信号分析与处理 第十次课

授课内容
第四章 信号与测试系统
在检测和计量工作中，所处理和分析的信号都是由初始信号通过测试系统后的信号，这个信号与初始信号有无差别？是我们关心的问题，因此，我们要研究初始信号、信号通过的系统和经过系统后的信号三者关系，由于课时有限，我们只简要讲述一些基本知识。

4.1测试系统
4.1.1测试系统
要完成某项测试工作，往往需要将几台测试仪器及有关的辅助设备组成一个整体，这个整体，通常称为测试装置或测试系统，测试系统是检测、处理、传递、分析、计量被测量的，因此这样系统除了一些特殊的转换、计量、分析环节外，都必须具有一些共同的特性，可将这些概括为三点：时不变性、稳定性、线性。

4.1.2用实验的方法识别系统的三个特性
通常在应用一个新的测试系统时，首先要了解系统是否具有这三个特性，识别系统这三个特性通常情况下是通过实验的方法识别。

4.1.2.1：时不变性。

既构成传递环节的机械部件和电子元件的特性参数不随时间的推移而变化。

给系统输入一个信号)(t x ，对应的输出为)(t y 。

当给系统输入信号)(0t t x -，对应的输出为)(0t t y -。

这样的系统具有时不变性。

4.1.2.2：稳定性。

既当该环节给予一个扰动信号，当撤除扰动后，输出信号在一段时间后回到无扰动输入前的状态。

4.1.2.3：线性。

线性主要包括两个特性。

其一是频率不变性，即对该环节输入一个频率为0f 的正弦信号，其输出信号的频率也为0f ，没有新的频率分量的信号产生，其二是服从于线性叠加原理，这种特点是对该环节输入信号)(t x 1对应的输出信号为)(t y 1；输入信号)(t x 2,对应的输出为)(t y 2;现若输入)()(t x a t x a 2211+其输出为)()(t y a t y a 2211+,其中21a a ,为任意常数，这样的系统就具有线性叠加的特点。

4.1.3测试系统的数学模型
从信号与系统的关系讨论，这类系统和其输入，输出信号三者的关系总可以用满足稳定性的线性常微分方程来描述，即
)()()()()()()(t y a t y a t y a t y a 0111n 1n n n ++++--
)()()()()()()(t x b t x b t x b t x b 0111m 1m m m ++++=--
现设初始条件为零，即0t =时
0x x x y y y y y 0
10n 0010n 01n 0n 0=-,,,,,,,,)()()()()()(
对方程式（4—1）进行拉氏变换得
)()()()()()(s Y a s Y s a s Y s a s Y s a 0111n 1n n n ++++--
=
)()()()()()(s X b s X s b s X s b s X s b 0111m 1m n m ++++=--
整理锝
a s a s a s a
b s b s b s b s X s Y 0
11n 1n n n 011m 1m m m ++++++++=---- )()( 这样该式称为对应的测试环节的传递函数，记为
)
()()(s X s Y s H = 需要指出的是，测试系统是由各个环节级联而成，如果是线性系统，则总的传递函数为各个环节之积，既)()(),()(s H s H s H s H n 21 =。

4.1.4由数学模型识别线性系统的特性
环节的时不变性和稳定性由式（4—2）的右边就可以决定，
,,,,,,,,,,b b b b a a a a 011m m 011n n --全是由组成该环节的机械零件，电子元件的参数所决定，如果它们全是常数，那么这个环节就是时不变的；当分母多项式在复数域里所有的根n 21S S S ,,, 的实部全部都小于零，则系统是稳定的；当输入信号)(t x 以及它的各阶导数和输出信号)(t y 以及它的各阶导数都是依次幂系统是线性系统。

