双曲线及其标准方程 课件

双曲线及其标准方程
1.双曲线的定义 (1)前提要素:平面内,一个动点M，两个_定__点__F1,F2,一个常数 2a. (2)满足关系:_|_|_M_F_1|_-_|_M_F_2_|_|_=_2_a_. (3)限制条件:_2_a_＜__|_F_1F_2_|_. (4)相关概念：两个定点F1,F2叫做双曲线的_焦__点__，两个定点之 间的距离|F1F2|叫做双曲线的_焦__距__.
答案：12
2.设C点的坐标为C(x,y)，则AC的斜率为kAC=x
y
， 5
BC的斜率为kBC= y ，
x5
依题意有 y y m(y 0)
x5 x5
化简得mx2-y2=25m(y≠0)
因为m≠0，
所以原方程可化为 x2 =y21(y≠0)
①
25 25m
由题知方程①表示的轨迹是焦点在x轴上的双曲线(去掉两个
2.对双曲线标准方程的认识 (1)标准方程的代数特征:方程右边是1,左边是关于x，y的平方 差,并且分母大小关系不确定. (2)a，b，c三个量的关系： 标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双 曲线的定形条件,这里b2=c2-a2,与椭圆中b2=a2-c2相区别,且椭 圆中a>b>0,而双曲线中,a,b大小不确定.
【典例训练】
1.设P为双曲线x2－
y2 12
＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的
两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为____.
2.已知△ABC的两个顶点A,B的坐标为A(-5,0),B(5,0)，且
AC,BC的斜率之积等于m(m≠0)，若顶点C的轨迹是双曲线(去掉
两个顶点)，求m的取值范围.
△ABF1的周长为( )
(A)2a+2m
(B)4a+2m
(C)a+m
(D)2a+4m
2.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点P的轨迹为______. 3.动点P到点M(1,0)的距离与到点N(3,0)的距离之差为2，则点 P的轨迹是_______.
【解析】1.选B.设△ABF1的周长为C，则 C＝|AF1|＋|BF1|＋|AB| ＝(|AF1|－|AF2|)＋(|BF1|－|BF2|)＋|AF2|＋|BF2|＋|AB| ＝(|AF1|－|AF2|)＋(|BF1|－|BF2|)＋2|AB| ＝2a＋2a＋2m＝4a＋2m.
2.由已知动点P到两定点M、N的距离之差是常数3，且3＜ |MN|=4,所以动点P的轨迹是双曲线的一支， 又|PM|-|PN|＞0，所以动点P的轨迹是以M、N为焦点的双曲 线的右支. 答案：以M、N为焦点的双曲线的右支
3.由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹不是双曲线， 而是一条以N为端点的射线． 答案：以N为端点的射线
1.双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法:定义是研究双曲线问题的基础和根本,根据双曲线
的定义得到相应的a,b,c，再写出双曲线的标准方程.
(2)待定系数法:先设出双曲线的标准方程
x2 a2
y2 b2
=1或
x2 y2 b2 a2
=1(a，b均为正数),然后根据条件求出待定的系数代入方程即
可.
2.求双曲线标准方程的两个关注点 (1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置,在“标准方 程”的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以判断方程的形式; (2)定量：“定量”是指确定a2,b2的具体数值,常根据条件列方 程求解.
顶点),所以m＞0.
所以所求m的取值范围是(0,+∞)．
【想一想】题1中能确定点P是在双曲线的哪一支上吗？ 提示：根据|PF1|∶|PF2|＝3∶2知|PF1|>|PF2|,所以点P在双曲 线靠近F2点的右支上.
a2 b2
则将a＝4代入，得 x2 －＝y21.
16 b2
又∵点A(1， 4 1)0在双曲线上，∴
3
1＝－11.60
16 9b2
由此得b2<0，∴不合题意，舍去．
②若所求双曲线方程为 y2 －＝x21(a>0，b>0)，则将a＝4代
a2 b2
入得 y2 －＝x12 ，代入点A(1， 4)，10得b2＝9，
【解析】1.由已知得2a＝2，又由双曲线的定义得，
|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|∶|PF2|＝3∶2，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2c＝ 2 13.
由余弦定理得cos∠F1PF2＝
62＋42－52 264
＝0.
∴△PF1F2为直角三角形．∴
S
＝ PF1F2
1 2
6 4＝12.
