运筹学——运输问题

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表3.20
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
2
5
7
A2
1
3
4
A3
6
3
9
销量
3
6
5
6
表3.21
销地
产地
B1
B2
A1
A2
3-
A3
6
销量
3
6
B3
B4
产量
5
2-
7
1+
4
3
9
5
6
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例：用表上作业法求下列运输问题的最优解:
销地 B1
B2
B3 产量
产地
A1
5
1
8 12
10
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1.求初始基可行解 方法1：最小元素法
基本思想：就近供应，即 从运价最小的地方开始供 应（调运），然后次小， 直到供完为止.
A1 A2 A3 销量
B1
3
3
1
7
03
B2
11
9
6
4
06
B3
4
3
1
2
10
045
B4
3
10
8
3
5
6
产量 73 410 93
11
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1.求初始基可行解 方法2：Vogel法
j1
m
xij bj ( j 1, , n)
i1
xij
0
(i 1,
,m
j 1,
, n)
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由于总的产量大于销售量，就要考虑多余的物 资在那一个产地贮存的问题。设 xi,n+1 是产地 Ai 的贮存量，故有：
A2
2
4
1 14
A3
3
6
7
4
销量 9 10 11 30
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解：用Vogel法求出初始解是:
2 10
3
11
4
用闭回路法计算各非基变量的检验数是:
4
6
7
5
非基变量检验数全为正，已达最优解，经计 算最小运费是49.
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二、关于表上作业法的几点说明
（1）存在多个负的检验数 若运输问题的某一基可行解有多个非基变量的
(A1 , B1)+ 。确定 = min{2 , 3}=2，经调整后得到另 一个最优解，见表3.20。当然，我们的调入量可以是： 0 < < 2 中的任一实数，这时的解仍为最优解，但不是
基可行解（因为线性规划问题可以在顶点取到最优解，
也可以是在非顶点即是边界点上取到最优解），本题如 表3.21所示。
• 系数矩阵具有下述特点： (1) 约束条件系数矩阵的元素等于0或1； (2) 约束条件系数矩阵的每一列有两个非零元素，
这对应于每一个变量在前m个约束方程中出现 一次，在后n个约束方程中也出现一次。
• 对产销平衡运输问题，除上述两个特点外， 还有以下特点：
(1) 所有结构约束条件都是等式约束； (2) 各产地产量之和等于各销地销量之和。
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表3.18 解的调整表
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
5
2
7
A2
3
1
4
A3
6
3
9
销量
3
6
5
6
表3.19 检验数表
B1
B2
B3
B4
A1
0
2
A2
2
1
A3
9
12
检验数都大于等于0，因此所得方案为最优方案。
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应当指出的是，产销平衡的运输问题必定存在最优
解。那么有唯一最优解还是无穷多个最优解？依据仍然 是看非基变量（即空格处）的检验数是否有为0的。若 有，则存在无穷多个最优解；否则，只有唯一最优解。 由于表3.18可知，空格 (A1,B1)处的检验数为0，表明例 3.2有无穷多个最优解。可在表3.18中以(A1,B1)为调入 格,作闭回(A1,B1)+(A1,B4)-(A2 ,B4)+(A2 , B1)-
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某公司从三个产地 A1、A2、A3 将物品运往四 个销地 B1、B2、B3、B4，各产地的产量、各销地的 销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下
表所示，问：如何调运可使总运输费用最小？
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
11
3
10
7
A2
1
9
2
8
4
A3
7
销量
34105965
6
3
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σij = C ij- CBB-1 Pij = Cij - Y Pij
= Cij - (u1,u2, …,um, v1, v2, …,vn) Pij
= Cij - ( ui+ vj ) 当xij 为基变量时
检验数：目标函数的系 数减去对偶变量之和
σij = Cij - ( ui+ vj )=0 由此，任选一个对偶变量为0，可求
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闭回路法检验最小元素法给出的初始解：
A1 A2 A3 销量
B1
B2
B3
B4
1
2
43
3
11
3
10
3
1
1 -1
1
9
2
8
10
6
12 3
7
4
10
5
3
6
5
6
产量 7 4 9
当存在非基 变量的检验 数ij <0，说 明现行方案 不是最优方 案，目标函 数还可以进 一步减小.
