2020-2021学年江苏省镇江市丹阳市七年级(下)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年江苏省镇江市丹阳市七年级（下）期末数
学试卷
1. 计算：2x 2⋅3x = ______ ．
2. 人体中红细胞的直径约为0.0000077m ，用科学记数法表示0.0000077为______ m.
3. 命题“对顶角相等”的逆命题是______．
4. 一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形是______边形．
5. 如果2m =3，2n =5，那么2m−n 的值为______ ．
6. 若三角形三条边长分别是1、a 、3(其中a 为整数)，则a =______．
7. 二元一次方程3x +y =5的正整数解为______ ．
8. 关于x 的不等式x −a ≥3的解集如图所示，则a 的值是______ ．
9. 如图，AB//DE ，∠B =30°，∠C =50°，则∠D = ______
°.
10. 已知{x =a y =b 是二元一次方程组{2x +y =5
x +2y =7的解，则a 2−b 2= ______ ．
11. 如图，△ABC 的中线BD 、CE 相交于点F ，若△BEF 的面
积是2，则△ABC 的面积是______ ．
12. 已知x −2y =3且x ≥y.若k =3x −5y ，则k 的最小值为______ ． 13. 若a <b ，则下列各式中一定成立的是( )
A. a −1<b −1
B. a 3>b
3
C. −a <−b
D. ac <bc
14. 下列各式计算正确的是( )
A. (3a)2=3a 2
B. (a +3)2=a 2+9
C. (a −3)(−a −3)=a 2−9
D. (a −1)(a +3)=a 2+2a −3
15. 如图，△ABC 向右平移2cm 得到△DEF ，如果△ABC
的周长是16cm ，那么四边形ABFD 的周长是( )
A. 16cm
B. 18cm
C. 20cm
D. 22cm
16.下列命题中：①直角都相等；②如果n<1，那么n2−1<0；③内错角的角平分
线互相平行；④a2−6a−9是完全平方式.真命题的个数是()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
17.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，
原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为()
A. {x
3
=y+2
x
2
+9=y
B. {
x
3
=y−2
x−9
2
=y
C. {
x
3
=y+2
x−9
2
=y
D. {
x
3
=y−2
x
2
−9=y
18.如图，△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿DE折叠，使得点B落在AC边上的点F
处，若∠CFD=60°且△AEF中有两个内角相等，则∠A的度数为()
A. 30°或40°
B. 40°或50°
C. 50°或60°
D. 30°或60°
19.计算：
(1)(1
3
)−1+(π−3)0−(−2)2；
(2)x2⋅x4−(2x2)3+x7÷x．
20.分解因式：
(1)2x2y−8xy+8y；
(2)(a +b)−a 2(a +b)．
21. 解方程组或不等式组：
(1){x +2y =02x −3y =7
；
(2){x −2(x −1)≤11+x 3
>x −1
．
22. 先化简，再求值：(a +3)(a −3)+(a +2)2−4(a −1)，其中a =−1
2．
23. 如图，∠1+∠2=180°，∠EDF =∠A ．
(1)求证：DE//AB ；
(2)若DE ⊥AC ，∠ABE =35°，则∠1= ______ °.
24.为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市出台了居民用水“阶梯价格”制
度来引导市民节约用水，下表是用水价格的标准：
阶梯一户居民每月用水量
(单位：立方米)
水费价格
(单位：元/立方米)
一档不超过15立方米a
二档超过15立方米的部分b 已知该市某户居民今年4月份用水16立方米，缴纳水费50元；5月份用水20立方米，缴纳水费70元．
(1)求出表格中a、b的值；
(2)6月份是用水高峰期，该户居民计划6月份水费支出不超过85元，那么该户居
民6月份最多可用水多少立方米？
25.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AE是角平分线，AE、CD相
交于点F．
(1)求证：∠CEF=∠CFE；
(2)若∠B=60°，点G是AB上的动点且△BEG是直角三角形，则∠AEG=______
°.
