八年级数学下册北师大版导学案：第一章《角平分线(1)》2
2021八年级数学北师大版下第1章《三角形的证明》角平分线选择训练(二)含答案
北师大版八年级数学下册第1章《三角形的证明》角平分线专项训练（二）1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝2∠C，以顶点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AB，BC于点E，F；再分别以E，F为圆心，以大于EF为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P；作射线BP，交边AC于点G，若AG＝，则△GBC的面积为（）A．3B．6C．2D．2．如图，∠MON＝60°．①以点O为圆心，2cm长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、C；②在分别以A、C为圆心，2cm长为半径画弧，两弧交于点B；③连结AB、BC，则四边形OABC的面积为（）A．4cm2B．2cm2C．4cm2D．2cm23．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点E，F分别是△ABC的边AB、AC的中点，边BC分别与DE、DF相交于点H，G，且DE⊥AB，DF⊥AC，连接AD、AG、AH，现在下列四个结论：①∠EDF＝60°，②AD平分∠GAH，③∠B＝∠ADF，④GD＝GH．则其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线BD与边AC相交于点D，DE⊥BC，垂足为E，若△CDE的周长为6，则△ABC的面积为（）A．36 B．18 C．12 D．95．已知如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若∠MON＝60°，OP＝4，则PQ的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．不能确定6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于点D．若∠A＝30°，AE＝6cm，则BC等于（）A．2cm B．3cm C．3cm D．4cm7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A＝30°，AE＝8cm，那么CE＝（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm8．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BD 的长为（）A．6 B．5 C．4 D．39．如图，在Rt△ABC中，其中∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是BC的垂直平分线，点E是垂足．已知DC＝5，AD＝2，则图中长度为的线段有（）A．1条B．2条C．3条D．4条10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AC＝10cm，则△DBE的周长为（）A．10 B．15 C．10D．2011．如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，过D作DE⊥AC 于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于D ，若CD ＝BD ，点D 到边AB 的距离为6，则BC 的长是（ ）A ．6B ．12C ．18D ．2413．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，有下列结论：①CD ＝ED ；②AC +BE ＝AB ；③∠BDE ＝∠BAC ；④AD 平分∠CDE ；其中正确的是（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．414．已知△ABC ，求作一点P ，使点P 到∠CAB 的两边的距离相等，且P 到A 、B 两点的距离也相等．下列确定点P 位置的方法正确的是（ ）A ．P 为∠CAB 、∠CBA 两角平分线的交点B ．P 为AC 、AB 两边的垂直平分线的交点C ．P 为∠CAB 的平分线与AB 的垂直平分线的交点D ．P 为AC 、AB 两边上的高的交点15．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条公路．现要建造一个中转站P ，使P 到三条公路的距离都相等，则中转站P 可选择的点有（ ）A ．一处B ．二处C ．三处D ．四处16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝8cm，则△DEB的周长是（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm17．如图所示，AO是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON＝8，则OM长为（）A．4 B．5 C．6 D．818．如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，∠CBA的邻补角的平分线所在直线交AC的延长线于F，交斜边AB上的高CD的延长线于E，EG∥AC交AB的延长线于G，则下列结论：①CF ＝CE；②FB＝AB；③EF是CG的垂直平分线；④△CGE为等边三角形．其中正确的是（）A．1个B．2个C．3个D．4个19．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4cm，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C，若P 是BC边上一动点，则DP长的最小值为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm20．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OB，PD⊥OB，若PC＝8，则PD等于（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案1．解：作GH⊥BC于H，如图，由作法得BP平分∠ABC，∴GA＝GH＝，∵∠A＝90°，∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝60°，∠C＝30°，在Rt△ABG，∵∠ABG＝∠ABC＝30°，∴AB＝AG＝3，在Rt△ABC中，BC＝2AB＝6，＝×6×＝3．∴S△BCG故选：A．2．解：由题意可知OB是∠MON的角平分线，∵∠MON＝60°，∴∠BON＝30°，作BD⊥ON于D，∵OC＝BC＝2，∴∠BOC＝∠OBC＝30°，∴∠BCN＝60°，∴BD＝BC＝，∴S＝OC×BD＝＝，△BOC＝2，∴四边形OABC的面积＝2S△BOC故选：B．3．解：①∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，∵∠BAC＝120°，∴∠EDF＝360°﹣∠AED﹣∠AFD﹣∠BAC＝60°，∴①的结论正确；②连接BD、CD，如图1，∵点E，F分别是△ABC的边AB、AC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴HB＝HA，GA＝GC，DB＝DA＝DC，∴∠ABH＝∠BAH，∠ACG＝∠CAG，∠DBA＝∠DAB，∠DCA＝∠DAC，∠DCB＝∠DBC，∴∠DAH＝∠DBH＝∠DCG＝∠DAG∴AD平分∠HAG，∴②的结论正确；③∵点E，F分别是△ABC的边AB、AC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，∴HB＝HA，GA＝GC，∴∠HBA＝∠HAB，∠GAC＝∠C，∵∠BAC＝120°，∴∠B+∠C＝∠HAB+∠GAC＝60°，∴∠HAG＝60°，∵AD平分∠GAH，∴∠DAH＝∠DAG＝30°，∴∠BAH+∠DAF＝90°，∵∠ADF+∠DAF＝90°，∴∠BAH＝∠ADF，∴∠B＝∠ADF，∴③的结论正确；④∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DHG＝∠BHE＝90°﹣∠B，∠DGH＝∠CGF＝90°﹣∠C，当AB≠AC时，用∠B≠∠C，∴∠DHG≠∠DGH，∴DH≠DG，∵∠HDG＝60°，∴△DHG不是等边三角形，∴GD≠GH，∴④的结论不正确．故选：C．