第5章 马尔可夫链

pij a0j,i ,
ji ji
显然{Yn , n≥1}也是一马尔可夫链。
例2 M/G/1排队系统
假设顾客依参数为 的泊松过程来到一服务中心，
只有一个服务员，来客发现服务员空着即刻得到服务；其 他人排队等待服务。相继来到的顾客的服务时间Ti假定为 相互独立的随机变量，具有共同的分布G；且假定他们与 来到过程独立。
它只取有限或可列个值（称为过程的状态，记为0，1，
2，…），并且，对任意 n 0 及状态 i, j, i0 , i1, , in1，
有
P( X n1 j X 0 i0 , X1 i1, , X n1 in1, X n i) P( X n1 j X n i)
3、转移概率
定义 i, j S, 称 P Xn1 j Xn i
P(Yn j i 1 X n i) P(Yn j i 1)
ex x ji1 dG x, 0 ( j i 1)!
j i 1,i 1
Pij 0,
其它
例3 G / M /1排队系统 来到时间间隔分布为G，服务时间分布为指数分布，参
数为 ，且与顾客到达过程独立。
Xn-----第n个顾客来到时见到系统中的顾客数（包括
这是一个非齐次的马尔可夫链，在传染病研究中有用。
下面的定理提供了一个非常有用的获得马尔可夫链的方 法，并可用于检验一随机过程是否为马尔可夫链。 定理：设随机过程{Xn,n≥0}满足 （1） Xn=f(Xn-1,Yn),(n ≥1), 其中f:S× S→ S,且Yn取值在S上， （2） {Yn,n≥1}为独立同分布随机变量，且X0与{Yn,n≥1}也相 互独立，则{Xn,n≥0}是马尔可夫链，其一步转移概率为
P Yn
j
et (t) j dG t ,
0
j!
j 0,1, i
pi0公式略有不同，它是服务台由有i个顾客转为空闲的
概率，即第n个顾客来到时刻到第n+1个顾客来到时刻之
间系统服务完的顾客数≥i+1。
pi0 P X n1 0 X n i P(Yn i 1) P(Yn k) k i1
P45 (2) P41(2) ( p rp) 0 p(1 r)
P X nm j X n k, X 0 i P X n k X 0 i k 0
P X n k X 0 i P X nm j X n k k 0
pink pkmj k 0
Pn P Pn1 P P Pn2 Pn
例（马尔可夫预测）某种鲜奶A改变了广告方式，
初始分布为
(1, 2, 3, 4 ) (0.25, 0.30, 0.35, 0.10)
则
0.8894
P3
0.60175
0.4834
0.5009
0.0458 0.2559 0.1388 0.2134
0.0466 0.0988 0.36584 0.14264
0.01820
0.04355
3、定理：切普曼-柯尔莫哥洛夫方程（C-K方程）
p m n ij
pink pkmj
k 0
或
P(mn) P(n)P(m) Pmn
其中
P(n) pinj
为马尔可夫链{Xn , n≥0}的n步转移概率矩阵。
证明：
P X nm j X 0 i P X nm j, X n k X 0 i k 0
( x) j exdG x, j 0,1, 2,
0 j!
因此， {Xn，n≥1}是马尔可夫链。其转移概率为
P0 j P( X n1 j X n 0) P(Yn j X n 0)
P(Yn
j)
ex x j dG x,
0
j!
j0
Pij P( X n1 j X n i) P( X n 1 Yn j X n i)
称为马尔可夫链{Xn,n≥0}的初始分布向量。 结论：一个马尔可夫链的特性完全由它的一步转移概
率矩阵及初始分布向量决定。
事实上
P X 0 i0 , X1 i1, , X n in
P X 0 i0 P X1 i1 X 0 i0 P X 2 i2 X 0 i0, X1 i1
经调查发现购买A种鲜奶及另外三种鲜奶B、C、D的顾
客每两个月的平均转换率为：（假设市场上只有这4种 鲜奶）
A → A（95%） B（2%） C（2%） D（1%） B → A（30%） B（60%）C（6%） D（4%） C → A（20%） B（10%）C（7%） D（0%） D → A（20%） B（20%）C（10%） D（50%）
et (t)k dG t ,
0 k i1
k!