26.如图，有长为m，宽为n的长方形卡片A(m>n)，边长为m的正方形卡片B，边
长为n的正方形卡片C，将卡片C按如图1放置于卡片A上，其未叠合部分(阴影)面积为S1，将卡片A按如图2放置于卡片B上，其未叠合部分(阴影)面积为S2．
(1)S1=______ ，S2=______ ；(用含m、n的代数式表示)
(2)若S1+S2=18，则图3中阴影部分的面积S3=______ ；
(3)若m−n=6，mn=10，求图4中阴影部分的面积S4．
27.定义：如果一个两位数a的十位数字为m，个位数字为n，且m≠n、m≠0、n≠0，
那么这个两位数叫做“互异数”．
将一个“互异数”的十位数字与个位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为W(a)．
例如：a=14，对调个位数字与十位数字得到新两位数41，新两位数与原两位数的和为41+14=55，和与11的商为55÷11=5，所以W(14)=5．
根据以上定义，解答下列问题：
(1)填空：①下列两位数：20，21，22中，“互异数”为______ ；
②计算：W(36)=______ ；W(10m+n)=______ ；(m、n分别为一个两位数
的十位数字与个位数字)
(2)如果一个“互异数”b的十位数字是x，个位数字是y，且W(b)=7；另一个“互
异数”c的十位数字是x+2，个位数字是2y−1，且W(c)=13，请求出“互异数”b 和c；
(3)如果一个“互异数”d的十位数字是x，个位数字是x+3，另一个“互异数”e
的十位数字是x−2，个位数字是3，且满足W(d)+W(e)<25，请直接写出满足条件的所有x的值______ ；
(4)如果一个“互异数”f的十位数字是x+4，个位数字是x，且满足W(f)<t的互
异数有且仅有3个，则t的取值范围______ ．
28.【问题情境】
已知∠A，在∠A的两边上分别取点B、C，在∠A的内部取一点O，连接OB、OC.设∠OBA=∠1，∠OCA=∠2，探索∠BOC与∠A、∠1、∠2之间的数量关系．
【初步感知】
如图1，当点O在△ABC的边BC上时，∠BOC=180°，此时∠A+∠1+∠2=180°，则∠BOC与∠A、∠1、∠2之间的数量关系是∠BOC=∠A+∠1+∠2．
【问题再探】
(1)如图2，当点O在△ABC的内部时，请写出∠BOC与∠A、∠1、∠2之间的数量关
系并说明理由；
(2)如图3，当点O在△ABC的外部时，∠BOC与∠A、∠1、∠2之间的数量关系是______ ；
【拓展延伸】
(1)如图4，∠1、∠2的外角平分线相交于点P．
①若∠A=50°，∠BOC=100°，则∠P=______ °；
②若∠BOC=4∠A且∠P=30°，则∠A=______ °；
③直接写出∠BOC与∠A、∠P之间的数量关系；
(2)如图5，∠1的平分线与∠2的外角平分线相交于点Q，则∠Q=______ (用∠BOC、
∠A表示)．
答案和解析
1.【答案】6x3
【解析】解：原式=6x3，
故答案为：6x3．
根据单项式乘单项式的计算法则进行计算求解．
本题考查单项式乘单项式，掌握计算法则是解题基础．
2.【答案】7.7×10−6
【解析】解：将0.0000077用科学记数法表示是7.7×10−6．
故答案是：7.7×10−6．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】相等的角为对顶角
【解析】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．
故答案为相等的角为对顶角．
交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
4.【答案】8
【解析】解：设所求正n边形边数为n，
则1080°=(n−2)⋅180°，解得n=8．
故答案为：8．
多边形的内角和可以表示成(n −2)⋅180°，依此列方程可求解．
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
5.【答案】3
5
【解析】解：∵2m =3，2n =5， ∴2m−n =2m ÷2n =3
5． 故答案为：3
5．
逆向运算同底数幂的除法法则计算即可．同底数幂相除，底数不变，指数相减． 本题考查了同底数幂的除法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
6.【答案】3
【解析】解：∵三角形的两边长分别为1和3， ∴第三边长a 的取值范围是：3−1<a <3+1， 即：2<a <4， ∴a 的值为3， 故答案为：3．
根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．
此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理是解决问题的关键．
7.【答案】{x =1
y =2
