太奇考研数学(一)二模考试

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2025届山西省朔州市怀仁一中高三第二次模拟考试数学试卷含解析

2025届山西省朔州市怀仁一中高三第二次模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数21z i =+　，其中i 为虚数单位，则z =（） A ．5B ．3C ．2D ．22．已知111M dx x =+⎰，20cos N xdx π=⎰，由程序框图输出的S 为（）A ．1B ．0C ．2πD ．ln 23．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：422=+，633=+，835=+，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（） A ．121B ．221C ．115D ．2154．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（）A ．()85424π++B ．()85824π++C ．()854216π++D ．()858216π++5．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，12a =，且139,,a a a 成等比数列，则8S =（） A ．56B ．72C ．88D ．406．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，2AE EB =，AB AC λ=，若9AB AC AO EC ⋅=⋅，则实数λ=( ) A ．33B ．32C ．63D ．627．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．8．已知复数1cos23sin 23z i =+和复数2cos37sin37z i =+，则12z z ⋅为 A ．132- B 312i + C ．132+ D 312i - 9．ABC ∆ 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a c b A +=，则角B 的大小为（） A ．23π B ．3π C ．6π D ．56π 10．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m βD ．n ⊂α，m n ⊥11．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：2222(1)(21)123n n n n ++++++=）A ．1624B ．1024C ．1198D ．156012．已知π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3tan π4α-=-，则sin cos αα+等于（）．A ．15±B ．15-C ．15D ．75-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2015太奇模考-答案-2模-详解

2 2 2 2
条件（ 1）当 m 0, m 1 时 4m 1 m 1 0 ，充分；条件（ 2）当 1 m 2 时 4m 1 m 1 0 ，充分；故选择 D. 17 【答案】 A 【解析】条件（ 1） k AC
1 2 1 2 1 3, k AB k AC k AB 1 ,充分； 2 1 2 1 3
15 【答案】 A 【解析】设签字笔、圆珠笔、铅笔的价格分别为 x, y, z ，根据题意
3x 7 y z 320 x 110 3y 解得 4 x 10 y z 430 z 2 y 10 则 x y z 110 3 y y 2 y 10 100 ，选择 A.
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14 【答案】C 【解析】设以 A,B 为圆心半径分别为 2，4 的圆的四分之一的面积为 S1 , S2 ，矩形中空白的面积为 S,则 S S2 S1 S , S 2 4 S , 故 S S S2 S1 S 2 4 S S2 S1 8 3 8 ，选择 C.
m 2
4
2
2 n 1 3x 2 0 ，则 m=2，充分
2
25 【答案】E 【解析】显然条件（ 1）和（2）单独都不充分，必须联合：由条件（1）得 A C4 C4 P4 864 ；
2 2
由条件（2）得 B C12
6
则 A B 1326 ，不充分，选择 E.
3 【答案】 A 【解析】 SAEG SBGH SCHI SDIF
1 1 1 1 EG DF GH DF HI DF IF DF 2 2 2 2 1 1 DF EG GH HI IF DF EF 75 2 2

