广东省中考复习专题整式运算与因式分解
2024年+广东省中考专用梳理一轮教材基础复习1.2整式(含因式分解)课件
B. x(x－3)2
C. x(x＋3)2
D. x(x＋3)(x－3)
25. (2019广州)因式分解：x2－y＋2xy＋y＝__x_(x_＋__2_y_)__. 26. (2017广州)计算：(a2b)3·b2 ＝__a_5b_5__.
a
27. (2023东营)因式分解：3ma2－6mab＋3mb2＝ __3_m__(a_－__b_)_2_.
6. 分解因式： (1)[提单](2023金华)x2＋x＝__x_(x_＋__1_)__； (2)[提复杂单](2023温州)2a2－2a＝_2_a_(_a_－__1_)_； (3)[套平方差](2023广东)x2－1＝_(_x_＋__1_)_(x_－___1_) _； (4)[套完全平方]4－4x＋x2＝_(_2_－__x_)2_；
19. (2023广东)因式分解：x2－1＝_(_x_＋__1_)_(x_－__1_)__. 20. (2020广东)如果单项式3xmy与－5x3yn是同类项，那么
m＋n＝_4__. 21. (2011广东)按下面程序计算：输入x＝3，则输出的答
案是_1_2_.
22. (2021广东)已知9m＝3，27n＝4，则32m＋3n＝ A. 1 B. 6 C. 7 D. 12
( B)
3. 幂的运算
(1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝amn；
(3)(ab)m＝ambm；
(4)am÷an＝am－n (a≠0)；
(5)a0＝1(a≠0)；
(6)a－m＝
1 am
(a≠0).
3. 计算：
(1)[同底数幂的乘方]x·x7＝__x_8_；
(2)[幂的乘方](x3)4＝__x_12_；
∴原式＝4a2－9＋4a2－4a＋1 ＝8a2－4a－8 ＝4(2a2－a)－8 ＝4×3－8 ＝4.
广东中考数学第一轮复习第一章数与式课时4 整式的运算与因式分解
中考考题精练
解：原式=a2-b2+a2+2ab+b2=2a2+2ab.
当a=-1，b=
1=1.
时，原式=2×（-1）2+2×（-1）× =2-
考点3 因式分解
８. 把式子：-6x2+12x-6因式分解，正确的是 （ A ）
A. -6（x-1）2
B. -6（x+1）2
C. -6x（x-2）
D. -6x（x+2）
5. 因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的 ____积______的形式. 分解因式要进行到每一个因式都 __不__能__再__分__解___为止. 6. 公因式：一个多项式各项都含有的___公__共_____的因式，叫 做这个多项式各项的___公__因__式___.
7. 提取公因式法：一般地，如果多项式的各项都有公因式， 可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式的
９. 把代数式ax2-4ax+4a分解因式，下列结果正确的是（ A ）
A. a（x-2）2
B. a（x+2）2
C. a（x-4）2
D. a（x+2）（x-2）
10. 把多项式4x2y-4xy2-x3分解因式的结果是 A. 4xy（x-y）-x3 B. -x（x-2y）2 C. x（4xy-4y2-x2） D. -x（-4xy+4y2+x2） 11. 分解因式：ax2-ay2=_a_（__x_+_y_）__（__x_-_y_）_____. 12. 分解因式：4x2-6x=__2_x_（__2_x_-_3_）_________.
广东省中考数学复习 第一部分 知识梳理 第一章 数与式 第2讲 整式与因式分解课件
第一章 数与式
第2讲 整式与因式分解
知识梳理
1. 代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成 的式子叫做代数式. (1)单项式：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项 式. 单独的一个_____数_____或一个___字__母_____也是单 项式. (2)多项式：几个单项式的和叫做多项式. 多项式中 __次__数__最__高____的项的次数，叫做这个多项式的次数. (3)整式：单项式与多项式统称整式.
2. 已知x2+kx+4是一个完全平方式，则k的值是 ____±__4____. 3.分解因式:(1)2a2+4a+2=___2_(_a_+_1_)_2____； (2)x3-2x=____x_(_x_+_2_)_(_x_－__2_)___；（在实数范围内） (3)7(x-1)-x(1-x)=(x－1)(7+x). 4. 某商品的进价为a元，按标价的五折出售，这 时仍可盈利25%，则这种商品的标价是___2_._5_a____ 元. (用含a的式子表示)
易错题汇总
1. 下列运算正确的打“√”，错误的打“×”， 并更正： (1)x2·x3=x6 ( ×) 更正_____x_5 ____； (2)(x3)3=x9 ( √ ) 更正___________； (3)x2+x2=x4 ( × ) 更正__2_x_2______； (4)(x+y)2=x2+y2 ( × ) 更正______x_2+_2__x_y_+_y_2 ____； (5)(- )-2=2a( × ) 更正____a_2_____； (6)(x-2)2=x2-4 ( × ) 更正____x_2-_4_x_+_4____.
2023年中考数学《整式的运算与因式分解》专题知识回顾及练习题(含答案解析)
2023年中考数学《整式的运算与因式分解》专题知识回顾及练习题（含答案解析）1. 合并同类型：法则：“一相加，两不变”，即系数相加，字母与字母的指数不变照写。
2. 整式的加减的实质：合并同类项。
3. 整式的乘除运算：①单项式×单项式：系数相乘，同底数幂相乘，其中一个因式单独存在的字母连同它的指数作为积的一个因式。
②单项式×多项式：单项式乘以多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。
③多项式×多项式：用其中一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。
④单项式÷单项式：系数相除，同底数幂相除，被除数中单独存在的字母连同它的指数作为商的一个因式。
4. 乘法公式：①平方差公式：()()22b a b a b a −=−+。
②完全平方公式：()2222b ab a b a +±=±。
5. 因式分解的方法：①提公因式法：()c b a m cm bm am ++=++；②公式法：平方差公式：()()b a b a b a −+=−22完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±。
③十字相乘法：在c bx x ++2中，若()均为整数，且n m b n m mn c =+=，则： ()()n x m x c bx x ++=++2。
31．（2022•湖北）先化简，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy）＝4xy﹣2xy+3xy＝5xy，当x＝2，y＝﹣1时，原式＝5×2×（﹣1）＝﹣10．32．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．【分析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入即可．【解答】解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9＝2x2﹣6x﹣7，∵x2﹣3x+1＝0，∴x2﹣3x＝﹣1，∴2x2﹣6x＝﹣2，∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9．33．（2022•长春）先化简，再求值：2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝2﹣4．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：（2+a）（2﹣a）+a（a+1）＝4﹣a2+a2+a＝4+a，当a＝﹣4时，原式＝4+﹣4＝．34．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x2+2x＝2代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：x（x+2）+（x+1）2＝x2+2x+x2+2x+1＝2x2+4x+1，∵x 2+2x ﹣2＝0，∴x 2+2x ＝2，∴当x 2+2x ＝2时，原式＝2（x 2+2x ）+1＝2×2+1＝4+1＝5．35．（2022•广西）先化简，再求值：（x +y ）（x ﹣y ）+（xy 2﹣2xy ）÷x ，其中x ＝1，y ＝21． 【分析】根据平方差公式和多项式除以单项式，可以将题目中的式子化简，然后将x 、y 的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：（x +y ）（x ﹣y ）+（xy 2﹣2xy ）÷x＝x 2﹣y 2+y 2﹣2y＝x 2﹣2y ，当x ＝1，y ＝时，原式＝12﹣2×＝0．36．（2022•衡阳）先化简，再求值．（a +b ）（a ﹣b ）+b （2a +b ），其中a ＝1，b ＝﹣2．【分析】根据平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则化简后，再把a ＝1，b ＝﹣2代入计算即可．【解答】解：（a +b ）（a ﹣b ）+2a +b ）＝a 2﹣b 2+2ab +b 2＝a 2+2ab ，将a ＝1，b ＝﹣2代入上式得：原式＝12+2×1×（﹣2）＝1﹣4＝﹣3．37．（2022•丽水）先化简，再求值：（1+x ）（1﹣x ）+x （x +2），其中x ＝21． 【分析】先根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则化简，再把x ＝代入计算即可．【解答】解：（1+x ）（1﹣x ）+x （x +2）＝1﹣x 2+x 2+2x＝1+2x ，当x ＝时，原式＝1+＝1+1＝2．38．（2022•南充）先化简，再求值：（x +2）（3x ﹣2）﹣2x （x +2），其中x ＝3﹣1．【分析】提取公因式x +2，再利用平方差公式计算，再代入计算．【解答】解：原式＝（x +2）（3x ﹣2﹣2x ）＝（x +2）（x ﹣2）＝x 2﹣4，当x ＝﹣1时， 原式＝（﹣1）2﹣4＝﹣2．39．（2022•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣3|﹣12．