【解析】解：当x =1时，则3×1+y =5，解得y =2； 当x =2，则3×2+y =5，解得y =−1， 所以方程3x +y =5的正整数解为{x =1y =2．
故答案为：{x =1
y =2
．
由于要求二元一次方程3x +y =5的正整数解，则令x =1、2等，然后求出对应的y 的值，从而确定方程的正整数解．
本题考查了解二元一次方程：二元一次方程有无数组解；有些二元一次方程可确定它的特殊解，如正整数解等．
8.【答案】−4
【解析】解：移项得，x ≥a +3，
∵数轴上不等式的解集可知x ≥−1，
∴a +3=−1，解得a =−4．
故答案为：−4．
先根据不等式的基本性质用a 表示出x 的取值范围，再由数轴上不等式的解集可得出关于a 的方程，求出a 的取值范围即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心原点与空心原点的区别是解答此题的关键．
9.【答案】80
【解析】解：∵∠B =30°，∠C =50°，
∴∠BAD =∠B +∠C =30°+50°=80°，
∵AB//DE ，
∴∠D =80°．
故答案为：80．
由三角形外角的性质可求∠BAD ，再由平行线的性质可求∠D ．
此题考查了平行线的性质，以及三角形外角的性质．平行线的性质有：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
10.【答案】−8
【解析】解：将{x =a y =b 代入方程组，可得{2a +b =5①a +2b =7②
， ①+②，得：3a +3b =12，
∴a +b =4，
①−②，得：a−b=−2，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)=4×(−2)=−8，
故答案为：−8．
将方程组的解代入原方程组，然后利用加减法求解．
本题考查方程组的解和解二元一次方程组以及用平方差进行因式分解，掌握解方程组的步骤和平方差公式的公式结构是解题关键．
11.【答案】12
【解析】解：∵△ABC的中线BD、CE相交于点F，则点F为△ABC的重心，
由重心的性质可得：EF
CF =1
2
，
∵△BEF与△BCF等高，S△BEF=2，
∴S△BFC=4，
则S△BEC=S△BEF+S△BFC=2+4=6，又E为AB中点，
∴S△ABC=2S△BEC=2×6=12．
故答案为：12．
由题意可知F为重心，则根据重心的性质有EF
CF =1
2
，又△BEF与△BCF等高，S△BEF=2，
立得S△BFC=4，所以S△BEC=6，最后根据三角形中线的性质求△ABC面积即可
本题考查了三角形中线的性质以及三角形重心的性质，熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键．
12.【答案】6
【解析】解：∵x−2y=3，
∴y=x−3
2
，
∵x≥y，
∴x≥x−3
2
，
∴x≥−3，
k=3x−5y
=3x−2.5(x−3)
=0.5x+7.5，
∵0.5>0，
∴k随x的增大而增大，
∴当x=−3时，k有最小值，最小值为0.5×(−3)+7.5=6，
故答案为：6．
根据x−2y=3得到y的表达式，根据x≥y，列出不等式，求出x的取值范围，将y的代数式代入k中，根据一次函数的性质得到k的最小值．
本题考查了不等式的性质，一次函数的性质，利用一次函数的增减性求出k的最小值是解题的关键．
13.【答案】A
【解析】解：
A、a<b，则a−1<b−1，故A选项是正确的；
B、a<b，则a
3<b
3
，故B选项是错误的；
C、a<b，则−a>−b，故C选项是错误的；
D、c的值不确定，故D选项是错误的．
故选：A．
根据不等式的性质分析判断．
主要考查不等式的性质：
(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；
(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；
(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．14.【答案】D
【解析】解：A、原式=9a2，故A不符合题意．
B、原式=a2+6a+9，故B不符合题意．
C、原式=−(a−3)(a+3)=−a2+9，故C不符合题意．
D、原式=a2+2a−3，故D符合题意．
故选：D．
根据整式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
15.【答案】C
【解析】解：∵△ABC向右平移2cm得到△DEF，
∴BE=AD=CF=2(cm)，DF=AC，
∵△ABC的周长是16cm，
∴AB+AC+BC=16cm，
∴四边形ABFD的周长=AB+BF+DF+AD=AB+BC+CF+AC+AD=16+2+ 2=20(cm)，
故选：C．
