专题05 倍长中线问题(解析版)

专题05 倍长中线问题
【要点提炼】
一、【倍长中线法】
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）+倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

二、【倍长中线法拓展;两次全等】
通常，在倍长中线后的第一组全等只是一个基础，往往还需证明第二组全等，但是难点就在于如何去倍长中线，倍长中线后去连接什么线，这是问题的关键。

这时一般需要去试错，尤其是当有两个中点时，一般是倍长中线后大概率会有另一组的全等。

三、【倍长中线的常见类型】
1.基本型
如图1，在中，为边上的中线.
延长至点E，使得.
若连结，则;
若连结，则;
若连结则四边形是平行四边形.
2.中点型
如图2, C为AB的中点.
若延长EC 至点F ，使得CF EC =，连结AF ，则BCE ACF ∆≅∆;
若延长DC 至点G ，使得CG DC =，连结BG ，则ACD BCG ∆≅∆.
总结：在线段AB 外，与中点C 连结的点有E 和D .事实上，EC 和DC 分别是ABE ∆和ABD ∆的中线，只不过是三角形不完整罢了，本质就是隐蔽的“基本型”
3.中点+平行线型
如图3, //AB CD ，点E 为线段AD 的中点.延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF ∆≅∆.
小结 若按“中点型”来倍长，则需证明点F 在AB 上，为了避免证明三点共线，点F 就直接通过延长相交得到.因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS ”或“ASA ”证明全等.这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版.
【专题训练】
一、解答题（共14小题）
1.小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC 中，AB ＝7，AC ＝5，点D 为BC 的中点，求AD 的取值
范围．
小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：（1）小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：（用字母表示）
（2）AD的取值范围是
小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．
【答案】【第1空】SAS
【第2空】1＜AD＜6
【解答】解：（1）如图2中，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．
在△BED和△CAD中，
，
∴△BED≌△CAD（SAS）．
（2）∵△BED≌△CAD，
∴BE＝AC＝5，∵AB＝7，
∴2＜AE＜12，
∴2＜2AD＜12，
∴1＜AD＜6．
故答案分别为SAS，1＜AD＜6．
解决问题：如图3中，
解：延长GE交CB的延长线于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CM，
∴∠AGE＝∠M，
在△AEG和△BEM中，
，
∴△AEG≌△BEM，
∴GE＝EM，AG＝BM＝2，
∵EF⊥MG，
∴FG＝FM，
∵BF＝4，
∴MF＝BF+BM＝2+4＝6，
∴GF＝FM＝6．
【知识点】四边形综合题
2.自主学习，学以致用
先阅读，再回答问题：如图1，已知△ABC中，AD为中线．延长AD至E，使DE＝AD．在△ABD 和△ECD中，AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD，所以，△ABD≌△ECD（SAS），进一步可得到AB＝CE，AB∥CE等结论．
在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．
解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，F为AD上一点，且BF＝AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE＝EF．
【解答】
证明：延长AD到G，使DF＝DG，连接CG，
∵AD是中线，
∴BD＝DC，
在△BDF和△CDG中
∴△BDF≌△CDG，
∴BF＝CG，∠BFD＝∠G，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠AFE＝∠G，
∵BF＝CG，BF＝AC，
∴CG＝AC，
∴∠G＝∠CAF，
∴∠AFE＝∠CAF，
∴AE＝EF．
【知识点】全等三角形的判定与性质
3.阅读并解答问题．
如图，已知：AD为△ABC的中线，求证：AB+AC＞2AD．证明：延长AD至E使得DE＝AD，连接EC，则AE＝2AD ∵AD为△ABC的中线
∴BD＝CD
在△ABD和△CED中
，
∴△ABD≌△CED
∴AB＝EC
在△ACE中，根据三角形的三边关系有
AC+EC AE
而AB＝EC，AE＝2AD
∴AB+AC＞2AD
这种辅助线方法，我们称为“倍长中线法”，请利用这种方法解决以下问题：（1）如图，已知：CD为Rt△ABC的中线，∠ACB＝90°，求证：CD＝；（2）把（1）中的结论用简洁的语言描述出来．
【答案】＞
【解答】解：（1）证明：延长CD至E使DE＝CD，连接EB，AE．
