广东省2017中考数学第一部分考点研究第五章四边形第二节矩形菱形和正方形试题
2017年广东省中考数学试卷(含答案解析版)
中考数学二轮专题复习-矩形、菱形及正方形及答案详解
中考数学二轮专题复习-矩形、菱形及正方形一、单选题1．下列四边形中，对角线互相垂直平分的是（）A．平行四边形、菱形B．矩形、菱形C．矩形、正方形D．菱形、正方形2．下列测量方案中，能确定四边形门框为矩形的是（）A．测量对角线是否互相平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量对角线是否相等D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等3．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（）A．B．C．D．4．如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（）A．甲与丙B．甲与乙C．乙与丙D．三个矩形都不相似5．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝，AE＝3，则tan∠DBE的值是（）A．B．2C．D．6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是边AB的中点，连结OE.若菱形ABCD的面积为24，AC＝8，则OE的长为（）A．B．3C．D．57．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一点，且BE：CE＝1：3，DE交AC于点F，若DE＝10，则CF等于()A．B．C．D．8．如图，矩形中，对角线交于点O，，则矩形的面积是（）A．2B．C．D．89．如图，将长、宽分别为6cm，cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（）A．cm2 B．（36）cm2C．cm2D．cm210．如图所示，反比例函数的图象经过矩形OABC的边AB的中点，则矩形OABC的面积为（）A．2B．4C．5D．811．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD ，垂足分别为点E，F，连结EF，则△AEF 的面积是（）A．B．C．D．12．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥EF，DF⊥EF，BE=2.5dm，DF=4dm，那么EF的长为（）A．6.5dm B．6dm C．5.5dm D．4dm13．将一矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上的F处，若，则的值为（）A．B．C．D．14．正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为（）A．6B．8C．10D．915．如图，在矩形ABCD中，对角线、BD交于C，，垂足为E，，那么的面积是（）A．B．C．D．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CI⊥HJ于点I，交AB于K，在图形的外部作矩形MNPQ，使点D，E，G和H，J都落在矩形的边上.已知矩形BJIK的面积为1，正方形ACDE的面积为4，则为（）A．B．C．D．17．如图，正方形的边长为a，点E在边上运动（不与点A，B重合），，点F在射线上，且与相交于点G，连接．则下列结论：①，② 的周长为 ，③；④当 时，G 是线段 的中点，其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①④C ．①③④D ．①②③④ 18．如图，菱形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 上的点，AC 与EF 相交于点G ，若， ，则FG 的长为（ ）A ．B ．2C ．3D ．419．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以△ABC 的各边为边分别作正方形BAHI ，正方形BCFG 与正方形CADE ，延长BG ，FG 分别交AD ，DE 于点K ，J ，连结DH ，IJ.图中两块阴影部分面积分别记为S 1，S 2.若S 1：S 2＝1：4，S 四边形边BAHE ＝18，则四边形MBNJ 的面积为（ ）A．5B．6C．8D．920．如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜边AB＝10，分别以△ABC的三边长为边在AB上方作正方形，S1，S2，S3，S4，S5分别表示对应阴影部分的面积，则S1+S2+S3+S4+S5＝（）A．50B．50C．100D．100二、填空题21．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC=OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是正方形，那么所添加的条件可以是(写出一个即可)22．如图，分别以Rt△ABC三边构造三个正方形，面积分别为S1，S2，S3，若S1=15，S3=39，则S2=.23．如图，在平面直角坐标系中，点A1（1，0）、A2（3，0）、A3（6，0）、A4（10，0）、……，以A1A2为对角线作第一个正方形A1C1A2B1，以A2A3为对角线作第二个正方形A2C2A3B2，以A3A4，为对角线作第三个正方形A3C3A4B3，……，顶点B1，B2，B3……都在第一象限，按照此规律依次下去，则点Bn的坐标为.24．如图，菱形ABCD的对角线，BD相交于点，，，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为.25．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为.26．建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标.现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是.27．如图，正方形ABCD的边长为4，P是边CD上的一动点，EF⊥BP交BP于G，且EF平分正方形ABCD的面积，则线段GC的最小值是.28．正方形ABCD的边长为4，点E是BC边上的一动点，连结AE，过点B作BF⊥AE于点F，以BF为边作正方形FBHG，当点E从B运动到C时，求CF的最短距离为；线段HG扫过的面积为29．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将△BCD沿射线BD平移长度a（a＞0）得到△B'C'D'，连接AB'，AD'，则当△AB'D'是直角三角形时，a的长为.30．如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝16，以PQ 为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为．三、计算题31．如图，在中，，D为的中点，，，连接交于点O.（1）证明：四边形为菱形；（2）若，，求菱形的高.32．如图，已知在矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点E，F分别在边CD，AB上，且DE=BF.（1）求证:四边形AFCE是平行四边形；（2）若□AFCE是菱形，求菱形AFCE的边长.四、解答题33．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，AD＝BC，求证：四边形EFGH是菱形．34．如图，矩形ABCD中，BC=4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形A′B′C′D′，此时点B′恰好落在边AD上．连接B′B，若∠AB′B=75°，求旋转角及AB长．35．如图，△ABC中，点D是边AC的中点，过D作直线PQ∥BC，∠BCA的平分线交直线PQ于点E，点G是△ABC的边BC延长线上的点，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．求证：四边形AECF是矩形．36．在几何探究问题中，经常需要通过作辅助线（如，连接两点，过某点作垂线，作延长线，作平行线等等）把分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的.（1）（探究发现）如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，，连接EF.通过探究，可发现BE，EF，DF之间的数量关系为（直接写出结果）.（2）（验证猜想）同学们讨论得出下列三种证明思路（如图1）：思路一：过点A作，交CD的延长线于点G.思路二：过点A作，并截取，连接DG.思路三：延长CD至点G，使，连接AG.请选择你喜欢的一种思路证明（探究发现）中的结论.（3）（迁移应用）如图2，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且，，设，试用含的代数式表示DF的长.37．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当≤S≤5 时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．38．阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边中，是边上一点(不含端点)，是的外角的平分线上一点，且.求证：.点拨：如图②，作，与的延长线相交于点，得等边，连接.易证：，可得；又，则，可得；由，进一步可得又因为，所以，即：.问题：如图③，在正方形中，是边上一点(不含端点)，是正方形的外角的平分线上一点，且.求证：.五、综合题39．将绕点A按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的n倍，得，如图①，我们将这种变换记为.（1）如图①，对作变换得，则；直线与直线所夹的锐角为度；（2）如图②，中，，对作变换得，使点B、C、在同一直线上，且四边形为矩形，求和n的值；（3）如图③，中，，对作变换得，使点B、C、在同一直线上，且四边形为平行四边形，求和n的值. 40．如图（1）如图1，正方形ABCD与调研直角△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，连接BE、DF，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为β，则＝；β＝；（2）如图2，矩形ABCD与Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，且AD＝2AB，AF＝2AE，连接BE、DF，将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为β，请求出的值及β的度数，并结合图2进行说明；（3）若平行四边形ABCD与△AEF有公共项点A，且∠BAD＝∠EAF＝α(0°＜α＜180°)，AD＝kAB，AF＝kAE(k≠0)，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的锐角的度数为β，则：①＝；②请直接写出α和β之间的关系式．答案解析部分【解析】【解答】解：∵平行四边形对角线互相平分，菱形对角线互相垂直平分，矩形对角线互相平分且相等，正方形对角线互相垂直平分且相等，∴A、B、C不符合题意，D符合题意.故答案为：D.【分析】根据平行四边形对角线互相平分，菱形对角线互相垂直平分，矩形对角线互相平分且相等，正方形对角线互相垂直平分且相等，即可得出答案.【解析】【解答】解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，而对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，∴选项A不符合题意；B、∵两组对边分别相等是平行四边形，∴选项B不符合题意；C、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，∴对角线相等的四边形不是矩形，∴选项C不符合题意；D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等，∴对角线互相平分且相等，∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴选项D符合题意.故答案为：D.【分析】利用对角线互相平分且相等的四边形是矩形，可作出判断.【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD=90°，∴BD=2OH，∵OH=2，∴BD=4，∵OA=3，∴AC=6，∴菱形ABCD的面积．故答案为：A．【分析】根据菱形的性质和直角三角形斜边上的中线定理求出对角线的长即可求出菱形的面积。
2017年广东省中考数学试卷及答案
2017年广东省初中毕业生学业考试数 学说明：1.全卷共6页，满分为120 分，考试用时为100分钟。
2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号。
用2B 铅笔把对应该号码的标号涂黑。
3.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上。
4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再这写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
5.考生务必保持答题卡的整洁。
考试结束时，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.1. 5的相反数是( )A.15B.5C.-15D.-52.“一带一路”倡议提出三年以来，广东企业到“一带一路”国家投资越来越活跃.据商务部门发布的数据显示。
2016年广东省对沿线国家的实际投资额超过4 000 000 000美元.将4 000 000 000用科学记数法表示为( )A.0.4×910B.0.4×1010C.4×910D.4×1010 3.已知70A ∠=︒,则A ∠的补角为( )A.110︒B.70︒C.30︒D.20︒ 4.如果2是方程230x x k -+=的一个根，则常数k 的值为( )A.1B.2C.-1D.-2 5.在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90，80，95，则这组的数据的众数是( ) A.95 B.90 C.85 D.80 6.下列所述图形中， 既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A.等边三角形B.平行四边形C.正五边形D.圆 7.如题7图，在同一平面直角坐标系中，直线11(0)y k x k =≠与双曲 线22(0)k y k x=≠ 相交于A 、B 两点，已知点A 的坐标为（1，2）， 则点B 的坐标为( )A.（-1，-2）B.（-2，-1）C.（-1，-1）D.（-2，-2） 8.下列运算正确的是( )A.223a a a += B.325·a a a = C.426()a a = D.424a a a +=9.如题9图，四边形ABCD 内接于⊙O ，DA=DC ，∠CBE=50°， 则∠DAC 的大小为( )A.130°B.100°C.65°D.50°10.如题10图，已知正方形ABCD ，点E 是BC 边的中点，DE 与AC 相交于点F ，连接BF ，下列结论：①ABF ADF S S =△△；②4CDF CBF S S =△△；③2ADF CEF S S =△△；④2ADF CDF S S =△△,其中正确的是( ) A.①③ B.②③ C.①④ D.②④二、填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分)请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.11.分解因式：a a +2 .12.一个n 边形的内角和是720︒，那么n= . 13.已知实数a,b 在数轴上的对应点的位置如题13图所示， 则a b ÷ 0(填“>”,“<”或“=”).14.在一个不透明的盒子中，有五个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，题7图4，5.随机摸出一个小球，摸出的小球标号为偶数的概率是 . 15.已知431a b ÷=，则整式863a b ÷-的值为 .16.如题16图（1），矩形纸片ABCD 中，AB=5,BC=3,先按题16图（2）操作，将矩形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠，使点D 落在边AB 上的点E 处，折痕为AF ；再按题16图（3）操作：沿过点F 的直线折叠，使点C 落在EF 上的点H 处，折痕为FG,则A 、H 两点间的距离为 .三、解答题(一)（本大题共3题，每小题6分，共18分）17.计算：21|7|(1)3π-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭.18.先化简，再求值211(x 4)22x x ⎛⎫+÷- ⎪-+⎝⎭，其中.19.学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书。
初中考数学专题总复习《四边形》矩形、菱形、正方形
∵BE＝DF，
∴OE＝OF.(2分)
在△AOE和△COF中，
OA＝OC
∠AOE＝∠COF
OE＝OF ∴△AOE≌△COF(SAS)， ∴AE＝CF；(4分)
第2题图
(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
(2)解：∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD， ∴OA＝OB. ∵∠AOB＝∠COD＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝AB＝6， ∴AC＝2OA＝12，(6分) 在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝ AC 2 AB2 ＝6 3 ， ∴S矩形ABCD＝AB·BC＝6×6 3 ＝36 3 .(8分)
第5题图
(1)证明：∵对角线AC的中点为O， ∴AO＝CO. ∵AG＝CH， ∴AO－AG＝CO－CH.即GO＝HO. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD. ∴∠OAE＝∠OCF. 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△OAE≌△OCF(ASA)．
第5题图
∴OE＝OF. ∴GH与EF互相平分， ∴四边形EHFG是平行四边形；
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
第1题图
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD. ∴OC＝OD，∴四边形OCED是菱形．
母题变式 改变条件、增加设问→在矩形基础上构造菱形，增加设问及解题难度． 2. (2020德阳)如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点，连接GC并延长 至F，使CF＝GC，以DC，CF为邻边作菱形DCFE.连接CE. (1)判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论；
第6题图
(2)若∠ABE＝∠CBE，求证：四边形AFBE为矩形．
(2)∵点D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE∥BC，∴∠DEB＝∠CBE， ∵∠ABE＝∠CBE， ∴∠DEB＝∠ABE，∴BD＝DE， ∵AD＝BD，DF＝DE， ∴AD＋BD＝DE＋DF，即AB＝EF， ∴四边形AFBE是矩形．
中考数学与平行四边形、矩形、菱形和正方形的简单证明有关的解答题(第01期)
1．（2017广东广州卷）如图，矩形ABCD 的对角线AC ， BD 相交于点O ， COD ∆关于CD 的对称图形为CED ∆．（1）求证：四边形OCED 是菱形；（2）连接AE ，若6cm AB =， 5BC cm =．①求sin EAD ∠的值；②若点P 为线段AE 上一动点（不与点A 重合），连接OP ，一动点Q 从点O 出发，以1/cm s 的速度沿线段OP 匀速运动到点P ，再以1.5cm /s 的速度沿线段PA 匀速运动到点A ，到达点A 后停止运动．当点Q 沿上述路线运动到点A 所需要的时间最短时，求AP 的长和点Q 走完全程所需的时间．2．（2017江苏淮安卷）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ．求证：△ADE ≌△CBF .3．（2017贵州贵阳卷）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，点D ，E 分别是边BC ，AB 上的中点，连接DE 并延长至点F ，使EF=2DF ，连接CE 、AF ．（1）证明：AF=CE ；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF 的形状并说明理由．4．（2017湖北鄂州卷）如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．（1）求证：△AFE≌△CDF；（2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．5．（2017广西贵港市港南区模拟）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：．②BC，CD，CF之间的数量关系为：；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长．6．（河北省石家庄市2017届中考数学二模试卷）四边形ABCD的对角线交于点E，有AE=EC,BE=ED,以AB为直径的半圆过点E，圆心为O．（1）利用图1，求证：四边形ABCD是菱形．（2）如图2，若CD的延长线与半圆相切于点F，已知直径AB=8．①连结OE,求△OBE的面积．②求弧AE的长．7．（2017年云南省曲靖市中考数学二模试卷）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．（1）求证：AC⊥BD；（2）若AB=14，cos∠CAB=78，求线段OE的长．8．（2017全国百强校模拟）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB 的延长线上取一点F，使BF DE，连接AF、CE．求证：AF CE．9．（2016湖南省怀化市）如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积．10．（2017湖北省鄂州市模拟）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上两点，且∠EAF=45°，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△ABQ ，连接EQ ，求证：（1）EA 是∠QED 的平分线；（2）EF 2=BE 2+DF 2．11．（2017四川省自贡）如图，点E F 、分别在菱形ABCD 的边DC DA 、上，且CE AF =.求证： ABF CBE ∠=∠.12．（2017四川自贡卷）如图，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边DC ，DA 上，且CE=AF ．求证：∠ABF=∠CBE ．13．（2017上海卷）已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=CD ，E 是对角线BD 上一点，且EA=EC ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）如果BE=BC ，且∠CBE ：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD 是正方形．14．（2017江苏无锡卷）（本题8分）已知，如图，平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，连DE并延长交AB的延长线于点F.求证：AB=BF．15．（2017湖南张家界卷）如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE.(1)求证：△AGE≌△BGF；(2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．16．（2017贵州安顺卷）如图，DB∥AC，且DB=12AC，E是AC的中点，（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△ABC添加什么条件，为什么？17．（2017广西四市卷）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF．（1）求证：AE=CF；（2）若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD的面积．18．（福建省莆田仙游私立一中2016-2017学年八年级下学期期中数学试卷）如图,P为正方形ABCD的边BC 上一动点(P与B. C不重合)，点Q在CD边上，且BP=CQ，连接AP、BQ交于点E，将△BQC沿BQ所在直线对折得到△BQN，延长QN交BA的延长线于点M.(1)求证：AP⊥BQ；(2)若AB=3，BP=2PC，求QM的长；(3)当BP=m，PC=n时，求AM的长。
中考数学热身 矩形、菱形、正方形(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
矩形、菱形、正方形一、填空题1．矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为8cm，则这个矩形的一条较长边为cm．2．边长为5cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是cm．3．正方形的一条对角线长为2，则它的面积为．4．已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为cm2．二、选择题5．下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形6．平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD7．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=（）A．110°B．115°C．120°D．130°8．如图，沿虚线EF将平行四边形ABCD剪开，则得到的四边形ABFE是（）A．梯形 B．平行四边形C．矩形 D．菱形三、解答题9．如图，菱形的对角线BD，AC的长分别是6和8，求菱形的周长与面积．10．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．（1）证明：四边形EGFH是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若EF⊥BC，且EF=BC，证明：平行四边形EGFH是正方形．11．如图，菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F为垂足，AE=ED，求∠EBF的度数．12．如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE，垂足为F．（1）猜想：AD与CF的大小关系；（2）请证明上面的结论．13．已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．14．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．矩形、菱形、正方形参考答案与试题解析一、填空题1．矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为8cm，则这个矩形的一条较长边为2cm．【考点】矩形的性质．【分析】根据矩形的性质推出OA=OB，证出等边△OAB，求出BA，根据勾股定理求出BC即可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OD=OB，∴OA=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=AC=2（cm），∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=2cm，∠ABC=90°，在△ABC中，由勾股定理得：BC===2（cm），∴AD=BC=2（cm）．故答案是：2．【点评】本题主要考查对矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的理解和掌握，能求出AB的长是解此题的关键．2．边长为5cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是8 cm．【考点】勾股定理；菱形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，得已知对角线的一半是3．根据勾股定理，得要求的对角线的一半是4，则另一条对角线的长是8．【解答】解：在菱形ABCD中，AB=5，AC=6，因为对角线互相垂直平分，所以∠AOB=90°，AO=3，在RT△AOB中，BO==4，∴BD=2BO=8．【点评】注意菱形对角线的性质：菱形的对角线互相垂直平分．熟练运用勾股定理．3．正方形的一条对角线长为2，则它的面积为 2 ．【考点】正方形的性质．【专题】计算题．【分析】根据正方形的性质利用勾股定理可求得其边长，从而就不难求得其面积．【解答】解：由题意得，正方形的边长为，故面积为2．故答案为2．【点评】主要考查到正方形的性质和面积的求法．要注意：正方形的对角线和正方形的两条相邻的边构成等腰直角三角形．4．已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为24 cm2．【考点】菱形的性质．【专题】计算题．【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可．【解答】解：由已知得，菱形的面积等于两对角线乘积的一半即：6×8÷2=24cm2．故答案为：24．【点评】此题主要考查菱形的面积等于两条对角线的积的一半．二、选择题5．下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形【考点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定．【分析】本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质以及之间的相互联系．【解答】解：A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项A错误；B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B错误；C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C错误；D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项D正确；故选D．