概率论 高等院校概率论课件JXHD2-~1

§2.3 连续型随机变量及其分布
一. 连续型随机变量的概率分布
二. 三种常用分布
一. 连续型随机变量及其分布
定义2-4 注1：连续型v r .X 的分布函数)(x F 是连续函数。

注2：概率密度)(x f 具有如下性质：
（1）0)(≥x f ；
（2）⎰∞
+∞-=1)(dx x f ；
（3）⎰
=-=<≤21
)()()(}{1221x x dx x f x F x F x X x P ；
若v r .X 的分布函数)(x F 可表示成 ⎰
∞
-=x
du u f x F )()( （2-7）
其中)(x f 为一非负可积函数，则称X 为连续型
v r .，)(x f 称为X 的概率密度(或概率分布、分布密度)。

（4）若)(x f 在
x 点连续，则)()(x f x F ='。

由（2-8）式知，若不计高阶无穷小，则有 x
x f x x X x P ∆=∆+<≤)(}{即X 落在小区间),[x x x ∆+上的概率近似等于x x f ∆)(。

注3：若X 是连续型v r .，则R a ∈∀,0}{==a X P 。

结论：若A 是不可能事件，则0)(=A P ，反之不然。

}{b X a P <≤}
{b X a P <<= }{b X a P ≤<=}
{b X a P ≤≤=
几种常用分布：
（1）均匀分布:设随机变量X 在有限区间][b a ，内
取值,且其分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他，
，01)(b
x a a b x f ,则称X
在有限区间][b a ，上服从均匀分布,记为)(~b a U X ，。

其分布函数为（自行验证）
⎪
⎩⎪⎨⎧>≤<--≤=b x b x a a b a
x a x x F ，
，，
10)(Uniform Distribution
⎩⎨
⎧≤>-=-000
1)(x x e x F x
，
，λ 一般地,若随机变量X 的概率密度
⎩⎨⎧≤>=-000
)(x x e x f x
，
，λλ
其中0>λ为常数，则称X 服从参数为 λ的指数分布。

其分布函数为
（2）指数分布
（3）正态分布
若随机变量X 的分布密度为 2
2
)(2121
)(μσσ
π--=
x e x f )(+∞<<-∞x （2-9）
其中)0(>σσμ，为常数，则称X 服从参数为σμ，的
正态分布或高斯分布，记为)(~2
σμ，N X 。

显然满足：
01 0)(≥x f （非负性）
2 1)(=⎰
∞
+∞
-dx x f （归一性）
特别地，当10==σμ，时，图形关于0=x 对称，则密度函数变为 22
121
)(x e x -=
π
ϕ )(+∞<<-∞x （2-10）
其分布函数为⎰
∞
--=Φx t
dt e x 22121)(π
)
(+∞<<-∞
x
)(x ϕ
x -
o x x
此时称X 服从标准正态分布，记为），（10~N X 。

由)(x ϕ的图形对称性得 )
()(x x ϕϕ=-)
(1)(x x Φ-=-ΦStandard Normal Distribution
例2-10假设测量的随机误差)100(~2
，
N X ,试求100次独立重复测量中至少有三次测量误差绝对值大于19.6的概率α。

分析：设Y 表示100次独立重复测量中事件
}6.19{>X 出现的次数，则Y 服从二项分布，即
})6.19{100(~>X P B Y ，,问题化为求}3{≥=Y P α。

解：设p 为每次测量误差的绝对值大于19.6的概率，则
p =}6.19{>X P }
6.196.19{1<<--=X P )100
6.19(
1-Φ-=)10
06.19(--Φ+)
96.1(22)96.1()96.1(1Φ-=-Φ+Φ-=05
.0975.022=⨯-≈
设Y 表示100次独立重复测量中事件}6.19{>X 出
现的次数，则
Y 服从二项分布，即)05.0100(~，B Y 。

由于100=n 比较大，p =0.05很小，故由泊松定理知，
Y 近似服从参数为505.0100=⨯=λ的泊松分布，从而所
求概率为
}
3{1}3{<-=≥=Y P Y P α}
2{}1{}0{1=-=-=-=Y P Y P Y P 5
5
5
!
22551------≈e
e e 87
.0)2/2551(15
≈++-=-e
的集合， 一般将样本空间Ω及其上的-σ代数所组成的
（Ω，F ）称为可测空间，
F 中的元素称为F 可测集。

定义2 设Ω为抽象点
ωF 为Ω的一个-σ代数，P 为定义在
F 上的概率测度，则称三元总体（Ω，,F
P ）为概率空间（或概率场）。

将n 维欧几里空间上的开集类产生的
-σ代数称为（B o r e l ）域，以n
B 表示。

概率空间
补充2* 可测函数与随机变量
一、随机变量及其分布
定义1 设（Ω，
F ）是任意给定的可测空间，)(ωX 是定义在Ω上的实值函数，1B 是1R 中的Borel
域，若)(ωX 具有性质：对任意的1R ∈x ，
}
)(|{x X <ωωF ∈则称)(ωX 是可测空间（Ω，
F ）上的可测函数简称F 可测函数。

特别当（Ω，F ）=（1R ，1B ）时，称)(ωX 为Borel 可测函数。

例1 c X =)(ω，Ω∈ω，则)(ωX 对任何可测空间（Ω，F ）都是可测的。

例1 c X =)(ω，Ω∈ω，则)(ωX 对任何可测空间（Ω，F ）都是可测的。

事实上，对c x >， =<})(|{x X ωωΩF ∈；
对c x ≤， =
<})(|{x X ωωφF ∈。

故)(ωX 是F 可测的。

定义 2 假设（Ω，
F ，P ）是一概率空间，)(ωX ，Ω∈ω是定义在Ω上的单值实函数，如果对于任何实数x
}
)(|{x X <ωωF ∈ （1）则称)(ωX 为（Ω，F ，P ）上的随机变量，有时简写为v
r ⋅。

可以证明，定义中（1）式与下述条件等价
})(|{B X ∈ωωF ∈ ∈B 1B （2）
定义 3 设)(ωX 是概率空间（Ω，F ，P ）
上的随机变量，称
})(|{)(B X P B P X ∈=ωω 1B ∈B （3）为随机变量)(ωX 的概率分布，简称为分布。

注：P 是F 上的概率测度，X P 是1B
上的概率测度，特别，若对每个1R ∈x ，取),(x B -∞=，对应
于),(x B -∞=的分布值是
x 的函数，记为 })({)(x X P x F X <=ω 1
R ∈x （4）则称)(x F X 为X 的分布函数。

分布函数)(x F X 具有如下性质：
（1）当b a <时，)()(b F a F X X ≤；
分布函数)(x F X 具有如下性质：
（2）对于任何1R ∈a ，)(x F X 是左连续的，即
)
()(lim 0a F x F X X a x =-→（3）0)()(lim ==-∞-∞
→x F F X x X ； 1)()(lim ==+∞+∞
→x F F X x X 。

一般也将定义在
1R 上满足（1）-（3）的函数
)(x F 称为分布函数。

可证，对满足（1）-（3）的函数)(x F ，必存在1B
上唯一的概率测度F P ，使对1
R ∈x ，当),(x B -∞=时
)()(x F B P F = （5）
定理1 设已给满足上述（1）—（3）的分布函
数)(x F ，则必存在一概率空间（
Ω，F ，P ）及定义在其上的随机变量)(ωX ，使得)(ωX 的分布函数
)()(x F x F X = 1R ∈x )(ωX 与分布函数有如下重要性质：。