高中数学选修2-2知识点总结(最全版)

高中数学选修2-2知识点总结
第一章、导数
1．函数的平均变化率为
=
∆∆=∆∆x
f
x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数)(x f y =
在0x x =处的瞬时变化率是x
x f x x f x y
x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或
|'
x x y =，即)(0'
x f =x
x f x x f x y
x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000.
3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；
5、常见的函数导数 函数 导函数 (1)y c =
'y =0 (2)n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= (3)x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a =
(4)x y e =
'x y e =
(5)log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1
'ln y x a =
(6)ln y x = 1'y x
=
(7)sin y x = 'cos y x =
(8)cos y x = 'sin y x =-
6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 和差的导数运算
[]'
''()()()()f x g x f x g x ±=± 积的导数运算
[]'
''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±
特别地：()()''Cf x Cf x =⎡⎤⎣⎦
商的导数运算
[]
'
''2
()()()()()
(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 特别地：()()2
1'()'g x g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦
复合函数的导数
x u x y y u '''=⋅
微积分基本定理
()b
a
f x dx =⎰F(a)--F(b)
（其中()()'F x f x =）
和差的积分运算
1
2
12[()()]()()b b
b
a
a
a
f x f x dx f x dx f x dx
±=±⎰⎰
⎰ 特别地：
()()()
b
b a
a
kf x dx k f x dx k =⎰
⎰为常数
积分的区间可加性
()()()()
b
c
b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰
⎰⎰其中
.用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f (x )的导数'()f x
②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数f (x )的极值的步骤：
(1)确定函数的定义域。

(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根
(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值
8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；
⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；
9．求曲边梯形的思想和步骤:分割→近似代替→求和→取极限 （“以直代曲”的思想）
10.定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 a b dx b
a -=⎰1
性质5 若[]b a x x f ,,0)(∈≥，则0)(≥⎰b
a
dx x f
①推广：1212[()()()]()()()b b b b
m m a
a
a
a
f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰L L
②推广:12
1
()()()()k
b
c c b
a
a
c c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰L
11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.
( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x 轴上方的图形面积；
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于x 轴上方图形面积的相反数；
（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x 轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．
12．物理中常用的微积分知识（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。

（2）力的积分为功。

第二章、推理与证明知识点
13.归纳推理的定义： 从个别事实．．．．中推演出一般性．．．的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。

归纳推理是由部分到整体．．，由个别到一般．．的推理。

14.归纳推理的思维过程大致如图：
实验、观察
概括、推广
猜测一般性结论
15.归纳推理的特点:
①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。

②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。

③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

16.类比推理的定义：
根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。

类比推理是由特殊
．．的推理。

．．到特殊
17.类比推理的思维过程
观察、比较联想、类推推测新的结论
18.演绎推理的定义：
演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法
则得到新结论的推理过程。

演绎推理是由一般
．．的推理。

．．到特殊
19．演绎推理的主要形式：三段论
20.“三段论”可以表示为：①大前题：M是P②小前提：S是M ③结论：S是P。

其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；
③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。

21.直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。

直接证明包括综合法和分析法。

22.综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。

23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。

要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。

24反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。

25.反证法的一般步骤
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确
．．．，即所求证命题正确。

26常见的“结论词”与“反义词”
原结论词 反义词
原结论词 反义词 至少有一个 一个也没有 对所有的x 都成立 存在x 使不成立
至多有一个 至少有两个 对任意x 不成立
存在x 使成立
至少有n 个 至多有n-1个 p 或q p ⌝且q ⌝
至多有n 个
至少有n+1个
p 且q
p ⌝或q ⌝
27.反证法的思维方法:正难则反．．．．
28.归缪矛盾 （1）与已知条件．．．．
矛盾: （2）与已有公理、定理、定义．．．．．．．．．．矛盾； （3）自相．．
矛盾．
29．数学归纳法（只能证明与正整数．．．
有关的数学命题）的步骤 (1)证明：当n 取第一个值．．．．
()00n n N *∈时命题成立； (2)假设当n=k (k ∈N *，且k ≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1．．．．．时命题也成立. 由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确 [注]：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。

第三章、数系的扩充和复数的概念知识点
30.复数的概念：形如a+bi ．．．．的数叫做复数，其中i 叫虚数单位，a 叫实部， b 叫虚部，数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。

规定：a bi c di +=+⇔a=c ．．．且．b=d ．．．
， 强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。

31．数集的关系：0000b Z a b a =⎧⎪
≠⎧⎨⎪≠⎨⎪
=⎪⎩⎩
实数 ()复数一般虚数()虚数 ()纯虚数()
32.复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。

33.复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数bi a z +=，都可以由一个有序实数对),(b a 唯一确定。

由于有序实数对),(b a 与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。

这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，
x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

34.求复数的模(绝对值)与复数z 对应的向量OZ 的模r 叫做复数bi a z +=的模(也叫绝对值)记作bi a z +或。

由模的定义可知：22b a bi a z +=+=
35.复数的加、减法运算及几何意义
①复数的加、减法法则：12z a bi c di =+=+与z ，则12()z z a c b d i ±=±+±。

注：复数的加、减法运算也可以按向量．．的加、减法来进行。

②复数的乘法法则：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++。

③复数的除法法则：
2222
()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad
i c di c di c di c d c d ++-+-==+++-++其中c di -叫做实数化因子 36.共轭复数:两复数a bi a bi +-与互为共轭复数，当0b ≠时，它们叫做共轭虚数。

常见的运算规律
(1);
(2)2,2;z z z z a z z bi =+=-=
2
2
22(3);(4);(5)z z z z a b z z z z z R ⋅===+==⇔∈
41424344(6),1,,1;
n n n n i i i i i i ++++==-=-=
()
2
2
111(7)1;(8),,112i i i i i i i i i i +-±⎛⎫
±=±==-=± ⎪-+⎝⎭
)9(设2
31i +-=
ω是1的立方虚根，则012
=++ωω，1,,332313===+++n n n ωωωωω。