4．解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠C＝∠ABC＝45°，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∴∠EDC＝∠C＝45°，∴DE＝EC，∵BD平分∠BAC，∠A＝90°，DE⊥BC，∴AD＝DE，设DE＝AD＝CE＝x，由勾股定理得：DC＝x，∵△CDE的周长为6，∴DE+EC+DC＝6，即x+x+x＝6，解得：x＝6﹣3，即AB＝AC＝AD+DC＝6﹣3+（6﹣3）＝3，∴△ABC的面积为＝＝9，故选：D．5．解：作PQ′⊥OM于Q′，∵∠MON＝60°，OP平分∠MON，∴∠POQ′＝30°，∴PQ′＝OP＝2，由垂线段最短可知，PQ的最小值是2，故选：A．6．解：在Rt△ADE中，∠A＝30°，∴DE＝AE＝3，∠ABC＝60°，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，∠ACB＝90°，∴CE＝DE＝3，∠EBC＝30°，在Rt△CBE中，BC＝＝3（cm），故选：C．7．解：∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EC⊥AC，∴ED＝EC，在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，∴ED＝AE＝×8＝4，∴CE＝4cm．故选：C．8．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DC＝DE＝4，∴BD＝BC﹣CD＝9﹣4＝5．故选：B．9．解：∵∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥BC，∴DE＝DA＝2，∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC＝5，BE＝CE，在Rt△ABD中，AB＝＝；在Rt△BDE中，BE＝＝；∴CE＝．故选：C．10．解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC，∴△DBE的周长＝DE+DC+BD＝DC+DB+BE＝BC+BE，在Rt△ACD和Rt△AED中，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴AB＝AC＝10cm．∴△DBE的周长＝AE+BE＝AB＝10cm．故选：C．11．解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE＝DF，在Rt△CDE和Rt△BDF中，，∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），故①正确；∴CE＝AF，在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE＝AF，∴CE＝AB+AF＝AB+AE，故②正确；∵Rt△CDE≌Rt△BDF，∴∠DBF＝∠DCE，∵∠AOB＝∠COD，（设AC交BD于O），∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；∵△CDE≌△BDF，∴∠ABO＝∠DCO，∴A，B，C，D四点共圆，∴∠DAE＝∠CBD，∵Rt△ADE≌Rt△ADF，∴∠DAE＝∠DAF，∴∠DAF＝∠CBD，故④正确；综上所述，正确的结论有①②③④共4个．故选：D．12．解：过D作DE⊥AB于E，∵点D到边AB的距离为6，∴DE＝6，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE＝6，∵CD＝DB，∴DB＝12，∴BC＝6+12＝18，故选：C．13．解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE，故①正确；在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，∠ADC＝∠ADE，∴AC+BE＝AE+BE＝AB，故②正确；AD平分∠CDE，故④正确；∵∠B+∠BAC＝90°，∠B+∠BDE＝90°，∴∠BDE＝∠BAC，故③正确；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选：D．14．解：∵点P到∠CAB的两边的距离相等，∴点P在∠CAB的平分线上，∵点P到A、B两点的距离也相等，∴点P在A线段B的垂直平分线上，∴P为∠CAB的平分线与AB的垂直平分线的交点．故选：C．15．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．故选：D．16．解：∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴CD＝DE，∴AC＝AE，∴△DEB的周长＝BD+DE+BE，＝BD+CD+BE，＝BC+BE，＝AC+BE，＝AE+BE，＝AB，∵AB＝8cm，∴△DEB的周长是8cm．故选：B．17．解：∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AC，ON⊥AB，∴OM＝ON＝8，故选：D．18．解：∵BF平分∠GBC，∴∠GBF＝∠CBF，而∠GBF＝∠EBD，∴∠CBF＝∠EBD，∵∠BCA＝90°，CD为高，∴∠F＝∠BED，∴CF＝CE，所以①正确在△EGC中，EC＝EG，BE平分∠CEG，∴EB垂直平分GC，所以③正确；而选项②④由题干条件不能证明得出，所以①③正确；故选：B．19．解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小，∵BD⊥CD，即∠BDC＝90°，又∠A＝90°，∴∠A＝∠BDC，又∠ADB＝∠C，∴∠ABD＝∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC，∴AD＝DP，又AD＝4cm，∴DP＝4cm．故选：C．20．解：作PE⊥OA于E，∵∠AOP＝∠BOP＝15°，∴∠AOB＝30°，∵PC∥OB，∴∠ACP＝∠AOB＝30°，∴PE＝PC＝4，∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PD＝PE＝4，故选：A．。
角平分线判定定理2导学案
课题：角平分线的性质和判定应用主备人：备课组签字：审核：学习目标：1、掌握角平分线的性质和判定．能够应用性质和判定解决简单实际问题；2、在动手操作过程中，培养动手操作能力与探索精神．一、新知探究活动一：剪一个三角形纸片，折叠出每个角的平分线，观察你发现了什么？三角形的三条角平分线交于。
例：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等证明：过点P作的平分线上吗？为什么？思考回答！想一想：点P在A三角形的三条角平分线交于。
并且这一点到三边的距离。
二、拓展延伸1、如图：已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F到三边AC、BC、CA的距离相等2、已知，如图，BP 是△ABC 的外角平分线，点P 在∠BAC 的角平分线上．求证：CP 是△ABC 的外角平分线．3、要在S 区建立一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建立于何处？答：应建立在 ，并且离角顶点 处思考：如果不要求建立在S 区，这个集贸市场还可以建在哪？三、达标检测1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）A ．三条边上的高的交点B ．三个内角平分线的交点C ．三边上的中线的交点D ．以上结论都不对2．下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；•②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④△ABC 中三条角平分线的交点到三角形的三边的距离相等，其中正确的（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3． 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）Ａ．1处Ｂ．2处Ｃ．3处Ｄ．4处五、总结：本节课你学到了什么？掌握了什么内容？还有什么疑问？。
初中数学最新版《角平分线的判定》精品导学案(2022年版)