中考数学二模试卷含答案解析

中考数学二模试卷（解析版）一、选择题1．下列各数中，比1大的数是（）A．0 B．﹣|﹣2|C．D．﹣32．2016年3月9日，谷歌人工智能ALPHAGO在与韩国棋手李世石的人机大战中获胜，震惊世界，据资料记载，人工智能ALPHAGO的计算能力达到每秒275万亿次，将275万亿用科学记数法表示为（）A．275×1012B．2.75×1014C．2.75×1013D．2.75×10123．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．平行四边形B．菱形 C．正三角形 D．正六边形4．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）A．该班一共有40名同学B．该班学生这次测试成绩的众数是55分C．该班学生这次测试成绩的中位数是60分D．该班学生这次测试成绩的平均数是59分6．由若干个边长为1cm的正方体堆积成一个几何体，它的三视图如图，则这个几何体的表面积是（）A．15cm2B．18cm2C．21cm2D．24cm27．已知关于x的一元二次方程﹣ax+a2+=0，则这个方程根的情况是（）A．无实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．根的情况不确定8．如图，在矩形ABCD中，AB=2，点E在边AD上，∠ABE=45°，BE=DE，连接BD，点P在线段DE上，过点P作PQ∥BD交BE于点Q，连接QD．设PD=x，△PQD的面积为y，则能表示y与x函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题9．计算：20++|﹣2|=______．10．如图，已知AB∥CD，OM是∠BOF的角平分线，∠2=65°，则∠1的度数是______．11．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）为函数y=﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，若x1＞x2＞1，则y1，y2的大小关系是______．12．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则其中每一个小长方形的面积为______cm2．13．在一个暗盒中放有若干个白色球和2个黑色球（这些球除颜色外无其他区别），若从中随机取出1个球是白色的概率是0.6，那么在暗盒中随机取出2个球恰好都是白色球的概率是______．14．如图，已知⊙O的半径为2，从⊙O外的点C作⊙O的切线CA和CB，切点分别为点A和点D，若∠ACB=90°，BC=2，则图中阴影部分的面积是______．15．如图，在边长为12的正方形ABCD中，点E是边BC的中点，将△DCE沿DE折叠，点C落在正方形内的点F处，则△BEF的面积为______．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分)16．先化简（+）÷，然后从不等式组的整数解中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．17．如图，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：AE=CF；（2）连接AF，CE．①当EF和AC满足条件______时，四边形AFCE是菱形；②若AB=1，BC=2，∠B=60°，则四边形AFCE为矩形时，EF的长是______．18．随着智能手机的普及，QQ、微博、微信等新型社交平台的兴起，在公共场所的“低头族”越来越多，针对“您如何人看待低头族”的问题，晨光数学小组在全校范围内进行了随机调查，（1）本次接受调查的总人数是______人；（2）通过计算，将条形统计图补充完整；（3）扇形统计图中，观点“D”的百分比是______，“B”所对应的圆心角的度数是______；（4）估算在全校3000名学生中，对“低头族”表示不赞同的人数．19．如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标是（3，4），AB⊥x轴于点B，反比例函数y=的图象中的一支经过线段OA上一点M，交AB于点N，已知OM=2AM．（1）求反比例函数的解析式；（2）若直线MN交y轴于点C，求△OMC的面积．20．如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC边上一点，且DA=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连接DE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sinC=，AC=12，求⊙O的直径．21．（10分）（2016•新乡二模）某通讯运营商的手机上网流量资费标准推出了三种优惠方案：方案A：按流量计费，0.1元/M；方案B：20元流量套餐包月，包含500M流量，如果超过500M，超过部分按流量计费，如果用到1000M时，超过1000M的流量不再收费；方案C：120元包月，无限制使用．用x表示每月上网流量（单位：M），y表示每月的流量费用（单位：元），方案B和方案C 对应的y关于x的函数图象如图所示，请解决以下问题：（1）写出方案A的函数解析式，并在图中画出其图象；（2）直接写出方案B的函数解析式；（3）根据三种优惠方案，结合每月的上网流量数，请你给出经济合理的选择方案．22．（10分）（2016•新乡二模）问题背景：已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B 运动（与A，B不重合），同时，点E由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点，求的值．（1）初步尝试如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且D，E的运动速度相等，小王同学发现可以过点D做DG∥BC，交AC于点G，先证GH=AH．再证GH=CF，从而求得的值为______．（2）类比探究如图2，若在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且点D，E的运动速度之比是，求的值；（3）延伸拓展如图3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记=m，且点D，E的运动速度相等，试用含m的代数式表示的值（直接写出结果，不必写解答过程）．23．（11分）（2016•新乡二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中B（6，0），与y轴交于点C（0，8），点P是x轴上方的抛物线上一动点（不与点C重合）．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，点E关于直线PC的对称点为E′，若点E′落在y轴上（不与点C重合），请判断以P，C，E，E′为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下直接写出点P的坐标．中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．下列各数中，比1大的数是（）A．0 B．﹣|﹣2|C．D．﹣3【考点】实数大小比较．【分析】在数轴上表示出各数，根据数轴的特点即可得出结论．【解答】解：如图所示，，由图可知，四个数中只有比1大．故选C．【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键．2．2016年3月9日，谷歌人工智能ALPHAGO在与韩国棋手李世石的人机大战中获胜，震惊世界，据资料记载，人工智能ALPHAGO的计算能力达到每秒275万亿次，将275万亿用科学记数法表示为（）A．275×1012B．2.75×1014C．2.75×1013D．2.75×1012【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：275万亿=27500000000000=2.75×1014，故选B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．平行四边形B．菱形 C．正三角形 D．正六边形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；C、正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；D、正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．【解答】解：作图的步骤：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；④过点D′作射线O′B′．所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；作图完毕．在△OCD与△O′C′D′，，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠A′O′B′=∠AOB，显然运用的判定方法是SSS．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．A．该班一共有40名同学B．该班学生这次测试成绩的众数是55分C．该班学生这次测试成绩的中位数是60分D．该班学生这次测试成绩的平均数是59分【考点】众数；加权平均数；中位数．【分析】结合表格根据众数、中位数、平均数的概念求解．【解答】解：该班人数为：2+6+10+7+6+5+4=40，得55分的人数最多，众数为55，第20和21名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：（60+60）÷2=60，平均数为：（45×2+50×6+55×10+60×7+65×6+68×5+70×4）÷40=59.25．故错误的为D．故选D．【点评】本题考查了众数、平均数、中位数的知识，掌握各知识点的概念是解答本题的关键．6．由若干个边长为1cm的正方体堆积成一个几何体，它的三视图如图，则这个几何体的表面积是（）A．15cm2B．18cm2C．21cm2D．24cm2【考点】由三视图判断几何体；几何体的表面积．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层有2+1=3个小正方体，第二层应该有1个小正方体，因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是3+1=4个．所以表面积为3×6=18cm2．故选：B．【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．7．已知关于x的一元二次方程﹣ax+a2+=0，则这个方程根的情况是（）A．无实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．根的情况不确定【考点】根的判别式．【分析】判断方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．【解答】解：∵△=b2﹣4ac=a2﹣4××（a2+）=﹣a2﹣1＜0，∴方程没有实数根；故选A．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．8．如图，在矩形ABCD中，AB=2，点E在边AD上，∠ABE=45°，BE=DE，连接BD，点P在线段DE上，过点P作PQ∥BD交BE于点Q，连接QD．设PD=x，△PQD的面积为y，则能表示y与x函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】判断出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AE、BE，然后表示出PE、QE，再求出点Q到AD的距离，然后根据三角形的面积公式表示出y与x的关系式，再根据二次函数图象解答．【解答】解：∵∠ABE=45°，∠A=90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=AB=2，BE=AB=2，∵BE=DE，PD=x，∴PE=DE﹣PD=2﹣x，∵PQ∥BD，BE=DE，∴QE=PE=2﹣x，又∵△ABE是等腰直角三角形（已证），∴点Q到AD的距离=（2﹣x）=2﹣x，∴△PQD的面积y=x（2﹣x）=﹣（x2﹣2x+2）=﹣（x﹣）2+，即y=﹣（x﹣）2+，纵观各选项，只有C选项符合．故选：C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数图象，求出点Q到AD的距离，从而列出y与x的关系式是解题的关键．二、填空题9．计算：20++|﹣2|=3+．【考点】实数的运算；零指数幂．【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方和开方，然后从左向右依次计算，求出算式20++|﹣2|的值是多少即可．【解答】解：20++|﹣2|=1+2+2﹣=3+故答案为：3+．【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a ≠0）；②00≠1．10．如图，已知AB∥CD，OM是∠BOF的角平分线，∠2=65°，则∠1的度数是130°．【考点】平行线的性质．【分析】由AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠BOM的度数，又由OM 是∠BOF的平分线，即可求得∠BOF的度数，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠1的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∠2=65°，∴∠BOM=∠2=65°，∵OM是∠BOF的平分线，∴∠BOF=2∠BOM=130°，∵AB∥CD，∴∠1=∠BOF=130°．故答案为：130°．【点评】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等与两直线平行，内错角相等定理的应用．11．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）为函数y=﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，若x1＞x2＞1，则y1，y2的大小关系是y1＜y2．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据a=﹣2＜0以及抛物线的对称轴为x=1，可找出在x＞1上，y随x的增大而减小，再结合x1＞x2＞1，即可得出结论．【解答】解：∵a=﹣2＜0，抛物线y=﹣2（x﹣1）2+3的对称轴为x=1，∴在x＞1上，y随x的增大而减小，∵x1＞x2＞1，∴y1＜y2．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的性质解决问题．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质找出其单调区间是关键．12．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则其中每一个小长方形的面积为27 cm2．【考点】二元一次方程组的应用．【分析】由题意可知本题存在两个等量关系，即小长方形的长+小长方形的宽=12cm，小长方形的长+小长方形宽的3倍=小长方形长的2倍，根据这两个等量关系可列出方程组，进而求出小正方形的长与宽，最后求得小正方形的面积．【解答】解：设一个小长方形的长为xcm，宽为ycm，则可列方程组组，解得．则一个小正方形的面积=3cm×9cm=27cm2．故答案为：27【点评】此题主要考查了二元一次方程组应用，解答本题关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组．并弄清小长方形的长与宽的关系．13．在一个暗盒中放有若干个白色球和2个黑色球（这些球除颜色外无其他区别），若从中随机取出1个球是白色的概率是0.6，那么在暗盒中随机取出2个球恰好都是白色球的概率是0.3．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】首先设有x个白球，由概率公式可得：=0.6，解此方程即可求得白球的个数，再根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与在暗盒中随机取出2个球恰好都是白色球的情况，继而求得答案．【解答】解：设有x个白球，根据题意得：=0.6，解得：x=3，经检验：x=3是原分式方程的解；画树状图得：∵共有20种等可能的结果，在暗盒中随机取出2个球恰好都是白色球的有6种情况，∴在暗盒中随机取出2个球恰好都是白色球的概率是：=0.3．故答案为：0.3．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意利用方程思想求得白球的个数是关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．如图，已知⊙O的半径为2，从⊙O外的点C作⊙O的切线CA和CB，切点分别为点A和点D，若∠ACB=90°，BC=2，则图中阴影部分的面积是3．【考点】切线的性质；扇形面积的计算．【分析】连接OD、OE，证明四边形ACDO为正方形，得AC=OA=2，再求出∠ABC=30°，则∠OAB=∠ABC=30°，得出扇形OAE的圆心角为120°，作△AOE的高OF，求出OF和AE的长，利用面积公式就可以求出阴影部分的面积．【解答】解：连接OD、OE，∵AC、BC是⊙O的切线，∴OA⊥AC，OD⊥BC，AC=CD，∴∠CAO=∠CDO=90°，∵∠ACB=90°，∴四边形ACDO为正方形，在Rt△ACB中，∵AC=OA=2，BC=2，∴AB==4，∴∠ABC=30°，∵AO∥BC，∴∠OAB=∠ABC=30°，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA=30°，∴∠AOE=120°，过O作OF⊥AB于F，∴OF=OA=×2=1，∴AF=，∴AE=2，∴S弓形=S扇形OAE﹣S△AOE=﹣×2×1=﹣，∴S阴影=S△ACB﹣S弓形=×﹣（﹣）=3﹣；故答案为：3．【点评】本题考查了切线的性质和切线长定理，要明确以下几点：①若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，②扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=或S扇形=lR（其中l为扇形的弧长），③勾股定理；对于求图形阴影部分的面积，要仔细观察图形，将不规则图形面积转化为规则图形的面积．15．如图，在边长为12的正方形ABCD中，点E是边BC的中点，将△DCE沿DE折叠，点C落在正方形内的点F处，则△BEF的面积为．【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．【分析】延长EF交AB于点G，连接GD，过点B作BH⊥EF，垂足为H．由折叠得到结论，用HL判断出Rt△DAG≌Rt△DFG，设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12﹣x，在△BEG中，依据勾股定理列方程可求得x的值，接下来，在△BEG中，利用面积法可求得BH的长，最后应用三角形面积公式求解即可．【解答】解：如图所示：延长EF交AB于点G，连接GD，过点B作BH⊥EF，垂足为H．由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，∴∠DFG=∠A=90°，在Rt△ADG和Rt△FDG中，，∴Rt△DAG≌Rt△DFG，∵正方形边长是12，∴BE=EC=EF=6，设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12﹣x，由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，即：（x+6）2=62+（12﹣x）2，解得：x=4，∴AG=GF=4，BG=8，GE=10，∴BH===．∴S△BEF=EF•BH=×6×=．故答案为：．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用、全等三角形的判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分)16．先化简（+）÷，然后从不等式组的整数解中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．【分析】根据分式的乘除法法则和约分法则把原式化简，根据解一元一次不等式组的步骤解出不等式组，从解集中选取使分式有意义的值代入计算即可．【解答】解：原式=×=，，解①得，x＞﹣，解②得，x＜，则不等式组的解集为：﹣＜x＜，当x=2时，原式==1．【点评】本题考查的是分式的化简求值和一元一次不等式组的解法，掌握分式的乘除法法则和约分法则是解题的关键．17．如图，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：AE=CF；（2）连接AF，CE．①当EF和AC满足条件EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形；②若AB=1，BC=2，∠B=60°，则四边形AFCE为矩形时，EF的长是．【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．【分析】（1）由平行四边形的性质可知OA=OC，∠AEO=∠OFC，∠EAO=∠OCF，证出△AOE≌△COF，即可得出AE=CF．（2）①先证明四边形AFCE是平行四边形，由EF⊥AC，即可得出四边形AFCE是菱形；②由矩形的性质得出EF=AC，∠AFB=∠AFC=90°，求出AF、CF，由勾股定理求出AC，即可得出EF的长．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO．∵O是AC的中点，∴OA=OC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA）．∴AE=CF．（2）解：①当EF和AC满足条件EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形；理由如下：如图所示：∵AE∥CF，AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形；②若四边形AFCE为矩形，则EF=AC，∠AFB=∠AFC=90°，∵AB=1，BC=2，∠B=60°，∴∠BAF=30°，∴BF=AB=，∴AF=BF=，CF=2﹣=，∴AC===，∴EF=；故答案为：．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质与判定、菱形的判定、矩形的性质；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的性质、矩形的性质是解决问题的关键．18．随着智能手机的普及，QQ、微博、微信等新型社交平台的兴起，在公共场所的“低头族”越来越多，针对“您如何人看待低头族”的问题，晨光数学小组在全校范围内进行了随机调查，（1）本次接受调查的总人数是200人；（2）通过计算，将条形统计图补充完整；（3）扇形统计图中，观点“D”的百分比是24%，“B”所对应的圆心角的度数是126°；（4）估算在全校3000名学生中，对“低头族”表示不赞同的人数．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据A类观点人数除以A类所占的百分比，可得调查的人数；（2）根据调查的总人数及C类别百分比，可得C类别人数，补全条形统计图；（2）根据D类别人数除以调查总人数可得观点“D”的百分比，B类人数除以调查人数，再乘以360°，可得答案；（3）用样本中观点C、D的人数所占比例乘以总人数可得．【解答】解：（1）本次接受调查的总人数为58÷29%=200（人），故答案为：200．（2）持“C”意见的人数为：200×12%=24（人），补全条形图如下：；（3）观点“D”的百分比为：×100%=24%，“B”所对应的圆心角的度数是：×360°=126°，故答案为：24%，126°；（4）3000×（12%+24%）=1080（人），答：估算在全校3000名学生中，对“低头族”表示不赞同约有1080人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．19．如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标是（3，4），AB⊥x轴于点B，反比例函数y=的图象中的一支经过线段OA上一点M，交AB于点N，已知OM=2AM．（1）求反比例函数的解析式；（2）若直线MN交y轴于点C，求△OMC的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）过点M作MH⊥x轴于点H．得出MH∥AB，那么△OMH∽△OAB，根据相似三角形对应边成比例求出点M的坐标，再利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；（2）先由AB⊥x轴，A（3，4），得出N点横坐标为3．再把x=3代入y=，求出N点坐标，得到AN的值，根据OC∥AN，得出==2，求出OC，然后根据△OMC的面积=OC•OH，代入数值计算即可．【解答】解：（1）过点M作MH⊥x轴于点H．∵AB⊥x轴于点B，∴MH∥AB，∴△OMH∽△OAB，∴==．∵A点的坐标是（3，4），OM=2AM，∴OB=3，AB=4，=，∴OH=2，MH=，∴M（2，）．∵点M在反比例函数y=的图象上，∴k=2×=，∴反比例函数的解析式为y=；（2）∵AB⊥x轴，A（3，4），∴N点横坐标为3．把x=3代入y=，得y=，∴N点坐标为（3，），∴AN=4﹣=．∵OC∥AN，∴==2，∴OC=2AN=，∴△OMC的面积=OC•OH=××2=．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，相似三角形的判定与性质，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积等知识，正确求出函数解析式是解题的关键．20．如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC边上一点，且DA=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连接DE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sinC=，AC=12，求⊙O的直径．【考点】切线的判定．【分析】（1）根据等腰三角形的性质，由AB=AC，AD=DC得∠C=∠B，∠1=∠C，则∠1=∠B，根据圆周角定理得∠E=∠B，∠ADE=90°，所以∠1+∠EAD=90°，然后根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AC于点F，如图，根据等腰三角形的性质得CF=AC=3，在Rt△CDF中，利用正弦定义得sinC==，则设DF=4x，DC=5x，利用勾股定理得CF=3x，所以3x=3，解得x=1，于是得到DC=AD=5，然后证明△ADE∽△DFC，再利用相似比可计算AE即可．【解答】（1）证明：∵AB=AC，AD=DC，∴∠C=∠B，∠1=∠C，∴∠1=∠B，又∵∠E=∠B，∴∠1=∠E，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°，∴∠E+∠EAD=90°，∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，∴AE⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：过点D作DF⊥AC于点F，如图，∵DA=DC，∴CF=AC=3，在Rt△CDF中，∵sinC==，设DF=4x，DC=5x，∴CF==3x，∴3x=3，解得x=1，∴DC=5，∴AD=5，∵∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C，∴△ADE∽△DFC，∴=，即=，解得AE=，即⊙O的直径为．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．21．（10分）（2016•新乡二模）某通讯运营商的手机上网流量资费标准推出了三种优惠方案：方案A：按流量计费，0.1元/M；方案B：20元流量套餐包月，包含500M流量，如果超过500M，超过部分按流量计费，如果用到1000M时，超过1000M的流量不再收费；方案C：120元包月，无限制使用．用x表示每月上网流量（单位：M），y表示每月的流量费用（单位：元），方案B和方案C 对应的y关于x的函数图象如图所示，请解决以下问题：（1）写出方案A的函数解析式，并在图中画出其图象；（2）直接写出方案B的函数解析式；（3）根据三种优惠方案，结合每月的上网流量数，请你给出经济合理的选择方案．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据流量计费单价即可解决．（2）根据方案B函数的图象经过（500，20），（1000，130），先求出中间段直线的解析式，再写出分段函数解析式．（3）画出图象，根据关键点，利用函数图象解决问题．【解答】解：（1）方案A的函数解析式为y=0.1x，图象如图所示．（2）如图可知方案B函数的图象经过（500，20），（1000，130），可以求出中间段直线的解析式为y=0.22x﹣90，∴方案B的解析式为y=，（3）如图设方案A的函数图象与方案B的函数图象交于点M、N，与方案C函数图象的交于点Q，则M（200，20），N（750，75），Q（1200，120），因此，上网流量在200M以下的选用方案A，上网流量在200M和750M之间的选用方案B，上网流量在750M和1200M之间的选用方案A，上网流量在1200以上M的选用方案C，上网流量在200M或750M的选用方案A或B费用一样，上网流量是1200M的选用方案A或C费用一样．【点评】本题考查一次函数的应用、分段函数、等知识解题的关键是灵活掌握待定系数法解决问题，学会利用函数图象比较函数值的大小，属于中考常考题型．22．（10分）（2016•新乡二模）问题背景：已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B 运动（与A，B不重合），同时，点E由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点，求的值．（1）初步尝试如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且D，E的运动速度相等，小王同学发现可以过点D做DG∥BC，交AC于点G，先证GH=AH．再证GH=CF，从而求得的值为2．（2）类比探究如图2，若在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且点D，E的运动速度之比是，求的值；（3）延伸拓展如图3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记=m，且点D，E的运动速度相等，试用含m的代数式表示的值（直接写出结果，不必写解答过程）．【考点】三角形综合题．（1）过点D作DG∥BC交AC于点G，由题意知△AGD是等边三角形，所以AD=GD，【分析】所以可以证明△GDF≌△CEF，所以CF=GF，由三线合一可知：AH=GH，所以；（2）过点D作DG∥BC交AC于点G，由点D，E的运动速度之比是可知GD=CE，所以可以证明△GDF≌△CEF，所以CF=GF，由∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°可知：AH=DH，所以；（3）类似（1）（2）的方法可求出和=m，然后利用GH+FG=m（AH+FC）=m（AC﹣HF）即可求出的比值．【解答】解：（1）过点D作DG∥BC交AC于点G，∵△ABC是等边三角形，∴△AGD是等边三角形，∴AD=GD，由题意知：CE=AD，∴CE=GD。

