南开区2019届高三二模数学(文)试题及答案

2018—2019学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(二)
数学试卷（文史类）2019.05本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．本卷共8小题，每小题5分，共40分．
参考公式：
·球的表面积公式S球=4πR2，其中R表示球的半径．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）设全集为R，若集合A={x|(x+2)(x–3)≥0}，集合B={x|x＞1}，则(∁R A)∪B=（）．
（A）[3，+∞)（B）(1，3]（C）(1，3)（D）(–2，+∞)
（2）已知实数x，y满足约束条件
50
3
-+
⎧
⎪
+
⎨
⎪
⎩
≥，
≥，
≤，
x y
x y
x
则z=2x+4y的最小值是（）．
（A）5（B）–6（C）10（D）–10（3）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为13，输出S
的值是46，则a的取值范围是（）．
（A）9≤a＜10（B）9＜a≤10
（C）10＜a≤11（D）8＜a≤9
（4）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是说：两个同高的几何体，如在等高处
的截面积恒相等，则体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ）．
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（5）已知a=1
32-，b=21log 3，c=12
1log 3，则（ ）． （A ）a ＞b ＞c （B ）a ＞c ＞b （C ）c ＞a ＞b
（D ）c ＞b ＞a （6）设f (x )=sin3x –cos3x ，把y=f (x )的图象向左平移ϕ（ϕ＞0）个单位长度后，恰好得
到函数g (x )=–sin3x+cos3x 的图象，则ϕ的值可以为（ ）．
（A ）6π （B ）4π （C ）2
π （D ）π （7）已知F 1，F 2分别为双曲线3x 2–y 2=3a 2（a ＞0）的左、右焦点，P 是抛物线y 2=8ax
与双曲线的一个交点，若|PF 1|+|PF 2|=12，则抛物线的准线方程为（ ）．
（A ）x=–4 （B ）x=–3 （C ）x=–2 （D ）x=–1
（8）已知函数f (x )=21011>0⎧⎪-⎨⎪-⎩
，≤，，，x x x x 若关于x 的不等式|f (x )–a –12|≤12有且仅有两个不同的整数解，则实数a 的取值范围是（ ）．
（A ）[–
32，–43) （B ）[–12，–13) （C ）[–1，–12
] （D ）[0，3]
第 Ⅱ 卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；
2．本卷共12小题，共110分．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。

（9）已知复数z=2i 1i
--，i 为虚数单位，则|z |2= ． （10）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若∀n ∈N *，a n =20–3n ，则S n 的最大值为 ．
（11）球O 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的外接球，若正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的表面积
为S 1，球O 的表面积为S 2，则12
S S = ． （12）已知圆C ：(x –3)2+(y+1)2=4与直线l ：x+y –2=0交于M ，N 两点，则
|MN |= ．
（13）在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AC 与BD 交于点M ，AB=2CD=4．若
•BD =–1，则cos ∠BMC= ．
（14）已知函数f (x )=e x –1e
x –2sin x ，其中e 为自然对数的底数，若f (2a 2)+f (a –3)＜0，则实数a 的取值范围为 ．
三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（15）（本小题满分13分） 下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分）．已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75．
（Ⅰ）求x ，y 的值；
（Ⅱ）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，
甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；
（Ⅲ）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）．
甲队 乙队 5 6 5 4 6 8 8 7 6 x 1 1 7 0 2 y 8 2 0 8 0 6 8 9
（16）（本小题满分13分） 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若b =3，c =4，C=2B ，且a ≠b ．
（Ⅰ）求cos B 及a 的值；
（Ⅱ）求cos (2B+
3
)的值．
（17）（本小题满分13分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC=AB=2AD=2CD=2，E是PB的中点．
（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角P-AC-E的余弦值；
（Ⅲ）直线PB上是否存在一点F，使得PD∥平面ACF，若存在，求出PF的长；若不存在，请说明理由．
