七上《绝对值》视频课堂实录(优质视频实录+配套课件+配套教案
人教版数学七年级上册1.2.4《绝对值》教案
人教版数学七年级上册1.2.4《绝对值》教案一. 教材分析《绝对值》是人教版数学七年级上册第1章第2节的内容，本节课主要让学生理解绝对值的概念，掌握绝对值的性质，并能运用绝对值解决一些实际问题。
绝对值是数学中的一个基本概念，它在日常生活和工农业生产中有着广泛的应用。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，他们对数学概念的理解和运用已经有了一定的基础。
但同时，学生对新的数学概念的接受和理解还需要一定的引导和培养。
他们对绝对值的概念和性质可能还存在一些模糊的认识，需要通过实例和练习来加深理解。
三. 教学目标1.让学生理解绝对值的概念，掌握绝对值的性质。
2.培养学生运用绝对值解决实际问题的能力。
3.培养学生的抽象思维能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.绝对值的概念和性质。
2.运用绝对值解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法和小组合作学习法，引导学生通过观察、思考、讨论、操作等活动，掌握绝对值的概念和性质，提高学生的动手操作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关例题和练习题。
3.学生分组合作学习资料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，如温度、距离等，引导学生思考这些问题的共同特点，从而引出绝对值的概念。
2.呈现（10分钟）介绍绝对值的定义，用PPT展示绝对值的图形表示，让学生直观地理解绝对值的概念。
同时，给出绝对值的性质，让学生通过观察和思考来理解这些性质。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，运用绝对值的性质解决一些实际问题，如求距离、计算温度等。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成，检验学生对绝对值概念和性质的掌握程度。
教师选取部分题目进行讲解，分析解题思路。
5.拓展（10分钟）让学生思考绝对值在实际生活中的应用，如地图上的距离、股票的涨跌等。
引导学生运用绝对值的知识解决这些问题，提高学生的应用能力。
北师大版七年级上册第二章2.3《绝对值》教案
此外，在实践活动环节，学生们在分组讨论和实验操作中表现出较高的积极性，但我也注意到，有些小组在讨论过程中偏离了主题。为了提高讨论的效率，我应该在活动前给出更明确的讨论要求和指导，确保学生在讨论中能够紧扣主题。
（2）掌握绝对值的性质：非负性、对称性、传递性等。
举例：非负性，即任何数的绝对值都是非负数；对称性，即|-a| = |a|；传递性，若|a| = |b|，则a = b或a = -b。
（3）计算含有绝对值符号的表达式：能够正确计算形如|a±b|的表达式。
举例：若a = 3，b = -4，则|3 - (-4)| = |3 + 4| = 7。
五、教学反思
在本次《绝对值》的教学中，我尝试了多种方法引导学生理解绝对值的概念和性质。从学生的反馈来看，大部分同学能够掌握绝对值的基本知识，但我也发现了一些问题。
首先，对于绝对值概念的理解，部分同学仍然存在困难。在导入新课环节，虽然我通过提问和举例引导学生思考，但部分同学似乎还没有完全将绝对值与距离联系起来。在今后的教学中，我需要在这个环节多花一些时间，让学生充分体会绝对值与数轴之间的联系。
2.教学难点
（1）理解绝对值与数轴的关系：学生需要理解数轴上的点与其绝对值之间的联系，明确绝对值表示距离的概念。
难点解析：对于刚接触绝对值的学生来说，理解数轴上的距离与绝对值的关系可能存在困难，需要通过具体实例和数轴演示来帮助学生理解。
（2）绝对值性质的理解与运用：学生需要掌握并运用绝对值的性质解决相关问题。
七年级数学上册 1.2.4 《绝对值(2)》课堂教学实录 新人教版
课堂实录1.2.4 绝对值（二）一、导入新课师：同学们，前面我们学习了绝对值，我相信大家学得都非常好，一定能做好下面这些题． （课件显示题目）比较下列各组数的大小：（1）83--与 ； （2） 4332--与； （3）4与－5 ， （4） 0.9与1.1．分别请四位同学到黑板上板演一下，其余的同学在自己的练习本上完成．（学生练习，教师巡视、指导、点评）师：这几道题是我们上节课所学内容，下面我们再来比较下列各组数的大小．（课件显示题目）比较下列各组数的大小：（1）－10与0； （2） －9与－1；（3）5477--与； （4）7384--与． 分别请四位同学到黑板上板演一下，其余的同学在自己的练习本上完成．（学生练习，教师巡视）师：这几道题老师暂且不做点评，等学完本课后同学们自然就能判断正确与否了．下面我们就来学习绝对值的第二课时．（师板书课题：绝对值（二））二、探索新知（课件显示教材上的探究）师：如图 1.2－6给出了一周中每天的最高气温和最低气温,其中最低的是 ℃,最高的是 ℃.你能将这14个数按从低到高的顺序排列吗?请一位同学到黑板上板演，其余的同学在练习本上画出数轴，把每个数标在对应点上，并比较大小．（学生练习，教师巡视）〖评析〗由于探究题是发生在学生身边的事，他们也能运用已学知识解决，因此积极性较高． 师：我们已知两个正数（或0）之间怎样比较大小，例如0<1,1<2,2<3,….任意两个有理数（例如－4和－3，－2和0，－1和1怎样比较大小呢？（思考，相互之间讨论）师：哪位同学能说一说．生：数学中规定，在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数．由这个规定可知：－6<－5,－5<－4,－4<－3,－2<0,－1<1,…. 师：这位同学说得很对，我们在比较两个数大小时，可以先在数轴上确定其位置，再看其位置得出大小．所以我们可以得出一个什么结论？生：正数大于0，0大于负数，正数大于负数．师：我们再看－6与－5绝对值的大小如何？生：－6的绝对值等于6，－5的绝对值等于5，6大于5，即－6的绝对值大于－5的绝对值． 师：－6小于－5，而－6的绝对值大于－5的绝对值，又说明什么呢？〖评析〗刚接触新知，有部分学生思维跟不上，因此，要进一步引导．生：两个负数，绝对值大的反而小．例如－1>－2师：在数轴上再找两个负数检验看看是不是的？（小组之间相互检验）师：是不是的？生：是的．师：所以两个负数比较大小，绝对值大的反而小，我们可以作为一个规律，在比较两个负数大小时，不用数轴就可以来得出结果．下面就看看怎样用这样的结论解题．三、新知应用例 比较下列各对数的大小（1）－(－1)和－(+2)； （2）73218--和； （3）－(－0.3)和31-． （一边板演一边解说）解：（1）先化简，－(－1)=1，－(+2)=－2．正数大于负数，1>－2，即－(－1)>－(+2) ．(2) 这是两个负数比较大小，要比较它们的绝对值．218218=-，2197373==- ． ∵219218<， 即73218-<-， ∴ 73218-<-． （3）先化简，－(－0.3)=0.3， 3131-= ， ∵0.3 <31，∴－(－0.3) <31-． 第一题先化简由化简结果我们可以知道正数大于负数，从而－（－1）大于－（+2）． 第二题这是两个负数比较大小，要比较它们的绝对值．首先求出两个数的绝对值，因为是异分母的分数比较，还要通分比较大小，最后运用我们刚刚总结的规律：两个负数，绝对值大的反而小，从而得到结果．第三题时小数与分数的比较，要先化简两数，再比较出数的大小．〖评析〗比较两个负分数的大小是这节的重点也是难点，利用这两个小题让学生从整体上把握一下方法，达到熟练掌握的程度．四、新知巩固师：刚刚老师板演了两个负数大小的比较，现在请同学们把教材翻到P14页，完成练习中的两道题．比较下列各对数的大小：－3和－5； －2.5和5.2--（两名学生板演，教师巡视，指导）师：完全正确．同桌间相互批改．还有感觉困难的吗？生：没有师：请看大屏幕上第二题判断题：①两个有理数比较大小，绝对值大的反而小 ． （ ）②有理数中没有最小的数．（ ）③若b a -=，则b a =．（ ）④若a ＜b ＜0，则a ＜b ．（ ）生：第一题错的师：为什么？生：两个正数比较大小，绝对值大的数还大．如2和3．生：第二题是对的，负数没有最小的．生：第三题是对的，因为a = －b ，所以b a -=，b 和－b 互为相反数，所以它们的绝对值相等即b b -=，所以b a =．师：说得很对．那第四题呢？生：错的，两个负数，较小数的绝对值比较大数的绝对值大．如－2和－3，32-<-． 师：说得真不错．接下来请同学们完成学案上的新知巩固中的3、4．（3）写出绝对值不大于4的所有整数，并把它们表示在数轴上．（4）比较大小：－2_________－5，－2.5 2.5--； 65- 56-，87- 98-． （五名学生板演，其余的做在学案上，教师巡视、指导）（请学生点评板演内容，小组成员之间相互检查，订正）〖评析〗四道习题总体以基础训练为主，但第二题判断题稍有难度.五、归纳小结师：谁能说说今天这节课我们学习了哪些内容？生：如何比较两个有理数大小．师：两个有理数是如何比较大小的？生：（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．师：还有没有方法了？生：利用数轴比较，左边的数小于右边的数． （布置课堂作业，学生自主完成） 比较下列各组数的大小．5-9-和，－2.22和－2.25，85-2413和-，14.3-722-和⎪⎭⎫ ⎝⎛+．。
