人教版八年级下册第十八章平行四边形导学案

第十八章平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
第1课时平行四边形的边、角特征
学习目标：1.掌握平行四边形的对边相等、对角相等的两条性质；
2.根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明；
3.经历“实验—猜想—验证—证明”的过程,发展学生的思维水平.
重点：掌握平行四边形的对边相等、对角相等的两条性质.
难点：根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明.
一、知识回顾
1.平行四边形的定义是什么？如何表示一个平行四边形？
2.如图，DC∥GH ∥AB，DA∥EF∥CB，图中的平行四边形有多少个？将它们表示出来.
一、要点探究
探究点1：平行四边形的边、角的特征
量一量1.画一个平行四边形ABCD，用尺子等工具度量它的四条边，并记录下数据，你能发现AB与DC，AD与BC之间的数量关系吗?
2.再用量角器等工具度量它的四个角，并记录下数据，你能发现∠A与∠C，∠B与∠D之间的数量关系吗? 思考你发现了什么规律？
证一证已知：四边形ABCD是平行四边形.
求证:AD=BC,AB=CD,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC.
证明：如图，连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD___BC，AB___CD,
∴∠1___∠2，∠3___∠4.
又∵AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴△ABC____△CDA,
∴AD___BC，AB___CD，∠ABC___∠ADC.
∵∠BAD=∠1+∠4，∠BCD=∠2+∠3，
∴∠BAD___∠BCD.
思考不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？
要点归纳：平行四边形的对边____________；平行四边形的对角___________．
例1如图，在平行四边形ABCD中.
(1)若∠A =32°,求其余三个角的度数.
(2)连接AC，已知平行四边形ABCD的周长等于20 cm，AC=7cm，求△ABC的周长.
变式题(1)在平行四边形ABCD中,∠A:∠B=2:3,求各角的度数.
(2)若平行四边形ABCD的周长为28cm,AB:BC=3:4,求各边的长度.
方法总结:已知平行四边形的边角的比例关系求其他边角时，会用到方程思想，结合平行四边形的性质列方程. 例2如图，在平行四边形ABCD中,E，F是对角线AC上的两点，并且AE=CF，求证：BE=DF.
针对训练
1.如图，在平行四边形ABCD中.
(1)若∠A=130°，则∠B=______ ，∠C=______ ，∠D=______.
(2)若AB=3,BC=5,则它的周长= ______.
(3)若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=_____，∠B=______.
2.如图，在平行四边形ABCD中，若AE平分∠DAB，AB=5cm,AD＝9cm,则EC＝_________.
3.剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？
探究点2：平行线间的距离
想一想:如图,若m // n,作AB // CD // EF，分别交m于A、C、E，交n于B、D、F.由________________________易知四边形ABCD，CDEF均为__________________.由平行四边形的性质得AB______CD_______EF.
填一填:
如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别是E，F．求证：DE=BF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A_____∠C，AD______CB.
又∠AED= ∠CFB=90°，
∴△ADE____△CBF（_____）,
∴AE_____CF.
要点归纳：1.两条平行线之间的任何平行线段都__________.
2.两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的_________.
两条平行线间的距离__________.
典例精析
AB∥CD，BC⊥AB，若AB=4cm，S△ABC=12cm2，求△ABD中AB边上的高．
二、课堂小结
平行四边形内容
定义两组对边分别平行的四边形
性质
1.两组对边分别平行，相等
2.两组对角分别相等，邻角互补
其它结论
1.两条平行线间的距离相等
2.两条平行线间的平行线段也相等
(1)四平行四边形两组对边分别平行且相等 ( )
(2)平行四边形的四个内角都相等 ( )
(3)平行四边形的相邻两个内角的和等于180° ( )
(4)如果平行四边形相邻两边长分别是2cm和3cm，那么周长是10cm ( )
(5)在平行四边形ABCD中，如果∠A=42°，那么∠B=48° ( )
(6)在平行四边形ABCD中，如果∠A=35°，那么∠C=145°( )
2.在平行四边形ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD的度数是（）
A .45° B. 55° C. 65° D. 75
3.如图，D、E、F 分别在△ABC的边AB、BC、AC上，且DE∥AC,DF∥BC,EF∥AB，则图中有_____个平
行四边形.
4.如图，直线AE//BD,点C在BD上,若AE=5，BD=8,△ABD的面积为16,则△ACE的面积为____________.
5.已知在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC,BF平分∠ABC.求证:AE=CF.
