2012年高考数学试卷三大压轴题目

2012年高考数学试卷三大压轴题目
上海
14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2=BC ，
若c AD 2=，
且a CD AC BD AB 2=+=+，其中a 、c 为常数，则四面体
ABCD 的体积的最
大值是
17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x ，随机变量1ξ取值54321x x x x x 、、、、的
概率均为2.0，随机变量2ξ取值
2
22221554433221x x x x x x x x x x +++++、、、、的概率也均为2.0，若记21ξξD D 、分别为21ξξ、的方差，则（ ）
A ．21ξξD D >
B ．21ξξD D =
C ．21ξξ
D D < D ．1ξD 与2ξD 的大小关系与4321x x x x 、、、的取值有关
18．设25sin 1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ ） A ．25 B ．50 C ．75 D ．100
22．（4+6+6=16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：122
2=-y x ．
（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积； （2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OQ OP ⊥；
（3）设椭圆2C ：1422=+y x ，若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且ON OM ⊥，求证：O 到直线MN 的距离是定值。

23．（4+6+8=18分）对于数集}1{21n x x x X ，，，， -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==，若对任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X 具有性质P ．例如}2,1,1{-具有性质P ．
（1）若2>x ，且},2,1,1{x -具有性质P ，求x 的值；
（2）若X 具有性质P ，求证：X ∈1，且当1>n x 时，11=x ；
（3）若X 具有性质P ，且11=x 、q x =2（q 为常数），求有穷数列n x x x ，，， 21的通项公式。

天津
（8）设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切，则m+n 的取值范围是
（A ）]31,31[+- （B ）),31[]31,(+∞+⋃--∞
（C ）]222,222[+- （D ）),222[]222,(+∞+⋃--∞（13）如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作
圆的切线与AC 的延长线相交于点D. 过点C 作BD 的
平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF=3，
FB=1，EF=2
3，则线段CD 的长为____________. （14）已知函数11
2--=x x y 的图象与函数2-=kx y 的图象恰有两个交点，则实数
k 的取值范围是_________.
（20）（本小题满分14分）
已知函数)ln()(a x x x f +-=的最小值为0，其中.0>a
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）若对任意的),,0[+∞∈x 有)(x f ≤2kx 成立，求实数k 的最小值； （Ⅲ）证明∑=<+--n i n i 12)12ln(1
22（*N n ∈）.
北京
14.已知f(x)=m(x-2m)（x+m+3）,g(x)=错误！未找到引用源。

-2，若同时满足条件： ①错误！未找到引用源。

x ∈R ，f(x) ＜0或g(x) ＜0
②错误！未找到引用源。

x ∈(﹣∝, ﹣4),f(x)g(x) ＜0
则m 的取值范围是
20．（本小题共13分）
设A 是由m ×n 个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m ，n)为所有这样的数表构成的集合。

对于A ∈S(m,n),记r i (A)为A 的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m ），C j (A)为A 的第j 列各数之和（1≤j ≤n ）：
记K(A)为∣r 1(A)∣,∣R 2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C 1(A)∣,∣C 2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。

（1） 对如下数表A ，求K （A ）的值； 1
1 -0.8 0.1
-0.3 -1
（2）设数表A ∈S （2,3）形如
1
1 c a b -1
求K （A ）的最大值；
（3）给定正整数t ，对于所有的A ∈S （2,2t+1），求K （A ）的最大值。

全国
（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37
AE BF ==。

动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为
（A ）16 （B ）14 （C ）12 （D ）10
（22）（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．
） 函数2()23f x x x =--，定义数列{}n x 如下：12x =，1n x +是过两点(4,5)P 、
(,())n n n Q x f x 的直线n PQ 与x 轴交点的横坐标。

（Ⅰ）证明：123n n x x +≤<<；
（Ⅱ）求数列{}n x 的通项公式。

新课标(10) 已知函数1()ln(1)f x x x
=+-，则()y f x =的图像大致为 （11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为
（A ）26 （B ）36 （C ）23 （D ）22
（12）设点P 在曲线12x y e =
上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为 （A ）1ln 2- （B ）2(1ln 2)- （C ）1ln 2+ （D ）2(1ln 2)+
（16）数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则的前60项和为
（21）（本小题满分12分）
已知函数()f x 满足121()'(1)(0)2
x f x f e f x x -=-+ （Ⅰ）求()f x 的解析式及单调区间； （Ⅱ）若21()2
f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值
(23)(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程
已知曲线1C 的参数方程是12cos ,3sin ,x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩
(ϕ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,
)3π。

（Ⅰ）求点,,,A B C D 的直角坐标；
（Ⅱ）设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PA PB PC PD +++|的取值范围。

辽宁 (16)已知正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的求面上，若PA ，PB ，PC 两
两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________。

(21)(本小题满分12分) 设()ln(1)1(,,,)f x x x ax b a b R a b =+++++∈为常数，曲线()y f x =与 直线32
y x =在(0，0)点相切。

(Ⅰ)求,a b 的值。

(Ⅱ)证明：当02x <<时，9()6
x f x x <
+ (20)(本小题满分12分) 如图，椭圆0C ：22
221(0x y a b a b
+=>>，a ，b 为常数)，动圆22211:C x y t +=，1b t a <<。

点12,A A 分别为0C 的左，右顶点，1C 与0C 相交于A ，B ，C ，D 四点。

(Ⅰ)求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程;
(Ⅱ)设动圆22222:C x y t +=与0C 相交于////
,,,A B C D 四点，其中2b t a <<，
12t t ≠。

若矩形ABCD 与矩形////A B C D 的面积相等，证明：
2212
t t +为定值。