（2）先化简，再求值：（x +3）2+（x +3）（x ﹣3）﹣2x （x +1），其中x ＝21． 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先去括号，再合并同类项，然后把x 的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．【解答】解：（1）（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣ ＝1+1+2×+﹣1﹣2 ＝2++﹣1﹣2＝1；（2）（x +3）2+（x +3）（x ﹣3）﹣2x （x +1）＝x 2+6x +9+x 2﹣9﹣2x 2﹣2x＝4x ，当x ＝时，原式＝4×＝2．40．（2022•岳阳）已知a 2﹣2a +1＝0，求代数式a （a ﹣4）+（a +1）（a ﹣1）+1的值．【分析】先化简所求的式子，再结合已知求解即可．【解答】解：a （a ﹣4）+（a +1）（a ﹣1）+1＝a 2﹣4a +a 2﹣1+1＝2a 2﹣4a＝2（a 2﹣2a ），∵a 2﹣2a +1＝0，∴a 2﹣2a ＝﹣1，∴原式＝2×（﹣1）＝﹣2．41．（2022•苏州）已知3x 2﹣2x ﹣3＝0，求（x ﹣1）2+x （x +32）的值． 【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，进而合并同类项，再结合已知代入得出答案．【解答】解：原式＝x 2﹣2x +1+x 2+x＝2x 2﹣x +1，∵3x 2﹣2x ﹣3＝0，∴x 2﹣x ＝1，∴原式＝2（x 2﹣x ）+1＝2×1+1＝3．42．（2022•荆门）已知x +x1＝3，求下列各式的值： （1）（x ﹣x 1）2； （2）x 4+41x． 【分析】（1）利用完全平方公式的特征得到：（a ﹣b ）2＝（a +b ）2﹣4ab ，用上述关系式解答即可；（2）将式子用完全平方公式的特征变形后，利用整体代入的方法解答即可．【解答】解：（1）∵＝， ∴＝ ＝ ＝﹣4x • ＝32﹣4＝5；（2）∵＝，∴＝+2 ＝5+2＝7，∵＝，∴＝﹣2＝49﹣2＝47．43．（2022•无锡）计算：（1）|﹣21|×（﹣3）2﹣cos60°； （2）a （a +2）﹣（a +b ）（a ﹣b ）﹣b （b ﹣3）．【分析】（1（2）根据单项式乘多项式，平方差公式化简，去括号，合并同类项即可．【解答】解：（1）原式＝×3﹣＝﹣＝1；（2）原式＝a 2+2a ﹣（a 2﹣b 2）﹣b 2+3b＝a 2+2a ﹣a 2+b 2﹣b 2+3b＝2a +3b ．44．（2022•安徽）观察以下等式：第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．【解答】解：（1）因为第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，故答案为：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；（2）第n个等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，证明：左边＝4n2+4n+1，右边＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2＝4n2+4n+1，∴左边＝右边．∴等式成立．45．（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．【分析】（1）用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解即可；（2）用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解即可；（3）先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值即可．【解答】解：（1）原式＝（x2﹣a2）+（x+a）＝（x+a）（x﹣a）+（x+a）＝（x+a）（x﹣a+1）；（2）原式＝（ax﹣bx）+（a2﹣2ab+b2）＝x（a﹣b）+（a﹣b）2＝（a﹣b）（x+a﹣b）；（3）原式＝（a4+2a2b2+b4）﹣（2ab3+2a3b）＝（a2+b2）2﹣2ab（a2+b2）＝（a2+b2）（a2+b2﹣2ab）＝（a2+b2）（a﹣b）2，∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1，∴a2+b2＝32＝9，（a﹣b）2＝1，∴原式＝9．。
2023广东中考数学专题课件第3讲 代数式、整式与因式分解
(2)再考虑运用公式法;
(1)a3b－ab＝ab(a＋1)(a－1);
(3)分解因式必须进行到每一 (2)3ax2＋6axy＋3ay2＝
个多项式因式都不能再分解 3a(x＋y)2 .
为止,简记为一“提”、二“套”、
三“检查”.
·数学
代数式与代数式求值
1.(2022吉林)篮球队要购买10个篮球,每个篮球m元,共需要 10m 元.(用含m的代数式表示)
实得:
分
·数学
8.(2022常州)计算:m4÷m2＝ m2 . 9.(2022包头)若一个多项式加上3xy＋2y2－8,结果得 2xy＋3y2－5,则这个多项式为 y2－xy＋3 .
·数学
10.(2022广西)先化简,再求值:(x＋y)(x－y)＋(xy2－2xy)÷x,其 中x＝1,y＝12. 解:原式＝x2－y2＋y2－2y＝x2－2y. 当x＝1,y＝12时,原式＝12－2×12＝0.
教材拓展
·数学
27. (人教8上P112拓广探索变式) (运算能力、几何直观、推 理能力、应用意识、创新意识)已知矩形的面积为3,是否存在 周长为10的矩形?设矩形的长和宽分别为x,y. (1)求x,y满足的关系式,并回答题中的问题; (2)面积为定值a(a＞0)的矩形有多少个?
·数学
解:(1)∵矩形的面积为3,∴x,y满足的关系式为xy＝3. ∵(x－y)2＝x2＋y2－2xy≥0,∴x2＋y2≥6, ∴x2＋y2＋2xy≥12,∴x＋y≥2 3. ∵矩形的周长为2(x＋y),∴2(x＋y)≥4 3. ∵10≥4 3,∴存在周长为10的矩形. (2)∵矩形的面积为xy＝a,即y＝ax, ∴面积为定值a(a＞0)的矩形有无数个.
6.
·数学
广州中考数学复习20讲 第2讲 整式、因式分解 2.7
中考数学一轮复习第2讲----整式、因式分解教学目标：1.理解整式的有关概念，对指数幂的意义和基本性质有所掌握并且能够灵活运用；2.熟练并能运用整式加减、乘法法则；3.梳理并能够运用乘法公式，并能够进行简便运算；4.熟练并能运用提取公因式，公式法进行因式分解；教学重难点：1.理解并熟练整式的混合运算；2.能熟练运用提取公因式，公式法进行因式分解。
知识框架图：导学一：整式【考点总汇】一、代数式及求值1.用 把数或表示数的字母连接而成的式子。
单独的一个数或字母也是代数式。
2.用 代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。
温馨提示：二、整式的相关概念1.⎩⎨⎧：几个单项式的和。
的代数式。
：由数与字母的积组成整式________________ 2.同类项：所含 相同，并且相同字母的 也相同的项。
温馨提示：三、整式的运算1.整式的加减：整式的加减就是合并 ；若有括号，则应先 。
2.幂的运算及整式的乘除：（1）),(n m n m >为正整数，且幂的运算①同底数幂相乘：)0________(≠=⋅a a a n m②同底数幂相除：)0________(≠=÷a a a n m③幂的乘方：)0________()(≠=a a n m④积的乘方：)0________()(≠=a ab n（2）整式的乘法①单项式乘单项式： 分别相乘，其余字母连同它的 不变，作为积的因式②单项式乘多项式：________)(=++c b a m③多项式乘多项式：________))((=++n m b a 平方差公式：________))((=-+b a b a 完全平方公式：________)(2=±b a（3）整式的除法①单项式除以单项式：系数相除的结果作为商的 ；同底数幂相除，作为商的因式；若只在被除式中含有的字母，则连同它的 作为商中的因式②多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商 温馨提示： 同底数幂相乘时，底数不变，指数相加，而不是指数相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘。
初三中考数学复习-整式及因式分解
A．2
B．3
C．4
D．6
9．把多项式 ax3-2ax2+ax 分解因式，结果正确的是
A．ax（x2-2x）
B．ax2（x-2）
C．ax（x+1）（x-1）
D．ax（x-1）2
10．若 a2 kab 9b2 是完全平方式，则常数 k 的值为
A．±6 C．±2
B．12 D．6
11．若有理数 a，b 满足 a2 b2 5 ， (a b)2 9 ，则 4ab 的值为
多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变
化，最后把所得式子化简，即合并同类项．
典例 6 已知 a﹣b=5，c+d=﹣3，则（b+c）﹣（a﹣d）的值为
A．2
B．﹣2
C．8
D．﹣8
11．一个长方形的周长为 6a 8b ，相邻的两边中一边长为 2a 3b ，则另一边长为
的指数是否相同．
多项式的次数是指次数最高的项的次数．同类项一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指数
是否相同．
单独一个数或字母也是单项式;单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，单独的一个常数的次数是 0.
典例 2 下列说法中正确的是
A． xy2 的系数是－5 5
B．单项式 x 的系数为 1，次数为 0
D． 35x3 y2 5x2 y 7xy
12．先化简，再求值：3a（a2+2a+1）﹣2（a+1）2，其中 a=2．
考向六 因式分解
因式分解的概念与方法步骤 ①看清形式：因式分解与整式乘法是互逆运算．符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式乘积的形 式． ②方法：（1）提取公因式法；（2）运用公式法. ③因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解 必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的 2 倍，如 果没有两数乘积的 2 倍还不能分解． 一“提”（取公因式），二“用”（公式）．要熟记公式的特点，两项式时考虑平方差公式，三项式时考虑完全平 方公式.
