一次函数综合—线段和差、存在性问题解析

一次函数的应用—线段和差、存在性问题一、一次函数线段和差最值问题
【知识点】
1. 最短路径原理
【原理1】作法作图原理
在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小。

连AB，与l 交点即为
P．
两点之间线段最短．
PA+PB 最小值为AB．
【原理2】作法作图原理
在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小．作 B 关于l 的对称
点B＇连A B＇，与l 交
点即为P．
两点之间线段最短．
PA+PB 最小值为A B＇．
【原理3】作法作图原理
在直线l 上求一点P，使作直线AB，与直线l
的交点即为P．
三角形任意两边之差小于第
三边．≤AB .
PB
PA－
（1）求线段和最小时动点坐标或直线解析式； （2）求三角形周长最小值；
（3）求线段差最大时点的坐标或直线解析式。

3. 口诀：“和小异，差大同”
（一）一次函数线段和最小值问题
【例题讲解】★★☆例题1．在平面直角坐标系xOy 中，y 轴上有一点P ，它到点(4,3)A ，(3,1)B 的距离
之和最小，则点P 的坐标是( ) A ．(0,0)
B ．4
(0,)7
C ．5
(0,)7
D ．4
(0,)5
【答案】C
的值最大 .
【原理 4】
作法
作图
原理
在直线 l 上求一点 P ，使
的值最大 .
作 B 关于 l 的对称点 B ＇作直线 A B ＇，与 l 交点即为 P ．
三角形任意两边之差小于第三边．≤A B ＇ .
PB PA －PB PA －PB PA －
【解析】解：作A 关于y 轴的对称点C ，连接BC 交y 轴于P ，
则此时AP PB +最小，
即此时点P 到点A 和点B 的距离之和最小，
(4,3)A ，
(4,3)C ∴-，
设直线CB 的解析式是y kx b =+，
把C 、B 的坐标代入得：3413k b
k b =-+⎧⎨-=+⎩
，
解得：47k =-，5
7b =，
45
77
y x ∴=-+，
把0x =代入得：5
7
y =
， 即P 的坐标是5
(0,)7
，
故选：C ．
【备注】本题考查了轴对称-最短路线问题，一次函数的解析式，坐标与图形性质等知识点，关键是能画
出P 的位置，题目比较典型，是一道比较好的题目．
★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,3)A ，点(2,1)B -，在x 轴上存在点P 到A ，B 两点的距离之和最小，则P 点的坐标是 ．
【答案】(1,0)-
【解析】解：作A 关于x 轴的对称点C ，连接BC 交x 轴于P ，则此时AP BP +最小，
A 点的坐标为(2,3)，
B 点的坐标为(2,1)-，
(2,3)C ∴-，
设直线BC 的解析式是：y kx b =+，
把B 、C 的坐标代入得：21
23k b k b -+=⎧⎨+=-⎩
解得1
1k b =-⎧⎨=-⎩
．
即直线BC 的解析式是1y x =--，
当0y =时，10x --=，
解得：1x =-，
P ∴点的坐标是(1,0)-．
故答案为：(1,0)-．
【备注】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，轴对称-最短路线问题的应用，关键是能找出P 点，题目具有一定的代表性，难度适中．
★★☆练习2．如图，直线34120x y +-=与x 轴、y 轴分别交于点B 、A 两点，以线段AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ．若点P 为x 轴上的一个动点，求当PC PD +的长最小时点P 的坐标．
【答案】详见解析
【解析】解：直线34120x y +-=与x 轴、y 轴分别交于点B 、A 两点，
则点A 、B 的坐标分别为：(0,3)，(4,0)，
如图所示，过点C 作CH x ⊥轴交于点H ，
90ABO BAO ∠+∠=︒，90ABO CBH ∠+∠=︒，CBH BAO ∴∠=∠，
又90AOB CHB ∠=∠=︒，AB BC =，
()AOB BHC AAS ∴∆≅∆，
4CH OB ∴==，3HB OA ==，
故点(7,4)C ，
同理可得点(3,7)D ，
确定点C 关于x 轴的对称点(7,4)C '-，连接C D '交x 轴于点P ，则此时PC PD +的长最小，
将点C '、D 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD 的表达式为：1161
44
y x =-
+
， 当0y =时，6111
x =
，
故点61
P，0)．
(
11
【备注】本题考查的是一次函数上坐标点的特征，涉及到点的对称性、正方形性质等，本题的难点在于：通过证明三角形全等，确定点C、D的坐标．
★★☆例题2．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，3
OB=，D为边OB的中点，若E为x轴上的一个动点，当CDE
∆的周长最小时，求点E OA=，4
的坐标()
A．(3,0)
-B．(1,0)C．(0,0)D．(3,0)
【答案】B
【解析】解：如图，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E，连接DE．
若在边OA上任取点E'与点E不重合，连接CE'、DE'、D E''
由DE CE D E CE CD D E CE DE CE
'+'=''+'>'='+=+，
可知CDE
∆的周长最小．
