2安培环路定理

v µ0I v B 1 ⋅ d l1 = dα 2π
v B1
v B2
v d l1
r1
dα
v dl2
θ1
I
●
r2
2
o θ
L
v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v µ0I v B 1 ⋅ d l1 = dα 2π v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v B1
v B2
L1
L
µ0 I
0
（闭合回路包围电流） 闭合回路包围电流） 闭合回路不包围电流） （闭合回路不包围电流）
表明：沿闭合环路的线积分，等于穿过以闭合环路 表明：沿闭合环路的线积分， 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 代数和
µ0
如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 情况又如何？ 情况又如何？
r r ∫ B ⋅ d l ≠ 0 说明稳恒磁场不是保守场
L
——磁场是“有旋场” 磁场是“有旋场” 磁场是
例：如图，流出纸面的电流为 2I ， 如图， 流进纸面的电流为 I ， 则下述各式中那一个是正确的? 则下述各式中那一个是正确的 r r r r (B) ∫ L 2 B ⋅ d l = µ 0 I (A) ∫ L B ⋅ d l = 2µ0 I r r r r (C) ∫ L B ⋅ d l = − µ0 I (D) ∫ L B ⋅ d l = − µ 0 I
如图， 如图，闭合曲线 L 不在垂直直电流的平面内
L
o
v dl||
v dl
v dl⊥
v v v dl = dl|| + dl⊥
L⊥
v 在曲线上任取一线元 dl
I
沿平行电流方向和垂直电dl = ∫ B ⋅ ( dl|| + dl⊥ ) L L v v v v = ∫ B ⋅ dl ⊥ B ⊥ dl||
例 无限大载流平面两侧的磁场分布 已知电流线密度
δ
δ
● ●
解：电流分布具有面对称性 做一平行载流平面的平面 在平面上任取两点P、Q， 载流平面上电流分布对点P、Q 是相同的 所以两点的磁感应强度的大小相等 考察平面上任意点P 的磁感应强度的方向
P
Q
点做载流平面的垂线， 过 P 点做载流平面的垂线， 垂足为O 宽为 dl 的窄条 取得很小时， 当 dl 取得很小时， 窄条可视为长直电流 它在P点产生的 v 磁感应强度为 dB
一.安培环路定理 1.安培环路定理表述 1.安培环路定理表述 安培环路定理 在真空中的稳恒磁场中， 在真空中的稳恒磁场中， 磁感强度沿任一闭合环路的线积分 磁感强度沿任一闭合环路的线积分 所有电流的代数和乘以 所有电流的代数和乘以 代数和 2. 公式表示
L
I1
I2
I3
等于穿过以闭合环路为边界的所围曲面的
R I
o r
v B p
●
设圆周半径为r ，选取回路的绕行方向如图
r r ∫ B ⋅ dl =
L
∫ Bdl
L
= B ∫ dl = B 2π r
L
r r ∫ B ⋅ d l = B 2π r
L
r r ∫ B ⋅ dl = µ 0 ∑ I i i L ∑ Ii = 0 r≤ R
B 2π r = µ 0 ∑ I i
×××× ×× × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×× × ×××××
. . . .. . .. .. . . . o. r . . .. . .. . . . . ...
