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广东省2015届高三期中文数练习试卷(含答案)

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2015年高考试卷(广东卷)-文数试题及答案

2015年高考试卷(广东卷)-文数试题及答案

绝密★启用前试卷类型：B 2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若集合{}1,1M=-，{}2,1,0N=-，则M N =（）A．{}0,1-B．{}0C．{}1 D．{}1,1-2、已知i是虚数单位，则复数()21i+=（）A．2-B．2C．2i-D．2i 3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．2siny x x=+B．2cosy x x=-C．122xxy=+ D．sin2y x x=+4、若变量x，y满足约束条件224x yx yx+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y=+的最大值为（）A．10B．8C．5D．2 5、设C∆A B的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若2a=，c=cos A=且b c<，则b=（）AB．2C．D．36、若直线1l和2l是异面直线，1l在平面α内，2l在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l至少与1l，2l中的一条相交B．l与1l，2l都相交C．l至多与1l，2l中的一条相交D．l与1l，2l都不相交7、已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4B．0.6C．0.8D．1 8、已知椭圆222125x ym+=（0m>）的左焦点为()1F4,0-，则m=（）A．9B．4C．3D．2 9、在平面直角坐标系x yO中，已知四边形CDAB是平行四边形，()1,2AB=-，()D2,1A =，则D CA⋅A =（）A．2B．3C．4 D．510、若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r sE=≤<≤≤<≤≤<≤∈N且，(){}F,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w=≤<≤≤<≤∈N且，用()card X表示集合X中的元素个数，则()()card card FE+=（）A．50B．100C．150 D．200二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11~13题）11、不等式2340x x--+>的解集为．（用区间表示）12、已知样本数据1x，2x，⋅⋅⋅，nx的均值5x=，则样本数据121x+，221x+，⋅⋅⋅，21nx+的均值为．13、若三个正数a，b，c成等比数列，其中5a=+5c=-b=．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x yO中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C的极坐标方程为()cos sin2ρθθ+=-，曲线2C的参数方程为2x ty⎧=⎪⎨=⎪⎩（t为参数），则1C与2C交点的直角坐标为．15、（几何证明选讲选做题）如图1，AB为圆O的直径，E为AB的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线CE的垂线，垂足为D．若4A B=，C E=DA=．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知tan2α=．()1求tan4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；()2求2sin2sin sin cos cos21ααααα+--的值．17、（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．()1求直方图中x的值；()2求月平均用电量的众数和中位数；()3在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？18、（本小题满分14分）如图3，三角形DCP所在的平面与长方形CDAB所在的平面垂直，D C4P=P=，6AB=，C3B=．()1证明：C//B平面DP A；()2证明：C DB⊥P；()3求点C到平面D P A的距离．19、（本小题满分14分）设数列{}n a的前n项和为n S，n*∈N．已知11a=，232a=，354a=，且当2n≥时，211458n n n nS S S S++-+=+．()1求4a的值；()2证明：112n na a+⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；()3求数列{}na的通项公式．20、（本小题满分14分）已知过原点的动直线l与圆1C:22650x y x+-+=相交于不同的两点A，B．()1求圆1C的圆心坐标；()2求线段AB的中点M的轨迹C的方程；()3是否存在实数k，使得直线L:()4y k x=-与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21、（本小题满分14分）设a为实数，函数()()()21f x x a x a a a=-+---．()1若()01f≤，求a的取值范围；()2讨论()f x的单调性；()3当2a≥时，讨论()4f xx+在区间()0,+∞内的零点个数．2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）参考答案一、选择题1.C2.D3.A4.C5.B6.A7.B8.C9.D 10.D二、填空题11. 【答案】()4,1-12. 【答案】1113. 【答案】114. 【答案】()2,4-15. 【答案】316. 【答案】（1）3-；（2）1．17. 【答案】（1）0.0075；（2）230，224；（3）5．18. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．（1）因为四边形CDAB是长方形，所以C//DB A，因为CB⊄平面DP A，DA⊂平面DP A，所以C//B平面DP A（2）因为四边形CDAB是长方形，所以C CDB⊥，因为平面DCP⊥平面CDAB，平面DCP平面CD CDAB=，CB⊂平面CDAB，所以CB⊥平面DCP，因为DP⊂平面DCP，所以C DB⊥P（3）取CD的中点E，连结AE和PE，因为D CP=P，所以CDPE⊥，在Rt D∆PE中，PE===，因为平面DCP⊥平面CDAB，平面DCP平面CD CDAB=，PE⊂平面DCP，所以PE⊥平面CDAB，由（2）知：CB⊥平面DCP，由（1）知：C//DB A，所以DA⊥平面DCP，因为DP⊂平面DCP，所以D DA⊥P，设点C到平面DP A的距离为h，因为C D CDV V-P A P-A=三棱锥三棱锥，所以D C D1133S h S∆P A∆A⋅=⋅PE，即CDD13621342ShS∆A∆P A⨯⨯⋅PE===⨯⨯，所以点C到平面DP A的距离是19. 【答案】（1）78；（2）证明见解析；（3）()11212nna n-⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．(1)当n=2时，4423143533558,15181124224S S S S a⎧⎫⎧⎫⎧⎫+=++++++=+++⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭即4解得：478a=（2）因为()() n2n1121114582,44442,n n n n n n n n S S S S n S S S S S S n ++-++-++=+≥-+-=-≥所以即()2131442,44n n na a a n a a+++=≥+=因为×()212112211111422512164,44,14422222n nn n n nn n nn n n nn na a a a a aa a a aa a a aa a++++++++++---+==+====---所以因为，所以数列1211111222n n a a a a +⎧⎫--=⎨⎬⎩⎭是以为首项，公比为的等比数列（3）由()2知：数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列，所以111122n n n a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭即1141122n nn n a a ++-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以1212a =为首项，公差为4的等差数列，所以()2144212n na n n =+-⨯=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()()111422122n n n a n n -⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式是()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭20. 【答案】（1）()3,0；（2）492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<335x ；（3）存在，752752≤≤-k 或34±=k ．（1） 圆()()222211:65034,3,0C x y x x y +-+=-+=化为所以圆C 的圆心坐标为（2） 设线段AB 的中点M(),,o o x y 由圆的性质可得1C M 垂直于直线l设直线l 的方程为00(l k 1,,cm y mx m y mx ==-=已知直线的斜率存在），所以所以00001,3y y x x =--所以222200000393024x x y x y ⎧⎫-+=-+=⎨⎬⎩⎭即因为动直线l 与圆1C ，所以2m <45；所以22200y m x =<220004,5x x -所以3x <2004,x 5x 解得>53或0x <0,又因为0<03,x ≤所以 53<03x ≤.所以()00,M x y 满足22003953.243x y x ⎧⎫⎧⎫-+=<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭即 223953.243x y x ⎧⎫⎧⎫-+=<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭（3） 由题意知直线l 表示过定点T()4,0,斜率为k 的直线结合图形，220003955324333x y x x ⎧⎪⎧⎫⎧⎫-+=<≤-⎨⎬⎨⎬⎨⎩⎭⎩⎭⎪⎪⎩⎭表示的是一段关于轴对称，起点为，按逆时针方向运动到53⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭的圆弧，根据对称性，只需讨论在x 轴对称下方的圆弧。

广东省佛山市第一中学2015届高三上学期期中语文试题 Word版含答案

广东省佛山市第一中学2015届高三上学期期中语文试题 Word版含答案

一、选择题，每小题3分，共12分。

1.下列各组词语中加点字的读音全不相同的一组是A.嗔．怪/瞠．目戕．害/踉跄．供．不应求/供．认不讳B.整饬．/叱．咤拗．折/执拗．量．入为出/量．体裁衣C.毗．邻/纰．漏应．届/膺．选脉．脉含情/一脉．相承D.羞赧．/赦．免践．行/僭．越曲．高和寡/曲．突徙薪2.下面语段中画线的词语，使用不恰当的一项是“舌尖2”让人看了，不再只是垂涎，还有了流泪的冲动。

A.精致B.不绝如缕C.民以食为天D.甚而3.下列各句中，没有语病的一句是A.信息时代的互联网使人们的生活方式发生巨大变化，然而它也是一把双刃剑，既带来挑战甚至潜藏风险，也孕育着生机、预示着可能。

B.政府及其职能部门应思考如何提高女孩自身安全防范态度，避免女孩出行随时成为“死亡之旅”的悲剧一再发生。

C.人口过多、交通拥堵、房价高涨、治安恶劣、环境恶化等问题十分严重，北京已患上令人揪心的“城市病”，治理迫在眉睫。

D.有人分析近100年来那些最顶尖公司的成功密码，发现成功秘诀各有不同，但都需要有永不止步的探索、自我革新以及适时转型的远见。

4.把下列句子组成语意连贯的语段，排序最恰当的一项是①鲁迅先生就认为它导致保守、卑怯的人格。

②包括被斥不负责任，缺乏担当；或缩头藏尾，唯命是从。

③真正的中庸，追求至善、至诚、至仁、至德，通过慎独自修、反求诸己，使人合乎内外之道。

④中庸长期以来尤其是近现代被许多人抨击。

⑤但是，此类中庸其实是“伪中庸”，完全是变种乃至被妖魔化的中庸。

⑥毫无疑问，国人的一些劣根性有着文化“病根”，中庸也因之挨了不少“板子”。

A.③⑥②④①⑤B.④⑥①②⑤③C.④①⑥②⑤③D.③④①⑥②⑤二、古诗文阅读。

共43分。

阅读下面的文言文，（文中三个“□”是为考查而设），完成5-9小题。

共20分。

种暠字景伯，河南洛阳人，仲山甫之后也。

父为定陶令，有财三千万。

父卒，暠悉以赈恤宗族及邑里之贫者。

其有进趣名利，皆不与交通．．。

广东省执信中学2015届高三上学期期中考试语文试题 Word版含解析

广东省执信中学2015届高三上学期期中考试语文试题 Word版含解析

广州市执信中学2014学年第一学期高三期中测试题语文2014.11.13本试卷共8页，包括六个部分24小题，满分150分。

考试用时150分钟。

注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损；务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号。

2．选择题（1—8题）每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

不按要求填涂的答案无效。

3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。

请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的答案无效。

5．考生必须保持答题卡和答卷的整洁。

考试结束后，将答题卡交回。

【试卷综析】1.选择题语言知识运用基本上涵盖了语文主要的基础知识点，从字音、词语到辨析病句，均紧扣高考知识点。

成语运用小题的几个成语比较常见，区分度较大，学生答题的准确率较高。

2.现代文阅读现代文阅读语段出题巧妙，题目设计综合考查了学生的分析能力，有一定的难度。

题目设计比较合理，接近高考题型，主观题回答，学生对文章的阅读没有什么障碍，但要想全面的作答，并不容易。

第11题默写名句，全是高中课本的名句，要求默写的都是耳熟能详的诗文名句，难度不大。

此题用于测试学生的识记能力，平时只要认真背诵的学生都能拿满分，但有的学生读书不认字，写错别字的不少。

3.作文根据材料写一篇文章，文体不限。

题目贴近学生生活，学生有话可说，能很好的考查学生立意、布局谋篇、遣词造句等能力，体裁不限，给学生更大的发挥空间。

学生写起来顺手。

一、本大题4小题，每小题3分，共12分。

【题文】A01．下列词语中加点的字，每对读音都不相同．．．．的一组是( ) A．脸颊．／狡黠．讴．歌／斗殴．宁．愿／宁．缺勿滥B．漩．涡／眩．光框．架／诓．骗油炸．／信息爆炸．C．辍．学／阔绰．绛．紫／降．落拾．遗／拾．级而上D．跌宕．／档．案沏．茶／堆砌．抹．脸／转弯抹．角【知识点】本题考查考生识记现代汉语普通话常用字的字音的能力，能力层次为A（识记）。

2015年广东省佛山一中高三上学期期中数学试卷含解析答案(文科)

2015年广东省佛山一中高三上学期期中数学试卷含解析答案(文科)

2014-2015学年广东省佛山一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题的4个选项中，只有1项是正确的．请把答案填涂在答题卡上）.1．（5分）设集合A={x|x2﹣3x+2=0}，则满足A∪B={0，1，2}的集合B的个数是（）A．1 B．3 C．4 D．62．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i3．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A． B． C． D．4．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1）=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则x+y=（）A．0 B．1 C．2 D．﹣25．（5分）已知，则sin2α=（）A．﹣B．﹣C．D．6．（5分）若a=2x，b=log x，则“a＞b”是“x＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件7．（5分）如图所示的程序框图，它的输出结果是（）A．3 B．4 C．5 D．68．（5分）在区间[0，10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0，10]内的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）设函数f（x）=﹣，[x]表示不超过x的最大整数，则y=[f（x）]的值域是（）A．{0，1}B．{0，﹣1}C．{﹣1，1}D．{1，1}10．（5分）已知函数f（x）=|2x﹣1|，a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），则下列结论中成立的是（）A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b≥0，c＞0 C．2﹣a＜2c D．2a+2c＜2二、填空题（本大题共3小题，其中11、12、13为必做题，14、15为选做题，二选一．每小题5分，共20分．请把正确答案填写在答题卷相应的横线上）. 11．（5分）若f（x）=2x+2﹣x lga是奇函数，则实数a=．12．（5分）已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=．13．（5分）当k＞0时，两直线kx﹣y=0，2x+ky﹣2=0与x轴围成的三角形面积的最大值为．三、（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在极坐标系中，点A的极坐标为（2，0），直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）+2=0，则点A到直线l的距离为．四、（几何证明选讲选做题）15．如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP•NP=．五、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=（3a﹣c）cosB．（1）求cosB；（2）若•=4，b=4，求边a，c的值．17．（12分）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，﹣1代表“生活不能自理”．（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老龄人生活能够自理的概率是多少？（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率．18．（14分）a∈R，解关于x的不等式≥a（x﹣1）．19．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA=90°，AP=AC，点D，E分别在棱PB，PC上，且BC∥平面ADE．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PAC；（Ⅱ）若PC⊥AD，且三棱锥P﹣ABC的体积为8，求多面体ABCED的体积．20．（14分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且a2n+a n=2S n（1）求a1（2）求数列{a n}的通项；（3）若b n=（n∈N*），T n=b1+b2+…b n，求证：T n＜．21．（14分）已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•e x的定义域为[﹣2，t]，设f（﹣2）=m，f（t）=n．（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（2）求证：m＜n；（3）求证：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足=（t﹣1）2；又若方程=（t﹣1）2；在（﹣2，t）上有唯一解，请确定t的取值范围．2014-2015学年广东省佛山一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题的4个选项中，只有1项是正确的．请把答案填涂在答题卡上）.1．（5分）设集合A={x|x2﹣3x+2=0}，则满足A∪B={0，1，2}的集合B的个数是（）A．1 B．3 C．4 D．6【解答】解：A={x|x2﹣3x+2=0}={x|x=1或x=2}={1，2}，若A∪B={0，1，2}，则0∈B，则B={0}，{0，2}，{1，0}，{0，1，2}，共4个，故选：C．2．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i【解答】解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，故选：A．3．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A． B． C． D．【解答】解：∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，∴函数的周期T满足=﹣=，由此可得T==π，解得ω=2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）又∵当x=时取得最大值2，∴2sin（2•+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）∵，∴取k=0，得φ=﹣故选：A．4．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1）=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则x+y=（）A．0 B．1 C．2 D．﹣2【解答】解：∵⊥，∥，∴2x﹣4=0，2y+4=0，解得x=2，y=﹣2．∴x+y=0．故选：A．5．（5分）已知，则sin2α=（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：将两边平方得，，可得，故选：B．6．（5分）若a=2x，b=log x，则“a＞b”是“x＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：如图，x=x0时，a=b，∴若a＞b，则得到x＞x0，且x0＜1，∴a＞b 不一定得到x＞1；∴a＞b不是x＞1的充分条件；若x＞1，则由图象得到a＞b，∴a＞b是x＞1的必要条件；∴a＞b是x＞1的必要不充分条件．故选：B．7．（5分）如图所示的程序框图，它的输出结果是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵k=0，a=45时，sina=cosa不满足判断框中的条件，k=1，a=90时，sina＞cosa，不满足判断框中的条件，k=2，a=135时，sina＞cosa，不满足判断框中的条件，k=3，a=180时，sina＞cosa，不满足判断框中的条件，k=4，a=225时，sina=cosa，不满足判断框中的条件，k=5，a=270时，sina＜cosa，满足判断框中的条件，即输出的结果为5，故选：C．8．（5分）在区间[0，10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0，10]内的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：将取出的两个数分别用x，y表示，则x，y∈[0，10]要求这两个数的平方和也在区间[0，10]内，即要求0≤x2+y2≤10，故此题可以转化为求0≤x2+y2≤10在区域内的面积比的问题．即由几何知识可得到概率为；故选：D．9．（5分）设函数f（x）=﹣，[x]表示不超过x的最大整数，则y=[f（x）]的值域是（）A．{0，1}B．{0，﹣1}C．{﹣1，1}D．{1，1}【解答】解：函数f（x）=﹣，[x]表示不超过x的最大整数，∴f（x）=﹣，分析可得，﹣＜f（x）＜，∴[f（x）]={0，﹣1}，故选：B．10．（5分）已知函数f（x）=|2x﹣1|，a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），则下列结论中成立的是（）A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b≥0，c＞0 C．2﹣a＜2c D．2a+2c＜2【解答】解：对于A，若a＜0，b＜0，c＜0，因为a＜b＜c，所以a＜b＜c＜0，而函数f（x）=|2x﹣1|在区间（﹣∞，0）上是减函数，故f（a）＞f（b）＞f（c），与题设矛盾，所以A不正确；对于B，若a＜0，b≥0，c＞0，可设a=﹣1，b=2，c=3，此时f（c）=f（3）=7为最大值，与题设矛盾，故B不正确；对于C，取a=0，c=3，同样f（c）=f（3）=7为最大值，与题设矛盾，故C不正确；对于D，因为a＜c，且f（a）＞f（c），说明可能如下情况成立：（i）a、c位于函数的减区间（﹣∞，0），此时a＜b＜c＜0，可得f（a）＞f（b）＞f（c）与题设矛盾；（ii）a、c不在函数的减区间（﹣∞，0），则必有a＜0＜c，所以f（a）=1﹣2a ＞2c﹣1=f（c），化简整理，得2a+2c＜2成立．综上所述，可得只有D正确故选：D．二、填空题（本大题共3小题，其中11、12、13为必做题，14、15为选做题，二选一．每小题5分，共20分．请把正确答案填写在答题卷相应的横线上）.11．（5分）若f（x）=2x+2﹣x lga是奇函数，则实数a=．【解答】解：函数f（x）=2x+2﹣x lga是奇函数∴f（x）+f（﹣x）=0，∴2x+2﹣x lga+2﹣x+2x lga=0，即2x+2﹣x+lga（2x+2﹣x）=0∴lga=﹣1∴a=故答案为：．12．（5分）已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=3．【解答】解：由已知切点在切线上，所以f（1）=，切点处的导数为切线斜率，所以，所以f（1）+f′（1）=3故答案为：313．（5分）当k＞0时，两直线kx﹣y=0，2x+ky﹣2=0与x轴围成的三角形面积的最大值为．【解答】解：由两直线kx﹣y=0，2x+ky﹣2=0与x轴围成的三角形如图，联立，解得B（）．则=．当且仅当k=，即k=时上式取等号．故答案为：．三、（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在极坐标系中，点A的极坐标为（2，0），直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）+2=0，则点A到直线l的距离为．【解答】解：由题意得点A（2，0），直线l为ρ（cosθ+sinθ）+2=0，即x+y+2=0，∴点A到直线l的距离为=2，故答案为2．四、（几何证明选讲选做题）15．如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP•NP=．【解答】解：∵AB为⊙O的切线，ACD为⊙O的割线由切割线定理可得：AB2=AC•AD由AC=4，AB=6，故AD=9故CD=5又∵P是弦CD的中点故PC=PD=由相交弦定理得MP•NP=PC•PD=故答案为：五、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=（3a﹣c）cosB．（1）求cosB；（2）若•=4，b=4，求边a，c的值．【解答】解：（1）在△ABC中，∵bcosC=（3a﹣c）cosB，由正弦定理可得sinBcosC=（3sinA﹣sinC）cosB，∴3sinA•cosB﹣sinC•cosB=sinBcosC，化为：3sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC=sin （B+C）=sinA．∵在△ABC中，sinA≠0，故cosB=．（2）由•=4，b=4，可得，a•c•cosB=4，即ac=12．…①．再由余弦定理可得b2=32=a2+c2﹣2ac•cosB=a2+c2﹣，即a2+c2=40，…②．由①②求得a=2，c=6；或者a=6，c=2．综上可得，，或．17．（12分）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，﹣1代表“生活不能自理”．（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老龄人生活能够自理的概率是多少？（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率．【解答】解：（Ⅰ）解：该社区80岁以下的老龄人共有120+133+32+15=300人，…（1分）其中生活能够自理的人有120+133+32=285人，…（2分）记“随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理”为事件A，则P（A）==．…（4分）（Ⅱ）根据表中数据可知，社区健康指数大于0的老龄人共有280人，不大于0的老龄人共有70人，…（5分）所以，按照分层抽样，被抽取的5位老龄人中，有位为健康指数大于0的，依次记为：a，b，c，d，有一位健康指数不大于0的，记为e．…（7分）从这5人中抽取3人的基本事件有：（a，b，c）（a，b，d）（a，b，e）（a，c，d）（a，c，e）（a，d，e）（b，c，d）（b，c，e）（b，d，e）（c，d，e）共10种，…（9分）其中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的事件有：（a，b，e）（a，c，e）（a，d，e）（b，c，e）（b，d，e）（c，d，e）共6种，…（10分）记“被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0”为事件B，则P（B）=…（12分）18．（14分）a∈R，解关于x的不等式≥a（x﹣1）．【解答】解：原不等式可转化为≥0（*）．（1）当a=1时，（*）式为≥0，解得x＜0或x≥1．（2）当a≠1时，（*）可式为≥0①若a＜1，则a﹣1＜0，＜0，解得≤x＜0，或x≥1；②若1＜a≤2，则1﹣a＜0，≥1，解得x＜0，或1≤x≤；③若a＞2，则a﹣1＞1，0＜＜1，1﹣a＜0，解得x＜0，或≤x≤1；综上，当a=1时，不等式解集为{x|x＜0或x≥1}当a＜1时，不等式解集为{x|≤x＜0，或x≥1}当1＜a≤2时，不等式解集为{x|x＜0，或1≤x≤}当a＞2时，不等式解集为{x|x＜0，或≤x≤1}．19．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA=90°，AP=AC，点D，E分别在棱PB，PC上，且BC∥平面ADE．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PAC；（Ⅱ）若PC⊥AD，且三棱锥P﹣ABC的体积为8，求多面体ABCED的体积．【解答】解：（Ⅰ）∵BC∥平面ADE，BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面ADE=DE ∴BC∥ED．∵PA⊥底面ABC，BC⊂底面ABC，∴PA⊥BC．又∠BCA=90°，∴AC⊥BC．∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．∴DE⊥平面PAC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DE⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴DE⊥PC，又∵PC⊥AD，AD∩DE=D，∴PC⊥平面ADE，∴AE⊥PC，∵AP=AC，∴E是PC的中点，ED是△PBC的中位线．==．∴V ABCED===6．20．（14分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且a2n+a n=2S n （1）求a1（2）求数列{a n}的通项；（3）若b n=（n∈N*），T n=b1+b2+…b n，求证：T n＜．【解答】解：（1）令n=1，得a12+a1=2S1=2a1，∵a1＞0，∴a1=1，（2）又a2n+a n=2S n，有a2n+1+a n+1=2S n+1，两式相减得并整理得（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）=0，∵a n＞0，∴a n+1﹣a n=1，∴数列{a n}是以a1=1，公差为1的等差数列，通项公式为a n=1+（n﹣1）×1=n；（3）n=1时b1=1＜符合…（9分）n≥2时，因为==2（﹣）所以T n=b1+b2+…b n＜1+2（++…+﹣）=1=∴T n＜．21．（14分）已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•e x的定义域为[﹣2，t]，设f（﹣2）=m，f（t）=n．（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（2）求证：m＜n；（3）求证：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足=（t﹣1）2；又若方程=（t﹣1）2；在（﹣2，t）上有唯一解，请确定t的取值范围．【解答】解：（1）∵f′（x）=（2x﹣3）•e x+（x2﹣3x+3）•e x=x（x﹣1）e x，由f′（x）＞0可得，x＞1或x＜0；由f′（x）＞＜0可得，0＜x＜1；∴f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，欲f（x）在[﹣2，t]上为单调函数，则﹣2＜t≤0；∴t的取值范围为（﹣2，0]．（2）证明：∵f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，∴f（x）在x=1处取得极小值e，又∵f（﹣2）=m=＜e=f（1），∴f（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为f（﹣2）．从而当t＞﹣2时，f（﹣2）＜f（t），即m＜n；（3）证明：∵=﹣x0，∴=（t﹣1）2可化为﹣x0=（t﹣1）2，令g（x）=x2﹣x﹣（t﹣1）2，则证明方程x2﹣x﹣（t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有解，并讨论解的个数．∵g（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣（t+2）（t﹣4），g（t）=t（t﹣1）﹣（t﹣1）2=（t+2）（t﹣1），①当t ＞4或﹣2＜t ＜1时，g （﹣2）•g （t ）＜0，则方程x 2﹣x ﹣（t ﹣1）2=0在（﹣2，t ）上有且只有一解；②当1＜t ＜4时，g （﹣2）＞0，且g （t ）＞0， 又∵g （0）=﹣（t ﹣1）2＜0，∴方程x 2﹣x ﹣（t ﹣1）2=0在（﹣2，t ）上有解，且有两解； ③当t=1时，g （x ）=x 2﹣x=0， 从而解得，x=0或x=1，故方程x 2﹣x ﹣（t ﹣1）2=0在（﹣2，t ）上有且只有一解； ④当t=4时，g （x ）=x 2﹣x ﹣6=0， 从而解得，x=﹣2或x=3，故方程x 2﹣x ﹣（t ﹣1）2=0在（﹣2，t ）上有且只有一解； 综上所述，对于任意的t ＞﹣2，总存在x 0∈（﹣2，t ），满足=（t ﹣1）2；当方程=（t ﹣1）2在（﹣2，t ）上有唯一解时，t 的取值范围为（﹣2，1]∪[4，+∞）．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x O(1,0)xO (1,0)。

