全国各地中考数学试卷解析分类汇编(第1期)专题18 图形的展开与叠折

图形的展开与叠折
一、选择题
1．(2015•江苏无锡,第9题2分)如图的正方体盒子的外表面上画有3条粗黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
考点： 几何体的展开图．
分析： 根据正方体的表面展开图进行分析解答即可．
解答： 解：根据正方体的表面展开图，两条黑线在一列，故A 错误，且两条相邻成直角，故B 错误，间相隔一个正方形，故C 错误，只有D 选项符合条件， 故选D
点评： 本题主要考查了几何体的展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
2.（2015湖北荆州第8题3分）如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB 线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
考点： 剪纸问题．
分析： 根据题意直接动手操作得出即可．
解答： 解：找一张正方形的纸片，按上述顺序折叠、裁剪，然后展开后得到的图形如图所示：
故选A．
点评：本题考查了剪纸问题，难点在于根据折痕逐层展开，动手操作会更简便．
3.（2015湖北鄂州第8题3分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF =（）
A．B．C．D．
【答案】D.
考点：翻折问题.
4.（2015•四川资阳,第9题3分）如图5，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3 cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 A ．13cm
B
．
C
D
．
考点：平面展开－最短路径问题．.
分析：将容器侧面展开，建立A 关于EF 的对称点A ′，根据两点之间线段最短可知A ′B 的长度即为所求． 解答：解：如图：
∵高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm 与饭粒相对的点A 处，
∴A ′D =5cm ，BD =12﹣3+AE =12cm ，
∴将容器侧面展开，作A 关于EF 的对称点A ′， 连接A ′B ，则A ′B 即为最短距离，
A ′
B =
=
=13（Cm ）．
故选：A ．
点评：本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
5、（2015•四川自贡,第10题4分） 如图，在矩形ABCD 中，AB 4AD 6==，,E 是AB 边的中点，F 是线段BC 边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△'EB F ,连接'B D ‘,则'B D ‘
的最小值是 （ ）
A
. 2 B .6 C
.2 D .4
图
5
E
B
考点：矩形的性质、翻折（轴对称）、勾股定理、最值.
分析：连接EA 后抓住△DEB 中两边一定，要使'DB 的长度最小即要使'DEB ∠最小(也就是使其角度为0°)，此时点'B 落在DE 上, 此时''D B D E EB =-
略解：
∵E 是AB 边的中点，AB 4= ∴1
AE EB AB 2
2===
∵四边形ABCD 矩形 ∴A 90∠=o
∴在Rt △DAE 根据勾股定理可知：222
DE AE AD =+
又∵AD 6= ∴ED =
根据翻折对称的性质可知'EB EB 2==
∵△DEB 中两边一定，要使'DB 的长度最小即要使'DEB ∠最小(也就是使其角度为0°)，此时点'B 落在DE 上（如图所示）. ∴''DB DE EB 2=-= ∴'DB 的长度最小值为2. 故选A
6. （2015•绵阳第12题，3分）如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD ：DB =1：2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE ：CF =（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 考点： 翻折变换（折叠问题）．.
分析： 借助翻折变换的性质得到DE =CE ；设AB =3k ，CE =x ，则AE =3k ﹣x ；根据余弦定理分别求出CE 、CF 的长即可解决问题． 解答： 解：设AD =k ，则DB =2k ； ∵△ABC 为等边三角形，
E
B
∴AB=AC=3k，∠A=60°；
设CE=x，则AE=3k﹣x；
由题意知：
EF⊥CD，且EF平分CD，
∴CE=DE=x；
由余弦定理得：
DE2=AE2+AD2﹣2AE•AD•cos60°
即x2=（3k﹣x）2+k2﹣2k（3k﹣x）cos60°，
整理得：x=，
同理可求：CF=，
∴CE：CF=4：5．
故选：B．
点评：主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是借助余弦定理分别求出CE、CF的长度（用含有k的代数式表示）；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
7. （2015•浙江省台州市，第8题）如果将长为6cm，宽为5cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是（）
A.8cm
B.
C.5.5cm
D.1cm
8．(2015·贵州六盘水，第4题3分)如图2是正方体的一个平面展开图，原正方体
上两个“我”字所在面的位置关系是（）
A．相对 B．相邻 C．相隔 D．重合
考点：专题：正方体相对两个面上的文字．.