v v o ∫ B ⋅ dl = ∫ Bdl cos 0 = B ⋅ 2π r
1
2
v v 长直电流在线元 d l 1 和 d l 2
v B1
2
1
1
●
2
1
v v µ 0 I dl1 cosθ1 B1 ⋅ dl1 = 2π r1
v v µ 0 I dl2 cos θ 2 B2 ⋅ dl2 = 2π r2
dl 1 cos θ 1 = r1 d α dl 2 cos θ 2 = − r2 d α
例 无限长圆柱面电流的磁场
的无限长导体圆柱面， 半径为R 的无限长导体圆柱面， L
r r ∫ B ⋅ d l = µ 0 ∑ I i内
i
沿轴向通以均匀的面电流， 沿轴向通以均匀的面电流，电流强度为I。 求电流所产生磁场的磁感应强度分布 解：圆柱面上电流分布具有轴对称性 R 在垂直圆柱面轴线的平面内， 在垂直圆柱面轴线的平面内，以 I 轴线上点为圆心做一圆周， 轴线上点为圆心做一圆周， o 在圆周上任取两点P、Q， 圆柱面上电流分布对点P、Q 是相同的 所以两点的磁感应强度的大小相等
L2
v d l1
r1
dα
v dl2
v v ∫ B ⋅ dl =
L
I
L1 L2
v v v ∫ B1 ⋅ d l 1 + ∫ B 2 ⋅ d l 2
o v
●
r2
L
µ0 I µ0 I dα − ∫ dα = ∫ L1 2π L 2 2π
=0
在垂直长直电流平面内， 在垂直长直电流平面内，任取一闭合回路
v v ∫ B ⋅ dl =
R I
●
p
dl
v dB
○
●
o
●
●
p
dl
圆柱面上电流分布具有轴对称性 对称的位置处， 在圆柱面上关于 OP 对称的位置处， 总能找到与 dl 大小相同的窄条 dl ′
v dl ′ 在P 点产生的磁感应强度为 dB′
由图不难看出合磁感应强度的方向 沿圆周的切线， 沿圆周的切线， 并与电流方向构成右手螺旋
v v dB + dB′ v v dl ′ dB dB′
○
●
o
●
●
p
dl
在垂直圆柱面轴线的平面内， 在垂直圆柱面轴线的平面内， 以轴线上点为圆心的圆周上， 以轴线上点为圆心的圆周上， 任意点的磁感应强度的大小相等 方向沿圆周的切线， 方向沿圆周的切线， L 并与电流方向构成右手螺旋 选取在垂直圆柱面轴线的平面内 以轴线上点为圆心的圆周为闭合回路L
v d l1
vI 在闭合曲线上任取一线元 d l 1
线元
任意形状的闭合曲线 L，
dα
●
v dl2
r1
r2
o
v dl2
L
dl1 对o点平面角为 dα
此平面角必在闭合曲线上截得另一线元 线元 dl 2 对o点所张平面角也为 d α
v v v dl 处的磁感应强度分别为 B1 ， 2 v B B v µ0I θ dl B1 = r 2π r1 dα r2 L µ0I I o B2 = θ 2π r2 v v µ0I v v B 1 ⋅ d l1 = dl 1 cos θ 1 设 B1 与 d l1 夹角为 θ 2π r1 v v v v 设 B 2 与 d l2 夹角为 θ 2 B ⋅ d l = µ 0 I dl cos θ 2 2 2 2 2π r2
i
根据安培环路定理
R I
L
o r
v B p
●
r>R
∑I =I
i i
i
B =0
B 2π r = µ 0 I
µ0I B = 2π r
r≤ R
B =0
R I
r>R
思考题？ 思考题？
µ0I B = 2π r
L
o r
v B p
●
求无限长载流圆柱体内外的磁场。 求无限长载流圆柱体内外的磁场。
B
o
R
r
例 求通电螺绕环的磁场分布。已知环管轴线的半 求通电螺绕环的磁场分布。 径为R，环上均匀密绕N匝线圈 匝线圈， 径为 ，环上均匀密绕 匝线圈， 设通有电流I。 设通有电流 。 R R1 由于电流对称分布， 由于电流对称分布，与环共圆 解： 心的圆周上，各点B大小相等 大小相等， 心的圆周上，各点 大小相等， R2 方向沿圆周切线方向。 方向沿圆周切线方向。 I 为中心， 的圆周为L 取以o为中心 半径为r的圆周为 取以o为中心，半径为r的圆周为L
当R1< r <R2 而 µ 0 ∑ I i = µ 0 NI µ 0 NI B= 2π r
R1
R
当R1< r <R2 若 r<R1 若 r>R2 I
µ 0 NI B= 2π r
Qµ 0 ∑ I i = 0 ∴B = 0 Qµ 0 ∑ I i = µ 0 ( NI − NI ) = 0
∴B = 0
δ
o
dl
v dB
在平面上任取一平行电流方向， dl 平面上任取一平行电流方向， 上任取一平行电流方向
I
在曲线上任取一点P，距 o 点距离为 r
v 在曲线上点P 附近取一有向线元 dl v 线元 dl 对点所张平面角为 dα
v 设P 点磁感应强度为 B
µ0I B= 2π r
v v ∫ B ⋅ dl = ∫ Bdl cosθ
L
P
L
o
r v dα
v dl
θ
B
µ 0 I dl cos θ =∫ r L 2π
L
I1
I2
I3
r r ∫ B ⋅ d l = µ 0 ∑ I i内
L i
i
2)
∑I
i
正负： 正负：
∑
i
是代数和， 是代数和， I i 有正负
L
I1
I3
I i内 = I 1 − I 2
选定闭合回路绕行方向， 选定闭合回路绕行方向， I2 如果所包围电流的正方向 与闭合回路的绕行方向构成右手螺旋 右手螺旋， 与闭合回路的绕行方向构成右手螺旋， 则电流为正， 则电流为正，反之为负
8.3 安培环路定理
一、安培环路定理 静电场理论中，有“静电场的环路定理”： 静电场理论中， 静电场的环路定理”
r v ∫ E⋅ dr = 0
L
对于稳恒磁场，相应的“稳恒磁场的环路定理”? 对于稳恒磁场，相应的“稳恒磁场的环路定理”
r v ∫ B⋅ dr = ?