OB=，D为边OB的中点，
4
2
∴=，
OD
∴，
(0,2)
D
在矩形OACB 中，3OA =，4OB =，D 为OB 的中点，
3BC ∴=，2D O DO '==，6D B '=，
//OE BC ，
Rt ∴△D OE Rt '∽△D BC '，
∴
OE D O
BC D B '=
' 即
2
36
OE = 1OE =，
∴点E 的坐标为(1,0)
故选：B ．
【备注】此题主要考查轴对称--最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．
★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(1,4)和(3,0)，点C 是y 轴上的一个动点，连接AC 、BC ，当ABC ∆的周长最小值时，ABC ∆的面积为 ．
【答案】3
【解析】解：如图，作点A 关于y 轴的对称点A '，连接A B '交y 轴于点C '，
此时ABC ∆'的周长最小，
设直线A B ' 的解析式为y kx b =+，
(1,4)A '-，(3,0)B ，
∴430k b k b -+=⎧⎨+=⎩
，
1k ∴=-，3b =，
∴直线A B ' 的解析式为3y x =-+，
当0x =时，3y =，
(0,3)C ∴'，
ABC AA B
AA C S S
S
∆'''
∴=-
11
242122=⨯⨯-⨯⨯ 413=-=．
所以ABC ∆'的面积为3．
故答案为：3．
【备注】本题考查了轴对称、最短路线问题、坐标与图形性质、三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，直线1
22
y x =
+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边 在第二象限内作正方形ABCD ．
（1）求点A 、B 的坐标，并求边AB 的长；
（2）求点C 和点D 的坐标；
（3）在x 轴上找一点M ，使MDB ∆的周长最小，请求出M 点的坐标，并直接写出MDB ∆的周长最小值．
【答案】详见解析
【解析】解： （1）对于直线122
y x =+， 令0x =，得到2y =；令0y =，得到4x =-，
(4,0)A ∴-，(0,2)B ，即4OA =，2OB =， 则224225AB =+=；
（2）过D 作DE x ⊥轴，过C 作CF y ⊥轴，
四边形ABCD 为正方形，
AB BC AD ∴==，90ABC BAD BFC DEA AOB ∠=∠=∠=∠=∠=︒，
90FBC ABO ∠+∠=︒，90ABO BAO ∠+∠=︒，90DAE BAO ∠+∠=︒，
FBC OAB EDA ∴∠=∠=∠，
()DEA AOB BFC AAS ∴∆≅∆≅∆，
2AE OB CF ∴===，4DE OA FB ===，
即426OE OA AE =+=+=，246OF OB BF =+=+=，
则(6,4)D -，(2,6)C -；
（3）如图所示，连接BD ，找出B 关于y 轴的对称点B '，连接DB '，交x 轴于点M ，此时
BM MD DM MB DB +=+'='最小，即BDM ∆周长最小，
(0,2)B ，(0,2)B ∴'-，
设直线DB '解析式为y kx b =+，
把(6,4)D -，(0,2)B '-代入得：642k b b -+=⎧⎨=-⎩，
解得：1k =-，2b =-，
∴直线DB '解析式为2y x =--，
令0y =，得到2x =-，
则M 坐标为(2,0)-， 此时MDB ∆的周长为21062+．
【备注】本题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾 股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，对称性质，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握 性质及定理是解本题的关键
（二）一次函数线段差最大值问题
【例题讲解】★★☆例题1．已知，如图点(1,1)A ，(2,3)B -，点P 为x 轴上一点，当||PA PB -最大时，点P
的坐标为( )
A ．1(,0)2
B ．5(,0)4
C ．1(,0)2-
D ．(1,0)
【答案】A
【解析】解：作A 关于x 轴对称点C ，连接BC 并延长交x 轴于点P ， (1,1)A ，
C ∴的坐标为(1,1)-，
连接BC ，
设直线BC 的解析式为：y kx b =+，
∴123k b k b +=-⎧⎨+=-⎩， 解得：21
k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为：21y x =-+， 当0y =时，12
x =， ∴点P 的坐标为：1(2
，0)，
当B ，C ，P 不共线时，根据三角形三边的关系可得：||||PA PB PC PB BC -=-<，
∴此时||||PA PB PC PB BC -=-=取得最大值．
故选：A ．
【备注】此题考查了轴对称、待定系数法求一次函数的解析式以及点与一次函数的关系．此题难度较大，解题的关键是找到P 点，注意数形结合思想与方程思想的应用．
★★☆练习1．平面直角坐标系中，已知(4,3)A 、(2,1)B ，x 轴上有一点P ，要使PA PB -最大，则P 点坐 标为
【答案】(1,0)
【解析】解：(4,3)A 、(2,1)B ，x 轴上有一点P ，
||PA PB AB ∴-，
∴当A ，B ，P 三点共线时，PA PB -最大值等于AB 长，