分析：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
解答：解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“我”与“国”是相对面， “我”与“祖”是相对面， “爱”与“的”是相对面．
故原正方体上两个“我”字所在面的位置关系是相邻． 故选B ． 点评：本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
9. （2015•浙江宁波，第10题4分）如图，将△ABC 沿着过AB 中点D 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的A 1处，称为第1次操作，折痕DE 到BC 的距离记为1h ；还原纸片后，再将△ADE 沿着过AD 中点D 1的直线折叠，使点A 落在DE 边上的A 2处，称为第2次操作，折痕D 1E 1到
BC 的距离记为2h ；按上述方法不断操作下去，经过第2015次操作后得到的折痕D 2014E 2014到BC 的距离记为
2015h ，若1h =1，则2015h 的值为【 】
A . 2015
2
1
B . 2014
2
1
C .
201521
1-
D .
2014212-
【答案】D . 【考点】探索规律题（图形的变化类）；折叠对称的性质；三角形中位线定理.
【分析】根据题意和折叠对称的性质，DE 是△ABC 的中位线，D 1E 1是△A D 1E 1的中位线，D 2E 2
是△A 2D 2E 1的中位线，…
∴
21111122h =+
=-，
322
111
11222h =++=-，
4233
1111
112222h =+++=-，
…
2015220142014
1111
112222h =+++⋅⋅⋅+=-.
故选D .
10.（2015•江苏泰州,第4题3分）一个几何体的表面展开图如图所示， 则这个几何体是
A .四棱锥
B .四棱柱
C .三棱锥
D .三棱柱
【答案】A . 【解析】
试题分析：根据四棱锥的侧面展开图得出答案. 试题解析：如图所示：这个几何体是四棱锥. 故选A .
考点：几何体的展开图.
11. （2015•四川广安，第4题3分）在市委、市府的领导下，全市人民齐心协力，将广安成功地创建为“全国文明城市”，为此小红特制了一个正方体玩具，其展开图如图所示，原正方体中与“文”字所在的面上标的字应是（ ）
A ． 全
B ． 明
C ． 城
D ． 国
考点： 专题：正方体相对两个面上的文字．.
分析： 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
解答：解：由正方体的展开图特点可得：与“文”字所在的面上标的字应是“城”．
故选：C．
点评：此题考查了正方体相对两个面上的文字的知识；掌握常见类型展开图相对面上的两个字的特点是解决本题的关键．
12. （2015•浙江金华，第9题3分）以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线，互相平行的是【】
A. 如图1，展开后，测得∠1=∠2
B. 如图2，展开后，测得∠1=∠2，且∠3=∠4
C. 如图3，测得∠1=∠2
D. 如图4，展开后，再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA=OB，OC=OD
【答案】C.
【考点】折叠问题；平行的判定；对顶角的性质；全等三角形的判定和性质.
【分析】根据平行的判定逐一分析作出判断：
A. 如图1，由∠1=∠2，根据“内错角相等，两直线平行”的判定可判定纸带两条边线，互相平行；
B. 如图2，由∠1=∠2和∠3=∠4，根据平角定义可得∠1=∠2=∠3=∠4=90°，从而根据“内错角相等，两直线平行”或“同旁内角互补，两直线平行”的判定可判定纸带两条边线，互相平行；
C. 如图3，由∠1=∠2不一定得到内错角相等或同位角相等或同旁内角互补，故不一定能判定纸带两条边线，互相平行；
D. 如图4，由OA=OB，OC=OD，得到，从而得到，进而根据“内错角相等，两直线平行”的判定可判定纸带两条边线，互相平行.
故选C.
13. （2015•山东潍坊第11 题3分）如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
考点：二次函数的应用；展开图折叠成几何体；等边三角形的性质．.
分析：如图，由等边三角形的性质可以得出∠A=∠B=∠C=60°，由三个筝形全等就可以得出AD=BE=BF=CG=CH=AK，根据折叠后是一个三棱柱就可以得出DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO为矩形，且全等．连结AO证明△AOD≌△AOK就可以得出∠OAD=∠OAK=30°，设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD= x，由矩形的面积公式就可以表示纸盒的侧面积，由二次函数的性质就可以求出结论．
解答：解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=A C．
∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH，
∴AD=BE=BF=CG=CH=AK．
∵折叠后是一个三棱柱，
∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形．
∴∠ADO=∠AKO=90°．
连结AO，
在Rt△AOD和Rt△AOK中，
，
∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）．
∴∠OAD=∠OAK=30°．
设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD= x，
∴DE=6﹣2 x，
∴纸盒侧面积=3x（6﹣2 x）=﹣6 x2+18x，
=﹣6 （x﹣）2+ ，
∴当x= 时，纸盒侧面积最大为．
故选C．
点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，矩形的面积公式的运用，二次函数的性质的运用，解答时表示出纸盒的侧面积是关键．
二、填空题
1. （2015•浙江嘉兴，第14题5分）如图，一张三角形纸片ABC，AB=AC=5.折叠该纸片使点A落在边BC的中点上，折痕经过AC上的点E，则线段AE的长为____▲____.
