概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布
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ce ( x y ) , x 0 , y 0 f ( x , y) 0 , 其他 ,
求：（1）常数c；（2）P（X Y） ;
（3）边缘密度函数; (4)条件密度函数;
（5）判断X ,Y的独立性。
一、二维连续型随机变量概念
解 （1）由性质
x y
上的随机变量，则二维向量(X,Y)称为二维随机变量
(2-dimensional random varibable)，相应地，称(X,Y) 的取值规律为二维分布。
一、二维随机变量的概念
定义2 设(X,Y)为二维随机变量，称 F（x , y) P( X x , Y y) 为的联合分布函数(Joint distribution function) 。 其中x,y 是任意实数。称 = 为X的边缘分布函
定义5
二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值为
( xi , y j ),
(i, j 1, 2,...)
称 P( X xi , Y y j ) pij 为(X,Y)的联合分布律(Joint probability distribution)，其中
0 pij 1
ห้องสมุดไป่ตู้
p
j 1 i 1
f ( x , y)dxdy 1
0
得到
dx e
0 x
c 1
1 dy 2
(2) P( X Y )
f ( x , y)dxdy
0
( x y )
(3)
f X ( x)
f ( x, y)dy e x y dy e x
fY ( y)
f X ( x) fY ( z x)dx f X ( z y) fY ( y)dy
f z ( z)
二、二维连续型随机变量函数的分布
例4 设随机变量X和Y相互独立，且他们都服从N(0，1)，
则Z=X+Y～N(0,2) 证
f z ( z)
=
f X ( x) fY ( z x)dx
n维随机向量或 ( X 1 ,, X n ) 联合分布函数为
F （x1 ,
, xn ) P( X1 x1 ,
, X n xn )
第二节 二维离散型随机变量
1
二维离散型随机变量概念
2
二维离散型随机变量函数的分布
一、二维离散型随机变量概念
定义4 若二维随机变量(X,Y)的可能取值是有限多对或 可数无穷多对，则称(X,Y)为二维离散型随机变量，称它 的分布为二维离散型分布。
数(Margial distribution function)，FY ( y) P(Y y) 为
Y的边缘分布函数。
FX ( x) P( X x , Y ) lim F ( x , y ) F ( x, )
y
F ( x , y ) F ( , y ) FY ( y) P( X , Y y ) xlim
y y
5.
P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) F ( x2 , y2 ) F ( x2, y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 )
二、随机变量的独立性
定义3 设(X,Y)为二维随机变量。若对于任意实数x,y, 有 F ( x , y) FX ( x) FY ( y) ，即 ， 称X,Y相互独立（Mutually independent）。
二、二维连续型随机变量函数的分布
定理3（卷积公式） 若(X,Y)的联合密度为f(x,y)，则 Z=X+Y的密度函数为
或
f z ( z)
f ( x, z x)dx
f ( z y, y)dy
f z ( z)
特别地，当X与Y相互独立时，有
或
f z ( z)
三、常见的二维连续型随机变量 的联合分布
2.二维正态分布 如果(X,Y)的联合密度函数为
f ( x, y ) 1 2 1 2
2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 ) 2 1 ( x 1 ) exp 2 2 2 2 2 ( 1 ) 1 2 1 2 1 2
一、二维连续型随机变量概念
联合密度函数f(x,y)具有下列性质： 1. f ( x , y) 0
2.
f ( x , y)dxdy 1
3.