此时，设直线AB 的解析式为y kx b =+，
把(4,3)A 、(2,1)B 代入，可得
3412k b k b =+⎧⎨=+⎩
， 解得11k b =⎧⎨=-⎩
， ∴直线AB 的解析式为1y x =-，
令0y =，则1x =，
P ∴点坐标为(1,0)，
故答案为：(1,0)． 【备注】本题主要考查了坐标与图形性质，利用待定系数法求得直线AB 的解析式是解决问题的关键． ★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(6,0)，点P 在一次函数
1322y x =
+的图象上运动，则PB PA -的最大值为( )
A ．2
B ．233
C ．4
D ．143
【答案】C
【解析】解：如图，作点A 关于直线1322
y x =+的对称点K ，连接AK 交直线于H ，连接PK ．
AK PH ⊥，(0,4)A ，
∴直线AK 的解析式为24y x =-+，
由132224
y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩， (1H ∴，20，
AH KH =，
(2,0)K ∴．
PB PA PB PK KB ∴-=-，
∴当点P 在BK 的延长线上时，P B P K BK '-'=的值最大，最大值为624-=，
故选：C ．
【备注】本题考查一次函数图象上的点的特征、轴对称等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题 属于中考常考题型．
【题型知识点总结】
一次函数最短路径问题注意事项：
1. 根据“和小异，差大同”判断是否需要作对称；
2. 作对称时注意要选取动点运动的直线为对称轴作某一定点的对称点。

二、一次函数存在性问题
【知识点】
1. 具体题型：
（1）一次函数等腰三角形存在性问题；
（2）一次函数直角三角形存在性问题；
（3）一次函数等腰直角三角形存在性问题；
（4）一次函数全等三角形存在性问题。

2.解题要点:
（1）等腰三角形存在性问题可以用“两圆一线”法或两点之间的距离公式进行解答；
（2）直角三角形的存在性问题要注意“两线一圆”法或两点之间距离公式的运用；
（3）等腰直角三角形的存在性问题要注意一线三垂直全等模型的运用；
（4）全等三角形存在性问题要注意对应点的不同对应情况。

3.两点之间距离公式:
若1122(,),(,)A x y B x y ，则两点之间的距离221212))AB x x y y -+
-（（（一）一次函数等腰三角形存在性问题
【例题讲解】★★☆例题1．已知一次函数1y x =-+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 点、B 点，点P 在x 轴上，并且使以点A 、B 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，则这样的点有( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【解析】解：如图，x轴上使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形的点M如图所示，共有4个．故选：C．
【备注】本题考查了一次函数图象上的点的坐标，等腰三角形的判定，作出图形利用数形结合求解更形象直观．
★★☆练习1．如图，直线24
=-+与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
y x
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求AOB
∆的面积；
（3）若点P是x轴上的一个动点，且PAB
∆是等腰三角形，则P点的坐标为．
【答案】（(225+，0)或(225-，0)或(2,0)-或(3,0)-．
【解析】解：（1）对于24y x =-+，令0x =，得到4y =，令0y =，得到2x =，
(2,0)A ∴，(0,4).B
（2）(2,0)A ，(0,4)B ，
2OA ∴=，4OB =， 1124422AOB S OA OB ∆∴=
=⨯⨯=． （3）由题意，22222425AB OA OB =+=+=． 当AP AB =时，可得1(225P +，0)，2(225P -，0)．
当AB BP =时，3(2,0)P -，
当PA PB =时，设PA PB x ==，
在4Rt OBP ∆中，则有，2224(2)x x =+-，
解得5x =，
4(3,0)P ∴-，
综上所述，满足条件的点P 的坐标为(225+，0)或(225-，0)或(2,0)-或(3,0)-．
故答案为：(225+，0)或(225-，0)或(2,0)-或(3,0)-．
【备注】本题考查一次函数的性质，三角形的面积，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
★★☆练习2．已知正比例函数y kx =经过点A ，点A 在第四象限，过点A 作AH x ⊥轴，垂足为点H ，点 A 的横坐标为3，且AOH ∆的面积为3．
（1）求正比例函数的表达式；
（2）在x 轴上能否找到一点M ，使AOM ∆是等腰三角形？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理
由．
【答案】详见解析
【解析】解：（1）点A 的横坐标为3，AOH ∆的面积为3，点A 在第四象限，
∴点A 的坐标为(3,2)-．
将(3,2)A -代入y kx =， 23k -=，解得：23
k =-， ∴正比例函数的表达式为2