2015届高三上学期期中考试数学试题(含答案解析)

2015届高三上学期期中考试数学试题(含答案解析)

2015届高三上学期期中考试数学试题（含答案解析） 一.选择（每题5分，共60分 ） 1．下列说法中，正确的是（ ） A.任何一个集合必有两个子集； B.若,A B φ=则,A B 中至少有一个为φC.任何集合必有一个真子集；D.若S 为全集，且,AB S =则,A B S ==2．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则()U C A B 等于( )A ．{1，2，4}B ．{4}C ．{3，5}D ．∅3．已知命题p ：lnx ＞0，命题q ：ex ＞1则命题p 是命题q 的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要4．函数1)4(cos 22--=πx y 是A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数5 ）A ．y 轴对称B ．直线1=x 对称C ．点（1，0）对称D ．原点对称 6．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2(0,x x f x g x a a a -+=-+>且1)a ≠，若(2)g a=，则(2)f =（ ）A.2D.2a7 ）A.(,1]-∞B ．C ．D ． [1,2) 8A ．B. C. (1,2) D. (2,3)9．若02log <a )1,0(≠>a a 且，则函数()log (1)a f x x =+的图像大致是10．函数y ＝的图象可由函数y=sin2x 的图象经过平移而得到，这一平移过程可以是 ( )(A)(B) (C)(D)11．已知函数f(x)＝2x ＋1(1≤x≤3)，则 ( )A.f(x －1)＝2x ＋2(0≤ x≤2)B.f(x －1)＝－2x ＋1(2≤x≤4)C.f(x －1)＝2x －2(0≤x≤2)D.f(x －1)＝2x －1(2≤x≤4)12．定义新运算⊕：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时, 2a b b ⊕=，则函数()(1)(2)f x x x x =⊕-⊕， []2,2x ∈-的最大值等于（ ）A ．-1B ．1C ．6D ．12高三数学上学期期中测试题选择题答案：1---6________________ 7---12________________ 二.填空（每题6分，共36分）1314．设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)()2(x f x f -=+，当]2,0(∈x ，1)(2-=x x f 则=)7(f ____________A .48 B.24C. 8D.015．若函数52++=x mx y 在[2,)-+∞上是增函数，则m 的取值范围是____________. 16．函数1)(2-+=x x x f 的最小值是_________________。

2015年高考广东文科数学试题及答案(word解析版)

2015年高考广东文科数学试题及答案(word解析版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试〔XX 卷〕数学〔文科〕一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．〔1〕[2015年XX ，文1，5分]若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则M N =〔〕〔A 〕{}0,1-〔B 〕{}0〔C 〕{}1〔D 〕{}1,1- [答案]C [解析]{}1MN =，故选C ．〔2〕[2015年XX ，文2]已知i 是虚数单位，则复数()21i +=〔〕〔A 〕-2〔B 〕2〔C 〕2i -〔D 〕2i [答案]D[解析]22(1i)12i i 2i +=++=，故选D ．〔3〕[2015年XX ，文3，5分]下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是〔〕〔A 〕2sin y x x =+〔B 〕2cos y x x =-〔C 〕122x x y =+〔D 〕sin 2y x x =+[答案]A[解析]()()()222sin sin sin x x x x x x -+-=-≠±+，所以非奇非偶，对于B ，函数定义域为R ，关于原点对称．()22cos()cos x x x x ---=-，故为偶函数；对于C ，函数定义域为R ，关于原点对称，因为1()2222x x xxf x -=+=+，所以()22()x x f x f x --=+=，故为偶函数；D 中函数的定义域为R ，关于原点对称，且sin 2()(sin 2)x x x x -+-=-+，故为奇函数，故选A ． 〔4〕[2015年XX ，文4，5分]若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为〔〕〔A 〕10〔B 〕8〔C 〕5〔D 〕2 [答案]C[解析]在平面直角坐标系中画图，作出可行域，可得该可行域是由()2,2-，()4,4-，()4,1-组成的三角形．由于该区域是封闭的，可以通过分别代这三个个边界点进行检验，易知当4x =，1y =-时，2z x y =+取得最大值5．本题也可以通过平移直线23y x =-，当直线233zy x =-+经过()4,1-时，截距达到最大，即z 取得最大值5，故选C ．〔5〕[2015年XX ，文5，5分]设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，23c =，3cos 2A =，且b c <，则b =〔〕〔A 〕3〔B 〕2〔C 〕22〔D 〕3[答案]B[解析]由余弦定理得：222a b c =+2cos bc A -，所以234122232b b =+-⋅⋅，即2680b b -+=，解得2b =或4b =．因为b c <，所以2b =，故选B ．〔6〕[2015年XX ，文6，5分]若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是〔〕〔A 〕l 至少与1l ，2l 中的一条相交〔B 〕l 与1l ，2l 都相交 〔C 〕l 至多与1l ，2l 中的一条相交〔D 〕l 与1l ，2l 都不相交 [答案]A[解析]以正方体为模型，易知l 至少与1l ，2l 中的一条相交，故选A ．〔7〕[2015年XX ，文7，5分]已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为〔〕〔A 〕0.4〔B 〕0.6〔C 〕0.8〔D 〕1 [答案]B[解析]采用列举法，记5件产品中分别为,,,,a b c d e ，其中,d e 为分别对应2件次品，从5件产品中任取2件有基本事件,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce de 共10个，恰有一件次品的含有基本事件,,,,ad ae bd cd ce 共6个，故恰有一件次品的概率概率为60.610=，故选B ．〔8〕[2015年XX ，文8，5分]已知椭圆222125x y m+=()0m >的左焦点为()14,0F -，则m =〔〕〔A 〕9〔B 〕4〔C 〕3〔D 〕2 [答案]C[解析]由题意得4c =，222516m c -==，故29m =．因为0m >，故3m =，故选C ．〔9〕[2015年XX ，文9，5分]在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，()1,2AB =-，()2,1AD =， 则AD AC ⋅=〔〕〔A 〕2〔B 〕3〔C 〕4〔D 〕5 [答案]D[解析]由平行四边形法则，得(1,2)(2,1)(3,1)AC AB AD =+=-+=-，所以231(1)5AD AC ⋅=⨯+⨯-=，故选D ． 〔10〕[2015年XX ，文10，5分]若集合(){},,,04,04,04,,,E p q r s p s q s r s p q r s =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){},,,04,04,,,F t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=〔〕〔A 〕50〔B 〕100〔C 〕150〔D 〕200 [答案]D[解析]对于E ，当4s =，,,p q r 可以从0,1,2,3这四个数任取一个，因而有44464⨯⨯=；当3s =，,,p q r 可以从0,1,2这三个数任取一个，因而有33327⨯⨯=；当2s =，,,p q r 可以从0,1这两个数任取一个，因而有2228⨯⨯=；当1s =，0p =，0q =，0r =，只有一种，故()642781100card E =++++=；对于F ，先处理前面两个(),t u ，当4u =，t 可以从0,1,2,3这四个数任取一个，有4种；当3u =，t 可以从0,1,2这3个数任取3个；当2u =，t 可以从0,1，这四个数任取2个；当1u =，0t =只有一种，故前面两个(),t u 的可能结果有4+3+2+1=10种，同理可得后面(),v w 有10种，故()1010100card F =⨯=．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． 〔一〕必做题〔11~13〕〔11〕[2015年XX ，文11，5分]不等式2340x x --+>的解集为． [答案]()4,1-[解析]由2340x x --+>得2340x x +-<，即()4(1)0x x +-<，所以41x -<<，即2340x x --+>的解集为()4,1-．〔12〕[2015年XX ，文12，5分]已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为．[答案]11[解析]由题意有121()5n x x x n ++⋅⋅⋅+=，所以125n x x x n ++⋅⋅⋅+=，所以()()()121(212121n x x x n ⎡⎤++++⋅⋅⋅++=⎣⎦ ()1211(2221111n x x x n n n n⎡⎤++⋅⋅⋅++=⋅=⎣⎦．〔13〕[2015年XX ，文13，5分]若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中5a =+5c =-b =． [答案]1[解析]因为正数a ，b ，c 成等比数列，所以21b ac ==，所以1b =． 〔二〕选做题〔14-15题，考生只能从中选做一题〕〔14〕[2015年XX ，文14，5分]〔坐标系与参数方程选做题〕在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为222x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩〔t 为参数〕，则1C 与2C 交点的直角坐标为． [答案]()2,4-[解析]由()cos sin 2ρθθ+=-得2x y +=-，由222x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩得2228x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以28y x =(0)x ≥，联立228x y y x +=-⎧⎨=⎩ 解得24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为为()2,4-．〔15〕[2015年XX ，文15，5分]〔几何证明选讲选做题〕如图，AB 为圆O 的直径，E 为AB的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线EC 的垂线，垂足为D ．若4AB=，23CE =，则AD =． [答案]8[解析]因为CE 是圆O 的切线方程，所以2EC EB EA =⋅,所以()()2234EB EB =⋅+，解得2EB =或6EB =-〔舍去〕．连接OC ，则OC DE ⊥，由AD DE ⊥，得//AD CO ，所以CO OEAD AE=，所以22242AD +=+，故3AD =． 三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 〔16〕[2015年XX ，文16，12分]已知tan 2α=．〔1〕求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；〔2〕求2sin 2sin sin cos cos21ααααα+--的值．解：〔1〕因为tan 2α=，所以tan tan214tan()34121tan tan 4παπαπα+++===---． 〔2〕2sin 2sin sin cos cos21ααααα+--222sin cos sin sin cos (2cos 1)1αααααα==+---222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+- 22tan 41tan tan 2422ααα===+-+-． 〔17〕[2015年XX ，文17，12分]某城市100户居民的月平均用电量〔单位：度〕，以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图．〔1〕求直方图中x 的值；〔2〕求月平均用电量的众数和中位数；〔3〕在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在 [)220,240的用户中应抽取多少户？解：〔1〕由题意得：()0.0020.00250.0050.00950.0110.0125*201x ++++++=，解得0.0075x =． 〔2〕由频率分布直方图可知众数为2202402302+=，设中位数为x ，则有 ()0.002*200.0095*200.011*20220*0.01250.5x +++-=，解得224x =，所以月平均用电量的中位数为224． 〔3〕月平均用电量为[)220,240的频率为0.0125*200.25=，月平均用电量为[)240,260的频率为0.0075*200.15=，月平均用电量为[)260,280的频率为0.005*200.1=，月平均用电量为[]280,300的频率为0.0025*200.05=，设月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取n 户,则0.25110.250.150.10.05n =+++，解得5n =所以用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在 [)220,240的用户中应抽取5户． 〔18〕[2015年XX ，文18，14分]如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4PD PC ==，6AB =，3BC =．〔1〕证明：//BC 平面PDA ； 〔2〕证明：BC PD ⊥；〔3〕求点C 到平面PDA 的距离． 解：〔1〕因为四边形ABCD 为矩形，所以//BC AD ．因为BC ⊄平面PDA ， 〔2〕取CD 的中点为O ，连接PO ，因为PD PC =，所以PO DC ⊥．又平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC平面ABCD DC =，PO ⊂平面PDC ，所以PO ⊥平面ABCD ，因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC PO ⊥． 又BC CD ⊥CD PO O =，所以BC ⊥平面PDC ，因为PD ⊂平面PDC ，所以BC PD ⊥． 〔3〕因为PO ⊥平面ABCD ，即P 到平面ADC 的距离为PO，PO ==因为BC PD ⊥，//AD BC ，所以AD PD ⊥，所以1134622PDA S AD DP ∆=⋅=⨯⨯=，设点C 到平面RDA 的距离为h ，由C PDA P ADC V V --=得16326ADC PDA S PO h S ∆∆⋅⋅⋅===， 即C 到平面RDA〔19〕[2015年XX ，文19，14分]设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+． 〔1〕求4a 的值；〔2〕证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；〔3〕求数列{}n a 的通项公式．解：〔1〕当2n =时，4231458S S S S +=+，所以()1234124()5a a a a a a +++++=12318()a a a a +++，即4231748a a a =-+=．〔2〕因为211458(2)n n n n S S S S n ++-+=+≥，所以211144450(2)n n n n n S S S S S n +++---+-=≥所以()()()2111144550(2)n n n n n n S S S S S S n ++++--+-++-=≥，所以211450(2)n n n n a a a a n +++-++=≥，即21440(2)n n n a a a n ++-+=≥，所以211(2)()4n n n a a a n ++=-≥*当1n =时，321515,444a a a =-=，所以32114a a a =-，满足()*式，所以211(1)4n n n a a a n ++=-≥所以211111222n n n n a a a a +++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=，公比为12的等比数列．〔3〕由〔2〕得1111111222n n n n a a --+⎛⎫⎛⎫-=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，两边同乘以12n +，可得11224n n n n a a ++-=，所以{}2n n a 是以122a =，公差为4的等差数列．所以()221442n n a n n =+-⋅=-，所以1422122n n n n n a ---==． 〔20〕[2015年XX ，文20，14分]已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x 相交于不同的两点A ，B ．〔1〕求圆1C 的圆心坐标；〔2〕求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；〔3〕是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x 与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值X 围；若不存在，说明理由．解：〔1〕由题意知：圆1C 方程为：22(3)4x y -+=，∴圆1C 的圆心坐标为()3,0． 〔2〕由图可知，令()11,M x y ，222211111||,||(3)OM x y C M x y =+=-+，22211||||||OC OM C M =+，2222211113(3)x y x y ∴=++-+，221139()24x y ∴-+=，∵直线L 与圆1C 交于A 、B 两点，∴直线L 与圆1C 的距离：02d ≤< 22110(3)4x y ∴≤-+<，2211930(3)()442x x ∴≤-+--<，1533x ∴<≤ ∴轨迹C 的方程为：22395()(,3]243x y x -+=∈．〔3〕∵直线L ：(4)y k x =-与曲线2239()24x y -+=仅有1个交点，联立方程：22(4)5(,3]393()24y k x x x y =-⎧⎪∈⎨-+=⎪⎩， 得：2222(1)(83)160k x k x k +-++=，在区间5(,3]3有且仅有1个解．当2222=(83)64+1=k k k ∆+-（）0时，43k =±，此时，125(,3]53x =∈，仅有一个交点，符合题意．当0∆≠时，令2222()(1)(83)16g x k x k x k =+-++，则有：5()(3)03g g ≤解得：2525[,]77k ∈-，∴k 的取值X 围为：2525[,]77k ∈-或43k =±．〔21〕[2015年XX ，文21，14分]设a 为实数，函数()()()21f x x a x a a a =-+---．〔1〕若()01f ≤，求a 的取值X 围； 〔2〕讨论()f x 的单调性；〔3〕当2a ≥时，讨论()4f x x+在区间()0,+∞内的零点个数． 解：〔1〕22(0)f a a a a a a =+-+=+，因为()01f ≤，所以1a a +≤．当0a ≤时，01≤，显然成立；当0a >，则有21a ≤，所以12a ≤．所以102a <≤．综上所述，a 的取值X 围12a ≤．〔2〕()2221,()(21)2,x a x x af x x a x a x a⎧--≥⎪=⎨-++<⎪⎩，对于()2121u x a x =--，其对称轴为21122a x a a -==-<，开口向上， 所以()f x 在(,)a +∞单增；对于()21212u x a x a =-++，其对称轴为21122a x a a +==+>，开口向上，所以()f x 在(,)a -∞单减．综上，()f x 在(,)a +∞单增，在(,)a -∞单减．〔3〕由〔2〕得()f x 在(,)a +∞单增，在(0,)a 单减，所以2min ()()f x f a a a ==-．〔i 〕当2a =时，min ()(2)2f x f ==-，223,2()54,2x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩，令()40f x x +=，即()4()0f x x x =->．因为()f x 在(0,2)单减，所以()(2)2f x f >=-，而4y x=-在(0,2)单增，(2)2y f <=-，所以()y f x =与4y x=-在(0,2)无交点．当2x ≥时，24()3f x x x x=-=-，即32340x x -+=，所以322240x x x --+=，所以()22(1)0x x -+=，因为2x ≥，所以2x =，即当2a =时，()4f x x+有一个零点2x =． 〔ii 〕当2a >时，2min ()()f x f a a a ==-，当(0,)x a ∈时，(0)24f a =>，2()f a a a =-，而4y x =-在(0,)x a ∈单增，当x a =时，4y a =-．下面比较2()f a a a =-与4a -的大小因为32224(4)(2)(2)()0a a a a a a a a a a-----++---==<，所以24()f a a a a=-<-．结合图像不难得当2a >，()y f x =与4y x=-有两个交点．综上，当2a =时，()4f x x +有一个零点2x =；当2a >，()y f x =与4y x=-有两个零点．。