F ( x , y) 为连续函数，且在f(x,y)的连续点处，
2 F ( x , y) f ( x , y) xy
一、二维连续型随机变量概念
第三节二维连续型随机变量二维连续型随机变量概念二维连续型随机变量函数的分布常见的二维连续型随机变量的联合分布一二维连续型随机变量概念定义7fxy为二维随机变量xy的联合分布函数如果存在着一个二元非负实值函数fxy使得对任何则xy二维连续型随机变量fxy为二维随机变量的联合概率密度jointprobabilitydensityfunction简称联合密度函数
定义8 称
f X ( x) f ( x , y)dy ( x )
为X的边缘密度函数。
称
f Y ( y) f ( x , y)dx ( y )
为Y的边缘密度函数。
一、二维连续型随机变量概念
定义9 度,称 称
f X Y ( x y) f ( x, y ) fY ( y )
求：（1）Z=2X+Y
(2)Z=XY的分布律。
二、二维离散型随机变量函数的分布
解：由 的联合分布律可列出下表
二、二维离散型随机变量函数的分布
由上面的列表可得 （1）Z=2X+Y的分布律为：
（2）Z=XY的分布律为：
第三节 二维连续型随机变量
二维连续型随机变量概念
二维连续型随机变量函数的分布 常见的二维连续型随机变量的联合分布
1
2
3
一、二维连续型随机变量概念
定义7 F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数， 如果存在着一个二元非负实值函数f(x,y)，使得对任何 x,y有
F ( x , y)
x
y
f ( x , y)dydx
则(X,Y)二维连续型随机变量， f(x,y)为二维随机变量 的联合概率密度(Joint probability density function),简称联合密度函数。
f ( x, y)dx e x y dx e y
0
一、二维连续型随机变量概念
(4)
f ( x, y ) f X Y ( x y) fY ( y )
f ( x, y ) fY X ( y x ) f X ( x)
=
e x
e y
=
(5)
f ( x, y) e x y f X ( x) fY ( y)
因此X ,Y相互独立。
二、二维连续型随机变量函数的分布
1.Z=X+Y的分布 设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)，则由分布函数的定义知， Z=X+Y的分布函数为：
FZ (z) =
x y z
f ( x, y )d xdy
这里的积分区域 G : x y z 是直线x+y=z及其下面的半平面。
1 e
z2 2( 2 ) 2
2 2
二、二维连续型随机变量函数的分布
定理4 若随机变量X和Y相互独立，且 则
推论
若 ~ ， ，
且它们相互独
立，则它们的线性组合
仍服从正态分布，即 ~ ，
二、二维连续型随机变量函数的分布
2. Z1 max(X , Y ) 及 Z 2 min(X , Y ) 的分布 设X和Y是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分 别为 和 。 现在来求 Z1 max(X , Y ) 及 Z 2 min(X , Y ) = PZ1 z = F ( z) X
二维离散型随机变量联合分布律、边缘分布律表1
一、二维离散型随机变量概念
例1 设随机变量X在1，2，3，4中等可能地取值，另一 个随机变量Y在1 中等可能地取一整数值，求(X,Y)的联 合分布律，边缘分布律，条件分布律，并判断X与Y是否
相互独立。
解 由乘法公式求得(X,Y)的联合分布律为，’
P( X i, Y j) P( X i)P(Y j X i)
的分布函数。
FZ1 ( z)
FY ( z)
三、常见的二维连续型随机变量 的联合分布
1.二维均匀分布 如果(X,Y)的联合密度函数为
1 ， （x , y ) G; f ( x , y ) G的面积 0 ， 其他，
其中G是平面上某个区域，则称二维随机变量(X,Y)服从 区域G上的均匀分布,记为 ( X , Y ) ~ U (G)
三、常见的二维连续型随机变量 的联合分布
容易得到X的边缘密度函数为
f X ( x) 1 2 1 e
( x 1 ) 2
2 2 1
( x )
而Y的边缘密度函数为
f Y ( y) 1 2 2 e
( x2 )2
2 2 2
( y )
Thank you
pi j p j
i 1 , 2 ,
为在 Y y j 条件下随机变量X的条件分布律
(Conditional distribution)。
称
P( Y y j X xi ) pi j pi
j 1 , 2 ,
为在 X xi 条件下随机变量 的条件分布律。
一、二维离散型随机变量概念
概率论与数理统计
第四章 二维随机 变量及其分布
第四章 二维随机变量及其分布
1 二维随机变量及随机变量的独立性 2 绘图环境的设置
3 图形的绘制和编辑
第一节 二维随机变量及随机变量 的独立性
1
二维随机变量的概念 随机变量的独立性
2
一、二维随机变量的概念
定义1 设E随机试验E的样本空间为 ，而X,Y是定义在
ij
1
一、二维离散型随机变量概念
定义6 称
P( X xi )
为X的边缘分布律。
称
p
j 1
ij
pi
i 1 , 2 ,
P(Y y j ) pi j p j
i 1
j 1 , 2 ,
为Y的边缘分布律。
一、二维离散型随机变量概念
称
P( X xi Y y j )
为在Y=y条件下X的条件概率密
fY X ( y x )
f ( x, y ) f X ( x)
为在X=x条件下Y的条件概率密度.
定理2
设(X,Y)为二维连续型随机变量，则X与Y相互独
立等价于 f ( x, y) f X ( x) fY ( y)
一、二维连续型随机变量概念
例3 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为
11 = 4i
(1 j i 4)
一、二维离散型随机变量概念
表2
一、二维离散型随机变量概念
容易求得边缘分布律并可验证X与Y不是相互独立的。 由 P(Y j X 1) = p1 j 得
p1
，（j=1,2,3,4），
在X=1的条件下，Y的分布律为
二、二维离散型随机变量函数的分布
例2 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为：
一、二维随机变量的概念
联合分布函数F(x,y)有如下的性质：
1. 0 F ( x , y) 1
2. F ( x , y) 关于x、关于y单调不减；
3. F ( x , y) 关于x、关于y右连续
F ( x , y ) 0 lim F ( x , y ) 0 F ( x , y ) 0 , lim F ( x , y ) 1 ylim 4. xlim x x
求：（1）常数c；（2）P（X Y） ;
（3）边缘密度函数; (4)条件密度函数;
（5）判断X ,Y的独立性。
一、二维连续型随机变量概念
解 （1）由性质
x y
上的随机变量，则二维向量(X,Y)称为二维随机变量
(2-dimensional random varibable)，相应地，称(X,Y) 的取值规律为二维分布。
一、二维随机变量的概念
定义2 设(X,Y)为二维随机变量，称 F（x , y) P( X x , Y y) 为的联合分布函数(Joint distribution function) 。 其中x,y 是任意实数。称 = 为X的边缘分布函
定义5
二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值为
( xi , y j ),
(i, j 1, 2,...)