6.有一块形状如图所示的玻璃，不小心把EDF部分打碎了，现在只测得AE=60cm，BC=80cm，∠B=60°且
AE∥BC、AB∥CF,你能根据测得的数据计算出DE的长度和∠D的度数吗？
7.如图，在△ABC中,AD平分∠BAC,点M,E,F分别是AB,AD,AC上的点,四边形BEFM是平行四边形.
求证：AF=BM.
当堂检测
第2题图第3题图第4题图
第2课时平行四边形的对角线的特征
学习目标：1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质；
2.经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透转化思想，体会图形性质探究的一般思路. 重点：掌握平行四边形对角线互相平分的性质.
难点：经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透转化思想，体会图形性质探究的一般思路.
一、知识回顾
1.你能说出平行四边形边、角的特征吗？
平行四边形对边互相___________;
平行四边形对边__________;
平行四边形对角__________.
二、要点探究
探究点1：平行四边形的对角线的性质
猜一猜如图，在□ABCD中，连接AC,BD,并设它们相交于点O. OA与OC,OB与OD有什么关系?
证一证
已知：如图,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD___BC，AD___BC,
∴∠1___∠2，∠3___∠4,
∴△AOD___△COB（______）,
∴ OA____OC，OB____OD.
要点归纳：平行四边形的性质:平行四边形的对角线互相_________.
应用格式：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ OA=OC，OB=OD.
典例精析
ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长．
方法总结:平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．
变式题如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，平行四边形ABCD的周长是100cm，△AOB与△BOC的周长的和是122cm，且AC:DB= 2:1，求AC和BD的长．
例2如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O.点O作直线EF,分别交AB,CD于点E，F.求证：
OE=OF. 变式题请判断下列图中，OE=OF还成立么？
方法总结:过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等.针对训练
1.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AD=16，AC=24，BD=12，则△OBC的周长为（）
A.26
B.34
C.40
D.52
2.如图，在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，则对角线AC、BD的长度的和是（）
A.9
B.18
C.27
D.36
3.如图,平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．
典例精析
ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若平行四边形ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，求平行四边形ABCD的面积.
第1题图第2题图
方法总结:已知平行四边形的高DE，DF，根据“等面积法”及平行四边形性质列方程求解.
例4平行四边形的对角线分平行四边形ABCD为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？
方法总结：平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等.
例5
变式题如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？
方法总结：过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.
针对训练
1.把一个平行四边形分成3个三角形，已知两个阴影三角形的面积分别是9cm2和12cm2，求平行四边形的面积．
2.如图，欢欢看到平行四边形的草地中间有一水井，为了浇水的方便，欢欢建议我们经过水井修小路，一样可以把草地分成面积相等的两部分，同学们，你知道聪明的欢欢是怎么分的吗？
（）
A. 10
B. 14
C. 20
D. 22
2.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）
A．∠ABO=∠CDO B．∠BAD=∠BCD
C．AO=CO D．AC⊥BD
3.在□ABCD中，AC=24,BD=38,AB=m, 则m的取值范围是 ( )
A. 24<m<39
B.14<m<62
C.7<m<31
D.7<m<12
4.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长为（）
A.16
B.14
C.12
D.10
5.如图，平行四边形ABCD的面积为20，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，CD上的点，且AE=D F，则图中阴影部分的面积为_______．
6.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，则BD
的长是_______.
当堂检测
平行四边形
对角线的性质
平行四边形对角线互相平分
过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相
等的两部分.且与对角线围成的三角形相对的两个全等.
两条对角线分平行四边形为面积相等的四个三角形
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组
对边或对边的延长线相交，得到线段总相等.
第1题图第2题图第3题图
第4题图第5题图第6题图
7.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD，交BC于点E.若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长是多少？
能力提升
8.如图，已知O是平行四边形ABCD的对角线的交点，AC=24，BD=18，AB=16,求△OCD的周长及AD边的取值范围．
第1课时平行四边形的判定（1）
学习目标：1.经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路；
2.掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证.
重点：经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路.
难点：掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证.
一、知识回顾
1.平行四边形的定义是什么？有什么作用？
2.除了两组对边分别平行，平行四边形还有哪些性质？
3.平行四边形上面的三条性质的逆命题各是什么？
三、要点探究
探究点1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
猜一猜将两长两短的四根细木条用小钉固定在一起,任意拉动，所得的四边形是平行四边形吗?
证一证
已知：四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
课堂探究
证明：连接AC，
在△ABC和△CDA中,
AB=CD ，
AC=CA，∴△ABC_____△CDA(________).