3y x =-． （2）①当OM OA =时，如图1所示，
点A 的坐标为(3,2)-， 3OH ∴=，2AH =，2213OA OH AH =+=， ∴点M 的坐标为(13-，0)或(13，0)；
②当AO AM =时，如图2所示，
点H 的坐标为(3,0)，
∴点M 的坐标为(6,0)；
③当OM MA =时，设OM x =，则3MH x =-，
OM MA =，
22(3)2x x ∴=-+，
解得：136
x =， ∴点M 的坐标为13(
6，0)． 综上所述：当点M 的坐标为(13-，0)、(13，0)、(6,0)或13(6
，0)时，AOM ∆是等腰三角形．
【备注】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式、正比例函数的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理。

（二）一次函数直角三角形存在性问题
【例题讲解】★★☆例题1．某一次函数的图象与x轴相交于点(8,0)
B，动点P、Q
A，与y轴相交于点(0,6)
分别同时从A、B出发，其中点P在线段AB上点向B移动，速度是2单位/秒．点Q在线段BO上，以1 个单位/秒的速度向点O移动，设移动的时间为t（秒)
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）四边形OAPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）当t为何值时，BPQ
∆是等腰三角形？
（4）若BPQ
∆是直角三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】详见解析
【解析】解：（1）设一次函数的解析式为y kx b =+，
把(8,0)A ，(0,6)B 代入得：
086k b b =+⎧⎨=⎩
， 解得：346
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴一次函数的解析式为：3
64
y x =-+， 答：一次函数的解析式为364
y x =-+． （2）解：6OB =，8OA =，
根据勾股定理得：10AB =，
AOB ∆的面积168242
=⨯⨯=， 过点Q 作QD AB ⊥于D ，
4sin 5
OA B AB == 4455QD BQ t ∴=⨯
= BPQ ∴∆的面积2144(102)4255
t t t t =⨯-⨯=-+
224424(4)42455
S t t t t ∴=--+=-+， 答：S 与t 之间的函数关系式是244245
S t t =-+． （3）解：当BP BQ =时102t t =-，103
t =
当QB QP =时62105t t +=，258t = 当PB PQ =时
6(102)5t t =-，6017t = 综上所述．当103t =或258或6017
时，BPQ ∆是等腰三角形， 答：当103t =或258或6017
时，BPQ ∆是等腰三角形． （4）解：点P 的坐标为40(
11，36)11，24(13，60)13， 答：点P 的坐标为40(11，36)11，24(13，60)13
． 【备注】本题主要考查对一次函数的性质，用待定系数法求出一次函数的解析式，解二元一次方程组，勾 股定理，三角形的面积，等腰三角形的判定等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解 此题的关键，题型较好，难度适中．
★★☆练习1．如图，矩形OABC 在平面直角坐标系中，若OA 、OC 的长满足2|2|(23)0OA OC -+-=．
（1）求B 、C 两点的坐标；
（2）把ABC ∆沿AC 对折，点B 落在点B '处，线段AB '与x 轴交于点D ，求直线BB '的解析式；
（3）在直线BB '上是否存在点P ，使ADP ∆为直角三角形？若存在，请直接写出P 点坐标；若不存在，请
说明理由．
【答案】详见解析 【解析】解：（1）2|2|(23)0OA OC -+-=
2OA ∴=，23OC = B ∴点坐标为：(23，2)，C 点坐标为(23，0)． （2）ABC ∆≅△AB C '． 23AB AB ∴='=，2CB CB '==
(0,2)A ，(23C ，0)
∴设B '的坐标为(,)x y ，则
222222(2)(23)(23)2
x y x y ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩， 解得：B '的坐标为(3，1)-，
由两点式解出BB '的解析式为34y x =-．
（3）假如存在设(,34)P a a -，23(3
D ，0)，又(0,2)A ， 2222316()233AD ∴=+=，22223()(34)3
PD a a =-+-，2222(342)412336AP a a a a =+--=-+， ①当ADP ∠为直角时，222AD PD AP +=，解得533a =
，则53(3P ，1)； ②当APD ∠为直角时，222AP PD AD +=，此时无解；
③当PAD ∠为直角时，222AD PA PD +=，解得33a =，则(33P ，5)；
综上可得，P 为(33，5)或53(
3，1)． 【备注】本题主要考查一次函数的应用，但是比较麻烦，做题时必须细心，特别是（3）问考虑到容易的方 法就简便了．
（三）一次函数等腰直角三角形存在性问题