称 P( X xi , Y y j ) pij 为(X,Y)的联合分布律(Joint probability distribution)，其中
0 pij 1
ห้องสมุดไป่ตู้
p
j 1 i 1
f ( x , y)dxdy 1
0
得到
dx e
0 x
c 1
1 dy 2
(2) P( X Y )
f ( x , y)dxdy
0
( x y )
(3)
f X ( x)
f ( x, y)dy e x y dy e x
fY ( y)
f X ( x) fY ( z x)dx f X ( z y) fY ( y)dy
f z ( z)
二、二维连续型随机变量函数的分布
例4 设随机变量X和Y相互独立，且他们都服从N(0，1)，
则Z=X+Y～N(0,2) 证
f z ( z)
=
f X ( x) fY ( z x)dx
n维随机向量或 ( X 1 ,, X n ) 联合分布函数为
F （x1 ,
, xn ) P( X1 x1 ,
, X n xn )
第二节 二维离散型随机变量
1
二维离散型随机变量概念
2
二维离散型随机变量函数的分布
一、二维离散型随机变量概念
定义4 若二维随机变量(X,Y)的可能取值是有限多对或 可数无穷多对，则称(X,Y)为二维离散型随机变量，称它 的分布为二维离散型分布。
数(Margial distribution function)，FY ( y) P(Y y) 为
Y的边缘分布函数。
FX ( x) P( X x , Y ) lim F ( x , y ) F ( x, )
y
F ( x , y ) F ( , y ) FY ( y) P( X , Y y ) xlim
y y
5.
P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) F ( x2 , y2 ) F ( x2, y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 )
二、随机变量的独立性
定义3 设(X,Y)为二维随机变量。若对于任意实数x,y, 有 F ( x , y) FX ( x) FY ( y) ，即 ， 称X,Y相互独立（Mutually independent）。
二、二维连续型随机变量函数的分布
定理3（卷积公式） 若(X,Y)的联合密度为f(x,y)，则 Z=X+Y的密度函数为
或
f z ( z)
f ( x, z x)dx
f ( z y, y)dy
f z ( z)
特别地，当X与Y相互独立时，有
或
f z ( z)
三、常见的二维连续型随机变量 的联合分布
2.二维正态分布 如果(X,Y)的联合密度函数为
f ( x, y ) 1 2 1 2
2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 ) 2 1 ( x 1 ) exp 2 2 2 2 2 ( 1 ) 1 2 1 2 1 2
一、二维连续型随机变量概念
联合密度函数f(x,y)具有下列性质： 1. f ( x , y) 0
2.
f ( x , y)dxdy 1
3.