北师大版七年级数学上册2.3 绝对值公开课优质教案(5)
绝对值一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生已经学习了有理数，认识了数轴，能够用数轴上的点来表示有理数，也已经知道数轴上的一个点与原点的距离，会比较这些距离的大小。
并初步体会到了数形结合的思想方法。
学生活动经验基础：在前面相关知识的学习过程中，学生已经经历了归纳、比较、交流等一些活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数学活动的重要性；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、学习任务分析1．地位和内容相反数的概念是学习绝对值知识的基础，绝对值知识是解决有理数比较大小、距离等知识的重要依据，同时它也是我们后面学习有理数运算的基础。
本节课借助数轴引出相反数、绝对值的概念，并通过计算、观察、交流，发现绝对值的性质特征，利用绝对值来比较两个负数的大小。
应让学生直观理解绝对值的含义，不要在绝对值符号内部出现多重符号和字母，多鼓励学生通过观察、归纳、验证，加深对绝对值的理解。
2．教学重点和难点教学重点：理解绝对值的概念；求一个数的绝对值；比较两个负数的大小。
教学难点：利用绝对值比较两个负数的大小。
3. 教学目标(1)借助数轴，理解绝对值和相反数的概念(2)知道｜a｜的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系。
(3)能求一个数的绝对值和相反数，会利用绝对值比较两个负数的大小。
(4)通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用。
三、教学过程设计本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情境，导入新课；第二环节：合作交流，探索新知；第三环节：应用迁移，巩固提高；第四环节：总结反思，知识内化；第五环节：当堂检测，及时反馈；第六环节：拓展延伸，能力提升。
第一环节 创设情境，导入新课活动内容1： 3和-3有什么相同点与不同点？3/2与-3/2，5和-5呢？活动目的：提供几组数让学生进行比较，从而得出相反数的概念。
并让学生理解消化相反数的概念。
人教版七年级数学上册：1.2.4《绝对值》教案4
人教版七年级数学上册：1.2.4《绝对值》教案4一. 教材分析《绝对值》是人教版七年级数学上册第一章第二节第四个小节的内容。
绝对值是实数的一个基本概念，也是初中数学中的重要内容。
它不仅涉及到有理数的分类，而且还是解一元一次方程、不等式以及函数等数学问题的重要工具。
本节课主要让学生了解绝对值的概念，掌握绝对值的性质，并能够运用绝对值解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了有理数、实数等基础知识，对于数的概念有一定的了解。
但是，对于绝对值这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例和讲解来理解和掌握。
同时，学生需要具备一定的抽象思维能力，能够从具体的实例中提炼出绝对值的性质。
三. 教学目标1.让学生了解绝对值的概念，能够正确理解绝对值的定义。
2.让学生掌握绝对值的性质，能够运用绝对值的性质解决一些实际问题。
3.培养学生的抽象思维能力，提高学生解决数学问题的能力。
四. 教学重难点1.绝对值的概念和性质。
2.运用绝对值解决实际问题。
五. 教学方法1.采用情境教学法，通过具体实例引入绝对值的概念，让学生在实际情境中理解和掌握绝对值。
2.采用讲授法，讲解绝对值的性质，引导学生通过归纳总结出绝对值的性质。
3.采用练习法，让学生通过解决实际问题，巩固对绝对值的理解和运用。
六. 教学准备1.准备相关的实例，用于引入绝对值的概念。
2.准备PPT，用于展示绝对值的性质和实例。
3.准备一些练习题，用于巩固学生对绝对值的理解和运用。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体实例，如“小明的家距离学校5公里，请问小明从学校出发，走到家还是走到学校，距离分别是多少？”让学生思考并解答，引出绝对值的概念。
2.呈现（15分钟）PPT展示绝对值的性质，引导学生通过观察和思考，归纳总结出绝对值的性质。
同时，对学生的回答进行点评和指导。
3.操练（15分钟）让学生通过解决一些实际问题，运用绝对值的性质进行计算和解答。
七年级数学上册人教版绝对值专题(课堂学案及配套作业)(解析版)
期末复习绝对值专题（解析版）第一部分教学案类型一利用绝对值的性质求值例1（2022秋•江岸区校级月考）已知|x|＝3，|y|＝5．（1）若x＜y，求x+y的值；（2）若xy＜0，求x﹣y的值．思路引领：由题意可知x＝±3，y＝±5，（1）由于x＜y时，有x＝3，y＝5或x＝﹣3，y＝5，代入x+y即可求出答案；（2）由于xy＜0，x＝﹣3，y＝5或x＝3，y＝﹣5，代入x﹣y即可求出答案．解：由题意知：x＝±3，y＝±5，（1）∵x＜y，∴x＝±3，y＝5，∴x+y＝2或8；（2）∵xy＜0，∴x＝﹣3，y＝5或x＝3，y＝﹣5，∴x﹣y＝±8．总结提升：本题考查有理数的运算，绝对值的性质，涉及代入求值，分类讨论的思想，属于基础题型．变式训练1．（2022秋•方城县校级月考）已知|x|＝3，|y|＝7．（1）若x＜y，求x+y的值；（2）若x＞y，求x﹣y的值．思路引领：（1）先求得x＝±3，y＝±7，再根据条件求出x、y即可求解；（2）根据条件求得x、y，进而求解即可．解：（1）∵|x|＝3，|y|＝7，∴x＝±3，y＝±7，∵x＜y，∴x＝﹣3，y＝7或x＝3，y＝7，当x＝﹣3，y＝7时，x+y＝﹣3+7＝4；当x＝3，y＝7时，x+y＝3+7＝10，∴x+y的值为4或10；（2）∵x＞y，∴x＝﹣3，y＝﹣7或x＝3，y＝﹣7，当x ＝﹣3，y ＝﹣7时，x ﹣y ＝﹣3+7＝4， 当x ＝3，y ＝﹣7时，x ﹣y ＝3+7＝10， ∴x ﹣y 的值为4或10．总结提升：本题考查代数式求值、绝对值的性质，根据题设求得对应的x 、y 是解答的关键．类型二 利用绝对值的性质去绝对值例2 已知a ＜﹣b ，且ab ＞0，化简|a |﹣|b |+|a +b |+|ab |＝ ．思路引领：根据题中的条件判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 解：∵a ＜﹣b ，且ab ＞0，∴a +b ＜0，a ，b 同号，都为负数， 则原式＝﹣a +b ﹣a ﹣b +ab ＝﹣2a +ab ． 故答案为：﹣2a +ab总结提升：此题考查了整式的加减，以及绝对值，判断出绝对值里边式子的正负是解本题的关键．例3（2021秋•渝中区校级期中）已知有理数a ，b ，c 在数轴上面的位置如图所示：化简|a +b |﹣|c ﹣a |+|b ﹣c |＝ ．思路引领：根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可． 解：由图可知b ＜0＜a ＜c ， 则a +b ＜0，c ﹣a ＞0，b ﹣c ＜0， ∴原式＝﹣a ﹣b ﹣c +a ﹣b +c ＝﹣2b ． 故答案为：﹣2b ．总结提升：本题考查了整式的加减、数轴及绝对值的知识，掌握数轴上右边的数总比左边的数大是解答本题的关键． 变式训练1．（2022秋•江岸区期中）如图，数轴上的点A 、B 、C 、D 对应的数分别为a 、b 、c 、d ，且这四个点满足每相邻的两点之间的距离相等． （1）化简|a ﹣c |﹣|b ﹣a |﹣|b ﹣d |． （2）若|a |＝|c |，b ﹣d ＝﹣4，求a 的值．