根据平移的性质得到BE=AD=CF，DF=AC，根据四边形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是平移的性质，根据平移的性质求出AD和CF以及DF=AC是解题的关键．
16.【答案】A
【解析】解：①直角都相等，是真命题；
②如果n<1，当n=−2时，那么n2−1>0，原命题是假命题；
③相等的内错角的角平分线互相平行，原命题是假命题；
④a2−6a+9是完全平方式，原命题是假命题；
故选：A．
根据直角的性质、平行线的判定、不等式的性质和完全平方式判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
17.【答案】B
【解析】解：依题意，得：{x
3
=y−2 x−9
2
=y
．
故选：B．
根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18.【答案】B
(180°−∠A)，
【解析】解：①当AE=AF时，则∠AFE=∠AEF=1
2
∵∠B=∠EFD=90°−∠A，∠CFD=60°，
∴∠AFD=120°，
(180°−∠A)+90°−∠A=120°，
∴1
2
∴∠A=40°．
②当AF=EF时，∠AFE=180°−2∠A，
同法可得180°−2∠A+90°−∠A=120°，
∴∠A=50°．
③当AE=EF时，点F与C重合，不符合题意．
综上所述，∠A=40°或50°，
故选：B．
分三种情形：①当AE=AF时，②当AF=EF时，③当AE=EF时，分别求解即可．本题考查三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
19.【答案】解：(1)原式=3+1−4
=0；
(2)原式=x6−8x6+x6
=−6x6．
【解析】(1)分别根据负整数指数幂的定义，零指数幂的定义以及有理数的乘方的定义计算即可；
(2)分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则化简即可．
本题考查了实数的运算以及整式的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)2x 2y −8xy +8y
=2y(x 2−4x +4)
=2y(x −2)2；
(2)(a +b)−a 2(a +b)
=(a +b)(1−a 2)
=(a +b)(1−a)(1+a)．
【解析】(1)直接提取公因式2y ，再利用完全平方公式分解因式即可；
(2)直接提取公因式(a +b)，再结合平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
21.【答案】解：(1){x +2y =0①2x −3y =7②
， ①×2−②，得：7y =−7，
解得y =−1，
将y =−1代入①，得：x −2=0，
解得x =2，
则方程组的解为{x =2y =−1
； (2)解不等式x −2(x −1)≤1，得：x ≥1，
解不等式1+x 3>x −1，得：x <2，
则不等式组的解集为1≤x <2．
【解析】(1)利用加减消元法求解即可；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此
题的关键．
22.【答案】解：原式=a2−9+a2+4a+4−4a+4=2a2−1，
当a=−1
2时，原式=1
2
−1=−1
2
．
【解析】原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23.【答案】125
【解析】解：(1)∵∠1+∠DFE=180°，∠1+∠2=180°，
∴∠2=∠DFE，
∴AC//DF，
∴∠1=∠CEB，
∵AC//DF，
∴∠CED=∠EDF，
∵∠EDF=∠A．
∴∠A=∠CED，
∴DE//AB；
(2)∵DE⊥AC，∠ABE=35°，
∴∠DEA=∠CDE=90°，
∵DE//AB，
∴∠ABE=∠DEF=35°，
∵DE⊥AC，
∴∠2=90°−∠DEF=90°−35°=55°，
∵∠1=180°−∠2=180°−55°=125°，
故答案为：125．
(1)利用平行线的判定和性质一一判断即可．
(2)利用平行线的性质、DE⊥AC，求解即可．
本题考查三角形内角和定理，平行线的判定和性质、邻补角等知识，解题的关键是灵活
运用∠CED =∠EDF 解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)设该市居民用水基本价格为a 元/米 3，超过15米 3部分的价格为b 元/米 3，
根据题意，得{15a +b =5015a +(20−15)b =70
， 解这个方程组，得{a =3b =5
． 答：a 的值是3，b 的值是5．
(2)设该户居民6月份最多可用水x 立方米，
根据题意，得15×3+5(x −15)≤85．
解得x ≤23．
答：该户居民6月份最多可用水23立方米．
