动点问题专题训练

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动点问题专题训练
1、如图，在直角梯形ABCD 中AB ∥CD, AD ⊥CD, AB=8, CD=12, AD=3,动点P 从点C 出
发，以每秒2个单位的速度匀速向点D 运动，
动点Q 从点A 出发，以每秒1个单位的速度匀速向点B 运动.设P 、Q 同时出发，运动时间为
t ，请回答下列问题：
（1） t 为何值时，四边形PQBC 为平行四边形
（2） t 为何值时，四边形PQBC 为等腰梯形
（3） t 为何值时，四边形PQBC 为菱形若不能，怎样改变Q 点的速度使四边形PQBC 为菱形.
（4） t 为何值时，PQ 将梯形ABCD 的面积平分
（5） t 为何值时，PQ 将梯形ABCD 的周长平分
（6） PQ 能否将梯形ABCD 的面积、周长同时平分改变Q 点的速度后能否平分
（7） 连接DQ, t 为何值时△DPQ 是直角三角形
（8） t 为何值时△DPQ 是等腰三角形
（9） △DPQ 能否成为等边三角形
（10） 连接AC 交PQ 于M,点M 的位置是否随着PQ 的运动而改变位置
（11） 求出△AQM 的面积S 与t 的函数关系式.
（12） t 为何值时PQ ⊥AC
（13） t 为何值时DQ ⊥AC
2、如图，在等边△ABC 中，已知AB ＝BC ＝CA
＝4cm ，AD ⊥BC 于D ，点P 、Q 分别从B 、C 两点同时出发，其中点P 沿BC 向终点C 运动，速
度为1cm/s ；点P 沿CA 、AB 向终点B 运动，速
度为2cm/s ，设它们运动的时间为x(s)。

⑴ x 为何值时，PQ ⊥AC ；
⑵ 设△PQD 的面积为y ，当0＜x ＜2时，求y 与x 的函数关系式；最值
3） 当0＜x ＜2时，求证：AD 平分△PQD 的面积；
4） x 为何值时，ABDQ 是等腰梯形。

5） x 为何值时，PBQ 是正三角形
6） x 为何值时，PDQ 的面积是ABC 的一半。

（或直角三角形）
7） x 为何值时，AC ∥PQ
8） 探索以PQ 为直径的圆与AC 的位置关系。

请写出相应位置关系的x 的取值范围。

A C Q
A B
9）能否通过改变Q 的运动速度，实现上述的不可能情况
请尝试
3、已知：如图2，等边三角形ABC 的边长为6，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AD =AE =2．若点F 从点B 开始以每秒1个单位长的速度沿射线BC 方向运动，设点F 运动的时间为t 秒．当t ＞0时，直线FD 与过点A 且平行于BC 的直线相交于点G ，GE 的延长线与BC 的延长线相交于点H ，AB 与GH 相交于点O ．
（1）设△EGA 的面积为S ，写出S 与t 的函数关系式；
（2）当t 为何值时，AB ⊥GH ；
（3）请你证明△GFH 的面积为定值；
（4）当t 为何值时，点F 和点C 是线段BH 的三等分点．
4、如图3，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C =90°，BC =16，DC =12，AD =21．动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动．设运动时间为t （秒）．
（1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；
（2）当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形
（3）当线段PQ 与线段AB 相交于点O ，且2AO =OB 时，求∠BQP 的正切值；
（4）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD 若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
图2 B C D P Q 图3
5、已知Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3厘米，OB =4厘米，以O 为坐标原点建立如图所示的直角坐标系。

设P 、Q 分别为AB 、OB 边上的动点，它们同时分
别从点A 、O 向B 点匀速运动，运动速度都是1厘米/
秒。

设P 、Q 运动时间为t 秒（0≤t ≤4）
（1）用t 表示P 点的坐标为 ； （2）求△OPQ 的面积S （cm 2）与运动时间t （秒）之
间的函数关系式；并求出当t 为何值时，S 有最大值S 的最大值是多少
（3）当t 为何值时，△OPQ 为直角三角形
6、如图5，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AD =3，
BC =6，tan ∠C =34
，与BC 平行的一条动直线交线段AB 于E ，交线段DC 于F ，设AE =x . （1）当x 为何值时，直线EF 将梯形ABCD 的周长分成相
等的两部分
（2）过点F 作FG ⊥BC 于G ，设四边形EBGF 的面积为
y ，试求y 与x 之间的函数关系式；并说明当x 为何值
时，四边形EBGF 的面积最大最大面积是多少
（3）当x 为何值时，四边形EBGF 成正方形；
（4）连结BF ，当x 为何值时，BF ⊥CD .
7、已知BD 是矩形ABCD 的对角线，AB ＝20厘米，BC ＝40厘米．点P 、Q 同时从点A 出发，分别以2厘米／秒、4厘米／秒的速度由A →B →C →D →A 的方向在矩形边上运动，只要Q 点回到点A ，运动全部停止．设运动时间为t 秒．
（1）当点P 运动在AB （含B 点）上，点Q 运动在BC （含B 、C 点）上时，
①设PQ 的长为y ，求y 关于时间t 的函数关系式，并写出t 的取值范围 ②当t 为何值时，△DPQ 是等腰三角形
（2）在P 、Q 的整个运动过程中，分别判断下列两种情形是否存在如果存在，请求出t 的值；如果不存在，请说明理由． ①PQ 与BD 平行；
②PQ 与BD 垂直．
) A B C D
E F
G 图5 A B P
8、如图，在直角坐标系中，O 是原点，A 、B 、C 三点的坐标分别为A （18，0），B （18，6），C （8，6），四边形OABC 是梯形，点P 、Q 同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P 沿OA 向终点A 运动，速度为每秒1个单位，点Q 沿OC 、CB 向终点B 运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。

