第6章 定积分及其应用

第六章 定积分及其应用

§6.1 定积分的概念与性质

教学内容提要

1. 定积分的几何与物理模型；

2. 定积分的定义；

3. 定积分的基本性质. 教学目的与要求

1. 理解定积分的几何与物理模型；

2. 理解定积分的极限定义；

3. 了解定积分的基本性质. 教学重点与难点

定积分几何与物理模型的极限过程理解，平面图形面积的定积分表达. 教学时数 2 教学过程：

一、定积分的几何与物理模型 1.求曲边梯形的面积

1).曲边梯形的定义：由三条直线b x a x ==,与x 轴和一条曲线)0)((≥=x y y 围成的平面图形，称为曲边梯形。如下图（1.1）（1.2）（1.3），其中（1.2）（1.3）是特殊情形。

2).利用极限计算曲边梯形面积A 的步骤

第一步：分割,将曲边梯形分成许多细长条。在区间[a,b ]中任取若干分点：

b x x x x x x x a n n i i =<<<<<<<<=--11210 ，把曲边梯形的底[a,b ]分成n 个小

区间 ；],[,],,[,],,[],,[112110n n i i x x x x x x x x -- ，并记1--=∆i i i x x x ；过分点i x 分别作

x 轴的垂线，将曲边梯形分成n 个小曲边梯形，记第i 个曲边梯形的面积为),,2,1(n i A i =∆；

第二步：近似，将这些细长条近似地看作一个个小矩形。（如下图）

第三步：求和，小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一个近似值。

即∑∑==∆≈∆=

n

i i

i

n i i

x

f A A 1

1

)(ξ；

第四步；取极限，当分割越细，所有小矩形的面积之和的极限，就是曲边梯形面积A 的精确值。若记}{max 1i n

i x ∆=≤≤λ，则∑=→∆=n

i i

i

x

f A 1

)(lim

ξλ。

可见，曲边梯形的面积是一和式的极限。 2. 利用极限求变速直线运动的路程

设某物体作直线运动，已知速度)(t v v =是时间间隔],[21T T 上的连续函数，计算在此段时间内物体经过的路程s 。

第一步：分割, 在区间],[21T T 中任取若干分点：

211101T t t t t t t T n n i i =<<<<<<<=-- ，把],[21T T 分成n 个小区间],[1i i t t -，小区间的长记为),,3,2,1(1n i t t t i i i =-=∆-； 第二步：近似求和，∑=→∆=n

i i

i

t

v s 1

)(lim

ξλ；

第三步：取极限，∑=→∆=n

i i

i

t

v s 1

)(lim

ξλ，其中}{max 1i n

i t ∆=≤≤λ。类似极限求曲边梯形面积A 的

步骤可求得速度为)(t v v =的物体在时间间隔],[21T T 内经过的路程∑=→∆=n

i i

i

t

v s 1

)(lim

ξλ。

可见，变速直线运动的路程也是一和式的极限。 二、定积分的定义 1． 定积分的定义

定义 设函数)(x f 在区间],[b a 上有界，在],[b a 中任插入若干个分点

b x x x x x x x a n n i i =<<<<<<<<=--11210 ，把区间],[b a 分成n 个小区间； ],[,],,[,],,[],,[112110n n i i x x x x x x x x -- ，各小区间长记为),,2,1(1n i x x x i i i =-=∆-

任取],[1i i i x x -∈ξ，作和式∑=∆=

n

i i

i

x

f S 1

)(ξ，记}{max 1i n

i x ∆=≤≤λ，如果不论对],[b a 怎样

划分，也不论在小区间],[1i i x x -上点i ξ怎样选取，只要0→λ时，和式S 总趋于确定的极限I ，这时则称极限I 为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记作

⎰

b

a

dx x f )(，即

i n

i i b

a

x f dx x f I ∆==∑⎰=→1

)(lim )(ξλ

其中：)(x f 叫做被积函数；dx x f )(叫做被积表达式；x 叫做积分变量；a 叫做积分下限，

b 叫做积分上限；[a,b ]叫做积分区间。

如果)(x f 在[a ，b ]上的定积分存在，也称)(x f 在[a ，b ]上可积。否则，便称)(x f 在 [a ，b ]上不可积。 2． 几点注意 (1) 定积分

⎰

b

a

dx x f )(上一个常数，而不定积分⎰dx x f )(是)(x f 的原函数的全体。

(2) 定积分的值只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量的记法无关。即

⎰

⎰⎰==b

a

b a

b

a

du u f dt t f dx x f )()()(

(3) 若b a =时，我们规定0)(=⎰

b

a

dx x f 。

(4) 若b a >时，规定⎰⎰

-=a b

b

a

dx x f dx x f )()(。

3． 定积分的存在性

（1）若)(x f 在[a ，b ]上连续，则)(x f 在[a ，b ]上可积。

（2）若)(x f 在[a ，b ]上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在[a ，b ]上可积。 （3）若已知)(x f 可积，则],[b a 的划分与i ξ的选取都可特殊，一般可n 等分区间],[b a ，i ξ则选取为各子区间的端点。特别地若)(x f 在]1,0[上可积，则有

∑∑⎰

=∞→=∞→-==n i n n i n n i f n n i f n dx x f 1

11

)1

(1lim )(1lim )(。