2021届重庆市中山外国语学校高三全真模拟(理)数学试题

2018届重庆市中山外国语学校高三全真模拟（理）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线10x y +-=的倾斜角为（ ）A ．4π-B ．4π C ．2π D ．34π 2．函数()()22sin cos 2sin f x x x x =--的最小正周期为（ ）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π 3．“1a =”是“直线10x y ++=和直线()2220a x a y -++=相互垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知集合{}{}0,0M =，则下列关系中：①0M ∈；②{}0M ⊆；③{}0M ∈；④{}{}0M ⊆；表述正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 5．已知变量x ，y 的一组统计数据如下表所示，并据此计算得y 关于x 的线性回归方程为0.8 1.3y x =+，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 6．已知向量()3,1a =，()3,4b =-，则向量a 在向量b 方向上的投影为（ ）A ．-1B ．CD ．1 7．某人记录了自己2021年2月份的收支状况，收入金额记为正数，支出金额记为负数，共记录了N 个数据1a ，2a ，…，N a .执行如图所示的程序框图，若输出该月的总收入S和净收入V ，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入（ ）A ．0A >，V S T =-B ．0A <，V S T =-C ．0A >，V S T =+D ．0A <，V S T =+8．已知等差数列{}n a 的公差不为0，设()*i i n b a i N =∈，若22n =，35n =，414n =，数列{}n b 为等比数列，则下列选项中一定是数列{}n b 中的项是（ ）A ．81aB ．121aC ．122aD ．123a 9．已知直线0x y c -+=与圆224x y +=相交于M 、N 两点，O 为坐标原点，若3MO MN ⋅=，则实数c =（ ）A ．2±B ．C ．D ．10．如图，网格纸上每个小正方形的边长均为1，粗线是某棱锥的三视图，则此棱锥的体积为（ ）A ．13B ．49C ．23D ．1 11．过抛物线()220y px p =>的焦点F 作斜率为34的直线与抛物线相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，垂直平分线与x 轴相交于点N ，则ABN ∆与FMN ∆的面积的比值为（ ）A ．43B ．52 C．3 D12．已知函数()f x x x a x =-+,若存在[]2,2a ∈-,使得关于x 的方程()()f x mf a =有三个不等实根,则实数m 的取值范围为（ ）A ．59,11,48⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．91,8⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．95,84⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．已知复数z 满足1112z i i ⋅=+（i 是虚数单位），则z =______.14．()61x ⎛- ⎝的展开式中常数项为______. 15．已知函数()22f x x x =-的图象在点()()11,A x f x ，()()()2212,0B x f x x x <<处的切线互相垂直，则21x x -的最小值为______.16．平面四边形ABCD 满足：2AD CD ==，1AB =，52BC =，180ABC BCD ∠+∠=︒，在平面ABCD 上的动点M 满足60BMD ∠=︒，则22BM DM +的取值范围是______.三、解答题17．已知公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31S =，1232a a a -=. （1）求n a ；（2）设()*221log 3n n b a n N +=∈，证明：1223111114n n b b b b b b ++++<. 18．四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,四边形ABCD 是菱形,且60BAD ∠=︒,2PA AB ==.（1）求证:平面PAC ⊥平面PBD ;（2）设点M 为棱PC 的中点,求直线BM 与平面PBD 所成角的正弦值.19．从某高中学生的体能测试结果中，随机抽取100名学生的测试结果，按体重分组得到如图所示的频率分布直方图.（1）若该校约有85%的学生体重不超过“标准体重x kg ”，试估计x 的值，并说明理由； （2）从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行了第二次测试，现从这6人中随机抽取2人进行日常运动习惯的问卷调查，求抽到4组的人数X 的分布列及期望.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为2，点P 在椭圆C 上，1260F PF ∠=︒，12F PF ∆（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点)()000T y y <在椭圆C 上，直线12y kx =+与椭圆C 相交于M 、N 两点，若TM TN ⊥，求实数k 的值.21．