高中数学必修1课后习题答案[人教版]

高中数学必修1课后习题答案
第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
练习（第5页）
1．用符号“∈”或“∉”填空：
（1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A ，美国_______A ，
印度_______A ，英国_______A ；
（2）若2{|}A x x x ==，则1-_______A ；
（3）若2{|60}B x x x =+-=，则3_______B ；
（4）若{|110}C x N x =∈≤≤，则8_______C ，9.1_______C ．
1．（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；
中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．
（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===．
（3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-．
（4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉．
2．试选择适当的方法表示下列集合：
（1）由方程2
90x -=的所有实数根组成的集合；
（2）由小于8的所有素数组成的集合；
（3）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合；
（4）不等式453x -<的解集．
2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=， 所以由方程2
90x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-；
（2）因为小于8的素数为2,3,5,7，
所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}； （3）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14
x y =⎧⎨=⎩，
即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，
所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；
（4）由453x -<，得2x <，
所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．
1.1.2 集合间的基本关系
练习（第7页）
1．写出集合{,,}a b c 的所有子集．
1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；
取一个元素，得{},{},{}a b c ；
取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ；
取三个元素，得{,,}a b c ，
即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．
2．用适当的符号填空：
（1）a ______{,,}a b c ； （2）0______2
{|0}x x =；
（3）∅______2{|10}x R x ∈+=； （4）{0,1}______N ；
（5）{0}______2{|}x x x =； （6）{2,1}______2{|320}x x x -+=．
2．（1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素；
（2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==；
（3）2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==∅； （4）{0,1}
N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集； （5）{0}2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==；
（6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．
3．判断下列两个集合之间的关系：
（1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数；
（2）{|3,}A x x k k N ==∈，{|6,}B x x z z N ==∈；
（3）{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,，{|20,}B x x m m N +==∈．
3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以A B ；
（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+，
即B 是A 的真子集，B A ；
（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．
1.1.3集合的基本运算
练习（第11页）
1．设{3,5,6,8},{4,5,7,8}A B ==，求,A B A B I U ．
1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B ==I I ，
{3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B ==U U ．
2．设22
{|450},{|1}A x x x B x x =--===，求,A B A B I U ．
2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=，
方程210x -=的两根为121,1x x =-=， 得{1,5},{1,1}A B =-=-，
即{1},{1,1,5}A B A B =-=-I U ．
3．已知{|}A x x =是等腰三角形，{|}B x x =是直角三角形，求,A B A B I U ．
3．解：{|}A B x x =I 是等腰直角三角形，
{|}A B x x =U 是等腰三角形或直角三角形．
4．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5},{1,3,5,7}A B ==，
求(),()()U U U A B A B I I 痧?．
4．解：显然{2,4,6}U B =ð，{
1,3,6,7}U A =ð， 则(){2,4}U A B =I ð，()(){6}U U A B =I 痧．
1.1集合
习题1.1 （第11页） A 组
1．用符号“∈”或“∉”填空：
（1）237_______Q ； （2）2
3______N ； （3）π_______Q ；
（4_______R ； （5Z ； （6）2_______N ． 1．（1）2
37Q ∈ 237
是有理数； （2）23N ∈ 239=是个自然数；
（3）Q π∉ π是个无理数，不是有理数； （4R
是实数；
（5Z 3=是个整数； （6）2N ∈ 25=是个自然数．
2．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，用 “∈”或“∉” 符号填空：
（1）5_______A ； （2）7_______A ； （3）10-_______A ．
2．（1）5A ∈； （2）7A ∉； （3）10A -∈．
当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-；
3．用列举法表示下列给定的集合：
（1）大于1且小于6的整数；
（2）{|(1)(2)0}A x x x =-+=；
（3）{|3213}B x Z x =∈-<-≤．