2015届高三上学期期中质量评估数学(文)试题 扫描版含答案

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2014年秋期高三年级文科期中考试答案一.选择题: 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ADBADCDAACAB二.填空题:13.1 14.重心 15.4116.①②③④ 三.解答题:17.解：（I ）∵f x ()为偶函数()()∴s i n s i n -+=+ωϕωϕx x 即20s i n c o s ωϕx =恒成立∴cos ϕ=0 ∵，∴02≤≤=ϕπϕπ……………………………………………………………3分 又其图象上相邻对称轴之间的距离为π ∴T =2π ∴ω=1∴f x x ()c o s = ……………………………………………………………………5分 （II ）∵原式=-++=s i n c o s t a n s i n c o s22112αααα ……………………………7分 又∵，∴s i n c o s s i n c o s αααα+=+=231249 …… ………………………9分 即259s i n c o s αα=-， 故原式=-59………………………………………10分18.解：由⎩⎨⎧+=+=xx y x y 321，得0123=-+-x x x ， 即0)1)(1(2=+-x x ，1=∴x ，∴交点为)2,1(．…………………………………2分 又x x f 2)('=，2)1('=∴f ,∴曲线)(x f y =在交点处的切线1l 的方程为)1(22-=-x y ， 即x y 2=， ……………………5分又13)('2+=x x g . ∴4)1('=g .∴曲线)(x g y =在交点处的切线2l 的方程为)1(42-=-x y ，即24-=x y . ………………………………………………………………8分 取切线1l 的方向向量为)2,1(=a ，切线2l 的方向向量为)4,1(=b ，…………10分 则858591759||||cos =⨯=⋅=b a b a θ. ……………………………………12分19.解：（Ⅰ）由,47)43(1sin ,43cos 2=-==B B 得由ac b =2及正弦定理得 .s i n s i ns i n 2C A B = 则CA AC A C C C A A C A sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos tan 1tan 1+=+=+22sin()sin 147.sin sin sin 7A CB B B B +==== …………………………6分（Ⅱ）由32BA BC ⋅=，得23cos =B ac ，由43cos =B ，可得ac ＝2，即b 2＝2．…………………………………………………………8分由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，得5cos 2222=+=+B ac b c a ， 3,9452)(222=+=+=++=+c a ac c a c a ……………………12分20.解：（Ⅰ）∵*n N ∈时，n n n a S a -=22，当2≥n 时，21112n n n a S a ---=-，…………………………………………………2分由①－②得，22111(2)(2)n n n n n n a a S a S a ----=---即2211n n n n a a a a ---=+，∵01>+-n n a a ∴)2(11≥=--n a a n n ，………………4分 由已知得，当1=n 时，21112a S a =-，∴11=a .………………………………５分故数列}{n a 是首项为1，公差为1的等差数列.∴*()N n a n n =∈. …………６分 （Ⅱ）∵*()N n a n n =∈，∴n n n n b 2)1(31⋅-+=-λ,…………7分∴111133(1)2(1)2n n n n n n n n b b λλ++-+-=-+-⋅--⋅1233(1)2n n n λ-=⨯-⋅-⋅.要使得1n n b b +>恒成立,只须113(1)()2n n λ---⋅<. …………８分(1)当n 为奇数时,即13()2n λ-<恒成立.又13()2n -的最小值为1,∴1λ<. ……9分(2)当n 为偶数时,即13()2n λ->-恒成立.又13()2n --的最大值为32-,∴32λ>- ……………………………………１０分∴由(1),(2)得312λ-<<,又0λ≠且λ为整数,……………………１１分∴1λ=-对所有的*N n ∈,都有1n n b b +>成立. ………………１２分21.解：[)(] 1.-2f(-x),0,1x -,1,0-x )1(-x =∴∈∈则令又,)(是奇函数x f ∴f(-x)=-f(x),∴,12)()(-=-=--x x f x f ∴[).0,1,1)21()(-∈+-=x x f x.................................6分（2） f(x+4)=f(x),∴f(x)是以4为周期的周期函数， ),4,5(24log 24log 221--∈-=∴),0,1(424log 21-∈+∴211161241)21()424(log )24(log 424log 212121-=+⨯-=+-=+=∴+f f .......12分22.解：（I ）ax x x x f 22131)(23++-= ，a x x x f 2)('2++-=∴ …………………2分 函数)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，即导函数在),32(+∞上存在函数值大于零的部分， 0232)32()32('2>++-=∴a f 91->∴a ……………………………………6分(II))(x f 取到最小值316-，而a x x x f 2)('2++-=的图像开口向下，且对称轴方程为21=x ，02)1('>=a f ，0122)4('<-=a f则必有一点使得0'()0=f x……………………………………8分此时函数)(x f 在0[1,]x 上单调递增，在0[,4]x 单调递减.612)1(+=a f ,a f 8340)4(+-=,)1()4(f f <∴3168340)4()(min -=+-==∴a f x f , 1=∴a , …………………10分 此时，由200000'()202,1()=-++=∴==-舍去f x x x x x ，所以函数max 10()(2)3==f x f ………………………………………………………12分[],4,10∈x。

【百强校】2015届广东省佛山市一中高三上学期期中文科数学试卷(带解析)

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绝密★启用前【百强校】2015届广东省佛山市一中高三上学期期中文科数学试卷（带解析）试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设集合A={2|320x x x -+=}，则满足AB={0，1，2}的集合B 的个数是（ ）A .1 B.3 C.4 D.6 2．已知复数z 满足25)43(=+z i ，则=z （ ）A.i 43-B.i 43+C.i 43--D.i 43+-3．函数)220)(sin(2)(πϕπωϕω<<->+=，x x f 的部分图象如图所示，则ϕω，的值分别是（ ）A.32π-，B.62π-，C.321π-，D.621π， 4．设R y x ∈,，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且,a c b c ⊥v v v vP ，则x y +=（ ）5．已知4sin cos 5αα+=，则sin 2α=（ ） A.1225-B.925-C.925D.12256．若2x a =，12log b x =，则“a b >”是“1x >”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件7．如图所示的程序框图，它的输出结果是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．在区间[]0,10内随机取出两个数，则这两个数的平方和 也在区间[]0,10内的概率是（ ）A ．110B 40π D ．4π 9．设函数f （x ）＝212x x+－12，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数[])(x f y =的值域是（ ）A ．{0,1}B ．{0，－1}C ．{－1,1}D ．{1,1} 10．已知函数12)(-=x x f ，c b a <<，且)()()(b f c f a f >>，则下列结论中，一定成立的是 （ ）4545A ．0,0,0<<<c b aB ．0,0,0>≥<cb aC ．c a 22<-D.222<+c a第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．若axf xx lg22)(-+=是奇函数，则实数a=_________.12．函数)(xfy=的图像在点))1(,1(fM处的切线方程为221+=xy，则='+)1()1(ff .13．当k＞0时，两直线kx－y＝0,2x＋ky－2＝0与x轴围成的三角形面积的最大值为 .14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点A的极坐标为()0,2，直线l的极坐标方程为02)sin(cos=++θθρ，则点A到直线l的距离为________．15．（几何证明选讲选做题）如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP·NP= .三、解答题16．（本小题满分12分）在ABC∆中，边a,b,c分别是角A,B,C的对边，且满足：cos(3)cosb C ac B=-（1）求cosB；（2）若BC BA4⋅=，b=a,c的值.17．（本小题满分12分）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄DNB装…………○_姓名：___________班装…………○人有350人，他们的健康状况如下表：其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，﹣1代表“生活不能自理”．（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老龄人生活能够自理的概率是多少？ （Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率．18．（本小题满分14分）设a ∈R, 解关于x 的不等式xx 1-≥(1)a x -．（要求：对结果作综述．．，解集用区间．．表示） 19．如图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BCA =90°，AP =AC ，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且BC ∥平面ADE .（Ⅰ）求证：DE ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若PC ⊥AD ，且三棱锥P －ABC 的体积为8，求多面体ABCED 的体积． 20．（本小题满分14分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.（1）求1a ；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）若)12*∈=N n a b nn（,n n b b b T +++=........21，求证：n T ＜35. 21．（本小题满分14分）已知函数x e x x x f ⋅+-=)33()(2的定义域为[]t ,2-，设n t f m f ==-)(,)2(.（1）试确定t 的取值范围，使得函数)(x f 在[]t ,2-上为单调函数；（2）求证：m n <；（3）求证：对于任意的,2->t总存在),,2(0t x -∈ 满足20)1(32)(0-='t e x f x ； 又若方程200)1(32)(),,2(,20-='-∈-t ex f t x x 满足总存在在),2(t -上有唯一解，请确定t 的取值范围.参考答案1．C 【解析】试题分析：先求出集合A 元素，根据集合关系和运算即可得到结论．A={x|x 2-3x+2=0}={x|x=1或x=2}={1，2}，若A B {012}=，，，则0B ∈，则B={0}，{0，2}，{1，0}，{0，1，2}，共4个.考点：并集及其运算． 2．A 【解析】试题分析：根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，计算求得z 的值．∵复数z 满足（3+4i ）z=25，则2525(34i)25(34i)z 34i.34i (34i)(34i)25--====-++- 考点：复数相等的充要条件． 3．A 【解析】试题分析：根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x 值，求出函数的周期∵在同一周期内，函数在5x 12π=时取得最大值，11x 12π=时取得最小值， ∴函数的周期T 满足T 115212122πππ=-=由此可得2T 2ππωω==∴=，，得函数表达式为f x 2sin 2x ϕ=+（）（）,又∵当5x 12π=时取得最大值2， 552sin 222k k Z 1262πππϕϕπ∴⨯+=∴+=+∈（），（）,22ππϕ-＜＜，∴取k=0，得3πϕ=-.考点：y Asin x ωϕ=+（）中参数的物理意义． 4．A 【解析】试题分析：由向量平行、垂直的充要条件，列出关于x 、y 的方程并解之，可得x,y 值;∵a x 1c 24a c x 2140x 2.==-⊥∴⨯+⨯-=∴=（，），（，），，（），b 1yc 24b c 14y 2y 2==-∴⨯-=⨯∴=-（，），（，），，（），,所以x+y=0考点：平面向量数量积的运算 5．B 【解析】试题分析：将已知的等式左右两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，整理后即可求出sin2θ的值．22241616sin cos sin cos sin 2sin cos cos 1sin252525θθθθθθθθθ+=∴+=∴++=+=,（），，9sin225θ∴=-．考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系． 6．B 【解析】试题分析：先画出函数x 122log x ，的图象，根据图象以及充分条件，必要条件的定义即可判断a ＞b 与x ＞1的关系．如图，0x x =时，a=b ，∴若a ＞b ，则得到0x x ＞，且0x 1a b ∴＜，＞不一定得到x ＞1；∴a ＞b 不是x ＞1的充分条件；若x ＞1，则由图象得到a ＞b ，∴a ＞b 是x ＞1的必要条件；∴a ＞b 是x ＞1的必要不充分条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 7．C 【解析】试题分析：根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句k=k+1，从而到结论．∵k=0，45α=︒时，sin cos αα=不满足判断框中的条件， k=1，90α=︒时，sin cos αα＞，不满足判断框中的条件， k=2，135α=︒时，sin cos αα＞，不满足判断框中的条件， k=3，180α=︒时，sin cos αα＞，不满足判断框中的条件， k=4，225α=︒时，sin cos αα=，不满足判断框中的条件， k=5，270α=︒时，sin cos αα<，满足判断框中的条件， 即输出的结果为5， 考点：循环结构． 8．C 【解析】试题分析：首先分析题目求这两个数的平方和也在区间[0，10]内的概率，可以联想到用几何的方法求解，利用面积的比值直接求得结果．将取出的两个数分别用x ，y 表示，则x y [010]∈，，要求这两个数的平方和也在区间[0，10]内，即要求220x y 10≤+≤，故此题可以转化为求220x y 10≤+≤在区域0x 100y 10≤≤⎧⎨≤≤⎩内的面积比的问题．即由几何知识可得到概率为211041040ππ⨯＝；考点：等可能事件的概率． 9．B 【解析】试题分析：把函数f （x ）的解析式变形，根据指数函数的值域和反比例函数的单调性求出函数f （x ）的值域，利用[x]表示不超过x 的最大整数求出本题的答案．x x xx x x2111111f x 2012101f x 1222121222=-=-∴+∴-+++（），＞，＞，＜＜，＜（）＜； ∵[x]表示不超过x 的最大整数，∴y=[f （x ）]的值域为{-1，0}．故答案为：{-1，0}． 考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．10．D 【解析】试题分析：根据函数在区间0-∞（，）上是减函数，结合题设可得A 不正确；根据函数的解析式，结合举反例的方法，可得到B 、C 不正确；利用函数的单调性结合函数的解析式，对a ＜c 且f （a ）＞f （c ）加以讨论，可得D 是正确的．由此不难得到正确选项．对于A ，a ＜0，b ＜0，c ＜0，因为a ＜b ＜c ，所以a ＜b ＜c ＜0，而函数x f x |21|=-（）在区间0-∞（，）上是减函数，故f （a ）＞f （b ）＞f （c ），与题设矛盾，所以A 不正确；对于B ，a ＜0，b 0≥，c ＞0，可设a=-1，b=2，c=3，此时f （c ）=f （3）=7为最大值，与题设矛盾，故B 不正确；对于C ，取a=0，c=3，同样f （c ）=f （3）=7为最大值，与题设矛盾，故C 不正确； 对于D ，因为a ＜c ，且f （a ）＞f （c ），说明可能如下情况成立:（i ）a 、c 位于函数的减区间0-∞（，），此时a ＜c ＜0，可得c a a c 0221222∴+＜＜＜，＜成立;（ii ）a 、c 不在函数的减区间0-∞（，），则必有a ＜0＜c ，所以a c f a 1221f c =--=（）＞（），化简整理，得a c222+＜成立．综上所述，可得只有D 正确故答案为：D考点：指数函数的图像变换． 11．1.10【解析】试题分析：由题设条件可知，可由函数是奇函数，建立方程f （x ）+f （-x ）=0，由此方程求出a 的值. 函数x x f x 22lga-=+（）是奇函数x x x x x x x x f x f x 022lga 22lga 022lga 220----∴+-=∴+++=∴+++=（）（），，（）1lga 1a .10∴=-∴=考点：函数奇偶性的性质． 12．1 【解析】试题分析：利用函数在切点处的导数就是切线的斜率求出f 1'（）；将切点坐标代入切线方程求出f （1），求出它们的和．据题意知()()11313f1,f 12,f 1f 1122222'=-=-+∴+'-+（）（）＝＝＝. 考点：导数的运算． 13．4【解析】试题分析：作出两直线与x 轴围成的三角形，求出B 的坐标，写出三角形面积公式，然后利用基本不等式求最值．由两直线kx-y=0，2x+ky-2=0与x 轴围成的三角形如图， 联立k x 2xky2-⎧⎨+-⎩＝＝,解得O AB 22222k2k B S 12k 2k 22kk k ∆∴⨯⨯=≤+++++（，）＝＝＝ 当且仅当2k k=即k =考点：简单线性规划． 14．【解析】试题分析：先求出点A 的坐标，直线l 的普通方程，由点到直线的而距离公式求出点A 到直线l 的距离．由题意得 点A （2，0），直线l 为cos sin 20ρθθ++=（），即 x+y+2=0，∴点A 到直线l=.考点：简单曲线的极坐标方程． 15．254【解析】试题分析：由已知中，过O 外一点A 作一条直线与O 交于C ，D 两点，AB 切O 于B ，我们由切割线定理，结合已知中AC=4，AB=6，我们易求出AD 的长，进而求出弦CD 的长，又由弦MN 过CD 的中点P ，由相交弦定理我们易求出MP NP ⋅．：∵AB 为O 的切线，ACD为O 的割线,由切割线定理可得：2AB AC AD =⋅由AC=4，AB=6，故AD=9,故CD=5,又∵N 是弦CD 的中点,5PC PD 2==, 由相交弦定理得25MP NP PC PD .4⋅=⋅=考点：与圆有关的比例线段． 16． 【解析】试题分析：（1）利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得cosB 的值．（2）由BC BA 4⋅=可得 ac=12，再由余弦定理可得22a c 40+=，由此求得边a ，c 的值．试题解析：：（1）在ABC ∆中，∵bcosC=（3a-c ）cosB ， 由正弦定理可得 sinBcosC=（3sinA-sinC ）cosB ， ∴3sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC ，化为：3sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin （B+C ）=sinA ．∵在ABC ∆中,1sinA 0cosB 3≠∴=，．（2）由BC BA 4b ⋅==，可得，a c cosB 4⨯⨯=，即 ac=12． ①．再由余弦定理可得2222222b 32ac 2ac?cosB a c 2ac3 a c 40==+-=+-∴+=⋯，，②．由①②求得a=2，c=6； 或者a=6，c=2． 综上可得，62a c =⎧⎨=⎩或 26a c =⎧⎨=⎩.考点：正弦定理；平面向量数量积的运算；余弦定理． 17．（Ⅰ）1920;（Ⅱ）35. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据80岁以下老龄人的人数，即可估计该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率．（Ⅱ）由分层抽样方法可得被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，有1位健康指数不大于0，设被抽取的4位健康指数大于0的老龄人为1，2，3，4，健康指数不大于0的老龄人为B ；列举从这五人中抽取3人的结果，由古典概型公式计算可得答案． 试题解析：（Ⅰ）解:该社区80岁以下的老龄人共有120+133+32+15=300人， 1分 其中生活能够自理的人有120+133+32=285人， 2分 记“随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理”为事件A ， 则P （A ）=2019300285=. 4分 （Ⅱ ）根据表中数据可知，社区健康指数大于0的老龄人共有280人， 不大于0的老龄人共有70人， 5分 所以，按照分层抽样，，被抽取的5位老龄人中，有45350280=⨯位为健康指数大于0的， 依次记为：a,b,c,d,有一位健康指数不大于0的，记为e 。