2021年考研数学模拟卷二(数学一)解析

lim
n
n
ln
1
1 n(1 2a)
lim
n
n n(1 2a)
1 1 2a
.
（12） y ln x 的最大曲率为
.
【答案】 Kmax
23 9
.
5
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【解析】 y ln x ，则 y
1 x
,
y
1 x2
，故曲率为 K
y
3
(1 y2 )2
x
3
(1 x2 )2
,x 0.
dK 令 dx
1
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（2）设函数
F ( x)
f (x) x2
,
f (0),
x
0,
其中
f
(x)
在
x0
处二阶可导，
f (0) 0
，
x 0,
f (0) 0 ， f (0) 0 ，则 x 0 是 F (x) 的（）
（A）第一类间断点
（B）连续点
（C）第二类间断点
（D）连续点或间断点不能由此确定
1,2 ,3 线性表示， 2 (0,1, 2)T 不能由1,2 ,3 线性表示，则 a （）
（A） 1
【答案】（A）
（B） 3
（C） 0
（D）1
【解析】设 i xi11 xi22 xi33, (i 1, 2), A (1,2 ,3 ) ，对该非齐次线性方程
组的增广矩阵作初等行变换，有
服从 F
分布
【解析】本题未说明 X ,Y 相互独立，故选（C）.
二、填空题：11~16 小题，每小题 5 分，共 30 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结线性代数知识点总结1线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，太奇考研专家们提醒广大的20__年的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。

下面，就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对20__考研的同学们学习有帮助。

行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开.另外，一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等)的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《20__年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。

矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。

向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。

考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。

考研数学二(解答题)模拟试卷114(题后含答案及解析)

考研数学二（解答题）模拟试卷114(题后含答案及解析)题型有：1.1．求正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续2．某产品的次品率为0．1，检验员每天检验4次．每次随机地取10件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于1，就去调整设备．以X表示一天中调整设备的次数，且诸产品是否为次品是相互独立的，求E(X)．正确答案：引入随机变量Xi，i=1，2，3，4。

设Xi=．则X=X1+X2+X3+X4．又设第i次检验时发现的次品数为Yi，Yi～B(10，0．1)．P{Xi=0}=P{Yi=0}+P{Yi=1}=C100(0．1)0(1—0．1)10+C101(0．1)(1-0．1)9=1．9×0．99，P{Xi=1}=1-0．99×1．9，E(Xi)=0．2639，所以E(X)=4E(Xi)=1．0556．涉及知识点：概率论与数理统计3．设f(χ)＝χ(χ－1)(χ＋2)(χ－3)…(χ＋100)，求f′(0)．正确答案：由f′(χ)＝(χ－1)(χ＋2)…(χ＋100)＋χ(χ＋2)…(χ＋100)＋…χ(χ－1)…(χ－99)，得f′(0)＝(－1).2.(－3).….100＝100!．涉及知识点：导数与微分4．已知f(x)=x2一x∫02f(x)dx+2∫01f(x)dx，求f(x)．正确答案：令∫02f(x)dx=A，∫01f(x)dx=B，则f(x)=x2一Ax+2B，两边在[0，2]上积分得涉及知识点：高等数学5．设A是n阶非零实矩阵，A*是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，如果AT=A*，证明任一n维列向量均可由矩阵A的列向量线性表出．正确答案：因为A*=AT，按定义有Aij=aij(i，j=1，2，…，n)，其中Aij是行列式｜A｜中aij的代数余子式．由于A≠0，不妨设a11≠0，那么｜A｜=a11A11+a12A12+…+a1nA1n=a112+a122+…+a1n2≠0．于是A=(α1，α2，…，αn)的n个列向量线性无关．那么对任－n维列向量β，恒有α1，α2，…，αn，β线性相关．因此β必可由α1，α2，…，αn线性表出．涉及知识点：向量组的线性关系与秩6．设n为自然数，试证：正确答案：右端不等式等价于证明从而，当x＞0时，f’(x)单调增，且当x→+∞时，f’(x)趋于零，所以，当x＞0时，f’(x)＜0．进而知当x＞0时，f(x)单调减，且当x→+∞时，f(x)趋于零，于是，当x＞0时，f(x)＞0．所以，对一切自然数n，恒有f(n)＞0，故有从而右端不等式成立．类似地，引入辅助函数类似可证明：当x＞0时，g(x)＜0，从而对一切自然数n，左端不等式成立．涉及知识点：一元函数微分学7．求极限正确答案：涉及知识点：高等数学8．设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n．正确答案：必要性：设BTAB为正定矩阵，则由定义知，对任意的n维实列向量x≠0，有xT(BTAB)x＞0，即(Bx)TA(Bx)＞0．于是，Bx≠0．因此，Bx=0只有零解，故有r(B)=n.充分性：因(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，故BTAB为实对称矩阵．若r(B)=n，则线性方程组Bx=0只有零解，从而对任意的n维实列向量x≠0，有Bx≠0．又A为正定矩阵，所以对于Bx≠0，有(Bx)TA(Bx)＞0．于是当x≠0，有xT(BTAB)x=(Bx)TA(Bx)＞0，故BTAB为正定矩阵．涉及知识点：二次型9．计算二重积分，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}。

考研数学(数学二)模拟试卷390(题后含答案及解析)

考研数学（数学二）模拟试卷390(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．把当x→0时的无穷小量α=In(1+x2)一In(1一x4)，β=∫02tantdt，γ=arctanx一x排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是A．α，β，γ．B．γ，α，β．C．α，γ，β．D．γ，β，α．正确答案：C解析：我们分别确定当x→0时，α、β、γ分别是x的几阶无穷小．当x →0时α=ln(1+x2) 一ln(1一x4) ～x2，因为ln(1+x2)一x2ln(1一x4)～一x4=o(x2)这表明当x→0时，α是关于x的2阶无穷小量，β是关于x的4阶无穷小量，而γ是关于x的3阶无穷小量．按题目的要求，它们应排成α，γ；β的次序．故应选C．2．设f(x)，g(x)在点x=x0处可导且f(x0)=g(x0)=0，f’(x0)g’(x0)＜0，则A．x0不是f(x)g(x)的驻点．B．x0是f(x)g(x)的驻点，但不是f(x)g(x)的极值点．C．x0是f(x)g(x)的驻点，且是f(x)g(x)的极小值点．D．x0是f(x)g(x)的驻点，且是f(x)g(x)的极大值点．正确答案：D解析：由于[f(x)g(x)]’｜x=x0=f’(x0)g(x0)+f(x0)g’(x0)=0，因此x=x0是f(x)g(x)的驻点，进一步考察是否是它的极值点．x∈(x0—δ，x0)时f(x)＞0(＜0)，g(x)＜0(＞0)→x∈(x0—δ，x0+δ)，x≠x0时f(x)g(x)＜0=f(x0)g(x0)→x=x0是f(x)g(x)的极大值点．因此选D．3．设f(x)=∫0x2et2dt，g(x)在x=0连续且满足g(x)=1+2x+o(x)(x→0)．又F(x)=f[g(x)]，则F’(0)=A．4e．B．4．C．2．D．2e．正确答案：A解析：故应选A．4．曲线的拐点的个数为A．0个．B．1个．C．2个．D．3个．正确答案：D解析：5．已知累次积分其中a＞0为常数，则，可写成A．B．C．D．正确答案：C解析：这是把极坐标系下的累次积分转换成Oxy直角坐标系下的累次积分的问题.先将I表成由D的极坐标表示6．设函数F(x，y)在(x0，y0)某邻域有连续的二阶偏导数，且F(x0，y0)=F’(x0，y0)=0，Fy’(x0，y0)＞0，Fxx’’(x0，y0)＜0．由方程F(x，y)=0在x0的某邻域确定的隐函数y=y(x)，它有连续的二阶导数，且y(x0)=y0，则A．y(x)以x=x0为极大值点．B．y(x)以x=x0为极小值点．C．y(x)在x=x0不取极值．D．(x0，y(x0))是曲线y=f(x)的拐点．正确答案：B解析：按隐函数求导法，y’(x)满足令x=x0，相应地y=y0由Fx’(x，y)=0，Fy’(x0，y0)≠0得y’(x0)=0．将上式再对x求导并注意y=y(x)即得再令x=x0，相应地y=y0得因此x=x0是y=y(x)的极小值点．故选B．7．设A是3阶矩阵，特征值为1，一1，一2，则下列矩阵中可逆的是A．A+E．B．A—E．C．A+2E．D．2A+E．正确答案：D解析：根据性质：λ是A的特征值不可逆．由1，一1，一2都是特征值，得到A一E，A+E，A+2E都不可逆．而一1／2不是特征值，A+(1／2)E可逆，因此2A+E=2[A+(1／2)E]可逆．8．已知向量组α1,α2,α3和β1，β2，β3，β4都是4维实向量，其中α1,α2,α3线性无关，每个βi都是与α1,α2,α3都正交的非零向量．则r(β1，β2，β3，β4)=A．1．B．2．C．3．D．4．正确答案：A解析：构造矩阵A=(α1,α2,α3)，则β都是与α1,α2,α3正交说明βi都是4元方程组ATx=0的解.再由α1,α2,α3线性无关，得r(AT)=r(A)=3，于是ATx=0的解集合的秩为1，从而r(β1，β2，β3，β4)=1．填空题9．设y=f(x)在(1，1)邻域有连续二阶导数，曲线y=f(x)在点P(1，1)处的曲率圆方程为x2+y2=2，则f’’(1)=_______．正确答案：一2．解析：y=f(x)在点P处的切线与OP垂直，OP斜率为1→f’(1)=一1．点P处y=f(x)的曲率半径为，故曲线y=f(x)在点P处的曲率为，于是按曲率计算公式→由于曲率中心在曲线y=f(x)凹的一侧→f’’(1)＜0(y=f(x)在(1，1)邻域是凸的)．因此f’’(1)=一2．10．设f’’(x)=arcsin(1-x)，且f(0)=0，则∫01f(x)dx=_________．正确答案：解析：已知f’(x)=aresin(x一1)，求I=∫02f(x)dx，我们不必先求出f(x)，而是把求，转化为求与f’(x)有关的定积分，就要用分部积分法．或把，再积分．利用分部积分法可得11．设有摆线x=φ(t)=t—sint，y=ψ(t)=1一cost(0≤t≤2π)的第一拱L，则L绕x轴旋转一周所得旋转面的面积S=________．正确答案：解析：由旋转面面积公式得12．设u=u(x，y)满足则u(x，y)=_______．正确答案：，c(y)为y的任意函数．解析：偏导数实质上是一元函数函数的导数．当y任意给定时就是一阶线性常微分方程13．已知当x＞0与y＞0时则函数f(x，y)在点(x，y)=(1，1)处的全微分df｜(1,1)=______．正确答案：解析：由于令x=1，y=1就有14．已知A是3阶矩阵，A的特征值为1，2，3．则(A*)*的最大特征值为________．正确答案：18解析：｜A｜=1×2×3=6，于是A的特征值为6，3，2，｜A*｜=36．则(A*)*的特征值为6，12，1 8，最大的是18．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学(数学二)模拟试卷390(题后含答案及解析)_0