中考一轮复习 数学专题02 整式与因式分解(老师版) 教案
专题02 整式与因式分解一．选择题1．（2022·福建）化简()223a 的结果是（ ） A ．29aB ．26aC ．49aD ．43a【答案】C 【分析】根据幂的乘方和积的乘方进行计算即可．【详解】()()222224339a a a ==，故选：C ． 【点睛】本题考查幂的乘方和积的乘方，熟记幂的运算法则是解题的关键．2．（2022·湖南永州）下列因式分解正确的是（ ）A ．()1ax ay a x y +=++B ．()333a b a b +=+C ．()22444a a a ++=+D ．()2a b a a b +=+【答案】B【分析】根据因式分解的方法，提公因式法及公式法依次进行计算判断即可．【详解】解：A 、ax +ay =a (x +y )，故选项计算错误；B 、3a +3b =3(a +b )，选项计算正确；C 、()22442a a a ++=+，选项计算错误；D 、2a b +不能进行因式分解，选项计算错误；故选：B ．【点睛】题目主要考查因式分解的判断及应用提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．3．（2022·四川内江）下列运算正确的是（ ）A ．a 2+a 3＝a 5B ．（a 3）2＝a 6C ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2D ．x 6÷x 3＝x 2【答案】B【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方和同底数幂的除法法则，完全平方公式，进行判断即可．【详解】A.a 2和a 3不是同类项，不能合并，故A 不符合题意；B.（a 3）2＝a 6，故B 符合题意；C.（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2，故C 不符合题意；D.63633x x x x ÷==﹣，故D 不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握合并同类项法则，幂的乘方和同底数幂的除法法则，完全平方公式，是解题的关键．4．（2022·山东临沂）计算()1a a a +-的结果是（ ）A ．1B ．2aC ．22a a +D ．21a a -+【答案】B【分析】先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可．【详解】解：()1a a a +- 22a a a a ．故选B【点睛】本题考查的是整式的混合运算，单项式乘以多项式，掌握“单项式乘以多项式的运算”是解本题的关键．5．（2022·内蒙古赤峰）已知()()2221x x x +--=，则2243x x -+的值为（ ）A ．13B ．8C ．－3D ．5【答案】A【分析】先化简已知的式子，再整体代入求值即可．【详解】∵()()2221x x x +--=∴225x x -=∴222432(2)313x x x x -+=-+=故选：A ．【点睛】本题考查平方差公式、代数式求值，利用整体思想是解题的关键．6．（2022·江苏泰州）下列计算正确的是( )A ．325ab ab ab +=B ．22523y y -=C ．277a a a +=D ．2222m n mn mn -=-【答案】A【分析】运用合并同类项的法则∶1．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数之和，且字母连同它的指数不变．字母不变，系数相加减．2．同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．即可得出答案．【详解】解：A 、325ab ab ab +=，故选项正确，符合题意；B 、222523y y y -=，故选项错误，不符合题意；C 、78a a a +=，故选项错误，不符合题意；D 、222m n mn 和不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查合并同类项，解题的关键是知道如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，还要掌握合并同类项的运算法则．7．（2022·湖北鄂州）下列计算正确的是（ ）A ．b +b 2＝b 3B ．b 6÷b 3＝b 2C ．（2b ）3＝6b 3D ．3b ﹣2b ＝b 【答案】D【分析】根据积的乘方“把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”，合并同类项“把同类项的系数相减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变”，同底数幂的除法“底数不变，指数相减”进行计算即可得．【详解】解：A 、22b b b b +=+，选项说法错误，不符合题意；B 、63633b b b b -÷==，选项说法错误，不符合题意；C 、33(2)8b b =，选项说法错误，不符合题意；D 、32b b b -=，选项说法正确，符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，解题的关键是掌握这些知识点． 8．（2022·辽宁锦州）下列运算正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．22(2)4x x -=C ．22m mn n -= D ．2ab ab b -=【答案】B【分析】由同底数幂乘法、积的乘方、负整数指数幂的乘法、合并同类项，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：235a a a ⋅=，故A 错误；22(2)4x x -=，故B 正确；22m mn n -=，故C 错误； 2ab ab -不能合并，不D 错误；故选：B ．【点睛】本题考查了同底数幂乘法、积的乘方、负整数指数幂的乘法、合并同类项，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行判断．9．（2022·广西贵港）下例计算正确的是（ ）A ．22a a -=B ．2222a b a b +=C ．33(2)8a a -=D ．()236a a -= 【答案】D【分析】分别根据合并同类项、单项式除以单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方法则进行计算即可求解．【详解】解：A. 2a −a =a ，故原选项计算错误，不符合题意；B. 2222a b a b +≠，不是同类项不能合并，故原选项计算错误，不符合题意；C. 33(2)-8a a -=，故原选项计算错误，不符合题意；D. (-a 3)2=a 6，故原选项计算正确，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了合并同类项、单项式除以单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方等运算，熟知运算法则是解题关键．10．（2022·湖北恩施）下列运算正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．321a a ÷=C ．32a a a -=D ．()236a a = 【答案】D【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项法则、幂的乘方法则逐项判断即可得．【详解】解：A 、235a a a ⋅=，则此项错误，不符题意；B 、32a a a ÷=，则此项错误，不符题意；C 、3a 与2a 不是同类项，不可合并，则此项错误，不符题意；D 、()236a a =，则此项正确，符合题意；故选：D ． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键． 11．（2022·黑龙江哈尔滨）下列运算一定正确的是（ ）A ．()22346a b a b =B ．22434b b b +=C ．()246a a =D ．339a a a ⋅=【答案】A【分析】根据积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项运算和同底数幂的乘法运算逐项验证即可得到结论．【详解】解：A 、根据积的乘方运算、幂的乘方运算法则可知()22346a b a b =，该选项符合题意； B 、根据合并同类项运算可知2224344b b b b +=≠，该选项不符合题意；C 、根据幂的乘方运算可知()244286⨯==≠a a a a ，该选项不符合题意； D 、根据同底数幂的乘法运算可知333369a a a a a +⋅==≠，该选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查整式的运算，涉及到积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项运算和同底数幂的乘法运算等知识点，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．12．（2022·内蒙古包头）若42222m ⨯=，则m 的值为（ ）A ．8B ．6C ．5D ．2【答案】B【分析】根据同底数幂的乘法运算计算4242622222m +⨯===，即可求解．【详解】4242622222m +⨯===，6m ∴=，故选：B ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算，即m n m n a a a +⋅=（m 、n 为正整数），熟练掌握运算法则是解题的关键．13．（2022·湖南长沙）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x 本，则购买乙种读本的费用为（ ）A ．8x 元B ．10(100)x -元C ．8(100)x -元D ．(1008)x -元 【答案】C【分析】根据题意列求得购买乙种读本()100x -本，根据单价乘以数量即可求解．【详解】解：设购买甲种读本x 本，则购买乙种读本()100x -本，乙种读本的单价为8元/本，则则购买乙种读本的费用为8(100)x -元故选C【点睛】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键．14．（2022·山东聊城）下列运算正确的是（ ）A ．()22233xy x y -=B ．2243474x x x +=+C ．()2323131t t t t t -+=-+ D ．()()43341a a -÷-=- 【答案】D【分析】A 选项根据积的乘方等于乘方的积即可判断；B 选项合并同类型：字母和字母的指数比不变，系数相加；C 选项利用乘方的分配律；D 选项先用幂的乘方化简，在运用整式的除法法则．【详解】解：A 、原式229x y =，不合题意；B 、原式27x =，不合题意；C 、原式323t t t =-+，不合题意；D 、原式=-1，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查积的乘方、幂的乘方、合并同类型、乘法分配律、整式的除法，掌握相应的运算法则是解题的关键，其中每一项的符号是易错点．15．（2022·湖南岳阳）下列运算结果正确的是（ ）A ．23a a a +=B ．55a a a ÷=C ．236a a a ⋅=D ．437()a a =【答案】A【分析】根据合并同类项判断A 选项；根据同底数幂的除法判断B 选项；根据同底数幂的乘法判断C 选项；根据幂的乘方判断D 选项．【详解】解：A 选项，原式3=a ，故该选项符合题意；B 选项，原式4a =，故该选项不符合题意；C 选项，原式5a =，故该选项不符合题意；D 选项，原式12a =，故该选项不符合题意；故选A ．【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握()m n mn a a =是解题的关键． 16．（2022·内蒙古包头）若a ，b 互为相反数，c 的倒数是4，则334a b c +-的值为（ ）A ．8-B ．5-C ．1-D ．16 【答案】C【分析】根据a ，b 互为相反数，可得0a b +=，c 的倒数是4，可得14c =，代入即可求解． 【详解】∵a ，b 互为相反数，∴0a b +=，∵c 的倒数是4，∴14c =， ∴334a b c +-()34a b c =+-130414=⨯-⨯=-，故选：C 【点睛】本题考查了代数式的求值问题，利用已知求得0a b +=，14c =是解题的关键． 17．（2022·贵州遵义）下列运算结果正确的是（ ）A ．3412a a a ⋅=B ．321ab ab -=C ．()232624ab a b -=D ．()222a b a b -=- 【答案】C 【分析】分别利用同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，积的乘方法则及完全平方公式分别判断即可．【详解】A ．347a a a ⋅=，故此选项计算错误，不符合题意；B ．32ab ab ab -=，故此选项计算错误，不符合题意；C ．()232624ab a b -=，此选项计算正确，符合题意；D ．()2222a b a ab b -=-+，故此选项计算错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，积的乘方法则及完全平方公式，熟练掌握相关计算法则是解答本题的关键．同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项时，只把系数相加，所得结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；222()2a b a ab b +=++与222()2a b a ab b -=-+都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．18．（2022·广西）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）A ．222()2a b a ab b +=++B ．222()2a b a ab b -=-+C ．22()()a b a b a b +-=-D ．222()ab a b = 【答案】A【分析】根据大正方形的面积=边长为a 的正方形的面积+两个长为a ，宽为b 的长方形的面积+边长为b 的正方形的面积，即可解答．