广东省广州市执信中学2015届高三数学上学期期中试卷文(含解析)

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广东省广州市执信中学2015届高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）2．（5分）=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i3．（5分）若a∈R，则a=0是a（a﹣1）=0的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．（5分）等比数列{a n}中，a4=4，则a2•a6等于（）A．4 B．8 C．16 D．325．（5分）在△ABC中，a2=b2+c2﹣bc，则A的值为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°6．（5分）若向量=（1，2），=（4，5），则=（）A．（5，7）B．（﹣3，﹣3）C．（3，3）D．（﹣5，﹣7）7．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3 B．C．1 D．8．（5分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若S4=20，S6﹣S2=36，则该等差数列的公差d=（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．49．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=110．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f （9）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1二．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共20分.把答案填在答卷的相应位置．11．（5分）双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点为（1.0），则C的方程为．12．（5分）曲线y=5e x﹣3在点（0，2）处的切线方程为．13．（5分）若实数x，y满足，则x+y的最大值为．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（3分）在极坐标系中，已知两点A（5，）、B（8，），则|AB|=．15．（3分）（几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，BC是圆O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，若OB=3，OC=5，则CD=．三、解答题（共6小题，满分79分）16．（12分）设平面向量=（cosx，sinx），=（，），函数f（x）=+1．（Ⅰ）求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间；（Ⅱ）当f（a）=，且时，求sin（2a）的值．17．（12分）在某次体检中，有6位同学的平均体重为65公斤．用x n表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学的体重，且前5位同学的体重如下：编号n 1 2 3 4 5体重x n60 66 62 60 62（Ⅰ）求第6位同学的体重x6及这6位同学体重的标准差s；（Ⅱ）从前5位同学中随机地选2位同学，求恰有1位同学的体重在区间（58，65）中的概率．18．（14分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F 分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）求证：CF⊥B1E；（3）求三棱锥V C﹣B1FE的体积．19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，，n∈N*．（1）求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．20．（14分）设抛物线C的方程为x2=4y，M（x0，y0）为直线l：y=﹣m（m＞0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．（1）当M的坐标为（0，﹣1）时，求过M，A，B三点的圆的方程，并判断直线l与此圆的位置关系；（2）求证：直线AB恒过定点（0，m）．21．（13分）已知f（x）=+lnx（a为正实数）．（1）若函数f（x）在[1，x）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1时，求函数f（x）在[，e]上的最大值与最小值；（3）当a=1时，求证：对于大于1的任意正整数n，都有lnn＞++…+．广东省广州市执信中学2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N={x|﹣1＜x＜1}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可．解答：解：化简可得====﹣1+2i故选：B点评：本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题．3．（5分）若a∈R，则a=0是a（a﹣1）=0的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：由a（a﹣1）=0解得a=0或1．即可判断出．解答：解：由a（a﹣1）=0解得a=0或1．∴a=0是a（a﹣1）=0的充分而不必要条件．故选：A．点评：本题考查了充要条件的判定方法，属于基础题．4．（5分）等比数列{a n}中，a4=4，则a2•a6等于（）A．4 B．8 C．16 D．32考点：等比数列．分析：由a4=4是a2、a6的等比中项，求得a2•a6解答：解：a2•a6=a42=16故选C．点评：本题主要考查等比中项．5．（5分）在△ABC中，a2=b2+c2﹣bc，则A的值为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理表示出cosA，把已知等式变形后代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．解答：解：∵在△ABC中，a2=b2+c2﹣bc，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA===，则A=60°．故选：B．点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6．（5分）若向量=（1，2），=（4，5），则=（）A．（5，7）B．（﹣3，﹣3）C．（3，3）D．（﹣5，﹣7）考点：向量的减法及其几何意义；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的减法运算法则求解即可．解答：解：∵向量=（1，2），=（4，5），∴==（1，2）﹣（4，5）=（﹣3，﹣3）；故选：B．点评：本题考查向量的减法运算以及减法的几何意义，基本知识的考查．7．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3 B．C．1 D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．解答：解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，∴底面B1DC1的面积：=，A到底面的距离就是底面正三角形的高：．三棱锥A﹣B1DC1的体积为：=1．故选：C．点评：本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．8．（5分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若S4=20，S6﹣S2=36，则该等差数列的公差d=（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意，a1+a2+a3+a4=20，a3+a4+a5+a6=36，作差可得结论．解答：解：由题意，a1+a2+a3+a4=20，a3+a4+a5+a6=36，作差可得8d=16，即d=2．故选：B．点评：本题考查数列基本量的求法．9．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．解答：解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．点评：本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f （9）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1考点：函数的值；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．解答：解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，∴设g（x）=f（x+2），则g（﹣x）=g（x），即f（﹣x+2）=f（x+2），∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2）=﹣f（x﹣2），即f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=﹣f（x+4）=f（x），则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，∴f（8）+f（9）=0+1=1，故选：D．点评：本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．二．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共20分.把答案填在答卷的相应位置．11．（5分）双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点为（1.0），则C的方程为x2﹣y2=1．考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设双曲线方程为，（a＞0，b＞0），由已知得，由此能求出C的方程．解答：解：∵双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点为（1.0），∴设双曲线方程为，（a＞0，b＞0），且，∴b2=2﹣1=1，∴C的方程为x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．点评：本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．12．（5分）曲线y=5e x﹣3在点（0，2）处的切线方程为5x﹣y+2=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出函数导数，利用导数的几何意义即可求得切线方程．解答：解：∵y=f（x）=5e x﹣3，∴∴f′（x）=5e x，则f′（0）=5e0=5，即f（x）在点（0，2）处的切线斜率k=5，则对应的切线方程为y﹣2=5（x﹣0），即5x﹣y+2=0，故答案为：5x﹣y+2=0．点评：本题主要考查函数切线的求解，利用导数的几何意义是解决本题的关键．13．（5分）若实数x，y满足，则x+y的最大值为2.5．考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，令z=x+y，可化为y=﹣x+z，z相当于直线y=﹣x+z的纵截距，由几何意义可得．解答：解：由题意作出其平面区域，令z=x+y，可化为y=﹣x+z，z相当于直线y=﹣x+z的纵截距，故过点A（1，1.5）时有最大值，最大值为1+1.5=2.5，故答案为：2.5．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（3分）在极坐标系中，已知两点A（5，）、B（8，），则|AB|=7．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：利用余弦定理即可得出．解答：解：∵∠AOB=，∴AB2==49，∴AB=7．故答案为：7．点评：本题考查了极坐标的意义、余弦定理的应用，属于基础题．15．（3分）（几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，BC是圆O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，若OB=3，OC=5，则CD=4．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：利用圆的切线的性质和勾股定理可得BC，再利用平行线的性质和全等三角形的性质可得CD=CB．即可得出．解答：解：∵AB是圆O的直径，BC是圆O的切线，∴OB⊥BC．在Rt△OBC中，=4．∵AD∥OC，∴∠A=∠BOC，∠ADO=∠COD．∵∠A=∠ADO，∴∠BOC=∠DOC．又∵OB=OD，OC为公共边．∴△BOC≌△DOC．∴CD=CB=4．点评：本题考查了圆的切线的性质和勾股定理、平行线的性质和全等三角形的性质，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分79分）16．（12分）设平面向量=（cosx，sinx），=（，），函数f（x）=+1．（Ⅰ）求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间；（Ⅱ）当f（a）=，且时，求sin（2a）的值．考点：平面向量数量积的运算；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）根据数量积的坐标运算，求出函数f（x）的表达式，然后利用三角函数的图象和性质求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间；（Ⅱ）根据正弦函数的二倍角公式进行计算即可．解答：解：依题意f（x）=+1=（cosx，sinx）•（，）=cosx+sinx+1=sin（x+）+1，（Ⅰ）∵sin（x+）∈[﹣1，1]，∴sin（x+）+1∈[0，2]，即函数f（x）的值域是[0，2]．令，解得，∴函数f（x）的单调增区间为（k∈Z）．（Ⅱ）由f（a）=得sin（a+）+1=，得sin（a+）=，∵，∴，得cos（a+）=﹣，∴sin（2a）=sin2（a+）=2sin（a+）cos（a+）=．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用数量积的坐标公式求出函数f（x）的表达式是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的公式．17．（12分）在某次体检中，有6位同学的平均体重为65公斤．用x n表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学的体重，且前5位同学的体重如下：编号n 1 2 3 4 5体重x n60 66 62 60 62（Ⅰ）求第6位同学的体重x6及这6位同学体重的标准差s；（Ⅱ）从前5位同学中随机地选2位同学，求恰有1位同学的体重在区间（58，65）中的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：由平均数和标准差的计算公式可得出x6和s，然后由古典概型计算公式可算出所求概率．解答：解：（Ⅰ）由题意得=65 解得x6=80 …（2分）则6位同学体重的标准差s==7 …（4分）所以第6位同学的体重x6=80，这6位同学体重的标准差为s=7 …（5分）（Ⅱ）从前5位同学中任意选出2位同学的基本事件个数有10个，它们是（601，66），（601，623），（601，604），（601，625），（66，623），（66，604），（66，625），（623，604），（623，625），（604，625）…（8分）其中恰有1位同学的体重在（58，65）之间的基本事件有4个，它们是（601，66），（66，623），（66，604），（66，625）…（10分）所以恰有1位同学的体重在（58，65）之间的概率P==…（12分）点评：本题考查统计中的一些数字特征，如平均数和方差，以及古典概型，要对概念有足够的重视．18．（14分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F 分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）求证：CF⊥B1E；（3）求三棱锥V C﹣B1FE的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）欲证EF∥平面ABC1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面ABC1D1内一直线平行即可，连接BD1，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则EF∥D1B，而D1B⊂平面ABC1D1，EF⊄平面ABC1D1，满足定理所需条件；（2）由题意，欲证线线垂直，可先证出CF⊥平面BB1D1D，再由线面垂直的性质证明CF⊥B1E 即可；（3）由题意，可先证明出CF⊥平面BDD1B1，由此得出三棱锥的高，再求出底面△B1EF的面积，然后再由棱锥的体积公式即可求得体积．解答：（1）证明：连接BD1，∵E、F分别为DD1、DB的中点，∴EF是三角形BD1D的中位线，即EF∥BD1；…（3分）又EF⊄平面ABC1D1，BD1⊂平面ABC1D1，∴EF∥平面ABC1D1…（4分）（2）证明：E、F分别为D1D，DB的中点，则CF⊥BD，又CF⊥D1D∴CF⊥平面BB1D1D，∴CF⊥B1E…（8分）（3）解：由（2）可知CF⊥平面BB1D1D，∴CF为高，CF=BF=∵EF=BD1=，B1F=，B1E=3∴即∠EFB1=90°∴=∴===1…（12分）点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理及锥体的体积的求法，考查了空间感知能力及判断推理的能力，解题的关键是熟练掌握相关的定理及公式．19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，，n∈N*．（1）求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．考点：数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用已知a1=1，，n∈N*．令n=1即可求出；（2）利用a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）即可得到na n+1=（n+1）a n+n（n+1），可化为，．再利用等差数列的通项公式即可得出；（3）利用（2），通过放缩法（n≥2）即可证明．解答：解：（1）当n=1时，，解得a2=4（2）①当n≥2时，②①﹣②得整理得na n+1=（n+1）a n+n（n+1），即，当n=1时，所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列所以，即所以数列{a n}的通项公式为，n∈N*（3）因为（n≥2）所以=．当n=1，2时，也成立．点评：熟练掌握等差数列的定义及通项公式、通项与前n项和的关系a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）、裂项求和及其放缩法等是解题的关键．20．（14分）设抛物线C的方程为x2=4y，M（x0，y0）为直线l：y=﹣m（m＞0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．（1）当M的坐标为（0，﹣1）时，求过M，A，B三点的圆的方程，并判断直线l与此圆的位置关系；（2）求证：直线AB恒过定点（0，m）．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系．分析：（1）设过M点的切线方程，代入x2=4y，整理得x2﹣4kx+4=0，令△=0，可得A，B的坐标，利用M到AB的中点（0，1）的距离为2，可得过M，A，B三点的圆的方程，从而可判断圆与直线l：y=﹣1相切；（2）证法一：设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），过抛物线上点A（x1，y1）的切线方程为，代入x2=4y，消元，利用△=0，即可确定，利用切线过点M（x0，y0），所以可得，同理可得，由此可得直线AB的方程，从而可得结论；证法二：设过M（x0，y0）的抛物线的切线方程为（k≠0），代入x2=4y，消去y，利用韦达定理，确定直线AB的方程，从而可得结论；证法三：利用导数法，确定切线的斜率，得切线方程，由此可得直线AB的方程，从而可得结论．解答：（1）解：当M的坐标为（0，﹣1）时，设过M点的切线方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，整理得x2﹣4kx+4=0，令△=（4k）2﹣4×4=0，解得k=±1，代入方程得x=±2，故得A（2，1），B（﹣2，1），…（2分）因为M到AB的中点（0，1）的距离为2，从而过M，A，B三点的圆的方程为x2+（y﹣1）2=4．∵圆心坐标为（0，1），半径为2，∴圆与直线l：y=﹣1相切…（4分）（2）证法一：设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），过抛物线上点A（x1， y1）的切线方程为，代入x2=4y，整理得x2﹣4kx+4（kx1﹣y1）=0△=（4k）2﹣4×4（kx1﹣y1）=0，又因为，所以…（6分）从而过抛物线上点A（x1，y1）的切线方程为即又切线过点M（x0，y0），所以得①即…（8分）同理可得过点B（x2，y2）的切线为，又切线过点M（x0，y0），所以得②…（10分）即…（6分）即点A（x1，y1），B（x2，y2）均满足即x0x=2（y0+y），故直线AB的方程为x0x=2（y0+y）…（12分）又M（x0，y0）为直线l：y=﹣m（m＞0）上任意一点，故x0x=2（y﹣m）对任意x0成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）证法二：设过M（x0，y0）的抛物线的切线方程为（k≠0），代入x2=4y，消去y，得x2﹣4kx﹣4（y0﹣kx0）=0△=（4k）2+4×4（y0﹣kx0）=0即：k2+x0k+y0=0…（6分）从而，此时，所以切点A，B的坐标分别为，…（8分）因为，，，所以AB的中点坐标为…（11分）故直线AB的方程为，即x0x=2（y0+y）…（12分）又M（x0，y0）为直线l：y=﹣m（m＞0）上任意一点，故x0x=2（y﹣m）对任意x0成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）证法三：由已知得，求导得，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），故过点A（x1，y1）的切线斜率为，从而切线方程为即…（7分）又切线过点M（x0，y0），所以得①即…（8分）同理可得过点B（x2，y2）的切线为，又切线过点M（x0，y0），所以得②即…（10分）即点A（x1，y1），B（x2，y2）均满足即x0x=2（y0+y），故直线AB的方程为x0x=2（y0+y）…（12分）又M（x0，y0）为直线l：y=﹣m（m＞0）上任意一点，故x0x=2（y﹣m）对任意x0成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）点评：本题考查圆的方程，考查抛物线的切线，考查直线恒过定点，确定切线方程，及直线AB的方程是关键．21．（13分）已知f（x）=+lnx（a为正实数）．（1）若函数f（x）在[1，x）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1时，求函数f（x）在[，e]上的最大值与最小值；（3）当a=1时，求证：对于大于1的任意正整数n，都有lnn＞++…+．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）由题意可得f′（x）≥0对x∈[1，+∞）恒成立，解得即可；（2）利用导数判断函数的单调性，进而求得最值；（3）由（1）知：f（x）+lnx在[1，+∞）上为增函数，可得lnx≥，n≥2时，令x=，即ln＞，即可得证．解答：解：（1）由已知：f′（x）=（a＞0），依题意得：≥0对x∈[1，+∞）恒成立．∴ax﹣1≥0，x∈[1，+∞）恒成立又a为正实数∴a﹣1≥0，即：a≥1（2）∵a=1∴f（x）=+lnx，f′（x），x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（，1）上单调减，x∈（1，e）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，e）上单调增，f（）=e﹣2，f（1）=0，f（e）=，又f（）＞f（e）所以f（x）在[，e]上的最大值为f（）=e﹣2与最小值为f（1）=0（3）∵a=1∴由（1）知：f（x）+lnx在[1，+∞）上为增函数，∴对任意x≥1时，f（x）≥f（1）=0，∴lnx≥∴n≥2时，令x=，即ln＞lnn=ln+ln+…+ln+ln＞++…++即n≥2时，lnn＞++…+点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值等知识，考查不等式的证明的转化思想的运用能力及运算求解能力，属于难题．。

广东省汕头市金山中学2015届高三第一学期期中考试数学(文)含部分答案

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2014-2015学年度汕头金山中学第一学期高三期中考试数学（文）一.选择题 (本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.设全集{,,,,}U a b c d e =，集合{,}M a d =，{,,}N a c e =，则()U N C M =（ ）A.{,}c eB.{,}a cC.{,}d eD.{,}a e2.命题“2,||0x R x x ∀∈+≥”的否定是( )A.2,||0x R x x ∀∈+<B.2,||0x R x x ∀∈+≤C.2000,||0x R x x ∃∈+<D.2000,||0x R x x ∃∈+≥ 3.设函数()ln f x x x =，则（ ）A.1x =为()f x 的极大值点B.1x =为()f x 的极小值点C.1x e =为()f x 的极大值点 D.1x e =为()f x 的极小值点 4.若tan 0α>，则( )A.sin 0α>B.cos 0α>C.sin 20α>D.cos 20α>5.设函数(2),2()1()1,22x a x x f x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为( )A.(,2)-∞B.13(,]8-∞ C.(0,2) D.13[,2)86.已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d=，则下列等式一定成立的是( ) A.d ac = B.a cd = C.c ad = D.d a c =+7.函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x R ∈，'()2f x >，则()24f x x >+的解集为( )A.(1,)-+∞B.(,1)-∞-C.(2,)+∞D.(,2)-∞- 8.在函数①cos |2|y x =，②|cos |y x =，③cos(2)6y x π=+，④tan(2)4y x π=-中，最小正周期为π的所有函数为( )A.①②③B.①③④C.②④D.②③ 9.已知函数2()4f x x =-，()g x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，当0x >时，2()log g x x =，则函数()()y f x g x =⋅的大致图象为（ ）A B C D10.设函数()1()f x x Q αα=+∈的定义域为[,][,]b a a b --，其中0a b <<，且()f x 在区间[,]a b 上的最大值为6，最小值为3，则()f x 在区间[,]b a --上的最大值与最小值的和是( ) A.59或 B.93--或 C.59-或 D.95-或二.填空题 (本大题共4小题，每小题5分，满分20分．) （一）必做题（11-13题）AFED CB11.函数3y =的定义域为 .12.已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[0,3)x ∈时，21()|2|2f x x x =-+.若函数()y f x a =-在区间[3,4]-上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ．13.如图所示，函数()y f x =的图象由两条射线和三条线段组成．若x R ∀∈，()(1)f x f x >-，则正实数a（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为22cossin ρθθ=与cos 1ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 交点的直角坐标为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且2EB AE =，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的周长的周长＝ ．三.解答题（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分12分）设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<,其中0a <；命题:q 实数x 满足260x x --≤，且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.17．（本小题满分12分）已知函数()sin()3f x A x π=+，x R ∈，且5()122f π=（1）求A 的值；（2）若()()f f θθ--)2,0(πθ∈，求()6f πθ-．18.（本小题满分14分）20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中a （2）分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；（3）从成绩在[50,70)的学生中任选2人，求此2人中仅有一人成绩在[60,70)中的概率.19.（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）设1AP =，AD ，三棱锥P ABD -的体积V =，求A 到平面PBC 的距离．20．（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的公差为d ，点*(,)()n n a b n N ∈在函数()2xf x =的图象上． （1）证明：数列{}n b 为等比数列；（2）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列2*{}()n n a b n N ∈的前n 项和n S .21．（本小题满分14分）已知函数()xxf x e e -=+，其中e 是自然对数的底数．（1）证明：()f x 是R 上的偶函数． （2）若关于x 的不等式()1xmf x e m -≤+-在(0,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围．（3）已知正数a 满足：存在0[1,)x ∈+∞，使得2000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1a e -与1e a -的大小，并证明你的结论．高三期中考试数学（文）选择题答案ACDCB BAABC。