∵CD为Rt△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∵CD＝DE，∠ADC＝∠EDB，
∴△ADC≌△EDB，
∴∠ACD＝∠DEB，AC＝BE，
∴AC∥BE，
∴四边形ACBE是平行四边形，
又∵∠ACB＝90°，
∴平行四边形ACBE是矩形，
∴AB＝CE，CD＝DE＝AD＝BD，
∴CD＝AB；
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【知识点】直角三角形斜边上的中线、全等三角形的判定与性质
4.我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC
绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：
（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝BC；
②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为．
猜想论证：
（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．
拓展应用
（3）如图4，在四边形ABCD，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2，AB＝2．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△P AB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△P AB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）①如图2中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝AB′＝AC′，
∵DB′＝DC′，
∴AD⊥B′C′，
∵∠BAC＝60°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，
∴∠B′AC′＝120°，
∴∠B′＝∠C′＝30°，
∴AD＝AB′＝BC，
故答案为．
②如图3中，
∵∠BAC＝90°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，
∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°，
∵AB＝AB′，AC＝AC′，
∴△BAC≌△B′AC′，
∴BC＝B′C′，
∵B′D＝DC′，
∴AD＝B′C′＝BC＝4，
故答案为4．
（2）结论：AD＝BC．
理由：如图1中，延长AD到M，使得AD＝DM，连接B′M，C′M
∵B′D＝DC′，AD＝DM，
∴四边形AC′MB′是平行四边形，
∴AC′＝B′M＝AC，
∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∠B′AC′+∠AB′M＝180°，
∴∠BAC＝∠MB′A，∵AB＝AB′，
∴△BAC≌△AB′M，
∴BC＝AM，
∴AD＝BC．
（3）存在．
理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接P A、PD、PC，作△PCD的中线PN．
连接DF交PC于O．
∵∠ADC＝150°，
∴∠MDC＝30°，
在Rt△DCM中，∵CD＝2，∠DCM＝90°，∠MDC＝30°，
∴CM＝2，DM＝4，∠M＝60°，
在Rt△BEM中，∵∠BEM＝90°，BM＝14，∠MBE＝30°，
∴EM＝BM＝7，
∴DE＝EM﹣DM＝3，
∵AD＝6，
∴AE＝DE，∵BE⊥AD，
∴P A＝PD，PB＝PC，
在Rt△CDF中，∵CD＝2，CF＝6，
∴tan∠CDF＝，
∴∠CDF＝60°
∴∠ADF＝90°＝∠AEB，
∴∠CBE＝∠CFD，
∵∠CBE＝∠PCF，
∴∠CFD＝∠PCF，
∵∠CFD+∠CDF＝90°，∠PCF+∠CPF＝90°，
∴∠CPF＝∠CDF＝60°＝∠CDF
易证△FCP≌△CFD，
∴CD＝PF，∵CD∥PF，
∴四边形CDPF是矩形，
∴∠CDP＝90°，
∴∠ADP＝∠ADC﹣∠CDP＝60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠ADP＝60°，∵∠BPF＝∠CPF＝60°，
∴∠BPC＝120°，
∴∠APD+∠BPC＝180°，
∴△PDC是△P AB的“旋补三角形”，
∵AB＝2．
∴△P AB的“旋补中线”长＝AB＝．
【知识点】四边形综合题
5.我们定义：如果两个三角形的两组对应边相等，且它们的夹角互补，我们就把其中一个三角形叫
做另一个三角形的“夹补三角形”，同时把第三边的中线叫做“夹补中线．例如：图1中，△ABC 与△ADE的对应边AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，AF是DE边的中线，则△ADE 就是△ABC的“夹补三角形”，AF叫做△ABC的“夹补中线”．
特例感知：
（1）如图2、图3中，△ABC与△ADE是一对“夹补三角形”，AF是△ABC的“夹补中线”；
①当△ABC是一个等边三角形时，AF与BC的数量关系是：；
②如图3当△ABC是直角三角形时，∠BAC＝90°，BC＝a时，则AF的长是；