第2课时 角平分线的判定一、学习目标1、掌握角的平分线的性质；2、能应用角平分线的有关知识解决一些简单的实际问题．二、温故知新1、写出命题“全等三角形的对应边相等〞的逆命题.1、 写出命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等〞 的逆命题.三、自主探究 合作展示〔一〕思考：命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等〞的逆命题是否是真命题？假设是真命题，请给出证明过程。
：如图1，求证：证明： 结论：〔二〕思考：如图2所示，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m ，这个集贸市场应建于何处〔在图上标出它的位置，比例尺为1：20000〕？ 〔三〕应用举例例： 如图3，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P ． 求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等．例题反思：四、双基检测1.如图4，在ABC △中，90C ∠=， AD 平分CAB ∠，8cm 5cm BC BD ==，，那么D 点到直线AB 的距离是 cm ．2.如图5，在Rt △ABC 中，∠C =90°, BD 平分∠ABC , 交AC 于D .(1) 假设∠BAC =30°, 那么AD 与BD 之间有何数量关系，说明理由;(2) 假设AP 平分∠BAC ，交BD 于P , 求∠BPA 的度数.3、如图6，所示，在△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点O 。
求证：AO ⊥BC 。
五、学习反思请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。
§3.5 分式的加法与减法 教学案第二课时【教与学目标】1、经历探索分式的加减法运算法那么的过程，通过与分数加减法法那么的类比，开展学生的联想与合情推理能力.2、能熟练地进行异分母的分式加减法的运算.【重、难点】能熟练地进行异分母的分式加减法的运算.【教与学过程】一、知识引桥1、回想一下同分母的分式加减法的运算并计算以下题目 图4 A B D C 图2 图3 P A B C D 图5 A BO E D C图6图1(1) x y x y +3 (2) x y y z y x z x -----22二、学习新知〔一〕交流与发现小亮和小莹练习用电脑打字，小亮每分钟打a 个字，小莹每分钟比小亮多打20个字，当他们都打完了3000个字时，小亮比小莹多用多少时间？与同学们交流一下，最后结果是什么？归纳一下异分母分式加减法法那么：_______________________________〔二〕例题精讲例2 计算：〔1〕bc ab 6121+； 〔2〕253bb a ab b a --+ 例3 计算：〔1〕mm -+-329122； 〔2〕121112-+--+x x x x 〔三〕反响检测：仔细做一下，检验一下你掌握了本节知识没有.计算：(1) 24a b a b - (2) aa a +--22142 (3) ba b a --+11 (4) y x x y x x +--222 (5)1－y x x +24 (6) --12x x x －1 三、学习思考整式与分式相减及异分母分式相减时应注意什么问题？四、教学反思。
1.4角平分线(第一课时)说课稿：2022-2023学年北师大版八年级下册数学
1.4角平分线（第一课时）说课稿一、教材分析本课是北师大版八年级下册数学的第四章《平面图形的基本性质》中的第一课时：4角平分线。
本课主要内容是介绍角平分线的概念、性质以及如何作角平分线，通过解决一些实际问题来培养学生的动手能力和解决问题的能力。
二、教学目标1.知识与技能：–理解角平分线的定义和性质；–掌握如何作角平分线。
2.过程与方法：–通过观察、实际操作和探究，培养学生的动手能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：–培养学生的观察力和分析能力；–培养学生的合作意识和团队精神。
三、教学重点1.角平分线的概念和性质；2.如何作角平分线。
四、教学准备1.教材：北师大版八年级下册数学；2.教具：直尺、量角器等；3.多媒体设备。
五、教学过程1. 导入（5分钟）通过出示一张图片，引发学生对角平分线的兴趣和思考，在课前激发学生的求知欲。
2. 观察与讨论（10分钟）学生观察一段视频或图片，尝试寻找图中的角平分线，并提出自己的思考和猜想。
教师鼓励学生积极参与，并引导他们提出一些问题，如角平分线有什么性质等。
3. 角平分线的定义和性质（15分钟）通过多媒体设备展示角平分线的定义和性质，教师解释并进行讲解。
让学生了解角平分线是指把一个角分成两个相等的小角的直线。
4. 角平分线的作法（20分钟）教师通过示范，向学生介绍几种作角平分线的方法，如利用量角器测量角度，利用直尺和画圆法等。
5. 练习与实践（25分钟）学生进行练习和实践，通过作图题来巩固所学知识。
教师可以布置一些角平分线的作业题，并逐个批改，及时纠正学生的错误。
6. 总结与提高（10分钟）教师进行知识总结，并帮助学生归纳和理解角平分线的重要概念和方法。
鼓励学生提出疑问和问题，并解答他们的疑惑。
六、教学反思通过本课程的教学，我发现学生对角平分线的概念和性质有了初步的认识，并掌握了如何作角平分线的方法。
通过实践和练习，学生的动手能力和解决问题的能力得到了提高。
(北师大版)数学八年级下册同步导学案汇总(全书完整版)
（2）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为.
4.△ABC中， AB=AC, 且BD=BC=AD，求∠A的度数.
5.如图，已知D.E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=A E,求证:BD=CE
中考真题：已 知：如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE, DG⊥CE,G是垂足，求证：
2.D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E.F，且DE=DF，
求证BF=CE[解析]本题解决的关键是利用“HL”证明△BFD≌△CED
三、例题展示：
1.下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是（）
A.两条直角边对应相等的两个直角三角形.
B.两条锐角边对应相等的两个直角三角形.
二、基础训练：
观察勾股定理及上述定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？然后观察下列每组命题，是否也在类似关系
（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等.
如果两个角相等，那么它们 是对顶角.
（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧.
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
（3）三角形中相等的边所对的角相等.
三角形中相等的角所对的边相等.
已知：
求证：
证明：
得出定理： .
问题：等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？请你证明它们，并与同 伴交流.
二、基 础训练；
1. 请同学们阅读P6的问题（1）.（2），由此得到什么结论？
2. 我们知道等腰三角形的两个底角相等，反过来此命题成立吗？并与同伴交流，由此得到什么结论？
得出定理：；简称：.
北师大版八年级数学下册《角平分线》第二课时导学案
角平分线（二）学习目标：1、能够证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理。
2、进一步发展学生的推理证明意识和能力。
学习过程：一、前置准备：三角形角平分线性质定理和判定定理的内容是什么？作用呢？二、自主学习：如图：设△ABC的角平分线BM、CN交于P，求证：P点在∠BAC的平分线上定理：三角形的三条角平分线交于点，并且这一点到三条边的距离。
引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S= 。
对应练习：1、已知：△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P,若P到边AB的距离为3cm，△ABC的周长为18cm，则△ABC的面积为。