【例题讲解】★★★例题1. 在平面直角坐标系xOy 中，直线11:23l y k x =+x 轴、y 轴分别交于点A 、B 两点，3OA OB =，直线22:l y k x b =+经过点(1,3)C -，与x 轴、y 轴和线段AB 分别交于点E 、F 、D 三点．
（1）求直线1l 的解析式；
（2）如图①：若EC ED =，求点D 的坐标和BFD ∆的面积；
（3）如图②：在坐标轴上是否存在点P ，使PCD ∆是以CD 为底边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】详见解析
【解析】解：（1）直线123y k x =+与y 轴B 点，
(0B ∴，23)，
23OB ∴=，
36OA OB ==，
(6,0)A ∴，
把(6,0)A 代入123y k x =+得到，133k =-
， ∴直线1l 的解析式为3233y x =-
+． （2）如图1中，作CM OA ⊥于M ，DN CA ⊥于N ．
90CME DNE ∠=∠=︒，MEC NED ∠=∠，EC DE =，
()CME DNE AAS ∴∆≅∆，CM DN ∴= (1,3)C -，3CM DN ∴==， 当3y =时，33233
x =-+， 解得3x =，
(3,3)D ∴， 把(1,3)C -，(3,3)D 代入2y k x b =+，得到22333
k b k b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩， 解得2323
k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩， ∴直线CD 的解析式为323y x =-，
(0,23)F ∴-，
1433632
BFD S ∆∴=⨯⨯=． （3）①如图③1-中，当PC PD =，90CPD ∠=︒时，作DM OB ⊥于M ，CN y ⊥轴于N ．设(0,)P m ．
90DMP CNP CPD ∠=∠=∠=︒，
90CPN PCN ∴∠+∠=︒，90CPN DPM ∠+∠=︒，
PCN DPM ∴∠=∠， PD PC =，
()DMP NPC AAS ∴∆≅∆， 1CN PM ∴==，3PN DM m ==+，
(3D m ∴+，1)m +， 把D 点坐标代入3233y x =-+，得到：31(3)233
m m +=-++， 解得436m =-，
(0P ∴，436)-．
②如图③2-中，当PC PC =，90CPD ∠=时，作DM OA ⊥于M ，CN OA ⊥于N ．设(,0)P n ．
同法可证：DMP PNC ∆≅∆，
3PM CN ∴==，1DM PN n ==-，
(3D n ∴-，1)n -，
把D 点坐标代入3233y x =-+，得到：31(3)233
n n -=--+， 解得23n =
(23P ∴，0)．
③如图③3-中，当点P 在x 则的负半轴上时，作DM OA ⊥于M ，CN OA ⊥于N ．设(,0)P n ．
同法可得(31D n +-，1)n -，把D 点坐标代入3233y x =-
+，得到：31(31)233
n n -=-+-+，解得1532n -=， 153(2
P -∴，0)，此时点D 在第二象限，不符合题意舍弃． 综上所述，满足条件的点P 坐标为(0，436)-或(23，0)．
【备注】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
★★★练习1．如图，已知直线c 和直线b 相交于点(2,2)，直线c 过点(0,3)．平行于y 轴的动直线a 的解析式为x t =，且动直线a 分别交直线b 、c 于点D 、(E E 在D 的上方）．
（1）求直线b 和直线c 的解析式；
（2）若P 是y 轴上一个动点，且满足PDE ∆是等腰直角三角形，求点P 的坐标．
【答案】详见解析
【解析】解：（1）设直线b 的解析式为：y kx =，
把(2,2)代入y kx =得，1k =，
∴直线b 的解析式为：y x =；
设直线c 的解析式为：y kx b =+，
把点(2,2)，点(0,3)代入得，223k b b +=⎧⎨=⎩
， ∴123
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，
∴直线c 的解析式为：1
32
y x =-+； （2）当x t =时，y x t ==；当x t =时，132
y x =-+ 132
t =-+， E ∴点坐标为1(,3)2
t t -+，D 点坐标为(,)t t ． E 在D 的上方，
132
DE t t ∴=-+- 332
t =-+，且2t <， PDE ∆为等腰直角三角形，PE DE ∴=或PD DE =或PE PD =． 0t >时，PE DE =时，332
t t -+=， 65t ∴=，112325
t -+=， P ∴点坐标为12(0,
)5， ①若0t >，PD DE =时，332
t t -+=， 65
t ∴=．P ∴点坐标为6(0,)5； ②若0t >，PE PD =时，即DE 为斜边，3322
t t ∴-+=， 67t ∴=，DE 的中点坐标为13(,)42
t t +， P ∴点坐标为12(0,)7
． 若0t <，PE DE =和PD DE =时，由已知得DE t =-，332
t t -+=-，60t => （不符合题意，舍去），
此时直线x t =不存在．
③若0t <，PE PD =时，即DE 为斜边，由已知得2DE t =-，3322
t t -+=-， 6t ∴=-，13042
t +=， P ∴点坐标为(0,0)
综上所述：当65t =时，PDE ∆为等腰直角三角形，此时P 点坐标为12(0,)5或6(0,)5
； 当67