双曲线定义及标准方程的应用
1.双曲线的定义对于解题的主要作用 双曲线的定义对于解题具有双向作用： (1)可用来判断平面内动点的轨迹是否为双曲线(或双曲线的一 支)； (2)可以用来解决焦点三角形和焦点弦的有关问题.
2.利用双曲线的标准方程讨论参数的范围 讨论参数的范围时，首先将双曲线的方程化为标准形式或其简 化的形式，其共同特点是方程右边为1，再利用相应的条件列 不等式(组)求参数的范围.
【典例训练】
1.已知双曲线C：x2
a2
y2 b2
=1的焦距为10，
点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( )
A x2 y2 1B x2 y2 1
20 5
5 20
C x2 y2 1D x2 y2 1
80 20
20 80
2.求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)a＝4，且经过点A(1，4 10 )；
【总结】(1)双曲线焦点的判断方法; (2)在双曲线焦点位置不明确的情况下,双曲线标准方程的求解 方法.
提示：(1)双曲线的标准方程根据焦点位置不同有两种形式,观 察双曲线的标准方程,x2,y2中哪一项的系数为正，焦点就落在 哪个轴上. (2)当双曲线的焦点位置不确定时,求双曲线的标准方程有两种 思路:一是分别讨论焦点在x轴，y轴的情况，求解时要注意检 验；二是设为一般形式Ax2+By2=1(A·B＜0)，这样求解时 既避免了分类讨论，又简化了运算过程.
3.a=3,且焦点为F1(-5，0)、F2(5，0)的双曲线的标准方程是 _________.
【解析】根据题意可得a=3,c=5,且焦点在x轴上,
又b2=c2-a2=25-9=16,
所以所求双曲线的标准方程为
x2 y2
1.
9 16
答案： x2 y2 1
9 16
1.对双曲线定义的理解 双曲线的定义揭示了双曲线的图形特征,定义是判断动点轨迹是 否是双曲线的重要依据.设集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a}, |F1F2|=2c,其中a,c均为大于0的常数 当2a＜2c时，集合P为双曲线； 当2a=2c时，集合P为以F1，F2为端点的两条射线； 当2a＞2c时，集合P为空集，即动点M的轨迹不存在.
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)焦点在坐标轴上，且过点(3，－ 4
2
)，(
9 4
，5)．
【解析】1.选A.由焦距为10，知2c=10,c=5.
将P(2,1)代入y= bx得a=2b.
a
a2+b2=c2,5b2=25,b2=5,a2=4b2=20, 所以方程为 x2 y2 1.
20 5
2.(1)①若所求双曲线的标准方程为 x2 －＝y12 (a>0，b>0)，
2.双曲线的标准方程
标准 方程
焦点 坐标
a、b、c 关系
焦点在x轴上
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
(-c,0),(c,0)
焦点在y轴上
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0)
(0,-c),(0,c)
c2=a2+b2
1.双曲线中a，b，c的关系跟椭圆中a，b，c的关系有何区别？ 提示：双曲线中的a，b，c满足a2+b2=c2，而椭圆中a，b，c 满足a2=b2+c2，双曲线中c最大,而椭圆中a最大. 2.要写出双曲线的标准方程需要确定哪些条件？ 提示:要写出双曲线的标准方程需要确定a,b的值，最关键的还 要确定焦点的位置.
16 b2
3
∴双曲线的标准方程为 y2 －x2 ＝1.
16 9
(2)解题流程:
设方程 列方程组
求解 结论
设所求双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0)
点（3，-4 2）,( 9 ,5)在双曲线上， 4
9m 32n 1
81 16
m
25n
1
解得
m
1 9
n
1 16
,
双曲线的标准方程为 y2 - x2 =1 16 9
【思考】双曲线定义中去掉“绝对值”号，动点的轨迹有何变 化？第2题中如何具体判断是双曲线的哪一部分？ 提示：(1)若将双曲线定义中的绝对值号去掉，动点的轨迹成 为双曲线中的一支. (2)当去掉绝对值号时，要分清动点到两个焦点距离的远与近， 此时动点的轨迹是近距离焦点所对应的双曲线的一支.
双曲线标准方程的求法
双曲线的定义
双曲线定义中的限制条件 (1)动点到两定点的距离之差； (2)强调差的绝对值是常数； (3)常数小于两定点间的距离. 只要上述三个条件有一个不满足，动点的轨迹就不是双曲线.
【典例训练】
1.已知双曲线方程为
x2 a2
－
y2 b2
＝1，点A、B在双曲线右支上，线段
AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一个焦点，则