数学选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程知识梳理

第二章 圆锥曲线与方程
一、椭 圆
（一）椭圆及其标准方程
1．椭圆的概念：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于_常数_(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．当|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|时，轨迹是线段F 1F 2，当|PF 1|＋|PF 2|<|F 1F 2|时_不存在_轨迹．
2．椭圆的方程：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为 x 2a 2＋y 2
b
2＝1 (a >b >0)，焦点坐标为
_F 1(－c ，0)__F 2(c ，0)，焦距为_2c _；
焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为 y 2a 2＋x 2
b
2＝1 (a >b >0)．
（二）椭圆的简单几何性质
1．椭圆的简单几何性质
（1）椭圆的中心：椭圆关于x 轴、y 轴对称，这时原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

（2）椭圆的顶点：椭圆与它对称轴的四个交点叫做椭圆的顶点。

（3）椭圆的长轴和短轴：椭圆对称轴被椭圆截得的线段叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别是2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）椭圆的离心率：椭圆的焦距与长轴长的比
a
c
称为椭圆的离心率，用e 表示，即：)2
2101c b e e a a
==-<<。

e 越接近1，则c 越接近a ，从而22c a b -=越小，因此椭圆
越扁；e 越接近0，则c 越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。

焦点的
位置
焦点在x 轴上 焦点在y 轴上
图形
标准方程 x 2
a 2＋y 2
b 2＝1 y 2
a 2＋x
2
b 2
＝1 范围 －a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b －b ≤x ≤b ，－a ≤y ≤a
顶点 (±a,0)，(0，±b ) (±b,0)，(0，±a )
轴长 短轴长＝2b ，长轴长＝2a
焦点 (±c,0) (0，±c )
焦距 2c ＝2a 2－b 2
对称性 对称轴是坐标轴，对称中心是原点
离心率 e ＝c
a
，0<e <1 2.直线与椭圆
直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1 (a >b >0)的位置关系：
直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2
b 2＝1有 1 组实数解，即Δ ＝ 0.
直线与椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2
b 2＝1有___2___组实数解，即Δ___>___0，
直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2
b 2
＝1有___0___组实数解，即Δ___<___0.
1．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有a >b >0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上．
2．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即mx 2＋ny 2＝1 (m ，n 为不相等的正数)．
3．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．
4．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用．
5．椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，通过解方程或不等式可以求得离心率的值或范围．
6．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系．
二、双曲线
（一）双曲线及其标准方程
1．双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义
平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于_|F 1F 2|_)的点的轨迹叫做双曲线．
平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为__以F 1，F 2
为端点的两条射线_．
平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹_不存在 ． (2)双曲线的焦点和焦距
双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距_．
2．双曲线的标准方程
(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，
焦点F 1_(－c,0)_，F 2_( c ，0)__.
(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是y 2a 2－x 2
b
2＝1(a >0，b >0)，
焦点F 1_(0，－c )_，F 2__(0，c )_.
(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是___c 2＝a 2＋b 2_．
（二）双曲线的简单几何性质
1．双曲线的几何性质
（1）双曲线的中心：双曲线关于x 轴、y 轴对称，这时原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

（2）双曲线的顶点：双曲线与它对称轴的两个交点叫做椭圆的顶点。

（3）双曲线的实轴和虚轴：连接双曲线顶点的线段叫做双曲线的实轴，它的长等于2a ，a 叫做双曲线的实半轴长；双曲线的虚轴等于2b ，b 叫做双曲线的虚半轴长。

（4）渐近线：b y x a =±
（焦点在x 轴）
、a
y x b
=±（焦点在y 轴）叫做双曲线的渐近线。

（5）等轴双曲线：当b a =时，双曲线的实轴和虚轴的长都等于2a ，此时，双曲线的渐近线方程为x y ±=，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角。

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

（5）双曲线的离心率：双曲线的焦距与实轴长的比a
c
，叫做双曲线的离心率，因为0>>a c ，所以双曲线的离心率1>=
a
c
e 。

2.直线与双曲线
一般地，设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0) ①
双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1 (a >0，b >0) ②
把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.
(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±b
a
时，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C 相交于
一点．
(2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±b
a
时，
Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2
)(－a 2m 2－a 2b 2)．
Δ > 0⇒直线与双曲线有 2 公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有____1___公共点，此时称直线与双曲线相切； Δ < 0⇒直线与双曲线有____0__ _公共点，此时称直线与双曲线相离．
1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得．
2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合．
3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．
4．双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1 (a >0，b >0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(±a ，
0)，实轴长为2a ，虚轴长为2b ；其上任一点P (x ，y )的横坐标均满足|x |≥a .
5．双曲线的离心率e ＝c a 的取值范围是(1，＋∞)，其中c 2＝a 2＋b 2，且b
a
＝e 2－1，离
心率e 越大，双曲线的开口越大．可以通过a 、b 、c 的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围．
6．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，也可记为x 2a 2－y 2
b
2＝0；与双曲
线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为x 2a 2－y
2b
2＝λ (λ≠0)．
三、抛物线
（一）抛物线及其标准方程
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程 (1)方程y2＝±2px ，x2＝±2py(p>0)叫做抛物线的标准方程．
(2)抛物线y2＝2px(p>0) 的焦点坐标是( p 2， 0)，准线方程是x ＝－p
2， 开口方向向右．
(3)抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点坐标是(－p 2，0)，准线方程是x ＝p
2， 开口方向向左．
(4)抛物线x2＝2py(p>0) 的焦点坐标是( 0， p 2)，准线方程是y ＝－p
2， 开口方向向上．
(5)抛物线x2＝－2py(p>0)的焦点坐标是(0，－p 2)，准线方程是y ＝p
2
， 开口方向向下．
（二）抛物线的简单几何性质
1．抛物线的简单几何性质
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)
(1)范围：抛物线上的点(x ，y)的横坐标x 的取值范围是x ≥0，抛物线在y 轴的__右_侧，当x 的值增大时，|y|也增大，抛物线向右上方和右下方无限延伸．
(2)对称性：抛物线关于__x 轴_对称，抛物线的对称轴叫做_抛物线的轴_．
(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点为坐标原点．
(4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示，其值为1．
(5)抛物线的焦点到其准线的距离为 p ，这就是p 的几何意义，顶点到准线的距离为p
2
，
焦点到顶点的距离为 p
2
．
(6)通径：过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =．
(7)焦半径公式：
若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02p
F x P =+
； 若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则0
p
F y P =+；
2．直线与抛物线的位置关系
直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程_k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0的解的个数．
当k ≠0时，
若Δ > 0时，直线与抛物线有_ 2 _个公共点； 当Δ＝0时，直线与抛物线有_ 1 _个公共点； 当Δ < 0时，直线与抛物线有_ 0 _个公共点． 当k ＝0时，
直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有_ 1 _个公共点． 3．抛物线的焦点弦
设抛物线y 2＝2px (p >0)，AB 为过焦点的一条弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则有以下结论．
(1)以AB 为直径的圆与准线相切．
(2)|AB|＝2(x0＋p
2)(焦点弦长与中点坐标的关系)．
(3)|AB|＝x1＋x2＋p.
(4)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2＝p2
4，y1y2＝－p
2.
1．四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向．
2．焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝2py通常又可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y＝ax2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式．
3．抛物线上一点与焦点的距离问题，可转化为该点到准线的距离．
4．直线与抛物线的位置关系，可利用直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解来判定；“中点弦”问题也可使用“点差法”．。