t =时，PDE ∆为等腰直角三角形，此时P 点坐标为12(0,)7； 当6t =-时，PDE ∆为等腰直角三角形，此时P 点坐标为(0,0)．
【备注】本题考查了待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的判定和性质．
（四）一次函数全等三角形存在性问题
【例题讲解】★★★例题1. 如图，直线1:22
L y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点 (0,4)C ，动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动．
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）当M 在x 轴正半轴移动并靠近0点时，求COM ∆的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式；当M
在O 点时，COM ∆的面积如何？当M 在x 轴负半轴上移动时，求COM ∆的面积S 与M 的移动时间t 之间 的函数关系式；请写出每个关系式中t 的取值范围；
（3）当t 为何值时COM AOB ∆≅∆，并求此时M 点的坐标．
【答案】详见解析
【解析】解：（1）若0x =，则2y =， 若0y =，则1202
x -+=，则4x =， 则A 的坐标是(4,0)，B 的坐标是(0,2)；
（2）①M 在x 轴的正半轴，
则11(4)422
S OM OC t ==-⨯， 即28(04)S t t =-+<；
②若M 在O 时，则0S =，此时4t =；
③若M 在x 轴的负半轴，1(4)42
S t =-⨯， 即28(4)S t t =->；
（3）OC OA =，90AOB COM ∠=∠=︒，
∴只需OB OM =，则COM AOB ∆≅∆，
即2OM =，
此时，若M 在x 轴的正半轴时，2t =，
M 在x 轴的负半轴，则6t =．
故当2t =或6时，COM AOB ∆≅∆，此时(2,0)M 或(2,0)-．
【备注】本题考查了一次函数的性质和三角形的面积公式，以及全等三角形的判定与性质，理解全等三角 形的判定定理是关键．
★★★练习1．如图，直线L ：与x 轴、y 轴分别交于(4,0)A 、(0,2)B 两点，在y 轴上有一点(0,4)C ，动 点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动．
（1）求直线L 的解析式；
（2）求COM ∆的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式；
（3）当t 何值时COM AOB ∆≅∆，并求此时M 点的坐标．
【答案】详见解析
【解析】解：（1）设直线L 的解析式为y kx b =+，
由直线L ：与x 轴、y 轴分别交于(4,0)A 、(0,2)B 两点，得
402
k b b +=⎧⎨=⎩， 解得122
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩． 直线L 的解析式为122
y x =-+； （2）由动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动，t
秒运动了t 个单位，
即AM t =．
①当04t <时，由线段的和差得4OM t =-， COM ∆的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式114(4)8222
S OM OC t t ==⨯-=-； ②当4t >时，由线段的和差得4OM t =-，
COM ∆的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式114(4)2822
S OM OC t t ==⨯-=-， 综上所述：82(04)28(4)t t S t t -<⎧=⎨->⎩
； （3）由COM AOB ∆≅∆，得
02OM B ==，即(2,0)M 或(2,0)-．
①当2OM =时42AM OA OM =-=-，即M 行驶了2秒；
②当2OM =-时，4(2)6AM AO OM =-=--=，即M 行驶了6秒，
综上所述：当2t =时，COM AOB ∆≅∆，此时M 点的坐标(2,0)； 当6t =时，COM AOB ∆≅∆，此时M 点的坐标(2,0)-．
【备注】本题考查了一次函数的综合题，利用了待定系数法求解析式，（2）分类讨论是解题关键，根据三 角形的面积公式得出函数解析式，（3）利用了全等三角形的性质．
【题型知识点总结】
（1）等腰三角形存在性问题可以用“两圆一线”法或两点之间的距离公式进行解答；
（2）直角三角形的存在性问题要注意“两线一圆”法或两点之间距离公式的运用；
（3）等腰直角三角形的存在性问题要注意一线三垂直全等模型的运用；
（4）全等三角形存在性问题要注意对应点的不同对应情况。

【课后练习】
1.【巩固练习】
★★☆1．已知一次函数y kx b =+的图象经过点(1,1)A --和点(1,3)B -．求：
（1）直接写出一次函数的表达式 ；
（2）直接写出直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积 ；
（3）请在x 轴上找到一点P ，使得PA PB +最小，并求出P 的坐标．
【答案】详见解析
【解析】解：（1）一次函数y kx b =+的图象经过点(1,1)A --和点(1,3)B -，
∴13k b k b -+=-⎧⎨+=-⎩，解得12