已知函数()221f x x x =-+-与函数()()2xg x a x e =-的图象有两个不同的公共点A 、B .（1）求实数a 的取值范围；（2）设点()00,P x y 是线段AB 的中点，证明：01x <.22．在直角坐标系xOy 中，以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρθ=，直线l的参数方程为12x t y t=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 相交于A 、B 两点，若点P的直角坐标为(，求22PA PB +的值.23．已知函数()24f x x x m =++--，对任意x ∈R 都有()0f x ≥成立. （1）求实数m 的取值范围；（2）设m 的最大值为n ，当正数a ，b 满足41532n a b a b+=++时，求47a b +的最小值.参考答案1．D【解析】【分析】直接根据1tan k θ=-=得到答案.【详解】直线10x y +-=的1tan k θ=-=，故34πθ=-. 故选：D .【点睛】本题考查了直线的倾斜角，属于简单题.2．B【分析】化简得到()sin 24f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭，再计算周期得到答案. 【详解】 ()()22sin cos 2sin 1sin 21cos 224f x x x x x x x π⎛⎫=--=--+=- ⎪⎝⎭， 故最小正周期为22T ππ==. 故选：B .【点睛】本题考查了三角函数的周期，意在考查学生的计算能力.3．A【分析】根据直线垂直得到1a =或2a =-，根据范围大小得到答案.【详解】直线10x y ++=和直线()2220a x a y -++=相互垂直，则220a a +-=， 故1a =或2a =-，故1a =是1a =或2a =-的充分不必要条件.故选：A .本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.4．D【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系得到答案.【详解】集合{}{}0,0M =，则 0M ∈；{}0M ⊆；{}0M ∈；{}{}0M ⊆表述均正确. 故选：D .【点睛】本题考查了元素和集合，集合与集合的关系，意在考查学生的理解能力.5．C【分析】 计算数据中心点为36,24a +⎛⎫⎪⎝⎭，代入回归方程计算得到答案. 【详解】 0123342x +++==，123644a a y ++++==，故数据中心点为36,24a +⎛⎫ ⎪⎝⎭过回归方程. 故630.8 1.342a +=⨯+，解得4a =. 故选：C .【点睛】本题考查了根据回归方程求参数，意在考查学生的计算能力.6．A【分析】直接利用投影公式计算得到答案.【详解】向量a 在向量b 方向上的投影为：9415a b b ⋅-+==-. 故选：A .本题考查了向量的投影，意在考查学生对于向量投影的理解.7．C【分析】根据程序框图所表示的实际意义得到答案.【详解】根据题意，S 表示总收入，故第一个空应该填0A >；净收入V S T =+. 故选：C .【点睛】本题考查了补全程序框图，理解程序框图的实际意义是解题的关键.8．C【分析】根据题意计算得到12d a =，112n a a n a =⋅-，113n n b a -=⋅，依次判断每个选项是否满足得到答案.【详解】根据题意知：22b a =，35b a =，414b a =，数列{}n b 为等比数列，故25214a a a =⋅，故()()()2111413a d a d a d +=++，化简得到12d a =，故112n a a n a =⋅-，113n n b a -=⋅. 181111613m m a a b a -===⋅，无整数解，排除；1121112413m m a a b a -===⋅，无整数解，排除；1122112433m m a a b a -===⋅，6m =，满足；1123112453m m a a b a -===⋅，无整数解，排除；故选：C .【点睛】，本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，意在考查学生对于数列知识的灵活运用. 9．B根据数量积计算化简得到6MA =，利用圆心到直线的距离得到答案. 【详解】设MN 中点为A ，连接OA ， 则2cos 22cos 23MO MN MO MN NMO MA NMO MA ⋅=⋅∠=⨯⨯∠==. 故62MA =，圆心到直线的距离2102d MA ==，2d ==，故c =故选：B .【点睛】本题考查了数量积，直线和圆的位置关系，意在考查学生的综合应用能力. 10．C【分析】在正方体中还原几何体，再计算体积得到答案. 【详解】如图所示：正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为1,AB DD 的中点. 三棱锥1B BMN -即为所求三棱锥，112122323V =⨯⨯⨯⨯=.故选：C .【点睛】本题考查了三视图和几何体体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 11．B 【分析】如图所示，,AP BQ 垂直于准线于,P Q ，作AH BQ ⊥于H ，则9FB FA =，4MF FA =，ABN FMN S ABS MF∆∆=，计算得到答案. 