【解析】(1)该市居民用水基本价格为a 元/米 3，超过15米 3部分的价格为b 元/米 3，根据4月份和5月份的缴费情况列出a 和b 的二元一次方程组，求出a 和b 的值即可；
(2)设该户居民6月份最多可用水x 立方米，根据(1)中的分档收费标准列出方程并解答． 本题主要考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是根据题意列出a 和b 的二元一次方程组，此题难度不大．
25.【答案】75°或15
【解析】解：(1)如图1，过点E 作EM ⊥AB 于M ．
∵EM ⊥AB ，CD ⊥AB ，AE 平分∠CAB ．
∴∠EMD =∠CDA =90°，∠CAE =∠MAE ．
∴∠EMD =∠ECA ，EM//CD ．
∴180°−∠CAE −∠ACE =180°−∠MAE −∠AME ．
∴∠FEM =∠CFE ，AEC =∠AEM ．
∴∠CEF =∠CFE ．
(2)∵∠B=60°，点G是AB上的动点且△BEG是直角三角形，∴∠BGE=90°或∠BEG=90°．
当∠BGE=90°时，如图2，过点E作E⊥AB于点G．
∵∠BGE=90°，
∴∠B+∠BEG=180°−∠BGE=90°．
又∵∠B=60°，
∴∠BEG=30°．
∴∠GEC=180°−∠BEG=150°．
由(1)知：∠CEA=∠GEA．
∴∠AEG=1
2∠CEG=1
2
×150°=75°．
当∠BEG=90°时，如图3，过点E作GE⊥BC于点E．
∵∠BEG=90°，
∴∠B+∠BGE=180°−∠BEG=90°．
又∵∠B=60°，∠ACB=90°，
∴∠BGE=30°，∠BAC=180°−∠B−∠BCA=180°−60°−90°=30°．∵AE平分∠BAC，
∴∠EAG=1
2∠BAC=1
2
×30°=15°．
∴∠AEG=∠BGE−∠EAG=30°−∠EAG=30°−15°=15°．
综上：∠AEG=75°或∠AEG=15°．
故答案为：75°或15°．
(1)如图1，过点E作EM⊥AB于M.由EM⊥AB，CD⊥AB，AE平分∠CAB，得∠EMD=∠CDA=90°，∠CAE=∠MAE，故E M//CD，∠CEF=∠MEF.那么，∠FEM=∠CFE.进
而推断出∠CEF=∠CFE．
(2)因为∠B=60°，点G是AB上的动点且△BEG是直角三角形，所以∠BGE=90°或∠BEG=90°，故需要分类讨论．
①当∠BGE=90°时，如图2，过点E作E⊥AB于点G，故∠BEM=30°.那么∠MEC= 150°.由(1)可得∠MEA=∠CEA，进而推断出∠AEG=75°．
②当∠BEG=90°时，如图3，过点E作GE⊥BC于点E，故∠AGE=30°.由∠BCA=90°，∠B=60°，得∠BAC=30°.因为AE平分∠CAB，得∠EAG=15°，所以∠AEG=15°．考点为角平分线的定义、三角形外角的性质、三角形内角和定理以及平行线的性质与判定，熟练掌握角平分线的定义、三角形外角的性质、三角形内角和定理以及平行线的性质与判定是解决本题的关键．
26.【答案】mn−n²m²−mn18
【解析】解：卡片A面积=mn，卡片B面积=m²，卡片C面积=n²，
(1)S1=A−C=mn−n²，
S2=B−A=m²−mn，
故答案为：mn−n²，m²−mn，
(2)∵S1=mn−n²，S2=m²−mn，
∴S1+S2=(mn−n²)+(m²−mn)，
S1+S2=m²−n²，
∵S1+S2=18，
∴m²−n²=18
∴S3=B−C=m²−n²=18，
故答案为：18，
(3)S△ABC=1
2BC⋅AC=1
2
m(m+n)，
S
梯形ACDE =1
2
(n+m+n)n=1
2
n(2n+m)，
S△BDE=1
2
n(m+n)，
图4中阴影部分的面积S4=S四边形ABDE−S△BDE
=(S△ABC+S
梯形ACDE
)−S△BDE
=1
2
m(m+n)+
1
2
n(2n+m)−
1
2
n(m+n)
=1
2
m²+
1
2
n²+
1
2
mn
=1
2
(m²+n²+mn)
=1
2
[(m−n)²+3mn]
∵m−n=6，mn=10，
∴S4=1
[(m−n)²+3mn]
=1
2
(6²+3×10)
=33，
答：图4中阴影部分的面积S4是33．
(1)如图1，阴影面积S1=卡面A面积−卡片C面积；
如图2，阴影面积S2=卡片B面积−卡片A面积；
(2)如图3，阴影面积S3=卡片B面积−卡片C面积=m²−n²，而由已知S1+S2=18，可解出18=S1+S2=m²−n²，即可依此解答；
(3)由于已知若m−n=6，mn=10，有代数式m−n，mn，所以在运算S4过程中出现：
1 2(m²+n²+mn)=1
2
[(m−n)²+3mn]，要转化成m−n，mn，才能用已知条件的数值
代入．
本题考查完全平方公式的运用，(1)(2)常规性问题，(3)是本题的难点，首先用分割法求出阴影面积，整块面积减去直角三角形面积；其次是m²+n²+mn=(m−n)²+3mn的理解并运算．