思路引领：（1）根据数轴得到a＜b＜c＜d，得到a﹣c＜0 b﹣a＞0 b﹣d＜0，根据绝对值的性质和去括号法则计算；（2）根据题意得到B点为原点，即b＝0，根据数轴的概念解答．解：（1）由图可知：a＜b＜c＜d∴a﹣c＜0 b﹣a＞0 b﹣d＜0，∴原式＝﹣（a﹣c）﹣（b﹣a）﹣[﹣（b﹣d）]＝﹣a+c﹣b+a﹣d+b＝c﹣d；（2）∵|a|＝|c|，a＜c，AB＝BC∴B点为原点，∴b＝0，∵b﹣d＝﹣4，∴d＝4，∴a＝﹣2．总结提升：本题考查的是数轴和绝对值，掌握绝对值的性质，数轴的概念是解题的关键．2．（2021秋•贡井区期中）如图，数轴上的点A，B，C，D，E对应的数分别为a，b，c，d，e，且这五个点满足每相邻两个点之间的距离都相等．（1）填空：a﹣c0，b﹣a0，b﹣d0（填“＞“，“＜“或“＝“）；（2）化简：|a﹣c|﹣2|b﹣a|﹣|b﹣d|；（3）若|a|＝|e|，|b|＝3，直接写出b﹣e的值．思路引领：（1）根据数轴得出a＜b＜c＜d＜e，再比较即可；（2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可；（3）先求出b、e的值，再代入求出即可．解：（1）从数轴可知：a＜b＜c＜d＜e，∴a﹣c＜0，b﹣a＞0，b﹣d＜0，故答案为：＜，＞，＜；（2）原式＝|a﹣c|﹣2|b﹣a|﹣|b﹣d|＝﹣a+c﹣2（b﹣a）﹣（d﹣b）＝﹣a+c﹣2b+2a﹣d+b＝a﹣b+c﹣d；（3）|a|＝|e|，∴a、e互为相反数，∵|b|＝3，这五个点满足每相邻两个点之间的距离都相等，∴b＝﹣3，e＝6，∴b﹣e＝﹣3﹣6＝﹣9．总结提升：本题考查了数轴，绝对值，相反数和有理数的大小比较等知识点，能根据数轴得出a＜b＜c＜d＜e是解此题的关键．类型三利用绝对值的非负性求值例4（2009秋•新华区校级月考）已知|a+2|+|b﹣3|＝0，求a和b的值．思路引领：直接根据非负数的性质进行解答即可．解：∵|a+2|+|b﹣3|＝0，∴a+2＝0，b﹣3＝0，解得a＝﹣2，b＝3．总结提升：本题考查的是非负数的性质，根据绝对值的性质得出a+2＝0，b﹣3＝0是解答此题的关键．变式训练1．（2020秋•洪山区校级月考）已知|a﹣1|＝3，|b﹣3|与（c+1）2互为相反数，且a＜b，求代数式2a﹣b+c﹣abc的值．思路引领：利用绝对值的代数意义，非负数的性质确定出各自的值，代入原式计算求出值．解：∵|a﹣1|＝3，|b﹣3|与（c+1）2互为相反数，且a＜b，∴a﹣1＝3或a﹣1＝﹣3，|b﹣（c+1）2＝0，解得：a＝4或﹣2，∵a＜b，∴a＝﹣2，b＝3，c＝﹣1，原式＝2×（﹣2）﹣3+（﹣1）﹣（﹣2）×3×（﹣1）＝﹣14．总结提升：此题考查了有理数的混合运算，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．类型四aa类型问题例5（2022秋•隆昌市校级月考）阅读下列材料并解决有关问题，我们知道|x|={x(x＞0)0(x=0)−x(x＜0)，当x＞0时，x|x|=xx=1，当x＜0时，x|x|=x−x=−1．且当x＞0，y＜0时，xy＜0．现在我们可以用这个结论来解决下面问题：（1）已知a，b是有理数，当a＜0，b＞0时，a|a|+b|b|=．（2）已知a，b是有理数，当ab≠0时，a|a|+b|b|=．（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求b+c|a|+a+c|b|+a+b|c|的值．思路引领：（1）根据“当x＞0时，x|x|=xx=1，当x＜0时，x|x|=x−x=−1”进行计算即可；（2）分三种情况进行解答，即a、b同正，同负，一正一负进行解答即可；（3）由a+b+c＝0可得a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，进而将原式变为−a|a|−b|b|−c|c|，再根据（1）的解法进行计算即可．解：（1）∵a＜0，∴|a|＝﹣a，∴a|a|=a−a=−1，又∵b＞0，∴|b|＝b，∴b|b|=bb=1，∴a|a|+b|b|=0；故答案为：0；（2）当a＞0，b＞0时，a|a|+b|b|=1+1＝2，当a＞0，b＜0时，a|a|+b|b|=1﹣1＝0，当a＜0，b＞0时，a|a|+b|b|=−1+1＝0，当a＜0，b＜0时，a|a|+b|b|=−1﹣1＝﹣2，故答案为：﹣2或0或2；（3）∵a+b+c＝0，∴a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，∴原式=−a|a|−b|b|−c|c|，又∵a+b+c＝0，abc＜0，∴a、b、c中有一个负数，两个正数，∴原式=−a |a|−b |b|−c |c|＝﹣1﹣1+1 ＝﹣1， 答：b+c |a|+a+c |b|+a+b |c|的值为﹣1．总结提升：本题考查绝对值，理解“当x ＞0时，x|x|=x x=1，当x ＜0时，x|x|=x −x=−1”是解决问题的关键． 变式训练1．（2017秋•邛崃市期末）设a +b +c ＝0，abc ＞0，则b+c |a|+c+a |b|+a+b |c|的值是 ．思路引领：由a +b +c ＝0，abc ＞0，可知a 、b 、c 中二负一正，将b +c ＝﹣a ，c +a ＝﹣b ，a +b ＝﹣c 代入所求代数式，可判断−a |a|，−b |b|，−c |c|中二正一负．解：∵a +b +c ＝0，abc ＞0， ∴a 、b 、c 中二负一正，又b +c ＝﹣a ，c +a ＝﹣b ，a +b ＝﹣c ， ∴b+c |a|+c+a |b|+a+b |c|=−a |a|+−b |b|+−c |c|，而当a ＞0时，−a |a|=−1，当a ＜0时，−a |a|=1，∴−a |a|，−b |b|，−c |c|的结果中有二个1，一个﹣1，∴b+c |a|+c+a |b|+a+b |c|的值是1．故答案为：1．总结提升：此题考查的知识点是绝对值，判断a 、b 、c 的符号是解题的关键． 类型五 多绝对值问题例6 （2020秋•恩施市月考）已经知道|x |的几何意义是数轴上数x 所对应的点与原点之间的距离，即|x ﹣0|，也就是说，表示数轴上的数x 与数0之间的距离，这个结论可以推广为，|x 1﹣x 2|表示数x 1与数x 2对应点之间的距离． 例1：已知|x |＝2，求x 的值．解：在数轴上与原点的距离为2的点表示的数为﹣2和2，所以x 的值为2或者﹣2． 例2：已知|x ﹣1|＝2，求x 的值．解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和﹣1，所以x 的值为3或者﹣1．根据两个例子，求解：（1）|x﹣1|＝5，求x．（2）|x+1|＝5，求x．（3）|x+3|+|x﹣3|＝6，找出所有符合条件的整数x．思路引领：通过对例题的理解，根据数轴的性质，找到在数轴上对应的点，即可求解．解：（1）在数轴上与1对应的点的距离为5的点表示的数为﹣4和6，所以x的值为﹣4或者6；（2）在数轴上与（﹣1）对应的点的距离为5的点表示的数为4和﹣6，所以x的值为4或者﹣6；（3）在数轴上与（﹣3）对应的点的距离加上在数轴上与3对应的点的距离之和为6，因为（﹣3）到3的距离为6，所以x只有在（﹣3）与3之间可以满足表达式，x可以取：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3．总结提升：本题主要考查了数轴结合绝对值的应用，绝对值性质在数轴上双向表示方法是解决问题的关键．类型六绝对值最值问题例7（2018秋•雨花区校级月考）同学们都知道，|2﹣（﹣1）|表示2与﹣1的差的绝对值，实际上位可理解为在数轴上正数2对应的点与负数﹣1对应的点之间的距离，试探索：（1）|2﹣（﹣1）|＝；如果|x﹣1|＝2，则x＝．（2）求|x﹣2|+|x﹣4|的最小值，并求此时x的取值范围；（3）由以上探索已知（|x﹣2|+|x+4|）+（|y﹣1|+|y﹣6|）＝20，则求x+y的最大值与最小值；（4）由以上探索及猜想，计算x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2017|+|x﹣2018|的最小值．思路引领：（1）根据绝对值的意义直接计算即可；（2）把|x﹣2|+|x﹣4|理解为：在数轴上表示x到﹣4和2的距离之和，根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值，从而得结论；（3）先确定x、y的取值范围，再分类讨论．