形的三条边有这样的关系：
Page 4
10cm、4cm 、 5cm 三条线段 能否围成三角形？
2.一个等腰三角形的其中两条边长 度为2厘米和6厘米，这个三角形的周 长是多少厘米？
3.要用整厘米数的三条线段围成一 个三角形。其中两条线段分别是8cm 和5cm，那么另外一条的长度最短是 多少厘米？最长是多少厘米？
最短：4厘米 最长：12厘米
10cm ∴不能组成三角形。
Page 5
9cm、4cm 、 5cm 三条线段 能否围成三角形？
4cm 9cm 5cm ∴不能组成三角形。
三角形的三边长度必须 满足怎么样的条件？
三角形: 任意两边之和 大于第三边。
1.下列三条线段能围成三角形的请打√？
（1) 2厘米 4厘米 3厘米 √ （2）8厘米 8厘米 5厘米 √ （3）2厘米 5厘米 7厘米 × （4）6厘米 6厘米 6厘米 √ （5）9厘米 2厘米 3厘米 ×
三角形三条边之间的关系-PPT课件
A、12厘米 B、2厘米 C、10厘米
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3、请你设计。 公路两侧有A、B两个村子（如图），现
在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两 个村子的人都能最省时、最方便。请问，公 共汽车C应建在什么地方？
A
B
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下面的三条线段可以围成一个三角形吗？ (单位:厘米)
•1、任何三条线段都能组
成一个三角形。
()
2
4+11>5,所以4
、5、11三边可以构成
三角形。
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判断下列长度的三组纸条（单位：厘米）
（1）6、2、8、
（2）4、6、9、 （3）5、6、10、
哪组纸条可以摆 成三角形？
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在能拼成三角形的各组小棒下面画“√”
高,我们会继续研究。
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再见
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3 3 3
(√ )
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下面的三条线段可以围成一个三角形吗？ (单位:厘米)
3 1
2
(× )
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考考你：
1、下面的三条线段可以围成一个三角形吗？能的打“√”
(单位:厘米)
4 3 2
(√ )
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有关三角形边的关系， 其实还有许多值得研究的 问题，随着大家年级的升
两边的和等于第三边时lspjy
当两边的和大于第三边时
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3、请你设计。 公路两侧有A、B两个村子（如图），现
在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两 个村子的人都能最省时、最方便。请问，公 共汽车C应建在什么地方？
A
B
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下面的三条线段可以围成一个三角形吗？ (单位:厘米)
•1、任何三条线段都能组
成一个三角形。
()
2
4+11>5,所以4
、5、11三边可以构成
三角形。
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判断下列长度的三组纸条（单位：厘米）
（1）6、2、8、
（2）4、6、9、 （3）5、6、10、
哪组纸条可以摆 成三角形？
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在能拼成三角形的各组小棒下面画“√”
高,我们会继续研究。
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再见
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(√ )
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下面的三条线段可以围成一个三角形吗？ (单位:厘米)
