题型1 专题1 动点问题的函数图像
动点的函数图象问题(压轴题专项讲练)解析版—2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项(浙教版)
动点的函数图象问题数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
【典例1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD=2，CD⊥AB于点D，点E、F、G分别是边CD、CA、AD的中点，连接EF、FG，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A方向运动（点M运动到AB的中点时停止）；过点M作直线MP∥BC与线段AC交于点P，以PM为斜边作Rt△PMN，点N在AB 上，设运动的时间为t(s)，Rt△PMN与矩形DEFG重叠部分的面积为S，则S与t之间的函数关系图象大致为（）A．B．C．D．本题考查几何动点问题的函数图象，正确分段并分析是解题的关键．根据题意先分段，分为0≤t≤0.5，0.5<t≤1，1<t≤2三段，分别列出三段的函数解析式便可解决，本题也可只列出0≤t≤0.5，1<t≤2两段，用排除法解决．解：分析平移过程，①从开始出发至PM与点E重合，由题意可知0≤t≤0.5，如图，则BM=2t，过点M作MT⊥BC于点T，∵∠B=60°，CD⊥AB，∴BC=2BD=4，CD==BT=12BM=t，∵∠ACB=90°，MP∥BC，∴∠ACB=∠MPA=90°，∴四边形CTMP为矩形，∴PM=CT=BC―BT=4―t，∵∠PMN=∠B=60°，PN⊥AB，∴MN=PM2=4―t2，∴DN=MN―MD=MN―BD+BM=3t2，∵E为CD中点，∴DE=CD2=∴S=DE⋅DN=∴S与t的函数关系是正比例函数；②当0.5<t≤1，即从PM与E重合至点M与点D重合，如图，由①可得QN=ED=DM=2―2t，DN=32t，S矩形EDNQ=∵∠PMN=∠B=60°，CD⊥AB，∴SD==，∴ES=ED―SD=∴ER ==2t ―1，∴S =S 矩形EDNQ ―S △ERS =12(2―2t ―1)=―2+此函数图象是开口向下的二次函数；③当1<t ≤2，即从点M 与点D 重合至点M 到达终点，如图，由①可得DN =32t ，MN =4―t 2，∵AD ==6， DG =12AD =3，∴NG =DG ―DN =3―32t ，∴QF =NG =3―32t ，∴PQ==，∴HQ ==1―12t ，∴S =(HQ+MN )×QN 2==―∴S 与t 的函数关系是一次函数，综上，只有选项A 的图象符合，故选：A ．1．（2024·四川广元·二模）如图，在矩形ABCD 中，AB =4cm ,AD =2cm ，动点M 自点A 出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度向点 B 运动，同时动点N 自点A 出发沿折线AD －DC －CB 以每秒2cm 的速度运动，到达点B 时运动同时停止．设△AMN的面积为y (cm2)，运动时间为x （秒），则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是（ ）A．B．C．D．【思路点拨】本题考查动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．根据题意，分三段（0<x<1，1≤x<3，3≤x<4）分别求解y与x的解析式，从而求解．【解题过程】解：当0<x<1时，M、N分别在线段AB、AD上，此时AM=x cm，AN=2x cm，y=S△AMN=12×AM×AN=x2，为二次函数，图象为开口向上的抛物线；当1≤x<3时，M、N分别在线段、CD上，此时AM=x cm，△AMN底边AM上的高为AD=2cm，y=S△AMN=12×AM×AD=x，为一次函数，图象为直线；当3≤x<4时，M、N分别在线段AB、BC上，此时AM=x cm，△AMN底边AM上的高为BN=(8―2x)cm，y=S△AMN=12×AM×BN=12x(8―2x)=―x2+4x，为二次函数，图象为开口向下的抛物线；结合选项，只有A选项符合题意，故选：A．2．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）如图，在△ABC中，∠C=135°，AC=BC=P为BC边上一动点，PQ∥AB交AC于点Q，连接BQ，设PB=x，S△BPQ=y，则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【思路点拨】过点Q作QE⊥BC交BC延长线于点E，根据S△BPQ=y=12QE⋅BP列出解析式再判断即可．【解题过程】解：如图，过点Q作QE⊥BC交BC延长线于点E，∵AC =BC =∴∠A =∠ABC∵PQ∥AB ，∴∠CQP =∠A,∠CPQ =∠ABC∴∠CQP =∠CPQ∴CQ =CP =―x ．∵∠ACB =135°∴∠ECQ =45°在Rt △CEQ 中，∠ECQ =45°，∴QE ==―x )=2―，∴y =12QE ⋅BP =12x 2x =―2+x =――2+∴当x =y 最大值=故选：C.3．（2024·河北石家庄·二模）如图所示，△ABC 和△DEF 均为边长为4的等边三角形，点A 从点D 运动到点E 的过程中，AB 和DF 相交于点G ，AC 和EF 相交于点H ，(S △BGF +S △FCH )为纵坐标y ，点A 移动的距离为横坐标x ，则y 与x 关系的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】如图，过G 作GK ⊥BC 于K ，过H 作HT ⊥BC 于T ，证明四边形ACFD 为平行四边形，可得AD =CF =x ，BF =4―x ，求解CT =FT =12x ，TH ==，同理可得：GK =―x )，再利用面积公式建立函数关系式即可判断．【解题过程】解：如图，过G 作GK ⊥BC 于K ，过H 作HT ⊥BC 于T ，由题意可得：AD∥CF ，DF∥AC ，∴四边形ACFD 为平行四边形，∴AD =CF =x ，∴BF =4―x ，∵△ABC 和△DEF 均为边长为4的等边三角形，AD∥CF ，∴∠D =∠DFB =60°，而∠B =60°，∴△BGF 为等边三角形，同理：△CFH 为等边三角形，∵HT ⊥BC ，∴CT =FT =12x ，TH ==，同理可得：GK =―x )，∴y =12x +12(4―x )⋅―x )=2―+故选B4．（2023·辽宁铁岭·模拟预测）如图，矩形ABCD 中，AB =8cm ，AD =12cm ，AC 与BD 交于点O ，M 是BC 的中点．P 、Q 两点沿着B→C→D 方向分别从点B 、点M 同时出发，并都以1cm/s 的速度运动，当点Q 到达D 点时，两点同时停止运动．在P 、Q 两点运动的过程中，与△OPQ 的面积随时间t 变化的图象最接近的是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】本题考查了动点问题函数图象．根据矩形的性质求出点O 到BC 的距离等于4，到CD 的距离等于6，求出点Q 到达点C 的时间为6s ，点P 到达点C 的时间为12s ，点Q 到达点D 的时间为14s ，然后分①0≤t ≤6时，点P 、Q 都在BC 上，表示出PQ ，然后根据三角形的面积公式列式计算即可；②6<t ≤12时，点P 在BC 上，点Q 在CD 上，表示出CP 、CQ ，然后根据S ΔOPQ =S ΔCOP +S ΔCOQ ―S ΔPCQ 列式整理即可得解；③12<t ≤14时，表示出PQ ，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解题过程】解：∵矩形ABCD 中，AB =8cm ，AD =12cm ，AC 与BD 交于点O ，∴点O 到BC 的距离=12AB =4，到CD 的距离=12AD =6，∵点M 是BC 的中点，∴CM =12BC =6，∴点Q到达点C的时间为6÷1=6s，点P到达点C的时间为12÷1=12s，点Q到达点D的时间为(6+8)÷1=14s，①0≤t≤6时，点P、Q都在BC上，PQ=6，△OPQ的面积=12×6×4=12；②6<t≤12时，点P在BC上，点Q在CD上，CP=12―t，CQ=t―6，SΔOPQ=SΔCOP+SΔCOQ―SΔPCQ，=12×(12―t)×4+12×(t―6)×6―12×(12―t)×(t―6)，=12t2―8t+42，=12(t―8)2+10，③12<t≤14时，PQ=6，△OPQ的面积=12×6×6=18；纵观各选项，只有B选项图形符合．故选：B．5．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E为AB中点，动点P从点B开始沿BC方向运动到点C停止，动点Q从点C开始沿CD→DA方向运动，与点P同时出发，同时停止；这两点的运动速度均为每秒1个单位；若设他们的运动时间为x（s），△EPQ的面积为y，则y与x之间的函数关系的图像大致是（）A．B．C．D．【思路点拨】先求出点P在BC上运动是时间为6秒，点Q在CD上运动是时间为4秒，再根据中点的定义可得AE =BE =12AB ，然后分①点Q 在CD 上时，表示出BP 、CP 、CQ ，再根据△EPQ 的面积为y =S 梯形BCQE ―S △BPE ―S △PCQ ，列式整理即可得解；②点Q 在AD 上时，表示出BP 、AQ ，再根据△EPQ 的面积为y =S 梯形ABPQ ―S △BPE ―S △AEQ ，列式整理即可得解，再根据函数解析式确定出函数图象即可．【解题过程】解：∵点P 、Q 的速度均为每秒1个单位，∴点P 在BC 上运动的时间为6÷1=6（秒），点Q 在CD 上运动的时间为4÷1=4（秒），∵E 为AB 中点，∴AE =BE =12AB =12×4=2，①如图1，点Q 在CD 上时，0≤x ≤4，则BP =x,CP =6―x,CQ =x ，∴ △EPQ 的面积为y =S 梯形BCQE ―S △BPE ―S △PCQ ，=12(2+x )×6―12×2x ―12(6―x )⋅x =12x 2―x +6=12(x ―1)2+112②如图2，点Q 在AD 上时，4<x ≤6，则BP =x,AQ =6+4―x =10―x ，∴ △EPQ 的面积为y =S 梯形ABPQ ―S △BPE ―S △AEQ ，=12(x +10―x )×4―12×2x ―12(10―x )⋅2=10，综上所述，y =2―x +6(0≤x ≤4)10(4<x ≤6)，函数图象为对称轴为直线x =1的抛物线的一部分加一条线段，只有A 选项符合．故选：A ．6．（2024·河南开封·一模）如图1，在△ABC 中，∠B =60°，点D 从点B 出发，沿BC 运动，速度为1cm/s ．点P 在折线BAC 上，且PD ⊥BC 于点D ．点D 运动2s 时，点P 与点A 重合．△PBD 的面积S (cm 2)与运动时间t (s)的函数关系图象如图2所示，E 是函数图象的最高点．当S (cm 2)取最大值时，PD 的长为（ ）A ．B ．(1+cm C ．(1+cm D ．(2+cm【思路点拨】本题考查动点函数图象，二次函数图象性质，三角形面积．本题属二次函数与几何综合题目．先根据点D 运动2s 时，点P 与点A 重合．从而求得PD ==，再由函数图象求得BC =(2+×1=(2+cm ，从而求得DC =BC ―BD =2+2=，得出PD =DC ，然后根据由题图2点E 的位置可知，点P 在AC 上时，S △PBD 有最大值．所以当2≤t ≤2+点P 在AC边上，此时BD =t ×1=t (cm)，PD =DC =(2+―t )cm ，根据三角形面积公式求得S △PBD =―12t ―(13)2+2+【解题过程】解：由题意知，点D 运动2s 时，点P ，D 的位置如图1所示．此时，在Rt △PBD 中，BD =2cm ，∠B =60°，PD ⊥BC ，∴PB =2BD =4(cm)，∴PD ==．由函数图象得BC =(2+×1=(2+cm ，∴DC =BC ―BD =2+2=，∴PD =DC ．由题图2点E 的位置可知，点P 在AC 上时，S △PBD 有最大值．当2≤t ≤2+P 在AC 边上，如图2，此时BD =t ×1=t (cm)，PD =DC =(2+―t )cm ，∴S △PBD =12×BD ×PD =12×t ×(2+t )=―12t 2+(1+t ．∵S △PBD =――(1+3)2+2+又∵―12<0，∴当t =1+S △PBD 的值最大，此时PD =CD =2+―(1+=(1+cm ．故选：B ．7．（2024·安徽·一模）如图，在四边形ABCD 中，∠A =60°，CD ⊥AD ，∠BCD =90°, AB =BC =4，动点P ，Q 同时从A 点出发，点Q 以每秒2个单位长度沿折线A ―B ―C 向终点C 运动；点P 以每秒1个单位长度沿线段AD 向终点D 运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x 秒，△APQ 的面积为y 个平方单位，则y 随x 变化的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】分当0≤x <2时，点Q 在AB 上和当2≤x ≤4时，点Q 在BC 上，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解题过程】解：过Q 作QN ⊥AD 于N ，当0≤x <2时，点Q 在AB 上，∵∠A =60°，∴∠AQN =90°―60°=30°,∴AN = 12AQ =12×2x =x ，∴QN ==，∴y =12×AP ×NQ =12×x ×=2，当2≤x ≤4时，点Q 在BC 上，过点B 作BM ⊥AD 于点M ，∵BM ⊥AD ，∠A =60°,∴∠ABM =30°,∴AM = 12AB =12×4=2，∴BM ==∵CD ⊥AD ，QN ⊥AD ，∴QN ∥CD ,∴∠BQN =∠BCD =90°,∵BM ⊥AD, CD ⊥AD ，∴四边形BMNQ 是矩形，∴QN =BM = ,y =12AP ⋅QN =12x ×=，综上所述，当0≤x <2时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当2≤x ≤4时，函数图象是直线的一部分，故选：D ．8．（23-24九年级上·浙江温州·期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt △ABC 中，∠C =90°，CD =，D 为AC 上一点，动点P 以每秒1个单位的速度从C 点出发，在三角形边上沿C→B→A 匀速运动，到达点A 时停止，以DP 为边作正方形DPEF ，设点P 的运动时间为t s ，正方形DPEF 的面积为S ，当点P 由点C 运动到点A 时，经探究发现S 是关于t 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，若存在3个时刻t 1，t 2，t 3(t 1<t 2<t 3)对应的正方形DPEF 的面积均相等，当t 3=5t 1时，则正方形DPEF 的面积为（ ）A ．3B ．349C ．4D ．5【思路点拨】由题意可得：CD =CP =t ，当点P 在BC 上运动时S =t 2+2，由图可得，当点P 与点B 重合时，S =6，求出t=2，即BC=2，当P在BA上时，由图可得抛物线过点2，6，顶点为4，2，求出抛物线解析式为S=(t―2)2+2，从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1，则从图象上看t1，t2关于x=2对称，t2，t3关于x=4对称，t1+t2=4①，t2+t3=8②，结合t3=5t1③，求出t的值即可得出答案．【解题过程】解：由题意可得：CD=CP=t，当点P在BC上运动时，S=DP2=CP2+CD2=t2+2，由图可得，当点P与点B重合时，S=6，∴t2+2=6，∴t=2或t=―2（不符合题意，舍去），∴BC=2，当P在BA上时，由图可得抛物线过点2，6，顶点为4，2，则抛物线的表达式为S=a(t―4)2+2，将2，6代入得：a(2―4)2+2=6，∴a=1，∴抛物线的表达式为：S=(t―4)2+2，从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1，若存在3个时刻t1，t2，t3(t1<t2t3)对应的正方形DPEF的面积均相等，则从图象上看t1，t2关于x=2对称，t2，t3关于x=4对称，∴t1+t2=4①，t2+t3=8②，∵t3=5t1③，由①③③解得t1=1，∴S=t2+2=1+2=3，故选：A．9．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BC=6，点O为AC 中点，点D为线段AB上的动点，连接OD，设BD＝x，OD2＝y，则y与x之间的函数关系图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】如图:过O 作OE ⊥AB ,垂足为E ，先根据直角三角形的性质求得AB =12,AC =OA =12AC =AE ==92可得DE =152―x ，然后再根据勾股定理求得函数解析式，最后确定函数图像即可．【解题过程】解：如图:过O 作OE ⊥AB ,垂足为E∵∠C =90°，∠ABC =60°∴∠A =30°∵BC =6∴AB =2BC =12∴AC ===∵点O 为AC 中点∴OA =12AC =∵∠A =30°∴OE =12AO =∴AE ===92∴DE =|152―x |∴OD 2=OE 2+DE 2,即y =+―x 2=x +274当x =0时，y =0―+274=63当x =152时，y =―+274=274当x =12时，y =12+274=27则函数图像为．故选C ．10．（2024·广东深圳·三模）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =12，BC =8，点D 和点E 分别是AB 和AC 的中点，点M 和点N 分别从点A 和点E 出发，沿着A→C→B 方向运动，运动速度都是1个单位/秒，当点N 到达点B 时，两点间时停止运动．设△DMN 的面积为S ，运动时间为t ，则S 与t 之间的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】本题主要考查动点问题，依托三角形面积考查二次函数的图象和分类讨论思想，取BC 的中点F,连接DF 根据题意得到DF 和DE ，分三种情况讨论三角形的面积：（1）当0<t ≤6时，得MN =AE =6，结合三角形面积公式求解即可；（2）当6<t ≤12时，得AM ，MC ，CN 和BN ，结合S =S ΔABC ―S ΔADM ―S ΔBDN ―S ΔCMN ；（3）当12<t ≤14时，点M 、N 都在BC 上，结合DF 和MN 求面积即可．【解题过程】解：如图，取BC 的中点F ，连接DF ，∴DF ∥AC ，DF =12AC =6∵点D 、E 是中点，∴DE =12BC =4，DF ∥CB ，∵∠C =90°，∴四边形DECF 为矩形，当0<t ≤6时，点M 在AE 上，点N 在EC 上，MN =AE =6，∴S =12MN ⋅DE =12×6×4=12；如图，当6<t ≤12时，点M 在EC 上，点N 在BC 上，∵AM =t ，∴MC =12―t ，CN =t ―6，BN =14―t ，∴S =S ΔABC ―S ΔADM ―S ΔBDN ―S ΔCMN=12×8×12―12×4t ―12×6(14―t)―12(12―t)(t ―6)=12t 2―8t +42；如图，当12<t ≤14时，点M 、N 都在BC 上，∴S =12MN ⋅DF =12×6×6=18，综上判断选项A 的图象符合题意．故选：A ．11．（2024·河南南阳·二模）如图是一种轨道示意图，其中A 、B 、C 、D 分别是菱形的四个顶点，∠A =60°．现有两个机器人(看成点)分别从A ，C 两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线分别为A→B→C 和C→D→A ．若移动时间为t ，两个机器人之间距离为d ．则 d²与t 之间的函数关系用图象表示大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】设菱形的边长为2，根据菱形的性质求出关于两个机器人之间的距离d2的解析式，再利用二次函数的性质即可解答．【解题过程】解：①设AD=2，如图所示，∵移动时间为t，∠A=60°，∴CK=1，FT=KB=∴AE=t，CF=2―t，∴FK=2―t―1=1+t，∴ET=2―t―(1+t)=1+2t，∴在Rt△EFT中，EF2=ET2+FT2=(1+2t)2+2=4t2+4t+4；②设AD=2，如图所示，∵移动时间为t，∠A=60°，∴BM=t―2，CM=2―(t―2)=4―t，CP=1，PD=LQ=∴MQ=CM―CQ=(4―t)―1=―t，∴在Rt△LMQ中，ML2=MQ2+LQ2=(3―t)2+2=t2―6t+12，∴函数图像为两个二次函数图象；③当从A出发的机器人在B点，从C出发的机器人在D点，此时距离是BD；从A出发的机器人在A点，从C出发的机器人在C点，此时距离是AC；∵设AD=2，∠A=60°，∴BD=2，AE=∴AC=2AE=∴BD<AC，∴函数图象的起点和终点高于中间点；综上所述：A项符合题意；故选A．12．（2024·山东聊城·二模）如图，等边△ABC与矩形DEFG在同一直角坐标系中，现将等边△ABC按箭头所指的方向水平移动，平移距离为x，点C到达点F为止，等边△ABC与矩形DEFG重合部分的面积记为S，则S关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【思路点拨】本题主要考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，等腰三角形的性质等知识，如图，作AQ⊥BC于点Q，可知AQ=0<x≤1或1<x≤2或2<x≤3三种情形，分别求出重叠部分的面积，即可得出图象．【解题过程】解：如图①，设AC与DE交于点H，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC=AC=2,BC=1,过点A作AQ⊥BC于点Q，则BQ=CQ=12∴AQ===∵四边形DEFG 是矩形，∴∠DEF =90°,DE =AQ ==OF ―OE =5―2=3,当0<x ≤1时，在Rt △HCE 中，∠ACE =60°,EC =x,∴∠CHE =30°,∴HC =2x ，∴HE ===∴S =12EC ×HE =12x ×=2，所以，S 关于x 的函数图象是顶点为原点，开口向上且在0<x ≤1内的一段；当1<x ≤2时，如图，设AB 与DE 交于点P ，∵EC =x,BC =2,∴BE =BC ―EC =2―x,同理可得，PE =x ―2)，∴S =S △ABC ―S △PBE =12×2―12(2―x )⋅―x )=―x ―2)2+所以，图象为1<x ≤2时开口向下的一段抛物线索；当2<x ≤3时，如图，S =12×2×=此时的函数图象是在2<x≤3范围内的一条线段，即S=<x≤3)，故选：C13．（2024·河南·模拟预测）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，BD是AC边上的中线，将△BCD 沿射线BA方向匀速平移，平移后的三角形记为△B1C1D1，设△B1C1D1与△ABD重叠部分的面积为y，平移距离为x，当点B1与点A重合时，△B1C1D1停止运动，则下列图象最符合y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【思路点拨】本题考查了二次函数与几何图形的综合，涉及等腰直角三角形，平移的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些性质，学会分类讨论．过点D作DM⊥AB于M，由△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，可设AB=BC=2，可得AD=CD=BD=DM=AM=BM=1，然后分情况讨论：当0<x≤1时，当1<x≤2时，分别求出关于S、x的函数，再数形结合即可求解．【解题过程】解：过点D作DM⊥AB于M，∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，∴ AB =BC ，设AB =BC =2，∴ AD =CD =BD =DM =AM =BM =1，当0<x ≤1时，设B 1D 1交AC 于点G ，B 1C 1交BD 于N ，∴ AB 1=AB ―BB 1=2―x ，由平移知B 1G ∥BD ，∠AB 1G =∠ABD ，∴ △AB 1G 是等腰直角三角形，∴ S △AB 1G =12AB 1·12AB 1=14(2―x )2，又∵ S △ABD =12×12×2×2=1，S △BB 1N =12x 2∴ S =S △ABD ―S △AB 1G ―S △BB 1N =1―14(2―x )2―12x 2=―34x 2+x ，当x =―=23时取得最大值，故排除A 、B 选项当1<x ≤2时，B 1D 1交AC 于点G ，B 1C 1交AC 于点H ，∵ B 1H ∥BC ，∴ ∠B 1HG =∠ACB =45°，又∵ ∠D 1B 1C 1=45°，∴ △B 1GH 为等腰三角形，∵ ∠AB 1D 1=∠ABD =45°=∠A ，∴ AB 1G 为等腰三角形，∴ B 1G =1=―x )，∴ S =S △B 1GH =12·―x )―x )=14(2―x )2，即当1<x ≤2时，函数图像为开口向上的抛物线，故排除C 选项故选：D ．14．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，菱形ABCD的边长为3cm，∠B=60°，动点P从点B出发以3cm/ s的速度沿着边BC―CD―DA运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿着边BA 向A点运动，到达点A后停止运动．设点P的运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，则y关于x的函数图象为（）A．B．C．D．【思路点拨】根据题意可知分情况讨论，分别列出当点P在BC上时，点P在CD上时，点P在AD上时表达式，再画图得到函数解析式，即可得到本题答案．【解题过程】解：设点P的运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，①当0≤x≤1时，点P在BC上时，过点P作PE⊥BA，，∵根据题知：∠B =60°，PB =3x,BQ =x ，∴BE =32x ，PE =，∴y =12BQ·PE =12x·=2；②当1<x ≤2时，点P 在CD 上时，过点P 作PH ⊥BA ，，∵根据题知：∠B =60°，BC =3,BQ =x ，∴PH =∴y =12BQ·PH =12x·=；③当2<x ≤3时，点P 在AD 上时，过点P 作PF ⊥BA 交DA 延长线于F ，，∵根据题知：∠B =60°，即∠FAD =60°，∵BC +CD +AD =3+3+3=9cm ，BC +CD +DP =3x ，∴AP =(9―3x)cm ，∴PF =9―3x 2·∴y =12BQ·PF =12x·9―3x 2·=―2；∴结合三种情况，图像如下所示：，故选：D．15．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，D，P(―1,―1)．点M在菱形的边AD和DC上运动（不与点A，C重合），过点M作MN∥y轴，与菱形的另一边交于点N，连接PM，PN，设点M的横坐标为x，△PMN的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【思路点拨】先根据菱形的性质求出各点坐标，分M的横坐标x在0∼1，1∼2，2∼3之间三个阶段，用含x的代数式表示出△PMN的底和高，进而求出分段函数的解析式，根据解析式判断图象即可．【解题过程】解：∵菱形ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上，顶点B 、C 在x 轴的正半轴上，∴ AB =AD =2，OA=∴ OB===1，∴ OC =OB +BC =1+2=3，∴ A ，B (1,0)，C (3,0)，设直线AB 的解析式为y =kx +b ，将A ，B (1,0)代入，得：k +b = ，解得k =b =∴直线AB 的解析式为y =―+∵ MN∥y 轴，∴N 的横坐标为x ，（1）当M 的横坐标x 在0∼1之间时，点N 在线段AB 上，△PMN 中MN 上的高为1+x ，∴ N (x,―+，∴ MN=(―+=，∴ S △PMN =12MN ⋅(1+x )=⋅(1+x)=2+，∴该段图象为开口向上的抛物线；（2）当M 的横坐标x 在1∼2之间时，点N 在线段BC 上，△PMN 中MN =MN 上的高为1+x ，∴ S △PMN =12MN ⋅(1+x)=(1+x)=∴该段图象为直线；（3）当M 的横坐标x 在2∼3之间时，点N 在线段BC 上，△PMN 中MN 上的高为1+x ，由D ，C (3,0)可得直线CD 的解析式为y =―+∴ M (x,―+，N (x,0)，∴ MN =―+∴ S △PMN =12MN ⋅(1+x )=12(+⋅(1+x )=―2∴该段图象为开口向下的抛物线；观察四个选项可知，只有选项A 满足条件，故选A ．16．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A (2,0)，点B，点C (―，点P从点O出发沿O→A→B路线以每秒1个单位的速度运动，点Q从点O出发沿O→C→B的速度运动，当一个点到达终点时另一个点随之停止运动，设y=PQ2，运动时间为t秒，则正确表达y与t 的关系图象是（）A．B．C．D．【思路点拨】先分析各个线段的长，在Rt△OAB中，可知，OA=2，OB AB=4，∠BAO=60°，过点C作CM⊥y轴于点M，易得△OBC是等边三角形，OC=BC=OB P在OA上运动用时2s，在AB上运动用时4s，点Q在OC上运动用时2s，在OC上运动用时2s，则点P和点Q共用时4s，可排除D选项；再算出点P在OA上时，y的函数表达式，结合选项可得结论．