2、到三角形三边距离相等的点是（）A、三条中线的交点；B、三条高的交点；C、三条角平分线的交点；D、不能确定三、合作交流；例：△ABC中，AC=BC, ∠C=900,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E。
（1）已知：CD=4cm,求AC长（2）求证：AB=AC+CD四、归纳总结：1、我的收获？2、我不明白的问题？五、当堂训练：1、到一个角的两边距离相等的点在。
2、△ABC中，∠C=900,∠A的平分线交BC于D,BC=21cm,BD:DC=4:3,则D到AB的距离为.3、Rt△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，AB=8cm，则DE+DC= cm。
4、△ABC中，∠ABC和∠BCA的平分线交于O,则∠BAO和∠CAO的大小关系为。
5 、Rt△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，CD=n，AB=m，则△ABD的面积是。
6、已知：OP是∠MON内的一条射线，AC⊥OM,AD⊥ON,BE⊥OM,BF⊥ON,垂足分别为C、D、E、F，且AC=AD求证：BE=BF课下训练：P39 习题1、2、3中考真题：三条公路围成了一个三角形区域，今要在这个三角形区域内建一果品批发市场到这三条公路的距离相等，试找出批发市场的位置。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明基础拔高讲义(角平分线的性质和判定、角平分线模型)(含答案)
（授课内容：角平分线的性质和判定、角平分线模型）（一）知识回顾1、角平分线的性质和判定2、角平分线模型模型I ：角平分线加平行线必出等腰三角形．模型II ：角平分线加射影模型必出等腰三角形．→模型III ：角平分线的中心思想是对称，关于角平分线对称，因此常见做辅助线的方法有以下三种．FCDE××○○×M Q'O ONP123（二）例题讲解1、角平分线的性质和判定（1）如图，在ABC △中，90C ∠=︒，AD 是角平分线，DE AB ⊥，3cm DE =，5cm BD =，则BC =__________．（2）（14—15年嘉祥期末）在ABC △中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，5BC =，若点P 是ABC △的三条角平分线的交点，则点P 到边BC 的距离是_____________．【解析】（1）8cm ；（2）1（提示：过点P 作三边的垂线，利用面积进行求解）．（1）证明：三角形三个角的角平分线交于一点．（2）（14年—15年金牛区期末）如图，ABC △的外角一平分线CP 和内角平分线BP 相交于点P ，若=80BAC ∠︒，则=CAP ∠____________．【解析】（1）如图，在ABC △中，设BAC ∠、ABC ∠的平分线的交点为I ， 过I 点作ID AB ⊥于D ，IE AC ⊥于E ，IF E DCBA第19题第CAE DBBEABPIF BC ⊥于F ，连接IC ．∵AI 、BI 都是角平分线， ∴ID IE =，ID IF =， ∴IE IF =，∴CI 是ACB ∠的平分线，∴三角形三个角的平分线交于一点．（2）50°（提示：过点P 向三边作垂线，证明AP 是BAC ∠的外交角平分线） 2、角平分线模型（1）如图3-1，在ABC △中，BD 、CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，//ED AB ，//FD AC ．如果6BC =，则DEF △的周长为__________．（2）如图3-2，ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，过点D 作EF //BC ，交AB 于E ，交AC 于F ，若8cm BE =，5cm CF =，则EF =________．（3）如图3-3，ABC △的内角ABC ∠和外角ACD ∠的平分线相交于点E ，BE 交AC 于点F ，过点E 作EG//BD 交AB 于点G ，交AC 于点H ，连接AE ，有以下结论：①12BEC BAC =∠∠；②HEF CBF △≌△；③BG CH GH =+；④AEB ACE +∠∠ 90=︒，其中正确的结论有_____________（只填序号）图3-1 图3-2 图3-3【解析】（1）6；（2）3cm ；（3）①③④．H FGABC DEBAEF CDA GDFE（1）（14—15年青羊区期末）如图4-1，在ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，ABC ∠的平分线BE 交AD 于F ，交AC 于E ，若3AE =，2DF =，则AD =_____________．（2）如图4-2，已知：在ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于D ，BCA ∠的角平分线交AD 与F ，交AB 于E ，//FG BC 交AB 于G ．4cm AE =，12cm AB =，则BG =__________，GE =__________．图4-1 图4-2【解析】（1）5；（2）4cm ；4cm ．过E 作EH 垂直BC 交BC 于H 点， 易证AEC EHC △≌△；由角度分析易知AEF AFE ∠=∠， 即AE AF =，则有EH EA AF ==； 又可证AGF BHE △≌△， 则1248AG EB ==-=， 则844BG =-=，4GE =．如图，在ABC △中，12∠=∠，2AB AC =，AD BD =．求证：DC AC ⊥．ABF EADCF E GADCFE GHABDC12ABDC12E【解析】过D 作DE AB ⊥于MON ∠，∵AD BD =，DE AB ⊥， ∴ADE BDE △≌△， ∴12AE BE AB AC ===， ∵12∠=∠，∴ADE ADC △≌△， ∴90ACD AED ∠=∠=︒，∴DC AC ⊥．如图所示，在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，BE 平分ABC ∠，CE BE ⊥．求证：12CE BD =．【解析】延长CE 、BA 相交于F ，在BEC △和BEF △中，12BE BE BEF BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BEC BEF △≌△ ∴12CE EF CF ==∵BE CE ⊥，∴190F ∠=︒-∠B ACEDAEDF 123同理390F ∠=︒-∠，∴13∠=∠在ABD △和ACF △中，13AB AC BAD CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABD ACF △≌△ ∴BD CF =，∴12CE BD =．如图，在ABC △中，60ABC ∠=︒，AD 、CE 分别平分BAC ∠、ACB ∠，AD 、CE 交于O ．（1）求AOC ∠的度数；（2）求证：AC AE CD =+．【解析】（1）=120AOC ∠︒；（2）在AC 上截取AT ，使AT AE =，连接OT ， 在AOE △和AOT △中，AT AEOAT OAE AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)AOE AOT △≌△，∴60AOT AOE ∠=∠=︒，∴60COT COD ∠=∠=︒ 在COT △和COD △中， 60COT COD OC OCOCT OCD ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴(ASA)COT COD △≌△，∴CT CD =， ∴AE CD AT CT AC +=+=．AECOAECOT已知等腰ABC △，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ．求证：BD AD BC +=．【解析】解法一：如图，在BC 上截取BE BD =，连接DE ，过D 作DF//BC ，交AB 于F ，则32∠=∠，ADF ECD ∠=∠．又∵12∠=∠，∴13∠=∠，故DF BF =． 显然FBCD 是等腰梯形． ∴BF DC =，DF DC =．∵1112(180100)20222ABC ∠=∠=⨯︒-︒=︒，1(1802)802BED BDE ∠=∠=︒-∠=︒，∴180100DEC BED ∠=︒-∠=︒，∴100FAD DEC ∠=∠=︒，∴AFD EDC △≌△，AD EC =． 又∵BE BD =，∴BC BD EC BD AD =+=+．解法二：如图，延长BD 到E ，使DE AD =，在BC 上截取BF BA =．∵1=2∠∠，BD 为公共边，∴BAD BFD △≌△，AD FD =，ADB FDB ∠=∠．