【点评】本题考查的是普通概念，熟练掌握基础的东西是深入研究的必要准备．6．平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断．【解答】解：A、是邻边相等，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；B、是对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；C、是对角线互相垂直，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；D、无法判断．故选B．【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．7．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=（）A．110°B．115°C．120°D．130°【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题．【分析】根据折叠的性质，对折前后角相等．【解答】解：根据题意得：∠2=∠3，∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠2=（180°﹣50°）÷2=65°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF+∠2=180°，∴∠AEF=180°﹣65°=115°．故选B．【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．8．如图，沿虚线EF将平行四边形ABCD剪开，则得到的四边形ABFE是（）A．梯形 B．平行四边形C．矩形 D．菱形【考点】剪纸问题．【专题】操作型．【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．【解答】解：由于EF的位置是不确定的，只能得到所求的四边形的一组对边平行，所以是梯形．故选A．【点评】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．三、解答题9．如图，菱形的对角线BD，AC的长分别是6和8，求菱形的周长与面积．【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的对角线可以求得菱形ABCD的面积，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOB中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．【解答】解：菱形的对角线BD，AC的长分别是6和8，则菱形的面积为×6×8=24，菱形对角线互相垂直平分，∴BO=OD=3，AO=OC=4，∴AB==5，故菱形的周长为20，答：菱形的周长为20，面积为24．【点评】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．10．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．（1）证明：四边形EGFH是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若EF⊥BC，且EF=BC，证明：平行四边形EGFH是正方形．【考点】正方形的判定；三角形中位线定理；平行四边形的判定．【专题】证明题．【分析】通过中位线定理得出GF∥EH且GF=EH，所以四边形EGFH是平行四边形；当添加了条件EF ⊥BC，且EF=BC后，通过对角线相等且互相垂直平分（EF⊥GH，且EF=GH）就可证明是正方形．【解答】证明：（1）∵G，F分别是BE，BC的中点，∴GF∥EC且GF=EC．又∵H是EC的中点，EH=EC，∴GF∥EH且GF=EH．∴四边形EGFH是平行四边形．（2）连接GH，EF．∵G，H分别是BE，EC的中点，∴GH∥BC且GH=BC．又∵EF⊥BC且EF=BC，又∵EF⊥BC，GH是三角形EBC的中位线，∴GH∥BC，∴EF⊥GH，又∵EF=GH．∴平行四边形EGFH是正方形．【点评】主要考查了平行四边形的判定和正方形的性质．正方形对角线的特点是：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角．11．如图，菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F为垂足，AE=ED，求∠EBF的度数．【考点】菱形的性质．【专题】计算题．【分析】首先连接BD，根据菱形的四条边都相等，可得AB=BC=CD=AD；又由BE⊥AD，AE=ED，可得AB=AD=BD，所以∠A=60°，可得∠ADC=120°，即可得∠EBF的度数．【解答】解：连接BD，∵BE⊥AD，AE=ED，∴AB=BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AD∥BC，AB∥CD，∴AB=AD=BD，∴∠A=60°，∴∠ADC=120°，∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠BED=∠BFD=90°，∴∠EBF=60°．【点评】此题考查了菱形的性质：菱形的四条边都相等．还考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，解题要细心．12．如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE，垂足为F．（1）猜想：AD与CF的大小关系；（2）请证明上面的结论．【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】探究型．【分析】由全等三角形的判定定理直接可证△ADE≌△FCD，即证AD=CF．【解答】解：（1）AD=CF．（2分）（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AE，AB=CD，∴∠AED=∠FDC，∵DE=AB，∴DE=AB=CD．又∵CF⊥DE，∴∠CFD=∠A=90°．（4分）∴△ADE≌△FCD（AAS）．（5分）∴AD=CF．（6分）【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．13．已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定．【专题】几何综合题．【分析】先利用HL判定Rt△BDF≌Rt△CDE，从而得到∠B=∠C，即△ABC是等腰三角形；由已知可证明它是矩形，因为有一组邻边相等即可得到四边形AFDE是正方形．【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°，又∵，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），∴∠B=∠C．∴△ABC是等腰三角形；（2）解：四边形AFDE是正方形．证明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，∴四边形AFDE是矩形，又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DF=DE，∴四边形AFDE是正方形．【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定和性质及正方形的判定方法的掌握情况．判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．14．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．【考点】矩形的判定．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据平行线性质和角平分线性质，以及由平行线所夹的内错角相等易证．（2）根据矩形的判定方法，即一个角是直角的平行四边形是矩形可证．【解答】（1）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠1=∠2，又∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO，同理，FO=CO，∴EO=FO．（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由：∵EO=FO，点O是AC的中点．∴四边形AECF是平行四边形，∵CF平分∠BCA的外角，∴∠4=∠5，又∵∠1=∠2，∴∠2+∠4=×180°=90°．即∠ECF=90°，∴四边形AECF是矩形．【点评】本题涉及矩形的判定定理，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．。
中考数学试题-矩形、菱形、正方形试题及答案
中考试题专题之19-矩形、菱形、正方形试题及答案一、选择题1.（湖北荆州）如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中 点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm2.．（山西省）如图（1），把一个长为、宽为的长方形（）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ） A ．B ．C ．D ．3.（ 黑龙江大兴安岭）在矩形ABCD 中，1=AB ，3=AD ，AF 平分DAB ∠，过C 点作BD CE ⊥于E ，延长AF 、EC 交于点H ，下列结论中：①FH AF =；②BF BO =；③CH CA =；④ED BE 3=，正确的（ ） A ．②③ B ．③④ C ．①②④D ．②③④4．(河北)如图1，在菱形ABCD 中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对 角线AC 等于（ ） A ．20B ．15C ．10D ．55.（兰州）如图7所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展m n m n >2m n -m n -2m2nmnnn （2）（1）N M FEBABAC D开后是6.（济南）如图，矩形ABCD 中，35AB BC ==，．过对角线交点O 作OE AC ⊥交AD 于E ，则AE 的长是（ ） A ．1.6 B ．2.5 C ．3 D ．3.47.（凉山州）如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使C 落在C '处，BC '交AD 于E ，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．AD BC '=B ．EBD EDB ∠=∠C ．ABE CBD △∽△ D ．sin AEABE ED∠=8.（济宁市）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形.如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4.小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是 A .12 B . 14 C . 15D .9.（衡阳市） 如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，54A cos =，则下列结论中正确 的个数为（ ）①DE =3cm ； ②EB =1cm ； ③2A BCD 15S cm =菱形． A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个C D C 'A BEA ．B ．C ．D ．10.（衡阳市）如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ） A ．1 B ．34 C ．23D ．211．（广西南宁）如图2，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ） A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm12.（宁波市）如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形 B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形C ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形AB CDEA ′G DB CAABCD图2DBCANM O13．（桂林百色）如图,正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放 在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q 点从A 点出发，沿 图中所示方向按A →B →C →D →A 滑动到A 止，同时点R 从B 点 出发，沿图中所示方向按B →C →D →A →B 滑动到B 止，在这个 过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为 （ ）．A ．2B ．C ．D ．14．（河池）已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm ，则菱形的面积为（ ） A ． 23cmB ． 24cmC ．2 D ．215.（杭州市）如图，在菱形ABCD 中，∠A =110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC =（ ） A ．35° B ．45° C ．50° D ．55°16.(义乌)如图，一块砖的外侧面积为x ，那么图中残留部分墙面的面积为 A ．4x A ．12x A ．8x A ．16x17.（台湾） 如图(八)，长方形ABCD 中，E 点在上，且平分∠BAC 。
中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形(附参考答案)
中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形（附参考答案）1．下列命题正确的是( )A ．正方形的对角线相等且互相平分B ．对角互补的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线互相垂直D ．一组邻边相等的四边形是菱形2．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则以下说法错误的是( )A ．△BDE 和△DCF 的面积相等B ．四边形AEDF 是平行四边形C ．若AB ＝BC ，则四边形AEDF 是菱形D ．若∠A ＝90°，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，CE ，DF 交于点G ，连接AG .下列结论：①CE ＝DF ；②CE ⊥DF ；③∠AGE ＝∠CDF .其中正确的结论是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，∠ABC ＝60°，BC ＝2AB .下列结论：①AB ⊥AC ；②AD ＝4OE ；③四边形AECF 是菱形；④S △BOE ＝14S △ABC .其中正确结论的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝9 cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2 cm，BD，EF交于点G.若G是EF的中点，则BG的长为______cm.6．如图，在菱形ABCD中，AC，BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC的中点，则EF的长为_____．7．已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H.(1)如图1，求证：CE＝BH；(2)如图2，若AE＝AB，连接CF，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四个三角形(△AEG除外)，使写出的每个三角形都与△AEG全等．8．如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE ＝BF＝CG＝AH.若菱形的面积等于24，BD＝8，则EF＋GH＝_____．9．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F.(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；(3)若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．10．(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G.求证：△ADE∽△DCF.【问题解决】(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC 到点H，使CH＝DE，连接DH.求证：∠ADF＝∠H.【类比迁移】(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．参考答案1．A 2．C 3．A 4．D5．√13 6．5 7．(1)证明略 (2)略8．6解析：如图，连接AC ，交BD 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝8，∴AB ＝BC ＝AD ＝CD ，AC ⊥BD ，AO ＝OC ＝12AC ，BO ＝OD ＝12BD ＝4. ∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝24，∴AC ＝6，∴AO ＝3，∴AB ＝√AO 2+BO 2＝5＝AD .∵BE ＝BF ＝CG ＝AH ，∴AE ＝CF ＝DH ＝DG ，∴BE AE ＝BF CF ，∴EF ∥AC .同理可得GH ∥AC ，设BE ＝BF ＝CG ＝AH ＝a ，则有DH ＝5－a ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴BE AB ＝EF AC ，即a 5＝EF 6，∴EF ＝65a ，同理可得DH DA ＝GH CA ，即5−a 5＝GH 6，∴GH ＝6－65a ，∴EF ＋GH ＝6.9．(1)证明略(2)与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF，理由略(3)DE＝3＋√1910．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF＋∠DFC＝90°.∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°，∴∠CDF＋∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF.(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°.∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，∴DE＝CF.∵CH＝DE，∴CF＝CH.∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°.又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH(SAS)，∴∠DFC＝∠H.∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H.(3)解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG(SAS)，∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG. ∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形，∴FG＝DF＝11.∵CF＋CG＝FG，∴CF＝FG－CG＝11－8＝3，即CF的长为3.。
中考数学_专项_矩形、菱形、正方形考点及题型
【中考数学】矩形、菱形、正方形的5大考点及题型汇总矩形、菱形、正方形是八年级下册特殊平行四边形这一章节的重要组成部分。
他们都是基于平行四边形的性质衍生出来的其基本的性质都和平行四边形是一样的。
所以大家在进行学习和记忆的时候只需要紧抓其特殊部分，就能把他们都区分出来。
熟练掌握矩形，菱形，正方形的性质，定义和判定是这部分学习的重点，同时这部分也是中考数学几何部分的重要考点。
只有把这些性质和判定融会贯通。
那么在遇到综合题或者是类似题型的几何才能应对自如，尽快的形成自己的解题思路。
今天就给大家分享初中数学矩形、菱形、正方形的5大考点及题型，同学们赶紧来查漏补缺。
一、矩形、菱形、正方形的性质1.矩形的性质①具有平行四边形的一切性质；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等；④矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
2.菱形的性质①具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是它的对称轴；⑤菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半。
3.正方形的性质: 正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质①边：四边相等，对边平行；②角：四个角都是直角；③对角线：互相平分；相等；且垂直；每一条对角线平分一组对角，即正方形的对角线与边的夹角为45度；④正方形是轴对称图形，有四条对称轴。
例1 矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）A．360 B．90C．270 D．180例2 如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC与BD相交于点O，BE：ED ＝1：3，AB＝6cm，求AC的长。
例3 如图， O是矩形ABCD 对角线的交点， AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO 的度数。
例4 菱形的周长为40cm，两邻角的比为1:2，则较短对角线的长________ 。
2017年全国中考数学真题分类 矩形、菱形与正方形2017(填空题)
2017年全国中考数学真题分类矩形、菱形与正方形填空题二、填空题1.（2017山东滨州，16，4分）如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F．若AD＝8，AB＝6，AE＝4，则△EBF周长的大小为___________．AB CDHQGFE答案：8，解析：设DH＝x，则AH＝8－x，由折叠的对称性，可知EH＝DH＝x，在Rt△AEH中，应用勾股定理，得AE2＋AH2＝EH2，即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5．由∠GEF＝90°，可证明△AHE∽△BEF，因此AE AH EHBF BE EF==，即4352BF EF==，可以求得BF＝83，EF＝103．所以△EBF周长为83＋103＋2＝8．2.（2017重庆18，4分）如图，正方形ABCD中，AD＝4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将∆EFG沿EF翻折，得到∆EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则∆EMN的周长是 .答案：21025+解析：①连接GM交EF于点H，∵将∆EFG沿EF翻折，得到∆EFM，∴EM＝EG，EF垂直且平分GM，∵EF⊥ED，∴GM∥DE；②在正方形ABCD中，AD＝4，∴AB＝AD＝CD＝4，∠DAB＝∠ADC ＝90゜，AB ∥CD ，∴AC ＝244422=+，∵F 是AB 的中点，∴AF ＝2，∴DF ＝522422=+；又∵AF ∥CD ，∴21===CD AF CG AG DG GF ，∴DG ＝354，FG ＝352，AG ＝324；③∵∠DAF ＝∠DEF ＝90゜，∴A 、D 、E 、F 四点共圆，∴∠EDF ＝∠EAF ＝45゜，∴∆DEF 是等腰直角三角形，∴()22252=+FE DE ，∴10==EF DE ，∵GH ∥DE ，∴31===EF FH DE GH DF GF ，∴310=FH ，3102=EH ；又∵GH ＝HM ，HM ∥DE ，∴31===EN HN DN MN DE HM ，∴21043==EH EN ，∵∠DEN ＝90゜，DE ＝10，∴DN ＝()2252101022=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，∴MN ＝625；④∵∠DGE ＝∠AGF ，∠EDG ＝∠GAF ＝45゜，∴∆DGE ∽∆AGF ，∴DG FG EG AG ⋅=⋅，∵DG ＝354，FG ＝352，AG ＝324，∴EG ＝325＝EM ； ⑤∵210=EN ，MN ＝625， EM ＝325，∴∆EMN 的周长＝210+625+325＝21025+．3. （2017浙江衢州,14，4分）如图，从边长为（a ＋3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（无重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是．a +3（第14题）33a答案：a ＋6，解析：结合图形，长方形的另一边的长为3＋a ＋3＝a ＋6．4. （2017山东菏泽，11,3分）菱形ABCD 中，∠A ＝60°，其周长为24cm ，则菱形的面积为2cm ．答案：183，解析：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=CD=DA ，AC ⊥BD ，∵∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，又周长为24cm ，即BD=AB=6cm ，在Rt △AOB 中，OD=3cm ，∴AO=22226333AD OD -=-=,∴AC=2AO=63,菱形的面积=12AC BD ⋅=163618 3.2⨯⨯=5. 如图，正方形ABCD 中，BC =2，点M 是边AB 的中点，连接DM ，DM 与AC 交于点P ，点E 在DC 上，点F 在DP 上，且∠DFE =45°，若PF =65，则CE = .答案：67，解析：在Rt △ADM 中，AD =2，AM =1，由勾股定理，得DM ＝522=+AM AD ，由DC ∥AM ，得△DPC ～△MPA ，得2==AM DC MP DP ，∴DP ＝53232=DM . 又∵PF ＝65，所以DF ＝DP －PF ＝2565532=-.又因为∠DFE ＝∠DCP ＝45°，∠EDF ＝∠PDC ，所以△DFE ～△DCP ，所以DC DF DP DE =，即2521532=DE，解得DE ＝65. 所以CE ＝DC －DE ＝2－65=67.6. （2017山东潍坊，18，3分）如图，将一张矩形纸片ABCD 的边BC 斜着向AD 边对折，使点B 落在AD 上，记为B ′，折痕为CE ；再将CD 边斜向下对折，使点D 落在B ′C 上，记为D ′，折痕为CG ，B ′D ′=2，BE =31BC ．则矩形纸片ABCD 的面积为 ．2-1-c-n-j-y答案：15，解析：由折叠可知BC =B ′C ，CD =CD ′，又B ′D ′=2，故设BC =x ，则CD =x －2，EB ′=BE =31x ，∴AE =AB －BE =32x －2．由∠EB ′C =∠B =90°，易证△CDB ′∽△B ′AE ，∴CD :B ′A =B ′C :B ′E =3:1，∴B ′A =32-x ．在Rt △B ′AE 中，由勾股定理，得(32-x )2+(32x －2)2=(31x )2，整理，得x 2－7x +10=0，解得x 1=5，x 2=2(不合题意，舍去)．矩形纸片ABCD 的面积为BC ·CD =5×3=15．7. （2017四川宜宾，11，3分）如图，在菱形ABCD 中，若AC =8，BD =6，则菱形ABCD 的面积是 ．答案：24，解析：根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，由AC ＝8，BD ＝6，则S 等于24．DCA8. （2017湖南常德，15，3分）如图4，正方形EFGH 的顶点在边长为2的正方形的边上，若设AE＝x ，正方形EFGH 的面积为y ，则y 与x 的函数关系为_______________.答案：y ＝2x 2－4x ＋4，解析：由题中条件可知，图中的四个直角三角形是全等三角形，设AE＝x ，则BE ＝2x ，BF ＝x ，在Rt △EBF 中，由勾股定理可得EF 2＝(2－x)2＋x 2＝2x 2－4x ＋4，即正方形的面积为2x 2－4x ＋4.9. （2017江苏苏州，18，3分）如图，在矩形ABCD 中，将∠ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度后，BC 的对应边B C ''交CD 边于点G ．连接BB '、CC '，若AD =7，CG =4，AB B G ''=，则CC BB '='（结果保留根号）．答案：74解析：根据“旋转的性质、勾股定理”，连接AG ，设DG =x ，则4AB B G x ''==+．在Rt AB G ∆'中，x 2+49=2(x +4)2，∴x =1．则AB =5，BC =7，∴254974CC BB'+=='．10. 19.(2017甘肃兰州，19，4分）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与DB 相交于点O 。
2024年中考数学总复习第一部分考点培优第22讲矩形、菱形与正方形
菱形
B.菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四
边形
C.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→
平行四边形
D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形
→菱形
考能点力过提升关
冲刺重高
7．(2023·吉林)如图，在四边形 ABCD 中，AD
＝BC ， AC⊥BD 于点 O.请添 加一 个条件 ：
_A_D__∥__B_C_(_A__B_＝__C_D__或__O__B_＝__O__D_或__∠__A__D_B_＝_____
第五章 基本图形(一)
第22讲 矩形、菱形与正方形
考能点力过提升关
冲刺重高
1．(2023·株洲)如图所示，在矩形 ABCD 中，
AB＞AD，AC 与 BD 相交于点 O，
下列说法正确的是( A )
A．点 O 为矩形 ABCD 的对称中心
B．点 O 为线段 AB 的对称中心
C．直线 BD 为矩形 ABCD 的对称轴
时从点 O 出发，分别向终点 B，D 运动，且始
终保持 OE＝OF.点 E 关于 AD，AB 的对称点
为 E1，E2；点 F 关于 BC，CD
的对称点为 F1，F2.在整个过程
中，四边形 E1E2F1F2 形状的变
化依次是( A )
考能点力过提升关
冲刺重高
A.菱形→平行四边形 →矩形→平行四边形→
3)2，解得 x＝6 或－1(舍去)，∴正方形 ABCD 的
边长为 6.
