2018年广东省佛山市高考数学一模试卷(理科)
2018届广东省佛山市高三教学质量检测(一)理科数学试题及答案 精品
2018年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)数学(理科) 2018一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分. 1.复数31i i++等于( ).A.12i +B.12i -C.2i -D.2i + 2.已知集合{}{}|02,|1M x R x N x R x =∈<<=∈>,则()R M N =I ð( ).A.[)1,2B.()1,2C.(]0,1D.[)0,13.已知两个单位向量12,e e u r u r 的夹角为45o,且满足()121e e e λ⊥-u r u r u r ,则实数λ的值为( ).D.2 4.已知,a b R ∈,则“1a b >>”是“log 1a b <”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知,x y 满足约束条件10100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最大值为( ).A.2-B.1-C.1D.2 6.下列函数中,可以是奇函数的为( ).A.()(),f x x a x a R =-∈B.()21,f x x ax a R =++∈C.()()2log 1,f x ax a R =-∈D.()cos ,f x ax x a R =+∈ 7.已知异面直线,a b 均与平面α相交,下列命题: (1)存在直线m α⊂,使得m a ⊥或m b ⊥. (2)存在直线m α⊂,使得m a ⊥且m b ⊥.(3)存在直线m α⊂,使得m 与a 和b 所成的角相等. 其中不正确的命题个数为( ). A.0 B.1 C.2 D.38.有10个乒乓球,将它们任意分成两堆,求出这两堆乒乓球个数的乘积,再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积,如此下去,直到不能再分为止,则所有乘积的和为( ).A.45B.55C.10!D.1010 二.填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(9～13题) 9.如果()11sin 1x f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,那么()2f f =⎡⎤⎣⎦____________. 10.不等式13x x a -+-≥恒成立,则a的取值范围为____________.11.已知点()()2,0,0,4A B -到直线:10l x my +-=的距离相等,则m 的值为____________.12.某市有40%的家庭订阅了《南方都市报》,从该城市中任取4个家庭,则这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了《南方都市报》的概率为______________.13.如图1,为了测量河对岸,A B 两点之间的距离,观察者找到一个点C ,从C 点可以观察到点,A B ,找到一个点D ,从D 点可以观察到点,A C ,找到一个点E ,从E 点可以观察到点,B C ,并测量得到一些数据:2,45,105,48.19,75,CD CE D ACD ACB BCE ==∠=∠=∠=∠=o o o o E ∠=60o ,则,A B 两点之间的距离为____________.(其中cos 48.19o 取近似值23).(二)必做题(14～15题,考生只能从中选做一题)14.(几何证明选讲)如图2,P 是圆O 外一点,,PA PB 是圆O 的两条切线,切点分别为,,A B PA 中点为M ,过M 作圆O 的一条割线交圆O 于,C D 两点,若1PB MC ==,则CD =_________.15.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线)1:sin 1C ρθθ+=与曲线()2:0C a a ρ=>的一个交点在极轴上,则a =__________.三.解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)已知函数()()sin 0,4f x x x R πωω⎛⎫=->∈ ⎪⎝⎭的最小正周期为π.(1)求6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)在图3给定的平面直角坐标系中,画出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象,并根据图象写出其在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的单调递减区间.17.(本小题满分12分)某地区“腾笼换鸟”的政策促进了区内环境改善和产业转型,空气质量也有所改观,现从当地天气网站上收集该地区近两年11月份(30天)的空气质量指数(AQI)(单位:3)资料如下:/g m(1)请填好2014年11月份AQI数据的平率分布表并完成频率分布直方图.(2)该地区环保部门2014年12月1日发布的11月份环评报告中声称该地区“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”(当100AQI <时,空气质量为优良).试问此人收集到的资料信息是否支持该观点?18.(本小题满分14分)如图6,四棱锥P ABCD -,侧面PAD 是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD 是60ABC ∠=o 的菱形,M 为棱PC 上的动点,且[]()0,1PMPCλλ=∈.(1)求证:PBC V 为直角三角形.(2)试确定λ的值,使得二面角P AD M --的平面角余弦值为19.(本小题满分14分)数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知()()211,12n n a S n a n n n N *==--∈. (1)求23,a a .(2)求数列{}n a 的通项. (3)设11n n n b S S +=,数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明:52n T <()n N *∈.20.(本小题满分14分)已知曲线22:11x y E m m +=-. (1)若曲线E 为双曲线,求实数m 的取值范围.(2)已知()4,1,0m A =-和曲线()22:116C x y -+=.若P 是曲线C 上任意一点,线段PA 的垂直平分线为l ,试判断l 与曲线E 的位置关系,并证明你的结论.21.(本小题满分14分)已知函数()()ln x a f x x-=.(1)若1a =-,证明:函数()f x 是()0,+∞上的减函数.(2)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y -=平行,求a 的值.(3)若0x >,证明:()ln 11x x xxe +>-(其中 2.71828e =L 是自然常数).。
2018广东省一模理科数学(含答案)
2018广东省一模-理科数学(含答案)(word版可编辑修改)
编辑整理：
尊敬的读者朋友们：
这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018广东省一模-理科数学(含答案)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018广东省一模-理科数学(含答案)(word版可编辑修改)的全部内容。
2018广东省一模-理科数学(含答案)(word版可编辑修改)。
佛山市2018届高考数学一模试卷 理(含解析)
2018年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z满足z（l﹣i）=﹣1﹣i，则|z+1|=（）A．0 B．1 C．D．22．已知U=R，函数y=ln（1﹣x）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}．则下列结论正确的是（）A．M∩N=N B．M∩（∁U N）=∅C．M∪N=U D．M⊆（∁U N）3．已知a，b都是实数，那么“＞”是“lna＞lnb”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A．20 B．35 C．45 D．555．己知x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（，）B．（，）C．（，π）D．（，π）6．已知F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右两个焦点，若在双曲线C 上存在点P使∠F1PF2=90°，且满足2∠PF1F2=∠PF2F1，那么双曲线C的离心率为（）A． +1 B．2 C．D．7．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）A．B．C．D．8．已知tanx=，则sin2（+x）=（）A．B．C．D．9．执行如图所示的程序框图，输出的z值为（）A．3 B．4 C．5 D．610．某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（）A．13π B．16π C．25π D．27π11．给出下列函数：①f（x）=xsinx；②f（x）=e x+x；③f（x）=ln（﹣x）；∃a＞0，使f（x）dx=0的函数是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③12．设直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：①abc的取值范围是（0，4）；②a2+b2+c2为定值；③c﹣a有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．（﹣）5的展开式的常数项为（用数字作答）．14．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（ +λ）⊥，则λ的值为．15．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵（同垛）之．问底子在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，M是BC的中点，BM=2，AM=c﹣b，△ABC面积的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=3S n﹣2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．18．未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如如图所示（单位：μm）．（Ⅰ）计算平均值μ与标准差σ；（Ⅱ）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（μ，σ2），该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：μm）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？参考数据：P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.95443=0.87，0.99744=0.99，0.04562=0.002．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，AC=AA1=AB，∠AA1C1=60°，AB⊥AA1，H为棱CC1的中点，D在棱BB1上，且A1D丄平面AB1H．（Ⅰ）求证：D为BB1的中点；（Ⅱ）求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值．20．已知椭圆： +=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），且焦距为2，直线l交椭圆于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AE⊥AF．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）O为坐标原点，若点P满足2=+，求直线AP的斜率的取值范围．21．设常数λ＞0，a＞0，函数f（x）=﹣alnx．（1）当a=λ时，若f（x）最小值为0，求λ的值；（2）对任意给定的正实数λ，a，证明：存在实数x0，当x＞x0时，f（x）＞0．选修4-1：几何证明选讲22．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，BA、CD的延长线交于点P，且AB=AD，BP=2BC （Ⅰ）求证：PD=2AB；（Ⅱ）当BC=2，PC=5时．求AB的长．选修4-4：坐标系与参数方程选讲23．已知直线l的方程为y=x+4，圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴．建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l与圆C的交点的极坐标；（Ⅱ）若P为圆C上的动点．求P到直线l的距离d的最大值．选修4-5：不等式选讲24．己知函数f（x）=|x﹣2|+a，g（x）=|x+4|，其中a∈R．（Ⅰ）解不等式f（x）＜g（x）+a；（Ⅱ）任意x∈R，f（x）+g（x）＞a2恒成立，求a的取值范围．2018年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z满足z（l﹣i）=﹣1﹣i，则|z+1|=（）A．0 B．1 C．D．2【考点】复数求模．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】根据复数的运算性质计算即可．【解答】解：∵z（l﹣i）=﹣1﹣i，∴z（1﹣i）（1+i）=﹣（1+i）2，∴2z=﹣2i，∴z=﹣i，∴z+1=1﹣i，则|z+1|=，故选：C．【点评】本题考查了复数的化简与模的计算．2．已知U=R，函数y=ln（1﹣x）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}．则下列结论正确的是（）A．M∩N=N B．M∩（∁U N）=∅C．M∪N=U D．M⊆（∁U N）【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】转化思想；综合法；集合．【分析】分别解出关于M，N的范围，然后判断即可．【解答】解：由1﹣x＞0，解得：x＜1，故函数y=ln（1﹣x）的定义域为M=（﹣∞，1），由x2﹣x＜0，解得：0＜x＜1，故集合N={x|x2﹣x＜0}=（0，1），∴M∩N=N，故选：A．【点评】本题考察了集合的包含关系，考察不等式问题，是一道基础题．3．已知a，b都是实数，那么“＞”是“lna＞lnb”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义，结合对数函数的性质，从而得到答案．【解答】解：∵lna＞lnb⇒a＞b＞0⇒＞，是必要条件，而＞，如a=1，b=0则lna＞lnb不成立，不是充分条件，故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，考查了对数函数的性质，是一道基础题．4．设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A．20 B．35 C．45 D．55【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】先画出满足约束条件的平面区域，结合几何意义，然后求出目标函数z=2x+3y取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：令z=2x+3y可得y=，则为直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越大作直线l：2x+3y=0把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，由可得x=5，y=15，此时z=55故选D【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．5．己知x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（，） B．（，） C．（，π）D．（，π）【考点】正弦函数的单调性；正弦函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由极值点可得φ=﹣，解2kπ+＜2x﹣＜2kπ+可得函数f（x）的单调递减区间，结合选项可得．【解答】解：∵x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，∴sin（2×+φ）=1，∴2×+φ=2kπ+，解得φ=2kπ﹣，k∈Z，不妨取φ=﹣，此时f（x）=sin（2x﹣）令2kπ+＜2x﹣＜2kπ+可得kπ+＜x＜kπ+，∴函数f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+）k∈Z，结合选项可知当k=0时，函数的一个单调递减区间为（，），故选：B．【点评】本题考查正弦函数的图象和单调性，数形结合是解决问题的关键，属基础题．6．已知F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右两个焦点，若在双曲线C 上存在点P使∠F1PF2=90°，且满足2∠PF1F2=∠PF2F1，那么双曲线C的离心率为（）A． +1 B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知得∠F1PF2=90°，∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，设|PF2|=x，则|PF1|=，|F1F2|=2x，由此能求出双曲线C的离心率．【解答】解：如图，∵∠F1PF2=90°，且满足2∠PF1F2=∠PF2F1，∴∠F1PF2=90°，∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，设|PF2|=x，则|PF1|=，|F1F2|=2x，∴2a=，2c=2x，∴双曲线C的离心率e==．故选：A．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．7．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A）=P（B）=，p（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A）P（B），能求出甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率．【解答】解：设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A）==，P（B）=，∴甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为：p（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A）P（B）==．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意任意事件概率加法公式的合理运用．8．已知tanx=，则sin2（+x）=（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用半角公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：tanx=，则sin2（+x）===+=+=+=，故选：D．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角公式的应用，属于基础题．9．执行如图所示的程序框图，输出的z值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【专题】操作型；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累乘循环变量a值，并输出满足条件的累乘积关于2的对数值，模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中变量的值的变化情况进行分析，不难给出答案．【解答】解：执行循环体前，S=1，a=0，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=1×20=20，a=1，当S=2°，a=1，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=1×21=21，a=2当S=21，a=2，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=21×22=23，a=3当S=23，a=3，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=23×23=26，a=4当S=26，a=4，满足退出循环的条件，则z==6故输出结果为6故选：D【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10．某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（）A．13π B．16π C．25π D．27π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3．则长方体的对角线为外接球的直径．【解答】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2．则长方体外接球半径为r，则2r==5．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．故选C．【点评】本题考查了长方体的三视图，长方体与外接球的关系，属于中档题．11．给出下列函数：①f（x）=xsinx；②f（x）=e x+x；③f（x）=ln（﹣x）；∃a＞0，使f（x）dx=0的函数是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【考点】特称命题．【专题】对应思想；转化法；导数的综合应用；简易逻辑．【分析】①求出f（x）dx的积分，结合函数的图象得出存在a＞0，使f（x）dx=0成立；②求出（e x+x）dx=0时a的值，得出命题不成立；③根据f（x）是定义域上的奇函数，积分的上下限互为相反数，得出定积分值为0，满足条件．【解答】解：对于①，f（x）=xsinx，∵（sinx﹣xcosx）′=xsinx，∴xsinxdx=（sinx﹣xcosx）=2sina﹣2acosa，令2sina﹣2acosa=0，∴sina=acosa，又cosa≠0，∴tana=a；画出函数y=tanx与y=x的部分图象，如图所示；在（0，）内，两函数的图象有交点，即存在a＞0，使f（x）dx=0成立，①满足条件；对于②，f（x）=e x+x，（e x+x）dx=（e x+x2）=e a﹣e﹣a；令e a﹣e﹣a=0，解得a=0，不满足条件；对于③，f（x）=ln（﹣x）是定义域R上的奇函数，且积分的上下限互为相反数，所以定积分值为0，满足条件；综上，∃a＞0，使f（x）dx=0的函数是①③．故选：B．【点评】本题主要考查了定积分运算性质的应用问题，当被积函数为奇函数且积分区间对称时，积分值为0，是综合性题目．12．设直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：①abc的取值范围是（0，4）；②a2+b2+c2为定值；③c﹣a有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】作出f（x）=x（x﹣3）2的函数图象，判断t的范围，根据f（x）的变化率判断c ﹣a的变化情况，构造函数g（x）=x（x﹣3）2﹣t，根据根与系数的关系得出abc，a2+b2+c2，c﹣a的值进行判断．【解答】解：令f（x）=x（x﹣3）2=x3﹣6x2+9x，f′（x）=3x2﹣12x+9，令f′（x）=0得x=1或x=3．当x＜1或x＞3时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0．∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=4，当x=3时，f（x）取得极小值f（3）=0．作出函数f（x）的图象如图所示：∵直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2有三个交点，∴0＜t＜4．令g（x）=x（x﹣3）2﹣t=x3﹣6x2+9x﹣t，则a，b，c是g（x）的三个实根．∴abc=t，a+b+c=6，ab+bc+ac=9，∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）=18．由函数图象可知f（x）在（0，1）上的变化率逐渐减小，在（3，4）上的变化率逐渐增大，∴c﹣a的值先增大后减小，故c﹣a存在最大值，不存在最小值．故①，②正确，故选：C．【点评】本题考查了导数与函数的单调性，函数的图象，三次方程根与系数的关系，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．（﹣）5的展开式的常数项为﹣10 （用数字作答）．【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；二项式定理．【分析】在（﹣）5展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求出r的值，即可求出展开式的常数项．【解答】解：由于（﹣）5展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•，令15﹣5r=0，解得r=3，故展开式的常数项是﹣10，故答案为：﹣10．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（ +λ）⊥，则λ的值为﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】求出+λ和的坐标，根据向量垂直列出方程解出λ．【解答】解： +λ=（1+λ，2λ），∵（+λ）⊥，∴（ +λ）•=0，即3（1+λ）+8λ=0，解得λ=﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，向量垂直与数量积的关系，是基础题．15．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵（同垛）之．问底子在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，M是BC的中点，BM=2，AM=c﹣b，△ABC面积的最大值为2．【考点】余弦定理．【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形．【分析】在△ABM和△ABC中分别使用余弦定理得出bc的关系，求出cosA，sinA，代入面积公式求出最大值．【解答】解：在△ABM中，由余弦定理得：cosB==．在△ABC中，由余弦定理得：cosB==．∴=．即b2+c2=4bc﹣8．∵cosA==，∴sinA==．∴S=sinA=bc=．∴当bc=8时，S取得最大值2．故答案为2．【点评】本题考查了余弦定理得应用，根据余弦定理得出bc的关系是解题关键．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=3S n﹣2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）通过a n=3S n﹣2与a n﹣1=3S n﹣1﹣2（n≥2）作差、整理可知a n=﹣a n﹣1（n≥2），进而可知数列{a n}是首项为1、公比为﹣的等比数列，计算即得结论；（2）通过（1）可知na n=（﹣1）n﹣1•，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（1）∵a n=3S n﹣2，∴a n﹣1=3S n﹣1﹣2（n≥2），两式相减得：a n﹣a n﹣1=3a n，整理得：a n=﹣a n﹣1（n≥2），又∵a1=3S1﹣2，即a1=1，∴数列{a n}是首项为1、公比为﹣的等比数列，∴其通项公式a n=（﹣1）n﹣1•；（2）由（1）可知na n=（﹣1）n﹣1•，∴T n=1•1+（﹣1）•2•+…+（﹣1）n﹣2•（n﹣1）•+（﹣1）n﹣1•，∴﹣T n=1•（﹣1）•+2•+…+（﹣1）n﹣1•（n﹣1）•+（﹣1）n•n•，错位相减得： T n=1+[﹣+﹣+…+（﹣1）n﹣1•]﹣（﹣1）n•n•=1+﹣（﹣1）n•n•=+（﹣1）n﹣1••，∴T n= [+（﹣1）n﹣1••]=+（﹣1）n﹣1••．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．18．未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如如图所示（单位：μm）．（Ⅰ）计算平均值μ与标准差σ；（Ⅱ）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（μ，σ2），该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：μm）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？参考数据：P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.95443=0.87，0.99744=0.99，0.04562=0.002．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；茎叶图．【专题】转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（I）利用平均值与标准差的计算公式即可得出μ，σ；（II）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（105，62），分别计算出满足满足2σ的概率及其3σ的概率，即可得出．【解答】解：（I）平均值μ=100+=105．标准差σ==6．（II）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（105，62），∴P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=P（93＜Z＜117）=0.9544，可知：落在区间（93，117）的数据有3个：95、103、109，因此满足2σ的概率为：0.95443×0.04562≈0.0017．P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=P（87＜Z＜123）=0.9974，可知：落在区间（87，123）的数据有4个：95、103、109、118，因此满足3σ的概率为：0.99744×0.0026≈0.0026．由以上可知：此打印设备不需要进一步调试．【点评】本题考查了茎叶图、平均值与标准差、正态分布，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，AC=AA1=AB，∠AA1C1=60°，AB⊥AA1，H为棱CC1的中点，D在棱BB1上，且A1D丄平面AB1H．（Ⅰ）求证：D为BB1的中点；（Ⅱ）求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法．【专题】方程思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）建立坐标系，求出向量坐标，利用线面垂直的性质建立方程关系即可证明D 为BB1的中点；（Ⅱ）求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接AC1，∵AC=AA1，∠AA1C1=60°，∴三角形ACC1是正三角形，∵H是CC1的中点，∴AH⊥CC1，从而A H⊥AA1，∵侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，面AA1C1C∩侧面ABB1A1=AA1，AH⊂平面AA1C1C，∴AH⊥ABB1A1，以A为原点，建立空间直角坐标系如图，设AB=，则AA1=2，则A（0，2，0），B1（，2，0），D（，t，0），则=（，2，0），=（，t﹣2，0），∵A1D丄平面AB1H．AB1⊂丄平面AB1H．∴A1D丄AB1，则•=（，2，0）•（，t﹣2，0）=2+2（t﹣2）=2t﹣2=0，得t=1，即D（，1，0），∴D为BB1的中点；（2）C1（0，1，），=（，﹣1，0），=（0，﹣1，），设平面C1A1D的法向量为=（x，y，z），则由•=x﹣y=0），•=﹣y+z=0，得，令x=3，则y=3，z=， =（3，3，），显然平面A1DA的法向量为==（0，0，），则cos＜，＞===，即二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值是．【点评】本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解二面角的常用方法．综合性较强，运算量较大．20．已知椭圆： +=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），且焦距为2，直线l交椭圆于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AE⊥AF．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）O为坐标原点，若点P满足2=+，求直线AP的斜率的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2，c=1，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程，运用韦达定理，可得E的坐标，由两直线垂直可得F的坐标，再由直线的斜率公式，结合基本不等式即可得到斜率的最值，进而得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得a=2，2c=2，即c=1，b==，则椭圆的标准方程为+=1；（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，由2+x E=，可得x E=，y E=k（x E﹣2）=，由于AE⊥AF，只要将上式的k换为﹣，可得x F=，y F=，由2=+，可得P为EF的中点，即有P（，），则直线AP的斜率为t==，当k=0时，t=0；当k≠0时，t=，再令s=﹣k，可得t=，当s=0时，t=0；当s＞0时，t=≤=，当且仅当4s=时，取得最大值；当s＜0时，t=≥﹣，综上可得直线AP的斜率的取值范围是[﹣，]．