∵1111(180100)20222ABC ∠=∠=⨯︒-︒=︒，∴180(1)180(10020)60ADB A ∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒． ∴60FDB ∠=︒，故60FDC ∠=︒，60EDC ∠=︒． ∵DF DE =，∴DFC DEC △△≌．∴E DFC ∠=∠，34∠=∠．∵2206080DFC FDB ∠=∠+∠=︒+︒=︒， ∴80E ∠=︒．∵440∠=︒，∴340∠=︒，故3480ECB ∠=∠+∠=︒．∴ECB E ∠=∠，故BC BE =． ∵BE BD DE =+，∴BC BD AD =+． 解法三：如图，延长BD 到E ，使BE BC =．ABDCAD CFE1233ABDCFE124ABDCE12F延长BA 到F ，使BF BC =．连接CE 、EF 、DF ． ∵12∠=∠，BD 公共，∴BDC BDF △△≌ ． ∴BDC BDF ∠=∠，BCD BFD ∠=∠． 又∵120100120BDC BAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，40BCD ∠=︒，∴40BFD ∠=︒．∵BE BF =，120∠=︒．∴80BEF BFE ∠=∠=︒， ∴804040DFE ∠=︒-︒=︒．而180********FAD BAD ∠=︒-∠=︒-︒=︒．∴FAD DEF ∠=∠．又FD 公共，∴FAD FED △≌△． ∴ED AD =．∴BC BE BD AD ==+．如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ．在ABC △外有一点F ，使FA AE ⊥，FC BC ⊥． （1）求证：BE CF =；（2）在AB 上取一点M ，使2BM DE =，连接MC ，交AD 于点N ，连接ME ． 求证：①ME BC ⊥；②DE DN =．【解析】（1）由题意得，90BAC EAF ∠=∠=︒，∴90BAE CAF CAE ∠==︒-∠， 在ABE △和ACF △中， 45BAE CAF AB ACABE ACF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴(ASA)ABE ACF △≌△， ∴BE CF =．（2）①作ET AB ⊥于点T ，则DE TE =， ∴22BM DE TE ==，45ABE BET ∠=∠=︒， ∴TE TB =，2BM TB =，TB TM TE ==，B AMFND C∴ME BC ⊥②由①得，ME BC ⊥，AD BC ⊥，∴AD//ME ，∴22.5MEA NAE MAE ∠=∠=∠=︒， ∴ME MA =，∴CM 平分ACB ∠， 即22.5ACN DCN ∠=∠=︒， 在ADE △和CDN △中， 9022.5ADE CDN AD CDDAE DCN ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴(ASA)ADE CDN △≌△ ∴DE DN =． （三）作业设计1、（1）如图1-1，ABC △的周长是22，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC △的面积．（2）如图1-2，ABC △的B ∠、C ∠的外角平分线交于点D ．求证：AD 是BAC ∠的平分线．图1-1 图1-2【解析】（1）∵O 点为ABC △的两内角平分线的交点，∴O 点到三边距离相等． ∴ABC OAB OBC OAC S S S S =++△△△△BADCOABCDABC DF EG1()3332AB BC AC =⨯++⨯=． （2）分别过D 作DE 、DF 、DG 垂直于AB 、BC 、AC ， 垂足分别为E 、F 、G ，∵BD 平分CBE ∠，DE BE ⊥，DF BC ⊥， ∴DE DF =． 同理DG DF =， ∴DE DG =，∴点D 在EAG ∠平分线上， ∴AD 是BAC ∠的平分线．2、（1）如图2-1，在ABC △中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点E ，过点E 作//MN BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若9BM CN +=，则线段MN 的长为_____．（2）如图2-2，BD 平分ABC ∠，CD 平分外角ACG ∠．DE//BC 交AB 于E ，交AC 于F ．线段EF 与BE 、CF 有什么关系?图2-1 图2-2【解析】（1）9；（2）如图所示中仍有两个等腰三角形BED △、CDF △，从而DE BE =，CF DF =，又EF ED DF BE CF =-=-，故EF BE CF =-．3、如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，A ∠的角平分线AE 交DC 于E ，BE 是B ∠的角平分线．求证：（1）AE BE ⊥；（2）AD BC AB +=．图4GFDCA EBAB C ENMADECBADECBF【解析】（1）∵//AD BC ，∴22180EAB EBA ∠+∠=︒∴90EAB EBA ∠+∠=︒，∴AE BE ⊥．（2）在AB 上截取AF ，使AF AD =，连接EF ， 在ADE △和AFE △中， DA FA DAE BAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)ADE AFE △≌△ ∴ED EF =，ADE AFE ∠=∠ ∵//AD BC ，∴180ADE C ∠+∠=︒ ∵180EFB AFE ∠+∠=︒，∴EFB C ∠=∠ 在EFB △和ECB △中， EBF EBC EFB CBE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(AAS)EFB ECB △≌△， ∴EF EC =，∴DE CE =， ∴AD BC AF BF AB +=+=．4、如图所示，在ABC △中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．【解析】延长BE 交AC 于M ．∵AE BE ⊥，12∠=∠，ABCE12ABCE12M 354∴34∠=∠，AB AM =，BE EM =， ∴AC AB AC AM MC -=-=，2BM BE =， 又∵345C ∠=∠=∠+∠，353ABC C ∠=∠+∠=∠， ∴553C C ∠+∠+∠=∠， ∴5C ∠+∠，∴MB MC =， ∴2AC AB BE -=．5、如图，ABC △中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．【解析】方法一：在BC 上截取E 点使BE BA =，连结DE ．∵BD 平分ABC ∠，∴ABD EBD ∠=∠． 在ABD △与EBD △中∵AB EB =，ABD EBD ∠=∠，BD BD =， ∴ABD EBD △≌△，∴A DEB ∠=∠，∵108A ∠=︒，∴108DEB ∠=︒，∴72DEC ∠=︒． 又∵361854ADB ∠=︒+︒=︒，∴72CDE ∠=︒，∴CDE DEC ∠=∠，∴CD CE =， ∵BC BE EC =+，∴BC AC CD =+．方法二：如图，延长CA 到F ，使CF CB =，连结BF ． ∵AB AC =，且108BAC ∠=︒， ∴36ABC C ∠=∠=︒． ∵CB CF =，∴F FBC ∠=∠．∴FAB C ABC ∠=∠+∠．∴72FAB ∠=︒．∵12ADB C ABC ∠=∠+∠，∴54ADB ∠=︒．又∵54FBD ∠=︒, ∴BF AB AC FD ===． ∴AF CD =．∴BC AC CD =+．ABCDABCDEABCDF6、如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ．AF 平分CAB ∠，交CD 于点E ，交CB 于点F ． （1）求证：CE CF =．（2）将图6-1中的ADE △沿AB 向右平移到'''A D E △的位置，使点'E 落在BC 边上，其它条件不变，如图6-2所示．试猜想：'BE 与CF 有怎样的数量关系?请证明你的结论．图6-1 图6-2【解析】（1）相等（2）如图，过点E 作EG AC ⊥于G ． 又∵AF 平分CAB ∠，ED AB ⊥，∴ED EG =． 由平移的性质可知：''D E DE =，∴''D E GE =． ∵90ACB ∠=︒．∴90ACD DCB ∠+∠=︒，∵CD AB ⊥于D ．∴90B DCB ∠+∠=︒∴ACD B ∠=∠, 在Rt CEG △与Rt ''BE D △中，∵GCE B ∠=∠，''CGE BD E ∠=∠，''GE D E =， ∴''CEG BE D △△≌，∴'CE BE =， 由（1）可知'CF BE =．图1FEDC BAE‘图2GD′A′FE DCBA。