要点及习题
要点 测试系统的三个特性、传递函数
习题
1、 怎样用实验的方法识别测试系统的三个特性。

2、 怎样从数学模型上判断测试系统的三个特性。

4.2 频率响应函数 。

4.2.1频率响应函数
当已知一个环节的传递函数)(s H 时，只要令S=ωj ，则该环节的频率响应
函数就为)(ωj H ；
)
()()()(ωϕω=ω=ω=j j s e j H j H s H
)()()(ωω=ωj X j Y j H
幅频特性 )()(ω=ωj H A
相频特性 )]
([)]([)(ωω=ωϕj H R j H I arctg e m 4.2.2物理意义
其物理意义是：当1j X =ω)(时，)()(ω=ωj Y j H ，相对应在时域里，给
系统施加)(t δ信号，系统的输出为F )()]([t h j H 1=ω-，当给系统输入任意信号)(t x 时，根据式（4—5），在频域里输出信号为)()()(ωω=ωj H j X j Y ，时域为)()()(t h t x t y *=。

当给该系统输入一个频率为1ω的正弦信号时
)](sin[)sin[)(11t t A t A t x x x x x +=+=ωϕω
F )]([t x = F [)(2)11()11(x t t j x t t j x e e A j
ωωωω++--] )]()([2
1111ωωδωωδωω--+=--x x t j t j x e e A j 则该环节的输出为 ：
)()()(ωωωj X j H j Y ⋅=
)()(ωωj H j e j H ∠=)]()([2
1111ωωδωωδωω--+⋅--x x t j t j x e e A j )]()()()([2
1)(11)(11111ωωδωωωδωωωωω--+-=∠--∠x x t j H j t j j H j x e e j H e e j H A j
考虑到幅频函数是频率的偶函数，相频函数是频率的奇函数，所以有
)()()((ωωωωj H j H j H j H -∠=-∠=-）
所以 )}()({2
)()(1)]([1)]([11111ωωδωωδωωωωωω--+⋅=∠+∠+-j H t j j H t j x x x e e A j
j H j Y =)(t y F )]([1ωj Y -)]((sin[)(1111ωωωωj H t t A j H x x ∠++=
既输出信号的频率不变，其幅度为：输入信号的幅度乘以频率响应函数)(ωj H 在1ω处的模值，输出信号的相角为：输入信号的相角加上频率响应函数在1ω处的幅角。

这样一来，如果一个系统的频率响应函数，输入信号已知，其输出信号就可以利用（4—8）式和叠加原理求出来。

但是作为检测信号来说，多是已知系统的频响函数和输出信号，求输入信号的。

根据式（4—8）可知输入信号的幅值除以频率响应函数在该频率值处的模，相角为输出信号的相角减去频率响应函数在该信号频率值处的幅角，既)sin()(θ+ω=y 1y t A t y ，则
)](sin[)
()(1y 11y j t j H 1A t x ωϕ-θ+ωω= 在实际检测中，还有另一类问题，就是利用实验的方法来确定一个系统或环节的频率响应函数，这种方法的原理是：由（4—8）式可知，系统的频率响应函数在某一频率值处的模值，可利用该频率的正弦信号的输入信号的幅值来确定，即
)()
()(1x 1y 1A A j H ωω=ω （4—9）
频率响应函数的幅角值为输出信号的相角减去输入信号的相角，既
)()()(1x 1y 1ωθ-ωθ=ωϕ （4—10）
值得注意的是)(,)(,)(,)(1x 1y 1x 1y A A ωθωθωω的写法是标志这些值是输入，输出信号的频率为1ω处的值。

当不断的改变输入正弦信号的频率，利用一些测量仪器量出对应的 )(,)(,)(,)(1x 1y 1x 1y A A ωθωθωω，并利用式（4—9）和式（4—10）计算出对应的)(ω1j H 和 )(1j ωϕ值，根据其值列出表画出曲线即可。

要点及习题：
要点：传递函数、物理意义
4.3信号传递不失真条件
4.3.1信号传递不失真条件
上节讲述了系统（或环节）的频率响应函数和输入单一正弦函数及对应的输出信号三者的关系。