1．下列无穷小中阶数最高的是( )．A．eχ－etanχB．ln(1＋2t)dtC．In(1＋χ)－sinχD．－1正确答案：B解析：eχ－etanχ＝etanχ(eχ-tanχ－1)～χ－tanχ. 因为，所以eχ－etanχ～－χ3；故选B.2．下列命题正确的是( )．A．若f(χ)在χ0处可导，则一定存在δ＞0，在｜χ－χ0｜＜δ内f(χ)可导B．若f(χ)在χ0处连续，则一定存在δ＞0，在｜χ－χ0｜＜δ内f(χ)连续C．若存在，则f(χ)在χ0处可导D．若f(χ)在χ0的去心邻域内可导f(χ)在χ0处连续，且f′(χ)存在，则f(χ)在χ0处可导，且f′(χ0)＝f′(χ)正确答案：D解析：令f(χ＝) 得f(χ)在χ＝0处可导(也连续). 对任意的a＝0f(χ)不存在，所以f(χ)在χ＝a处不连续，当然也不可导，即χ＝0是f(χ)唯一的连续点和可导点，选项A、B不对；令f(χ)＝显然＝0，因为f(χ)＝0≠f(0)，所以f(χ)在χ＝0处不连续，当然也不可导，C项不正确；因为f(χ)在χ0处连续且在χ0的去心邻域内可导，所以由微分中值定理有f(χ)－f(χ0)＝f′(ξ)(χ－χ0)或者＝f′(ξ)，其中ξ介于χ0与χ之间，两边取极限得存在，即f(χ)在χ0处可导，且f′(χ0)＝f′(χ)，故选D.3．下列说法中正确的是( )．A．若f′(χ)f′(0)＝－1＜0，f′(χ)＝－1＋2χsin，当χ＝(k∈N)时，f′(χ)＞0f(χ)在χ＝0的任意邻域内都不单调减少，选项A不对；f(χ)在χ＝0处取得极大值，但其在χ＝0的任一邻域内皆不单调，选项B不对；f(χ)在χ＝1处取得极大值，但f(χ)在χ＝1处不连续；由f〞(0)存在，得f′(0)存在，又f(χ)为偶函数，所以f′(0)＝0，所以χ＝0一定为f(χ)的极值点，故选D.4．设δ＞0，f(χ)在(－δ，δ)内恒有f〞(χ)＞0，且｜f(χ)｜≤χ2，记I＝∫-δδf(χ)dχ，则有( )．A．I＝0B．I＞0C．I＜0D．不能确定正确答案：B解析：因为｜f(χ)｜≤χ2，所以f(0)＝0，由｜f(χ)｜≤χ2，得0≤｜｜≤｜χ｜，由夹逼定理得f′(0)＝0．由泰勒公式得f(χ)＝f(0)＋f′(0)χ＋，其中ξ介于0与χ之间，因为在(－δ，δ)内恒有f〞(χ)＞0，所以I＝＞0，故选B．5．设f有一阶连续的偏导数，且f(χ＋y，χ－y)＝4(χ2－χy－y2)，则χf′χ(χ，y)＋yf′y(χ，y)为( )．A．2χ2－8χy－2y2B．－2χ2＋8χy－2y2C．2χ2－8χy＋2y2D．－2χ2＋8χy＋2y2正确答案：D解析：令χ＋y＝u，χ－y＝v，则χ＝(u＋v)，y＝(u＋v)，于是由f(χ＋y，χ－y)＝4(χ2－χy－y2)，得f(u，v)＝4uv－u2＋v2，故f(χ，y)＝4χy－χ2＋y2，χf′χ(χ，y)＋yf′y(χ，y)＝χ(4y－2χ)＋y(4χ＋2y)＝－2χ2＋8χy＋2y2，选D．6．设f(χ)＝χ3－3χ＋k只有一个零点，则k的范围是( )．A．｜k｜＜1B．｜k｜＞1C．｜k｜＞2D．k＜2正确答案：C解析：f(χ)为三次函数，至少有一个零点，因为函数不单调，故要使函数只有一个零点，必须极小值大于零或极大值小于零，由f′(χ)＝3(χ2－1)＝0，得驻点χ＝±1，且由图形可知，χ＝－1’为极大点χ＝1为极小点，故f(-1)＝2＋k＜0k＜－2，f(1)＝－2＋k＞0k＞2，所以选C.7．设.则B等于( ).A．P1P2-1AB．AP1P2-1C．P1AP2-1D．P2-1AP1正确答案：C解析：故选C.8．设A，B为n阶方阵，令A＝(α1，α2，…，αn)，B＝(β1，β1，…，βn)，则下列命题正确的A．若矩阵A，B等价，则向量组α1，α2，…，αn，与向量组β1，β1，…，βn等价B．若A，B的特征值相同，则A，B等价C．若AX＝0与BX＝0同解，则A，B等价D．若A，B等价，则AX＝0与BX＝0同解正确答案：C解析：由A，B等价得r(A)＝r(B)，从而向量组α1，α2，…αn与向量组β1，β2，…βn的秩相等，但两向量组秩相等不一定可相互线性表示，即不一定等价，不选A；若A，B特征值相同，r(A)与r(B)不一定相等，从而A，B不一定等价，如：，显然A，B的特征值相同，但r(A)＝1≠r(B)＝2，故A，B不等价，不选B；若方程组AX＝0与BX＝0同解，则r(A)＝r(B)，从而A，B等价，反之不对，应选C.填空题9．＝________．正确答案：e解析：．10．已知函数z＝u(χ，y)eaχ+by，且＝0．若z＝z(χ，y)满足方程＋z＝0，则a＝________，b＝_______．正确答案：a＝1，b＝1解析：则a＝1，b＝1.11．设f(χ)为连续函数，且χ2＋y2＋z2＝∫χyf(χ＋y－t)dt，则＝_______．正确答案：[f(χ)－f(y)]－(χ＋y)解析：χ2＋y2＋z2＝∫χyf(χ＋y－t)dt两边对χ求偏导得2χ＋2z＝f(χ). 再将χ2＋y2＋z2＝∫χyf(χ＋y－t)dt两边对y求偏导得2y＋2z ＝f(y) 两式相加得z[f(χ)－f(y)]－(χ＋y)．12．摆线(a＞0．0≤t≤2π)绕χ轴旋转一周所成曲面的表面积为________．正确答案：解析：对[χ，χ＋dy][0，2πa]，ds＝2πy，于是s＝．13．微分方程χy′＝＋y(χ>0)的通解为_______．正确答案：arcsin＝lnχ＋C解析：由χy′＝＋y得，令u＝，则u＋χ，解得arcsinu＝lnχ＋C，原方程的通解为arcsin＝Inχ＋C．14．设A为三阶矩阵，其特征值为λ1＝－2，λ2＝λ3＝1，其对应的线性无关的特征向量为α1，α2·α3，令P＝(4α1，α2－α3，α2＋2α3)，则P-1(A*＋3E)P为________．正确答案：解析：因为A的特征值为λ1＝－2，λ2＝λ3＝1，所以A*的特征值为μ1＝1，μ2＝μ3＝－2，A*＋3E的特征值为4，1，1，又因为4α1，α2－α3，α2＋2α3也为A的线性无关的特征向量，所以4α1，α2－α3，α2＋2α3也是A*＋3E的线性无关的特征向量，所以解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学(数学一)模拟试卷469(题后含答案及解析)