（4）观察已知条件可以发现，|x﹣a|表示x到a的距离．要使题中式子取得最小值，则应该找出与最小数和最大数距离相等的x的值，此时式子得出的值则为最小值．解：（1）|2﹣（﹣1）|＝|2+1|＝3，|x﹣1|＝2，x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2x＝3或﹣1故答案为：3，3或﹣1；（2）∵|x﹣2|+|x﹣4|理解为：在数轴上表示x到4与2的距离之和，∴当x 在2与4之间的线段上（即2≤x ≤4）时，|x ﹣2|+|x ﹣4|的值有最小值，最小值为4﹣2＝2，此时x 的取值范围为：2≤x ≤4．（3）因为x ﹣2＝0，x +4＝0时，x ＝2或﹣4，y ﹣1＝0，y ﹣6＝0时，y ＝1或6． 当x ＜﹣4时，|x ﹣2|+|x +4|＝2﹣x ﹣x ﹣4＝﹣2x ﹣2；当﹣4≤x ≤2时，|x ﹣2|+|x +4|＝2﹣x +x +4＝6；当x ＞2时，|x ﹣2|+|x +4|＝x ﹣2+x +4＝2x +2；当y ＜1时，|y ﹣1|+|y ﹣6|＝1﹣y +6﹣y ＝﹣2y +7；当1≤y ≤6时，|y ﹣1|+|y ﹣6|＝y ﹣1+6﹣y ＝5；当y ＞6时，|y ﹣1|+|y ﹣6|＝y ﹣1+y ﹣6＝2y ﹣7； 当x ＜﹣4，y ＜1时，x +y 取最小值， 此时（﹣2x ﹣2）+（﹣2y +7）＝20 x +y =−152当x ＞2，y ＞6时，x +y 取最大值， 此时（2x +2）+（2y ﹣7）＝20 x +y =252所以x +y 的最大值是252，最小值是−152．（4）由已知条件可知，|x ﹣a |表示x 到a 的距离，只有当x 到1的距离等于x 到2018的距离时，式子取得最小值． ∴当x =1+20182=1009.5时，式子取得最小值， 此时，|x ﹣1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|+…+|x ﹣2017|+|x ﹣2018|＝|1009.5﹣1|+|1009.5﹣2|+|1009.5﹣3|+…+|1009.5﹣2016|+|1009.5﹣2017|+|1009.5﹣2018| ＝2（1008.5+1007.5+…+2.5+1.5+0.5） ＝2×[0.5×1009+（1+2+3…+1008）] ＝2×（504.5+1008(1+1008)2） ＝1018081．总结提升：本题考查了绝对值，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键． 变式训练1．（2022秋•灌南县校级月考）认真阅读下面的材料，完成有关问题．材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，A ，B 两点在数轴上分别表示有理数a ，b ，那么A ，B 两点之间的距离可表示为|a ﹣b |．（1）如果A，B，C三点在数轴上分别表示有理数x，﹣2，1，那么点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）；（2）利用数轴探究：①满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的值是，②设|x﹣3|+|x+1|＝p，当x的取值在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是；当x的取值在的范围时，|x|+|x﹣2|的最小值是；（3）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值以及此时x的值；（4）若|x﹣3|+|x﹣2|+|x﹣1|+|x|≥a对任意有理数x都成立，求a的最大值．思路引领：（1）根据两点间的距离公式，可得答案；（2）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值；（3）|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|＝（|x﹣3|+|x+1|）+|x﹣2|，根据问题（2）中的探究②可知，要使|x﹣3|+|x+1|的值最小，x的值只要取﹣1到2之间（包括﹣1、2）的任意一个数，要使|x ﹣2|的值最小，x应取2，显然当x＝2时能同时满足要求，把x＝2代入原式计算即可；（4）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得答案．解：（1）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+2|+|x﹣1|．故答案为：|x+2|+|x﹣1|；（2）①满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的所有值是﹣2、4．故答案为：﹣2，4；②设|x﹣3|+|x+1|＝p，当x的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是4；当x的值取在不小于0且不大于2的范围时，|x|+|x ﹣2|取得最小值，这个最小值是2；故答案为：4；不小于0且不大于2；2；4，2；（3）由分析可知，当x＝2时能同时满足要求，把x＝2代入原式＝1+0+3＝4；（4）|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|＝（|x﹣3|+|x+2|）+（|x﹣2|+|x+1|），要使|x﹣3|+|x+2|的值最小，x的值取﹣2到3之间（包括﹣2、3）的任意一个数，要使|x ﹣2|+|x+1|的值最小，x取﹣1到2之间（包括﹣1、2）的任意一个数，显然当x取﹣1到2之间（包括﹣1、2）的任意一个数能同时满足要求，不妨取x＝0代入原式，得|x﹣3|+|x ﹣2|+|x+1|+|x+2|＝3+2+1+2＝8；方法二：当x取在﹣1到2之间（包括﹣1、2）时，|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|＝﹣（x﹣3）﹣（x﹣2）+（x+1）+（x+2）＝﹣x+3﹣x+2+x+1+x+2＝8．总结提升：本题考查了列代数式、数轴、绝对值，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键．第二部分配套作业1．（2020秋•江汉区校级期末）下列说法：①|a|＝﹣a，则a为负数；②数轴上，表示a、b 两点的距离为a﹣b；③|a+b|＝a﹣b，则a＞0，b＝0或a＝0，b＜0；④|a+b|＝|a|﹣|b|，则ab≤0．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4思路引领：根据绝对值的性质，数轴的概念计算，判断即可．解：|a|＝﹣a，则a为非正数，①错误；数轴是表示a、b两点的距离为|a﹣b|，②错误；|a+b|＝a﹣b，则a＞0，b＝0或a＝0，b＜0或a＝0，b＝0，③错误；|a+b|＝|a|﹣|b|，则ab≤0．④正确；故选：A．总结提升：本题考查的是数轴的概念，绝对值的性质，掌握绝对值的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．2．（2022秋•江岸区校级期中）下列说法正确的个数为（）①如果|a|＝a，那么a＞0；②使得|x﹣1|+|x+3|＝4的x的值有无数个；③用四舍五入法把数2005精确到百位是2000；④几个数相乘，积的符号一定由负因数的个数决定，当负因数的个数为偶数时积为正A．0个B．1个C．2个D．3个思路引领：根据绝对值的性质可判断①，②，利用四舍五入法可直接求解判断③，根据有理数乘法的性质可判断求解④．解：①如果|a|＝a，那么a≥0，故原说法不符合题意；②当﹣3≤x≤1时，|x﹣1|+|x+3|＝1﹣x+x+3＝4，故x的值有无数个，故原说法符合题意；③用四舍五入法把数2005精确到百位是2.0×103，故原说法不符合题意；④几个非0的数相乘，积的符号一定由负因数的个数决定，当负因数的个数为偶数时积为正，故原说法不符合题意．故有1个．故选：B．总结提升：本题主要考查有理数的乘法，绝对值的性质，近似数，掌握相关性质是解题的关键．3．（2021秋•涪城区校级月考）下列说法：①若a为有理数，且a≠0，则a＜a2；②若1a=a，则a＝1；③若a3+b3＝0，则a、b互为相反数；④若|a|＝﹣a，则a＜0；⑤若b＜0＜a，且|a|＜|b|，则|a+b|＝﹣|a|+|b|，其中正确说法的有．思路引领：各式利用相反数，绝对值，倒数的定义，乘方的意义，以及加法法则判断即可．