但是在检测过程中的信号往往是非单一的正弦信号通过一个测试系统，输出信号会不会失真呢？可以证明，输入信号与通过系统的输出信号归一化相关函数的值至少有一点为+1或-1时，输入信号与输出信号成比例关系（或反向成比例），既相当于信号的幅度按统一比例放大和缩小，反之就失真，
信号传递完全不失真系统的传递函数为
e a
1s x s y s H p s τ-==)()()( 其频响函数 )(ωj H =
e a 1p j ωτ-， 既幅频函数 =)(ωA a
1 相频函数 ⎪⎩⎪⎨⎧±±=π±±=π
±τω-=ωϕ
,,,,,)(21n n 210n n 0p 其幅度特性和相频特性如附图所示。

该系统对输入信号的每个频率分量的放大大倍数相同，对个频率分量相移为 τω-p 或 π-τω-p ，这就是理想检测系统的频率特性，其它的系统，信号在通过时就失真。

4.3.2系统的不失真频带
在实际中实现一个完全不失真的系统是困难的。

但是，我们注意到在实际应用中，系统检测的物理实时信号都是圆滑和连续的，其所含的频率分量是有限的，设检测信号的频率的上限为 上S ω，下限为下S ω；检测系统的工作频率上限为上B ω,下限为下B ω，系统在下B ω<ω< 上B ω 频率围内满足于理想的幅频特性和相频特性，并且有 下B ω<下S ω, 上S ω<上B ω成立时，该信号通过此系统时就获得了不失真的输出信号。

我们称满足不等式下B ω<ω< 上B ω的频率取值范围为系统的不失真频带，记为),(上下B B B ωω，即既信号与系统在频率上满足下B ω<下S ω, 上S ω<上B ω 时，系统的幅频特性满足A A 0=ω)( (const A 0=)，该条件说是系统对频带为 下S ω——上S ω的信号各频率分量的放大倍数相同。

该条件称系统的幅频不失真条件。

相频特性满足如下三条其中一条即可：
其一 0)(=ωψ 该条件说明对频带为 上S ω——下S ω的信号一律无相移； 其二 πωψn =)( （n=±1, ±2, ,） 该条件说明对频带为 上S ω——下S ω 的信号当n 为偶数时只有一定相移，无波形失真；但n 为奇数时输出波形是输入波形的倒相。

其三 ω-=ωψt 0)( (t 0=const) 该条件说明对频率范围为 上S ω——
下S ω的输出信号是输入信号延时0t 。

以上三条称系统相频不失真条件，总之信号通过系统是必须满足幅频不失真条件和相频不失真条件三条中的一条即可。

在实际检测过程中，首先保证测试系统为线性系统，然后判断信号通过时是否满足幅频不失真条件和相频不失真条件，最后作出信号通过系统是否失真的结论。

通常情况下，先确定系统的不失真频带，然后分析信号的各个频率分量是否全部落在了不失真频带范围内，从而判断输出信号是否失真，如果输入信号的频带落入系统的不失真频带范围内，既满足 下B ω<下S ω, 上S ω<上B ω输出信号就不会失真。

4.3.3例子：
系统的最大的输入为v 3，系统的幅频特性和相频如图示，现分别输入三个信号试判断信号通过时是产生失真，求出线性输出。

)(sin v t 5006x 1=
))(sin(sin v 3t 6002t 10x 2++=
)(sin .)sin(.v t 500215t 40051x 3++=
解：系统的不失真频带为
信号1x 通过系统时，信号最大幅值为v 6，超过v 3，系统产生非线性失真； 信号2x 通过系统时，第一个分量t 10sin 的10=ω，不在不失真频带范围内，产生幅频线性失真。

其输出为
))](600(3600sin[2)600()]10(10sin[)10(2v t A t A y ϕϕ++++=
)](/sin[]/sin[v 433t 600880t 102π-++π-=
信号3x 通过系统时，两个频率分量全部在不失真频带范围内，输出为 ))]((sin[.)()](sin[.)(v 500t 50021500A 4005t 40051400A y 3ϕ++ϕ++= )](/sin[.]/sin[v 85t 5008425t 4006π-+π-+=
要点及习题：
要点：信号传递不失真的定义、不失真频带及判断条件、习题
1、写出判断信号通过系统时是否失真的步骤。