2019届衡水金卷高三模拟高考密卷数学(文)试题(解析版)

2019届衡水金卷高三模拟高考密卷数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先化简集合A,B,再求A∩B得解.【详解】由题得A=(-1,2),B=(,所以A∩B=.故选：B【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，考查一元二次不等式和对数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．已知复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，（为虚数单位），则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，求得，则，再根据复数的除法运算，即可求解．【详解】由题意，复数在复平面内的对应点关于实轴对称，，则，则根据复数的运算，得.故选A.【点睛】本题主要考查了复数的表示，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3．已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先根据已知求出的值，再化简得解.【详解】因为，所以两边平方得.所以.故选：A【点睛】本题主要考查二倍角和诱导公式，考查三角求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．已知直线是双曲线的一条渐近线，若的最大值为1，则该双曲线离心率的最大值为（）A．2 B．C．D．【答案】C【解析】由题得|k|≤1，即，化简不等式即得解.【详解】由题得|k|≤1，即，所以所以.所以双曲线的离心率的最大值为.故选：C【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质和离心率的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．如图是民航部门统计的2018年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）A．变化幅度从高到低居于后两位的城市为北京，深圳B．天津的变化幅度最大，北京的平均价格最高C．北京的平均价格同去年相比有所上升，深圳的平均价格同去年相比有所下降D．厦门的平均价格最低，且相比去年同期降解最大【答案】D【解析】根据数据统计表逐一分析得解.【详解】对于选项A, 变化幅度从高到低居于后两位的城市为北京，深圳,因为它们的涨幅的绝对值最小，所以该选项是正确的；对于选项B, 天津的变化幅度最大,接近10%，北京的平均价格最高，接近3000元，所以该选项是正确的；对于选项C, 因为北京的涨幅大于0，所以北京的平均价格同去年相比有所上升，深圳的涨幅小于0，所以深圳的平均价格同去年相比有所下降，所以该选项是正确的；对于选项D, 西安的平均价格最低，不是厦门，厦门相比去年同期降解最大，所以该选项是错误的.故选：D【点睛】本题主要考查数据统计表，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 6．同时满足与的函数的解析式可以是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】代入逐一验证即可.【详解】,所以B.,所以C.,D.,所以选D.【点睛】本题考查函数周期性与对称性判断，考查基本应用求解能力.属基本题. 7．设实数，满足约束条件，则的最小值为（）A．-1 B．C．0 D．【答案】B【解析】先作出不等式组的可行域，再利用数形结合分析得解.【详解】不等式组对应的可行域如图所示，由题得，当直线经过点A时，直线的纵截距最小时，z最小.联立直线方程得A(1,-1),所以的最小值为.【点睛】本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．如图是一个几何体的三视图，分别为直角三角形，半圆，等腰三角形，该几何体由一平面将一圆锥截去一部分后所得，且体积为，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图得几何体原图是半个圆锥，圆锥底面半径为3，求出高为4，母线长为5，再计算几何体的表面积得解.【详解】由三视图得几何体原图是半个圆锥，圆锥底面半径为3，设圆锥的高为h,则所以母线为.所以几何体的表面积为.故选：C【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，考查几何体的体积和表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．在三棱柱中，平面，，，是的重心，若平面平面，则（）A．直线与直线所成的角为B．C．直线与直线所成的角为D．【解析】如图，先找到的位置DE,再逐一判断每一个选项得解.【详解】如图所示，设AB=BC=1,则,因为AB||平面,平面平面,AB平面ABP,所以AB||,所以,过点P作DE||,交于D,交于E, DE所在直线就是.所以直线与直线所成的角为，所以选项A，B错误；直线与直线所成的角为或其补角,由于,所以，所以选项C正确，选项D错误.故选：C【点睛】本题主要考查空间直线的位置关系，考查异面直线所成的角，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10．已知函数的最小正周期为，且图象关于直线对称，若函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数的一个对称中心为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先根据已知求出函数f(x)的解析式，再求出函数g(x)的解析式，再求函数g（x）的图像的对称中心得解.【详解】由题得，因为函数f(x)的最小正周期为，所以因为函数f(x)的图象关于直线对称，所以.所以，所以，令，令k=-1得函数图像的对称中心为.故选：A【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，考查三角函数的图像变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．