第6章 定积分及其应用

第六章 定积分及其应用§6.1 定积分的概念与性质教学内容提要1. 定积分的几何与物理模型；2. 定积分的定义；3. 定积分的基本性质. 教学目的与要求1. 理解定积分的几何与物理模型；2. 理解定积分的极限定义；3. 了解定积分的基本性质. 教学重点与难点定积分几何与物理模型的极限过程理解，平面图形面积的定积分表达. 教学时数 2 教学过程：一、定积分的几何与物理模型 1.求曲边梯形的面积1).曲边梯形的定义：由三条直线b x a x ==,与x 轴和一条曲线)0)((≥=x y y 围成的平面图形，称为曲边梯形。

如下图（1.1）（1.2）（1.3），其中（1.2）（1.3）是特殊情形。

2).利用极限计算曲边梯形面积A 的步骤第一步：分割,将曲边梯形分成许多细长条。

在区间[a,b ]中任取若干分点：b x x x x x x x a n n i i =<<<<<<<<=--11210 ，把曲边梯形的底[a,b ]分成n 个小区间 ；],[,],,[,],,[],,[112110n n i i x x x x x x x x -- ，并记1--=∆i i i x x x ；过分点i x 分别作x 轴的垂线，将曲边梯形分成n 个小曲边梯形，记第i 个曲边梯形的面积为),,2,1(n i A i =∆；第二步：近似，将这些细长条近似地看作一个个小矩形。

（如下图）第三步：求和，小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一个近似值。

即∑∑==∆≈∆=ni iin i ixf A A 11)(ξ；第四步；取极限，当分割越细，所有小矩形的面积之和的极限，就是曲边梯形面积A 的精确值。

若记}{max 1i ni x ∆=≤≤λ，则∑=→∆=ni iixf A 1)(limξλ。

可见，曲边梯形的面积是一和式的极限。

2. 利用极限求变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度)(t v v =是时间间隔],[21T T 上的连续函数，计算在此段时间内物体经过的路程s 。

第一步：分割, 在区间],[21T T 中任取若干分点：211101T t t t t t t T n n i i =<<<<<<<=-- ，把],[21T T 分成n 个小区间],[1i i t t -，小区间的长记为),,3,2,1(1n i t t t i i i =-=∆-； 第二步：近似求和，∑=→∆=ni iitv s 1)(limξλ；第三步：取极限，∑=→∆=ni iitv s 1)(limξλ，其中}{max 1i ni t ∆=≤≤λ。

类似极限求曲边梯形面积A 的步骤可求得速度为)(t v v =的物体在时间间隔],[21T T 内经过的路程∑=→∆=ni iitv s 1)(limξλ。

可见，变速直线运动的路程也是一和式的极限。

二、定积分的定义 1． 定积分的定义定义 设函数)(x f 在区间],[b a 上有界，在],[b a 中任插入若干个分点b x x x x x x x a n n i i =<<<<<<<<=--11210 ，把区间],[b a 分成n 个小区间； ],[,],,[,],,[],,[112110n n i i x x x x x x x x -- ，各小区间长记为),,2,1(1n i x x x i i i =-=∆-任取],[1i i i x x -∈ξ，作和式∑=∆=ni iixf S 1)(ξ，记}{max 1i ni x ∆=≤≤λ，如果不论对],[b a 怎样划分，也不论在小区间],[1i i x x -上点i ξ怎样选取，只要0→λ时，和式S 总趋于确定的极限I ，这时则称极限I 为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记作⎰badx x f )(，即i ni i bax f dx x f I ∆==∑⎰=→1)(lim )(ξλ其中：)(x f 叫做被积函数；dx x f )(叫做被积表达式；x 叫做积分变量；a 叫做积分下限，b 叫做积分上限；[a,b ]叫做积分区间。

如果)(x f 在[a ，b ]上的定积分存在，也称)(x f 在[a ，b ]上可积。

否则，便称)(x f 在 [a ，b ]上不可积。

2． 几点注意 (1) 定积分⎰badx x f )(上一个常数，而不定积分⎰dx x f )(是)(x f 的原函数的全体。

(2) 定积分的值只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量的记法无关。

即⎰⎰⎰==bab abadu u f dt t f dx x f )()()((3) 若b a =时，我们规定0)(=⎰badx x f 。

(4) 若b a >时，规定⎰⎰-=a bbadx x f dx x f )()(。

3． 定积分的存在性（1）若)(x f 在[a ，b ]上连续，则)(x f 在[a ，b ]上可积。

（2）若)(x f 在[a ，b ]上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在[a ，b ]上可积。

（3）若已知)(x f 可积，则],[b a 的划分与i ξ的选取都可特殊，一般可n 等分区间],[b a ，i ξ则选取为各子区间的端点。

特别地若)(x f 在]1,0[上可积，则有∑∑⎰=∞→=∞→-==n i n n i n n i f n n i f n dx x f 111)1(1lim )(1lim )(。