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查直线的斜率的取值范围的求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题．21．设常数λ＞0，a＞0，函数f（x）=﹣alnx．（1）当a=λ时，若f（x）最小值为0，求λ的值；（2）对任意给定的正实数λ，a，证明：存在实数x0，当x＞x0时，f（x）＞0．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；分类讨论；转化思想；分类法；导数的概念及应用．【分析】（1）当a=λ时，函数f（x）=﹣（x＞0）．f′（x）=，分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，研究其单调性，即可得出最小值．（2）函数f（x）=x﹣﹣alnx＞x﹣λ﹣alnx．令u（x）=x﹣λ﹣alnx．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】（1）解：当a=λ时，函数f（x）=﹣alnx=﹣（x＞0）．f′（x）=﹣=，∵λ＞0，x＞0，∴4x2+9λx+3λ2＞0，4x（λ+x）2＞0．∴当x＞λ时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当0＜x＜λ时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴当x=λ时，函数f（x）取得极小值，即最小值，∴f（（λ）==0，解得λ=．（2）证明：函数f（x）=﹣alnx=﹣alnx=x﹣﹣alnx＞x﹣λ﹣alnx．令u（x）=x﹣λ﹣alnx．u′（x）=1﹣=，可知：当x＞a时，u′（x）＞0，函数u（x）单调递增，x→+∞，u（x）→+∞．一定存在x0＞0，使得当x＞x0时，u（x0）＞0，∴存在实数x0，当x＞x0时，f（x）＞u（x）＞u（x0）＞0．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．选修4-1：几何证明选讲22．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，BA、CD的延长线交于点P，且AB=AD，BP=2BC （Ⅰ）求证：PD=2AB；（Ⅱ）当BC=2，PC=5时．求AB的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；方程思想；综合法；推理和证明．【分析】（Ⅰ）证明：△APD∽△CPB，利用AB=AD，BP=2BC，证明PD=2AB；（Ⅱ）利用割线定理求AB的长．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠PAD=∠PCB，∴∠APD=∠CPB，∴△APD∽△CPB，∴=，∵BP=2BC∴PD=2AD，∴AB=AD，∴PD=2AB；（Ⅱ）解：由题意，BP=2BC=4，设AB=t，由割线定理得PD•PC=PA•PB，∴2t×5=（4﹣t）×4∴t=，即AB=．【点评】本题考查三角形相似的判断，考查割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程选讲23．已知直线l的方程为y=x+4，圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴．建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l与圆C的交点的极坐标；（Ⅱ）若P为圆C上的动点．求P到直线l的距离d的最大值．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】选作题；转化思想；消元法；坐标系和参数方程．【分析】（I）由圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程，与直线方程联立解得交点坐标，利用可得极坐标．（II）圆心（0，2）到直线l的距离为d1，可得P到直线l的距离d的最大值为d1+r．【解答】解：（I）由圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为：x2+（y﹣2）2=4，联立，解得或．可得极坐标分别为：，．（II）圆心（0，2）到直线l的距离=，∴P到直线l的距离d的最大值为+r=+2．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．己知函数f（x）=|x﹣2|+a，g（x）=|x+4|，其中a∈R．（Ⅰ）解不等式f（x）＜g（x）+a；（Ⅱ）任意x∈R，f（x）+g（x）＞a2恒成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）问题转化为解不等式|x﹣2|＜|x+4|，两边平方，解出即可；（Ⅱ）f（x）+g（x）＞a2可化为a2﹣a＜|x﹣2|+|x+4|，根据绝对值的性质，求出|x﹣2|+|x+4|的最小值，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜g（x）+a即|x﹣2|＜|x+4|，两边平方得：x2﹣4x+4＜x2+8x+16，解得：x＞﹣1，∴原不等式的解集是（﹣1，+∞）；（Ⅱ）f（x）+g（x）＞a2可化为a2﹣a＜|x﹣2|+|x+4|，又|x﹣2|+|x+4|≥|（x﹣2）﹣（x+4）|=6，∴a2﹣a＜6，解得：﹣2＜a＜3，∴a的范围是（﹣2，3）．【点评】本题考察了解绝对值不等式问题，考察转化思想，是一道基础题．。
(完整)【省级联考】2018年广东省高考数学一模试卷(理科)
2018年广东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|﹣1＜1﹣x＜1}，B={x|x2＜1}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜2}2．设复数z=a+4i（a∈R），且（2﹣i）z为纯虚数，则a=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣23．如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A．B． C．D．4．已知函数f（x）满足，则函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为（）A．0 B．9 C．18 D．275．已知F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，点F到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．C．D．26．的展开式中，x3的系数为（）A．120 B．160 C．100 D．807．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．48+8πB．96+8πC．96+16πD．48+16π8．已知曲线，则下列结论正确的是（）A．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称B．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称C．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称D．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称9．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A．n是偶数，n≥100 B．n是奇数，n≥100C．n是偶数，n＞100 D．n是奇数，n＞10010．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=，且2bsinB+2csinC=bc+a．则△ABC的面积的最大值为（）A．B．C．D．11．已知抛物线C：y2=x，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B分别为切点，则的最小值为（）A．B．C．D．12．设函数，若互不相等的实数a，b，c，d满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则2a+2b+2c+2d的取值范围是（）A． B．（98，146）C． D．（98，266）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知单位向量，的夹角为30°，则|﹣|=．14．设x，y 满足约束条件，则z=x+y的最大值为．15．已知sin10°+mcos10°=2cos140°，则m=．16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12.00分）已知公差不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12.00分）“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：步数/步0～30003001～60006001～80008001～1000010000以上男生人数/127155人03791女性人数/人规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．（1）以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，记X表示随机抽取3人中被系统评为“积极性”的人数，求P（X≤2）和X的数学期望．（2）为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）．其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人，“懈怠性”的有2人，从中任意选取3人，记选到“积极性”的人数为x；其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有2人，从中任意选取2人，记选到“积极性”的人数为y；求x＞y的概率．19．（12.00分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，得到如下的立体图形．（1）证明：平面AEFD⊥平面EBCF；（2）若BD⊥EC，求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．20．（12.00分）已知椭圆的离心率为，且C 过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），l与x轴，y 轴分别交于M，N 两点，且满足（其中O为坐标原点）．证明：直线l的斜率为定值．21．（12.00分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（lnx﹣x+1）．（1）讨论f（x）的导函数f'（x）零点的个数；（2）若函数f（x）的最小值为﹣e，求a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣2）2+（y﹣4）2=20，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2：θ=．（1）求C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标系方程；（2）若直线C3的极坐标方程为θ=，设C2与C1的交点为O、M，C3与C1的交点为O、N，求△OMN的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=3|x﹣a|+|3x+1|，g（x）=|4x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式g（x）＜6的解集；（2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1）和g（x2）互为相反数，求a的取值范围．2018年广东省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|﹣1＜1﹣x＜1}，B={x|x2＜1}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜2}【分析】解不等式得出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|﹣1＜1﹣x＜1}={x|0＜x＜2}，B={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，则A∩B={x|0＜x＜1}．故选：B．【点评】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．2．设复数z=a+4i（a∈R），且（2﹣i）z为纯虚数，则a=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2【分析】把z=a+4i（a∈R）代入（2﹣i）z，利用复数代数形式的乘法运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵z=a+4i（a∈R），且（2﹣i）z=（2﹣i）（a+4i）=（2a+4）+（8﹣a）i为纯虚数，∴，解得a=﹣2．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A．B． C．D．【分析】根据几何概型的定义分别求出满足条件的面积，作商即可．【解答】解：由题意此点取自黑色部分的概率是：P==，故选：A．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．4．已知函数f（x）满足，则函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为（）A．0 B．9 C．18 D．27【分析】根据题意，分析可得函数的解析式，求出其导数f′（x）=24x2﹣6，计算可得f′（1）的值，结合导数的几何意义分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足，则f（x）=8x3﹣6x，其导数f′（x）=24x2﹣6，则有f′（1）=24﹣6=18，即函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为18；故选：C．【点评】本题考查利用导数求函数切线的方程，注意先求出函数的解析式．5．已知F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，点F到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．C．D．2【分析】根据题意，由双曲线的几何性质，分析可得b=2a，进而可得c==a，由双曲线的离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为2a，则b=2a，则c==a，则双曲线C的离心率e==，故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点到渐近线的距离为b．6．的展开式中，x3的系数为（）A．120 B．160 C．100 D．80【分析】利用多项式乘以多项式展开，然后分别求出两项中含有x3的项得答案．【解答】解：=，∵x（1+2x）5的展开式中含x3的项为，的展开式中含x3的项为．∴的展开式中，x3的系数为40+80=120．故选：A．【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．7．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．48+8πB．96+8πC．96+16πD．48+16π【分析】由三视图可得，该几何体是长方体截去两个半圆柱，即可求解表面积．【解答】解：由题意，该几何体是长方体截去两个半圆柱，∴表面积为：4×6×2+2（4×6﹣4π）+2×2π×4=96+8π，故选：B．【点评】本题考查了圆柱和长方体的三视图，结构特征，面积计算，属于基础题．8．已知曲线，则下列结论正确的是（）A．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称B．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称C．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称D．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称【分析】直接利用三角函数的图象平移逐一核对四个选项得答案．【解答】解：把C向左平移个单位长度，可得函数解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）=cos2x，得到的曲线关于y轴对称，故A错误；把C向右平移个单位长度，可得函数解析式为y=sin[2（x﹣）﹣]=sin（2x﹣）=﹣cos2x，得到的曲线关于y轴对称，故B正确；把C向左平移个单位长度，可得函数解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），取x=0，得y=，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y轴对称，故C错误；把C向右平移个单位长度，可得函数解析式为y=sin[2（x﹣）﹣]=sin （2x﹣），取x=0，得y=﹣，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y轴对称，故D错误．∴正确的结论是B．故选：B．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象变换，考查y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，是基础题．9．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A．n是偶数，n≥100 B．n是奇数，n≥100C．n是偶数，n＞100 D．n是奇数，n＞100【分析】模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，判断即可．【解答】解：n=1，s=0，n=2，s=2，n=3，s=4，…，n=99，s=，n=100，s=，n=101＞100，结束循环，故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=，且2bsinB+2csinC=bc+a．则△ABC的面积的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由正弦定理和余弦定理即可求出a=，再由余弦定理可得：b2+c2=3+bc，利用基本不等式可求bc≤3，根据三角形面积公式即可得解．【解答】解：根据正弦定理可得===，∴sinB=，sinC=，∵2bsinB+2csinC=bc+a，∴+=bc+a，∴b2+c2=abc+a2，∴b2+c2﹣a2=abc，∴==cosA=∴a=，∴3=b2+c2﹣bc，可得：b2+c2=3+bc，∵b2+c2≥2bc（当且仅当b=c时，等号成立），∴2bc≤3+bc，解得bc≤3，∴S=bcsinA=bc≤△ABC故选：C．【点评】本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．11．已知抛物线C：y2=x，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B分别为切点，则的最小值为（）A．B．C．D．【分析】设切线MA的方程为x=ty+m，代入抛物线方程得y2﹣ty﹣m=0，由直线与抛物线相切可得△=t2+4m=0，分别求出A，B，M的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出【解答】解：设切线MA的方程为x=ty+m，代入抛物线方程得y2﹣ty﹣m=0，由直线与抛物线相切可得△=t2+4m=0，则A（，），B（，﹣），将点A的坐标代入x=ty+m，得m=﹣，∴M（﹣，0），∴=（，）•（，﹣）=﹣=（t2﹣）2﹣，则当t2=，即t=±时，的最小值为﹣故选：C．【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，以及向量的数量积和二次函数的性质，属于中档题12．设函数，若互不相等的实数a，b，c，d满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则2a+2b+2c+2d的取值范围是（）A． B．（98，146）C． D．（98，266）【分析】不妨设a＜b＜c＜d，利用f（a）=f（b）=f（c）=f（d），结合图象可得c的范围，且2a+2b=2，c+d=11，将所求式子转化为c的函数，运用对勾函数的单调性，即可得到所求范围．【解答】解：画出函数f（x）的图象，由x≤2时，f（x）=|2x+1﹣2|，可得2﹣2a+1=2b+1﹣2，可化为2a+2b=2，当x＞2时，f（x）=x2﹣11x+30，可得c+d=11，令x2﹣11x+30=2，解得x=4或7，由图象可得存在a，b，c，d使得f（a）=f（b）=f（c）=f（d），可得4＜c＜5，即有16＜2c＜32，则2a+2b+2c+2d=2+2c+2d=2+2c+，设t=2c，则t+在（16，32）递减，可得g（t）=t+∈（96，144），则2+2c+的范围是（98，146）．故选：B．【点评】本题考查代数式取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知单位向量，的夹角为30°，则|﹣|=1．【分析】根据单位向量的夹角为30°即可求出的值，从而可求出的值，进而得出的值．【解答】解：单位向量的夹角为30°；∴，；∴=；∴．故答案为：1．【点评】考查向量数量积的运算，以及单位向量的概念．14．设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为2．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图，则z=x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由解得A（4，﹣2），所以z=x+y 的最大值为：2．故答案为：2．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，判断目标函数的最优解是解题的关键．15．已知sin10°+mcos10°=2cos140°，则m=﹣．【分析】由题意可得m=，再利用三角恒等变换求得它的值．【解答】解：由题意可得m=====﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查三角恒等变换，属于中档题．16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为．【分析】根据题意，设正方形ABCD的边长为x，E，F，G，H重合，得到一个正四棱锥，四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，即可求解x，从而求解四棱锥的外接球的体积．【解答】解：连接OE交AB与I，E，F，G，H重合为P，得到一个正四棱锥，设正方形ABCD的边长为x．则OI=，IE=6﹣．由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，可得，解得：x=4．设外接球的球心为Q，半径为R，可得OC=，OP=，．∴．该四棱锥的外接球的体积V=．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是球的体积，其中根据已知求出半径是解答的关键．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12.00分）已知公差不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）公差d不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．可得=a3•a11，即（5+5d）2=（5+2d）（5+10d），解得：d．（2）=（2n+3）•3n﹣1．利用错位相减法即可得出．【解答】解：（1）公差d不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．∴=a3•a11，即（5+5d）2=（5+2d）（5+10d），化为：d2﹣2d=0，解得：d=2．∴a n=5+2（n﹣1）=2n+3．（2）=（2n+3）•3n﹣1．∴数列{b n}的前n项和S n=5+7×3+9×32+……+（2n+3）•3n﹣1．∴3S n=5×3+7×32+……+（2n+1）×3n﹣1+（2n+3）×3n，∴﹣2S n=5+2（3+32+……+3n﹣1）﹣（2n+3）×3n=5+2×﹣（2n+3）×3n，解得S n=（n+1）3n﹣1．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12.00分）“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：10000以上步数/步0～30003001～60006001～80008001～10000127155男生人数/人03791女性人数/人规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．（1）以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，记X表示随机抽取3人中被系统评为“积极性”的人数，求P（X≤2）和X的数学期望．（2）为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）．其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人，“懈怠性”的有2人，从中任意选取3人，记选到“积极性”的人数为x；其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有2人，从中任意选取2人，记选到“积极性”的人数为y；求x＞y的概率．【分析】（1）由题意得被系统评为“积极性”的概率为=，X～B（3，），由此能求出P（X≤2）和X的数学期望．（2）“x＞y“包含“x=3，y=2“，“x=3，y=1“，“x=3，y=0“，“x=2，y=1“，“x=2，y=0“，“x=1，y=0“，分别求出相应的概率，由此能求出P（x＞y）．【解答】解：（1）由题意得被系统评为“积极性”的概率为=，X～B（3，），∴P（X≤2）=1﹣（）3=，X的数学期望E（X）=3×=．（2）“x＞y“包含“x=3，y=2“，“x=3，y=1“，“x=3，y=0“，“x=2，y=1“，“x=2，y=0“，“x=1，y=0“，P（x=3，y=2）==，P（x=3，y=1）==，P（x=3，y=0）=×=，P（x=2，y=1）=×=，P（x=2，y=0）=×=，P（x=1，y=0）=×=，∴P（x＞y）=．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随时机变量的数学期望的求法，考查二项分布、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．（12.00分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，得到如下的立体图形．（1）证明：平面AEFD⊥平面EBCF；（2）若BD⊥EC，求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．【分析】（1）根据AE⊥EF，AE⊥CF可得AE⊥平面BCFE，故而平面AEFD⊥平面EBCF；（2）建立空间坐标系，根据BD⊥EC求出AE，求出平面BDF和平面BCD的法向量即可得出二面角的余弦值．【解答】（1）证明：∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，E，F分别为线段AB，DC的中点，∴EF∥AD，∴AE⊥EF，又AE⊥CF，且EF∩CF=F，∴AE⊥平面EBCF，∵AE⊂平面AEFD，∴平面AEFD⊥平面EBCF．（2）解：由（1）可得EA，EB，EF两两垂直，故以E为原点建立空间直角坐标系，（如图）设AE=m，则E（0，0，0），A（0，0，m），B（m，0，0），F（0，3，0），C（m，4，0），D（0，2，m），∴=（﹣m，2，m），，∵DB⊥EC，∴﹣m2+8=0，∴m=2．∴=（﹣2，2，2），，，设面DBF的法向量为，则，即，令y=4可得：=（3，4，），同理可得平面CDB的法向量为，∴cos＜＞===．由图形可知二面角F﹣BD﹣C为锐角，∴二面角F﹣BD﹣C的余弦值为．【点评】本题考查了面面垂直的判定，二面角的计算与空间向量的应用，属于中档题．20．（12.00分）已知椭圆的离心率为，且C过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），l与x轴，y 轴分别交于M，N两点，且满足（其中O为坐标原点）．证明：直线l的斜率为定值．【分析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程、a，b，c的关系，解方程可得a，b，即可得到所求椭圆方程；（2）由题意可设直线l的方程为y=kx+m，（m≠0），P，Q的坐标为（x1，y1），（x2，y2），联立椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及三角形的面积公式，化简整理，解方程可得直线的斜率，即可得证．【解答】解：（1）由题意可得=，+=1，a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1，c=，故椭圆C的方程为+y2=1；（2）证明：由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+m，（m≠0），P，Q的坐标为（x1，y1），（x2，y2），令x=0，可得y=m，即|MO|=|m|，令y=0，可得x=﹣，即|NO|=||，则S=|MO|•|y1|，S△QMO=|MO|•|y2|，△PMOS△PNO=|MO|•|x1|，S△QNO=|NO|•|x2|，由，可得=，即有﹣2=﹣2，可得=，即=（）2=k2，由y=kx+m代入椭圆+y2=1，可得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，则△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＞0，即为1+4k2﹣m2＞0，x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2•+km（﹣）+m2=，可得=k2•，即有4k2=1（m≠0），可得k=﹣（舍去），则直线l的斜率为定值．【点评】本题考查椭圆方程和性质，主要是离心率和基本量的关系，考查直线方程和椭圆方程联立，运用判别式和韦达定理，同时考查三角形的面积的求法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．21．（12.00分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（lnx﹣x+1）．（1）讨论f（x）的导函数f'（x）零点的个数；（2）若函数f（x）的最小值为﹣e，求a的取值范围．【分析】（1）令f′（x）=0可得x=1或xe x﹣a=0，讨论a的范围得出方程xe x﹣a=0的根的情况，从而得出结论；（2）讨论a的范围，分别得出f（x）的最小值，从而得出结论．【解答】解：（1）f′（x）=（x﹣1）e x+a（﹣1）=（x＞0），令g（x）=xe x﹣a（x＞0），g′（x）=（x+1）e x＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）＞g（0）=﹣a．∴当a≤0或a=e时，f′（x）=0只有1个零点，当0＜a＜e或a＞e时，f″（x）有两个零点．（2）当a≤0时，xe x﹣a＞0，则f（x）在x=1处取得最小值f（1）=﹣e，当a＞0时，y=xe x﹣a在（0，+∞）上单调递增，则必存在正数x0，使得x0e﹣a=0，若a＞e，则x0＞1，故函数f（x）在（0，1）和（x0，+∞）上单调递增，在（1，x0）上单调递减，又f（1）=﹣e，不符合题意；若0＜a＜e时，则0＜x0＜1，设正数b=e∈（0，1），则f（b）=（b﹣2）e b+a（lnb﹣b+1）＜aln（e﹣b+1）=a（﹣）=﹣e ﹣ab＜﹣e，不符合题意．综上，a的取值范围是（﹣∞，0]．【点评】本题考查了函数单调性判断与最值计算，考查函数零点个数与单调性的关系，属于中档题．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣2）2+（y﹣4）2=20，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2：θ=．（1）求C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标系方程；（2）若直线C3的极坐标方程为θ=，设C2与C1的交点为O、M，C3与C1的交点为O、N，求△OMN的面积．【分析】（1）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，整理即可；（2）别将θ=，θ=代入ρ=4cosθ+8sinθ，求出得ρ1，ρ2的值，从而求出三角形的面积．【解答】解：（1）∵圆C1的普通方程为x2+y2﹣4x﹣8y=0，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入方程得ρ2﹣4ρcosθ﹣8ρsinθ=0，故C1的极坐标方程是ρ=4cosθ+8sinθ，C2的平面直角坐标系方程是y=x；（2）分别将θ=，θ=代入ρ=4cosθ+8sinθ，得ρ1=2+4，ρ2=4+2，则△OMN的面积为×（2+4）×（4+2）×sin（﹣）=8+5．【点评】本题考查了极坐标和直角坐标的转化，考查代入求值问题，是一道中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=3|x﹣a|+|3x+1|，g（x）=|4x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式g（x）＜6的解集；（2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1）和g（x2）互为相反数，求a的取值范围．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为{y|y=f（x），x∈R}∩{y|y=﹣g（x），x∈R}≠∅，求出f（x）的最小值和g（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）g（x）=|4x﹣1|﹣|x+2|．g（x）=，不等式g（x）＜6，x≤﹣2时，4x﹣1﹣x﹣2＜6，解得：x＞﹣1，不等式无解；﹣2＜x＜时，1﹣4x﹣x﹣2＜6，解得：﹣＜x＜，x≥时，4x﹣1﹣x﹣2＜6，解得：3＞x，综上，不等式的解集是（﹣，3）；（2）因为存在x1∈R，存在x2∈R，使得f（x1）=﹣g（x2）成立，所以{y|y=f（x），x∈R}∩{y|y=﹣g（x），x∈R}≠∅，又f（x）=3|x﹣a|+|3x+1|≥|（3x﹣3a）﹣（3x+1）|=|3a+1|，故g（x）的最小值是﹣，可知﹣g（x）max=，所以|3a+1|≤，解得﹣≤a≤，所以实数a的取值范围为[﹣，]．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，绝对值不等式的解法问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