考点：翻折变换（折叠问题）．.
分析：如图，D为BC的中点，AD⊥BC，因为折叠该纸片使点A落在BC的中点D上，所以折痕EF垂直平分AD，根据平行线等分线段定理，易知E是AC的中点，故AE=2.5．
解答：解：如图所示，
∵D为BC的中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∵折叠该纸片使点A落在BC的中点D上，
∴折痕EF垂直平分AD，
∴E是AC的中点，
∵AC=5
∴AE=2.5．
故答案为：2.5．
点评：本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质以及平行线等分线段定理，意识到折痕EF垂直平分AD，是解决问题的关键．
2. （2015•四川省内江市，第14题，5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在
AB边的点F处．若AD=2，BC=3，则EF的长为．
考点：翻折变换（折叠问题）．.
分析：先根据折叠的性质得DE=EF，CE=EF，AF=AD=2，BF=CB=3，则DC=2EF，AB=5，再作AH⊥BC于H，由于AD∥BC，∠B=90°，则可判断四边形ADCH为矩形，所以AH=DC=2EF，HB=BC
﹣CH=BC﹣AD=1，然后在Rt△ABH中，利用勾股定理计算出AH=2，所以EF=．
解答：解∵分别以AE，BE为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB 边的点F处，
∴DE=EF，CE=EF，AF=AD=2，BF=CB=3，
∴DC=2EF，AB=5，
作AH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴四边形ADCH为矩形，
∴AH=DC=2EF，HB=BC﹣CH=BC﹣AD=1，
在Rt△ABH中，AH==2，
∴EF=．
故答案为：．
点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．
3. （2015•浙江滨州,第17题4分）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE 折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10,8），则点E的坐标为 .
【答案】（10,3）
考点：折叠的性质，勾股定理
4. （2015•浙江杭州,第16题4分）如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，
∠A=∠C=90°，∠B=150°，将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一
个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面
积为2的平行四边形，则CD=_______________________________
【答案】2
4+
【考点】剪纸问题；多边形内角和定理；轴对称的性质；菱形、矩形的判定和性质；含30度角直角三角形的性质；相似三角形的判定和性质；分类思想和方程
思想的应用.
【分析】∵四边形纸片ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=150°，∴∠C=30°.如答图，根据题意对折、裁剪、铺平后可有两种情况得到平行四边形：
如答图1，剪痕BM、BN，过点N作NH⊥BM于点H，第16题
A
易证四边形BMDN 是菱形，且∠MBN =∠C =30°.
设BN =DN =x ，则NH =12x
.
根据题意，得1
22
2x x x ⋅=⇒=，∴BN =DN =2， NH =1.
易证四边形BHNC 是矩形，∴BC =NH =1. ∴在Rt BCN ∆中，CN
∴CD
=2+
如答图2，剪痕AE 、CE ，过点B 作BH ⊥CE 于点H ，
易证四边形BAEC 是菱形，且∠BCH =30°.
设BC =CE =x ，则BH =12x
.
根据题意，得1
22
2x x x ⋅=⇒=，∴BC =CE =2， BH =1.
在Rt BCH ∆中，CH
EH
=2.
易证BCD EHB ∆∆∽，∴CD BC HB EH =
，即1CD =
∴
224CD +=
=+.
综上所述，CD =2+4+
5. （2015•四川省宜宾市，第15题，3分）如图， 一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB .若C (32
，3
2)，则该一次幽数的解析式
为 .
y =+
y
x
C
B
A
O
三、解答题
1. （2015•浙江金华，第23题10分）图1，图2为同一长方体房间的示意图，图2为该长方体的表面展开图.
（1）蜘蛛在顶点A'处①苍蝇在顶点B 处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点C 处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD 爬行的最近路线A 'GC 和往墙面BB'C'C 爬行的最近路线A 'HC ，试通过计算判断哪条路线更近？
（2）在图3中，半径为10dm 的⊙M 与D 'C '相切，圆心M 到边CC'的距离为15dm ，蜘蛛P 在线段AB 上，苍蝇Q 在⊙M 的圆周上，线段PQ 为蜘蛛爬行路线。

若PQ 与⊙M 相切，试求PQ 的长度的范围.
【答案】解：（1）①如答图1，连结A'B ，线段A'B 就是所求作的最近路线.
②两种爬行路线如答图2所示，
由题意可得：
在Rt △A 'C 'C 2中， A 'HC 2= (dm )；
在Rt △A 'B 'C 1中， A 'GC 1=dm )
A 'GC 1更近.
（2）如答图，连接MQ ， ∵PQ 为⊙M 的切线，点Q 为切点， ∴MQ ⊥PQ .
