广东省汕头市部分重点中学2009届高三毕业考试高考模拟

广东省汕头市部分重点中学2009届高三毕业考试高考模拟数学（理）试题考生注意：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数ii z -+=1)2(2（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若集合}4{“"2"},4,2{},,1{2====B A m B m A 是则”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．令1)1(++n n x a 为的展开式中含1-n x 项的系数，则数列}1{na 的前n 项和为 （ ）A ．2)3(+n n B ．2)1(+n n C ．1+n n D ．12+n n4．已知三条不重合的直线m 、n 、l 两个不重合的平面βα,，有下列命题 ①若αα//,,//m n n m 则⊂； ②若βαβα//,//,则且m l m l ⊥⊥； ③若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂； ④若αββαβα⊥⊥⊂=⊥n m n n m 则,,,, ； 其中正确的命题个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 5．由曲线x y =2和直线x =1围成图形的面积是（ ）A ．3B ．23C ．34 D ．32 6．同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线3π=x 对称；③在]3,6[ππ-上是增 函数”的一个函数是（ ）A ．)62sin(π+=x y B ．)32cos(π+=x yC ．)62sin(π-=x y D ．)62cos(π-=x y7．已知⎩⎨⎧∈+-∈+=]1,0[1)0,1[1)(2x x x x x f 则下列函数的图象错误的是（ ）A ．)1(-x f 的图象B ．)(x f -的图象C ．|)(|x f 的图象D ．|)(|x f 的图象8．圆014222=+-++y x y x 关于直线),(022b a by ax ∈=+-对称，则ab 的取值范 围是（ ）A ．]41,(-∞B ．]41,0(C ．)0,41(-D ．)41,(-∞9．如图，非零向量==⊥==λλ则若为垂足且,,,,C OA BC （ ）A 2||a B ||||b a C 2D 10．已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 （ ）A ．（1，+∞）B ．（1，2）C ．（1，1+2）D ．（2，1+2）11．设定义域为R 的函数)(x f 满足下列条件：①对任意0)()(,=-+∈x f x f R x ；②对任意],1[,21a x x ∈，当12x x >时，有.0)()(12>>x f x f 则下列不等式不一定成立的是（ ）A ．)0()(f a f >B ．)()21(a f af >+C ．)3()131(->+-f aaf D ．)()131(a f aaf ->+- 12．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行 线面组”的个数是 （ ） A ．60 B ．48 C ．36 D ．24第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在题中横线上。

13．某企业三月中旬生产，A 、B 、C 三种产品共3000件，根据分层抽样的结果；企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中A 、C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 的产品数量是 件。

15．右边程序框图的程序执行后输出 16．给出下列四个命题：①命题“0,2≥∈∀x R x ”的否定是“0,2≤∈∃x R x ”；②线性相关系数r 的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强；③若]1,0[,∈b a ，则不等式4122<+b a 成立的概率是4π； ④函数),2[)2(log 22+∞+-=在ax x y 上恒为正，则实数a 的取值范围是)25,(-∞。

其中真命题的序号是 。

（填上所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共计74分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。

17．（本小题满分12分）已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤33且BC AB BC AB 与,6=⋅的夹角为α， （Ⅰ）求α的取值范围；（Ⅱ）求αααα22cos 3cos sin 2sin )(++=x f 的最小值。

18．（本小题满分12分）一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分。

（Ⅰ）若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率；（Ⅱ）若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得分ξ的概率分布列及数学期望。

19．（本小题满分12分）如图，棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC =60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，∠A 1AC =60°。

（Ⅰ）证明：BD ⊥AA 1；（Ⅱ）求二面角D —A 1A —C 的平面角的余弦值；（Ⅲ）在直线CC 1上是否存在点P ，使BP //平面DA 1C 1？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由。

20．（本小题满分12分）已知函数)(ln )(R a xax x f ∈+= （Ⅰ）求)(x f 的极值；（Ⅱ）若函数)(x f 的图象与函数)(x g =1的图象在区间],0(2e 上有公共点，求实数a 的取值范围。

21．（本小题满分12分）如图，O 是坐标原点，已知三 点E （0，3），F （0，1），G （0，－1），直线L ：y =－1，M 是直线L 上的动点，H 、P 是坐标平面上的动点，且.0,,=⋅==FM PH EG PM HM FH λ（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；（Ⅱ）过点E 的直线m 与点P 的轨迹交于相异两点A 、B ，设向量FB FA 与夹角为θ，且πθπ<≤43，求直线m 斜率的取值范围.22．（本小题满分14分）对⎪⎩⎪⎨⎧+-≤>>∈n nx y y x N n 200*,不等式组所表示的平面区域为D n ，D n 内的整点（横坐标与纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排成点列。

),(,),,(),,)(,(332211n n y x y x y x y x （Ⅰ）求n n y x ,；（Ⅱ）数列2,}{11≥=n x a a n 且满足时)111(2122212-+++=n n n y y y y a .证明当2≥n 时，2211)1(n n a n a n n =-++； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试比较)11()11()11()11(321na a a a ++⋅+⋅+与4的大小关系。