2024北师大版数学八年级下册1.4.2《三角形三个内角的平分线》教学设计
2024北师大版数学八年级下册1.4.2《三角形三个内角的平分线》教学设计一. 教材分析《三角形三个内角的平分线》是北师大版数学八年级下册第1.4.2节的内容。
本节课主要介绍三角形的三个内角的平分线的性质及其作用。
学生在学习本节课之前，已经学习了角平分线的性质，对角平分线有一定的了解。
本节课的内容对于学生来说，既是知识的拓展，也是难度的加深。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了角平分线的性质，对图形的平分有一定的理解。
但部分学生对角平分线与三角形内角平分线的联系和区别还不够清晰，对于如何运用内角平分线性质解决实际问题还有一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，引导他们理解和掌握内角平分线的性质，提高他们的解题能力。
三. 教学目标1.知识与技能：理解和掌握三角形的三个内角的平分线的性质，能够运用内角平分线性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：三角形的三个内角的平分线的性质。
2.难点：如何运用内角平分线性质解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解和掌握三角形的内角平分线性质。
2.启发式教学法：在教学过程中，引导学生主动思考、积极探索，提高他们的解题能力。
3.小组合作学习：鼓励学生相互讨论、交流，共同解决问题，培养他们的团队协作能力。
六. 教学准备1.教具：三角板、直尺、圆规等。
2.教学课件：制作课件，展示三角形的内角平分线性质的相关图片和实例。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如等腰三角形的制作，引导学生思考三角形的内角平分线的作用和意义。
让学生意识到本节课的重要性，激发他们的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）利用课件展示三角形的内角平分线性质的图片和实例，引导学生观察、分析，总结出三角形的内角平分线性质。
北师大版(新)初中数学八年级下册 1,4角平分线 第二课时【优质课件】
1 已知△ABC，求作一点P，使P 到∠A 的两边的距离相等，且 PA＝PB.下列确定P 点的方法正确的是( B ) A．P 为∠A 与∠B 的平分线的交点 B．P 为∠A 的平分线与AB 的垂直平分线的交点 C．P 为AC，AB 两边上的高的交点 D．P 为AC，AB 两边的垂直平分线的交点
2 如图，李明计划在张村、李村之间建一家超市．张、李两村 坐落在两相交公路内．超市的位置应满足下列条件：(1)使其 到两公路的距离相等；(2)为了方便群众，超市到两村的距离 之和最短，请你通过作图确定要建超市的位置．
证明：∵BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM上，且PD丄AB，PE 丄BC，垂足分别为D，E， ∴PD＝PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 同理，PE＝PF． ∴PD＝PE＝PF. ∴点P 在∠A 的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离 相等的点在这个角的平分线上)，即∠A 的平分线经过点P.
(2) 求证：AB＝AC＋CD.
A
E
C
D
B
(1) 解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DC丄AC，DE丄AB 垂足为E， ∴ DE＝CD＝4 cm (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). ∵AC＝BC，∴ ∠B＝∠BAC， (等边对等角). ∵ ∠C＝90°， ∴ B＝1 90＝45 . ∴∠BDE＝90°－45°＝45° .
FEM＝FDN，
在△FEM 与△FDN 中， EMF＝DNF，
∴△FEM ≌ △FDN.
FM＝FN，
∴FE＝FD.
2 在△ABC 内到三条边距离相等的点是△ABC 的( B )
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．以上均不对
3 到三角形三边距离相等的点的个数是( D )
北师大版八年级下册数学《1.4 第1课时 角平分线》教案
北师大版八年级下册数学《1.4 第1课时角平分线》教案一. 教材分析《1.4 第1课时角平分线》这一课时主要让学生掌握角平分线的性质。
教材通过引入角平分线的概念，引导学生探究角平分线的性质，从而培养学生推理、证明的能力。
本课时内容是学生在学习了角的概念、角的计算等知识的基础上进行学习的，为后续学习线段平分线、弧平分线等知识打下基础。
二. 学情分析学生在八年级上学期已经学习了角的概念、角的计算等知识，对角有一定的认识。
但是，对于角平分线的性质，学生可能还没有直观的理解。
因此，在教学过程中，教师需要利用直观的教具，引导学生观察、思考，从而发现角平分线的性质。
三. 教学目标1.理解角平分线的概念，掌握角平分线的性质。
2.培养学生的观察能力、推理能力、证明能力。
3.培养学生合作学习、积极探究的学习态度。
四. 教学重难点1.角平分线的性质。
2.如何引导学生发现并证明角平分线的性质。
五. 教学方法1.采用直观教学法，利用教具引导学生观察、思考。
2.采用问题驱动法，引导学生提出问题、解决问题。
3.采用合作学习法，让学生在小组内讨论、交流。
4.采用证明教学法，引导学生用几何证明的方法证明角平分线的性质。
六. 教学准备1.准备角平分线的教具，如量角器、直尺、三角板等。
2.准备多媒体课件，展示角平分线的性质。
3.准备练习题，巩固学生对角平分线的理解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师利用教具，如量角器，引导学生观察量角器上的角平分线，让学生直观地感受角平分线的作用。
同时，教师提出问题：“你们认为角平分线有什么性质呢？”引导学生思考。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，展示角平分线的性质。
同时，教师用几何证明的方法，引导学生证明角平分线的性质。
在这个过程中，教师要注意引导学生发现并理解角平分线的性质。
3.操练（10分钟）教师发放练习题，让学生独立完成。
练习题包括判断题、填空题、解答题等题型，全面巩固学生对角平分线的理解。
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》(第1课时)教学设计
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》（第1课时）教学设计一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学八年级下册第1.4节的内容，本节课主要介绍了角平分线的定义、性质和作法。
通过本节课的学习，使学生能够理解角平分线的概念，掌握角平分线的性质，学会如何作一个角的平分线。
教材通过生活中的实例引入角平分线，激发学生的学习兴趣，接着引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，探索角平分线的性质和作法，培养学生的动手能力和合作意识。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了角的概念、垂线的性质等知识，具备了一定的几何基础。
但是，对于角平分线的理解和运用还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，针对学生的实际情况进行教学设计，引导学生通过自主学习、合作交流等方式，掌握角平分线的性质和作法。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解角平分线的定义，掌握角平分线的性质，学会如何作一个角的平分线。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、操作、交流等活动，培养学生的动手能力和合作意识。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和创新精神。
四. 教学重难点1.教学重点：角平分线的定义、性质和作法。