广东省广州市2015届高三毕业班综合测试数学(文)试题 Word版含答案

广东省广州市2015届高三毕业班综合测试数学(文)试题 Word版含答案

试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2015.4参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．台体的体积公式()123hV S S =+，其中1S ，2S 分别是台体的上，下底面积，h 是台体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin 240的值为A．2 B ．12 C ．12- D．2-2．已知函数()3x f x =()x ∈R 的反函数为()g x ，则12g ⎛⎫=⎪⎝⎭A ．3log 2-B ．3log 2C ．2log 3-D ．2log 33．已知双曲线C ：22214x y b-=经过点()4,3，则双曲线C 的离心率为 A ．12 BCD4．执行如图1所示的程序框图，则输出的z 的值是A ．21B ．32C ．34D ．645．已知命题p ：x ∀∈R ，20x >，命题q ：,αβ∃∈R ，使()tan tan tanαβαβ+=+，则下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝6．设集合{}22A x a x a =-<<+，{}2450B x x x =--<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为A ．[]1,3B ．()1,3C ．[]3,1--D ．()3,1--7．已知数列{}n a 满足13a =，且143n n a a +=+()*n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式为A ．2121n -+ B ．2121n -- C ．221n +D ．221n-8．已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为 A ．425B ．12C ．23D ．19．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =， 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 A BC D 10．设函数()3233f x x ax bx =++有两个极值点12x x 、，且[]11,0x ∈-，[]21,2x ∈，则点(),a b 在aOb平面上所构成区域的面积为 A ．14 B ．12 C ．34D ．1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11．已知i 为虚数单位，复数1iiz -=，则z = ． 12．已知向量(),1x =a ，()2,y =b ，若()1,1=-a +b ，则x y += ．AVCB图213．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y ()km 与刹车时的速度x ()km/h 的关系可以用2y ax =来描述，已知这种型号的汽车在速度为60km /h 时，紧急刹车后滑行的距离为14垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t=-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和24,2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有 个． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC 外接圆的半径为14，求△ABC 的面积． 17．（本小题满分12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了100份，统计结果如下面的图表所示．年龄 分组 抽取份数 答对全卷 的人数 答对全卷的人数 占本组的概率[20,30)4028 0.7 [30,40)n27 0.9[40,50)10 4b[50,60]20a0.1（1）分别求出n ，a ，b ，c 的值；（2）从年龄在[]40,60答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在[]50,60的人图3中至少有1人被授予“环保之星”的概率． 18．（本小题满分14分）如图4，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为3，M ，N 分别是 棱1AA ，AB 上的点，且1AM AN ==． （1）证明：M ，N ，C ，1D 四点共面；（2）平面1MNCD 将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比．19．（本小题满分14分）已知点(),n n n P a b ()n ∈*N 在直线l ：31y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若(),,n n a n f n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，，是否存在k ∈*N ，使()()34f k f k +=成立？若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x x ax x =++()a ∈R ．（1）若函数()f x 在1x =处的切线平行于x 轴，求实数a 的值，并求此时函数()f x 的极值；（2）求函数()f x 的单调区间．21．（本小题满分14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围．C 1 ABA 1B 1D 1C DM N图42015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．16．（本小题满分12分） 解：（1）因为::7:5:3a b c =，所以可设7a k=，5b k=，3c k =()0k >，…………………………………………………………2分由余弦定理得，222cos 2b c a A bc +-=()()()222537253k k k k k+-=⨯⨯…………………………………………………………3分12=-．………………………………………………………………………………………………4分（2）由（1）知，1cos 2A =-， 因为A是△ABC的内角，所以sin 2A ==．…………………………………………6分 由正弦定理2s i na R A=，…………………………………………………………………………………7分得2sin 2142a R A ==⨯⨯=…………………………………………………………8分由（1）设7a k =，即k =所以51b k ==，3c k ==………………………………………………………………10分所以1s i2ABC S bc A ∆=122=⨯……………………………………………11分=所以△ABC 的面积为……………………………………………………………12分17．（本小题满分12分） 解：（1）因为抽取总问卷为100份，所以()10040102030n =-++=．………………………………1分年龄在[)40,50中，抽取份数为10份，答对全卷人数为4人，所以4100.4b =÷=．……………2分年龄在[]50,60中，抽取份数为20份，答对全卷的人数占本组的概率为0.1，所以200.1a ÷=，解得2a =．………………………………………………………… 3分 根据频率直方分布图，得()0.040.030.01101c +++⨯=，解得0.02c =．………………………………………………………………………………4分 （2）因为年龄在[)40,50与[]50,60中答对全卷的人数分别为4人与2人．年龄在[)40,50中答对全卷的4人记为1a ，2a ，3a ，4a ，年龄在[]50,60中答对全卷的2人记为1b ，2b ，则从这6人中随机抽取2人授予“环保之星”奖的所有可能的情况是：()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()23,a a ，()24,a a ， ()21,a b ，()22,a b ，()34,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ， ()12,b b 共15种．………………………………8分其中所抽取年龄在[]50,60的人中至少有1人被授予“环保之星”的情况是：()11,a b ，()12,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()12,b b 共9种.……………………11分故所求的概率为53159=. ………………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分） （1）证明：连接1A B ，在四边形11A BCD 中，11A D BC 且11A D BC =，所以四边形11A BCD 是平行四边形． 所以11A BD C ．…………………………………………2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AA AB ==，所以1AM ANAA AB=， 所以1MN A B ．…………………………………………………………………4分 所以1MNDC ．所以M ，N ，C ，1D 四点共面．……………………………………………………6分 （2）解法一：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ，C 1ABA 1B 1D 1C DMN11111111333A M N A D N C D N S D A S D D S D D ∆∆∆=++………9分 111319333323232=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯132=．……………………………………………………………………………11分从而11111213412722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，………………………………13分 所以121341V V =． 所以平面1MNCD 分此正方体的两部分体积的比为1341．…………………………14分 解法二：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ， 因为平面11ABB A 平面11DCC D ，所以平面AMN平面1DDC ．延长CN 与DA 相交于点P ， 因为AN DC ，所以AN PA DC PD =，即133PA PA =+，解得32PA =． 延长1D M 与DA 相交于点Q ，同理可得32QA =．所以点P 与点Q 重合．所以1D M ，DA ，CN 三线相交于一点．所以几何体1AMN DD C -是一个三棱台．………………………………………………9分 所以111191333222AMN DD CV V -⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，………………………………11分 从而11111213412722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………13分 所以121341V V =． 所以平面1MNCD 分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………14分 19．（本小题满分14分）解：（1）因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1，所以10a =，11b =．……………………………………………………………………2分 因为数列{}n a 是公差为1的等差数列，所以1n a n =-．…………………………………………………………………………4分因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上，所以31n n b a =+32n =-． 所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ．………………………6分（2）因为()1,32,n n f n n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，，假设存在k ∈*N ，使()()34f k f k +=成立．………………………………………………………7分①当k 为奇数时，3k +为偶数，则有()()33241k k +-=-，解得11k =，符合题意．………………………………………………………………………………10分②当k 为偶数时，3k +为奇数，则有()()31432k k +-=-， 解得1011k =，不合题意．………………………………………………………………………………13分综上可知，存在11k =符合条件．………………………………………………………………………14分 20．（本小题满分14分） 解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，……………………………………………………………………1分因为()2ln f x x ax x =++，所以()121f x ax x'=++， (2)分依题意有()10f '=，即12a ++=，解得1a =-．………………………………………………3分此时()()()212121x x x x f x x x--+-++'==，所以当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<， 所以函数()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，………………………………………5分所以当1x =时，函数()f x 取得极大值，极大值为0．………………………………………………6分（2）因为()121f x ax x '=++221ax x x++=，（ⅰ）当0a ≥时，………………………………………………………………………………………7分因为()0,x ∈+∞，所以()f x '2210ax x x++=>， 此时函数()f x 在()0,+∞是增函数．……………………………………………………………………9分（ⅱ）当0a <时，令()0f x '=，则2210ax x ++=．因为180a ∆=->，此时()f x '()()212221a x x x x ax x x x--++==，其中1x =，2x =因为a <，所以20x >，又因为12102x x a=<，所以10x <．……………………………………11分所以当20x x <<时，()0f x '>，当2x x >时，()0f x '<， 所以函数()f x 在()20,x 上是增函数，在()2,x +∞上是减函数．…………………………………13分综上可知，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间是80,⎛ ⎝⎭，单调递减区间是⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．……………………………………14分21．（本小题满分14分） 解：（1）方法一：设圆C的方程为：()222x a y r -+=()0r >，………………………………………1分因为圆C 过点()0,0和()1,1-，所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩……………………………………………………………3分 解得1a =-，1r =．所以圆C 的方程为()2211x y ++=．………………………………………………4分方法二：设()0,0O ，()1,1A -，依题意得，圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ．………………………………1分因为直线l 的方程为1122y x -=+，即1y x =+，………………………………………2分 所以圆心C 的坐标为()1,0-．……………………………………………………………3分所以圆C 的方程为()2211x y ++=．……………………………………………………4分（2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………5分 由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在， 设PA 的方程为：()010y y k x x -=-，PB 的方程为：()020y y k x x -=-，则点A 的坐标为()0100,y k x -，点B 的坐标为()0200,y k x -， 所以120AB k k x =-，因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1k ，2k1=，即1k ，2k 是方程()()2220000022110xx k y x k y +-++-=的两根，………………………………7分即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以12A B =-x =分 因为()220044y x =--，所以AB =……………………………………………………………10分设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．………………………………………………………………………11分由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，……………………12分所以()0max 2225564fx f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()()(){}min0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭， 所以AB的取值范围为⎦．…………………………………………………………14分方法二：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．………………………………………………………………………5分 设点()0,A a ，()0,B b ， 则直线PA ：00y ay a x x --=，即()0000y a x x y ax --+=， 因为直线PA 与圆C1=，化简得()2000220x a y a x +--=． ①同理得()2000220x b y b x +--=， ②由①②知a ，b 为方程()2000220x x y x x +--=的两根，……………………………7分即00002,2.2y a b x x ab x ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以AB a b =-===……………………………………………………………………9分因为()220044y x =--，所以AB =分=………………………………………………11分 令012t x =+，因为026x ≤≤，所以1184t ≤≤．所以2A B =-=………………………………12分 当532t =时，max 4AB =， 当14t=时，min AB = 所以AB的取值范围为⎦．…………………………………………………………………14分。

广东省广州市执信中学高三数学上学期期中试卷文(含解析)

广东省广州市执信中学高三数学上学期期中试卷文(含解析)

