课件：9.3三重积分

4) 根据2) 3)写出的积分限.
注 : xoy面上g j (x, y) 0( j 1,2,, s)的各截痕所围区域 若为闭区域,则不需要考虑Fi (x , y, 0) 0(i 1,2)各截痕.
2. 由曲面Fi (x, y, z) 0(i 1,2)所围
1). 作出F1(x, y, z) 0 的交线在xoy面上的投影L. F2 (x, y, z) 0
2) 确定Dxy :由L所围.
3) 确定z的上下限: 从Fi (x, y, z) 0(i 1,2)中解出 z fi (x, y)(i 1,2), 在Dxy中比较fi (x, y)(i 1,2)的
大小, 大的即为上限, 小的即为下限. 4) 根据2) 3)写出的积分限.
例 4 化三重积分 I f ( x, y, z)dxdydz为三
i1
f
(xi , yi , zi )Vi
其中 “ ” 称为三重积分号, 称为积分区域, f (x, y, z) 称为被积函数, dv称为体积元素, 直角坐标系下三重积分也
记为 f (x, y, z)dxdydz.
三重积分的性质与二重积分性质完全类似,
比如若 f (x, y, z)在上连续, 则 f (x, y, z)在上
含有x2+y2,则可考虑用
2
或z 1 r 2
柱面坐标积分.
2
o
y
令x=rcos, y=rsin, z=z,
则z 2, z 1 (x2 y2 )
x x2+y2=4 或 r=2
2
的柱面坐标方程分别为z 2, z 1 r 2 ,
且
1 r 2 z 2, 0 r 2,
2
0 2.
2
(x2 y2)dxdydz
注:
椭圆
x2 a2
y2 b2
1的面积为ab,
而
Dz :
x2 a2
y2 b2
1
z2 c2
,
半长轴,半短轴分别为
a
1
z c
2 2
,
b
1
z2 c2
,
故
面积为a b1
z2 c2
,
2.三重积分换元法.
定理1
设变换T: x=x(u, v, w), y=y(u, v, w), z=z(u, v, w)
将 *变到, 且函数x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v,
w)C1(*), 雅可比行列式 (x, y, z) 0,
(u, v, w)
则 f (x, y, z)dv
(x, y, z)
*
f
(x(u,v, w),
y(u,v, w), z(u,v, w))
(u,v, w)
dudvdw.
3.利用柱面坐标求三重积分
设 M (x, y, z) 为空间内一点，并设点M 在
d
dy
x2 ( y) dx
z2 (x, y)
f (x, y, z)dz.
c
x1 ( y)
z1 ( x, y)
口诀:从里到外, 面—面, 线—线, 点—点.
例1. 计算三重积分 xdxdydz, 其中 为三个坐标
面及平面 x 2 y z 1 所围成的闭区域 .
0 z 1 x2y
解: :
可积; dv 的体积; 常数因子可从积分号
中提出来; 和的积分等于积分之和;积分的可加
性; 积分的保号性; 积分中值定理等.
二、三重积分的计算
1.直角坐标系下三重积分的计算. 闭区域 在 xoy面上
的投影为闭区域Dxy ,
z
下边界曲面S1 : z z1(x, y),
上边界曲面S2 : z z2 (x, y),
i 1
如果对任意的分法和任意的取法, 当 0时, 和式
n
f (xi , yi , zi )Vi的极限都存在且为I. 则称 f (x, y, z)在
i 1
上可积, 并称此极限值I为f (x, y, z)在上的三重积分,
记作
f (x, y, z)dv, 即
n
f
(x, y, z)dv lim 0
xoy 面上的投影P 的极坐标为r,，则( r, , z )称
为点 M 的柱面坐标．
z
M (x, y, z)
• (r,, z)
o
x
r
y
•
P(x, y,0)
(r, )
直角坐标与柱面坐标的关系:
x r cos
y r sin
0
0 r
2或(
)
zz
z
z
坐标面分别为
r 常数
常数
2
d
0
2
dr
0
2 1r
2
r
2
rd
z
2
2 2 r3 (2 1 r 2 )dr
0
2
2
2
1 2
r4
1 12
r
6
)d
r
0
16
3
例8. 计算三重积分
其中为由
柱面 x2 y2 2x 及平面 z 0, z a (a 0), y 0 所围
成半圆柱体.