考点过关
冲挑刺战重自我高
12．(2023·温州)如图，已知矩形 ABCD，点 E 在
CB 延长线上，点 F 在 BC 延长线上，过点 F 作
FH⊥EF 交 ED 的延长线于点 H，连结 AF 交 EH
2017年广东省中考数学试卷及答案详解
2017年广东省中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2017•广东）5的相反数是( )A ．15B ．5C ．15-D ．5-2．（3分）（2017•广东）“一带一路”倡议提出三年以来，广东企业到“一带一路”国家投资越来越活跃，据商务部门发布的数据显示，2016年广东省对沿线国家的实际投资额超过4000000000美元，将4 000 000 000用科学记数法表示为( )A ．90.410⨯B ．100.410⨯C ．9410⨯D ．10410⨯3．（3分）（2017•广东）已知70A ∠=︒，则A ∠的补角为( )A ．110︒B ．70︒C ．30︒D ．20︒4．（3分）（2017•广东）如果 2 是方程230x x k -+=的一个根， 则常数k 的值为( )A ． 1B ． 2C ．1-D ．2-5．（3分）（2017•广东）在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90，80，95，则这组数据的众数是( )A ．95B ．90C ．85D ．806．（3分）（2017•广东）下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．等边三角形B ．平行四边形C ．正五边形D ．圆7．（3分）（2017•广东）如图，在同一平面直角坐标系中，直线11(0)y k x k =≠与双曲线22(0)k y k x=≠相交于A ，B 两点，已知点A 的坐标为(1,2)，则点B 的坐标为( )A ．(1,2)--B ．(2,1)--C ．(1,1)--D ．(2,2)--8．（3分）（2017•广东）下列运算正确的是( )A ．223a a a +=B ．325a a a =C ．426()a a =D ．424a a a +=9．（3分）（2017•广东）如图，四边形ABCD 内接于O ，DA DC =，50CBE ∠=︒，则DAC ∠的大小为( )A ．130︒B ．100︒C ．65︒D ．50︒10．（3分）（2017•广东）如图，已知正方形ABCD ，点E 是BC 边的中点，DE与AC 相交于点F ，连接BF ，下列结论：①ABF ADF S S ∆∆=；②4CDF CEF S S ∆∆=；③2ADF CEF S S ∆∆=；④2ADF CDF S S ∆∆=，其中正确的是( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2017•广东）分解因式：2a a += ．12．（4分）（2017•广东）一个n 边形的内角和是720︒，则n = ．13．（4分）（2017•广东）已知实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则a b + 0．（填“>”，“ <”或“=” )14．（4分）（2017•广东）在一个不透明的盒子中，有五个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，随机摸出一个小球，摸出的小球标号为偶数的概率是 ．15．（4分）已知431a b +=，则整式863a b +-的值为 ．16．（4分）（2017•广东）如图，矩形纸片ABCD 中，5AB =，3BC =，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠，使点D 落在边AB 上的点E 处，折痕为AF ；再按图（3）操作，沿过点F 的直线折叠，使点C 落在EF 上的点H 处，折痕为FG ，则A 、H 两点间的距离为 ．三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）（2017•广东）计算：011|7|(1)()3π----+．18．（6分）（2017•广东）先化简，再求值：211()(4)22x x x +--+，其中x = 19．（6分）（2017•广东）学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书 ． 若男生每人整理 30 本， 女生每人整理 20 本， 共能整理 680 本；若男生每人整理 50 本， 女生每人整理 40 本， 共能整理 1240 本 ． 求男生、 女生志愿者各有多少人？四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）（2017•广东）如图，在ABC ∆中，A B ∠>∠．（1）作边AB 的垂直平分线DE ，与AB ，BC 分别相交于点D ，E （用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连接AE ，若50B ∠=︒，求AEC ∠的度数．21．（7分）（2017•广东）如图所示， 已知四边形ABCD ，ADEF 都是菱形，BAD FAD ∠=∠，BAD ∠为锐角 ．（1） 求证：AD BF ⊥；（2） 若BF BC =，求ADC ∠的度数 ．22．（7分）（2017•广东）某校为了解九年级学生的体重情况，随机抽取了九年级部分学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，请根据图表信息回答下列问题：体重频数分布表（1）填空：①m = （直接写出结果）；②在扇形统计图中，C 组所在扇形的圆心角的度数等于 度；（2）如果该校九年级有1000名学生，请估算九年级体重低于60千克的学生大约有多少人？五、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）（2017•广东）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x ax b=-++交x轴于(1,0)A，(3,0)B两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．（1）求抛物线2y x ax b=-++的解析式；（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，求sin OCB∠的值．24．（9分）（2017•广东）如图，AB是O的直径，AB=E为线段OB 上一点（不与O，B重合），作CE OB⊥，交O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF PC⊥于点F，连接CB．（1）求证：CB是ECP∠的平分线；（2）求证：CF CE=；（3）当34CFCP=时，求劣弧BC的长度（结果保留)π25．（9分）（2017•广东）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形ABCO是矩形，点A ，C 的坐标分别是(0,2)A 和C 0)，点D 是对角线AC 上一动点（不与A ，C 重合），连结BD ，作DE D B ⊥，交x 轴于点E ，以线段DE ，DB 为邻边作矩形BDEF ． （1）填空：点B 的坐标为 ；（2）是否存在这样的点D ，使得DEC ∆是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：DE DB =； ②设AD x =，矩形BDEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式（可利用①的结论），并求出y 的最小值．2017年广东省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）5的相反数是( )A ．15B ．5C ．15-D ．5-【考点】14：相反数【分析】根据相反数的概念解答即可．【解答】解：根据相反数的定义有：5的相反数是5-．故选：D ．【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2．（3分）“一带一路”倡议提出三年以来，广东企业到“一带一路”国家投资越来越活跃，据商务部门发布的数据显示，2016年广东省对沿线国家的实际投资额超过4000000000美元，将4 000 000 000用科学记数法表示为( ) A ．90.410⨯ B ．100.410⨯ C ．9410⨯ D ．10410⨯【考点】1I ：科学记数法-表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <…，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数．【解答】解：94000000000410=⨯．故选：C ．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <…，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3．（3分）已知70A ∠=︒，则A ∠的补角为( )A ．110︒B ．70︒C ．30︒D ．20︒【考点】IL ：余角和补角【专题】11：计算题；511：实数【分析】由A ∠的度数求出其补角即可．【解答】解：70A ∠=︒，A ∴∠的补角为110︒，故选：A ．【点评】此题考查了余角与补角，熟练掌握补角的性质是解本题的关键．4．（3分）如果 2 是方程230x x k -+=的一个根， 则常数k 的值为( )A ． 1B ． 2C ．1-D ．2-【考点】3A ：一元二次方程的解【分析】把2x =代入已知方程列出关于k 的新方程， 通过解方程来求k 的值 ．【解答】解：2是一元二次方程230x x k -+=的一个根，22320k ∴-⨯+=，解得，2k =．故选：B ．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义 ． 一元二次方程的根就是一元二次方程的解， 就是能够使方程左右两边相等的未知数的值 ． 即用这个数代替未知数所得式子仍然成立 ．5．（3分）在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90，80，95，则这组数据的众数是( )A ．95B ．90C ．85D ．80【考点】5W ：众数【分析】众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解．【解答】解：数据90出现了两次，次数最多，所以这组数据的众数是90． 故选：B ．【点评】考查了众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．6．（3分）下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．等边三角形B ．平行四边形C ．正五边形D ．圆【考点】5R ：中心对称图形；3P ：轴对称图形【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义对各选项进行判断．【解答】解：等边三角形为轴对称图形；平行四边形为中心对称图形；正五边形为轴对称图形；圆既是轴对称图形又是中心对称图形．故选：D ．【点评】本题考查了中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．也考查了轴对称图形．7．（3分）如图，在同一平面直角坐标系中，直线11(0)y k x k =≠与双曲线22(0)k y k x=≠相交于A ，B 两点，已知点A 的坐标为(1,2)，则点B 的坐标为( )A ．(1,2)--B ．(2,1)--C ．(1,1)--D ．(2,2)--【考点】8G ：反比例函数与一次函数的交点问题【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：点A 与B 关于原点对称，B ∴点的坐标为(1,2)--．故选：A ．【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握．8．（3分）下列运算正确的是( )A ．223a a a +=B ．325a a a =C ．426()a a =D ．424a a a +=【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方【分析】根据整式的加法和幂的运算法则逐一判断即可．【解答】解：A 、23a a a +=，此选项错误；B 、325a a a =，此选项正确；C 、428()a a =，此选项错误；D 、4a 与2a 不是同类项，不能合并，此选项错误；故选：B ．【点评】本题主要考查幂的运算和整式的加法，掌握同类项的定义和同底数幂相乘、幂的乘方法则是解题的关键．9．（3分）如图，四边形ABCD 内接于O ，DA DC =，50CBE ∠=︒，则D A C∠的大小为( )A ．130︒B ．100︒C ．65︒D ．50︒【考点】6M ：圆内接四边形的性质【分析】先根据补角的性质求出ABC ∠的度数，再由圆内接四边形的性质求出ADC ∠的度数，由等腰三角形的性质求得DAC ∠的度数．【解答】解：50CBE ∠=︒，180********ABC CBE ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，四边形ABCD 为O 的内接四边形，180********D ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，DA DC =，180652D DAC ︒-∠∴∠==︒，故选：C ．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质及等腰三角形的性质，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10．（3分）如图，已知正方形ABCD ，点E 是BC 边的中点，DE 与AC 相交于点F ，连接BF ，下列结论：①ABF ADF S S ∆∆=；②4CDF CEF S S ∆∆=；③2ADF CEF S S ∆∆=；④2ADF CDF S S ∆∆=，其中正确的是( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④【考点】LE ：正方形的性质【分析】由AFD AFB ∆≅∆，即可推出A B F A D S S ∆∆=，故①正确，由1122BE EC BC AD ===，//AD EC ，推出12E C C F E F A D A FD F ===，可得2C D F CEF S S ∆∆=，4ADF CEF S S ∆∆=，2ADF CDF S S ∆∆=，故②③错误④正确，由此即可判断．【解答】解：四边形ABCD 是正方形，//AD CB ∴，AD BC AB ==，FAD FAB ∠=∠，在AFD ∆和AFB ∆中，AF AF FAD FAB AD AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AFD AFB ∴∆≅∆，ABF ADF S S ∆∆∴=，故①正确，1122BE EC BC AD ===，//AD EC ， 12EC CF EF AD AF DF ∴===，2CDF CEF S S ∆∆∴=，4ADF CEF S S ∆∆=，2ADF CDF S S ∆∆=，故②③错误④正确，故选：C ．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）分解因式：2a a += (1)a a + ．【考点】53 ：因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式分解因式得出即可 ．【解答】解：2(1)a a a a +=+．故答案为：(1)a a +．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式， 正确得出公因式是解题关键 ．12．（4分）一个n 边形的内角和是720︒，则n = 6 ．【考点】3L ：多边形内角与外角【分析】多边形的内角和可以表示成(2)180n -︒，依此列方程可求解．【解答】解：依题意有：(2)180720n -︒=︒，解得6n =．故答案为：6．【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．13．（4分）已知实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则a b + > 0．（填“>”，“ <”或“=” )【考点】29：实数与数轴；2A ：实数大小比较【分析】首先根据数轴判断出a 、b 的符号和二者绝对值的大小，根据“异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”来解答即可．【解答】解：a 在原点左边，b 在原点右边，0a b ∴<<， a 离开原点的距离比b 离开原点的距离小，||||a b ∴<，0a b ∴+>．故答案为：>．【点评】本题考查了实数与数轴，有理数的加法法则，根据数轴得出a 、b 的符号和二者绝对值的大小关系是解题的关键．14．（4分）在一个不透明的盒子中，有五个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，随机摸出一个小球，摸出的小球标号为偶数的概率是25 ． 【考点】4X ：概率公式【分析】确定出偶数有2个，然后根据概率公式列式计算即可得解．【解答】解：5个小球中，标号为偶数的有2、4这2个，∴摸出的小球标号为偶数的概率是25， 故答案为：25 【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．（4分）已知431a b +=，则整式863a b +-的值为 1- ．【考点】33：代数式求值【分析】先求出86a b +的值，然后整体代入进行计算即可得解．【解答】解：431a b +=，862a b ∴+=，863231a b +-=-=-；故答案为：1-．【点评】本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．16．（4分）如图，矩形纸片ABCD 中，5AB =，3BC =，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠，使点D 落在边AB 上的点E 处，折痕为AF ；再按图（3）操作，沿过点F 的直线折叠，使点C 落在EF 上的点H 处，折痕为FG ，则A 、H【考点】LB ：矩形的性质；PB ：翻折变换（折叠问题）【分析】如图3中，连接AH ．由题意可知在Rt AEH ∆中，3AE AD ==，321EH EF HF =-=-=，根据AH ，计算即可．【解答】解：如图3中，连接AH ．由题意可知在Rt AEH ∆中，3AE AD ==，321EH EF HF =-=-=，AH ∴==【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）计算：011|7|(1)()3π----+． 【考点】6F ：负整数指数幂；2C ：实数的运算；6E ：零指数幂【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和负整数指数幂的性质分别化简求出答案．【解答】解：原式713=-+9=．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂的性质、绝对值等考点的运算．18．（6分）先化简，再求值：211()(4)22x x x +--+，其中x = 【考点】6D ：分式的化简求值【分析】先计算括号内分式的加法，再计算乘法即可化简原式，将x 的值代入求解可得．【解答】解：原式22[](2)(2)(2)(2)(2)(2)x x x x x x x x +-=++-+-+- 2(2)(2)(2)(2)x x x x x =+-+- 2x =，当x =原式=【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则是解题的关键．19．（6分）学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书 ． 若男生每人整理 30 本， 女生每人整理 20 本， 共能整理 680 本；若男生每人整理 50 本， 女生每人整理 40 本， 共能整理 1240 本 ． 求男生、 女生志愿者各有多少人？【考点】9A ：二元一次方程组的应用【分析】设男生志愿者有x 人， 女生志愿者有y 人， 根据“若男生每人整理 30本， 女生每人整理 20 本， 共能整理 680 本；若男生每人整理 50 本， 女生每人整理 40 本， 共能整理 1240 本”， 即可得出关于x 、y 的二元一次方程组， 解之即可得出结论 ．【解答】解： 设男生志愿者有x 人， 女生志愿者有y 人，根据题意得：302068050401240x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：1216x y =⎧⎨=⎩．答： 男生志愿者有 12 人， 女生志愿者有 16 人 ．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用， 找准等量关系， 列出二元一次方程组是解题的关键 ．四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）如图，在ABC ∆中，A B ∠>∠．（1）作边AB 的垂直平分线DE ，与AB ，BC 分别相交于点D ，E （用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连接AE ，若50B ∠=︒，求AEC ∠的度数．【考点】KG ：线段垂直平分线的性质；2N ：作图-基本作图【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）由于DE 是AB 的垂直平分线，得到AE BE =，根据等腰三角形的性质得到50EAB B ∠=∠=︒，由三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】解：（1）如图所示；（2）DE 是AB 的垂直平分线，AE BE ∴=，50EAB B ∴∠=∠=︒，100AEC EAB B ∴∠=∠+∠=︒．【点评】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．21．（7分）如图所示， 已知四边形ABCD ，ADEF 都是菱形，BAD FAD ∠=∠，BAD ∠为锐角 ．（1） 求证：AD BF ⊥；（2） 若BF BC =，求ADC ∠的度数 ．【考点】8L ：菱形的性质【分析】（1） 连结DB 、DF ． 根据菱形四边相等得出AB AD FA ==，再利用SAS 证明BAD FAD ∆≅∆，得出DB DF =，那么D 在线段BF 的垂直平分线上， 又AB AF =，即A 在线段BF 的垂直平分线上， 进而证明AD BF ⊥；（2） 设AD BF ⊥于H ，作D G B C ⊥于G ，证明12DG CD =． 在直角CDG ∆中得出30C ∠=︒，再根据平行线的性质即可求出180150ADC C ∠=︒-∠=︒．【解答】（1） 证明： 如图， 连结DB 、DF ．四边形ABCD ，ADEF 都是菱形，AB BC CD DA ∴===，AD DE EF FA ===．在BAD ∆与FAD ∆中，AB AF BAD FAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BAD FAD ∴∆≅∆，DB DF ∴=，D ∴在线段BF 的垂直平分线上，AB AF =，A ∴在线段BF 的垂直平分线上，AD ∴是线段BF 的垂直平分线，AD BF ∴⊥； 解法二：四边形ABCD ，ADEF 都是菱形，AB BC CD DA ∴===，AD DE EF FA ===．AB AF ∴=，BAD FAD ∠=∠，AD BF ∴⊥（等 腰三角形三线合一） ；（2） 如图， 设AD BF ⊥于H ，作DG BC ⊥于G ，则四边形BGDH 是矩形， 12DG BH BF ∴==． BF BC =，BC CD =，12DG CD ∴=． 在直角CDG ∆中，90CGD ∠=︒，12DG CD =， 30C ∴∠=︒，//BC AD ，180150ADC C ∴∠=︒-∠=︒．【点评】本题考查了菱形的性质， 全等三角形的判定与性质， 线段垂直平分线的判定， 平行线的性质等知识， 证明出AD 是线段BF 的垂直平分线是解题的关键 ．22．（7分）某校为了解九年级学生的体重情况，随机抽取了九年级部分学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，请根据图表信息回答下列问题：体重频数分布表（1）填空：①m = 52 （直接写出结果）；②在扇形统计图中，C 组所在扇形的圆心角的度数等于 度；（2）如果该校九年级有1000名学生，请估算九年级体重低于60千克的学生大约有多少人？【考点】7V ：频数（率)分布表；5V ：用样本估计总体；VB ：扇形统计图【分析】（1）①根据D 组的人数及百分比进行计算即可得到m 的值；②根据C 组的百分比即可得到所在扇形的圆心角的度数；（2）根据体重低于60千克的学生的百分比乘上九年级学生总数，即可得到九年级体重低于60千克的学生数量．