BC=DA，
∴∠1____∠4 , ∠ 2_____∠3，
∴AB_____CD , AD_____BC，
∴四边形ABCD是________________.
要点归纳：平行四边形的判定定理：两组对边分别_________的四边形是平行四边形.
几何语言描述：在四边形ABCD中，∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是_________________.
典例精析
例1如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求证：四边形PONM是平行四边形．
例2如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．
针对训练
AC,BC⊥AC,且AB=CD,求证：四边形ABCD是平行四边形.
探究点2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
猜一猜对于两组对角分别相等的四边形的形状你的猜想是什么?
证一证
已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵∠A+∠C+∠B+∠D=_______°，
又∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴___∠A+___∠B=_______°，
即∠A+∠B=______°，
要点归纳：平行四边形的判定定理：两组对角分别________的四边形是平行四边形.
几何语言描述：在四边形ABCD中，∵∠A=______，∠B=______,
∴四边形ABCD是_______________.
典例精析
例3 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1)求∠D的度数；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
针对训练
1.判断下列四边形是否为平行四边形：
2.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件：∠A:∠B:∠C:∠D的值为（）
A. 1:2:3:4
B. 1:4:2:3
C. 1:2:2:1
D. 3:2:3:2
猜一猜如图,将两根细木条AC、BD的中点重叠，用小钉固定在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD.转动两根木条，四边形ABCD一直是一个平行四边形吗？
证一证
已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：在△AOB和△COD中,
OA=OC，
∠AOB=∠COD，∴△AOB______△COD(________).
OB=OD，
∴∠BAO_____∠OCD , ∠ ABO_____∠CDO,
∴AB_____CD , AD_____BC，
∴四边形ABCD是________________.
要点归纳：平行四边形的判定定理：对角线互相________的四边形是平行四边形.
几何语言描述：在四边形ABCD中，∵AO_____CO,DO_____BO,
∴四边形ABCD是______________.
典例精析
例4(教材P46例3变式题)如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，四边形BMDN 是平行四边形吗？说说你的理由.
例5昨天李明同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片,只剩下如图所示部分,他想回家去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来?然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么给它画出来呢(A,B,C为三顶点,即找出第四个顶点D)？(请用多种方法)
针对训练
1.根据下列条件,不能判定四边形为平行四边形的是（）
A.两组对边分别相等
B.两条对角线互相平分
C.两条对角线相等
D.两组对边分别平行
2.如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O.如果AC=8cm,BD=10cm,那么当AO=_____cm,BO=_____cm 时，四边形ABCD是平行四边形.
二、课堂小结
内容
平行四边形的判定
（1）
定义法:两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
1.判断对错:
(1)有一组对边平行的四边形是平行四边形. ( )
(2)有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形( )
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形（）
(4)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形( )
(5)有一组对角相等且一组对边平行的四边形是平行四边形( ）
2.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（）A．OA=OC，OB=OD B．AB=CD，AO=CO
C．AB=CD，AD=BC D．∠BAD=∠BCD，AB∥CD
3.如图，在四边形ABCD中，
(1)如果AB∥CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是 __________.
(2)如果∠A：∠B：∠ C：∠D=a：b：a：b(a,b为正数),那么四边形ABCD是__________.
(3)如果AD=6cm,AB=4cm,那么当BC=_______cm,CD=_____cm时,四边形ABCD为平行四边形.
4.如图，五边形ABCDE是正五边形，连接BD、CE，交于点P．求证：四边形ABPE是平行四边形．
5.如图，已知E，F，G，H分别是平行四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形．
当堂检测
第2题图第3题图
6.如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD的中点．求证：(1)△AOC≌△BOD；(2)四边形AFBE是平行四边形．
7.学校买了四棵树，准备栽在花园里，已经栽了三棵（如图），现在学校希望这四棵树能组成一个平行四边形，你觉得第四棵树应该栽在哪里？
第2课时平行四边形的判定（2）
学习目标：1.掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法.
2.会进行平行四边形的性质与判定的综合运用.
重点：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法.
难点：平行四边形的性质与判定的综合运用.
一、知识回顾
1.上节课我们学习了判定一个四边形为平行四边形的方法有哪几种？
四、要点探究
探究点1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
想一想我们知道，两组对分别平行或相等的是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？对于这个问题，有以下两种猜想：
猜想1：一组对边相等的四边形是平行四边形；
猜想2：一组对边平行的四边形是平行四边形.这两种猜想对吗？如果不对，你能举出反例吗？
活动如图，将线段AB向右平移BC长度后得到线段CD，连接AD，BC，由此你能猜想四边形ABCD的形状吗？
猜一猜经历了上面的活动，你现在能猜出，一组对边满足什么条件的四边形是平行四边形吗？
一组对边平__________________的四边形是平行四边形.