考研数学（数学一）模拟试卷469(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设n为自然数，则=( )．A．nB．2nC．3nD．4n正确答案：D解析：由于注意到｜sint｜是以π为周期的函数，则故应选(D)．2．曲面z=+y2上平行于平面2x+2y-z=0的切平面方程是( )．A．2x+y+z-3=0B．2x+2y-z-3=0C．2x+2y+z-3=0D．2x+2y-z+3=0正确答案：B解析：令F(x，y，z)=+y2-z，则F’x=x，F’y=2y，F’z=-1．由条件知所求平面的法向量n=(F’x，F’y，F’z)=(x，2y，-1)平行于已知平面的法向量，n1=(2，2，-1)，从而有，由此得x=2，y=1，z=+y2=3，即点(2，1，3)为切点，故所求切平面方程为2(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0，即2x+2y-z-3=0．故应选(B)．3．设f(0)=0，则f(x)在点x=0处可导的充要条件为( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：排除法．对于(A)选项，取f(x)=｜x｜，则极限存在，但f(x)=｜x｜在x=0处不可导，故排除(A)；对于(C)选项，仍取f(x)=｜x｜，有极限存在，但f(x)在x=0处不可导，故排除(C)项；对于(D)选项，取f(x)=则极限存在，但f(x)在x=0不连续，从而f’(0)也不存在，故排除(D)项．故应选(B)．4．设是正项级数，下列结论中正确的是( )．A．若，则级数an收敛B．若存在非零常数λ，使得C．若级数D．若级数an发散，则存在非零常数λ，使得正确答案：B解析：取an=发散，则排除(A)、(D)项；又取an=，排除(C)．故应选(B)．5．已知n维向量组(i)α1，α2，…，αs和(ii)β1，β2，…，βt的秩都为r，则下列命题中不正确的是( )．A．若s=t，则向量组(i)与(ii)等价B．若向量组(i)是(ii)的部分组，则向量组(i)与(ii)等价C．若向量组(i)能由(ii)线性表示，则向囊组(i)与(ii)等价D．若向量组(iii)：α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt的秩为r，则向量组(i)和(ii)等价正确答案：A解析：取向量组(i)：α1=则向量组(i)的秩为2，向量组(ii)的秩也为2．但显然(i)与(ii)不等价．故应选(A)．6．矩阵与( )相似．A．B．C．D．正确答案：D解析：令矩阵A=，则A的特征值为1和2．而(A)选项中矩阵的特征值为-1和-2，故矩阵A不与(A)选项的矩阵相似．又因为=2，而(B)选项中=0，(C)选项中=-2，故矩阵A不与(B)、(C)选项的矩阵相似．所以，矩阵A与(D)选项的矩阵相似．事实上，均与对角阵相似．再由相似的传递性，相似．故应选(D)．7．设随机变量X，Y，Z相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(2，2)，Z～N(3，7)，记a=P{X＜Y}，b=P{Y＜Z)，则( )．A．a＜bB．a＞bC．a=bD．无法确定正确答案：A解析：因为X-Y～N(-1，4)，Y-Z～N(-1，9)，则a=P{X＜Y}=P{X-Y＜0}=b=P{Y＜Z)=P{Y-Z＜0)=由于分布函数Ф(x)单调增加，所以a＞b．故应选(A)．8．设一批零件的长度服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2均未知．现从中随机抽取16个零件，测得样本均值=20cm，样本标准差S=1cm，则μ的置信度为0．90的置信区间是( )．(其中ta(n是上侧分位点)A．B．C．D．正确答案：C解析：由正态总体抽样分布的性质知，，故μ的置信度为0．90的置信区间是故应选(C)．填空题9．欧拉方程x2y’’+xy’-4y=x3的通解为___．正确答案：y=C1x2+x解析：令x=et，则原方程化为[D(D-1)+D-4]y=e3t，即(D2-4)y=e3t，(*)方程(*)对应的齐次方程的特征方程为r2-4=0，有根r1=2，r2=-2，故齐次方程的通解为Y=C1e2t+C2e-2t=C2x2+因为f(t)=e3t，λ=3不是特征方程的根，故可令y*=ae3t是方程(*)的一个特解，代入原方程x2y’’+xy’-4y=x3中，解得a=，即y*=e3t，因此原方程的通解为y=Y+y*=C1x2+x3．故应填y=C1x2+x3．10．幂级数的收敛半径为________．正确答案：或e-1解析：利用比值法或根值法先求l，再由R=即可．由于则R=11．设数量场，则div(gradu)=________．正确答案：解析：由题可得12．直线L1：x-1=的夹角为_______．正确答案：arccos解析：先利用两向量的向量积求出L2的方向向量，再由数量积便可得．L1的方向向量S1={1，2，1}，L2的方向向量S2为S2==-i-j+2k，因此所求夹角a 满足：则a=arccos故应填arccos13．设Dn=，则Dn中所有元素的代数余子式之和为______．正确答案：n!解析：利用公式Dn=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin，0=ai1Ai1+ai2Aj2+…+ainAjn(i ≠j)．因第一行元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值，所以1.A11+1.A12+…+1.A1n=Dn=n!．因第一行元素与第i(i≥2)行对应元素的代数余子式乘积之和等于零，所以 1.Ai1+1.Ai2+…+1.Ain=0．故所有元素代数余子式之和为n!．故应填n!．14．设X1，X2，…，Xn是取自总体X的样本，若估计量(Xi+1-Xi)2是总体方差σ2的无偏估计量，则k=________．正确答案：解析：令=σ2，从而得到k．(Xi+1-Xi)2]=E[(Xi+1-Xi)2]={D(Xi+1-Xi)+[E(Xi+1-Xi)]2}= 2σ2=2k(n-1)σ2，令故应填解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一(高等数学)模拟试卷239(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷239(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．下列关于反常积分∫－∞＋∞f(χ)dχ命题中真命题的个数是①设f(χ)是(－∞，＋∞)上连续的奇函数，则f－∞＋∞(χ)dχ必收敛，且∫－∞＋∞f(χ)dχ＝0；②设f(χ)在(－∞，＋∞)上连续，且∫-RRf(χ)dχ存在，则∫－∞＋∞f(χ)dχ必收敛，且∫－∞＋∞f(χ)dχ＝∫-RRf(χ)dχ；③若∫－∞＋∞f(χ)dχ与∫－∞＋∞g(χ)dχ都发散，则∫－∞＋∞[f(χ)＋g(χ)]dχ未必发散；④若∫－∞0f(χ)dχ与∫0＋∞f(χ)dχ都发散，则∫－∞＋∞f(χ)dχ未必发散．A．1个．B．2个．C．3个．D．4个．正确答案：A解析：反常积分∫－∞＋∞f(χ)dχ收敛的充分必要条件是存在常数a，使两个反常积分∫－∞af(χ)dχ和∫a＋∞f(χ)dχ都收敛．这时定义∫－∞＋∞f(χ)dχ＝∫－∞af(χ)dχ＋∫a＋∞f(χ)dχ这是判断题目中四个命题是否是真命题的依据．设f(χ)＝χ，则f(χ)是(－∞，＋∞)上连续的奇函数，且∫-RRf(χ)dχ＝0．但是∫－∞0f(χ)dχ＝∫－∞0χdχ＝∞，∫0＋∞f(χ)d χ＝∫0＋∞χdχ＝∞，故∫－∞＋∞f(χ)dχ发散，这表明命题①，②，④都不是真命题．设f(χ)＝χ，g(χ)＝－χ，由上面讨论可知∫－∞＋∞f(χ)d χ与∫－∞＋∞g(χ)dχ都发散，但∫－∞＋∞[f(χ)＋g(χ)]dχ收敛，这表明命题③是真命题．故应选A．知识模块：高等数学2．微分方程y〞－4y′＝2cos22χ的特解可设为A．Aχ＋B1cos4χ＋B2sin4χ．B．A＋B1cos4χ＋B2sin4χ．C．B1cos22χ＋B2sin22χ．D．B1cos4χ＋B2sin4χ．正确答案：A解析：原方程右端的非齐次项f(χ)＝1＋cos4χ，原方程相应齐次方程的特征方程是λ2－4λ＝0，特征根λ1＝0，λ2＝4．利用解的叠加原理：相应于非齐次项f1(χ)＝1，有形式为y1*(χ)＝Aχ(λ1＝0为单特征根)的特解，A 为待定常数；相应于非齐次项f2(χ)＝cos4χ，有形式为y2*(χ)＝B1cos4χ＋B2sin4χ的特解，B1，B2为待定常数．因此，原方程的特解可设为Aχ＋B1cos4χ＋B2sin4χ．应选A．知识模块：高等数学3．下列函数z=＝f(χ，y)在点(0，0)处不可微的是A．f(χ，y)＝｜χy｜．B．f(χ，y)＝．C．D．正确答案：B解析：这四个函数的共同点是：f(0，0)＝0，因为，对选项A，B，C都有对于选项D：在①式条件下，f(χ，y)在点(0，0)处可微f(△χ，△y)＝o(ρ)(ρ→0)无穷小量(ρ→0)，其中ρ＝．考察选项，由(χ．y)在点(0．0)处不可微．故应选B．知识模块：高等数学填空题4．设f(χ)＝则∫01f(χ)dχ＝_______．正确答案：sin1解析：由题设可知f(χ)在点χ＝0处不连续，但显然函数F(χ)＝是f(χ)的一个原函数．因为f(χ)在[0，1]上是只有一个间断点χ＝0的有界函数，所以在[0，1]上可积，从而∫01f(χ)dχ＝F(χ)｜01sin1．知识模块：高等数学5．若在f(χ)＝的原函数F(χ)的表达式中不包含对数函数，则常数a和b 必须满足条件_______．正确答案：a任意且b＝1．解析：按真分式的分解公式，有其中A，B，C，D为待定常数．从而F(χ)＝Aln｜1＋χ｜－ln(1+＋χ2)＋Darctanχ＋α，上式中α为任意常数．由此可见，要使F(χ)的表达式不包含对数函数，其充分必要条件为即χ2＋aχ＋b＝B(1＋χ2)＋D(1＋χ)2＝(B＋D)χ2＋2Dχ＋BχD 1＝B＋D，a＝2D，b＝B＋D 2D，b＝1，即a任意且b＝1．知识模块：高等数学6．∫(－χπ(χ＋cosχ)3dχ_______．正确答案：－12π解析：利用对称区间上奇偶函数定积分的简化计算公式知∫－ππ(χ＋cosχ)3dχ＝∫－ππ(χ3＋3χ2cosχ＋3χcos2χ＋cos3χ)dχ＝6∫0πχ2cosχdχ＋2∫0πcosχ2dχ，分别利用分部积分法和换元积分法，可得∫0πχ2cosχdχ＝∫0πχ2d(sinχ)＝χ2sinχ｜0π－∫0πsinχd(χ2)＝－2∫0πχsinχdχ＝2∫0πχd(sosχ)＝2(χcosχ｜0π－∫0πcosχd χ)＝－2(π＋sinχ｜0π)＝－2π，综合即得∫－ππ(χ＋cosχ)3dχ＝－12π．知识模块：高等数学7．｜tanχ｜arctaneχdχ＝_______．正确答案：ln2解析：利用被积函数的结合：设f(χ)在[－a，a]可积，则I＝f-aaf(χ)d χ∫-aaf(－t)dt＝∫-aaf(－χ)dχ两者结合起来得2I＝∫-aa[f(χ)＋f(－χ)]χ若f(χ)＋f(－χ)简单，可求得积I．本题中f(χ)＝｜tanχ｜arctane χ．于是有｜tanχ｜arctaneχdχ＝[｜tanχ｜arctaneχ＋｜tan(－χ)｜arctane－χ]dχ＝｜tanχ｜(arctaneχ＋actane－χ)dχ知识模块：高等数学8．设n是正整数，则＝_______．正确答案：解析：利用余角关系sin(－χ)＝cosχ，cos(－χ)＝sinχ可得知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

【数学考研】数学考研测试卷

（）
T T
7. 设 , 为 3 维列向量，矩阵 A ，其中 , 分别是 , 的转置，那么秩 r A 2 等价于 ,
T T
线性相关 8. 若矩阵 Amn 的行向量线性无关，那么方程 Ax b 有解
（）（）
9. 设 F1 x 与 F2 x 为两个分布函数，其相应的概率密度 f1 x 与 f 2 x 是连续函数，则
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太奇学硕【数学】教师选聘测试卷
一．判断题（ 10 2 ） 1. 数列 xn 是一个单调数列，所以数列 xn 存在极限 2. 一个函数在某点处一阶导数为零，二阶导数不为零，则该点是这个函数的最值（）（）
3. 设函数 f x 在 0, 上具有二阶导数，且 f x 0 ，令 un f n n 1, 2,... ，若 u1 u2 ，则 un 必定发散 4. 若 f x 是周期函数，则 5. 函数 f （）（）
3. 设函数 f t 在 0, 上连续，且满足方程 f t e
4 t

x2 y 2 4t 2

1 2 f x y 2 dxdy ，试求 f t 。 2
3
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4. 求 I
x
S
2
y 2 dydz y 2 z 2 dzdx z 2 x 2 dxdy ，S 是上半椭球面
A 1 2 B 1 2 C
1 2
D 1 2
10. 设 X1 , X 2 ,..., X n n 2 为来自总体 N 0, 1 的简单随机样本， X 为样本均值， S2 为样本方差，则（） B nS ~

