2011年高考湖南省数学试卷-理科(含详细答案)

2011年高考湖南省数学试卷-理科(含详细答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。

参考公式：（1）()
()()
P AB P B A P A =
，其中,A B 为两个事件，且()0P A >， （2）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高。

（3）球的体积公式34
3
V R π=，其中R 为求的半径。

一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1.若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则（ ） A ．1,1a b == B ．1,1a b =-= C ．1,1a b =-=- D ．1,1a b ==-
2.设{1,2}M =，2
{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
3.右图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．9122π+
B ．9
182
π+ C ．942π+ D ．3618π+
4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
A ．12
B ．1
C ．32
D 3
7. 设1m >，在约束条件
1y x
y mx x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
下，目标函数z x my
=+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）
A ．(1,12)
B ．(12,)++∞
C ．(1,3)
D ．(3,)+∞
8.设直线x t =与函数2
(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（ ）
A ．1
B ．12
C 5
D 2
二填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。

一、选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
9.在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,
1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）在极坐
标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为 。

10.设,x y R ∈,则2
22211()(4)x
y y x
+
+的最小值为 。

11.如图2，,A E 是半圆周上的两个三等分点，直径4BC =，
AD BC ⊥,垂足为D,
BE 与AD 相交与点F ，则AF 的长
为。

二、必做题（12~16题）
12、设n S 是等差数列*
{}()n
a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5
______S = 。

13、若执行如图3所示的框图，输入123
1,2,3,2x x x x ====，则输出的数等于 。

14、在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE ==，则________AD BE ⋅=。

。

15、如图4， EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则
（1）=______P A （）；（2）=______P
A （B|）
16、对于
*
n N ∈，将n 表示为
1
2
1
1
2
1
22222k
k k k k
n a a a a a ---=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯，当0i =时，1i
a =，当1i k ≤≤时，i a 为0或1.记()I n 为上述表示中i
a 为0
的个数，（例如0112=⨯，210
4120202=⨯+⨯+⨯：故(1)0,(4)2I I ==）
则
（1）(12)_____I = （2）127
()
1
2______I n n ==∑
（ 。

三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =. （I ）求角C 的大小； （II ）求3cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．
18.某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量（件）0 1 2 3
频数 1 5 9 5
商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充
．．
至3件，否则不进货
．．．，将频率视为概率。

(Ⅰ）求当天商品不进货
．．．的概率；
（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望。

19.（本题满分12分）如图5，在圆锥PO中，已知2,
=的直径2,,
PO O
=是的中点,为的中点．
AB C AB D AC
（I）证明：;
⊥
平面平面
POD PAC
（II）求二面角B PA C
--的余弦值．
20. 如图6，长方形物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，
速度为(0)v v >，雨速沿E 移动方向的分速度为()c c R ∈。

E 移动时单位时间．．．．内的淋雨量包括两部分：（1）P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与v c -×S 成正比，比例系数为
110；（2）其它面的淋雨量之和，其值为1
2
，
记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=
3
2
时。

（Ⅰ）写出y 的表达式
（Ⅱ）设0＜v ≤10,0＜c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少。

21.(本小题满分13分）
如图
7，椭圆
22122
:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为
3x
轴被曲线
22:C y x b
=- 截得的线段长等于1
C 的长半轴长。

（Ⅰ）求1
C ，2
C 的方程；
（Ⅱ）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2
C 相交于点A,B,直线MA,MB 分别与1
C 相交与D,E.
（i ）证明：MD ME ⊥；
(ii)记△MAB,△MDE 的面积分别是1
2
,S S .问：是否
存在直线l ,使得2
1S S =3217
?
请说明理由。

22.（本小题满分13分）
已知函数f (x ) =3x ，g (x )=x x 。

（Ⅰ）求函数h (x )=f (x )-g (x )的零点个数，并说明理由；
（Ⅱ）设数列*{}()n a n N ∈满足1(0)a a a =>，1()()n n f a g a +=，证明：存在常数M,使得对于任意的*n N ∈，都有n a ≤ M .
参考答案：
2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共
40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1. B ．1,1a b =-= C ．1,1a b =-=- D ．1,1a b ==- 答案：D
解析：因()1a i i ai b i +=-+=+，根据复数相等的条件可知1,1a b ==-。

2. 答案：A 解析：因“1a =”，即{1}N =，满足“N M ⊆”，反之“N M ⊆”，则2
{}={1}N a =，或2
{}={2}N a =，不一定
有“1a =”。

3. 答案：B
解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组
合体，其体积3
439
+332=18322
V ππ=⨯⨯+（）。