猜想论证：
（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AF与BC的关系，并给予证明．
拓展应用：
（3）如图4，在四边形ABCD中，∠DCB＝90°，∠ADC＝150°，BC＝2AD＝6，CD＝，若△P AD是等边三角形，求证：△PCD是△PBA的“夹补三角形”，并求出它们的“夹补中线”的长．
【解答】解：（1）
∵△ABC与△ADE是一对“夹补三角形”，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，
①∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°
∴AD＝AE＝AB＝AC，∠DAE＝120°，
∴∠ADE＝30°，
∵AF是“夹补中线”，
∴DF＝EF，
∴AF⊥DE，
在Rt△ADF中，AF＝AD＝AB＝BC，
故答案为：AF＝BC；
②当△ABC是直角三角形时，∠BAC＝90°，
∵∠DAE＝90°＝∠BAC，
易证，△ABC≌△ADE，
∴DE＝BC，
∵AF是“夹补中线”，
∴DF＝EF，
∴AF＝DE＝BC＝a，
故答案为a；
（2）解：猜想：AF＝BC，
理由：如图1，延长DA到G，使AG＝AD，连EG
∵△ABC与△ADE是一对“夹补三角形”，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，
∴AG＝AB，∠EAG＝∠BAC，AE＝AC，
∴△AEG≌△ACB，
∴EG＝BC，
∵AF是“夹补中线”，
∴DF＝EF，
∴AF＝EG，
∴AF＝BC；
（3）证明：如图4，
∵△P AD是等边三角形，
∴DP＝AD＝3，∠ADP＝∠APD＝60°，
∵∠ADC＝150°，
∴∠PDC＝90°，
作PH⊥BC于H，
∵∠BCD＝90°
∴四边形PHCD是矩形，
∴CH＝PD＝3，
∴BH＝6﹣3＝3＝CH，
∴PC＝PB，
在Rt△PCD中，tan∠DPC＝＝，
∴∠DPC＝30°
∴∠CPH＝∠BPH＝60°，∠APB＝360°﹣∠APD﹣∠DPC﹣∠BPC＝150°，
∴∠APB+∠CPD＝180°，
∵DP＝AP，PC＝PB，
∴△PCD是△PBA的“夹补三角形”，
由（2）知，CD＝，
∴△P AB的“夹补中线”＝＝．
【知识点】四边形综合题
6.如图1，在△ABC中，点D是BC的中点，延长AD到点G，使DG＝AD，连接CG，可以得到△
ABD≌△GCD，这种作辅助线的方法我们通常叫做“倍长中线法”．
如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AB上一点，连接ED，小明由图1中作辅助线的方法想到：延长ED到点G，使DG＝ED，连接CG．
（1）请直接写出线段BE和CG的关系：；
（2）如图3，若∠A＝90°，过点D作DF⊥DE交AC于点F，连接EF，已知BE＝3，CF＝2，其它条件不变，求EF的长．
【答案】BE=CG
【解答】解：（1）∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△EBD和△GCD中，
∵，
∴△EBD≌△GCD（SAS），
∴BE＝CG，
故答案为：BE＝CG；
（2）如图，连接GF，
由（1）知△EBD≌△GCD，
∴∠B＝∠GCD，BE＝CG＝3，
又∵∠A＝90°，
∴∠B+∠BCA＝90°，
∴∠GCD+∠BCA＝90°，即∠GCF＝90°，
∵CG＝3，CF＝2，
∴FG＝＝，
∵DF⊥DE，且DE＝DG，
∴EF＝FG＝．
【知识点】全等三角形的判定与性质
7.[方法呈现]
（1）如图①，△ABC中，AD为中线，已知AB＝3，AC＝5，求中线AD长的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：
延长AD至点E，使DE＝AD，连结CE，则易证△DEC≌△DAB，得到EC＝AB＝3，则可得AC﹣
CE＜AE＜AC+CE，从而可得中线AD长的取值范围是．
[探究应用]
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系，并写出完整的证明过程．
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】2＜AD＜8
【解答】解：（1）由题意知AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AD＜5+3，
∴2＜AD＜8，
故答案为：2＜AD＜8；
（2）如图②，延长AE，DC交于点F，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠F，
在△ABE和△FCE中
CE＝BE，∠BAF＝∠F，∠AEB＝∠FEC，
∴△ABE≌△FEC（AAS），
∴CF＝AB，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAF＝∠F AD，
∴∠F AD＝∠F，
∴AD＝DF，
∵DC+CF＝DF，
∴DC+AB＝AD．
（3）如图③，延长AE，DF交于点G，
同（2）可得：AF＝FG，△ABE≌△GEC，
∴AB＝CG，
∴AF+CF＝AB．
【知识点】四边形综合题
8.数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是
BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程．
（1）求证：△ADC≌△EDB
证明：∵延长AD到点E，使DE＝AD
在△ADC和△EDB中AD＝ED（已作）∠ADC＝∠EDB（）CD＝BD（中点定义）
∴△ADC≌△EDB（）
（2）探究得出AD的取值范围是；
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE＝4，且∠ADE ＝90°，求AE的长．
【答案】【第1空】对顶角相等
【第2空】SAS
【第3空】1＜AD＜7
【解答】解：（1）证明：延长AD到点E，使DE＝AD，在△ADC和△EDB中，
AD＝ED（已作），
∠ADC＝∠EDB（对顶角相等），
CD＝BD（中点定义），
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：对顶角相等，SAS；
（2）∵△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，
8﹣6＜AE＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故答案为：1＜AD＜7；
（3）延长AD交EC的延长线于F，
∵AB⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ABD＝∠FCD，
在△ABD和△FCD中，
，
∴△ABD≌△FCD，
∴CF＝AB＝2，AD＝DF，
∵∠ADE＝90°，
∴AE＝EF，
∵EF＝CE+CF＝CE+AB＝4+2＝6，
∴AE＝6．
【知识点】三角形综合题
9.我们定义：在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A
逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△AB'C'叫△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'的边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”．下面各图中，△AB'C'均是△ABC的“旋补三角形”，AD均是△ABC的“旋补中线”．
（1）如图1，若△ABC为等边三角形，BC＝8，则AD的长等于；
（2）如图2，若∠BAC＝90°，求证：AD＝BC；
（3）如图3，若△ABC为任意三角形，（2）中结论还成立吗？如果成立，给予证明；如果不成立，说明理由．
【解答】解：（1）如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝AB′＝AC′，
∵DB′＝DC′，
∴AD⊥B′C′，
∵∠BAC＝60°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，
∴∠B′AC′＝120°，
∴∠B′＝∠C′＝30°，
∴AD＝AB′＝BC＝4，
（2）证明：如图2中，
∵AB绕点A旋转得到AB'，AC绕点A旋转得到AC'，
∴AB′＝AB，AC'＝AC，
∵∠BAC＝90°，α+β＝180°，∠B′AC′＝360°﹣（α+β）﹣∠BAC，
∴∠B′AC′＝360°﹣180°﹣90°＝90°，
∴∠BAC＝∠B′AC′，
∴△BAC≌△B′AC′（SAS）
∴BC＝B′C′，
∵AD是△AB'C'边B'C'上的中线，∠B′AC′＝90°．
∴AD＝B′C′．
∴AD＝BC．
（3）结论AD＝BC成立．
理由：如图3中，延长AD到A′，使得AD＝DA′，连接B′A′，C′A′．
∴AD＝AA′，
∵B′D＝DC′，AD＝DA′，
∴四边形AB′A′C′是平行四边形，
∴AC′＝B′A′＝AC，
∵∠BAC+∠B′AC′＝360°﹣180°＝180°，∠B′AC′+∠AB′M＝180°，
∴∠BAC＝∠AB′A′，∵AB＝AB′，
∴△BAC≌△AB′A′（SAS）
∴BC＝AA′，
∴AD＝BC．
【知识点】几何变换综合题
10.阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理﹣﹣“中线长定理”：三角形两边
的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在△ABC中，点D为BC的中点，根据“中线长定理”，可得：
AB2+AC2＝2AD2+2BD2．小明尝试对它进行证明，部分过程如下：
解：过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，
同理可得：AC2＝AE2+CE2，AD2＝AE2+DE2，
为证明的方便，不妨设BD＝CD＝x，DE＝y，
∴AB2+AC2＝AE2+BE2+AE2+CE2＝…
（1）请你完成小明剩余的证明过程；
理解运用：
（2）①在△ABC中，点D为BC的中点，AB＝6，AC＝4，BC＝8，则AD＝；
②如图3，⊙O的半径为6，点A在圆内，且OA＝2，点B和点C在⊙O上，且∠BAC＝90°，
点E、F分别为AO、BC的中点，则EF的长为；
拓展延伸：
（3）小明解决上述问题后，联想到《能力训练》上的题目：如图4，已知⊙O的半径为5，以A （﹣3，4）为直角顶点的△ABC的另两个顶点B，C都在⊙O上，D为BC的中点，求AD长的最大值．
请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，同理可得：AC2＝AE2+CE2，AD2＝AE2+DE2，为证明的方便，不妨设BD＝CD＝x，DE＝y，