【解答】解：（1）①调查的人数为：4020%200÷=（人)，2001280401652m ∴=----=；②C 组所在扇形的圆心角的度数为80360144200⨯︒=︒； 故答案为：52，144； （2）九年级体重低于60千克的学生大约有1252801000720200++⨯=（人)． 【点评】本题主要考查了扇形统计图，用样本估计总体以及频数分布表的运用，从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．各部分扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比360⨯︒．五、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线2y x ax b =-++交x 轴于(1,0)A ，(3,0)B 两点， 点P 是抛物线上在第一象限内的一点， 直线BP 与y 轴相交于点C ．（1） 求抛物线2y x ax b =-++的解析式；（2） 当点P 是线段BC 的中点时， 求点P 的坐标；（3） 在 （2） 的条件下， 求sin OCB ∠的值 ．【考点】8H ：待定系数法求二次函数解析式；HA ：抛物线与x 轴的交点；7T ：解直角三角形【分析】（1） 将点A 、B 代入抛物线2y x ax b =-++，解得a ，b 可得解析式；（2） 由C 点横坐标为 0 可得P 点横坐标， 将P 点横坐标代入 （1） 中抛物线解析式， 易得P 点坐标；（3） 由P 点的坐标可得C 点坐标， 由B 、C 的坐标， 利用勾股定理可得BC长， 利用sin OB OCB BC∠=可得结果 ． 【解答】解： （1） 将点A 、B 代入抛物线2y x ax b =-++可得，2201033a b a b⎧=-++⎨=-++⎩， 解得，4a =，3b =-，∴抛物线的解析式为：243y x x =-+-；（2）点C 在y 轴上，所以C 点横坐标0x =，点P 是线段BC 的中点，∴点P 横坐标03322P x +==， 点P 在抛物线243y x x =-+-上，2333()43224P y ∴=-+⨯-=， ∴点P 的坐标为3(2，3)4；（3）点P 的坐标为3(2，3)4，点P 是线段BC 的中点， ∴点C 的纵坐标为332042⨯-=， ∴点C 的坐标为3(0,)2，BC ∴==，sin 5OB OCB BC ∴∠===．【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和解直角三角形， 利用中点求得点P 的坐标是解答此题的关键 ．24．（9分）如图，AB 是O 的直径，AB =E 为线段OB 上一点 （不与O ，B 重合） ，作CE OB ⊥，交O 于点C ，垂足为点E ，作直径CD ，过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，AF PC ⊥于点F ，连接CB ．（1） 求证：CB 是ECP ∠的平分线；（2） 求证：CF CE =；（3） 当34CF CP =时， 求劣弧BC 的长度 （结 果保留)π【考点】2M ：垂径定理；MC ：切线的性质；MN ：弧长的计算；9S ：相似三角形的判定与性质【分析】（1） 根据等角的余角相等证明即可；（2） 欲证明CF CE =，只要证明ACF ACE ∆≅∆即可；（3） 作BM PF ⊥于M ． 则CE CM CF ==，设3C E C M C F a ===，4PC a =，PM a =，利用相似三角形的性质求出BM ，求出tan BCM ∠的值即可解决问题；【解答】（1） 证明：OC OB =，OCB OBC ∴∠=∠， PF 是O 的切线，CE AB ⊥，90OCP CEB ∴∠=∠=︒，90PCB OCB ∴∠+∠=︒，90BCE OBC ∠+∠=︒，BCE BCP ∴∠=∠，BC ∴平分PCE ∠．（2） 证明： 连接AC ． AB 是直径，90ACB ∴∠=︒，90BCP ACF ∴∠+∠=︒，90ACE BCE ∠+∠=︒，BCP BCE ∠=∠，ACF ACE ∴∠=∠，90F AEC ∠=∠=︒，AC AC =，ACF ACE ∴∆≅∆，CF CE ∴=．解法二： 证明： 连接AC ．OA OC =BAC ACO ∴∠=∠， CD 平行AF ，FAC ACD ∴∠=∠，FAC CAO ∴∠=∠，CF AF ⊥，CE AB ⊥，CF CE ∴=．（3） 解： 作BM PF ⊥于M ． 则CE CM CF ==，设3CE CM CF a ===，4PC a =，PM a =，90MCB P ∠+∠=︒，90P PBM ∠+∠=︒，MCB PBM ∴∠=∠， CD 是直径，BM PC ⊥，90CMB BMP ∴∠=∠=︒，BMC PMB ∴∆∆∽， ∴BM CM PM BM =， 223BM CM PM a ∴==，BM ∴，tan BM BCM CM ∴∠==30BCM ∴∠=︒，60OCB OBC BOC ∴∠=∠=∠=︒，∴BC 的长60232π==．【点评】本题考查切线的性质、 角平分线的判定、 全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、 锐角三角函数、 弧长公式等知识， 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题， 学会添加常用辅助线， 属于中考常考题型 ．25．（9分）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形ABCO 是矩形，点A ，C 的坐标分别是(0,2)A 和C 0)，点D 是对角线AC 上一动点（不与A ，C 重合），连结BD ，作DE DB ⊥，交x 轴于点E ，以线段DE ，DB 为邻边作矩形BDEF ．（1）填空：点B 的坐标为 ；（2）是否存在这样的点D ，使得DEC ∆是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：3DE DB =； ②设AD x =，矩形BDEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式（可利用①的结论），并求出y 的最小值．【考点】SO ：相似形综合题【专题】15：综合题【分析】（1）求出AB 、BC 的长即可解决问题；（2）存在．先推出30ACO ∠=︒，60ACD ∠=︒由DEC ∆是等腰三角形，观察图象可知，只有ED EC =，30DCE EDC ∠=∠=︒，推出60DBC BCD ∠=∠=︒，可得DBC ∆是等边三角形，推出2DC BC ==，由此即可解决问题；（3）①先表示出DN ，BM ，再判断出BMD DNE ∆∆∽，即可得出结论； ②作DH AB ⊥于H ．想办法用x 表示BD 、DE 的长，构建二次函数即可解决问题；【解答】解：（1）四边形AOCB 是矩形，2BC OA ∴==，OC AB ==，90BCO BAO ∠=∠=︒，B ∴2)．故答案为2)．（2）存在．理由如下：2OA =，OC =tan AO ACO OC ∠==， 30ACO ∴∠=︒，60ACB ∠=︒①如图1中，当E 在线段CO 上时，DEC ∆是等腰三角形，观察图象可知，只有ED EC =，30DCE EDC ∴∠=∠=︒，60DBC BCD ∴∠=∠=︒，DBC ∴∆是等边三角形，2DC BC ∴==，在Rt AOC ∆中，30ACO ∠=︒，2OA =，24AC AO ∴==，422AD AC CD ∴=-=-=．∴当2AD =时，DEC ∆是等腰三角形．②如图2中，当E 在OC 的延长线上时，DCE ∆是等腰三角形，只有CD CE =，15DBC DEC CDE ∠=∠=∠=︒，75ABD ADB ∴∠=∠=︒，AB AD ∴==，综上所述，满足条件的AD 的值为2或（3）①如图1，过点D 作MN AB ⊥交AB 于M ，交OC 于N ，(0,2)A和C 0)，∴直线AC的解析式为23y x =-+，设(,2)D a +，2DN ∴=+，BM a = 90BDE ∠=︒，90BDM NDE ∴∠+∠=︒，90BDM DBM ∠+∠=︒，DBM EDN ∴∠=∠，90BMD DNE ∠=∠=︒，BMD DNE ∴∆∆∽，2DE DN BD BM +∴===．②如图2中，作DH AB ⊥于H ．在Rt ADH ∆中，AD x =，30DAH ACO ∠=∠=︒，1122DH AD x ∴==，2AH x ==，2BH x ∴=，在Rt BDH ∆中，BD ==，21()2DE BD x ∴==+，∴矩形BDEF 的面积为22612)y x x ==-+，即23y x =-+23)3y x ∴=- 30>，3x ∴=时，y【点评】本题考查相似形综合题、四点共圆、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，学会构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．。
2017年广东省中考数学试卷(带完整解析)
2017年广东省中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．5的相反数是（）A．B．5 C．﹣ D．﹣52．“一带一路”倡议提出三年以来，广东企业到“一带一路”国家投资越来越活跃，据商务部门发布的数据显示，2016年广东省对沿线国家的实际投资额超过4000000000美元，将4000000000用科学记数法表示为（）A．0.4×109B．0.4×1010C．4×109D．4×10103．已知∠A=70°，则∠A的补角为（）A．110°B．70°C．30°D．20°4．如果2是方程x2﹣3x+k=0的一个根，则常数k的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣25．在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的平分分别为：90，85，90，80，95，则这组数据的众数是（）A．95 B．90 C．85 D．806．下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．圆7．如图，在同一平面直角坐标系中，直线y=k1x（k1≠0）与双曲线y=（k2≠0）相交于A，B两点，已知点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为（）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，﹣1）D．（﹣2，﹣2）8．下列运算正确的是（）A．a+2a=3a2B．a3•a2=a5 C．（a4）2=a6D．a4+a2=a49．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为（）A．130°B．100°C．65°D．50°10．如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：①S△ABF=S△ADF；②S△CDF=4S△CEF；③S△ADF=2S△CEF；④S△ADF=2S△CDF，其中正确的是（）A．①③B．②③C．①④D．②④二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．分解因式：a2+a=．12．一个n边形的内角和是720°，则n=．13．已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a+b0．（填“＞”，“＜”或“=”）14．在一个不透明的盒子中，有五个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，随机摸出一个小球，摸出的小球标号为偶数的概率是．15．已知4a+3b=1，则整式8a+6b﹣3的值为．16．如图，矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD 沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H 两点间的距离为．三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．计算：|﹣7|﹣（1﹣π）0+（）﹣1．18．先化简，再求值：（+）•（x2﹣4），其中x=．19．学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书．若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本．求男生、女生志愿者各有多少人？四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．如图，在△ABC中，∠A＞∠B．（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B=50°，求∠AEC的度数．21．如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD为锐角．（1）求证：AD⊥BF；（2）若BF=BC，求∠ADC的度数．22．某校为了解九年级学生的体重情况，随机抽取了九年级部分学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，请根据图标信息回答下列问题：体重频数分布表组边体重（千克）人数A45≤x＜5012B50≤x＜55mC55≤x＜6080D60≤x＜6540E65≤x＜7016（1）填空：①m=（直接写出结果）；②在扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数等于度；（2）如果该校九年级有1000名学生，请估算九年级体重低于60千克的学生大约有多少人？五、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．24．如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：CB是∠ECP的平分线；（2）求证：CF=CE；（3）当=时，求劣弧的长度（结果保留π）25．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C 重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：=；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．2017年广东省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．5的相反数是（）A．B．5 C．﹣ D．﹣5【考点】14：相反数．【分析】根据相反数的概念解答即可．【解答】解：根据相反数的定义有：5的相反数是﹣5．故选：D．2．“一带一路”倡议提出三年以来，广东企业到“一带一路”国家投资越来越活跃，据商务部门发布的数据显示，2016年广东省对沿线国家的实际投资额超过4000000000美元，将4000000000用科学记数法表示为（）A．0.4×109B．0.4×1010C．4×109D．4×1010【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：4000000000=4×109．故选：C．3．已知∠A=70°，则∠A的补角为（）A．110°B．70°C．30°D．20°【考点】IL：余角和补角．【分析】由∠A的度数求出其补角即可．【解答】解：∵∠A=70°，∴∠A的补角为110°，故选A4．如果2是方程x2﹣3x+k=0的一个根，则常数k的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【考点】A3：一元二次方程的解．【分析】把x=2代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值．【解答】解：∵2是一元二次方程x2﹣3x+k=0的一个根，∴22﹣3×2+k=0，解得，k=2．故选：B．5．在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的平分分别为：90，85，90，80，95，则这组数据的众数是（）A．95 B．90 C．85 D．80【考点】W5：众数．【分析】众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解．【解答】解：数据90出现了两次，次数最多，所以这组数据的众数是90．故选B．6．下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．圆【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义对各选项进行判断．【解答】解：等边三角形为轴对称图形；平行四边形为中心对称图形；正五边形为轴对称图形；圆既是轴对称图形又是中心对称图形．故选D．7．如图，在同一平面直角坐标系中，直线y=k1x（k1≠0）与双曲线y=（k2≠0）相交于A，B两点，已知点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为（）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，﹣1）D．（﹣2，﹣2）【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：∵点A与B关于原点对称，∴B点的坐标为（﹣1，﹣2）．故选：A．8．下列运算正确的是（）A．a+2a=3a2B．a3•a2=a5 C．（a4）2=a6D．a4+a2=a4【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法．【分析】根据整式的加法和幂的运算法则逐一判断即可．【解答】解：A、a+2a=3a，此选项错误；B、a3•a2=a5，此选项正确；C、（a4）2=a8，此选项错误；D、a4与a2不是同类项，不能合并，此选项错误；故选：B．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为（）A．130°B．100°C．65°D．50°【考点】M6：圆内接四边形的性质．【分析】先根据补角的性质求出∠ABC的度数，再由圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由等腰三角形的性质求得∠DAC的度数．【解答】解：∵∠CBE=50°，∴∠ABC=180°﹣∠CBE=180°﹣50°=130°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠D=180°﹣∠ABC=180°﹣130°=50°，∵DA=DC，∴∠DAC==65°，故选C．10．如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：①S△ABF=S△ADF；②S△CDF=4S△CEF；③S△ADF=2S△CEF；④S△ADF=2S△CDF，其中正确的是（）A．①③B．②③C．①④D．②④【考点】LE：正方形的性质．【分析】由△AFD≌△AFB，即可推出S△ABF =S△ADF，故①正确，由BE=EC=BC=AD，AD∥EC，推出===，可得S△CDF=2S△CEF，S△ADF=4S△CEF，S△ADF=2S△CDF，故②③错误④正确，由此即可判断．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥CB，AD=BC=AB，∠FAD=∠FAB，在△AFD和△AFB中，，∴△AFD≌△AFB，=S△ADF，故①正确，∴S△ABF∵BE=EC=BC=AD，AD∥EC，∴===，=2S△CEF，S△ADF=4S△CEF，S△ADF=2S△CDF，∴S△CDF故②③错误④正确，故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．分解因式：a2+a=a（a+1）．【考点】53：因式分解﹣提公因式法．【分析】直接提取公因式分解因式得出即可．【解答】解：a2+a=a（a+1）．故答案为：a（a+1）．12．一个n边形的内角和是720°，则n=6．【考点】L3：多边形内角与外角．【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．【解答】解：设所求正n边形边数为n，则（n﹣2）•180°=720°，解得n=6．13．已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a+b＜0．（填“＞”，“＜”或“=”）【考点】2A：实数大小比较；29：实数与数轴．【分析】首先根据数轴判断出a、b的符号和二者绝对值的大小，根据“异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”来解答即可．【解答】解：∵a在原点左边，b在原点右边，∴a＜0＜b，∵a离开原点的距离比b离开原点的距离大，∴|a|＞|b|，∴a+b＜0．故答案为：＜．14．在一个不透明的盒子中，有五个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，随机摸出一个小球，摸出的小球标号为偶数的概率是．【考点】X4：概率公式．【分析】确定出偶数有2个，然后根据概率公式列式计算即可得解．【解答】解：∵5个小球中，标号为偶数的有2、4这2个，∴摸出的小球标号为偶数的概率是，故答案为：15．已知4a+3b=1，则整式8a+6b﹣3的值为﹣1．【考点】33：代数式求值．【分析】先求出8a+6b的值，然后整体代入进行计算即可得解．【解答】解：∵4a+3b=1，∴8a+6b=2，8a+6b﹣3=2﹣3=﹣1；故答案为：﹣1．16．如图，矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD 沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H 两点间的距离为．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】如图3中，连接AH．由题意可知在Rt△AEH中，AE=AD=3，EH=EF﹣HF=3﹣2=1，根据AH=，计算即可．【解答】解：如图3中，连接AH．由题意可知在Rt△AEH中，AE=AD=3，EH=EF﹣HF=3﹣2=1，∴AH===，故答案为．三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．计算：|﹣7|﹣（1﹣π）0+（）﹣1．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和负整数指数幂的性质分别化简求出答案．【解答】解：原式=7﹣1+3=9．18．先化简，再求值：（+）•（x2﹣4），其中x=．【考点】6D：分式的化简求值．【分析】先计算括号内分式的加法，再计算乘法即可化简原式，将x的值代入求解可得．【解答】解：原式=[+]•（x+2）（x﹣2）=•（x+2）（x﹣2）=2x，当x=时，原式=2．19．学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书．若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本．求男生、女生志愿者各有多少人？【考点】9A：二元一次方程组的应用．【分析】设男生志愿者有x人，女生志愿者有y人，根据“若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设男生志愿者有x人，女生志愿者有y人，根据题意得：，解得：．答：男生志愿者有12人，女生志愿者有16人．四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．如图，在△ABC中，∠A＞∠B．（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B=50°，求∠AEC的度数．【考点】N2：作图—基本作图；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）由于DE是AB的垂直平分线，得到AE=BE，根据等腰三角形的性质得到∠EAB=∠B=50°，由三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】解：（1）如图所示；（2）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠EAB=∠B=50°，∴∠AEC=∠EAB+∠B=100°．21．如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD为锐角．（1）求证：AD⊥BF；（2）若BF=BC，求∠ADC的度数．【考点】L8：菱形的性质．【分析】（1）连结DB、DF．根据菱形四边相等得出AB=AD=FA，再利用SAS证明△BAD≌△FAD，得出DB=DF，那么D在线段BF的垂直平分线上，又AB=AF，即A在线段BF的垂直平分线上，进而证明AD⊥BF；（2）设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，证明DG=CD．