考研数学二高等数学模拟试卷53_真题(含答案与解析)-交互

考研数学二（高等数学）模拟试卷53(总分64, 做题时间90分钟)3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1.设，求∫1 f(x)dx．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：令∫1 f(x)dx=A．则．两边在[0．1]上积分得2.已知f(x)=x 2一x∫02f(x)dx+2∫1 f(x)dx，求f(x)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：令∫02 f(x)dx=A，∫1 f(x)dx=B，则f(x)=x 2一Ax+2B，两边在[0，2]上积分得3.计算定积分SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：4.计算定积分SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：5.1 xarcsinxdx．计算定积分∫SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：6.计算定积分SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：7.计算定积分SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：8.计算定积分SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：9.计算定积分SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：10.计算定积分SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：11.设连续非负函数f(x)满足f(x)f(一x)=1，求SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：12.计算定积分∫-12 xe -|x| dx．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：∫-12 xe -|x|dx=∫-11 xe -|x|dx+∫12 xe -|x|dx =∫12 xe -xdx=一∫12 xd(e -x )=-xe -x |12+∫12 e -x dx=2e -1 -3e -213.计算积分SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：14.计算积分SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：15.计算积分SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：16.计算定积分SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：17.计算定积分SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：18.计算定积分SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：19.计算定积分SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：20.计算定积分SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：21.计算定积分SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：22.计算定积分SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：23.计算定积分SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：24.计算积分SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：25.计算定积分SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：26.π xln(sinx)dx．计算积分∫SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：27.计算积分SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：28.计算积分SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：29.计算积分SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：30.证明：∫01 x m (1一x) n dx=∫1 x n (1一x) m dx，并用此式计算∫1x(1一x) 50 dx．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：∫01 x m (1一x) n dx ∫10 (1-t) m t n (-dt)=∫1 x n(1-x) m dx．I=∫01 x(1一x) 50dx=∫1 x 50 (1一x)dx=∫1 x 50 dx-∫1 x 51 dx=31.求微分方程y"一y=4cosx+e x的通解．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：特征方程为λ 2一1=0，特征值为λ1 =一1，λ2=1， y"一y=0的通解为y=C1 e -x +C2e x，令y"一y=4cosx的特解为y1=a cosx+bsinx，代入得a=一2，b=0；令y"一y=e x的特解为y3=cxe x，代入得1。

考研数学数学二模拟试卷464_真题(含答案与解析)-交互

考研数学（数学二）模拟试卷464(总分60, 做题时间90分钟)选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.把当x→0时的无穷小量α=ln(1+x 2 )—ln(1+x 4 )，β=∫x2 tantdt，γ=arctanx—x排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是SSS_SINGLE_SELA α，β，γB γ，α，βC α，γ，βD γ，β，α该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：我们分别确定当x→0时，α、β、γ分别是x的几阶无穷小．当x→0时，α=ln(1+x 2 )—ln(1—x 4 )～x 2，因为ln(1+x 2 )～x 2，ln(1—x4 )～—x 4 =o(x 2 )．β=∫0x2 tantdt= —ln|cost||x2 = —lncosx 2 =—ln[cosx 2—1+1] ～1—cosx 2～可知当x→0时，γ～这表明当x→0时，α是关于x的2阶无穷小量，β是关于x的4阶无穷小量，而γ是关于x的3阶无穷小量．按题目的要求，它们应排成α，γ，β的次序．故应选C．2.下列函数在指定区间上不存在原函数的是SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：A，B中的函数在给定区间上均连续，因而存在原函数．C，D中的函数除点x=0外均连续，x=0是它们的间断点．不同的是，C中点x=0是函数f(x)的第二类间断点，D中x=0是函数f(x)的第一类间断点，指定的区间均含x=0．因此选D．3.设I1 = dx，I2= dx，则SSS_SINGLE_SELAI2＞1＞I1BI2＞I1＞1C1＞I2＞I1D1＞I1 >＞I2该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B解析：将1也写成区间[0，]上的一个定积分：从而为比较，I1，I2，1的大小，只要比较的大小．由于当x＞0时，x＞sinx，，所以I2 = =I1再比较当0＜x＜时，的大小即sinx与的大小．由图知于是I2＞I1＞1．故选B．4.设函数f(x)在区间(—1，1)内二次可导，已知f(0)=0，f′(0)=1，且f″(x)＜0当x∈(—1，1)时成立，则SSS_SINGLE_SELA 当x∈(—1，0)时f(x)＞x，而当x∈(0，1)时f(x)＜xB 当x∈(—1，0)时f(x)＜x，而当x∈(0，1)时f(x)＞xC 当x∈(—1，0)与x∈(0，1)时都有f(x)＞xD 当x∈(—1，0)与x∈(0，1)时都有f(x)＜x该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：由题设知，曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=x，而曲线y=f(x)在区间(—1，1)内是凸弧．由凸弧与其上某点处的切线的位置关系即知结论D正确，故应选D．5.设f(x)=+a(a为常数)，则SSS_SINGLE_SELA 当a＜—3或a＞0时，f(x)不可能无零点B 当a=0时，f(x)不可能仅有一个零点C 当a=—3时，f(x)不可能仅有一个零点D 当—3＜a＜0时，f(x)不可能仅有两个零点该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A解析：为确定f(x)=+a的零点个数先考察f(x)的单调性．求出现列表格标出f′(x)的正负号区间，相应地得到f(x)的单调性区间：所以f(x)在(—∞，—3)和(3，+∞)上单调减少，在(—3，3)上单调增加． y=f(x)在每个单调性区间上是否存在零点取决于单调性区间端点的函数值或极限值是否异号．故还要算出：f(x)=a，f(x)=—∞，f(3)=3+a，f(x)=a．综上计算结果可得：①当a＞0时，f(x)仅有两个零点；②当a=0时，f(x)只有一个零点x=0；③当—3＜a＜0时，f(x)仅有两个零点；④当a= —3时，f(x)只有一个零点x=3；⑤当a＜—3时，f(x)没有零点．故应选A．6.下列二元函数在点(0，0)处可微的是SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B解析：本题中的这4个函数均有f(0，0)=0，且B，C，D中均有=0．按可微定义，若f(0，0)=0，则 f(x，y)在点(0，0)处可微，且=0f(△x，△y)=o(ρ) (ρ→0)=o(1)，即无穷小量(ρ→0)，其中ρ=(B)中的f(x，y)满足：因此，B中的f(x，y)在点(0，0)处可微．故应选B．7.设A是5×4矩阵，r(A)=4，则下列命题中错误的为SSS_SINGLE_SELA AX=0只有零解BAA T X=0有非零解C 对任何5维向量β，AX=β都有解D对任何4维向量β，A T X=β都有无穷多解该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：A对，因为r(A)=未知数个数4． B对，因为AA T是5阶矩阵，而r(AA T )＜5． C错，因为存在5维向量β不可用A的列向量组表示，使得AX=β无解． D对，因为r(A T )=方程个数4，对任何4维向量β，r(A T|β)不会大于4．8.设A=，则下列矩阵中与A合同但不相似的是SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：首先可排除A，因为r(A)=2，而A矩阵的秩为1，所以它与A不合同．两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的特征值的正负性一样(即正，负数的个数对应相等)．而相似的充分必要条件是它们的特征值相同．因此应该从计算特征值下手．求出|λE—A|=λ(λ+3)(λ—3)，A的特征值为0，—3，3．显然C中矩阵的特征值也是0，—3，3，因此它和A相似，可排除．剩下BD两个矩阵中，只要看一个．D中矩阵的特征值容易求出，为0，—1，1，因此它和A合同而不相似． (也可计算出B中矩阵的特征值为0，1，4，因此它和A不合同．)2. 填空题1.设函数f(x)在x=1处二阶可导，又= —1，则f′(1)=_________，f″(1)=__________．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：0，—2解析：由条件f″(1)知f(x)在x=1的某邻域内一阶可导且f′(x)在x=1连续，由条件．现先求f′(1)再求f″(1)．2.T |sinnx|dx=_________．设n为正整数，则∫SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：2x+π｜sint｜dt为常数，于是解析：I= ｜sint｜以π为周期，∫x3.已知是f(x)当x＞0的一个原函数，则∫x 2f′(x)dx=__________．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(1nx—1)(1nx—2)+C解析：由题设知用分部积分法求不定积分，得∫x 2f‘(x)dx=x 2f(x)—2∫xf(x)dx =(1—lnx)—=1—lnx+2∫(1nx—1)d(lnx—1) =1—lnx+(lnx—1) 2 +C =(lnx—1)(lnx—2)+C．4.=_________．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：1解析：对被积函数直接进行放大与缩小，即5.设f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导，当x∈(0，+∞)时，f(x)＞0且单调上升，x=g(y)为y=f(x)的反函数，它们满足=t 3(t≥0)，则f(x)的表达式是_________．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：f(x)=x 2(x≥0)．解析：现简化题设方程的左端式子，有即tf(t)=t 3，f(t)= t 2(t≥0) 因此f(x)=x 2(x≥0)6.设实对称矩阵A=要使得A的正，负惯性指数分别为2，1，则a满足的条件是_________．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：a＜0或＞4．解析：A的正，负惯性指数分别为2和1的充分必要条件是｜A｜＜0(A的对角线元素有正数，不可能特征值都负)．求出｜A｜=—a 2 +4a，得答案．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2023上海高三数学二模汇编---十一选十

2023上海高三数学二模汇编---十一选十本文档为2023年上海市高三数学二模考试的汇编题集，其中包括了11个难度较高的题型，供高三学生备考参考。

第一题一次不等式一次不等式是中学数学中难度较低的题型，但是在高考中涉及到的概率较高。

本题为一次不等式中的较难考点，要求考生能够利用系数间的大小关系解出方程。

第二题不等式组不等式组是一次不等式的延伸，在高考中也是出现频率较高的题型。

本题要求考生能够根据不等式组的范式进行化简，解出其中的未知数。

第三题连续函数连续函数在数学中占据着重要的地位，在高考中也是经常出现的题型。

本题为连续函数中的难点，要求考生对连续函数的定义有深入了解，并能够化简复杂的等式。

第四题对数函数对数函数是数学中一种重要的函数类型，对于高三数学考生而言也比较常见。

本题为对数函数中的难点，要求考生能够深入理解对数函数，具有一定的推理能力。

第五题三角函数三角函数是中学数学中比较常见的一种函数类型，但是要想真正掌握三角函数包括其中的难点，还需要考生有着全面的知识储备。

本题中的正弦函数与余弦函数的组合考查考生对三角函数概念的掌握水平。

第六题极限极限是高中数学中比较有难度的一个章节，挑战性较高。

本题要求考生深入掌握极限的定义与性质，包括函数的单调性等。

第七题反函数反函数是数学中一个比较有深度的部分，而在高考中，反函数也是经常考察的一个知识点。

本题中的反函数的难度相对较高，要求考生具备较强的计算能力。

第八题微分中值定理微分学在高三数学中也是一门非常重要的课程，具有较高的深度和难度，需要考生进行钻研。

本题要求考生熟练掌握微分中值定理的概念，并能灵活运用。

第九题定积分积分学在高中数学课程中也是必不可少的一部分，对于高三学生首先得考虑如何用初等方法求出定积分。

本题为定积分中的难点之一，考查考生的计算能力。

第十题参数方程参数方程虽不是每一年都会在高考中出现，但对高中数学研究而言还是比较基础的。

本题考查的是平面直角坐标系中的参数方程，要求考生能够正确理解题目中的参数概念。

考研数学二(解答题)模拟试卷75(题后含答案及解析)