（18）（本小题满分13分） 已知数列{a n }的前n 项和S n =–a n –(12
)n –1+2（n ∈N *），数列{b n }满足b n =2n a n ． （Ⅰ）求证：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设c n =log 2n n a ，数列{22 n n c c }的前n 项和为T n ，求满足T n ＜2521
（n ∈N *）的n 的最大值．
（19）（本小题满分14分） 已知椭圆12222=+b
y a x （a ＞b ＞0）的左顶点为A ，右焦点为F (c ，0)，直线l ：x=2
a c 与x 轴相交于点T ，且F 是AT 的中点．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）过点T 的直线与椭圆相交于M ，N 两点，M ，N 都在x 轴上方，并且M 在N ，T
之间，且
N 到直线l 的距离是M 到直线l 距离的2倍．
①记△NFM ，△NF A 的面积分别为S 1，S 2，求12
S S ； ②若原点O 到直线TN 的距离为
41
，求椭圆方程．
（20）（本小题满分14分） 已知函数f (x )=ax 2+(b+1)x+2（a ≠0）在点(–1，f (–1))处的切线的斜率为0．函数
g (x )=f (x )+3
1x 3–x –2． （Ⅰ）试用含a 的代数式表示b ；
（Ⅱ）求g (x )的单调区间；
（Ⅲ）令a=–1，设函数g (x )在x 1，x 2（x 1＜x 2）处取得极值，记点A (x 1，g (x 1))，
B (x 2，g (x 2))，证明：线段AB 与曲线g (x )存在异于A ，B 的公共点．
2018—2019学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(二) 数学试卷（文史类）参考答案 2019.05
一、选择题：
二、填空题： （9）
132； （10）57； （11）2
； （12）4； （13）171； （14）(–32，1) 三、解答题：（其他正确解法请比照给分）
（15）解：（Ⅰ）因为甲代表队的中位数为76，其中已知低于76的有71，71，65，64，
高于76的有77，80，82，88，所以x=6； …………1分 因为乙代表队的平均数是75，其中少于75的差值为3，5，7，7，19，和为41，超过75的差值为5，11，13，14，和为43，所以y=3． …………3分
（Ⅱ）甲队中成绩不低于80的有80，82，88，乙队中成绩不低于80的有80，86，
88，89，从中各随机抽取1名，组成数对(甲成绩，乙成绩)，共有(80，80)，(80，86)，(80，88)，(80，89)，(82，80)，(82，86)，(82，88)，(82，
89)，(88，80)，(88，86)，(88，88)，(88，89)，共12种，…………7分
其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有(80，80)，(82，80)，(88，80)，
(88，86)，(88，88)，共5种， …………8分
所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率P=
512． …………9分 （Ⅲ）因为甲的平均数为甲x =
110(64+65+71+71+76+76+77+80+82+88)=75， 所以甲的方差2甲s =110
[(64–75)2+(65–75)2+(71–75)2+(71–75)2+(76–75)2 +(76–75)2+(77–75)2+(80–75)2+(82–75)2+(88–75)2]=50.2，……11分
又乙的方差2
乙s =
1
10
[(56–75)2+(68–75)2+(68–75)2+(70–75)2+(72–75)2 +(73–75)2+(80–75)2+(86–75)2+(88–75)2+(89–75)2]=100.8，……12分
因为甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定． …………13分
（16）解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理
B b sin =sin c
C
，得3sin B =C sin 4，………2分
∵C=2B ，∴3sin B =4sin2B ，即3sin B =4
2sin cos B B ，
解得cos B=3
2
． …………4分
在△ABC 中，由余弦定理b 2=a 2+c 2–2ac cos B ，
得a 2–3
16
a+7=0，解得a =3，或a =37．
∵a ≠b ，∴a =3
7
． …………7分
（Ⅱ）∵cos B=
32，∴sin B=3
5， ∴sin2B=2sin B cos B=
9
5
4，cos2B=2cos B 2–1=–91， …………11分
∴cos (2B+
3π
)=21cos2B –2
3sin2B=． …………13分
（17）解：（Ⅰ）在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB=2AD=2CD=2，
∴AC=BC=2，AC ⊥BC ． …………2分 ∵PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PC ⊥AC ． …………3分 又BC ∩PC=C ，∴AC ⊥平面PBC ． …………4分 ∵AC ⊂平面EAC ，
∴平面EAC ⊥平面PBC ． …………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC ⊥平面PBC ，
∴AC ⊥CP ，AC ⊥CE ，
∴∠PCE 即为二面角P -AC -E 的平面角． …………7分 ∵PC=2，BC=2， ∴在△PCB 中，可得PE=CE=
2
6， ∴cos ∠PCE=CE CP PE CE CP ⋅-+2222=3
6
． …………9分
（Ⅲ）连接BD 交AC 于点O ，作OF ∥PD ，