【解题过程】解：如图，∵点A（2，0），点B（0，∴OA=2，OB∴AB=4，∠BAO=60°，过点C作CM⊥y轴于点M，则OM =BM CM =3，∴OC =BC ∴△OBC 是等边三角形，∠BOC =60°，∴点P 在OA 上运动用时2s ，在AB 上运动用时4s ，点Q 在OC 上运动用时2s ，在OC 上运动用时2s ，即点P 和点Q 共运动4s 后停止；由此可排除D 选项．当点P 在线段OA 上运动时，点Q 在线段OC 上运动，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ，由点P ，点Q 的运动可知，OP =t ，OQ ，∴QN =12OQ ==32t,∴PN =52t,∴y =PQ 2=(52t)2+2=7t 2.即当0＜t ＜2时，函数图象为抛物线，结合选项可排除A ，C ．故选：B ．17．（2022·辽宁·中考真题）如图，在等边三角形ABC 中，BC ＝4，在Rt △DEF 中，∠EDF ＝90°，∠F ＝30°，DE ＝4，点B ，C ，D ，E 在一条直线上，点C ，D 重合，△ABC 沿射线DE 方向运动，当点B 与点E 重合时停止运动．设△ABC 运动的路程为x ，△ABC 与Rt △DEF 重叠部分的面积为S ，则能反映S 与x 之间函数关系的图象是（ ）A．B．C．D．【思路点拨】分三种情形∶①当0＜x≤2时，△CDG，②当2＜x≤4时，重叠部分为四边形AGDC，③当4＜x≤8时，重叠部分为△BEG，分别计算即可．【解题过程】解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，在等边△ABC中，∠ACB＝60°，在Rt△DEF中，∠F＝30°，∴∠FED＝60°，∴∠ACB＝∠FED，∴AC∥EF，在等边△ABC中，AM⊥BC，BC＝2，AM＝∴BM＝CM＝12BC•AM＝∴S△ABC＝12①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG，由题意可得CD＝x，DGCD•DG2；∴S＝12②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC，由题意可得：CD＝x，则BD＝4﹣x，DG4﹣x），×（4﹣x）4﹣x），∴S＝S△ABC﹣S△BDG＝﹣12∴S＝2﹣x﹣4）2③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，由题意可得CD ＝x ，则CE ＝x ﹣4，DB ＝x ﹣4，∴BE ＝x ﹣（x ﹣4）﹣（x ﹣4）＝8﹣x ，∴BM ＝4﹣12x在Rt △BGM 中，GM 4﹣12x ），∴S ＝12BE •GM ＝12（8﹣x ）4﹣12x ），∴S x ﹣8）2，综上，选项A 的图像符合题意，故选：A ．18．（2023·山东聊城·三模）如图（1）所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 沿折线BE ―ED ―DC 运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P ，Q 同时出发t 秒时，△BPQ 的面积为y cm 2．已知y 与t 的函数关系图像如图（2）（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列结论不正确的是（ ）A ．AB:AD =4:5B ．当t =2.5秒时，PQ =C ．当t =294时，BQ PQ =53D ．当△BPQ 的面积为4cm 2时，t 或475秒【思路点拨】先由图2中的函数图像得到当t =5时，点Q 到达点C ，即BC =5cm ，然后由5<t <7时，y =10可知△BPQ的面积是定值10cm 2、BE =5cm,ED=2cm ,当t =7时点P 到达点D ，AE ==4cm ，可以判定A ；当0<t ≤5时，根据y =25t 2得到y =2.5cm 2，过点P 作PH ⊥BC 于点H ，根据y =12BQ·PH =12×2.5cm ×PH =2.5cm 2求得PH =2，设QH =x cm ，根勾股定理计算QH =1cm ，可计算PQ =根据AB =CD =4cm ，得到再运动4秒到达C 点即H (11,0),N (7,10)，确定直线HN 或475秒；当t =294>284=7时，故点Q 在DC 上，把t =294代入直线HN 的解析式计算BQ PQ =43．【解题过程】解：设抛物线的解析式为y =at 2，当t =5时，y =10，∴10=25a ，解得a =25，∴y =25t 2，由图2中的函数图像得当t =5时，点Q 到达点C ，即BC =BE =5cm ，∵5＜t ＜7时，y =10，∴△BPQ 的面积是定值10cm 2且BE =5cm,ED=2cm ,当t =7时点P 到达点D ，∴AE =5―2==4cm,AD=BC =5cm ，∴AB:AD =4:5，故A 正确，不符合题意；当0<t ≤5时，∵y =25t 2，t =2.5，∴BP =BQ =2.5cm ，y =2.5cm 2，过点P 作PH ⊥BC 于点H ，∴y =12BQ·PH =12×2.5cm ×PH =2.5cm 2解得PH =2，设QH =x cm ，则BH =BQ ―QH =(2.5―x )cm ，∴2.52=22+(2.5―x )2，解得x =1,x =4（舍去），∴QH =1cm ，∴PQ==故B 正确，不符合题意；根据AB =CD =4cm ，∴再运动4秒到达C 点即H (11,0),N (7,10)，设直线HN 的解析式为y =kt +b ，根据题意，得11k +b =07k +b =10 ，解得k =―52b =552 ，∴直线HN 的解析式为y =―52t +552，∵△BPQ 的面积为4cm 2，故4=25t 2或4=―52t +552解得t==―t =475，故D 正确，不符合题意；∵t =294>284=7时，故点Q 在DC 上，当t =294时，y =―52×294+552=758，12PQ·BC =758解得PQ=154∴BQ PQ =5154=43．故C错误，符合题意．故选：C．19．（2023·辽宁·中考真题）如图，∠MAN=60°，在射线AM，AN上分别截取AC=AB=6，连接BC，∠MAN 的平分线交BC于点D，点E为线段AB上的动点，作EF⊥AM交AM于点F，作EG∥AM交射线AD于点G，过点G作GH⊥AM于点H，点E沿AB方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形EFHG与△ABC重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【思路点拨】分三种情况分别求出S与x的函数关系式，根据函数的类型与其图象的对应关系进行判断即可．【解题过程】解：∵∠MAN=60°，AC=AB=6，∴△ABC是边长为6的正三角形，∵AD平分∠MAN，∴∠MAD=∠NAD=30°，AD⊥BC，CD=DB=3，①当矩形EFGH全部在△ABC之中，即由图1到图2，此时0<x≤3，∵EG∥AC，∴∠MAD=∠AGE=30°，∴∠NAD=∠AGE=30°，∴AE=EG=x，在Rt△AEF中，∠EAF=60°，∴EF==，∴S=2；②如图3时，当AE+AF=GE+AF=AF+CF=AC，x=6，解得x=4，则x+12由图2到图3，此时3<x≤4，如图4，记BC，EG的交点为Q，则△EQB是正三角形，∴EQ=EB=BQ=6―x，∴GQ=x―(6―x)=2x―6，而∠PQG=60°，∴PG==2x―6)，∴S=S矩形EFHG―S△PQG=2x 2―12×(2x ―6)×2x ―6)=―2― ③如图6时，x =6，由图3到图6，此时4<x ≤6，如图5，同理△EKB 是正三角形，∴EK =KB =EB =6―x ，FC =AC ―AF =6―12x ，EF =， ∴S =S 梯形EKCF=―x +6―12x 2=―2， 因此三段函数的都是二次函数关系，其中第1段是开口向上，第2段、第3段是开口向下的抛物线， 故选：A ．20．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边长为4，且点A 与原点O 重合，边AD 在x 轴上，点B 的横坐标为―2，现将菱形ABCD 沿x 轴以每秒1个单位长度的速度向右平移，设平移时间为t （秒），菱形ABCD 位于y 轴右侧部分的面积为S ，则S 关于t 的函数图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】过点B 作x 轴的垂线，垂足为点E ，如图所示，由菱形ABCD 沿x 轴以每秒1个单位长度的速度向右平移，分①当0≤t ≤2时；②当2<t <4时；③当4≤t ≤6时；④当t >6时；四种情况，作图求解S 关于t 的函数解析式，作出图像即可得到答案．【解题过程】解：过点B 作x 轴的垂线，垂足为点E ，如图所示：∵菱形ABCD 的边长为4，且点A 与原点O 重合，边AD 在x 轴上，点B 的横坐标为―2，∴OE =2,OB =4，∴∠OBE =30°，∴∠BOE =60°，BE =①当0≤t ≤2时，如图（1）所示：S =12OA ⋅OF =12×t ×=2；②当2<t <4时，如图（2）所示：S =S △ABE +S 矩形OEBG =12AE ⋅BE +BE ⋅OE =12×2×t ―2)=―③当4≤t ≤6时，如图（3）所示：∵∠C =60°，OD =OA ―AD =t ―4，∴∠KDO =60°,OK=t ―4)，∵HO =BE =∴HK =HO ―OK =―t ―4)=―+∵HB =OE =OA ―AE =t ―2，∴CH =BC ―HB =4―(t ―2)=―t +6，S =S 菱形ABCD ―S △CHK =AD ⋅BE ―12CH ⋅HK =4×―12(―t +6)(―+=―2―+=―2―当t >6时，S =S 菱形ABCD =AD ⋅BE=综上所述S =20≤t ≤2―2<t <4t2+―4≤t ≤6t >6 ，∴第一段二次函数部分，开口向上；第二段一次函数部分；第三段二次函数部分，开后向下；第四段平行于x轴的射线，故选：A．。
数学动点问题及练习题附答案
初中数学动点问题及练习题附参考答案专题一：建立动点问题的函数解析式函数提醒了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要容.动点问题反映的是一种函数思想,由于*一个点或*图形的有条件地运动变化,引起未知量与量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.则,我们怎样建立这种函数解析式呢"下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式。
二、应用比例式建立函数解析式。
三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。
专题二：动态几何型压轴题动态几何特点----问题背景是特殊图形，考察问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性〔特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
〕动点问题一直是中考热点，近几年考察探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、以动态几何为主线的压轴题。
〔一〕点动问题。
〔二〕线动问题。
〔三〕面动问题。
二、解决动态几何问题的常见方法有:1、特殊探路，一般推证。
2、动手实践，操作确认。
3、建立联系，计算说明。
三、专题二总结，本大类习题的共性：1．代数、几何的高度综合〔数形结合〕；着力于数学本质及核心容的考察;四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数．2．以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值。
专题三：双动点问题点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考察学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者欣赏.1 以双动点为载体，探求函数图象问题。
2020年浙江省中考数学题型专练一 动点问题的函数图像含答案
题型一 动点问题的函数图像类型一 判断函数图像(2014.8)1. 如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA →AB ︵→BO 的路径运动一周，设点P 到点O的距离为s ，运动时间为t ，则下列图象能大致地反映s 与t 之间的关系的是( )第1题图2. 如图，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝4 cm ，点D 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，动点E 从点C 出发，沿CD →DA 以1 cm/s 的速度运动至点A ，设点E 运动的时间为x s ，△EFC 的面积为y cm 2(当E ，F ，C 三点共线时，设y ＝0)，则y 与x 之间的函数关系的大致图象是( )第2题图3.如图，A 、B 是反比例函数y ＝k x(k ＞0)在第一象限图象上的两点，动点P 从坐标原点O 出发，沿图中 箭头所指方向匀速运动，即点P 先在线段OA 上运动，然后在双曲线上由A 到B 运动，最后在线段BO 上运动，最终回到点O .过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，设△POM 的面积为S ，点P 运动时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为( )第3题图4.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止.设△APQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是()第4题图5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M为线段AC上一个动点，过点M作EF∥BD 交AD(或DC)于点E，交AB(或BC)于点F，已知AC＝5，设AM＝x，EF＝y，则y关于x的函数图象大致为()第5题图6. (2019衢州)如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C 移动至终点C，设点P经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是()第6题图类型二分析函数图像1.如图①，点P从矩形ABCD的顶点B出发，沿射线BC的方向以每秒1个单位长度的速度运动，过点P作PG⊥AP交射线DC于点G.如图②是点P运动时CG的长度y随时间t变化的图象，其中点Q是第一段曲线(抛物线的一部分)的最高点，则AB的长度是()第1题图A. 2B. 3C. 4D. 232.(2019郑州模拟)如图①，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AC＝A D.动点P从点B出发，沿折线B－A－D－C方向以 1 cm/s的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S(cm2)与运动时间t(s)的函数图象如图②所示，则AD等于()第2题图A. 5 cmB. 34 cmC. 8 cmD. 2 3 cm3.如图①，菱形ABCD中，∠B＝60°，动点P以每秒1个单位的速度自点A出发沿线段AB运动到点B，同时动点Q以每秒2个单位的速度自点B出发沿折线B－C－D运动到点D.图②是点P、Q运动时，△BPQ的面积S随时间t变化关系图象，则a的值是()第3题图A. 2B. 2.5C. 3D. 234.如图①，在正方形ABCD中，动点E从点A出发，沿A－B－C运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作EF⊥AE，交CD于点F，设点E运动的路程为x，FC＝y(当点A，E重合时，点D，F重合；当点C，E重合时，不妨设y＝0)，y与x的函数关系的大致图象如图②，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是1，则正方形ABCD的面积是()第4题图A. 8B. 12C. 16D. 4.85.如图①，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿A→B→C运动，设P A＝x，点D到直线P A的距离为y，且y关于x的函数图象如图②所示，则当△PCD和△P AB的面积相等时，y的值为.第5题图6.如图①，已知点E，F，G，H是矩形ABCD各边的中点，动点M从点E出发，沿E→F→G匀速运动，设点M运动的路程为x，点M到矩形顶点B的距离为y，如果表示y关于x函数关系的图象如图②所示，那么四边形EFGH的面积是.第6题图参考答案类型一 判断函数图象1. C 【解析】点P 在OA 上从点O 向点A 运动的过程中，s 随着t 的增大而增大，点P 在AB ︵上运动时，s ＝OP ＝12AB (定值)，点P 在OB 上从点B 向点O 运动的过程中，s 随着t 的增大而减小． 2. A 【解析】∵在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝4，∴AB ＝42，AD ＝CD ＝22，CF ＝2，当点E 在CD 上时，CE ＝x ，点E 到BC 的距离h 1＝22x ，∴y ＝12×2×22x ＝22x (0≤x ≤22)；当点E 在AD 上时，BE ＝BD ＋DE ＝CD ＋DE ＝x ，∴点E 到FC 的距离h 2＝22BE ＝22x ，∴y ＝12×2×22x ＝22x (22≤x ≤42)． 3. D 【解析】设∠AOM ＝α，点P 运动的速度为a ，当点P 从点O 运动到点A 的过程中，S ＝12OM ·PM ＝12at ·cos α·at ·sin α＝12a 2·cos α·sin α·t 2，由于α及a 均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S 随着t 的增大而增大；当点P 从A 运动到B 时，由反比例函数性质可知△OPM 的面积为12k ，保持不变，本段图象应为与x 轴平行的线段；同理可得，当点P 从B 运动到O 过程中，S 也是t 的二次函数，且S 随着t 的增大而减小．4. B 【解析】∵四边形ABCD 为菱形，且∠B ＝60°，AB ＝2，∴当0＜t ＜2时，△APQ 的面积y ＝12t ·(2－t )·sin60°＝－34t 2＋32t ，函数图象为开口向下的一段抛物线，且当t ＝1时，y 最大值为34；当2＜t ＜4时，△APQ 的面积y ＝12(t －2)·(t －2)·sin60°＝34(t －2)2，函数图象为开口向上的一段抛物线，且当t ＝4时，y 最大值为3，故选B .5. B 【解析】当0≤x ≤2.5时，如解图①，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∵EF ∥BD ，∴∠ODA ＝∠MEA ，∴∠OAD ＝∠MEA ，∴ME ＝MA ，同理可得AM ＝MF ，∴EM ＝AM ＝MF ，∴EF ＝2AM ，即y ＝2x ；当2.5<x ≤5时，如解图②，由题意知CM ＝AC －AM ＝5－x ，∵ME＝MC ＝MF ，∴EF ＝2MC ，即y ＝2(5－x )＝10－2x .综上所述，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （0≤x ≤2.5）10－2x （2.5<x ≤5）.图① 图②第5题解图6. C 【解析】∵AB ＝4，点E 是AB 的中点，∴AE ＝BE ＝2，当0≤x ≤2时，如解图①，y ＝S △CPE ＝12PE·BC＝2x，∴此段函数图象是正比例函数的一部分；当2<x≤6时，如解图②，y＝S△CPE＝S正方形ABCD－S△BCE －S△APE－S△PCD＝42－12×4×2－12×2×(x－2)－12×4×[4－(x－2)]＝x＋2，∴此段函数图象是一次函数的一部分；当6<x≤10时，如解图③，y＝S△CPE＝12PC·BC＝12(10－x)×4＝－2x＋20，∴此段函数图象是一次函数的一部分，综上所述，根据各段图象及x的取值范围，可得函数图象如选项C所示．图①图②图③第6题解图类型二 分析函数图象1. B 【解析】结合图形分析函数图象可得：当点P 运动到点C 的位置时，CG ＝0，∴BC ＝4.当点P运动到线段BC 的中点时，CG ＝43.∵∠B ＝90°，∴∠BAP ＋∠APB ＝90°，∵PG ⊥AP ，∴∠APG ＝90°，∴∠APB ＋∠CPG ＝90°，∴∠BAP ＝∠CPG ，又∵∠ABP ＝∠PCG ＝90°，∴△ABP ∽△PCG ，∴AB PC ＝BP CG，当点P 为BC 的中点时，BP ＝PC ＝2，∴AB 2＝243，解得AB ＝3. 2. B 【解析】结合图形分析函数图象可得，当t ＝3时，点P 到达A 处，即AB ＝3；如解图，过点A作AE ⊥CD 于点E ，则四边形ABCE 为矩形，∵AC ＝AD ，∴DE ＝CE ＝12CD .当S ＝15时，点P 到达点D 处，则S ＝12CD ·BC ＝12·2AB ·BC ＝3×BC ＝15，则BC ＝5，在Rt △ABC 中，由勾股定理得，AD ＝AC ＝AB 2＋BC 2＝34.第2题解图3. D 【解析】由题图②得，t ＝4时两点停止运动，∴点P 以每秒1个单位的速度从点A 运动到点B 用了4秒，∴AB ＝4，∵点Q 运动到点C 之前和之后，△BPQ 面积算法不同，即t ＝2时，S 的解析式发生变化，∴题图②中点M 对应的横坐标为2，此时P 为AB 中点，点C 与点Q 重合，如解图，连接AC ，∵菱形ABCD 中，AB ＝BC ＝4，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴CP ⊥AB ，BP ＝12AB ＝2，∴CP ＝BC 2－BP 2＝42－22＝23，∴a ＝12BP ·CP ＝12×2×23＝2 3.第3题解图4. C 【解析】如解图，设AB ＝a ，当点E 在BC 上运动时(不与点B 、C 重合)，∵AE ⊥EF ，∴△EFC∽△AEB ，∴EC AB ＝FC EB ，即2a －x a ＝y x －a ，∴y ＝－1a x 2＋3x －2a ，－1a <0，当x ＝－32×（－1a ）＝32a 时，y 取得最大值，此时点E 为BC 的中点，y ＝1，把(32a ，1)代入y ＝－1ax 2＋3x －2a ，解得a ＝4，即AB ＝4，故正方形ABCD 的面积为4×4＝16.第4题解图5. 121313【解析】当P 点在AB 上运动时，D 点到AP 的距离不变，始终是AD 长，从图象可以看出AD ＝4，当P 点到达B 点时，从图象看出x ＝3，即AB ＝3.当△PCD 和△P AB 的面积相等时，P 点在BC 中点处，此时△ADP 面积为12×4×3＝6，在Rt △ABP 中，AP ＝AB 2＋BP 2＝13，则12AP ·y ＝6，解得y ＝121313. 6. 24 【解析】如解图，连接BD ，EG ，FH ，∵点E ，F ，G ，H 是矩形ABCD 各边的中点，∴EF ∥BD ∥GH ，EF ＝GH ＝12BD ，∴四边形EFGH 是平行四边形，又∵EF ＝EH ，∴平行四边形EFGH 是菱形，由题图②得BE ＝3，点M 运动到点G 时，运动路程为10，又∵EF ＝FG ，则可知菱形的边长为5，即EF ＝FG ＝GH ＝HE ＝5，∴AF ＝4，AD ＝8，∴S 菱形EFGH ＝12EG ·FH ＝24.第6题解图。
中考数学【压轴题全揭秘(河南专版)】专题01_动点与函数图象(原卷版)_
专题01 动点与函数图象【例1】（2019·郑州外国语测试）如图所示，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为CD的中点，连接AE、BE，点M从点A出发沿AE方向向E匀速运动，同时点N从点E出发沿EB方向向点B匀速运动，点M、N的速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t，连接MN，设△EMN的面积为S，则S关于t的函数图象为（）A B C D【变式1-1】（2019·洛阳二模）如图，点P是边长为2 cm的正方形ABCD的边上一动点，O是对角线的交点，当点P由A→D→C运动时，设DP=x cm，则△POD的面积y（cm2）随x（cm）变化的关系图象为（）A B C D【变式1-2】（2019·叶县一模）如图，在△ABC中，△ABC＝60°，△C＝45°，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE△BC，BD＝DE＝2，CE＝52，BC＝245．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→D→E→C匀速运动，运动到点C时停止．过点P作PQ△BC于点Q，设△BPQ的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【例2】（2019·省实验一模）如图，正方形ABCD，对角线AC和BD交于点E，点F是BC边上一动点（不与点B，C重合），过点E作EF的垂线交CD于点G，连接FG交EC于点H．设BF＝x，CH＝y，则y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【变式2-1】（2019·名校模考）如图1，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E为对角线AC上的一个动点，连接BE，DE，过E作EF△BC于F．设AE＝x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（）A．线段BE B．线段EF C．线段CE D．线段DE【变式2-2】（2018·洛宁县模拟）如图1，正△ABC 的边长为4，点P 为BC 边上的任意一点，且△APD =60°，PD 交AC 于点D ，设线段PB 的长度为x ，图1中某线段的长度为y ，y 与x 的函数关系的大致图象如图2，则这条线段可能是图1中的（ ）图1 图2 A ．线段ADB ．线段APC ．线段PDD ．线段CD【例3】（2019·周口二模）如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上的一点，点P 从点B 沿折线BE -ED -DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是2 cm /s ．若P ，Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2），已知y 与t 的函数关系图象如图2，则CDBE的值为（ ） ABCD图1 图2【变式3-1】（2019·枫杨外国语三模）如图 1，动点 K 从△ABC 的顶点 A 出发，沿 AB ﹣BC 匀速运动到点 C 停止．在动点 K 运动过程中，线段 AK 的长度 y 与运动时间 x 的函数关系如图 2 所示，其中点 Q 为曲线部分的最低点，若△ABC的面积是，则 a 的值为图1 图2图1图2【变式3-2】（2019·中原名校大联考）如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作MN△AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN＝y，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是（）A．20B．18C．10D．91. （2019·濮阳二模）如图，点A在x轴上，点B，C在反比例函数y＝kx（k＞0，x＞0）的图象上．有一个动点P从点A出发，沿A→B→C→O的路线（图中“→”所示路线）匀速运动，过点P作PM△x轴，垂足为M，设△POM的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．2.（2019·南阳模拟）如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝2，点D为边AB上一点，过点D作DE△AC，交BC于E点；过E点作EF△DE，交AB的延长线于F点．设AD＝x，△DEF的面积为y，则能大致反映y 与x函数关系的图象是（）A．B．C．D．3.（2019·平顶山三模）如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．4.（2017·预测卷）如图甲，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，Q同时从B点出发，点P沿BE→ED→DC 运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P、Q出发t秒时，△BPQ 的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系的图象如图乙（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：△当0＜t≤5时，y=25t2 △tan△ABE=34△点H的坐标为（11，0）△△ABE与△QBP不可能相似．其中正确的是（把你认为正确结论的序号都填上）5.（2019·焦作二模）如图1，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，点P为AB边上的一个动点，设xAP ，图1中线段DP的长为y，若表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则等边△ABC的面积为.6.（2019·三门峡一模）如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x ，两个三角形重叠面积为y ，则y 关于x 的函数图象是（ ）ABCD7.（2019·许昌月考）如图，在边长为2的正方形ABCD 中剪去一个边长为1的小正方形CEFG ，动点P 从点A 出发，沿A →D →E →F →G →B 的路线绕多边形的边匀速运动到点B 时停止（不含点A 和点B ），则△ABP 的面积S 随着时间t 变化的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8.（2019·信阳模拟）如图1，在△ABC 中，△C =90°，动点P 从点C 出发，以1cm /s 的速度沿折线CA →AB 匀速运动，到达点B 时停止运动，点P 出发一段时间后动点Q 从点B 出发，以相同的速度沿BC 匀速运动，当点P 到达点B 时，点Q 恰好到达点C ，并停止运动，设点P 的运动时间为t s ，△PQC 的面积为S cm 2，S 关于t 的函数图象如图2所示（其中0＜t ≤3，3≤t ≤4时，函数图象均为线段（不含点O ），4＜t ＜8时，函数图象为抛物线的一部分）给出下列结论：△AC =3cm ；△当S =65时，t =35或6．下结论正确的是（ ）A ．△△都对B ．△△都错C ．△对△错D ．△错△对9.（2018·新乡一模）如图，平行四边形ABCD 中，ABcm ，BC =2cm ，△ABC =45°，点P 从点B 出发，以1cm /s 的速度沿折线BC →CD →DA 运动，到达点A 为止，设运动时间为t (s )，△ABP 的面积为S (cm 2)，则S 与t 的函数表达式为.10.（2019·郑州外国语模拟）如图，在等腰△ABC 中，AB =AC =4cm ，△B =30°，点P 从点Bcm /s 的速度沿BC 方向运动到点C 停止，同时点Q 从点B 出发以2cm /s 的速度沿B →A →C 运动到点C 停止，若△BPQ 的面积为y ，运动时间为t （s ），则y 与t 的函数关系式为：.11.（2019·安阳一模）如图，在四边形ABCD 中，AD △BC ，DC △BC ，DC =4 cm ，BC =6 cm ，AD =3 cm ，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 以2 cm /s 的速度沿折线BA -AD -DC 运动到点C ，点Q 以1 cm /s 的速度沿BC 运动到点C ，设P ，Q 同时出发t s 时，△BPQ 的面积为y cm 2，则y 与t 的函数图象大致是（ ）ABCDBBC12.（2019·开封模拟）如图，菱形ABCD 的边长是4 cm ，△B =60°，动点P 以1 cm /s 的速度从点A 出发沿AB 方向运动至点B 停止，动点Q 以2 cm /s 的速度从点B 出发沿折线BCD 运动至点D 停止．若点P ，Q 同时出发，运动了t s ，记△BPQ 的面积为S cm 2，则下面图象中能表示S 与t 之间的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．13. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝4cm ，动点P 从点A 出发，以lcm /s 的速度沿线段AB 向点B 运动，动点Q 同时从点A 出发，以2cm ／s 的速度沿折线AD →DC →CB 向点B 运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P 的运动时间是x （s ）时，△APQ 的面积是y （cm 2），则能够反映y 与x 之间函数关系的图象大致是（）14.（2019·信阳一模）如图,锐角三角形ABC 中,BC =6,BC 边上的高为4,直线MN 交边AB 于点M ,交AC 于点N ,且MN △BC ,以MN 为边作正方形MNPQ ,设其边长为x (x >0),正方形MNPQ 与△ABC 公共部分的面积为y ,则y 与x 的函数图象大致是( )A B C D15.（2018·开封二模）如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,1),B0)，以线段AB为边向上作菱形ABCD，且点D在y轴上. 若菱形ABCD以每秒2个单位长度的速度沿射线AB滑行，直至顶点D落在x轴上时停止．设菱形落在x轴下方部分的面积为S，则表示S与滑行时间t的函数关系的图象为（）图1 图2A B C D。