3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；
（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求；
（3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求．
4．试选择适当的方法表示下列集合：
（1）二次函数2
4y x =-的函数值组成的集合； （2）反比例函数2y x
=
的自变量的值组成的集合； （3）不等式342x x ≥-的解集． 4．解：（1）显然有20x ≥，得2
44x -≥-，即4y ≥-，
得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-； （2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x
=
的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠； （3）由不等式342x x ≥-，得45x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥． 5．选用适当的符号填空：
（1）已知集合{|233},{|2}A x x x B x x =-<=≥，则有：
4-_______B ； 3-_______A ； {2}_______B ； B _______A ；
（2）已知集合2{|10}A x x =-=，则有：
1_______A ； {1}-_______A ； ∅_______A ； {1,1}-_______A ；
（3）{|}x x 是菱形_______{|}x x 是平行四边形；
{|}x x 是等腰三角形_______{|}x x 是等边三角形．
5．（1）4B -∉； 3A -∉； {2}B ； B A ；
2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥；
（2）1A ∈； {1}-A ； ∅A ； {1,1}-=A ； 2{|10}{1,1}A x x =-==-；
（3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；
菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；
{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形．
等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．
6．设集合{|24},{|3782}A x x B x x x =≤<=-≥-，求,A B A B U I ．
6．解：3782x x -≥-，即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥，
则{|2}A B x x =≥U ，{|34}A B x x =≤<I ．
7．设集合{|9}A x x =是小于的正整数，{1,2,3},{3,4,5,6}B C ==，求A B I ，
A C I ，()A
B
C I U ，()A B C U I ．
7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数，
则{1,2,3}A B =I ，{3,4,5,6}A C =I ，
而{1,2,3,4,5,6}B C =U ，{3}B C =I ，
则(){1,2,3,4,5,6}A B C =I U ，
(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C =U I ．
8．学校里开运动会，设{|}A x x =是参加一百米跑的同学，
{|}B x x =是参加二百米跑的同学，{|}C x x =是参加四百米跑的同学，
学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定，
并解释以下集合运算的含义：（1）A B U ；（2）A C I ．
8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，
即为()A B C =∅I I ．
（1）{|}A B x x =U 是参加一百米跑或参加二百米跑的同学；
（2）{|}A C x x =I 是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．
9．设{|}S x x =是平行四边形或梯形，{|}A x x =是平行四边形，{|}B x x =是菱形， {|}C x x =是矩形，求B C I ，A B ð，S A ð．
9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}B C x x =I 是正方形，
平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形，
即{|}A B x x =是邻边不相等的平行四边形ð，
{|}S A x x =是梯形ð．
10．已知集合{|37},{|210}A x x B x x =≤<=<<，求()R A B U ð，()R A B I ð，
()R A B I ð，()R A B U ð．
10．解：{|210}A B x x =<<U ，{|37}A B x x =≤<I ，
{|3,7}R A x x x =<≥或ð，{|2,10}R B x x x =≤≥或ð，
得(){|2,10}R A B x x x =≤≥U 或ð，
(){|3,7}R A B x x x =<≥I 或ð，
(){|23,710}R A B x x x =<<≤<I 或ð，
(){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥U 或或ð．
B 组
1．已知集合{1,2}A =，集合B 满足{1,2}A B =U ，则集合B 有 个．
1．4 集合B 满足A B A =U ，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集．
2．在平面直角坐标系中，集合{(,)|}C x y y x ==表示直线y x =，从这个角度看，
集合21(,)|45x y D x y x y ⎧
-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭
表示什么？集合,C D 之间有什么关系？
2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭
表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合， 即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧
-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭
，点(1,1)D 显然在直线y x =上，
得D C ．
3．设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求,A B A B U I ．
3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==，
当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},A B A B ==∅U I ；
当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}A B A B ==U I ；
当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}A B A B ==U I ；
当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，
则{1,3,4,},A B a A B ==∅U I ．