广东省佛山市2018届高三教学质量检测(一)数学(理)试卷(含答案)
2017-2018学年佛山市普通高中高三教学质量检测（一） 数学（理科） 2018年1月 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数5122i z i -=+的实部为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2 2．已知全集U R =，集合{}0,1,2,3,4A =，{}2|20B x x x =->，则图1中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}3,4D ．{}0,3,4图13．若变量,x y 满足约束条件0210430y x y x y ≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，则32z x y =-的最小值为（ ）A ．1-B ．0C ．3D ．9 4．已知x R ∈，则“22x x =+”是“2x x =+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．曲线1:2sin 6C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭上所有点向右平移6π个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的12，得到曲线2C ，则2C （ ） A ．关于直线6x π=对称 B ．关于直线3x π=对称C ．关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称D ．关于点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称6．已知1tan 4tan θθ+=，则2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．157．当5,2m n ==时，执行图2所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．20B ．42C ．60D ．180图2 图38．某几何体的三视图如图3所示，该几何体的体积为（ ）A ．212 B ．15 C ．332 D ．189．已知()22x x a f x =+为奇函数，()()log 41x g x bx =-+为偶函数，则()f ab =（ ） A ．174 B ．52 C ．154- D ．32- 10．ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若115,,cos 314a B A π===，则ABC ∆的面积S =（ ）A B ．10 C ．D ．11．已知三棱锥P ABC -中，侧面PAC ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，PA =，PC =P ABC -外接球的表面积为（ ）A ．24πB ．28πC ．32πD ．36π12．设函数322()32(0)f x x ax a x a =-+≠，若1212,()x x x x <是2()()g x f x a x λ=-函数的两个极值点，现给出如下结论：①若10λ-<<，则12()()f x f x <；②若02λ<<，则12()()f x f x <；③若2λ>，则12()()f x f x <；期中正确的结论的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-23为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分． 13．设(1,2),(1,1),a b c a b λ==-=+r r r r r ，若a c ⊥r r ，则实数λ的值等于 ．14．已知0a >，()()412ax x -+的展开式中2x 的系数为1，则a 的值为 ． 15．设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分，现从该袋子中任取（有放回，且每球取得的机会均等）2个球，则取出此2球所得分数之和为3分的概率为 ．16．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，以右顶点A 为圆心，半径为2a c +的圆与过1F 的直线l 相切于点N ．设l 与C 的交点为,P Q ，若2PQ PN =u u u r u u u r ，则双曲线C 的离心率为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)已知各项均不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22,n n S a n R λλ=+∈．（Ⅰ）求λ的值；（Ⅱ）求数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ．18．(本题满分12分)有甲乙两家公司都愿意用某求职者，这两家公司的具体聘用信息如下：甲公司 乙公司（Ⅰ）根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？说明理由；（Ⅱ）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就选择这两家公司的意愿做了统计，得到以下数据分布：选择意愿人员结构40岁以上（含40岁）男性 40岁以上（含40岁）女性 40岁以下男性 40岁以下女性选择甲公司110 120 140 80 选择乙公司150 90 200 110 职位A B C D 月薪/元5000 7000 9000 11000 获得相应职位概率 0.4 0.3 0.2 0.1若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的2K的观测值为1 5.5513k≈．请用统计学知识分析：选择意愿与年龄变量和性别变量中哪一个关联性更大？附：2 2()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++19．(本题满分12分)如图4，已知四棱锥ABCDP-中，CDAB//，ADAB⊥，3=AB,6=CD,4==APAD,︒=∠=∠60PADPAB.（Ⅰ）证明：顶点P在底面ABCD的射影落在BAD∠的平分线上；（Ⅱ）求二面角CPDB--的余弦值.20．(本题满分12分)已知椭圆1C：22221x ya b+=()00a b>>，的焦点与抛物线2C：282y x=的焦点F重合，且椭圆右顶点P到F的距离为322-（Ⅰ）求椭圆1C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆1C交于A，B两点，且满足PA PB⊥，求PAB∆的面积最大值.()2P K k≥0.050 0.025 0.010 0.005k 3.841 5.024 6.635 7.87921．(本题满分12分) 已知函数x x a x x f 21ln )()(+-=（其中R a ∈）. （Ⅰ）若曲线)(x f y =在点)）(（00x f ,x 处的切线方程为x y 21=，求a 的值； （Ⅱ）若e a e221<<（e 是自然对数的底数），求证：0)(>x f .请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号． 22．(本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 2cos t y t x （t 为参数，πα<≤0），曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ββsin 22cos 2y x （β为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设C 与l 交于M ，N 两点（异于原点），求ON OM +的最大值.23．(本题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数R a a x x x f ∈-=,)(.（Ⅰ）求1)1()1(>-+f f ，求a 的取值范围； （Ⅱ）若0a >，对(],,x y a ∀∈-∞，都有不等式5()4f x y y a ≤++-恒成立，求a 的取值范围.。
2018年广东省高考数学一模试卷(理科)
2018年广东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A={x|−1<1−x<1}，B={x|x2<1}，则A∩B=()A.{x|−1<x<1}B.{x|0<x<1}C.{x|x<1}D.{x|0<x<2}2. 设复数z=a+4i(a∈R)，且(2−i)z为纯虚数，则a= ( )A.−1B.1C.2D.−23. 如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A.3 20B.3π25C.325D.π204. 已知函数f(x)满足f(x2)=x3−3x，则函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为（）A.0 B.9 C.18 D.275. 已知F是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一个焦点，点F到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为( )A.2√2B.√3C.√5D.26. (x+1x)(1+2x)5的展开式中，x3的系数为（）A.120B.160C.100D.807. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.48+8πB.96+8πC.96+16πD.48+16π8. 已知曲线C:y=sin(2x−π3)，则下列结论正确的是（）A.把C向左平移5π12个单位长度，得到的曲线关于原点对称B.把C向右平移π12个单位长度，得到的曲线关于y轴对称C.把C向左平移π3个单位长度，得到的曲线关于原点对称D.把C向右平移π6个单位长度，得到的曲线关于y轴对称9. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A.n是偶数，n≥100B.n是奇数，n≥100C.n是偶数，n>100D.n是奇数，n>10010. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=π3，且2bsinB+2csinC=bc+√3a．则△ABC的面积的最大值为（）A.3√32B.√32C.3√34D.√3411. 已知抛物线C:y2＝x，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B 分别为切点，则MA→⋅MB→的最小值为（）A.−14B.−18C.−116D.−1212. 设函数f(x)={|2x+1−2|,x ≤2x 2−11x +30,x >2，若互不相等的实数a ，b ，c ，d 满足f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，则2a +2b +2c +2d 的取值范围是（ ）A.(64√2+2,146)B.(98, 146)C.(64√2+2,266)D.(98, 266) 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）已知单位向量e 1→，e 2→的夹角为30∘，则|e 1→−√3e 2→|=________．设x ，y 满足约束条件{x −y ≤64x +5y ≤65x +4y ≥3，则z =x +y 的最大值为________．已知sin10∘+mcos10∘＝2cos140∘，则m ＝________．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ，E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，△ABE ，△BCF ，△CDG ，△ADH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起△ABE ，△BCF ，△CDG ，△ADH ，使得E ，F ，G ，H 重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.已知公差不为零的等差数列{a n }满足a 1=5，且a 3，a 6，a 11成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =a n ∗3n−1，求数列{b n }的前n 项和S n ．“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．（1）以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，记X 表示随机抽取3人中被系统评为“积极性”的人数，求P(X ≤2)和X 的数学期望．（2）为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）．其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人，“懈怠性”的有2人，从中任意选取3人，记选到“积极性”的人数为x ；其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有2人，从中任意选取2人，记选到“积极性”的人数为y ；求x >y 的概率．如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥BC ，且BC =2AD =4，E ，F 分别为线段AB ，DC 的中点，沿EF 把AEFD 折起，使AE ⊥CF ，得到如下的立体图形． （1）证明：平面AEFD ⊥平面EBCF ；（2）若BD ⊥EC ，求二面角F −BD −C 的余弦值．已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，且C 过点(1,√32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且满足S △PMO 2+S △QMO 2S△PMO ⋅S △QMO=S △PNO 2+S △QNO2S △PNO ⋅S △QNO（其中O 为坐标原点）．证明：直线l 的斜率为定值．已知函数f(x)=(x −2)e x +a(ln x −x +1)． (1)讨论f(x)的导函数f ′(x)零点的个数；(2)若函数f(x)的最小值为−e ，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x −2)2+(y −4)2=20，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C 2:θ=π3(ρ∈R)． (1)求C 1的极坐标方程和C 2的平面直角坐标系方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)，设C 2与C 1的交点为O ，M ，C 3与C 1的交点为O ，N ，求△OMN 的面积． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=3|x −a|+|3x +1|，g(x)=|4x −1|−|x +2|．（1）求不等式g(x)<6的解集；（2）若存在x1，x2∈R，使得f(x1)和g(x2)互为相反数，求a的取值范围．参考答案与试题解析2018年广东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】解不等式得出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】集合A={x|−1<1−x<1}={x|0<x<2}，B={x|x2<1}={x|−1<x<1}，则A∩B={x|0<x<1}．2.【答案】D【考点】复数的基本概念【解析】把z=a+4i(a∈R)代入(2−i)z，利用复数代数形式的乘法运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵z=a+4i(a∈R)，且(2−i)z=(2−i)(a+4i)=(2a+4)+(8−a)i为纯虚数，∴{2a+4=0,8−a≠0,解得a=−2．故选D.3.【答案】A【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】根据几何概型的定义分别求出满足条件的面积，作商即可．【解答】解：根据题意可得，黑色部分的面积为S1=π(42−1)=15π，圆靶的面积为S=102π=100π，由题意此点取自黑色部分的概率是：P=15π100π=320.故选A.4.【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】根据题意，分析可得函数的解析式，求出其导数f′(x)=24x2−6，计算可得f′(1)的值，结合导数的几何意义分析可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)满足f(x2)=x3−3x，则f(x)=8x3−6x，其导数f′(x)=24x2−6，则有f′(1)=24−6=18，即函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为18；故选：C．5.【答案】C【考点】双曲线的离心率双曲线的特性【解析】根据题意，由双曲线的几何性质，分析可得b=2a，进而可得c=√a2+b2=√5a，由双曲线的离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，F是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为2a，则b=2a，则c=√a2+b2=√5a，则双曲线C的离心率e=ca=√5.故选C.6.【答案】A【考点】二项式定理的应用【解析】利用多项式乘以多项式展开，然后分别求出两项中含有x3的项得答案．【解答】(x+1x )(1+2x)5=x(1+2x)5+1x(1+2x)5，∵x(1+2x)5的展开式中含x3的项为x∗C52∗(2x)2=40x3，1 x (1+2x)5的展开式中含x3的项为1x∗C54∗(2x)4=80x3．∴(x+1x)(1+2x)5的展开式中，x3的系数为40+80=120．7.【答案】 B【考点】由三视图求体积 【解析】由三视图可得，该几何体是长方体截去两个半圆柱，即可求解表面积． 【解答】由题意，该几何体是长方体截去两个半圆柱，∴ 表面积为：4×6×2+2(4×6−4π)+2×2π×4=96+8π， 8.【答案】 B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】直接利用三角函数的图象平移逐一核对四个选项得答案． 【解答】把C 向左平移5π12个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x +5π12)−π3]=sin(2x +π2)=cos2x ， 得到的曲线关于y 轴对称，故A 错误； 把C 向右平移π12个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x −π12)−π3]=sin(2x −π2)=−cos2x ， 得到的曲线关于y 轴对称，故B 正确； 把C 向左平移π3个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x +π3)−π3]=sin(2x +π3)，取x =0，得y =√32，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y 轴对称，故C 错误；把C 向右平移π6个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x −π6)−π3]=sin(2x −23π)， 取x =0，得y =−√32，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y 轴对称，故D 错误．∴ 正确的结论是B ． 9.【答案】 D【考点】 程序框图 【解析】模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，判断即可． 【解答】n=1，s=0，n=2，s=2，n=3，s=4，…，n=99，s=992−12，n=100，s=10022，n=101>100，结束循环，10.【答案】C【考点】三角形求面积【解析】由正弦定理和余弦定理即可求出a=√3，再由余弦定理可得：b2+c2=3+bc，利用基本不等式可求bc≤3，根据三角形面积公式即可得解．【解答】根据正弦定理可得bsinB =csinC=asinA=√32，∴sinB=√3b2a ，sinC=√3c2a，∵2bsinB+2csinC=bc+√3a，∴√3b2a +√3c2a=bc+√3a，∴b2+c2=√33abc+a2，∴b2+c2−a2=√33abc，∴b2+c2−a22bc =√3a6=cosA=12∴a=√3，∴3=b2+c2−bc，可得：b2+c2=3+bc，∵b2+c2≥2bc（当且仅当b=c时，等号成立），∴2bc≤3+bc，解得bc≤3，∴S△ABC =12bcsinA=√34bc≤3√3411.【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】设切线MA的方程为x＝ty+m，代入抛物线方程得y2−ty−m＝0，由直线与抛物线相切可得△＝t2+4m＝0，分别求出A，B，M的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出【解答】设切线MA 的方程为x ＝ty +m ，代入抛物线方程得y 2−ty −m ＝0， 由直线与抛物线相切可得△＝t 2+4m ＝0， 则A(t 24, t2)，B(t 24, −t2)，将点A 的坐标代入x ＝ty +m ，得m =−t 24，∴ M(−t 24, 0)，∴ MA →⋅MB →=(t 22, t 2)⋅(t 22, −t 2)=t 44−t 24=14(t 2−12)2−116，则当t 2=12，即t ＝±√22时，MA →⋅MB →的最小值为−11612.【答案】 B【考点】分段函数的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：作出函数f(x)的图象，由图象可得存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 使得f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，且可设a <b <2<c <d ．当x ≤2时，f(x)=|2x+1−2|，可得2−2a+1=2b+1−2，即2a +2b =2．当x >2时，f(x)=x 2−11x +30，可得c +d =11，令x 2−11x +30=2，解得x =4或7，可得4<c <5，即有16<2c <32，则2a +2b +2c +2d =2+2c +2d =2+2c +2112c，设m =2c ，则y =m +211m在(16, 32)递减，则y =m +211m∈(96, 144)，所以2+2c +2112c的范围是(98, 146)，即2a +2b +2c +2d 的取值范围是(98, 146)． 故选B ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）【答案】 1【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】根据单位向量e 1→,e 2→的夹角为30∘即可求出e 1→∗e 2→的值，从而可求出(e 1→−√3e 2→)2的值，进而得出|e 1→−√3e 2→|的值．【解答】单位向量e 1→,e 2→的夹角为30∘；∴ e 1→∗e 2→=cos30∘=√32，e 1→2=e 2→2=1； ∴ (e 1→−√3e 2→)2=e 1→2−2√3e 1→∗e 2→+3e 2→2=1−2√3×√32+3=1；∴ |e 1→−√3e 2→|=1． 【答案】 2【考点】 简单线性规划 【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可． 【解答】x ，y 满足约束条件{x −y ≤64x +5y ≤65x +4y ≥3 的可行域如图，则z =x +y 经过可行域的A 时，目标函数取得最大值， 由{x −y =64x +5y =6 解得A(4, −2)， 所以z =x +y 的最大值为：2． 【答案】 −√3【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】 由题意可得m =2cos140−sin10cos10，再利用三角恒等变换求得它的值．【解答】 由题意可得m =2cos140−sin10cos10=−2cos40−sin10cos10=−2cos(30+10)−sin10cos10=−2⋅√32⋅cos10+sin10−sin10cos10=−√3，【答案】 500√3π27 【考点】球的体积和表面积 【解析】根据题意，设正方形ABCD 的边长为x ，E ，F ，G ，H 重合，得到一个正四棱锥，四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，即可求解x ，从而求解四棱锥的外接球的体积． 【解答】连接OE 交AB 与I ，E ，F ，G ，H 重合为P ，得到一个正四棱锥，设正方形ABCD 的边长为x ．则OI =x2，IE =6−x2．由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，可得4∗x2(6−x2)=2x2，解得：x=4．设外接球的球心为Q，半径为R，可得OC=2√2，OP=√42−22=2√3，R2= (2√3−R)2+(2√2)2．∴R=√3该四棱锥的外接球的体积V=43πR3=500√3π27．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【答案】公差d不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．∴a62=a3⋅a11，即(5+5d)2=(5+2d)(5+10d)，化为：d2−2d=0，解得：d= 2．∴a n=5+2(n−1)=2n+3．b n=a n∗3n−1=(2n+3)⋅3n−1．∴数列{b n}的前n项和S n=5+7×3+9×32+……+(2n+3)⋅3n−1．∴3S n=5×3+7×32+……+(2n+1)×3n−1+(2n+3)×3n，∴−2S n=5+2(3+32+……+3n−1)−(2n+3)×3n=5+2×3(3n−1−1)3−1−(2n+3)×3n，解得S n=(n+1)3n−1．【考点】数列的求和数列递推式【解析】（1）公差d不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．可得a62= a3⋅a11，即(5+5d)2=(5+2d)(5+10d)，解得：d．（2）b n=a n∗3n−1=(2n+3)⋅3n−1．利用错位相减法即可得出．【解答】公差d不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．∴a62=a3⋅a11，即(5+5d)2=(5+2d)(5+10d)，化为：d2−2d=0，解得：d= 2．∴a n=5+2(n−1)=2n+3．b n=a n∗3n−1=(2n+3)⋅3n−1．∴数列{b n}的前n项和S n=5+7×3+9×32+……+(2n+3)⋅3n−1．∴3S n=5×3+7×32+……+(2n+1)×3n−1+(2n+3)×3n，∴−2S n=5+2(3+32+……+3n−1)−(2n+3)×3n=5+2×3(3n−1−1)3−1−(2n+3)×3n，解得S n=(n+1)3n−1．【答案】由题意得被系统评为“积极性”的概率为3050=35，X∼B(3, 35)，∴ P(X ≤2)＝1−(35)3=98125， X 的数学期望E(X)＝3×35=95．“x >y “包含“x ＝3，y ＝2“，“x ＝3，y ＝1“，“x ＝3，y ＝0“，“x ＝2，y ＝1“，“x ＝2，y ＝0“，“x ＝1，y ＝0“， P(x ＝3, y ＝2)=C 43C 63×C 22C 42=130，P(x ＝3, y ＝1)=C 43C 63×C 21C21C 42=215，P(x ＝3, y ＝0)=C 42C 63×C 2C 42=130，P(x ＝2, y ＝1)=C 42C21C 63×C 21C21C 42=25，P(x ＝2, y ＝0)=C 42C21C 63×C 2C 42=110，P(x ＝1, y ＝0)=C 41C22C 63×C 20C 42=130，∴ P(x >y)=130+215+130+25+110+130=1115． 【考点】离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】（1）由题意得被系统评为“积极性”的概率为3050=35，X ∼B(3, 35)，由此能求出P(X ≤2)和X 的数学期望．（2）“x >y “包含“x ＝3，y ＝2“，“x ＝3，y ＝1“，“x ＝3，y ＝0“，“x ＝2，y ＝1“，“x ＝2，y ＝0“，“x ＝1，y ＝0“，分别求出相应的概率，由此能求出P(x >y)． 【解答】由题意得被系统评为“积极性”的概率为3050=35，X ∼B(3, 35)， ∴ P(X ≤2)＝1−(35)3=98125， X 的数学期望E(X)＝3×35=95．“x >y “包含“x ＝3，y ＝2“，“x ＝3，y ＝1“，“x ＝3，y ＝0“，“x ＝2，y ＝1“，“x ＝2，y ＝0“，“x ＝1，y ＝0“， P(x ＝3, y ＝2)=C 43C 63×C 22C 42=130，P(x ＝3, y ＝1)=C 43C 63×C 21C21C 42=215，P(x ＝3, y ＝0)=C 42C 63×C 2C 42=130，P(x ＝2, y ＝1)=C 42C21C 63×C 21C21C 42=25，P(x ＝2, y ＝0)=C 42C21C 63×C 2C 42=110，P(x ＝1, y ＝0)=C 41C22C 63×C 2C 42=130，∴ P(x >y)=130+215+130+25+110+130=1115． 【答案】证明：∵ 在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥BC ， E ，F 分别为线段AB ，DC 的中点， ∴ EF // AD ，∴ AE ⊥EF ， 又AE ⊥CF ，且EF ∩CF =F ， ∴ AE ⊥平面EBCF ， ∵ AE ⊂平面AEFD ，∴ 平面AEFD ⊥平面EBCF ．由（1）可得EA ，EB ，EF 两两垂直， 故以E 为原点建立空间直角坐标系，（如图）设AE =m ，则E(0, 0, 0)，A(0, 0, m)，B(m, 0, 0)， F(0, 3, 0)，C(m, 4, 0)，D(0, 2, m)， ∴ BD →=(−m, 2, m)，EC →=(m,4,0)，∵ DB ⊥EC ，∴ −m 2+8=0，∴ m =2√2．∴ BD →=(−2√2, 2, 2√2)，FB →=(2√2,−3,0)，CB →=(0,−4,0)，设面DBF 的法向量为m →=(x,y,z)，则{m →∗BD →=0m →∗FB →=0，即{−2√2x +2y +2√2z =02√2x −3y =0 ， 令y =4可得：m →=(3√2, 4, √2)，同理可得平面CDB 的法向量为n →=(1,0,1)， ∴ cos <m →,n →>=m →∗n→|m →||n →|=√26×√2=23．由图形可知二面角F −BD −C 为锐角， ∴ 二面角F −BD −C 的余弦值为23．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法 【解析】（1）根据AE ⊥EF ，AE ⊥CF 可得AE ⊥平面BCFE ，故而平面AEFD ⊥平面EBCF ； （2）建立空间坐标系，根据BD ⊥EC 求出AE ，求出平面BDF 和平面BCD 的法向量即可得出二面角的余弦值．【解答】证明：∵ 在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥BC ， E ，F 分别为线段AB ，DC 的中点， ∴ EF // AD ，∴ AE ⊥EF ， 又AE ⊥CF ，且EF ∩CF =F ， ∴ AE ⊥平面EBCF ， ∵ AE ⊂平面AEFD ，∴ 平面AEFD ⊥平面EBCF ．由（1）可得EA ，EB ，EF 两两垂直， 故以E 为原点建立空间直角坐标系，（如图）设AE =m ，则E(0, 0, 0)，A(0, 0, m)，B(m, 0, 0)， F(0, 3, 0)，C(m, 4, 0)，D(0, 2, m)， ∴ BD →=(−m, 2, m)，EC →=(m,4,0)，∵ DB ⊥EC ，∴ −m 2+8=0，∴ m =2√2．∴ BD →=(−2√2, 2, 2√2)，FB →=(2√2,−3,0)，CB →=(0,−4,0)，设面DBF 的法向量为m →=(x,y,z)，则{m →∗BD →=0m →∗FB →=0，即{−2√2x +2y +2√2z =02√2x −3y =0 ， 令y =4可得：m →=(3√2, 4, √2)，同理可得平面CDB 的法向量为n →=(1,0,1)， ∴ cos <m →,n →>=m →∗n→|m →||n →|=√26×2=23． 由图形可知二面角F −BD −C 为锐角， ∴ 二面角F −BD −C 的余弦值为23．