i0
例4 直线上的随机游动
（1）无限制的随机游动 设有一质点在数轴上随机游 动，每隔一单位时间移动一次，每次只能向左或向右移动一 单位，或原地不动。设质点在0时刻的位置为a,向右移动的概 率为p，向左移动的概率为q，原地不动的概率为r(p+q+r=1), 且各次移动相互独立，以Xn表示质点经n次移动后所处的位 置，则{Xn,n≥0}是一马尔可夫链,转移概率为 Pi,i+1=p, Pi,i-1=q, Pi,i=r, 其余Pi,j=0
2，n步转移概率 定义：设{Xn,n≥0}是一马尔可夫链，称
pinj P Xnm j Xm i , n 0, i, j 0
为马尔可夫链{Xn,n≥0}的n步转移概率。记
i (n) P Xn i,
称
1(n),2(n), ,i (n),
为n时刻Xn的概率分布向量。
1(0),2(0), ,i (0),
CHAPTER 5 马尔可夫链
第一节 基本概念
一、马尔可夫链的定义及例子 1、分类
按马尔可夫过程参数空间和状态空间的不同可分为
X t
t
离散
连续
离散 连续
马尔可夫链
可数状态马 尔可夫过程
马尔可夫序列
连续状态马 尔可夫过程
2. 马尔可夫链的定义
随机过程 Xn, n 0,1, 2, 称为马尔可夫链，若
的一步转移概率。
pij n 为n时刻
若i, j S, pij n pij ，即pij与n无关，称转移概率
具有平稳性.此时称{Xn,n≥0}为齐次（或时齐的）马尔 可夫链。记P=(pij)，称P为{Xn,n≥0}的一步转移概率矩阵.
p00 p01 p02
p10
p11
p12
P
pi0 pi1 pi2
为了克服上述困难，我们可以只在顾客离去的时 刻考察系统，记
Xn-----第n个顾客走后剩下的顾客数，
Yn -----第n+1个顾客接受服务期间来到的顾客数，则
X
n1
Xn 1 Yn ,
Yn ,
Xn 0 Xn 0
容易证明{Yn，n≥1}独立同分布，且
P{Yn
j}
0 P{Yn
wenku.baidu.com
j
Tn1
x}dG x
M/G/1排队系统中字母M代表顾客来到时间间隔服从 指数分布， G代表服务时间的分布， 数字1代表只有一个 服务员。
若以X(t)记在t时刻系统中的顾客数，{X(t),t≥0}则不 具马尔可夫性。因为，若我们知道在t时刻系统中的顾客 数，那么为了预测将来的状态，我们不用关心从最近的一 位顾客来到后已过去了多长时间（因为来到过程是无记忆 的），但和服务中的顾客服务了多长时间有关（因为服务 时间分布不具无记忆性）。
1, pij 0i, j 0
2, pij 1i 0,1, 2, j 1
4、马尔可夫链的例子
例1 独立随机变量和的序列
设 {Yn,n≥1}为独立同分布随机变量序列，且Yn取 值为非负整数，其概率分布为P{Yn=i}=ai，i=0,1,2, …令 X0=0,Xn=Y1+…+ Yn ，则易证{Xn,n≥0}是一马尔可夫链， 且
（2）带吸收壁的随机游动 设（1）中的随机游动限 制在S={0,1,2, …b}，当质点移动到状态0或b后就永远停留在 该位置，即p00=1, pbb=1，其余pij(1≤i,j ≤b-1)同（1），这时 {Xn,n≥0}称为带两个吸收壁0和b的随机游动 ，它是一有限状 态马尔可夫链。
例5 Polya（波利亚）模型
所以有
P( X n1 in1 X 0 i0 , X n in )
P( f X n ,Yn1 in1 X 0 i0 , X n in ) P( f in ,Yn1 in1 X 0 i0 , X n in ) P( f in ,Yn1 in1)
P( X n1 in1 X n in )
1 0 0 0 0