解：①若a为有理数，且a≠0，则a不一定小于a2，说法错误；②若1a=a，则a＝1或﹣1，说法错误；③若a3+b3＝0，则a、b互为相反数，说法正确；④若|a|＝﹣a，则a≤0，说法错误；⑤若b＜0＜a，且|a|＜|b|，则|a+b|＝﹣|a|+|b|，说法正确．故答案为：③⑤．总结提升：此题考查了有理数的乘方，相反数，绝对值，倒数，以及有理数的加法，熟练掌握运算法则及各自的性质是解本题的关键．4．（2022秋•蒲江县校级期中）已知：|a|＝2，|b|＝3且a＞b，求a+b的值．思路引领：计算绝对值要根据绝对值的定义求解，注意在条件的限制下a，b的值剩下2组．a＝2时，b＝﹣3或a＝﹣2时，b＝﹣3，所以a+b＝﹣1或a+b＝﹣5．解：∵|a|＝2，|b|＝3，∴a＝±2，b＝±3．∵a＞b，∴当a＝2时，b＝﹣3，则a+b＝﹣1．当a＝﹣2时，b＝﹣3，则a+b＝﹣5．总结提升：本题是绝对值性质的逆向运用，此类题要注意答案一般有2个．两个绝对值条件得出的数据有4组，再添上a，b大小关系的条件，一般剩下两组答案符合要求，解此类题目要仔细，看清条件，以免漏掉答案或写错．5．（2022秋•安岳县校级月考）（1）已知|a|＝5，|b|＝3，且a＞b，求a﹣b的值；（2）已知|a+2|+|b﹣4|+|c﹣5|＝0，求式子a﹣2b﹣（﹣c）的值．思路引领：（1）根据绝对值的意义，可得a、b的值，根据有理数的减法，可得答案；（2）根据绝对值的和为零，可得每个绝对值为零，根据代数式求值，可得答案．解：（1）由|a|＝5，|b|＝3，且a＞b，得a＝5，b＝±3．当a＝5，b＝3时，a﹣b＝5﹣3＝2，当a＝5，b＝﹣3时，a﹣b＝5﹣（﹣3）＝5+3＝8；（2）由|a+2|+|b﹣4|+|c﹣5|＝0，得a+2＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0．解得a＝﹣2，b＝4，c＝5．当a＝﹣2，b＝4，c＝5时，a﹣2b﹣（﹣c）＝﹣2﹣2×4﹣（﹣5）＝﹣2﹣8+5＝﹣5．总结提升：本题考查了代数式求值，利用绝对值的意义得出a、b、c的值，再利用代数式求值．6．（2021秋•新洲区期中）已知|x+1|＝4，（y+2）2＝4，若x+y≥﹣5，求x﹣y的值．思路引领：根据条件求出x，y的值，根据x+y≥﹣5，分三种情况分别计算即可．解：∵|x+1|＝4，（y+2）2＝4，∴x+1＝±4，y+2＝±2，∴x＝﹣5或3，y＝0或﹣4，∵x+y≥﹣5，∴当x＝﹣5，y＝0时，x﹣y＝﹣5；当x＝3，y＝0时，x﹣y＝3；当x＝3，y＝﹣4时，x﹣y＝7；综上所述，x﹣y的值为﹣5或3或7．总结提升：本题考查了绝对值，有理数的加减法，考查分类讨论的数学思想，根据x+y ≥﹣5，分三种情况分别计算是解题的关键．7．（1）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a+b|﹣2|c﹣b|+|c﹣a|﹣|a+c|（2）已知a＜0，ab＞0，|c|﹣c＝0，化简：|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|．思路引领：（1）由题意可得c＜a＜0＜b，则a+b＞0，c﹣b＜0，c﹣a＜0，a+c＜0，根据绝对值的定义化简可得．（2）由题意可得b＜0，c是非负数，则a+b＜0，c﹣b＞0，a﹣c＜0，再根据绝对值的定义化简可得．解：（1）由题意可得c＜a＜0∴a+b＞0，c﹣b＜0，c﹣a＜0，a+c＜0∴|a+b|﹣2|c﹣b|+|c﹣a|﹣|a+c|＝a+b﹣2b+2c+a﹣c+a+c＝3a﹣b+2c（2）∵a＜0，ab＞0，|c|﹣c＝0，∴b＜0，c是非负数∴a+b＜0，c﹣b＞0，a﹣c＜0|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|＝﹣b+a+b﹣c+b+c﹣a＝b总结提升：本题考查了数轴和绝对值，利用|a|＝a（a＞0），|a|＝﹣a（a＜0），|a|＝0（a ＝0）化简是本题的关键．8．（2021秋•西城区校级期中）已知|ab﹣2|与|b﹣1|互为相反数，求式子1ab +1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+⋯+1(a+2021)(b+2021)的值．思路引领：由题意可知，|ab﹣2|+|b﹣1|＝0，根据绝对值的非负性可得|ab﹣2|＝0，|b﹣1|＝0，进而求出a和b的值，再代入所求式子即可．解：由题意可知，|ab﹣2|+|b﹣1|＝0，∴|ab﹣2|＝0，|b﹣1|＝0，∴b＝1，a＝2，∴1ab +1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+⋯+1(a+2021)(b+2021)=12×1+1(2+1)(1+1)+1(2+2)(1+2)+⋯+1(2+2021)(1+2021)＝1−12+12−13+13−14+⋯+12022−12023＝1−1 2023=2022 2023．总结提升：本题考查了代数式求值，绝对值的非负性，得出1n(n+1)=1n−1n+1，以及抵消法的运用是解题的关键．9．阅读材料：我们知道：|x|的几何意义为数轴上表示数x的点到原点的距离，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离．根据上述材料，回答下列问题：（1）数轴上表示数﹣2的点与表示数5的点之间的距离为；（2）等式|x﹣2|＝3的几何意义是，x的值为；（3）若|x﹣3|＝|x﹣5|，求x的值；（4）求式子|x﹣1|+|x﹣3|的最小值．思路引领：（1）根据两点间的距离公式即可求解；（2）根据|x1﹣x2|的几何意义求解可得；（3）先去绝对值，再解方程即可求解；（4）由题意知|x﹣1|+|x﹣3|表示数x到1和3的距离之和，当数x在两数之间时式子取得最小值．解：（1）数轴上表示数﹣2的点与表示数5的点之间的距离为5﹣（﹣2）＝7．故答案为：7；（2）等式|x﹣2|＝3的几何意义是表示到数2的距离为3的点，x的值为﹣1或5．故答案为：表示到数2的距离为3的点，﹣1或5；（3）|x﹣3|＝|x﹣5|，x﹣3＝±（x﹣5），解得x＝4．故x的值为4；（4）式子|x﹣1|+|x﹣3|表示数x到1和3的距离之和，当x＜1时，原式＝﹣x+1﹣x+3＝﹣2x+4＞2，当1≤x≤3时，原式＝x﹣1﹣x+3＝2，当x＞3时，原式＝x﹣1+x﹣3＝2x﹣4＞2，故式子|x﹣1|+|x﹣3|的最小值为2．总结提升：本题考查了一元一次方程的应用，数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．10．（2022秋•安阳期中）我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示﹣10和﹣5的两点之间的距离是．（2）数轴上表示x和﹣3的两点A，B之间的距离是．（3）说出|x+2|+|x﹣2|+|x﹣4|的最小值是．（4）结合数轴求|x﹣1|+|x|+|x+2|+|x﹣4|的最小值为．此时符合条件的整数x 为．思路引领：（1）利用两点距离公式|﹣10﹣（﹣5）|计算即可；（2）利用两点距离公式|x﹣（﹣3）|计算即可；（3）根据|x﹣a|表示数轴上x与a之间的距离，因而原式表示数轴上一点到﹣2，2，4的距离之和，据此解答即可；（4）根据|x﹣a|表示数轴上x与a之间的距离，因而原式表示数轴上一点到1，0，﹣2，4的距离之和，此时符合条件的整数x为1或0．解：（1）根据结论：数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|可得，数轴上表示﹣10和﹣5的两点之间的距离是|﹣10﹣（﹣5）|＝|﹣5|＝5．故答案为：5；（2）∵数轴上表示x和﹣3的两点A、B之间的距离是|x+3．故答案为：|x+3|；（3）|x+2|+|x﹣2|+|x﹣4|表示数轴上一点到﹣2，2，4的距离之和，∴当x为2时，距离和最小为4﹣（﹣2）＝6．故答案为：6．（4）|x﹣1|+|x|+|x+2|+|x﹣4|表示数轴上一点到1，0，﹣2，4的距离之和，此时符合条件的整数x为1或0．故答案为：7，1或0．总结提升：此题综合考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的有关内容，解题的关键是正确理解题意给出的距离的定义．11．（2022秋•祁阳县校级期中）我们知道，在数轴上，|a|表示a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|利用此结论．