【答案】由题意可得ca =√32，1a 2+34b 2=1，a 2−b 2=c 2，解得a =2，b =1，c =√3， 故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；证明：由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y =kx +m ，(m ≠0)， P ，Q 的坐标为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，令x =0，可得y =m ，即|MO|=|m|， 令y =0，可得x =−mk ，即|NO|=|mk |，则S △PMO =12|MO|⋅|y 1|，S △QMO =12|MO|⋅|y 2|， S △PNO =12|MO|⋅|x 1|，S △QNO =12|NO|⋅|x 2|， 由S △PMO 2+S △QMO 2S△PMO ⋅S △QMO=S △PNO 2+S △QNO2S △PNO ⋅S △QNO，可得y 12+y 22y 1y 2=x 12+x 22x 1x 2，即有y 12+y 22y 1y 2−2=x 12+x 22x 1x 2−2，可得(y 1−y 2)2y 1y 2=(x 1−x 2)2x 1x 2，即y 1y 2x1x 2=(y 1−y 2x 1−x 2)2=k 2，由y =kx +m 代入椭圆x 24+y 2=1，可得(1+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0， 则△=64k 2m 2−16(1+4k 2)(m 2−1)>0， 即为1+4k 2−m 2>0， x 1+x 2=−8km1+4k 2，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k ，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =k 2⋅4(m 2−1)1+4k 2+km(−8km 1+4k2)+m 2 =m 2−4k 21+4k ， 可得m 2−4k 21+4k 2=k 2⋅4(m 2−1)1+4k 2，即有4k 2=1(m ≠0)， 可得k =−12（12舍去），则直线l 的斜率为定值． 【考点】 椭圆的离心率 【解析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程、a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，即可得到所求椭圆方程；（2）由题意可设直线l 的方程为y =kx +m ，(m ≠0)，P ，Q 的坐标为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，联立椭圆方程，消去y ，可得x 的方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及三角形的面积公式，化简整理，解方程可得直线的斜率，即可得证． 【解答】由题意可得ca =√32，1a 2+34b 2=1，a 2−b 2=c 2，解得a =2，b =1，c =√3， 故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；证明：由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y =kx +m ，(m ≠0)， P ，Q 的坐标为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，令x =0，可得y =m ，即|MO|=|m|， 令y =0，可得x =−m k ，即|NO|=|mk |， 则S △PMO =12|MO|⋅|y 1|，S △QMO =12|MO|⋅|y 2|， S △PNO =12|MO|⋅|x 1|，S △QNO =12|NO|⋅|x 2|， 由S △PMO 2+S △QMO 2S△PMO ⋅S △QMO=S △PNO 2+S △QNO2S △PNO ⋅S △QNO，可得y 12+y 22y 1y 2=x 12+x 22x 1x 2，即有y 12+y 22y 1y 2−2=x 12+x 22x 1x 2−2，可得(y 1−y 2)2y 1y 2=(x 1−x 2)2x 1x 2，即y 1y 2x 1x 2=(y 1−y2x 1−x 2)2=k 2，由y =kx +m 代入椭圆x 24+y 2=1，可得(1+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0， 则△=64k 2m 2−16(1+4k 2)(m 2−1)>0， 即为1+4k 2−m 2>0， x 1+x 2=−8km1+4k 2，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k ，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =k 2⋅4(m 2−1)1+4k 2+km(−8km1+4k2)+m 2 =m 2−4k 21+4k 2， 可得m 2−4k 21+4k 2=k 2⋅4(m 2−1)1+4k 2，即有4k 2=1(m ≠0)， 可得k =−12（12舍去）， 则直线l 的斜率为定值． 【答案】解：(1)f ′(x)=(x −1)e x +a (1x −1)=(x−1)(xe x −a)x(x >0)，令g(x)=xe x −a(x >0)，g ′(x)=(x +1)e x >0， 故g(x)在(0, +∞)上单调递增， 则g(x)>−a,因此当a ≤0或a =e 时，f ′(x)=0只有一个零点； 当0<a <e 或a >e 时，f ′(x)有两个零点． (2)①当a ≤0时，xe x −a >0，则函数f(x)在x =1处取得最小值f(1)=−e ，符合题意．②当a>0时，易知函数y=xe x−a在(0,+∞)上单调递增，所以必存在正数x0，使得x0e x e−a=0．（ⅰ）若a>e，则x0>1，函数f(x)在(0,1)与(x0,+∞)上单调递增，在(1,x0)上单调递减，又f(1)=−e，故不符合题意．（ⅱ）若a=e，则x0=1，f′(x)≥0，函数在(0,+∞)上单调递增，又f(1)=−e，故不符合题意．（ⅲ）若0<a<e，则0<x0<1，设正数b=e−e a−1∈(0,1)，则f(b)=(b−2)e b+a(ln b−b+1)<a(ln e−e a−1−b+1)=a(−ea−b)=−e−ab<−e，与函数f(x)的最小值为−e矛盾．综上所述，a≤0，即a∈(−∞,0]．【考点】导数求函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)f′(x)=(x−1)e x+a(1x −1)=(x−1)(xe x−a)x(x>0)，令g(x)=xe x−a(x>0)，g′(x)=(x+1)e x>0，故g(x)在(0, +∞)上单调递增，则g(x)>−a,因此当a≤0或a=e时，f′(x)=0只有一个零点；当0<a<e或a>e时，f′(x)有两个零点．(2)①当a≤0时，xe x−a>0，则函数f(x)在x=1处取得最小值f(1)=−e，符合题意．②当a>0时，易知函数y=xe x−a在(0,+∞)上单调递增，所以必存在正数x0，使得x0e x e−a=0．（ⅰ）若a>e，则x0>1，函数f(x)在(0,1)与(x0,+∞)上单调递增，在(1,x0)上单调递减，又f(1)=−e，故不符合题意．（ⅱ）若a=e，则x0=1，f′(x)≥0，函数在(0,+∞)上单调递增，又f(1)=−e，故不符合题意．（ⅲ）若0<a<e，则0<x0<1，设正数b=e−e a−1∈(0,1)，则f(b)=(b−2)e b+a(ln b−b+1)<a(ln e−e a−1−b+1)=a(−ea−b)=−e−ab<−e，与函数f(x)的最小值为−e矛盾．综上所述，a≤0，即a∈(−∞,0]．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】解：(1)∵ 圆C 1的普通方程为x 2+y 2−4x −8y =0，把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入方程得ρ2−4ρcosθ−8ρsinθ=0， 故C 1的极坐标方程是ρ=4cosθ+8sinθ， C 2的平面直角坐标系方程是y =√3x ；(2)分别将θ=π3，θ=π6代入ρ=4cosθ+8sinθ，得ρ1=2+4√3，ρ2=4+2√3，S △OMN =12×(2+4√3)×(4+2√3)×sin(π3−π6)=8+5√3． 【考点】直线的极坐标方程 圆的极坐标方程 极坐标刻画点的位置 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ 圆C 1的普通方程为x 2+y 2−4x −8y =0，把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入方程得ρ2−4ρcosθ−8ρsinθ=0， 故C 1的极坐标方程是ρ=4cosθ+8sinθ， C 2的平面直角坐标系方程是y =√3x ；(2)分别将θ=π3，θ=π6代入ρ=4cosθ+8sinθ， 得ρ1=2+4√3，ρ2=4+2√3，S △OMN =12×(2+4√3)×(4+2√3)×sin(π3−π6)=8+5√3．[选修4-5：不等式选讲] 【答案】g(x)=|4x −1|−|x +2|．g(x)={−3x +3,x ≤2−5x −1,2<x <14−3x −3,x ≥14，不等式g(x)<6，x ≤−2时，4x −1−x −2<6，解得：x >−1，不等式无解； −2<x <14时，1−4x −x −2<6，解得：−75<x <14， x ≥14时，4x −1−x −2<6，解得：3>x ≥14， 综上，不等式的解集是(−75, 3)；因为存在x 1∈R ，存在x 2∈R ，使得f(x 1)=−g(x 2)成立，所以{y|y =f(x), x ∈R}∩{y|y =−g(x), x ∈R}≠⌀，又f(x)=3|x −a|+|3x +1|≥|(3x −3a)−(3x +1)|=|3a +1|， 故g(x)的最小值是−94，可知−g(x)max =94，所以|3a +1|≤94，解得−1312≤a ≤512， 所以实数a 的取值范围为[−1312, 512]．【考点】函数与方程的综合运用绝对值不等式的解法与证明 绝对值三角不等式 【解析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为{y|y =f(x), x ∈R}∩{y|y =−g(x), x ∈R}≠⌀，求出f(x)的最小值和g(x)的最小值，得到关于a 的不等式，解出即可． 【解答】g(x)=|4x −1|−|x +2|．g(x)={−3x +3,x ≤2−5x −1,2<x <14−3x −3,x ≥14 ，不等式g(x)<6，x ≤−2时，4x −1−x −2<6，解得：x >−1，不等式无解； −2<x <14时，1−4x −x −2<6，解得：−75<x <14，x ≥14时，4x −1−x −2<6，解得：3>x ≥14， 综上，不等式的解集是(−75, 3)；因为存在x 1∈R ，存在x 2∈R ，使得f(x 1)=−g(x 2)成立，所以{y|y =f(x), x ∈R}∩{y|y =−g(x), x ∈R}≠⌀，又f(x)=3|x −a|+|3x +1|≥|(3x −3a)−(3x +1)|=|3a +1|， 故g(x)的最小值是−94，可知−g(x)max =94，所以|3a +1|≤94，解得−1312≤a ≤512， 所以实数a 的取值范围为[−1312, 512]．。
2018年广东省佛山市高考数学一模试卷(理科)
2018年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z1=1−2i2+i 5的实部为( )A. −0B. 0C. 1D. 22.已知全集U=R，集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x2−2x>0}，则图1中阴影部分表示的集合为( )A. {0，1，2}B. {1，2}C. {3，4}D. {0，3，4}3.若变量x，y满足约束条件{y≤0x−2y−1≥0x−4y−3≤0，则z=3x−2y的最小值为( )A. −1B. 0C. 3D. 94.已知x∈R，则“x2=x+2”是“x=√x+2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.把曲线C1：y=2sin(x−π6)上所有点向右平移π6个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的12，得到曲线C2，则C2( )A. 关于直线x=π4对称 B. 关于直线x=5π12对称C. 关于点(π12，0)对称 D. 关于点(π，0)对称6.已知tanθ+1tanθ=4，则cos2(θ+π4)=( )A. 12B. 13C. 14D. 157.当m=5，n=2时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )1/ 16A. 20B. 42C. 60D. 1808.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 212B. 15 C. 332D. 189.已知f(x)=2x+a2x为奇函数，g(x)=bx−log2(4x+1)为偶函数，则f(ab)= ( )A. 174B. 52C. −154D. −3210.△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5，B=π3，cosA=1114，则△ABC的面积S=( )3 / 16A. 10√33B. 10C. 10√3D. 20√311. 已知三棱锥P −ABC 中，侧面PAC ⊥底面ABC ，∠BAC =90∘，AB =AC =4，PA =√10，PC =√2，则三棱锥P −ABC 外接球的表面积为( )A. 24πB. 28πC. 32πD. 36π12. 设函数f(x)=x 3−3x 2+2x ，若x 1，x 2(x 1<x 2)是函数g(x)=f(x)−λx 的两个极值点，现给出如下结论：①若−1<λ<0，则f(x 1)<f(x 2)； ②若0<λ<2，则f(x 1)<f(x 2)； ③若λ>2，则f(x 1)<f(x 2). 其中正确结论的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设a ⃗ =(1，2)，b ⃗ =(−1，1)，c ⃗ =a ⃗ +λb ⃗ ，若a⃗ ⊥c ⃗ ，则实数λ的值等于______． 14. 已知a >0，(ax −1)4(x +2)展开式中x 2的系数为1，则a 的值为______．15. 设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个篮球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个篮球得3分，现从该袋子中任取(有放回，且每球取得的机会均等)2个球，则取出此2球所得分数之和为3分的概率为______． 16. 双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距2c ，以右顶点A 为圆心，半径为a+c 2的圆过F 1的直线l 相切与点N ，设l 与C 交点为P ，Q ，若PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率为______． 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 已知各项均不为零的等差数列{a n }的前n 项和S n .且满足2S n =a n 2+λn ，λ∈R ．(1)求λ的值；(2)求数列{1a2n−1a 2n+1}的前n 项和T n ．18. 有甲乙两家公司都愿意聘用某求职者，这两家公式的具体聘用信息如下：甲公司(2)某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就选择这两家公司的意愿作了统计，得到如下数据分布：人员结构选择意愿 40岁以上(含40岁)男性40岁以上(含40岁)女性40岁以下男性 40岁以下女性选择甲公司 110 120 140 80选择乙公司 150 90 200 110若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的K的观测值为k1测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k)0.0500.0250.0100.005 k 3.841 5.024 6.6357.87919.如图，已知四棱锥P−ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，AB=3，CD=4，AD=AP=4，∠PAB=∠PAD=60∘．(1)证明：顶点P在底面ABCD的射影在∠BAD的平分线上；(2)求二面角B−PD−C的余弦值．20.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点与抛物线C2：y2=8√2x的焦点F重合，且椭圆C1的右顶点P到F的距离为3−2√2；(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l与椭圆C1交于A，B两点，且满足PA⊥PB，求△PAB面积的最大值．5 / 1621. 已知函数f(x)=(x −a)lnx +12x ，(其中a ∈R)(1)若曲线y =f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线方程为y =12x ，求a 的值； (2)若12e <a <2√e(e 为自然对数的底数)，求证：f(x)>0．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =tcosαy =2+tsinα(t 为参数，0≤α<π)，曲线C 的参数方程为{x =2cosβy =2+2cosβ(β为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设C 与l 交于M ，N 两点(异于原点)，求|OM|+|ON|的最大值．23. 已知函数f(x)=x|x −a|，a ∈R ．(1)若f(1)+f(−1)>1，求a 的取值范围；(2)若a >0，对∀x ，y ∈(−∞，a]，都有不等式f(x)≤|y +54|+|y −a|恒成立，求a 的取值范围．答案和解析【答案】 1. B 2. A 3. A 4. B 5. B 6. C7. C8. C 9. D 10. C 11. D 12. B13. −514. 12 15. 1316. 217. 解：(1)因为数列{a n }为等差数列，设a n =An +B ，因为{a n }的公差不为零，则S n =(A+B+An+B)n2，所以2S n =An 2+(A +2B)n ，因为2S n =a n 2+λn ，λ∈R ，所以An 2+(A +2B)n =A 2n 2+(2AB +λ)n +B 2，所以{A =A 2A +2B =2AB +λB 2=0A ≠0⇒{A =1B =0λ=1． (2)由(1)知a n =n ， 所以1a2n−1a 2n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以T n =12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=n2n+1．18. 解：(1)设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X ，Y ，则E(X)=6000×0.4+7000×0.3+8000×0.2+9000×0.1=7000， E(Y)=5000×0.4+7000×0.3+9000×0.2+11000×0.1=7000，D(X)=(6000−7000)2×0.4+(7000−7000)2×0.3+(8000−7000)2×0.2+(9000−7000)2×0.1=10002，D(Y)=(5000−7000)2×0.4+(7000−7000)2×0.3+(9000−7000)2×0.2+(11000−7000)2×0.1=20002，则E(X)=E(Y)，D(X)<D(Y)，我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司； 或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司； (2)因为k 1=0.5513>5.024，根据表中对应值，得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025， 由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的2×2列联表如下：计算K 2=1000×(250×200−350×200)2600×400×450×550=2000297≈6.734，且K 2=6.734>6.635，7 / 16对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01， 由0.01<0.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大．19. 解：(1)证明：设点O 为点P 在底面ABCD 的射影，连接PA ，AO ，则PO ⊥底面ABCD ， 分别作OM ⊥AB ，ON ⊥AD ，垂直分别为M ，N ，连接PM ，PN ， 因为PO ⊥底面ABCD ，AB ⊂底面ABCD ，所以PO ⊥AB ，又OM ⊥AB ，OM ∩OP =O ，所以AB ⊥平面OPM ，PM ⊂平面OPM ， 所以AB ⊥PM ，同理AD ⊥PN ，即∠AMP =∠ANP =90∘，又∠PAB =∠PAD ，PA =PA ，所以△AMP≌△ANP ，所以AM =AN ，又AO =AO ，所以Rt △AMO≌Rt △ANP ， 所以∠OAM =∠OAN ，所以AO 为∠BAD 的平分线．(2)以O 为原点，分别以OM ，ON ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，因为PA =4，所以AM =2，因为AB ⊥AD ，AO 为∠BAD 的平分线，所以∠OAM =450，OM =AM =2，AO =2√2，所以PO =√PA 2−AO 2=2√2， 则B(2，1，0)，P(0，0，2√2)，D(−2，−2，0)，C(−2，4，0)，所以DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4，3，0)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，2，2√2)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，6，0) 设平面BPD 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1，y 1，z 1)，则{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4x 1+3y 1=0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x 1+2y 1+2z 1=0，可取n 1⃗⃗⃗⃗ =(3√2，−4√2，1)， 设平面PDC 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2，y 2，z 2)，则由{n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅Dc⃗⃗⃗⃗⃗ =6y 2=0n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x 1+2y 1+2√2z 1=0，可取n 2⃗⃗⃗⃗ =(√2，0，−1)， 所以cos〈n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√18+32+1√2+1=5√1751，所以二面角B −PD −C的余弦值为5√1751．20. 解：(1)设椭圆C 1的半焦距为c ，依题意，可得a >b ，且F(2√2，0)，c =2√2，a −c =3−2√2⇒a =3，b =1， 所以椭圆C 1的方程为x 29+y 2=1．(2)依题意，可设直线PA ，PB 的斜率存在且不为零， 不妨设直线PA ：y =k(x −3)，则直线PB ：y =−1k (x −3)， 联立：{y =k(x −3)x 29+y 2=1得(1+9k 2)x 2−54k 2x +(81k 2−9)=0， 则|PA|=√1+k 2⋅61+9k 2 同理可得：|PB|=√1+1k 2⋅61+9⋅1k 2=√1+k 2⋅6k 29+k 2，所以△PAB 的面积为：S =12|PA||PB|=18(1+k 2)k(1+9k 2)(9+k 2)=18(1+k 2)k9(1+k 2)2+64k 2≤22√9(1+k 2)2⋅64k 2=38， 当且仅当3(k 2+1)=8k ，即k =4±√73是面积取得最大值38． 21. 解：(1)f(x)的定义域为(0，+∞)，f′(x)=lnx −a2+32，由题意知{y 0=12x 0y 0=(x 0−a)lnx 0+12x 0lnx 0−a x 0+32=12，则{(x 0−a)lnx 0=0lnx 0−a x 0+1=0，解得x 0=1，a =1或x 0=a ，a =1，所以a =1． (2)令g(x)=f′(x)=lnx −ax +32，则g′(x)=1x +ax 2， 因为12e <a <2√e ，所以g′(x)=x+a x >0，即g(x)在(0，+∞)上递增，以下证明在g(x)区间(a2，2a)上有唯一的零点x 0， 事实上g(a2)=ln a2−aa 2+32=ln a 2−12，g(2a)=ln2a −a 2a +32=ln2a +1，9 / 16因为12e <a <2√e ，所以g(a 2)<ln2√e 2−12=0，g(2a)<ln(2⋅12e )+1=0，由零点的存在定理可知，g(x)在(a2，2a)上有唯一的零点x 0， 所以在区间(0，x 0)上，单调递减；在区间(x 0，+∞)上，0，f (x )'/>单调递增，故当x =x 0时，f(x)取得最小值f(x 0)=(x 0−a)lnx 0+12x 0， 因为g(x 0)=lnx 0−a x 0+32=0，即lnx 0=a x 0−32，所以f(x 0)=(x 0−a)(a x 0−32)+12x 0=52x 0−x 0−a 2x 0，即f(x 0)=1x 0(x 0−a2)(2a −x 0)>0．∴f(x)>0．22. 解：(1)∵曲线C 的参数方程为{x =2cosβy =2+2cosβ(β为参数)，∴消去参数β，得曲线C 的普通方程为x 2+(y −2)2=4， 化简得x 2+y 2=4y ，则ρ2=4ρsinθ， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ2=4ρsinθ．(2)∵直线l 的参数方程为{x =tcosαy =2+tsinα(t 为参数，0≤α<π)，∴由直线l 的参数方程可知，直线l 必过点(0，2)，也就是圆C 的圆心，则∠MON =π2， 不妨设M(ρ1，θ)，N(ρ2，θ+π2)，其中θ∈(0，π2)，则|OM|+|ON|=ρ1+ρ2=4sinθ+4sin(θ+π2)=4(sinθ+cosθ)=4√2sin(θ+π4)， 所以当θ=π4，|OM|+|ON|取得最大值为4√2．23. 解：(1)f(1)+f(−1)=|1−a|−|1+a|>1，若a ≤−1，则1−a +1+a >1，得2>1，即a ≤−1时恒成立， 若−1<a <1，则1−a −(1+a)>1，得a <−12，即−1<a <−12， 若a ≥1，则−(1−a)−(1+a)>1，得−2>1，即不等式无解， 综上所述，a 的取值范围是(−∞，−12)．(2)由题意知，要使得不等式恒成立，只需[f(x)]max ≤[|y +54|+|y −a|]min ， 当x ∈(−∞，a]时，f(x)=−x 2+ax ，[f(x)]max =f(a2)=a 24，因为|y +54|+|y −a|≥|a +54|，所以当y ∈[−54，a]时，[|y +54|+|y −a|]min =|a +54|=a +54， 即a 24≤a +54，解得−1≤a ≤5，结合a >0，所以a 的取值范围是(0，5]．【解析】1. 解：z 1=1−2i 2+i 5=1−2i 2+i=(1−2i)(2−i)(2+i)(2−i)=−5i 5=−i ，∴复数z 1=1+2i 2+i的实部为0．故选：B ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 2. 解：∵全集U =R ，集合A ={0，1，2，3，4}， B ={x|x 2−2x >0}={x|x >2或x <0}， ∴C U B ={x|0≤x ≤2}，∴图中阴影部分表示的集合为A ∩(C U B)={0，1，2}． 故选：A ．求出B ={x|x 2−2x >0}={x|x >2或x <0}，从而C U B ={x|0≤x ≤2}，图中阴影部分表示的集合为A ∩(C U B)．本题考查集合的求法，考查补集、并集及其运算、集合的包含关系判断及应用等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 3. 解：画出变量x ，y 满足约束条件{y ≤0x −2y −1≥0x −4y −3≤0可行域如图阴影区域： 目标函数z =3x −2y 可看做y =32x −12z ，即斜率为32，截距为−12z 的动直线，数形结合可知，当动直线过点A 时，z 最小 由{x −2y −1=0x −4y −3=0得A(−1，−1)∴目标函数z =3x −2y 的最小值为z =−3×0+2×1=−1． 故选：A ．先画出线性约束条件对应的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最小值．本题主要考查了线性规划的思想方法和解题技巧，二元一次不等式组表示平面区域，数形结合的思想方法，属基础题4. 解：“x 2=x +2”，解得x =2或−1． 由“x =√x +2”，解得x =2．∴“x 2=x +2”是“x =√x +2”的必要不充分条件． 故选：B ．分别解出方程，即可判断出结论．本题考查了方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5. 解：把曲线C 1：y =2sin(x −π6)上所有点向右平移π6个单位长度，可得y =2sin(x −π6−π6)=2sin(x −π3)的图象；再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的12，得到曲线C 2：y =2sin(2x −π3)的图象，对于曲线C2：y=2sin(2x−π3)：令x=π4，y=1，不是最值，故它的图象不关于直线x=π4对称，故A 错误；令x=5π12，y=2，为最值，故它的图象关于直线x=π4对称，故B正确；令x=π12，y=−1，故它的图象不关于点(π12，0)对称，故C错误；令x=π，y=−√3，故它的图象不关于点(π，0)对称，故D错误，故选：B．利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得C2的方程，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．6. 解：由tanθ+1tanθ=4，得sinθcosθ+cosθsinθ=4，即sin2θ+cos2θsinθcosθ=4，∴sinθcosθ=14，∴cos2(θ+π4)=1+cos(2θ+π2)2=1−sin2θ2=1−2sinθcosθ2=1−2×142=14．故选：C．由已知求得sinθcosθ的值，再由二倍角的余弦及诱导公式求解cos2(θ+π4)的值．本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．7. 解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=5×4×3的值，S=5×4×3=60．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键，属于基础题．8. 解：由题意可知几何体的直观图为：多面体：A′B′C′−ABCD几何体补成四棱柱，底面是直角梯形，底边长为3，高为3，上底边长为1，几何体的体积为：V棱柱−V棱锥=3×1+32×3−1 3×12×3×1×3=18−3211/ 16=332．故选：C．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．9. 解：根据题意，f(x)=2x+a2x为奇函数，则有f(−x)+f(x)=0，即(2x+a2−x )+(2x+a2−x)=0，解可得a=−1，g(x)=bx−log2(4x+1)为偶函数，则g(x)=g(−x)，即bx−log2(4x+1)=b(−x)−log2(4−x+1)，解可得b=1，则ab=−1，f(ab)=f(−1)=2−1−12−1=−32；故选：D．根据题意，由于f(x)为奇函数，分析可得(2x+a2−x )+(2x+a2−x)=0，解可得a的值，又由g(x)为偶函数，分析可得bx−log2(4x+1)=b(−x)−log2(4−x+1)，解可得b的值，即可得ab的值，将ab的值代入函数f(x)的解析式，计算可得答案．本题考查函数奇偶性的性质与应用，关键是利用函数奇偶性的性质分析求出a、b的值．10. 解：若a=5，B=π3，cosA=1114，可得sinA=√1−cos2A=5√314，由正弦定理可得b=asinBsinA =5×√325√314=7，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=5√314×12+1114×√32=4√37，则△ABC的面积为S=12absinC=12×5×7×4√37=10√3．故选C．求得sinA，再由正弦定理可得b，运用两角和的正弦公式可得sinC，再由三角形的面积公式，计算可得所求值．本题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查两角和的正弦公式，以及运算能力，属于基础题．11. 解：取BC中点D，连结AD，过P作PE⊥平面ABC，交AC于E，过E作EF//BC，交AD于F，以D为原点，DB为x轴，AD为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则DA=DB=DC=12√16+16=2√2，√AP2−AE2=√AC2−CE2，即√10−AE2=√2−(4−AE)2，解得AE=3，CE=1，PE=1，AF=13 / 16EF =3√22，则B(2√2，0，0)，P(−3√22，−√22，1)， 设球心O(0，0，t)，则OB =OP ， ∴√(2√2−0)2+(0−t)2=√(0+3√22)2+(0+√22)2+(t −1)2，解得t =−1，∴三棱锥P −ABC 外接球半径R =√(2√2−0)2+(0+1)2=3，∴三棱锥P −ABC 外接球的表面积为： S =4πR 2=4π×9=36π． 故选：D ．取BC 中点D ，连结AD ，过P 作PE ⊥平面ABC ，交AC 于E ，过E 作EF//BC ，交AD 于F ，以D 为原点，DB 为x 轴，AD 为y 轴，过D 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥P −ABC 外接球半径，由此能求出三棱锥P −ABC 外接球的表面积．本题考查三棱锥外接球球的表面积的求法，考查向量法、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题． 12. 