定积分的概念 课件

a
f(x)dx等于由直线x＝a，x＝b，y＝0与
曲线y＝f(x)围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义．
b
(2)计算
a
f(x)dx时，先明确积分区间[a，b]，从而确定曲
边梯形的三条直边x＝a，x＝b，y＝0，再明确被积函数f(x)，
从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积
S而得到定积分的值：
c
f(x)dx
(其中a<c<b)．
[点睛] 性质(1)的等式左边是一个定积分，等式右边是常数与 一个定积分的乘积． 性质(2)对于有限个函数(两个以上)也成立． 性质(3)对于把区间[a，b]分成有限个(两个以上)区间也 成立．
利用定义求定积分
3
[典例] 利用定义求定积分0x2dx. [解] 令f(x)＝x2，
n
(3)求和：
i＝1Leabharlann f(ξi)·b－n a；
b
(4)取极限：a
n
f(x)＝lim n i＝1
b－a f(ξi)· n .
用定积分的性质求定积分
[典例]
(1)f(x)＝x2＋ x2，1，1≤0≤x≤x<21.，
2
则
f(x)dx＝(
0
)
2
A. (x＋1)dx 0
2
B. 2x2dx 0
1
2
C. (x＋1)dx＋ 2x2dx
(1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，利用定 积分的线性性质进行计算，可以简化计算．
(2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数， 一般利用积分区间的连续可加性计算．
用定积分的几何意义求定积分
[典例] 根据定积分的几何意义，求下列定积分的值．
R
1
(1)
R2－x2dx；(2) |x|dx.
0
1
1
2
D. 2xdx＋ (x＋1)dx
0
1
(2)已知0exdx＝e22，0ex2dx＝e33，求下列定积分的值：
e
①
(2x＋x2)dx；
0
e
②
(2x2－x＋1)dx.
0
[解析] (1)由定积分的几何性质得：
2
1
2
f(x)dx＝ (x＋1)dx＋ 2x2dx.
0
0
1
答案：C
(2)解：①0e(2x＋x2)dx＝20exdx＋0ex2dx＝2×e22＋e33＝e2＋e33.
n
n b－a
作和式f(ξ i)Δx＝
i＝1
i＝1
n f(ξ i) ，
当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个 常数 叫做
b
b
函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作
a
f(x)dx，即a
f(x)dx
n b－a
＝ lim n i＝1
n f(ξ i) ，
这里，a与b分别叫做积分下限与 积分上限 ，区间[a，b]叫 做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做 积分变量 ，f(x)dx
叫做被积式．
(2)定积分的几何意义：如果在区间[a，b] 上函数连续且恒有 f(x)≥0 ，那么定积分
b
a
f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a<b)，
y＝0
和
曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(如图中的阴影部分的面积)．
[点睛] 利用定积分的几何意义求定积分的关注点．
b
(1)当f(x)≥0时，
b
b
当f(x)≥0时，a f(x)dx＝S；当f(x)<0时，a f(x)dx＝－S.
2．定积分的性质
b
(1)akf(x)dx＝
b
k a
f(x)dx
(k为常数)．
b
b
b
(2)a[f1(x)±f2(x)]dx＝a f1(x)dx±a f2(x)dx .
b
c
(3)af(x)dx＝af(x)dx＋
b
－R
－1
[解] (1)被积函数的图象是一个以原点为圆心，以R为半径的
R
半圆，如图①所示，所以 －R
R2－x2dx＝12·πR2＝π2R2.
(2)被积函数的图象如图②所示，由定积分的几何意义知其值 为两部分阴影面积之和，所以－1 1|x|dx＝2×12×1×1＝1.
当定积分表示的面积容易求时，则利用定积分的几 何意义求积分．
e
e
e
e
②0(2x2－x＋1)dx＝02x2dx－0xdx＋01dx，
因为已知0exdx＝e22，0ex2dx＝e33，
又由定积分的几何意义知：
e
1dx等于直线x＝0，x＝e，y＝0，y＝1所围成的图形的面
0
e
积，所以 1dx＝1×e＝e， 0 故0e(2x2－x＋1)dx＝2×e33－e22＋e＝23e3－12e2＋e.
i＝1
i＝1
3ni2·n3 ＝2n73 i＝n1i2＝2n73 ·16n(n＋1)(2n＋1)＝
921＋n12＋n1.
3
n
(3)取极限：根据定积分的定义，有 x2dx＝ 0
lim
n
f(ξi)Δx
i＝1
＝
lim
n
921＋n12＋n1＝9.
用定义求定积分的一般步骤
(1)分割：n 等分区间[a，b]；
(2)近似代替：取点 ξi∈[xi－1，xi]，可取 ξi＝xi－1 或 ξi＝xi；
(1)分割：在区间[0,3]上等间隔地插入n－1个点，把区间
[0,3]分成n等份，其分点为xi＝
3i n
(i＝1,2，…，n－1)，这样每个
小区间[xi－1，xi]的长度Δx＝n3(i＝1,2，…，n)．
(2)近似代替、求和：令ξi＝xi＝
3i n
(i＝1,2，…，n)，于是
n
n
有和式： f(ξi)Δx＝
定积分的概念
(1)定积分的概念是什么？几何意义又是什么？ (2)定积分的计算有哪些性质？
1．定积分的概念与几何意义
(1)定积分的概念：一般地，设函数f(x)在区间[a，b]上连
续，用分点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b将区间[a，b]等分成n
个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，