4．已知全集{|010}U A B x N x ==∈≤≤U ，(){
1,3,5,7}U A B =I ð，试求集合B ． 4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U A B =U ，
得U B A ⊆ð，即()U U A B B =I 痧，而(){
1,3,5,7}U A B =I ð， 得{1,3,5,7}U B =ð，而(
)U U B B =痧，
即{0,2,4,6,8.9,10}B =．
第一章 集合与函数概念
1.2函数及其表示
1.2.1函数的概念
练习（第19页）
1．求下列函数的定义域：
（1）1()47
f x x =
+； （2）()1f x =+． 1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即74
x ≠-， 得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-； （2）要使原式有意义，则1030
x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤，
得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤．
2．已知函数2()32f x x x =+，
（1）求(2),(2),(2)(2)f f f f -+-的值；
（2）求(),(),()()f a f a f a f a -+-的值．
2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =⨯+⨯=，
同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，
则(2)(2)18826f f +-=+=，
即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；
（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+，
同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-，
则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=，
即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．
3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：
（1）表示炮弹飞行高度h 与时间t 关系的函数21305h t t =-和二次函数21305y x x =-；
（2）()1f x =和0
()g x x =．
3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >；
（2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠．
1.2.2函数的表示法
练习（第23页）
1．如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为xcm ，
面积为2ycm ，把y 表示为x 的函数．
1．解：显然矩形的另一边长为2250x cm -， 222502500y x x x x =-=-，且050x <<，
即22500(050)y x x x =-<<．
2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事．
（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．
2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化； 图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；
图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；
图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．
3．画出函数|2|y x =-的图象．
3．解：2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨
-+<⎩，图象如下所示．
{|},{0,1}A x x B ==是锐角，从A 到B 的映射是“求正弦”，
4．设O 离开家的距离 时间 （A ） O 离开家的距离 时间 （B ） O 离开家的距离 时间 （C ） O 离开家的距离 时间
（D ）
与A 中元素60o
相对应
的B 中的元素是什么？与B 相对应的A 中元素是什么？
4．解：因为sin 60=o ，所以与A 中元素60o 相对应的B 中的元素是2
；
因为sin 452=o
，所以与B 中的元素2相对应的A 中元素是45o ． 1.2函数及其表示
习题1.2（第23页）
1．求下列函数的定义域：
（1）3()4
x f x x =-； （2）()f x =
（3）26()32f x x x =
-+； （4）()1f x x =-． 1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠，
得该函数的定义域为{|4}x x ≠；
（2）x R ∈，()f x =
即该函数的定义域为R ；
（3）要使原式有意义，则2
320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠，
得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且； （4）要使原式有意义，则4010
x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≤且1x ≠，
得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且．
2．下列哪一组中的函数()f x 与()g x 相等？
（1）2
()1,()1x f x x g x x
=-=-； （2）24(),()f x x g x ==；
（3）2(),()f x x g x =．
2．解：（1）()1f x x =-的定义域为R ，而2
()1x g x x
=-的定义域为{|0}x x ≠，
即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；
（2）2
()f x x =的定义域为R ，而4()()g x x =的定义域为{|0}x x ≥，
即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；
（3）对于任何实数，都有362x x =，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，
得函数()f x 与()g x 相等．
3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域． （1）3y x =； （2）8y x
=； （3）45y x =-+； （4）2
67y x x =-+． 3．解：（1）
定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞； （2）
定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，值域是(,0)(0,)-∞+∞U ；
（3）
定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；
（4）
定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．
4．已知函数2
()352f x x x =-+，求(2)f -，()f a -，(3)f a +，()(3)f a f +．
4．解：因为2
()352f x x x =-+，所以2(2)3(2)5(2)2852f -=⨯--⨯-+=+，