参考答案一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分） BADBC CDAAB CB二、填空题（每小题4分，共4小题，满分16分） 13．800 14．316π15．625 16．②④ 三、解答题（本大题共6小题，满分74分） 17．解（Ⅰ）由题意知6cos ||||=⋅=⋅ααcos 6||||=⋅BC AB αααααπtan 3sin cos 621sin ||||21)sin(||||21=⨯⨯=⋅=-⋅=S ……………………3分333≤≤S3tan 133tan 33≤≤≤≤∴αα即……………………4分 是α 的夹角，],0[πα∈∴]3,4[ππα∈∴……………………6分 （Ⅱ）=++=++=ααααααα222cos 22sin 1cos 2cos sin 2sin)(f)42(222cos 2sin 22πααα++=++……………………9分]3,4[ππα∈]1211,43[42πππ∈+∴a)(3121142απαππαf 时即当当==+∴有最小值。

)(αf 的最小值是233+……………………12分 18．解：（Ⅰ）设“一次取出3个球得4分”的事件记为A ，它表示取出的球中有1个红球和2个黑球的情况，则53)(352312==C C C A P ……………………4分 （Ⅱ）由题意，ξ的可能取值为3、4、5、6。

因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率为.53,52取到黑球的概率为……………………6分 12527)53()3(333===C P ξ1255452)53()4(223=⋅==C P ξ12536)52()53()5(213=⋅==C P ξ 1258)52()6(303===C P ξξ∴的分布列为……………………10分数学期望：E ξ=3×12527+4×12554+5×12536+6×125=5…………12分 19．解：连接BD 交AC 于O ，则BD ⊥AC ， 连接A 1O在△AA 1O 中，AA 1=2，AO=1， ∠A 1AO=60°∴A 1O 2=AA 12+AO 2－2AA 1·Aocos60°=3∴AO 2+A 1O 2=A 12∴A 1O ⊥AO ，由于平面AA 1C 1C ⊥ 平面ABCD ，所以A 1O ⊥底面ABCD ∴以OB 、OC 、OA 1所在直线为x 轴、y 轴、1，0），B （3，0，0），C （0，1，0），D （－3，0，0），A 1（0，0，3）……………………2分（Ⅰ）由于)0,0,32(-=)3,1,0(1= 则00301)32(01=⨯+⨯+-⨯=⋅ ∴BD ⊥AA 1……………………4分 （Ⅱ）由于OB ⊥平面AA 1C 1C ∴平面AA 1C 1C 的法向量)0,0,1(1=n设2n ⊥平面AA 1D则),,(2212z y x n ADn AA n =⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥设 得到)1,3,1(03032-=⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+n y x z y 取……………………6分55,cos 212121=>=<∴n n 所以二面角D —A 1A —C 的平面角的余弦值是55……………………8分 （Ⅲ）假设在直线CC 1上存在点P ，使BP//平面DA 1C 1 设),,(,1z y x P CC λ= 则)3,1,0(),1,(λ=-z y x得)3,1,3()3,1,0(κλλλ+-=+BP P ……………………9分 设113C DA n 平面⊥则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥13113DA n C A n 设),,(3333z y x n = 得到)1,0,1(033023333-=⎪⎩⎪⎨⎧=+=n z x y 不妨取……………………10分又因为//平面DA 1C 1则3n ·10330-==--=λλ得即即点P 在C 1C 的延长线上且使C 1C=CP ……………………12分 法二：在A 1作A 1O ⊥AC 于点O ，由于平面AA 1C 1C ⊥平面 ABCD ，由面面垂直的性质定理知，A 1O ⊥平面ABCD ， 又底面为菱形，所以AC ⊥BDBDAA O AA AA O AA BD AC O A O A BD AC BD ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊥⊥1111110平面平面由于……………………4分（Ⅱ）在△AA 1O 中，A 1A=2，∠A 1AO=60° ∴AO=AA 1·cos60°=1所以O 是AC 的中点，由于底面ABCD 为菱形，所以 O 也是BD 中点由（Ⅰ）可知DO ⊥平面AA 1C过O 作OE ⊥AA 1于E 点，连接OE ，则AA 1⊥DE 则∠DEO 为二面角D —AA 1—C 的平面角……………………6分在菱形ABCD 中，AB=2，∠ABC=60° ∴AC=AB=BC=2 ∴AO=1，DO=322=-AO AB在Rt △AEO 中，OE=OA ·sin ∠EAO=23 DE=21534322=+=+OD OE ∴cos ∠DEO=55=DE OE ∴二面角D —A 1A —C 的平面角的余弦值是55……………………8分 （Ⅲ）存在这样的点P 连接B 1C ，因为A 1B 1//AB //DC∴四边形A 1B 1CD 为平行四边形。