在直角△CDG中得出∠C=30°，再根据平行线的性质即可求出∠ADC=180°﹣∠C=150°．【解答】（1）证明：如图，连结DB、DF．∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AD=DE=EF=FA．在△BAD与△FAD中，，∴△BAD≌△FAD，∴DB=DF，∴D在线段BF的垂直平分线上，∵AB=AF，∴A在线段BF的垂直平分线上，∴AD是线段BF的垂直平分线，∴AD⊥BF；（2）如图，设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，则四边形BGDH是矩形，∴DG=BH=BF．∵BF=BC，BC=CD，∴DG=CD．在直角△CDG中，∵∠CGD=90°，DG=CD，∴∠C=30°，∵BC∥AD，∴∠ADC=180°﹣∠C=150°．22．某校为了解九年级学生的体重情况，随机抽取了九年级部分学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，请根据图标信息回答下列问题：体重频数分布表人数组边体重（千克）A45≤x＜5012B50≤x＜55mC55≤x＜6080D60≤x＜6540E65≤x＜7016（1）填空：①m=52（直接写出结果）；②在扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数等于144度；（2）如果该校九年级有1000名学生，请估算九年级体重低于60千克的学生大约有多少人？【考点】VB：扇形统计图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．【分析】（1）①根据D组的人数及百分比进行计算即可得到m的值；②根据C 组的百分比即可得到所在扇形的圆心角的度数；（2）根据体重低于60千克的学生的百分比乘上九年级学生总数，即可得到九年级体重低于60千克的学生数量．【解答】解：（1）①调查的人数为：40÷20%=200（人），∴m=200﹣12﹣80﹣40﹣16=52；②C组所在扇形的圆心角的度数为×360°=144°；故答案为：52，144；（2）九年级体重低于60千克的学生大约有×1000=720（人）．五、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H8：待定系数法求二次函数解析式；T7：解直角三角形．【分析】（1）将点A、B代入抛物线y=﹣x2+ax+b，解得a，b可得解析式；（2）由C点横坐标为0可得P点横坐标，将P点横坐标代入（1）中抛物线解析式，易得P点坐标；（3）由P点的坐标可得C点坐标，A、B、C的坐标，利用勾股定理可得BC长，利用sin∠OCB=可得结果．【解答】解：（1）将点A、B代入抛物线y=﹣x2+ax+b可得，，解得，a=4，b=﹣3，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x﹣3；（2）∵点C在y轴上，所以C点横坐标x=0，∵点P是线段BC的中点，∴点P横坐标x P==，∵点P在抛物线y=﹣x2+4x﹣3上，∴y P=﹣3=，∴点P的坐标为（，）；（3）∵点P的坐标为（，），点P是线段BC的中点，∴点C的纵坐标为2×﹣0=，∴点C的坐标为（0，），∴BC==，∴sin∠OCB===．24．如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：CB是∠ECP的平分线；（2）求证：CF=CE；（3）当=时，求劣弧的长度（结果保留π）【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M2：垂径定理；MC：切线的性质；MN：弧长的计算．【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）欲证明CF=CE，只要证明△ACF≌△ACE即可；（3）作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性质求出BM，求出tan∠BCM的值即可解决问题；【解答】（1）证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP=∠CEB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，∴∠BCE=∠BCP，∴BC平分∠PCE．（2）证明：连接AC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，∵∠BCP=∠BCE，∴∠ACF=∠ACE，∵∠F=∠AEC=90°，AC=AC，∴△ACF≌△ACE，∴CF=CE．（3）解：作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，∵△BMC∽△PMB，∴=，∴BM2=CM•PM=3a2，∴BM=a，∴tan∠BCM==，∴∠BCM=30°，∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∴的长==π．25．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C 重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：=；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在．连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．首先证明B、D、E、C四点共圆，可得∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，由tan∠ACO==，推出∠ACO=30°，∠ACD=60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，推出∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，推出∠DBC=∠BCD=60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC=BC=2，由此即可解决问题；（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，推出∠DBC=∠DCE=30°，由此即可解决问题；②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC=OA=2，OC=AB=2，∠BCO=∠BAO=90°，∴B（2，2）．故答案为（2，2）．（2）存在．理由如下：连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．∵∠BDE=∠BCE=90°，∴KD=KB=KE=KC，∴B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，∵tan∠ACO==，∴∠ACO=30°，∠ACB=60°①如图1中，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，∴∠DBC=∠BCD=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC=BC=2，在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，∴AC=2AO=4，∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2．∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形．②如图2中，∵△DCE是等腰三角形，易知CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，∴∠ABD=∠ADB=75°，∴AB=AD=2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2．（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE=30°，∴tan∠DBE=，∴=．②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，∴DH=AD=x，AH==x，∴BH=2﹣x，在Rt△BDH中，BD==，∴DE=BD=•，∴矩形BDEF的面积为y= []2=（x2﹣6x+12），即y=x2﹣2x+4，∴y=（x﹣3）2+，∵＞0，∴x=3时，y有最小值．2017年7月3日。
中考数学 考点系统复习 第五章 四边形 第二节 矩形、菱形、正方形
∵OB＝OD，EF∥AD，∴AE＝BE＝4， ∵FG⊥BE，∴EG＝BG＝2，
在 Rt△BGF 中，BF＝4，BG＝2， 根据勾股定理得，FG＝ 42－22＝2 3，
在 Rt△AGF 中，AG＝6， AF＝ AG2＋FG2＝ 62＋（2 3）2＝4 3. ∴AF 的长为 4 3.
15．(2020·德州)如图，在▱ABCD 中，对角线 BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，
的面积是 1，则 AB 的长为
( C)
A．1
B. 2
C．2
D．2 2
18．(2021·阜新)如图，折叠矩形纸片 ABCD，使点 B 的对应点 E 落在 CD
边上，GH 为折痕，已知 AB＝6，BC＝10.当折痕 GH 最长时，线段 BH 的长
为 6. ． 8
19．(2021·呼和浩特)如图，四边形 ABCD 是平行四边形，BE∥DF，且分 别交对角线 AC 于点 E，F. (1)求证： △ABE≌△CDF； (2)当四边形 ABCD 分别是矩形和菱形 时，请分别说出四边形 BEDF 的形状．(无 需说明理由)
坐标是 O(0，0)，点 B 的坐标是(0，1)，且 BC＝ 5，则点 A 的坐标是 ((22，，0)． 0)
11.(2021·中山区模拟)如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在对角线 BD 上，且 DE＝DA，EF⊥AB，垂足为 F，则 EF 的长为 44－－22 2 .
12.(2020·遂宁)如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D，E 分别是线段 BC， AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延长线于点 F，连接 CF. (1)求证：△BDE≌△FAE； (2)求证：四边形 ADCF 为矩形．
∵AB＝AC，∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°，∴四边形 ADCF 为矩形．
中考数学专项训练 矩形、菱形与正方形(含解析)
矩形、菱形与正方形一、选择题1．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等2．如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形D．梯形3．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若四边形MBND是菱形，则等于（）A．B．C．D．4．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（）A． cm B． cm C． cm D． cm5．如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题6．若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是．7．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB= ．8．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α= ．9．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是．10．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．三、解答题（共40分）11．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．12．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．13．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．14．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，（1）的值为；（2）求证：AE=EP；（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．矩形、菱形与正方形参考答案与试题解析一、选择题1．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等【考点】矩形的性质；菱形的性质．【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．2．如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形D．梯形【考点】旋转的性质；矩形的判定．【分析】根据旋转的性质可得AE=CE，DE=EF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形ADCF是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出∠ADC=90°，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形解答．【解答】解：∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE，∴AE=CE，DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC=BC，点D是边AB的中点，∴∠ADC=90°，∴四边形ADCF是矩形．故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的判定，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形的判定方法，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．3．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若四边形MBND是菱形，则等于（）A．B．C．D．【考点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质．【分析】首先由菱形的四条边都相等与矩形的四个角是直角，即可得到直角△ABM中三边的关系．【解答】解：∵四边形MBND是菱形，∴MD=MB．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°．设AB=x，AM=y，则MB=2x﹣y，（x、y均为正数）．在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，即x2+y2=（2x﹣y）2，解得x=y，∴MD=MB=2x﹣y=y，∴==．故选：C．【点评】此题考查了菱形与矩形的性质，以及直角三角形中的勾股定理．解此题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．4．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（）A． cm B． cm C． cm D． cm【考点】菱形的性质；勾股定理；解直角三角形．【分析】先求出菱形的边长，然后利用面积的两种表示方法求出DH，在Rt△DHB中求出BH，然后得出AH，利用tan∠HAG的值，可得出GH的值．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，∴AO=4cm，BO=3cm，在Rt△AOB中，AB==5cm，∵BD×AC=AB×DH，∴DH=cm，在Rt△DHB中，BH==cm，则AH=AB﹣BH=cm，∵tan∠HAG===，∴GH=AH=cm．故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质、解直角三角形及三角函数值的知识，注意菱形的面积等于对角线乘积的一半，也等于底乘高．5．如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】正方形的性质．【分析】根据四边形ABCD是正方形及CE=DF，可证出△ADE≌△BAF，则得到：①AE=BF，以及△ADE 和△BAF的面积相等，得到；④S△AOB=S四边形DEOF；可以证出∠ABO+∠BAO=90°，则②AE⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO=OE．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AD∵CE=DF∴DE=AF∴△ADE≌△BAF∴AE=BF（故①正确），S△ADE=S△BAF，∠DEA=∠AFB，∠EAD=∠FBA∵S△AOB=S△BAF﹣S△AOF，S四边形DEOF=S△ADE﹣S△AOF，∴S△AOB=S四边形DEOF（故④正确），∵∠ABF+∠AFB=∠DAE+∠D EA=90°∴∠AFB+∠EAF=90°∴AE⊥BF一定成立（故②正确）．假设AO=OE，∵AE⊥BF（已证），∴AB=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∵在Rt△BCE中，BE＞BC，∴AB＞BC，这与正方形的边长AB=BC相矛盾，∴，假设不成立，AO≠OE（故③错误）；故错误的只有一个．故选：A．【点评】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，综合题但难度不大，求出△ADE≌△BAF是解题的关键，也是本题的突破口．二、填空题6．若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是 3 ．【考点】菱形的性质．【分析】菱形的面积是对角线乘积的一半，由此可得出结果即可．【解答】解：由题意，知：S菱形=×2×3=3，故答案为：3．【点评】本题考查了菱形的面积两种求法：（1）利用底乘以相应底上的高；（2）利用菱形的特殊性，菱形面积=×两条对角线的乘积；具体用哪种方法要看已知条件来选择．7．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB= 5 ．【考点】含30度角的直角三角形；矩形的性质．【分析】根据矩形的性质，可以得到△AOB是等边三角形，则可以求得OA的长，进而求得AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB又∵∠AOB=60°∴△AOB是等边三角形．∴AB=OA=AC=5，故答案是：5．【点评】本题考查了矩形的性质，正确理解△AOB是等边三角形是关键．8．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α= 20°．【考点】旋转的性质；矩形的性质．【分析】根据矩形的性质得∠B=∠D=∠BAD=90°，根据旋转的性质得∠D′=∠D=90°，∠4=α，利用对顶角相等得到∠1=∠2=110°，再根据四边形的内角和为360°可计算出∠3=70°，然后利用互余即可得到∠α的度数．【解答】解：如图，∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=∠D=∠BAD=90°，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，∴∠D′=∠D=90°，∠4=α，∵∠1=∠2=110°，∴∠3=360°﹣90°﹣90°﹣110°=70°，∴∠4=90°﹣70°=20°，∴∠α=20°．故答案为：20°．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了矩形的性质．9．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是10 ．【考点】轴对称﹣最短路线问题；正方形的性质．【分析】由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小．∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称，∴PB=PD，∴PB+PE=PD+PE=DE．∵BE=2，AE=3BE，∴AE=6，AB=8，∴DE==10，故PB+PE的最小值是10．故答案为：10．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出．10．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是①②④（把你认为正确的都填上）．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF，∴CE=CF，∴①说法正确；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②说法正确；如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③说法错误；∵EF=2，∴CE=CF=，设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，即a2+（a﹣）2=4，解得a=，则a2=2+，S正方形ABCD=2+，④说法正确，故答案为：①②④．【点评】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．三、解答题（共40分）11．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．【解答】解：（1）BD=CD．理由如下：依题意得AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，∵AF=BD，∴BD=CD；（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD（三线合一），∴∠ADB=90°，∴▱AFBD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．12．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．【考点】菱形的判定与性质；三角形中位线定理．【分析】从所给的条件可知，DE是△ABC中位线，所以DE∥BC且2DE=BC，所以BC和EF平行且相等，所以四边形BCFE是平行四边形，又因为BE=FE，所以是菱形；∠BCF是120°，所以∠EBC为60°，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求．【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC且2DE=BC，又∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，又∵BE=FE，∴四边形BCFE是菱形；（2）解：∵∠BCF=120°，∴∠EBC=60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形的边长为4，高为2，∴菱形的面积为4×2=8．【点评】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点．13．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAE=∠D=90°，再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等，再根据全等三角形的证明即可；（2）过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，然后与（1）相同．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠ABE=∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴AF=BE；（2）解：MP与NQ相等．理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形AMPF与四边形BNQE是平行四边形，∴AF=PM，BE=NQ，∵在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠ABE=∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴AF=BE；∴MP=NQ．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，主要利用了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，同角的余角相等的性质，利用三角形全等证明相等的边是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．14．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，（1）的值为；（2）求证：AE=EP；（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．【分析】（1）由正方形的性质可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可证得：∠BAE=∠CEF，根据同角的正弦值相等即可解答；（2）在BA边上截取BK=BE，连接KE，根据角角之间的关系得到∠AKE=∠ECP，由AB=CB，BK=BE，得AK=EC，结合∠KAE=∠CEP，证明△AKE≌△ECP，于是结论得出；（3）作DM⊥AE于AB交于点M，连接ME、DP，易得出DM∥EP，由已知条件证明△ADM≌△BAE，进而证明MD=EP，四边形DMEP是平行四边形即可证出．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D，∵∠AEP=90°，∴∠BAE=∠FEC，在Rt△ABE中，AE==，∵sin∠BAE==sin∠FEC=，∴=，解法二：由上得∠BAE=∠FEC，∵∠BAE=∠FEC，∠B=∠DCB，∴△ABE∽△ECF，∴=，（2）证明：在BA边上截取BK=BE，连接KE，∵∠B=90°，BK=BE，∴∠BKE=45°，∴∠AKE=135°，∵CP平分外角，∴∠DCP=45°，∴∠ECP=135°，∴∠AKE=∠ECP，∵AB=CB，BK=BE，∴AB﹣BK=BC﹣BE，即：AK=EC，由第一问得∠KAE=∠CEP，∵在△AKE和△ECP中，，∴△AKE≌△ECP（ASA），∴AE=EP；（3）答：存在．证明：作DM⊥AE交AB于点M，则有：DM∥EP，连接ME、DP，∵在△ADM与△BAE中，，∴△ADM≌△BAE（ASA），∴MD=AE，∵AE=EP，∴MD=EP，∴MD EP，∴四边形DMEP为平行四边形．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择．。