【详解】根据题意得：(a +b )2=a 2+2ab +b 2，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用整体和部分两种方法表示面积是解题的关键． 19．（2022·广东深圳）下列运算正确的是（ ）A ．268a a a ⋅=B ．()3326a a -=C ．()22a b a b +=+D ．235a b ab +=【答案】A【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，单项式乘多项式及合并同类项的法则逐一判断即可．【详解】解：268a a a ⋅=，计算正确，故此选项符合题意；B 、33(2)8a a -=-，原计算错误，故此选项不符合题意；C 、2()22a b a b +=+，原计算错误，故此选项不符合题意；D 、23a b +，不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．20．（2022·上海）下列运算正确的是……（ ）A ．a ²+a ³=a 6B ．（ab ）2 =ab 2C ．（a +b ）²=a ²+b ²D ．（a +b ）（a -b ）=a ² -b 2 【答案】D【分析】根据整式加法判定A ；运用积的乘方计算关判定B ；运用完全平方公式计算并判定C ；运用平方差公式计算并判定D ．【详解】解：A.a ²+a ³没有同类项不能合并，故此选项不符合题意；B.（ab ）2 =a2b 2，故此选项不符合题意；C.（a +b ）²=a ²+2ab +b ²，故此选项不符合题意D.（a +b ）（a -b ）=a ² -b 2，故此选项符合题意故选：D ．【点睛】本题考查整理式加法，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．二．填空题21．（2022·湖南长沙）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它己被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”己经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2002个不同的数据二维码，现有四名网友对2002的理解如下：YYDS （永远的神）：2002就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；DDDD （懂的都懂）：2002等于2200；JXND （觉醒年代）：2002的个位数字是6；QGYW （强国有我）：我知道10321024,101000==，所以我估计2002比6010大．其中对2002的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．【答案】DDDD【分析】根据乘方的含义即可判断YYDS （永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将2002化为1002(2)，再与2200比较，即可判断DDDD （懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律即可判断JXND （觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得2001020603202(2),10(10)==，即可判断QGYW （强国有我）的理解是正确的．【详解】2002是200个2相乘，YYDS （永远的神）的理解是正确的；200100222(2)200=≠，DDDD （懂的都懂）的理解是错误的；1234522,24,28,216,232=====，∴2的乘方的个位数字4个一循环，200450÷=，∴2002的个位数字是6，JXND （觉醒年代）的理解是正确的；2001020603202(2),10(10)==，10321024,101000==，且103210>20060210∴>，故QGYW （强国有我）的理解是正确的；故答案为：DDDD ．【点睛】本题考查了乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题的关键．22．（2022·内蒙古包头）若一个多项式加上2328xy y +-，结果得2235xy y +-，则这个多项式为___________．【答案】23y xy -+【分析】设这个多项式为A ，由题意得：22(328)235A xy y xy y ++-=+-，求解即可．【详解】设这个多项式为A ，由题意得：22(328)235A xy y xy y ++-=+-，22222(235)(328)2353283A xy y xy y xy y xy y y xy ∴=+--+-=+---+=-+，故答案为：23y xy -+．【点睛】本题考查了整式的加减，准确理解题意，列出方程是解题的关键．23．（2022·黑龙江大庆）已知代数式22(21)4a t ab b +-+是一个完全平方式，则实数t 的值为____________．【答案】52或32- 【分析】直接利用完全平方公式求解．【详解】解：∵代数式22(21)4a t ab b +-+是一个完全平方式，∴()()()222222(21)4222a t ab b a b a b a b +-+++±=±±⋅⋅=，∴214t -=±， 解得52t =或32t =-， 故答案为：52或32- 【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟记完全平方公式的特点是解题的关键．24．（2022·四川广安）已知a +b =1，则代数式a 2﹣b 2 +2b +9的值为________．【答案】10【分析】根据平方差公式，把原式化为()()29a b a b b +-++，可得9a b ++，即可求解．【详解】解：a 2﹣b 2 +2b +9()()29a b a b b =+-++29a b b =-++9a b =++19=+10=故答案为：10【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，利用整体代入思想解答是解题的关键． 25．（2022·吉林）篮球队要购买10个篮球，每个篮球m 元，一共需要__________元．（用含m 的代数式表示）【答案】10m【分析】根据“总费用=购买篮球的数量⨯每个篮球的价格”即可得．【详解】解：由题意得：一共需要的费用为10m 元，故答案为：10m ．【点睛】本题考查了列代数式，正确找出等量关系是解题关键．26．（2022·湖北恩施）观察下列一组数：2，12，27，…，它们按一定规律排列，第n 个数记为n a ，且满足21112n n n a a a +++=．则4a =________，2022a =________． 【答案】15 13032【分析】由已知推出1211111n n n n a a a a +++-=-，得到202220211132a a -=，202120201132a a -=，431132a a -=，211132a a -=，上述式子相加求解即可． 【详解】解：∵21112n n n a a a +++=；∴1211111n n n n a a a a +++-=-， ∵21111113212222a a -=-=-=， ∵43411113227a a a -=-=， ∴a 4=15， ∴202220211132a a -=，202120201132a a -=，211132a a -=，把上述2022-1个式子相加得2022111320212a a ⨯-=， ∴a 2022=13032， 故答案为：15，13032．【点睛】此题主要考查数字的变化规律，关键是得出1211111n n n n a a a a +++-=-，利用裂项相加法求解． 27．（2022·江苏常州）计算：42÷=m m _______． 【答案】2m【分析】根据同底数幂的除法运算法则即可求出． 【详解】解：422m m m ÷=．故答案为：2m ．【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法法则是解题的关键． 28．（2022·辽宁锦州）分解因式：2232x y xy y -+=____________． 【答案】2()y x y -【分析】先提取公因数y ，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab +b 2． 【详解】解：222223(2)(2)=-++=--x y xy y x xy y y x y y ；故答案为：2()y x y -【点睛】本题考查了提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式． 29．（2022·江苏常州）分解因式：22x y xy +=______． 【答案】xy (x +y )【分析】利用提公因式法即可求解．【详解】22()x y y y xy x x =++，故答案为：()xy x y +．【点睛】本题考查了用提公因式法分解因式的知识，掌握提公因式法是解答本题的关键． 30．（2022·四川内江）分解因式：a 4﹣3a 2﹣4＝_____． 【答案】（a 2+1）（a +2）（a ﹣2）【分析】首先利用十字相乘法分解为()()2214a a +- ，然后利用平方差公式进一步因式分解即可．【详解】解：a 4﹣3a 2﹣4＝（a 2+1）（a 2﹣4）＝（a 2+1）（a +2）（a ﹣2）， 故答案为：（a 2+1）（a +2）（a ﹣2）．【点睛】本题考查利用因式分解，解决问题的关键是掌握解题步骤：一提二套三检查． 31．（2022·贵州遵义）已知4a b +=，2a b -=，则22a b -的值为__________．【答案】8【分析】根据平方差公式直接计算即可求解．【详解】解：∵4a b +=，2a b -=，∴22a b -()()428a b a b =+-=⨯= 故答案为：8 【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握平方差公式是解题的关键． 32．（2022·北京）分解因式：2xy x -=______． 【答案】()()11x y y +-【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．【详解】2xy x -()21x y =-()()11x y y =+-故答案为：()()11x y y +-．【点睛】本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解． 33．（2022·湖北恩施）因式分解：3269x x x -+＝_______． 【答案】2(3)x x -【分析】先提公因式，再利用完全平方公式解题． 【详解】解：322269(69)(3)x x x x x x x x -+=-+=- 故答案为：2(3)x x -．【点睛】本题考查因式分解，涉及提公因式、完全平方公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．34．（2022·山东临沂）因式分解2242x x -+=______． 【答案】22(1)x -． 【详解】解：2242x x -+ =22(21)x x -+ =22(1)x -， 故答案为22(1)x -．35．（2022·浙江台州）分解因式：21a -=____． 【答案】()()11a a +-．【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案【详解】解：()()2111a a a -=+-．故答案为：()()11a a +-【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键． 36．（2022·江苏苏州）计算：3a a ⋅= _______． 【答案】a 4【分析】本题须根据同底数幂乘法，底数不变指数相加，即可求出答案． 【详解】解：a 3•a ， =a 3+1， =a 4．故答案为：a 4．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，在解题时要能灵活应用同底数幂的乘法法则，熟练掌握运算性质是解题的关键．37．（2022·黑龙江牡丹江）如图所示，以O 为端点画六条射线后OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，O 后F ，再从射线OA 上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线___上．【答案】OC【详解】解∶∵1在射线OA 上，2在射线OB 上，3在射线OC 上，4在射线OD 上，5在射线OE 上，6在射线OF 上，7在射线OA 上，… ∴每六个一循环． ∵2013÷6=335…3，∴所描的第2013个点在射线和3所在射线一样． ∴所描的第2013个点在射线OC 上． 故答案为：OC38．（2022·吉林）计算：2a a ⋅=____．【答案】3a【详解】试题分析：根据同底数幂的乘法性质，底数不变，指数相加，可直接结算，2123a a a a +⋅==. 考点：同底数幂的乘法39．（2022·黑龙江牡丹江）下列图形是将等边三角形按一定规律排列，则第5个图形中所以等边三角形的个数是__________．【答案】485【详解】解： 由图可以看出：第一个图形中5个正三角形，第二个图形中5×3+2=17个正三角形， 第三个图形中17×3+2=53个正三角形，由此得出第四个图形中53×3+2=161个正三角形， 第五个图形中161×3+2=485个正三角形． 故答案为：48540．（2022·湖北十堰）如图，某链条每节长为2.8cm ，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm ，按这种连接方式，50节链条总长度为_________cm ．【答案】91【分析】通过观察图形可知，1节链条的长度是2.8cm ，2节链条的长度是（2.8×2-1）cm ，3节链条的长度是（2.8×3-1×2）cm ，n 节链条的长度是2.8n -1×（n -1）cm ，据此解答即可求解． 【详解】解：2节链条的长度是（2.8×2-1）cm ， 3节链条的长度是（2.8×3-1×2）cm ， n 节链条的长度是2.8n -1×（n -1）cm ， 所以50节链条的长度是：2.8×50-1×（50-1） =140-1×49=91(cm) 故答案为：91【点睛】此题考查的图形类规律，关键是找出规律，得出n 节链条长度为2.5×n -0.8×（n -1）． 