即(2)852f -=+；
同理，2
2
()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++， 即2
()352f a a a -=++；
2
2
(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++， 即2
(3)31314f a a a +=++；
2
2
()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+， 即2()(3)3516f a f a a +=-+． 5．已知函数2
()6
x f x x +=
-， （1）点(3,14)在()f x 的图象上吗？ （2）当4x =时，求()f x 的值； （3）当()2f x =时，求x 的值． 5．解：（1）当3x =时，325
(3)14363
f +=
=-≠-， 即点(3,14)不在()f x 的图象上；
（2）当4x =时，42
(4)346
f +=
=--， 即当4x =时，求()f x 的值为3-；
（3）2
()26
x f x x +=
=-，得22(6)x x +=-， 即14x =．
6．若2
()f x x bx c =++，且(1)0,(3)0f f ==，求(1)f -的值． 6．解：由(1)0,(3)0f f ==，
得1,3是方程2
0x bx c ++=的两个实数根， 即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，
即2
()43f x x x =-+，得2
(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=， 即(1)f -的值为8．
7．画出下列函数的图象：
（1）0,0
()1,0x F x x ≤⎧=⎨>⎩
； （2）()31,{1,2,3}G n n n =+∈．
7．图象如下：
8．如图，矩形的面积为10，如果矩形的长为x ，宽为y ，对角线为d ， 周长为l ，那么你能获得关于这些量的哪些函数？
8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10
(0)y x x
=
>，10(0)x y y =>，
由对角线为d ，即22d x y =
+，得22100
(0)d x x x
=+
>， 由周长为l ，即22l x y =+，得20
2(0)l x x x
=+
>， 另外2()l x y =+，而2
2
2
10,xy d x y ==+，
得22222()22220(0)l x y x y xy d d =+=++=+>， 即2220(0)l d d =+>．
9．一个圆柱形容器的底部直径是dcm ，高是hcm ，现在以3
/vcm s 的速度向容器内注入某种溶液．求溶
液内溶液的高度xcm 关于注入溶液的时间ts 的函数解析式，并写出函数的定义域和值域． 9．解：依题意，有2
()2
d x vt π=，即2
4v
x t d π=
， 显然0x h ≤≤，即240v
t h d π≤≤，得204h d t v π≤≤
， 得函数的定义域为2
[0,]4h d v
π和值域为[0,]h ． 10．设集合{,,},{0,1}A a b c B ==，试问：从A 到B 的映射共有几个？
并将它们分别表示出来． 10．解：从A 到B 的映射共有8个．
分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪
=⎨⎪=⎩，
()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
．
Ｂ组
1．函数()r f p =的图象如图所示． （1）函数()r f p =的定义域是什么？ （2）函数()r f p =的值域是什么？
（3）r 取何值时，只有唯一的p 值与之对应？ 1．解：（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-U ； （2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；
（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．
2．画出定义域为{|38,5}x x x -≤≤≠且，值域为{|12,0}y y y -≤≤≠的一个函数的图象．
（1）如果平面直角坐标系中点(,)P x y 的坐标满足38x -≤≤，12y -≤≤，那么其中哪些点不能在图象
上？
（2）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？
2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．
3．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[ 3.5]4-=-，[2.1]2=． 当( 2.5,3]x ∈-时，写出函数()f x 的解析式，并作出函数的图象．
3．解：3, 2.52
2,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪
⎪--≤<⎪
==≤<⎨⎪≤<⎪
≤<⎪⎪=⎩
图象如下
4．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东12km 处有一个城镇．
（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度是5/km h ，t （单位：h ）表示他从小岛
到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距P 点的距离．请将t 表示为x 的函数． （2）如果将船停在距点P 4km 处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到1h ）？ 4．解：（1）驾驶小船的路程为222x +，步行的路程为12x -，
得2221235x x
t +-=
+，(012)x ≤≤， 即241235
x x
t +-=
+，(012)x ≤≤．
（2）当4x =时，244124258
3()355
t h +-=+=+≈．
第一章 集合与函数概念
1.3函数的基本性质
1.3.1单调性与最大（小）值
练习（第32页）
1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．
1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率
达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高． 2．整个上午(8:0012:00):天气越来越暖，中午时分(12:0013:00):一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山(18:00)才又开始转凉.画出这一天8:0020:00:期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间. 2．解：图象如下
[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间．
3．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.
3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，
在[4,5]上是增函数．
4．证明函数()21f x x =-+在R 上是减函数. 4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <，
因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->， 即12()()f x f x >，
所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.