q
r
p
0
0
P 0 q r p 0
0 0 q r p
0 0 0 0 1
（2）二步转移概率矩阵
P(2) P2
1
q rp
q2
0
0
0 r2 pq
2rq q2 0
0 2 pr r2 2 pq 2qr 0
0 p2 2 pr r2 pq 0
0
0
p2
p rp
1
（3）在P2中P45(2)是在甲得1分的情况下经二步转移至2分从 而结束比赛的概率； P41(2)是在甲得1分的情况下经二步转 移至-2分（即乙得2分）从而结束比赛的概率。
P X n in X 0 i0 , , X n1 in1
P X0 i0 P X1 i1 X 0 i0 P X 2 i2 X1 i1
P X n in X n1 in1
0 p p i0
i0i1 i1i2
pin1,in
类似地可以证明马尔可夫链任意个时刻的联合分布也 完全由一步转移概率矩阵及初始分布向量决定。
所以{Xn,n≥0}是马尔可夫链，且
pij P( X n1 j X n i) P( f i,Yn1 j) P( f i,Y1 j)
二、切普曼-柯尔莫哥洛夫方程
1，随机矩阵 定义：称矩阵A=(aij)S×S为随机矩阵，若aij ≥0，且
i S,有 aij 1 jS
显然马尔可夫链{Xn,n≥0}的一步转移概率矩阵P为 随机矩阵。
罐中有b只黑球及r只红球，每次随机地取出一只后 把原球放回，并加入与抽出球同色的球c只，再第二次 随机地取球重复上面步骤进行下去，{Xn=i}表示第n回 摸球放回操作完成后，罐中有i只黑球这一事件，所以
i, b r nc
P
X n1 j X n i
1
b
i r
nc
,
0,
j ic ji else
该顾客），则{Xn，n≥1}是马尔可夫链。记
Yn -----第n个顾客来到时刻到第n+1个顾客来到时刻之 间系统服务完的顾客数，则
X n1 X n 1 Yn
pi,i1 j P X n1 i 1 j X n i P i 1 j X n 1 Yn X n i P Yn j X n i
0.01196
0.14306
半年后A种鲜奶的市场占有率为
0.8894
(0.25, 0.30, 0.35,
0.10)
0.60175
0.624
0.4834
0.5009
例 甲、乙两人进行比赛，设每局比赛中甲胜的概率p， 乙胜的概率是q，和局的概率是 r,(p+q+r=1)。设每局比赛 后，胜者记“+1”分，负者记“-1”分，和局不记分。当两人 中有一人获得2分结束比赛。以Xn表示比赛至第n局时甲 获得的分数。
假设目前购买A、B、C、D 4种鲜奶的顾客的分布为 （25%，30%，35%，10%），求半年后鲜奶A、B、C、
D的市场份额。
解 一阶转移矩阵为
0.95 0.02 0.02 0.01
P
0.30
0.60
0.06
0.04
0.20 0.10 0.70 0.00
0.20
0.20
0.10
0.50
pij=P[f(i,Y1)=j] 证明：设n≥1 ，则Yn+1与X0, X1, …, Xn相互独立，事实上，
因为X1=f(X0,Y1)， Y2与X0,Y1独立，所以， Y2与X1， X0 独立。同理， X2=f(X1,Y2)= f(f(X0,Y1),Y2)，所以， Y3与X2，
X1， X0独立。归纳可得Yn+1与X0, X1, …, Xn相互独立。
（1）写出状态空间；（2）求P(2)； （3）问在甲获得1分的情况下，再赛二局可以结束比赛的 概率是多少？
解 （1）记甲获得“负2分”为状态1，获得“负1分” 为状态2，获得“0分”为状态3，获得“正1分”为状态4， 获得“正2分”为状态5，则状态空间为
I {1，2，3，4，5}
一步转移概率矩阵为