已知一个圆柱内接于球（圆柱的底面圆周在球面上），若球的体积为，圆柱的高为，则圆柱的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先根据已知求出球的半径和圆柱的底面圆的半径，再求圆柱的体积得解.【详解】设球的半径为R,由题得.设圆柱底面圆的半径为r,由题得所以圆柱的体积为.故选：A【点睛】本题主要考查几何体体积的计算，考查球的内接旋转体问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12．已知函数在定义域内有零点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令f(x)=0,得，，求出函数g(x)的最大值，结合函数的图像得解.【详解】令f(x)=0,得，，所以，所以当0＜x＜e时，，所以函数g(x)在（0，e）上单调递增，在（e,+∞）上单调递减，所以.当x趋近+∞时，g(x)趋近-∞,因为函数在定义域内有零点，所以直线x=a和函数g(x)的图像有交点，所以故选：B【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的有解问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题13．已知向量，，，且，则__________．【答案】【解析】根据向量数量积以及向量的模列条件，解方程组得值，即得结果.【详解】因为，，所以，因为，所以，因此，，从而.【点睛】本题考查向量数量积以及向量的模，考查基本应用求解能力.属基本题.14．曲线在点处的切线方程为________.【答案】【解析】先利用导数求出切线的斜率，再求切点的坐标，再写出切线方程得解.【详解】由题意可知，，所以.又因为，所以曲线在点处的切线方程为，即.故答案为：【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求曲线上一点的切线方程,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15．在如图所示的平面四边形中，，，，，若四边形的面积为，则的长为________.【答案】5【解析】连接，求出，再利用余弦定理求出，求出，再利用面积公式求出BC的值得解.【详解】如图所示，连接.由题可知，，又因为，所以.在中，由余弦定理，得，所以，再由余弦定理，得，所以，所以，又，所以=5.【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，考查三角恒等变换求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题16．在递增的正项等比数列中，与的等差中项为，与的等比中项为16.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据已知得到关于公比和首项的方程组，解方程组即得数列的通项公式；（2）先求出，再利用分组求和、裂项相消求前项和.【详解】（1）设等比数列的公比为.由题得，，即，则，即，因为，所以.又，且，则，所以，所以.（2）由（1）可知，，所以.【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法，考查分组求和与裂项相消，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17．如图1，在菱形中，延长点，使得，且所得是等边三角形.将图1中的沿折起到图2中的位置，且使平面平面，点为的中点，点是线段上的一动点.（1）当时，求证：平面平面；（2）是否存在点，使四棱锥的体积是三棱锥的体积的5倍？若存在，求出此时的值；若不存在，试说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）先证明平面，再证明平面平面；（2）取的中点，连接，，证明平面.过点作交于点，再化简，即得的值.（1）在图1中，四边形是菱形，且，是等边三角形，∴.连接，则是等边三角形.∵是的中点，∴，又，，∴平面.又，∴平面.∵平面∴平面平面.（2）存在点，使四棱锥的体积是三棱锥的体积的5倍.理由如下：取的中点，连接，，则.∵平面平面，平面平面，∴平面.过点作交于点，则平面.∴.令，得，∴，∴当时，四棱锥的体积是三棱锥的体积的5倍.本题主要考查空间几何元素垂直关系的证明，考查空间几何体体积的计算，考查立体几何的探究性问题的处理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 18．2019年3月5日至3月15日在北京召开了“两会”，代表们都递交了很多关于国计民生问题的提案，某媒体为了解民众对“两会”关注程度，随机抽取了年龄在18-75岁之间的100人进行调查，经统计“45岁（含）以下”与“45岁以上”的人数之比为，并绘制如下列联表：（1）根据已知条件完成上面的列联表，并判断能否有的把握认为关注“两会”和年龄段有关？（2）现从关注“两会”的民众中采用分层抽样的办法选取6人对“两会”有关内容问卷调查，再在这6人中选3人进行面对面提问，求至少有一个45岁以上的人参加面对面提问的概率；（3）小张从“两会”中关注到中国的政策红利，看好中国经济的发展，在2019年3月某日将股市里的10万元分成4万元，3万元，3万元分别购买了三支股票，，，其中涨幅，涨幅，涨幅，求小张当天从股市中享受到的红利（元）.附：，其中.临界值表：【答案】（1）列联表见解析，没有；（2）；（3）3300元.【解析】（1）先完成2×2列联表，再利用独立性检验判断能否有的把握认为关注“两会”和年龄段有关；（2）利用古典概型的概率公式求至少有一个45岁以上的人参加面对面提问的概率；（3）直接求的值得解.（1）因为“45岁（含）以下”与“45岁以上”的人数之比为，所以“45岁（含）以下”与“45岁以上”的人数分别为60人与40人，则列联表如下：所以 6.635，所以没有99%的把握认为关注“两会”和年龄段有关.