2020年浙江省中考数学题型专练一 动点问题的函数图像含答案
题型一 动点问题的函数图像类型一 判断函数图像(2014.8)1. 如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA →AB ︵→BO 的路径运动一周，设点P 到点O的距离为s ，运动时间为t ，则下列图象能大致地反映s 与t 之间的关系的是( )第1题图2. 如图，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝4 cm ，点D 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，动点E 从点C 出发，沿CD →DA 以1 cm/s 的速度运动至点A ，设点E 运动的时间为x s ，△EFC 的面积为y cm 2(当E ，F ，C 三点共线时，设y ＝0)，则y 与x 之间的函数关系的大致图象是( )第2题图3.如图，A 、B 是反比例函数y ＝k x(k ＞0)在第一象限图象上的两点，动点P 从坐标原点O 出发，沿图中 箭头所指方向匀速运动，即点P 先在线段OA 上运动，然后在双曲线上由A 到B 运动，最后在线段BO 上运动，最终回到点O .过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，设△POM 的面积为S ，点P 运动时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为( )第3题图4.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止.设△APQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是()第4题图5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M为线段AC上一个动点，过点M作EF∥BD 交AD(或DC)于点E，交AB(或BC)于点F，已知AC＝5，设AM＝x，EF＝y，则y关于x的函数图象大致为()第5题图6. (2019衢州)如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C 移动至终点C，设点P经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是()第6题图类型二分析函数图像1.如图①，点P从矩形ABCD的顶点B出发，沿射线BC的方向以每秒1个单位长度的速度运动，过点P作PG⊥AP交射线DC于点G.如图②是点P运动时CG的长度y随时间t变化的图象，其中点Q是第一段曲线(抛物线的一部分)的最高点，则AB的长度是()第1题图A. 2B. 3C. 4D. 232.(2019郑州模拟)如图①，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AC＝A D.动点P从点B出发，沿折线B－A－D－C方向以 1 cm/s的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S(cm2)与运动时间t(s)的函数图象如图②所示，则AD等于()第2题图A. 5 cmB. 34 cmC. 8 cmD. 2 3 cm3.如图①，菱形ABCD中，∠B＝60°，动点P以每秒1个单位的速度自点A出发沿线段AB运动到点B，同时动点Q以每秒2个单位的速度自点B出发沿折线B－C－D运动到点D.图②是点P、Q运动时，△BPQ的面积S随时间t变化关系图象，则a的值是()第3题图A. 2B. 2.5C. 3D. 234.如图①，在正方形ABCD中，动点E从点A出发，沿A－B－C运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作EF⊥AE，交CD于点F，设点E运动的路程为x，FC＝y(当点A，E重合时，点D，F重合；当点C，E重合时，不妨设y＝0)，y与x的函数关系的大致图象如图②，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是1，则正方形ABCD的面积是()第4题图A. 8B. 12C. 16D. 4.85.如图①，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿A→B→C运动，设P A＝x，点D到直线P A的距离为y，且y关于x的函数图象如图②所示，则当△PCD和△P AB的面积相等时，y的值为.第5题图6.如图①，已知点E，F，G，H是矩形ABCD各边的中点，动点M从点E出发，沿E→F→G匀速运动，设点M运动的路程为x，点M到矩形顶点B的距离为y，如果表示y关于x函数关系的图象如图②所示，那么四边形EFGH的面积是.第6题图参考答案类型一 判断函数图象1. C 【解析】点P 在OA 上从点O 向点A 运动的过程中，s 随着t 的增大而增大，点P 在AB ︵上运动时，s ＝OP ＝12AB (定值)，点P 在OB 上从点B 向点O 运动的过程中，s 随着t 的增大而减小． 2. A 【解析】∵在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝4，∴AB ＝42，AD ＝CD ＝22，CF ＝2，当点E 在CD 上时，CE ＝x ，点E 到BC 的距离h 1＝22x ，∴y ＝12×2×22x ＝22x (0≤x ≤22)；当点E 在AD 上时，BE ＝BD ＋DE ＝CD ＋DE ＝x ，∴点E 到FC 的距离h 2＝22BE ＝22x ，∴y ＝12×2×22x ＝22x (22≤x ≤42)． 3. D 【解析】设∠AOM ＝α，点P 运动的速度为a ，当点P 从点O 运动到点A 的过程中，S ＝12OM ·PM ＝12at ·cos α·at ·sin α＝12a 2·cos α·sin α·t 2，由于α及a 均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S 随着t 的增大而增大；当点P 从A 运动到B 时，由反比例函数性质可知△OPM 的面积为12k ，保持不变，本段图象应为与x 轴平行的线段；同理可得，当点P 从B 运动到O 过程中，S 也是t 的二次函数，且S 随着t 的增大而减小．4. B 【解析】∵四边形ABCD 为菱形，且∠B ＝60°，AB ＝2，∴当0＜t ＜2时，△APQ 的面积y ＝12t ·(2－t )·sin60°＝－34t 2＋32t ，函数图象为开口向下的一段抛物线，且当t ＝1时，y 最大值为34；当2＜t ＜4时，△APQ 的面积y ＝12(t －2)·(t －2)·sin60°＝34(t －2)2，函数图象为开口向上的一段抛物线，且当t ＝4时，y 最大值为3，故选B .5. B 【解析】当0≤x ≤2.5时，如解图①，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∵EF ∥BD ，∴∠ODA ＝∠MEA ，∴∠OAD ＝∠MEA ，∴ME ＝MA ，同理可得AM ＝MF ，∴EM ＝AM ＝MF ，∴EF ＝2AM ，即y ＝2x ；当2.5<x ≤5时，如解图②，由题意知CM ＝AC －AM ＝5－x ，∵ME＝MC ＝MF ，∴EF ＝2MC ，即y ＝2(5－x )＝10－2x .综上所述，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （0≤x ≤2.5）10－2x （2.5<x ≤5）.图① 图②第5题解图6. C 【解析】∵AB ＝4，点E 是AB 的中点，∴AE ＝BE ＝2，当0≤x ≤2时，如解图①，y ＝S △CPE ＝12PE·BC＝2x，∴此段函数图象是正比例函数的一部分；当2<x≤6时，如解图②，y＝S△CPE＝S正方形ABCD－S△BCE －S△APE－S△PCD＝42－12×4×2－12×2×(x－2)－12×4×[4－(x－2)]＝x＋2，∴此段函数图象是一次函数的一部分；当6<x≤10时，如解图③，y＝S△CPE＝12PC·BC＝12(10－x)×4＝－2x＋20，∴此段函数图象是一次函数的一部分，综上所述，根据各段图象及x的取值范围，可得函数图象如选项C所示．图①图②图③第6题解图类型二 分析函数图象1. B 【解析】结合图形分析函数图象可得：当点P 运动到点C 的位置时，CG ＝0，∴BC ＝4.当点P运动到线段BC 的中点时，CG ＝43.∵∠B ＝90°，∴∠BAP ＋∠APB ＝90°，∵PG ⊥AP ，∴∠APG ＝90°，∴∠APB ＋∠CPG ＝90°，∴∠BAP ＝∠CPG ，又∵∠ABP ＝∠PCG ＝90°，∴△ABP ∽△PCG ，∴AB PC ＝BP CG，当点P 为BC 的中点时，BP ＝PC ＝2，∴AB 2＝243，解得AB ＝3. 2. B 【解析】结合图形分析函数图象可得，当t ＝3时，点P 到达A 处，即AB ＝3；如解图，过点A作AE ⊥CD 于点E ，则四边形ABCE 为矩形，∵AC ＝AD ，∴DE ＝CE ＝12CD .当S ＝15时，点P 到达点D 处，则S ＝12CD ·BC ＝12·2AB ·BC ＝3×BC ＝15，则BC ＝5，在Rt △ABC 中，由勾股定理得，AD ＝AC ＝AB 2＋BC 2＝34.第2题解图3. D 【解析】由题图②得，t ＝4时两点停止运动，∴点P 以每秒1个单位的速度从点A 运动到点B 用了4秒，∴AB ＝4，∵点Q 运动到点C 之前和之后，△BPQ 面积算法不同，即t ＝2时，S 的解析式发生变化，∴题图②中点M 对应的横坐标为2，此时P 为AB 中点，点C 与点Q 重合，如解图，连接AC ，∵菱形ABCD 中，AB ＝BC ＝4，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴CP ⊥AB ，BP ＝12AB ＝2，∴CP ＝BC 2－BP 2＝42－22＝23，∴a ＝12BP ·CP ＝12×2×23＝2 3.第3题解图4. C 【解析】如解图，设AB ＝a ，当点E 在BC 上运动时(不与点B 、C 重合)，∵AE ⊥EF ，∴△EFC∽△AEB ，∴EC AB ＝FC EB ，即2a －x a ＝y x －a ，∴y ＝－1a x 2＋3x －2a ，－1a <0，当x ＝－32×（－1a ）＝32a 时，y 取得最大值，此时点E 为BC 的中点，y ＝1，把(32a ，1)代入y ＝－1ax 2＋3x －2a ，解得a ＝4，即AB ＝4，故正方形ABCD 的面积为4×4＝16.第4题解图5. 121313【解析】当P 点在AB 上运动时，D 点到AP 的距离不变，始终是AD 长，从图象可以看出AD ＝4，当P 点到达B 点时，从图象看出x ＝3，即AB ＝3.当△PCD 和△P AB 的面积相等时，P 点在BC 中点处，此时△ADP 面积为12×4×3＝6，在Rt △ABP 中，AP ＝AB 2＋BP 2＝13，则12AP ·y ＝6，解得y ＝121313. 6. 24 【解析】如解图，连接BD ，EG ，FH ，∵点E ，F ，G ，H 是矩形ABCD 各边的中点，∴EF ∥BD ∥GH ，EF ＝GH ＝12BD ，∴四边形EFGH 是平行四边形，又∵EF ＝EH ，∴平行四边形EFGH 是菱形，由题图②得BE ＝3，点M 运动到点G 时，运动路程为10，又∵EF ＝FG ，则可知菱形的边长为5，即EF ＝FG ＝GH ＝HE ＝5，∴AF ＝4，AD ＝8，∴S 菱形EFGH ＝12EG ·FH ＝24.第6题解图。
2019中考数学动点的函数图像(含详细答案)
2019年中考数学总复习专题题型复习题型一几何问题中的函数图象针对演练1.（青海）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG动点P从点A出发，沿A T »— I B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ ABP勺面积S随着时间t变化的函数图象大致为2.（资阳）如图，AD BC是O O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿C T C T D TO的路线匀速运动，设/ APB= y（单位：度），那么y与P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（）第2越图3.如图，正方形l : x = t , (0 <积为S,则函数S与ABC啲顶点A（0, #）, B（#, 0），顶点C, D位于第t < 2）将正方形ABC酚成两部分，设位于直线l左侧部分（阴影部分）的面）),B(f)第3题0S4.（泰安）如图，正△ ABC的边长为4,点P为BC边上的任意一点（不与点B C重合）,BD= y,则y关于x的函数图象大致是ABC哒长为1, E、F、G H分别为y, AN x，则y关于x的函数图象大致是（5.如图，正方形=BF= CG DH设小正方形EFG啲面积为AB BC CD DA边上的点，且AE）C第§题増6.如图，等边△ ABC的边长为2 cm，点P从点A出发，以同时点Q从点A出发，以1 cm/s的速度沿A T B-C的方向向点2 21 cm/s的速度向点C移动，若△ APQ的面积为S（cm），则下列最能反映S（cm）与移动时间t （s）之间函数关系的大致图象是（（点C不与点A7.如图，点C是以点0为圆心，AB为直径的半圆上的动点AB= 4.设弦AC的长为x, △ ABD的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）第丁題圈8.（鄂州）如图，O是边长为4 cm的正方形ABCD勺中心，开始沿折线A—B—M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为为t（s），点P的运动路径与OA OP所围成的图形面积为S （cm2），则描述面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象可以是（）M是BC的中点，动点P由A1 cm/s，设P点的运动时间K(II S(t tkl I6F /rm'J1/厲P薛*題国9.（莆田）如图，在矩形ABCDK6rh)CAB= 2，点E在边AD上，/ ABE= 45°,It接BD点P在线段DE上,过点P作PQ/ BD交BE于点Q 连接QD设PD= x, 积为y,则能表示y与x函数关系的图象大致是（）6i(n)DBB DE 连△ PQD勺面410.（钦州）如图，△ ABC中, AB= 6, BC= 8, tan / B= 3•点D是边BC上的一个动点（点D与点B不重合），过点D作DEL AB垂足为E,点F是AD的中点，连接EF.设厶AEF的面积为y ,点D从点B沿BC运动到点C的过程中，D与B的距离为x,则能表示y与x的函数关系的图象大致是（）12. 如图，在？ABCD 中，/ A = 60°, 发，点P 沿A R B^C R D 方向以2 cm/s 的速度前进，点Q 沿A —D 方向以1 cm/s 的速度前进， 当Q 到达点D 时，两个点随之停止运动.设运动时间为 x s ，P 、Q 经过的路径与线段 PQ 围 成的图形的面积为 y （单位：cn i ），贝U y 与x 的函数图象大致是（）11.如图，两个等腰 Rt △ ABC Rt △ DEF 的斜边都为4羽cm ,点 D M 分别是 AB AC 边上的中点，DE 与AQ 或BC 交于点P,当点P 从点M 出发以1 cm/s 的速度沿M R C 运动至 点C 后又立即沿C R B 运动至点B 结束•若运动时间为t （单位：s ） , Rt △ ABC 和Rt △ DEF 重 叠部分的面积为y （单位：cm ），贝U y 关于t 的图象大致是（ ） 蒸11駆图AB= 6 cm , BC= 12 cm ，点P 、Q 同时从顶点 A 出BC 位于同一条直线I 上，开始时，点 C 与B 重合，△ ABC 固定不动, 自左向右沿直线I 平移，移出△ ABC^（点B'与C 重合）停止，设厶A 然后把△ A B' C' B' C 平移的距离为【答案】1. B【解析】当点P在AD上时，△ ABP的底边AB不变，高增大，所以△ ABP的面积S 随着时间t的增大而增大；当点P在DE上时，△ ABP勺底边AB不变，高不变，所以△ ABP 的面积S不变；当点P在EF上时，△ ABP的底边AB不变，高减小，所以△ ABP的面积S随着时间t的增大而减小；当点P在FG上时，△ ABP的底边AB不变，高不变，所以△ ABP的面积S不变；当点P在GB上时，△ ABP的底边AB不变，高减小，所以△ ABP的面积S随着时间t的增大而减小.故选 B.2. B【解析】当点P在点0处时，/ APB=Z AOB= 90°,当点P沿OC运动到点C时，1 1/ APB=㊁/AOB= 45°;当点P在CDk运动时，/ APB=訂AOB= 45° ;当点P沿DO运动到点O 时，/ APB从45°增大到90° .结合选项可知B选项符合.3. C【解析】根据图形知道，当直线I : x = t在BD的左侧时，S= t2，当直线I : x =t在BD右侧时，S=- (t —2)2+ 1，结合选项，只有选项C符合.4. C 【解析I：/ APC是厶ABP 的外角，•••/ AP&/ PABF Z B,同理/ BDP=Z PAB+ Z APD 又I / B=/ APD •/ APC^Z BDP B=/ C= 60°,BD x y 1 2丸即4=4—x，整理得，y= — 4 x+ x，故选C.15. C【解析】依题意，得y= S正方形ABCD— & AEH— & BEF—S^CFG一 & DGF F12 22x —2x + 1，即y = 2x —2x + 1(0 < x< 1)，抛物线开口向上，对称轴为x=?,故选C.6. C【解析】当0W t W2时，S= 1 - t - sin60 ° - t =jt2,此函数抛物线开口向上，且函数图象为抛物线右侧的一部分；当2 v t <4时，S= 2 X 2・sin60 ° (4 —t) 一 + 举，此函数图象是直线的一部分，且S随t的增大而减小•所以符合题意的函数图象只有 C.7. B【解析】•/ AB= 4,AC= x, • BC=p AB—AC =p16—x2, • S AABC= *ACBC=抑16-x2, •••此函数不是二次函数，也不是一次函数，•排除A、C, •/ AB为定值，当OCL AB时，△ABC 面积最大，此时A(= 2 2，即当x= 2 2时，y最大，故排除D,选B.1 AD 1 48. A【解析】根据题意，当0 v t <4时，S= ^X AP X = -X t X 2= t，面积S随时间1 1t的增大而增大；当4v t <6时，S= S四边形ABM—S A(2 + 4) X 2—- X (6 —t) X 2= t , 因此S始终是t的正比例函数，故选 A.9. C【解析】T/ ABE= 45°,/ A= 90°,「・A ABE是等腰直角三角形，• AE= AB=2,「. BE=^AB= 2农，T BE= DE PD= x,「・PE= DE- PD= 2羽-x,：PQ// BD BE= DE• QE= PE= 2 2 —x，又•••△ ABE是等腰直角三角形，.••点Q到AD的距离为2(2 2 —x) = 2,• y= 2x(2 —~22x) =—"^(x2— 2.2x + 2) +彳=—¥(x —2)2+#，结合选项,只有C选项符合.4 3 410. B 【解析】•••BD= x, DEI AB tan / B= ,•••在Rt △BED中, BE= x, DE= x,3 5 53 - 、「“亠- 1 11T AA6,「. AE= 6 —孑，又•••点F 为AD的中点，•• &AEF=2&ADE= q X-AE- DE •- y= AEF1 3 4 32 6=4X (6 —&x) X 5X，化简得y = —25X + 5x(0 v x< 8), • y与x的函数关系式为开口向下的二次函数，且自变量x的取值范围为0v x w 8,结合题中给出的选项，只有选项B符合.11 C【解析】如解图，连接DM过点D作DH L BC于点H,记DF与BC相交于点N, •.•点D1 1M分别是AB AC边的中点，• DM= 2BC= 2 cm , MC= g AO 2 cm , • DM= MC •四边形DMCH 为正方形，•DHh DM 又I/ NDHF Z/ PD= 90°, •••/ ND=Z PDM第11题解图•••△ DNH^A DPMI①当点P从点M出发，沿M-C运动时，即0w t v 2时，y = S^N卄S四2 __ ” ”边形DHC = S A DP M+ S 四边形DHC= S正方形DMC= 4 cm ;②当点P运动至点C时，即t = 2时，y = S\DBC= 4 2； 1 1 cnf③当点P从点C出发沿C-B运动至B处时，即2v t <6时，y= S A DBP=寸 BP- DHh?(6 —t) X2= 6—t，可知y是t的一次函数，故选C.12. A【解析】当点P在AB上时，即0< x<3时，P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面积=2x X 3x = 多2;当点P在BC上时，即3v x<9时，P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面积=2X 3X 3 , 3 + g(2x — 6 + x—3) X3 •. 3 = —9 3, y随x的增大而增大；当点P在CD上时，即9v x< 12时，P Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面积= 12X3 3 —1(12 —x)(12 3 —3x) = 一fx2* 12 3x—36 3.综上，选项 A 符合题意.13. B 【解析】由题意知：在厶A B C移动的过程中，阴影部分总为等边三角形. 当1 \[3 \[320<x<1时，重合部分边长为x,此时y = ^XX-^X = -^x ;当1 v x<2时，重合部分为△ A B' C',此时y = 1X仃石3 =-43；当2v x<3时，重合部分边长为 3 —x,此时y= 2(3—x) X "2^(3 —x) = -4-(3 —x)2.由以上分析可知，这个分段函数的图象左边为开口向上的抛物线的一部分，中间为直线y =〒的一部分，右边为开口向上的抛物线的一部分，且顶点为(3 , 0)，最高点为(2 ,〒)，结合选项中的图象可知，选项B符合.。
中考数学复习----《动点问题的函数图像》压轴真题练习(含答案解析)