证一证
如图，在四边形ABCD中，AB=CD且AB∥CD，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
∵AB∥CD，∴∠1=∠2.
在△ABC和△CDA中,
AB=CD，
∠1=∠2，∴△ABC_____△CDA(________).
AC=CA，
∴ BC=DA.
又∵AB= CD,
∴四边形ABCD是________________.
要点归纳：平行四边形的判定定理：一组对边________________的四边形是平行四边形.
几何语言描述：在四边形ABCD中，∵AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
典例精析
例1如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．求证：四边形BFCE是平行四边形．
变式题如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）求证：四边形CBED是平行四边形.
针对训练
1.已知四边形ABCD中有四个条件：AB∥CD，AB=CD，BC∥AD，BC=AD，从中任选两个，不能使四边形ABCD成为平行四边形的选法是（）
A．AB∥CD，AB=CD
B．AB∥CD，BC∥AD
C．AB∥CD，BC=AD
D．AB=CD，BC=AD
2.四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证：四边形ABCD 是平行四边形.
探究点
2：平行四边形的性质与判定的综合运用
典例精析
例2 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，试问BF与CE相等吗？为什么？
例3如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．求证：四边形BCED′是平行四边形.
方法总结:此题利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，再结合平行四边形的判定及性质进行解题.
针对训练
1.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )
A．3种B．4种C．5种D．6种
2.如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，EF，BF，写出图中除▱ABCD以外的所有的平行四边形.
二、课堂小结
平行四边形的
判定(2)
平行四边形的性质与判定的综合运用
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
个条件不可以是（）
A．AF=CE B．AE=CF
C．∠BAE=∠FCD D．∠BEA=∠FCE
2.已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，周长为40cm，两邻边的比是3：2，则较大边的长度是（）A．8cm B．10cm
C．12cm D．14cm
3.如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形的个数共有____个.
4.如图，点E，C在线段BF上，BE=CF，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，求证：四边形ABED为平行四边形．
5.如图，△ABC中，AB=AC=10，D是BC边上的任意一点，分别作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB于E，求DE +DF的值．
能力提升
6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D 点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t(s)．（1）用含t的代数式表示：
AP=_____；DP=________；
BQ=________；CQ=________；
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
当堂检测
第1题图第3题图
第3课时三角形的中位线
学习目标：1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理；
2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.
重点：理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理.
难点：能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.
一、知识回顾
1.平行四边形的性质和判定有哪些？
边：①AB∥CD,AD____BC
②AB=CD,AD____BC
平行四边形ABCD ③AB∥CD,AB_____CD
角：∠BAD____∠BCD，∠ABC____∠ADC
对角线：AO____CO,DO____BO
五、要点探究
探究点1：三角形的中位线定理
概念学习三角形中位线：连接三角形两边中点的线段.
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE. 则线段DE就称为△ABC的中位线.
想一想 1.一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？
2.三角形的中位线与中线有什么区别？
猜一猜如图，DE是△ABC的中位线，DE与BC有怎样的位置关系，又有怎样的数量关系？
猜想：三角形的中位线________三角形的第三边且________第三边的________．
量一量度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？
证一证如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC边的中点.
1
.
2
DE BC DE BC
求证：∥，
性质
判定
分析：
证法1：证明：延长DE 到F ，使EF=DE ．连接AF 、CF 、DC ． ∵AE=EC ，DE=EF ，
∴四边形ADCF 是_______________． ∴CF ∥AD ,CF=AD ，
∴CF_____BD ,CF_____BD ，
∴四边形BCFD 是________________， ∴DF_____BC ,DF_______BC ，
12
DE DF =
又∵， ∴DE_____BC ,DE=______BC. 证法2：证明：延长DE 到F ，使EF=DE ．连接FC ．
∵∠AED=∠CEF ，AE=CE ， ∴△ADE_____△CFE ．
∴∠ADE=∠_____,AD=_______, ∴CF______AD,∴BD______CF.
∴四边形BCFD 是___________________. ∴DF_______BC.
1
2DE DF =
又∵，
∴DE_____BC ,DE=______BC.
要点归纳：
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． 符号语言：△ABC 中，若D 、E 分别是边AB 、AC 的中点， 12
=.