5．设()f x 是定义在区间[6,11]-上的函数.如果()f x 在区间[6,2]--上递减，在区间[2,11]-上递增，画出()f x 的一个大致的图象，从图象上可以发现(2)f -是函数()f x 的一个 . 5．最小值．
1.3.2单调性与最大（小）值 练习（第36页）
1．判断下列函数的奇偶性：
（1）4
2
()23f x x x =+； （2）3
()2f x x x =-
（3）21()x f x x
+=； （4）2
()1f x x =+.
1．解：（1）对于函数42
()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内
每一个x 都有4242
()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以函数42
()23f x x x =+为偶函数；
（2）对于函数3
()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内
每一个x 都有33
()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-， 所以函数3
()2f x x x =-为奇函数；
（3）对于函数21
()x f x x
+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，因为对定义域内
每一个x 都有22()11
()()x x f x f x x x -++-=
=-=--， 所以函数21
()x f x x
+=为奇函数；
（4）对于函数2
()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内
每一个x 都有2
2
()()11()f x x x f x -=-+=+=， 所以函数2
()1f x x =+为偶函数.
2.已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，试将下图补充完整.
2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的； ()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．
习题1.3
A 组
1.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数()y f x =的单调区间，以及在各单调区间 上函数()y f x =是增函数还是减函数.
（1）2
56y x x =--； （2）2
9y x =-. 1．解：（1）
函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2
+∞上递增； （2）
函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减. 2.证明：
（1）函数2
()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数； （2）函数1
()1f x x
=-
在(,0)-∞上是增函数. 2．证明：（1）设120x x <<，而22
12121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-，
由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，
即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；
（2）设120x x <<，而12
122112
11()()x x f x f x x x x x --=-=， 由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，
即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x
=-在(,0)-∞上是增函数. 3.探究一次函数()y mx b x R =+∈的单调性，并证明你的结论.
3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；
当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数，
令()f x mx b =+，设12x x <，
而1212()()()f x f x m x x -=-，
当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <，
得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；
当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >，
得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.
4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次
慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）.
4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为
5.某汽车租赁公司的月收益y 元与每辆车的月租金x 元间的关系为
2
1622100050
x y x =-+-，那么，每辆车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
5．解：对于函数2
16221000x y x =-+-，
当
162405012()50x =-=⨯-时，max 307050y =（元）
， 即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元．
6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+.画出函数()f x
的图象，并求出函数的解析式.
6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，
即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-，
得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-，
所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩
. B 组
1.已知函数2()2f x x x =-，2()2([2,4])g x x x x =-∈.
（1）求()f x ，()g x 的单调区间； （2）求()f x ，()g x 的最小值.
1．解：（1）二次函数2
()2f x x x =-的对称轴为1x =，
则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，
且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数，
函数()g x 的单调区间为[2,4]，
且函数()g x 在[2,4]上为增函数；
（2）当1x =时，min ()1f x =-，
因为函数()g x 在[2,4]上为增函数，
所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=． 2.如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m ，那么宽x （单位：m ）为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？
2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为3032
x m -，设矩形的面积为S ， 则23033(10)22
x x x S x --==-， 当5x =时，2max 37.5S m =，
即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，
且每间熊猫居室的最大面积是2
37.5m ．
3.已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断.
3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下：
设120x x <<，则120x x ->->，
因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-，
又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <，
所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．
复习参考题
A 组
1．用列举法表示下列集合：
（1）2
{|9}A x x ==；
（2）{|12}B x N x =∈≤≤；
（3）2{|320}C x x x =-+=.
1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-； （2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；
（3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =．
2．设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？
（1）{|}P PA PB =(,)A B 是两个定点；
（2）{|3}P PO cm =()O 是定点.
2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等，
即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；
（2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆．
3.设平面内有ABC ∆，且P 表示这个平面内的动点，指出属于集合
{|}{|}P PA PB P PA PC ==I 的点是什么.
3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线，
集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，
得{|}{|}P PA PB P PA PC ==I 的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的
垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．
4.已知集合2{|1}A x x ==，{|1}B x ax ==.若B A ⊆，求实数a 的值.