（2）若从关注“两会”的民众中采用分层抽样的方法选取6人，则选出45岁（含）以下有4人，分别记为，，，，45岁以上有2人，分别记为1，2，所以从中选取3人的所有情况为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种；其中至少有一个45岁以上的人的情况为：，，，，，，，，，，，，，，，，共16种.设至少有一个45岁以上的人参加面对面提问为事件，则.（3）由题可知，（万元），所以小张当天从股市中享受到的红利为3300元.【点睛】本题主要考查独立性检验和古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19．已知点，分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过点的直线交椭圆于，两点，的周长为8.（1）求椭圆的标准方程；【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题得关于a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）由题得，即，再利用基本不等式求的最小值.【详解】（1）由题意得，，所以，，.所以椭圆的标准方程为.（2）由（1）知，的坐标分别为，，设直线上不同两点，的坐标分别为，，则，，由，得，故，不妨设，则，当且仅当，即时等号成立，此时，所以的最小值为.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查平面向量的数量积的坐标表示和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．已知函数.（1）若曲线在点）处与轴相切，求函数的零点个数；（2）若，，求实数的取值范围.【答案】（1）零点个数为0；（2）a＜0【解析】（1）先求出，，再求出函数的单调性，得到的最大值小于零，所以函数的零点个数为0.（2）等价于当时，有解.（1）由题知，函数的定义域为.因为，所以，即， 又，则，所以. 令， 则，当时，；当时，. 故的极大值为，即的最大值小于零，所以函数的零点个数为0. （2）因为，，所以有解.即当时，有解.设 所以，所以函数h(x)在（1，+∞）上单调递减， 所以，所以a ＜0. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义和利用导数研究函数的零点问题，考查利用导数研究不等式的有解问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 21．[选修4-4：坐标系与参数方程]以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（2）以曲线C 上的动点M 为圆心、r 为半径的圆恰与直线l 相切，求r 的最小值．【答案】（1）40x -=，13422=+y x ；（2）42. 【解析】（1）直接利用极直互化的公式求直线l 的直角坐标方程，利用三角恒等式消参求曲线C 的普通方程；（2）设点M的坐标为()2cos θθ，再利用三角函数的图像和性质求r 的最小值.【详解】 （1）由sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得1sin cos 222ρθρθ+=， 将sin y ρθ=，cos x ρθ=代入上式， 得直线l的直角坐标方程为40x -=.由曲线C的参数方程2,x cos y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），得曲线C 的普通方程为13422=+y x .（2）设点M的坐标为()2cos θθ， 则点M 到直线043:=-+y x l 的距离为d =2cos 3sin 42θθ+-=2tan )3ϕ= 当d r =时，圆M 与直线l 相切， 故当()sin 1θϕ+=时，r 取最小值， 且r【点睛】本题主要考查极坐标、参数方程和直角坐标方程的互化，考查曲线的参数方程的应用，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能22．[4-5：不等式选讲]已知函数f （x ）＝|x+2|﹣|2x ﹣1|． （1）解不等式f （x ）≥﹣5；（2）当x ∈[1，3]，不等式f （x ）≥|ax ﹣1|恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[2,8]-；（2）13⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【解析】（1）利用零点分类讨论法解不等式()5f x -…；（2）()1f x ax -…可转化为31x ax --…，即2411a x x--剟对[]3,1∈x 恒成立，即max min 2411a x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭剟，再求两个最值即得解. 【详解】（1）由题得，()221f x x x =+-- 3,2,131,2,213,,2x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+-⎨⎪⎪-+>⎪⎩剟 则()5f x -…等价于35,2x x --⎧⎨<-⎩…或315,122x x +-⎧⎪⎨-⎪⎩…剟或35,1,2x x -+-⎧⎪⎨>⎪⎩… 解得x ∈∅或122x -剟或182x <…. 所以原不等式的解集为[]2,8-.（2）当[]3,1∈x 时，()2213f x x x x =+--=-， 所以()1f x ax -…可转化为31x ax --…，即313x ax x ---剟， 也就是2411a x x--剟对[]3,1∈x 恒成立， 即max min2411a x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭剟， 易知min 4113x ⎛⎫-=⎪⎝⎭，max 2113x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 111所以实数a的取值范围为13⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的恒成立问题的解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。