广东省广州市执信中学2015届高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）2．（5分）=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i3．（5分）若a∈R，则a=0是a（a﹣1）=0的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．（5分）等比数列{a n}中，a4=4，则a2•a6等于（）A．4 B．8 C．16 D．325．（5分）在△ABC中，a2=b2+c2﹣bc，则A的值为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°6．（5分）若向量=（1，2），=（4，5），则=（）A．（5，7）B．（﹣3，﹣3）C．（3，3）D．（﹣5，﹣7）7．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3 B．C．1 D．8．（5分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若S4=20，S6﹣S2=36，则该等差数列的公差d=（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．49．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=110．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f （9）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1二．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共20分.把答案填在答卷的相应位置．11．（5分）双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点为（1.0），则C的方程为．12．（5分）曲线y=5e x﹣3在点（0，2）处的切线方程为．13．（5分）若实数x，y满足，则x+y的最大值为．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（3分）在极坐标系中，已知两点A（5，）、B（8，），则|AB|=．15．（3分）（几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，BC是圆O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，若OB=3，OC=5，则CD=．三、解答题（共6小题，满分79分）16．（12分）设平面向量=（cosx，sinx），=（，），函数f（x）=+1．（Ⅰ）求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间；（Ⅱ）当f（a）=，且时，求sin（2a）的值．17．（12分）在某次体检中，有6位同学的平均体重为65公斤．用x n表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学的体重，且前5位同学的体重如下：编号n 1 2 3 4 5体重x n60 66 62 60 62（Ⅰ）求第6位同学的体重x6及这6位同学体重的标准差s；（Ⅱ）从前5位同学中随机地选2位同学，求恰有1位同学的体重在区间（58，65）中的概率．18．（14分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F 分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）求证：CF⊥B1E；（3）求三棱锥V C﹣B1FE的体积．19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，，n∈N*．（1）求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．20．（14分）设抛物线C的方程为x2=4y，M（x0，y0）为直线l：y=﹣m（m＞0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．（1）当M的坐标为（0，﹣1）时，求过M，A，B三点的圆的方程，并判断直线l与此圆的位置关系；（2）求证：直线AB恒过定点（0，m）．21．（13分）已知f（x）=+lnx（a为正实数）．（1）若函数f（x）在[1，x）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1时，求函数f（x）在[，e]上的最大值与最小值；（3）当a=1时，求证：对于大于1的任意正整数n，都有lnn＞++…+．广东省广州市执信中学2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N={x|﹣1＜x＜1}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可．解答：解：化简可得====﹣1+2i故选：B点评：本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题．3．（5分）若a∈R，则a=0是a（a﹣1）=0的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：由a（a﹣1）=0解得a=0或1．即可判断出．解答：解：由a（a﹣1）=0解得a=0或1．∴a=0是a（a﹣1）=0的充分而不必要条件．故选：A．点评：本题考查了充要条件的判定方法，属于基础题．4．（5分）等比数列{a n}中，a4=4，则a2•a6等于（）A．4 B．8 C．16 D．32考点：等比数列．分析：由a4=4是a2、a6的等比中项，求得a2•a6解答：解：a2•a6=a42=16故选C．点评：本题主要考查等比中项．5．（5分）在△ABC中，a2=b2+c2﹣bc，则A的值为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理表示出cosA，把已知等式变形后代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．解答：解：∵在△ABC中，a2=b2+c2﹣bc，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA===，则A=60°．故选：B．点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6．（5分）若向量=（1，2），=（4，5），则=（）A．（5，7）B．（﹣3，﹣3）C．（3，3）D．（﹣5，﹣7）考点：向量的减法及其几何意义；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的减法运算法则求解即可．解答：解：∵向量=（1，2），=（4，5），∴==（1，2）﹣（4，5）=（﹣3，﹣3）；故选：B．点评：本题考查向量的减法运算以及减法的几何意义，基本知识的考查．7．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3 B．C．1 D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．解答：解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，∴底面B1DC1的面积：=，A到底面的距离就是底面正三角形的高：．三棱锥A﹣B1DC1的体积为：=1．故选：C．点评：本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．8．（5分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若S4=20，S6﹣S2=36，则该等差数列的公差d=（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意，a1+a2+a3+a4=20，a3+a4+a5+a6=36，作差可得结论．解答：解：由题意，a1+a2+a3+a4=20，a3+a4+a5+a6=36，作差可得8d=16，即d=2．故选：B．点评：本题考查数列基本量的求法．9．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．解答：解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．点评：本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f （9）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1考点：函数的值；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．解答：解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，∴设g（x）=f（x+2），则g（﹣x）=g（x），即f（﹣x+2）=f（x+2），∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2）=﹣f（x﹣2），即f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=﹣f（x+4）=f（x），则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，∴f（8）+f（9）=0+1=1，故选：D．点评：本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．二．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共20分.把答案填在答卷的相应位置．11．（5分）双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点为（1.0），则C的方程为x2﹣y2=1．考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设双曲线方程为，（a＞0，b＞0），由已知得，由此能求出C的方程．解答：解：∵双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点为（1.0），∴设双曲线方程为，（a＞0，b＞0），且，∴b2=2﹣1=1，∴C的方程为x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．点评：本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．12．（5分）曲线y=5e x﹣3在点（0，2）处的切线方程为5x﹣y+2=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出函数导数，利用导数的几何意义即可求得切线方程．解答：解：∵y=f（x）=5e x﹣3，∴∴f′（x）=5e x，则f′（0）=5e0=5，即f（x）在点（0，2）处的切线斜率k=5，则对应的切线方程为y﹣2=5（x﹣0），即5x﹣y+2=0，故答案为：5x﹣y+2=0．点评：本题主要考查函数切线的求解，利用导数的几何意义是解决本题的关键．13．（5分）若实数x，y满足，则x+y的最大值为2.5．考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，令z=x+y，可化为y=﹣x+z，z相当于直线y=﹣x+z的纵截距，由几何意义可得．解答：解：由题意作出其平面区域，令z=x+y，可化为y=﹣x+z，z相当于直线y=﹣x+z的纵截距，故过点A（1，1.5）时有最大值，最大值为1+1.5=2.5，故答案为：2.5．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（3分）在极坐标系中，已知两点A（5，）、B（8，），则|AB|=7．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：利用余弦定理即可得出．解答：解：∵∠AOB=，∴AB2==49，∴AB=7．故答案为：7．点评：本题考查了极坐标的意义、余弦定理的应用，属于基础题．15．（3分）（几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，BC是圆O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，若OB=3，OC=5，则CD=4．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：利用圆的切线的性质和勾股定理可得BC，再利用平行线的性质和全等三角形的性质可得CD=CB．即可得出．解答：解：∵AB是圆O的直径，BC是圆O的切线，∴OB⊥BC．在Rt△OBC中，=4．∵AD∥OC，∴∠A=∠BOC，∠ADO=∠COD．∵∠A=∠ADO，∴∠BOC=∠DOC．又∵OB=OD，OC为公共边．∴△BOC≌△DOC．∴CD=CB=4．点评：本题考查了圆的切线的性质和勾股定理、平行线的性质和全等三角形的性质，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分79分）16．（12分）设平面向量=（cosx，sinx），=（，），函数f（x）=+1．（Ⅰ）求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间；（Ⅱ）当f（a）=，且时，求sin（2a）的值．考点：平面向量数量积的运算；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）根据数量积的坐标运算，求出函数f（x）的表达式，然后利用三角函数的图象和性质求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间；（Ⅱ）根据正弦函数的二倍角公式进行计算即可．解答：解：依题意f（x）=+1=（cosx，sinx）•（，）=cosx+sinx+1=sin（x+）+1，（Ⅰ）∵sin（x+）∈[﹣1，1]，∴sin（x+）+1∈[0，2]，即函数f（x）的值域是[0，2]．令，解得，∴函数f（x）的单调增区间为（k∈Z）．（Ⅱ）由f（a）=得sin（a+）+1=，得sin（a+）=，∵，∴，得cos（a+）=﹣，∴sin（2a）=sin2（a+）=2sin（a+）cos（a+）=．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用数量积的坐标公式求出函数f（x）的表达式是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的公式．17．（12分）在某次体检中，有6位同学的平均体重为65公斤．用x n表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学的体重，且前5位同学的体重如下：编号n 1 2 3 4 5体重x n60 66 62 60 62（Ⅰ）求第6位同学的体重x6及这6位同学体重的标准差s；（Ⅱ）从前5位同学中随机地选2位同学，求恰有1位同学的体重在区间（58，65）中的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：由平均数和标准差的计算公式可得出x6和s，然后由古典概型计算公式可算出所求概率．解答：解：（Ⅰ）由题意得=65 解得x6=80 …（2分）则6位同学体重的标准差s==7 …（4分）所以第6位同学的体重x6=80，这6位同学体重的标准差为s=7 …（5分）（Ⅱ）从前5位同学中任意选出2位同学的基本事件个数有10个，它们是（601，66），（601，623），（601，604），（601，625），（66，623），（66，604），（66，625），（623，604），（623，625），（604，625）…（8分）其中恰有1位同学的体重在（58，65）之间的基本事件有4个，它们是（601，66），（66，623），（66，604），（66，625）…（10分）所以恰有1位同学的体重在（58，65）之间的概率P==…（12分）点评：本题考查统计中的一些数字特征，如平均数和方差，以及古典概型，要对概念有足够的重视．18．（14分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F 分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）求证：CF⊥B1E；（3）求三棱锥V C﹣B1FE的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）欲证EF∥平面ABC1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面ABC1D1内一直线平行即可，连接BD1，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则EF∥D1B，而D1B⊂平面ABC1D1，EF⊄平面ABC1D1，满足定理所需条件；（2）由题意，欲证线线垂直，可先证出CF⊥平面BB1D1D，再由线面垂直的性质证明CF⊥B1E 即可；（3）由题意，可先证明出CF⊥平面BDD1B1，由此得出三棱锥的高，再求出底面△B1EF的面积，然后再由棱锥的体积公式即可求得体积．解答：（1）证明：连接BD1，∵E、F分别为DD1、DB的中点，∴EF是三角形BD1D的中位线，即EF∥BD1；…（3分）又EF⊄平面ABC1D1，BD1⊂平面ABC1D1，∴EF∥平面ABC1D1…（4分）（2）证明：E、F分别为D1D，DB的中点，则CF⊥BD，又CF⊥D1D∴CF⊥平面BB1D1D，∴CF⊥B1E…（8分）（3）解：由（2）可知CF⊥平面BB1D1D，∴CF为高，CF=BF=∵EF=BD1=，B1F=，B1E=3∴即∠EFB1=90°∴=∴===1…（12分）点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理及锥体的体积的求法，考查了空间感知能力及判断推理的能力，解题的关键是熟练掌握相关的定理及公式．19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，，n∈N*．（1）求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．考点：数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用已知a1=1，，n∈N*．令n=1即可求出；（2）利用a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）即可得到na n+1=（n+1）a n+n（n+1），可化为，．再利用等差数列的通项公式即可得出；（3）利用（2），通过放缩法（n≥2）即可证明．解答：解：（1）当n=1时，，解得a2=4（2）①当n≥2时，②①﹣②得整理得na n+1=（n+1）a n+n（n+1），即，当n=1时，所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列所以，即所以数列{a n}的通项公式为，n∈N*（3）因为（n≥2）所以=．当n=1，2时，也成立．点评：熟练掌握等差数列的定义及通项公式、通项与前n项和的关系a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）、裂项求和及其放缩法等是解题的关键．20．（14分）设抛物线C的方程为x2=4y，M（x0，y0）为直线l：y=﹣m（m＞0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．（1）当M的坐标为（0，﹣1）时，求过M，A，B三点的圆的方程，并判断直线l与此圆的位置关系；（2）求证：直线AB恒过定点（0，m）．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系．分析：（1）设过M点的切线方程，代入x2=4y，整理得x2﹣4kx+4=0，令△=0，可得A，B的坐标，利用M到AB的中点（0，1）的距离为2，可得过M，A，B三点的圆的方程，从而可判断圆与直线l：y=﹣1相切；（2）证法一：设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），过抛物线上点A（x1，y1）的切线方程为，代入x2=4y，消元，利用△=0，即可确定，利用切线过点M（x0，y0），所以可得，同理可得，由此可得直线AB的方程，从而可得结论；证法二：设过M（x0，y0）的抛物线的切线方程为（k≠0），代入x2=4y，消去y，利用韦达定理，确定直线AB的方程，从而可得结论；证法三：利用导数法，确定切线的斜率，得切线方程，由此可得直线AB的方程，从而可得结论．解答：（1）解：当M的坐标为（0，﹣1）时，设过M点的切线方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，整理得x2﹣4kx+4=0，令△=（4k）2﹣4×4=0，解得k=±1，代入方程得x=±2，故得A（2，1），B（﹣2，1），…（2分）因为M到AB的中点（0，1）的距离为2，从而过M，A，B三点的圆的方程为x2+（y﹣1）2=4．∵圆心坐标为（0，1），半径为2，∴圆与直线l：y=﹣1相切…（4分）（2）证法一：设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），过抛物线上点A（x1， y1）的切线方程为，代入x2=4y，整理得x2﹣4kx+4（kx1﹣y1）=0△=（4k）2﹣4×4（kx1﹣y1）=0，又因为，所以…（6分）从而过抛物线上点A（x1，y1）的切线方程为即又切线过点M（x0，y0），所以得①即…（8分）同理可得过点B（x2，y2）的切线为，又切线过点M（x0，y0），所以得②…（10分）即…（6分）即点A（x1，y1），B（x2，y2）均满足即x0x=2（y0+y），故直线AB的方程为x0x=2（y0+y）…（12分）又M（x0，y0）为直线l：y=﹣m（m＞0）上任意一点，故x0x=2（y﹣m）对任意x0成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）证法二：设过M（x0，y0）的抛物线的切线方程为（k≠0），代入x2=4y，消去y，得x2﹣4kx﹣4（y0﹣kx0）=0△=（4k）2+4×4（y0﹣kx0）=0即：k2+x0k+y0=0…（6分）从而，此时，所以切点A，B的坐标分别为，…（8分）因为，，，所以AB的中点坐标为…（11分）故直线AB的方程为，即x0x=2（y0+y）…（12分）又M（x0，y0）为直线l：y=﹣m（m＞0）上任意一点，故x0x=2（y﹣m）对任意x0成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）证法三：由已知得，求导得，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），故过点A（x1，y1）的切线斜率为，从而切线方程为即…（7分）又切线过点M（x0，y0），所以得①即…（8分）同理可得过点B（x2，y2）的切线为，又切线过点M（x0，y0），所以得②即…（10分）即点A（x1，y1），B（x2，y2）均满足即x0x=2（y0+y），故直线AB的方程为x0x=2（y0+y）…（12分）又M（x0，y0）为直线l：y=﹣m（m＞0）上任意一点，故x0x=2（y﹣m）对任意x0成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）点评：本题考查圆的方程，考查抛物线的切线，考查直线恒过定点，确定切线方程，及直线AB的方程是关键．21．（13分）已知f（x）=+lnx（a为正实数）．（1）若函数f（x）在[1，x）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1时，求函数f（x）在[，e]上的最大值与最小值；（3）当a=1时，求证：对于大于1的任意正整数n，都有lnn＞++…+．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）由题意可得f′（x）≥0对x∈[1，+∞）恒成立，解得即可；（2）利用导数判断函数的单调性，进而求得最值；（3）由（1）知：f（x）+lnx在[1，+∞）上为增函数，可得lnx≥，n≥2时，令x=，即ln＞，即可得证．解答：解：（1）由已知：f′（x）=（a＞0），依题意得：≥0对x∈[1，+∞）恒成立．∴ax﹣1≥0，x∈[1，+∞）恒成立又a为正实数∴a﹣1≥0，即：a≥1（2）∵a=1∴f（x）=+lnx，f′（x），x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（，1）上单调减，x∈（1，e）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，e）上单调增，f（）=e﹣2，f（1）=0，f（e）=，又f（）＞f（e）所以f（x）在[，e]上的最大值为f（）=e﹣2与最小值为f（1）=0（3）∵a=1∴由（1）知：f（x）+lnx在[1，+∞）上为增函数，∴对任意x≥1时，f（x）≥f（1）=0，∴lnx≥∴n≥2时，令x=，即ln＞lnn=ln+ln+…+ln+ln＞++…++即n≥2时，lnn＞++…+点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值等知识，考查不等式的证明的转化思想的运用能力及运算求解能力，属于难题．。

广东省广州市执信中学2015届高三上学期期中考试数学文试题含解析

广东省广州市执信中学2015届高三上学期期中考试数学文试题含解析

执信中学2014-2015学年度第一学期高三级文科数学期中考试试卷【试卷综述】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。

【题文】第一部分选择题(共 50 分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1.已知集合{|13}M x x =-<<，{}|21N x x =-<<，则M N ⋂=（ ） A.(2,1)- B. (1,1)- C.(1,3) D.(2,3)- 【知识点】交集及其运算.A1【答案】【解析】B 解析：因为集合{|13}M x x =-<<，{}|21N x x =-<<，所以M N ⋂=(1,1)-，故选B.【思路点拨】利用交集的运算直接计算即可。

【题文】2.131ii+=-（ ） A.12i + B.12i -+ C.12i -D. 12i --【知识点】复数代数形式的乘除运算.L4【答案】【解析】B 解析：因为131i i +=-()()()()1312412112i i ii i i ++-+==-+-+，故选B 。

【思路点拨】在原式的分子分母同时乘以分母的共轭复数再计算即可。

【题文】3．若a R ∈，则0a =是()10a a -=的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【知识点】充分、必要、充要条件的判断.A2【答案】【解析】A 解析：由0a =可推出()10a a -=，当()10a a -=时，可得0a =或1a =，所以0a =是()10a a -=的充分不必要条件，故选A 。

广东省高中名校2015届高三上学期期中考试文科数学试题汇总(一)8份

广东省高中名校2015届高三上学期期中考试文科数学试题汇总(一)8份

目录：广东省实验中学2015届高三第一次阶段考试数学（文）试题 Word 版含解析.doc 广东省海珠区等四区2015届高三联考数学（文） Word 版含答案.doc广东省深圳市2015届高三上学期第一次五校联考数学文试题 Word 版含解析.doc 广东省湛江市2015届高三上学期毕业班调研测试数学文试题 Word 版含解析.doc 广东省珠海一中等六校2015届高三11月第二次联考数学文试题 Word 版含答案.doc 广东省肇庆市2015届高中毕业班10月第一次统一检测试题 数学文 Word 版含答案.doc 广东省阳东一中、广雅中学2015届高三第一次联考数学（文）试题 Word 版含解析.doc 广东省韶关市2015届高三十校10月联考数学文试题 Word 版含答案.doc韶关市2015届高三级十校联考试题（文科数学）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

【注意事项】1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号、试室号、座位号填写在答题卷相应位置上。

2．必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；不按以上要求作答的答案无效。

3．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合{|1}A x x =>，2{|4}B x x =<，那么AB =（ ）A.(2,2)-B.(1,2)-C.(1,2)D.(1,4) 2.设i 为虚数单位，则51ii-+等于（ ） A.i 32-- B.i 32+- C.i 32- D.i 32+ 3.命题“01,≥+-∈∀x e R x x”的否定是( )A ．01,<+-∈∀x e R x xB ．01,≥+-∈∃x e R x xC ．01,>+-∈∀x e R x xD ．01,<+-∈∃x e R x x4．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )A. 3y x =B. ln()y x =-C. xy xe -= D.2y x x=+5．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+3311y x y x y x ，则目标函数y x z +=4的最小值为（ ）A. -1B. 0C. 1D.26.设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率e =（ ）A.5B. 5C.52 D. 547.阅读右图所示程序框图，运行相应的程序，输出S 的值等于（ ） A. -3 B. -10 C. 0 D. -2 8. 已知n m ,为异面直线，⊂m 平面α，⊂n 平面β，l =⋂βα，则直线l （ ）A. 与n m ,都相交B. 与n m ,都不相交C. 与n m ,中至少一条相交D. 至多与n m ,中的一条相交9．设a R ∈，若函数xy e ax =+，x R ∈，有大于1-的极值点，则（ ） A 、1a <- B 、1a >- C 、1a e <- D 、1a e>-10．设M 是ABC ∆内一点，且32=⋅AC AB ，︒=∠30BAC .定义),,()(p n m M f =，其中p n m ,,分别是MAB MCA MBC ∆∆∆,,的面积. 若),,21()(y x P f =，则22l g l g o x o y +的最大值是（ ）A ．5-B ．4-C ．3-D ．2-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分。

广东省广州市增城市2015届高三数学上学期期中试卷文(含解析)

广东省广州市增城市2015届高三数学上学期期中试卷文(含解析)