交PB 于点F ，连接AF ，CF ．
∵OF ∥PD ，PD ⊄平面ACF ，OF ⊂平面ACF ， ∴PD ∥平面ACF ． …………11分 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=2CD ， ∴DO=
1
3
DB ， 在△PBD 中，OF ∥PD ， ∴PF=13
PB=36
． ………………………13分
（18）解：（Ⅰ）在S n =–a n –(
12
)n –1
+2中，令n=1， 可得S 1=–a 1–1+2，即a 1=1
2． …………………1分
当n ≥2时，S n –1=–a n –1–(1
2)n –2+2，
∴a n =S n –S n –1=–a n +a n –1+(1
2
)n –1， …………………3分
∴2a n =a n –1+(1
2
)n –1，即2n a n =2n –1a n –1+1． …………………4分
∵b n =2n a n ，∴b n =b n –1+1，即当n ≥2时，b n –b n –1=1．…………………5分 又b 1=2a 1=1，
∴数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列． …………………6分 于是b n =1+(n –1)·1=n=2n a n ，∴a n =2n
n
． …………………7分 （Ⅱ）∵c n =log 2
n
n
a =n ， …………………8分 ∴
22+n n c c =22+()n n =1n –12
+n ， …………………9分 ∴T n =(11–
1
3
)+(12–14)+(13–15)+(14–16)+…
+(1
3-n –11
-n )+(12-n –1n )+(11-n –11+n )+(1n –12+n )
=32–11+n –12
+n ． …………………11分 由T n ＜
2521
，得32–11+n –12+n ＜2521，即11+n +12+n ＞1342，
∵f (n )=
11+n +12+n 单调递减，且f (4)=1130
，f (5)=1342， ∴n 的最大值为4． …………………13分
（19）解：（Ⅰ）∵F 是AT 的中点，∴2
2-+=a a c c
，即(a –2c )(a+c )=0，
又a ，c ＞0，∴a=2c ，∴e=
c a =1
2
． ………………………2分 （Ⅱ）①过M ，N 作直线l 的垂线，垂足分别为M 1，N 1，
∵N 到直线l 的距离是M 到直线l 距离的2倍， ∴
11MM NN =TM
TN =2， ∴
∆∆FMN TNF
S S =MN TN =1
2， 又∵∆ANF S =∆TNF S ，
∴
12S S =1
2
． ………………………………4分 ②由（Ⅰ）知椭圆方程为22
22143+=x y c c
，T (4c ，0)． ……………………5分
设直线TN 的方程为x=ty+4c ，
与椭圆方程联立，并消去x 整理得：(3t 2+4)y 2+24cty+36c 2=0， 依题意有△=(24ct )2–4·36c 2(3t 2+4)＞0，即t 2＞4．
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有212
221224343634⎧
⎪⎨⎪+⎩
==⎪
⎪-++，，y y y y ct t c t （*） ………………8分 由①知M 是N ，T 的中点，故y 2= 2y 1， ……………………9分
∴代入（*）得2211
2
23224343634==⎧
⎪⎪⎨⎪⎪⎩
-++，，y y ct t c t 解得t 2
=365． ……………………11分 ∴原点O 到直线TN 的距离为
=41，…………12分
解得
……………………13分
故椭圆方程为22
12015
+=x y ． ……………………14分
（20）解：（Ⅰ）依题意，得f '(x )=2ax+b+1，
由f '(–1)=–2a+b+1=0得b=2a –1． …………………2分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g (x )=
3
1x 3
+ax 2+(2a –1)x ． 故g '(x )=x 2+2ax+(2a –1)=(x+1)(x+2a –1)，
令g '(x )=0，则x=–1或x=1–2a ， …………………4分
①当a ＞1时，1–2a ＜–1，
当x ∈(1–2a ，–1)时，g '(x )＜0，g (x )的单调减区间为(1–2a ，–1)； 当x ∈(–∞，1–2a )∪(–1，+∞)时，g '(x )＞0，
g (x )的单调增区间为(–∞，1–2a )和(–1，+∞)； …………………6分
②由a=1时，1–2a=–1，，此时，g '(x )≥0恒成立，且仅在x=–1处g '(x )=0， 故函数g (x )的单调区间为R ； …………………7分 ③当a ＜1时，1–2a ＞–1，同理可得函数g (x )的单调增区间
为(–∞，–1)和(1–2a ，+∞)，单调减区间为(–1，1–2a )．…………………8分
（Ⅲ）当a=–1时，得g (x )=
3
1x 3–x 2
–3x ． 由g '(x )=x 2–2x –3=0，得x=–1或x=3，
由（Ⅱ）得g (x )的单调增区间为(–∞，–1)和(3，+∞)，单调减区间为(–1，3)， ∴函数g (x )在x 1=–1和x 2=3处取得极值． …………………10分
故A (–1，
5
3
)，B (3，–9)， ∴直线AB 的方程为y=–8
3
x –1． …………………11分
由22133
813⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
y x x x y x 得x 3–3x 2–x+3=0， …………………12分
令F (x )=x 3–3x 2–x+3，
易F (0)=3＞0，F (2)=–3＜0，而F (x )的图象在(0，2)内是一条连续不断的曲线， 故F (x )在(0，2)内存在零点x 0，即线段AB 与曲线g (x )有异于A ，B 的公共点． ………………………………14分。