解：函数g(x)=f(x)−λx ， ∴g′(x)=f′(x)−λ， 令g′(x)=0， ∴f′(x)−λ=0，即f′(x)=λ有两解x 1，x 2，(x 1<x 2) ∵f(x)=x 3−3x 2+2x ， ∴f′(x)=3x 2−6x +2，分别画出y =f′(x)与y =λ的图象如图所示： ①当−1<λ<0时，则f(x 1)>f(x 2)； ②若0<λ<2，则f(x 1)>f(x 2)； ③若λ>2，则f(x 1)<f(x 2). 故选：B ．先求导，可得f′(x)=λ有两解x 1，x 2，(x 1<x 2)，分别画出y =f′(x)与y =λ的图象如图所示，结合图象即可判断． 本题考查了导数和函数的极值的关系，考查了转化能力和数形结合的能力，属于中档题． 13. 解：c ⃗ =a ⃗ +λb ⃗ =(1，2)+λ(−1，1)=(1−λ，2+λ)， ∵a ⃗ ⊥c ⃗ ，∴a ⃗ ⋅c ⃗ =1−λ+2(2+λ)=0， 则实数λ=−5 故答案为：−5． 由a⃗ ⊥c ⃗ ，可得a ⃗ ⋅c ⃗ =0，即可得出． 本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14. 解：(ax −1)4(x +2)=(1−ax)4(x +2)=(1−4ax +6a 2x 2+⋯)(x +2)；其展开式中x 2的系数为−4a +12a 2=1， 即12a 2−4a −1=0，解得a =12或a =−16(不合题意，舍去)； ∴a 的值为12．故答案为：12．利用二项展开式定理求出多项式的展开式，再求x 2的系数，列方程求得a 的值． 本题考查了二项展定理的应用问题，是基础题．15. 解：袋子中装有3个红球，2个黄球，1个篮球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个篮球得3分， 现从该袋子中任取(有放回，且每球取得的机会均等)2个球， 基本事件总数n =6×6=36，取出此2球所得分数之和为3分包含的基本事件个数m =2×3+3×2=12， 取出此2球所得分数之和为3分的概率为p =m n=1236=13．故答案为：13．基本事件总数n =6×6=36，取出此2球所得分数之和为3分包含的基本事件个数m =2×3+3×2=12，由此能求出取出此2球所得分数之和为3分的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16. 解：由PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得N 为PQ 的中点， AN ⊥PQ ，在直角三角形F 1AN 中，AF 1=a +c ， AN =a+c 2，即有∠NF 1A =30∘，直线PQ 的斜率为√33，AN 的斜率为−√3，由F 1(−c ，0)，A(a ，0)，可得直线PQ 的方程为y =√33(x +c)，代入双曲线的方程可得(3b 2−a 2)x 2−2ca 2x −a 2c 2−3a 2b 2=0， 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)， 可得x 1+x 2=2a 2c3b 2−a 2，PQ 的中点N 的横坐标为a 2c 3b 2−a 2，纵坐标为√33(a 2c3b 2−a 2+c)=√3cb 23b 2−a2，由k AN =y N−0x N−a =−√3，即为√3cb 2a c−3ab +a =−√3，即为a 2c −3a(c 2−a 2)+a 3=−c(c 2−a 2)， 化为(c −2a)2=0， 即c =2a ，可得e =ca =2．故答案为：2．由题意可得N 为PQ 的中点，AN ⊥PQ ，运用直角三角形的性质可得直线PQ 的斜率为√33，AN的斜率为−√3，求得直线PQ的方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得N的坐标，再由直线的斜率公式和离心率公式，化简整理即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，考查直角三角形的性质和直线与双曲线的方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查两直线垂直的条件：斜率之积为−1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．17. (1)利用等差数列的通项公式以及数列的求和公式，利用待定系数法求解即可．(2)利用裂项相消法求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查计算能力．18. (1)设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X，Y，计算E(X)和E(Y)的值，比较即可得出结论；(2)根据题意填写选择意愿与性别两个分类变量的列联表，计算K2，对照临界值表得出结论．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列问题，是中档题．19. (1)设点O为点P在底面ABCD的射影，连接PA，AO，则PO⊥底面ABCD，分别作OM⊥AB，ON⊥AD，垂直分别为M，N，连接PM，PN，证明PO⊥AB，结合OM⊥AB，推出AB⊥平面OPM，可得AB⊥PM，AD⊥PN，证明△AMP≌△ANP，Rt△AMO≌Rt△ANP，得到∠OAM=∠OAN，推出AO为∠BAD的平分线．(2)以O为原点，分别以OM，ON，OP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，求出平面BPD的一个法向量，平面PDC的一个法向量利用空间向量的数量积求解二面角B−PD−C的余弦值即可．本题考查直线与平面垂直的判断与性质，三角形的全等，二面角的为平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20. (1)利用已知条件转化求解椭圆的几何量，求解椭圆方程即可；(2)设出直线方程，利用直线与椭圆方程联立，利用弦长公式转化求解三角形的面积，利用基本不等式求解即可．本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．21. (1)求出定义域，求出导函数，利用切线方程列出方程组求解即可．(2)令g(x)=f′(x)=lnx−ax +32，则g′(x)=1x+ax2，推出g(x)在(0，+∞)上递增，证明在g(x)区间(a2，2a)上有唯一的零点x0，推出f(x)取得最小值即f(x0)=1x0(x0−a2)(2a−x0)>0，即可．本题考查函数的单调性以及函数的极值的求法，切线方程的应用，考查转化思想以及计算能力．22. (1)曲线C的参数方程消去参数β，得曲线C的普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程．(2)由直线l的参数方程可知，直线l必过圆C的圆心(0，2)，则∠MON=π2，设M(ρ1，θ)，N(ρ2，θ+π2)，则|OM|+|ON|=4√2sin(θ+π4)，当θ=π4，|OM|+|ON|取得最大值为4√2．本小题考查曲线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．15/ 1623. (1)利用f(1)+f(−1)=|1−a|−|1+a|>1，通过a≤−1，−1<a<1，a≥1，分别求解即可．|+|y−a|]min，通过二次函数的最(2)要使得不等式恒成立，只需[f(x)]max≤[|y+54值，绝对值的几何意义，转化求解即可．本题考查函数的最值的求法，二次函数的简单性质以及绝对值不等式的几何意义，考查分类讨论思想的应用．。
广东省佛山市高考一模数学理精选文档
广东省佛山市高考一模数学理精选文档TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-2018年广东省佛山市高考一模数学理一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数15122i z i-+＝的实部为( )解析：()()()()151221212525222i i i i i z i i i i i -----==-++-+＝＝＝， ∴复数1122iz i++＝的实部为0. 答案：B2.已知全集U=R ，集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x 2-2x ＞0}，则图1中阴影部分表示的集合为( )A.{0，1，2}B.{1，2}C.{3，4}D.{0，3，4}解析：∵全集U=R ，集合A={0，1，2，3，4}， B={x|x 2-2x ＞0}={x|x ＞2或x ＜0}， ∴C U B={x|0≤x ≤2}，∴图中阴影部分表示的集合为A ∩(C U B)={0，1，2}. 答案：A3.若变量x ，y 满足约束条件0210430y x y x y ≤--≥--≤⎧⎪⎨⎪⎩，则z=3x-2y 的最小值为( )解析：画出变量x ，y 满足约束条件0210430y x y x y ≤--≥--≤⎧⎪⎨⎪⎩可行域如图阴影区域：目标函数z=3x-2y 可看做3122y x z =-，即斜率为32，截距为12z-的动直线， 数形结合可知，当动直线过点A 时，z 最小由 210430x y x y --⎧⎨--⎩＝＝得A(-1，-1)∴目标函数z=3x-2y 的最小值为z=-3×0+2×1=-1. 答案：A4.已知x ∈R ，则“x 2=x+2”是“x =( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：“x 2=x+2”，解得x=2或-1.由“x =x=2.∴“x 2=x+2”是“x =”的必要不充分条件.答案：B5.把曲线()12sin 6C y x π-：＝上所有点向右平移6π个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的12，得到曲线C 2，则C 2( )A.关于直线4x π＝对称B.关于直线512x π＝对称C.关于点(12π，0)对称 D.关于点(π，0)对称解析：把曲线()12sin 6C y x π-：＝上所有点向右平移6π个单位长度，可得()()2sin 2sin 663y x x πππ=--=-的图象；再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的12，得到曲线C 2：()2sin 23y x π=-的图象，对于曲线C 2：y=2sin(2x-3π)：令4x π＝，y=1，不是最值，故它的图象不关于直线4x π＝对称，故A 错误；令512x π＝，y=2，为最值，故它的图象关于直线4x π＝对称，故B 正确；令12x π＝，y=-1，故它的图象不关于点(12π，0)对称，故C 错误； 令x=π，y=-，故它的图象不关于点(π，0)对称，故D 错误. 答案：B6.已知1tan 4tan θθ+＝，则()2cos 4πθ+=( )A.12B.13C.14D.15解析：由1tan 4tan θθ+＝，得sin cos 4cos sin θθθθ+＝，即22sin cos 4sin cos θθθθ+＝， ∴sinθcosθ=14，∴()()21cos 21221sin 212sin cos cos 422244211πθπθθθθ++-⨯--+===＝＝. 答案：C7.当m=5，n=2时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )解析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=5×4×3的值，S=5×4×3=60.答案：C8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.212 C.332解析：由题意可知几何体的直观图为：多面体：A′B′C′-ABCD 几何体补成四棱柱，底面是直角梯形，底边长为3，高为3， 上底边长为1，几何体的体积为：V 棱柱-V 棱锥=1313333331311222238+⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=.答案：C9.已知()22x x a f x +＝为奇函数，g(x)＝bx-log 2(4x +1)为偶函数，则f(ab)=( )A.174B.52C.154-D.32-解析：根据题意，()22x x a f x +＝为奇函数，则有f(-x)+f(x)=0，即()()22022x x xx a a --+++=，解可得a=-1， g(x)＝bx-log 2(4x +1)为偶函数，则g(x)=g(-x)， 即bx-log 2(4x +1)=b(-x)-log 2(4-x +1)， 解可得b=1， 则ab=-1，f(ab)=f(-1)=1113222=-﹣﹣﹣. 答案：D10.△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若115cos 314a B A π＝，＝，＝，则△ABC 的面积S=( )C.D.解析：若115cos 314a B A π＝，＝，＝，可得sin A ==，由正弦定理可得5sin 7sin a B b A ===，111214+=，则△ABC 的面积为S=11sin 5722ab C =⨯⨯=答案：C11.已知三棱锥P-ABC 中，侧面PAC ⊥底面ABC ，∠BAC=90°，AB=AC=4，PC=，则三棱锥P-ABC 外接球的表面积为( ) π π π π解析：取BC中点D，连结AD，过P作PE⊥平面ABC，交AC于E，过E作EF∥BC，交AD于F，以D为原点，DB为x轴，AD为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则DA DB DC======解得AE=3，CE=1，PE=1，，则B(0，0)，P(1)，设球心O(0，0，t)，则OB=OP，=解得t=-1，∴三棱锥P-ABC外接球半径，∴三棱锥P-ABC外接球的表面积为：S=4πR2=4π×9=36π.答案：D12.设函数f(x)=x3-3x2+2x，若x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)=f(x)-λx的两个极值点，现给出如下结论：①若-1＜λ＜0，则f(x1)＜f(x2)；②若0＜λ＜2，则f(x1)＜f(x2)；③若λ＞2，则f(x1)＜f(x2).其中正确结论的个数为( )解析：函数g(x)=f(x)-λx，∴g′(x)=f′(x)-λ，令g′(x)=0，∴f′(x)-λ=0，即f′(x)=λ有两解x1，x2，(x1＜x2)∵f(x)=x3-3x2+2x，∴f′(x)=3x2-6x+2，分别画出y=f′(x)与y=λ的图象如图所示：①当-1＜λ＜0时，则f(x1)＞f(x2)；②若0＜λ＜2，则f(x1)＞f(x2)；③若λ＞2，则f(x1)＜f(x2).答案：B二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.设a=(1，2)，b=(-1，1)，c a bλ=+，若a c⊥，则实数λ的值等于____. 解析：c a bλ=+ =(1，2)+λ(-1，1)=(1-λ，2+λ)，∵a c⊥，∴a c⋅=1-λ+2(2+λ)=0，则实数λ=-5答案：-514.已知a＞0，(ax-1)4(x+2)展开式中x2的系数为1，则a的值为____.解析：(ax-1)4(x+2)=(1-ax)4(x+2)=(1-4ax+6a2x2+…)(x+2)；其展开式中x2的系数为-4a+12a2=1，即12a2-4a-1=0，解得a=12或a=16-(不合题意，舍去)；∴a的值为1 2.答案：1215.设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个篮球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个篮球得3分，现从该袋子中任取(有放回，且每球取得的机会均等)2个球，则取出此2球所得分数之和为3分的概率为____.解析：袋子中装有3个红球，2个黄球，1个篮球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个篮球得3分， 现从该袋子中任取(有放回，且每球取得的机会均等)2个球， 基本事件总数n=6×6=36，取出此2球所得分数之和为3分包含的基本事件个数m=2×3+3×2=12，取出此2球所得分数之和为3分的概率为123613m p n ===.答案：1316.双曲线C ：22221y x a b-＝(a ＞0，b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距2c ，以右顶点A 为圆心，半径为2a c+的圆过F 1的直线l 相切与点N ，设l 与C 交点为P ，Q ，若2PQ PN ＝，则双曲线C 的离心率为____. 解析：由2PQ PN ＝，可得N 为PQ 的中点， AN ⊥PQ ，在直角三角形F 1AN 中，AF 1=a+c ，AN=2a c +，即有∠NF 1A=30°，直线PQAN的斜率为由F 1(-c ，0)，A(a ，0)，可得直线PQ 的方程为(x+c)，代入双曲线的方程可得(3b 2-a 2)x 2-2ca 2x-a 2c 2-3a 2b 2=0， 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，可得2122223a c x x b a+=-， PQ 的中点N 的横坐标为22223a c b a-，2223a c b a c ⎫=⎪⎝⎭+-，由0N AN N y k x a-==-=， 即为a 2c-3a(c 2-a 2)+a 3=-c(c 2-a 2)， 化为(c-2a)2=0，即c=2a ，可得e=ca=2.答案：2三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知各项均不为零的等差数列{a n }的前n 项和S n .且满足2S n ＝2n a +λn ，λ∈R.(1)求λ的值；(2)求数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n . 解析：(1)利用等差数列的通项公式以及数列的求和公式，利用待定系数法求解即可.(2)利用裂项相消法求解数列的和即可.答案：(1)因为数列{a n }为等差数列，设a n =An+B ， 因为{a n }的公差不为零，则()2n n A B A B n S +++＝，所以()222nnS A A B n ++＝，因为2S n ＝2n a +λn ，λ∈R ，所以An 2+(A+2B)n=A 2n 2+(2AB+λ)n+B 2，所以22122001A A A AB AB B B A λλ⎧⎧⎪++⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⎩⎪≠⎩＝＝＝＝＝＝. (2)由(1)知a n =n ，所以()()()212111111221212121n n a a n n n n -+--+-+＝＝， 所以()()()()11111112212122111121335n n T n n n n ⎡⎤⎢-+-+⋯+---+++⎥⎣⎦＝＝＝.18.有甲乙两家公司都愿意聘用某求职者，这两家公式的具体聘用信息如下： 甲公司职位 A B C D 月薪/元 6000 7000 8000 9000 获得相应职位概率乙公司职位 A B C D 月薪/元 5000 7000 9000 11000 获得相应职位概率(1)根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？说明理由；(2)某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就选择这两家公司的意愿作了统计，得到如下数据分布：人员结构选择意愿40岁以上(含40岁)男性40岁以上(含40岁)女性40岁以下男性40岁以下女性选择甲公司110 120 140 80选择乙公司150 90 200 110若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的K2的观测值为k1=，测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-++++＝P(K2≥k)k解析：(1)设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X，Y，计算E(X)和E(Y)的值，比较即可得出结论；(2)根据题意填写选择意愿与性别两个分类变量的列联表，计算K2，对照临界值表得出结论.答案：(1)设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X，Y，则E(X)=6000×+7000×+8000×+9000×=7000，E(Y)=5000×+7000×+9000×+11000×=7000，D(X)=(6000-7000)2×+(7000-7000)2×+(8000-7000)2×+(9000-7000)2×=10002，D(Y)=(5000-7000)2×+(7000-7000)2×+(9000-7000)2×+(11000-7000)2×=20002，则E(X)=E(Y)，D(X)＜D(Y)，我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司；或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司；(2)因为k1=＞，根据表中对应值，得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是，由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的2×2列联表如下：选择甲公司选择乙公司总计男250 350 600女200 200 400总计450 550 1000计算()22100025020035020020006.734600400450550297K⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，且K2=＞，对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为，由＜，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大.19.如图，已知四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=3，CD=4，AD=AP=4，∠PAB=∠PAD=60°.(1)证明：顶点P在底面ABCD的射影在∠BAD的平分线上；(2)求二面角B-PD-C的余弦值.解析：(1)设点O为点P在底面ABCD的射影，连接PO，AO，则PO⊥底面ABCD，分别作OM⊥AB，ON⊥AD，垂直分别为M，N，连接PM，PN，证明PO⊥AB，结合OM⊥AB，推出AB⊥平面OPM，可得AB⊥PM，AD⊥PN，证明△AMP≌△ANP，Rt△AMO≌Rt△ANP，得到∠OAM=∠OAN，推出AO为∠BAD的平分线. (2)以O为原点，分别以OM，ON，OP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，求出平面BPD的一个法向量，平面PDC的一个法向量利用空间向量的数量积求解二面角B-PD-C的余弦值即可.答案：(1)证明：设点O为点P在底面ABCD的射影，连接PO，AO，则PO⊥底面ABCD，分别作OM⊥AB，ON⊥AD，垂直分别为M，N，连接PM，PN，因为PO⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，所以PO⊥AB，又OM⊥AB，OM∩OP=O，所以AB⊥平面OPM，PM?平面OPM，所以AB⊥PM，同理AD⊥PN，即∠AMP=∠ANP=90°，又∠PAB=∠PAD，PA=PA，所以△AMP≌△ANP，所以AM=AN，又AO=AO，所以Rt△AMO≌Rt△ANO，所以∠OAM=∠OAN，所以AO为∠BAD的平分线.(2)以O为原点，分别以OM，ON，OP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，因为PA=4，所以AM=2，因为AB ⊥AD ，AO 为∠BAD 的平分线，所以452OAM OM AM AO ∠︒＝，＝＝，＝PO ， 则B(2，1，0)，P(0，0，22)，D(-2，-2，0)，C(-2，4，0)，所以()(43)()02222060DB DP DC ＝，，，＝，，，＝，， 设平面BPD 的一个法向量为()1111n x y z ＝，，，则1111111430220n DB x y n DP x y ⎧⋅+⋅⎪⎨⎪⎩++＝＝＝＝，可取()132n -＝，， 设平面PDC 的一个法向量为()2222n x y z ＝，，，则由2221116022220n DC y n DP x y ⎧⎪⎨⎪⎩⋅⋅++＝＝＝＝，可取()221n -＝，，，所以121212cos 18n n n n n n ⋅⋅，＝＝， 所以二面角B-PD-C20.已知椭圆C 1：22221y x a b+＝(a ＞b ＞0)的焦点与抛物线C 2：2y ＝的焦点F重合，且椭圆C 1的右顶点P 到F 的距离为3-；(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l与椭圆C 1交于A ，B 两点，且满足PA ⊥PB ，求△PAB 面积的最大值. 解析：(1)利用已知条件转化求解椭圆的几何量，求解椭圆方程即可；(2)设出直线方程，利用直线与椭圆方程联立，利用弦长公式转化求解三角形的面积，利用基本不等式求解即可.答案：(1)设椭圆C 1的半焦距为c ，依题意，可得a ＞b ， 且()331F c a c a b --⇒，＝＝＝，＝，所以椭圆C 1的方程为2219x y +＝. (2)依题意，可设直线PA ，PB 的斜率存在且不为零，不妨设直线PA ：y=k(x-3)，则直线PB ：()13y x k--＝， 联立：()22319y k x x y ⎧-⎪⎨+⎪⎩＝＝得(1+9k 2)x 2-54k 2x+(81k 2-9)=0， 则261PA＝同理可得：222661919k PB k k ++⋅，所以△PAB 的面积为：()()()()()2222222222218118118113281999164k k k k k k S PA PB k k k k +++≤++++＝＝＝＝， 当且仅当3(k 2+1)=8k ，即k 38.21.已知函数f(x)=(x-a)lnx+12x ，(其中a ∈R)(1)若曲线y=f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线方程为y=12x ，求a 的值；(2)若12a e＜＜为自然对数的底数)，求证：f(x)＞0.解析：(1)求出定义域，求出导函数，利用切线方程列出方程组求解即可.(2)令()()3ln 2a g x f x x x '-+＝＝，则()21a g x x x'+＝，推出g(x)在(0，+∞)上递增，证明在g(x)区间()22a a ，上有唯一的零点x 0，推出f(x)取得最小值即()()()00001202af x x a x x --＝＞，即可.答案：(1)f(x)的定义域为(0，+∞)，()3ln 2a f x x x '-+＝，由题意知()00000000121ln 231ln 22y x y x a x x a x x ⎧⎪⎪⎪-+⎨⎪⎪-+⎪⎩＝＝＝，则()0000ln ln 100x a x a x x-⎧=⎪⎨-+⎪⎩＝， 解得x 0=1，a=1或x 0=a ，a=1，所以a=1.(2)令()()3ln 2a g x f x x x '-+＝＝，则()21a g x x x'+＝，因为12a e ＜＜()20x a g x x +'＝＞，即g(x)在(0，+∞)上递增， 以下证明在g(x)区间()22a a ，上有唯一的零点x 0，事实上()()313ln ln 2ln 2ln 2122222222a a a a a g g a a a a a -+--++＝＝，＝＝，因为12a e ＜＜()()()1102ln 210222a g g a e -⋅+＜＝，＞＝，由零点的存在定理可知，g(x)在()22a a ，上有唯一的零点x 0，所以在区间(0，x 0)上，g(x)=f'(x)＜0，f(x)单调递减； 在区间(x 0，+∞)上，g(x)=f'(x)＞0，f(x)单调递增，故当x=x 0时，f(x)取得最小值()()00001ln 2f x x a x x -+＝，因为()0003ln 02a g x x x -+＝＝，即003ln 2a x x -＝，所以()()20000000315222a af x x a x x x x x ⎛⎫---- ⎪⎝+⎭＝＝，即()()()00001202a f x x a x x --＝＞.∴f(x)＞0.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα+⎧⎨⎩＝＝(t 为参数，0≤α＜π)，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y ββ⎨⎩+⎧＝＝(β为参数)，以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设C 与l 交于M ，N 两点(异于原点)，求|OM|+|ON|的最大值.解析：(1)曲线C 的参数方程消去参数β，得曲线C 的普通方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程.(2)由直线l 的参数方程可知，直线l 必过圆C 的圆心(0，2)，则2MON π∠＝，设()()122M N πρθρθ+，，，，则|OM|+|ON|=()4πθ+，当4πθ＝，|OM|+|ON|取得最大值为答案：(1)∵曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y ββ⎨⎩+⎧＝＝(β为参数)，∴消去参数β，得曲线C 的普通方程为x 2+(y-2)2=4， 化简得x 2+y 2=4y ，则ρ2=4ρsinθ， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ.(2)∵直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα+⎧⎨⎩＝＝(t 为参数，0≤α＜π)，∴由直线l 的参数方程可知，直线l 必过点(0，2)，也就是圆C 的圆心，则2MON π∠＝，不妨设()()122M N πρθρθ+，，，，其中()02πθ∈，， 则()()()124sin 4sin 4sin cos 24OM ON ππρρθθθθθ++++++＝＝＝＝，所以当4πθ＝，|OM|+|ON|取得最大值为23.已知函数f(x)=x|x-a|，a ∈R.(1)若f(1)+f(-1)＞1，求a 的取值范围；(2)若a ＞0，对?x ，y ∈(-∞，a]，都有不等式()54f x y y a ≤++-恒成立，求a 的取值范围.解析：(1)利用f(1)+f(-1)=|1-a|-|1+a|＞1，通过a ≤-1，-1＜a ＜1，a ≥1，分别求解即可.(2)要使得不等式恒成立，只需()max min4|5|f x y y a ≤++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦-，通过二次函数的最值，绝对值的几何意义，转化求解即可.答案：(1)f(1)+f(-1)=|1-a|-|1+a|＞1，若a ≤-1，则1-a+1+a ＞1，得2＞1，即a ≤-1时恒成立，若-1＜a ＜1，则1-a-(1+a)＞1，得a ＜12-，即-1＜a ＜12-，若a ≥1，则-(1-a)-(1+a)＞1，得-2＞1，即不等式无解， 综上所述，a 的取值范围是()12-∞-，.(2)由题意知，要使得不等式恒成立，只需()max min4|5|f x y y a ≤++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦-，当x ∈(-∞，a]时，()()()22max 24a a f x x ax f x f ⎡⎤⎣-⎦+＝，＝＝， 因为5544y y a a ++-≥+，所以当54y a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，min55|544|4y y a a a ⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦++-， 即2544a a ≤+，解得-1≤a ≤5，结合a ＞0，所以a 的取值范围是(0，5].。
2018年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷(理科)