中考数学复习----《动点问题的函数图像》压轴真题练习（含答案解析）1．（2021•益阳）如图，已知▱ABCD的面积为4，点P在AB边上从左向右运动（不含端点），设△APD的面积为x，△BPC的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵▱ABCD的面积为4，x+y是平行四边形面积的一半，∴x+y＝2，∴y＝2﹣x，∴y是x的一次函数，且当x＝0时，y＝2；x＝2时，y＝0；故只有选项B符合题意．2．（2021•河南）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解答】解：由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．∴y的最大值为AE，∴AE＝5．在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25，设BE的长度为t，则BA＝t+1，∴（t+1）2+t2＝25，即：t2+t﹣12＝0，∴（t+4）（t﹣3）＝0，由于t＞0，∴t+4＞0，∴t﹣3＝0，∴BC＝2BE＝2t＝2×3＝6．故选：C．3．（2022•鞍山）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，CD⊥AB，垂足为点D，动点M从点A出发沿AB方向以cm/s的速度匀速运动到点B，同时动点N从点C出发沿射线DC方向以1cm/s的速度匀速运动．当点M停止运动时，点N也随之停止，连接MN．设运动时间为ts，△MND的面积为Scm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，AC＝BC＝6，∵CD⊥AB，∴CD＝AC＝3，AD＝CD＝3，BD＝BC＝，∴当M在AD上时，0≤t≤3，MD＝AD﹣AM＝3﹣t，DN＝DC+CN＝3+t，∴S＝MD•DN＝（3﹣t）（3+t）＝﹣t2+，当M在BD上时，3＜t≤4，MD＝AM﹣AD＝t﹣3，∴S＝MD•DN＝（t﹣3）（3+t）＝t2﹣，故选：B．4．（2022•菏泽）如图，等腰Rt△ABC与矩形DEFG在同一水平线上，AB＝DE ＝2，DG＝3，现将等腰Rt△ABC沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰Rt△ABC与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，作CH⊥AB于点H，∵AB＝2，△ABC是等腰直角三角形，∴CH＝1，当0≤x≤1时，y＝×2x•x＝x2，当1＜x≤3时，y＝＝1，当3＜x≤4时，y＝1﹣＝﹣（x﹣3）2+1，故选：B．5．（2022•鄂尔多斯）如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N 是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y，已知y与x之间的函数图象如图②所示，点E（a，2）是图象的最低点，那么a的值为（）A．B．2C．D．【答案】 A【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，连接NC，连接MC交BD于点N′．∵四边形ABCD是正方形，∴O是BD的中点，∵点M是AB的中点，∴N′是△ABC的重心，∴N′O＝BO，∴N′D＝BD，∵A、C关于BD对称，∴NA＝NC，∴AN+MN＝NC+MN，∵当M、N、C共线时，y的值最小，∴y的值最小就是MC的长，∴MC＝2，设正方形的边长为m，则BM＝m，在Rt△BCM中，由勾股定理得：MC2＝BC2+MB2，∴20＝m2+（m）2，∴m＝4，∴BD＝4，∴a＝N′D＝BD＝×4＝，故选：A．6．（2021•鞍山）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6cm，点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动到点B，同时点N从点C出发沿射线CA 方向以2cm/s的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止．过点M作MP∥CA交AB于点P，连接MN，NP，作△MNP关于直线MP对称的△MN′P，设运动时间为ts，△MN′P与△BMP重叠部分的面积为Scm2，则能表示S与t之间函数关系的大致图象为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：如图1中，当点N′落在AB上时，取CN的中点T，连接MT．∵CM＝t（cm），CN＝2t（cm），CT＝TN，∴CT＝TN＝t（cm），∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠A＝60°，∴△MCT是等边三角形，∴TM＝TC＝TN，∴∠CMN＝90°，∵MP∥AC，∴∠BPM＝∠A＝∠MPN＝60°，∠BMP＝∠C＝60°，∠C+∠CMP＝180°，∴∠CMP＝120°，△BMP是等边三角形，∴BM＝MP，∵∠CMP+∠MPN＝180°，∴CM∥PN，∵MP∥CN，∴四边形CMPN是平行四边形，∴PM＝CN＝BM＝2t，∴3t＝6，∴t＝2，如图2中，当0＜t≤2时，过点M作MK⊥AC于K，则MK＝CM•sin60°＝t，∴S＝•（6﹣t）•t＝﹣t2+t．如图3中，当2＜t≤6时，S＝•MQ•PQ＝×（6﹣t）×（6﹣t）＝×（6﹣t）2，观察图象可知，选项A符合题意，故选：A．7．（2021•威海）如图，在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠D＝60°，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s 的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2cm，∠B＝∠D＝60°．∴△ABC、△ACD都是等边三角形，∴∠CAB＝∠ACB＝∠ACD＝60°．如图1所示，当0≤x≤1时，AQ＝2xcm，AP＝xcm，作PE⊥AB于E，∴PE＝sin∠PAE×AP＝（cm），∴y＝AQ•PE＝×2x×＝，故D选项不正确；如图2，当1＜x≤2时，AP＝xcm，CQ＝（4﹣2x）cm，作QF⊥AC于点F，∴QF＝sin∠ACB•CQ＝（cm），∴y＝＝＝，故B选项不正确；如图3，当2＜x≤3时，CQ＝（2x﹣4）cm，CP＝（x﹣2）cm，∴PQ＝CQ﹣CP＝2x﹣4﹣x+2＝（x﹣2）cm，作AG⊥DC于点G，∴AG＝sin∠ACD•AC＝×2＝（cm），∴y＝＝＝．故C选项不正确，故选：A．8．（2021•日照）如图，平面图形ABD由直角边长为1的等腰直角△AOD和扇形BOD组成，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交于点Q．设AP＝x（0＜x＜2），图中阴影部分表示的平面图形APQ（或APQD）的面积为y，则函数y关于x的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：当Q在AD上时，即点P在AO上时，有0＜x≤1，此时阴影部分为等腰直角三角形，∴y＝，该函数是二次函数，且开口向上，排除B，C选项；当点Q在弧BD上时，补全图形如图所示，阴影部分的面积等于等腰直角△AOD的面积加上扇形BOD的面积，再减去平面图形PBQ的面积即减去弓形QBF的面积，设∠QOB＝θ，则∠QOF＝2θ，∴，S弓形QBF＝﹣S△QOF，当θ＝45°时，AP＝x＝1+≈1.7，S弓形QBF＝﹣＝﹣，y＝+﹣（﹣）＝≈1.14，当θ＝30°时，AP＝x≈1.87，S弓形QBF＝﹣＝﹣，y＝+﹣（﹣）＝≈1.24，当θ＝60°时，AP＝x≈1.5，y≈0.98，在A，D选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项D符合题意．故选：D．法二、当1＜x＜2时，即P在OB之间时，设∠QOD＝θ，则θ∈（0，），则PQ＝cosθ，OP＝sinθ，则弧QD的长为θπ，此时S阴影＝+θπ+sinθcosθ＝+θ+sin2θ，∴y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越慢，分析四个选项中的图象，只有选项D符合．故选：D．9．（2021•辽宁）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是CD的中点，射线AE与BC的延长线相交于点F，点M从A出发，沿A→B→F的路线匀速运动到点F停止．过点M作MN⊥AF于点N．设AN的长为x，△AMN 的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，∵E是CD的中点，∴CE＝DE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DCF＝90°，AD＝BC＝4，在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（SAS），∴CF＝AD＝4，∴BF＝CF+BC＝8，∴AF＝，当点M在AB上时，在Rt△AMN和Rt△AFB中，tan∠NAM＝，∴NM＝x＝x，∴△AMN的面积S＝×x×x＝x2，∴当点M在AB上时，函数图象是开口向上、经过原点的抛物线的一部分；当点M在BF上时，如图，AN＝x，NF＝10﹣x，在Rt△FMN和Rt△FBA中，tan∠F＝，∴＝﹣，∴△AMN的面积S＝＝﹣，∴当点M在BF上时，函数图象是开口向下的抛物线的一部分；故选：B．10．（2021•苏州）如图，线段AB＝10，点C、D在AB上，AC＝BD＝1．已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动，到达点D后停止移动．在点P移动过程中作如下操作：先以点P为圆心，PA、PB的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面，设点P的移动时间为t（秒），两个圆锥的底面面积之和为S，则S关于t的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵AB＝10，AC＝BD＝1，∴CD＝10﹣1﹣1＝8，∵PC＝t，∴AP＝t+1，PB＝8﹣t+1＝9﹣t，设围成的两个圆锥底面圆半径分别为r和R则：2πr＝；．解得：r＝，R＝，∴两个圆锥的底面面积之和为S＝＝＝，根据函数关系式可以发现该函数图象是一个开口向上的二次函数．故选：D．11．（2021•甘肃）如图1，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D（AD＞BD）．动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，△AMD的面积为y，y与x的函数图象如图2，则AC的长为（）A．3B．6C．8D．9【答案】B【解答】解：由图2知，AB+BC＝2，∵AB＝BC，∴AB＝，∵AB＝BC，BD⊥AC，∴AC＝2AD，∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AD²+BD²＝AB²＝13①，设点M到AC的距离为h，∴S△ADM＝AD•h，∵动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，∴当点M运动到点B时，△ADM的面积最大，即h＝BD，由图2知，△ADM的面积最大为3，∴AD•BD＝3，∴AD•BD＝6②，①+2×②得，AD²+BD²+2AD•BD＝13+2×6＝25，∴（AD+BD）²＝25，∴AD+BD＝5（负值舍去），∴BD＝5﹣AD③，将③代入②得，AD（5﹣AD）＝6，∴AD＝3或AD＝2，∵AD＞BD，∴AD＝3，∴AC＝2AD＝6，故选：B．12．（2021•百色）如图，矩形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，AB＝2，BC＝2，M为AB上一动点，过点M作直线l⊥AB，若点M从点A开始沿着AB方向移动到点B即停（直线l随点M移动），直线l扫过矩形内部和四边形EFGH外部的面积之和记为S．设AM＝x，则S关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：①当M点运动在AE段，此时S＝S△HAE+S△GHD﹣S△EOM﹣S△GPS，∵四边形ABCD是矩形，直线l⊥AB，H、E、F、G为AD、AB、BC、CD的中点，∴AH＝AD＝＝1，AE＝AB＝，S△HAE＝S△GHD，S△EOM＝S△GPS，∴S＝2S△HAE﹣2S△EOM，∴S△HAE＝AE•AH＝；∵直线l⊥AB，∴∠OME＝∠A＝90°，∠HEA＝∠OEM，∴△HAE∽△OME，∴，∴OM＝，又∵ME＝AE﹣AM＝﹣x，∴OM＝ME＝，∴S△EOM＝，∴S＝2S△HAE﹣2S△EOM＝，此时，对应抛物线开口向下；②当M点运动到在BE段，此时，S＝S△HAE+S△GHD+S△EO1M1+S△GP1S1，即S＝2S△HAE+2S△EO1M1，与①同理，O1M1＝，又∵M1E＝AM1﹣AE＝x﹣，∴O1M1＝M1E＝，∴S△EO1M1＝，∴S＝2S△HAE+2S△EO1M1＝，此时，对应抛物线开口向上，故选：D．13．（2021•鄂尔多斯）如图①，在矩形ABCD中，H为CD边上的一点，点M 从点A出发沿折线AH﹣HC﹣CB运动到点B停止，点N从点A出发沿AB 运动到点B停止，它们的运动速度都是1cm/s，若点M、N同时开始运动，设运动时间为t（s），△AMN的面积为S（cm2），已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（）①当0＜t≤6时，△AMN是等边三角形．②在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有3个．③当0＜t≤6时，S＝．④当t＝9+时，△ADH∽△ABM．⑤当9＜t＜9+3时，S＝﹣3t+9+3．A．①③④B．①③⑤C．①②④D．③④⑤【答案】A【解答】解：由图②可知：点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止不动，如图，①∵点M、N两点的运动速度为1cm/s，∴AH＝AB＝6cm，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6 cm．∵当t＝6s时，S＝9cm2，∴×AB×BC＝9．∴BC＝3cm．∵当6≤t≤9时，S＝且保持不变，∴点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9﹣6）秒，∴HC＝3 cm，即点H为CD的中点．∴BH＝cm．∴AB＝AH＝BH＝6cm，∴△ABM为等边三角形．∴∠HAB＝60°．∵点M、N同时开始运动，速度均为1cm/s，∴AM＝AN，∴当0＜t≤6时，△AMN为等边三角形．故①正确；②如图，当点M在AD的垂直平分线上时，△ADM为等腰三角形：此时有两个符合条件的点；当AD＝AM时，△ADM为等腰三角形，如图：当DA＝DM时，△ADM为等腰三角形，如图：综上所述，在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有4个．∴②不正确；③过点M作ME⊥AB于点E，如图，由题意：AM＝AN＝t，由①知：∠HAB＝60°．在Rt△AME中，∵sin∠MAE＝，∴ME＝AM•sin60°＝tcm，∴S＝AN×ME＝cm2．∴③正确；④当t＝9+时，CM＝cm，如图，由①知：BC＝3cm，∴MB＝BC﹣CM＝2cm．∵AB＝6cm，∴tan∠MAB＝，∴∠MAB＝30°．∵∠HAB＝60°，∴∠DAH＝90°﹣60°＝30°．∴∠DAH＝∠BAM．∵∠D＝∠B＝90°，∴△ADH∽△ABM．∴④正确；⑤当9＜t＜9+3时，此时点M在边BC上，如图，此时MB＝9+3﹣t，∴S＝×AB×MB＝×6×（9+3﹣t）＝27+9﹣3t．∴⑤不正确；综上，结论正确的有：①③④．故选：A．14．（2021•通辽）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相同，当点P到达点C时，点Q也随之停止运动，连接PQ．设点P的运动路程为x，PQ2为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：当0≤x≤3时，在Rt△APQ中，∠QAP＝90°，AP＝AQ＝x，∴PQ2＝2x2．∴y＝PQ2＝2x2；当3≤x≤4时，DQ＝x﹣3，AP＝x，∴y＝PQ2＝32+32＝18；当4≤x≤7时，CP＝7﹣x，CQ＝7﹣x，∴y＝PQ2＝CP2+CQ2＝2x2﹣28x+98．故选：C．15．（2021•湖北）如图，AC为矩形ABCD的对角线，已知AD＝3，CD＝4，点P沿折线C﹣A﹣D以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作PE⊥BC于点E，则△CPE的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC，∵∠PEC＝∠D＝90°，∴△PCE∽△CAD，∴＝＝，∵AD＝3，CD＝4，∴AC＝＝5，∴当P在CA上时，即当0＜x≤5时，PE＝＝x，CE＝＝x，∴y＝PE•CE＝＝x2，当P在AD上运动时，即当5＜x≤8时，PE＝CD＝4，CE＝8﹣x，∴y＝PE•CE＝×4×（8﹣x）＝16﹣2x，综上，当0＜x≤5时，函数图象为二次函数图象，且y随x增大而增大，当5＜x≤8时，函数图象为一次函数图象，且y随x增大而减小，故选：D．16．（2021•衡阳）如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q 两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P 的运动路线为O﹣A﹣D﹣O，点Q的运动路线为O﹣C﹣B﹣O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为厘米．【答案】（2+3）【解答】解：由图分析易知：当点P从O→A运动时，点Q从O→C运动时，y不断增大，当点P运动到A点，点Q运动到C点时，由图象知此时y＝PQ＝2cm，∴AC＝2cm，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝＝cm，当点P运动到D点，Q运动到B点，结合图象，易知此时，y＝BD＝2cm，∴OD＝OB＝BD＝1cm，在Rt△ADO中，AD＝＝＝2（cm），∴AD＝AB＝BC＝DC＝2cm，如图，当点P在A﹣D段上运动，点P运动到点E处，点Q在C﹣B段上运动，点Q运动到点F处时，P、Q两点的距离最短，此时，OE＝OF＝＝，AE＝CF＝＝＝，∴当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为：（cm），故答案为：（2+3）．17．（2021•武汉）如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x＝AD，y＝AE+CD，y 关于x的函数图象如图（2），图象过点（0，2），则图象最低点的横坐标是．【答案】﹣1【解答】解：∵图象过点（0，2），即当x＝AD＝BE＝0时，点D与A重合，点E与B重合，此时y＝AE+CD＝AB+AC＝2，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝AC＝1，过点A作AF⊥BC于点F，过点B作NB⊥BC，并使得BN＝AC，如图所示：∵AD＝BE，∠NBE＝∠CAD，∴△NBE≌△CAD（SAS），∴NE＝CD，又∵y＝AE+CD，∴y＝AE+CD＝AE+NE，当A、E、N三点共线时，y取得最小值，如图所示，此时：AD＝BE＝x，AC＝BN＝1，∴AF＝AC•sin45°＝，\又∵∠BEN＝∠FEA，∠＝∠AFE∴△NBE∽△AFE∴，即，解得：x＝，∴图象最低点的横坐标为：﹣1．故答案为：．18．（2022•营口）如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠D＝90°，∠A＝45°，动点P，Q同时从点A出发，点P以cm/s的速度沿AB向点B运动（运动到B点即停止），点Q以2cm/s的速度沿折线AD→DC向终点C运动，设点Q的运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），若y与x之间的函数关系的图象如图2所示，当x＝（s）时，则y＝cm2．【答案】【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，在Rt△ADE中，∵∠AED＝90°，∠EAD＝45°，∴，∵点P的速度为cm/s，点Q的速度为2cm/s，∴AP＝x，AQ＝2x，∴，在△APQ和△AED中，＝，∠A＝45°，∴△AED∽△APQ，∴点Q在AD上运动时，△APQ为等腰直角三角形，∴AP＝PQ＝x，∴当点Q在AD上运动时，y＝AP•AQ＝×x×x＝x2，由图像可知，当y＝9此时面积最大，x＝3或﹣3（负值舍去），∴AD＝2x＝6cm，当3＜x≤4时，过点P作PF⊥AD于点F，如图：此时S△APQ＝S△APF+S四边形PQDF﹣S△ADQ，在Rt△APF中，AP＝x，∠PAF＝45°，∴AF＝PF＝x，FD＝6﹣x，QD＝2x﹣6，∴S△APQ＝x2+（x+2x﹣6）•（6﹣x）﹣×6×（2x﹣6），即y＝﹣x2+6x，当x＝时，y＝﹣（）2+6×＝，故答案为：．。
专题01 几何动点函数图象分析(解析版)
专题一几何动点函数图象分析【专题解读】几何动点函数图像问题=常以选择题、填空题的形式出现．命题方式常涉及四种题型：①分析实际问题判断函数图象；②结合几何图形中的动点问题判断函数图象；③分析函数图象判断结论正误；④根据函数性质判断函数图象．题目难度中等，属于中考热点题型．类型一一个动点与图形线段长、面积（2020•佛山模拟）如图，△ABC为等边三角形，点P从点A出发沿A→B→C路径匀速运动到点C，到达点C时停止运动，过点P作PQ⊥AC于点Q．若△APQ的面积为y，AQ 的长为x，则下列能反映y与x之间的大致图象是（）A．B．C．D．【思路点拨】分两段来分析：①点P从点A出发运动到点B之前，写出此段的函数解析式，则可排除A和B；②设△ABC的边长为m，则当x＞m2时，P点过了B点向C点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案．【自主解答】∵△ABC为等边三角形，PQ⊥AC于点Q．AQ＝x，PQ＝AQ•tan60°=√3x∴点P从点A出发运动到点B之前，如图所示：y=12x×√3x=√32x2，∴此时函数图象为顶点在原点，开口向上的抛物线，∴选项A、B不符合题意，排除A和B；设△ABC的边长为m，则当x＞m2时，P点过了B点向C点运动，作出图形如下：则CQ＝m﹣x，PQ＝CQ•tan60°=√3（m﹣x），∴y=12x×√3（m﹣x）=−√32x2+√32mx，∴此时函数图象为开口向下的抛物线，∵选项C此阶段的图象仍然为开口向上的抛物线，选项D为开口向下的抛物线，∴D正确．故选：D．1．（2020•南海区期末）如图，已知A、B是反比例函数图象上的点，BC∥x轴，交y轴于点C，连接OA，动点P从坐标标原点O出发，沿O﹣A﹣B﹣C匀速运动，终点为C．过运动路线上任意一点P，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，设四边形OMPN的面积为S，P点运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】（1）当点P在AO上运动时，设反比例函数的表达式为：y=kx，设点A（m，n），则mn＝k，设∠AOM＝∠α，则tanα=nm ，则sinα=√m2+n2，cosα=√m2+n2，则S＝PM×PN＝t2×sinαcosα=kOA2t2，其中kAO2常数，故函数的表达式为二次函数；（2）当点P在AB段时，S＝k为常数；（3）当点P在BC上时，设点P运动的总时间为T，则在BC上运动的时间为T﹣t，S＝OC×（T﹣t）为一次函数；故选：A．2．（2020•龙岗区模拟）如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，图中阴影部分△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形PQMN的面积为（）A．16B．20C．36D．45【答案】B【解析】由图2可知：当x＝4时，点R与点P重合，PN＝4，当x＝9时，点R与点Q重合，PQ＝5，所以矩形PQMN的面积为4×5＝20．故选：B．3．（2019•镜湖区一模）如图，菱形ABC D中，AB＝2，∠B＝120°，点M是AD的中点，点P由点A出发，沿A→B→C→D作匀速运动，到达点D停止，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】当点P 在AB 上运动时，即0≤x ≤2，如图1，作PH ⊥AD 于H ，AP ＝x ，∵菱形ABC D 中，AB ＝2，∠B ＝120°，点M 是AD 的中点，∴∠A ＝60°，AM ＝1，∴∠APH ＝30°，在Rt △APH 中，AH =12AP =12x ，PH =√3AH =√32x ， ∴y =12AM •PH =12•1•√32x =√34x ；当点P 在BC 上运动时，即2＜x ≤4，如图2，作BE ⊥AD 于E ，AP +BP ＝x ，∵四边形ABCD 为菱形，∠B ＝120°，∴∠A ＝60°，AM ＝1，AB ＝2，BC ∥AD ，∴∠ABE ＝30°，在Rt △ABE 中，AE =12AB ＝1，PH =√3AE =√3，∴y =12AM •BE =12•1•√3=√32；当点P 在CD 上运动时，即4＜x ≤6，如图3，作PF ⊥AD 于F ，AB +BC +PC ＝x ，则PD ＝6﹣x ，∵菱形ABC D 中，∠B ＝120°， ∴∠ADC ＝120°，∴∠DPF ＝30°，在Rt △DPF 中，DF =12DP =12（6﹣x ），PF =√3DF =√32（6﹣x ），∴y =12AM •PF =12•1•√32（6﹣x ）=√34（6﹣x ）=−√34x +3√32，∴△APM 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数关系的图象为三段：当0≤x ≤2，图象为线段，满足解析式y =√34x ；当2≤x ≤4，图象为平行于x 轴的线段，且到x 轴的距离为√32；当4≤x ≤6，图象为线段，且满足解析式y =−√34x +3√32．故选：B ．4．（2019•深圳模拟）如图①，在菱形ABC D 中，动点P 从点B 出发，沿折线B →C →D →B运动，设点P 经过的路程为x ，△ABP 的面积为y ．把y 看作x 的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b 等于 3√7 ．【答案】3√7【解析】如图，连接AC 交BD 于O ，由图②可知，BC ＝CD ＝4，BD ＝14﹣8＝6，∴BO =12BD =12×6＝3，在Rt △BO C 中，CO =√BC 2−BO 2=√42−32=√7，AC ＝2CO ＝2√7，所以，菱形的面积=12AC •BD =12×2√7×6＝6√7，当点P 在CD 上运动时，△ABP 的面积不变，为b ，所以，b =12×6√7=3√7．故答案为：3√7.【方法总结】对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示，②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，③自变量变化函数值也变化的增减变化情况，④函数图象的最低点和最高点．根据图象要对图象及其数量关系进行一定分析，要抓住图象中的转折点及拐点，这些拐点处往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方．类型二 二个动点与图形线段长、面积（2020•南海区二模）如图所示，在矩形ABC D 中，BA ＝8cm ，BC ＝4cm ，点E 是CD 上的中点，P 、Q 均以1cm/s 的速度在矩形ABCD 边上匀速运动，其中动点P 从点A 出发沿A →D →C 方向运动，动点Q 从点A 出发沿A →B →C 方向运动，二者均达到点C 停止运动，设点Q 的运动时间为x ，△PQE 的面积为y ，则下列能大致反应y 与x 函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】分0≤t ≤4、4＜t ≤8、8＜t ≤12三段，分别求出函数表达式即可求解． 【自主解答】（1）当0≤t ≤4时，如图，y ＝S 矩形ABCD ﹣S △APQ ﹣S △DPE ﹣S 梯形BCEQ ＝4×8−12[t 2+（4+8﹣t ）×4+4（4﹣t ）]=−12t 2+4t +16，该函数为开口向下的抛物线；（2）当4＜t ≤8时，同理可得：y =12×PE ×AD =12×4×（4﹣t +4）＝16﹣2t ，该函数为一次函数；（3）当8＜t ≤12时，同理可得：y =12×PE ×CQ =12（t ﹣4﹣4）×[4﹣（t ﹣8）]=−12（t ﹣8）（t ﹣12）； 该函数为开口向下的抛物线，故选：D ．5．（2019•南海区二模）如图，在四边形ABC D 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，B ＝60°，AD ＝2，BC ＝8，点P 从点B 出发沿折线BA ﹣AD ﹣DC 匀速运动，同时，点Q 从点B 出发沿折线BC ﹣CD 匀速运动，点P 与点Q 的速度相同，当二者相遇时，运动停止，设点P 运动的路程为x ，△BPQ 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意得：四边形ABCD 为等腰梯形，如下图，分别过点A 、D 作梯形的高AM 、DN 交BC 于点M 、N ，则MN ＝AD ＝2，BM ＝NC =12（BC ﹣AD ）＝3，则AB ＝2BM ＝6，①当点P 在AB 上运动时（0≤x ≤6）， y =12BQ ×BP sin B =√34x 2，当x ＝6时，y ＝9√3，图象中符合条件的有B 、D ； ②6＜x ＜8，y 为一次函数；③当x ≥8时，点PC ＝6+2+6﹣x ＝14﹣x ，QC ＝x ﹣8， 则PQ ＝22﹣2x ，而△BPQ 的高常数，故y 的表达式为一次函数， 故在B 、D 中符合条件的为B ， 故选：B ．6．（2019•丰润区二模）如图，在矩形ABC D 中，AB ＝8，AD ＝4，E 为C D 中点，连接AE 、BE ，点M 从点A 出发沿AE 方向向点E 匀速运动，同时点N 从点E 出发沿EB 方向向点B 匀速运动，点M 、N 运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t ，连接MN ，设△EMN 的面积为S ，S 关于t 的函数图象为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】连MB，由勾股定理AE＝BE＝4√2，已知，AM＝t，EN＝t，ME＝NB＝4√2−t，∵S△EMNS△EMB =ENEB，∴S△EMN=ENEB⋅S△EMB，∵S△EMBS△EAB =EMAE，∴S△EMB=EMAE⋅S△EAB，∴S=4√2×√2−t4√2×12×4×8=−12t2+2√2t，∵a=−12＜0，∴当t＝2√2时，S的最大值为4，故选：D．。
动点问题生成的函数图象专题