k b =-⎧⎨=-⎩， ∴一次函数为2y x =--；
（2）在2y x =--中，分别令0x =、0y =，
可求得一次函数与两坐标轴的交点坐标分别为(0,2)-、(2,0)-， ∴直线与两坐标轴围成的三角形的面积为：12222S =
⨯⨯=； （3）作点A 关于x 轴的对称点A '，连接BA '与x 轴 的交点即为点P ．
设直线BA '的解析式为y mx n =+，
将点(1,1)A '-和点(1,3)B -代入可得：
13
m n m n -+=⎧⎨+=-⎩， 解得：21m n =-⎧⎨=-⎩
． 故直线BA '的解析式为21y x =--，
令0y =，可得210x --=， 解得：12
x =-， 故点P 的坐标为1(2
-，0)． 故答案为2y x =--；2．
【备注】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题， 掌握待定系数法的应用是解题的关键．
★★☆2．如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，．
（1）求该一次函数的表达式．
（2）为坐标原点，为的中点，，点为轴上的动点，求的最小值，并求出此时点的坐标
y kx b =+x y (4,0)A (0,2)B O D AB 1OC =P y PC
PD +P
【答案】详见解析
【解析】解：（1）设一次函数表达式为，
将，，代入得， 解得：， 所以一次函数表达式为； （2）求点的坐标部分同方法一，也可用中点坐标公式直接可得，
设直线的表达式为，
把，代入得：， 解得：， ， 当时，， 则．
y kx b =+(4A 0)(0B 2)042k b b
=+⎧⎨=⎩122
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩1
22
y x =-+D 'CD 'y mx n =+(2,1)D '-(1,0)C 120m n m n =-+⎧⎨=+⎩
1313m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
1133
y x ∴=-+0x =13
y =1
(0,)3
P '
【备注】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，以及轴对称最短线路问题，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
★★☆3．如图，已知一次函数的图象经过点，与轴交于点．
（1）求出一次函数的表达式；
（2）求出点的坐标，并在轴上找到一点，使得最小，并求出点的坐标．
【答案】详见解析
【解析】解：（1）将点代入，
得，解得，
一次函数的表达式为；
（2）在中，令，得，
点坐标为．
如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时最小． 设的表达式为，
-2y kx =-(1,1)A --x C C y P PA PC +
P (1,1)A --2y kx =-12k -=--1k =-∴2y x =--2y x =--0y =2x =-∴C (2,0)-C y (2,0)B AB y P PA PC +AB y mx n =+
将和代入，
得， 解得， 的表达式为， 令，得， 点坐标为．
【备注】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，轴对称最短路线问题，掌握待定系数法是解本题的关键．
★★☆4．如图，在直角坐标系中有线段，，、到轴的距离分别为10和40，点到 轴的距离为30．
（1）求点的坐标；
（2）在轴上有一动点，当的周长最短时，求这个周长的最小值．
(1,1)--(2,0)102m n m n -=-+⎧⎨=+⎩
1323m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
AB ∴1233
y x =-0x =2
3
y =-∴P 2
(0,)3
--AB 50AB =A B x B y A x P PAB ∆
【答案】详见解析
【解析】解：（1）分别过、作轴于点，轴于点，过作轴于点，过点作轴于点，、交于点，则是直角三角形，如图1，
，，，得，
；
（2）作点关于轴的对称点，连接、交轴于点，则点就是满足条件的点的位置，如图
2，
由勾股定理，得：， 所求周长的最小值为．
【备注】本题考查轴对称最短路线问题以及坐标和图形的性质，本题关键是找到何时周长最短，以及构 A B AC x ⊥C BD x ⊥D B BE y ⊥E A
AF y ⊥F AF BD G ABG ∆50AB =401030BG =-=30BE =40AE =(70,10)A ∴A x A 'A 'B x H H P 22(7030)(1040)1041BA '=-+--=∴501041+-
造直角三角形，求出周长．
★★☆5．如图，在直角坐标系中，点、的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，且、 、三点不在同一条直线上．
（1）求出的长．
（2）求出的周长的最小值？
【答案】详见解析
【解析】解：（1）作于，如图1所示：
则，，，，
，
；
（2）要使的周长最小，一定，
则最小，
作关于轴的对称点，连接交轴于点，
A B (1,4)(3,0)C y A B C AB ABC ∆AD OB ⊥D 90ADB ∠=︒1OD =4AD =3OB =312BD ∴=-=222425AB ∴=+=ABC ∆AB AC BC +A y A 'BA 'y C