2018年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x∈Z|x2＜5}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．（5分）已知复数z=1﹣i，则下列命题中正确的个数为：（）①|z|=；②=1+i；③z的虚部为﹣i．A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）向量=（1，x+1），=（1﹣x，2），⊥，则（+）（﹣）=（）A．﹣15 B．15 C．﹣20 D．204．（5分）△ABC中，tanA=，AC=2，BC=4，则AB=（）A．2﹣B．﹣ C．+D．2+5．（5分）将一根长为6m的绳子剪为二段，则其中一段大于另一段2倍的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）A．B．﹣1 C．0 D．17．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．12立方丈8．（5分）已知a=log 52，b=log73，c=log3，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a9．（5分）已知P（x，y）为平面区域内的任意一点，当该区域的面积为3时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．3 C．2 D．110．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，且SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，则球的表面积为（）A．4πB．3πC．8πD．12π11．（5分）若圆（x﹣）2+（y﹣1）2=9与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）经过二、四象限的渐近线，交于A，B两点且|AB|=2，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．12．（5分）对于实数a、b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1•x2•x3取值范围为（）A．（0，3） B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣3，0）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）若sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=，则cos2β=．14．（5分）4名同学去参加3 个不同的社团组织，每名同学只能参加其中一个社团组织，且甲乙两位同学不参加同一个社会团体，则共有种结果．15．（5分）已知f（x）=f（4﹣x），当x≤2时，f（x）=e x，f′（3）+f（3）=．16．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过焦点的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，若|AF|=2|BF|，则三角形CDF的面积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0且满足a n=2S n﹣﹣（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．18．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F 为AB的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．19．（12分）某市市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列，（Ⅰ）求a，b，c的值及居民用水量介于2﹣2.5的频数；（Ⅱ）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为多少立方米？（精确到小数掉后2位）（Ⅲ）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及其均值．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=﹣4y的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若圆O：x2+y2=r2与椭圆C交于A，B，C，D四点，当半径r为多少时，四边形ABCD 的面积最大？并求出最大面积．21．（12分）设函数f（x）=xlnx﹣ax+1，g（x）=﹣2x3+3x2﹣x+．（Ⅰ）求函数f（x）在[，e]上有两个零点，求a的取值范围；（Ⅱ）求证：f（x）+ax＞g（x）．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≥M恒成立，求m的取值范围．2018年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x∈Z|x2＜5}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【解答】解：∵A={x|﹣1≤x≤3}，B={x∈Z|x2＜5}={x∈Z|﹣＜x＜}={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B={﹣1，0，1，2}，故选：B．2．（5分）已知复数z=1﹣i，则下列命题中正确的个数为：（）①|z|=；②=1+i；③z的虚部为﹣i．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵z=1﹣i，∴|z|=，故①正确；，故②正确；z的虚部为﹣1，故③错误．∴正确命题的个数为2个．故选：C．3．（5分）向量=（1，x+1），=（1﹣x，2），⊥，则（+）（﹣）=（）A．﹣15 B．15 C．﹣20 D．20【解答】解：向量=（1，x+1），=（1﹣x，2），若⊥，则•=（1﹣x）+2（x+1）=x+3=0，解可得x=﹣3，则=（1，﹣2），=（4，2），（+）=（5，0），（﹣）=（﹣3，﹣4）；则（+）（﹣）=﹣15；故选：A．4．（5分）△ABC中，tanA=，AC=2，BC=4，则AB=（）A．2﹣B．﹣ C．+D．2+【解答】解：已知tanA=，由于：0＜A＜π，解得：A=，利用余弦定理：BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cosA，解得：AB=（负值舍去）．故选：C．5．（5分）将一根长为6m的绳子剪为二段，则其中一段大于另一段2倍的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：绳子的长度为6m，折成两段后，设其中一段长度为x，则另一段长度6﹣x，记“其中一段长度大于另一段长度2倍”为事件A，则A={x|}={x|0＜x＜2或4＜x≤6}，∴P（A）=，故选：B．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）A．B．﹣1 C．0 D．1【解答】解：本题为直到型循环结构的程序框图，由框图的流程知：算法的功能是求S=cos+cosπ+…+cos的值，∵y=cos的周期为4，2017=504×4+1∴输出S=504×（cos+cosπ+cos+cos2π）+cos=0故选：C7．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．12立方丈【解答】解：三棱柱的底面是边长为3，高为1的等腰三角形．三棱柱的高为2．∴三棱柱的体积V=．两个相同的四棱锥合拼，可得底面边长为2和3的矩形的四棱锥，其高为1．∴体积V==2．该刍甍的体积为：3+2=5．故选：B．8．（5分）已知a=log 52，b=log73，c=log3，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a【解答】解：∵c=log3=log 53＞log73，b=log 73＞=，a=log52＜=，则a，b，c的大小关系为：a＜b＜c．故选：A．9．（5分）已知P（x，y）为平面区域内的任意一点，当该区域的面积为3时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．3 C．2 D．1【解答】解：由作出可行域如图，由图可得A（a，a），D（a，a），B（a+1，a+1），C（a+1，﹣a﹣1）由该区域的面积为3时，×1=3，得a=1．∴A（1，1），C（2，﹣2）化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，∴当y=2x﹣z过C点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A．10．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，且SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，则球的表面积为（）A．4πB．3πC．8πD．12π【解答】解：三棱锥S﹣ABC中，SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，∴共顶点S的三条棱两两相互垂直，且其长均为1，三棱锥的四个顶点同在一个球面上，三棱锥是正方体的一个角，扩展为正方体，三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，正方体的对角线就是球的直径，所以球的直径为：，半径为，外接球的表面积为：4π×（）2=3π．故选：B．11．（5分）若圆（x﹣）2+（y﹣1）2=9与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）经过二、四象限的渐近线，交于A，B两点且|AB|=2，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【解答】解：依题意可知双曲线的经过二、四象限的渐近线方程为bx+ay=0，∵|AB|=2，圆的圆心为（，1），半径为3，∴圆心到渐近线的距离为=，即=，解得b=a，∴c==a，∴双曲线的离心率为e==．故选：A．12．（5分）对于实数a、b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1•x2•x3取值范围为（）A．（0，3） B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣3，0）【解答】解：∵a⊗b=，∴f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3）=，其图象如下图所示：由图可得：x1=﹣k，x2•x3=k，故x1•x2•x3=﹣k2，k∈（0，3），∴x1•x2•x3∈（﹣3，0），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）若sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=，则cos2β=﹣．【解答】解：∵sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=sin[（α+β）﹣α]=sinβ=，则cos2β=1﹣2sin2β=1﹣2•=﹣，故答案为：﹣．14．（5分）4名同学去参加3 个不同的社团组织，每名同学只能参加其中一个社团组织，且甲乙两位同学不参加同一个社会团体，则共有54种结果．【解答】解：根据题意，先计算4名同学去参加3 个不同的社团组织的情况数目，4个同学中每人可以在3 个不同的社团组织任选1个，即每人有3种不同的选法，则4人有3×3×3×3=81种情况，再计算甲乙参加同一个社团组织的情况数目，若甲乙参加同一个社团组织，甲乙两人有3种情况，剩下的2人每人有3种不同的选法，则剩下的2人有3×3=9种情况，则甲乙参加同一个社团组织的情况有3×9=27种；则甲乙两位同学不参加同一个社团组织的情况有81﹣27=54种；故答案为：54．15．（5分）已知f（x）=f（4﹣x），当x≤2时，f（x）=e x，f′（3）+f（3）=0．【解答】解：由f（x）=f（4﹣x）可得，函数f（x）的图象关于直线x=2对称，当x≤2时，f（x）=e x，f′（x）=e x，∴f（3）=f（1）=e，f′（3）=﹣f′（1）=﹣e，故f′（3）+f（3）=0，故答案为：0．16．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过焦点的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，若|AF|=2|BF|，则三角形CDF的面积为3．【解答】解：如图，抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线l为x=﹣1，设l所在直线方程为y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）联立，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x1x2=1，①∵|AF|=2|BF|，∴x1+1=2（x2+1），②由①②解得x2=，x1=2，或x1=﹣1，x2=﹣1（舍去）∴y1=2，y2=﹣，∴|CD|=y1﹣y2=3，∵|FG|=1+1=2，∴S=×|CD|×|FG|=×3×2=3，△CDF故答案为：3三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0且满足a n=2S n﹣﹣（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，，解得a1=1；由a n=2S n﹣﹣，整理得，①∴，②②﹣①得：，∴（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣2）=0，∵a n＞0，∴a n+1﹣a n﹣2=0，即a n﹣1﹣a n=2．∴数列{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，则a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（Ⅱ）=，③，④③﹣④得：==．∴．18．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F 为AB的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABC，∴AB⊥DE，又∵F为AB的中点，DA=DB，∴AB⊥DF，DF∩DE=E，且DF、DE⊂平面DEF，又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面DEF；解：（Ⅱ）∵DE⊥平面ABC，∴AC⊥DE，又∵DA=DC，∴E为AC中点，∵F是AB中点，∴EF∥BC，由（Ⅰ）知AB⊥EF，∴AB⊥BC，又∵∠BAC=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，AC=4，∴AB=BC=DA=DB=DC=2，取BD中点G，连结AG、CG，则AG⊥DB，CG⊥DB，∴∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在△AGC中，cos∠AGC==﹣，∴二面角A﹣BD﹣C的余弦值为﹣．19．（12分）某市市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列，（Ⅰ）求a，b，c的值及居民用水量介于2﹣2.5的频数；（Ⅱ）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为多少立方米？（精确到小数掉后2位）（Ⅲ）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及其均值．【解答】解：（Ⅰ）∵前四组频数成等差数列，∴所对应的频率也成等差数列，设a=0.2+d，b=0.2+2d，c=0.2+3d，∴0.5（a+0.2+d+0.2+2d+0.2+3d+0.2+d+0.1+0.1+0.1）=1，解得d=0.1，a=0.3，b=0.4，c=0.5．居民月用水量介于2～2.5的频率为0.25．居民月用水量介于2～2.5的频数为0.25×100=25人．（Ⅱ）由图可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7＜0.8，∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为ω=2.5+≈2.83立方米．（Ⅲ）将频率视为概率，设A代表居民月用水量，由图知：P（A≤2.5）=0.7，由题意X～B（3，0.7），P（X=0）==0.027，P（X=1）==0.189，P（X=2）==0.441，P（X=3）==0.343．∴X的分布列为：∵X～B（3，0.7），∴E（X）=np=2.1．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=﹣4y的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若圆O：x2+y2=r2与椭圆C交于A，B，C，D四点，当半径r为多少时，四边形ABCD水秀中华的面积最大？并求出最大面积．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2=﹣4y的焦点，离心率等于，∴设椭圆方程为，根据题意得：，解得：所以椭圆C的方程为；（Ⅱ）设A（x0，y0），则矩形ABCD的面积S=4|x0y0|由，得，∴==﹣（﹣2）2+1，∴时，（）max=1，∴S max=4×1=4，此时r2==．即r=．21．（12分）设函数f（x）=xlnx﹣ax+1，g（x）=﹣2x3+3x2﹣x+．（Ⅰ）求函数f（x）在[，e]上有两个零点，求a的取值范围；（Ⅱ）求证：f（x）+ax＞g（x）．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx﹣ax+1=0，得：a=lnx+，问题转化为a=lnx+在[，e]上有2个不同的解，令h（x）=lnx+，x∈[，e]，则h′（x）=，令h′（x）＞0，解得：x＞1，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，而h（1）=1，h（）=e﹣1，h（e）=1+＜e﹣1，故a的范围是（1，1+）；（Ⅱ）要证f（x）+ax≥g（x），只要证明xlnx+1≥g（x），先证xlnx+1≥x，构造函数F（x）=xlnx+1﹣x，∵F′（x）=1+lnx﹣1=lnx，x=1时，F′（x）=0，当0＜x＜1时，F′（x）＜0，x＞1时，F′（x）＞0，故F（x）在[0，1]递减，在[1，+∞）递增，故F（x）≥F（1）=0，即证xlnx+1≥x，等号成立当且仅当x=1，再证明x∈[，+∞）时，g（x）≤x，构造函数G（x）=x﹣g（x）=2，∵G′（x）=6≥0，∴G（x）在[，+∞）递增，∴G（x）≥G（）=0，即证明g（x）≤x，等号成立当且仅当x=，故x∈（0，）时，构造函数φ（x）=f（x）+ax=xlnx+1，∵φ′（x）=1+lnx，∴x=时，φ′（x）=0，当0＜x＜时，φ′（x）＜0，当＜x＜时，φ′（x）＞0，即φ（x）在（0，）递减，在（，）递增，∴x∈（0，）时，φ（x）≥φ（）=1﹣，∵g′（x）=﹣6+1，x∈（0，）时，﹣＜g′（x）＜1，又g′（0）=﹣＜0，g′（）=1＞0，存在x0∈（0，），使得g′（x0）=0，且g（x）在（0，x0）递减，在（x0，）递增，故x∈（0，）时，g（x）＜max{g（0），g（）}=，∴g（x）＜＜1﹣≤φ（x），综上，对任意x＞0，f（x）+ax＞g（x）．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为直角坐标方程为：x2+y2=1，曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．即：，故C2的直角坐标方程为：．转化为极坐标方程为：．（Ⅱ）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为极坐标方程为ρ1=1，由题意得到：A（1，），将B（ρ，）代入坐标方程：．得到，则：|AB|=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≥M恒成立，求m的取值范围．水秀中华【解答】解：（Ⅰ）x≥3时，f（x）=﹣8，此时f（x）≤2恒成立，﹣5＜x＜3时，f（x）=﹣2x﹣2，由f（x）≤2，解得：﹣2≤x＜3，x≤﹣5时，f（x）=8，此时f（x）≤2，无解，综上，f（x）≤2的解集是{x|x≥﹣2}；（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，易知函数的最大值是8，若x2+2x+m≥8恒成立，得m≥﹣x2﹣2x+8恒成立，即m≥﹣（x+1）2+9，故m≥9．。
2018年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷(理科)
2018年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x∈Z|x2＜5}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2} 2．（5分）已知复数z=1﹣i，则下列命题中正确的个数为：（）①|z|=；②=1+i；③z的虚部为﹣i．A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）向量=（1，x+1），=（1﹣x，2），⊥，则（+）（﹣）=（）A．﹣15 B．15 C．﹣20 D．204．（5分）△ABC中，tanA=，AC=2，BC=4，则AB=（）A．2﹣B．﹣ C．+D．2+5．（5分）将一根长为6m的绳子剪为二段，则其中一段大于另一段2倍的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）A．B．﹣1 C．0 D．17．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．12立方丈8．（5分）已知a=log 52，b=log73，c=log3，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a9．（5分）已知P（x，y）为平面区域内的任意一点，当该区域的面积为3时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．3 C．2 D．110．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，且SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，则球的表面积为（）A．4πB．3πC．8πD．12π11．（5分）若圆（x﹣）2+（y﹣1）2=9与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）经过二、四象限的渐近线，交于A，B两点且|AB|=2，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．12．（5分）对于实数a、b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1•x2•x3取值范围为（）A．（0，3） B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣3，0）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）若sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=，则cos2β=．14．（5分）4名同学去参加3 个不同的社团组织，每名同学只能参加其中一个社团组织，且甲乙两位同学不参加同一个社会团体，则共有种结果．15．（5分）已知f（x）=f（4﹣x），当x≤2时，f（x）=e x，f′（3）+f（3）=．16．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过焦点的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，若|AF|=2|BF|，则三角形CDF 的面积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0且满足a n=2S n﹣﹣（n ∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．18．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．19．（12分）某市市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列，（Ⅰ）求a，b，c的值及居民用水量介于2﹣2.5的频数；（Ⅱ）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为多少立方米？（精确到小数掉后2位）（Ⅲ）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及其均值．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=﹣4y的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若圆O：x2+y2=r2与椭圆C交于A，B，C，D四点，当半径r为多少时，四边形ABCD的面积最大？并求出最大面积．21．（12分）设函数f（x）=xlnx﹣ax+1，g（x）=﹣2x3+3x2﹣x+．（Ⅰ）求函数f（x）在[，e]上有两个零点，求a的取值范围；（Ⅱ）求证：f（x）+ax＞g（x）．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≥M恒成立，求m的取值范围．2018年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x∈Z|x2＜5}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【解答】解：∵A={x|﹣1≤x≤3}，B={x∈Z|x2＜5}={x∈Z|﹣＜x＜}={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B={﹣1，0，1，2}，故选：B．2．（5分）已知复数z=1﹣i，则下列命题中正确的个数为：（）①|z|=；②=1+i；③z的虚部为﹣i．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵z=1﹣i，∴|z|=，故①正确；，故②正确；z的虚部为﹣1，故③错误．∴正确命题的个数为2个．故选：C．3．（5分）向量=（1，x+1），=（1﹣x，2），⊥，则（+）（﹣）=（）A．﹣15 B．15 C．﹣20 D．20【解答】解：向量=（1，x+1），=（1﹣x，2），若⊥，则•=（1﹣x）+2（x+1）=x+3=0，解可得x=﹣3，则=（1，﹣2），=（4，2），（+）=（5，0），（﹣）=（﹣3，﹣4）；则（+）（﹣）=﹣15；故选：A．4．（5分）△ABC中，tanA=，AC=2，BC=4，则AB=（）A．2﹣B．﹣ C．+D．2+【解答】解：已知tanA=，由于：0＜A＜π，解得：A=，利用余弦定理：BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cosA，解得：AB=（负值舍去）．故选：C．5．（5分）将一根长为6m的绳子剪为二段，则其中一段大于另一段2倍的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：绳子的长度为6m，折成两段后，设其中一段长度为x，则另一段长度6﹣x，记“其中一段长度大于另一段长度2倍”为事件A，则A={x|}={x|0＜x＜2或4＜x≤6}，∴P（A）=，故选：B．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）A．B．﹣1 C．0 D．1【解答】解：本题为直到型循环结构的程序框图，由框图的流程知：算法的功能是求S=cos+cosπ+…+cos的值，∵y=cos的周期为4，2017=504×4+1∴输出S=504×（cos+cosπ+cos+cos2π）+cos=0故选：C7．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．12立方丈【解答】解：三棱柱的底面是边长为3，高为1的等腰三角形．三棱柱的高为2．∴三棱柱的体积V=．两个相同的四棱锥合拼，可得底面边长为2和3的矩形的四棱锥，其高为1．∴体积V==2．该刍甍的体积为：3+2=5．故选：B．8．（5分）已知a=log 52，b=log73，c=log3，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a【解答】解：∵c=log3=log 53＞log73，b=log 73＞=，a=log52＜=，则a，b，c的大小关系为：a＜b＜c．故选：A．9．（5分）已知P（x，y）为平面区域内的任意一点，当该区域的面积为3时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．3 C．2 D．1【解答】解：由作出可行域如图，由图可得A（a，a），D（a，a），B（a+1，a+1），C（a+1，﹣a﹣1）由该区域的面积为3时，×1=3，得a=1．∴A（1，1），C（2，﹣2）化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，∴当y=2x﹣z过C点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A．10．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，且SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，则球的表面积为（）A．4πB．3πC．8πD．12π【解答】解：三棱锥S﹣ABC中，SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，∴共顶点S的三条棱两两相互垂直，且其长均为1，三棱锥的四个顶点同在一个球面上，三棱锥是正方体的一个角，扩展为正方体，三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，正方体的对角线就是球的直径，所以球的直径为：，半径为，外接球的表面积为：4π×（）2=3π．故选：B．11．（5分）若圆（x﹣）2+（y﹣1）2=9与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）经过二、四象限的渐近线，交于A，B两点且|AB|=2，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【解答】解：依题意可知双曲线的经过二、四象限的渐近线方程为bx+ay=0，∵|AB|=2，圆的圆心为（，1），半径为3，∴圆心到渐近线的距离为=，即=，解得b=a，∴c==a，∴双曲线的离心率为e==．故选：A．12．（5分）对于实数a、b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1•x2•x3取值范围为（）A．（0，3） B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣3，0）【解答】解：∵a⊗b=，∴f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3）=，其图象如下图所示：由图可得：x1=﹣k，x2•x3=k，故x1•x2•x3=﹣k2，k∈（0，3），∴x1•x2•x3∈（﹣3，0），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）若sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=，则cos2β=﹣．【解答】解：∵sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=sin[（α+β）﹣α]=sinβ=，则cos2β=1﹣2sin2β=1﹣2•=﹣，故答案为：﹣．14．（5分）4名同学去参加3 个不同的社团组织，每名同学只能参加其中一个社团组织，且甲乙两位同学不参加同一个社会团体，则共有54种结果．【解答】解：根据题意，先计算4名同学去参加3 个不同的社团组织的情况数目，4个同学中每人可以在3 个不同的社团组织任选1个，即每人有3种不同的选法，则4人有3×3×3×3=81种情况，再计算甲乙参加同一个社团组织的情况数目，若甲乙参加同一个社团组织，甲乙两人有3种情况，剩下的2人每人有3种不同的选法，则剩下的2人有3×3=9种情况，则甲乙参加同一个社团组织的情况有3×9=27种；则甲乙两位同学不参加同一个社团组织的情况有81﹣27=54种；故答案为：54．15．（5分）已知f（x）=f（4﹣x），当x≤2时，f（x）=e x，f′（3）+f（3）=0．【解答】解：由f（x）=f（4﹣x）可得，函数f（x）的图象关于直线x=2对称，当x≤2时，f（x）=e x，f′（x）=e x，∴f（3）=f（1）=e，f′（3）=﹣f′（1）=﹣e，故f′（3）+f（3）=0，故答案为：0．16．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过焦点的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，若|AF|=2|BF|，则三角形CDF 的面积为3．【解答】解：如图，抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线l为x=﹣1，设l所在直线方程为y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）联立，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x1x2=1，①∵|AF|=2|BF|，∴x1+1=2（x2+1），②由①②解得x2=，x1=2，或x1=﹣1，x2=﹣1（舍去）∴y1=2，y2=﹣，∴|CD|=y1﹣y2=3，∵|FG|=1+1=2，∴S=×|CD|×|FG|=×3×2=3，△CDF故答案为：3三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0且满足a n=2S n﹣﹣（n ∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，，解得a1=1；由a n=2S n﹣﹣，整理得，①∴，②②﹣①得：，∴（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣2）=0，∵a n＞0，∴a n+1﹣a n﹣2=0，即a n﹣1﹣a n=2．∴数列{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，则a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（Ⅱ）=，③，④③﹣④得：==．∴．18．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABC，∴AB⊥DE，又∵F为AB的中点，DA=DB，∴AB⊥DF，DF∩DE=E，且DF、DE⊂平面DEF，又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面DEF；解：（Ⅱ）∵DE⊥平面ABC，∴AC⊥DE，又∵DA=DC，∴E为AC中点，∵F是AB中点，∴EF∥BC，由（Ⅰ）知AB⊥EF，∴AB⊥BC，又∵∠BAC=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，AC=4，∴AB=BC=DA=DB=DC=2，取BD中点G，连结AG、CG，则AG⊥DB，CG⊥DB，∴∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在△AGC中，cos∠AGC==﹣，∴二面角A﹣BD﹣C的余弦值为﹣．19．（12分）某市市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列，（Ⅰ）求a，b，c的值及居民用水量介于2﹣2.5的频数；（Ⅱ）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为多少立方米？（精确到小数掉后2位）（Ⅲ）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及其均值．【解答】解：（Ⅰ）∵前四组频数成等差数列，∴所对应的频率也成等差数列，设a=0.2+d，b=0.2+2d，c=0.2+3d，∴0.5（a+0.2+d+0.2+2d+0.2+3d+0.2+d+0.1+0.1+0.1）=1，解得d=0.1，a=0.3，b=0.4，c=0.5．居民月用水量介于2～2.5的频率为0.25．居民月用水量介于2～2.5的频数为0.25×100=25人．（Ⅱ）由图可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7＜0.8，∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为ω=2.5+≈2.83立方米．（Ⅲ）将频率视为概率，设A代表居民月用水量，由图知：P（A≤2.5）=0.7，由题意X～B（3，0.7），P（X=0）==0.027，P（X=1）==0.189，P（X=2）==0.441，P（X=3）==0.343．∴X的分布列为：∵X～B（3，0.7），∴E（X）=np=2.1．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=﹣4y的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若圆O：x2+y2=r2与椭圆C交于A，B，C，D四点，当半径r为多少时，四边形ABCD的面积最大？并求出最大面积．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2=﹣4y的焦点，离心率等于，∴设椭圆方程为，根据题意得：，解得：所以椭圆C的方程为；（Ⅱ）设A（x0，y0），则矩形ABCD的面积S=4|x0y0|由，得，∴==﹣（﹣2）2+1，∴时，（）max=1，∴S max=4×1=4，此时r2==．即r=．21．（12分）设函数f（x）=xlnx﹣ax+1，g（x）=﹣2x3+3x2﹣x+．（Ⅰ）求函数f（x）在[，e]上有两个零点，求a的取值范围；（Ⅱ）求证：f（x）+ax＞g（x）．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx﹣ax+1=0，得：a=lnx+，问题转化为a=lnx+在[，e]上有2个不同的解，令h（x）=lnx+，x∈[，e]，则h′（x）=，令h′（x）＞0，解得：x＞1，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，而h（1）=1，h（）=e﹣1，h（e）=1+＜e﹣1，故a的范围是（1，1+）；（Ⅱ）要证f（x）+ax≥g（x），只要证明xlnx+1≥g（x），先证xlnx+1≥x，构造函数F（x）=xlnx+1﹣x，∵F′（x）=1+lnx﹣1=lnx，x=1时，F′（x）=0，当0＜x＜1时，F′（x）＜0，x＞1时，F′（x）＞0，故F（x）在[0，1]递减，在[1，+∞）递增，故F（x）≥F（1）=0，即证xlnx+1≥x，等号成立当且仅当x=1，再证明x∈[，+∞）时，g（x）≤x，构造函数G（x）=x﹣g（x）=2，∵G′（x）=6≥0，∴G（x）在[，+∞）递增，∴G（x）≥G（）=0，即证明g（x）≤x，等号成立当且仅当x=，故x∈（0，）时，构造函数φ（x）=f（x）+ax=xlnx+1，∵φ′（x）=1+lnx，∴x=时，φ′（x）=0，当0＜x＜时，φ′（x）＜0，当＜x＜时，φ′（x）＞0，即φ（x）在（0，）递减，在（，）递增，∴x∈（0，）时，φ（x）≥φ（）=1﹣，∵g′（x）=﹣6+1，x∈（0，）时，﹣＜g′（x）＜1，又g′（0）=﹣＜0，g′（）=1＞0，存在x0∈（0，），使得g′（x0）=0，且g（x）在（0，x0）递减，在（x0，）递增，故x∈（0，）时，g（x）＜max{g（0），g（）}=，∴g（x）＜＜1﹣≤φ（x），综上，对任意x＞0，f（x）+ax＞g（x）．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为直角坐标方程为：x2+y2=1，曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．即：，故C2的直角坐标方程为：．转化为极坐标方程为：．（Ⅱ）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为极坐标方程为ρ1=1，由题意得到：A（1，），将B（ρ，）代入坐标方程：．得到，则：|AB|=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≥M恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）x≥3时，f（x）=﹣8，此时f（x）≤2恒成立，﹣5＜x＜3时，f（x）=﹣2x﹣2，由f（x）≤2，解得：﹣2≤x＜3，x≤﹣5时，f（x）=8，此时f（x）≤2，无解，综上，f（x）≤2的解集是{x|x≥﹣2}；（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，易知函数的最大值是8，若x2+2x+m≥8恒成立，得m≥﹣x2﹣2x+8恒成立，即m≥﹣（x+1）2+9，故m≥9．。