广东省广州市增城市2015届高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）=（i是虚数单位）（）A．i B．﹣i C．2i D．﹣2i2．（5分）已知集合A={x|2≤x＜4}，B={x|3x﹣7≥8﹣2x}，则A∩B=（）A．[3，4）B．（3，4）C．[2，3] D．[2，4）3．（5分）下列等式中错误的是（）A．sin（π+α）=﹣sinαB．cos（π﹣α）=cosα C．cos（2π﹣α）=cosαD．sin（2π+α）=sinα4．（5分）函数f（x）=的定义域是（）A．B．C．D．5．（5分）化简=（）A．B．﹣C．2y D．﹣2y﹣16．（5分）如果函数f（x）=+a是奇函数，则a的值是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣27．（5分）若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）A．平面α内所有的直线都与a异面B．平面α内不存在与a平行的直线C．平面a内所有的直线都与α相交D．直线α与平面α有公共点8．（5分）如图是一个圆锥的三视图，则其侧面积是（）A．πB．2πC．3πD．4π9．（5分）若log a＜1（a＞0，a≠1），则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．C．D．10．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R，当直线l被圆C截得的弦长最短时的m的值是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共30分.（一）必做题（9～13题）11．（5分）向量=（n，1）与=（4，n）共线且方向相同，则n=．12．（5分）如图，是一问题的程序框图，则输出的结果是．13．（5分）已知实数x，y满足，则4x+2y的取值范围是．（二）选做题（14、15题）【几何证明选讲】14．（5分）（选做题）圆内非直径的两条弦AB、CD相交于圆内一点P，已知PA=PB=4，PC=PD，则CD=．【坐标系与参数方程】15．曲线ρ=2cosθ﹣2sinθ（0≤θ＜2π）与极轴交点的极坐标是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）将一枚质地均匀的硬币连续抛3次．（1）求三次都出现正面的概率；（2）求三次中出现一次正面的概率．17．（12分）已知函数f（x）=2sinx（cosx+sinx）﹣1．（1）求f（x）的最小正周期和最大值；（2）若α为三角形的内角且f（）=，求f（α）的值．18．（14分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA=VB=，AD=BD=3，BC=5．（1）求证：VC⊥AB；（2）当二面角∠VDC=60°时，求三棱锥V﹣ABC的体积．19．（14分）设f（x）=﹣bx，b∈R（1）当b=1时，求f（x）的单调区间；（2）当f（x）在R上有且仅有一个零点时，求b的取值范围．20．（14分）已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点坐标是F1（0，﹣1），离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F 1作直线交椭圆于A，B两点，F2是椭圆的另一个焦点，若=时，求直线AB的方程．21．（14分）在数列{a n}中，已知a1=2，对任意正整数n都有na n+1=2（n+1）a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项的和S n；（3）如果对于一切非零自然数n都有na n≥λ（S n﹣2）恒成立，求实数λ的最大值．广东省广州市增城市2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）=（i是虚数单位）（）A．i B．﹣i C．2i D．﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的除法运算化简求值．解答：解：===i．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础的计算题．2．（5分）已知集合A={x|2≤x＜4}，B={x|3x﹣7≥8﹣2x}，则A∩B=（）A．[3，4）B．（3，4）C．[2，3] D．[2，4）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：先求解集合B，再按照交集的定义求解计算．解答：解：A={x|2≤x＜4}，B={x|3x﹣7≥8﹣2x}={x|x≥3}，∴A∩B=[3，4）．故选A．点评：本题考查集合的基本运算，属于基础题．3．（5分）下列等式中错误的是（）A．sin（π+α）=﹣sinαB．cos（π﹣α）=cosα C．cos（2π﹣α）=cosαD．sin（2π+α）=sinα考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接利用诱导公式判断选项即可．解答：解：sin（π+α）=﹣sinα正确；cos（π﹣α）=﹣cosα，所以B不正确；cos（2π﹣α）=cosα正确；sin（2π+α）=sinα正确；故选：B．点评：本题考查诱导公式的应用，基本知识的考查．4．（5分）函数f（x）=的定义域是（）A．B．C．D．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：首先分母不为0，根据根号有意义的条件进行求解；解答：解：函数f（x）=，∴，∴x＞，即x∈故选：A．点评：此题主要考查函数的定义域及其求法，此题是一道基础题；5．（5分）化简=（）A．B．﹣C．2y D．﹣2y﹣1考点：有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数幂的运算法则即可得出．解答：解：原式==2x．故选：A．点评：本题考查了指数幂的运算法则，属于基础题．6．（5分）如果函数f（x）=+a是奇函数，则a的值是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2考点：函数奇偶性的判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由奇函数的性质得，f（0）=0，即可得到a的值，再检验即可．解答：解：函数f（x）=+a是奇函数，定义域为R，且有f（0）=0，即有1+a=0，解得a=﹣1，检验：f（x）=﹣1=，f（﹣x）+f（x）==0，则f（x）为奇函数．故选C．点评：本题考查函数的奇偶性的判断，考查已知奇偶性，求参数，注意运用性质，考查运算能力，属于中档题．7．（5分）若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）A．平面α内所有的直线都与a异面B．平面α内不存在与a平行的直线C．平面a内所有的直线都与α相交D．直线α与平面α有公共点考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：直线a不平行于平面α，直线a与平面α相交，或直线a⊂平面α，由此能求出结果．解答：解：∵直线a不平行于平面α，∴直线a与平面α相交，或直线a⊂平面α．∴直线α与平面α有公共点．故选D．点评：本题考查直线与平面的位置关系的判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8．（5分）如图是一个圆锥的三视图，则其侧面积是（）A．πB．2πC．3πD．4π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式即可．解答：解：由题意，圆锥的母线长为=2，∴侧面积是=2π，故选：B．点评：本题考查由三视图求面积、体积，考查学生的计算能力，比较基础．9．（5分）若log a＜1（a＞0，a≠1），则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．C．D．考点：指、对数不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：把1变成底数的对数，讨论底数与1的关系，确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于a的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果．解答：解：∵log a＜1=log a a，当a＞1时，函数是一个增函数，不等式成立，当0＜a＜1时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有a，综上可知a的取值是（0，）∪（1，+∞），故选：D．点评：本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，本题解题的关键是对于底数与1的关系，这里应用分类讨论思想来解题．10．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R，当直线l被圆C截得的弦长最短时的m的值是（）A．B．C．D．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由题意可得直线l经过定点A（3，1）．要使直线l被圆C截得的弦长最短，需CA和直线l垂直，故有K CA•K l=﹣1，再利用斜率公式求得m的值．解答：解：圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的圆心C（1，2）、半径为5，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，即 m（2x+y﹣7）+（x+y﹣4）=0，由，求得，故直线l经过定点A（3，1）．要使直线l被圆C截得的弦长最短，需CA和直线l垂直，故有K CA•K l=﹣1，即•（﹣）=﹣1，求得m=﹣，故选：A．点评：本题主要考查直线过定点问题，直线和圆的位置关系，直线的斜率公式，属于基础题．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共30分.（一）必做题（9～13题）11．（5分）向量=（n，1）与=（4，n）共线且方向相同，则n=2．考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理即可得出．解答：解：∵向量=（n，1）与=（4，n）共线，∴n2﹣4=0，解得n=±2．当n=2时，，=，∴与共线且方向相同．当n=﹣2时，，，∴与共线且方向相反，舍去．故答案为2．点评：熟练掌握向量共线定理是解题的关键．12．（5分）如图，是一问题的程序框图，则输出的结果是1717．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：该程序的作用是利用循环计算S值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S=1+4+7+…+100值并输出，由等差数列的求和公式可知：1+4+7+…+100==1717故答案为：1717．点评：本题考查的知识点是程序框图和算法，考察了等差数列的求和，属于基础题．13．（5分）已知实数x，y满足，则4x+2y的取值范围是[2，10]．考点：不等关系与不等式；简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：方法一：根据实数x，y满足，可得0≤2x≤4，即0≤4x≤8，即2≤2y≤2，进而得到2≤4x+2y≤10；方法二：令4x+2y=m（x+y）+n（x﹣y），构造方程组可求出m，n值，进而根据不等式的基本性质可得2≤3（x+y）+（x﹣y）≤10．解答：解：方法一：∵1≤x+y≤3…①﹣1≤x﹣y≤1，…②由①+②，得到0≤2x≤4 ④④×2 得到0≤4x≤8 ⑤由①﹣②，得到2≤2y≤2⑥最后⑤+⑥得到2≤4x+2y≤10故答案为：[2，10]方法二：令4x+2y=m（x+y）+n（x﹣y）则解得即4x+2y=3（x+y）+（x﹣y）∵1≤x+y≤3∴3≤3（x+y）≤9…①又∵﹣1≤x﹣y≤1，…②∴2≤3（x+y）+（x﹣y）≤10故答案为：[2，10]点评：本题考查的知识点是不等式的性质，其中方法二中，使用待定系数法，结合不等式的基本性质求解要求熟练掌握．（二）选做题（14、15题）【几何证明选讲】14．（5分）（选做题）圆内非直径的两条弦AB、CD相交于圆内一点P，已知PA=PB=4，PC=PD，则CD=10．考点：与圆有关的比例线段．专题：压轴题；选作题．分析：先做出辅助线，连接AC、DB，根据同弧所对的圆周角相等，证出△ACP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质得出对应边成比例，代入数据，做出结果．解答：解：连接AC、BD．∵∠A=∠D，∠C=∠B，∴△ACP∽△DBP，∴=，∴，∴PD2=64∴PD=8∴CD=PD+PC=8+2=10，故答案为：10点评：本题考查相似三角形的性质及相交弦定理，本题解题的关键是根据圆周角定理求出相等的角，得到三角形相似，本题是一个基础题．【坐标系与参数方程】15．曲线ρ=2cosθ﹣2sinθ（0≤θ＜2π）与极轴交点的极坐标是（0，0）和（2，0）．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把曲线ρ=2cosθ﹣2sinθ（0≤θ＜2π）转化为：，进一步利用y=0，求出x，最后把交点的直角坐标转化为极坐标．解答：解：曲线ρ=2cosθ﹣2sinθ（0≤θ＜2π）转化为：方程与x轴的交点令y=0解得x=0或2则极坐标为：（0，0）和（2，0）点评：本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程的互化，及直角坐标和极坐标的互化．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）将一枚质地均匀的硬币连续抛3次．（1）求三次都出现正面的概率；（2）求三次中出现一次正面的概率．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）利用列举出，列举出将一枚硬币连续抛三次，所有的基本事件个数，及三次都出现正面的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得三次都出现正面的概率；（2）结合（1）中将一枚硬币连续抛三次，所有的基本事件个数，求出三次中出现一次正面的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得三次中出现一次正面的概率．解答：解：将一枚硬币连续抛三次，所有的基本事件共有：{正正正}、{正正反}、{正反正}、{正反反}、{反正正}、{反正反}、{反反正}、{反反反}，共8种，（1）记事件“三次都出现正面”为事件A，则事件A共包括{正正正}，1种基本事件，故恰好出现一次正面的概率P（A）=，（2）记事件“三次中出现一次正面”为事件B，则事件B共包括{正反反}、{反正反}、{反反正}三种基本事件，故三次中出现一次正面的概率P（B）=．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．17．（12分）已知函数f（x）=2sinx（cosx+sinx）﹣1．（1）求f（x）的最小正周期和最大值；（2）若α为三角形的内角且f（）=，求f（α）的值．考点：三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）利用三角恒等变换把函数f（x）化为一个角的三角函数，求出最小正周期与最大值；（2）由f（﹣）=，且α为三角形的内角，求出α的值，计算f（α）即可．解答：解：（1）∵函数f（x）=2sinx（cosx+sinx）﹣1=2sinxcosx+2sin2x﹣1=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），∴f（x）的最小正周期是π，最大值是；（2）∵f（﹣）=，∴sin[2（﹣）﹣]=sin[α﹣]=（﹣cosα）=﹣cosα=，∴cosα=﹣；又∵α为三角形的内角，∴α=；∴f（α）=f（）=sin（2×）﹣cos（2×）=sin﹣cos=﹣﹣（﹣）=．点评：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，考查了三角函数的求值问题，是综合题目．18．（14分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA=VB=，AD=BD=3，BC=5．（1）求证：VC⊥AB；（2）当二面角∠VDC=60°时，求三棱锥V﹣ABC的体积．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）结合线面垂直的判定定理，从而证明线线垂直；（2）只需求出VO，CD的长，从而求出四面体的体积．解答：（1）证明：连接VD，∵AD=BD=3，∴D是AB中点，∵VA=VB=，∴VD⊥AB，∵VO⊥平面ABC，∴AB⊥VO，又VD∩VO=V，∴VC⊥AB；（2）在RT△VAD中，VA=3，AD=3，∴VD=3，在RT△VDO中，∠VDC=60°，VD=3，∴VO=，在RT△BCD中，BD=3，BC=5，∴CD=4，∴V V﹣ABC=××6×4×=6．点评：本题考查了线面垂直的判定定理，考查了椎体的体积，是一道基础题．19．（14分）设f（x）=﹣bx，b∈R（1）当b=1时，求f（x）的单调区间；（2）当f（x）在R上有且仅有一个零点时，求b的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）首先求出函数的导数，然后分别令f′（x）＜0，f′（x）＞0，求出函数的单调区间；（2）求出导数，对b讨论，由于函数f（x）在R上有且仅有一个零点，则函数的极大值小于0，或者是函数的极小值大于0，解出参数范围即可．解答：解：（1）f′（x）=x2+（b﹣1）x﹣b，由于b=1，则有f′（x）=x2﹣1，令f′（x）＞0，得x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，得﹣1＜x＜1，∴f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），单调递减区间是（﹣1，1）．（2）f′（x）=x2+（b﹣1）x﹣b=（x+b）（x﹣1），则﹣b，1为方程f′（x）=0的两根，若b=﹣1，则f′（x）≥0，f（x）递增，成立；若b＞﹣1，则f（x）在（﹣∞，﹣b），（1，+∞）递增，在（﹣b，1）递减，则f（1）为函数f （x）极小值，且为，f（﹣b）为极大值，且为．由于函数f （x）在R上有且仅有一个零点，则＞0或＜0，解得，﹣1＜b＜﹣；若b＜﹣1时，则f（x）在（﹣∞，﹣b），（1，+∞）递减，在（﹣b，1）递增．则f（1）为函数f （x）极大值，且为，f（﹣b）为极小值，且为．由于函数f （x）在R上有且仅有一个零点，则＜0或＞0，解得，﹣3＜b＜﹣1．则b的取值范围为：﹣3＜b＜﹣．点评：此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，难度不大．20．（14分）已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点坐标是F1（0，﹣1），离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F 1作直线交椭圆于A，B两点，F2是椭圆的另一个焦点，若=时，求直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）椭圆的标准方程为=1，运用几何性质求解，a，b，c即可得出方程．（2）化简方程得：（2k2+3）x2﹣4kx﹣4=0，利用弦长公式求解得|AB|=，根据=，得出××=，求解k的值即可得到直线的方程．解答：解：（1）：设椭圆的标准方程为=1，∵一个焦点坐标是F1（0，﹣1），离心率为．∴c=1，a=∵a2=b2+c2∴b=∴=1，（2）∵F1（0，﹣1），F2是椭圆的另一个焦点（0，1），A（x1，y1），B（x2，y2）∴直线AB的方程y=kx﹣1①，k存在时①代入=1化简得：（2k2+3）x2﹣4kx﹣4=0，x1+x2=，x1x2=，|AB|=，∵F2到直线AB的距离为：=××=，k2=3，即k=，∴直线AB的方程y=x﹣1，∵当率不存在时，AB=，x=0，不能构成三角形，∴不符合题意．故直线AB的方程y=x﹣1，点评：本题综合考查了椭圆的方程，几何性质，弦长公式，运算量大，是常规题型，属于难题．21．（14分）在数列{a n}中，已知a1=2，对任意正整数n都有na n+1=2（n+1）a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项的和S n；（3）如果对于一切非零自然数n都有na n≥λ（S n﹣2）恒成立，求实数λ的最大值．考点：数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）通过递推关系式，判断是以2为首项，2为公比的等比数列，求出通项公式即可求数列{a n}的通项公式；（2）直接利用错位相减法求数列{a n}的前n项的和S n；（3）通过na n≥λ（S n﹣2）恒成立，求出λ在一侧的不等式，通过基本不等式求出最值，即可求实数λ的最大值．解答：解：（1）∵a1=2，na n+1=2（n+1）a n，∴，所以是以为首项，2为公比的等比数列，∴所以数列{a n}的通项公式是；（2）n•2n，可得n•2n+1，用错位相减法，数列{a n}的前n项的和；（3）对于一切非零自然数n都有na n≥λ（S n﹣2）恒成立，把，代入na n≥λ（S n﹣2）得到：n2≥2λ（n﹣1）对于一切非零自然数n成立．当n=1时，λ为任意实数，当n≥2时，等价于对于一切非零自然数n成立．等价于函数，而∵n≥2，∴．当n=2时取等号，所以函数，综合得到，所以实数λ的取值范围为（﹣∞，2]．所以实数λ的最大值为2．点评：本题考查数列的通项公式的求法，数列求和的方法错位相减法的应用，数列与不等式的关系，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．。

广东省汕头市潮师高中2015届高三数学上学期期中试卷文(含解析)

广东省汕头市潮师高中2015届高三数学上学期期中试卷文(含解析)

广东省汕头市潮师高中2015届高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，总50分）1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞0} B．{x|x＞1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|0＜x＜2}2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（）A．y=x﹣1B．y=log2x C．y=|x| D．y=﹣x23．（5分）设i为虚数单位，则复数等于（）A．B．C．D．4．（5分）设f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=x2+x，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．2 D．﹣15．（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．72πB．48πC．36πD．12π6．（5分）已知函数f（x）=x+1（x＜0），则f（x）的（）A．最小值为3 B．最大值为3 C．最小值为﹣1 D．最大值为﹣1 7．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到f（x）的图象，则只要将g（x）=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度8．（5分）如图，在△ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则=（）A．B．C．D．9．（5分）已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域，上的一个动点，则•的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣1，2]10．（5分）设函数f（x）=x3﹣4x+a（0＜a＜2）有三个零点x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，则下列结论正确的是（）A．x1＞﹣1 B．x2＜0 C．0＜x2＜1 D．x3＞2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．（5分）已知a∈（﹣，0），且sin（+a）=，则tana=．12．（5分）直线y=﹣x+b是函数f（x）=的切线，则实数b=．13．（5分）设函数，若f（x0）＞1，则x0的取值范围是．14．（5分）向量在正方形网格中的位置如图所示．设向量=，若，则实数λ=．三、解答题（共80分）15．（12分）已知函数的周期是π．（1）求ω和的值；（2）求函数的最大值及相应x的集合．16．（12分）某学校甲、乙两个班参加体育达标测试，统计测试成绩达标人数情况得到如下所示的列联表，已知在全部学生中随机抽取1人为不达标的概率为．（1）请完成列联表；组别达标不达标总计甲班8乙班54合计120（2）若用分层抽样的方法在所有测试不达标的学生中随机抽取6人，问其中从甲、乙两个班分别抽取多少人？（3）从（2）中的6人中随机抽取2人，求抽到的两人恰好都来自甲班的概率．17．（14分）已知=（sinB，1﹣cosB），且与=（1，0）的夹角为，其中A，B，C是△ABC的内角．（1）求角B的大小；（2）求sinA+sinC的取值范围．18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）求四棱锥B﹣AA1C1D的体积．19．（14分）已知函数f（x）=x+alnx（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求f（x）的极值；（Ⅲ）讨论f（x）的单调区间．20．（14分）已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x+a．（1）当a=2时，求函数y=g（x）在[0，3]上的值域；（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有xlnx＞成立．广东省汕头市潮师高中2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，总50分）1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞0} B．{x|x＞1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|0＜x＜2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中的不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即B={x|0＜x＜2}，∵A={x|x＞1}，∴A∩B={x|1＜x＜2}．故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（）A．y=x﹣1B．y=log2x C．y=|x| D．y=﹣x2考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据y=x﹣1=在区间（0，+∞）上单调递减，得A项不符合题意；根据y=log2x的定义域不关于原点对称，得y=log2x不是偶函数，得B项不符合题意；根据y=﹣x2的图象是开口向下且关于x=0对称的抛物线，得y=﹣x2的在区间（0，+∞）上为减函数，得D项不符合题意．再根据函数单调性与奇偶性的定义，可得出只有C项符合题意．解答：解：对于A，因为函数y=x﹣1=，在区间（0，+∞）上是减函数不满足在区间（0，+∞）上单调递增，故A不符合题意；对于B，函数y=log2x的定义域为（0，+∞），不关于原点对称故函数y=log2x是非奇非偶函数，故B不符合题意；对于C，因为函数y=|x|的定义域为R，且满足f（﹣x）=f（x），所以函数y=|x|是偶函数，而且当x∈（0，+∞）时y=|x|=x，是单调递增的函数，故C符合题意；对于D，因为函数y=﹣x2的图象是开口向下的抛物线，关于直线x=0对称所以函数y=﹣x2的在区间（0，+∞）上为减函数，故D不符合题意故选：C点评：本题给出几个基本初等函数，要求我们找出其中的偶函数且在区间（0，+∞）上单调递增的函数，着重考查了基本初等函数的单调性与奇偶性等知识，属于基础题．3．（5分）设i为虚数单位，则复数等于（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的复数分子分母同时乘以2﹣i，然后整理成a+bi（a，b∈R）的形式即可．解答：解：=．故选A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．4．（5分）设f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=x2+x，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．2 D．﹣1考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由奇函数的性质可得f（﹣1）=﹣f（1），再根据已知表达式可求得f（1）．解答：解：∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），又当x＞0时，f（x）=x2+x，∴f（1）=12+1=2，∴f（﹣1）=﹣2，故选A．点评：本题考查函数奇偶性的性质及其应用，属基础题，定义是解决问题的基本方法．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．72πB．48πC．36πD．12π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知：该几何体是一个倒置的圆锥，其底面的直径为6，母线长为5．如图所示：底面上的高PO==4．据此可计算出其体积．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个倒置的圆锥，其底面的直径为6，母线长为5．如图所示：底面上的高PO==4．∴V==12π．故选D．点评：由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．6．（5分）已知函数f（x）=x+1（x＜0），则f（x）的（）A．最小值为3 B．最大值为3 C．最小值为﹣1 D．最大值为﹣1考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式即可得出．解答：解：∵x＜0，∴函数f（x）=x+1=+1=﹣1，当且仅当x=﹣1时取等号．因此f（x）有最大值﹣1．故选：D．点评：本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．7．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到f（x）的图象，则只要将g（x）=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由已知函数的图象求出函数解析式，然后看自变量x的变化得答案．解答：解：由图可知，A=1，，∴，即ω=2．由五点作图的第三点可知，+φ=π，得φ=（|φ|＜），则f（x）=sin（2x+）=sin2（x+）．∴为了得到f（x）的图象，则只要将g（x）=sin2x的图象向左平移个单位长度．故选：C．点评：本题考查由函数的部分图象求函数解析式，考查了函数图象的平移，解答的关键是利用五点作图的某一点求初相，是基础题．8．（5分）如图，在△ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则=（）A．B．C．D．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的三角形法则和向量共线定理即可得出．解答：解：===．故选C．点评：熟练掌握向量的三角形法则和向量共线定理是解题的关键．9．（5分）已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域，上的一个动点，则•的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣1，2]考点：简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．专题：数形结合．分析：先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入•分析比较后，即可得到•的取值范围．解答：解：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1，y=1时，•=﹣1×1+1×1=0当x=1，y=2时，•=﹣1×1+1×2=1当x=0，y=2时，•=﹣1×0+1×2=2故•和取值范围为[0，2]解法二：z=•=﹣x+y，即y=x+z当经过P点（0，2）时在y轴上的截距最大，从而z最大，为2．当经过S点（1，1）时在y轴上的截距最小，从而z最小，为0．故•和取值范围为[0，2]故选：C点评：本题考查的知识点是线性规划的简单应用，其中画出满足条件的平面区域，并将三个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式，进而判断出结果是解答本题的关键．10．（5分）设函数f（x）=x3﹣4x+a（0＜a＜2）有三个零点x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，则下列结论正确的是（）A．x1＞﹣1 B．x2＜0 C．0＜x2＜1 D．x3＞2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，再根据f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求得各个零点所在的区间，从而得出结论．解答：解：∵函数f （x）=x3﹣4x+a，0＜a＜2，∴f′（x）=3x2﹣4．令f′（x）=0，得x=±．∵当x＜﹣时，f′（x）＞0；在（﹣，）上，f′（x）＜0；在（，+∞）上，f′（x）＞0．故函数在（﹣∞，﹣）上是增函数，在（﹣，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．故f（﹣）是极大值，f（）是极小值．再由f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，得 x1＜﹣，﹣＜x2＜，x3＞．根据f（0）=a＞0，且f（）=a﹣＜0，得＞x2＞0．∴0＜x2＜1．故选C．点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．（5分）已知a∈（﹣，0），且sin（+a）=，则tana=﹣．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：先由诱导公式求出cosα的值，再根据角的范围求出sinα，从而可求tana的值．解答：解：sin（+a）=⇒cosα=，∵a∈（﹣，0），=﹣，故tana===﹣．故答案为：﹣．点评：本题主要考察了诱导公式的应用，考察了同角三角函数的关系式的应用，属于基础题．12．（5分）直线y=﹣x+b是函数f（x）=的切线，则实数b=1或﹣1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：设切点为P（m，n），求出函数f（x）=的导数，得切线斜率为﹣，再根据切点P既在切线y=﹣x+b上又在函数f（x）=的图象上，列出关于m、n、b的方程组，解之即可得到实数b之值．解答：解：由于函数f（x）=的导数，若设直线y=﹣x+b与函数f（x）=相切于点P（m，n），则解之得m=2，n=，b=1或m=﹣2，n=﹣，b=﹣1综上所述，得b=±1故答案为：1或﹣1点评：本题给出已知函数图象的一条切线，求参数b的值，着重考查了导数的运算公式与法则和利用导数研究曲线上某点切线方程等知识，属于基础题．13．（5分）设函数，若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．考点：指数函数的单调性与特殊点；幂函数的单调性、奇偶性及其应用．专题：计算题；分类讨论．分析：根据函数表达式分类讨论：①当x0≤0时，可得2﹣x﹣1＞1，得x＜﹣1；②当x0＞0时，x0.5＞1，可得x＞1，由此不难得出x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．解答：解：①当x0≤0时，可得2﹣x0﹣1＞1，即2﹣x0＞2，所以﹣x0＞1，得x0＜﹣1；②当x0＞0时，x00.5＞1，可得x0＞1．故答案为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）点评：本题考查了基本初等函数的单调性和值域等问题，属于基础题．利用函数的单调性，结合分类讨论思想解题，是解决本题的关键．14．（5分）向量在正方形网格中的位置如图所示．设向量=，若，则实数λ=3．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据正方形网格确定向量的长度和两个向量的夹角，然后利用，可以求实数λ．解答：解：设正方形的边长为1，则AB=1，AC=，∴cos∠CAB=，∵，=，∴，即，∴，解得λ=3．故答案为：3．点评：本题主要考查平面数量积的应用，利用向量垂直和数量积的关系即可求出λ，要根据表格确定向量是解决本题的关键．三、解答题（共80分）15．（12分）已知函数的周期是π．（1）求ω和的值；（2）求函数的最大值及相应x的集合．考点：三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据函数的周期公式即可求ω和的值；（2）将函数g（x）进行化简，然后利用三角函数的性质即可求函数的最大值．解答：解：（1）∵函数的周期是π，且ω＞0，∴，解得ω=2．∴．∴．（2）∵=，∴当，即时，g（x）取最大值．此时x的集合为．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握函数的周期性和函数最值的求解方法．16．（12分）某学校甲、乙两个班参加体育达标测试，统计测试成绩达标人数情况得到如下所示的列联表，已知在全部学生中随机抽取1人为不达标的概率为．（1）请完成列联表；组别达标不达标总计甲班8乙班54合计120（2）若用分层抽样的方法在所有测试不达标的学生中随机抽取6人，问其中从甲、乙两个班分别抽取多少人？（3）从（2）中的6人中随机抽取2人，求抽到的两人恰好都来自甲班的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）根据在全部学生中随机抽取1人为不达标的概率为，总人数为120，故不达标的人数为12，达标的人数为108，乙班不达标为4人，甲班达标的人数为54，故可得结论；（2）用分层抽样的方法，可求甲班、乙班抽取的人数；（3）利用枚举法确定基本事件的个数，根据古典概型概率公式，可得结论．解答：解：（1）在全部学生中随机抽取1人为不达标的概率为，总人数为120，故不达标的人数为12，达标的人数为108，乙班不达标为4人，甲班达标的人数为54，故有组别达标不达标总计甲班54 8 62乙班54 4 58合计108 12 120…（3分）（2）由表可知：用分层抽样的方法从甲班抽取的人数为人，…（4分）从乙班抽取的人数为人…（5分）（3）设从甲班抽取的人为a，b，c，d，从乙班抽取的人为1，2；“抽到的两个人恰好都来自甲班”为事件A．…（6分）所得基本事件共有15种，即：ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12…（8分）其中事件A包含基本事件ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种，…（10分）由古典概型可得…（12分）点评：本题考查概率知识的运用，考查分层抽样，考查枚举法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．（14分）已知=（sinB，1﹣cosB），且与=（1，0）的夹角为，其中A，B，C是△ABC的内角．（1）求角B的大小；（2）求sinA+sinC的取值范围．考点：平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值．分析：（1）根据两向量的夹角及两向量的求出两向量的数量积，然后再利用平面向量的数量积的运算法则计算，两者计算的结果相等，两边平方且利用同角三角函数间的基本关系化简，得到关于cosB的方程，求出方程的解即可得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由B的度数，把所求的式子利用三角形的内角和定理化为关于A的式子，再利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，最后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，根据正弦函数的图象可知正弦函数值的范围，进而得到所求式子的范围．解答：解：（1）∵=（sinB，1﹣cos B），且与=（1，0）的夹角为，∴=2sinB，又=×1×cos=，∴2sinB=，化简得：2cos2B﹣cosB﹣1=0，∴cos B=1（舍去）或cosB=﹣，又∵B∈（0，π），∴B=；（2）sinA+sinC=sinA+sin（﹣A）=sinA+cosA﹣sinA=sinA+cosA=sin（A+），∵0＜A＜，∴，则，∴sin A+sin C∈（，1]．点评：此题考查了平面向量的数量积的运算，向量的数量积表示向量的夹角，三角函数的恒等变换以及同角三角函数间基本关系的运用．学生做题时注意角度的范围，熟练掌握三角函数公式，牢记特殊角的三角函数值，掌握正弦函数的值域．18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）求四棱锥B﹣AA1C1D的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题．分析：（1）欲证AB1∥平面BC1D，根据线面平行的判定定理可知只需证AB1与平面BC1D内一直线平行，连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，根据中位线定理可知OD∥AB1，OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，满足定理所需条件；（2）根据面面垂直的判定定理可知平面ABC⊥平面AA1C1C，作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C，然后求出棱长，最后根据四棱锥B﹣AA1C1D的体积求出四棱锥B﹣AA1C1D的体积即可．解答：解：（1）证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1．（3分）∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．（6分）（2）∵AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面AA1C1C，∴平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C=AC．作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C，（8分）∵AB=BB1=2，BC=3，在Rt△ABC中，，，（10分）∴四棱锥B﹣AA1C1D的体积（12分）==3．∴四棱锥B﹣AA1C1D的体积为3．（14分）点评：本题主要考查了线面平行的判定定理，以及棱锥的体积的度量，同时考查了空间想象能力，计算能力，以及转化与化归的思想，属于基础题．19．（14分）已知函数f（x）=x+alnx（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求f（x）的极值；（Ⅲ）讨论f（x）的单调区间．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由求导公式求出导函数，求出切线的斜率f′（1）及f（1）的值，代入点斜式方程再化为一般式方程；（Ⅱ）先求出函数的定义域，再对导函数进行化简，判断出导函数的符号，即可得函数的单调性即极值情况；（Ⅲ）先对导函数进行化简，再对a进行分类讨论，利用列表格判断出导函数的符号，即可得函数的单调区间．解答：解：（I）当a=1时，f（x）=x+lnx，则，﹣﹣﹣（1分）所以f′（1）=2，且f（1）=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以切线方程为y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）函数的定义域为（0，+∞），由（1）得=，﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∵x＞0，∴f′（x）＞0恒成立﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴f（x）在（0，∞）上单调递增，没有极值﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（Ⅲ）由题意得，（x＞0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）当a≥0时，在（0，∞）时，f′（x）＞0，所以f（x）的单调增区间是f′（x）＞0；﹣﹣﹣﹣﹣（11分）当a＜0时，函数f（x）与f′（x）在定义域上的情况如下：x （0，a）﹣a （﹣a，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）综上，当a≥0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间是（﹣a，+∞），减区间是（0，a）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题考查导数的几何意义，切线方程的求法，以及导数与函数的单调性、极值的应用，考查了分类讨论思想，注意一定先求出函数的定义域，以及把导函数化到最简．20．（14分）已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x+a．（1）当a=2时，求函数y=g（x）在[0，3]上的值域；（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有xlnx＞成立．考点：利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．专题：计算题．分析：（1）当a=2时，由g（x）=，x∈[0，3]，利用二次函数的性质求出它的值域．（2）利用函数f（x）的导数的符号，分类讨论f（x）单调性，从而求出f（x）的最小值．（3）令 h（x）==﹣，通过h′（x）=的符号研究h（x）的单调性，求出h（x）的最大值为h（1）=﹣．再由f（x）=xlnx在（0，+∞）上的最小值为﹣，且f（1）=0大于h（1），可得在（0，+∞）上恒有f（x）＞h（x），即．解答：解：（1）当a=2时，g（x）=，x∈[0，3]，当x=1时，；当x=3时，，故g（x）值域为．（2）f'（x）=lnx+1，当，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当，f'（x）＞0，f（x）单调递增．①若，t无解；②若，即时，；③若，即时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt，所以 f（x）min=．（3）证明：令 h（x）==﹣，h′（x）=，当 0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）是增函数．当1＜x时．h′（x）＜0，h（x）是减函数，故h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．而由（2）可得，f（x）=xlnx在（0，+∞）上的最小值为﹣，且当h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）时，f（x）的值为ln1=0，故在（0，+∞）上恒有f（x）＞h（x），即．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，二次函数的性质，函数的恒成立问题，属于中档题．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(广东卷,含解析)