41．（2022·广西贺州）因式分解：2312m -=__________． 【答案】3(2)(2)m m +-【分析】首先提取公因数3，进而利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：原式=3(x 2−4)=3(x +2)(x −2)； 故答案为：3(x +2)(x −2)．【点睛】此题主要考查了提取公因式以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键． 42．（2022·广西玉林）计算：3a a -=_____________． 【答案】2a【分析】按照合并同类项法则合并即可． 【详解】3a -a =2a ， 故答案为：2a ．【点睛】本题考查了合并同类项，解题关键是熟练运用合并同类项法则进行计算． 43．（2022·广东）单项式3xy 的系数为___________． 【答案】3【分析】单项式中数字因数叫做单项式的系数，从而可得出答案． 【详解】3xy 的系数是3， 故答案为：3．【点睛】此题考查了单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式系数的定义． 44．（2022·黑龙江大庆）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是____________．【答案】49【分析】根据题意可知：第1个图案中有六边形图形：1+2+1=4个，第2个图案中有六边形图形：2+3+2=7个，……由规侓即可得答案．【详解】解：∵第1个图案中有六边形图形：1+2+1=4个，第2个图案中有六边形图形：2+3+2=7个， 第3个图案中有六边形图形：3+4+3=10个， 第4个图案中有六边形图形：4+5+4=13个， ……∴第16个图案中有六边形图形：16+17+16=49个， 故答案为：49．【点睛】此题考查图形的变化规律，解题的关键是找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题． 45．（2022·江苏泰州）已知22222,2,()a m mn b mn n c m n m n =-=-=-≠ 用“＜”表示a b c 、、的大小关系为________. 【答案】b c a <<【分析】利用作差法及配方法配成完全平方式再与0比较大小即可求解． 【详解】解：由题意可知：222222222)(2))(()(22m n mn m n a b m mn mn n m n m n ，∵m n ≠， ∴222()0m n m n ，∴b a <；22222223)()2)(4(2n m mn a c m mn n mm n n ，当且仅当002nm n 且时取等号，此时0m n ==与题意m n ≠矛盾，∴223()024n mn ∴c a <；22222223)()()24(2n m c b m n m n n mn n m n ，同理b c <， 故答案为：b c a <<．【点睛】本题考查了两代数式通过作差比较大小，将作差后的结果配成完全平方式，利用完全平方式总是大于等于0的即可与0比较大小．46．（2022·黑龙江绥化）因式分解：()()269m n m n +-++=________． 【答案】()23m n +-【分析】将m n 看做一个整体，则9等于3得的平方，逆用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：()()269m n m n +-++()()22233m n m n =+-⨯⨯++()23m n =+-．【点睛】本题考查应用完全平方公式进行因式分解，整体思想，能够熟练逆用完全平方公式是解决本题的关键．47．（2022·广西梧州）若1x =，则32x -=________． 【答案】1【分析】将1x =代入代数式求解即可．【详解】解：∵1x =， ∴323121x -=⨯-=， 故答案为：1．【点睛】本题考查了代数式求值．解题的关键在于正确的计算． 48．（2022·贵州黔东南）分解因式：2202240442022x x -+=_______． 【答案】()220221x -【分析】先提公因式，然后再根据完全平方公式可进行因式分解．【详解】解：原式=()()2220222120221x x x -+=-；故答案为()220221x -．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．49．（2022·黑龙江绥化）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有______种购买方案． 【答案】3##三【分析】设购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件，列出关系式，并求出3124yx =-，由于1≥x ，1y ≥且x ，y 都是正整数，所以y 是4的整数倍，由此计算即可． 【详解】解：设：购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件， 4348x y +=，解得3124y x =-， ∵1≥x ，1y ≥且x ，y 都是正整数， ∴y 是4的整数倍， ∴4y =时，341294x ⨯=-=，8y =时，381264x ⨯=-=， 12y =时，3121234x ⨯=-=， 16y =时，3161204x ⨯=-=，不符合题意， 故有3种购买方案， 故答案为：3．【点睛】本题考查列关系式，根据题意判断出y 是4的整数倍是解答本题的关键． 50．（2022·海南）因式分解：ax ay +=___________． 【答案】()a x y +【分析】原式直接提取a 即可．【详解】解：ax ay +=()a x y +． 故答案为：()a x y +．【点睛】本题主要考查了分解因式，正确确定公因式是解答本题的关键． 三．解答题51．（2022·广西）先化简，再求值2()()(2)x x y x y xy xy x +-+-+，其中11,2x y ==． 【答案】x 3-2xy +x ，1【分析】首先运用平方差公式计算，再运用单项式乘以多项式计算，最后合并同类项，即可化简，然后把x 、y 值代入计算即可．【详解】解：2()()(2)x x y x y xy xy x +-+-+ =x (x 2-y 2)+xy 2-2xy +x =x 3-xy 2+xy 2-2xy +x =x 3-2xy +x ，当x =1，y =12时，原式=13-2×1×12+1=1．【点睛】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键． 52．（2022·湖南岳阳）已知2210a a -+=，求代数式()()()4111a a a a -++-+的值． 【答案】-2【分析】先化简所求的式子，再结合已知求解即可．【详解】解：()()()4111a a a a -++-+ 22411a a a =-+-+224a a =-()222a a =-，∵2210a a -+=， ∴221a a -=-， ∴原式()212=⨯-=-．【点睛】本题考查代数式的运算，熟练掌握单项式乘多项式，平方差公式是解题的关键． 53．（2022·江苏无锡）计算：(1)(21cos 602-⨯-；(2)()()()()23a a a b a b b b +-+---．【答案】(1)1 (2)2a +3b【分析】（1）先化简绝对值和计算乘方，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后算加减即可求解；（2）先运用单项式乘以多项式法则和平方差公式计算，再合并同类项即可． (1) 解：原式=11322⨯- =3122- =1； (2)解：原式=a 2+2a -a 2+b 2-b 2+3b =2a +3b ．【点睛】本题考查实数混合运算，整式混合运算，熟练掌握实数运算法则和单项式乘以多项式法则，熟记特殊角的三角函数值、平方差公式是解题的关键．54．（2022·广西梧州）（125(3)(2)+-⨯- （2）化简：232()23a a a a a +--⋅． 【答案】（1）14-；（2）24a a -【分析】（1 （2）先去括号和计算乘法运算，然后合并同类项即可． 【详解】解：（1）解：原式=235(3)(2)-+-⨯- =35(3)4-+-⨯ =3512-- =14-；（2）原式=223226a a a a +-- =24a a -．【点睛】本题考查了实数的运算以及整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 55．（2022·北京）已知2220x x +-=，求代数式2(2)(1)x x x +++的值． 【答案】５【分析】先根据2220x x +-=，得出222x x +=，将2(2)(1)x x x +++变形为()2221x x ++，最后代入求值即可．【详解】解：∵2220x x +-=， ∴222x x +=， ∴2(2)(1)x x x +++22221x x x x =++++ 2241x x =++()2221x x =++221=⨯+5=【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，单项式乘多项式，将2(2)(1)x x x +++变形为()2221x x ++，是解题的关键．56．（2022·江苏常州）计算：(1)201(3)3---+π；(2)2(1)(1)(1)+--+x x x ．【答案】(1)43(2)2x +2【分析】（1）利用负指数公式化简，零指数公式化简，平方根定义化简，合并后即可求出值；（2）利用完全平方，以及平方差计算，再合并即可求出值．(1)201(3)3---+π＝2﹣1+13＝43； (2)2(1)(1)(1)+--+x x x＝22211x x x ++-+＝2x +2．【点睛】此题考查了乘法公式，以及实数的运算，实数的运算涉及的知识有：零指数公式，负指数公式，绝对值的代数意义，以及平方根的定义．57．（2022·吉林）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A 是关于m 的多项式．请写出多项式A ，并将该例题的解答过程补充完整．【答案】6A m =+，解答过程补充完整为26m -【分析】利用26m m +除以m 可得A ，再根据合并同类项法则补充解答过程即可．【详解】解：观察第一步可知，()26A m m m =+÷， 解得6A m =+，将该例题的解答过程补充完整如下：(6)6(1)m m m +-+2666m m m =+--26m =-，故答案为：26m -．【点睛】本题考查了多项式的乘除法、合并同类项，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．58．（2022·吉林长春）先化简，再求值：()()()221a a a a +-++，其中4a =．【答案】4a +【分析】根据平方差公式与单项式乘以单项式进行计算，然后将4a 代入求值即可求解．【详解】解：原式＝224a a a -++4a =+当4a =时，原式44=【点睛】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，代数式求值，正确的计算是解题的关键．。
广东省历年(2019-2023年)中考数学真题分类汇编 整式与因式分解
广东省历年（2019-2023年）中考数学真题分类汇编整式与因式分解一、选择题1．（2023·深圳）下列运算正确的是（）A．a3⋅a2=a6B．4ab−ab=4C．(a+1)2=a2+1D．(−a3)2=a6【答案】D【解析】【解答】解：A、由于a3·a2=a5，故此选项计算错误，不符合题意；B、由于4ab-ab=3ab，故此选项计算错误，不符合题意；C、由于(a+1)2=a2+2a+1，故此选项计算错误，不符合题意；D、由于（-a3）2=a6，故此选项计算正确，符合题意.故答案为：D.【分析】由同底数幂的相乘，底数不变，指数相加，进行计算，可判断A选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，据此可判断B选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断C 选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断D选项.2．（2021·广州）下列运算正确的是（）A．|−(−2)|=−2B．3+√3=3√3C．(a2b3)2=a4b6D．（a－2）2＝a2－4【答案】C【解析】【解答】A. |−(−2)|=2≠−2，选项A计算不符合题意；B. 3与√3不是同类项，不能合并，3+√3≠3√3，选项B计算不符合题意；C. (a2b3)2=a2×2b3×2=a4b6，选项C计算符合题意；D. (a−2)2=a2−4a+4≠a2−4，选项D计算不符合题意．故答案为：C．【分析】利用绝对值，同类项，幂的乘方，完全平方公式计算求解即可。
3．（2021·广东）设6−√10的整数部分为a，小数部分为b，则(2a+√10)b的值是（）A．6B．2√10C．12D．9√10【答案】A【解析】【解答】解：∵√9＜√10＜√16∴3＜√10＜4∴−4＜−√10＜−3∴6−4＜6−√10＜6−3∴2＜6−√10＜3∴6−√10的整数部分a=2，小数部分b=6−√10−2=4−√10∴(2a+√10)b=(2×2+√10)(4−√10)=(4+√10)(4−√10)=16−10=6故答案为：A．【分析】考查无理数的估算、整数部分与小数部分，先估算出无理数的范围，确定整数部分，再用无理数减去整数部分，得到小数部分，最后再计算表达式的数值。
中考数学复习 课时2 整式与因式分解
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第1部分 第一单元 数与式
同底数幂相 乘
幂的 幂的乘方 运算 积的乘方
同底数幂相 除
am·an＝④__a_m_＋_n_(m，n都是正整 数)
(am)n＝⑤_a_m_n_(m，n都是正整数)
(ab)n＝⑥_a_n_b_n _(n是正整数) am÷an＝⑦_a_m_－_n__(a≠0，m，n 都是正整数，并且m>n)
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第1部分 第一单元 数与式
16．(2018 长沙)先化简，再求值：(a＋b)2＋b(a－b) －4ab，其中 a＝2，b＝－12.