2017年广东省广州市中考数学试卷(含答案解析版)
2017年广东省广州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）如图，数轴上两点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的数为（）A．﹣6 B．6 C．0 D．无法确定2．（3分）如图，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到的图形为（）A．B．C． D．3．（3分）某6人活动小组为了解本组成员的年龄情况，作了一次调查，统计的年龄如下（单位：岁）：12，13，14，15，15，15，这组数据中的众数，平均数分别为（）A．12，14 B．12，15 C．15，14 D．15，134．（3分）下列运算正确的是（）A．= B．2×= C．=a D．|a|=a（a≥0）（3分）关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（）5．A．q＜16 B．q＞16 C．q≤4 D．q≥46．（3分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（）A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点7．（3分）计算（a2b）3•的结果是（）A．a5b5B．a4b5C．ab5D．a5b68．（3分）如图，E，F分别是▱ABCD的边AD、BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD 沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（）A．6 B．12 C．18 D．249．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是（）A．AD=2OB B．CE=EO C．∠OCE=40°D．∠BOC=2∠BAD10．（3分）a≠0，函数y=与y=﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）A． B． C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=110°，则∠B= ．12．（3分）分解因式：xy2﹣9x= ．13．（3分）当x= 时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值．14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，tanA=，则AB= ．15．（3分）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是，则圆锥的母线l= ．16．（3分）如图，平面直角坐标系中O是原点，▱ABCD的顶点A，C的坐标分别是（8，0），（3，4），点D，E把线段OB三等分，延长CD、CE分别交OA、AB于点F，G，连接FG．则下列结论：①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相似；③四边形DEGF的面积是；④OD=其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）．三、解答题（本大题共9小题，共102分）17．（9分）解方程组．18．（9分）如图，点E，F在AB上，AD=BC，∠A=∠B，AE=BF．求证：△ADF≌△BCE．19．（10分）某班为了解学生一学期做义工的时间情况，对全班50名学生进行调查，按做义工的时间t（单位：小时），将学生分成五类：A类（0≤t≤2），B类（2＜t≤4），C类（4＜t≤6），D类（6＜t≤8），E类（t＞8）．绘制成尚不完整的条形统计图如图．根据以上信息，解答下列问题：（1）E类学生有人，补全条形统计图；（2）D类学生人数占被调查总人数的%；（3）从该班做义工时间在0≤t≤4的学生中任选2人，求这2人做义工时间都在2＜t≤4中的概率．20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=2．（1）利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D，（保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ADE的周长为a，先化简T=（a+1）2﹣a（a﹣1），再求T的值．21．（12分）甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍，甲队比乙队多筑路20天．（1）求乙队筑路的总公里数；（2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5：8，求乙队平均每天筑路多少公里．22．（12分）将直线y=3x+1向下平移1个单位长度，得到直线y=3x+m，若反比例函数y=的图象与直线y=3x+m相交于点A，且点A的纵坐标是3．（1）求m和k的值；（2）结合图象求不等式3x+m＞的解集．23．（12分）已知抛物线y1=﹣x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．（1）求y1的解析式；（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．24．（14分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）连接AE，若AB=6cm，BC=cm．①求sin∠EAD的值；②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s 的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．25．（14分）如图，AB是⊙O的直径，=，AB=2，连接AC．（1）求证：∠CAB=45°；（2）若直线l为⊙O的切线，C是切点，在直线l上取一点D，使BD=AB，BD所在的直线与AC所在的直线相交于点E，连接AD．①试探究AE与AD之间的是数量关系，并证明你的结论；②是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．2017年广东省广州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）如图，数轴上两点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的数为（）A．﹣6 B．6 C．0 D．无法确定【分析】根据数轴上点的位置，利用相反数定义确定出B表示的数即可．【解答】解：∵数轴上两点A，B表示的数互为相反数，点A表示的数为﹣6，∴点B表示的数为6，故选B【点评】此题考查了数轴，以及相反数，熟练掌握相反数的性质是解本题的关键．2．（3分）如图，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到的图形为（）A．B．C． D．【分析】根据旋转的性质即可得到结论．【解答】解：由旋转的性质得，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到的图形为A，故选A．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．3．（3分）某6人活动小组为了解本组成员的年龄情况，作了一次调查，统计的年龄如下（单位：岁）：12，13，14，15，15，15，这组数据中的众数，平均数分别为（）A．12，14 B．12，15 C．15，14 D．15，13【分析】观察这组数据发现15出现的次数最多，进而得到这组数据的众数为15，将六个数据相加求出之和，再除以6即可求出这组数据的平均数．【解答】解：∵这组数据中，12出现了1次，13出现了1次，14出现了1次，15出现了3次，∴这组数据的众数为15，∵这组数据分别为：12、13、14、15、15、15∴这组数据的平均数=14．故选C【点评】此题考查了众数及算术平均数，众数即为这组数据中出现次数最多的数，算术平均数即为所有数之和与数的个数的商．4．（3分）下列运算正确的是（）A．=B．2×=C．=a D．|a|=a（a≥0）【分析】直接利用分式的基本性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简求出答案．【解答】解：A、无法化简，故此选项错误；B、2×=，故此选项错误；C、=|a|，故此选项错误；D、|a|=a（a≥0），正确．故选：D．【点评】此题主要考查了分式的基本性质以及绝对值的性质、二次根式的性质，正确掌握相关性质是解题关键．（3分）关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（）5．A．q＜16 B．q＞16 C．q≤4 D．q≥4【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=64﹣4q＞0，解之即可得出q的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，∴△=82﹣4q=64﹣4q＞0，解得：q＜16．故选A．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．6．（3分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（）A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点【分析】根据三角形的内切圆得出点O到三边的距离相等，即可得出结论．【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，则点O到三边的距离相等，∴点O是△ABC的三条角平分线的交点；故选：B．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心；熟练掌握三角形的内切圆的圆心性质是关键．7．（3分）计算（a2b）3•的结果是（）A．a5b5B．a4b5C．ab5D．a5b6【分析】根据积的乘方等于乘方的积，分式的乘法，可得答案．【解答】解：原式=a6b3•=a5b5，故选：A．【点评】本题考查了分式的乘除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．8．（3分）如图，E，F分别是▱ABCD的边AD、BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD 沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（）A．6 B．12 C．18 D．24【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，由平行线的性质得到∠AEG=∠EGF，根据折叠的性质得到∠GEF=∠DEF=60°，推出△EGF是等边三角形，于是得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEG=∠EGF，∵将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，∴∠GEF=∠DEF=60°，∴∠AEG=60°，∴∠EGF=60°，∴△EGF是等边三角形，∵EF=6，∴△GEF的周长=18，故选C．【点评】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定，熟练掌握翻折变换的性质是解决问题的关键．9．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是（）A．AD=2OB B．CE=EO C．∠OCE=40°D．∠BOC=2∠BAD【分析】先根据垂径定理得到=，CE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOC=40°，则根据互余可计算出∠OCE的度数，于是可对各选项进行判断．【解答】解：∵AB⊥CD，∴=，CE=DE，∴∠BOC=2∠BAD=40°，∴∠OCE=90°﹣40°=50°．故选D．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．10．（3分）a≠0，函数y=与y=﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）A． B． C．D．【分析】分a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项．【解答】解：当a＞0时，函数y=的图象位于一、三象限，y=﹣ax2+a的开口向下，交y 轴的正半轴，没有符合的选项，当a＜0时，函数y=的图象位于二、四象限，y=﹣ax2+a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合；故选D．【点评】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据比例系数的符号确定其图象的位置，难度不大．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=110°，则∠B= 70°．【分析】根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，又∵∠A=110°，∴∠B=70°，故答案为：70°．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质即可得到结论．12．（3分）分解因式：xy2﹣9x= x（y+3）（y﹣3）．【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：xy2﹣9x=x（y2﹣9）=x（y﹣3）（y+3）．故答案为：x（y﹣3）（y+3）．【点评】本题考查对多项式的分解能力，一般先考虑提公因式，再考虑利用公式分解因式，要注意分解因式要彻底，直到不能再分解为止．13．（3分）当x= 1 时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值 5 ．【分析】把x2﹣2x+6化成（x﹣1）2+5，即可求出二次函数y=x2﹣2x+6的最小值是多少．【解答】解：∵y=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，∴当x=1时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值5．故答案为：1、5．【点评】此题主要考查了二次函数的最值，要熟练掌握，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，tanA=，则AB= 17 ．【分析】根据∠A的正切求出AC，再利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=15，∴=，解得AC=8，根据勾股定理得，AB===17．故答案为：17．【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，主要利用了锐角的正切等于对边比邻边．15．（3分）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是，则圆锥的母线l= 3．【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．【解答】解：圆锥的底面周长=2π×=2πcm，则：=2π，解得l=3．故答案为：3．【点评】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：．16．（3分）如图，平面直角坐标系中O是原点，▱ABCD的顶点A，C的坐标分别是（8，0），（3，4），点D，E把线段OB三等分，延长CD、CE分别交OA、AB于点F，G，连接FG．则下列结论：①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相似；③四边形DEGF的面积是；④OD=其中正确的结论是①③（填写所有正确结论的序号）．【分析】①证明△CDB∽△FDO，列比例式得：，再由D、E为OB的三等分点，则=，可得结论正确；②如图2，延长BC交y轴于H证明OA≠AB，则∠AOB≠∠EBG，所以△OFD∽△BEG不成立；③如图3，利用面积差求得：S△CFG=S▱OABC﹣S△OFC﹣S△OBG﹣S△AFG=12，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行计算并作出判断；④根据勾股定理进行计算OB的长，根据三等分线段OB可得结论．【解答】解：①∵四边形OABC是平行四边形，∴BC∥OA，BC=OA，∴△CDB∽△FDO，∴，∵D、E为OB的三等分点，∴=，∴，∴BC=2OF，∴OA=2OF，∴F是OA的中点；所以①结论正确；②如图2，延长BC交y轴于H，由C（3，4）知：OH=4，CH=3，∴OC=5，∴AB=OC=5，∵A（8，0），∴OA=8，∴OA≠AB，∴∠AOB≠∠EBG，∴△OFD∽△BEG不成立，所以②结论不正确；③由①知：F为OA的中点，同理得；G是AB的中点，∴FG是△OAB的中位线，∴FG=，FG∥OB，∵OB=3DE，∴FG=DE，∴=，过C作CQ⊥AB于Q，S▱OABC=OA•OH=AB•CQ，∴4×8=5CQ，∴CQ=，S△OCF=OF•OH=×4×4=8，S△CGB=BG•CQ=××=8，S△AFG=×4×2=4，∴S△CFG=S▱OABC﹣S△OFC﹣S△OBG﹣S△AFG=8×4﹣8﹣8﹣4=12，∵DE∥FG，∴△CDE∽△CFG，∴==，∴=，∴，∴S四边形DEGF=；所以③结论正确；④在Rt△OHB中，由勾股定理得：OB2=BH2+OH2，∴OB==，∴OD=，所以④结论不正确；故本题结论正确的有：①③；故答案为：①③．【点评】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质、图形与坐标特点、勾股定理、三角形的中位线定理、三角形相似的性质和判定、平行四边形和三角形面积的计算等知识，难度适中，熟练掌握平行四边形和相似三角形的性质是关键．三、解答题（本大题共9小题，共102分）17．（9分）解方程组．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①×3﹣②得：x=4，把x=4代入①得：y=1，则方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．18．（9分）如图，点E，F在AB上，AD=BC，∠A=∠B，AE=BF．求证：△ADF≌△BCE．【分析】根据全等三角形的判定即可求证：△ADF≌△BCE【解答】解：∵AE=BF，∴AE+EF=BF+EF，∴AF=BE，在△ADF与△BCE中，∴△ADF≌△BCE（SAS）【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是求证AF=BE，本题属于基础题型．19．（10分）某班为了解学生一学期做义工的时间情况，对全班50名学生进行调查，按做义工的时间t（单位：小时），将学生分成五类：A类（0≤t≤2），B类（2＜t≤4），C类（4＜t≤6），D类（6＜t≤8），E类（t＞8）．绘制成尚不完整的条形统计图如图．根据以上信息，解答下列问题：（1）E类学生有 5 人，补全条形统计图；（2）D类学生人数占被调查总人数的36 %；（3）从该班做义工时间在0≤t≤4的学生中任选2人，求这2人做义工时间都在2＜t≤4中的概率．【分析】（1）根据总人数等于各类别人数之和可得E类别学生数；（2）用D类别学生数除以总人数即可得；（3）列举所有等可能结果，根据概率公式求解可得．【解答】解：（1）E类学生有50﹣（2+3+22+18）=5（人），补全图形如下：故答案为：5；（2）D类学生人数占被调查总人数的×100%=36%，故答案为：36；（3）记0≤t≤2内的两人为甲、乙，2＜t≤4内的3人记为A、B、C，从中任选两人有：甲乙、甲A、甲B、甲C、乙A、乙B、乙C、AB、AC、BC这10种可能结果，其中2人做义工时间都在2＜t≤4中的有AB、AC、BC这3种结果，∴这2人做义工时间都在2＜t≤4中的概率为．【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查条形统计图．20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=2．（1）利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D，（保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ADE的周长为a，先化简T=（a+1）2﹣a（a﹣1），再求T的值．【分析】（1）根据作已知线段的垂直平分线的方法，即可得到线段AC的垂直平分线DE；（2）根据Rt△ADE中，∠A=30°，AE=，即可求得a的值，最后化简T=（a+1）2﹣a（a ﹣1），再求T的值．【解答】解：（1）如图所示，DE即为所求；（2）由题可得，AE=AC=，∠A=30°，∴Rt△ADE中，DE=AD，设DE=x，则AD=2x，∴Rt△ADE中，x2+（）2=（2x）2，解得x=1，∴△ADE的周长a=1+2+=3+，∵T=（a+1）2﹣a（a﹣1）=3a+1，∴当a=3+时，T=3（3+）+1=10+3．【点评】本题主要考查了基本作图以及含30度角的直角三角形的性质，解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．21．（12分）甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍，甲队比乙队多筑路20天．（1）求乙队筑路的总公里数；（2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5：8，求乙队平均每天筑路多少公里．【分析】（1）根据甲队筑路60公里以及乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍，即可求出乙队筑路的总公里数；（2）设乙队平均每天筑路8x公里，则甲队平均每天筑路5x公里，根据甲队比乙队多筑路20天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：（1）60×=80（公里）．答：乙队筑路的总公里数为80公里．