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2
(× )
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考考你：
1、下面的三条线段可以围成一个三角形吗？能的打“√”
(单位:厘米)
4 3 2
(√ )
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有关三角形边的关系， 其实还有许多值得研究的 问题，随着大家年级的升
两边的和等于第三边时lspjy
当两边的和大于第三边时
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《三角形三边的关系》ppt课件
地图制作 在制作地图时，利用三角形不等式原理可以根据 已知的距离和角度信息，推算出未知地点的坐标 位置。
遥感技术 在遥感技术中，三角形不等式可用于处理和分析 卫星图像数据，提取地物信息和进行地形分析。
其他领域中的实际应用案例
机器人路径规划
在机器人技术领域，三角形不等式可用于规划机器人的行动路径， 确保其以最短距离到达目的地。
通过测量或计算三角形的三条边， 验证两边之和是否大于第三边。
三角形两边之差小于第三边
01
02
03
定理内容
在任意三角形中，任意两 边之差小于第三边。
几何意义
确保三条边能够形成一个 稳定的三角形，避免过长 或过短的边导致三角形变 形。
验证方法
通过测量或计算三角形的 三条边，验证两边之差是 否小于第三边。
面积的影响。
面积最大化问题
03
在给定周长或某些边长的条件下，探讨如何使三角形面积最大
化。
面积最大化问题探讨
等周长的三角形面积最大化
对于周长一定的三角形，探讨其面积最大化的条件及求解方法。
等腰三角形的面积最大化
对于等腰三角形，在给定底边和腰长的情况下，探讨其面积最大化 的条件及求解方法。
直角三角形面积最大化
三边长度可以求出相似比。
在全等三角形中，已知三边长度 可以直接判定两个三角形全等， 或者已知两边和夹角可以求出第
三边长度。
通过比较相似三角形或全等三角 形的三边长度，可以解决一些与 三角形有关的实际问题，如测量、
建筑设计等。
06
三角形不等式在实 际问题中的应用
城市规划与建筑设计中的应用
道路设计
在道路规划中，利用三角形不等 式原理可以确定最短路径，优化
遥感技术 在遥感技术中，三角形不等式可用于处理和分析 卫星图像数据，提取地物信息和进行地形分析。
其他领域中的实际应用案例
机器人路径规划
在机器人技术领域，三角形不等式可用于规划机器人的行动路径， 确保其以最短距离到达目的地。
通过测量或计算三角形的三条边， 验证两边之和是否大于第三边。
三角形两边之差小于第三边
01
02
03
定理内容
在任意三角形中，任意两 边之差小于第三边。
几何意义
确保三条边能够形成一个 稳定的三角形，避免过长 或过短的边导致三角形变 形。
验证方法
通过测量或计算三角形的 三条边，验证两边之差是 否小于第三边。
面积的影响。
面积最大化问题
03
在给定周长或某些边长的条件下，探讨如何使三角形面积最大
化。
面积最大化问题探讨
等周长的三角形面积最大化
对于周长一定的三角形，探讨其面积最大化的条件及求解方法。
等腰三角形的面积最大化
对于等腰三角形，在给定底边和腰长的情况下，探讨其面积最大化 的条件及求解方法。
直角三角形面积最大化
三边长度可以求出相似比。
在全等三角形中，已知三边长度 可以直接判定两个三角形全等， 或者已知两边和夹角可以求出第
三边长度。
通过比较相似三角形或全等三角 形的三边长度，可以解决一些与 三角形有关的实际问题，如测量、
建筑设计等。
06
三角形不等式在实 际问题中的应用
城市规划与建筑设计中的应用
道路设计
在道路规划中，利用三角形不等 式原理可以确定最短路径，优化
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成 二边之和与第三 边 关 系
三角形
能
4+5＞6 4+6＞5 5+6＞4幻灯片 18
不能 4+5＜10 4+10＞5 5+10＞4幻灯片 4
不能
4+6=10 4+10＞6 6+10＞4幻灯片 11
能 5+6＞10 5+10＞6 6+10＞5
跳幻 灯片
24转
4CM 5CM 10CM
两条边之和小于第三条边
不能围成三角形 返回
6CM 4CM
10CM
三角形任意两条边之和等于第三 条边
三角形任意两条边长度之和等于 第三条边
不能围成三角形
返幻灯片 3 回
4CM 5CM 6CM
三角形任意两条边长度之和大于 第三条边
三角形任意两条边之和大 于第三条边
可以围成三角形 返回
√
√
×
√
判断
A
c
B
用长度为2cm、2cm、6cm、6cm、6cm 这五条线段中的任意三条线段拼成一个