【详解】如图所示：,AP BQ 垂直于准线于,P Q ，作AH BQ ⊥于H .直线斜率为34，故3tan 4BFN ∠=，故3tan 4FBQ ∠=，4cos 5BH FBQ AB ∠==， 故45BH FB FA AB FB FA -==+，故9FB FA =，故4MF FA =， 10542ABN FMN S AB AF S MF AF ∆∆===. 故选：B .【点睛】本题考查了抛物线中的面积问题，确定9FB FA =是解题的关键. 12．B 【分析】将()f x 写成分段函数的形式，然后根据a 与对称轴关系作分类讨论，再根据方程有解出参数m 的取值范围.【详解】因为()()()221,1,x a x x af x x x a x x a x x a⎧+-≥⎪=-+=⎨-++<⎪⎩，且在x a =处两段函数值相同为a ，又()()f x mf a =即为()f x ma =， 又()21y x a x =+-的对称轴为12a x -=，()21y x a x =-++的对称轴为12a x +=，当1122a a a -+≤≤即11a -≤≤时（如图所示），()21y x a x =+-在(),a -∞上单调递增，()21y x a x =-++在(),a +∞上单调递增，所以()f x 在R 上单调递增，此时()f x ma =至多一解，不符合题意； 当21a -≤<-时（如图所示），()21y x a x =-++在(),a -∞上单调递增，()21y x a x =+-在1,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，若()f x ma =有三解，则()12a f ma f a -⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以()214a ma a --<<，所以11214a m a ⎛⎫-+->> ⎪⎝⎭， 因为存在a 满足条件，所以max11214a m a ⎡⎤⎛⎫-+->> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 又因为1y a a=+在[)2,1--上单调递增，所以max 111192224428a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-=--+-= ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以91,8m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； 当12a <≤时（如图所示），()21y x a x =-++在1,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a a +⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()21y x a x =+-在(),a +∞上单调递增，若()f x ma =有三解，则()12a f a ma f +⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以()214a a ma +<<，所以11124m a a ⎛⎫<<++ ⎪⎝⎭，因为存在a 满足条件，所以max11124m a a ⎡⎤⎛⎫<<++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 又因为1y a a =+在(]1,2上单调递增，所以max 111192224428a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以91,8m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，综上可知：91,8m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查根据方程根的个数求解参数范围，着重考查了数形结合的思想，难度较难.（1）()()()h x f x g x =-的零点个数⇔方程()()0f x g x -=的根的个数⇔()(),f x g x 图象的交点个数；（2）数形结合方法常见的命题角度：函数的的零点个数或方程根的个数或函数图象的交点数、不等式解集或参数范围、研究函数的综合性质等. 13．2i -+ 【分析】直接利用复数的运算公式得到答案. 【详解】1112z i i ⋅=+，即122iz i i+==-+-. 故答案为：2i -+. 【点睛】本题考查了复数的运算，意在考查学生的计算能力. 14．100- 【分析】分别考虑6⎛ ⎝展开式中的1x -项的系数、常数项的系数，然后将得到结果对应相乘并相加即可得到结果. 【详解】6⎛ ⎝展开式的通项为：(6631662rrrr r rr T C C x ---+=⋅⋅=⋅⋅， 令4r =，所以1560T x -=，令3r =，所以4160T =，所以()61x⎛- ⎝展开式的常数项为：()6011601100⨯+⨯-=-.故答案为：100-. 【点睛】本题考查二项展开式中常数项的计算，难度一般.求解二项展开式的项的系数，注意利用二项展开式的通项公式进行分析并求解. 15．1 【分析】求导得到()'22f x x =-，根据垂直得到()()1222221x x --=-，则()21221141x x x x -=-+-，利用均值不等式得到答案.