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(广东卷,含解析)

绝密★启用前 试卷类型：B2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（广东卷，含解析）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则M N =（ ）A ．{}0,1- B ．{}0 C ．{}1 D ．{}1,1-【答案】C 【解析】 试题分析：{}1MN =，故选C ．考点：集合的交集运算．2. 已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（ ）A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i【答案】D考点：复数的乘法运算．3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =+B ．2cos y x x =- C ．122x x y =+D ．sin 2y x x =+ 【答案】A 【解析】 试题分析：函数()2sin f x x x=+的定义域为R ，关于原点对称，因为()11sin1f =+，()1sin1f x -=-，所以函数()2sin f x x x=+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2cos f x x x=-的定义域为R，关于原点对称，因为()()()()22cos cos f x x x x x f x -=---=-=，所以函数()2cos f x x x=-是偶函数；函数()122x xf x =+的定义域为R，关于原点对称，因为()()112222x x x x f x f x ---=+=+=，所以函数()122xx f x =+是偶函数；函数()sin 2f x x x=+的定义域为R，关于原点对称，因为()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以函数()sin 2f x x x=+是奇函数．故选A ．考点：函数的奇偶性．4. 若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．2 【答案】C考点：线性规划．5. 设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =且b c <，则b =（ ）A B ．2 C ． D ．3 【答案】B【解析】试题分析：由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A，所以(22222b b =+-⨯⨯即2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ． 考点：余弦定理．6. 若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l都相交 C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交 D ．l 与1l ，2l都不相交 【答案】A考点：空间点、线、面的位置关系．7. 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1 【答案】B 【解析】试题分析：5件产品中有2件次品，记为a ，b ，有3件合格品，记为c ，d ，e ，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，恰有一件次品，有6种，分别是(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，设事件A =“恰有一件次品”，则()60.610P A ==，故选B ．考点：古典概型．8.已知椭圆222125x y m +=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ）A ．9B ．4C ．3D ．2 【答案】C【解析】试题分析：由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ． 考点：椭圆的简单几何性质．9. 在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D【解析】试题分析：因为四边形CD AB 是平行四边形，所以()()()C D 1,22,13,1A =AB +A =-+=-，所以()D C 23115A ⋅A =⨯+⨯-=，故选D ．考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算． 10. 若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（ ）A ．50B ．100C ．150D ．200 【答案】D考点：推理与证明．二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11~13题）11. 不等式2340x x --+>的解集为 ．（用区间表示） 【答案】()4,1-【解析】试题分析：由2340x x --+<得：41x -<<，所以不等式2340x x --+>的解集为()4,1-，所以答案应填：()4,1-．考点：一元二次不等式． 12. 已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为 ． 【答案】11考点：均值的性质．13. 若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中5a =+5c =-b = ． 【答案】1 【解析】试题分析：因为三个正数a ，b ，c成等比数列，所以(2551b ac ==+-=，因为0b >，所以1b =，所以答案应填：1．考点：等比中项．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为2x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ．【答案】()2,4-【解析】试题分析：曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28y x =，由228x y y x +=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-．考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点． 15. （几何证明选讲选做题）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4AB =，C E =，则D A = ．【答案】3考点：1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知tan 2α=．()1求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；()2求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．【答案】（1）3-；（2）1．考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.17、（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．()1求直方图中x 的值；()2求月平均用电量的众数和中位数；()3在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？【答案】（1）0.0075；（2）230，224；（3）5． 【解析】试题解析：（1）由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=得：0.0075x =，所以直方图中x 的值是0.0075考点：1、频率分布直方图；2、样本的数字特征（众数、中位数）；3、分层抽样.18、（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =．()1证明：C//B 平面D P A ；()2证明：C D B ⊥P ；()3求点C 到平面D P A 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3．【解析】试题解析：（1）因为四边形CD AB 是长方形，所以C//D B A ，因为C B ⊄平面D P A ，D A ⊂平面D P A ，所以C//B 平面D P A（2）因为四边形CD AB 是长方形，所以C CD B ⊥，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DCP 平面CD CD AB =，C B ⊂平面CD AB ，所以C B ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以C D B ⊥P（3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，因为D C P =P ，所以CD PE ⊥，在Rt D ∆PE中，PE ===，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，PE ⊂平面DC P ，所以PE ⊥平面CD AB ，由（2）知：C B ⊥平面DC P ，由（1）知：C//D B A ，所以D A ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以D D A ⊥P ，设点C 到平面D P A 的距离为h ，因为C D CD V V -P A P-A =三棱锥三棱锥，所以D CD 1133S h S ∆P A ∆A ⋅=⋅PE，即CD D S h S ∆A ∆P A ⋅PE ===，所以点C 到平面D P A考点：1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.19、（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+．()1求4a 的值；()2证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；()3求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）78；（2）证明见解析；（3）()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.。

2015年高考广东卷：文科数学+文科综合试卷真题及参考答案 (完整解析版

2015年高考广东卷：文科数学+文科综合试卷真题及参考答案 (完整解析版

绝密★启用前 试卷类型：B 2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数 学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号、填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5. 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合M =|-1, 1|，N =|-2, 1, 0|，则M ∩N = A ．|0, -1| B ．|0| C ．|1| D ．|-1, 1| 2．已知i 是虚数单位，则复数(1+i )2= A ．-2 B ．2 C ．-2i D ．2i 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A ．2sin y x x =+ B ．2cos y x x =-C ．D ．sin 2y x x =+4．若变量x ，y 满足约束条件，则23z x y =+的最大值为 A ．10 B ．8C ．5D ．25．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，23c =，，且b ＜c ，则b =A ．B ．2C ．D ．36．若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是A ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 与l 1，l 2都不相交7．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为 A ．0.4 B ．0.6 C ．0.8 D ．18．已知椭圆 （0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m = A ．9 B ．4 C ．3 D ．2 9．在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，，，则 A ．2 B ．3 C ．4 D ．510．若集合E =|(p , q , r , s )| 0≤p ＜s ≤4，0≤q ＜s ≤4，0≤r ＜s ≤4且p , q , r , s ∈N |，F =|(t , u , v , w )| 0≤t ＜u ≤4，0≤v ＜w ≤4且t , u , v , w ∈N |，用card(X )表示集合X 中的元素个数，则card(E )+ card(F )=A ．50B ．100C ．150D ．200 【答案】1~5: CDACB 6~10: ABCDD1.C 【解析】考查集合的交集运算。

广东省各地2015届高三上学期期中考试文科数学试题汇总(二)9份 Word版含答案

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广东省2015届高三期中文数练习试卷文科数学2014.11本试卷共4页，20小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1． 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2． 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

3． 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4． 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1. 设i 是虚数单位，复数=++iii 123（ D ） A. i - B. i C. 1- D. 12．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{1,3,5,6}A =，则U A =ð BA ．{1,3,5,6}B ．{2,4,7}C ．{2,3,7}D ． {2,5,7}3. 若变量x ，y 满足约束条件4,2,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩则2x y +的最大值是 CA ．2B ．4C ．7D ．84.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ C ）A.1B.3C.7D.15输出5. 设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ D ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分且不必要条件 6. 根据如下样本数据得到的回归方程为ˆybx a =+，则 A A ．0a >，0b < B ．0a >，0b > C ．0a <，0b <D ．0a <，0b >7. 若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ C ）A.8πB.4πC.83π D.43π 8. 一个多面体的三视图如图所示，则多面体的体积是（ B ） A. 476B. 233 C.6 D.79. 已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A 0,是C 上一点，x F A 045=，则=x 0（ C ）A. 1B. 2C. 4D. 810.. 已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值 范围是( A )（A ）()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞-二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11~13题）11. 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.2\312. 621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为_________.20（用数字作答13. .若函数()()R x x f ∈是周期为4的奇函数，且在[]2,0上的解析式为()⎩⎨⎧≤<≤≤-=21,sin 10),1(x x x x x x f π，则_______641429=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f 5\16（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题14. 坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）和x y θθ⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则曲线1C 与2C 的交点坐标为________.(1,1)15. (几何证明选讲选做题)如图，已知⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A ，B 两点，割线PCD 经过圆心，若PA=3，AB=4，PO=5，则⊙O 的半径为_______________．2三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16. （本小题满分12分）已知函数()()()θ++=x x a x f 2cos cos 22为奇函数，且04=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，其中()πθ，，0∈∈R a .（1）求θ，a 的值；（2）若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=⎪⎭⎫⎝⎛ππαα，，2524f ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+3sin πα的值. 解。

1因为()f x ()()22cos cos 2a x x θ++是奇函数，而y 1=a+2cos 2x 为偶函数，所以 y 1=()cos 2x θ+ 奇函数，又()0,θπ∈，得.2πθ=所以()f x =2sin 22cos x x a -⋅+（）由04=⎪⎭⎫⎝⎛πf ， 得-（a+1）=0，即 1.a =-（2）由（1）得：()1sin 4,2f x x =-因为12sin 425f αα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，得4sin ,5α=又2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以3cos ,5α=-因此sin sin cos sin cos 333πππααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭17．（本小题满分12分）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时） （Ⅰ）应收集多少位女生样本数据？（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.（Ⅲ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附：解: （Ⅰ）45003009015000⨯=，所以应收集90位女生的样本数据。

（Ⅱ）由频率分布直方图得12(0.1000.025)0.75-⨯+=，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75。

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，300为学生中有3000.75225⨯=人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表结合列联表可算得2230022501004.762 3.841752252109021K ⨯==≈>⨯⨯⨯所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”。

18．(本小题满分14分) 如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11. （1）证明：;1AB C B ⊥（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB 求三棱柱111C B A ABC -的高.（17）解： （I ）连接1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点.因为侧面11BB C C 为菱形，所以11.B C BC ⊥ 又AO ⊥平面11BB C C ，所以1B C AO ⊥，故1B C ⊥平面ABO.由于AB ⊂平面ABO ，故1.B C AB ⊥ ……6分（II ） 作OD BC ⊥，垂足为D ，连接AD.作OH AD ⊥，垂足为H. 由于BC AO ⊥，BC OD ⊥，故BC ⊥平面AOD ，所以OH BC ⊥.又OH AD ⊥，所以OH ⊥平面ABC. 因为160CBB ∠=︒，所以1CBB ∆为等边三角形，又BC=1，可得OD =由于1AC AB ⊥ ，所以111.22OA B C ==由OH AD OD OA ⋅=⋅，且AD =OH =又O 为1B C 的中点，所以点1B 到平面ABC 故三棱柱111ABC A B C -的距离为方法2 -------或者用等体积法当n 为奇数时，1()n n n T T b -=+-(1)(1)(1)2n n n n -+=-+2(1)2n +=- 所以2(1),2(2)2n n n T n n n ⎧+-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数，为偶数.20.（本小题满分14分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）. （Ⅰ）求点P 的坐标；（Ⅱ）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P，且与直线:l y x =交于A ，B 两点，若PAB ∆的面积为2，求C 的标准方程.xyOP（Ⅰ）设切点坐标为00(x ,y )00(x 0,y 0)>>．则切线斜率为0x y -．切线方程为0000y (x x )x y y -=--．即004x x y y +=．此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积000014482S x y x y =⋅⋅=．由22000042x y x y +=≥知当且仅当00x y==时，00xy 有最大值．即S 有最小值．因此点P 的坐标为．（Ⅱ）设C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>．点1122A(x ,y ),B(x ,y )．由点P 在C 上知22221a b +=．并由22221,x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222620b x b ++-=．又12,x x 是方程的根，因此12212262x x b x x b ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，由11y x =，22y x =+，得．由点P 到直线l 的距离为及PAB S ∆=得429180b b -+=．解得26b =或3．因此26b =，23a =（舍）或23b =，26a =．从而所求C 的方程为22163x y +=．21.（本小题满分14分）已知函数()x f x e ax =-（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()yf x =在点A 处的切线斜率为1-.（Ⅰ）求a 的值及函数()f x 的极值；（Ⅱ）证明：当0x>时，2x x e <（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当0(,)x x ∈+∞时，恒有xx ce <（2）令2()xg x e x =-，则'()2xg x e x =-.由（1）得，'()()(ln 2)2ln 40g x f x f =≥=->，即'()0g x >. 所以()g x 在R 上单调递增，又(0)10g =>，。

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