2018年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷(理科)
2018年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x∈Z|x2＜5}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2} 2．（5分）已知复数z=1﹣i，则下列命题中正确的个数为：（）①|z|=；②=1+i；③z的虚部为﹣i．A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）向量=（1，x+1），=（1﹣x，2），⊥，则（+）（﹣）=（）A．﹣15 B．15 C．﹣20 D．204．（5分）△ABC中，tanA=，AC=2，BC=4，则AB=（）A．2﹣B．﹣C．+D．2+5．（5分）将一根长为6m的绳子剪为二段，则其中一段大于另一段2倍的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）A． B．﹣1 C．0 D．17．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（ ）A ．4立方丈B ．5立方丈C ．6立方丈D ．12立方丈8．（5分）已知a=log 52，b=log 73，c=log3，则a ，b ，c 的大小关系（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a 9．（5分）已知P （x ，y ）为平面区域内的任意一点，当该区域的面积为3时，z=2x ﹣y 的最大值是（ ） A ．6B ．3C ．2D ．110．（5分）已知三棱锥S ﹣ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，且SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，则球的表面积为（ ）A ．4π B ．3π C ．8π D ．12π11．（5分）若圆（x ﹣）2+（y ﹣1）2=9与双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）经过二、四象限的渐近线，交于A ，B 两点且|AB|=2，则此双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．2D ．12．（5分）对于实数a 、b ，定义运算“⊗”：a ⊗b=，设f （x ）=（2x ﹣3）⊗（x ﹣3），且关于x 的方程f （x ）=k （k ∈R ）恰有三个互不相同的实根x 1、x 2、x 3，则x 1•x 2•x 3取值范围为（ ）A ．（0，3）B ．（﹣1，0）C ．（﹣∞，0）D ．（﹣3，0）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）若sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=，则cos2β=．14．（5分）4名同学去参加3 个不同的社团组织，每名同学只能参加其中一个社团组织，且甲乙两位同学不参加同一个社会团体，则共有种结果．15．（5分）已知f（x）=f（4﹣x），当x≤2时，f（x）=e x，f′（3）+f（3）= ．16．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过焦点的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，若|AF|=2|BF|，则三角形CDF 的面积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）已知数列{an }的前n项和为Sn，an＞0且满足an=2Sn﹣﹣（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和Tn．18．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．19．（12分）某市市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列，（Ⅰ）求a，b，c的值及居民用水量介于2﹣2.5的频数；（Ⅱ）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为多少立方米？（精确到小数掉后2位）（Ⅲ）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及其均值．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=﹣4y的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若圆O：x2+y2=r2与椭圆C交于A，B，C，D四点，当半径r为多少时，四边形ABCD的面积最大？并求出最大面积．21．（12分）设函数f（x）=xlnx﹣ax+1，g（x）=﹣2x3+3x2﹣x+．（Ⅰ）求函数f（x）在[，e]上有两个零点，求a的取值范围；（Ⅱ）求证：f（x）+ax＞g（x）．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．（Ⅰ）求C的极坐标方程；2的异于（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线θ=与C1的异于极点的交点为B，求|AB|．极点的交点为A，与C2[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≥M恒成立，求m的取值范围．2018年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x∈Z|x2＜5}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【解答】解：∵A={x|﹣1≤x≤3}，B={x∈Z|x2＜5}={x∈Z|﹣＜x＜}={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B={﹣1，0，1，2}，故选：B．2．（5分）已知复数z=1﹣i，则下列命题中正确的个数为：（）①|z|=；②=1+i；③z的虚部为﹣i．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵z=1﹣i，∴|z|=，故①正确；，故②正确；z的虚部为﹣1，故③错误．∴正确命题的个数为2个．故选：C．3．（5分）向量=（1，x+1），=（1﹣x，2），⊥，则（+）（﹣）=（）A．﹣15 B．15 C．﹣20 D．20【解答】解：向量=（1，x+1），=（1﹣x，2），若⊥，则•=（1﹣x）+2（x+1）=x+3=0，解可得x=﹣3，则=（1，﹣2），=（4，2），（+）=（5，0），（﹣）=（﹣3，﹣4）；则（+）（﹣）=﹣15；故选：A．4．（5分）△ABC中，tanA=，AC=2，BC=4，则AB=（）A．2﹣B．﹣C．+D．2+【解答】解：已知tanA=，由于：0＜A＜π，解得：A=，利用余弦定理：BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cosA，解得：AB=（负值舍去）．故选：C．5．（5分）将一根长为6m的绳子剪为二段，则其中一段大于另一段2倍的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：绳子的长度为6m，折成两段后，设其中一段长度为x，则另一段长度6﹣x，记“其中一段长度大于另一段长度2倍”为事件A，则A={x|}={x|0＜x＜2或4＜x≤6}，∴P（A）=，故选：B．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）A． B．﹣1 C．0 D．1【解答】解：本题为直到型循环结构的程序框图，由框图的流程知：算法的功能是求S=cos+cosπ+…+cos的值，∵y=cos的周期为4，2017=504×4+1∴输出S=504×（cos+cosπ+cos+cos2π）+cos=0故选：C7．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．12立方丈【解答】解：三棱柱的底面是边长为3，高为1的等腰三角形．三棱柱的高为2．∴三棱柱的体积V=．两个相同的四棱锥合拼，可得底面边长为2和3的矩形的四棱锥，其高为1． ∴体积V==2．该刍甍的体积为：3+2=5． 故选：B ．8．（5分）已知a=log 52，b=log 73，c=log3，则a ，b ，c 的大小关系（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a 【解答】解：∵c=log 3=log 53＞log 73，b=log 73＞=，a=log 52＜=，则a ，b ，c 的大小关系为：a ＜b ＜c ． 故选：A ．9．（5分）已知P （x ，y ）为平面区域内的任意一点，当该区域的面积为3时，z=2x ﹣y 的最大值是（ ） A ．6B ．3C ．2D ．1【解答】解：由作出可行域如图，由图可得A （a ，a ），D （a ，a ），B （a+1，a+1），C （a+1，﹣a ﹣1） 由该区域的面积为3时，×1=3，得a=1．∴A （1，1），C （2，﹣2） 化目标函数z=2x ﹣y 为y=2x ﹣z ，∴当y=2x ﹣z 过C 点时，z 最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A．10．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，且SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，则球的表面积为（）A．4πB．3π C．8π D．12π【解答】解：三棱锥S﹣ABC中，SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，∴共顶点S的三条棱两两相互垂直，且其长均为1，三棱锥的四个顶点同在一个球面上，三棱锥是正方体的一个角，扩展为正方体，三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，正方体的对角线就是球的直径，所以球的直径为：，半径为，外接球的表面积为：4π×（）2=3π．故选：B．11．（5分）若圆（x﹣）2+（y﹣1）2=9与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）经过二、四象限的渐近线，交于A，B两点且|AB|=2，则此双曲线的离心率为（）A．B． C．2 D．【解答】解：依题意可知双曲线的经过二、四象限的渐近线方程为bx+ay=0，∵|AB|=2，圆的圆心为（，1），半径为3，∴圆心到渐近线的距离为=，即=，解得b=a，∴c==a，∴双曲线的离心率为e==．故选：A．12．（5分）对于实数a、b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1•x2•x3取值范围为（）A．（0，3）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0） D．（﹣3，0）【解答】解：∵a⊗b=，∴f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3）=，其图象如下图所示：由图可得：x1=﹣k，x2•x3=k，故x1•x2•x3=﹣k2，k∈（0，3），∴x1•x2•x3∈（﹣3，0），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）若sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=，则cos2β=﹣．【解答】解：∵sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=sin[（α+β）﹣α]=sinβ=，则cos2β=1﹣2sin2β=1﹣2•=﹣，故答案为：﹣．14．（5分）4名同学去参加3 个不同的社团组织，每名同学只能参加其中一个社团组织，且甲乙两位同学不参加同一个社会团体，则共有54 种结果．【解答】解：根据题意，先计算4名同学去参加3 个不同的社团组织的情况数目，4个同学中每人可以在3 个不同的社团组织任选1个，即每人有3种不同的选法，则4人有3×3×3×3=81种情况，再计算甲乙参加同一个社团组织的情况数目，若甲乙参加同一个社团组织，甲乙两人有3种情况，剩下的2人每人有3种不同的选法，则剩下的2人有3×3=9种情况，则甲乙参加同一个社团组织的情况有3×9=27种；则甲乙两位同学不参加同一个社团组织的情况有81﹣27=54种；故答案为：54．15．（5分）已知f（x）=f（4﹣x），当x≤2时，f（x）=e x，f′（3）+f（3）= 0 ．【解答】解：由f（x）=f（4﹣x）可得，函数f（x）的图象关于直线x=2对称，当x≤2时，f（x）=e x，f′（x）=e x，∴f（3）=f（1）=e，f′（3）=﹣f′（1）=﹣e，故f′（3）+f（3）=0，故答案为：0．16．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过焦点的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，若|AF|=2|BF|，则三角形CDF 的面积为3．【解答】解：如图，抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线l为x=﹣1，设l所在直线方程为y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）联立，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x1x2=1，①∵|AF|=2|BF|，∴x1+1=2（x2+1），②由①②解得x2=，x1=2，或x1=﹣1，x2=﹣1（舍去）∴y1=2，y2=﹣，∴|CD|=y1﹣y2=3，∵|FG|=1+1=2，∴S△CDF=×|CD|×|FG|=×3×2=3，故答案为：3三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）已知数列{an }的前n项和为Sn，an＞0且满足an=2Sn﹣﹣（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，，解得a1=1；由an =2Sn﹣﹣，整理得，①∴，②②﹣①得：，∴（an+1+an）（an+1﹣an﹣2）=0，∵an＞0，∴an+1﹣an﹣2=0，即an﹣1﹣an=2．∴数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列，则an=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（Ⅱ）=，③，④③﹣④得：==．∴．18．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABC，∴AB⊥DE，又∵F为AB的中点，DA=DB，∴AB⊥DF，DF∩DE=E，且DF、DE⊂平面DEF，又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面DEF；解：（Ⅱ）∵DE⊥平面ABC，∴AC⊥DE，又∵DA=DC，∴E为AC中点，∵F是AB中点，∴EF∥BC，由（Ⅰ）知AB⊥EF，∴AB⊥BC，又∵∠BAC=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，AC=4，∴AB=BC=DA=DB=DC=2，取BD中点G，连结AG、CG，则AG⊥DB，CG⊥DB，∴∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在△AGC中，cos∠AGC==﹣，∴二面角A﹣BD﹣C的余弦值为﹣．19．（12分）某市市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列，（Ⅰ）求a，b，c的值及居民用水量介于2﹣2.5的频数；（Ⅱ）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为多少立方米？（精确到小数掉后2位）（Ⅲ）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及其均值．【解答】解：（Ⅰ）∵前四组频数成等差数列，∴所对应的频率也成等差数列，设a=0.2+d，b=0.2+2d，c=0.2+3d，∴0.5（a+0.2+d+0.2+2d+0.2+3d+0.2+d+0.1+0.1+0.1）=1，解得d=0.1，a=0.3，b=0.4，c=0.5．居民月用水量介于2～2.5的频率为0.25．居民月用水量介于2～2.5的频数为0.25×100=25人．（Ⅱ）由图可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7＜0.8，∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为ω=2.5+≈2.83立方米．（Ⅲ）将频率视为概率，设A代表居民月用水量，由图知：P（A≤2.5）=0.7，由题意X～B（3，0.7），P（X=0）==0.027，P（X=1）==0.189，P（X=2）==0.441，P（X=3）==0.343．∴X的分布列为：∵X～B（3，0.7），∴E（X）=np=2.1．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=﹣4y的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若圆O：x2+y2=r2与椭圆C交于A，B，C，D四点，当半径r为多少时，四边形ABCD的面积最大？并求出最大面积．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2=﹣4y的焦点，离心率等于，∴设椭圆方程为，根据题意得：，解得：所以椭圆C的方程为；（Ⅱ）设A（x0，y），则矩形ABCD的面积S=4|xy|由，得，∴==﹣（﹣2）2+1，∴时，（）max=1，∴Smax=4×1=4，此时r2==．即r=．21．（12分）设函数f（x）=xlnx﹣ax+1，g（x）=﹣2x3+3x2﹣x+．（Ⅰ）求函数f（x）在[，e]上有两个零点，求a的取值范围；（Ⅱ）求证：f（x）+ax＞g（x）．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx﹣ax+1=0，得：a=lnx+，问题转化为a=lnx+在[，e]上有2个不同的解，令h（x）=lnx+，x∈[，e]，则h′（x）=，令h′（x）＞0，解得：x＞1，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，而h（1）=1，h（）=e﹣1，h（e）=1+＜e﹣1，故a的范围是（1，1+）；（Ⅱ）要证f（x）+ax≥g（x），只要证明xlnx+1≥g（x），先证xlnx+1≥x，构造函数F（x）=xlnx+1﹣x，∵F′（x）=1+lnx﹣1=lnx，x=1时，F′（x）=0，当0＜x＜1时，F′（x）＜0，x＞1时，F′（x）＞0，故F（x）在[0，1]递减，在[1，+∞）递增，故F（x）≥F（1）=0，即证xlnx+1≥x，等号成立当且仅当x=1，再证明x∈[，+∞）时，g（x）≤x，构造函数G（x）=x﹣g（x）=2，∵G′（x）=6≥0，∴G（x）在[，+∞）递增，∴G（x）≥G（）=0，即证明g（x）≤x，等号成立当且仅当x=，故x∈（0，）时，构造函数φ（x）=f（x）+ax=xlnx+1，∵φ′（x）=1+lnx，∴x=时，φ′（x）=0，当0＜x＜时，φ′（x）＜0，当＜x＜时，φ′（x）＞0，即φ（x）在（0，）递减，在（，）递增，∴x∈（0，）时，φ（x）≥φ（）=1﹣，∵g′（x）=﹣6+1，x∈（0，）时，﹣＜g′（x）＜1，又g′（0）=﹣＜0，g′（）=1＞0，存在x0∈（0，），使得g′（x）=0，且g（x）在（0，x）递减，在（x，）递增，故x∈（0，）时，g（x）＜max{g（0），g（）}=，∴g（x）＜＜1﹣≤φ（x），综上，对任意x＞0，f（x）+ax＞g（x）．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为直角坐标方程为：x2+y2=1，曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．即：，故C2的直角坐标方程为：．转化为极坐标方程为：．（Ⅱ）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为极坐标方程为ρ1=1，由题意得到：A（1，），将B（ρ，）代入坐标方程：．得到，则：|AB|=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≥M恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）x≥3时，f（x）=﹣8，此时f（x）≤2恒成立，﹣5＜x＜3时，f（x）=﹣2x﹣2，由f（x）≤2，解得：﹣2≤x＜3，x≤﹣5时，f（x）=8，此时f（x）≤2，无解，综上，f（x）≤2的解集是{x|x≥﹣2}；（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，易知函数的最大值是8，若x2+2x+m≥8恒成立，得m≥﹣x2﹣2x+8恒成立，即m≥﹣（x+1）2+9，故m≥9．。
2018年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷(理科)
2018年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x∈Z|x2＜5}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2} 2．（5分）已知复数z=1﹣i，则下列命题中正确的个数为：（）①|z|=；②=1+i；③z的虚部为﹣i．A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）向量=（1，x+1），=（1﹣x，2），⊥，则（+）（﹣）=（）A．﹣15 B．15 C．﹣20 D．204．（5分）△ABC中，tanA=，AC=2，BC=4，则AB=（）A．2﹣B．﹣C．+D．2+5．（5分）将一根长为6m的绳子剪为二段，则其中一段大于另一段2倍的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）A． B．﹣1 C．0 D．17．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．12立方丈8．（5分）已知a=log52，b=log73，c=log3，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a9．（5分）已知P（x，y）为平面区域内的任意一点，当该区域的面积为3时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．3 C．2 D．110．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，且SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，则球的表面积为（）A．4πB．3π C．8π D．12π11．（5分）若圆（x﹣）2+（y﹣1）2=9与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）经过二、四象限的渐近线，交于A，B两点且|AB|=2，则此双曲线的离心率为（）A．B． C．2 D．12．（5分）对于实数a、b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1•x2•x3取值范围为（）A．（0，3）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0） D．（﹣3，0）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）若sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=，则cos2β=．14．（5分）4名同学去参加3 个不同的社团组织，每名同学只能参加其中一个社团组织，且甲乙两位同学不参加同一个社会团体，则共有种结果．15．（5分）已知f（x）=f（4﹣x），当x≤2时，f（x）=e x，f′（3）+f（3）= ．16．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过焦点的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，若|AF|=2|BF|，则三角形CDF 的面积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）已知数列{an }的前n项和为Sn，an＞0且满足an=2Sn﹣﹣（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和Tn．18．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．19．（12分）某市市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列，（Ⅰ）求a，b，c的值及居民用水量介于2﹣2.5的频数；（Ⅱ）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为多少立方米？（精确到小数掉后2位）（Ⅲ）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及其均值．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=﹣4y的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若圆O：x2+y2=r2与椭圆C交于A，B，C，D四点，当半径r为多少时，四边形ABCD的面积最大？并求出最大面积．21．（12分）设函数f（x）=xlnx﹣ax+1，g（x）=﹣2x3+3x2﹣x+．（Ⅰ）求函数f（x）在[，e]上有两个零点，求a的取值范围；（Ⅱ）求证：f（x）+ax＞g（x）．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．（Ⅰ）求C的极坐标方程；2的异于（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线θ=与C1的异于极点的交点为B，求|AB|．极点的交点为A，与C2[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≥M恒成立，求m的取值范围．2018年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x∈Z|x2＜5}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【解答】解：∵A={x|﹣1≤x≤3}，B={x∈Z|x2＜5}={x∈Z|﹣＜x＜}={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B={﹣1，0，1，2}，故选：B．2．（5分）已知复数z=1﹣i，则下列命题中正确的个数为：（）①|z|=；②=1+i；③z的虚部为﹣i．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵z=1﹣i，∴|z|=，故①正确；，故②正确；z的虚部为﹣1，故③错误．∴正确命题的个数为2个．故选：C．3．（5分）向量=（1，x+1），=（1﹣x，2），⊥，则（+）（﹣）=（）A．﹣15 B．15 C．﹣20 D．20【解答】解：向量=（1，x+1），=（1﹣x，2），若⊥，则•=（1﹣x）+2（x+1）=x+3=0，解可得x=﹣3，则=（1，﹣2），=（4，2），（+）=（5，0），（﹣）=（﹣3，﹣4）；则（+）（﹣）=﹣15；故选：A．4．（5分）△ABC中，tanA=，AC=2，BC=4，则AB=（）A．2﹣B．﹣C．+D．2+【解答】解：已知tanA=，由于：0＜A＜π，解得：A=，利用余弦定理：BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cosA，解得：AB=（负值舍去）．故选：C．5．（5分）将一根长为6m的绳子剪为二段，则其中一段大于另一段2倍的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：绳子的长度为6m，折成两段后，设其中一段长度为x，则另一段长度6﹣x，记“其中一段长度大于另一段长度2倍”为事件A，则A={x|}={x|0＜x＜2或4＜x≤6}，∴P（A）=，故选：B．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）A． B．﹣1 C．0 D．1【解答】解：本题为直到型循环结构的程序框图，由框图的流程知：算法的功能是求S=cos+cosπ+…+cos的值，∵y=cos的周期为4，2017=504×4+1∴输出S=504×（cos+cosπ+cos+cos2π）+cos=0故选：C7．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．12立方丈【解答】解：三棱柱的底面是边长为3，高为1的等腰三角形．三棱柱的高为2．∴三棱柱的体积V=．两个相同的四棱锥合拼，可得底面边长为2和3的矩形的四棱锥，其高为1．∴体积V==2．该刍甍的体积为：3+2=5．故选：B．8．（5分）已知a=log52，b=log73，c=log3，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a【解答】解：∵c=log3=log53＞log73，b=log73＞=，a=log52＜=，则a，b，c的大小关系为：a＜b＜c．故选：A．9．（5分）已知P（x，y）为平面区域内的任意一点，当该区域的面积为3时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．3 C．2 D．1【解答】解：由作出可行域如图，由图可得A（a，a），D（a，a），B（a+1，a+1），C（a+1，﹣a﹣1）由该区域的面积为3时，×1=3，得a=1．∴A（1，1），C（2，﹣2）化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，∴当y=2x﹣z过C点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A．