【详解】()22f x x x =-，则()'22f x x =-，故()()1222221x x --=-，即()121141x x =--，21>x ，()212211141x x x x -=-+≥=-，当()221141x x -=-，即1213,22x x ==时，等号成立.故答案为：1. 【点睛】本题考查了切线问题，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 16．1515,42⎛⎤⎥⎝⎦【分析】根据题意作出示意图，利用解三角形中的余弦定理以及基本不等式结合边长之间的关系即可求解出22BM DM +的取值范围. 【详解】因为180ABC BCD ∠+∠=︒，所以//AB CD ， 延长B 至E 使得AE CD =，如下图所示：因为//AB CD ，AE CD =，所以四边形AECD 是平行四边形， 所以2CE AD ==，1EB CD AB =-=，所以2222514134cos 5220212EB CB CE EBC EB CB +-+-∠===⋅⨯⨯，又因为//AE CD ，所以EBC BCD ∠=∠，所以13cos 20BCD ∠=， 所以22225513152cos 42242204BD CB CD CB CD BCD =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 在BMD 中，2221cos 22BM DM BD BMD BM DM +-∠==⋅，所以22154BM DM BM DM +-=⋅， 因为22221542BM DM BM DM BM DM ++-=⋅≤，所以22152BM DM +≤，取等号时BM DM =，又因为221504BM DM BM DM +-=⋅>，所以22154BM DM +>， 综上可知：221515,42BM DM ⎛⎤+∈⎥⎝⎦. 故答案为：1515,42⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查利用余弦定理和基本不等式求取值范以及解三角形在几何图形中的应用，难度较难.利用余弦定理以及基本不等式求解最值时，注意取等号的条件是否成立. 17．（1）()1123n n a -=⋅-；（2）证明见解析 【分析】（1）直接利用等比数列公式解得答案.（2）2n b n =，()1111114141n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，利用裂项求和法得到答案. 【详解】 （1）231111S a a q a q =++=，1232a a a -=，则21112a a q a q -=，解得113a =，2q =-. 故()1123n n a -=⋅-. （2）()22122log log 322n n na nb +=-==，()1111114141n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭. 故122311111111111111 (1412231)414n n b b b b b b n n n +⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了等比数列通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 18．（1）证明见解析;（2）14. 【分析】（1）先证明线面垂直：BD ⊥平面PAC ，然后再根据面面垂直的判定定理即可完成证明； （2）建立空间直角坐标系，根据直线BM 的方向向量与平面PBD 的法向量夹角的余弦值，得到直线BM 与平面PBD 所成角的正弦值 【详解】（1）因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又因为PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以PA BD ⊥，且PA AC A =，所以BD ⊥平面PAC ，且BD ⊂平面PBD ， 所以平面PAC ⊥平面PBD ；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，记ACBD O =，因为M 为棱PC 的中点，O 为AC 的中点，所以//MO PA ，所以MO ⊥平面ABCD ， 因为2PA AB ==，60BAD ∠=︒，所以2cos30AO =⨯︒= 所以()()()()1,0,0,0,0,1,0,,1,0,0B M P D -， 所以()()2,0,0,1,DB BP ==-，()1,0,1BM =-， 设平面PBD 一个法向量为(),,n x y z =，所以00n DB n BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以20320x x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，取2y =，所以(0,2,3n =，所以cos ,142BM n BM n BM n⋅<>===， 所以直线BM 与平面PBD 所成角的正弦值为14. 【点睛】本题考查面面垂直的证明以及利用空间向量求解线面角，难度一般.利用向量方法求解线面角的正弦值时，只需要求解出直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值，对其取绝对值即可得到线面角的正弦值. 19．（1）68.75x ;（2）23E X . 【分析】（1）先分析频率为0.85对应在哪一组体重中，然后根据该组体重的端点值以及该组之前所有组的频率之和计算出“标准体重x kg ”中的x 值；（2）先计算出a 的值，利用分层抽样确定出第3、4、5组抽取的人数，然后根据超几何分布的相关知识列出分布列并计算出期望值. 