4.由2
2
()()()()()
n ad bc K
a b c d a c b d -=
++++算得
2
2
110(40302020)7.8
60506050
K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯
附表：
2
()P K k ≥ 0.050 0.010 0.001
k
3.841 6.635 10.828 参照附表，得到的正确结论是（ ）
A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为
3
3 2 正侧俯
图1
“爱好该项运动与性别无关”
C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 答案：C
解析：由2
7.8 6.635K ≈>，而2
( 6.635)0.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选C. 5.答案：C
解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3
y x a =±，
故可知2a =。

6. 答案：D
解析：由定积分知识可得
3
33
3
33
cos sin |(3S xdx x ππ
ππ
--
=
==
-=⎰D 。

7. 答案：A
解析：画出可行域，可知5z x y =+在点1(,)11m
m m ++取最大值，由
2
1211m m m
+<++解得121
m <<。

8. 答案：D
解析：由题2
||ln MN x x =-，(0)x >不妨令2
()ln h x x x =-，则
1
'()2h x x x
=-，令'()0h x =解得2x =，因2x ∈时，'()0h x <，当2)x ∈+∞时，'()0h x >，所以当2x =时，||MN 达到最
小。

即2
t =
二填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，
每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。

一、选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
9. 答案：2
解析：曲线221:(1)1
C x y +-=，2
:10
C
x y -+=，由圆心到直线的
距离012
d ==<，故1
C 与2
C 的交点个数为2.
10.答案：9
解析：由柯西不等式可知2222
211
()(4)(12)9x y y x
+
+≥+=。

11.
答案：23
解析：由题可知，60AOB EOC ∠=∠=︒，2OA OB ==,得1OD BD ==,33DF =， 又2
3
AD BD CD =⋅=，所以233AF AD DF =-=.
二、必做题（12~16题）
12、设n S 是等差数列*
{}()n
a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5
______S = 答案：25 解析：由141,7a a ==可得11,2,21n
a d a n ===-，
所以5
(19)5
252
S +⨯==。

13、若执行如图3所示的框图，输入1
2
3
1,2,3,2x x x x ====，则输出的数等
于 。

答案：23
解析：由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，
则2
2
2
(12)(22)(32)233
S -+-+-==。

14、在边长为1的正三角形ABC
中，设
2,3BC BD CA CE ==，则________AD BE ⋅=。

答案：14
- 解析：由题12AD CD CA CB CA =-=-，13BE CE CB CA CB =-=-， 所以111171()()232364
AD BE CB CA CA CB CB CA ⋅=-⋅-=--+⋅=-。

15、如图4， EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则
（1）=______P A （）；（2）=______P
A （B|） 答案：（1）2
π；（2）1=4P A （B|） 解析：（1）由几何概型概率计算公式可得
2==S P A S π
正圆
（）； （2）由条件概率的计算公式可得
21
1
4===
24
P AB P A P A ππ
⨯
（）（B|）（）。

16、对于
*
n N ∈，将n 表示为
1
2
1
1
2
1
22222k
k k k k
n a a a a a ---=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯，当0i =时，1i
a =，当1i k ≤≤时，i a 为0或1.记()I n 为上述表示中i
a 为0的个数，（例如0112=⨯，210
4120202=⨯+⨯+⨯：故(1)0,(4)2I I ==）则
（1）(12)_____I = （2）127
()
1
2______I n n ==∑
答案：（1）2；（2）1093 解析：（1）因3
2
1
1212+120202=⨯⨯+⨯+⨯，故(12)2I =； （2）在2进制的(2)k k ≥位数中，没有0的有1个，有1个0的有11
k C -个，有2个0的有21
k C -个，……有m 个0的有1
m k C -个，……有1k -个0的有11
1k k C --=个。

故对所有2进制为k 位数的数n ，在所求式中的()
2I n 的和为：
11
22
111
1
1
1
122223k k k k k k C C C ------⋅+⋅+⋅++⋅=。

又7
12721=-恰为2进制的最大7位数，所以127
7
()0
1
12
2231093I n k n k -===+=∑∑。

三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =. （I ）求角C 的大小；
（II ）求3cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小． 解析：（I ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =
因为0,A π<<所
以
sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4
A C C C C C π
>=≠==
从而又所以则
（II ）由（I ）知3.4B A π
=-于是
3cos()3cos()
4
3cos 2sin().
6
3110,,,,
46612623
A B A A A A A A A A A π
ππ
πππππππ
-+=--=+=+<<∴<+<+==从而当即时
2sin()
6
A π
+取最大值2．
综上所述，
3cos()
4
A B π
-+的最大值为2，此时
5,.3
12
A B π
π=
=
18. 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量（件） 0
1 2 3 频数
1
5
9
5
商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充．．至3件，否则不进货．．．，将频率视为概率。