∴AB2+AC2＝2AE2+（x+y）2+（x﹣y）＝2AE2+2x2+2y2、
＝2AE2+2BD2+2DE2＝2AD2+2BD2．
（2）①∵AB2+AC2＝2AD2+2BD2，
∴62+42＝2AD2+2×42，
∴AD＝
②如图3中，
∵AF是△ABC的中线，EF是△AEO的中线，OF是△BOC的中线，
∵2EF2+2AE2＝AF2+OF2，
2AF2+2BF2＝AB2+AC2，
OF2＝OB2﹣BF2，
∴4EF2＝2OB2﹣4AE2＝2OB2﹣OA2，
∴EF2＝OB2﹣OA2＝16，
∴EF＝4（负根以及舍弃），
故答案为．4．
（3）如图4中，连接OA，取OA的中点E，连接DE．
由（2）的②可知：DE═OB2﹣OA2＝，
在△ADE中，AE＝，DE＝，
∵AD≤AE+DE，
∴AD长的最大值为+＝10．
【知识点】圆的综合题
11.[问题提出]
如图①，在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．
[问题解决]
解决此问题可以用如下方法，延长AD到点E使DE＝AD，再连结BE（或将△ACD绕着点D逆时针装转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断，由此得出中线AD的取值范围是
[应用]
如图②，如图，在△ABC中，D为边BC的中点，已知AB＝5，AC＝3，AD＝2．求BC的长
[拓展]
如图③，在△ABC中，∠A＝90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上，过点D作DF⊥DE交边AC于点F，连结EF，已知BE＝4，CF＝5，则EF的长为
【解答】解：（1）在△DAC和△DEB中，
，
∴△DAC≌△DEB（SAS），
∴AC＝EB＝4，
∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，AB＝6，
∴2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5；
（2）延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如图②，
在△DAC和△DEB中，
，
∴△DAC≌△DEB（SAS），
∴AC＝EB＝3，
∵AE＝2AD＝4，AB＝5，
∴BE2+AE2＝AB2，
∴∠AEB＝90°，
∴BD＝，
∴BC＝2BD＝2；
（3）延长FD到G，使得DG＝FD，连接BG，EG，如图③，
在△BDG和△CDF中，
，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴BG＝CF＝5，DG＝DF，∠DBG＝∠DCF，
∵DE⊥DF，
∴EG＝EF，
∵∠A＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠DBG＝90°，
∴EG＝，
∴EF＝，
故答案为：．
【知识点】全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、垂线段最短、三角形三边关系、解直角三角形
12.我们定义：如图1，在△ABC看，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC
绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：
（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝BC；
②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为．
猜想论证：
（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证
明．
【解答】解：（1）①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝BC；
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝AB′＝AC′，
∵DB′＝DC′，
∴AD⊥B′C′，
∵∠BAC＝60°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，
∴∠B′AC′＝120°，
∴∠B′＝∠C′＝30°，
∴AD＝AB′＝BC，
故答案为．
②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为4．
理由：∵∠BAC＝90°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，
∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°，
∵AB＝AB′，AC＝AC′，
∴△BAC≌△B′AC′，
∴BC＝B′C′，
∵B′D＝DC′，
∴AD＝B′C′＝BC＝4，
故答案为4．
（2）猜想．
证明：如图，延长AD至点Q，则△DQB'≌△DAC'，
∴QB'＝AC'，QB'∥AC'，
∴∠QB'A+∠B'AC'＝180°，
∵∠BAC+∠B'AC'＝180°，
∴∠QB'A＝∠BAC，
又由题意得到QB'＝AC'＝AC，AB'＝AB，
∴△AQB'≌△BCA，
∴AQ＝BC＝2AD，