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Am xm1 xm2 …xmn am
销量 b1 b2 … bn
6
销量
b1 b2 … bn
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如果运输问题的总产量等于其总销
m
n
量，即有 ai bj 则称该运输问题
i=1
j=1
为产销平衡运输问题；反之，称产销不平
衡运输问题。
产销平衡运输问题的数学模型可表示如下：
mn
minz =
cij xij
第3章 运输问题
3.1 运输问题及其数学模型 3.2 表上作业法
3.2.1 最小元素法 3.2.2 位势法 3.2.3 闭回路法 3.3 产销不平衡的运输问题 3.4 应用举例
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第一节 运输问题的数学模型
一、问题的提出
在经济建设中，经常会遇到大宗物资调拨 中的运输问题。如煤炭、钢铁、木材、粮食等 物资,在全国有若干生产基地，根据已有的交通 网，应如何制定调运方案，将这些物资运到各 消费地点，而使总运费最小。
②方法二、对偶变量法（位势法）
min Z = c11x11 + c12 x12 +...+c1n x1n +... +cm1xm1 +cm2 xm2 +...+cmn xmn
x11 x21
+ +
x12 x22
+ +
...+ ...+
x1n x2n
...... ...... ...... ...... ...... .......
2. 运输问题约束条件的系数矩阵：
x11,, x1n , x21,, x2n ,, xm1,, xmn
1 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0
A 0 0 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
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xm1 + xm2 + ...+ xmn = am
s.t.
x11
+ x21
x12
+ x22
...... ...... ...... ...... ...... .......
x1n + x2n
xij 0
= a2
+ xm1 + xm2
= a1
= b1 = b2 + xmn = bn
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销地
产地
B1
A1
A2
3
A3
销量
3
B2
B3
B4
产量
4(+1)
3(-1)
7
1(-1)
(+1)
4
6
3
9
6
5
6
(A2 , B4) 格的调入量 q 是选择闭回路上具有（-1）的数字格 中的最小者。即 q = min{1 , 3}=1 (其原理与单纯形法中按q 规则 来确定的换出变量是相同)，然后按闭回路上的正、负号，加入 和减去此值，得到调整方案如表3.18所示。对表3.18给出的解， 再用闭回路法或位势法求各空格的检验数，见表3.19，这时表中 的所有检验数全都大于等于 0 ，所以表3.19所给出的解为最优解。 这时得到的总运费的最小值是 85 元。
析：解x：ij 为该从问产题地的A数i 运学往模销型地为B：j 的运输量，得到
下列运m输inZ量 表3 ：4 cijxij
Bi1 j1 1
B2
B3
B4
产量
A1 A2
x11 x21
x1x112 x2x1 22
x13 x23
xx1124 x2x224
7 4
x13 x23
A3 销量
x31
x33x132
• 设对偶变量向量为 Y = (u1 ,u2 ,..,um ,v1 ,v2 ,...,vn )
对偶问题为
m
n
max z= aiui bjv j
i1
j1
ui + v j cij s.t. ij==11,,2..,,.n., m
ui
,v
的符号不限
j
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σj = C j- CBB-1 Pj = Cj - Y Pj
1）从单位运价表中计算各行各列最小运费和次小运费 的差额. 2）从差额最大的地方找出最小运费的位置优先满足. 重复1)和2)，直到找出初始解为止.