解：原式＝a2＋2ab＋b2＋ab－b2－4ab ＝a2－ab.
当 a＝2，b＝－12时，原式＝4＋1＝5.
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第1部分 第一单元 数与式
广东中考
1．(2015广东)(－4x)2＝( D )
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第1部分 第一单元 数与式
四、因式分解
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做这
个多项式的因式分解
提公因式法：ma＋mb＋mc＝⑬_m__(_a_＋__b_＋__c_)
因式分解
方法
公式法
平方差公式：a2－b2＝a＋ba－b 完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝a＋b2，
a2－2ab＋b2＝a－b2
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第1部分 第一单元 数与式
中考新考法 52x－3y＝( D )
A．34 C．23
9.(2018 威海)已知 5x＝3,5y＝2，则
B．1 D．98
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第1部分 第一单元 数与式
知识点
因式分解(6年5考)
考情分析 2018年第12题考查完全平方公式、2017 年第11题考查提公因式法，2016年第12题、2013年第11 题均考查平方差公式，2014年第4题考查提公因式法和平 方差公式．
广东省中考数学第3节代数式整式与因式分解课件
•7.下面的计算一定正确的是（ ）
•A．b3+b3=2b6
B．（-3pq）2=-9p2q2
•C．a8÷a2=a4
D．a2+a3=a5
•解析：A．原式=a2+b2+2ab，错误B．原式
=a3，正确；C．原式=a6，错误；D．原式
不能合并，错误，故选B．
•4. （2014•珠海）下列计算中，正确的是
（）
•A．2a+3b=5ab B．（3a3）2=6a6
•C．a6+a2=a3
D．﹣3a+2a=﹣a
•解析：A.应为a3a2=a3+2=a5，故本选项错误； B.应为（a3）4=a3×4=a12，故本选项错误； C.应为a6÷a3=a6-3=a3，故本选项错误； D.a5+a5=（1+1）a5=2a5，正确． 答案：D．
•6.下列运算中，结果正确的是（ ） •A．a4+a4=a8 B．a3•a2=a5 •C．a8÷a2=a4 D．（-2a2）3=-6a6
2. 整式的 2014 选择题
概念（单 2013 选择题
项式、多 2011 选择题
项式、合
并同类项
）、幂的
运算
3. 整式的 2014 解答题
运算
2012 选择题
2010 选择题
4. 因式分 2013 填空题
解、乘法 2012 填空题
公式
2011 解答题
2020年广东数学中考考点复习第一章数与式——第三节 代数式、整式与因式分解
A. x2－6x＋9 B. －x2＋y2 C. x2＋2x D. －x2＋2xy－y2
8. 观察下列各数：0，3，8，15，24，…，根据该组数的规律，可推出第n个数是
__n_2_－__1__．
第三节 代数式、整式与因式分解
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玩转广东8年中考真题
命题点 1 列代数式及求值（8年6考，仅2019.16与规律探索题结合考查）
运算
相加，如3a（5a－2b＋3）＝___1_5_a_2－__6_a_b_＋__9_a____ 多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每
一项，再把所得的积, 相加，如（3x＋1）（x＋2）＝_3_x_2_＋__7_x_＋__2_
乘法公式 平方差公式：__(_a_＋__b_)_(a_－__b_)_＝__a_2_－__b_2 _ 完全平方公式：__(a_±__b_)_2_＝__a_2±__2_a_b_＋__b_2__
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第三节 代数式、整式与因式分解
命题点 4 因式分解（8年6考）
18. (2014广东4题3分)把x3－9x分解因式，结果正确的是( D )
A. x(x2－9)
B. x(x－3)2
C. x(x＋3)2
D. x(x＋3)(x－3)
19. (2017广东11题4分)分解因式：a2＋a＝__a_(a_＋__1_)_．
示出来 直接代入法：将已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序
计算求值
代数式 代数式 整体代入法：把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值
求值
1.常见的三种非负数的类型：a2、|a|、 a（a≥0），最小的非负
数是___0___ 非负数 2.若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0.如a2＋|b|＋
广东中考数学复习 整式与因式分解
12. （2016茂名）先化简，再求值：x（x-2）+（x+1）2， 其中x=1.
解：原式=x2-2x+x2+2x+1
=2x2+1，
当x=1时，原式=2+1=3.
考点2 幂的运算(5年3考)
典型例题
1. （2018武汉）计算3x2-x2的结果是
A. 2
B. 2x2
C. 2x
（ B） D. 4x2
2. （2018金华）计算（-a）3÷a结果正确的是 （ B ）
A. a2
B. -a2
C. -a3
D. -a4
3. （2018黄石）下列计算结果是a7的是
（ B）
A. a3-a4
B. a3·a4
C. a3+a4
D. a3÷a4
4. （2018襄阳）下列运算正确的是
A. a2+a2=2a4
B. a6÷a2=a3
（ C）
C. （-a3）2=a6
D. （ab）2=ab2
考点演练
5. （2018泸州）下列计算结果等于a4的是
A. a+3a
B. a5-a
（ C）
C. （a2）2
D. a8÷a2
（2）公式法： ①平方差公式： a2-b2=_（__a_+__b_)_(a_-_b_）_______. ②完全平方公式：a2+2ab+b2=__（__a_+_b_）__2___， a2-2ab+b2=___（__a_-b__）__2 __.
方法规律
17. 去括号法则：括号前是“-”号，去括号时括号里的各项 都改变符号；括号前是“+”号，去括号时括号里的各项都不 改变符号. 18. 整式的加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号， 就先去括号，然后再合并同类项. 19. 同底数幂的乘法：底数不变，指数相加. 20. 单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相 乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作 为积的一个因式. 21. 单项式与多项式相乘：用单项式去乘多项式的每一项， 再把所得的积相加，即m（a+b+c）=ma+mb+mc.
广东中考数学一轮考点复习课件：整式与因式分解
除法 单项式除以单项式 运算 多项式除以单项式
符号语言
如3ab·2a2＝⑦___6_a_3_b___ 如2a(3a＋b－2)＝⑧____6_a_2＋__2_a_b_－__4_a____
如(2a＋1)(a＋3)＝⑨___2_a_2_＋__7_a_＋__3___ (a＋b)(a－b)＝⑩___a_2－__b_2___
(D ) B．a2－3a－4＝(a＋4)(a－1)
C．a2＋2ab－b2＝(a－b)2
D．4x2y－y3＝y(2x＋y)(2x－y)
知识点 4 整式的化简求值(8 年 1 考)
考情分析 常涉及合并同类项、平方差公式、完全平方公式等，考 查数学学科中的运算能力．
11．(2020 济宁)先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x(2－x)，其中 x＝12. 解：原式＝x2－1＋2x－x2＝2x－1. 当 x＝12时，原式＝2×21－1＝0.