动点问题生成的函数图象专题学习目标：1.初步学会解决此类问题的基本套路.2.能够从运动变化的角度综合思考问题.典型例题例1.如图，已知A、B是反比例函数kyx（k＞0，x＜0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C.动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C.过P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N.设四边形OMPN的面积为S，P 点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）例2.在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度向B 点运动，同时动点N自A点出发沿折线AD-DC-CB以每秒3cm的速度运动，到达点B时同时停止.设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x 之间的函数关系式的是（）方法小结：A. B. C. D.B．OSOC．D．A．O tSttOS St例3.如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，动点P 从A 点出发，按A →B →C 的方向在AB 和BC 上移动，记P A =x ，点D 到直线P A 的距离为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）例4.如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，P 是斜边AB 上一动点（不与点A 、B 重合），PQ ⊥AB 交△ABC 的直角边于点Q ，设AP 为x ，△APQ 的面积为y ，则下列图象中，能表示y 关于x 的函数关系的图象大致是（ ）例5.如图，点P 是⊙O 的弦AB 上任意一点（A ,B 均不重合），点C 在⊙O 上，PC ⊥OP ，已知AB =8，设BP =x ，PC 2=y ，则y 与x 之间的函数图象大致是（ ）A. B. C.D. A.B. C. D.配套课堂作业（2015.10.12）班级__________ 姓名________________ 1.如图，已知正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为y，AE为x，则y关于x的函数图象大致是（）A. B. C. D.2．(2014年江苏徐州)如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s 的速度移动；同时，点Q沿边AB、BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动．当点P移动到点A时，P、Q同时停止移动．设点P出发x s时，△P AQ的面积为y cm2，y与x的函数图象如图②，则线段EF所在的直线对应的函数关系式为_______________．3.（2014年山东泰安）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB 上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）4.（2015•德州）如图，平面直角坐标系中，A点坐标为（2，2），点P（m，n）在直线y=﹣x+2上运动，设△APO的面积为S，则下面能够反映S与m的函数关系的图象是（）A. B. C. D.yxO11yxO11111O xyyxO-15.如图，平面直角坐标系中，在边长为1的菱形ABCD的边上有一动点P从点A出发沿A-B-C-D匀速运动一周，则点P的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（）6.如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△P AB的面积y关于x的函数图象大致是（）7.如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E.设AD=x,CE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是（）A. B. C.D.A. B. C.D.配套家庭作业（2015.10.12）班级__________ 姓名________________1.如图，在△ABC 中，∠C =90°，M 是AB 的中点，动点P 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动到终点C ,动点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动到终点B .已知P ，Q 两点同时出发，并同时到达终点.连结MP ，MQ ，PQ .在整个运动过程中，△MPQ 的面积大小变化情况是（ ）A.一直增大B.一直减小C.先减小后增大D.先增大后减小 2. 如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止.设运动路程为x ，△ABP 的面积为y ,如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则y 关于x 的函数关系式为_____________.3.如图，已知正△ABC 的边长为2，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CA 上的点，且AE =BF =CG ，设 △EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）4.如图，点P 是▱ABCD 边上一动点，沿A →D →C →B 的路径移动，设P 点经过的路径长为x ，△BAP 的面积是y ，则下列能大致反映y 与x 的函数关系的图象是（ ）5.如图，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，P ，Q 两点同时从点B 出发，点P 沿折线BE -ED -DC 运动到点C 时停止,点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/s.若P 、Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ）,△BPQ 的面积为y （cm 2）.已知y 与t 的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（ ） A.AE =6cm B.sin ∠EBC =45C. 当0＜t ＜10时，225y tD. 当t =12s 时，△PBQ 是等腰三角形A. B. C. D.A. B. C. D.6.如图， A 、B 、C 、D 为O e 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O C D O --- 路 线作匀速运动，设运动时间为t （秒），∠APB =y （度），则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰当的是（ ）7.（2014•兰州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l 与正方形没有交点为止．设直线l 扫过正方形OBCD 的面积为S ，直线l 运动的时间为t （秒），下列能反映S 与t 之间函数关系的图象是（ ）8.如图1，A 、D 分别在x 轴和y 轴上，CD ∥x 轴，BC ∥y 轴．点P 从D 点出发，以1cm/s 的速度，沿五边形OABCD 的边匀速运动一周．记顺次连接P 、O 、D 三点所围成图形的面积为S cm 2，点P 运动的时间为t s ．已知S 与t 之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI 所示．（1）求A 、B 两点的坐标； （2）若直线PD 将五边形OABCD 分成面积相等的两部分，求直线PD 的函数关系式．A.C.B.D.第6题图AB C DOP B ．ty 045 90 D ．t y 045 90 A ．ty45 90 C ．ty 045 90。
中考数学动点问题专题讲解(一)(建立动点问题的函数解析式)之令狐文艳创作
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.令狐文艳关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x=,求y关于x的函数解析式，并写出函数=,GP y的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2. (2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6).(3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验,6=x 是原方程的根,且符合题意.②GP=GH 时,2336312=+x ,解得0=x . 经检验,0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.本专题的主要特征是两个点在运动的过程中，直接或间接地构造了直角三角线，因此可以利用勾股定理去建立函数关系式. 勾股定理是初中数学的重要定理，在运用勾股定理写函数解析式的过程中，主要是找边的等量关系，要善于发现这种内H M N G P O A B 图1 x y在的关系，用代数式去表示这些边，达到解题的目的. 由于是压轴题，有的先有铺垫，再写解析式；有的写好解析式后，再证明等腰三角形、相似三角形等，还有的再解一些与圆有关的体型. 要认真领会，达到举一反三的目的.1 牢记勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.例题，扇形中∠AOB=45°，半径OB=2，矩形PQRS的顶点P、S在半径OA上，Q在半径OB上，R在弧AB上，连结OR. （1）当∠AOR=30°时，求OP长（2）设OP=x，OS=y，求y与x的函数关系式及定义域2 在四边形的翻折与旋转中，往往会应用到勾股定理，由此产生些函数解析式的问题，要熟练掌握.例题：如图，正方形ABCD中，AB=6，有一块含45°角的三角板，把45°角的顶点放在D点，将三角板绕着点D旋转，使这个45°角的两边与线段AB、BC分别相交于点E、F （点E与点A、B不重合）（1）从几个不同的位置，分别测量AE、EF、FC的长，从中你能发现AE、EF、FC的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论（2）设AE=x，CF=y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域（3）试问△BEF的面积能否为8？如果能，请求出EF的长；如果不能，请说明理由.3 在一些特殊的四边形中，如矩形、正方形，它们都是直角，菱形的对角线互相垂直，这些都有可能构造直角三角形，可以考虑用勾股定理写出函数的解析式.例题：如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，点P是射线BC上的一个动点，∠PAQ=60°，交射线CD于点Q，设点P到点B的距离为x，PQ=y（1）求证：三角形APQ是等边三角形（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域（3）如果PD⊥AQ，求BP的值4 作底边上的高，可以构造直角三角形，利用勾股定理写函数的解析式例题：如图，等边△ABC的边长为3，点P、Q分别是AB、BC上的动点（点P、Q与△ABC的顶点不重合），且AP=BQ，AQ、CP相交于点E.（1）如设线段AP为x，线段CP为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域（2）当△CBP的面积是△CEQ的面积的2倍时，求AP的长（3）点P、Q分别在AB、BC上移动过程中，AQ和CP能否互相垂直？如能，请指出P点的位置，请说明理由.5 在解圆的题目时，首选的辅助线是弦心距，它不仅可以运用垂径定理，而且构造了直角三角形，为用勾股定理写函数解析式创造了条件.例题：如图，⊙A和⊙B是外离的两圆，两圆的连心线分别交⊙A、⊙B于E、F，点P是线段AB上的一动点（点P不与E、F重合），PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D，已知⊙A的半径为2，⊙B的半径为1，AB=5.（1）如设线段BP的长为x，线段CP的长为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域（2）如果PC=PD，求PB的长（3）如果PC=2PD，判断此时直线CP与⊙B的位置关系，证明你的结论6 强调圆的首选辅助线是弦心距，它不仅可以平分弦，而且构造了直角三角形，为解题创建新思路.例题：如图，在△ABC中，AB=15,AC=20,cotA=2，P是边AB上的一个动点，⊙P的半径为定长. 当点P与点B重合时，⊙P恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且⊙P与边AC 相交于点M和点N时，设AP=x，MN=y.(1)求⊙P的半径(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域(3)当AP=65时，试比较∠CPN与∠A的大小，并说明理由阶梯题组训练1 如图，E是正方形ABCD的边AD上的动点，F是边BC延长线上的一点，且BF=EF，AB=12，设AE=x，BF=y.（1）当△BEF是等边三角形时，求BF的长；（2）求y与x之间的函数解析式，并写出它的定义域；（3）把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在点A′处，试探索：△A′BF能否为等腰三角形？如果能，请求出AE的长；如果不能，请说明理由.2 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D是边AC上不与点A、C重合的任意一点，DE⊥AB，垂足为点E，M是BD 的中点.（1）求证：CM=EM;（2）如果BC=3设AD=x，CM=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点D在线段AC上移动时，∠MCE的大小是否发生变化？如果不变，求出∠MCE的大小；如果发生变化，说明如何变化.中，对角线AC⊥AB，AB=15，AC=20，点P为射线BC上一动点，AP⊥PM(点M与点B分别在直线AP的两侧)，且∠PAM=∠CAD，连结MD.(1)当点M内时，如图，设BP=x，AP=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；(2)请在备用图中画出符合题意的示意图，并探究：图中是否存在与△AMD相似的三角形？若存在，请写出并证明；若不存在，请说明理由；(3)当△为等腰三角形时，求BP的长.4 抛物线经过A（2，0）、B（8，0）、C（0，3316）.(4)求抛物线的解析式；(5)设抛物线的顶点为P，把△APB翻折，使点Pl落在线段AB上（不与A、B重合），记作P′，折痕为EF，设AP′=x，PE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(6)当点P′在线段AB上运动但不与A、B重合时，能否使△EFP′的一边与x轴垂直？若能，请求出此时点P′的坐标；若不能，请你说明理由.5 如图，矩形ABCD中，AD=7，AB=BE=2，点P是EC（包括E、C）上的动点，线段AP的垂直平分线分别交BC、AD于点F、G，设BP=x，AG=y.（4）四边形AFPG是说明图形？请说明理由；（5）求y与x的函数关系式；（6）如果分别以线段GP、DC为直径作圆，且使两圆外切，求x的值.6 在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，AB=4，AD=5，CD=5. E为底边BC上一点，以点E为圆心，BE为半径画⊙E交直线DE 于点F.（1）如图，当点F在线段DE上时，设BE=x，DF=y，试建立y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当以CD为直径的⊙O与⊙E相切时，求x的值；（3）连结AF、BF，当△ABF是以AF为腰的等腰三角形时，求x的值.7 如图，在正方形ABCD中，AB=1，弧AC是以点B为圆心，AB 长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作弧AC所在圆的切线，交DC于点F，G为切点.（1）当∠DEF=45°时，求证点G为线段EF的中点；（2）设AE=x，FC=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的解析式；5（3）将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，如图2，当EF=6时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由.（2003年上海第27题）二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年·山东）如图2,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=,x CE=y.(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y与x之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°,∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CE AB =, ∴11x y =, ∴xy 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立, ∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90.当=-2αβ︒90时,函数解析式x y 1=成立.例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.A ED C B 图2 A 3(2) 3(1)(3)当BF=1时,求线段AP 的长.解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54x AD =, ∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58.∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x y x 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4. ∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°,∠FPB=∠DPE,∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE.∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2.②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2.类似①,可得CF=CE.∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述,当BF=1时,线段AP 的长为2或6.本专题探究在图形的运动变化过程中，存在平行或相似的三角形，利用比例式来建立函数关系式. 难一些的题目其中的一个变量是比例式，一个变量是线段，也是利用相似或平行来构造比例式，从而写出函数的解析式. 作为最后的一道压轴题，一般情况下写出解析式后还会有一个证等腰或相似或相切的题目，可以二次函数专题中的解题思想进行处理.1 由平行得到比例式，从而建立函数关系式.1AB，点P是边例题：如图，在△ABC中，AB=AC=4,BC=21PD，∠APD=∠ABC，连结DC并延长交边AC上的一个点，AP=2AB的延长线于点E（1）求证：AD//BC（2）设AP=x，BE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域（3）连结BP，当△CDP与△CBE相似时，试判断BP与DE的位置关系，并说明理由2 由三角形相似得到比例式，建立函数关系式例题：如图，在正方形ABCD中，AB=2，E为线段CD上一点（点E与点C、D不重合），FG垂直平分AE，且交AE于F，交AB延长线于G，交BC于H.（1）证明：△ADE∽△GFA（2）设DE=x，BG=y，求y关于x的函数解析式及定义域1时，求DE的长（3）当BH=43 在学习利用相似比建立函数的解析式的时候，初中阶段的知识已经学了不少，对最后的压轴题的综合性的要求已经很高了.一般会在写解析式前有一些证明或计算，写好解析式后再来一个证明等腰三角形或圆的位置关系等. 如果能够把一道复杂的压轴题拆分成几道小的题目，各个击破，难题也就变简单了.例题：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinB=54，AC=4；D 是BC 的延长线上一个动点，∠EDA=∠B ，AE//BC.(1) 找出图中的相似三角形，并加以证明(2) 设CD=x ，AE=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(3) 当△ADE 为等腰三角形时，求AE 的长4 刚才研究的写函数解析式都是在几何图形中进行的，下面来看在平面直角坐标系中怎样写解析式.例题：如图，在直角坐标系中的等腰梯形AOCD 中，AD//x 轴，AO=CD=5，OC AD =52，cos ａ=53，P 是线段OC 上的一个动点，∠APQ=∠ａ,PQ 交射线AD 于点Q ，设P 点坐标为（x ，0），点Q 到D 的距离为y（1）求过A 、O 、C 三点的抛物线解析式 （2）用含x 的代数式表示AP 的长 （3）求y 与x 的函数解析式及定义域 （4） △CPQ 与△AOP 能否相似？若能，请求出x 的值，若不能，请说明理由5 当一个变量是比例式，另一个变量是一条线段，怎样来写函数的解析式呢？可以根据题目的要求，由相似三角形面积的比等于相似比的平方，或相似三角形周长的比等于相似比等建立函数解析式.例题：如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，0），点B 、C 的坐标分别为（-1，0），C （0，b ），且0＜b ＜3，m 是经过点B 、C 的直线，当点C 在线段OC 上移动时，过点A 作AD ⊥m 于点D.(1) 求点D 、O 之间的距离 (2) 如果BOC BDA S △△S =ɑ，试求：ɑ与b 的函数关系式及ɑ的取值范围 (3)当∠ADO 的余切值为2时，求直线m 的解析式 (4) 求此时△ABD 与△BOC 重叠部分的面积6 当我们学习到利用相似三角形的相似比来建立函数解析式的时候，初中阶段的知识已经学得差不多了，对于一些貌似很复杂的图形，只要能够分层求解，就能化繁为简.例题：如图，在边长为6的正方形ABCD 的两侧如图作正方形BEFG 、正方形DMNK ，恰好使得N 、A 、F 三点在一直线上，连结MF 交线段AD 于点P ，连结NP ，设正方形BEFG 的边长为x ，正方形DMNK 的边长为y.（1）求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围 （2）当△NPF 的面积为32时，求x 的值 （3） 以P 为圆心，AP 为半径的圆能够与以G 为圆心，GF 为半径的圆相切，若能请求x 的值，若不能，请说明理由 练习：1. 如图，在三角形中，AB=AC=8，BC=10，点D 、E 分别在BC 、AC 上（点D 不与B 、C 重合），且∠ADE=∠B ，设BD=x ，AE=y.（1）求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域（2）点D在BC上的运动过程中，△ADE是否有可能成为一个等腰三角形？如有可能，请求出当△ADE为等腰三角形时x的值;如不可能，请说明理由.3，点D是边AC上的点，2.在△ABC中，AB=4，AC=5，cosA=5点E是边AB上的点，且满足∠AED=∠A，DE的延长线交射线CB于点F，设AD=x，EF=y.（1）如图1，用含x的代数式表示线段AE的长（2）如图1，求y关于x的函数解析式及函数的定义域（3）连结EC，如图2，求档x为何值时，△AEC与△BEF相似.3.如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）.连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y.(1)求y关于x的函数关系式(2)若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？12，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？(3)若y=m4.已知在梯形ABCD中，AD//BA，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点.（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2. 求证：△BEP∽△CPD；（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD与点F，同时交直线AD于点M ，那么（3） 当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP=x ，DF=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（4）当S △DMF =49S △BEP 时，求BP 的长. 5. 如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AD//BC ，AB=4，BC=12，点E 在边BA 的延长线上，AE=2，点F 在BC 边上，EF 与边AD 相交于点G ，DF ⊥EF ，设AG=x ，DF=y.（3）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （4）当AD=11时，求AG 的长； （5） 如果半径为EG 的⊙E 与半径为FD 的⊙F 相切，求这两个圆的半径.6. 如图，在半径为5的⊙O 中，点A 、B 在⊙O 上，∠AOB=90°，点C 是弧AB 上的一个动点，AC 与OB 的延长线相交于点D ，设AC=x ，BD=y.(1) 求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；(2) 若⊙O 1与⊙O相交于点A 、C ，且⊙O 1与⊙O 的圆心距为2，当BD=31OB 时，求⊙O 1的半径；(3) 是否存在点C ，使得△DCB ∽△DOC ？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由.7. 已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD//BC ，P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足PC PQ =AB AD (如图1所示)（1） 当AD=2，且点Q 与点B 重合时（如图2所示），求线段PC 的长；（2） 在图1中，连结AP. 当AD=23，且点Q 在线段AB 上时，设点B 、Q 之间的距离为x ，PBC APQ S S △△=y ，其中S △APQ 表示△APQ 的面积，S △PBC 表示△PBC 的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3） 当AD ＜AB ，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图3所示），求∠QPC 的大小.（2009上海第25题）三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ).(2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x .此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x .A B CO 图8 H解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-.综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21. 例2、【09广东】正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直．（1）证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN ；（2）设BM =x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）当M 点运动到什么位置时Rt △ABM ∽Rt △AMN ，求此时x 的值练习1.如图，在△ABC 中，BC=8，CA= ，∠C=60°，EF ∥BC ，点E 、F 、D 分别在AB 、AC 、BC 上（点E 与点A 、B 不重合），连接ED 、DF 。
动点问题的函数图像