【详解】（1）因为[)[]65,70,70,75两段的频率分别为0.0450.2,0.0250.1⨯=⨯=，且()10.20.10.8510.1-+<<-，所以x 应在[)65,70段之中，所以()0.8510.10.26550.2x --+⎡⎤⎣⎦=+⨯，所以68.75x ；（2）因为()10.0080.0720.040.0250.065a -+++⨯==，所以第3、4、5组人数的频率之比为0.06:0.04:0.023:2:1=， 所以第3组抽取363123⨯=++人，第4组抽取262123⨯=++人，第5组抽取161123⨯=++人由上可知X 可取0,1,2，所以()2426205C P X C ===，()1142268115C C P X C ===，()22261215C P X C ===， 所以X 分布列为：所以()8121215153E X =⨯+⨯=. 【点睛】本题考查利用频率分布直方图进行数据的估计以及离散型随机变量的分布列和均值计算，难度一般.本题中的第1问类似于利用频率分布直方图求解中位数的过程；求离散型随机变量的分布列时注意先分析变量的可取值.20．（1）2214x y +=；（2）k =【分析】（1）根据面积得到1243PF PF ⋅=，利用余弦定理得到221c a =-，再利用离心率得到答案. （2）12T ⎫-⎪⎭，，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程得到122122441341k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，计算0TM TN ⋅=得到答案. 【详解】 （1）1212121sin 602F PF S PF PF PF PF ∆=⋅︒=⋅=，故1243PF PF ⋅=. 根据余弦定理：()22221212121242cos603c PF PF PF PF PF PF PF PF =+-⋅︒=+-⋅. 即221c a =-，c e a ==，故2224,1,3a b c ===，椭圆方程为：2214x y +=.（2）点)()00Ty y<代入椭圆方程得到12T ⎫-⎪⎭，设()11,M x y ，()22,N x y .联立方程221214y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得到()2241430k x kx ++-=，故122122441341k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩. TM TN ⊥，故112211022TM TN x y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得到：()(()21212140k x x k x x ++++=，即()(222431404141k k k k k -+-+=++，解得3k =-或9k =-.当3k =-时，点12T ⎫-⎪⎭在MN上，不成立，故9k =-. 【点睛】本题考查了椭圆方程，根据直线和椭圆的位置关系求参数，意在考查学生的综合应用能力. 21．（1）()0,∞+；（2）证明见详解.【分析】（1）利用函数与方程的思想将问题转化为函数的零点个数问题，然后构造函数利用分类讨论的方法求解出参数a 的取值范围；（2）采用分析法证明01x <，推导出证明()()2220h x h x -->即可，然后构造新函数()()()2H x h x h x =--，分析()H x 的单调性和值域即可完成证明.【详解】（1）因为()(),f x g x 有两个不同的交点，所以()()f x g x =有两个不同的根， 所以()()221x a x e x -=--有两个不同的根，所以()()2210x a x e x -+-=有两个不同的根，设()()()221x h x a x e x =-+-，则()h x 有两个不同的零点，又()()()12xh x x ae '=-+，当0a =时，()()21h x x =-，所以()h x 仅有一个零点1x =，不符题意；当0a >时，(),1x ∈-∞时()0h x '<，()1,x ∈+∞时()0h x >，所以()h x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()min 10h x h ae ==-<， 且()210h =>，当x →-∞时，()0h x >，所以存在()1,1x ∈-∞使得()10h x =，存在()21,2x ∈使得()20h x =，所以()h x 有两个不同的零点，满足题意；当0a <时，20x ae +=时，2ln x a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，令2ln 1a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2a e =-， 若20a e -<<时，2ln 1a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以()h x 在(),1-∞上单调递减，在21,ln a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上递增，在2ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减，又因为()()()221x h x a