2002年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案

）．
3．
yy
y2
0 满足初始条件
y(0)
1,
y(0)
1 2
的特解是（
）
4． lim 1 [ 1 cos 1 cos 2 1 cos n ] =（ ）
n n
n
n
n
0 2 2
5．矩阵 2 2 2 的非零特征值是（
）．
2 2 2
二、单项选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分．)
六、（本题满分７分）求微分方程 xdy (x 2y)dx 0 的一个解 y y(x) ，使得由曲线 y y(x) 与直线 x 1, x 2 以及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体的体积
最小．
七、（本题满分 7 分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线 l
为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲线与线段 ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与 承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５：４，闸门矩形部分
（A）当 lim f (x) 0 时，必有 lim f (x) 0.
x
x
（B）当 lim f (x) 存在时，必有 lim f (x) 0.
x
x
（C）当 lim f (x) 0 时，必有 lim f (x) 0.
x0
x 0
由考研云助手整理( 专注免费考研资料 微信公众号提供更多资讯)
1
2 cos2 x dx
2 1 cos x dx
1 x 2 cos dx
0
2
0
2
0
2
2 2 sin x 1 2
2
.
20
0 2 2
（5）矩阵
2
2 2 的非零特征值是______．
2 2 2
【答案】4
【考点】矩阵的特征值的计算
【难易度】★★
2 2 2 2 【详解】解析： E A 2 2 2 0
（A）不存在．
（B）等于 1．
【答案】C
【考点】洛必达法则、佩亚诺型余项泰勒公式
【难易度】★★
（C）等于 2．
（D）等于 3．
【详解】解析：方法 1： lim ln(1 x2 ) lim x2 洛 lim 2x 洛 lim 2 2 2
x0 y(x)
x0 y(x)
x0 y(x)
x0 y(x) 1
十一、（本题满分６分）已知Ａ，Ｂ为三阶方阵，且满足 2 A1B B 4E ． ⑴证明：矩阵 A 2E 可逆； 1 2 0 ⑵若 B 1 2 0 ，求矩阵Ａ． 0 0 2
十二、（本题满分６分）已知四阶方阵 A (1, 2 ,3 , 4 ) ， 1,2 ,3 ,4 均为四维列向 量，其中2 ,3 ,4 线性无关，1 2 2 3 ．若 1 2 3 4 ，求线性方程组 Ax 的通解．
【答案】 2 2
【考点】定积分的概念 【难易度】★★★
【详解】解析：记
un
1 n
1 cos n
1 cos 2 ... n
1
cos
n n
1 n
i
1 cos ,
n i1
n
所以
lim
n
un
lim 1 n n
n i 1
1 cos i 1 1 cos xdx n0
由考研云助手整理( 专注免费考研资料 微信公众号提供更多资讯)
（Ｃ）1, 2 ,3 , 1 k 2 线性无关；
(D) 1, 2 ,3 , 1 k 2 线性相关．
三、（本题满分
6
分）已知曲线的极坐标方程为 r
1 cos
，求该曲线对应于
6
处的
切线与法线的直角坐标方程．
四、（本题满分７分）设函数 y
f
(x)
2x
3 2
x2
xex (ex 1)2
求函数 F(x) x f (t)dt 的表达式． 1
【答案】1 【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积 【难易度】★★ 【详解】解析：所求面积为
S
xexdx
xd
(
ex
)
xe x
exdx ex 1．
0
0
0
0
0
其中， lim xex lim x 洛必达 lim 1 0 .
x
e x x
e x x
（3）微分方程
yy
由考研云助手整理( 专注免费考研资料 微信公众号提供更多资讯)
2002 年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题解析
一、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分．把答案填在题中横线上．）
1 etanx
（1）设函数
f
(x)
arcsin
x
,
2
ae2x ,
x0
x0
x x0 x
arcsin
2
2
lim f (x) lim ae2x a, f (0) a,
x0
x0
f (x) 在 x 0 处连续 f (0 ) f (0 ) f (0), 即 a 2.
（2）位于曲线 y xex , 0 x 下方， x 轴上方的无界图形的面积是______．
x 0, x0
在 x 0 处连续，则 a ______．
【答案】 2
【考点】函数的左极限和右极限、函数连续的概念 【难易度】★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点：
若函数
f (x) 在 x
x0
处连续，则有;
lim
x x0
f (x)
lim
x x0
f
(x)
f (x0 )
解析： lim f (x) lim 1 etan x = lim tan x = 2
, C1
1 2
.于是得
dy dx
1 2y
,解之，得
y2
x C2,
y
x C2 .以
y x0 1 代入，得1 C2 ，所以应取“+”号且 C2 1.于是特解是 y x 1 .
（4） lim 1 [ 1 cos π 1 cos 2π 1 cos nπ ] ______．
n n
n
n
n
原方程 yy y2 0 化为 yp dp p2 0 ，得 p 0 或 y dp p 0
dy
dy
p 0 即 dy 0 ，不满足初始条件 y '
1 ，弃之，
dx
x0 2
由
y
dp dy
p
0Hale Waihona Puke 按分离变量法解之，得C1 y
. 由初始条件
y
x
0
1,
y'
x
0
1 2
可将 C1 先
定出来：
1 2
C1 1
(A)不存在； （Ｂ）等于１； (C)等于２；
(D) 等于３．
４．设函数 f (x) 在 R 上有界且可导，则
(A)当 lim f (x) 0 时，必有 lim f (x) 0 ；
x
x
（Ｂ）当 lim f (x) 存在时，必有 lim f (x) 0 ；
x
x
(C) 当 lim f (x) 0 时，必有 lim f (x) 0 ；
y2
0
满足初始条件
y
x0
1，
y |x0
1 2
的特解是______．
【答案】 y x 1
【考点】可降阶的高阶微分方程 【难易度】★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点：
可降阶的高阶微分方程,若缺 x ，则令 y p, y p dp . dy
解析：方法 1：将 yy y2 0 改写为 ( yy) 0 ，从而得 yy C1 .以初始条件
y(0)
1,
y(0)
1 2
代入，有1
1 2
C1
，所以得
yy
1 2
.即
2 yy
1，改写为
(
y2 )
1.解
得 y x C2, y x C2 .再以初值代入，1 C2 所以应取" " 且 C2 1.于是特解
y x 1.
