(全国通用版)新2020-2020高中数学 第一章 三角函数 1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 第1课时 画函数y=As

第一章 1.5 第1课时 画函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象
A 级 基础巩固
一、选择题
1．为了得到y ＝cos x
4的图象，只需把y ＝cos x 的图象上的所有点( A )
A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B ．横坐标缩短到原来的1
4，纵坐标不变
C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D ．纵坐标缩短到原来的1
4，横坐标不变
[解析] 由图象的周期变换可知，A 正确． 2．下列命题正确的是( B ) A ．y ＝sin x 的图象向右平移π
2
个单位得y ＝cos x 的图象 B ．y ＝cos x 的图象向右平移
π
2
个单位得y ＝sin x 的图象 C ．当φ>0时，y ＝sin x 的图象向右平移φ个单位可得y ＝sin(x ＋φ)的图象 D ．当φ<0时，y ＝sin x 的图象向左平移φ个单位可得y ＝sin(x －φ)的图象 3．要得到函数y ＝3sin(2x ＋π
4)的图象，只需将函数y ＝3sin2x 的图象( C )
A ．向左平移π
4个单位
B ．向右平移π
4个单位
C ．向左平移π
8
个单位
D ．向右平移π
8
个单位
[解析] 由y ＝3sin2(x ＋φ)＝3sin(2x ＋π
4)，得
∴2φ＝π4，φ＝π8.故向左平移π
8
个单位．
4．为了得到函数y ＝sin(2x －π3)的图象，只需把函数y ＝sin(2x ＋π
6)的图象( B )
A ．向左平移π
4个长度单位
B ．向右平移π
4个长度单位
C ．向左平移π
2
个长度单位
D ．向右平移π
2
个长度单位
[解析] 由y ＝sin(2x ＋π6)――→x →x ＋φy ＝sin[2(x ＋φ)＋π6]＝sin(2x －π
3)，即2x ＋2φ＋
π6＝2x －π3，解得φ＝－π4，即向右平移π
4
个长度单位，故选B ． 5．将函数f (x )＝sin2x 的图象向右平移φ(0<φ<π
2)个单位后得到函数g (x )的图象，若对
满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π
3
，则φ＝( D )
A ．5π12
B ．π3
C ．π4
D ．π6
[解析] 向右平移φ个单位后，得到g (x )＝sin(2x －2φ)，又|f (x 1)－g (x 2)|＝2，∴不妨令2x 1＝π2＋2k π，k ∈Z,2x 2－2φ＝－π2＋2m π，m ∈Z ，∴x 1－x 2＝π
2－φ＋(k －m )π，k ，m
∈Z ，又|x 1－x 2|min ＝π3，∴π2－φ＝π3，∴φ＝π
6
，故选D ．
6．要得到函数y ＝sin(4x －π
3
)的图象，只需将函数y ＝sin4x 的图象( B ) A ．向左平移π
12个单位
B ．向右平移π
12个单位
C ．向左平移π
3个单位
D ．向右平移π
3
个单位
[解析] y ＝sin(4x －π3)＝sin4(x －π12)，故要将函数y ＝sin4x 的图象向右平移π
12
个单位．故选B ．
二、填空题
7．将函数y ＝cos2x 的图象向左平移π
5个单位，所得图象对应的解析式为 y ＝cos(2x ＋
2π
5
) ． 8．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的1
4倍(纵坐标不变)得__y ＝
sin4x __的图象．
三、解答题
9．将函数y ＝1
2sin2x 的图象上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍，然后横坐标不变，纵
坐标缩短为原来的一半，求所得图象的函数解析式．
[解析] y ＝12sin2x ――→横坐标变为原来的2倍y ＝1
2sin2(12x )＝12
sin x ． y ＝12sin x ――→纵坐标变为原来的一半y ＝1
4
sin x ． 即所得图象的解析式为y ＝1
4sin x ．
10．已知函数y ＝3sin(12x －π
4)．
(1)用“五点法”画函数的图象；
(2)说出此图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到的． [解析] (1)列表：
12x －π
4
0 π2 π 3π2 2π x π
2 3π2 5π2 7π2 9π2 y
3
－3
描点：在坐标系中描出下列各点(π2，0)，(3π2，3)，(5π2，0)，(7π2，－3)，(9π
2
，0)．
连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到所求函数的图象，如右图所示． 这样就得到了函数y ＝3sin(12x －π
4)在一个周期内的图象，再将这部分图象向左或向右平
移4k π(k ∈Z )个单位长度，得函数y ＝3sin(12x －π
4
)的图象．
(2)①把y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π4个单位长度，得到y ＝sin(x －π
4)的图
象；
②把y ＝sin(x －π
4)图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝
sin(12x －π
4
)的图象；
③将y ＝sin(12x －π
4
)的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到
y ＝3sin(12
x －π4
)的图象．
B 级 素养提升
一、选择题
1．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π
10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长
到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( C )
A ．y ＝sin(2x －π
10)
B ．y ＝sin(2x －π
5)
C ．y ＝sin(12x －π
10
)
D ．y ＝sin(12x －π
20
)
[解析] 函数y ＝sin x 的图象上的点向右平移π10个单位长度可得函数y ＝sin(x －π
10)的图
象；横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y ＝sin(12x －π
10)的图象，所以所求函数的
解析式是y ＝sin(12x －π
10
)．
2．把函数y ＝cos2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( B )
[解析] 把函数y ＝cos2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：