三角形，你能拼成几种不同的形状？
6
6
2
6
6
6
作业 小明想要给他的小狗做一个房子，
房顶的框架是三角形的，其中一根木条是3分米， 另一根是5分米，那么第三根木条可以是多少分
米呢？（取整分米数） 你认为最有可能是哪种？
（1）任何三条线段都能组成一个三角形。
( ×)
（2）因为a+b>c,所以a、b、c三边可以构成三角形（ × ）
（3）长度为7厘米、8厘米、10米的三条线段不可以围成
三角形（ √ ）
选择能够围成三角形的一组边。
1.A. 4cm、 9cm、5cm C.3cm、10cm、5cm
B. 8cm、7cm、6cm
（B）
2.A. 12cm、 8cm、5cm
B. 17cm、11cm、6cm
C.30cm、10cm、15cm
（ A）
3.A. 12cm、 19cm、5cm
B. 18cm、7cm、16cm
C.13cm、8cm、5cm
（B）
4.A. 104cm、99cm、5cm B. 118cm、107cm、26cm
C.103cm、210cm、95cm
包公学区中心学校 阚道兵
小 明 上 学 线 路 图
1、我上学有几条路可以怎么走？ 2、走哪条路最近，为什么？
实验
用长是4cm、5cm、6cm、10cm的小棒摆三角形， （每边只能用一根小棒来表示）并做好记录。
组 别 三边长
（厘米）
第一组
4、5、6
第二组 4、5、10
第三组
4、6、10
第四组
5、6、10
533 534
3
3
5
535 536
5
5
dog
537
3
（ B）
尽管草地不 允许踩，但还是 被人们踩出了一 条小路，这是为 什么？我们能不 能运用今天所学 的知识解释这一 现象？
教 学 楼
大 草坪
道
请勿 践踏！
图书馆
请你设计。 公路两侧有A、B两个村子（如图），现
在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两 个村子的人都能最省时、最方便。请问，公 共汽车C应建在什么地方？
三角形
能
4+5＞6 4+6＞5 5+6＞4幻灯片 18
不能 4+5＜10 4+10＞5 5+10＞4幻灯片 4
不能
4+6=10 4+10＞6 6+10＞4幻灯片 11
能 5+6＞10 5+10＞6 6+10＞5
跳幻 灯片
24转
4CM 5CM 10CM
两条边之和小于第三条边
不能围成三角形 返回
6CM 4CM
10CM
三角形任意两条边之和等于第三 条边
三角形任意两条边长度之和等于 第三条边
不能围成三角形
返幻灯片 3 回
4CM 5CM 6CM
三角形任意两条边长度之和大于 第三条边
三角形任意两条边之和大 于第三条边
可以围成三角形 返回
√
√
×
√
判断
A
c
B
用长度为2cm、2cm、6cm、6cm、6cm 这五条线段中的任意三条线段拼成一个
三角形，你能拼成几种不同的形状？
6
6
2
6
6
6
作业 小明想要给他的小狗做一个房子，
房顶的框架是三角形的，其中一根木条是3分米， 另一根是5分米，那么第三根木条可以是多少分
米呢？（取整分米数） 你认为最有可能是哪种？
（1）任何三条线段都能组成一个三角形。
( ×)
（2）因为a+b>c,所以a、b、c三边可以构成三角形（ × ）
（3）长度为7厘米、8厘米、10米的三条线段不可以围成
三角形（ √ ）
选择能够围成三角形的一组边。
1.A. 4cm、 9cm、5cm C.3cm、10cm、5cm
B. 8cm、7cm、6cm
（B）
2.A. 12cm、 8cm、5cm
B. 17cm、11cm、6cm
C.30cm、10cm、15cm
（ A）
3.A. 12cm、 19cm、5cm
B. 18cm、7cm、16cm
C.13cm、8cm、5cm
（B）
4.A. 104cm、99cm、5cm B. 118cm、107cm、26cm
C.103cm、210cm、95cm
包公学区中心学校 阚道兵
小 明 上 学 线 路 图
1、我上学有几条路可以怎么走？ 2、走哪条路最近，为什么？
实验
用长是4cm、5cm、6cm、10cm的小棒摆三角形， （每边只能用一根小棒来表示）并做好记录。
组 别 三边长
（厘米）
第一组
4、5、6
第二组 4、5、10
第三组
4、6、10
第四组
5、6、10
533 534
3
3
5
535 536
5
5
dog
537
3
（ B）
尽管草地不 允许踩，但还是 被人们踩出了一 条小路，这是为 什么？我们能不 能运用今天所学 的知识解释这一 现象？
教 学 楼
大 草坪
道
请勿 践踏！
图书馆
请你设计。 公路两侧有A、B两个村子（如图），现
在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两 个村子的人都能最省时、最方便。请问，公 共汽车C应建在什么地方？