F ( x , y) 为连续函数，且在f(x,y)的连续点处，
2 F ( x , y) f ( x , y) xy
一、二维连续型随机变量概念
第三节二维连续型随机变量二维连续型随机变量概念二维连续型随机变量函数的分布常见的二维连续型随机变量的联合分布一二维连续型随机变量概念定义7fxy为二维随机变量xy的联合分布函数如果存在着一个二元非负实值函数fxy使得对任何则xy二维连续型随机变量fxy为二维随机变量的联合概率密度jointprobabilitydensityfunction简称联合密度函数
定义8 称
f X ( x) f ( x , y)dy ( x )
为X的边缘密度函数。
称
f Y ( y) f ( x , y)dx ( y )
为Y的边缘密度函数。
一、二维连续型随机变量概念
定义9 度,称 称
f X Y ( x y) f ( x, y ) fY ( y )
求：（1）Z=2X+Y
(2)Z=XY的分布律。
二、二维离散型随机变量函数的分布
解：由 的联合分布律可列出下表
二、二维离散型随机变量函数的分布
由上面的列表可得 （1）Z=2X+Y的分布律为：
（2）Z=XY的分布律为：
第三节 二维连续型随机变量
二维连续型随机变量概念
二维连续型随机变量函数的分布 常见的二维连续型随机变量的联合分布
1
2
3
一、二维连续型随机变量概念
定义7 F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数， 如果存在着一个二元非负实值函数f(x,y)，使得对任何 x,y有
F ( x , y)
x
y
f ( x , y)dydx
则(X,Y)二维连续型随机变量， f(x,y)为二维随机变量 的联合概率密度(Joint probability density function),简称联合密度函数。
f ( x, y)dx e x y dx e y
0
一、二维连续型随机变量概念
(4)
f ( x, y ) f X Y ( x y) fY ( y )
f ( x, y ) fY X ( y x ) f X ( x)
=
e x
e y
=
(5)
f ( x, y) e x y f X ( x) fY ( y)
因此X ,Y相互独立。
二、二维连续型随机变量函数的分布
1.Z=X+Y的分布 设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)，则由分布函数的定义知， Z=X+Y的分布函数为：
FZ (z) =
x y z
f ( x, y )d xdy
这里的积分区域 G : x y z 是直线x+y=z及其下面的半平面。
1 e
z2 2( 2 ) 2
2 2
二、二维连续型随机变量函数的分布
定理4 若随机变量X和Y相互独立，且 则
推论
若 ~ ， ，
且它们相互独
立，则它们的线性组合
仍服从正态分布，即 ~ ，
二、二维连续型随机变量函数的分布
2. Z1 max(X , Y ) 及 Z 2 min(X , Y ) 的分布 设X和Y是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分 别为 和 。 现在来求 Z1 max(X , Y ) 及 Z 2 min(X , Y ) = PZ1 z = F ( z) X
二维离散型随机变量联合分布律、边缘分布律表1
一、二维离散型随机变量概念
例1 设随机变量X在1，2，3，4中等可能地取值，另一 个随机变量Y在1 中等可能地取一整数值，求(X,Y)的联 合分布律，边缘分布律，条件分布律，并判断X与Y是否
相互独立。
解 由乘法公式求得(X,Y)的联合分布律为，’
P( X i, Y j) P( X i)P(Y j X i)
的分布函数。
FZ1 ( z)
FY ( z)
三、常见的二维连续型随机变量 的联合分布
1.二维均匀分布 如果(X,Y)的联合密度函数为
1 ， （x , y ) G; f ( x , y ) G的面积 0 ， 其他，
其中G是平面上某个区域，则称二维随机变量(X,Y)服从 区域G上的均匀分布,记为 ( X , Y ) ~ U (G)
三、常见的二维连续型随机变量 的联合分布
容易得到X的边缘密度函数为
f X ( x) 1 2 1 e
( x 1 ) 2
2 2 1
( x )
而Y的边缘密度函数为
f Y ( y) 1 2 2 e
( x2 )2
2 2 2
( y )
Thank you
pi j p j
i 1 , 2 ,
为在 Y y j 条件下随机变量X的条件分布律
(Conditional distribution)。
称
P( Y y j X xi ) pi j pi
j 1 , 2 ,
为在 X xi 条件下随机变量 的条件分布律。
一、二维离散型随机变量概念
概率论与数理统计
第四章 二维随机 变量及其分布
第四章 二维随机变量及其分布
1 二维随机变量及随机变量的独立性 2 绘图环境的设置
3 图形的绘制和编辑
第一节 二维随机变量及随机变量 的独立性
1
二维随机变量的概念 随机变量的独立性
2
一、二维随机变量的概念
定义1 设E随机试验E的样本空间为 ，而X,Y是定义在
ij
1
一、二维离散型随机变量概念
定义6 称
P( X xi )
为X的边缘分布律。
称
p
j 1
ij
pi
i 1 , 2 ,
P(Y y j ) pi j p j
i 1
j 1 , 2 ,
为Y的边缘分布律。
一、二维离散型随机变量概念
称
P( X xi Y y j )
为在Y=y条件下X的条件概率密
fY X ( y x )
f ( x, y ) f X ( x)
为在X=x条件下Y的条件概率密度.
定理2
设(X,Y)为二维连续型随机变量，则X与Y相互独
立等价于 f ( x, y) f X ( x) fY ( y)
一、二维连续型随机变量概念
例3 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为
11 = 4i
(1 j i 4)
一、二维离散型随机变量概念
表2
一、二维离散型随机变量概念
容易求得边缘分布律并可验证X与Y不是相互独立的。 由 P(Y j X 1) = p1 j 得
p1
，（j=1,2,3,4），
在X=1的条件下，Y的分布律为
二、二维离散型随机变量函数的分布
例2 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为：
一、二维随机变量的概念
联合分布函数F(x,y)有如下的性质：
1. 0 F ( x , y) 1
2. F ( x , y) 关于x、关于y单调不减；
3. F ( x , y) 关于x、关于y右连续
F ( x , y ) 0 lim F ( x , y ) 0 F ( x , y ) 0 , lim F ( x , y ) 1 ylim 4. xlim x x