动点问题的函数图像复习指要【典例分析】例1（2014•贵阳，第9题，3分）如图，三棱柱的体积为10，其侧棱AB上有一个点P从点A开始运动到点B停止，过P点作与底面平行的平面将这个三棱柱截成两个部分，它们的体积分别为x、y，则下列能表示y与x之间函数关系的大致图象是（）A．B．）D．C．考点：动点问题的函数图象．分析：根据截成的两个部分的体积之和等于三棱柱的体积列式表示出y与x的函数关系式，再根据一次函数的图象解答．解答：?解：∵过P点作与底面平行的平面将这个三棱柱截成两个部分的体积分别为x、y，∴x+y=10，∴y=﹣x+10（0≤x≤10），纵观各选项，只有A选项图象符合．故选A．点评：本题考查了动点问题的函数图象，比较简单，理解分成两个部分的体积的和等于三棱柱的体积是解题的关键．例2 （2014年•河南省，第8题，3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1cm，BC=2cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC→CB→BA运动，最终回到点A，设点P的运动时间为x（s），线段AP的长度为y（cm），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）】A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：这是分段函数：①点P在AC边上时，y=x，它的图象是一次函数图象的一部分；②点P在边BC上时，利用勾股定理求得y与x的函数关系式，根据关系式选择图象；③点P在边AB上时，利用线段间的和差关系求得y与x的函数关系式，由关系式选择图象．解答：解：①当点P在AC边上，即0≤x≤1时，y=x，它的图象是一次函数图象的一部分．故C错误；②点P在边BC上，即1＜x≤3时，根据勾股定理得AP=，即y=，则其函数图象是y随x的增大而增大，且不是线段．故B、D错误；③点P在边AB上，即3＜x≤3+时，y=+3﹣x=﹣x+3+，其函数图象是直线的一部分．'综上所述，A选项符合题意．故选：A．点评：本题考查了动点问题的函数图象．此题涉及到了函数y=的图象问题，在初中阶段没有学到该函数图象，所以只要采取排除法进行解题．例3（2014•广西桂林，第12题，3分）如图1，在等腰梯形ABCD中，∠B=60°，PQ同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿BADC和BCD方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒），△BPQ的面积为S（平房单位），S与t的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（）A．当t=4秒时，S=43B．AD=4C．当4≤t≤8时，S=23tD．当t=9秒时，BP平分梯形ABCD的面积考点：动点问题的函数图象．}分析：根据等腰梯形的性质及动点函数图象的性质，综合判断可得答案．解答：解：由答图2所示，动点运动过程分为三个阶段：（1）OE段，函数图象为抛物线，运动图形如答图1﹣1所示．此时点P在线段AB上、点Q在线段BC上运动．△BPQ为等边三角形，其边长BP=BQ=t，高h=t，∴S=BQ•h=t•t=t2．由函数图象可知，当t=4秒时，S=4，故选项A正确．（2）EF段，函数图象为直线，运动图形如答图1﹣2所示．此时点P在线段AD上、点Q在线段BC上运动．由函数图象可知，此阶段运动时间为4s，—∴AD=1×4=4，故选项B正确．设直线EF的解析式为：S=kt+b，将E（4，4）、F（8，8）代入得：，解得，∴S=t，故选项C错误．（3）FG段，函数图象为直线，运动图形如答图1﹣3所示．此时点P、Q均在线段CD上运动．设梯形高为h，则S梯形ABCD=（AD+BC）•h=（4+8）•h=6h；当t=9s时，DP=1，则CP=3，∴S△BCP=S△BCD=××8×h=3h，·∴S△BCP=S梯形ABCD，即BP平分梯形ABCD的面积，故选项D正确．综上所述，错误的结论是C．故选：C．点评：本题考查了动点问题的函数图象分析，有一定的难度，解题关键是结合函数图象与几何图形的性质求解．例4（2014•黄冈，第8题，3分）已知：在△ABC 中，BC=10，BC 边上的高h=5，点E 在边AB 上，过点E 作EF ∥BC ，交AC 边于点F ．点D 为BC 上一点，连接DE 、DF ．设点E 到BC 的距离为x ，则△DEF 的面积S 关于x 的函数图象大致为（ ）A ． 》B ．C ．D ．考点： 动点问题的函数图象．$ 分析： 判断出△AEF 和△ABC 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出EF ，再根据三角形的面积列式表示出S 与x 的关系式，然后得到大致图象选择即可．解答： 解：∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ， ∴=，∴EF=•10=10﹣2x ，∴S=（10﹣2x ）•x=﹣x 2+5x=﹣（x ﹣）2+， ∴S 与x 的关系式为S=﹣（x ﹣）2+（0＜x ＜10），纵观各选项，只有D 选项图象符合．~ 故选D ．点评： 本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的性质，求出S 与x 的函数关系式是解题的关键，也是本题的难点．例5（2014•山东菏泽，第8题，3分）如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是考点：动点问题的函数图象．分析：分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到y=x2；当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y=x2-2（x-1）2，配方得到y=-（x-2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．解答：当0＜x≤1时，y=x2，当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，￥CD=x，则AD=2-x，∵Rt△ABC中，AC=BC=2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM=2-x，∴EM=x-（2-x）=2x-2，∴S△ENM=，（2x-2）2=2（x-1）2，∴y=x2-2（x-1）2=-x2+4x-2=-（x-2）2+2，故选A．点评：本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．也考查了等腰直角三角形的性质．例6（2014年•福建漳州，第10题，4分）世界文化遗产“华安二宜楼”是一座圆形的土楼，如图，小王从南门点A沿AO匀速直达土楼中心古井点O处，停留拍照后，从点O沿OB也匀速走到点B，紧接着沿回到南门，下面可以近似地刻画小王与土楼中心O的距离s随时间t变化的图象是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：从A→O的过程中，s随t的增大而减小；直至s=0；从O→B的过程中，s随t的增大而增大；从B沿回到A，s不变．解答：解：如图所示，当小王从A到古井点O的过程中，s是t的一次函数，s随t的增大而减小；当停留拍照时，t增大但s=0；当小王从古井点O到点B的过程中，s是t的一次函数，s随t的增大而增大．当小王回到南门A的过程中，s等于半径，保持不变．综上所述，只有C符合题意．故选：C．点评：主要考查了动点问题的函数图象．此题首先正确理解题意，然后根据题意把握好函数图象的特点，并且善于分析各图象的变化趋势．。
2023年中考数学高频考点训练——动点问题的函数图象
2023年中考数学高频考点训练——动点问题的函数图象一、综合题1．小亮在学习中遇到了这样一个问题：把一副三角尺如图摆放，直角三角尺的两条直角边分别垂直或平行，即90,6cm C AC BC ∠=︒==，点D 在AB 上，DE BC ⊥于点E ，射线DF 与射线AC 交于点F ，60EDF ∠=︒，顶点D 在斜边AB 上移动，设BE 两点间的距离为cm x ，EF 两点间的距离为cm EF y ，DE 两点间的距离为cm DE y .（1）当点F 与点C 重合时，求x 的长度（保留一位小数）；（2）通过测量，得到了x 与EF y 的几组值，如下表：将线段BE 的长度作为自变量x ，EF DE 直角坐标系xOy 中画出函数EF y 和DE y 的图象；（3）结合图象直接写出：当DEF 为等边三角形时，BE 长度的近似值（结果保留一位小数）2．在以点O 为原点的平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC 的两顶点A ，C 分别在y 轴，x 轴的正半轴上，现将正方形OABC 绕点О顺时针旋转，当点A 第一次落在直线y x =上时，停止转动，旋转过程中，AB 边交直线y x =于点M ，BC 边交轴于点N.（1）旋转停止时正方形旋转的度数是.（2）在旋转过程中，当MN 和AC 平行时，①OAM 与OCN 是否全等？此时正方形OABC 旋转的度数是多少？②直接写出MBN 的周长的值，并判断这个值在正方形OABC 的旋转过程中是否发生变化.3．如图，点C 是以点O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点（不与点A ，B 重合），AB ＝6cm ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，E 是CD 的中点，连接AE 并延长交 AB 于点F ，连接FD ．小腾根据学习函数的经验，对线段AC ，CD ，FD 的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C 在 AB 上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC ，CD ，FD 的长度的几组值，如表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8AC /cm 0.10.5 1.0 1.9 2.6 3.2 4.2 4.9CD /cm 0.10.5 1.0 1.8 2.2 2.5 2.3 1.0FD /cm 0.2 1.0 1.8 2.8 3.0 2.7 1.80.5在AC ，CD ，FD 的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解答问题：当CD＞DF时，AC的长度的取值范围是．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点D是AB的中点，以D 为顶点作∠MDN＝∠A，∠MDN的两边分别与线段AC交于点M.N（点M在点N左边）.设A，M两点间的距离为xcm，C、N两点间的距离为ycm.小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程，请补充完整.（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：x/cm00.6 1.2 1.8 2.3 2.9 3.4 3.5 4.0 4.3 4.5 4.7 4.8 y/cm a 4.6 4.3 3.9 3.6 3.1 2.6 2.4b 1.20.90.40.2请你补全表格：a＝；b＝.（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象：（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：.（4）解决问题：当AM＝CN时，A、M两点间的距离大约是cm.（保留一位小数）中，D为AB的中点，P是BC边上一动点，连接5．如图1，在Rt ABC，，设PC x=(当点P与点C重合时，x的值为0)，==BC AC，．若43PD PA+=．PA PD y小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）通过取点、画图、计算，得到了x与y的几组值，如下表：(参考数据： 1.414 3.162 3.606≈≈)．（2）如图2，描出剩余的点，并用光滑的曲线画出该函数的图象．（3）观察图象，下列结论正确的有_．①函数有最小值，没有最大值②函数有最小值，也有最大值③当43x >时，y 随着x 的增大而增大④当 1.5x <时，y 随着x 的增大而减小6．如图如图1，在矩形ABCD 中，3cm AB =，4cm BC =，圆弧 AE 过点A 和AD 延长线上的点E ，圆心R 在CD 上， AE 上有一个动点P ，PQ AC ⊥，交直线AC 于点Q .线段AP 的长cm x 与PQ 的长cm PQ y 以及RQ 的长cm RQ y 之间的几组对应值如下表所示.（1）将线段AP 的长度作为自变量，在平面直角坐标系中画出了函数PQ y 的图象，如图2所示.请在同一坐标系中画出函数RQ y 的图象.（2）结合函数图象填空：（结果精确到0.1）线段PQ 的长度的最大值约为；线段RQ 的长度的最小值约为；圆弧 AE 所在圆的半径约等于；连结PC ，PAC 面积的最大值约为.（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当以点P 、Q 、R 为顶点构成的三角形为等腰三角形时，线段AP 的长度的近似值.（结果精确到0.1）7．动点P 在□ABCD 边上沿着A→B→C→D 的方向匀速移动，到达点D 时停止移动.已知P 的速度为1个单位长度/s ，其所在位置用点P 表示，P 到对角线BD 的距离（即垂线段PQ 的长）为d 个单位长度，其中d 与t 的函数图象如图2所示.（1）若a ＝3，求当t ＝8时△BPQ 的面积；（2）如图3，点M ，N 分别在函数第一和第三段图象上，线段MN 平行于横轴，M 、N 的横坐标分别为t 1、t 2，设t 1、t 2时点P 走过的路程分别为12l l 、，若12l l +＝16，求t 1、t 2的值.8．如图1，已知四边形OABC 的顶点O 在坐标原点，点A 在y 轴上，点C 在x 轴上，AB x 轴，动点P 从点O 出发，以每秒1单位的速度，沿O A B C O →→→→运动一周，顺次连结P ，O ，C 三点所围成图形的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，S 与t 之间的函数关系如图2中折线ODEFG 所示已知4AB =，点D ，点F 横坐标分别为8和22.（1）求a 和b 的值.（2）求直线EF 的函数解析式.（3）当P 在BC 上时，用t 表示P 点的纵坐标.9．“低碳环保、绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行工具．小军和爸爸同时从家骑自行车沿同一路线去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m 米/分的速度到达图书馆．小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程(y 米)与时间(x 分钟)的关系如图．请结合图象，解答下列问题：（1）a=；b=．（2）求出m 的取值是多少？（3）若小军的速度是120米/分，求小军在图中与爸爸第二次相遇时的时间．10．如图1，在菱形ABCD 中，1cm AB =，连结AC BD ，．设DAB x ∠=()0180x y AC BD <<=- ，，小宁根据学习函数的经验，对变量y 与x 之间的关系进行了如下探究．（1）【探究】列表：通过观察补全下表（精确到0.01）．/x153045607590105120135150165/cm y 1.72 1.080.3700.73 1.08 1.41 1.72描点、连线：在图2中描出表中各组数值所对应的点() x y ，，并画出y 关于x的函数图象．（2）【发现】结合画出的函数图象，写出该函数的两条性质：①；②．（3）【应用】有一种“千斤顶”，它是由4根长为30cm 的连杆组成的菱形ABCD ，当手柄顺时针旋转时，B D 、两点的距离变小（如图3）．在这个过程中，当33cm AC BD -=时，BAD ∠的度数约为．（精确到1°）．11．快、慢两车分别从相距360km 的佳市、哈市两地出发，匀速行驶，先相向而行，慢车在快车出发1h 后出发，到达佳市后停止行驶；快车到达哈市后，立即按原路原速返回佳市（快车掉头的时间忽略不计）．快、慢两车距哈市的路程1y （单位：km ），2y （单位：km ）与快车出发时间x （单位：h ）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：（1）直接写出慢车的行驶速度和a 的值；（2）快车与慢车第一次相遇时，距离佳市的路程是多少千米？（3）快车出发多少小时两车相距100km ？请直接写出答案．12．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点P 从点A 出发，以12cm/s 的速度沿AB 向终点B 运动；2s 后，又有一动点Q 从点B 出发，沿B→C→A 方向以3cm/s 的速度向终点A 运动.第二幅图是△PQC 的面积S （cm 2）关于点P 的运动时间t （s ）的函数图象，请结合图中提供的信息解决下面的问题；（1）线段AB ＝cm ，a=，m=；（2）求当t 为何值时，PQ ∥AC ；（3）求图中EF 段函数解析式.13．如图，在ABC 中，60C ∠=︒，3BC =厘米，4AC =厘米，点P 从点B 出发，沿B C A →→以每秒1厘米的速度匀速运动到点A ．设点P 的运动时间为x 秒，B 、P 两点间的距离为y 厘米．小新根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小新的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x（s）01234567y（cm）0 1.0 2.0 3.0 2.7 2.7m 3.6m的值是．（2）建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；中画出（3ABC点P所在的位置，此时P运动的时间为▲秒14．已知图形ABCDEF的相邻两边垂直，AB＝8cm．当动点M以2cm/s的速度沿图①的边框按B→C→D→E→F→A的路径运动时，△ABM的面积S随时间t的变化如图②所示．回答下列问题：（1）求a的值和EF的长度；（2）当点M运动到DE上时，求S与t的关系式．15．已知动点P以每秒2㎝的速度沿图甲的边框按从的路径移动,相应的△ABP 的面积S 与时间t 之间的关系如图乙中的图象表示.若AB=6cm,试回答下列问题：（1）图甲中的BC 长是多少？（2）图乙中的a 是多少?（3）图甲中的图形的面积是多少?（4）图乙中的b 是多少?16．对于平面直角坐标系xOy 中的任意点()P x y ，，如果满足x y a +=(x ≥0，a 为常数)，那么我们称这样的点叫做“特征点”．（1）当2≤a ≤3时，①在点(1,2),(1,3),(2.5,0)A B C 中，满足此条件的特征点为；②⊙W 的圆心为(,0)W m ，半径为1，如果⊙W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m 的取值范围；（2）已知函数()10Z x x x =+>，请利用特征点求出该函数的最小值．17．如图，在正方形ABCD 中，1AB =，延长BC 至M ，使5BM =．以BD BM ，为邻边作DBMN ．动点P 从点D 出发，以每秒1个单位的速度沿DN 向终点N 运动，过点P 作PQ ⊥BM 交BM 或BM 的延长线于点Q ，以PQ 为边向右作正方形PQRS ．设正方形PQRS ．设正方形PQRS 与DBMN 的重叠部分的面积为y ，点P 运动的时间为x （0x >．单位：秒）．（1）用含x 的代数式表示线段PN 为；（2）当点S 与点N 重合时，求x 的值；（3）当正方形PQRS 与DBMN 的重叠部分不是正方形时，求y 与x 之间的函数关系式；（4）当DQS 或PRN 是直角三角形时，直接写出x 的值．18．如图，已知在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB//x 轴，AD//y 轴，点A 的坐标为（2，1），AB=4，AD=3．（1）求直线BD 的解析式．（2）已知双曲线(0)ky k x =>与折线ABC 的交点为E ，与折线ADC 的交点为F ．①连接CE ，当S △BCE =3时，求该双曲线的解析式，并求出此时点F 的坐标；②若双曲线(0)ky k x =>与矩形ABCD 各边和对角线BD 的交点个数为3，请直接写出k 的取值范围．19．如图①，在矩形ABCD 中，AB ＜AD ，对角线AC ，BD 相交于点O,动点P 由点A 出发，沿AB→BC→CD 向点D 运动，设点P 的运动路程为x ，△AOP 的面积为y ，y与x的函数关系图象如图②所示：（1）AD边的长为.（2）如图③，动点P到达点D后从D点出发，沿着DB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，以点P为圆心，PD长为半径的⊙P与DB、DC的另一个交点分别为M、N，与此同时，点Q从点C出发，沿着CD方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，以点Q为圆心、2为半径作⊙Q.设运动时间为t秒（0＜t≤5）.①当t为何值时，点Q与点N重合？②当⊙P与BC相切时，求点Q到BD的距离.20．已知：在矩形ABCD中，E为边BC上的一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF．如图1，现有一张硬纸片△GMN，∠NGM=900，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上．如图2，△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ．当点N到达终点B时，△GMNP和点同时停止运动．设运动时间为t秒，解答问题：（1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；（2）在整个运动过程中，是否存在点P ，使△APQ 是等腰三角形，若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由；（3）在整个运动过程中，设△GMN 与△AEF 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式以及自变量t 的取值范围．21．如图，直角三角形ABC ∆中，90 4 60ACB AC A ∠︒=∠︒＝，，＝，O 为BC 中点，将ABC ∆绕O 点旋转180︒得到DCB ∆.一动点P 从A 出发，以每秒1的速度沿A B D →→的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM AC ⊥.（1）当点P 运动2秒时，另-动点Q 也从A 出发沿A-→B→D 的路线运动，且在AB 上以每秒1的速度匀速运动，在BD.上以每秒2的速度匀速运动，过Q 作直线QN 使//QN PM ，设点Q 的运动时间为t 秒，(0<t<10)直线PM 与QN 截四边形ABDC 所得图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值（2）当点P 开始运动的同时，另一动点R 从B 处出发沿B C D →→的路线运动，且在BC 上以每秒32的速度匀速运动，在CD 上以每秒2的速度匀度运动，是否存在这样的P,R ，使BPR ∆为等腰三角形？若存在，直接写出点P 运动的时间m 的值，若不存在请说明理由.22．如图，直线l ：243y x =-+分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，在OB 上取一点()01C ，，以线段BC 为边向右作正方形BCDE ，正方形BCDE 沿CD 的方向以每秒1个单位长度的速度向右作匀速运动，设运动时间为t 秒()0t >．（1）求A，B两点的坐标；（2）在正方形BCDE向右运动的过程中，若正方形BCDE的顶点落在直线l 上，求t的值；（3）设正方形BCDE两条对角线交于点P，在正方形向右运动的过程中，是否存在实数t，使得OP PA+有最小值？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．23．如图，A、B、C是数轴上的三点，O是原点，BO=3，AB=2BO，5AO=3CO．（1）写出数轴上点A、C表示的数；（2）点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，点N在线段CQ上，且CN=23CQ．设运动的时间为t（t>0）秒．①求数轴上点M、N表示的数（用含t的式子表示）；②t为何值时，M、N两点到原点的距离相等?24．一只蚂蚁在一个半圆形的花坛的周边寻找食物，如图1，蚂蚁从圆心O出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速爬完下列三条线路：（1）线段OA、（2）半圆弧AB、（3）线段BO后，回到出发点．蚂蚁离出发点的距离S（蚂蚁所在位置与O点之间线段的长度）与时间t之间的图象如图2所示，问：（注：圆周率π的值取3）（1）请直接写出：花坛的半径是米，a=．（2）当2t<时，求s与t之间的关系式；（3）若沿途只有一处有食物，蚂蚁在寻找到食物后停下来吃了2分钟，并知蚂蚁在吃食物的前后，始终保持爬行且爬行速度不变，请你求出：①蚂蚁停下来吃食物的地方，离出发点的距离．②蚂蚁返回O所用时间．答案解析部分1．【答案】（1）解：在Rt DEB 中，DE BE x ==，在Rt DEF 中，6EF BF BE x =-=-，60EDF ∠=︒tan EFEDF DE∠=∴6xx -=，解得 2.2x ≈将 2.2x ≈代入分式方程左边中得6 2.23.8=1.732.2 2.2-=≈故x 的长约为 2.2cm（2）解：由题意可知DE BE x ==，∴DE y x=又根据EF y 经过表中的那些点，所以取点，画图即可得到其图象.（3）解：如图所示，当△DEF 为等边三角形时，EF=DE∵∠B=45°，射线DE ⊥BC 于点E∴BE=EF∴EF=DE∴在(2)中EF y 与DE y 的交点横坐标即为BE 的长经测量可知 3.2x ≈∴BE 的长约为3.2.【解析】【分析】(1)由题意得出△ABC 为等腰直角三角形，结合DE ⊥BC ，得出BE=DE=x ，当点F 与点C 重合时，在Rt △DEF 中，EF=6-x ，∠EDF=60°，利用正切函数列构建方程求解即可；(2)根据△ABC 为等腰直角三角形，推出△BDE 为等腰直角三角形，则可求出y DE 与x 的函数关系并画出图象，根据表格提供的数据，并通过描点法画出在同一个平面直角坐标系中函数yEF 的图象；(3)根据等边三角形的性质得出EF=DE ，结合∠B=45°，DE ⊥BC ，得出BE=EF ，即y=x ，再根据y EF 与y DE 相交时，交点的横坐标即为BE 的长度，得出BE 的近似值.2．【答案】（1）45°（2）解：①∵//MN AC ，∴45BMN BAC ∠=∠=︒，45BNM BCA ∠=∠=︒，∴BMN BNM ∠=∠，∴BM BN =，又∵BA BC =，∴AM CN =，∵在OAM 和OCN 中，AM CNOAM OCN AO CO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS OAM OCN ∆ ≌，∴1()2AOM CON AOC MON ∠=∠=∠-∠1(9045)22.52︒=⨯-︒=︒，∴旋转过程中，当MN 和AC 平行时，正方形OABC 旋转的度数为4522.522.5︒-︒=︒.②MBN 的周长的值为2，且在正方形OABC 的旋转过程中不发生变化.理由如下：如图所示，延长BA 交y 轴于点E，则45AOE EOM AOM AOM ∠=∠-∠=︒-∠，∵904545CON AOC MON AOM AOM AOM ∠=∠-∠-∠=︒-︒-∠=︒-∠，∴AOE CON ∠=∠，又∵OA OC =，1809090OAE OCN ∠=︒-︒=︒=∠，在OAE 和OCN 中，AOE CONOA OC OAE OCN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ASA OAE OCN ≌，∴OE ON =，AE CN =.在OME 和OMN 中，OE ONEOM NOM OM OM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS OME OMN ≌，∴MN ME AM AE ==+.∴MN AM CN =+，∴MBN 的周长为2MN BN BM AM CN BN BM AB BC ++=+++=+=.∴在正方形OABC 的旋转过程中，MBN 的周长不发生变化.【解析】【解答】解：（1）∵A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转，直线y x =与y轴的夹角是45 ，∴OA旋转了45°；【分析】（1）根据直线y=x图象上点的特点，得出线y=x与y轴的夹角是45°，即可得出求得边OA旋转的角度；（2）①利用SAS得出全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数，即可得出答案；②利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子即可.3．【答案】（1）AC；CD；FD（2）解：函数图象如图所示：（3）3.5cm＜x＜5cm【解析】【解答】解：（1）由题意可知：AC是自变量，CD，DF是自变量AC的函数．故答案为：AC，CD，FD．（3）观察图象可知CD＞DF时，3.5cm＜x＜5cm．故答案为：3.5cm＜x＜5cm．【分析】（1）根据函数的定义可得结论；（2）利用描点法画出函数图象即可；（3）利用图象法，观察图象写出函数CD的图象在函数DF的图象上方时，自变量的取值范围即可。
中考数学动点的函数图像含详细答案