2．已知x＝1，y＝2，则代数式3x－y＋1的值为___2__. 3．已知m2＋2m＝3，则1＋2m2＋4m＝__7___.
二、整式的有关概念 1．单项式：由数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个 数或一个字母也是单项式． 2．多项式：几个单项式的和叫做多项式． 3．整式：单项式与多项式统称整式． 4．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做 同类项，几个常数项也是同类项．
4．单项式12ab2
1 的系数为___2___.
5．多项式 3xy2－2y－1 是__三____次__三____项式，其中一次项的系数
为__－__2___，常数项为__－__1___.
6．(2020 湘潭)已知 2xn＋1y3 与31x4y3 是同类项，则 n 的值是 ( B )
广东省中考复习专题整式运算与因式分解
第一讲整式运算与因式分解明确目标﹒定位考点代数式是代数的基础,体现了字母表示数的代数思想,列代数式、求代数式的值以及探究规律是广州中考的常考内容,难度为中低难度、整式的加减乘除以及乘方的混合运算、因式分解是初中数学的重要知识,考查形式多以选择题、填空题为主,常考点为幂的运算、乘法公式、整式的混合运算、因式分解等。
归纳总结﹒思维升华一、整式及其运算１、代数式:用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式、2、代数式的值:用数值代替代数式里的字母,依照代数式里的运算关系,计算后所得的结果叫做代数式的值。
3、整式(１)单项式:由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式(单独一个数或字母也是单项式)、单项式中的常数因数叫做这个单项式的系数;单项式中的所有字母的指数和叫做这个单项式的次数、(２) 多项式:几个单项式的和叫做多项式、在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数、不含字母的项叫做常数项。
(3) 整式:单项式与多项式统称整式、4、同类项:在一个多项式中,所含字母相同同时相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项、合并同类项的法则是系数相加,所得的结果作为合并后的系数,字母和字母的指数不变。
５、幂的运算性质: ; ; ;6、乘法公式:(1) (ａ+b)(ｃ＋d)＝ac+ad+bc+bｄ (2)(a＋b)(ａ－b)=a²—b²(3) (a＋b)２＝a²＋２ab+b²(４)(a－b)2＝a²—2aｂ+b²７、整式的除法⑴单项式除以单项式的法则:把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式;关于只在被除数里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。
⑵多项式除以单项式的法则:先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加、二、因式分解１、因式分解:就是把一个多项式化为几个整式的积的形式、分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止。
广东省中考《1.3代数式、整式与因式分解》复习课件
课堂精讲
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6．（2016•茂名）下列各式计算正确的是（ D ） A．a2•a3=a6 B．（a2）3=a5 C．a2+3a2=4a4 D．a4÷a2=a2
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的 乘方，底数不变指数相乘；合并同类项法则；同底数幂 相除，底数不变指数相减对各选项分析判断即可得解
【解答】解：8x6÷4x2=2x4． 故答案是：2x4．
课堂精讲
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9．（2016•茂名）先化简，再求值：x（x﹣2）+ （x+1）2，其中x=1．
【分析】原式利用单项式乘以多项式，完全平方公 式化简，去括号合并得到最简结果，把x的值代入 计算即可求出值． 【解答】解：原式=x2﹣2x+x2+2x+1 =2x2+1， 当x=1时，原式=2+1=3．
【分析】今年产值=（1+10%）×去年产值，根据关 系列式即可
【解答】解：根据题意可得今年产值=（1+10%）a 万元， 故答案为：（1+10%）a．
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2．（2016•长春模拟）在一次植树活动中，某班共
有a名男生每人植树3棵，共有b名女生每人植树2棵，
则该班同学一共植树
【解答】解：A、a2•a3=a2+3=a5，故本选项错误； B、（a2）3=a2×3=a6，故本选项错误； C、a2+3a2=4a2，故本选项错误； D、a4÷a2=a4﹣2=a2，故本选项正确． 故选D．
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考点3 整式的运算
中考总复习：整式与因式分解--知识讲解(基础)
中考总复习：整式与因式分解—知识讲解（基础）【考纲要求】1.整式部分主要考查幂的性质、整式的有关计算、乘法公式的运用，多以选择题、填空题的形式出现；2.因式分解是中考必考内容，题型多以选择题和填空题为主，也常常渗透在一元二次方程和分式的化简中进行考查.【知识网络】【考点梳理】考点一、整式1.单项式数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式．要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．2.多项式几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的．要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．（4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．3.整式单项式和多项式统称整式．4.同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项．5.整式的加减整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.6.整式的乘除①幂的运算性质：②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：平方差公式：完全平方公式：在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）公式()=m n mn a a的推广：(())=m n p mnp a a (0≠a ，,,m n p 均为正整数) （4）公式()=⋅n n n ab a b 的推广：()=⋅⋅n nn n abc a b c (n 为正整数).考点二、因式分解1.因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．2.因式分解常用的方法（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++（2）运用公式法：平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±（3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++3.因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.要点诠释：（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止．（4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.【典型例题】类型一、整式的有关概念及运算1．若3x m+5y2与x3y n的和是单项式，则n m=．【答案】1 4【解析】由3x m+5y2与x3y n的和是单项式得3x m+5y2与x3y n是同类项，∴532mn+=⎧⎨=⎩解得22mn=-⎧⎨=⎩， n m=2-2=14【点评】本题考查同类项定义结合求解二元一次方程组，负整数指数幂的计算.同类项的概念为：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式.举一反三：【变式】若单项式是同类项，则的值是( )A、-3B、-1C、D、3【答案】由题意单项式是同类项，所以，解得，，应选C.2．下列各式中正确的是( )A. B.a2·a3=a6 C.(-3a2)3=-9a6 D.a5+a3=a8【答案】A；【解析】选项B为同底数幂乘法，底数不变，指数相加，a2·a3=a5，所以B错；选项C为积的乘方，应把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，(-3a2)3=-27a6，所以C错；选项D为两个单项式的和，此两项不是同类项，不能合并，所以D错；选项A为负指数幂运算，一个数的负指数幂等于它的正指数幂的倒数，A正确.答案选A.【点评】考查整数指数幂运算.举一反三：【变式1】下列运算正确的是 ( )A． B． C． D．【答案】A.2-3=18； B.42=；C.235a a a=正确；D.325a a a+=. 故选C.【高清课程名称： 整式与因式分解 高清ID 号：399488关联的位置名称（播放点名称）：例1-例2】【变式2】下列运算中，计算结果正确的个数是( )．(1)a 4·a 3＝a 12； (2)a 6÷a 3＝a 2； (3)a 5＋a 5＝a 10；(4)(a 3)2＝a 9； (5)(－ab 2)2＝ab 4； (6)⋅=-22212xxA ．无B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A.3．利用乘法公式计算：(1)(a+b+c)2 (2)(2a 2-3b 2+2)(2-2a 2+3b 2)【答案与解析】(1)(a+b+c)2可以利用完全平方公式，将a+b 看成一项，则(a+b+c)2=[(a+b)2+2(a+b)c+c 2]=a 2+2ab+b 2+2ac+2bc+c 2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc.(2)(2a 2-3b 2+2)(2-2a 2+3b 2)两个多项式中，每一项都只有符号的区别，所以，我们考虑用平方差公 式，将符号相同的看作公式中的a ，将符号相反的项，看成公式中的b ，原式=[2+(2a 2-3b 2)][2-(2a 2-3b 2)]=4-(2a 2-3b 2)2=4-4a 4+12a 2b 2-9b 4.【点评】利用乘法公式去计算时，要特别注意公式的形式及符号特点，灵活地进行各种变形. 举一反三：【变式】如果a 2+ma+9是一个完全平方式，那么m=______.【答案】利用完全平方公式：(a ±3)2=a 2±6a+9. m=±6.类型二、因式分解4．因式分解：①3a 3-6a 2+12a ； ②(a+b)2-1； ③x 2-12x+36； ④(a 2+b 2)2-4a 2b 2【答案与解析】① 3a 3-6a 2+12a=3a(a 2-2a+4)② (a+b)2-1=(a+b)2-12=[(a+b)+1][(a+b)-1]=(a+b+1)(a+b-1)③ x 2-12x+36=(x-6)2④ (a 2+b 2)2-4a 2b 2=(a 2+b 2-2ab)(a 2+b 2+2ab)=(a-b)2(a+b)2【点评】把一个多项式进行因式分解，首先要看多项式是否有公因式，有公因式就要先提取公因式，再看是否还可以继续进行分解，是否可以利用公式法进行分解，直到不能进行分解为止.举一反三：【高清课程名称： 整式与因式分解 高清ID 号：399488关联的位置名称（播放点名称）：例3（1）-（2）】【变式】把下列各式分解因式：(1)6(a －b )2＋8a (b －a )； (2)(x ＋y )2－4(x ＋y )＋4.【答案】(1)原式＝6(a －b )2－8a (a －b )＝2(a －b )[3(a －b )－4a ]＝2(a －b )(3a －3b －4a )＝－2(a －b )(a ＋3b )．(2)原式＝[(x ＋y )－2]2＝(x ＋y －2)2．5．若x y mx y 2256-++-能分解为两个一次因式的积，则m 的值为（ ）A. 1B. -1C. ±1D. 2【思路点拨】对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法.【答案】C.【解析】解：()()x y mx y x y x y mx y 225656-++-=+-++- -6可分解成()-⨯23或()-⨯32，因此，存在两种情况：（1）x+y -2 （2）x+y -3x-y 3 x-y 2由（1）可得：m =1，由（2）可得：m =-1.故选择C.【总结升华】十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.举一反三：【变式】因式分解：6752x x --=_______________.【答案】()()67521352x x x x --=+-类型三、因式分解与其他知识的综合运用6．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边的长,且满足: a 2+2b 2+c 2-2b(a+c)=0,试判断此三角形的形状.【思路点拨】式子a 2+2b 2+c 2-2b(a+c)=0体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，把2b 2写成b2+b2，故等式可变成2个完全平方式，从而得到结论．【答案与解析】解: a2+2b2+c2-2b(a+c)=0a2+b2+ b2+c2-2ba-2bc=0(a-b) 2+(b-c) 2=0即: a-b=0 , b-c=0，所以a=b=c.所以△ABC是等边三角形.【总结升华】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系．。