L
——考虑到磁力线总是闭合曲线的特点，上式显然不会是0。 考虑到磁力线总是闭合曲线的特点，上式显然不会是 。 考虑到磁力线总是闭合曲线的特点
R2
××××× × ×× × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×× ××× ×
. . . .. . .. .. . .r . . . . .. o . .. . . . . ...
当 R管截面 <<R
B = µ 0nI
即 r ≈R n= N 2πR
µ0 r r B ⋅ d l = µ 0 ∑ I i内 ∫
L i
证明 （略）
以长直电流为例进行验证 1) 闭合回路在垂直直电流的平面内，且包围电流 闭合回路在垂直直电流的平面内， 做一垂直直电流 的平面， 的平面，垂足为o 在该平面上做一 包围 电流的任意形状的 闭合曲线 L P
L
o
dα
r
v dl
L
I
此线积分为磁感应强度沿闭合曲线 L 在垂直直电流 的平面内的投影曲线的线积分
讨论
r r ∫ B ⋅ d l = µ 0 ∑ I i内
L i
1) 等式左边是空间所有电流产 v 生的合磁感应强度 B ， 等式右边 ∑ I i 只是闭合 回路所围电流， 回路所围电流，闭合回路 外的电流对环流无贡献
i
1
3
4
2 •I
L 1
L3
I⊗
L2
[ D ]
L4
8.4
利用安培环路定理求磁场的分布 利用安培环路定理求磁场的分布
对于某些电流分布具有对称性的问题， 对于某些电流分布具有对称性的问题， 可以通过取合适的环路 L 利用磁场的环路定理比较方便地求解场量。 利用磁场的环路定理比较方便地求解场量。 (具体实施，类似于电场强度的高斯定理的解题。) 具体实施，类似于电场强度的高斯定理的解题。 电流对称性 磁场对称性 选取合适回路 安培环路定理 求磁感应强度
● ●
p
Q
在垂直圆柱面轴线的平面内， 在垂直圆柱面轴线的平面内， 以轴线上点为圆心的圆周上， 以轴线上点为圆心的圆周上， 任意点的磁感应强度的大小相等 考察点P 的磁感应强度的方向 在圆柱面上任取一平行轴线， 在圆柱面上任取一平行轴线， 宽为 dl 的窄条 取得很小时， 当 dl 取得很小时， 窄条可视为长直电流 它在P点产生的 v 磁感应强度为 dB
dl cos θ = rd α
L
I
v v µ0 I ∫ B ⋅ dl = ∫ 2π dα L L
v v µ0 I ∫ B ⋅ dl = ∫ 2π dα L L
P
v v ∫ B ⋅ dl = µ 0 I
L
µ0 I = ∫ dα 2π L µ0 I 2π = 2π
L
o
r v dα
v dl
θ
B
I
2) 闭合回路在垂直直电流的平面内 且不包围电流 在垂直直电流的平面， 在垂直直电流的平面， 做一不 包围电流的
∫
L
r r B ⋅ dl = µ
0
∑
i
I i内
I3 =0
I1 >0 L
I1
I2
I3 L I L
I2<0 r r ∫ B ⋅ dl = µ o ( I 1 − I 2 )
r r ∫ B ⋅ dl = µ o ( I 1 + I 3 )
r r ∫ B ⋅ dl = −4µo I
3）适用范围： ）适用范围： 稳恒电流（闭合回路）产生的磁场。 稳恒电流（闭合回路）产生的磁场。