（2）设乙队平均每天筑路8x公里，则甲队平均每天筑路5x公里，根据题意得：﹣=20，解得：x=0.1，经检验，x=0.1是原方程的解，∴8x=0.8．答：乙队平均每天筑路0.8公里．【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列式计算；（2）找准等量关系，列出分式方程．22．（12分）将直线y=3x+1向下平移1个单位长度，得到直线y=3x+m，若反比例函数y=的图象与直线y=3x+m相交于点A，且点A的纵坐标是3．（1）求m和k的值；（2）结合图象求不等式3x+m＞的解集．【分析】（1）根据平移的原则得出m的值，并计算点A的坐标，因为A在反比例函数的图象上，代入可以求k的值；（2）画出两函数图象，根据交点坐标写出解集．【解答】解：（1）由平移得：y=3x+1﹣1=3x，∴m=0，当y=3时，3x=3，x=1，∴A（1，3），∴k=1×3=3；（2）画出直线y=3x和反比例函数y=的图象：如图所示，由图象得：不等式3x+m＞的解集为：﹣1＜x＜0或x＞1．【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题和一次函数的图象的平移问题，涉及到用待定系数法求反比例函数的解析式，并熟知函数图象平移时“上加下减，左加右减”的法则．23．（12分）已知抛物线y1=﹣x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．（1）求y1的解析式；（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．【分析】（1）根据题意求得顶点B的坐标，然后根据顶点公式即可求得m、n，从而求得y1的解析式；（2）分两种情况讨论：当y1的解析式为y1=﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴的交点是抛物线的顶点（﹣1，0），不合题意；当y1=﹣x2﹣2x+8时，解﹣x2﹣2x+8=0求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据A的坐标和y2随着x的增大而增大，求得y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣4，0），然后根据待定系数法求得即可．【解答】解：（1）∵抛物线y1=﹣x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．∴B（﹣1，1）或（﹣1，9），∴﹣=﹣1，=1或9，解得m=﹣2，n=0或8，∴y1的解析式为y1=﹣x2﹣2x或y1=﹣x2﹣2x+8；（2）①当y1的解析式为y1=﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴交点是（0.0）和（﹣2.0），∵y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣2，0），把（﹣1，5），（﹣2，0）代入得，解得，∴y2=5x+10．②当y1=﹣x2﹣2x+8时，解﹣x2﹣2x+8=0得x=﹣4或2，∵y2随着x的增大而增大，且过点A（﹣1，5），∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣4，0），把（﹣1，5），（﹣4，0）代入得，解得；∴y2=x+．【点评】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，根据题意求得顶点坐标是解题的关键．24．（14分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）连接AE，若AB=6cm，BC=cm．①求sin∠EAD的值；②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s 的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．【分析】（1）只要证明四边相等即可证明；（2）①设AE交CD于K．由DE∥AC，DE=OC=OA，推出==，由AB=CD=6，可得DK=2，CK=4，在Rt△ADK中，AK===3，根据sin∠DAE=计算即可解决问题；②作PF⊥AD于F．易知PF=AP•sin∠DAE=AP，因为点Q的运动时间t=+=OP+AP=OP+PF，所以当O、P、F共线时，OP+PF的值最小，此时OF是△ACD的中位线，由此即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形．∴OD=OB=OC=OA，∵△EDC和△ODC关于CD对称，∴DE=DO，CE=CO，∴DE=EC=CO=OD，∴四边形CODE是菱形．（2）①设AE交CD于K．∵四边形CODE是菱形，∴DE∥AC，DE=OC=OA，∴==∵AB=CD=6，∴DK=2，CK=4，在Rt△ADK中，AK===3，∴sin∠DAE==，②作PF⊥AD于F．易知PF=AP•sin∠DAE=AP，∵点Q的运动时间t=+=OP+AP=OP+PF，∴当O、P、F共线时，OP+PF的值最小，此时OF是△ACD的中位线，∴OF=CD=3．AF=AD=，PF=DK=1，∴AP==，∴当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，AP的长为，点Q走完全程所需的时间为3s．【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质、锐角三角函数、平行线分线段成比例定理、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，所以中考压轴题．25．（14分）如图，AB是⊙O的直径，=，AB=2，连接AC．（1）求证：∠CAB=45°；（2）若直线l为⊙O的切线，C是切点，在直线l上取一点D，使BD=AB，BD所在的直线与AC所在的直线相交于点E，连接AD．①试探究AE与AD之间的是数量关系，并证明你的结论；②是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）由AB是⊙O的直径知∠ACB=90°，由=即AC=BC可得答案；（2）分∠ABD为锐角和钝角两种情况，①作BF⊥l于点F，证四边形OBFC是矩形可得AB=2OC=2BF，结合BD=AB知∠BDF=30°，再求出∠BDA和∠DEA度数可得；②同理BF=BD，即可知∠BDC=30°，分别求出∠BEC、∠ADB即可得；（3）分D在C左侧和点D在点C右侧两种情况，作EI⊥AB，证△CAD∽△BAE得==，即AE=CD，结合EI=BE、EI=AE，可得BE=2EI=2×AE=AE=×CD=2CD，从而得出结论．【解答】解：（1）如图1，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AC=BC，∴∠CAB=∠CBA==45°；（2）①当∠ABD为锐角时，如图2所示，作BF⊥l于点F，由（1）知△ACB是等腰直角三角形，∵OA=OB=OC，∴△BOC为等腰直角三角形，∵l是⊙O的切线，∴OC⊥l，又BF⊥l，∴四边形OBFC是矩形，∴AB=2OC=2BF，∵BD=AB，∴BD=2BF，∴∠BDF=30°，∴∠DBA=30°，∠BDA=∠BAD=75°，∴∠CBE=∠CBA﹣∠DBA=45°﹣30°=15°，∴∠DEA=∠CEB=90°﹣∠CBE=75°，∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE；②当∠ABD为钝角时，如图3所示，同理可得BF=BD，即可知∠BDC=30°，∵OC⊥AB、OC⊥直线l，∴AB∥直线l，∴∠ABD=150°，∠ABE=30°，∴∠BEC=90°﹣（∠ABE+∠ABC）=90°﹣（30°+45°）=15°，∵AB=DB，∴∠ADB=∠ABE=15°，∴∠BEC=∠ADE，∴AE=AD；（3）①如图2，当D在C左侧时，由（2）知CD∥AB，∠ACD=∠BAE，∠DAC=∠EBA=30°，∴△CAD∽△BAE，∴==，∴AE=CD，作EI⊥AB于点I，∵∠CAB=45°、∠ABD=30°，∴BE=2EI=2×AE=AE=×CD=2CD，∴=2；②如图3，当点D在点C右侧时，过点E作EI⊥AB于I，由（2）知∠ADC=∠BEA=15°，∵AB∥CD，∴∠EAB=∠ACD，∴△ACD∽△BAE，∴==，∴CD，∵BA=BD，∠BAD=∠BDA=15°，∴∠IBE=30°，∴BE=2EI=2×AE=AE=×CD=2CD，∴=2．【点评】本题主要考查圆的综合问题，熟练掌握切线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、圆心角定理及相似三角形的判定与性质是解题的关键．。
题型专项研究：平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质
题型6 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质,备考攻略)1．简单的应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质或判定解答证明题．2．四边形动态问题——旋转变换类、平移变换类、折叠变换类，运动问题类，利用折叠(翻折)、轴对称解答最值问题．3．平行四边形的存在性问题．4．四边形与二次函数的综合题．1．折叠、轴对称及特殊平行四边形的性质应用出错．2．平行四边形的存在性问题中解有遗漏．3．很难解答四边形与二次函数的综合题，无从下手．1．四边形是几何知识中非常重要的一块内容，因其“变化多端”更是成为中考数学考试的一个热门考点．近几年随着新课改的不断深入，中考题更加考查学生思维能力，如出现一些图形折叠、翻转等问题．这类问题的实践性强，要利用图形变化前后线段、角的对应相等关系，构造一些特殊三角形等知识来求解．2．中考还常把四边形与平面直角坐标系结合起来考查，这类题目不仅仅把“数”与“形”联系起来思考，更提高同学们综合运用知识的能力．数形结合题目可以考查学生对“新事物”“新知识”的接受和理解能力，也考查学生运用所学知识来解决“新事物”“新知识”的能力．3．四边形作为特殊的四边形，一直是中考试题中的主角．尤其是在综合了函数知识后动态研究它的存在性问题，对学生分析问题和解决问题的要求较高．此类题目主要考查平行四边形的判定与性质、函数解析式的确定与性质，考查识图作图、运算求解、数学表达等能力，数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想．1．简单的应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质或判定解答证明题：平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质，它们在计算、证明中都有广泛的应用：(1)求角的度数；(2)求线段的长；(3)求周长；(4)求第三边的取值范围．2．四边形动态问题——旋转变换类、平移变换类、折叠变换类，运动问题类，利用折叠(翻折)、轴对称解答最值问题：有关矩形纸片折叠的问题，通过动手操作去发现解决问题的方法．其规律为利用折叠前后线段、角的对应相等关系，构造直角三角形，利用勾股定理来求解．折叠问题数学思想：(1)思考问题的逆向(反方向)，(2)转化与化归思想；(3)归纳与分类的思想；(4)从变寻不变性的思想．3．综合了函数知识后动态研究平行四边形的存在性问题：此类题目主要考查平行四边形的判定与性质、函数解析式的确定与性质，考查识图作图、运算求解、数学表达等能力，数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想．学生在处理问题的时候，往往不能正确分类，导致漏解．此外，在解题时一般需要添设辅助线，利用平行四边形的性质，转化为全等进行计算，学生顺利完成的难度就更大．如何才能让他们有目的的进行分类、简单明了的给出解答，从而减轻学习负担呢？借助平行四边形的对角线性质，来探究平行四边形的存在性问题就是一个很好的途径．4．四边形与二次函数的综合题是压轴题：综合考查了二次函数，一次函数，尺规作图，勾股定理，平面直角坐标系，一元二次方程，轴对称——翻折，最值问题．读懂题目、准确作图、熟悉二次函数及其图象是解题的关键．解决压轴题关键是找准切入点，如添辅助线，构造定理所需的图形或基本图形；紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论；深度挖掘题干，反复认真的审题，在题目中寻找多解的信息，等等．压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高，除了要熟知各类知识外，平时要多练，提高知识运用和转化的能力．,典题精讲)◆简单的应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质或判定解答证明题【例1】(成都中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 垂直平分OB 于点E ，则AD 的长为________．【解析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA ＝AB ＝OB ＝3，得出BD ＝2OB ＝6，由勾股定理求出AD 即可．【答案】3 31．(巴中中考)如图，延长矩形ABCD 的边BC 至点E ，使CE ＝BD ，连接AE ，如果∠ADB＝30°，则∠E ＝__15__°.2．(2019甘肃中考)如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，过对角线BD 中点O 的直线分别交AB ，CD 边于点E ，F.(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形； (2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点， ∴∠A ＝90°，AD ＝BC ＝4，AB ∥DC ，OB ＝OD, ∴∠OBE ＝∠ODF.在△BOE 和△DOF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OBE＝∠ODF，OB ＝OD ，∠BOE ＝∠DOF，∴△BOE ≌△DOF(ASA),∴EO ＝FO,∴四边形BEDF 是平行四边形；(2)当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF, 设BE ＝x ，则DE ＝x ，AE ＝6－x.在Rt △ADE 中，DE 2＝AD 2＋AE 2,∴x 2＝42＋(6－x)2, 解得：x ＝133.∵BD ＝AD 2＋AB 2＝213，∴OB ＝12BD ＝13.∵BD ⊥EF, ∴EO ＝BE 2－OB 2＝2133，∴EF ＝2EO ＝4133. ◆四边形动态问题——旋转变换类、平移变换类、折叠变换类，运动问题类，利用折叠(翻折)、轴对称解答最值问题【例2】(宿迁中考)如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE.若AB 的长为2，则FM 的长为( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1【解析】根据翻折不变性，AB ＝FB ＝2，BM ＝1，在Rt △BFM 中，可利用勾股定理求出FM 的值． 【答案】B3．(咸宁中考)已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB ＝45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D(0，1)，当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为( D )A ．(0，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫65，35 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫107，57(第3题图)(第4题图)4．(苏州中考)矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为(3，4)，D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为( B )A ．(3，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，43 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，53 D ．(3，2)5．(黄冈中考)如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边CD ，BC 上，且DC ＝3DE ＝3a ，将矩形沿直线EF 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点P 处，则FP ＝6．(2019甘肃中考)如图，E ，F 分别是▱ABCD 的边AD ，BC 上的点，EF ＝6，∠DEF ＝60°，将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到EFC′D′，ED ′交BC 于点G ，则△GEF 的周长为( C )A ．6B ．12C ．18D ．247．(2019广东中考)如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F.(1)求证：△BDF 是等腰三角形；(2)如图②，过点D 作DG∥BE，交BC 于点G ，连接FG 交BD 于点O. ①判断四边形BFDG 的形状，并说明理由； ②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长．解：(1)如图①，根据折叠，∠DBC ＝∠DBE, 又AD∥BC,∴∠DBC ＝∠ADB, ∴∠DBE ＝∠ADB, ∴DF ＝BF,∴△BDF 是等腰三角形；(2)①∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC, ∴FD ∥BG.∴四边形BFDG 是平行四边形． ∵DF ＝BF,∴四边形BFDG 是菱形； ②∵AB ＝6，AD ＝8, ∴BD ＝10， ∴OB ＝12BD ＝5.假设DF ＝BF ＝x ，∴AF ＝AD －DF ＝8－x.∴在Rt △ABF 中，AB 2＋AF 2＝BF 2，即62＋(8－x)2＝x 2,解得x ＝254， 即BF ＝254，∴FO ＝BF 2－OB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2542－52＝154， ∴FG ＝2FO ＝152. ◆解决平面直角坐标系中平行四边形存在性问题【例3】(2019大理中考模拟)如图，A ，B ，C 是平面上不在同一直线上的三个点． (1) 画出以 A ，B ，C 为顶点的平行四边形；(2)若 A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1，5)，(－5，1)，(2，2)，请写出这个平行四边形第四个顶点 D 的坐标．【解析】利用坐标系的知识点解题．【答案】(1)如图所示；(2)第四个顶点D的坐标为(－2，－2)或(6，6)或(－8，4)．1．(兰州中考)如图所示，菱形ABCD的周长为20 cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA＝35，则下列结论正确的个数有( C )①DE＝3 cm；②BE＝1 cm；③菱形的面积为15 cm2；④BD＝210 cm.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．(济南中考)如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是( D )A．1.6 B．2.5 C．3 D．3.4(第2题图)(第3题图)3．(珠海中考)如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4 cm，则点P到BC的距离是__4__ cm.4．(新疆中考)如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.(1)求证：四边形BCED′是菱形；(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．解：(1)∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，∴∠DAE＝∠D′AE，∠DEA＝∠D′EA，∠D＝∠AD′E.∵DE∥AD′，∴∠DEA＝∠EAD′，∴∠DAE ＝∠EAD′＝∠DEA＝∠D′EA， ∴∠DAD ′＝∠DED′，∴四边形DAD′E 是平行四边形， ∴DE ＝AD′.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝DC ，AB ∥DC ，∴CE ＝D′B，CE ∥D ′B ，∴四边形BCED′是平行四边形； (2)∵AD＝AD′， ∴▱DAD ′E 是菱形．∴D 与D′关于AE 对称．连接BD 交AE 于P ，则BD 的长即为PD′＋PB 的最小值， 过D 作DG⊥BA 于G. ∵CD ∥AB ，∴∠DAG ＝∠CDA＝60°. ∵AD ＝1，∴AG ＝12，DG ＝32，BG ＝52，∴BD ＝DG 2＋BG 2＝7，∴PD ′＋PB 的最小值为7.5．(资阳中考)如图，在平行四边形ABCD 中，点A ，B ，C 的坐标分别是(1，0)，(3，1)，(3，3)，双曲线y ＝kx(k≠0，x ＞0)过点D.(1)求双曲线的解析式；(2)作直线AC 交y 轴于点E ，连接DE ，求△CDE 的面积．解：(1)∵▱ABCD 中，点A ，B ，C 的坐标分别是(1，0)，(3，1)，(3，3)， ∴点D 的坐标为(1，2)． ∵点D 在双曲线y ＝kx 上，∴k＝1×2＝2，∴双曲线的解析式为y ＝2x ；(2)∵直线AC 交y 轴于点E ， ∴点E 的横坐标为0. ∵AD ＝2，∵S △ADC ＝12·(3－1)·AD＝2，∴S △CDE ＝S △EDA ＋S △ADC ＝1＋2＝3.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，BD，CE分别是△ABC的高线和角平分线，且相交于点O．若AB＝AC，∠A＝40°，则∠BOE的度数是（）A.60°B.55°C.50°D.40°2．若抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是（）A．m＞9 B．m≥9C．m＜﹣9 D．m≤﹣93．如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（）A.①③④B.②④C.①②③D.①②③④4．如图，向正六边形的飞镖游戏盘内随机投掷一枚飞镖则该飞镖落在阴影部分的概率( ).A. B. C. D.5．下面的统计图反映了我国五年来农村贫困人口的相关情况，其中“贫困发生率”是指贫困人口占目标调查人口的百分比．（以上数据来自国家统计局）根据统计图提供的信息，下列推断不合理．．．的是（ ） A.与2017年相比，2018年年末全国农村贫困人口减少了1386万人 B.2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率逐年下降C.2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困人口的减少量均超过1000万D.2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率均下降1.4个百分点6．如果340x y -=，那么代数式23()x y y x y-⋅+的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．使得关于x 的不等式组22141x m x m >-⎧⎨-+≥-⎩有解，且使分式方程1222m xx x --=--有非负整数解的所有的m 的和是（ ） A ．﹣1B ．2C ．﹣7D ．08．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为4，∠B ＝135°，则劣弧AC 的长是（ ）A.4πB.2πC.πD.23π9．如图1，在Rt ABC ∆中，090C ∠=，点P 从点A 出发，沿A C B →→的路径匀速运动到点B 停止，作PD AB ⊥于点D ，设点P 运动的路程为x ，PD 长为y ，y 与x 之间的函数关系图象如图2所示，当12x =时，y 的值是（ ）A ．6B ．245C ．65D ．210．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ⊥BC ，垂足为点E ，连接AC 交DE 于点F ，点G 为AF 的中点，∠ACD ＝2∠ACB ．若DG ＝5，EC ＝1，则DE 的长为( )A ．2B ．4C ．D ．11．如图，正方形OABC 绕着点O 逆时针旋转40°得到正方形ODEF ，连接AF ，则∠OFA 的度数是（ ）.A.15°B.20°C.25°D.30°12．