2019年中考数学总复习专题题型复习题型一几何问题中的函数图象针对演练1. (青海)如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止(不含点A和点B)，则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致为( )2. (资阳)如图，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O 的路线匀速运动，设∠APB＝y(单位：度)，那么y与P运动的时间x(单位：秒)的关系图是( )3. 如图，正方形ABCD的顶点A(0，22)，B(22，0)，顶点C，D位于第一象限，直线l：x＝t，(0≤t≤2)将正方形ABCD分成两部分，设位于直线l左侧部分(阴影部分)的面积为S，则函数S与t的图象大致是( )4. (泰安)如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点(不与点B、C重合)，且∠APD＝60°，PD交AB于点D.设BP＝x，BD＝y，则y关于x的函数图象大致是( )5. 如图，正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的点，且AE ＝BF＝CG＝DH.设小正方形EFGH的面积为y，AE＝x，则y关于x的函数图象大致是( )6. 如图，等边△ABC的边长为2 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点C移动，同时点Q从点A出发，以1 cm/s的速度沿A→B→C的方向向点C移动，若△APQ的面积为S(cm2)，则下列最能反映S(cm2)与移动时间t(s)之间函数关系的大致图象是( )7. 如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点(点C不与点A，B重合)，AB＝4.设弦AC的长为x，△AB C的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是( )8. (鄂州)如图，O是边长为4 cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A 开始沿折线A—B—M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1 cm/s，设P点的运动时间为t(s)，点P的运动路径与OA，OP所围成的图形面积为S(cm2)，则描述面积S(cm2)与时间t(s)的关系的图象可以是( )9. (莆田)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在边AD上，∠ABE＝45°，BE＝DE，连接BD，点P在线段DE上，过点P作PQ∥BD交BE于点Q，连接QD，设PD＝x，△PQD的面积为y，则能表示y与x函数关系的图象大致是( )10. (钦州)如图，△ABC中，AB＝6，BC＝8，tan∠B＝43.点D是边BC上的一个动点(点D与点B不重合)，过点D作DE⊥AB，垂足为E，点F是AD的中点，连接EF.设△AEF的面积为y，点D从点B沿BC运动到点C的过程中，D与B的距离为x，则能表示y与x的函数关系的图象大致是( )11. 如图，两个等腰Rt△ABC、Rt△DEF的斜边都为4 2 cm，点D、M分别是AB、AC 边上的中点，DE与AC(或BC)交于点P，当点P从点M出发以1 cm/s的速度沿M→C运动至点C后又立即沿C→B运动至点B结束．若运动时间为t(单位：s)，Rt△ABC和Rt△DEF重叠部分的面积为y(单位：cm2)，则y关于t的图象大致是( )12. 如图，在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P、Q同时从顶点A出发，点P沿A→B→C→D方向以2 cm/s的速度前进，点Q沿A→D方向以1 cm/s的速度前进，当Q到达点D时，两个点随之停止运动．设运动时间为x s，P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面积为y(单位：cm2)，则y与x的函数图象大致是( )13. (天水)如图，边长为2的等边△ABC和边长为1的等边△A′B′C′，它们的边B′C′，BC位于同一条直线l上，开始时，点C′与B重合，△ABC固定不动，然后把△A′B′C′自左向右沿直线l平移，移出△ABC外(点B′与C重合)停止，设△A′B′C′平移的距离为x，两个三角形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象是( )【答案】1．B 【解析】当点P 在AD 上时，△ABP 的底边AB 不变，高增大，所以△ABP 的面积S 随着时间t 的增大而增大；当点P 在DE 上时，△ABP 的底边AB 不变，高不变，所以△ABP 的面积S 不变；当点P 在EF 上时，△ABP 的底边AB 不变，高减小，所以△ABP 的面积S 随着时间t 的增大而减小；当点P 在FG 上时，△ABP 的底边AB 不变，高不变，所以△ABP 的面积S 不变；当点P 在GB 上时，△ABP 的底边AB 不变，高减小，所以△ABP 的面积S 随着时间t 的增大而减小．故选B.2．B 【解析】当点P 在点O 处时，∠APB ＝∠AOB ＝90°，当点P 沿OC 运动到点C 时，∠APB ＝12∠AOB ＝45°；当点P 在CD ︵上运动时，∠APB ＝12∠AOB ＝45°；当点P 沿DO 运动到点O 时，∠APB 从45°增大到90°.结合选项可知B 选项符合．3．C 【解析】根据图形知道，当直线l ：x ＝t 在BD 的左侧时，S ＝t 2，当直线l ：x ＝t 在BD 右侧时，S ＝－(t －2)2＋1，结合选项，只有选项C 符合．4．C 【解析】∵∠APC 是△ABP 的外角，∴∠APC ＝∠PAB ＋∠B ，同理∠BDP ＝∠PAB ＋∠APD ，又∵∠B ＝∠APD ，∴∠APC ＝∠BDP ，∵∠B ＝∠C ＝60°，∴△BDP ∽△CPA ，∴BP AC＝BD PC ，即x 4＝y 4－x ，整理得，y ＝－14x 2＋x ，故选C. 5．C 【解析】依题意，得y ＝S 正方形ABCD－S △AEH －S △BEF －S △CFG －S △DGH ＝1－4×12(1－x )x ＝2x 2－2x ＋1，即y ＝2x 2－2x ＋1(0≤x ≤1)，抛物线开口向上，对称轴为x ＝12，故选C.6．C 【解析】当0≤t ≤2时，S ＝12·t ·sin60°·t ＝34t 2，此函数抛物线开口向上，且函数图象为抛物线右侧的一部分；当2＜t ≤4时，S ＝12×2·sin60°(4－t )＝－32t ＋23，此函数图象是直线的一部分，且S 随t 的增大而减小．所以符合题意的函数图象只有C.7．B 【解析】∵AB ＝4，AC ＝x ，∴BC ＝AB 2－AC 2＝16－x 2，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12x 16－x 2，∵此函数不是二次函数，也不是一次函数，∴排除A 、C ，∵AB 为定值，当OC ⊥AB 时，△ABC 面积最大，此时AC ＝22，即当x ＝22时，y 最大，故排除D ，选B.8．A 【解析】根据题意，当0＜t ≤4时，S ＝12×AP ×AD 2＝12×t ×42＝t ，面积S 随时间t 的增大而增大；当4＜t ≤6时，S ＝S 四边形ABMO －S ΔMOP ＝12×(2＋4)×2－12×(6－t )×2＝t ，因此S 始终是t 的正比例函数，故选A.9．C 【解析】∵∠ABE ＝45°，∠A ＝90°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AE ＝AB ＝2，∴BE ＝2AB ＝22，∵BE ＝DE ，PD ＝x ，∴PE ＝DE －PD ＝22－x ，∵PQ ∥BD ，BE ＝DE ，∴QE ＝PE ＝22－x ，又∵△ABE 是等腰直角三角形，∴点Q 到AD 的距离为22(22－x )＝2－22x ，∴y ＝12x (2－22x )＝－24(x 2－22x ＋2)＋22＝－24(x －2)2＋22，结合选项，只有C 选项符合．10．B 【解析】∵BD ＝x ，DE ⊥AB ，tan ∠B ＝43，∴在Rt △BED 中，BE ＝35x ，DE ＝45x ，∵AB ＝6，∴AE ＝6－35x ，又∵点F 为AD 的中点，∴S △AEF ＝12S △ADE ＝12×12AE ·DE ，∴y ＝S △AEF ＝14×(6－35x )×45x ，化简得y ＝－325x 2＋65x (0＜x ≤8)，∴y 与x 的函数关系式为开口向下的二次函数，且自变量x 的取值范围为0＜x ≤8，结合题中给出的选项，只有选项B 符合． 11 C 【解析】如解图，连接DM ，过点D 作DH ⊥BC 于点H ，记DF 与BC 相交于点N ，∵点D 、M 分别是AB ，AC 边的中点，∴DM ＝12BC ＝2 cm ，MC ＝12AC ＝2 cm ，∴DM ＝MC ，∴四边形DMCH 为正方形，∴DH ＝DM ，又∵∠NDH ＋∠HDP ＝90°，∠HDP ＋∠PDM ＝90°，∴∠NDH ＝∠PDM ，第11题解图∴△DNH ≌△DPM .①当点P 从点M 出发，沿M→C 运动时，即0≤t ＜2时，y ＝S △DNH ＋S 四边形DHCP ＝S △DPM ＋S 四边形DHCP ＝S 正方形DMCH ＝4 cm 2；②当点P 运动至点C 时，即t ＝2时，y ＝S △DBC ＝4cm 2; ③当点P 从点C 出发沿C →B 运动至B 处时，即2＜t ≤6时，y ＝S △DBP ＝12×BP ·DH ＝12(6－t )×2＝6－t ，可知y 是t 的一次函数，故选C.12．A 【解析】当点P 在AB 上时，即0≤x ≤3时，P 、Q 经过的路径与线段PQ 围成的图形的面积＝12x ×3x ＝32x 2；当点P 在BC 上时，即3＜x ≤9时，P 、Q 经过的路径与线段PQ 围成的图形的面积＝12×3×33＋12(2x －6＋x －3)×33＝932x －93，y 随x 的增大而增大；当点P 在CD 上时，即9＜x ≤12时，P 、Q 经过的路径与线段PQ 围成的图形的面积＝12×33－12(12－x )(123－3x )＝－32x 2＋123x －36 3.综上，选项A 符合题意． 13．B 【解析】由题意知：在△A′B′C′移动的过程中，阴影部分总为等边三角形．当0≤x ≤1时，重合部分边长为x ，此时y ＝12x ×32x ＝34x 2；当1＜x ≤2时，重合部分为△A′B′C′，此时y ＝12×1×32＝34；当2＜x ≤3时，重合部分边长为3－x ，此时y ＝12(3－x )×32(3－x )＝34(3－x )2.由以上分析可知，这个分段函数的图象左边为开口向上的抛物线的一部分，中间为直线y ＝34的一部分，右边为开口向上的抛物线的一部分，且顶点为(3，0)，最高点为(2，34)，结合选项中的图象可知，选项B 符合．。
动点问题的函数图象
【考点精讲】动点问题是中考的常考点，对于解决动点问题中，点动会牵扯到线动、面动，解决这类题目要“以静制动”，即把动态的问题转化为静态问题来解决，一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变。
而对于动点问题的图象问题的解决，要抓住图形中的关键点，例如与x 轴、y 轴的交点，图象上的转折点、图象中与x 轴、y 轴平行的线等图象。
【典例精析】例题1 （贵州贵阳中考）如图，在直径为AB 的半圆O 上有一动点P 从A 点出发，按顺时针方向绕半圆匀速运动到B 点，然后再以相同的速度沿着直径回到A 点停止，线段OP 的长度d 与运动时间t 之间的函数关系用图象描述大致是（ ）（A ． Ｂ． C ． D ．思路导航：情境分三段，点P 在圆周上、在OB 上，在AO 上，因此图象分三段，根据在每一段上线段OP 的长度d 随运动时间t 的变化来确定。
答案：点P 在圆周上时，d 不随t 的变化而变化，故第一段图象平行x 轴，点P 在OB 上，d 随t 的增加而减小，直到0，故此段图象呈下降趋势，点P 在AO 上，d 随t 的增加而增大，直到增加到半径的长度，即与第一段图象齐平，故选A 。
点评：先根据运动过程理解函数与自变量的变化规律以及分段情况，然后对照所给图象找到满足问题情境变化的规律。
注意弄清函数图象中横轴和纵轴意义，以及每段图象的起始点。
例题2 矩形ABCD 中，AB ＝20cm ，BC ＝10cm ，有一点P 沿着矩形从A 向B 再向C 以2cm/s 的速度移动。
（1）求△APC 的面积S 与时间t 的函数解析式，并指出自变量的取值范围。
（2）当面积为20cm2时，求点P的位置。
思路导航：△APC的面积为12AP BC⋅或12AP AB⋅，只要利用含t的代数式表示AP和PC即可。
答案：解：（1）1210(010)21(302)20(1015) 2t tSt t⎧⨯⨯<≤⎪⎪=⎨⎪⨯-⨯<<⎪⎩，化简得：10(010)30020(1015)t tSt t<≤⎧=⎨-<<⎩。
2022中考中考：与动点有关的函数图像问题专题
中考总复习 与动点有关的函数图像问题 专项训练一、单选题1．如图，正方形ABCD 的边长为2，动点P 从点B 出发，在正方形的边上沿B C D →→的方向运动到点D 停止，设点P 的运动路程为x ，在下列图象中，能表示PAD △的面积y 关于x 的函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，在Rt ABC 中，∠C =90°，AC =1cm ，BC =2cm ，点P 从A 出发，以1cm/s 的速沿折线AC →CB →BA 运动，最终回到A 点．设点P 的运动时间为x (s)，线段AP 的长度为y (cm)，则能反映y 与x 之间函数关系的图像大致是（ ）A ．B ．B ．C ．D ．3．如图，菱形ABCD 的边长为2，30B ∠=︒，动点P 从点B 出发，沿B C D --的路线向点D 运动.设ABP ∆的面积为y (B 、P 两点重合时，ABP ∆的面积可以看作0)，点P 运动的路程为x ，则y 与x 之间函数关系的图像大致为( )A ．B ．C ．D ．4．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝8 cm ，AB ＝6 cm ．动点E 从点C 开始沿边CB 向终点B 以2 cm/s 的速度运动，同时动点F 从点C 出发沿边CD 向点D 以1 cm/s 的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE ，设运动时间为x （单位：s ），此时矩形ABCD 去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y （单位：cm 2），则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，在Rt OAB 中，OA AB =，90OAB ∠=︒，点P 从点O 沿边OA 、AB 匀速运动到点B ，过点P 作PC OB ⊥交OB 于点C ，线段22AB =OC x =，POC S y =△，则能够反映y 与x 之间函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，等腰()90Rt ABC ACB ∠=的直角边与正方形DEFG 的边长均为2，且AC 与DE 在同一直线上，开始时点C 与点D 重合，让ABC 沿这条直线向右平移，直到点A 与点E 重合为止．设CD 的长为x ，ABC 与正方形DEFG 重合部分(图中阴影部分)的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，在矩形 ABCD 中，AB =2a ，AD =a ，矩形边上一动点 P 沿 A →B →C →D 的路径移动．设点 P 经过的路径长为 x ，PD 2=y ，则下列能大致反映 y 与 x 的函数关系的图象是（）A．B．C．D．8．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝4，BD＝6，点P是线段BD上的任一点，过点P 作直线EF∥AC，设BP＝x，直线EF在平行四边形内部的线段长为y，则能反映y与x之间关系的图象为（）A．B．C．D．9．如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．10．已知正ABC的边长为2，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE=BF=CG，设EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．11．如图，A是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB．点P从A点出发，在⊙O上以每秒一个的速度匀速单位运动：回A点运动结束．设运动时间为x，弦BP长为y，那么图象中可能表示数关y与x的函数关系的是（）A．①B．②C．①或④D．③或④12．如图，点A在x轴上，点B，C在反比例函数y＝kx（k＞0，x＞0）的图象上．有一个动点P从点A出发，沿A→B→C→O的路线（图中“→”所示路线）匀速运动，过点P作PM⊥x 轴，垂足为M，设△POM的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．13．如图，平行四边形ABCD的周长为16，∠B＝60°，设AB的长为x，平行四边形ABCD 的面积为y，则表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．14．如图，在边长为4的正方形纸片ABCD中，从边CD上剪去一个矩形EFGH，且有EF＝DH＝CE＝1cm，FG＝2cm，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．以AP为边在AP的下方做正方形AQKP，设点P运动时间为t（s），正方形AQKP和纸片重叠部分的面积为S（cm2），则S与t之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．15．如图直线a，b都与直线m垂直，垂足分别为M、N，MN＝1，等腰直角△ABC的斜边，AB在直线m上，AB＝2，且点B位于点M处，将等腰直角△ABC沿直线m向右平移，直到点A与点N重合为止，记点B平移平移的距离为x，等腰直角△ABC的边位于直线a，b之间部分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．16．如图，矩形ABCD 中，边AD AB >，E 为边AD 上任意一点，点P ，Q 同时从点B 出发，点P 沿折线BE ED DC --运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是每秒1个单位．设P ，Q 同时出发t 秒时，BPQ ∆的面积为y ．则下列反映y 与t 的函数关系的大致图象可能正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．17．如图，Rt ABC 中，90C ∠=︒，5cm AB =，4cm AC =，点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿A C →向点C 运动，同时点Q 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿A B C →→向点C 运动，直到它们都到达点C 为止．线段PQ 的长度为y （cm ），点P 的运动时间为t （s ），则y 与t 的函数图象是（ ）A ．B ．C ．D ．18．如图，点C 是以点O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点（点C 不与点A ，B 重合），∆的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系4AB=．设弦AC的长为x，ABC的图象大致是（）A．B．C．D．19．如图，P为正六边形ABCDEF边上一动点，点P从点D出发，沿六边形的边以1cm/sx，以点P、C、D为的速度按逆时针方向运动，运动到点C停止．设点P的运动时间为()sy，则下列图像能大致反映y与x的函数关系的是（）顶点的三角形的面积是()2cmA．B．C．D．20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝8，点P是AB边上直面的一个动点，过点P作PD⊥AB交直角边于点D，设AP为x，△APD的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．静夜思[ 唐] 李白原文译文对照床前明月光，疑是地上霜。
动点问题的函数图象-初中数学习题集含答案
动点问题的函数图象（北京习题集）（教师版）一．选择题（共3小题）1．（2019秋•西城区期末）如图，5AB =，O 是AB 的中点，P 是以点O 为圆心，AB 为直径的半圆上的一个动点（点P 与点A ，B 可以重合），连接PA ，过P 作PM AB ⊥于点M ．设AP x =，AP AM y -=，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．2．（2019秋•房山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以(3,0)为圆心作P ，P 与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于点(0,2)C ，Q 为P 上不同于A 、B 的任意一点，连接QA 、QB ，过P 点分别作PE QA ⊥于E ，PF QB ⊥于F ．设点Q 的横坐标为x ，22PE PF y +=．当Q 点在P 上顺时针从点A 运动到点B 的过程中，下列图象中能表示y 与x 的函数关系的部分图象是( )A ．B ．C．D．3．（2019•顺义区一模）如图，点A、C、E、F在直线l上，且2EF=，四边形ABCD，EFGH，EFNMAC=，1均为正方形，将正方形ABCD沿直线l向右平移，若起始位置为点C与点E重合，终止位置为点A与点F重合．设点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于矩形MNGH内部的长度为y，则y与x的函数图象大致为()A．B．C．D．二．填空题（共3小题）4．（2019秋•海淀区校级月考）如图1，点O为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处，小宇操作机器人以每秒1个单位长度的速度在图1中给出的线段路径上运行，他将机器人运行的时间设为t秒，机器人到点A的距离设为y，得到的函数图象如图2．通过观察函数图象，可以得到下列推断：①机器人一定经过点D ； ②机器人一定经过点E ；③当3t =时，机器人一定位于点O ；④存在符合图2的运行路线，使机器人能够恰好经过六边形的全部6个顶点； 其中正确的是 （填序号）．5．（2016秋•西城区校级期中）小阳在如图1所示的扇形舞台上沿O M N --匀速行走，他从点O 出发，沿箭头所示的方向经过点M 再走到点N ，共用时70秒．有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小阳的走路过程，设小阳走路的时间为t （单位：秒），他与摄像机的距离为y （单位：米），表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2，则这个固定位置可能是图1中的点 （在点P 、N 、Q 、M 、O 中选取）．6．（2016春•西城区期末）如图，在ABC ∆中，点P 从点A 出发向点C 运动，在运动过程中，设x 表示线段AP 的长，y 表示线段BP 的长，y 与x 之间的关系如图2所示，则线段AB 的长为 ，线段BC 的长为 ．三．解答题（共9小题）7．（2020春•海淀区校级月考）如图1，在ABC ∆中，点D 是线段BC 上的动点，将线段AD 绕点D 逆时针旋转90︒得到线段DE ，连接BE ．若已知8BC cm =，设B ，D 两点间的距离为xcm ，A ，D 两点间的距离为1y cm ，B ，E 两点距离为2y cm ．小明根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随x 的变化而变化的规律进行了探究，请补充完整．下面是小明的探究过程的几组对应值．（1）按照下表中自变量x 的值进行取点画图，测量分别得到了与x 的几组对应值如下表：（说明补全表格时相关数值保留一位小数） /x cm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1/y cm 7.036.20 5.44 4.76 4.21 3.85 3.73 3.87 4.26 2/y cma5.664.32b1.971.592.273.434.73（2）在同一平面直角坐标系xoy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点1(,)x y ，2(,)x y ，并画出函数1y ，2y 的图象；（3）结合函数图象（如图2)，解决问题： ①当E 在线段BC 上时，BD 的长约为 cm ； ②当BDE ∆为等腰三角形时，BD 的长x 约为 cm ．8．（2019秋•通州区期末）如图1，在钝角ABC ∆中，点P 为BC 上的一个动点，连接PA ，将射线PA 绕点P 逆时针旋转60︒，交线段AB 于点D ．已知30C ∠=︒，23CA cm =，7BC cm =，设B ，P 两点间的距离为xcm ，A ，D 两点间的距离ycm ．小牧根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小牧探究的过程，请补充完整：（1）根据图形．可以判断此函数自变量x 的取值范围是 ；（2）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如表： /x cm⋯ 0.51 1.02 1.91 3.47 34.16 4.47 ⋯ /y cm⋯3.973.222.421.66a2.022.50⋯通过测量．可以得到a 的值为 ；（3）在图2平面直角坐标系xOy 中．描出表中以各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （4）结合画出的函数图象，解决问题：当 3.5AD cm =时，BP 的长度约为 cm ．9．（2019秋•朝阳区期末）如图，在矩形ABCD 中，E 是BA 延长线上的定点，M 为BC 边上的一个动点，连接ME ，将射线ME 绕点M 顺时针旋转76︒，交射线CD 于点F ，连接MD ．小东根据学习函数的经验，对线段BM ，DF ，DM 的长度之间的关系进行了探究． 下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）对于点M 在BC 上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM ，DF ，DM 的长度的几组值，如下表：位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 /BM cm 0.00 0.53 1.00 1.69 2.17 2.96 3.46 3.79 4.00 /DF cm 0.00 1.00 1.74 2.49 2.69 2.21 1.14 0.00 1.00 /DM cm4.123.613.162.522.091.441.141.021.00在BM ，DF ，DM 的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当2DF cm =时，DM 的长度约为 cm ．10．（2020•西城区校级模拟）如图1，P 是矩形ABCD 内部的一定点，M 是AB 边上一动点，连接MP 并延长与矩形ABCD 的一边交于点N ，连接AN ．已知6AB cm =，设A ，M 两点间的距离为xcm ，M ，N 两点间的距离为1y cm ，A ，N 两点间的距离为2y cm ．小欣根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小欣的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值；/x cm 0 1 2 3 4 5 6 1/y cm 6.30 5.40 4.22 3.13 3.25 4.52 2/y cm6.306.346.436.695.754.813.98（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出以补全后的表中各组对应值所对应的点1(,)x y ，并画出函数1y 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当AMN ∆为等腰三角形时，AM 的长度约为 cm ．11．（2019秋•房山区期末）如图，在正方形ABCD 中，5AB cm =，点E 在正方形边上沿B C D →→运动（含端点），连接AE ，以AE 为边，在线段右侧作正方形AEFG ，连接DF 、DG ．小颖根据学习函数的经验，在点E 运动过程中，对线段AE 、DF 、DG 的长度之间的关系进行了探究． 下面是小颖的探究过程，请补充完整：（1）对于点E 在BC 、CD 边上的不同位置，画图、测量，得到了线段AE 、DF 、DG 的长度的几组值，如下表：位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 /AE cm 5.00 5.50 6.00 7.07 5.99 5.50 5.00 /DF cm5.00 3.55 3.72 5.00 3.71 3.55 5.00 /DG cm0.002.303.315.005.285.697.07在AE 、DF 和DG 的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数． （2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象：（3）结合函数图象，解决问题：当GDF ∆为等腰三角形时，AE 的长约为 ．12．（2019春•西城区期末）如图1，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，4AC cm =，2BD cm =，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，点P 是对角线AC 上的一个动点，设AP xcm =，1PE y cm =，2PF y cm =．小明根据学习函数的经验，分别对这两种函数随自变量的变化而变化的情况进行了探究，下面是小明探究过程，请补充完整：（1）画函数1y 的图象①按表中自变量的值进行取点、画图、测量，得到了1y 与x 的几组对应值：/x cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 1/y cm1.120.50.711.121.582.062.553.04②在图2所给坐标系中描出补全后的表中的各对应值为坐标的点，画出函数1y 的图象； （2）画函数2y 的图象，在同一坐标系中，画出函数2y 的图象； （3）根据画出的函数1y 的图象、函数2y 的图象，解决问题 ①函数1y 的最小值是 ；②函数1y 的图象与函数2y 的图象的交点表示的含义是 ； ③若PE PC =，AP 的长约为 cm13．（2019•怀柔区模拟）如图1，在直角梯形ABCD 中，动点P 从B 点出发，沿B C D A →→→匀速运动，设点P 运动的路程为x ，ABP ∆的面积为y ，图象如图2所示． （1）在这个变化中，自变量、因变量分别是 、 ； （2）当点P 运动的路程4x =时，ABP ∆的面积为y = ； （3）求AB 的长和梯形ABCD 的面积．14．（2019•朝阳区校级一模）如图，半圆O 的直径5AB cm =，点M 在AB 上且1AM cm =，点P 是半圆O 上的动点，过点B 作BQ PM ⊥交PM （或PM 的延长线）于点Q ．设PM xcm =，BQ ycm =．（当点P 与点A 或点B 重合时，y 的值为0)小石根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如表： /x cm1 1.52 2.53 3.54 /y cm3.73.83.32.5（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当PBM∆的面积为1时，PM的长度约为cm．