回答以下问题：（1）数轴上表示﹣10和﹣5的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和﹣3的两点A，B之间的距离是；（3）式子|x+2|+|x﹣2|+|x﹣4|的最小值是．思路引领：（1）利用两点距离公式|﹣10﹣（﹣5）|计算即可；（2）利用两点距离公式|x﹣（﹣3）|计算即可；（3）根据|x﹣a|表示数轴上x与a之间的距离，因而原式表示数轴上一点到﹣2，2，4的距离之和，据此解答即可．解：（1）根据结论：数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|可得，数轴上表示﹣10和﹣5的两点之间的距离是|﹣10﹣（﹣5）|＝|﹣5|＝5，故答案为：5；（2）∵数轴上表示x和﹣3的两点A、B之间的距离是|x+3|，故答案为：|x+3|；（3）|x+2|+|x﹣2|+|x﹣4|表示数轴上一点到﹣2，2，4的距离之和，∴当x为2时，距离和最小为﹣（﹣2）＝6，故答案为：6．总结提升：此题综合考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的有关内容，解题的关键是正确理解题意给出的距离的定义，本题属于基础题型．13．（2020秋•公安县期中）探究活动：【阅读】我们知道，|﹣5|表示数轴上表示﹣5的点到原点的距离，|a|表示数轴上表示a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．【探索】（1）数轴上表示﹣1和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是；数轴上两个点A、B，分别用数a、b表示，那么A、B两点之间的距离为AB＝．（2）数轴上表示﹣2和x的两点A、B之间的距离是，如果AB＝3，那么x的值为．（3）若|x﹣2|+|x+3|＝7，试求x的值；（4）当x为何值时，式子|x+2020|+|x﹣1|取最小值，最小值是多少．思路引领：（1）根据数轴上两点间的距离求法求解即可；（2）由题意可得|x+2|＝3，求解x即可；（3）|x﹣2|+|x+3|＝7表示数轴上表示x的点到表示2的点的距离与到﹣3的点的距离之和，当﹣3≤x≤2时，（3）|x﹣2|+|x+3|的值最小为5，结合题意可知，当表示x的点在表示2的点的右边时，x的值为3；当表示x的点在表示﹣3的点的左边时，x的值为﹣4；（4）|x+2020|表示数轴上表示x的点到表示﹣2020的点的距离，|x﹣1|表示数轴上表示x 的点到表示1的点的距离，由（3）的分析可知，﹣2020≤x≤1时，距离之和最小是2021．解：（1）数轴上表示﹣1和﹣5的两点之间的距离是|﹣1﹣（﹣5）|＝4，数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是|2﹣（﹣3）|＝5，AB＝|a﹣b|，故答案为：4，5，|a﹣b|；（2）表示﹣2和x的两点A、B之间的距离是|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，∵AB＝3，∴|x+2|＝3，解得x＝1或x＝﹣5，故答案为：|﹣2﹣x|，﹣5或1；（3）|x﹣2|+|x+3|＝7表示数轴上表示x的点到表示2的点的距离与到﹣3的点的距离之和，∵表示x的点在表示2和﹣3的两个点之间时，距离之和为5，∴当表示x的点在表示2的点的右边时，若|x﹣2|+|x+3|＝7，则x的值为3；当表示x的点在表示﹣3的点的左边时，若|x﹣2|+|x+3|＝7，则x的值为﹣4；∴x的值为3或﹣4；（4）∵|x+2020|表示数轴上表示x的点到表示﹣2020的点的距离，|x﹣1|表示数轴上表示x的点到表示1的点的距离，由（3）的分析可知，当表示x的点在表示﹣2020和1的两个点之间时，距离之和最小，∴当﹣2020≤x≤1时，式子|x+2020|+|x﹣1|取最小值，最小值是2021．总结提升：本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的意义是解题的关键．。
最新华东师大版七年级数学上册2.4绝对值公开课优质教案(2)
2.4 绝对值课程标准分析本节课要求学生借助数轴，初步理解绝对值地概念，能求一个数地绝对值，并能够利用绝对值地非负性进行相关计算.通过应用绝对值养成解决实际问题地能力;通过渗透数形结合地思想方法，注意培养学生地概括能力.最终帮助学生体会绝对值地意义和作用，感受数学在生活中地价值.教材分析1.地位与作用:绝对值是有理数地重要概念之一，在学习绝对值之前，学生已经学习了负数、数轴和相反数，学生在小学学习了非负有理数，了解了非负有理数地概念、性质及运算，为学习绝对值奠定了基础.绝对值与初等数学地许多知识和方法相联系，有着广泛和重要地应用:①有理数地大小比较，有了绝对值地概念后，有理数之间地大小比较就方便多了，特别是两个负数地比较，只比较绝对值即可，不必在数轴上表示负数后再比较.②求数轴上地两点间地距离，数a在数轴上表示地点到原点地距离为|a|，在数轴上表示a和b两点间地距离为|a-b|.③有理数地运算，一个有理数实质包含两部分:一是符号，二是绝对值;有理数地运算在确定了结果地正负号后，剩下地问题就是绝对值地运算了.④应用绝对值地非负性，一个有理数地绝对值是一个非负数，这一性质有着重要地作用.如已知|a-3|+|b+2|=0，求a-b地值，就是这一性质地直接应用.从前面四点地分析中，我们不难看出，绝对值在整个数与代数部分有着重要地地位，应用非常地广泛，是后继学习地重要基础，有着承上启下地作用.2.重点与难点:本节地重点是让学生直观理解绝对值地含义;本节地难点是正确理解绝对值地代数意义及其应用.教法分析通过引例，自然导出绝对值地几何定义，再通过尝试、归纳，进而得出常用地代数定义，要引导学生参与这一过程，并对|a|≥0这一性质有初步地直观认识.教学中要让学生了解一个有理数应由符号和绝对值两部分组成，为有理数地运算作准备，结合绝对值地学习，可以引导学生重新认识相反数地意义:绝对值相等符号相反地两个数互为相反数;零地相反数是零.绝对值是有理数教学地难点，对它地认识和掌握要有一个过程，本节课地教学要求是让学生能熟练求出一个数地绝对值，不要拓展太多，不宜向学生提出过高要求.对于|a|地化简，可以让学有余力地学生考虑这一问题，本节课主要采用自主探究，讲练结合地方法进行教学.学法分析数轴地作用对本节地影响很大，在理解绝对值地概念时应结合数轴，理解“距离”地含义;另外在求一个数地绝对值时用了分类讨论地方法，这种方法在解答有关绝对值地问题中非常重要，应加强理解应用.【教学目标】知识与技能1.理解绝对值地意义.2.会求一个数地绝对值.3.理解绝对值地非负性.过程与方法1.通过对正数、负数、0地绝对值地学习，体验分类讨论地数学思想.2.通过对一个数地绝对值地求法体验对应思想. 情感态度与价值观通过师生活动，学生自我探究，让学生充分参与到学习过程中来.【教学重难点】重点:绝对值地意义和绝对值地非负性.难点:正确理解绝对值地代数意义及其应用.【教学过程】一、创设问题情境设计意图:通过创设一定地问题情景，引发学生地思考，激发学生地学习热情，引入绝对值地概念.教师拿出准备好地数轴模型(数轴上白猫在表示-4地点上，黑猫在表示2地点上，花猫在表示7地点上，原点表示猫地家).猫妈妈说:今天放假，三只小猫可以到离家不超过5米地范围玩耍，否则就会有危险，回不了家.教师问:如果数轴上每个单位长度表示1米，同学们看一下三只小猫是否都能安全地回到家?给学生充分地时间观察、思考、相互讨论、探究.二、分析探索，问题解决设计意图:通过观察、讨论、归纳等方法，让学生结合数轴理解绝对值地概念.师:在生活中，有些问题我们只考虑数地大小而不考虑方向，如:为了计算汽车行驶所耗地汽油，起主要作用地是汽车行驶地路程而不是行驶地方向，这就需要引进一个新地概念——绝对值.(板书课题) 带着这个问题自学课本第22页，并解决以下几个问题:(1)什么叫做绝对值?怎样用语言表达?其关键词是什么?(2)绝对值用符号怎样表示?学生自己看书，勾画重点字词.(培养学生地自主学习习惯)三、知识理顺，得出结论设计意图:针对具体地问题，让学生自主探究，养成他们独立思考问题地能力，并在探究过程中学会学习，从中体验学习乐趣.(1)初步形成概念，由学生回答上面地两个问题(可让学生对照数轴，再说出几个正数、负数地绝对值).(2)深化对概念地理解:①绝对值地意义是在什么条件下给出地?②主要解决地是什么问题?由小组讨论解决:(引导学生得出:绝对值是利用数轴这一直观条件得出地.它主要是解决在数轴上表示数地点到原点有几个单位长度(距离)地问题，这是绝对值地几何意义.)(3)互为相反数地两个数地绝对值有什么关系?