(Ⅰ）求当天商品不进货．．．
的概率； （Ⅱ）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望。

解析：（I ）P （“当天商店不进货”）=P （“当天商品销售量为0件”）+P （“当天商品销售量1件”）=
153
202010
+=。

（II ）由题意知，X 的可能取值为2，3.
51(2)("")204
P x P ===
=当天商品销售量为1件；
(3)("")+("")+("1953
")++2020204
P x P P P ====
当天商品销售量为0件当天商品销售量为2件当天商品销售
量为3件故X 的分布列为
X
2 3 P 14 34
X 的数学期望为1311
2+3=444
EX =⨯⨯。

19.（本题满分12分）如图5，在圆锥PO 中，已知2,PO O =的直径2,,AB C AB D AC =是的中点,为的中点． （I ）证明：;POD PAC ⊥平面平面 （II ）求二面角B PA C --的余弦值． 解：（I ）连接OC ，因为OA OC =,D 为的AC 中点，所以AC OD ⊥. 又
,,.
PO O AC O AC PO ⊥⊂⊥底面
底面
所以因为,OD PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC POD ⊥平面。

而AC PAC ⊂平面，所以POD PAC ⊥平面平面。

（II ）在平面POD 中，过O 作OH PD ⊥于H ，由（I ）知，POD PAC ⊥平面平面,所以,OH PAC ⊥平面又,PA PAC ⊂平面所以PA OH ⊥.
在平面PAO 中，过O 作OG PA ⊥于G,连接HG ,则有PA OGH ⊥平面， 从而PA HG ⊥，所以OGH ∠是二面角B PA C --的平面角． 在2,sin 45Rt ODA OD OA ∆=⋅︒=中 在2
2
2
210
2,1
+2+2
Rt POD OH PO OD
⨯∆=
=
=中
在2
2
216
,2+1
+Rt POA OG PO OA
⨯∆==
=中
在
10
15
5,sin 6
3
OH Rt OHG OGH OG ∆∠====
中,所以10cos OGH ∠=。

故二面角B PA C --的余弦值为10。

20. 如图6，长方形物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，
速度为(0)v v >，雨速沿E 移动方向的分速度为()c c R ∈。

E 移动时单位时间．．．．内的淋雨量包括两部分：（1）P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与v c -×S 成正比，比例系数为
110；（2）其它面的淋雨量之和，其值为1
2
，记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=
3
2
时。

（Ⅰ）写出y 的表达式
（Ⅱ）设0＜v ≤10,0＜c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少。

解析：（I ）由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为31
||202
v c -+， 故100315
(||)(3||10)202y v c v c v v
=
-+=-+. （II ）由(I)知，当0v c <≤时，55(310)
(3310)15c y c v v v +=-+=-；
当10c v <≤时，55(103)
(3310)15c y v c v v
-=-+=
+.
故5(310)
15,05(103)15,10c v c v
y c c v v +⎧-<≤⎪⎪=⎨-⎪+<≤⎪⎩。

(1)当1003c <≤时，y 是关于v 的减函数.故当10v =时，min 3202
c
y =-。

(2) 当
10
53
c <≤时，在(0,]c 上，y 是关于v 的减函数；在(,10]c 上，y 是关于v 的增函数；故当v c =时，min 50y c
=。

22.(本小题满分13分）
如图7，椭圆
22
122:1(0)
x y C a b a b
+=>>3
，x 轴
被曲线
22:C y x b
=- 截得的线段长等于1
C 的长半轴长。

（Ⅰ）求1
C ，2
C 的方程；
（Ⅱ）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2
C 相交于点A,B,直线MA,MB 分别与1
C 相交与D,E.
（i ）证明：MD ME ⊥；
(ii)记△MAB,△MDE 的面积分别是1
2,S S .问：是否存在
直线l ,使得2
1S S =3217
? 请说明理由。

解析：（I ）由题意知3
2
c e a ==，从而
2a b
=，又b a
=，解得2,1a b ==。

故1
C ，2
C 的方程分别为
2
221,14
x y y x +==-。

（II ）（i ）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y kx =. 由
2
1
y kx
y x =⎧⎨=-⎩得2
10
x
kx --=，
设1
1
2
2
(,),(,)A x y B x y ，则1
2
,x x 是上述方程的两个实根，于
是1
2
12,1
x x
k x x +==-。

又点M 的坐标为(0,1)-，所以
2221212121212121211(1)(1)()111
1
MA MB
y y kx kx k x x k x x k k k k x x x x x x +++++++-++⋅=⋅====--
故MA MB ⊥，即MD ME ⊥。