考研数学二（解答题）模拟试卷75(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设函数y=y(x)由方程xsiny—ex+ey=0所确定．求正确答案：一2 涉及知识点：一元函数微分学2．求正确答案：方法一因为当x→0时涉及知识点：函数、极限、连续3．设A是n阶矩阵，k为正整数，α是齐次方程组AkX=0的一个解，但是Ak－1α≠0．证明α，Aα，…，Ak－1α线性无关．正确答案：用定义证明．方法一设c1α+c2Aα+…+ckAk－1α=0，要推出每个ci=0．先用Ak－1乘上式两边，注意到当m≥k时，Amα=0(因为AkX=0)，得到c1Ak－1α=0．又因为Ak－1α≠0，所以c1=0．上式变为c2A α+…+ckAk－1α=0．再用Ak－2乘之，可得到c2=0．如此进行下去，可证明每个ci=0．方法二用反证法．如果α，Aα，…，Ak－1α线性相关，则存在不全为0的c1，c2，…，ck，使得c1α+c2Aα+…+ckAk－1α=0，设其中第一个不为0的系数是ci，则ciAi－1α+…+ckAk－1α=0，用Ak－i乘之，得ciAk－1α=0．从而Ak－1α=0，与条件矛盾．涉及知识点：向量组的线性关系与秩4．设α1，α2，…，αs线性无关，βi=αi+αi+1，i=1，…，s－1，βs=αs+α1．判断β1，β2，…，βs线性相关还是线性无关?正确答案：β1，β2，…，βs对α1，α2，…，αs的表示矩阵为｜C｜=1+(－1)s+1．于是当s为偶数时，｜C｜=0，r(C)＜s，从而r(β1，β2，…，βs)＜s，β1，β2，…，βs线性相关．当s为奇数时，｜C｜=2，r(C)=s，从而r(β1，β2，…，βs)=s，β1，β2，…，βs线性无关．涉及知识点：向量组的线性关系与秩5．设实对称矩阵A满足A2-3A+2E=O，证明：A为正定矩阵．正确答案：设λ为A的任一特征值，则存在X≠0，使AX=λE，于是(A2-3A+2E)X=(λ2-3λ+2)X=0，λ2-3λ+2-0λ=1或λ=2，因此A的特征值均大于0，故A正定．涉及知识点：二次型6．设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程z＝h(t)－(设长度单位为厘米，时间单位为小时)．已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0．9)，问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?正确答案：100小时；涉及知识点：微分方程7．设A，B满足A*BA=2BA一8E，其中求矩阵B。

高三数学上学期第二次模拟考试试题文含解析试题

一中2021-2021学年高三年级第二次模拟考试数学试卷〔文科〕考前须知：1．本套试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两个局部，一共150分，考试时间是是120分钟。

2．请将答案正确填写上在答题卡上，否那么无效。

第I 卷〔选择题一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

{}24A x N x =∈-<<，集合}{220B x x x =+-≤，那么A B =〔〕A. }{24x x -≤< B. {}2,1,0,1,2,3--C. }{21x x -<≤D. }{0,1【答案】D 【解析】{}{}}{}{2240,1,2,3.2021A x N x B x x x x x =∈-<<==+-≤=-≤≤{}0,1A B ∴⋂=选D1z ii=+在复平面上对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【分析】先进展复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的一共轭复数，分母变成一个实数，分子进展复数的乘法运算，整理成复数的HY 形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限. 【详解】∵复数1i i +=11112i i i i i-+⨯=-+,∴复数对应的点的坐标是〔11,22〕,∴复数1ii+在复平面内对应的点位于第一象限，应选A. 考点：复数的实部和虚部.点评：此题考察复数的实部和虚部的符号，是一个概念题，在解题时用到复数的加减乘除运算，是一个比拟好的选择或者填空题，可能出如今高考题的前几个题目中.0.5342,log π,c=log 2a b -== ，那么〔〕A. b a c >>B. b c a >>C. a b c >>D.a cb >>【答案】A 【解析】0.5342,log π,c=log 2a b -==0.53411121222log log π-＞＞，＞，＝． ∴b＞a ＞c ．应选A ．()2,0,0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，假设()4f a =，那么实数a=( )A. -4或者-2B. -2或者4C. -4或者2D. -2或者2 【答案】C 【解析】【分析】由分段函数解析式可得04a a ≤⎧⎨-=⎩或者204a a >⎧⎨=⎩，进而求解即可.【详解】由()2,0,0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，假设()4f a =，那么有：04a a ≤⎧⎨-=⎩或者204a a >⎧⎨=⎩，解得4a =-或者2. 应选C.【点睛】此题主要考察了分段函数求值，属于根底题.5.(,)2παπ∈，且sin cos αα+=，那么cos2=α 〔〕B. D.【答案】A 【解析】【分析】先通过求出sin2α，再利用平方关系求cos2α的值.【详解】因为sin cos αα+=，所以121+sin 2=sin 233αα∴=-，.因为(,)2παπ∈，且sin cos αα+=，所以33(,),242ππαπαπ∈∈，,2（），所以cos 23α=. 应选：A【点睛】此题主要考察二倍角公式和同角的平方关系，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.6.a ，b 均为单位向量，假设23a b -=，那么向量a 与b 的夹角为〔〕 A.6π B.3πC.23π D.56π【答案】B 【解析】【分析】根据向量的模定义与向量数量积化简式子，并可求得向量a 与b 夹角的余弦值，进而求得θ的值。

太奇综合模考A1卷

绝密绝密★★启用前2012年全国年全国硕士研究生硕士研究生硕士研究生入学入学入学统一统一统一考试考试管理类专业管理类专业硕士学位硕士学位硕士学位联考联考综合综合试卷试卷试卷【A A 1】考生须知1．选择题的答案须用2B 铅笔填涂在答题卡上，其它笔填涂的或做在试卷或其它类型答题卡上的答案无效。

2．其他题一律用蓝色或黑色钢笔或圆珠笔在答题纸上按规定要求作答，凡做在试卷上或未做在指定位置的答案无效。

3．交卷时，请配合监考人员验收，并请监考人员在准考证相应位置签字（作为考生交卷的凭据）。

否则，所产生的一切后果由考生自负。

姓名：听课证号：太奇2012年管理类专业学位全国联考综合综合测试测试A1一、问题求解问题求解（本大题共15题，每小题3分，共45分，在每小题的五项选择中选择一项）1. 某人于2006年7月1日去银行存款a 元,存的是一年定期储蓄；2007年7月1日他将到期存款的本息一起取出,再加a 元后,还存一年的定期储蓄,此后每年7月1日他都按照同样的方法,在银行存款和取款；设银行一年定期储蓄利率r 不变,则到2011年7月1日,他将所有的存款和利息全部取出时,取出的钱数共有多少元？（）A.5(1)a r +B.5[(1)(1)]a r r +++C.6[(1)(1)]a r r r +−+ D.5[(1)]a r r r +− E.()61a r r+ 2. 甲、乙两艘小游艇,静水中甲艇每小时行2.2千米,乙艇每小时行1.4千米．现甲、乙两艘小游艇于同一时刻相向出发,甲艇从下游上行,乙艇从相距18千米的上游下行,两艇于途中相遇后,又经过4小时,甲艇到达乙艇的出发地,则水流速度为每小时多少千米？（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5E.0.63. 如图,AD//BC,AB⊥AD,AB⊥BC,扇形ABD 的半径是4厘米,阴影部分②比阴影部分①大6.56平方厘米,求直角梯形ABCD 的面积(π取3.14). （）A．12 B．14 C．16 D．18 E．204. 在矩形ABCD 中,已知两邻边AD=12,AB=5,P 是AD 边上任意一点,PE⊥BD,PF⊥AC,E、F分别是垂足,那么PE+PF=（） A．1360 B．4 C．1350 D．3 E．13335. 一堆围棋子黑白两种颜色,拿走15枚白棋子后,黑子与白子的个数之比为2:1；再拿走45枚黑棋子后,黑子与白子的个数比为1:5,则原来黑棋子比白棋子多多少枚？（）A.5B.10C.15D.20E. 256. 男女运动员各一名,在环形跑道上练习长跑,男运动员比女运动员速度快.如果他们从同一起跑点沿相反方向同时出发,那么每隔25秒相遇一次.现在,他们从同一起跑点沿相同方向同时出发,男运动员经过15分钟追上女运动员,并且比女运动员多跑了16圈,此时,女运动员跑了( )圈.A.8B.14C.12D.10E.167. 长方体的所有棱长之和为24,表面积为12,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是（）.A.20πB.21πC.48πD.36πE.24π8. 在项数为2n的等差数列中,各奇数项之和为75,各偶数项之和为90,末项与首项之差为27,则n 之值是多少？ ( )A.4B.5C.6D.7E.89. 二次方程02)1(22=−+++a x a x 有两个实根,且一个根比1大,另一个根比1−小,则a 的取值范围是( ).A.13<<−aB.02<<−aC.01<<−aD.20<<aE.23<<−a10. 把一颗骰子投掷两次,观察向上的点数,并记第一次出现的点数为A,第二次出现的点数为B,则直线10Ax By ++=与210x y −−=垂直的概率为( ). A.112 B.118 C.19 D.16 E.1311. 某人在路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是13,遇到红灯时停留的时间都是2min,则此人在路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min 的概率是( ).A.1681 B.2481 C.3281 D.5681 E.8912. 某高校举行一次演讲比赛共有10位同学参赛,其中一班有3位,二班有2位,其它班有5位,若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班的3位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连),而二班的2位同学没有被排在一起的概率为( ). A.110 B.140 C.120 D .130 E.16013. 如图,样本A 和B 分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为A B x x 和,样本标准差分别为A s 和B s ,则( ) A．A x ＞B x ,A s ＞B s B．A x ＜B x ,A s ＞B s C．A x ＞B x ,A s ＜B sD. A x ＜B x ,A s ＜B sE. 以上结论都不正确14．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡使用,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为( ). A.2140 B.1740 C.310 D.7120 E.16015. 已知函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象经过点()3,1−和()1,1两点,若10<<c ,则a 的取值范围是( ).A.()3,1B.[]3,1 (C)[)3,2 D. ()2,1 E.[)2,1二、条件充分性判断条件充分性判断（本大题共10小题,每小题3分,共30分）解题说明解题说明：：本大题要求判断所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论。

考研数学二模考试卷一

（10）下列函数中在指定区间上不存在原函数的是（（A） f ( x ) =
∫
x
0
| t | dt , x ∈ [−1, 2]
1 ⎧ ⎪2 x sin , x ≠ 0 （B） f ( x) = ⎨ , x ∈ (−∞,+∞) x ⎪ x=0 ⎩0, 1 1 ⎧ ⎪2 x sin − cos , x ≠ 0 , x ∈ [−1,1] （C） f ( x) = ⎨ x x ⎪ x=0 ⎩0,
其中
ln(1 + ( x − sin x)) ~ x − sin x ( x → 0)
1 − cos x ~
应填
1 2 x 2 n = 6.
( x → 0)
（6）【答案】 -25 【分析】按特征值特征向量定义，有
量，求 A * 的特征值与特征向量. （23）（本题满分 8 分）已知 n 维向量组（Ⅰ） a1 , a 2 , " , as 与（Ⅱ） β 1 , β 2 , " , β t 有相同的秩，且（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表出.证明向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价.并举例说明仅秩 r （Ⅰ）= r （Ⅱ），（Ⅰ）与（Ⅱ）可以不等价.
2 xy 2 + x 2 yy '+ y ' = 0
对 x 求导并令 x = 0 时
2 x( y 2 )'x | x = 0, ( x 2 yy' )'x |x = 0 = 0
（3）【答案】 1-
3 ex 2e − 1
５
【分析】由变限积分的性质知， y ( x) 可导，将方程两边求得
y ( x) − y ' ( x) = 1 ，即 y ' ( x) − y ( x) = −1