x e x =-+-当2x ≤时，()0h x >，且()2ln 10h h a ⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当2,ln x a ⎛⎫⎛⎫∈-∞- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x >，故()h x 至多仅有一个零点，不符题意；若2a e=-时，()()()1122x h x x e -'=--，当()1,x ∈+∞时()0h x '<，当(),1x ∈-∞时()0h x '<，所以()h x 在R 上单调递减，所以()h x 至多仅有一个零点，不符合题意； 若2a e <-，2ln 1a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以()h x 在2,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减，在2ln ,1a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上递增，在()1,+∞上单调递减，又因为()()()221x h x a x e x =-+-当2x ≤时，()0h x >，且()21ln 0h h a ⎛⎫⎛⎫>-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当(),1x ∈-∞时，()0h x >，故()h x 至多仅有一个零点，不符题意. 综上可知：()0,a ∈+∞；（2）设()()()221x h x a x e x =-+-的两个零点为12,x x 且12x x <， 因为()h x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以121x x ，要证01x <，只需证122x x +<，只需证122x x <-， 又因为121x x ，所以221x -<且()h x 在(),1-∞上单调递减且12h x h x ，故只需证()()222h x h x >-，只需证()()2220h x h x -->（*）； 设()()()2H x h x h x =--，所以()()()()()222212221x x H x a x e x a x e x -=-+-------， 所以()()22xxH x a x e xe-⎡⎤=-+⎣⎦，所以()()()()()22111xxx x H x a x e x ea x e e --⎡⎤'⎡⎤=-+-=--⎣⎦⎣⎦， 当()1,x ∈+∞时，210,0xxx e e-->->，所以()0H x '>，所以()H x 在()1,+∞上单调递增，所以()()10H x H >=， 所以()20H x >，所以()()2220h x h x -->（*）成立， 所以原不等式成立即01x <成立.【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到函数与方程思想、分类讨论思想，难度较难.已知函数零点个数求解参数范围时，常见的两种方法：分类讨论法、参变分离法；利用导数证明不等式时，可通过构造新函数分析新函数的单调性以及取值情况去证明问题. 22．（1）(225x y +=；（2）445【分析】（1）直接利用极坐标方程公式化简得到答案.（2）变换1x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入圆方程得到240m +-=，利用韦达定理计算得到答案. 【详解】（1）ρθ=，则2ρθρ=，即22x y +=，整理得到：(225x y +-=.（2）12x t y t =+⎧⎪⎨=⎪⎩，则1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入圆方程得到240m -=验证>0∆，12124m m m m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，故()222121212224425m m m m m PA PB m =++-=+=.【点睛】本题考查了极坐标方程的转化，利用直线参数方程求长度问题，意在考查学生的计算能力. 23．（1）(],6-∞；（2）32【分析】（1）根据24246x x x x ++-≥+-+=，得到答案. （2）变换()141475326532a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++ ⎪++⎝⎭，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）()240f x x x m =++--≥，即24x x m ++-≥恒成立.24246x x x x ++-≥+-+=，当24x -≤≤时等号成立，故6m ≤.（2）416532a b a b +=++，则()141475326532a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++ ⎪++⎝⎭()1321345455653262a b a b a b a b ⎡+⎤⎛⎫=++≥⨯+= ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦+. 当3245532a b a b ba ab +⎛⎫+=⎪++⎝⎭，即51,2626b a ==时，等号成立. 故47a b +的最小值为32. 【点睛】本题考查了绝对值三角不等式，均值不等式，意在考查学生对于不等式知识的综合应用.。