y 1＝cos x ＋1，向右平移1个单位长度得：y 2＝cos(x －1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y 3
＝cos(x －1)．令x ＝0，得：
y 3>0；x ＝π2
＋1，得：y 3＝0；观察即得答案．
3．某同学用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)在一个周期内简图时，列表如下：
ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π12 π4 5π12 7π12 3π4 y
2
－2
则有( C )
A ．A ＝2，ω＝π
12，φ＝0
B ．A ＝2，ω＝3，φ＝π
12
C ．A ＝2，ω＝3，φ＝－π
4
D ．A ＝1，ω＝2，φ＝－π
12
[解析] 由表格得A ＝2，34π－π12＝2π
ω，
∴ω＝3.∴ωx ＋φ＝3x ＋φ．
当x ＝π12时，3x ＋φ＝π4＋φ＝0，∴φ＝－π
4
．
4．将函数y ＝f (x )图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x 轴向左平移π2个单位，得到的曲线与y ＝1
2sin x 的图象相同，则y ＝f (x )的函数表
达式为( D )
A ．y ＝12sin(12x －π
2)
B ．y ＝12sin2(x ＋π
2)
C ．y ＝12sin(12x ＋π
2
)
D ．y ＝12sin(2x －π
2
)
[解析] 根据题意，y ＝12sin x 的图象沿x 轴向右平移π2个单位后得到y ＝12sin(x －π
2)，再
将此函数图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，得到y ＝12sin(2x －π
2
)，此即y ＝
f (x )的解析式．∴应选D ．
二、填空题
5．把函数y ＝sin(2x －π3)的图象向右平移π
4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标
缩短为原来的12倍，所得图象对应的解析式为 y ＝sin(4x －5π
6
) ．
[解析] 将函数y ＝sin(2x －π3)的图象向右平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin[2(x －π
4)
－π3]＝sin(2x －5π6)的图象，再将所得函数y ＝sin(2x －5π
6)的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，得到函数y ＝sin(4x －5π
6
)的图象．
6．将函数f (x )的图象向右平移
π
3
个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y ＝
2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －
π4的图象，则f (x )＝ 2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4x ＋13π12－1 ． [解析] 将y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4的图象向左平移π3个单位长度，得函数y ＝
2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋13π12的图象，再向下平移一个单位长度，得函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋13π12－1的图象，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4x ＋13π12－1． 三、解答题
7．已知函数f (x )＝3sin(12x －π
4
)，x ∈R ．
(1)列表并画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？
[解析] (1)函数f (x )的周期T ＝2π
12＝4π．
由12x －π4＝0，π2，π，3π
2，2π， 解得x ＝π2，3π2，5π2，7π2，9π2．
列表如下：
x
π
2 3π2 5π2 7π2 9π2 12x －π
4 0 π2 π 3π2 2π 3sin(12x －π4
)
3
－3
描出五个关键点并光滑连线，得到一个周期的简图． 图象如下：
(2)方法一：先把y ＝sin x 的图象向右平移π
4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的
2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象．
方法二：先把y ＝sin x 的图象所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，然后把所有点的横坐标扩大为原来2倍，再把图象向右平移π
2
个单位，得到f (x )的图象．
8．将函数y ＝lg x 的图象向左平移一个单位长度，可得函数f (x )的图象；将函数y ＝cos(2x －π6)的图象向左平移π
12
个单位长度，可得函数g (x )的图象． (1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )和g (x )的图象； (2)判断方程f (x )＝g (x )解的个数．
[解析] 函数y ＝lg x 的图象向左平移一个单位长度，
可得函数f (x )＝lg(x ＋1)的图象，即图象C 1；函数y ＝cos(2x －π6)的图象向左平移π12个单
位长度，可得函数g (x )＝cos[2(x ＋π12)－π
6
]＝cos2x 的图象，即图象C 2．
(1)画出图象C 1和C 2的图象如图
(2)由图象可知：两个图象共有7个交点． 即方程f (x )＝g (x )解的个数为7．
C 级 能力拔高
(2016·北京理)将函数y ＝sin(2x －π3)图象上的点P (π
4，t )向左平移s (s >0)个单位长度
得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则( A )
A ．t ＝12，s 的最小值为π
6
B ．t ＝32，s 的最小值为π
6 C ．t ＝12，s 的最小值为π
3
D ．t ＝
32，s 的最小值为π3
[解析] 因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π－π3＝sin π6＝12.又P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，12在函数y ＝sin2x 的图象上，所以12＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝2k π
＋π6或2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－s ＝2k π＋5π6，k ∈Z ，得s ＝－k π＋π6 或s ＝－k π－π6，k ∈Z ，又s >0，故s 的最小值为π
6
，故选A ．。