∴在Rt △PQM 中，有PQ 2=PM 2－QM 2= PM 2
－100， 当MP ⊥AB 时,MP 最短，PQ 取得最小值，如答图3,
此时MP =30+20=50，
∴PQ == (dm ).
当点P 与点A 重合时, MP 最长，PQ 取得最大值，如答图4,
过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N ， ∵由题意可得 PN =25，MN =50，
∴在Rt △PMN 中，22222
PM AN MN 2550=+=+.
∴在Rt △PQM 中，PQ 55
== (dm ).
综上所述， PQ 长度的取值范围是PQ 55dm ≤≤.
【考点】长方体的表面展开图；双动点问题；线段、垂直线段最短的性质；直线与圆的位置关系；勾股定理. 【分析】（1）①根据两点之间线段最短的性质作答.
②根据勾股定理，计算两种爬行路线的长，比较即可得到结论.
（2）当MP ⊥AB 时,MP 最短，PQ 取得最小值；当点P 与点A 重合时, MP 最长，PQ 取得最大值.求出这两种情况时的PQ 长即可得出结论. 2．（2015•广东省,第21题，7分）如题图，在边长为6的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长交BC 于点G ，连接AG .
（1）求证：△ABG ≌△AFG ； （2）求BG 的长.
【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B =∠D =90°，AD =AB .
由折叠的性质可知，AD =AF ，∠AFE =∠D =90°，∴∠AFG =90°，AB =AF .
∴∠AFG =∠B .
又∵AG =AG ，∴△ABG ≌△AFG （HL ）.
（2）∵△ABG ≌△AFG ，∴BG =FG .
设BG =FG =x ，则GC =6-x ,
∵E 为CD 的中点，∴CF =EF =DE =3，∴EG =3+x ，
在∆Rt CEG 中，由勾股定理，得222
3(6)(3)+-=+x x ，解得2=x ，
∴BG =2.
【考点】折叠问题；正方形的性质；折叠对称的性质；全等三角形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用. 【分析】（1）根据正方形和折叠对称的性质，应用HL 即可证明△ABG ≌△AFG （HL ）.
（2）根据全等三角形的性质，得到BG =FG ，设BG =FG =x ，将GC 和EG 用x 的代数式表示，从而在∆Rt CEG 中应用勾股定理列方程求解即可.
3. （2015•四川南充,第22题8分）如图，矩形纸片ABCD ，将△AMP 和△BPQ 分别沿PM 和PQ 折叠（AP ＞AM ），点A 和点B 都与点E 重合；再将△CQD 沿DQ 折叠，点C 落在线段EQ 上点F 处．
（1）判断△AMP ，△BPQ ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）
（2）如果AM ＝1，sin ∠DMF ＝，求AB 的长．
【答案】△AMP ∽△BPQ ∽△CQD ；AB =6.
试题解析：(1)、有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD
、设AP=x，有折叠关系可得：BP=AP=EP=x AB=DC=2x AM=1
由△AMP∽△BPQ得：即
由△AMP∽△CQD得：即CQ=2
AD=BC=BQ+CQ=+2 MD=AD－AM=+2－1=+1
又∵在Rt△FDM中，sin∠DMF=DF=DC=2x∴解得：x=3或x=(不合
题意，舍去)
∴AB=2x=6.
考点：相似三角形的应用、三角函数、折叠图形的性质.
4.（2015•福建泉州第25题13分）（1）如图1是某个多面体的表面展开图．
①请你写出这个多面体的名称，并指出图中哪三个字母表示多面体的同一点；
②如果沿BC、GH将展开图剪成三块，恰好拼成一个矩形，那么△BMC应满足什么条件？（不必说理）
（2）如果将一个三棱柱的表面展开图剪成四块，恰好拼成一个三角形，如图2，那么该三棱柱的侧面积与表面积的比值是多少？为什么？（注：以上剪拼中所有接缝均忽略不计）
解：（1）①根据这个多面体的表面展开图，可得
这个多面体是直三棱柱，
点A、M、D三个字母表示多面体的同一点．
②△BMC应满足的条件是：
a、∠BMC=90°，且BM=DH，或CM=DH；
b、∠MBC=90°，且BM=DH，或BC=DH；
c、∠BCM=90°，且BC=DH，或CM=DH；
（2）如图2，连接AB、BC、CA，，
∵△DEF是由一个三棱柱表面展开图剪拼而成，
∴矩形ACKL、BIJC、AGHB为棱柱的三个侧面，
且四边形DGAL、EIBH、FKCJ须拼成与底面△ABC全等的另一个底面的三角形，∴AC=LK，且AC=DL+FK，
∴，
同理，可得
，
∴△ABC∽△DEF，
∴，
即S△DEF=4S△ABC，
∴，即该三棱柱的侧面积与表面积的比值是．。