下列运算正确的是（ ）A.222()x y x y +=+ B.632x x x ÷=3=D.32361126xy x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭二、填空题13．分解因式(a －b)(a －9b)＋4ab 的结果是____．14．如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，△ABC ∽△DBA ．若BD ＝4，DC ＝5，则AB 的长为_____．15．方程3x x -=1xx +的解是_____． 16．使得关于x 的分式方程111x k kx x +-=+-的解为负整数，且使得关于x 的不等式组322144x x x k+≥-⎧⎨-≤⎩有且仅有5个整数解的所有k 的和为_____．17．已知a ，b 是一元二次方程x 2+x ﹣4＝0的两个不相等的实数根，则a 2﹣b ＝_____． 18．书架上有3本小说、2本散文，从中随机抽取2本都是小说的概率是_____． 三、解答题19．一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，每个球上面分别标有1，2，3，4．小林先从布袋中随机抽取一个乒乓球（不放回去），再从剩下的3个球中随机抽取第二个乒乓球，记两次取得乒乓球上的数字依次为a 、b ． （1）求a 、b 之积为偶数的概率；（2）若c ＝5，求长为a 、b 、c 的三条线段能围成三角形的概率．20．在正方形ABCD 中，点M 是射线BC 上一点，点N 是CD 延长线上一点，且BM ＝DN ，直线BD 与MN 交于点E ．（1）如图1．当点M 在BC 上时，为证明“BD﹣2DE BM”这一结论，小敏添加了辅助线：过点M 作CD 的平行线交BD 于点P ．请根据这一思路，帮助小敏完成接下去的证明过程．（2）如图2，当点M 在BC 的延长线上时，则BD ，DE ，BM 之间满足的数量关系是 ． （3）在（2）的条件下，连接BN 交AD 于点F ，连接MF 交BD 于点G ，如图3，若1,3AF AD = CM ＝2，则线段DG ＝ ．21．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 是AC 边上一点，tan ∠DBC=43，且BC=6，AD=4．求cosA 的值．22．计算：（π0﹣3|+（12）﹣123．已知二次函数y ＝﹣x 2+2mx ﹣m 2﹣1（m 为常数）．（1）证明：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点；（2）当自变量x 的值满足﹣3≤x≤﹣1时，与其对应的函数值y 的最大值为﹣5，求m 的值．24．（1）计算：10124303)cos -︒⎛⎫-++-- ⎪⎝⎭（2）先化简，再求值：2222121111a a a a a a a +-+⋅---+，其中a ＝﹣12． 25．某校七、八年级各有10名同学参加市级数学竞赛，各参赛选手的成绩如下（单位：分）： 七年级：89，92，92，92，93，95，95，96，98，98 八年级：88，93，93，93，94，94，95，95，97，98 整理得到如下统计表根据以上信息，完成下列问题（1）填空：a＝；m＝；n＝；（2）两个年级中，年级成绩更稳定；（3）七年级两名最高分选手分别记为：A1，A2，八年级第一、第二名选手分别记为B1，B2，现从这四人中，任意选取两人参加市级经验交流，请用树状图法或列表法求出这两人分别来自不同年级的概率．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．(a-3b)214．615．x=﹣3 216．5 17．518．3 10三、解答题19．（1）P（数字之积为偶数）＝56；（2）P（三线段能围成三角形）＝13．【解析】【分析】（1）通过列表法可得a、b所有可能的结果，计算出a、b之积为偶数的次数，然后用a、b之积为偶数的次数除以总次数即可计算a、b之积为偶数的概率；（2）首先列出a、b、c所有可能的结果，根据三角形的性质找到能组成三角形的结果，最后计算能围成三角形的概率.【详解】（1）根据题意列表如下：由以上表格可知：有12种可能结果，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），其积分别为：2，3，4，2，6，8，3，6，12，4，8，12；积为偶数的有2，4，2，6，8，6，12，4，8，12，共10个，则P（数字之积为偶数）＝1012＝56；（2）所有的可能结果有12种，a，b及c的值分别为（1，2，5），（1，3，5），（1，4，5），（2，1，5），（2，3，5），（2，4，5），（3，1，5），（3，2，5），（3，4，5），（4，1，5），（4，2，5），（4，3，5），能构成三角形的有（2，4，5），（3，4，5），（4，2，5），（4，3，5），共4种，则P（三线段能围成三角形）＝412＝13．【点睛】本题考查了用列举法计算概率的知识，正确理解题意是解题的关键.20．（1）见解析；（2）BD+2DE BM；（3.【解析】【分析】（1）过点M作MP∥CD，交BD于点P，推出PM=DN，证明△EPM≌△EDN，推出EP＝ED，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；（2）过点M作MP∥CD交BD的延长线于点P，推出BM＝PM＝DN，根据AAS证明△EPM≌△EDN，推出EP＝ED，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；（3）证明△ABF∽△DNF，得出比例式，得到AB：ND＝1：2，设AB＝x，则DN＝2x，根据BM＝DN，列出方程求出AB的长度，根据DF∥BM，得到413,43DF DGBM BG===即可求解.【详解】解：（1）如图1，过点M作MP∥CD，交BD于点P，∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，∠CBD＝∠CDB＝45°，∵PM∥CD，∴∠NDE＝∠MPE，∠BPM＝∠CDB＝45°，∴△BPM是等腰直角三角形，∴PM＝BM，PB=，∵BM ＝DN ， ∴PM ＝DN ，在△EPM 和△EDN 中，,MPE NDE PEM DEN PM DN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EPM ≌△EDN （AAS ）， ∴EP ＝ED ，∴PB ＝BD ﹣PD ＝BD ﹣2DE ，根据勾股定理得：BP =，即2BD DE -=；（2）如图2，过点M 作MP ∥CD 交BD 的延长线于点P ，∴∠PMB ＝∠BCD ＝90°， ∵∠CBD ＝45°，∴△BMP 是等腰直角三角形， ∴BM ＝PM ＝DN ，与（1）证法类似：△EPM ≌△EDN （AAS ）， ∴EP ＝ED ，∴PB ＝BD+PD ＝BD+2DE ， 根据勾股定理得：BPBM ， 即BD+2DE ＝BPBM ， 故答案为：BD+2DEBM ； （3）如图3，∵AB ∥CD ， ∴AB ∥DN ，∴△ABF∽△DNF，∴AF：FD＝AB：ND，∵AF：FD＝1：2，∴AB：ND＝1：2，设AB＝x，则DN＝2x，∵BM＝DN，∴x+2＝2x，x＝2，∴AB＝AD＝2，DF＝43，∴BD=∵DF∥BM，∴413,43 DF DGBM BG===∴142 DG=⨯=故答案为：2【点睛】本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，此题综合性比较强，难度较大，但题型较好，训练了学生分析问题和解决问题的能力．用的数学思想是类比推理的思想．21【解析】【分析】先在Rt△BDC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，由AC=AD+DC求出AC的长，然后在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AB的长，从而求出 cosA的值．【详解】解：在Rt △BDC 中， tan ∠DBC=43， 且BC=6 ， ∴ tan ∠DBC=DC BC =6DC =43， ∴CD=8， ∴AC=AD+DC=12，在Rt △ABC 中，，∴ cosA =ACAB =. 【点睛】本题主要考查解直角三角形．熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．22【解析】 【分析】直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】原式＝1﹣（3+2【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 23．（1）见解析；（2）m 的值为﹣5或1． 【解析】 【分析】（1）根据判别式的值得到△＝﹣4＜0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用配方法得到y ＝﹣（x ﹣m ）2﹣1，则抛物线的对称轴为直线x ＝m ，讨论：当m ＜﹣3时，根据二次函数性质得到x ＝﹣3时，y ＝﹣5，所以﹣（﹣3﹣m ）2﹣1＝﹣5；当﹣3≤m≤﹣1时，x ＝m ，y 的最大值为﹣1，不合题意；当m ＞﹣1时，利用二次函数的性质得到x ＝﹣1时，y ＝﹣5，所以﹣（﹣1﹣m ）2﹣1＝﹣5，然后分别解关于m 的方程即可得到满足条件的m 的值． 【详解】（1）证明：△＝4m 2﹣4×（﹣1）×（﹣m 2﹣1） ＝﹣4＜0，所以﹣x 2+2mx ﹣m 2﹣1＝0没有实数解，所以不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点； （2）解：y ＝﹣x 2+2mx ﹣m 2﹣1＝﹣（x ﹣m ）2﹣1， 抛物线的对称轴为直线x ＝m ，当m ＜﹣3时，﹣3≤x≤﹣1，y 随x 的增大而减下，则x ＝﹣3时，y ＝﹣5，所以﹣（﹣3﹣m ）2﹣1＝﹣5，解得m 1＝﹣5，m 2＝﹣1（舍去）； 当﹣3≤m≤﹣1时，x ＝m ，y 的最大值为﹣1，不合题意；当m ＞﹣1时，﹣3≤x≤﹣1，y 随x 的增大而增大，则x ＝﹣1时，y ＝﹣5， 所以﹣（﹣1﹣m ）2﹣1＝﹣5，解得m 1＝1，m 2＝﹣3（舍去）； 综上所述，m 的值为﹣5或1． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 24．（1）4；（2）1a，-2. 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值以及绝对值的意义进行计算； （2）将原式的分子、分母因式分解，约分后计算减法，再代值计算即可． 【详解】（1） ）0+（13）﹣1+4cos30°﹣＝1+3+4×2﹣＝＝4； （2）2222121111a a a a a a a+-+-+-- ＝22111(1)(1(1)1a a a a a a a +--+--+（））＝21(1)(1)a aa a a a +-++＝1(1)a a a ++ ＝1a， 当a ＝﹣12 时，原式＝11-2＝﹣2．【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值．解答（1）题的关键是根据零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值以及绝对值的意义进行计算；解答（2）题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．25．（1）94；（2）94，92，94；八；（3）23【解析】【分析】（1）根据中位数、众数和平均数的定义求解；（2）根据方差的意义进行判断；（3）画树状图展示所有12等可能的结果数，再找出这两人分别来自不同年级的结果数，然后利用概率公式求解．【详解】（1）n＝110（88+93+93+93+94+94+95+95+97+98）＝94（分）；把七年级的10名学生的成绩从小到大排列，最中间的两个数的平均数是：93+952=94（分），则中位数a=94；七年级的10名学生的成绩中92分出现次数最多，故众数为92分；（2）七年级和八年级的平均数相同，但八年级的方差较小，所以八年级的成绩稳定；（3）列表得：共有12种等可能的结果，这两人分别来自不同年级的有8种情况，∴P（这两人分别来自不同年级的概率）＝82= 123．【点睛】题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．某超市设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”、“30元”的字样.规定：顾客在本超市一次性消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个小球（每一次摸出后不放回）.某顾客刚好消费200元，则该顾客所获得购物券的金额超过30元的概率为（ ） A.12B.13C.23D.142．下列各数中，比﹣3小的数是（ ） A ．﹣1 B ．﹣4C ．0D ．23．不等式组的整数解之和为( ) A.–3B.–1C.1D.34．某车间6名工人日加工零件数分别为6，10，8，10，5，8，则这组数据的中位数是（ ） A ．6B ．8C ．9D ．105．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边AD ，CD 上，AF ，BE 相交于点G ，若F 是CD 的中点，65AG GF =，则AEDE的值是( )A ．3B ．52C ．2D ．326．如图，P 的半径为5，A B 、是圆上任意两点，且6AB =，以AB 为边作正方形ABCD （点、D P 在直线AB 两侧）．若AB 边绕点P 旋转一周，则CD 边扫过的面积为（ ）A ．5πB ．6πC ．8πD ．9π7．一张矩形纸片在太阳光线的照射下，形成影子不可能是（ ） A ．平行四边形B ．矩形C ．正方形D ．梯形8．《语文课程标准》规定：7﹣9年级学生，要求学会制订自己的阅读计划，广泛阅读各种类型的读物，课外阅读总量不少于260万字，每学年阅读两三部名著．那么260万用科学记数法可表示为（ ） A ．26×105B ．2.6×102C ．2.6×106D ．260×1049．下列说法中正确的是（ ） A ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 B ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 C ．两条对角线相等的四边形是矩形D ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 10．如果反比例函数2a y x-=（a 是常数）的图象在第一、三象限，那么a 的取值范围是（ ） A ．a<0B ．a>0C ．a<2D ．a>211．如图，点A 是反比例函数y ＝kx在第一象限图象上一点，连接OA ，过点A 作AB ∥x 轴（点B 在点A 右侧），连接OB ，若OB 平分∠AOX ，且点B 的坐标是（8，4），则k 的值是（ ）A.6B.8C.12D.1612．已知二次函数()2y x h =-+（h 为常数），当自变量x 的值满足25x ≤≤时，其对应对的函数值y 的最大值为1-，则h 的值为（ ） A.3-或6- B.1-或6-C.1-或3-D.4-或6-二、填空题13．如图，菱形ABCD 的边长为12cm ，∠A ＝60°，点P 从点A 出发沿线路AB→BD 做匀速运动，点Q 从点D 同时出发沿线路DC→CB→BA 做匀速运动．已知点P ，Q 运动的速度分别为2cm/秒和2.5cm/秒，经过12秒后，P 、Q 分别到达M 、N 两点时，点P 、Q 再分别从M 、N 同时沿原路返回，点P 的速度不变，点Q 的速度改为vcm/秒，经过3秒后，P 、Q 分别到达E 、F 两点，若△BEF 与△AMN 相似，则v 的值为____．14．分解因式：x 2﹣4=_____．15．（2017云南省）如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，若DE ∥BC ，AD AB =13，则AD DE AEAB BC AC++++=______．16．一个质地均匀的小正方体，6个面分别标有数字1，1，2，4，5，5，若随机投掷一次小正方体，则 朝上一面的数字是5的概率为__．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝﹣x （x ﹣3）（0≤x≤3）在x 轴上方的部分，记作1C ，它与x 轴交于点O ，1A ，将1C 绕点1A 旋转180°得2C ，2C 与x 轴交于另一点2A ．请继续操作并探究：将2C 绕点2A 旋转180°得3C ，与x 轴交于另一点3A ；将3C 绕点3A 旋转180°得4C ，与x 轴交于另一点4A ，这样依次得到x 轴上的点1A ，2A ，3A ，…，n A ，…，及抛物线1C ，2C ，…，n C ，…则n C 的顶点坐标为_____.18．如图，某海监船以20km/h 的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A 处时，测得岛屿P 恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B 处，测得岛屿P 在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C 处，此时海监船与岛屿P 之间的距离（即PC 的长）为_____km ．三、解答题19．如图，点A （﹣1，m ）是双曲线y 1＝kx 与直线y 2＝﹣x ﹣（k+1）在第二象限的交点，另一个交点C 在第四象限，AB ⊥x 轴于B ，且cos ∠AOB （1）求m 的值； （2）求△AOC 的面积；（3）直接写出使y 1＞y 2成立的x 的取值范围．20．为了解某小区某月家庭用水量的情况，从该小区随机抽取部分家庭进行调查，以下是根据调查数据绘制的统计图表的一部分．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次抽样调查的家庭数为______户．（2）家庭用水量在9.0＜x≤11.5范围内的家庭数占被调查家庭数的百分比是______； （3）家庭用水量的中位数在______组．（4）若该小区共有200户家庭，请估计该月用水量不超过9.0吨的家庭数． 21．计算：（1221(1)()3-⨯--- （2）a （a ﹣8）﹣（a ﹣2）222．如图1，A ，B 分别在射线OM ，ON 上，且∠MON 为钝角，现以线段OA ，OB 为斜边向∠MON 的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP ，△OBQ ，点C ，D ，E 分别是OA ，OB ，AB 的中点．(1)求证：四边形OCED为平行四边形；(2)求证:△PCE≌△EDQ(3)如图2,延长PC,QD交于点R.若∠MON=150°,求证:△ABR为等边三角形。
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第五章四边形
第二节矩形、菱形和正方形
玩转广东省卷6年中考真题（2011～2016）
命题点1 矩形的判定与计算(省卷6年3考)
1. (2016省卷15，4分)如图，矩形ABCD中，对角线AC＝23，E为BC边上一点，BC ＝3BE.将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB＝____．
第1题图
2. (2013省卷22，8分)如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C.
(1)设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE 的面积为S3，则S1_____S2＋S3(用“＞”、“＝”、“＜”填空)；
(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．
第2题图
3. (2012省卷21，9分)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8.把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，B C′交AD于点G，E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF 交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．
(1)求证：△ABG≌△C′DG；
(2)求tan∠ABG的值；
(3)求EF的长．
第3题图
命题点2 菱形的判定与计算(省卷6年3考)
4. (2015省卷12，4分)如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，则对角线AC的长是______．
第4题图
【拓展猜押】如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则△ABD的周长等于( )
拓展猜押题图
A. 18
B. 16
C. 15
D. 14
命题点3 正方形的性质与计算(省卷6年2考)
5. (2016省卷5，3分)如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为( )
第5题图
A. 2
B. 2 2
C. 2＋1
D. 22＋1
【答案】
1. 3 【解析】设BE＝x，AB＝y，则B′E＝x，CE＝2x，AB′＝y，∴B′C＝23－y，
∵AB2＋BC2＝AC2，B′C2＋EB′2＝EC2，∴
(
)(
()()
2
2
2
22
2
32
2
y x
y x x
⎧+=
⎪
⎨
⎪+=
⎩
，解得
1
x
y
=
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩
或0
x
y
=
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩舍去)，故
AB＝ 3.
2.解：(1)＝；…………………………………………………(3分)
【解法提示】设矩形BDEF的长和宽分别为x，y，则S1＝
1
2
xy，S2＋S3＝
1
2
·FC·y＋
1
2
·EC·y ＝
1
2
(FC＋EC)y＝
1
2
xy, ∴S1＝S2＋S3.
(2)△BCF∽△CDE；△BCF∽△DBC；△BDC∽△DCE.……(5分)
选△BCF∽△CDE，
证明：∵在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，且点C在边EF上，
∴∠BCF＋∠DCE＝90°，
∵在矩形BDEF中，∠F＝∠E＝90°，
∴在Rt△BCF中，∠CBF＋∠BCF＝90°，
∴∠CBF＝∠DCE，
∴△BCF∽△CDE.……………………………………………(8分)
或选△BCF∽△DBC，
证明：∵BD∥FC，
∴∠DBC＝∠BCF，
又∵∠BFC＝∠DCB＝90°，
∴△BCF∽△DBC. …………………………………………(8分)
或选△BDC∽△DCE，
证明：∵BD∥CE，
∴∠DBC＝180°－∠BCE＝180°－(∠BCD＋∠DCE)＝180°－90°－∠DCE＝90°－∠DCE，
∴∠DBC＋∠DCE＝90°，
∵在△DCE中，∠E＝90°，
∴∠DCE＋∠CDE＝90°，
∴∠DBC＝∠CDE，
又∵∠BCD＝∠E＝90°，
∴△BDC∽△DCE. …………………………………………(8分)
3．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠BAG＝∠C＝90°，
∵把△BCD沿对角线BD折叠得到△BC′D，
∴∠C′＝∠C＝∠BAG＝90°，C′D＝AB，……………………(1分)
∵∠AGB＝∠C′GD，
∴△ABG≌△C′DG(AAS)；…………………………………(3分)
(2)解：设AG＝x，则有DG＝BG＝8－x，
∴(8－x )2＝62＋x 2，解得x ＝74
，………………………………(4分) ∴tan ∠ABG ＝AG AB ＝746＝724
；…………………………………(6分) (3)解：∵把△FDE 沿EF 折叠，使点D 落在点D ′，点D ′恰好与点A 重合， ∴EF ⊥AD ，DH ＝AH ＝4，
∴EF ∥AB ，
∴HF 是△ABD 的中位线，
∴HF ＝3，………………………………………………………(7分)
由(1)中的△ABG ≌△C ′DG 可知，∠ABG ＝∠C ′DG ，
∴HE ＝DH ·tan ∠C ′DG ＝DH ·tan ∠ABG ＝4×724＝76
，………(8分) ∴EF ＝HF ＋HE ＝3＋76＝256
.…………………………………(9分) 4．6 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝6，∵
∠ABC ＝60°，∴AC ＝AB ＝BC ＝6.
【拓展猜押】 B 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴BO ＝OD ＝12BD ＝3，AO ＝OC ＝12
AC ＝4，∴AB ＝5，∴△ABD 的周长为：
5＋5＋6＝16.
5．B 【解析】∵正方形ABCD 的面积为1，∴BC ＝CD ＝1，∵点E 、F 分别是边BC 、CD
的中点，∴CE ＝CF ＝1
2
，∴EF
＝＝22，∴正方形EFGH 的周长为4×22＝2 2.。