10．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，且SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，则球的表面积为（）A．4πB．3π C．8π D．12π【解答】解：三棱锥S﹣ABC中，SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，∴共顶点S的三条棱两两相互垂直，且其长均为1，三棱锥的四个顶点同在一个球面上，三棱锥是正方体的一个角，扩展为正方体，三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，正方体的对角线就是球的直径，所以球的直径为：，半径为，外接球的表面积为：4π×（）2=3π．故选：B．11．（5分）若圆（x﹣）2+（y﹣1）2=9与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）经过二、四象限的渐近线，交于A，B两点且|AB|=2，则此双曲线的离心率为（）A．B． C．2 D．【解答】解：依题意可知双曲线的经过二、四象限的渐近线方程为bx+ay=0，∵|AB|=2，圆的圆心为（，1），半径为3，∴圆心到渐近线的距离为=，即=，解得b=a，∴c==a，∴双曲线的离心率为e==．故选：A．12．（5分）对于实数a、b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1•x2•x3取值范围为（）A．（0，3）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0） D．（﹣3，0）【解答】解：∵a⊗b=，∴f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3）=，其图象如下图所示：由图可得：x1=﹣k，x2•x3=k，故x1•x2•x3=﹣k2，k∈（0，3），∴x1•x2•x3∈（﹣3，0），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）若sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=，则cos2β=﹣．【解答】解：∵sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=sin[（α+β）﹣α]=sinβ=，则cos2β=1﹣2sin2β=1﹣2•=﹣，故答案为：﹣．14．（5分）4名同学去参加3 个不同的社团组织，每名同学只能参加其中一个社团组织，且甲乙两位同学不参加同一个社会团体，则共有54 种结果．【解答】解：根据题意，先计算4名同学去参加3 个不同的社团组织的情况数目，4个同学中每人可以在3 个不同的社团组织任选1个，即每人有3种不同的选法，则4人有3×3×3×3=81种情况，再计算甲乙参加同一个社团组织的情况数目，若甲乙参加同一个社团组织，甲乙两人有3种情况，剩下的2人每人有3种不同的选法，则剩下的2人有3×3=9种情况，则甲乙参加同一个社团组织的情况有3×9=27种；则甲乙两位同学不参加同一个社团组织的情况有81﹣27=54种；故答案为：54．15．（5分）已知f（x）=f（4﹣x），当x≤2时，f（x）=e x，f′（3）+f（3）= 0 ．【解答】解：由f（x）=f（4﹣x）可得，函数f（x）的图象关于直线x=2对称，当x≤2时，f（x）=e x，f′（x）=e x，∴f（3）=f（1）=e，f′（3）=﹣f′（1）=﹣e，故f′（3）+f（3）=0，故答案为：0．16．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过焦点的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，若|AF|=2|BF|，则三角形CDF 的面积为3．【解答】解：如图，抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线l为x=﹣1，设l所在直线方程为y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）联立，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x1x2=1，①∵|AF|=2|BF|，∴x1+1=2（x2+1），②由①②解得x2=，x1=2，或x1=﹣1，x2=﹣1（舍去）∴y1=2，y2=﹣，∴|CD|=y1﹣y2=3，∵|FG|=1+1=2，∴S△CDF=×|CD|×|FG|=×3×2=3，故答案为：3三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）已知数列{an }的前n项和为Sn，an＞0且满足an=2Sn﹣﹣（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，，解得a1=1；由an =2Sn﹣﹣，整理得，①∴，②②﹣①得：，∴（an+1+an）（an+1﹣an﹣2）=0，∵an＞0，∴an+1﹣an﹣2=0，即an﹣1﹣an=2．∴数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列，则an=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（Ⅱ）=，③，④③﹣④得：==．∴．18．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABC，∴AB⊥DE，又∵F为AB的中点，DA=DB，∴AB⊥DF，DF∩DE=E，且DF、DE⊂平面DEF，又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面DEF；解：（Ⅱ）∵DE⊥平面ABC，∴AC⊥DE，又∵DA=DC，∴E为AC中点，∵F是AB中点，∴EF∥BC，由（Ⅰ）知AB⊥EF，∴AB⊥BC，又∵∠BAC=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，AC=4，∴AB=BC=DA=DB=DC=2，取BD中点G，连结AG、CG，则AG⊥DB，CG⊥DB，∴∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在△AGC中，cos∠AGC==﹣，∴二面角A﹣BD﹣C的余弦值为﹣．19．（12分）某市市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列，（Ⅰ）求a，b，c的值及居民用水量介于2﹣2.5的频数；（Ⅱ）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为多少立方米？（精确到小数掉后2位）（Ⅲ）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及其均值．【解答】解：（Ⅰ）∵前四组频数成等差数列，∴所对应的频率也成等差数列，设a=0.2+d，b=0.2+2d，c=0.2+3d，∴0.5（a+0.2+d+0.2+2d+0.2+3d+0.2+d+0.1+0.1+0.1）=1，解得d=0.1，a=0.3，b=0.4，c=0.5．居民月用水量介于2～2.5的频率为0.25．居民月用水量介于2～2.5的频数为0.25×100=25人．（Ⅱ）由图可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7＜0.8，∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为ω=2.5+≈2.83立方米．（Ⅲ）将频率视为概率，设A代表居民月用水量，由图知：P（A≤2.5）=0.7，由题意X～B（3，0.7），P（X=0）==0.027，P（X=1）==0.189，P（X=2）==0.441，P（X=3）==0.343．∴X的分布列为：X 0 1 2 3P 0.027 0.189 0.441 0.343∵X～B（3，0.7），∴E（X）=np=2.1．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=﹣4y的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若圆O：x2+y2=r2与椭圆C交于A，B，C，D四点，当半径r为多少时，四边形ABCD的面积最大？并求出最大面积．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2=﹣4y的焦点，离心率等于，∴设椭圆方程为，根据题意得：，解得：所以椭圆C的方程为；（Ⅱ）设A（x0，y），则矩形ABCD的面积S=4|xy|由，得，∴==﹣（﹣2）2+1，∴时，（）max=1，∴Smax=4×1=4，此时r2==．即r=．21．（12分）设函数f（x）=xlnx﹣ax+1，g（x）=﹣2x3+3x2﹣x+．（Ⅰ）求函数f（x）在[，e]上有两个零点，求a的取值范围；（Ⅱ）求证：f（x）+ax＞g（x）．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx﹣ax+1=0，得：a=lnx+，问题转化为a=lnx+在[，e]上有2个不同的解，令h（x）=lnx+，x∈[，e]，则h′（x）=，令h′（x）＞0，解得：x＞1，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，而h（1）=1，h（）=e﹣1，h（e）=1+＜e﹣1，故a的范围是（1，1+）；（Ⅱ）要证f（x）+ax≥g（x），只要证明xlnx+1≥g（x），先证xlnx+1≥x，构造函数F（x）=xlnx+1﹣x，∵F′（x）=1+lnx﹣1=lnx，x=1时，F′（x）=0，当0＜x＜1时，F′（x）＜0，x＞1时，F′（x）＞0，故F（x）在[0，1]递减，在[1，+∞）递增，故F（x）≥F（1）=0，即证xlnx+1≥x，等号成立当且仅当x=1，再证明x∈[，+∞）时，g（x）≤x，构造函数G（x）=x﹣g（x）=2，∵G′（x）=6≥0，∴G（x）在[，+∞）递增，∴G（x）≥G（）=0，即证明g（x）≤x，等号成立当且仅当x=，故x∈（0，）时，构造函数φ（x）=f（x）+ax=xlnx+1，∵φ′（x）=1+lnx，∴x=时，φ′（x）=0，当0＜x＜时，φ′（x）＜0，当＜x＜时，φ′（x）＞0，即φ（x）在（0，）递减，在（，）递增，∴x∈（0，）时，φ（x）≥φ（）=1﹣，∵g′（x）=﹣6+1，x∈（0，）时，﹣＜g′（x）＜1，又g′（0）=﹣＜0，g′（）=1＞0，存在x0∈（0，），使得g′（x）=0，且g（x）在（0，x）递减，在（x，）递增，故x∈（0，）时，g（x）＜max{g（0），g（）}=，∴g（x）＜＜1﹣≤φ（x），综上，对任意x＞0，f（x）+ax＞g（x）．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为直角坐标方程为：x2+y2=1，曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．即：，故C2的直角坐标方程为：．转化为极坐标方程为：．（Ⅱ）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为极坐标方程为ρ1=1，由题意得到：A（1，），将B（ρ，）代入坐标方程：．得到，则：|AB|=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≥M恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）x≥3时，f（x）=﹣8，此时f（x）≤2恒成立，﹣5＜x＜3时，f（x）=﹣2x﹣2，由f（x）≤2，解得：﹣2≤x＜3，x≤﹣5时，f（x）=8，此时f（x）≤2，无解，综上，f（x）≤2的解集是{x|x≥﹣2}；（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，易知函数的最大值是8，若x2+2x+m≥8恒成立，得m≥﹣x2﹣2x+8恒成立，即m≥﹣（x+1）2+9，故m≥9．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数的实部为（）A．﹣0 B．0 C．1 D．22．（5分）已知全集U=R，集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x2﹣2x＞0}，则图1中阴影部分表示的集合为（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{3，4}D．{0，3，4}3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．3 D．94．（5分）已知x∈R，则“x2=x+2”是“x=”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）把曲线上所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2，则C2（）A．关于直线对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于点（π，0）对称6．（5分）已知，则=（）A．B．C．D．7．（5分）当m=5，n=2时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．20 B．42 C．60 D．1808．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．15 C．D．189．（5分）已知为奇函数，为偶函数，则f（ab）=（）A．B．C．D．10．（5分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积S=（）A．B．10 C．D．11．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=4，PA=，PC=，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．24πB．28πC．32πD．36π12．（5分）设函数f（x）=x3﹣3x2+2x，若x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）=f（x）﹣λx的两个极值点，现给出如下结论：①若﹣1＜λ＜0，则f（x1）＜f（x2）；②若0＜λ＜2，则f（x1）＜f（x2）；③若λ＞2，则f（x1）＜f（x2）．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设=（1，2），=（﹣1，1），=+λ，若⊥，则实数λ的值等于．14．（5分）已知a＞0，（ax﹣1）4（x+2）展开式中x2的系数为1，则a的值为．15．（5分）设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个篮球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个篮球得3分，现从该袋子中任取（有放回，且每球取得的机会均等）2个球，则取出此2球所得分数之和为3分的概率为．16．（5分）双曲线的左右焦点分别为F1，F2，焦距2c，以右顶点A为圆心，半径为的圆过F1的直线l相切与点N，设l与C交点为P，Q，若，则双曲线C的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知各项均不为零的等差数列{a n}的前n项和S n ．且满足．（1）求λ的值；（2）求数列的前n项和T n．18．（12分）有甲乙两家公司都愿意聘用某求职者，这两家公式的具体聘用信息如下：甲公司职位A B C D月薪/元6000700080009000获得相应职位概率0.40.30.20.1乙公司职位A B C D月薪/元50007000900011000获得相应职位概率0.40.30.20.1（1）根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？说明理由；（2）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就选择这两家公司的意愿作了统计，得到如下数据分布：人员结构选择意愿40岁以上（含40岁）男性40岁以上（含40岁）女性40岁以下男性40岁以下女性选择甲公司11012014080选择乙公司150********若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的K2的观测值为k1=5.5513，测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？附：P（K2≥k）0.0500.0250.0100.005k 3.841 5.024 6.6357.879 19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=3，CD=4，AD=AP=4，∠PAB=∠PAD=60°．（1）证明：顶点P在底面ABCD的射影在∠BAD的平分线上；（2）求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．20．（12分）已知椭圆的焦点与抛物线的焦点F重合，且椭圆C1的右顶点P到F的距离为；（1）求椭圆C1的方程；（2）设直线l与椭圆C1交于A，B两点，且满足PA⊥PB，求△PAB面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣a）lnx+x，（其中a∈R）（1）若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=x，求a的值；（2）若为自然对数的底数），求证：f（x）＞0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，0≤α＜π），曲线C的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设C与l交于M，N两点（异于原点），求|OM|+|ON|的最大值．23．已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R．（1）若f（1）+f（﹣1）＞1，求a的取值范围；（2）若a＞0，对∀x，y∈（﹣∞，a]，都有不等式恒成立，求a的取值范围．2018年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数的实部为（）A．﹣0 B．0 C．1 D．2【解答】解：==，∴复数的实部为0．故选：B．2．（5分）已知全集U=R，集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x2﹣2x＞0}，则图1中阴影部分表示的集合为（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{3，4}D．{0，3，4}【解答】解：∵全集U=R，集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴C U B={x|0≤x≤2}，∴图中阴影部分表示的集合为A∩（C U B）={0，1，2}．故选：A．3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．3 D．9【解答】解：画出变量x，y满足约束条件可行域如图阴影区域：目标函数z=3x﹣2y可看做y=x﹣z，即斜率为，截距为﹣z的动直线，数形结合可知，当动直线过点A时，z最小由得A（﹣1，﹣1）∴目标函数z=3x﹣2y的最小值为z=﹣3×0+2×1=﹣1．故选：A．4．（5分）已知x∈R，则“x2=x+2”是“x=”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“x2=x+2”，解得x=2或﹣1．由“x=”，解得x=2．∴“x2=x+2”是“x=”的必要不充分条件．故选：B．5．（5分）把曲线上所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2，则C2（）A．关于直线对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于点（π，0）对称【解答】解：把曲线上所有点向右平移个单位长度，可得y=2sin（x﹣﹣）=2sin（x﹣）的图象；再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2：y=2sin（2x﹣）的图象，对于曲线C2：y=2sin（2x﹣）：令x=，y=1，不是最值，故它的图象不关于直线对称，故A错误；令x=，y=2，为最值，故它的图象关于直线对称，故B正确；令x=，y=﹣1，故它的图象不关于点对称，故C错误；令x=π，y=﹣，故它的图象不关于点（π，0）对称，故D错误，故选：B．6．（5分）已知，则=（）A．B．C．D．【解答】解：由，得，即，∴sinθcosθ=，∴===．故选：C．7．（5分）当m=5，n=2时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．20 B．42 C．60 D．180【解答】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=5×4×3的值，S=5×4×3=60．故选：C．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．15 C．D．18【解答】解：由题意可知几何体的直观图为：多面体：A′B′C′﹣ABCD 几何体补成四棱柱，底面是直角梯形，底边长为3，高为3，上底边长为1，几何体的体积为：V棱柱﹣V棱锥=3×﹣=18﹣=．故选：C．9．（5分）已知为奇函数，为偶函数，则f（ab）=（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，为奇函数，则有f（﹣x）+f（x）=0，即（2x+）+（2x+）=0，解可得a=﹣1，为偶函数，则g（x）=g（﹣x），即bx﹣log2（4x+1）=b（﹣x）﹣log2（4﹣x+1），解可得b=1，则ab=﹣1，f（ab）=f（﹣1）=2﹣1﹣=﹣；故选：D．10．（5分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积S=（）A．B．10 C．D．【解答】解：若，可得sinA==，由正弦定理可得b===7，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=，则△ABC的面积为S=absinC=×5×7×=10．故选：C．11．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=4，PA=，PC=，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．24πB．28πC．32πD．36π【解答】解：取BC中点D，连结AD，过P作PE⊥平面ABC，交AC于E，过E作EF∥BC，交AD于F，以D为原点，DB为x轴，AD为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则DA=DB=DC==2，=，即，解得AE=3，CE=1，PE=1，AF=EF=，则B（2，0，0），P（﹣，﹣，1），设球心O（0，0，t），则OB=OP，∴=，解得t=﹣1，∴三棱锥P﹣ABC外接球半径R==3，∴三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为：S=4πR2=4π×9=36π．故选：D．12．（5分）设函数f（x）=x3﹣3x2+2x，若x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）=f（x）﹣λx的两个极值点，现给出如下结论：①若﹣1＜λ＜0，则f（x1）＜f（x2）；②若0＜λ＜2，则f（x1）＜f（x2）；③若λ＞2，则f（x1）＜f（x2）．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣λx，∴g′（x）=f′（x）﹣λ，令g′（x）=0，∴f′（x）﹣λ=0，即f′（x）=λ有两解x1，x2，（x1＜x2）∵f（x）=x3﹣3x2+2x，∴f′（x）=3x2﹣6x+2，分别画出y=f′（x）与y=λ的图象如图所示：①当﹣1＜λ＜0时，则f（x1）＞f（x2）；②若0＜λ＜2，则f（x1）＞f（x2）；③若λ＞2，则f（x1）＜f（x2）．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设=（1，2），=（﹣1，1），=+λ，若⊥，则实数λ的值等于﹣5．【解答】解：=+λ=（1，2）+λ（﹣1，1）=（1﹣λ，2+λ），∵⊥，∴=1﹣λ+2（2+λ）=0，则实数λ=﹣5故答案为：﹣5．14．（5分）已知a＞0，（ax﹣1）4（x+2）展开式中x2的系数为1，则a的值为．【解答】解：（ax﹣1）4（x+2）=（1﹣ax）4（x+2）=（1﹣4ax+6a2x2+…）（x+2）；其展开式中x2的系数为﹣4a+12a2=1，即12a2﹣4a﹣1=0，解得a=或a=﹣（不合题意，舍去）；∴a的值为．故答案为：．15．（5分）设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个篮球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个篮球得3分，现从该袋子中任取（有放回，且每球取得的机会均等）2个球，则取出此2球所得分数之和为3分的概率为．【解答】解：袋子中装有3个红球，2个黄球，1个篮球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个篮球得3分，现从该袋子中任取（有放回，且每球取得的机会均等）2个球，基本事件总数n=6×6=36，取出此2球所得分数之和为3分包含的基本事件个数m=2×3+3×2=12，取出此2球所得分数之和为3分的概率为p===．故答案为：．16．（5分）双曲线的左右焦点分别为F1，F2，焦距2c，以右顶点A为圆心，半径为的圆过F1的直线l相切与点N，设l与C交点为P，Q，若，则双曲线C的离心率为2．【解答】解：由，可得N为PQ的中点，AN⊥PQ，在直角三角形F1AN中，AF1=a+c，AN=，即有∠NF1A=30°，直线PQ的斜率为，AN的斜率为﹣，由F1（﹣c，0），A（a，0），可得直线PQ的方程为y=（x+c），代入双曲线的方程可得（3b2﹣a2）x2﹣2ca2x﹣a2c2﹣3a2b2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得x1+x2=，PQ的中点N的横坐标为，纵坐标为（+c）=，由k AN==﹣，即为=﹣，即为a2c﹣3a（c2﹣a2）+a3=﹣c（c2﹣a2），化为（c﹣2a）2=0，即c=2a，可得e==2．故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知各项均不为零的等差数列{a n}的前n项和S n．且满足．（1）求λ的值；（2）求数列的前n项和T n．【解答】解：（1）因为数列{a n}为等差数列，设a n=An+B，因为{a n}的公差不为零，则，所以，因为，所以An2+（A+2B）n=A2n2+（2AB+λ）n+B2，所以．（2）由（1）知a n=n，所以，所以．18．（12分）有甲乙两家公司都愿意聘用某求职者，这两家公式的具体聘用信息如下：甲公司职位A B C D月薪/元6000700080009000获得相应职位概率0.40.30.20.1乙公司职位A B C D月薪/元50007000900011000获得相应职位概率0.40.30.20.1（1）根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？说明理由；（2）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就选择这两家公司的意愿作了统计，得到如下数据分布：人员结构选择意愿40岁以上（含40岁）男性40岁以上（含40岁）女性40岁以下男性40岁以下女性选择甲公司11012014080选择乙公司150********若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的K2的观测值为k1=5.5513，测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？附：P（K2≥k）0.0500.0250.0100.005 k 3.841 5.024 6.6357.879【解答】解：（1）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X，Y，则E（X）=6000×0.4+7000×0.3+8000×0.2+9000×0.1=7000，E（Y）=5000×0.4+7000×0.3+9000×0.2+11000×0.1=7000，D（X）=（6000﹣7000）2×0.4+（7000﹣7000）2×0.3+（8000﹣7000）2×0.2+（9000﹣7000）2×0.1=10002，D（Y）=（5000﹣7000）2×0.4+（7000﹣7000）2×0.3+（9000﹣7000）2×0.2+（11000﹣7000）2×0.1=20002，则E（X）=E（Y），D（X）＜D（Y），我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司；或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司；（2）因为k1=5.5513＞5.024，根据表中对应值，得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025，由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的2×2列联表如下：选择甲公司选择乙公司总计男250350600女200200400总计4505501000计算K2==≈6.734，且K2=6.734＞6.635，对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01，由0.01＜0.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=3，CD=4，AD=AP=4，∠PAB=∠PAD=60°．（1）证明：顶点P在底面ABCD的射影在∠BAD的平分线上；（2）求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．【解答】解：（1）证明：设点O为点P在底面ABCD的射影，连接PA，AO，则PO⊥底面ABCD，分别作OM⊥AB，ON⊥AD，垂直分别为M，N，连接PM，PN，因为PO⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，所以PO⊥AB，又OM⊥AB，OM∩OP=O，所以AB⊥平面OPM，PM⊂平面OPM，所以AB⊥PM，同理AD⊥PN，即∠AMP=∠ANP=90°，又∠PAB=∠PAD，PA=PA，所以△AMP≌△ANP，所以AM=AN，又AO=AO，所以Rt△AMO≌Rt△ANO，所以∠OAM=∠OAN，所以AO为∠BAD的平分线．（2）以O为原点，分别以OM，ON，OP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，因为PA=4，所以AM=2，因为AB⊥AD，AO为∠BAD的平分线，所以，所以，则，所以设平面BPD的一个法向量为，则，可取，设平面PDC的一个法向量为，则由，可取，所以，所以二面角B﹣PD﹣C的余弦值为．20．（12分）已知椭圆的焦点与抛物线的焦点F重合，且椭圆C1的右顶点P到F的距离为；（1）求椭圆C1的方程；（2）设直线l与椭圆C1交于A，B两点，且满足PA⊥PB，求△PAB面积的最大值．【解答】解：（1）设椭圆C1的半焦距为c，依题意，可得a＞b，且，所以椭圆C1的方程为．（2）依题意，可设直线PA，PB的斜率存在且不为零，不妨设直线PA：y=k（x﹣3），则直线，联立：得（1+9k2）x2﹣54k2x+（81k2﹣9）=0，则同理可得：，所以△PAB的面积为：，当且仅当3（k2+1）=8k，即是面积取得最大值．k221．（12分）已知函数f（x）=（x﹣a）lnx+x，（其中a∈R）（1）若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=x，求a的值；（2）若为自然对数的底数），求证：f（x）＞0．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，由题意知，则，解得x0=1，a=1或x0=a，a=1，所以a=1．（2）令，则，因为，所以，即g（x）在（0，+∞）上递增，以下证明在g（x）区间上有唯一的零点x0，事实上，，因为，所以，，由零点的存在定理可知，g（x）在上有唯一的零点x0，所以在区间（0，x0）上，g（x）=f'（x）＜0，f（x）单调递减；在区间（x0，+∞）上，g（x）=f'（x）＞0，f（x）单调递增，故当x=x0时，f（x）取得最小值，因为，即，所以，即＞0．∴f（x）＞0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，0≤α＜π），曲线C的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设C与l交于M，N两点（异于原点），求|OM|+|ON|的最大值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为为参数），∴消去参数β，得曲线C的普通方程为x2+（y﹣2）2=4，化简得x2+y2=4y，则ρ2=4ρsinθ，所以曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．（2）∵直线l的参数方程为为参数，0≤α＜π），∴由直线l的参数方程可知，直线l必过点（0，2），也就是圆C的圆心，则，不妨设，其中，则，所以当，|OM|+|ON|取得最大值为．23．已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R．（1）若f（1）+f（﹣1）＞1，求a的取值范围；（2）若a＞0，对∀x，y∈（﹣∞，a]，都有不等式恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（1）+f（﹣1）=|1﹣a|﹣|1+a|＞1，若a≤﹣1，则1﹣a+1+a＞1，得2＞1，即a≤﹣1时恒成立，若﹣1＜a＜1，则1﹣a﹣（1+a）＞1，得，即，若a≥1，则﹣（1﹣a）﹣（1+a）＞1，得﹣2＞1，即不等式无解，综上所述，a的取值范围是．（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需，当x∈（﹣∞，a]时，，因为，所以当时，，即，解得﹣1≤a≤5，结合a＞0，所以a的取值范围是（0，5]．。