4. 定积分的几何意义 （1）若)(x f ≥0，则⎰badx x f )(的几何意义表示由曲线y=)(x f ，直线x=a ，x=b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积A 。

（2）一般情形，⎰badx x f )(的几何意义为：它是介于x 轴，曲线y=)(x f ，直线x=a ，x=b 之间的各部分面积的代数和。

5. 定积分的物理意义物体以变速)(t v v =作直线运动，从时刻1T t =到时刻2T t =所经过的路程s 等于速度函数)(t v 在区间],[21T T 上的定积分，即：⎰=21)(T T dt t v s 。

例1利用定积分几何意义计算下列定积分 （1）⎰22xdx （2）⎰--2224dx x例2 试用定积分表示极限⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 12111lim作业：练习册第28次§6.2 定积分的性质教学内容提要定积分的七个基本性质. 教学目的与要求了解定积分的基本性质. 教学重点与难点定积分的积分可加性、保号性、估值定理、中值定理. 教学时数 2 教学过程：一、定积分的基本性质性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)。

即⎰⎰⎰±=±bab abadx x g dx x f dx x g x f )()()]()([性质2 被积函数的常数因子可以提到积分符号外。

即为常数）（k dx x f k dx x kf baba⎰⎰=)()( 性质3 (定积分的区间可加性) ，则若b c a <<⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(注: 不论a ，b ，c 的相对位置如何，性质3总是成立的。

例如，当a <b<c 时，还是有⎰⎰⎰+=bccabadx x f dx x f dx x f )()()(成立。

性质4⎰⎰-==babaa b dx dx 1。

性质5 若在区间[a ，b ]上，)()(x g x f ≤，则)()()(b a dxx g dx x f baba<≤⎰⎰。

性质6 则上的最大值及最小值在分别是及设,],[)(b a x f m M)()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰。

性质7 ，使上至少存在一点上连续，则在在闭区间如果函数（定积分中值定理）ξ],[],[)( b a b a x f)( ))(()(b a a b f dx x f ba≤≤-=⎰ξξ。

注:⎰-ba dx x f ab )(1称为函数)(x f 在区间],[b a 上的平均值。

例1 利用定积分性质比较⎰12dx e x 与⎰+12)1(dx x 的大小例2 利用定积分性质估计定积分⎰-322dx e xx的范围作业：练习册第28次§6.3 微积分基本公式教学内容提要1. 牛顿—莱布尼茨公式；2. 牛顿—莱布尼茨公式的理论证明。

教学目的与要求1. 掌握牛顿—莱布尼茨公式的正确使用；2. 了解变上限积分函数的定义，掌握变上限积分函数的导数定理；3. 了解牛顿—莱布尼茨公式的理论证明。

教学重点与难点莱布尼茨公式的正确使用与变上限积分函数的求导。

教学时数 4 教学过程：前一次讲了定积分的定义与性质⎰∑=→∆=bani i i x f dx x f 1)(lim )(ξλ其中 {}),...2,1(max n i x i =∆=λ我要指出的是定积分的存在性，只要)(x f 在],[b a 上连续，定积分一定存在。

但与积分变量x 无关。

即：⎰⎰⎰==b ababadt t f du u f dx x f )()()(。

本节将要揭示不定积分（即原函数）与定积分之间的关系，这就是微积分基本公式，常称为牛顿—莱布尼茨公式。

一、牛顿、莱布尼兹公式1. 牛顿、莱布尼兹公式的运动学背景有一物体在一直线上运动，设该直线与数轴重合。

设时刻t 时物体所在的位置为)(t s ，速度为)0)((≥t v ，由第一节知物体在时间间隔],[21T T 内经过的路程⎰=21)(T T dt t v s 。

另一方面，这段路程s 又可以通过位置函数)(t s s =表示为时间间隔],[21T T 上的增量，即)()(12T s T s s -=，于是⎰21)(T T dt t v =)()(12T s T s - （5.1）注意到)()(t v t s ='，（5.1）式就表明定积分就等于它的被积函数的原函数在积分区间上的增量，它的一般性就是牛顿—莱布尼茨公式。

2. 牛顿、莱布尼兹公式微积分基本公式 设函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数，则：)()()(a F b F dx x f ba-=⎰（5.2）为方便，把)()(a F b F -简记成ba x F )(，于是公式（5.2）又可写成)()()()(a F b F x F dx x f ba ba-==⎰此公式称为微积分基本公式或称牛顿—莱布尼兹公式。

注意：被积函数要求在积分区间上连续。

例1 求下列定积分 （1）⎰-+3121x dx （2）⎰-+111dx ee x x（3）⎰--12x dx （3）解：⎰--12x dx 2ln 2ln 1ln ln 12-=-==--x 但是⎰-11x dx 不存在，这是因为x1在]1,1[-上不连续。