即．
【知识点】几何变换综合题
13.如图1，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM（点D与点A重合除
外）上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．
（1）判断AD与BE是否相等，请说明理由；
（2）如图2，若AB＝8，点P、Q两点在直线BE上且CP＝CQ＝5，试求PQ的长；
（3）在第（2）小题的条件下，当点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时．判断PQ的长是否为定值，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由．
【解答】解：（1）AD＝BE．理由如下：
∵△ABC，△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∵∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝60°，
∠BCE+∠BCD＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∵，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（2）如图，过点C作CN⊥BQ于点N，
∵CP＝CQ，
∴PQ＝2PN，
∵△ABC是等边三角形，AM是中线，
∴CM⊥AD，CM＝BC＝×8＝4，
∴CN＝CM＝4（全等三角形对应边上的高相等），
∵CP＝CQ＝5，
∴PN＝＝＝3，
∴PQ＝2PN＝2×3＝6；
（3）PQ的长为定值6．
∵点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时，△ACD和△BCE全等，
∴对应边AD、BE上的高线对应相等，
∴CN＝CM＝4是定值，
∴PQ的长是定值．
【知识点】全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质
14.我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）并缩短一半得到
AB'，把AC绕点A逆时针旋转β并缩短一半得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋半三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋半中线”，点A 叫做“旋半中心”．
特例感知：
（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋半三角形”，AD是△ABC的“旋半中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝BC；
②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝4时，则AD长为．
猜想论证：
（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．
拓展应用：
（3）如图4，在平面直角坐标系中，△ABC的坐标分别是A（4，3），B（1，0），C（5，0），△AB′C′是△ABC的“旋半三角形”，AD是△ABC的“旋半中线”，连结OD，求OD的最大值是多少？并请直接写出当OD最大时点D的坐标．
【解答】解：（1）①如图2中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝2AB′＝2AC′，
∵DB′＝DC′，
∴AD⊥B′C′，
∵∠BAC＝60°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，
∴∠B′AC′＝120°，
∴∠B′＝∠C′＝30°，
∴AD＝AB′＝BC，
故答案为：．
②如图3中，
∵∠BAC＝90°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，
∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°，
∵AB＝AB′，AC＝AC′，
∴△BAC∽△B′AC′，
∴BC＝2B′C′，
∵B′D＝DC′，
∴AD＝B′C′＝BC＝＝1，
故答案为：1；
（2）结论：AD＝BC．
理由：如图1中，延长AD到M，使得AD＝DM，连接B′M，C′M
∵B′D＝DC′，AD＝DM，
∴四边形AC′MB′是平行四边形，
∴AC′＝B′M＝AC，
∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∠B′AC′+∠AB′M＝180°，∴∠BAC＝∠MB′A，
∵AB＝AB′，
∴△BAC∽△AB′M，
∴BC＝2AM，
∴AD＝BC．
（3）如图4，
∵AD＝BC，BC＝4，
∴AD＝1，
∴D在以A为圆心，以1为半径的圆上，
∴当D运动到直线OA与半圆相交时OD最大，
∵A（4，3），
∴OA＝5，
∵AD＝1，
∴OD的最大值是6．
过A作AE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，
∴AE∥DF，
∴△AOE∽△DOF，
∴＝＝，
∵OE＝4，AE＝3，
∴OF＝，DF＝，
∴D（，）．【知识点】几何变换综合题。