⑴ 求出直线OC 的解析式及经过O 、A 、C 三点的抛物线的解析式。

⑵ 试在⑴中的抛物线上找一点D ，使得以O 、A 、D 为顶点的三角形与△AOC 全等，请直接写出点D 的坐标。

⑶ 设从出发起，运动了t 秒。

如果点Q 的速度为每秒2个单位，试写出点Q 的坐标，并写出此时t 的取值范围。

⑷ 设从出发起，运动了t 秒。

当P 、Q 两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC 的周长的一半，这时，直线PQ 能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t 的值；如不可能，请说明理由。

9、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°AC=BC=6㎝，正方形DEFG 的边长为2㎝，其一边EF 在BC 所在的直线L 上，开始时点F 与点C 重合，让正方形DEFG 沿直线L 向右以每秒1㎝的速度作匀速运动，最后点E 与点B 重合.
⑴请直接写出该正方形运动6秒时与△ABC 重叠部分面积的大小； ⑵设运动时间为x （秒），运动过程中正方形DEFG 与△ABC 重叠部分的面积为y （㎝2）.
①在该正方形运动6秒后至运动停止前这段时间
内，求y 与x 之间的函数关系式； ②在该正方形整个运动过程中，求当x 为何值
时，y=21.
A C
B E D G （F ） L
10、如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝20 cm ，BC ＝4 cm ，点P 从A 开始沿折线A —B —C —D 以4 cm / s 的速度移动，点Q 从C 开始沿CD 边以1 cm / s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t （s ）．
(1) t 为何值时，四边形APQD 为矩形
(2) 如图2，如果⊙P 和⊙Q 的半径都是2 cm ，那么t 为何值时，⊙P 和⊙Q 外切
11、如图，矩形ABCD 表示一薄卡片，AB ＝20cm ，BC ＝16cm ，点M 在BC 边上，沿DM 折叠，使点C 落在点N 处，设CM ＝xcm ，四边形DNMC 的面积为ycm 2
（1）求y 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围。

（2）某同学在小制作活动中，要剪取形如四边形DNMC 的轴对称图形。

①若不允许拼接，则四边形DNMC 的面积最大是多少此时M 点距C 多远 ②若允许拼接，如何操作四边形DNMC 的最大面积是多少
（3）当x ＝12时，试确定点N 到AB 的距离NP 的值（保留2位小数）。

12、如图1和图2所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D ＝90°，∠BCD ＝45°，AB ＝3，CD ＝6，点E 是BC 的中点，点F 是一动点，从点D 开始以每秒一个单位长的速度沿射线DC 的方向运动，运行时间为t ，连结FE ，
（1）是否存在t 的值，使得EF ⊥BD ，如果存在求出t 的值，如果不存在，请说明理由；
（2）当FE 的延长线AB 交于点G ，与BD 交于点H 时，是否存在t 的值，使得BH ∶HD ＝1∶4，如果存在，求出t 的值，如果不存在，请说明理由；
（3）是否存在t 值，使得△DEF 为等腰三角形，如果存在，求出t 的值，如果不存在，请说明理由.
13、如图1，Rt △PMN 中，∠P ＝90°，PM ＝PN ，MN ＝8cm ，矩形ABCD 的长和宽分别为8cm 和2cm ，C 点和M 点重合，BC 和MN 在一条直线上。

令Rt △PMN 不动，矩形ABCD 沿MN 所在直线向右以每秒1cm 的速度移动（如图
2），直到C 点与N 点重合为止。

设移动x 秒后，矩形ABCD 与△PMN 重叠部分的面积为y 2cm 。

求y 与x 之间的函数关系式。

F C D A B E 45° F C D A
G B E
H 45° 图1 图2。