0 z a
z
解: 在柱面坐标系下 : 0 r 2 cos a
*
例6. 计算 zdxdydz, 其中：x2+y2+z2 1, 且z0. 解： 是上半球体,它在xoy面上的投影区域是单 位圆x2+y2 ≦ 1. 令 x=rcos, y=rsin , z=z, 则平面 z = 0 和球面
z 1 x2 y2的柱面坐标方程分别为 z 0和z 1 r 2 ,
所围闭区域解::0 z源自02 yx x
2
y y x
0 x 2
y cos(x z)dxdydz,
D
x
0
dxdy
2
0
x
y
cos(x
z
)dz
D
2
02
dx0
x
dy
x
2
0
y cos(x
z)dz
2 1
16 2
例 3 化三重积分 I f ( x, y, z)dxdydz为三
次积分，其中 积分区域 为由曲面
1) 在xoy面上分别作出曲面Fi (x, y, z) 0(i 1,2)及 g j (x, y) 0( j 1,2,, s)的各截痕. 2) 确定Dxy :由以上各截痕所围. 3) 确定z的上下限: 从Fi (x, y, z) 0(i 1,2)中解出
z fi (x, y)(i 1,2), 在Dxy中比较fi (x, y)(i 1,2)的 大小, 大的即为上限, 小的即为下限.
f (x, y, z)dz.
a
y1 ( x)
z1 ( x, y)
0
(其中 z1(x, y) z2 (x, y)) a
b x y=y1(x)
z1 = z1(x,y)
y y=y2(x) Dxy
若Dxy : x1(y) x x2(y),c y d, 即为y—型区域.
则 f (x, y, z)dV
z
Dz
g(z)dV C2 g(z)dz dxdy
C1
C2
g(z)
Dz
A(z)dz
C1
C2 0
y
其中 A(z) dxdy
x
DZ
例 5 计算三重积分 z2dxdydz，其中 是由
椭球面 x2 a2
y2 b2
z2 c2
1所成的空间闭区域.
z
Dz
解 : {( x, y, z) | c z c,
0
y
1 2
(1
x)
0 x1
x d x d y d z
1 x2 y
0 d z
1
xdx
1 2
(1
x)
(1
x
2
y)d
y
0
0
1
1
(x
2x
2
x3
)dx
1
40
48
z 1
1 2
y x1
例2. 计算 y cos(x z)dxdydz, 其中 是由抛物
柱面 y
x及平面y=0, z=0,
x z
即0 z 1 r2 . 且0 r 1, 0 2,
2
1
1r 2
zdxdydz 0 d 0 dr0 z rdz
2 1 1 r(1 r 2 )dr .
02
4
例7. 求 (x2 y2 )dxdydz. 其中由x2+y2=2z
及z=2所围成.
z
解：一般,若的表达式中
x2+y2=2z
闭区域 可表示为
:
z1(x, y) z (x, y) Dxy
z2 (x,
y)
a
0
过点 ( x, y) D 作直线, b
从 z1 穿入，从 z2 穿出． x
z2 = z2(x,y)
z1 = z1 (x,y) y
Dxy
则
f (x, y, z)dV
z2 (x, y) z1 ( x, y)
z
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数
球 面； 圆锥面；
r
o
y
为常数 半平面．
x
设变换T：x= rsinφcos, y= rsinφsin, z= rcosφ将
球面坐标系中的区域*变成直角坐标系中的区域,
(x, y, z) r2 sin, 从而 (r,, z)
f ( x, y, z)dxdydz
z 常数
圆柱面 半平面 平面
• M (x, y, z)
z
o
r• P(r, )
y
x
设变换T：x= rcos, y= r sin , z=z将柱面
坐标系中的区域*变成直角坐标系中的区域,
易算得 (x, y, z) r, 从而
(r, , z)
f (x, y, z)dv f (r cos,r sin, z) rdrddz.
z M (x, y, z)
r•
z
AxO y • P
y
x
规定0 r< + , 0 , 0 2 (或 )
由图知,直角坐标与球面坐标的关系为
x r sin cos ,
y
r
sin
sin
,
z r cos .
z
r • M(x, y,z)
z
o
x
A
xy
•
P
y
OP r sin
z r cos
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .
例10 计算I zdv其中(v)由z R2 x2 y2与z 0所围. (v)
解1 （柱面坐标系下的积分）
在xoy面投影区域为Dxy : x2 y2 R2.
次积分，其中积分区域为由曲面 z x2 2 y2
及z 2 x2所围成的闭区域.
解
由
z
x2 z2
2 x
y
2
2
,
消 z 得 x2 y2 1,
故Dxy : x2 y2 1,
x2 2y2 z 2 x2
: 1 x2 y 1 x2
1 x 1
1
1 x2
2 x2
I dx
0
2
o
原式 z r 2 d r d d z
2 d
2cos r 2 d r
a
zdz
0
0
0
y 2 x r 2 cos
注： 0 z a
4a2 2 cos3 d 8 a3 或者 : 0 r 2 cos
30
9
2
0
例9. 计算三重积分
其中由抛物面
x2 y2 4z 与平面 z h (h 0)所围成 .
x2 a2
y2 b2
1
z2 c2
}
o
y
x
原式 c z2dz dxdy, c Dz
Dz
{( x,
y
)
|
x2 a2
y2 b2
1
z c
2 2
}
dxdy
Dz
a 2 (1 z 2 ) c2
b2
(1
z2 c2
)
ab(1
z2 c2
),
原式
c
ab(1
c
z2 c2
) z 2dz
4 abc3 . 15
z
解:
h
在柱面坐标系下
o x
y
原式 =
2
d
0
2 0
h
r 1 r
2
dr
h
r2 d z
4
2
2 0
hr
r2
1 r2
(h
)dr 4
4. 利用球面坐标计算三重积分.
设 M (x, y, z) R 3, M (x, y, z)在xoy面的投影点为P,
设点M到原点O的距,离为r,
线段OM 与z轴正向夹角为 , 线段OP与x轴正向夹角为 , 则(r, , ) 就称为点M 的球面坐标.
第二节 三重积分
一、三重积分的概念及性质
定义1
设R3为有界闭区域, f (x, y, z)是定义在上
的有界函数.将任意分成 n 个无公共内点的小区域
i, (i =1, 2, …, n), 用Vi表示i的体积. 并记
n
max
1in
{
的直径
i
}.(
xi
,
yi
,
zi
)
i
,作和
f (xi , yi , zi )Vi ,
f
(x,
y, z)dzdxdy.
Dxy
记作
d xd y z2 (x,y) f (x, y, z) d z
Dxy
z1 ( x, y )
若Dxy : y1(x) y y2(x),a x b,z
z2 = z2(x,y)
f (x, y, z)dV
b
dx
y2 (x) dy
z2 (x, y)
dy
f ( x, y, z)dz.
1
1 x2
x22 y2
设空间有界闭区域 满足C1 z C2, 并且以平行 于 xoy 面的平面 z = 常数(z) 截 所得平面区域为Dz ,
则 f (x, y, z)dV
C2 dz f (x, y, z)dxdy. C1
z C1
Dz
特别, 若 f (x, y, z) = g (z), 则
z x2 y2, y x2及平面 y 1, z 0
所围成的空间闭区域.
解
0 z x2 y2
:
x
2
y
1
1 x 1
1
1
x2 y2
I
dx 1
x2
dy 0
f ( x, y, z)dz .
三重积分 f (x, y, z)dv 积分限的确定:
1. 由曲面Fi (x, y, z) 0(i 1,2)及g j (x, y) 0( j 1,2,, s)所围