hankel实现

基于Hankel 阵的实现
Markov 系数
对于单变量系统，给定其传递函数1111111...()...n n n n n n n
b s b s b g s s a s a s a -----+++=++++ (1)，将其展开为幂指数级数为
123()(1)(2)(3)...
g s h s h s h s ---=+++ (2) 则{(1),(2),(3),...,(),...}h h h h n 称为Markov 系数。

对于连续系统，若()g t 为系统的脉冲响应，则有
1
01()()|k t k d h k g t dt
-=-= 对于离散系统 ()()
1,2,3,..
h k g k k == 下面来推导Markov 系数
由(1)、(2)可得 1212311211...[(1)(2)(3)...](...)n n n n n n n b s b s b s b h s h s h s s a s a -------++++=++++++ 展开后根据左右系数相等可得：
1
12
1201111(1)(2)(1)...
...()(1)...(1)(1)() (1)
()(1)...()n n n n
n n s h b s h a h b s h n a h n a h b h n a h n a h h n k a h n k a h k ---==-+=----++=---+=-+---
由Markov 系数构造如下矩阵：
(1)(2)...()
(2)
(3)...(1).........(,)()
(1)...(1).........()(1)...(21)h h h n l h h h n l T n k n l h n h n h n l n h n k h n k h n k l +⎛⎫ ⎪++ ⎪ ⎪++= ⎪+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++++-⎝
⎭ 这就是系统的Hankel 阵。

系统的阶次由Hankel 阵的秩决定 定理：传递函数()g s 阶次为n 的充要条件为：
(,)(,),,1,2,r a n k T n k n l
r a n k T n n n k l ++=== 其中rank 记为矩阵的秩。

基于Hankel 阵的实现
1()()g s C s I
A B -=- (3) 将(3)式展开为：
1223()...g s C B s C A B s C A B s ---=+++
与（1）式比较，根据系数相等可得：
1()1,2,3,...
i h i C A B i -== （4） 则根据(4)式构造矩阵：
()11112......(,)...............n n n n n n n C CB CA B CA CAB CA B T n n B AB A B OC CA CA B CA B -----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()223112111(2)(3)...(1)...(3)(4)...(2)...(,)..................(1)(2)
...(2).........n n n n n n n h h h n CAB CA B CA B h h h n CA B CA B CA B T n n h n h n h n CA B CA B CA B C CA A B AB A B OAC
CA ++---+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭
若记系统的实现为{,,}A B C ，则有实现如下：
22212(,)(,,...,),T T n T n n Kdiag L KK I LL I σσσ===，其中,K L 为正交矩阵。

作
如下选择：
121211{,,...,},{,,...,}(,)n n O Kdiag C diag L
A O T n n C σσσσσσ--===
基于Hankel 奇异值降阶
若Hankel 阵的奇异值12...n σσσ≥≥≥，并且1231,,,...,,...,k k n σσσσσσ ，相应的实现为：
11112112122222x A A x B u A A x B x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()1122x y C C x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
则根据奇异值发生大跳变，系统可降阶为：
1111111x A x B u y C x =+=
此时降阶后系统的传递函数为
1
111()()g s C s I A B -=-。