(相等)四、运用反思，拓展创新设计意图:通过具体题目地解答，加深学生对绝对值地性质地理解，能选择具体地方法去解答问题.对绝对值性质要让学生从文字语言和符号语言两种形式去描述，学生在熟悉理解地过程中，在具体地题目中可以反复对照与其相应地式子来深化.1.典例解析例求下列各数地绝对值.-21，+，0，-7.8，15.5.师分析:先表示各数地绝对值，然后根据绝对值地意义写出结果，即“一添二去”.(添绝对值符号，再去掉绝对值地符号)解:|-21|=21，|+|=，|0|=0，|-7.8|=7.8，|15.5|=15.5.反例强化:-21=21对吗?|-21|是负数吗?随堂练习:教材第24页练习第1题.2.议一议:①以上各数可以分为几类?请分一下.②每类数地绝对值与原数有什么关系?小组讨论后，写出它地关系.3.法则:绝对值地代数意义:正数地绝对值是它地本身;负数地绝对值是它地相反数;0地绝对值是零.若a表示一个有理数，则|a|=或|a|=或|a|=在由符号表示数地绝对值时，学生对绝对值地性质由感性阶段上升到了理性阶段，在这个过程中，渗透了对应思想、分类思想，还渗透了由具体到抽象地概括方法.随堂练习:教材第24页练习第2、3题.五、课堂小结设计意图:通过小结使学生对本节课地内容有一个完整系统地认识，通过作业，巩固所学地知识，让学生谈谈本节课地收获.六、课后作业1.将下列各数分别填在相应地集合中.-|-1|，-7.5，2，|-7.5|，|a|(a<0).正数集{ …}，负数集{ …}.【答案】正数集{2，|-7.5|，|a|(a<0)，…}，负数集{-|-1|，-7.5，…}.2.若|a-1|+|b-2|=0，求a+b地值.【答案】由绝对值地非负性可知，|a-1|≥0，|b-2|≥0，而|a-1|+|b-2|=0，因此|a-1|=0，|b-2|=0，即a-1=0，b-2=0，所以a=1，b=2，所以a+b=1+2=3.【板书设计】一、创设问题情境二、分析探索，问题解决三、知识理顺，得出结论四、运用反思，拓展创新1.典例解析;2.议一议;3.法则.五、课堂小结六、课后作业。
北师大版数学七上《绝对值》课堂实录（优质实录配套课件配套）（杨娟）课件
绝对值
义务教育课程标准北师大版七年级上册第二章第三节
•成都市新都一中实验学校 杨 娟
数轴为赛跑路线，同时 同地出发赛时1分钟，1 分钟后由离开原点距离 的远近定胜负。
哦，都是 一样的距 离
我是在数轴表示 +4的点上，而它 是在-4的点上， +4大于-4，应该 我赢了.
一、用你今天所学习的知识写一 段说服乌龟承认和兔子并列第一 的话。
二、指导丛书：
P22—23习题1、3、4
| - x | = 7,
4. 若a为有理数，求| a – 2006 |+| a – 2005 | 的最小值.
小结：
一、绝对值的定义:
一个数的绝对值是在数轴上表示这个 数的点到原点的距离；
二、求一个数的绝对值应考 虑数的性质：
即考虑一个数是正数、负数还是0.
三、任何一个有理数的绝对值都是非负 数。
课后作业：
●
●
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4的绝对值表示-4的点到原点的距 离，-4的绝对值是4.
4的绝对值表示4的点到原点的距离， 4的绝对值是4.
●
●
●
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
提问： -2 的绝对值表示什么？
1
的绝对值又表示什么呢？
借助数轴观察并求下列各数的绝对值：
3 + 1.5 ， -2 ，0 ， 3
b ___b__ b 0
a b _a___b_ 23 _____ 45
ab
a _____
二、填空：
1．绝对值是3的数有_____个，绝对值相等 的两个数是____________关系.
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《绝对值》教学反思
1、教授绝对值的两种方法时，举一反三，不断强化对概念的理解，训练学生的逆向思维能力，突出本节课的重点，教授法则时，采用学生进行模仿的方式降低知识难度，初步培养学生的逻辑推理能力，采用类比的方法，强化两个负数比较大小法则所适合的条件快速反馈，当场矫正，给不同层次的学生创造发展的机会，突破本节教学任务的难点。
2、从学生已有的知识与经验出发进行教学是数学教学的基本规律也是数学新课程大力提倡的，苏联著名的数学家辛钦说过这样一段话：“我想尽力看到在引进新概念，新理念时，学生先有准备，能尽可能的看到在这些新概念，引进是自然的，这段话说出了新知识引入的一个重要原则＿由自然到必然，本节课无论是绝对值概念的引入，还是“两个负数比较大小的法则”引入都体现了这个原则。
3、这节课主要采用探索式教学法，引导学生通过独立思考，自主探索及合作交流等活动，经历知识的发生，发展过程，学会获取新知识的方法，本节课运用了多种教学方法既有教师的引导，讲解，又有学生的讨论，全班的交流，既有例题的演练，又有学生的模仿练习，充分调动学生学习积极性，发挥学生的主体作用，使课堂教学更有效。
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登陆21世纪教育 助您教考全无忧21世纪教育网 精品资料·第 1 页 （共 1 页） 版权所有@21世纪教育网 《绝对值》评课记录本人说课：1、教学目标、重点难点、教学环节等，在此略，见教学设计。
2、教法学法：“引导发现法”。
在教学过程中，让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法，一步步培养他们的逻辑推理能力。
3、自我感觉：教学中，我除了注重情景的运用外，更多的运用符号语言，在比较抽象的水平上，提出数学问题，加深和扩展了学生对数学的理解。
对考纲理解透彻，教学中把握适当；教学的各环节衔接自然，逻辑性强；评课记录：参评人员 胡广良、高艳玲、谢贵清、梁玉群、黄新庆、赵明明、关莉、苏锦洪 评课意见： 姓名 优点 缺点胡广良 教态自然、稳重，讲解清晰。
分析教材、编写教案、运用教学语言、设计教学板书、应用电教媒体手段等各项基本功达到一定的水平。
本节课的内容比较多，在个别练习题处理时不必要都做详细的讲解，可以节省一些时间将后面的内容处理完。
高艳玲 在授课过程中非常重视学生能力的培养。
如归纳总结能力、概括能力、善于教会学生自主学习。
对于课堂中出现的选做题可以给予适当的提示、或者个别题目订正。
黄新庆 例题、练习题选择有针对性，设置有层次，分为必做和选做两类。
既重视基础，又能培养优生。
课堂教学，让各层次学生都有收获，不放弃每一名学生学生练习的时间控制，还要注意按内容的重点来落实关莉 在授课过程中数学思想方法的渗透非常适时恰当，很顺畅，不生硬。
如：由例1的四道题分析各自转会成什么知识，渗透转化的思想方法。
提出的一些问题，启发性、激趣性不足梁玉群 注意了板书与电教媒体使用的有机组合，利用板书提示来弥补课件使用过程中翻过就不再显示的弊端。
时刻提醒学生本节所复习的难点，为突破复习难点，设想得非常周到教学中有事要注意语速，基础差的学生对听懂普通话需要一个过程 赵明明 在教学过程中当一名学生回答出现错误时，处理的非常恰当及时，还让这名学生谈了体会、收获。
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《绝对值》教学建议
本教学设计需1课时完成。
在整个教学过程中引导学生发现问题，并通过学生自己归纳绝对值的意义以及求法。
在后面的练习中，通过条件探究、结论探究突破难点，抓住关键，让学生理解问题的实质，培养学生的创新意识和实践能力。
在设计中力求做到：
1、注意让学生经历比较、归纳、建立概念的过程，通过这些思维活动，让学生真正理解绝对值的意义。
2、重视例题的示范，这样做一方面有助于学生定理的理解，另一方面可以使学生养成规范书写的习惯。
3、采用多媒体辅助教学，调动学生视觉、听觉、触觉等多种感觉参与学习活动，激发学生兴趣，减轻学习负担，突破了难点。
4、用语言叙述绝对值的定义，用解析式的形式给出绝对值的定义，或利用数轴定义绝对值，从理论上讲都是可以的．初学绝对值用语言叙述的定义，好像更便于学生记忆和运用，以后逐步改用解析式表示绝对值的定义，即在教学中，只能突出一种定义，否则容易引起混乱．可以把利用数轴给出的定义作为绝对值的一种直观解释．
此外，要反复提醒学生：一个有理数的绝对值不能是负数，但不能说一定是正数．“非负数”的概念视学生的情况，逐步渗透，逐步提出．
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七年级数学上册绝对值市公开课一等奖省优质课获奖课件
互为相反数两个数绝对值有
什么关系?