27.【答案】21 9 m +n 3或4 10<t <12
【解析】解：(1)①∵如果一个两位数a 的十位数字为m ，
个位数字为n ，且m ≠n 、m ≠0、n ≠0，那么这个两位数叫做“互异数”，
∴“互异数”为21，
故答案为：21；
②W(36)=(36+63)÷11=9，
W(10m +n)=(10m +n +10n +m)÷11=m +n ； 故答案为：9，m +n ；
(2)∵W(10m +n)=(10m +n +10n +m)÷11=m +n ，且W(b)=7， ∴x +y =7①，
∵W(c)=13，
∴x +2+2y −1=13②，
联立①②解得{x =2y =5
， 故b =10×2+5=25，
c =10×(2+2)+2×5−1=49；
(3)∵W(d)+W(e)<25，
∴x +x +3+(x −2+3)<25，
解得x <7，
∵x −2>0，x +3<9，
∴2<x <6，
∴2<x <6，且x 为正整数，
∴x =3，4，5，
当x =5时e 为33不是互异数，舍去
故答案为：3或4；
(4)当x =0时，x +4=4，此时f 为40不是互异数；
当x =1时，x +4=5，此时f 为51是互异数，W(f)=x +4+x =2x +4=6； 当x =2时，x +4=6，此时f 为62是互异数，W(f)=x +4+x =2x +4=8； 当x =3时，x +4=7，此时f 为73是互异数，W(f)=x +4+x =2x +4=10； 当x =4时，x +4=8，此时f 为84是互异数，W(f)=x +4+x =2x +4=12； ∵满足W(f)<t 的互异数有且仅有3个，
∴10<t <12，
故答案为：10<t <12．
(1)①由“互异数”的定义可得；
②根据定义计算可得；
(2)由W(b)=7，W(c)=13，列出二元一次方程组，即可求x和y；
(3)根据题意W(d)+W(e)<25可列出不等式，即可求x的值；
(4)根据“互异数”f的十位数字是x+4，个位数字是x，分类讨论f，根据满足W(f)<t 的互异数有且仅有3个，求出t的取值范围．
本题以新定义为背景考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列出方程和不等式．
28.【答案】∠BOC+∠A+∠1+∠2=360°25 20 2∠Q=180°+∠A−∠BOC
【解析】解：【问题再探】(1)如图2中，结论：∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．
理由：连接AO，延长AO到F．
∵∠BOF=∠BAF+∠1，∠FOC=∠FAC+∠2，
∴∠BOC=∠BOF+∠FOC=∠BAF+∠1+∠FAC+∠2=∠BAC+∠1+∠2．
(2)如图3中，结论：∠BOC+∠BAC+∠1+∠2=360°．
理由：连接AO．
∵∠1+∠BAO+∠BOA=180°，∠2+∠CAO+∠AOC=180°，
∴∠1+∠BAO+∠BOA+∠2+∠CAO+∠AOC=360°，
∴∠BOC+∠BAC+∠1+∠2=360°．
【拓展延伸】①如图4中，
∵∠A=50°，∠BOC=100°，
∴∠1+∠2=360°−50°−100°=210°，
∵∠1、∠2的外角平分线相交于点P，
∴∠PBO+∠PCO=1
2
(360°−210°)=75°，
∴∠P=∠BOC−∠PBO−∠PCO=100°−75°=25°，
故答案为：25．
②∵∠BOC=4∠A，∠P=30°，
∴∠1+∠2=360°−5∠A=360°−2(4∠A−30°)，
∴∠A=20°，
故答案为：20．
③∵∠1+∠2=360°−∠A−∠BOC=360°−2(∠BOC−∠P)，∴∠BOC=∠A+2∠P．
(2)如图5中，结论：2∠Q=180°+∠A−∠BOC．
理由：设∠ABQ=∠OBQ=x，∠ACQ=y．
则有{∠A+x=∠Q+y①∠Q+x+∠BOC+∠2+y=360°②
．
②−①可得，2∠Q=180°+∠A−∠BOC
故答案为：2∠Q=180°+∠A−∠BOC
【问题再探】(1)如图2中，结论：∠BOC=∠BAC+∠1+∠2.连接AO，延长AO到F.利
用三角形的外角的性质解决问题即可．
(2)利用四边形内角和定理解决问题即可．
【拓展延伸】(1)①求出∠1+∠2=210°，再利用结论，构建关系式即可解决问题．
②根据∠1+∠2=360°−5∠A=360°−2(4∠A−30°)，可得结论．
③根据∠1+∠2=360°−∠A−∠BOC=360°−2(∠BOC−∠P)，可得结论．
(2)结论：∠BOC+∠Q−∠A=180°.设∠ABQ=∠OBQ=x，∠ACQ=y.构建方程组求解即可．
本题属于几何变换综合题，考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把四边形转化为三角形解决，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．。