方法 2：这是属于缺 x 的类型 y f ( y, y) .命 y p, y dp dp dy p dp . dx dy dx dy
方法 2：由 y(0) y(0) 0, y(0) 1.由佩亚诺余项泰勒公式展开，有
y(x) 0 0 x2 o(x2 ) ，代入，有 2
ln(1 x2 ) lim x0 y(x)
lim x0
1 2
x2
x2
= lim
o(x2 ) x0
1 2
1 o(x2 )
x2
2.
（4）设函数 y f (x) 在 (0,) 内有界且可导，则（ ）
(C)
x
t[
f
(t)
f
(t)]dt ；
0
(B) x f 2 (t)dt ； 0
(D)
x
t[
f
(t)
f
(t)]dt ．
0
３．设 y f (x) 是二阶常系数微分方程 y py qy e3x 满足初始条件 y(0) y(0) 0
的
特解，则极限 lim ln(1 x 2 ) x0 y(x)
１．函数 f (u) 可导， y f (x2 ) 当自变量 x 在 x 1处取得增量 x 0.1时，相应的函
数增量 y 的线性主部为０．１，则 f (1) ＝
（Ａ）－１； （Ｂ）０．１； （Ｃ）１； （Ｄ）０．５．
２．函数 f (x) 连续，则下列函数中，必为偶函数的是
(A) x f (t 2 )dt ； 0
2002 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(二)试题
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分)
1．设函数
f
(x)
1etan x
arcsin
x 2
ae2x
x0 x 0 在 x 0处连续，则 a （
）．
2．位于曲线 y xe x（ 0 x ）下方，x 轴上方的无界图形的面积为（
x0
x0
(D) 当 lim f (x) 存在时，必有 lim f (x) 0 ．
x0
x0
5．设向量组1,2 ,3 线性无关，向量 1 可由 1,2 ,3 线性表示，而向量 2 不能由
1, 2 ,3 线性表示，则对于任意常数 k 必有
（Ａ）1, 2 ,3 , k1 2 线性无关；(B) 1, 2 ,3 , k1 2 线性相关；
（A） x f (t 2 )dt. 0
（B） x f 2 (t)dt. 0
（C）
x
t[ f (t) f (t)]dt.
0
（D）
x
t[ f (t) f (t)]dt.
0
【答案】D
【考点】函数的奇偶性、积分上限的函数及其导数
【难易度】★★
【详解】解析： t[ f (t) f (t)]为 t 的奇函数，
xx0 x o(x) .
当 dy dx
x x0
0 时 dy dx
xx0 x 称为 y 的线性主部，
现在 dy x f (x2 )2xx ，以 x 1, x 0.1 dx
代入得 dy x f (1) 0.2 ，由题设它等于 0.1，于是 f (1) 0.5 ，应选（D）. dx
（2）设函数 f (x) 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ）
2 2 2 2 2 2
0 0 0 1 1 2 ( 4)
2 2 2
故 4 是矩阵的非零特征值.（另一个特征值是 0 (二重)）
二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分．每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）
（1）设函数 f (u) 可导， y f (x2 ) 当自变量 x 在 x 1 处取得增量 x 0.1时，相应
1 x 0 0 x 1 ，
五、（本题满分７分）已知函数 f (x) 在 R 上可导， f (x) 0 ， lim f (x) 1，且满足 x
f (x hx) 1 1
lim (
) h e x ，求 f (x) ．
h0 f (x)
由考研云助手整理( 专注免费考研资料 微信公众号提供更多资讯)
x
t[
f
(t)
f
(t)]dt
为
x
的偶函数，（D）
0
正确，（A）、（C）是 x 的奇函数，（B）可能非奇非偶.例如 f (t) 1 t ，均不选.
（3）设 y y(x) 是二阶常系数微分方程 y py qy e3x 满足初始条件 y(0)
y(0) 0 的特解，则当 x 0 时，函数 ln(1 x2 ) 的极限 （ ） y(x)
的函数增量 y 的线性主部为 0.1 ，则 f (1) ＝（ ）
（A）－1．
（B）0.1．
【答案】D
【考点】导数的概念、复合函数的求导法则
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（C）1．
① dy 为 y 的线性主部；
（D）0.5．
① ( f [g(x)]) f [g(x)]g(x) ；
解析：在可导条件下， y dy dx
的高 h 应为多少？
八、（本题满分８分）
设 0 xn 3 ， xn1 xn (3 xn ) （ n ＝１，２，３，…）． 证明：数列｛ xn ｝的极限存在，并求此极限．
九、（本题满分８分）设 b a 0 ，证明不等式 2a ln b ln a 1 ．
a2 b2
ba
ab
十、（本题满分 8 分）设函数 f (x) 在 x ＝０的某邻域具有二阶连续导数，且 f (0) f (0) f (0) 0 ．证明：存在惟一的一组实数 a,b, c ，使得当 h 0 时， af (h) bf (2h) cf (3h) f (0) o(h2 ) ．