考研数学二一元函数积分学模拟试卷53_真题(含答案与解析)-交互

考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷53(总分60, 做题时间90分钟)选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.积分( )SSS_SINGLE_SELABCD分值: 2答案:D解析：2.设f(x)在[a，b]上非负，在(a，b)内f"(x)＞0，f'(x)＜0．I3=(b-a)f(b)，则I1，I2，I3的大小关系为 ( ) SSS_SINGLE_SELAI1≤I2≤I3BI2≤I3≤I1CI1≤I3≤I2DI3≤I2≤I1分值: 2答案:D解析：由于f'(x)＜0，f"(x)＞0，故y=f(x)单调递减且图形为凹．如图1．3—1所示，I1是梯形ABCD的面积，I2是曲边梯形ABCD的面积，I3是长方形A1 BCD的面积．由图可知I3≤I2≤I1．3.函数的最小值为 ( )SSS_SINGLE_SELAB 一1C 0D分值: 2答案:A解析：令得唯一驻点知f(x)在处取最小值4.设f(x)连续，则在下列变上限积分中，必为偶函数的是 ( )SSS_SINGLE_SELABCD分值: 2答案:A解析：奇函数的原函数是偶函数(但要注意，偶函数f(x)的原函数只有为奇函数，因为其他原函数与此原函数相差一个常数，而奇函数加上一个非零常数后就不再是奇函数了)，选项(A)中被积函数为奇函数，选项(B)，(C)中被积函数都是偶函数，选项(D)中仅能确定为非负函数，故变上限积分不一定是偶函数．应选(A)．5.设函数f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0．则方程在(a，b)内的根有( )SSS_SINGLE_SELA 0个B 1个C 2个D 无穷多个分值: 2答案:B解析：令则 F(x)在[a，b]上连续，而且故F(x)在(a，b)内有根．又所以F(x)单调递增，它在(a，b)内最多只有一个根．应选(B)．2. 填空题1.定积分分值: 2答案:正确答案：解析：因为x 2 sinx是奇函数，故在上的定积分为0．所以2.设f(x)连续，f(0)=1，则曲线在(0，0)处的切线方程是___________．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：y=x解析：曲线在(0，0)处的切线斜率所以曲线在(0，0)处的切线方程为y=x．3.设则SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：解析：作定积分换元x+1=t，则4.SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：0解析：被积函数是奇函数，在对称区间[一2，2]上积分为零．5.设f(x)为连续函数，且则F'(x)=____________．分值: 2答案:正确答案：解析：由变限积分求导公式即知．6.SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：1解析：7.设f(x)是连续函数，且则f(7)=____________．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：解析：要从变上限积分得到被积函数，可以对变限积分求导．等式两边对x求导得 f(x 3 -1)·3x 2 =1，令x=2，即得8.SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：ln3解析：因是奇函数，因此所以解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

贵州省黔南布依族苗族自治州2024年数学(高考)部编版第二次模拟(综合卷)模拟试卷

贵州省黔南布依族苗族自治州2024年数学（高考）部编版第二次模拟(综合卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题设函数，其中，，存在使得成立，则实数的值为A．B．C．D．第(2)题已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点.若为直角三角形，则（）A．B．C．D．第(3)题给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”，经探究发现，任意一个三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是该函数的对称中心，若，则A．4032B．4030C．2016D．2015第(4)题老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（）A．248种B．168种C．360种D．210种第(5)题下列函数中，与函数的奇偶性、单调性均相同的是（）．A．B．C．D．第(6)题如图为2022年全国居民消费价格涨跌幅统计图，则下列说法错误的是（）A．环比的极差小于同比的极差B．环比的中位数为C．环比的方差小于同比的方差D．同比的平均数约为第(7)题设双曲线的右焦点为，以原点为圆心，焦距为直径长的圆与双曲线在轴上方的交点分别为，，若，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．第(8)题蒙特卡洛方法是第二次世界大战时期兴起和发展起来的，它的代表人物是冯·诺依曼，这种方法在物理、化学．生物，社会学等领域中都得到了广泛的应用．在概率统计中我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法．甲、乙两名选手进行比赛，采用三局两胜制决出胜负．若每局比赛甲获胜的的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用随机模拟的方法估计甲最终赢得比赛的概率，由计算机随机产生之间的随机数，约定出现随机数0、1或2时表示一局比赛甲获胜，现产生了20组随机数如下：312 012 311 233 003 342 414 221 041 231 423 332 401 430 014 321 223 040 203 243，则依此可估计甲选手最终赢得比赛的概率为（）A．0.6B．0.65C．0.7D．0.648二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

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0 n
2
lim n x n x 2 n dx ____ .
'
1 1 lim ' x a f a x a f x f a

a 0 ，则
。
11. 曲线 y x ln e 12. 设 z
13.若 A 为 n 阶正交矩阵，且 A 1 ，则 A E
x 0
f (2) 2 f ( x)dx, 证明：存在 (0, 2), 使得 f ' ( ) f " ( ) 0.
2
x
0,
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3
只要太阳还在升起，我就必能创造奇迹！
（1）求 F ( x ) 关于 x 的幂级数；（2）求 18. 过点 P 1, 0 作曲线 y
1 2 z f xy y x y ， f 和具有二阶连续导数，则 x xy
。
1 ( x 0) 的渐近线方程为 x
。
。
3 y2 , 2 y 2 14.设随机变量 X , Y 不相关， X ~ U ( 3,3), Y 的密度函数为 fY ( y ) 16 0, others.
0 1
7. 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分布服从正态分布 N 0,1 和 N 1,1 ，则（（A） P X
（A） A PP 1 2
1
0 0
0 1 0 ，其中 A 可逆，则 B 0 1
a14 a14 a a 24 , B 24 a 34 a 34 a 44 a 44
(D) 同阶但非等价的无穷小
）
（A）两个偏导数均存在，且函数连续（B）两个偏导数均存在，函数不连续（C）两个偏导数不存在，函数连续
（D）两个偏导数均不存在，函数也不连续
4. 设 un 0 n 1, 2, 3, ，且 lim （A）发散（B）绝对收敛
x3 1 x3 （C） 1
a13 a 23 a 33 a 43
a12 a 22 a 32 a 42
a11 0 a 21 ，P 0 1 0 a 31 a 41 1
（B） a 7 （D） a 任意
0 1 0 0
0 0
1 0
1 0 ， 0 0
(
)
(B) P 1A P 2
yf ( x, y, z ) x dydz xf ( x, y, z ) y dzdx 2 xyf ( x, y, z ) z dxdy.

20. 设方程组 ( I)
其公共解.
1 2 0 2 3 4 1 , 2 3 , 4 , r ( B ) 2. 问方程组 ( I ) 与 BX 0 是否有公共的非零解？若有公共解求出 3 5 5 4 8 5
16.设 f ( x ) 在 [0, 2] 连续，在 (0, 2) 内二阶可导，且 lim
x 1 3 2 1
1
1
ln f ( x) 2 cos

17. 设 f ( x ) 的一个原函数为 F ( x ) ，且 F ( x ) 为方程 xy ' y e x 的满足 lim y ( x ) 1 的解.
只要太阳还在升起，我就必能创造奇迹！
(A) 低阶无穷小
1.设 f ( x )
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

0
x
dt t ln(1 u 2 )du , g ( x)
x1 x2 0 , 1 , 2 , 3 , 4 为四元非齐次线性方程组 BX b 的四个解，其中 x2 x4 0
21.设 A 是 n 阶矩阵，A 的第 i 行、第 j 列的元素为 aij i j ，求：（1） r A
22. 设 X , Y 的概率密度为 f x, y （1） X , Y 是否相互独立？
（2）求 Z 2 X Y 的密度 f z z ；(3)求 P Z 3
U X Y 的方差。
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4
根据切比雪夫不等式，有 P (| X Y | 3) ______ . 三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
f ( x) x lim 1 x e3 , 其中 f ( x) 连续，求 lim 1 f ( x) x 15.设 x 0 x x 0 x
0 t
xy , x, y 0, 0 ，则 f x, y 在点 0, 0 处（ 2. 设 f x, y x 4 y 4 x, y 0, 0 0,
2
(B) 高阶无穷小
(C) 等价无穷小
0
sin x 2
(1 cos t ) dt ，则当 x 0 时， f ( x) 是 g ( x) 的（）
(n 1)! 的和.
n 1
n
（1）该切线与曲线及 x 轴围成的平面图形的面积；（2）该平面图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体体积；
x 2 的切线，求：
（3）该平面图形绕直线 y 1 旋转一周所成旋转体体积。
19. 设 f ( x, y , z ) 连续，为曲面 2 z x 2 y 2 位于 z 2 与 z 8 之间部分的上侧，计算
2
（C）条件收敛
2
（D）不能判定收敛性
2
定，则参数 a 的取值范围是（（A） a 2 （C） a 0
a11 6.设 A a 21 a 31 a 41
1 0 P2 0 0 0 0 1 0
）
a12 a 22 a 32 a 42
a13 a 23 a 33 a 43
2
1 2

(D) P X Y 1
1 2
别为
(A) k 9.
二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．． 10. 设函数 f x 在 a 的邻域内二阶可导， f
1 1 1 1 , n 1 （B） k , n 1 （C） k , n 4 （D） k , n 4 2 4 4 2
x3 1 x3 （D） 1
y 1 z 3 3 1 y 1 z 3 3 1
）
）
5. 二次型 f x1 , x2 , x3 x1 2 x2 x3 x1 a 4 x2 2 x3 2 x1 x2 ax3 正
（A）
3. 曲线 z xy 上与平面 x 3 y z 3 0 相切的切点处的法线方程为（
y 1 3 y 1 3
z 3 1 z 3 1
（B）
n 1 n 1 1 ，则级数 1 （ n u i 1 un un 1 n n
绝密*启用前
2016 年全国硕士研究生招生考试数学（一）
（科目代码：301）
考生注意事项
1. 答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号的信息点。 2. 考生须把试题册上的“试卷条形码”粘贴条取下，粘贴在答题卡的“试卷条形码粘贴位置”框中，不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的，责任由考生自负。 3. 选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。 4. 填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用 2B 铅笔填涂。 5. 考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。
1
(C) P 1P 2A
1
(D) P2 A P 1
1
）
Y 0
1 2
(B) P X Y 1
1 2
2
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(C) P X Y 0
2 4 8. 设随机变量 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 独立同分布，都服从正态分布 N 1,1 ，且 k X i 4 服从 n 分布，则 k , n 分 i 1
（2）A 的特征值、特征向量，并求 A 是否可以相似于对角矩阵，若能，求出相似对角阵；若不能，说明理由。
e y , 0 x 1, y 0 0 , 其他
23. 设随机变量 X 和 Y 的联合分布在以点 0,1 , 1, 0 , 1,1 为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量