4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==，
当0a =时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =；
当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则
11a =-，或11a =， 得1a =-，或1a =，
综上得：实数a 的值为1,0-，或1．
5.已知集合{(,)|20}A x y x y =-=，{(,)|30}B x y x y =+=，{(,)|23}C x y x y =-=，求A B I ，A C I ，()()A B B C I U I .
5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧
-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭
I ，即{(0,0)}A B =I ； 集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭
I ，即A C =∅I ； 集合3039(,)|{(,)}2355x y B C x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭
I ； 则3
9()(){(0,0),(,)}55A B B C =-I U I .
6.求下列函数的定义域：
（1）y =
（2）||5
y x =-.
6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩
，即2x ≥， 得函数的定义域为[2,)+∞；
（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩
，即4x ≥，且5x ≠， 得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞U ．
7.已知函数1()1x f x x
-=+，求： （1）()1(1)f a a +≠-； （2）(1)(2)f a a +≠-.
7．解：（1）因为1()1x f x x
-=
+， 所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a
-+=+=++， 即2()11f a a
+=+； （2）因为1()1x f x x
-=+， 所以1(1)(1)112
a a f a a a -++==-+++， 即(1)2a f a a +=-+． 8.设2
21()1x f x x
+=-，求证： （1）()()f x f x -=； （2）1
()()f f x x
=-. 8．证明：（1）因为2
2
1()1x f x x +=-， 所以22
22
1()1()()1()1x x f x f x x x +-+-===---， 即()()f x f x -=；
（2）因为2
21()1x f x x
+=-， 所以222211()11()()11
1()x x f f x x x x
++===---，
即1()()f f x x =-.
9.已知函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，求实数k 的取值范围.
9．解：该二次函数的对称轴为8k x =
， 函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性， 则
208k ≥，或58
k ≤，得160k ≥，或40k ≤， 即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤． 10．已知函数2y x -=，
（1）它是奇函数还是偶函数？
（2）它的图象具有怎样的对称性？
（3）它在(0,)+∞上是增函数还是减函数？
（4）它在(,0)-∞上是增函数还是减函数？
10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()
()f x x x f x ---=-==，
即函数2y x -=是偶函数；
（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称；
（3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数；
（4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．
B 组
1.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？
1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人，
则158143328x ++---=，得3x =，
只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），
即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人．
2.已知非空集合2{|}A x R x a =∈=，试求实数a 的取值范围.
2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥． 3.设全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，(){
1,3}U A B =U ð，(){2,4}U A B =I ð，求集合B . 3．解：由(){
1,3}U A B =U ð，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =U ，
集合A B U 里除去()U A B I ð，得集合B ，
所以集合{5,6,7,8,9}B =.
4.已知函数(4),0()(4),0
x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.求(1)f ，(3)f -，(1)f a +的值.
4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=；
当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；
(1)(5),1(1)(1)(3),1
a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨
+-<-⎩． 5.证明： （1）若()f x ax b =+，则1212()()(
)22
x x f x f x f ++=； （2）若2()g x x ax b =++，则1212()()()22
x x g x g x g ++≤. 5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222
x x x x a f a b x x b ++=+=++， 121212()()()222
f x f x ax b ax b a x x b ++++==++， 所以1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）因为2
()g x x ax b =++， 得22121212121(
)(2)()242
x x x x g x x x x a b ++=++++， 22121122()()1[()()]22
g x g x x ax b x ax b +=+++++ 2212121()()22
x x x x a b +=+++， 因为2222212121212111(2)()()0424
x x x x x x x x ++-+=--≤， 即222212121211(2)()42
x x x x x x ++≤+， 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6.（1）已知奇函数()f x 在[,]a b 上是减函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？
（2）已知偶函数()g x 在[,]a b 上是增函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？
6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下：
设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，
因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，
又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >， 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数；
（2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下：
设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，
因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则
21()()g x g x -<-， 又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即
12()()g x g x >，
所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．
7.《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分 不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算： 某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？
7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则
0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000
x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩ 由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤，
25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =，
所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．。