15．（2019春•海淀区校级期末）如图，40∠的角平分线PD交AOB∠=︒，点C在OA上，点P为OB上一动点，CPB射线OA于D．设OCP∠的度数为y︒．∠的度数为x︒，CDP小明对x与y之间满足的等量关系进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整；（1）x的取值范围是；（2）按照表中x的值进行取点、画图、计算，分别得到了y与x的几组对应值，补全表格；x︒5060708090y︒5（3）在平面直角坐标系xOy中，①描出表中各组数值所对应的点(,)x y；②描出当120x=︒时，y的值；（4）若AOBα∠=︒，题目中的其它条件不变，用含α、x的代数式表示y为．动点问题的函数图象（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2019秋•西城区期末）如图，5AB =，O 是AB 的中点，P 是以点O 为圆心，AB 为直径的半圆上的一个动点（点P 与点A ，B 可以重合），连接PA ，过P 作PM AB ⊥于点M ．设AP x =，AP AM y -=，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【分析】连接BP ，根据圆周角定理得到90APB ∠=︒，证明AMP APB ∆∆∽，根据相似三角形的性质得到215AM x =，得到215y x x =-，根据二次函数的图象判断．【解答】解：连接BP ，AB 为圆的直径，90APB ∴∠=︒，PM AB ⊥，90AMP ∴∠=︒，APB AMP ∴∠=∠，又A A ∠=∠， AMP APB ∴∆∆∽，∴AM AP AP AB =，即5AM xx =，解得，215AM x =，21(05)5y x x x ∴=-，故选：A ．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用圆周角定理得到90ACB ∠=︒．2．（2019秋•房山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以(3,0)为圆心作P ，P 与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于点(0,2)C ，Q 为P 上不同于A 、B 的任意一点，连接QA 、QB ，过P 点分别作PE QA ⊥于E ，PF QB ⊥于F ．设点Q 的横坐标为x ，22PE PF y +=．当Q 点在P 上顺时针从点A 运动到点B 的过程中，下列图象中能表示y 与x 的函数关系的部分图象是( )A ．B ．C ．D ．【分析】连接PC ．根据勾股定理求得213PC =，即圆的半径的平方13=；根据三个角是直角的四边形是矩形，得矩形PEQF ，则PE QF =，根据垂径定理，得QF BF =，则22222PE PF BF PF PC y +=+==，从而判断函数的图象． 【解答】解：连接PC ．C，P，(0,2)(3,0)213PC∴=．AC是直径，∴∠=︒．Q90又PE QA⊥于F，⊥于E，PF QB∴四边形PEQF是矩形．∴=．PE QF⊥于F，PF QB∴=．QF BF∴=．AE BF2222213∴=+=+==．y PE PF BF PF PC故选：A．【点评】此题综合运用矩形的判定和性质、垂径定理求得y的值，常数函数是平行于坐标轴的一条直线．3．（2019•顺义区一模）如图，点A、C、E、F在直线l上，且2EF=，四边形ABCD，EFGH，EFNMAC=，1均为正方形，将正方形ABCD沿直线l向右平移，若起始位置为点C与点E重合，终止位置为点A与点F重合．设点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于矩形MNGH内部的长度为y，则y与x的函数图象大致为()A．B．C ．D ．【分析】根据题意可以分析出各段的函数图象，从而可以解答本题． 【解答】解：由题意可得，点C 从点E 运动到点F 的过程中，y 随x 的增大而增大，函数解析式为222sin 45xy x =⨯=︒，函数图象是一条线段， 当点D 从点H 运动到点G 的过程中，y 随x 的增大不会发生变化，此过程函数图象是一条线段， 当点A 从点E 运动到点F 的过程中，y 随x 的增大而减小，函数图象是一条线段， 故选：A ．【点评】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 二．填空题（共3小题）4．（2019秋•海淀区校级月考）如图1，点O 为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处，小宇操作机器人以每秒1个单位长度的速度在图1中给出的线段路径上运行，他将机器人运行的时间设为t 秒，机器人到点A 的距离设为y ，得到的函数图象如图2．通过观察函数图象，可以得到下列推断： ①机器人一定经过点D ； ②机器人一定经过点E ；③当3t =时，机器人一定位于点O ；④存在符合图2的运行路线，使机器人能够恰好经过六边形的全部6个顶点； 其中正确的是 ①③ （填序号）．【分析】①所有点中，只有点D 到A 距离为2个单位，即可求解；②因为机器人可能在F 点或B 点出发，当从B 出发时，不经过点E ，即可求解． ③当3t =时，机器人距离点A 距离为1个单位长度，机器人一定位于点O ，即可求解； ④由②知，机器人不经过点E ，即可求解．【解答】解：由图象可知，机器人距离点1A 个单位长度，可能在F 或B 点，则正六边形边长为1； ①所有点中，只有点D 到A 距离为2个单位，故①正确；②因为机器人可能在F点或B点出发，当从B出发时，不经过点E，故②错误．③观察图象t在34t=时，机器人距离点A距离为-之间时，图象具有对称性则可知，机器人在OB或OF上，则当31个单位长度，机器人一定位于点O，故③正确；④由②知，机器人不经过点E，故④错误；故答案为：①③．【点评】本题为动点问题的函数图象探究题，解答时要注意动点到达临界前后时图象的变化趋势．5．（2016秋•西城区校级期中）小阳在如图1所示的扇形舞台上沿O M N--匀速行走，他从点O出发，沿箭头所示的方向经过点M再走到点N，共用时70秒．有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小阳的走路过程，设小阳走路的时间为t（单位：秒），他与摄像机的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2，则这个固定位置可能是图1中的点P（在点P、N、Q、M、O中选取）．【分析】根据图1和图2，分别就点P、N、Q、M、O讨论，找哪一个点与图2符合即可作出判断．【解答】解：①如果固定位置在点O，开始应该是在原点，而图2开始是y轴的正半轴，所以不可能是O；②如果固定位置在点M或N，那么是运动过程中，一定有一处是0y=，而图2中没有这样的点，所以不可能是M 或N；③如果固定位置在点Q，则从O到M，是先y随t的增大而减小，再是y随t的增大而增大，而图2中，前面都是y随t的增大而减小，所以不可能是Q；④如果固定位置在点P，则从O到M是：y随t的增大而减小，且从M到N的圆弧的中点时，y随t的增大而减小，最后由中点到N是y随t的增大而增大，所以点P符合，则这个固定位置可能是图1中的点P；故答案为：P．【点评】本题主要考查了函数的图象，根据排查法和函数图象的基本特点解决此题．6．（2016春•西城区期末）如图，在ABC∆中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图2所示，则线段AB的长为2，线段BC的长为．【分析】如图1中，作BE AC ⊥于E ，由图2可知，2AB =，1AE =，4AC =，3EC =，在Rt ABE ∆，Rt BEC ∆中利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图1中，作BE AC ⊥于E ．由图2可知，2AB =，1AE =，4AC =，3EC =， 在Rt ABE ∆中，90AEB ∠=︒，2222213BE AB AE ∴=-=-，在Rt BEC ∆中，2222(3)323BC EB EC ++=． 故答案分别为2，3【点评】本题考查动点问题的函数图象、勾股定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 三．解答题（共9小题）7．（2020春•海淀区校级月考）如图1，在ABC ∆中，点D 是线段BC 上的动点，将线段AD 绕点D 逆时针旋转90︒得到线段DE ，连接BE ．若已知8BC cm =，设B ，D 两点间的距离为xcm ，A ，D 两点间的距离为1y cm ，B ，E 两点距离为2y cm ．小明根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随x 的变化而变化的规律进行了探究，请补充完整．下面是小明的探究过程的几组对应值．（1）按照下表中自变量x 的值进行取点画图，测量分别得到了与x 的几组对应值如下表：（说明补全表格时相关数值保留一位小数） /x cm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1/y cm 7.036.20 5.44 4.76 4.21 3.85 3.73 3.87 4.26 2/y cma5.664.32b1.971.592.273.434.73（2）在同一平面直角坐标系xoy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点1(,)x y ，2(,)x y ，并画出函数1y ，2y 的图象；（3）结合函数图象（如图2)，解决问题： ①当E 在线段BC 上时，BD 的长约为 6 cm ； ②当BDE ∆为等腰三角形时，BD 的长x 约为 cm ． 【分析】（1）当0x =时，7.037.0a AD ==≈，即可求解； （2）描点即可；（3）①当E 在线段BC 上时，即：12x y y =+；②分BE DE =、BE BD =、DE BE =三种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）当0x =时，7.037.0a AD ==≈， 3.0b =； （2）描绘后表格如下图：（3）①当E 在线段BC 上时，即：12x y y =+， 从图象可以看出，当6x =时，126y y +=， 故答案为6；②当BE DE =时，即：12y y =，此时7.5x =或0， 故7.5x =；当BE BD =时，即：2y x =，在图上画出直线y x =，此时3x ≈；当DE BE =时，即：1y x =， 从上图可以看出 4.1x ≈； 故答案为：3或4.1或7.5．【点评】本题考查的是动点函数图象，此类题目通常在补全表格后，画出函数图象，依据图象求解相关问题，通常从图上上查阅的数值为近视值．8．（2019秋•通州区期末）如图1，在钝角ABC ∆中，点P 为BC 上的一个动点，连接PA ，将射线PA 绕点P 逆时针旋转60︒，交线段AB 于点D ．已知30C ∠=︒，23CA cm =，7BC cm =，设B ，P 两点间的距离为xcm ，A ，D 两点间的距离ycm ．小牧根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小牧探究的过程，请补充完整：（1）根据图形．可以判断此函数自变量x 的取值范围是 05x ； （2）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如表： /x cm⋯ 0.51 1.02 1.91 3.47 34.16 4.47 ⋯ /y cm⋯3.973.222.421.66a2.022.50⋯通过测量．可以得到a 的值为 ；（3）在图2平面直角坐标系xOy 中．描出表中以各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （4）结合画出的函数图象，解决问题：当 3.5AD cm =时，BP 的长度约为 cm ．【分析】（1）可以作AH BC ⊥于点H ，由30C ∠=︒，23CA =，易得3AH =，3CH =，当射线PA 绕点P 逆时针旋转60︒，交线段AB 于点D ，点D 与点B 重合时，60AP B ∠'=︒，进而可得x 的取值范围； （2）通过测量即可得结果；（3）根据表格数据在平面直角坐标系中即可画出图象；（4）结合画出的函数图象，当 3.5AD cm =时，即可得BP 的长度． 【解答】解：（1）根据题意，如图，作AH BC ⊥于点H ，30C ∠=︒，23CA =， 3AH ∴=，3CH =，当射线PA 绕点P 逆时针旋转60︒，交线段AB 于点D ， 点D 与点B 重合时， 60AP B ∠'=︒，3tan30313P H AH ∴'=︒=⨯=， 2CP CH P H ∴'=-'=， 30C ∠=︒， 30CAP ∴∠'=︒， 2P C P A ∴'='=， 725P B ∴'=-=，05x ∴；故答案为：05x ； （2）通过测量可得： 1.74a =．故答案为1.74；（3）如图所示：即为所求作的函数图象；（4）观察图象可知：当 3.5AD cm =时，BP 的长度约为0.78或者4.81． 故答案为：0.78或者4.81．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据表格数据准确画出图象．9．（2019秋•朝阳区期末）如图，在矩形ABCD 中，E 是BA 延长线上的定点，M 为BC 边上的一个动点，连接ME ，将射线ME 绕点M 顺时针旋转76︒，交射线CD 于点F ，连接MD ．小东根据学习函数的经验，对线段BM ，DF ，DM 的长度之间的关系进行了探究． 下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）对于点M在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM，DF，DM的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9BM cm0.000.53 1.00 1.69 2.17 2.96 3.46 3.79 4.00/DF cm0.00 1.00 1.74 2.49 2.69 2.21 1.140.00 1.00/DM cm 4.12 3.61 3.16 2.52 2.09 1.44 1.14 1.02 1.00/在BM，DF，DM的长度这三个量中，确定BM的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当2=时，DM的长度约为cm．DF cm【分析】（1）由函数的定义可得；（2）描点即可；（3）结合图象，即可求解．【解答】解：（1）由函数的定义可得：BM的长度是自变量，DF的长度和DM的长度都是这个自变量的函数，故答案为：BM，DF，DM；（2）如图所示．（3）由图象得到：当2=时，DM的长度约为2.98cm和1.35cm．DF cm【点评】本题考查的动点问题的函数图象，函数的作图，主要通过描点的方法作图，再根据题意测量出相应的长度．10．（2020•西城区校级模拟）如图1，P是矩形ABCD内部的一定点，M是AB边上一动点，连接MP并延长与矩形ABCD 的一边交于点N ，连接AN ．已知6AB cm =，设A ，M 两点间的距离为xcm ，M ，N 两点间的距离为1y cm ，A ，N 两点间的距离为2y cm ．小欣根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小欣的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值； /x cm 0 1 2 3 4 5 6 1/y cm 6.30 5.40 4.22 3.13 3.25 4.52 2/y cm6.306.346.436.695.754.813.98（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出以补全后的表中各组对应值所对应的点1(,)x y ，并画出函数1y 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当AMN ∆为等腰三角形时，AM 的长度约为 3.3或4.8或5.7 cm ． 【分析】（1）利用图象法解决问题即可． （2）利用描点法画出函数图象即可解决问题．（3）通过图象求出直线y x =与两个函数图象的交点坐标以及函数1y 与2y 的交点坐标即可解决问题． 【解答】解：（1）观察图象可知(2,4.80)D ， 故答案为4.80．（2）两个函数图象如图所示：（3）两个函数与直线y x =的交点为A ，B ，函数1y 与2y 的交点为C ， 观察图象可知：(3.3,3.3)A ，(4.8,4.8)B ，(5.7,4)C ． AMN ∴∆为等腰三角形时，AM 的值约为3.3或4.8或5.7．故答案为3.3或4.8或5.7．【点评】本题考查动点问题的函数图象，函数图象等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．11．（2019秋•房山区期末）如图，在正方形ABCD 中，5AB cm =，点E 在正方形边上沿B C D →→运动（含端点），连接AE ，以AE 为边，在线段右侧作正方形AEFG ，连接DF 、DG ．小颖根据学习函数的经验，在点E 运动过程中，对线段AE 、DF 、DG 的长度之间的关系进行了探究． 下面是小颖的探究过程，请补充完整：（1）对于点E 在BC 、CD 边上的不同位置，画图、测量，得到了线段AE 、DF 、DG 的长度的几组值，如下表：位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 /AE cm 5.00 5.50 6.00 7.07 5.99 5.50 5.00 /DF cm 5.00 3.55 3.72 5.00 3.71 3.55 5.00 /DG cm0.002.303.315.005.285.697.07在AE 、DF 和DG 的长度这三个量中，确定 DG 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数．（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象：（3）结合函数图象，解决问题：当GDF∆为等腰三角形时，AE的长约为．【分析】（1）根据已知条件结合观察表格数据即可得结论；（2）根据表格数据即可画出函数图象；（3）两个函数图象的交点即为当GDF∆为等腰三角形时，AE的长．【解答】解：（1）根据已知条件，观察表格数据可知：确定DG的长度是自变量，AE的长度和DF的长度都是这个自变量的函数．故答案为：DG、AE、DF；（2）如图即为函数图象；（3）观察图象可知：两个函数图象的交点或5.65即为当GDF ∆为等腰三角形时，AE 的长． 故答案为7.07或5.00或5.65．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据表格数据准确画出图象．12．（2019春•西城区期末）如图1，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，4AC cm =，2BD cm =，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，点P 是对角线AC 上的一个动点，设AP xcm =，1PE y cm =，2PF y cm =．小明根据学习函数的经验，分别对这两种函数随自变量的变化而变化的情况进行了探究，下面是小明探究过程，请补充完整：（1）画函数1y 的图象①按表中自变量的值进行取点、画图、测量，得到了1y 与x 的几组对应值： /x cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 1/y cm1.120.50.711.121.582.062.553.04②在图2所给坐标系中描出补全后的表中的各对应值为坐标的点，画出函数1y 的图象； （2）画函数2y 的图象，在同一坐标系中，画出函数2y 的图象；（3）根据画出的函数1y 的图象、函数2y 的图象，解决问题 ①函数1y 的最小值是 0.5 ；②函数1y 的图象与函数2y 的图象的交点表示的含义是 ； ③若PE PC =，AP 的长约为 cm 【分析】（1）①由函数的对称性即可求解； ②补全表格后即可绘出函数图象；（2）1y 、2y 关于2x =对称，即可描点得到2y 的图象； （3）①从图象可以看出1y 的最小值；②函数1y 的图象与函数2y 的图象的交点点P 到达点O 处； ③画出4y x =-，与1y 的交点，即可求解．【解答】解：（1）①由函数的对称性知，当0.5x =时，10.71y =； ②补全表格后描绘得到以下图象：（2）1y 、2y 关于2x =对称，故描点得到2y 的图象，如下：（3）①从图象可以看出函数1y 的最小值为：0.5， 故答案为0.5；②函数1y 的图象与函数2y 的图象的交点点P 到达点O 处， 故答案为：点P 到达点O 处；③PE PC =，即：14y PC AC x x ==-=-， 在图上画出直线:4l y x =-，直线l 与1y 的交点坐标为： 2.5x =， 1.58y =， 故答案为2.5．【点评】本题考查的是动点函数图象，此类题目通常通过补齐表格点的数值，画出函数图象，从函数图象上查看相应数据，题目灵活性大，对应变力有很高的要求．13．（2019•怀柔区模拟）如图1，在直角梯形ABCD 中，动点P 从B 点出发，沿B C D A →→→匀速运动，设点P 运动的路程为x ，ABP ∆的面积为y ，图象如图2所示． （1）在这个变化中，自变量、因变量分别是 x 、 ； （2）当点P 运动的路程4x =时，ABP ∆的面积为y = ； （3）求AB 的长和梯形ABCD 的面积．【分析】（1）依据点P 运动的路程为x ，ABP ∆的面积为y ，即可得到自变量和因变量； （2）依据函数图象，即可得到点P 运动的路程4x =时，ABP ∆的面积；（3）根据图象得出BC 的长，以及此时三角形ABP 面积，利用三角形面积公式求出AB 的长即可；由函数图象得出DC 的长，利用梯形面积公式求出梯形ABCD 面积即可． 【解答】解：（1）点P 运动的路程为x ，ABP ∆的面积为y ，∴自变量为x ，因变量为y ，故答案为：x ，y ；（2）由图可得，当点P 运动的路程4x =时，ABP ∆的面积为16y =， 故答案为：16；（3）根据图象得：4BC =，此时ABP ∆为16，∴1162AB BC =，即14162AB ⨯⨯=， 解得：8AB =；由图象得：945DC =-=，则()()114582622ABCD S BC DC AB =⨯⨯+=⨯⨯+=梯形．【点评】此题考查了动点问题的函数图象，弄清函数图象上的信息是解本题的关键．14．（2019•朝阳区校级一模）如图，半圆O 的直径5AB cm =，点M 在AB 上且1AM cm =，点P 是半圆O 上的动点，过点B 作BQ PM ⊥交PM （或PM 的延长线）于点Q ．设PM xcm =，BQ ycm =．（当点P 与点A 或点B 重合时，y 的值为0)小石根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如表： /x cm1 1.52 2.53 3.54 /y cm3.743.83.32.5（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当PBM ∆的面积为1时，PM 的长度约为 cm ．【分析】（1）当2x =时，PM AB ⊥，此时Q 与M 重合，4BQ BM ==，当4x =时，点P 与B 重合，此时0BQ =； （2）利用描点法画出函数图象即可；（3）根据直角三角形30度角的性质，求出2y =，观察图象写出对应的x 的值即可． 【解答】解：（1）当2x =时，PM AB ⊥，此时Q 与M 重合，4BQ BM ==，。
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A
B
C
D
5．(2019·潍坊)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝3，动点 P 沿折线 B→C→D
从点 B 开始运动到点 D．设运动的路程为 x，△ADP 的面积为 y，那么 y 与 x 之间的函
数关系的图象大致是( D )
于点 E，F.设直线 l 向右平移的距离为 x，线段 EF 的长为 y，且 y 与 x 的函数关系如图
2 所示，则四边形 ABCD 的周长是
10＋2 3
．
图1
图2
10．(2019·信阳一模)如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 的中点，点 P 是对角
线 AC 上一动点．设 PC 的长度为 x，PE 与 PB 的长度和为 y.图 2 是 y 关于 x 的函数图
A
B
C
D
6．(2019·河池)如图，△ABC 为等边三角形，点 P 从点 A 出发，沿 A→B→C→A 作 匀速运动，则线段 AP 的长度 y 与运动时间 x 之间的函数关系大致是( B )
A
B
C
D
类型二 函数图象的分析
7．如图 1，AB 是半圆 O 的直径，点 C 是半圆 O 上一点，连接 AC，BC．点 P 从 点 B 出发，沿折线 B→C→A 以 1 cm/s 的速度匀速运动到点 A．图 2 是点 P 运动时，△
以 1cm/s 的速度匀速运动到点 B．图 2 是点 F 运动时，△FBC 的面积 y(cm2)随时间 x(s)
变化的关系图象，则 a 的值为( C )
A． 5
图1 B．2
C．52
图2 D．2 5
审题指导
解决这类问题时，一般需注意： 1．函数图象中横、纵坐标代表的量及函数中自变量的取值范围； 2．分段函数要分段讨论； 3．转折点：判断函数图象的倾斜方向或增减性发生变化的关键点； 4．平行线：函数值随自变量的增大而保持不变．
典例 1 (2014·河南 8 题)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝1 cm，BC＝2 cm，点 P 从 点 A 出发，以 1 cm/s 的速度沿折线 AC—CB—BA 运动，最终回到点 A．设点 P 的运动时间为
x(s)，线段 AP 的长度为 y(cm)，则能够反映 y 与 x 之间函数关系的图象大致是( A )
y 与 x 之间的函数关系图象如图 2 所示，当 x＝12 时，y 的值是( C )
A．6
图1 B．254
C．65
图2 D．2
9．(2019·乐山)如图 1，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝30°，直线 l⊥AB．当
直线 l 沿射线 BC 方向，从点 B 开始向右平移时，直线 l 与四边形 ABCD 的边分别相交
2．不需要列函数关系式，直接根据几何量的变化趋势判断函数图象．根据题目中 自变量与因变量对应的几何量及动点运动轨迹，先确定转折点，然后判断每个转折点前 后区间内相关量的增减性，最后判断函数图象即可．
在整个解题过程中，应坚持选择题的解题思想：“手段多样化”，只要选出正确答 案即可．
函数图象的分析 典例 2 (2018·河南 10 题)如图 1，点 F 从菱形 ABCD 的顶点 A 出发，沿 A→D→B
ABLeabharlann CD审题指导
一般的解题思路有两种情形： 1．找因变量与自变量 x(或 t)之间存在的函数关系，用含 x(或 t)的式子表示，再找出 相对应的函数图象，要注意分类讨论时自变量 x(或 t)的取值范围．对于一些解析式不需 要逐段求出，只需要确定是二次函数还是一次函数即可．若是二次函数，图象是抛物线， 根据题意只需确定开口方向即可；若是一次函数，图象是直线，根据选项只需确定是上 升或下降即可．
A
B
C
D
3．(2019·本溪)如图，点 P 是以 AB 为直径的半圆上的动点，CA⊥AB 于点 A，PD ⊥AC 于点 D，连接 AP.设 AP＝x，PA－PD＝y，则下列函数图象能反映 y 与 x 之间关 系的是( C )
A
B
C
D
4．(2019·铜仁)如图，▱ ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AC＝6，BD＝ 8，P 是对角线 BD 上任意一点，过点 P 作 EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点
PAB 的面积 y(cm2)随时间 x(s)变化的关系图象，则线段 AC 的长为( D )
A．1 cm
图1 B． 2 cm
C． 3 cm
图2 D．2 cm
8．(2019·许昌一模)如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 P 从点 A 出发，沿 A→C→B
的路径匀速运动到点 B 停止，作 PD⊥AB 于点 D．设点 P 运动的路程为 x，PD 长为 y，
象，则图象上最低点 H 的坐标为
4
3
2，
5
.
图1
图2
谢谢观看！
类型一 函数图象的判断 1．(2019·鹤壁一模)如图，点 E，F，G，H 是正方形 ABCD 四条边(不含端点)上的 点，DE＝AF＝BG＝CH.设线段 DE 的长为 x(cm)，四边形 EFGH 的面积为 y(cm2)，则 能够反映 y 与 x 之间函数关系的图象大致是( A )
A
B
C
D
2．(2019·南阳模拟)已知：如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上的一个动点 (A，C 除外)，作 PE⊥AB 于点 E，作 PF⊥BC 于点 F.设正方形 ABCD 的边长为 x，矩 形 PEBF 的周长为 y，在下列图象中，大致表示 y 与 x 之间的函数关系的是( A )
题型一 选择、填空题重难点题型
专题一 动点问题的函数图像
动点问题的函数图象，近 10 年考查 3 次，分值为 3 分，主要以选择、填空的形式 考查．其考查的类型有：①函数图象的判断(2014 年第 8 题)；②函数图象的分析(2018 年第 10 题，2017 年第 14 题)．
函数图象的判断