原点
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-3到原点距离是3
+3到原点距离是3
互为相反数两个数绝对值相等.
第10页
求以下各数绝对值：
1.6, 8 ,0,10,10.
5
解： | 1.6 | 1.6
| 8 | 8 55
| 0 | 0
| 10 | 10
| 10 | 10
第18页
m 是有理数时,以下说法中正确是 (A) -m 是负数 (B) |m|是正数 (C) |-m|是非负数 (D) -|m|是负数
第19页
一个数绝对值是它本身,这个数是(
).
一个数绝对值是它相反数,这个数是(
).
假如 | a | = a , 那么a 0 . 假如 | a | = -a , 那么a 0 .
（1）一个数绝对值一定是正数。 （ 错）
（2）一个数绝对值不可能是负数。 （ 对）
（3）互为相反数两个数，它们绝对值
一定相等。
（ 对）
（4）绝对值是同一个正数数有两个，且
它们是互为相反数。
（ 对）
第15页
在数轴上表示以下各数，并比较 它们大小；
-1.5, -3, -1 , -5.
求出上面各数绝对值,并比较它们大小; 你发觉了什么
第16页
比较以下每组数大小
(1) -1和-5
(2) 5 和 2.7 6
第17页
小红和她同学共买了6袋标注质量为450 克食品，她们对这6袋食品实际质量进行 了检测，检测结果（用正数记超出标注 质量克数，用负数记不足标注质量克数） 以下：
-25，+10 ， -20 ， +30 ， +15 ， -40 哪袋食品质量更标准?为何?
人教版七年级数学上册优质课课件绝对值ppt
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为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
活动2：理解绝对值的概念
思考：－8与8是相反数，把它们在数轴上 表示出来，它们有什么相同之处和不同之处？
8
8
－8
0
8
－8与8在数轴上所表示的点到原点的距离是8个单位长 度，它们的符号不同。我们把这个距离8叫做＋8和－8的 绝对值。
1 ＜ 1.5 ＜3 ＜5
（3）由以上知：两个负数比较大 小，绝对值大的反而小。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
例2. 比较下列每组数的大小
解（法1一）（-利1和用绝–对5；值比（较2两）个-负65 数和的-大2.小7 ）
如图，在数轴上表示－5的点与原点的距离是5， 即－5的绝对值是5，记作|－5|＝5。
31 2
的绝对值是3 1 记作231 2源自31 2AB
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做一做
写出下列各数的绝对值：
一个数的绝对值与这个数有什么关系?
1，正数的绝对值是它本身; 如果a＞0，那 么|a|＝a；
2，负数的绝对值是它的相反数; 如果a＜0， 那么|a|＝－a； 3，0的绝对值是0. 如果a＝0，那么|a|＝0
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2、知道一个数的绝对值，求这个数
初中数学人教版七年级上册第一单元第2-4课《绝对值》获奖教案公开课优质课教案观摩课讲课精品教案
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【省级获奖教案】
1教学目标
1.使学生了解绝对值的概念及绝对值的意义。
2.在绝对值概念的形成过程中,渗透数形结合、分类讨论等思想方法,并注意培养学生的概括能力。
2学情分析
学生已经认识数轴,并且知道了相反数的概念,能够用数轴上的点来表示有理数,也已经知道数轴上的一个点与原点的距离,会比较这些距离的大小。
并具有了一定的合作学习的经验,初步体会到了数形结合的思想方法。
3重点难点
理解绝对值的概念;
会求一个数的绝对值;
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】活动1 创设情境,导入新课
活动内容:让学生观察图画,并回答问题,“大象和两只小狗分别距离原点多远?”利用图画将学生引入一定的问题情境,学生积极思考问题,解决问题,进入主题的重要环节。
活动目的:利用动画展示,让学生在有趣的问题情境中获取对绝对值概念的感性认识.并激发学生学习的积极性与主动性。
活动的实际效果:小动物的形象符合学生心理,学生兴趣很高,踊跃发言,全体学生都能顺利的解决该问题。
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观察数轴上的点,我们可以发现什么？
原 点 原点左边都是负数 原点右边都是正数 数轴上右边的点表示的数总比左边 的大
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-6-5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
结论1:正数大于0，0大于负数， 正数大于负数；
理解与应用
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答：绝对值是0的数有一个，就是0。 3）绝对值小于3的整数一共有多少个？ 答：绝对值小于3的整数一共有5个， 它们分别是－2，－1，0，1，2。
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数a的绝对值记作|a|
想一想 这里的数a可以表示 什么样的数？ 这里的数a可以是正数， 负数和0 想一想 互为相反数的两个 数的绝对值有什么关系？
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一般，数轴上表示数a的点 与原点的距离叫做数a的绝对值。 一个数的绝对值就是在这个 数的两旁各画一条竖线。
如+2的绝对值等于2，记作|+2|＝2
－5的绝对值是5，记作|－5|＝5。 数a的绝对值记作|a|。
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议一议
一个数的绝对值与这个 数有什么关系？
例如：|3|＝3，|＋7|＝7 一个正数的绝对值是它本身 例如：|－3|＝3，|－2.3|＝2.3 一个负数的绝对值是它的相反数 而 原点到原点的距离是0 0的绝对值是0。即 |0|＝0
而且a 0
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1) 绝对值是7的数有几个？各是什 么？有没有绝对值是－2的数？ 答：绝对值是7的数有两个，各是7 －7。没有绝对值是－2的数。 2) 绝对值是0的数有几个？各是什么？
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1、什么叫做相反数？ 只有符号不同的两个数 2、互为相反数的两个数在数轴 上表示的点有怎样的特征？
-6-5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
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新授课
坦洲实验中学七年级数学备课组
回顾与思考
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两个负数怎么比较它们的大小呢 例如:
-4和 -2 -6和 -5
-6 -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
能不能根据我们学的新知识来 判断它们的大小呢?
|-4|＝4 |-6|＝6
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|-2|＝2 但-4 <-2 |-5|＝5 但-6<-5
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3 8 和 7 21
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1.填空题 (1) -│-3│=___， +│-0.27│=___ -│+26│=_____， -（+24）=_____． (2)-4的绝对值是___，绝对值等 于4的数是_____．
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因为正数可用a＞0表示，负数 可用a＜0表示，所以上述三条 可表述成： (1)如果a＞0，那么|a|＝a (2)如果a＜0，那么|a|＝－a (3)如果a＝0，那么|a|＝0
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3)用“>”、“＝”、“<”填空： ① -7____-5 ② -0.1____-0.01 ③ -│-3.2│___ -（-3.2）
<
<
<
> ⑤ ___ < -3.14
④
8 8 ___ 9 7
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1.已知有理数a在数轴上对应 的点如图所示：则|a| =_____ a 0 2. 如果一个数的绝对值等于3.25 则这个数是___ 3.如果a 的相反数是-0.74，那么 |a| =______ 4. 如果|x-1|=2，则x=______．
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结论2:两个负数比较,绝对 值大的反而小. -6-5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
例: 比较下列各对数的大小：
-1和-1.3
-(-1)和-(+2)
1 -(-0.3)和 3
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写出下列各数的绝对值：
5 2 6,8,3.9, , ,100 ,0 2 11
解：
5 5 6 6, 8 8, 3.9 3.9, 2 2 2 2 , 100 100, 0 0 11 11