考虑下面两种运输方案:
最小元素法：运费105
Vogel法： 运费85
8 10 5
10
2 5 1 15 250
15 105
8
5 10 10
2 15 1 5 250
i=1 j=1
n
xij = ai (i = 1, 2,..., m)
j=1
m
s.t . xij = bj(j = 1, 2,..., n)
i=1
xij
0(i
= 1, 2,..., m;
j
= 1, 2,..., n)
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三、运输问题数学模型的特点：
1. 运输问题一定有最优解；基变量的个数为m+n-1
1 1
X13 X14 11
1 1
X21 X22 X23 X24 X31 X32 X33 X34
1 11 1
1 1 1 1
11 1 1 1
1 1 1
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二、产销平衡运输问题的模型
假某 的 价设物 销。资量aA11,的；+Aanc22i个,j…+表销,…A示地m+把表；a物m示ai=表资某b示为1物+产从资b地2产的+地mA…个i A的+产i 运 b产n地往量；销；B地b1,jB表2B,…j示的,B销单n地表位示运Bj
3.闭回路法调整、检验：
（1）从一个检验数为负数且最小的空格出发，和 其它数字格构成闭回路。可证，此闭回路存在且 唯一。 （2）在闭回路上进行运量调整，使选定空格处的 运量尽可能地增加。
（3）运量调整后，必然使某个数字格变成零。把 一个变成零的数字格抹去，得新的调运方案。
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表3.17
利用单纯形法进行计算非常复杂
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第二节 表上作业法 表上作业法实质是单纯形法：
运输问题基变量共有 m + n -1 个。
(1)初始基可行解（初始调运方案）
——最小元素法或伏格尔（Vogel）法
(2)解的最优性检验
——闭回路法、位势法
(3)调整得新的基可行解（更优的调运方案）
——闭回路法
运输问题数据表
运输问题变量表
销地 B1 B2 … Bn
产地
产
销地 B1 B2 … Bn 产
量 产地
量
A1 c11 c12 … c1n a1
A2 c21 c22 … c2n a2 ┇ ┇ ┇ ┇┇ ┇
A1 x11 x12 … x1n a1
A2 x21 x22 …x2n a2 ┇ ┇ ┇ ┇┇ ┇
Am cm1 cm2 … cmn am
检验数为负，在继续迭代时，取它们中任一变量为 换入变量均可使目标函数值得到改善，但通常取负 检验数最小者对应的变量为换入变量； （2）多重最优解
产销平衡的运输问题必存在最优解，如果某非 基变量检验数为0，则该问题有多重最优解.
（3）退化 出现退化时，要在同时被划去的行列 中任选一个空格填0，此格作为有数字格。
出其余所有的ui， vj 。
再根据σij = Cij - ( ui+ vj )求出所有非基 变量的检验数。
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表3.16
产地 销地 B1
行位势ui
B2
B3
B4
A1
3
11
3
4
10 3
0
1
2
A2
13
9
21
8
-1
1
-1
A3 列位势vj
7 10
2
6
4
10
12
9
3
53
-5
10
18
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第三节 产销不平衡的运输问题
表上作业法是以产销平衡为前提的，即当实际问题
产销不平衡时，需要转化为产销平衡的运输问题，
具体来说有两种情况：
（1）产大于销，
m
n
ai bj
i 1
j 1
即
mn
min Z
cij xij
i1 j 1
模型：
n
xij ai
(i 1,
, m)
105 15
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2.最优解的判别 得到运输问题的初始基可行解后就要判别这个解是 否为最优解，判别的方法是计算非基变量即空格的 检验数。因运输问题的目标函数是要求实现最小化， 所以当所有的非基变量检验数全都大于等于 0 时为 最优解。下面介绍两种求空格检验数的方法。
①方法一：闭回路法 在给出调运方案的计算表上，如表3.7，从每一空 格出发，找一条闭回路。它是以空格为起点，用 水平线或垂直线向前划，每碰到一数字格就转 90 度后继续前进。直到回到起始空格处为止。可以 证明，每个空格都存在唯一的闭回路。