点即为使最小的点，
作轴于，
由对称的性质得：，
则，，，
， 由勾股定理得：， 的周长的最小值为．
【备注】本题考查了利用轴对称变换作图，坐标与图形性质，勾股定理，轴对称确定最短路线问题；熟记 最短距离的确定方法是解题的关键．
★★☆6．如图，在平面直角坐标系中，直线122
y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为腰 C AC BC +A E x '⊥E AC A C ='AC BC A B +='4A E '=1OE =4BE ∴=224442A B '=+=ABC ∴∆2542+
长在第二象限内作等腰直角ABC ∆
（1）求点A 、B 的坐标，并求AB 的长；
（2）求点C 的坐标；
（3）你能否在x 轴上找一点M ，使MCB ∆的周长最小？如果能，请求出M 点的坐标；如果不能，说明理
由．
【答案】详见解析
【解析】解：（1）当0y =时，4x =-，则A 的坐标(4,0)-，
当0x =时，2y =，则B 的坐标(0,2)， ∴222420AB =+=；
（2）过C 做线段CE 垂直x 轴，交x 轴与E
90ACE EAC ∠+∠=︒，90EAC BAO ∠+∠=︒， ACE BAO ∴∠=∠，
在DEA ∆与AOB ∆中，
ACE BAO AEC BOA AC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()DEA AOB AAS ∴∆≅∆，
4CE AO ∴==，2EA OB ==，
C ∴的坐标为(6,4)-；
AB 作腰，AB BC =．同法可得C 点的坐标为(2,6)-．
综上所述，点C 的坐标为(2,6)-或(6,4)-
（3）作B 关于x 轴的对称点B '，连接CB '，与x 轴的交点即为点M 则(0,2)B '-．
设直线M B '的解析式为(0)y kx b k =+≠，
则642
k b b -+=⎧⎨=-⎩， 解得12k b =-⎧⎨=-⎩ 则直线M B '的解析式为2y x =--．
当0y =时，2x =-，则M 的坐标(2,0)-．
【备注】本题考查的是一次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特点、等腰直角三角形的性质、 全等三角的判定与性质等知识是解析此题的关键．
★★☆7．如图，直线483
y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，M 是OB 的上的一点，若将ABM ∆沿M 折叠，点B 恰好落在x 轴上的点B '处．
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）求直线AM 的表达式；
（3）在x 轴上是否存在点P ，使得以点P 、M 、B '为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】详见解析
【解析】解：（1）当0x =时，8y =，
(0,8)B ∴， 当0y =时，4803
x -+=， 6x =， (6,0)A ∴；
（2）在Rt AOB ∆中，90AOB ∠=︒，6OA =，8OB =， 10AB
∴=，
由折叠得：10AB AB '==，
1064OB '∴=-=，
设OM a =，则8BM B M a '==-，
由勾股定理得：2224(8)a a +=-，
3a =，
(0,3)M ∴，
设:AM y kx b =+，
则603k b b +=⎧⎨=⎩，解得：123
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AM 的解析式为：1
32
y x =-+； （3）在x 轴上存在点P ，使得以点P 、M 、B '为顶点的三角形是等腰二角形，如图
(0,3)M ，(4,0)B '-，
5B M ∴'=，
当PB B M '='时，1(9,0)P -，2(1,0)P ；
当B M PM '=时，3(4,0)P ，
当PB PM '=时，作BM 的垂直平分线，交x 轴于4P ，交B M '与Q ，连接4MP ，
设4OP m =，则444P M P B m ='=-， 222PM OP PM =+，
222(4)3m m ∴-=+ 解得78m =
， 47(8
P ∴-，0)， 综上，P 点的坐标为(9,0)-或(1,0)或(4,0)或7(8
-，0)． 【备注】本题为一次函数的综合应用，涉及折叠的性质、待定系数法、勾股定理等知识．在（1）中利用函数与坐标轴的交点列方程是解题的关键，在（2）中求得M 点的坐标是解题的关键，（3）中分类讨论是解题的关键，难度适中．
★★☆8．如图，在平面直角坐标系中，过点(6,0)B 的直线AB 与直线OA 相交于点(4,2)A ．
（1）求直线AB 的函数表达式；
（2）若在y 轴上存在一点M ，使MA MB +的值最小，请求出点M 的坐标；
（3）在x 轴上是否存在点N ，使AON ∆是等腰三角形？如果存在，直接写出点N 的坐标；如果不存在，说明理由．
【答案】详见解析
【解析】解：（1）设直线AB 的解析式为y kx b =+，
把(4,2)A ，(6,0)B 代入得：2406k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：16k b =-⎧⎨=⎩
， ∴直线AB 的表达式为6y x =-+；
（2）作点(6,0)B 关于y 轴的对称点B '， (6,0)B '∴-，
连接AB '交y 轴于M ，此时MA MB +最小， 设直线AB '的解析式为y mx n =+，。