DE BC DE BC 则，
重要结论：①中位线DE 、EF 、DF 把△ABC 分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE 和BDEF ，四边形BFED 和CFDE ，四边形ADFE 和DFCE. ②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.
典例精析
ABC 中，D 、E 分别为AC 、BC 的中点，AF 平分∠CAB ，交DE 于点F.若DF ＝3，求AC 的
长.
倍长DE 至F DF 与AC 互相平分
构造全等 三角形 角、边
相等
平行四边形
线段相等、平行
例2 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．
例3 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD ＝
2CE.
方法总结：恰当地构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键．
针对训练
1.如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC中点．
（1）若DE=5，则BC=________．
（2）若∠B=65°，则∠ADE=_________°.
（3）若DE+BC=12，则BC=_________.
2.如图，A，BC，并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B两点间的距离为______m．
典例精析
ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
方法总结:顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形
第1题图第2题图
E
G
F
H
B C
D
A
变式题 如图，E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 四边之中点．求证：四边形EFGH 为平行四边形.
例5 如图，等边△ABC 的边长是2，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，延长BC 至点F ，使
CF=1
2
BC ，连接CD 和EF ．
（1）求证：DE=CF ；
（2）求EF 的长．
针对训练
1. 如图，在△ABC 中，AB=6，AC=10，点D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则四边形ADEF 的周长为
( )
A.8
B.10
C.12
D.16
2.如图，▱ABCD 的周长为36，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，BD=12，求△DOE 的周长．
二、课堂小结
三角形的中位线定理的应用
三角形的中位线定理 三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半 三角形的中位线
1.如图，在△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点．若EF的长为2，则BC的长为
（）
A.1
B.2
C.4
D.8
2.
A.2
B.3
C.4
D.5
3.如图，点 D、E、F 分别是△ABC 的三边AB、BC、AC的中点.
（1）若∠ADF=50°，则∠B=____________°；
（2）已知三边AB、BC、AC分别为12、10、8，则△ DEF的周长为_____________.
4.在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、 BD、 AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边形EFGH的周长是_____
5. 如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=10cm，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，BD的延长线交AC于点F，E为BC 的中点，求DE的长．
6.如图，E为▱ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD 于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论．
当堂检测
第1题图第2题图第3题图
7.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．
18.2.1 矩形
第1课时矩形的性质
学习目标：1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系；
2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题；
3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.
重点：理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系；掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.
难点：会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.
一、知识回顾
1.平行四边形是什么？它有哪些性质？
2.你还记得长方形是什么吗？
二、新知预习
1.如图，现有一个活动的平行四边形，使它的一个内角变化，当内角变化为90°时，这是我们学过的哪个图形？
2.自主学习：
(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做_________，也就是长方形.
(2)矩形是特殊的平行四边形，平行四边形_________是矩形.
三、自学自测
1.矩形是常见的图形，你能举出一些生活中的实例吗？
2.矩形是特殊的平行四边形，你能根据平行四边形的性质，说出3条矩形的性质吗？
六、要点探究
探究点1：矩形的性质
思考因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
活动准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
（1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四个角度数和对角线的长度,并记录测量结果.
AC BD ∠BAD ∠ADC ∠ABC ∠BCD
橡皮擦
课本
桌子
猜想1 矩形的四个角都是_________.
猜想2 矩形的对角线__________.
证一证如图,四边形ABCD是矩形,∠B=90°.
求证：∠B=∠C=∠D=∠A=90°.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B____∠D,∠C____∠A, AB____DC.
∴∠B+∠C=_____°.
又∵∠B = 90°,
∴∠C =____°.
∴∠B=∠C=∠D=∠A =_____°.
如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相较于点O.
求证：AC=DB.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴AB____DC,∠ABC=∠DCB=_____°,
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB,
∴△ABC____△DCB.
∴AC____DB.
思考请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考. 矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?
要点归纳：矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有：
1.矩形的四个角都是_______.矩形的对角线________.
2.矩形是_________图形,它有_____条对称轴.
几何语言描述：
在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.
∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°，AC=DB.
典例精析
例1如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.求证：DF=DC.
例2如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
针对训练
ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（）
A．AB∥DC B．AC=BD
C．AC⊥BD D．OA=OB
2.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的_________.
3.如图，在矩形ABCD中,AE⊥BD于E,∠DAE：∠BAE＝3：1,求∠BAE和∠EAO的度数．
探究点2：直角三角形斜边上的中线的性质
活动如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半.
第1题图第2题图。