（ii ）设直线的斜率为1k ，则直线的方程为11y k x =-，由12
11y k x y x =-⎧⎨=-⎩
解得0
1x y =⎧⎨=-⎩或
1
2
11
x k y k =⎧⎨=-⎩，则点的坐标为2
11(,1)k k - 又直线MB 的斜率为1
1k -
，同理可得点B 的坐标为21111(,1)
k k --.
于是22
1111211111111||||1||1||.222||
k S MA MB k k k k k +=⋅=
+⋅⋅+⋅-= 由122
1440
y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得22
11(14)80k x k x +-=，
解得01
x y =⎧⎨
=-⎩或
1212
1218144114k x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩
，
则点D 的坐标为21122
11
841
(,)1414k k k k -++；
又直线的斜率为11k -，同理可得点E 的坐标2
1122
11
84(,)44k k k k --++ 于是2112221132(1)||1
||||2(14)(4)k k S MD ME k k +⋅=⋅=++
因此
211221
11
(417)64S k S k =++ 由题意知，
21211117(417)6432k k ++=解得214k = 或211
4
k =。

又由点,A B 的坐标可知，212111
11
1
11k k k k k k k -
=
=-+
，所以3.2
k =±
故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为32y x =和3
2
y x =-。

22.（本小题满分13分）
已知函数f (x ) =3x ，g (x )=x x 。

（Ⅰ）求函数h (x )=f (x )-g (x )的零点个数，并说明理由；
（Ⅱ）设数列*{}()n a n N ∈满足1(0)a a a =>，1()()n n f a g a +=，证明：存在常数M,使得对于任意的*n N ∈，都有n a ≤ M .
解析：（I ）由3()h x x x x =-知，[0,)
x ∈+∞，而
(0)0h =，且
(1)10,(2)620
h h =-<=->，则0x =为()h x 的一个零点，且()h x 在12（，）内有零点，因此()h x 至少有两个零点
解法1：1
2
2
1'()312
h x x x -=--，
记12
21()312x x x ϕ-=--，则3
2
1
'()64
x x x ϕ-=+。

当(0,)x ∈+∞时，
'()0x ϕ>，因此()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，则()x ϕ在(0,)+∞内
至多只有一个零点。

又因为3(1)0,0ϕϕ><，则()x ϕ在3
内有零点，所以()x ϕ在(0,)+∞内有且只有一个零点。

记此零点为1x ，则当1(0,)x x ∈时，
1()'()0x x ϕϕ<=；当1(,)x x ∈+∞时，1()'()0x x ϕϕ>=； 所以，
当1(0,)x x ∈时，()h x 单调递减，而(0)0h =，则()h x 在1(0,]x 内无零点； 当1(,)x x ∈+∞时，()h x 单调递增，则()h x 在1(,)x +∞内至多只有一个零点；
从而()h x 在(0,)+∞内至多只有一个零点。

综上所述，()h x 有且只有两个零点。

解法2：12
2
()(1)h x x x x -=--，记12
2
()1x x x ϕ-=--，则32
1
'()22
x x x ϕ-
=+。

当(0,)x ∈+∞时，'()0x ϕ>，因此()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，
则()x ϕ在(0,)+∞内
至多只有一个零点。

因此()h x 在(0,)+∞内也至多只有一个零点，
综上所述，()h x 有且只有两个零点。

（II ）记()h x 的正零点为0
x ，即3
000
x x x =。

（1）当0a x <时，由1a a =，即10
a x <.而33
211000a a a x x x =<=，因此20a x <，由此猜测：0
n a x <。

下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，10
a x <显然成立；
②假设当(1)n k k =≥时，有0
k a x <成立，则当1n k =+时，由 33
1
000k k k a a a x x x +=<=知，10
k a x +<，因此，当1n k =+时，10
k a x +<成立。

故对任意的*
n N ∈，0
n a x <成立。

（2）当0a x ≥时，由（1）知，()h x 在0
(,)x +∞上单调递增。

则0()()0h a h x ≥=，即3a a a ≥+33
211
a a a a a a ==≤，即2a a ≤，由此猜测：n
a a ≤。

下面用数学归纳法证明：
①当1n =时，1
a a ≤显然成立；
②假设当(1)n k k =≥时，有k
a a ≤成立，则当1n k =+时，由
33
1
k k k a a a a a a +=≤知，
1k a a +≤，因此，当1n k =+时，1
k a a +≤成立。

故对任意的*
n N ∈，n
a a ≤成立。

综上所述，存在常数0
max{,}M x a =，使得对于任意的*
n N ∈，都有n
a M ≤.。