2.教学难点：角平分线的性质的理解和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例引入角平分线，激发学生的学习兴趣。
2.引导发现法：教师引导学生观察、思考、操作、交流，发现角平分线的性质。
3.合作学习法：学生分组合作，共同探索角平分线的性质和作法。
六. 教学准备1.教学课件：制作角平分线的课件，包括图片、动画、例题等。
2.教学素材：准备一些角的模型和画图工具，如直尺、圆规等。
3.学生活动材料：准备一些练习题和小组讨论题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活中的实例引入角平分线，如剪刀的剪切角、太阳伞的遮阳角等，引导学生关注角平分线在生活中的应用。
2.呈现（10分钟）教师展示一些角的模型，让学生观察并思考：如何作一个角的平分线？学生分组讨论，尝试用工具画出角的平分线。
【北师大版】八年级数学下册名师导学案：第一章 课题 三角形内角的平分线
课题三角形内角的平分线【学习目标】1．能证明三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边距离相等．2．能利用角平分线的性质定理及判定定理进行相关的证明与计算．【学习重点】理解三角形三内角平分线交于一点，并进行相关应用．【学习难点】角平分线性质定理及判定定理的熟练应用．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．方法指导：1．证明三线共点的方法是先设其中两条直线相交于一点，再证明这一点在第三条直线上．2．到三角形三边距离相等的点是三条角平分线的交点，此点必在三角形的内部．情景导入生成问题旧知回顾：1．角平分线的性质定理和判定定理内容是什么？答：(1)角平分线上的点到这个角的两边距离相等．(2)在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．2．我们曾学过三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三顶点距离相等，本节课我们学习三角形三条角平分线的性质．自学互研生成能力知识模块一三角形三条角平分线的性质【自主探究】阅读教材P30－31的内容，回答下列问题：三角形三条角平分线性质是什么？如何证明？答：三角形三条角平分线交于一点，这一点到三条边的距离相等．已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别是D、E、F.求证：∠A的平分线经过点P，且PD＝PE＝PF.证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD＝PE(角平分线上的点到角的两边距离相等)．同理：PE＝PF，∴PD＝PE＝PF，∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，即∠A的平分线经过点P.归纳：三角形的三条内角平分线相交于一点，并且这一点到三条边距离相等．范例1：如图，有三条铁路a、b、c相互交叉，现在建一个货物中转站，要求到三条铁路的距离相等，可供选择的地址有4处．,(范例1题)),(仿例1题)),(仿例2题))仿例1：如图，已知O为△ABC的两条角平分线BO、CO的交点，过点O作OD⊥BC 于点D，且OD＝2 cm，若△ABC的周长是17 cm，则△ABC的面积为17__cm2．学习笔记：行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组在展示过程中，老师引导其他组进行补充，纠错，最后进行总结评分．学习笔记：检测可当堂完成．仿例2：如图，PB 、PC 分别是△ABC 的外角平分线，且相交于点P.求证：点P 在∠BAC 的平分线上．证明：过点P 分别作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，PG ⊥BC 于G.∵PB 、PC 分别是△ABC 的外角平分线，∴PE ＝PG ，PG ＝PF ，则PE ＝PF ，所以点P 在∠BAC 的平分线上． 知识模块二 有关角平分线的计算与证明范例2：如图，BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于D ，S △ABC ＝36 cm 2，AB ＝18 cm ，BC ＝12 cm ，则DE ＝ 125cm . 仿例1：如图，AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上．求证：BC ＝AB ＋CD.证明：在BC 上截取BF ＝AB ，连接EF.∵AB ＝BF ，∠ABE ＝∠FBE ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△FBE ，∴∠A ＝∠BFE.∵AB ∥CD ，∴∠A ＋∠D ＝180°.∵∠BFE ＋∠EFC ＝180°，∴∠EFC ＝∠D.∵CE 平分∠BCD ，∴∠ECD ＝∠ECF.又∵CE ＝CE ，∴△ECF ≌△ECD ，∴CF ＝CD ，∴BC ＝BF ＋CF ＝AB ＋CD.仿例2：如图，在四边形OACB 中，CM ⊥OA 于M ，若∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°.求证：CA ＝CB.证明：过点C作CN⊥OB于点N.∵∠1＝∠2，CM⊥OA，∴CN＝CM.∵∠3＋∠4＝180°，∠4＋∠CBN＝180°，∴∠3＝∠CBN.又∵∠CMA＝∠N＝90°，∴△AMC≌△BNC，∴CA＝CB.归纳：证明线段的和或差通常用截长补短法，联系角平分线对称性添加辅助线构造全等三角形．交流展示生成新知【交流预展】1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．【展示提升】知识模块一三角形三条角平分线的性质知识模块二有关角平分线的计算与证明检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。
【新新导学案】2013-2014学年广东省清远市八年级数学(北师大版)下学期备课导学案：1.4角平分线(1)
1.4角平分线（一）一、提出问题：1. 角平分线的定义：______________________________________2. 问题1：还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？定理归纳：问题2：你能写出这个定理的逆命题？它是真命题吗？如果是，你能证明它？定理归纳：二、基础训练：用尺规怎样做已知角的平分线呢？并对自己的做法加以证明.三、例题解释：例：如图，已知AD为△ABC的角平分线，∠ABC=90°，EF⊥AC，交BC于点D，垂足为F，DE=DC，求证：BE=CF.FE DCB A四、课堂检测1. OM平分∠BOA，P是OM上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D.E，下列结论中错误的是（）A：PD=PE B：OD=OE C：∠DPO=∠EPO D：PD=OD2、如图所示，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，则下列结论不正确的是（）A:△AEG≌△AFG B:△AED≌△AFDC:△DEG≌△DFG D:△BDE≌△CDF3. △ABC中, ∠ABC.∠ACB的平分线交于点O，连结AO，若∠OBC=25°，∠OCB=30°，则∠OAC=_____________°4. 与相交的两直线距离相等的点在（）A：一条直线上B：一条射线上C：两条互相垂直的直线上D：以上都不对5. ∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为2CM，则M到OB的距离为_________.6. 在RT△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若BC=16，BD=10，则D到AB的距离是________.7. 如图在两条交叉的公路L1与L2之间有两家工厂A.B，现在要修一个货物中转站，使它到两条公路的距离相等，以及到两个工厂距离相等，你能帮助确定中转站的地址吗？请试试.中考真题：如图，梯形ABCD，ABCD，AD=DC=CB，AD.BC的延长线相交于G，CE⊥AG于E，CF⊥AB于F，（1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）（2）选择（1）中你所写的一组相等的线段，说说它们相等的理由.。