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第一讲 整式运算与因式分解明确目标﹒定位考点代数式是代数的基础，体现了字母表示数的代数思想，列代数式、求代数式的值以及探索规律是广州中考的常考内容，难度为中低难度。
整式的加减乘除以及乘方的混合运算、因式分解是初中数学的重要知识，考查形式多以选择题、填空题为主，常考点为幂的运算、乘法公式、整式的混合运算、因式分解等。
归纳总结﹒思维升华一、整式及其运算1、代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
2、 代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的结果叫做代数式的值。
3、 整式（1）单项式：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式（单独一个数或字母也是单项式）.单项式中的常数因数叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. (2) 多项式：几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项,其中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做常数项。
(3) 整式：单项式 与多项式统称整式。
4、同类项：在一个多项式中，所含字母相同并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项. 合并同类项的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变。
5、幂的运算性质: n m n m a a a +=⋅；mn n m a a =)（； n m n m a a a —=÷； n n n b a ab =)（ 6、乘法公式：(1) （a+b ）(c+d)=ac+ad+bc+bd （2）（a ＋b ）(a －b)＝a ²-b ² (3) (a ＋b)2＝a ²+2ab+b ² （4）(a －b)2＝a ²-2ab+b ² 7、整式的除法⑴ 单项式除以单项式的法则：把系数 、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除数里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
⑵ 多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
二、因式分解1、 因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止。
2、 因式分解的方法：⑴提公因式法，⑵ 公式法，⑶十字相乘法。
3、 提公因式法：=++mc mb ma )(c b a m ++.4、公式法: ⑴ =-22b a ))(b a b a -+（5、 十字相乘法：()=+++pq x q p x 2))(q x p x ++（6、因式分解的一般步骤 : 一“提”（取公因式），二“套”（公式）．7、易错知识辨析（1）注意因式分解与整式乘法的区别；（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式。
热点聚焦﹒考点突破考点1 代数式【例1-1】若()()221x x x mx n +-=++，则m n +=（ ）A 、 1B 、 2-C 、 1-D 、2【例1-2】端午节期间，”惠民超市”销售的粽子打八折后卖a 元，则粽子的原价卖 元。
【例1-3】已知3=-y x ，求代数式())2(212x y y x x -+-+的值。
【变式训练1】（1）设ax y =，若代数式)(3)2)(（y x y y x y x ++-+化简的结果是2x ，请你求出满足条件的a 值。
（2）定义新运算“⊗”，b a b a 431-=⊗，则)1(12-⊗=________。
【规律方法】 一般代数式求值，需要先化简再求值；对于那些在已知式和待求值式中都出现相同的代数式的求值题，可以运用整体代入思想，简化计算。
考点2 找规律【例2-1】下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，其中第②个图形中一共有9个小圆圈，其中第③个图形中一共有12个小圆圈，...， 按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（ ）① ② ③A 、 21B 、24C 、27D 、 30【例2-2】观察下列一组数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，……，其中每个数n 都连续出现n 次，那么这一组数的第119个数是 。
【例2-3】如图，按此规律，第6行最后一个数字是 ，第 行最后一个数是2019． 【变式训练2】（1）如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n 个“广”字中的棋子个数是________。
（2）如图，在标有刻度的直线l 上，从点A 开始， 以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆； 以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆； 以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆； 以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆，…按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的 倍，第n 个半圆的面积为 （结果保留π）【规律方法】在历年的中考试题中，“找规律题”在填空题中屡屡出现，且有增难的趋势，对学生得分造成一定的障碍。
这种题重点考察学生的观察、分析、推理、 综合、 猜想、 抽象归纳等能力。
这种题的特点一般是题中某些数字变化，而其他数字与数学符号不变，通过观察式子中各数字与数学符号的特点与联系，然后总结规律，将这些式子抽象归纳成一条数学公式。
在中考填空大致分为两种类型：（1）与题中式子序号无关的找规律题（2）与题中式子序号有关的找规律题。
考点3 整式的有关概念【例3-1】下列计算正确的是（ ）A. 23x x x +=B. 236·x x x =C. ()236x x = D.933x x x ÷=【例3-2】若单项式2a m+2n b n -2m+2与a 5b 7是同类项，求n m 的值．【点评】考查同类项的概念，由同类项定义可得25,227m n n m +=⎧⎨-+=⎩ 解出即可【例3-3】已知2)2=+n m （，8)2=-n m （，则=+22n m 。
【例3-4】老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下： (1)求所捂的二次三项式； (2)若16+=x ，求所捂住二次三项式的值。
【例3-5】若()()q x x px x +-++3822的积中不含有2x 和3x 项，求p 、q 的值。
【规律方法】整式是代数式中的一种有理式，不含除法运算或分数，以及虽有除法运算和分数，但除式或分母中不含变数。
考点4 乘法公式【例4-1】（1）a m ·a n =_______（m ，n 都是正整数）；（2）a m ÷a n =________（a ≠0，m ，n 都是正整数，且m>n ），特别地：a 0=1（a ≠0），a -p=1p a（a ≠0，p 是正整数）；（3）（a m ）n =______（m ，n 都是正整数）； （4）（ab ）n =________（n 是正整数） （5）平方差公式：（a+b ）（a-b ）=_________． （6）完全平方公式：（a ±b ）2=__________．【例4-2】化简：()()()ab b a b a b a 22---++【例4-3】设ａ－ｂ＝－2，求ａ2＋ｂ22－ａｂ的值。
【例4-4】从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（ ）。
A ．a 2-b 2=（a+b ）（a-b ） B.（a-b ）2=a 2-2ab+b 2C.（a+b ）2=a 2+2ab+b 2D ．a 2+ab=a （a+b ）【变式训练4】1、下列运算正确的是（ ）． A ．x 2.x 3=x 6B ．236()x x C ．235x x x D ．2242x x x +=2、下列计算正确的是（ ）A ．222)(b a b a +=+B ．22)(ab ab =C ．523)(a a =D ．32a a a =⋅3、已知0142=--x x ，求代数式()()22)(32y y x y x x --+--的值。
【规律方法】 掌握平方差公式和完全平方公式特点，是解答此类问题的关键。
考点五 因式分解【例5-1】分解因式：⑴33222ax y axy ax y +-=__________________. ⑵3y 2－27＝___________________.⑶244x x ++=_________________.【例5-2】 已知5,3a b ab -==，求代数式32232a b a b ab -+的值.【变式训练5】1、分解因式： .2、因式分解:224m n -= .3、简便计算：=2271.229.7－.4、分解因式：=-x x 422____________________.5、分解因式2232ab a b a -+= ．6、将3214x x x +-分解因式的结果是 ． 7、分解因式am an bm bn +++=_____ _____． 8、 下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）。
A ．x 2－xy B ．x 2＋xyC ．x 2－y 2D ．x 2＋y 29、如图所示，边长为,a b 的矩形，它的周长为14，面积为10，求22a b ab +的值． 10、计算：（1）299； （2）2222211111(1)(1)(1)(1)(1)234910-----． 【例5-3】已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足224224c a b c b a +=+，试判断△ABC 的形状.阅读下面解题过程：解：由224224c a b c b a +=+得： 即222c b a =+ ③ ∴△ABC 为Rt △。
④试问：以上解题过程是否正确： ；若不正确，请指出错在哪一步？（填代号） ； 错误原因是 ；本题的结论应为 .【例5-4】 设kx y =，是否存在实数k ，使得代数式1()()()2222222434y x x y x y x -+--能化简为4x ？若能，请求出所有满足条件的k 的值；若不能，请说明理由。
【变式训练6】若0106222=+++-y y x x ，求2)32y x -（的值。
【规律方法】 因式分解是中考中的热点内容，解答时应首先仔细观察给出公式的特点，然后按照分解因式的步骤寻求简单方法求解。
整体代换思想是初中数学解题的一种重要方法，本题分解因式时利用了整体代换思想，巧妙地将给出因式进行了分解。
224x y -=专题训练﹒对接中考一、 选择题。
1、下列式子中是完全平方式的是（ ）A.221a a ++B.224a a ++C.222a b b -+D.22a ab b ++ 2、下列计算正确的是（ ）．A ．x x 1248=+ B.y y =-44 C.y y y =-34 D.33=-x x 3、下列运算正确的是（ ）．A ．826x x x ÷=B ．3252()x y x y = C ．2(1)21a a --=-+D ．22(3)9x x +=+4、若，则（ ）。