北师大版八年级数学下册1.4.1角平分线(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“角平分线在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了角平分线的定义、画法以及它在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对角平分线的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在上完这节关于角平分线的课程后，我认真思考了整个教学过程，有一些深刻的体会和认识。
首先，我发现学生在理解角平分线的定义和性质时，存在一定的难度。这让我意识到，几何概念的教学需要更加直观和生动。在今后的教学中，我应当多采用动态演示、实物模型等教学手段，帮助学生更好地理解和掌握几何概念。
其次，关于角平分线的画法，虽然我进行了详细的讲解和示范，但仍有部分学生操作不够熟练。我觉得这里的问题在于练习不够充分，以及对学生操作过程中的指导不够细致。为此，我计划在接下来的课程中，增加学生的动手操作练习，并在练习过程中，逐一指导学生，帮助他们掌握画角平分线的技巧。
此外，在小组讨论环节，学生们的参与度很高，但部分小组在讨论过程中偏离了主题。为了提高讨论效率，我认为在今后的教学中，应该明确讨论主题，并在讨论过程中适时给予引导，确保学生能够围绕主题展开讨论，提高讨论的质量。
北师大版数学八年级下册1.4《三角形三条内角的平分线》(第2课时)教学设计
北师大版数学八年级下册1.4《三角形三条内角的平分线》（第2课时）教学设计一. 教材分析《三角形三条内角的平分线》是北师大版数学八年级下册1.4的内容，本节课主要介绍三角形三条内角的平分线的性质及其应用。
通过本节课的学习，学生能够理解三角形三条内角的平分线的作用，掌握其性质，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了三角形的性质，对三角形有一定的了解。
但是，对于三角形内角平分线的性质和应用可能还不太清楚。
因此，在教学过程中，教师需要根据学生的实际情况，逐步引导学生理解和掌握三角形内角平分线的性质。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解三角形三条内角的平分线的性质，并能够运用到实际问题中。
2.过程与方法：通过观察、操作、推理等方法，学生能够发现三角形内角平分线的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
3.情感态度价值观：学生能够积极参与课堂活动，培养对数学的兴趣和热情。
四. 教学重难点1.重点：三角形三条内角的平分线的性质。
2.难点：三角形内角平分线的应用。
五. 教学方法本节课采用讲授法、引导发现法、实践操作法等教学方法。
通过教师的讲解和引导，学生的观察和操作，以及合作交流，使学生能够主动探索和发现三角形内角平分线的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
六. 教学准备1.教具：三角板、直尺、圆规等。
2.教学课件：PPT或者黑板等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾三角形的相关知识，如三角形的内角和、三角形的分类等。
然后，教师提出本节课的学习内容：三角形三条内角的平分线。
2.呈现（10分钟）教师通过展示三角形内角平分线的图片，引导学生观察和思考三角形内角平分线的性质。
教师引导学生发现三角形内角平分线的一些特点，如：交于一点、长度相等等。
3.操练（10分钟）教师引导学生通过实际操作，验证三角形内角平分线的性质。
学生可以使用三角板、直尺、圆规等工具，自己画出三角形，并测量其内角平分线的长度。
初中数学最新版《角平分线的判定 》精品导学案(2022年版)
12.3 角的平分线的性质学习目标1.经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质．2.通过测量操作，发现角的平分线的性质定理3.能运用角的平分线性质和判定解决简单的几何问题.学习重点：掌握角的平分线的性质和判定.学习难点：角的平分线的性质和判定的应用学法指导：观察思考，动手操作，合作探究学习过程一、学前准备1．什么是角的平分线？怎样画一个角的平分线？2. 有一个简易平分角的仪器〔如图〕，其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE,AE 就是∠BAD的平分线，为什么？二、合作探究探究1.(1)从上面对平分角的仪器的探究中，可以得出作角的平分线的方法。
什么？求作什么？(2)把简易平分角的仪器放在角的两边.且平分角的仪器两边相等,从几何角度怎么画?(3) 简易平分角的仪器BC=DC,从几何角度如何画(4)OC与简易平分角的仪器中,AE是同一条射线吗?(5)你能说明OC是∠AOB的平分线吗?探究2.在角的平分线OC上任意找一点P,过P点分别作OA、OB的垂线交OA、O于M、N, PM、PN的长度是∠AOB 的平分线上一点到∠AOB两边的距离.(1) 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE 的长.将三次数据填入下表：观察测量结果，猜测线段PD与PE的大小关系，写出结论：Array ____________(2)你能归纳角的平分线的性质吗?(3)你能用三角形全等证明这个性质吗?探究3.如图，PD⊥OA,PE⊥OB,且PD =PE，那么P点在∠AOB的平分线上吗？为什么？归纳：三、新知应用1.思考：如以下图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处〔在图上标出它的位置，比例尺为1：20000〕？2.例题讲解：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．四、稳固练习2、教科书P50练习2.五、课堂小结1. 这节课你学到了哪些知识？2. 你还有什么疑惑？六、当堂清△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，假设BC＝5㎝，BD＝3㎝，那么点D到AB的距离为。
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课题：1.4《角平分线》（第1课时）导学案学习目标：
角平分线的性质定理的证明；角平分线的判定定理的证明，进一步发展自己的推理证明意识和能力。
学习重点：角平分线的性质定理的证明；角平分线的判定定理的证明。
学习难点：正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言，对几何命题加以证明。
学法指导：
1、先利用10分钟阅读并思考P28—P29教材内容，先证明角平分线的性质定理的证明，然后写出它的逆命题，并尝试着证明，清楚用尺规作已知角的角平分线的方法及证明。
2、将存在疑问的地方标出来，准备课堂上质疑。
3、A、B层同学掌握导案所有内容，并完成探究案；C层同学能基本掌握学习目标，合作完成探究案。
一、自主探究：
1、证明：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
（画图，写出已知、求证）
2、预习检测
（1）∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为2CM，则M到OB的距离为_______；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC 的平分线，若BC=16，BD=10，则D到AB的距离是________。
（3）OM平分∠BOA，P是OM上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，下列结论中错误的是（）
A、PD=PE
B、OD=OE
C、∠DPO=∠EPO
D、PD=OD
二、合作探究
探究点一：角平分线的判定定理
1、证明：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
已知：
求证：
证明：
探究点二：应用
1、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O
（1）如果∠1 =∠2，求证：OB=OC
（2）如果，OB=OC求证：∠1 =∠2
2、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长
.
三、随堂练习
1、课本29页随堂练习1、2
四、作业
1、课本30页知识技能第1题（自己画图）
2、课本30页知识技能第2题
3、课本30页联系拓广第3题
4、课本30页联系拓广第4题谈谈自己的收获：
B
A C
D
E
A
B C
D
E F。